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Full text of "Methodik der elementaren Arithmetik in Verbindung mit algebraischer Analysis"

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e der Mathematischen, 
der I ch allen. Richtungen hin 
weite »2 rtrauen und Wohlwollen 


zahlr te von Erfolg begleitetes 
Bemi Bi; | h hoffe, daß bei gleicher 
Unte Y- ıänner des In- und Aus- 
lande | ji Ihrenden und Lernenden 


N sein werden. Verlags- 
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desh ı Werke über denselben 
Gege: its sehr willkommen sein. 

| hache ich ganz besonders 
auf € ‚zu Göttingen, Leipzig, 


Mün » der Mathematischen 
Wiss :n die Arithmetik und 
Algel hanik, die Physik, die 
Geodäsie und Geophysi { onon behandelt und. in einem 
Schlußband historische, philosophische und didaktische Fragen besprechen 
wird. Eine französische Ausgabe, von französischen Mathematikern 
besorgt, hat zu erscheinen begonnen. 

Weitester Verbreitung erfreuen sich die mathematischen und natur- 
wissenschaftlichen Zeitschriften meines Verlags, als da sind: Die Mathe- 
matischen Annalen, die Bibliotheca Mathematica (Zeitschrift für 
Geschichte der Mathematischen, Wissenschaften), das Archiv der Mathe- 
matik und Physik, die Jahresberichte der Deutschen Mathematiker- 
Vereinigung, die Zeitschrift für Mathematik und Physik (Organ für 
angewandte Mathematik), die Zeitschrift für mathematischen und 
naturwissenschaftlichen Unterricht, die Mathematisch-natur- 
wissenschaftlichen Blätter, ferner Natur und Schule (Zeitschrift 
für den gesamten naturkundlichen Unterricht aller Schulen), die 
Geographische Zeitschrift u.a. | 

Seit 1868 veröffentliche ich: „Mitteilungen der Verlagsbuch- 
handlung B. G. Teubner‘. Diese jährlich zweimal erscheinenden 
„Mitteilungen“, die unentgeltlich in 30000 Exemplaren sowohl im In- als 
auch im Auslande von mir verbreitet werden, sollen das Publikum, das 
meinem Verlage Aufmerksamkeit schenkt, von den erschienenen, unter 
' der Presse befindlichen und von den vorbereiteten Unternehmungen des 
Teubnerschen Verlags in Kenntnis setzen und sind ebenso wie das bis 
auf die Jüngstzeit fortgeführte Ausführliche Verzeichnis des Verlags 
: von B. G. Teubner auf dem Gebiete der Mathematik, der Tech- 
nischen und Naturwissenschaften nebst Grenzgebieten, 100. Aus- 
gabe [XLVII u. 272 8. gr. 8], in allen Buchhandlungen unentgeltlich zu 
haben, werden auf Wunsch aber auch unter Kreuzband von mir un- 
he a die Besteller übersandt. 


Leiezıg, Poststraße 3, - 


B. G. Teubner. 


The person charging this material is re- 
sponsible for its return to the library from 
which it was withdrawn on or before the 
Latest Date stamped below. 


Theft, mutilation, and underlining of books 
are reasons for disciplinary action and may 
result in dismissal from the University. 


UNIVERSITY OF ILLINOIS LIBRARY AT URBANA-CHAMPAIGN 


L161 — O-1096 


PN N 


a 


METHODIK DER 
ELEMENTAREN ARITHMETIK 


IN VERBINDUNG MIT ALGEBRAISCHER ANALNSIS | 


VON 


Dr. MAX SIMON 


MIT 9 TEXTFIGUREN 


LEIPZIG UND BERLIN 
DRUCK UND VERLAG VON B. 6. TEUBNER 
1906 


ALLE RECHTE, EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN. 


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Ti 


DEM ANDENKEN 
MEINES LEHRERS UND VÄTERLICHEN FREUNDES 


HEINRICH BERTRAM 


WEILAND EHRENBÜRGER DER STADT BERLIN 


DEM REFORMATOR DES BERLINER VOLKSSCHULWESENS 
GEWIDMET 


296396 


Vorwort. 


Die vorliegende Schrift ist der Abdruck einer Vorlesung, welche 
der Verfasser im Sommersemester 1904 an der Kaiser Wilhelms- 
Universität gehalten hat. Der Zweck derselben war, den Studierenden 
die Ziele des arıthmetisch-algebraischen Unterrichts der neunklassigen 
höheren Schulen zu zeigen und sie anzuleiten, den zusammenfassenden 
Überblick auf der obersten Stufe methodisch zu geben. — Die Schrift 
zerfällt in zwei nebeneinander herlaufende Teile: die Entwicklung des 
Zahlbegriffs vom Zählen an bis zu den komplexen Zahlen und die 
Auflösung der algebraisch auflösbaren Gleichungen. Der Begründung 
des Begriffs und der Rechnungsregeln der Reihenzahlen ist besondere 
Sorgfalt gewidmet, der Verfasser hat sich dabei wesentlich an die 
Georg Gantorsche Methode gehalten, weil sie s. E. wesentliche Vor- 
züge vor der Dedekindschen und Weierstraßschen besitzt. Eine 
geringfügige Modifikation ist durch die Auffassung des Verfassers 
vom Grenzbegriff als einer Kategorie d. h. eines irreduzibeln Grund- 
vermögens der Vernunft bedingt. Die ganze Entwicklung wird be- 
herrscht von der Ausbildung des Funktionsbegriffs, dessen zentrale 
Stellung im Unterricht der Verfasser schon seit mehr als 20 Jahren 
betont hat. 


Straßburg ı. E. 
Max Simon. 


Einleitung . 


I. Abschnitt. 


in 
III. 


XV. 
XVL. 
XV. 


XIX, 
XX. 


Inhalt. 


Zahl und Zählen 

Addition . . 

Subtraktion . 

Die Einführung der er Ze 


Die Operationen 2. Stufe. 


Multiplikation. . 

Division 

Bruchrechnung 

Dezimalrechnung ae: 
Rechnen mit benannten ZAhlaR 
Gleichungen ersten Grades . 

Vom Rechnen mit Reihenzahlen 


Die Operationen 3. Stufe. 


Potenzierung und Radizierung 

Die quadratische Gleichung 

Der Logarithmus 

Der binomische Satz. . Hr 
Kubische Gleichungs 2. 2 sr 
Komplexe Zahlen . . 


Fortsetzung der Gıbichungen ekddır : 


Gleichungen vierten und fünften Grades 
Die Exponentialfunktion . 
Der natürliche Logarithmus . ...... 


Seite 
Br! 
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13—18 
18—20 
20—25 
26—31 
31—35 
35—40 
40—41 
41—-44 
44—52 
52—59 
59 —66 
66—69 
70—75 
76—79 
79—85 
85—86 
86—89 
..89-—97 
. 97—106 


Einleitung. 


Methodik der elementaren Arithmetik in Verbindung mit 
algebraischer Analysis. 


Meine Herren! Die elementare Arithmetik umfaßt die sieben 
Rechnungsarten bis einschließlich des gemeinsamen Bandes der Ope- 
rationen dritter Stufe, des allgemeinen Binoms und die Hand in Hand 
damit gehende Entwicklung des Zahlbegrifis. E. E. Kummer sagt 
(Rede vom 22. März 1866), daß die allmählige Abstreifung der Be- 
schränkungen des Zahlbegriffs den wesentlichen Inhalt der Arithmetik 
ausmache. Die elementare Algebra behandelt die Lehre von der Auf- 
lösung der Gleichungen bis zum vierten Grade und den Nachweis, 
daß die Gleichungen von mehr als viertem Grade generaliter un- 
auflösbar sind. 

Zugleich verfolge ich den Zweck Sie anzuleiten, wie man den 
Stoff in den höheren Schulen behandeln kann. Wohl gilt für den 
Lehrer in erster Linie das principium individuationis; die einzelne 
Lehrperson muß sich den Stoff innerlich frei gestalten und gewisser- 
maßen für sich erfinden, aber zu dieser inneren Arbeit muß doch 
wieder Material geliefert werden. 

Wenn Sie an Ihre Jugendzeit zurückdenken, so wird den meisten 
der erste Unterricht in der „Buchstabenrechnung“ noch in der Er- 
innerung als äußerst öde erscheinen, und dem Lehrer geht es mei- 
stens ebenso, und doch gibt es, richtig gehandhabt, kaum einen dank- 
bareren Lehrstof. 

Vor allem gibt es kein Gebiet, auf dem der rein historische 
Gang so wenig angezeigt ist wie auf diesem. Poincare sagt zwar 
1899 im Enseignement: „Wie die Zoologie behauptet, daß die em- 
bryonale Entwicklung in kurzer Zeit die Geschichte aller Vorfahren 
der geologischen Epochen wiederholt, so muß auch bei der Eintwick- 
lung des Geistes der Kinder die Geschichte unser Lehrer sein.“ 

Meine Herren, erstens ist der zoologische Vordersatz falsch, wie 
Ihnen Ihre Zoologen bestätigen werden, und zweitens sind die Unter- 
tertianer, mit denen man die wissenschaftliche Arıthmetik beginnt, 
über den embryonalen Zustand einigermaßen hinaus. Es sind Men- 
schen, denen die vier Spezies mit ganzen und gebrochenen Zahlen, 
Regel de tri usw. ganz vertraut sind. Wollte man den historischen 


Simon, Methodik der elementaren Arithmetik. 1 


9 Einleitung. 


Standpunkt ganz streng festhalten, so käme 2 vor 1 und 10 vor 9. 
Es gilt nur, und das gibt auch Poincare zu, diesen jungen Menschen 
gegenüber den Satz Jacobis aus seiner Antrittsrede vom T. Juli 1832 
zum Bewußtsein zu bringen: „Mathesis est scientia, eorum, quae per se 
clara sunt“ Aber das ist gerade der schwierige Punkt. Nirgends 
spielen die Scheinbeweise eine solche Rolle wie hier. Es gibt noch 
heute genug Schulbücher, in denen „bewiesen“ wird, daß a’=1 ıst. 
Noch 1872 konnte Dedekind, der Altmeister der Zahlentheorie, in 
seiner genialen Schrift „Stetigkeit und irrationale Zahlen“ sagen: „und 
man gelangt auf diese Weise zu wirklichen Beweisen von Sätzen wie z.B. 


V2 V3=Y6, welche meines Wissens bisher nie bewiesen sind.“ 

Die Reform des arithmetischen Unterrichts ging von Weierstraß 
aus, der auch darin eine Ausnahmestellung einnimmt, als seine Ge- 
danken nicht erst hundert und mehr Jahre nach seinem Tode, man denke 
an Gauß und Monge, sondern schon bei seinen Lebzeiten in die 
Schule drangen. Die Notwendigkeit, seine funktionentheoretischen 
Sätze streng zu begründen, zwang Weierstraß, sich mit dem philo- 
sophischen und psychologischen Kern des Zahlbegriffs zu beschäftigen 
und die Rechnungsregel auf ihre Tragweite zu prüfen. Während 
Weierstraß aber sich auf das für seinen Zweck Nötigste beschränkte, 
hat der bedeutendste seiner direkten Schüler, @. Cantor in Halle, 
die ganze Kraft seines Geistes in den Dienst der Ausbildung des 
Zahlbegriffs gestellt. Sie finden seine Arbeiten in der Hauptsache 
zusammengestellt in den „acta mathematica“ vom 2. Juni 1883. Un- 
abhängig von Weierstraß und früher als er sind Hermann und 
Robert Graßmann zu nennen, aber Hermann Graßmann fand 
so geringe Beachtung bis ganz gegen das Ende seines Lebens, daß er 
sich von der Mathematik abwandte und in Sanskrit und Musik seinen 
Trost fand. 

Wenn nun auch, was die Strenge betrifft, durch den Einfluß von 
Weierstraß und seiner Schüler einigermaßen Besserung zu kon- 
statieren ist, so ist der andere Übelstand, unter dem der arithmetische 
Unterricht leidet, noch immer nicht gehoben. In seinem Referat zur 
Direktorenkonferenz der Elsaß-Lothringischen höheren Lehranstalten 
vom 30. November und 1. Dezember 1877 sagte mein Korreferent 
Lorberg: „Ein wahres Chaos dagegen ohne Ordnung und Zusammen- 
hang zeigen alle Programme der deutschen höheren Lehranstalten, 
Realschulen I. Ordnung wie Gymnasien, hinsichtlich des algebraischen 
Pensums, welches sich an den mit der Sekunda abschließenden syste- 
matischen Teil anknüpft.“ Und in meiner Methodik in Baumeisters 
Handbuch der Erziehungs- und Unterrichtsiehre von 1895 setze ich 
hinzu: „Aber nicht nur auf der obersten Stufe herrscht Planlosigkeit, 
sondern der ganze arithmetische Unterricht bedarf dringend der 
völligen Umänderung. Die Schüler werden mit der trockensten 


Einleitung. 5 


Buchstabenrechnung gelangweilt, mit dem unglaublichsten Formel- 
kram geödet, der weder in der reinen noch in der angewandten 
Mathematik jemals gebraucht wird. Man denke nur an die dutzend- 
weise ineinander geschachtelten Klammern, an die Gleichungssysteme 
mit drei, vier und mehr Unbekannten, bei denen schließlich durch 
irgend einen verzwickten Kniff die Reduktion auf die quadratische 
Gleichung erzwungen wird, an die Ansatzaufgaben ohne Sinn und 
Verstand und ähnliches. Was man an Formeln wirklich braucht, 
kann ein arabischer Schreibkünstler mit seiner Rohrfeder auf eine 
Münze schreiben. 

Dabei ist das zusammenschließende Ziel nirgends so deutlich, so 
absolut klar wie hier: es ist die Vorbereitung auf die Funktionen- 
theorie. Ohne den Begriff der Funktion, den weittragendsten, den 
die Mathematik geschaffen, kann weder die analytische Geometrie, 
noch ein einziges physikalisches Gesetz, und wäre es s=ct, verständ- 
lich gemacht werden, ja nicht einmal der Algorithmus unserer Di- 
vision. Ich habe das schon vor 20 Jahren in meinen „Elementen 
der Arithmetik“ als Vorbereitung auf die Funktionentheorie rückhalt- 
los ausgesprochen, aber nirgends ist der Schlendrian so zäh, nirgends 
brechen sich die einfachsten Wahrheiten so schwer Bahn wie in der 
Schule. | 

Die Reform des Unterrichts liest in der starken Betonung des 
philosophischen und besonders des psychologischen Elementes; der 
Schüler wie der Mathematiker muß sich den Zahlbegriff in vollem 
Umfange durch eigne psychische Arbeit erwerben, bei welcher Arbeit 
allerdings die Vererbung eine außerordentliche Erleichterung gewährt. 
Mungo Park erzählt, daß die Neger, wenn sie Zahlen, die über 
zwei hinausgingen, genau angeben sollten, infolge der geistigen Über- 
anstrengung in Tränen ausbrachen; in Labrador gibt es noch heute 
einen Volksstamm, der zählt eins, zwei, drei, unendlich; unsere Kna- 
ben, übrigens auch die der Neger in Amerika, haben von Mengen bis 
zu fünf inklusive eine intuitive Erkenntnis ohne alles Zählen. 

Vom Zählprozeß muß ausgegangen werden, er schafft das Ma- 
terial des Rechners; die Zahlreihe (ZR) und alle Rechenoperationen 
haben mehr oder minder ausgesprochen den Zweck, den Zählprozeb 
abzukürzen. 

Schon 1623 definierte J. H. Alsted: Arüthmetica est scientia 
bene numerandi, und doch wird das Zählen vom wissenschaftlichen 
Lehrer meist völlig vernachlässigt, der es dem Elementarlehrer über- 
läßt. Ja, meine Herren, da haben Sie noch einen und nicht den ge- 
ringsten Schädling des mathematischen Unterrichts, den Elementar- 
lehrer, der infolge Geldmangels der Verwaltung den mathematischen 
Unterricht bis in die Quarta hinein gibt, und der im Lehrerseminar 


nicht diejenige Vorbildung erhält, die ihn dazu befähigt. Namentlich 
Y* 


4 I. Abschnitt. Zahl und Zählen. 


sobald die Bruchrechnung angreift, versagt der Elementarlehrer. Ich 
zitiere aus dem Lorbergschen Referat: „Aber selbst wenn der alge- 
braische Unterricht auf direkte Unterstützung durch den Rechen- 
unterricht verzichten muß, so darf er wenigstens auf das bestimm- 
teste die Forderung stellen, daß ihm die Schüler im Rechenunterricht 
nicht verdorben werden, was durch Gewöhnung an ein mechanisches 
und, gedankenloses Rechnen unausbleiblich geschieht, in diesem Falle 
ist‘ die durch den Rechenunterricht erzielte Bekanntschaft mit dem 
wissenschaftlichen Stoff der Arithmetik geradezu ein Nachteil, weil 
sie durch Abstumpfung der Wißbegierde dem arithmetischen Unter- 
richt auch das Reizmittel der Neugierde entzieht.“ 

Bis in die Prima hinein kämpfen wir mit diesem mechanischen 
Unterricht der Unterstufe und seiner Konsequenz, der Gedankenlosig- 
keit. Frage ich einen Primaner, weshalb ist %, —= ?”/,, so erhalte ich 
unter 100 Fällen 99mal die Antwort: „Der Wert eines Bruches.. .“ 
und frage ich ja weshalb, so wird derselbe Satz noch einmal und 
noch schneller heruntergeschnurrt. Sage ich dann, ich möchte aber 
gerade den Grund für diesen Satz wissen, so erfolgt tiefes aber be- 
redtes Schweigen. 

Nie darf der Rechner mechanisch rechnen, jede Zahl hat ihre 
Eigenart, die es zu benutzen gilt; vergleichen Sie einmal das von 
F. Klein kürzlich in den Annalen veröffentlichte Gaußsche Tagebuch 
und Kleins Bemerkung über die Eigenart des Gaußschen Genius, an 
der Hand von Zahlenrechnungen intuitiv die Resultate zu finden, 
um hinterher langsam in härtester Arbeit die Beweise zu erzwingen. 


I. Abschnitt. 


Zahl und Zählen. 


Von entscheidender Bedeutung für die Gestaltung der Arıthmetik 
ist die Unterstellung der Zahl unter den richtigen Oberbegriff, bzw. 
die richtige Ableitung. Kant unterstellte die Zahl der Zeit, deren 
Wesen Sukzession, und Schopenhauer und eine ganze Anzahl Kant- 
Interpreten vindizieren Kant die Ansicht, daß die Arithmetik gerade 
so die Wissenschaft von der Zeit sei wie die Geometrie die des 
Raumes. Da tut man Kant Unrecht, woran er allerdings nicht ganz 
unschuldig ist. Kant sagt gelegentlich völlig zutreffend: „Die Zahl 
ist die Einheit in der Verknüpfung des Mannigfaltigen zu einer 
gleichartigen Anschauung überhaupt, d. h. ohne Rücksicht auf das, 
was verknüpft wird.“ Aber Kant drückt sich nicht überall so klar 
aus, besonders scheidet er nicht die Kardinalzahl von der Ordinalzahl, 


I. Abschnitt. Zahl und Zählen. 5. 


so daß das Mißverständnis Platz greifen konnte: er unterstellte die 
Zahl deswegen der Zeit, weil wir zum Zählen Zeit gebrauchen. Aber 
so wenig wie die Nadel, mit der das Kleid genäht ist, zum fertigen 
Kleid gehört, ebensowenig geht die Zeit in die fertige Anzahl, in die 
Kardinalzahl, ein. Mit demselben Recht könnten wir die Geometrie 
und die Logik der Zeit unterstellen, denn zum Auffassen einer Fieur 
und zu jedem Schluß gebrauchen wir Zeit. Anders ausgedrückt: 
Die Zahl fixiert im Bewußtsein die Art und Weise der Zu- 
sammensetzung einer Vorstellung, die Zeit brauchen wir zur 
Zusammensetzung. Indem der erste Eindruck noch im Bewußtsein zeit- 
lich haftet, wenn der neue hinzutritt, verknüpfen sich beide und 
verschmelzen zu 2, in der wir nun diese Zusammensetzung für alle 
Zeit niederlegen. Anders liegt die Sache mit der Ordinalzahl. Unsere 
absolute Sicherheit, daß 15 mehr als 5, beruht darin, daß wir uns 
des zeitlichen Bildungsganges bewußt sind und wissen, daß 5 früher 
ist als 15. Aber auch für die Ordinalzahlen und die ganze Rechnung 
schwindet das zeitliche Element allmählich völlig aus dem Bewußt- 
sein des Rechners. Ein einziges Mal ist der ernsthafte Versuch ge- 
macht, die Gesetze der Arithmetik aus der Zeitanschauung abzuleiten, 
und zwar von Sir Rowan Hamilton, dem Erfinder der Quater- 
nionen (Transactions of the Royal Irish Academy Vol. 17 p. 285 
(1837). Er scheiterte, wie er mußte, an den komplexen Zahlen, und 
in seinem Hauptwerk von 1853 erklärte er, daß er die Interpretation 
algebraischer Beziehungen durch Zeitanschauung durchaus nicht als 
notwendig verstanden wissen will. Die Zeit können wir uns nur 
unter dem Bilde einer geraden Linie vorstellen und sie versagt einer 
zweifach ausgedehnten Mannigftaltigkeit gegenüber. Gewiß, die Be- 
griffe: mehr, minder, gleich können auf Zeitanschauung gegründet 
werden, auch das kommutative Gesetz durch Vertauschung von Ver- 
gangenheit und Zukunft, schwieriger schon das assoziative Gesetz. 
Aber was die Auffindung arith- 

metischer Gesetze betrifft, so E EM er 
ist die Raumanschauung weit 
ausschlaggebender gewesen als 
die zeitliche. Dies müssen wir z + B 2 
Lange, dem bedeutenden Ver- Fig. 1. 

fasser der Geschichte des Ma- 

terialismus zugeben, wenngleich seine Ansicht, daß der Raum für 
die Zahl notwendig, schon von dem großen Gegner Kants, von 
Bernhard Bolzano, zurückgewiesen ist. Die Raumanschauung gibt 
das kommutative Gesetz durch Vertauschung von rechts und links, 
das assoziative noch unmittelbarer (Fig. 1), der Raum hat uns in der 
Kongruenz den Begriff der Gleichheit zuerst gegeben, und ebenso uns 
über größer und kleiner belehrt, das kommutative Gesetz der Mul- 


6 I. Abschnitt. Zahl und Zählen. 


tiplikation ab = ba ist, bis ich es auf den Schluß von » auf (» +1) 
gegründet, immer räumlich bewiesen durch Vermittlung des Rechtecks. 
Die ganze Algebra der Griechen bis zu den Gleichungen 3. Grades 
inklusiv war räumlich eingekleidet. 

Die fertige Zahl aber und ihre Reihe ist vom Raume so un- 
abhängig wie von der Zeit. Auf dieser Unabhängigkeit beruht ge- 
radezu ihre Erfindung und ihr Gebrauch zum Rechnen, d. h. zum 
Vergleichen bzw. Messen der Mengen und Größen. Immer. wieder 
hat der Lehrer hierauf hinzuweisen: Jedes einmal richtig gerechnete 
Exempel ist ewig richtig und an jedem Ort. Auf dieser Erkenntnis 
beruhen alle Funktionstabellen, das Einmaleins wie die Logarıthmen- 
tafel, die Faktorentabelle wie die Tafeln Legendres. Auf dieser Er- 
kenntnis beruht die Addition, weil ihr zufolge der Zählprozeß an 
jeder beliebigen Stelle unterbrochen und wieder aufgenommen werden 
kann, auf ihr der Nutzen der Addition, weil wir in der Zahlenreihe 
(ZR) und den Namen der Zahlen über eine unbegrenzte Anzahl aus- 
geführter Additionen der vorangegangenen (Generationen veriügen, 
eine Riesensumme gesparter Arbeit, das einzig wirklich unzerstörbare 
Kapital. Und nun zur Sache! 

Wir müssen in Tertia wie in Nona und wie bei der Repetition 
in Prima vom Zählen ausgehen, der fundamentalen und in gewissem 
Sinne einzigen Operation. Die Rechenoperationen sind erfunden, um 
Zeit zu sparen, und in diesem Sinne ist das bene zu verstehen; die 
Rechenkunst ist die Kunst: nicht zu rechnen, sondern zu denken. 
Man beginnt am besten mit den drei Fragen: „Was zählen wir? 
Warum zählen wir? Wie zählen wir?“ Hierbei wird sehr schnell 
klar, daß die Arithmetik eine reine Vernunftwissenschaft ist, und ihre 
Objekte, die Zahlen, Begriffe sind, allerdings Begriffe, welche wie die 
der Geometrie, unter allen, die aus der Sinnlichkeit durch eine wäh- 
rend Äonen fortgesetzte Idealisierung hervorgegangen sind, ihren Ur- 
sprung aus der sinnlichen Erfahrung, „den Erdgeruch der Sinnlich- 
keit“, am deutlichsten an sich tragen. Die Zahl aber entspringt aus 
der durch Vererbung immer mehr entwickelten logischen Funktion 
des Vergleichens und Zuordnens von Komplexen oder Mengen, das 
sind Zusammenfassungen von Vielem zu Einem. Zusammenfassen und 
Trennen sind die arithmetischen Grundtatsachen, entsprungen aus der 
der Arithmetik zugrunde liegenden Erkenntnis: Einheit und Vielheit 
sind subjektive Begriffe, sie liegen in uns, nicht in den Dingen. 
Auch dem Tertianer ist es klar, daß das Brot dem Bäckergesellen 
eins ist; dem, der es zerschneidet, mehreres; daß die Frau des Ar- 
beiters in der Mark die Vielheit sieht, mit der sie die Vielheit der 
Bedürfnisse befriedigen soll. Der Lehrer, dem dieses philosophische 
Wissen fehlt, wird sich vergeblich bemühen, seinen Schülern die 
Bruchrechnung oder auch nur die Multiplikation klar zu machen. 


I. Abschnitt. Zahl und Zählen. FR 


Und hier haben wir die eigentliche Kategorie, d. h. den nicht weiter 
zurückzuführenden Grundbegrifl. Poincare sagt a. a. O.: „Die Zahl ist 
der einzige primitive, irreduktible und intuitive Begriff“; abgesehen 
davon, daß Abstand und Richtung mindestens ebenso irreduktibel, 
primitiv und intuitiv sind, werden die einzelnen Zahlen aus den primi- 
tiven und irreduktibeln Begriffen, Einheit und Vielheit, deren psycho- 
logischer Ursprung das Ich und das Nicht-ich ist, aufgebaut. Dabei 
habe ich schon gesagt, daß die einfachsten Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 jetzt 
intuitiv erfaßt werden und daß diese Zahlenintuition sehr geübt 
werden kann; der Rechenkünstler Dahse erfaßte Mengen über 100 
wie wir etwa 2 und 3. 

Man frage die Schüler, ob und was sie gezählt haben und be- 
reite so die Antwort auf die erste Frage vor: Gemäß der Grund- 
tatsache fassen wir Vieles zu Einem zusammen, und was wir zählen, 
sind solche Einheiten, die wir Komplexe nennen. Es gibt wenige 
Seelenvermögen, von denen so häufig Gebrauch gemacht wird. Die 
Schüler bringen, und zwar mit großem Vergnügen, immer neue Bei- 
spiele an von der Klasse, der Kompagnie, der Sammlung an bis zum 
Wald, dem Buch usw. Dabei muß man sie aufmerksam machen, wie 
das Symbol der Zusammenfassung bei der Klasse im Ordinarius, der 
innere Grund die gemeinsame Vorbereitung, bei der Kompagnie im 
Hauptmann, beim Buch im Einband, beim Stoß Teller, wo es nicht 
ganz so nahe liegt, in der gemeinsamen Grundfläche usw. besteht. 
Es geht mehr als eine Stunde damit hin und bei der Repetition 
kommen immer neue Beispiele; der Weg als Komplex von Schritten 
bzw. Metern, die Kette, ja sogar die sieben 'Todsünden. Man geht 
dann auf Komplexe von Komplexen wie Schule, Bataillon, Stadt als 
Komplex von Straßen, die selbst Komplex von Häusern, die wiederum 
Komplex von Zimmern, Jahr usw. ein. Die einzelnen Vorstellungen, 
welche in dem Sammelbegriff gebunden sind, heißen wie bei der Kette 
Glieder oder Elemente des Komplexes. 

Umgekehrt hindert nichts, jede Einheit als Vielheit anzusehen, 
und das ist später für den Bruchbegriff entscheidend; die Apfelsine, 
der Apfel, das Kommißbrot, der Baumstamm, die Strecke, ja, in der 
alten Reichswehrordnung den Menschen. 

Die zweite Frage: Warum zählen wir? Auch hier wende man 
sich zunächst an den Schüler. Hier tritt nun die schon erwähnte 
Grundfähigkeit des Vergleichens in Tätigkeit. Meines Erachtens liegt 
in ihr der Ursprung der Stammbegriffe Quantität und Qualität; mit 
dem psychischen Akt des Aufmerkens verbindet die Vernunft die 
Vergleichung, und wenn sich dieselbe nur auf die Art und Weise der 
Zusammensetzung einer Vorstellung richtet, so entwickelt sich der 
Begriff Größe; richtet sie sich auf die Art und Weise, wie unsere 
Sinne affiziert werden, so entwickelt sich der Begriff Qualität. 


S I- Abschnitt. Zahl und Zählen. 


Zum Zweck der Ordnung, Übersicht und Verwaltung sind wir 
gezwungen, die verschiedensten Komplexe in bezug auf die Art und 
Weise ihrer Gliederung zu vergleichen, die Heere und Flotten, die 
Fehlermenge der Extemporalien, den Ernteausfall, die Dicke der 
Hefte, usw. Diese Vergleichung ist nun zunächst eine direkte. Wir 
richten der Reihe nach unsere Aufmerksamkeit auf je ein Glied des 
Komplexes A und des Komplexes D, und indem wir so durch fort- 
währendes Zusammenfassen und Trennen aus A und B eine Reihe 
von Komplexen bilden, wird schließlich A oder BD wiederhergestellt, 
aber es ist etwas Neues hinzugetreten: die Ordnung der Glieder, die 
bestimmte Reihenfolge. Aus dieser direkten Vergleichung entspringen 
jetzt die drei fundamentalen Relationszahlbegriffe: mehr, minder, gleich, 
die man auch größer, kleiner, gleich nennt. Letzteres tritt auf, 
wenn jedem Glied in A ein Glied in 5 zugeordnet werden kann, 
und umgekehrt; man sagt, die Komplexe A und B sind aufeinander 
abzählbar. 

Vergleicht man statt zweier Komplexe mehrere, so kommt man 
auf experimentellem Wege zu den Beziehungen: Wenn AZB und 
BZ O0, so ist AZ (0; damit wird eingesehen: Jeder Komplex A kann 


in allen Fragen, die sich auf die Art und Weise der Gliederung be- 
ziehen, durch jeden ihm an Gliederzahl gleichen ersetzt werden. 


Dieser Satz ermöglicht die indirekte Vergleichung von Kom- 
plexen, er ermöglicht die Vergleichung räumlich getrennter Komplexe, 
wo die direkte schwierig und die zeitlich getrennter, wo sie unmög- . 
lich ist. Es entsteht dem Menschengeist die Aufgabe: Einen Kom- 
plex zu schaffen, der von Zeit und Raum unabhängig ist, 
der Vergleichung aller Komplexe vermittelt, in derselben Weise, 
wie man aus ähnlichen Gründen im Gold die Münze geschaffen hat, 
d. h. eine Ware, die von jedem jederzeit gegen jede andere Ware 
getauscht werden kann. Dieser Münzkomplex muß an Gliedern un- 
erschöpflich sein, da sich aus ihm zu jedem noch so vielgliedrigen 
Komplex ein gleicher ausheben lassen muß und seine eigne Ordnung 
darf keine Zeit kosten. Alle diese Forderungen erfüllt der Komplex 
der Zahlen in der Zahlenreihe. 

Sooft wir zwei Komplexe direkt vergleichen, bilden wir einen 
Komplex, der nur aus einem Glied besteht; wir bezeichnen diese ein- 
fachste Art der Gliederung mit 1 und sagen, der Komplex hat oder 
fällt unter die Anzahl 1. Wir müssen die 1 als Anzahl 1 (unus, 
uövog) von der 1 als Einheit (unitas, uovdg) sehr scharf unterscheiden. 
Die alte Auffassung, daß die 1 keine Anzahl hat, bezieht sich auf 
die Einheit. Noch Gemma Frisius, dessen Rechenbuch das erste 
weitverbreitete Rechenbuch seit der Begründung der humanistischen 
Schulen war, sagt 1576: unitas ipsa non est numerus. Alle Schwierig- 


I. Abschnitt. Zahlen und Zählen. 9 


keiten, die der Kontinuitätsbegriff mit sich bringt, stecken in der 
Einheit, aber nieht in der 1. Indem zu dem ersten Glied bei der 
Auflösung und Wiederzusammensetzung (Analysis und Synthesis) ein 
anderes Glied tritt, entsteht ein Komplex von der nächstfolgenden 
Art und Weise der Gliederung; wir nennen diesen Modus 2 usf.; 
so entsteht die Zahlenreihe. Dieser zahlenbildende Prozeß ist un- 
begrenzt, und es gibt keine letzte Zahl als Anzahl; jedesmal wenn zu 
n Gliedern noch eins hinzukommt, entspringt aus » und 1 die neue 
Anzahl (nr +1). Hierbei ist zu sagen, daß die Unendlichkeit der 
Zahlenreihe im wesentlichen auf die Unendlichkeit der Zeit zurück- 
geht, bzw. daß ohne eine unendliche Zeit auch eine unendliche 
Dauer des Zählprozesses unmöglich wäre. 
Die Zahlen haben nun alle verlangten Eigenschaften: 
a) Die sind von Zeit und Raum unabhängig. 
b) Sie entstehen als die einzigen Vorstellungen in geordneter, 
ja sogar in ante Reihenfolge. 
CeD1e ba an Gliederzahl RSChönElch 
2 Jede Zahl zählt die Anzahl aller Zahlen von 1 an bis zu 
ihr selbst ab, d. h. jede Zahl fällt unter ihren eignen An- 
zahlbegriff. 

Jede Zahl hat also eine zwiefache Wesenheit; als Kardinalzahl 
ist sie der Ausdruck für eine bestimmte Art und Weise der Gliederung, 
id est markiert sie eine bestimmte Abstufung des Mengenbegriffs; als 
Ordinalzahl hat sie eine bestimmte Stellung in der Zahlenreihe, 
derzufolge von je zwei Zahlen « und b eine die frühere, die andere 
die spätere ist, und die unter die spätere fallende Menge hat die 
größere Gliederzahl. 

Nachdem in der Zahlenreihe das Instrument des Rechners ge- 
schaffen, besteht der Zählprozeß darin, daß wir jedem Glied der 
abzuzählenden Menge der Reihe nach ein Glied der Zahlenreihe zu- 
ordnen mit 1 beginnend, und die Ordnungszahl des letzten Gliedes 
ist zugleich infolge der Eigenschaft d) die gesuchte Anzahl. Diese 
Anzahl spiegelt die Art und Weise der Gliederung vollständig und 
für ewig wieder; hat z. B. ein Komplex die Anzahl 5, so wissen wir, 
daß es darin ein Glied Nr. 2, ein anderes Nr. 3 usw. gibt. Dabei 
sehen wir während des Zählens von allen Unterschieden der Glieder 
ab, und nur die Zugehörigkeit zum Komplex wird beachtet. Außerdem 
aber ist noch ein besonderer Akt des Intellekts nötig, um die sonst 
unentwegt abrollende Zahlenreihe anzuhalten, den Zählprozeß abzu- 
schließen; ein Hemmungsprinzip des psychischen Trägheitsgesetzes 
muß in Kraft treten, sonst kann man sich an neun Kegeln zu Tode 
zählen. Hierin haben wir die erste Äußerung des so entscheidend 
wichtigen Grenzbegriffes. 

Während die Zahlen eine unabänderliche Reihenfolge haben, ist 


10 I. Abschnitt. Zahlen und Zählen. 


die Ordnung jedes Komplexes mehr oder weniger willkürlich. Man 
sieht aber, daß eine Vertauschung von zwei Gliedern, eine Trans- 
position, an der Anzahl nichts ändert, denn wo a fehlt, rollt die Zahl 
auf b und für 5 tritt dann a ein; hieraus folgt, daß, wenn überhaupt 
ein letztes Glied existiert, die Ordnungszahl desselben und da- 
mit die Anzahl des Komplexes von der Ordnung der Glieder 
unabhängig ist. 

Diese bestimmte durch Zählen gewonnene Anzahl ist der sub- 
jektive Ausdruck für die Menge, aber auch abgesehen vom zählenden 
Subjekt existiert die Menge. Der objektive Ausdruck dieser Menge 
ist die Mächtigkeit. Dieser Begriff, den schon Aristoteles kennt, 
der damit das Paradoxon des Zeno vom fliegenden Pfeil, oder nach 
Zeno vom scheinbar fliegenden Pfeil, aufklärt, ist von G. Cantor, 
der von des Aristoteles’ Priorität nichts wußte, genau so erfaßt wie 
von Aristoteles: Kann man alle Elemente einer Menge allen Elementen 
einer andern eindeutig zuordnen und umgekehrt, so sagt man, die 
Mengen sind von gleicher Mächtigkeit. Bei endlichen abzähl- 
baren Mengen fallen Anzahl und Mächtigkeit zusammen, d.h. end- 
liche Mengen gleicher Anzahl haben gleiche Mächtigkeit, und es liegt 
kein Grund vor diese Begriffe zu trennen. Anders liegt die Sache 
bei Mengen, die wie die Zahlenreihe einen Anfang, eine Sukzession, 
aber kein Ende haben. 

G. Cantor faßt den Inbegriff aller Zahlen als Komplex und 
gibt diesem Inbegriff eine Art Anzahl, die erste transfinite Zahl o. 
Man kann sich diesen Inbegriff so geordnet denken, daß erst die 
geraden und dann die ungeraden Zahlen kommen; dann ist es un- 
möglich beide Anordnungen durch eine abzählbare Anzahl von Trans- 
positionen ineinander überzuführen und in der Tat hat jetzt der 
Inbegriff aller Zahlen die transfinite Anzahl ® + », bzw. »2. Üantor 
hat in seinen transfiniten Zahlen, wie Sie schon aus diesem 
Beispiel sehen, Ordnungstypen für unendliche Reihen geschaffen, 
welche für die Lehre von den unendlichen Reihen, für Integral- 
rechnung und Mechanik von fundamentaler Bedeutung sind. 

Ich muß noch den Ausdruck „wohlgeordnet“ näher erklären. 
Auch dieser Begriff rührt von G. Cantor her. Eine Menge ist ge- 
ordnet, wenn von zwei beliebig herausgegriffenen Elementen A und 5 
immer eins, z. B. A, das frühere, und von drei Elementen ABC, 
wenn A früher als 5 und 5 früher als C, dann auch A früher als C 
ist. Also sind z. B. die Zeitpunkte zwischen 6 und 7 und die 
Streckenpunkte zwischen A und. 5 geordnete Mengen. Die Zahlen 
aber ın ihrer Reihe sind wohlgeordnet, d. h. ihre Elemente, ein 
erstes voran, folgen so aufeinander nach einem gegebenen (resetz, 
daß sowohl auf jedes Element wie auf jede scharf charakterisierte 
Gruppe von Elementen ein völlig bestimmtes Element folst, vor- 


II. Abschnitt. Addition. 11 


ausgesetzt, daß es ein auf das Element, bzw. auf die Gruppe von 
Elementen folgendes Element überhaupt gibt. So folgt auf die 
Gruppe der ersten 1000 geraden Zahlen 2001. Aber wenn man auf 
einer Strecke AU einen Punkt BD nimmt, so gibt es keinen bestimmten 
auf 5 folgenden Punkt und ebenso läßt sich kein bestimmter Zeit- 
punkt, der auf 6), folgt, angeben. Die Zeit- und BRaumstrecken 
stellen daher geordnete, aber keine wohlgeordnete Mengen dar. Eine 
unendliche Menge kann also geordnet sein, ohne wohlgeordnet zu 
sein, sie kann auch eine wohlgeordnete Menge als Bestandteil ent- 
halten und nicht wohlgeordnet sein. Nehme ich z. B. eine Strecke 
ADB, halbiere sie und nehme immer die Mitte der rechten Hälfte, so 
bilden diese die wohlgeordnete Menge Y,; Y, +: , +, + Yst 
Wenn ich aber die Strecke bis Ü um sich selbst verlängere und von 
der Verlängerung immer die Mitten der linken Hälften nehme, so ist 
die gesammte Menge geordnet, aber nicht wohlgeordnet. 

Ich schließe Abschnitt I und verstehe unter I den Satz von der 
Eindeutigkeit der Anzahl: Jede durch eine bestimmte Zahl n der 
Zahlenreihe abzählbare Menge wird durch eben diese Zahl » ab- 
gezählt, in welcher Ordnung man ihre Glieder auch abzählt, voraus- 
gesetzt, daß jedes Glied nicht öfter als einmal beim Zählen benutzt 
wird und gehe über zu: 


II. Abschnitt. 
Addition. 


1. Zwei Komplexe A und D abgezählt durch « und Db lassen ® 
sich zu einem Komplex Ü zusammenfassen, dessen Anzahl c zu be- 
stimmen ist. Zu einer solchen Operation sind wir durch die Rück- 
sicht auf unsere Zeit gezwungen, wenn es sich um die Abzählung 
von großen Mengen handelt. Ich wähle als Beispiel gern die Volks- 
zählung vom 1. Dezember jedes fünften Jahres, etwa in einem Dorfe, 
durch das ein Bach fließt oder eine lange Straße geht, und nehme 
an, der Lehrer zähle links, der Bürgermeister rechts vom Bach. 
C heißt Summenkomplex, ce Summe, a und b die Summanden. Die 
Anzahl c läßt sich dann dadurch schneller feststellen, daß entweder 
die b Elemente von B hinter die « Elemente von A der Reihe nach 
gezählt werden, oder von b aus den a Elementen von A, die a auf 
b folgenden Zahlen der Zahlenreihe zugeordnet werden. Sind A und 
b endlich, so folgt aus I, 1 sowohl daß auch © endlich als daß beide 
Zählungen dieselbe Anzahl c ergeben. Wir schreiben und sprechen: 


(1) c=(a-+b). 
2. Mit Rücksicht auf die Beantwortung der drei Fragen in I 
definieren wir die Addition und die Summe wie folet: 


12 II. Abschnitt. Addition. 


Zu einer Zahl a, Augendus genannt, eine Zahl db, Addendus, 
addieren, heißt in der Zahlenreihe von a aus b der auf a folgenden 
Zahlen der Reihe nach abzählen. Die zuletzt gezählte Zahl ist die 
Summe, welche mit (@ + b) bezeichnet wird. Wo eine Verwechselung 
mit der Operation ausgeschlossen ist, wird die Klammer um den 
„Ausdruck“ weggelassen. 

3. Aus 1 folgt, da c=(a+b) und =(b-+.a) ist, @as erste 
Hauptgesetz der Addition: (a +b) = (b-+ a), das kommutative Gesetz 
II. 1. Es braucht wohl nicht gesagt zu werden, daß hier das Weo- 
lassen der Klammer einen schweren logischen Fehler involviert. 

4. Als Beispiel der Addition dienten zwei Zähler, aber wir 
können uns auch einen Zähler denken, der nicht an eine bestimmte 
Zeit gebunden ist, und der eine große Menge abzuzählen hat, etwa 
ein Kaufmann, Kassenbeamter, Taxator usw., usw., der Inventur macht. 
Man kann zufolge Abschnitt I einen Teil vormittags abzählen, dann 
nachmittags fortfahren. Überhaupt zerfällt beim Zählen der abzu- 
zählende Komplex immer in den Komplex A der bereits abgezählten 
a Glieder und in den Komplex D der noch zu zählenden. Es hindert 
nichts, diese b für sich abzuzählen, und dann die Zahl ce des ganzen 
Komplexes durch Addition von a und b zu ermitteln; dabei tritt 
nichts als eine zeitliche Lücke ım Zählprozeß ein, aber keine in 
der Reihe der Zahlen, und auf deren ununterbrochene Folge kommt 
es allein an. Wir gewinnen also ce in Form (a -+b). Wir können 
dieselbe Betrachtung auf B anwenden und z. B. die Anzahl d eines 
Komplexes D in der Form d=a+(b +c) herzählen. Aber aus der 
‚Möglichkeit den Zählprozeß zeitlich zu unterbrechen folgt, daß wir 
auch zählen können (a+b5b)-+c. Hiermit erhalten wir das zweite 
Fundamentalgesetz der Addition, das assoziative, und die Formel: 


(2) a+lb+o)=la+b)+te. 


Man kann zugeben, daß das assoziative Gesetz bei dieser Ab- 
leitung sich auf innere Anschauung der Zahlenreihe stützt oder, was 
richtiger ist, daß wir den Spezialfall a +(b+1)=(a+b)+1 schon 
in die Definition der Addition aufgenommen haben. In einer rein 
formalen Addition, wie sie z. B. Hankel entwickelt hat, und nach 
ihm viele andere, wird dieser Spezialfall axiomatisch angenommen; 
aus ihm läßt sich der allgemeine dadurch, daß man von b zu (b +1) 
übergeht, entwickeln, dann erst wird, auch rein formal, die Addition 
erklärt. Ich habe schon vor 30 Jahren, ohne Hankel zu kennen, im 
Anschluß an Weierstraß wiederholt den Versuch gemacht, die 
Algehra rein formal in der Schule zu lehren, aber der Erfolg war 
nicht ermutigend, ich kann nur raten tunlichst den Schülern sinn- 
liche Substrate zu geben. 

9. Formel 1 und 2 lassen sich kombinieren zu dem Satz: Auch 


III. Abschnitt. Subtraktion. 13 


für drei Summanden bleibt die Reihenfolge beliebig, und zwar auch 
so, daß wir von einem beliebigen Augendus ausgehen können, dann 
die beiden andern addieren und ihre Summe als Addendus benutzen. 
Dieser Satz drückt sich dadurch aus, daß wir [(@a+ 5) + c] ohne alle 
Klammern schreiben. 

6. Durch den Schluß von n auf (n +1), d.h. durch die voll- 

ständige Induktion, die auch Bernoullischer oder Kästnerscher 

Schluß genannt wird, läßt sich der Satz für eine beliebige, aber end- 
liche Anzahl von Summanden beweisen. Die Einschränkung liegt 
im Wesen des Schlusses begründet, der für Erfahrungstatsachen das 
natürliche Beweismittel bildet. Der Beweis besteht darin, daß man 
zeigt, eine Wahrheit, die für eine Menge von » Gliedern gilt, gilt 
auch noch für eine (n + 1)-gliedrige; sie gilt damit für eine (n + k)- 
gliedrige, falls man sich zur Zahl k durch beständige Vermehrung 
um 1 hinzählen kann, d. h. also, wenn % abzählbar ıst. Für die 
Cantorschen Ordnungstypen gilt das kommutative Gesetz nicht, denn 
es st I+o und auch n-o von © nicht verschieden, aber 
o+(+2)=(®+3)+2, z.B. die Menge der ungeraden Zahlen 
vermehrt um die fünf ersten geraden Zahlen ist von derselben Ord- 
nung wie (o+3)+2, d.h., das assoziative Gesetz bleibt für die 
transfiniten Zahlen bestehen. 

Nunmehr ist unser praktisches Verfahren völlig begründet. 

1. It b<b', so ist a +b<a-+ b’ (assoziat. Ges.). 

It asa,soist a+bSa+b. Der Satz folgt aus der räum- 
lichen Anschauung der Zahlenreihe unmittelbar, er kann aber auch 
durch das assoziative Gesetz bewiesen werden; « <«a’ heißt «’ setzt 
zu seiner Bildung a voraus, also: 


a=a+to; a +b=atrae+b=(a+b)+u;a+b>a+rb. 


Ill. Abschnitt. 
Subtraktion. 


Durch Abzählung zweier Komplexe stellen wir ohne weiteres 
die Beziehungen >< = fest, aber die Begriffe > und < sind viel- 
deutig und lassen sich abstufen wie der Mengenbegriff, d. h., es ent- 
steht die Aufgabe, den Unterschied zweier abzählbaren bzw. abge- 
zählten Mengen zahlenmäßig festzustellen. Wir nennen die Operation 
Subtraktion und sehen, daß ihr Kern die Vergleichung ist in dem 
eben festgesetzten Sinne. 

Meine Herren, keine Operation wird so im Unterricht mißhandelt 
wie die Subtraktion, und hier liegt die Hauptquelle des geringen 
Erfolges. Selten oder nie scheidet der Lehrer die drei, ja sogar sechs 


14 III. Abschnitt. Subtraktion. 


ihrem logischen Inhalte nach ganz verschiedenen Operationen, die in 
der einen, welche Subtraktion heißt, zusammenfließen. Ich muß daher 
die Subtraktion ausführlicher besprechen. 

1. Das Vergleichen wird zunächst durch gegenseitiges Zuordnen 
der Glieder ausgeführt, wie z. B. bei Turnspielen, wo zwei Parteien 
aus den Spielern gebildet werden, beim Öroquet usw. Man wird gut 
tun, auch ungleichartige Mengen wie Spaten und Arbeiter, Gewehre 
und Soldaten usw. zu vergleichen. Da die Anzahl die Art und Weise 
der Gliederung eines Komplexes genau wiederspiegelt, so kann für 
die Vergleichung jeder Komplex durch den Komplex gleicher Anzahl 
ersetzt werden, welcher aus der Zahlenreihe von 1 an ausgeschnitten 
wird. Die natürliche Zuordnung besteht darin, die gleichgenummerten 
Glieder einander zuzuordnen, also 1,1; 2,2; 3,5 usw.; es bleibt dann 
im größeren Komplexe, den wir vorläufig samt seiner Anzahl Minuendus 
nennen, der Komplex der Glieder vom Subtrahendus exklusive bis 
zum Minuendus inklusive frei, und der Komplex dieser freien Glieder 
liefert den Unterschied beider Mengen, die Differenz (b — a). 

2. Das Abzählen dieses Komplexes kann beliebig unterbrochen 
werden, d. h., 


)&b-)=-(k-a+Yy-D)+lke—-y+t.:- (w—v)+(b— w). 


Man sieht, wie viel richtiger die österreichische Methode ist als 
die unsere, die fast überall verlassen ist, auch neuerdings hier und 
da in Deutschland verlassen wird. Wir sehen, daß aus der Vertraut- 
heit mit der Zahlenreihe eine außerordentliche Abkürzung der Operation 
hervorgeht, indem wir zunächst zählen bis zu der ersten Zahl, die 
mit dem Minuendus in den Einern übereinstimmt, dann auch noch 
in den Zehnern, Hunderten usw. Vom wirklichen Zählen ist gar 
keine Rede, da wir ja wissen, nach Abschnitten von 10 kehrt die 
letzte Ziffer wieder, nach 100 die beiden letzten, usw. 

3. Man sieht sofort, daß die Vergleichung stets verbunden ist 
mit einer Trennung des Minuendenkomplexes b in den Subtrahendus «a 
und die Differenz (b— «) und ferner, daß, weil die Aufmerksamkeit 
sich nur auf den Komplex der freien Glieder des Minuendus richtet, 
die gebundenen aus dem Bewußtsein schwinden, d. h., daß dem 
Minuend eine dem Subtrahend anzahlgleiche Menge entzogen wird. 

4. Diese drei Operationen: Vergleichung, Trennung, Verminderung 
sind also in praxi verbunden und fließen daher in eine zusammen, 
welche wir eben Subtraktion nennen, d. h., seit Chuquets iriparty 
beendet (1482) a Uhonneur de la sainte trinite, wo die Operation, die 
bis dahin Subduktion heißt, mit soustraire bezeichnet ist. Es steht 
nichts im Wege, die Resultate aller drei Operationen: Differenz, Er- 
gänzung, Rest, da sie der Zahl nach identisch sind, gleich zu be- 
zeichnen, und zwar mit (b— a) (Zahlenintervall von a bis b) und 


II. Abschnitt. Subtraktion. 15 


alle drei durch dieselbe Gleichung zu definieren «+ (b—-a)=b, 
d. h., durch die bekannte Definition: Die Differenz (Ergänzung, Rest) 
des Minuend db und des Subtrahend «a ist die Zahl (b— a), welche 
zu a addiert b gibt. Daß sie völlig bestimmt ist, folgt aus II, 
Formel 2, bzw. Il, Nr. 7. 

5. Der Subtrahend ist in jeder der drei Auffassungen eine Ope- 
ration der Trennung, während die Addition Verknüpfung ist; die 
eine ist gerade so ursprünglich wie die andere, und es ist keineswegs 
nötig, von vornherein. die Subtraktion als inverse Operation der 
Addition aufzufassen. 

6. Jede der drei in der Subtraktion verbundenen Operationen be- 
sitzt noch eine Begleitoperation, die begrifflich von ıhr verschieden, sie 
in der Praxis ersetzen kann. Man kann fragen: Welche Menge unter- 
scheidet sich von der gegebenen Menge um b? Welche Zahl gibt um 
a vermehrt 5? Wieviel kann ich von b wegnehmen, damit a übrig 
bleibt? Alle drei Fragen werden dadurch beantwortet, daß man von 
b aus die « vorangehenden Zahlen der Reihe nach abzählt. Bezeichnet 
man die so gefundene Zahl mit (b— a), so wird (b — a), definiert 
durch die Gleichung (b— a), +a=b. Aus dem kommutativen Gesetz 
in Verbindung mit dem assoziativen folgt, daß (b— a), = (b -— a) ist. 
Danach kann die Subtraktion auch durch Rückwärtszählen in der 
Zahlenreihe ausgeführt werden, und jetzt tritt der Gegensatz zur 
Addition hervor. Es ist b—a)+a=b und (b+a) —a desgl. 

7. Der Subtraktion läßt sich noch eine neue Seite abgewinnen. 
In allen Fällen handelt es sich darum, einer Zahl b die Form einer 
Summe zu geben, deren einer Summand a gegeben ist. Ist b später 
als a, so weiß man, daß es eine solche ganz bestimmte Zahl gibt, 
wenn man sie momentan auch nicht kennt. Ich kann mir diese Zahl 
unter irgend einem Zeichen vorstellen, z. B. unter dem Bilde x, wie: 
in der Aufgabe x + 253 = 489. Ich ermittele nun diese Zahl x durch 
eine Methode, die gerade so alt ist wie die Mathematik, und die sich 
schon im Papyrus Ahmes und noch 500 Jahre früher in den von 
Griffiths 1897 herausgegebenen Papyri von Kahun findet, durch die 
Regula falsi, zu Deutsch durch Probieren. Ich nehme für x einen 
Wert an, obwohl ich weiß, daß er falsch ist und verbessere ihn 
allmählich. Hier nimmt man für « zuerst 200, gibt 453; ich vermehre- 
x um 30, gibt 483, und nun sind noch 6 nötig, also ist die gesuchte 
Zahl 236. Hier haben wir die Stelle, wo die Algebra abzweigt; aus 
der Regula falsi hat sich die Grenzmethode, der Funktionsbegriff, die 
Lehre von den Variabeln usw., entwickelt. 

8. Daß die drei Operationen: Vergleichung, Verminderung, Tren- 
nung begrifilich verschieden sind, tritt bei der Einführung der 0 und 
der negativen Zahlen ganz scharf hervor. Die sogenannten negativen 
Zahlen bilden auch wieder eine Klippe, an der das Verständnis der 


16 III. Abschnitt. Subtraktion. 


Schüler scheitert. Zunächst ist schon die Bezeichnung keine glück- 
liche, weil die Vorzeichen minus und plus mit dem Öperationszeichen 
verwechselt werden. Man vermeidet die Hälfte der Schwierigkeiten, 
wenn man statt —a die Bezeichnung «’ gebraucht, wie das auf 
meinen Vorschlag Friedrich Meyer in seinen vorzüglichen Ele- 
menten der Arithmetik getan hat, sowie Herr W. Pflieger in den 
seinen. 

9. Zuerst versagt die Trennung, sobald a zu a ergänzt werden 
soll; hier hält die Verminderung noch aus, man kann a von « 
wegnehmen, und es bleibt nichts — Null. — Bei der Vergleichung 
kann die Beziehung der Gleichheit auftreten, die häufig beabsichtigt 
ist, und wir bedienen uns als Ausdruck für diese Beziehung wieder 
desselben Zeichens, weil in diesem Falle der Komplex der freien 
Glieder leer ist. Diese Null, das Symbol der Leerheit entspringt 
aus derselben Quelle wie die Anzahlen, und sie wird zur Zahl gemacht. 
Dieser großartige Gedanke ist von den Indern ausgeführt nach neuesten 
Forschungen etwa um den Beginn unserer Zeitrechnung; ihre älteste 
Form ist der Punkt, erst später die leere geschlossene Linie als 
Zeichen, daß die Null die Anzahl eines Komplexes vertritt, der als 
solcher noch gedacht wird, während ihm gewissermaßen zufällig die 
Glieder ausgegangen sind. Ihr Name ist sunya, das Leere, arabisch 
wörtlich übersetzt as-sifr, und daher stammt das Wort Ziffer (zero), 
da die Null im indischen Positionssystem das weitaus wichtigste 
Zahlzeichen ist. Die Geschichte der Null bildete eine Streitfrage, 
aber es ist auch völkerpsychologisch einleuchtend, daß die Inder — 
das Volk, dem die Auflösung in das Nichts, die Nirwana, das höchste 
Ziel war — das Volk sein mußte, das das Nichts behandelte, als 
wäre es etwas. Das Positionssystem findet sich allerdings schon zur 
Zeit Sargons, 3800 v. Chr., bei den Babyloniern in ihrem Sexa- 
gesimalsystem. 

Durch Einstellung der Null vor die Eins erfährt nun die Zahlen- 
reihe ihre erste Erweiterung und O+1=1, formal ebenso wie real, 
undd0+1=1-+0, wo die O links als Nichts gedeutet werden kann 
und die OÖ rechts als Nichts gedeutet werden muß. 

Diese Doppeldeutung läßt sich vermeiden, wenn das von Hankel 
als Permanenz der formalen Gesetze bezeichnete Prinzip benutzt wird, 
das ich unabhängig von Hankel dahin formuliert habe: Für die 
neuen Glieder gelten die alten Gesetze. Ein Prinzip, das ın 
jeder Vereinigung für die Aufnahme neuer Mitglieder gültig ist. 

10. Wir sind jetzt in den Stand gesetzt a so zu trennen, daß 
der eine Bestandteil a ist, in dem O0 die Ergänzung wird und 


O+a=a+0=a. 


Durch Einführung der OÖ ist es auch möglich, die Zahlen räum- 


III. Abschnitt. Subtraktion. 17 


lich zu versinnlichen auf der Zahlenlinie, wobei der Abstand vom 
Null- oder Anfangspunkt, die Länge der Strecke, ein Bild für die in 
der Zahl vereinigte Menge von Einheiten (Kardinalzahl) ist, für die 
Zahlengröße, um mit Weierstraß zu reden, und der Zahlenpunkt 
ein Bild für den Wert, d. h., die Stellung der Zahl in der Zahlenreihe. 

11. Die drei verschiedenen Methoden: Abzählung des Zahlen- 
intervalls, Rückwärtszählung, Probieren sind nicht zufällig gerade 
drei, sondern die erste schmiegt sich naturgemäß an die Vergleichung, 
die zweite an die Verminderung, die dritte an die Trennung. 

12. Es ist nicht vorteilhaft sofort zur Einführung der negativen 
Zahlen zu schreiten, wenigstens nicht auf der ersten Stufe; trennen 
doch auch zeitlich etwa 600 Jahre die O0 und die negativen Zahlen, 
sondern man wird sehr gut tun, hier die Rechnung mit Aggegraten 
einzuschalten, d. h, Summen und Differenzen, in denen die einzelnen 
Glieder selbst wieder Summen und Differenzen sind, und damit zu- 
gleich die Klammerauflösungsregeln zu üben. 

Unmittelbar aus der Auffassung der Subtraktion als Vergleichung 
hat man: 

(2) ber) -e tn) (be), 
wobeı wir links die beiden Minuszeichen unterm + als Zeichen der 
Verminderung auffassen. 


(3) b+2)-a=b—-a)+%. 

In Worten: Die Reihenfolge der Operationen + und — ist ohne 
Einfluß auf das Resultat oder: Eine Zahl wird von einer Summe 
subtrahiert usw., und rückwärts gelesen: Eine Differenz wird addiert usw. 
(4) b-at+)=-(b—-a)Fz=b—-aFre. 

Eine Summe wird subtrahiert usw. 

Die Formeln lassen sich auch räumlich auf der Zahlenstrecke 
veranschaulichen. 

Wir fassen die Formeln 2 
Klammerregeln: 

In einem Aggregat kann eine Plusklammer ohne weiteres weg- 
gelassen werden, eine Minusklammer nach Umkehrung der Operations- 
zeichen in der Klammer. 

Es ist nötig, ehe man die Regel gibt, „die Minuszeichen, welche 
aui ein Glied Einfluß haben, zu zählen und bei gerader Zahl das 
Plus-, bei ungerader das Minuszeichen zu setzen“, die Schüler durch 
Konstruktion zu üben; z.B. (a —b) +2ce — (ce — (b— a)) ist ein drei- 
gliedriges Aggregat: 

a) Glied (a — b) Differenz, 

b) Glied 2c zusammengezogen aus c+c, 

c) Glied c— (b— a) Differenz, deren Subtrahend eine Diffe- 
renz ist. 


Simon, Methodik der elementaren Arithmetik. 2 


‚3,4 und Il 1,2 zusammen in die 


18 IV. Abschnitt. Die Einführung d. negativen (besser: entgegengesetzten) Zahlen, 


(1) (a —b)+2c—c+(b—-a) 
(2) a—b+re+tb-a 
(3) c+a—b+b—a=c 


Es sind für die Einübung des Rechnens mit Aggregaten immerhin 
8 Stunden nötig, die für den Lehrer ermüdend sind, bei einer Klasse 
über 25 Schüler sogar 10 Stunden, und man muß öfter repetieren. 


IV. Abschnitt. 


Die Einführung der negativen (besser: entgegengesetzten) 
Zahlen. 


Man wird gut tun im der Untertertia sofort zur Multiplikation 
überzugehen und die Einführung der entgegengesetzten Zahlen auf 
Obertertia zu verschieben. 

Vergleicht man die Subtraktion mit der Addition, so sieht man, 
daß die Addition stets ausführbar ist, weil die Zahlenreihe kein Ende 
hat. Die Subtraktion verlangt, daß der Subtrahend nicht größer sei 
als der Minuend und das auch erst nach Einführung der 0, der 
Grund liegt darin, daß die Zahlenreihe einen bestimmten Anfang 1 
bzw. O0 hat. Man sieht sofort, daß diese Beschränkung für die Sub- 
traktion als Vergleichung wegfällt, nur muß man bei 8—9 bemerken, 
daß der Minuend verglichen mit dem Subtrahend ein Glied weniger 
hat, und dies im Resultat kenntlich machen etwa durch 1’. Ich 
bemerke, daß, als ich den Strich einführte, ich nicht wußte, daß die 
Inder bei der Schaffung der negativen Zahlen sich fast genau der- 
selben Bezeichnung bedient. haben. 

Indem wir den Subtrahendenkomplex festhalten und jeden andern 
mit diesem vergleichen, wird der feste Komplex zum Normalkomplex. 
Solche Normalkomplexe sind z. B. die Normalhöhe des Rheines am 
Pegel, die Höhe des Meeresspiegels, die Höhe des Pferdes bis zum 
Wiederrist, das Militärmaß, der Normalgehalt, die normale Tem- 
peratur usw. 

Man erhält beim Vergleichen zwei Zahlenreihen, die gestrichene 
als Ausdruck, bzw. Abstufungen der Beziehung „weniger“ (daher 
auch das Minuszeichen), und die alten Anzahlen, denen man als 
Abstufungen der Beziehung „mehr“ das Pluszeichen vorsetzte. Insofern. 
man in einer Zahl a’ oder auch in + a die reine Anzahl hervorheben 
will, schließt man sie nach Weierstraß in zwei kurze, senkrechte 
Striche ein; gelesen absoluter Betrag, z. B. ist |’|= 7 und |+7|=1. 

Die OÖ nimmt eine besondere Stellung ein als Ausdruck der Be- 
ziehung gleich zum Normalkomplex; aber dieser Komplex wird wie 
alles Wiederkehrende im Bewußtsein zu nichts, zur wirklichen O0 


IV. Abschnitt. Die Einführung d. negativen (besser: entgegengesetzten) Zahlen. 19 


herabgedrückt; denken Sie nur an die Signaltaub- und -blindheit, 
an die völlige Gleichgültigkeit, mit der jeder sein Gehalt empfängt 
und die Freude über Zulage bzw. unerwarteten Gewinn, und hier 
haben Sie die vierte Bedeutung des so komplizierten Begriffs 0; O0 als 
das Normale. 

Man kann nun beide Zahlenreihen zusammenfassen zu einer, die 
jetzt weder Anfang noch Ende hat, und indem man den Normal- 
komplex durch den Nullpunkt versinnlicht, bildet sich diese Doppel- 
reihe auf einer Zahlenlinie ab, die man meist gerade wählt, wobei 
der Gegensatz in der Beziehung zum Normalen durch den Gegensatz 
in der Riehtung seinen Ausdruck findet. Sie sehen in dieser Her- 
leitung auch die innere Berechtigung 1’ als um 1 weniger denn O0 
anzusehen und um 1’ mehr als 2”. 

Es wird jetzt möglich auch Verminderung und Trennung zur 
Hälfte durchzuführen, wenn « >b ist. Wollen wir 5— 3 bilden, so 
fassen wir das so auf, daß wir von O+5 (0 als Normales gedacht) 
8 wegnehmen, wobei O— 3, .d. h. 3’ übrig bleibt, und wir können 
die Rechnung wie früher ausführen, indem wir von 5 aus um 8 
rückwärts zählen. Ebenso sind wir imstande 5 so zu trennen, daß 
der zweite Bestandteil S ist, indem wir 5 ansehen als 0-5 und zer- 
legen n 0 — 3, d. h. 5’ und von 3’ aus um 8 vorwärts zählen. 

Wollen wir aber Verminderung und Trennung uneingeschränkt 
ausführen, so können wir das nur, wenn wir zu der Einheit e=1 
eine ihr entgegengesetzte e = 1’ denken können, so daß sich beide 
bei der Vereinigung gegenseitig aufheben. Solche entgegengesetzte 
Größen sind z. B. Schulden und Vermögen, Bewegung nach rechts 
und links, dito Drehung, Zug und Druck, Nord- und Südmagnetismus, 
Harz- und Glaselektrizität, aber auch die Subtraktion selbst läßt sich 
als entgegengesetzte Addition, die Division als entgegengesetzte Multi- 
plikation auffassen, und aus dieser Anschauung heraus erklärte Öhuquet, 
le pere d’Algebre, in seiner triparty von 1482 1/a” = a". Jetzt wird 
der Normalkomplex zur wirklichen Null und 0-3 =3+3’—3=3, 
d.h, wir führen Verminderung und Trennung vollständig durch, 
wenn wir die Addition von «’ durch die Subtraktion von a und die 
Subtraktion von a’ durch die Addition von a ersetzen und um- 
gekehrt. 

Der rein formale Standpunkt umgeht scheinbar alle diese Schwierig- 
keiten, wir schieben Zählmarken, wie die Null auch u. a. eine war, 
der Reihe nach vor die O, also: 1’, 2’, 3° und rechnen mit diesen 
Zahlenmarken nach dem wiederholt ausgesprochenen Prinzip, wonach 
z.B. S+3’=3’+8=5 ist und 3— 8’, da es, wenn 8’ als Augendus 
angesehen wird, 11 ist, auch 11 ist, wenn 8’ als Addendus angesehen 
werden soll. Es kommt das, wie Sie sehen, ganz auf das eben Aus- 
geführte heraus: Die Subtraktion von a’ durch Addition von « und 


DH 


nd 


20 V. Abschnitt. Die Multiplikation. 


die Addition von a’ durch Subtraktion von a zu ersetzen und um- 
gekehrt. 

Wir erzwingen so die formale Aufhebung aller Beschränkungen, 
sind dafür gezwungen, die Definitionen von Addition und Subtraktion 
zu ändern, so zwar daß beide Operationen in eine einzige, die alge- 
braische Addition, verschmelzen. Die Definitionen lauten a und b, 
addieren heißt in der Zahlenreihe von « aus in der Zahlenreihe die 
|b| folgenden Glieder der Reihe nach vorwärts oder rückwärts ab- 
zählen, je nachdem b mit |b| übereinstimmt oder nicht, |0| = © 
gesetzt, und analog, mit Vertauschung von vorwärts und rückwärts, 
ist die Definition der Subtraktion. | 

Dabei ist sonderbar, daß die Subtraktion die negativen Zahlen 
schafft, und diese die Subtraktion als selbständige Rechnungsart 
aufheben. 

Meine Herren, so leicht scheinbar dieser rein formale Standpunkt 
ist, so außerordentlich gerechtfertigt er vom rein arithmetischen 
wissenschaftlichen Standpunkt ist, der Schüler hat immer das Gefühl 
dabei, daß etwas faul im Staate Dänemark. Und das Gefühl täuscht 
ihn auch nicht, denn sind die negativen Zahlen wirklich Zahlen, so 
muß unter sie etwas Abzählbares fallen, wie eben Mangel gegen 
Überschuß, Schulden gegen Vermögen; Übergang nach links im 
Gegensatz zu rechts usw., sonst sind sie nichts als inaktive Mitglieder 
der Zahlenkorporation. 


Die Operationen 2. Stufe. 


V. Abschnitt. 
Die Multiplikation. 


1. Wenn es sich um die Abzählung großer Mengen handelt, wie 
Früchte, große Entfernungen und Flächen, Fabrikate aller Arten, 
Menschenmassen usw., reicht die Abkürzung, welche uns die Addition 
gewährt, nicht aus. Man bedenke, daß eine einzige einigermaßen 
große Fabrik in Birmingham täglich eine Million Stahlfedern pro- 
duziert und daß jede einzelne gezählt werden muß. Wir schaffen 
Einrichtungen, um den Zählprozeß immer nach der gleichen Menge 
zu unterbrechen, zu Deutsch: wir machen Gebrauch von der Grund- 
erkenntnis: Einheit und Vielheit sind subjektiv und fassen eine be- 
liebige Anzahl Einheiten zusammen zu einer neuen Einheit, einer 
Ubereinheit. Wir treffen Einrichtungen, z. B. Fässer, Kisten, 
Bänke usw., die uns diese Zusammenfassungen erleichtern, soweit sie 
uns nicht durch die Natur, z. B. unsere Hände, gegeben sind. Eine 
solche natürliche Übereinheit ist die 10, die daher bei den meisten 


VI. Abschnitt. Die Multiplikation. 1 


Völkern eine Übereinheit gebildet hat, ebenso die 6, da, wenn die 
fünf Finger fertig sind, Kuh die Bodchlonsene Hand Beh werden 
kann, und das Dutzend: das Groß, eigentlich Großdutzend, ursprünglich 
120, nicht 140.1) 

2. Diese Summen von gleichen Summanden sind tatsächlich 
neue Zahlenreihen, denen eine Übereinheit zugrunde liegt; der 
Großverkehr oder such nur der größere Verkehr ir ohne diese Nous 
bildungen unmöglich, Kastanien und Nüsse werden zu 5, d. h., nach 
Handvoll, Zigarren nach Mille, Nähnadeln in Briefen zu 100, Näh- 
faden nach Sternen, Bindfaden nach Knäueln usw. abgezählt. Als 
infolge von Livingstones und Stanley’s Reisen in Zansibar sich 
größerer Verkehr einstellte, erfanden die Suaheli sofort die Multipli- 
kation, in der sie eine Reihe Kaurimuscheln zu einem Stück Baum- 
wollzeug und dieses wieder zu einer Rolle Messingdraht zusammen- 
faßten. Die Operationen zweiter Stufe sind die eigentlichen 
Kulturträger. 

3. Konnte man sich in Sexta begnügen, die Multiplikation zu 
definieren als wiederholte Setzung desselben Summanden, so muß sie 
jetzt, wo sie als selbständige Operation auftritt, schärfer erfaßt werden. 
Wir können jede Zahl a der Zahlenreihe als Übereinheit auffassen 
und mit ihr als Grundzahl die Zahlenreihe wiederholen, sehen aber 
zunächst von 0 und gestrichenen Zahlen ab. Man sieht sofort, daß 
die Era der natürlichen Zahlenreihe und der a-Reihe: 
a-1;a-2;a:3:-:-- usw. dieselbe ist. 

Wi ana das Produkt «x, gelesen: « x-mal als Zahl Nr. x 
der Überreihe Nr. a, oder kürzer: als die Zahl x erzählt aus der 
Übereinheit «. Die Operation, welche wir Multiplikation nennen, 
besteht darin, diese in der Überreihe a erzählte Zahl x in die Haupt- 
einheit er rerken! sie ist nötig, denn wenn der Großverkehr nach 
Übereinheiten zählt, zählt der Kleinverkehr nach Haupteinheiten; der 
Käufer muß wissen, daß 20 Handvoll 100 sind, der Konsument raucht 
die Zigarren N usw. Wir nennen diese Einrahene Das Produkt 
ne oder msn, und bezeichnen die gefundene Zahl als 
den Wert des Produkts und meistens einfach als Produkt schlechtweg. 

Die Übereinheit a heißt meistens Multiplikand, der Zähler « 
Multiplikator, beide gemeinsam Faktoren. 

4. Aus der Definition folgt sofort, daß n angesehen werden kann 
als 1-» und »-1 und im besondern, daß 1><1=1 ist. Der 
Faktor 1 kann also bei der Multiplikation gerade so gut weggelassen 


1) Kewitsch, Zeitschrift für Assyriologie; ich bin nicht der Ansicht, daß 
das Babylonische bzw. Sumerische Sexagesimalsystem diesen Ursprung hat, 
sondern daß es eine künstliche, von einer der großen Priesterhochschulen aus- 
gehende Schöpfung ist. 


22 VI. Abschnitt. Die Multiplikation. 


und hinzugefügt werden wie die 0 bei der Addition, und daher rührt 
die unausrottbare Gewohnheit der Schüler O0 und 1 zu verwechseln. 
Hunderte von Malen sagen Schüler: a:a=0 und O-a=a! 

5. Das Zeichen der Multiplikation bei Zahlen ist das x, von 
Öugthred, bzw. Rudolph v. Jauer eingeführt, oder der von 
Leibniz herrührende Punkt. Bei Buchstaben lassen wir das Zeichen 
ganz weg, schreiben und lesen ab, und hierin kommt deutlich die 
beständig steigende Bedeutung der Multiplikation zum Ausdruck, an- 
fänglich ist die Addition die Hauptoperation und wird als selbstver- 
ständlich angenommen, wenn kein Zeichen vorliegt, z. B. noch bei 
Diophant. 

6. Da an die Anzahl » ist, so folgt direkt daß an +1l)=an-+a, 
wodurch wir sukzessive die Überreihe a sehr schnell auswerten können, 
ebenso unmittelbar haben wir 


(1) an+p)=anHt ap. 
7. Legt man in einer Kiste, deren Inhalt die Übereinheit a dar- 
stellt, etwa ein, zwei oder mehr Fächer ein, bzw. stützt man sich 


auf den Satz von der Vertauschung der Reihenfolge der Summanden, 
so erhalten wir das distributive Gesetz der Multiplikation. 
(2) (e+ß+y+: )n=uan+ßntyn-+:--. 

Beide Formeln zusammen 

On Va Le 
+ Bp + Ba+ Br ++ 

In Worten: Eine Summe wird mit einer Summe multipliziert, 
indem man jeden Summanden der einen Summe der Reihe nach mit 
jedem der andern multipliziert und die Teilprodukte addiert. Aus 
der Definition des Produkts folgt unmittelbar, daß wenn 2 > y auch 
ax >ay und aus Formel (2) auch za > ya. 

8. Diese Sätze zeigen uns, daß die Produkte der Einer mit den 
Einern fortwährend gebraucht werden und wir lernen sie als kleines 
1><1 auswendig, bzw. verzeichnen sie tabellarisch, und diese Tafel 
in ihrer bekannten, übrigens fehlerhaften Einrichtung (es fehlen die 
Vorschriften und die Überschriften) ist allmählig immer weiter fort- 
gesetzt worden. 

Die Franzosen nennen das 1><1: table de Pythagore infolge einer 
Verwechselung mit dem Rechentisch der Römer, dem Abacus. 

Bei Nikomachus von Gerasa ist es bis 20.20; Petrus de 
Dacia, der Rektor der Sorbonne, um 1326, hat es bis 50 - 50, heute 
haben wir es in Form von Rechenmaschinen bis Million mal Million, 
aber Hilprecht hat bei den Ausgrabungen in Nippur schon aus 
Sargonischer Zeit, also aus dem 4. Jahrtausend v. Chr. 1><1-Tafeln 
der Babylonier bis 1350 gefunden. 


V. Abschnitt. Die Multiplikation. 93 


9. Das 1><1 zeigt uns, daß die Zahlen z. B der 5. Überreihe, 
der 5. Horizontalreihe, mit den Zahlen der 5. Vertikalreihe, deren 
gemeinsamer Zähler 5 ist, der Reihe nach übereinstimmen; wir er- 
halten experimentell den Satz: 

(4) AN—NA, 
das kommutative Gesetz der Multiplikation. 

Gewöhnlich wird dieser Satz durch Raumanschauung bewiesen, 
wobei die Analogie des Produkts mit der Flächeninhaltsmaßzahl des 
Rechtecks hervortritt. Ich habe aber dem Satz Platos bzw. Aristo- 
teles’ folgend, daß man nichts Heterogenes zur Begründung heran- 
ziehen soll, fast solange ich Lehrer bin, jedenfalls seit 1873, den 
rein arithmetischen Beweis gegeben, den Sie in meinen Elementen 
der Arithmetik von 1884 gedruckt finden. Da a-1=1-a ıst, so ist: 


a2=a-L+rol=1-a+1ra=a2, 
oder allgemein, wenn an = na, so ist: 
an+1l)=an+ta-l=na+la=(n + 1)a. 
Der Satz ist also durch vollständige Induktion bewiesen. 


10. Ich gebe noch einen zweiten Beweis, der für den Schüler 
anschaulicher ist; am besten macht man ihn an Beispielen klar: 


12 SO LONENEL 2013 
8:3 =85+35+:::+8|8 88,8 8. 


Teilt man die fünf letzten 8 der Reihe nach unter die ersten 8 auf, 
so schwellen sie, sich immer um eins vermehrend, um 5 an und 
geben zuletzt 13.8. Aus dem kommutativen Gesetz rechtfertigt sich 
die gemeinsame Benennung Faktoren für beide Zahlen des Produkts. 

11. (ab) kann mit c multipliziert werden und ist dann zu deuten 
als ab+-ab-+:---+ab. Durch Hineingehen in den Raum — das 
Rechteck wird durch einen Balken ersetzt — sieht man, daß auch 
hier die Reihenfolge und die Zusammenfassung der drei Zahlen be- 


liebig; wir erhalten das assoziative Gesetz: 


(5) (ab)e= albe). 

Der Beweis kann rein arithmetisch wieder durch den Schluß » 
auf n + 1 gegeben werden, da (al)e=a-(c-1) ist. 

Man kann auch den 2. Beweis benutzen, um z.B. zu zeigen, daß 
5:D):-9=(5:-9)7T ist. Aus beiden Gesetzen folgt wie in der Addi- 
tion die Gültigkeit des Vertauschungsgesetzes für beliebig viele Fak- 
toren. 

12. Für die Cantorschen Ordnungstypen ist das kommutative 
Gesetz ungültig, während das assoziative bestehen bleibt. ©&3 ist vom 
Typus © +0®-+ o, aber 3® ist nichts anderes als &, dagegen ist: 


(-5)3=o-15= (vo :-3)5. 


24 V. Abschnitt. Die Multiplikation 


13. Gehen wir in der Überreihe a vom »-Glied aus um v Glieder 
rückwärts, d. h. bilden wir an — av, so zählen wir uns bis zun— v 


Gliedern der Reihe, also: 


(6) an — v)= an — uv 


> 


und: 
(a —b)ga=qgala -b)=ga—gb=ag—bg. 
Nehmen wir (a— b)(c — d), so erhalten wir 
ac—be — da—b)=ac—be — da+db. 


Wir können die sämtlichen Regeln zusammenfassen in die Regel: 
Ein Aggregat wird mit einem Aggregat multipliziert, indem man 
jedes Glied des einen mit jedem Glied des andern multipliziert und 
dem Produkt gleichartiger Glieder das Pluszeichen und dem ungleich- 
artiger das Minuszeichen gibt. 

14. Da wir unsere Zahlenreihe nach Abschnitten von je 10, 
10.10, 10.10.10 usw., den Dezimalstufen, ordnen, haben die Pro- 
dukte gleicher Faktoren ein erhöhtes Interesse, wir schreiben für 
Ay" Ay" A, kurz a", lesen a zur n‘® oder « hoch » und nennen 
ein solches Produkt eine Potenz, die Ordnungszahl n den Exponent, 
a die Grundzahl, Basis, Dignand, En begründen, daß a’a’ = a”+* ist. 
Das Wort Basen Aa) aus der Algebra des Bose; 1572 und 
ist eine wörtliche Übersetzung von dymams, das Diophant für die 
2. Potenz brauchte, Dignand aus dem general Trattato des durch 
seinen Streit mit re bekannten Tartaglıa und daher nannte 
man die Potenzen früher oft Dignitäten; Exponent aus der Arithme- 
tica integra Michael Stifel’s 1544, die jetzige Schreibweise aus 1634, 
doch schrieb schon Chuquet 3° für 32°, bei dem sich auch zuerst 
negative Potenzen finden. 

15. Über die Multiplikationen mit 10, 100 usw. ist noch zu be- 
merken, daß z. B. 


70-5=10-7.5 = 10(355) = 350 ö 
und z. B. 
800 - 35 = 100 - 8: 35 = 100 : 280 = 28000, usw. 


Man tut gut, von vorn herein den Begriff der Ordnungszahl ein- 
zuführen, welche mit dem Exponent von 10, mit dem die Ziffer mul- 
tipliziert ist, übereinstimmt, und den Einern die Ordnungszahl O0 und 
den Zehnern 1 zuzuordnen. 

16. Unsern Algorithmus der Multiplikation hat Adam Riese, 
der wackere Salzschreiber von Annaberg, der einzige Mathematiker, 
welcher jemals populär geworden ist, in bekannter Weise gestaltet. 
Bei Buchstabenausdrücken haben wir die Gewohnheit nach fallenden 
Potenzen zu ordnen und von links nach rechts zu rechnen; es ist 


V. Abschnitt. Die Multiplikation. | 95 


aber auf die Willkür des Algorithmus aufmerksam zu machen. Algo- 
rythmus ist ursprünglich eine Entstellung des Namens Alchwarizmi, 
des Beinamens von Muhamed ben Musa Alchwarizmi, d. h. des Chwa- 
vitzers, und stammt aus der lateinischen Übersetzung seiner Algebra 
durch Atelhart von Bath 1120, welche mit den Worten beginnt: 
Ita loqwitur Algorithmus. 

17. Wegen ihrer fortgesetzten Anwendung verlangen die Formeln: 


(a +5); (a—b); (a+b): (a —)) 
eine ganz besondere Rücksicht. Man kann für jede einzelne eine 
Stunde verbrauchen, muß sie in häuslichen Arbeiten üben und lehrt 
die Formeln auch praktisch zum Kopfrechnen verwenden, z. B. 


57.03-2:310028 9,=.809, 


dann für die Bildung der. Quadrate der zweistelligen Zahlen. Man 
übe auch umgekehrt die Zerlegung in Faktoren, z. B. 
81a! — 16b!; a — b’, usw. 

15. Die Multiplikation mit OÖ und den gestrichenen Zahlen ist 
dadurch begründet, daß man mit diesen Zahlen, da sie nun einmal 
in der Zahlenreihe stehen, auch zu rechnen versuchen muß. Zunächst 
folgt ohne Mühe, daß O-n=0 ist und an = (an) ist. Definieren 
wir ab als die Zahl, die in der a-Reihe die Stelle einnimmt, welche 
b in der Hauptreihe hat, so folgt zunächst, daß a0 tal=a sein 
muß, demnach ist «:-0=(, wie es ÜO-a auch ist und a3’ die dritte 
Zahl links von aV, also die Zahl, die mit «-3 addiert die OÖ der 
a-Reihe gibt, also «3 ist, d. h. also, der Strich läßt sich vom Mul- 
tiplikand auf den Multiplikator übertragen. Ganz analog muß a3’ 
die Zahl sein, welche mit «3 zusammen «:-0=0 ist, d.h. a’: 3° ist 
«9 und hier ist das „minus >< minus ist plus“ erklärt. 

19. Es ist hier auch die Stelle aufmerksam zu machen, daß (a) = «a 
gesetzt werden muß, insofern wir der Zahl p diejenige entgegensetzen, 
welche, zu p addiert, O0 gibt, und dann ist der Nachweis, daß «b’= ab 
ist, schon in dem Satz ab’= «ab geliefert. 

20. Man könnte diesen Satz auch psychologisch zu begründen 
versuchen, insofern man die durch b’ gesetzte Tätigkeit als die ent- 
gegengesetzte der durch b gesetzten ansehen könnte. So konnten wir 
a+b=a-b ansehen. Man könnte z. B. sagen, für eine Kasse be- 
deute «:3 die dreimalige Einnahme von a und a3 die dreimalige 
Ausgabe, aber die Schüler kennen bereits die Division und würden 
dann mit mindestens demselben Recht «- 3’ als a:5 auffassen wollen. 


26 VI. Abschnitt. Division. 


VI. Abschnitt. 
Division. 

Wie die Multiplikation aus der fortgesetzten Addition gleicher 
Summanden entspringt, so ist die Division aus der Subtraktion. 

1. Die Subtraktion wurzelt in unserm Vermögen, die Einheit, 
welche wir in die Vielheit gelegt haben, wieder aufzuheben. Wird 
verlangt, daß die Teile gleich sind, so haben wir die Division. Die 
Division ist daher ganz ebenso berechtigt wie die Multiplikation, ja, 
sie wird durch die Natur gesetzt, da das Erbe, der Raub, das Brot 
geteilt werden müssen. Es kann ein Araberscheik, der nie etwas 
von Arithmetik gehört, seine Herde gleichmäßig unter seine Söhne 
teilen, indem er jedem jedesmal ein Tier gibt. Der Dreiteilung der 
Subtraktion als Vergleichung, Verminderung, Ergänzung entspricht 
auch eine dreifache Auffassung der Division als fortgesetzte Ver- 
gleichung dadurch, daß man den Komplex BD in Komplexe «a zerlest, 
um a vermindert und als Summe vom gleichen Summanden «a auffaßt. 
Es war von diesem Standpunkte aus gar nicht so unlogisch, die 
Zweiteilung wie die Verdoppelung als selbständige Rechnungsart: 
mediatio, duplicatio aufzufassen, z. B. noch bei Cutbert Tonstall. 

2. Rein mathematisch heißt ihr Problem: einer gegebenen Zahl, 
2 genannt, die Form einer Summe von gleichen Summanden geben, 
dabei kann entweder die Anzahl der Summanden, also der Multipli- 
kator, oder der wiederkehrende Wert, die Übereinheit, gegeben sein. 

Ist der Käufer gezwungen zu multiplizieren, so ist der Verkäufer 
gezwungen zu dividieren. 

Anders ausgedrückt: es handelt sich darum, einer in der Haupt- 
reihe gegebenen Zahl einen bestimmten Platz anzuweisen und die 
dazu gehörige Übereinheit zu bestimmen oder ihr die Überreihe vor- 
zuschreiben und den Platz zu suchen. . Fordert z. B. jemand ein 
Schock Nüsse, so muß der Verkäufer wissen, daß die 60 der Haupt- 
reihe die 12 ın der 5. Reihe ist. Müssen fünf Leute z. B. für die 
Beförderung auf den Aschenkegel des Vesuv den Tribut von 10 Lire 
entrichten, so müssen sie wissen, daß 10 die 5. Zahl der Überreihe 
2 ist. Ist der Multiplikator gegeben, so heißt die Division Teilung, 
ihr Resultat Teil; ist der Multiplikand gegeben, so heißt die Division 
Messung oder Aufsuchung des Verhältnisses, ihr Resultat Maßzahl 
oder Verhältnis. 

3. Wenn za=ay ist, so ist Formel V,4 ya=xa und nach 
V‚3y=x&. Es kann daher jede der beiden Operationen die andere 
ersetzen und beide fließen in eine, Division genannt, zusammen. 
Man braucht die Multiplikation nicht um diese Zusammengehörigkeit 
der beiden begrifflich so scharf geschiedenen Operationen, Teilung 


VI. Abschnitt. Division. 37 


und Messung, einzusehen. Auch der Araber, der 65 Pferde unter 
seine 5 Söhne teilen wollte, würde bemerken, daß jeder so oft 1 Pferd 
erhält, als sich 5 Pferde von 65 wegnehmen lassen. 

Wir definieren: Eine Zahl a, Dividendus genannt, durch eine 
Zahl b, Divisor genannt, dividieren heißt eine Zahl ce, Quotient ge- 
nannt, bestimmen, welche, mit b multipliziert, « gibt. Es muß aber 
bei der scharfen begrifflichen Verschiedenheit dem Schüler eingeübt 
werden, daß, wenn b Übereinheit ist, die Operation Messung ist und 
im anderen Falle Teilung. 

4. Die Division als Messung gibt Gelegenheit, auf die Maße ein- 
zugehen. Die Maße und das Messen bilden einen Gegenstand, der 
von Sexta bis Prima immer wieder und immer vollständiger zu üben 
ist. In die Fülle von Eindrücken, welche die Seele überfluten, bringt 
der Trieb zum Vergleichen Ordnung und Übersicht dadurch, daß wir 
diese Fülle in Maß und Zahl fassen, wobei wir alles Quantitative in 
die Vorstellung des Maßes legen. Die Schaffung des Maßes für 
irgend ein Vorstellungsgebiet ist entscheidend für die Anwendbarkeit 
der Mathematik auf dieses Gebiet, und somit liegt in der Schöpfung 
der Maße eins Hauptaufgabe und ein Haupterfolg der Mathematik, 
wodurch sie sich ein Gebiet nach dem andern erobert. Man denke 
an das Krümmungsmaß für Kurven und Flächen, an das Maß der 
Arbeit und Energie, an das Maß für den Zufall selbst. 

5. Die Erkenntnis der Maße bildet darum mit Recht einen inte- 
grierenden Teil des mathematischen Unterrichts, schon in Sexta sollen 
die einfachsten Maße dem Kinde anschaulich vorgeführt werden: das 
Meter, die Mark, der Liter, das Kilo. Aber gerade dieses Gebiet 
liest sehr im Argen, weil in der Sexta das Reduzieren und Resol- 
vieren mit zu viel Maßeinheiten betrieben wird und in der folgenden 
Klasse selten oder gar nicht mehr die Rede davon zu sein pflegt. 
Man nehme nur das Zeitmaß -oder das Kilo. Ich möchte wohl wissen, 
in wie viel Sexten Deutschlands dem Schüler wirklich etwas vor- 
gewogen wird. Es muß zunächst dem Schüler klar gemacht werden, 
was ein Gewicht ist, dadurch daß man ihm schwere Gegenstände mit 
der Hand am Fallen hindern läßt, dann auf demselben Wege, was 
gleiche Gewichte sind, dann genügt es zunächst, wenn man ihm sagt, 
daß das Kilo der Druck ist, den ein Liter Wasser auf die Unter- 
stützungsfläche ausübt. Dies ist in Quinta und Quarta zu wieder- 
holen; in Tertia, auch wohl schon in Quarta, kann man hinzufügen, 
daß das Wasser chemisch rein sein und die Temperatur von 4 Grad 
haben muß; in Sekunda kann man den Einfluß des Luftdrucks hinzu-. 
nehmen, aber erst in Prima wird mit dem Einfluß der geographischen 
Breite der Begriff in seiner vollen Schärfe und seiner ganzen Ver- 
änderlichkeit klar werden. Die Primaner amüsieren sich sehr bei der 
Vorstellung, daß sie schwerer ins Gewicht fallen als ihre Herren 


28 VI. Abschnitt. Division. 


Väter, weil die Erde inzwischen durch die Meteore an Masse ge- 
wonnen hat. Nunmehr definiert man das Kilogramm als konventio- 
nelle Masse. Und ganz ebenso oder noch verwickelter ist das Zeit- 
maß, es ist kein großer Bruchteil Mitteleuropäer, der mit seiner Zeit 
Bescheid weiß. Über das Längenmaß, den Platin-Iridiumstab im 
veichseichamt zu Berlin, kann ich auf einen Aufsatz des Herrn 
Böttcher im 10. Heft der Frickeschen Lehrgänge und Lehrproben 
verweisen. 

6. Die Division ist gleichbedeutend mit der Auflösung der Glei- 
chung: 

Asch DZWI A 


Die Auflösung geschieht analog wie die von 
% +4.= € 


durch Experimentieren, unter Benutzung des Umstandes, daß der von 
dem jedesmal gewählten Werte des x abhängige Ausdruck ax mit 
wachsendem x beständig wächst, respektive abnimmt, je nachdem 
a>0O oder a<O ist. Der Fall «= 0 bedarf einer besonderen Be- 
handlung. Sie sehen, wie hier der Begriff der Funktion schon 
merklich deutlicher hervortritt. 

7. Soll z B. x7=91 sein, so zeigt ein Versuch, daß 10 <z 
und ein zweiter, daß 20 > x, und wir wissen zugleich, daß alle Zahlen 
< 10 zu klein sind, dem untern Bereich angehören und daß alle 
Zahlen >20 dem obern Bereich angehören. Denn die Operation 
setzt zugleich eine Teilung der Zahlen, einen Schnitt, um mit 
Dedekind zu reden. Ein weiterer Fortschritt liegt darin, daß wır 
x = 10 + x setzen, wobei wir wissen, daß ÖO<.a’<10 ist, dann ist 
Il 08-8 

Das Verfahren besteht also allgemein darin, daß x in Grenzen 
einzuschließen und die Grenzen enger und enger zu ziehen, wodurch 
zugleich die Frage, ob die Division überhaupt ausführbar ist, auch 
entschieden ist. 

8. Unser heutiges Verfahren beruht vor allem auf der Einmal- 
einstabelle.e. Wenn wir ce dureh a dividieren sollen, so durchmustern 
wir die a‘ Horizontal- bzw. Vertikalreihe, bis wir darin c finden. 
Der Index der betreffenden Vertikal- bzw. Horizontalreihe ist dann 
der Quotient; dieses Durchmustern wäre unter Umständen, z. B. wenn 
wir 864192 durch 7 teilen sollten, kein Vergnügen; aber wir über- 
sehen in jeder Reihe des Einmaleins die Dezimalenstufenzahlen sofort, 
da wir sie durch Anhängen der entsprechenden Nullen an die Grund- 
zahl der Reihe bilden. — Der Algorithmus unserer Division ist ein 
Grenzverfahren, gestützt einerseits auf die Erkenntnis, daß die Funk- 
tion ax mit wachsendem x monoton wächst und andererseits auf 
unserer genauen Kenntnis der Zahlenreihe. Es wird hier schon klar, 


VI. Abschnitt. Division. 29 


daß die Einmaleinstabelle nichts anderes ist als eine Übersicht über 
den Verlauf der Funktionen zweier Variablen z:y und der formale 
Charakter des Rechnens wird hier auch sehr deutlich. 

9. Gestatten Sie mir einige methodische Bemerkungen. Das Ver- 
ständnis des Algorithmus der Division ist noch für Tertianer schwie- 
rig, aber es wird bereits in Oktava und Septima geübt, und die Folge 
davon ist, daß von früh an sich beim Knaben die Vorstellung aus- 
bildet, die im weiteren Verlauf des mathematischen Unterrichts sich 
dann mehr und mehr befestigt: das Zeug verstehst du doch nicht. — 
Es wäre an der Zeit, daß die Division auf der Anfangsstufe geübt 
würde wie bei den Ägyptern und Griechen: soll 24 durch 8 geteilt 
werden, so sagt der Ägypter: 


a np rn Ken En 
also: 


EEE DE 


also ist einerseits 3 dreimal ın 24 enthalten und andererseits 8 der 
dritte Teil von 24. 

Ganz allmählich muß zu größeren Zahlen übergegangen und tun- 
lichst die Anschauung zu Hilfe genommen werden, mit Haufen von 
Bohnen, Marken usw. Man hüte sich, das Verständnis des Algorith- 
mus erzwingen zu wollen. 

Eins aber ist von früh ab zu betonen: die Probe wird immer 
ausgeführt. 

10. Da die Multiplikationstabelle unvollständig ist, so kann für 
die Division größerer Dividenden der Satz benutzt werden: 


(a + a+2,0a+.. )a= (+ +%+:::) 
und wir haben ebenso: 
(a —- Sata —:: )Ya= (a —- tz‘), 
also: ein Aggregat wird durch eine Zahl dividiert, indem man jede 
Zahl einzeln dividiert. 


11. Hat der Divisor selbst Aggregatform, so wird hervorgehoben, 
daß er als eine Zahl aufzufassen ist und das Verfahren wie bei 
Zahlen darauf beruht, den Dividenden in ein Aggregat von Vielfachen 
des Divisors zu zerlegen, wobei wie bei Zahlen nach fallenden Po- 
tenzen geordnet wird. 

Probebeispiel; 

(62°+ 190° + 472? + 512 +42):BR +52 +. 


Divisionen durch Buchstabenaggregate übe man nicht vor Ober- 
tertia im Gymnasium wie in der Realschule Es handelt sich hier 
im Grunde um die Entwicklung einer gebrochenen rationalen Funk- 
tion in eine Reihe, die nach fallenden Potenzen fortschreitet. 


30 VI. Abschnitt. Division. 


12. Da die Multiplikationstabelle zugleich als Divisionstabelle 
dient, so wird sie genauer untersucht. Zunächst ist die Mächtigkeit 
aller Reihen dieselbe; jede ist auf jeder andern abzählbar, und es 
gibt gerade so viel Zahlen, die Vielfache von 1000 sind, als Zahlen 
überhaupt, obwohl jene nur den tausendsten Teil dieser ausmachen. 
Aber zwischen den einzelnen Zahlen der Tabelle tritt ein tief- 
greifender Unterschied auf. Die Zahl 1 erscheint nur einmal, 2, 3, 
5, 7 usw. nur zweimal und nur am Rand, während z. B. 4 dreimal, 
die Zahl 6 viermal, 16 fünfmal, 12 sechsmal vorkommen usw. Die 
/Jahlen, welche nur zweimal, also nur am Rande vorkommen, heißen 
Primzahlen, die welche öfter vorkommen, zusammengesetzte 
Zahlen. Die Zahl 1 bildet eine Klasse für sich. Die Primzahl p 
hat nur die Teiler 1 und p, während jede zusammengesetzte Zahl a 
außer 1 und a mindestens noch einen Teiler hat. 

13. Jede endliche zusammengesetzte Zahl ist das Produkt einer 
endlichen Anzahl von Primzahlen; denn schon, wenn diese alle gleich 
2 wären, so wäre 21% > 1000”. 

14. Ist p eine Primzahl und vergleicht man die a-Reihe mit der 
p-Reihe, so sind entweder alle Zahlen der a-Reihe in der p-Reihe 
enthalten, oder nur die Zahlen «-p, a(2p), a(3p) usw. Das erstere 
verlangt, daß a selbst in der p-BReihe steht, also durch » teilbar ist. 
Ist dies nicht der Fall, und wäre «-b die erste in der p-Reihe ent- 
haltene Zahl und b<p, so könnte man p zerlegen ing-p-+r, wo 
r<b und >0 ist, da b größer als 1 ist; also wäre ar, weil gleich 
ap — abgq, ebenfalls durch b teilbar. Das heißt also, es gibt zwischen 
a-1 und a-p keine durch p teilbare Zahl. Ebenso wird bewiesen, 
daß zwischen ap und «a(2p) keine durch p teilbare Zahl liegt. Also: 

a) ist weder « noch b durch die Primzahl p teilbar, so ist auch 
a.b nicht durch p teilbar; 

b) ist ein Produkt ab durch 5b teilbar, so muß mindestens einer 
der Faktoren durch p teilbar sein; 

c) jede Zahl läßt sich nur auf eine "Weise in Primfaktoren zer- 


legen. 
15. Die Menge der Primzahlen ist unendlich. 
Beweis: 1-2-3---p+ 1 ist entweder selbst eine Primzahl 


oder durch eine Primzahl größer als p teilbar. (Satz und Beweis bei 
Euklid IX.20.) Z. B. ist das Produkt 1-2-3-5-.7.11-13 um 1 
vermehrt gleich 30031 = 59.509. Unter 9 Millionen sind 602567 
Primzahlen nach Glaisher. Die höchste - bekannte Primzahl ist 
261 — 1. Sie ist neunzehnstellig. 

Zwei zusammengesetzte Zahlen heißen teilerfremd (relativprim), 
wenn die Primfaktoren der a von denen der b sämtlich verschieden 
sind. Sind a und 5b teilerfremd c, so ist auch «-b teilerfremd ec 
(Satz 1). Ist a teilerfremd c und hat ab mit c den Faktor d gemein, 


VI. Abschnitt. Bruchrechnung. SE 


so hat auch b mit ce den Faktor d gemein (Satz 2). Sind die Glieder 
der Reihe a,, d,, ..., a, den Gliedern der Reihe c,, 6,, ..., c, teiler- 
fremd, so ist jedes Produkt aus Gliedern der a-Reihe jedem Produkt 
aus Gliedern der c-Reihe teilerfremd. Insbesondere ist, wenn a teiler- 
fremd c, auch a” teilerfremd c”, und wenn a” teilerfremd c”, so ist a 
teilerfremd c. 

Sind a und b zwei beliebige Zahlen, so läßt sich durch Fort- 
setzung des in 14 angewandten Verfahrens ihr größter gemeinsamer 
Teiler finden, ohne daß man a und 5b in Primfaktoren zu zerlegen 
braucht. Dieser Algorithmus findet sich bei Euklid. Er ist die 
Grundlage unserer Zahlentheorie.e Wenn a und b teilerfremd sind, 
so ist der Rest r,, der dem Rest OÖ voraufgeht, gleich 1, weil dann 
1 der größte gemeinsame Teiler ist. 

16. Ist der Divisor «<0, so führen wir die Division durch die- 
Formel (a)(&) = (— (@)) - (— (x)) usw. auf den Fall, wo Divisor und 
Dividendus Anzahlen sind, zurück und setzen dies fortab voraus. Ist 
a=($ und ist der Dividendus nicht O, so findet sich in der Zahlen- 
reihe kein Quotient. Ist c auch gleich 0, so ist jede Zahl Quotient 
und die Division unbestimmt. Da nun für O0 doch eine Ausnahme 
gemacht werden muß, so entschließt man sich, die Division durch O0» 
zu verbieten. 


VII. Abschnitt. 


Bruchrechnung. 


1. Der Grund, weshalb die Division im allgemeinen nicht aus- 
führbar ist, tritt in jedem einzelnen Beispiele zutage. Die 13 in der 
Siebenerreihe ist 91, die 14 ist 98. Es fehlen also immer sechs. 
Zahlen zwischen je zweien der Siebenereihe, und man kann 6 gegen 
1 wetten, daß eine beliebig aus der Zahlenreihe herausgegriffene Zahl. 
nicht durch 7 teilbar ist. Je größer der Divisor, um so geringer . 
wird die Anzahl der ausführbaren Divisionen. An passenden Bei- 
spielen wie Brot, Torte, Ackerland, Geld usw. wird dem Schüler klar 
gemacht, daß die Teilung unter Umständen durchgeführt werden muß, 
soll Zank und Streit vermieden werden. Das gleiche gilt für die 
Messung. Man exemplifiziere auf die Feldmessung, die Wägung, auf 
die Handwerker: Schneider, Schreiner, Zimmermann usw., und es. 
zeigt sich, daß die ursprünglichen Maßeinheiten geteilt werden müssen, 
um jede Zahl als Vielheit jeder andern ansehen zu können. Der Be- 
griff der Teileinheit (Untereinheit) wird jetzt auf das sorgfältigste 
klargemacht, er beruht auf dem Obersatz unserer ganzen Rechenkunst. 


Br VI. Abschnitt. Bruchrechnung. 


(Einheit und Vielheit sind subjektive Begriffe). Man mache außer 
den früheren Beispielen, wie Äpfel, Torte, Baum usw. auch auf den 
Kreis und seine vier Quadranten, die Stadt und ihre Kantone usw. 
aufmerksam und hebe hervor, daß mit dem Moment, wo der Groß- 
verkehr die Übereinheit schafft, die bisherige Einheit zur Unter- oder 
Teileinheit geworden ist. 


2. Man definiere nun sofort den Bruch - als Zahl a, erzählt 


aus b‘" oder aus der Teil- bzw. Untereinheit Nr. b, und beweise dann 
sofort den Hauptsatz, ja den einzigen Satz der Bruchrechnung: 


a:b= r : 
der den Grund enthält, weshalb wir mit Brüchen rechnen und der es 
rechtfertigt, daß wir den Bruch anders schreiben als sprechen. Der 
Satz ist vom Standpunkt der Division und von dem des Bruches aus 
an Beispielen und allgemein, und immer wieder so anschaulich als 
möglich zu beweisen. Zuletzt zeige man mit Hilfe des Rechtecks 


von Punkten, deren jeder z. B. - versinnlicht, daß 


(1) 4.1-8=1 5 ist. 


1.5 
Dieser Hauptsatz, dessen Niederschlag die mechanische Regel 


- -b=a ist, gestattet, die Division mit b durch die Multiplikation 
mit = zu ersetzen. Der Bruch, mit dem nach dem preußischen 
Lehrplan gerechnet werden soll, „wie mit konkreten Dingen“, er- 
scheint nach der bisherigen Auffassung weder als eine benannte Zahl 
noch als eine abstrakte Zahl, sondern als ein drittes, als eine relative 
Zahl. Der Bruch } ist eine 5 und die Zählung bezieht sich auf 
eine Einheit, die zu einer früheren Haupteinheit, die dem Rechner 
bekannt ist, die Relation besitzt, dßa ihrer 8 gleich jener Einheit 
sind. Dieser Standpunkt ist der einzige, bei dem sich die Schüler, 
bis zur Sekunda hin, etwas vorstellen und von dem aus sie die 


{ \ 3 AN Mn, nn 
Bruchrechnung, und zwar ganz gut begreifen. Die 1 in _- ist für 


sie nicht die Zahl 1, sondern die Einheit. Die Qualität dieser Ein- 
heit schwindet freilich mehr und mehr aus dem Bewußtsein des 
Rechners; aber es bleibt ein Rest von Sinnlichkeit, der übrigens bei 
+. 7 nicht wesentlich von der in 5.7 verschieden ist. Auch in 
diesem Ausdruck haben wir von der 5, die wir siebenmal zählen, eine 
sinnliche Vorstellung, und wäre es auch nur die von je fünf Zahlen 
der Zahlenreihe. 

3. Die Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche macht 
keinerlei Schwierigkeit, so wenig wie die Multiplikation mit einer 
ganzen Zahl; bei der Division stoßen wir auf dieselben Schwierig- 


VII. Abschnitt. Bruchrechnung. 33 


keit, welche zur Einführung der Brüche führte ?° ist so wenig 
durch 3 teilbar, wie jede andere 5; wir müssen die Einheit 4 zur 
Vielheit 3 machen, wodurch sich 5 in 15 bezogen auf die Einheit 
Siebenteldrittel verwandelt und so fort ad infinitum. Aber anschau- 
lich an der Strecke und noch weit besser an der Kreisfläche zeigt 
man, daß der 3. Teil von einem Siebentel zugleich der 21. der Haupt- 
einheit ist. Damit ist dann auch zugleich der Satz über das Er- 
weitern der Brüche gewonnen: die Teileinheit einer Teileinheit ist 


eine einfache Teileinheit; —- dividiert durch 5 ist gleich , und also 


2. — Im wie man nun exemplifiziert an Geld, Kommißbroten usw. 
Die Division eines Bruches ist jetzt ebenfalls durchführbar. Es ist 
aber sehr wesentlich, daß der Schüler einsieht, daß er, um 7 durch 
3 zu teilen, es in 3; verwandelt und davon der 3. Teil gleich Z- ist, 
wie er von jeder 15 gleich 5 ist. 


4. Die Formel (2) setzt uns jetzt instand, beliebige Brüche zu 
vergleichen und sie zu addieren und zu subtrahieren. Dabei ergeben 
sich, geknüpft an die Formel (2), die beiden, für die Bruchreehnung 
charakteristischen Probleme: Zu einer Reihe von ganzen Zahlen das 
kleinste gemeinschaftliche Vielfache zu finden, den sogenannten Haupt- 
‚oder G@eneralnenner, und zu zwei ganzen Zahlen den größten gemein- 
schaftlichen Teiler zu finden. Beide können durch Zerlegung in Prim- 
faktoren erledigt werden. 


5. Da die Brüche auf der Zahlengeraden eine sehr anschauliche 
Versinnlichung finden, so lag es nahe, die gebrochenen Zahlen als 
Zahlen in die Zahlenreihe einzustellen, die dadurch eine außerordent- 
liche Verdichtung erfährt. Diese Erweiterung der Zahlenreihe ist so 
natürlich, daß sie zu vorhistorischer Zeit vollzogen ist. Aber die 
Mächtigkeit der Zahlenreihe ist, wie wir nach G@. Cantor zeigen 
werden, unverändert geblieben. Man bezeichnet die ganzen und die 
gebrochenen Zahlen mit dem gemeinsamen Namen rationaler Zahlen, 
und sie bilden in ihrer Gesamtheit den Zahlenkörper der rationalen 
Zahlen, und wir zeigen nun, daß dieser Körper von gleicher Mächtig- 
keit ist wie der der ganzen Zahlen. Da nur verschiedene rationale 
Zahlen in Betracht kommen, so können wir Zähler und Nenner als 
teilerfremd, den Bruch als reduziert annehmen. Die rationalen 
Zahlen ordnen wir in Gruppen, wobei eine Gruppe von allen irredu- 
zibeln Brüchen gebildet wird, bei denen die Summe aus Zähler und 
Nenner denselben Wert hat. Danach gehört zu 1 keine rationale 
Zahl, zu 2 die Zahlen 1 oder --, zu 3: $ und 7 oder 2, zu 4: ; 
und %, zu 5: 1, #, 2, —. Jede diese Gruppen enthält notwendig 
eine endliche Menge von rationalen Zahlen, und sie bilden in ihrer 
Gesamtheit eine einfach unendliche Reihe wie die Zahlenreihe, näm- 


Simon, Methodik der elementaren Arithmetik. 3 


34 VII. Abschnitt. Bruchrechnung. 


n2 


lich die wohlgeordnete Reihe 1, }, 2,4,3, 4, 3,5, 44,5, 4 2, 
2,4, 3,6 usw., mit bestimmtem Anfang, bestimmter Sukzession, 
ohne Ende, die auf der Zahlenreihe abzählbar ist, und daran wird 
auch durch die negativen Zahlen nichts geändert. 


Man kann, was ich Ihnen zur Übung empfehle, auch die Brüche 
ordnen nach dem Produkt aus Zähler und Nenner. Man kann 
die negativen Brüche einordnen, indem man z. B. neben +4 (4) 
stellt, usw. 


In der natürlichen Reihenfolge, in der die rationalen Zahlen nach 
ihrer Größe folgen, bilden selbst die positiven Brüche wohl eine ge- 
ordnete, aber keine wohlgeordnete Menge; denn auf keine rationale 
Zahl folgt eine bestimmte andere, zwischen zwei noch so nahen 
rationalen Zahlen liegen stets unzählig viele andere von ihnen ver- 
schiedene. 

6. Die Multiplikation eines Bruches mit einem Bruch knüpft 
man am besten an die hegeldetriaufgaben, zunächst als bequeme 
Abkürzung dafür, daß man mit dem Nenner dividiert und mit dem 
/ähler multipliziert. Was die Regeldetri in der Quarta betrifft, so 
muß man sich auf das äußerste beschränken und sie dem Zwecke: 
die Regeln der Bruchrechnung einzuüben, durchaus unterordnen. Vor 
allem hüte man sich in Quinta und Quarta vor den sogenannten 
bürgerlichen Rechnungsarten. Gesellschafts, Mischungs-, Rabatt-,. 
Diskonto- usw. Rechnungen, und wie sie sonst heißen mögen, sind 
viel zu schwierig für den Quartaner. Er kann dazu abgerichtet 
werden, aber das beste Material für die Gleichungen 1. Grades 
in Tertia ist vergeudet und der geistige Gewinn der Schüler ist 
gering. 

Auf der oberen Stufe kann und muß darauf hingewiesen wer- 
den, daß —--2 die Zahl ist, die in der Reihe der Einheit 2 so aus 


> und ihren Teileinheiten abgeleitet ist wie 2 aus der 1 und 


ah Teileinheiten, bzw.: die aus $ hergeleitet ist wie % aus 1, 
was dann ebenfalls auf Division mit 3 und Multiplikation mit 2 
hinauskommt. 

7. Die Division des Bruches mit dem Bruch wird am bequem- 


sten begründet durch den Satz 5 4 — ]. Zwei solche Zahlen, deren 


Produkt 1 ist, wie 3 und 4, -; und $, nennt man reziprok. Danach 
ist jetzt die Aufgabe: eine Zahl zu ermitteln, die mit . multipliziert 
7 gibt, durch n; ee gelöst. 


8. Die vier Spezies mit Brüchen sind nun definiert und in 
vollem Umfange. Die rationalen Zahlen bilden einen Zahlkörper, 
d. h. jede der vier Spezies, mit Zahlen des Körpers ausgeführt, liefert 


VIII. Abschnitt. Die Dezimalbrüche. 5%) 


wieder eine Zahl des Körpers. Aber das Reduzieren und Gleich- 
namigmachen sind sehr langwierig, und schon die Addition von 4, 
+, + liefert 1059. Deshalb hat die Not dahin geführt, nur mit 
Brüchen zu rechnen, deren Gleichnamigmachen keine Zeit kostet, 
d. h. mit Zahlen, deren Nenner die Grundzahlen des Zahlen- 


systems und deren Potenzen sind. 


VIII. Abschnitt. 


Die Dezimalbrüche. 


1. Meine Herren! Die Anfänge der Dezimalbruchrechnung reichen 
bis zu den Indern, die schon beim Radizieren Nullen anhingen, doch 
muß gesagt werden, daß die Sexagesimalbrüche der Babylonier, denen 
wir unsere Minuten und Sekunden verdanken und die Duodezimal- 
brüche der Römer prinzipiell von ihnen nicht verschieden waren. 
Feuerbach und Regiomontan gingen zur Dezimalteilung der tri- 
gonometrischen Funktionen über, und Regiomontan hebt ganz aus- 
drücklich die Erleichterung der Bruchrechnung hervor. Aber das 
Entscheidende ist das Dezimalzeichen. Vieta war es, der im Canon 
Mathematicus 1579 (Franziskus Schooten 1609) den ersten Dezimal- 
bruch schrieb. Aber die eigentlichen Erfinder sind Simon Stevin 
und Jobst Bürgi. Simon Stevin, der erste Ingenieuroffizier Wilhelms 
von Oranien, der 1578 seiner Practique d’Arüthmetique eine kleine 
Schrift „la Disme“ anhing, in der er alle Eigenschaften der Dezimal- 
rechnung und alle Vorteile klar hervorhob und forderte, daß alle 
Maße dezimal geteilt werden sollten. Es ist freilich langsamer ge- 
gangen als Stevin sich träumen ließ. Fast 300 Jahre nachher ist 
unser deutsches Münz-, Maß- und Gewichtssystem dezimal geteilt 
worden, und das englische Längenmaß samt dem russischen noch 
heute nicht. Nach Stevin sieht x so aus: 


Su EDEL 830): 
Völlig selbständig erfand Jobst Bürgi die Dezimalbruchrechnung. 
Ursprünglich ein einfacher schweizer Mechaniker, war er als Assistent 


Keplers von Kassel nach Prag gekommen. Bürgi hat das Dezimal- 
zeichen. Er und mit ihm Kepler schrieben 3.141... 


Das Entscheidende liest in dem von Stevin ausdrücklich aus- 
gesprochenen Satz: Der mit seinem Zeichen versehene Dezimalbruch 
bleibt unverändert, wenn man hinten eine Null, also beliebig viele, 
anhängt. 

g* 


36 VII. Abschnitt. Die Dezimalbrüche. 


2. Wir definieren: Der Dezimalbruch ist ein Bruch, dessen 


Nenner 10 oder eine Potenz von 10 ist: a der Dezimalbruch ist 


daher ein Bruch wie alle anderen, und es gelten für ihn alle Regeln 
der Bruchrechnung. Man schreibt ihn gewöhnlich, indem man den 
Zähler hinschreibt und so viel Ziffern von rechts nach links durch ein 
Komma abschneidet, als der Exponent des Nenners angibt, wobei für 
10 selbst als Exponent 1 fingiert wird. 

Meine Herren, eine methodische Bemerkung: Eine unangenehme 
Begleiterscheinung der Dezimalteilung unserer Maße ist die Durch- 
nahme der Dezimalbrüche in Sexta vor den gemeinen Brüchen 
(numeri rupti, Leonardo Pisano); allerdings unter dem Pseudonym 
von Dezimalzahlen. Selten lassen sich die Elementarlehrer diese Be- 
kundung ihres Wissens entgehen. Es haben sich so ziemlich alle 
Mathematiker dagegen ausgesprochen, aber vergeblich. In meiner 
Methodik von 1895 habe ich noch einmal die Gründe zusammen- 
gestellt: 

a) Der Bruch -; setzt den Begriff der Teileinheit gerade so voraus 
wie —. 

b) Die heyspiin der Addition und Subtraktion können nur mit 
Mühe, die Regeln über die Multiplikation und Division gar 
nicht zum Verständnis gebracht werden. 

c) Die Dezimalbrüche sind sehr ungeeignet für Kopfrechnen. 

d) Es. wird der historische Gang ohne Not verletzt. 

e) Es wird Grund und Folge umgekehrt, denn die Dezimalteilung 
der Maße ist eine Folge der Dezimalbrüche und nicht um- 
gekehrt. 

f) Die Schüler begreifen die große Bedeutung der Dezimalbrüche 
nicht, ehe sie wissen, wie zeitraubend das Rechnen mit un- 
gleichnamigen Brüchen ist. 

g) Die Schüler begreifen absolut nicht, weshalb sie in Quinta mit 
der gemeinen Bruchrechnung gequält werden. Die Konsequenz 
würde doch verlangen, daß die ganze Bruchrechnung auf den 
einen Satz eingeschränkt werde: einen gemeinen Bruch in einen 
Dezimalbruch zu verwandeln. Wunderbarerweise hat sich in 
einem Konflikt, in den ein tüchtiger Mathematiker mit den 
Elementarlehrern seiner Anstalt geraten war, ein Provinzial- 
schulkollegium diese Gründe angeeignet. 

3. Die Regeln der Addition, Subtraktion und Multiplikation von 
Dezimalbrüchen sind dann selbstverständlich. Bei der Addition, die 
vollzogen ist, indem man die Dezimalbrüche mit den Kommata 
untereinander schreibt und die fehlenden Stellen durch Nullen ergänzt 
denkt, muß bemerkt werden, daß jede einzelne Ziffer hinter dem 
Komma so gut eine bestimmte Bedeutung hat, wie eine jede Ziffer 


VIII. Abschnitt. Die Dezimalbrüche. 37 


vor dem Komma. Es ist die &' Ziffer von den Einern aus rechts 
durch 10* dividiert wie die %' links mit 10” multipliziert ist. Man 
bezeichnet die %'* Ziffer rechts vom Komma als die / Dezimale. 

4. Division: Dividend und Divisor werden gleichnamig gemacht 
durch Anhängung der nötigen Anzahl Nullen. Dann werden die 


i ! ’ RE: 
Kommata weggelassen, weil - - = 5 Da die Division aus der 
Dezimalbruchform herausführen würde, so läßt sich die Aufgabe: 


einen gewöhnlichen Bruch in einen Dezimalbruch zu verwandeln, 


. . a . . Rs G & 
nicht umgehen. Sei — ein reduzierter Bruch, so müßte — — Age 
1 


sein (10 selbst als 10! gesetzt). Daher 04-10”=b-.«, wo « eine 
ganze Zahl ist. Nach Voraussetzung sind a und b teilerfremd. Also 
muß 10” durch 5b teilbar sein. Also lassen sich nur die Brüche, deren 
Nenner von der Form 25“ sind, in Dezimalbrüche verwandeln. Man 
steht nun vor der Wahl, die Dezimalbruchrechnung aufzugeben oder 
das Verwandlungsproblem weiter zu bearbeiten. 


5. Da die Brüche „- und Rn sich hinsichtlich ihrer Größe ver- 


gleichen lassen, indem man sie gleichnamig macht und die Glieder 


der Teilreihe Nr. 10” stets um - wachsen, so muß, falls db andere 


Primfaktoren als 2 und 5 enthält, sich ein Glied x der Teilreihe 10* 


finden, das kleiner als = während das nächstfolgende größer als ; 


ist. Damit Be 
sei. Dies wird dadurch erreicht, daß man a - 10° durch 5b dividiert, 
also auf die Form gb + r bringt und dann x =g setzt. 

6. Da die Brüche durch Teile der Haupteinheit versinnlicht 
werden können und umgekehrt, unser Anschauungsvermögen aber an 
sehr enge Schranken gebunden ist, so kann für die Praxis der Bruch 


—, sei, ist nur nötig, daß a - 1 — ab <b 
10° 


r_ durch ee ersetzt werden. Beispielsweise geht für die Zeit unsere 
Genauigkeit nicht über ein Zehntel Sekunde, für Längen nicht über den 
Millimillimeter, d. h. wir sind nicht imstande zu beweisen, daß die von 
uns gemessene Strecke wirklich die von uns ermessene Maßzahl besitzt. 
Es bleibt immer ein Spielraum bis zu plus oder minus O,001 mm. 
Wir haben yon keiner Strecke eine absolut scharfe Vorstellung, auch 
wenn wir die Messung zu Hilfe nehmen. 

1 
106 
wandeln, so dividiert man 5 mit 6 angehängten Nullen durch 7; dies 


gibt 714285, also + = 0,714285 + 5, wo e<1 (hier gleich ?). 


Will man z. B. 2 in einen Dezimalbruch genau bis auf __, ver- 


{! 


38 VIII. Abschnitt. Die Dezimalbrüche, 


Da man diese Entwicklung beliebig weit fortsetzen kann, so sehen 
wir, daß alle auf die X‘ Stelle folgenden Dizimalen zusammen kleiner 
als eine Einheit der A" Stelle sind. Dies läßt sich auch leicht 
direkt zeigen, denn selbst wenn die Ziffern a,,, bis a,,, alle gleich 
9 sind, so ist ihre. Summe erst 

994.29 ER 


p p 
—i also ch er 
TOR 5 10,0, Ban: 


p 
10* 


also < no Hierin liegt die Begründung der gebräuchlichen Ver- 


wandlung, welche darin besteht, daß man vom Quotienten, bzw. 
Bruch, der Reihe nach erstens die größte in ihm enthaltene ganze 
Zahl bestimmt, dann die größte im Rest enthaltene Anzahl Zehntel, 
dann die Hunderstel, usw. Das Schema ist das folgende: 


a=gb +r,r <b; It ><1; 
1Ir=qb+r,n<b; -1+4 tn ce 
U er ee ai rt 
ln =gb4r,r,<b; ren en ne nn: 


USW. 


Dies Schema gibt das gewöhnliche Verfahren, z. B. 


5:7 = 0,714285 
0 

10 

20 


7. Hierbei sind wiederum zwei Möglichkeiten: Wenn der Nenner 
b=2*.5P, so hat das Verfahren bei der «- oder ß-Stelle ein Ende, 
je nachdem «> ß oder ß>e; ist dies nicht der Fall, so hat das 
Verfahren an sich kein Ende, und wir müssen es an einer passenden 
Stelle künstlich herbeiführen. In diesem Falle muß einer der (b — 1) 
Reste spätestens bei der b'® Division wiederkehren. Dann kehren 
aber auch alle auf diesen folgende wieder samt den zugehörigen Quo- 
tienten, und wir sind daher imstande, ohne die Rechnung auszuführen, 
die Ziffer jeder beliebigen, noch so entfernten Dezimale anzugeben 
und somit im äußersten Falle, von der b‘® Dezimale an, den Prozeß 


VIIN. Abschnitt. Die Dezimalbrüche. 39 


mühelos so weit fortzusetzen als wir wollen. Wir nennen den Dezimal- 
bruch rein periodisch, wenn die Periode gleich nach dem Komma 
beginnt; im andern Falle die Stellen, die der Periode vorangehen, 
unrein. Aus dem Umstand, daß jede Stelle ihren bestimmten Nenner 
hat, folgt, daß unreine Stellen nur vorkommen, wenn der Bruch im 
Nenner die Faktoren 2 oder 5 hat. Der gewöhnliche Bruch, wie +, 
und der Algorithmus seiner Verwandlung in einen Dezimalbruch 
setzen also eine unendliche Folge von Zahlen, welche voll- 
kommen bestimmt sind und wohl definiert und wohl geordnet sind, 
so daß wir sogar imstande sind, jedes Glied, und sei es auch noch 
so entfernt, anzugeben. 

8. Wir schreiben 3 — 0,714285. Das Gleichheitszeichen hat 


jetzt zweifellos eine neue erweiterte Bedeutung; — = 0,0, «, Ist 


& 
VB 
nur eine Abkürzung dafür, daß der Bruch r in der Zahlenreihe 
zwischen zwei aufeinanderfoigenden Zahlen mit dem Nenner 10”+? 
fällt, bzw. daß die Differenz beider Seiten kleiner gemacht werden 
kann als jede noch so klein angegebene Zahl. 

Die Gleichung läßt sich auch interpretieren als Abkürzung für 
den irrealen Bedingungssatz: Wenn wir den durch den Strich an- 
gedeuteten Prozeß zu Ende führen könnten, so würde die Summe der 


sämtlichen Dezimalen + sein. 


9. Es hindert nun nichts, den betreffenden Prozeß zu Ende ge- 
führt zu denken, d. h. der unabgeschlossenen unendlichen Reihe von 
Vorstellungen als Neues ein Ende hinzuzudenken, durch das wir eine 
neue Vorstellung bilden, welehe durch die frühere Reihe hervor- 
gerufen wird. Ja wir sind geradezu zu diesem Abschluß gezwungen, 
und nur durch diese Eigentümlichkeit unseres Intellekts wird z. B. 
der Übergang von der Bewegung zur Ruhe begriffen. Dieser hinzu- 
gedachte Abschluß einer an sich unendlichen Vorstellungs- 
reihe heißt die Grenze derselben. Man sieht, daß der Grenz- 
begriff die bisherigen Zahlen umfaßt, denn auch die Anzahlen, wie 
5, 7 usw., sind nichts anderes als der Abschluß des Zählprozesses; 
und die gebrochenen Zahlen werden auf Anzahlen von Teileinheiten 
zurückgeführt. Es ist daher der Grenzbegriff nichts als die natür- 
liche und notwendige Erweiterung des Begriffes: Zahl. 

Die Grenze der wohldefinierten, einfach unendlichen Mannigfaltig- 
keit von Zahlen, welche der periodische Dezimalbruch liefert, z. B. 


0,714285, definieren wir selbst wieder als Zahl zum Unterschied von 
den bisherigen Zahlenarten: Reihenzahl genannt; und zwar wird 
diese Zahl dem Bruche identifiziert, so daß die Anzahl der Glieder 
der Zahlenreihe nicht vermehrt wird. Wir stellen sie also als Glied 


in die Zahlrenreihe ein. Die Berechtigung dazu werden wir, da eine 


AO IX. Abschnitt. Vom Rechnen mit benannten Zahlen usw. 


der wesentlichsten Voraussetzungen über die bisher gültigen Regeln, 
nämlich die Endlichkeit, verletzt ist, besonders nachweisen müssen. 
Dies soll aber erst im XI. Abschnitt geschehen. 

10. Bei der numerischen Rechnung ist es nötig, bei irgend einer 
Stelle abzubrechen. Die Durchmusterung aller Möglichkeiten zeigt, 
daß der Fehler stets kleiner gemacht werden kann als eine halbe 
Einheit der Abbruchstelle. Ist die erste fortfallende Dezimale nicht 
größer als 4, so wird einfach abgebrochen, ist dieselbe nicht kleiner 
als 5, so wird die letzte Stelle mit erhöht. 

Unter der Voraussetzung, daß die Regeln der Rechnung mit 
Reihenzahlen begründet sind, läßt sich auch das Umkehrungsproblem 
lösen, zu einem vorgegebenen rein oder unrein periodischen Dezimal- 
bruch den Bruch anzugeben. 


mn . . v ——— ee u... “ 
=0,a%-.-.a;, 1Wr=a% EHRE 05 
4,090; A, 
v BZ .0.. * ——— 
(10 —1)2 = 0,94, :--Q,; Deore 
Ist: Y —— 0, b, b, Bar b,4 do ae Od); 
ct. k+V4 — ee ee Ba 
so ist: 10th, ba, lee On, 


yl(1Vr—1)=b,:--ba:-a,—b-...b=2, 
also: 
2 


y--— - — 
Y 090, ee, 


Für abgekürzte Multiplikation und Division vergleiche Lüroth, 
Vorlesungen über numerisches Rechnen, Leipzig 1900, und besonders 
auch für die Schätzung der Fehler. 


IX. Abschnitt. 


Vom Reehnen mit benannten Zahlen bzw. vom Begriff des 
Verhältnisses. 


1. Richten wir unsere Aufmerksamkeit nicht nur auf die Anzahl 
der Elemente eines Komplexes, sondern zugleich auf die Eigenschaften 
derselben, so schaffen wir benannte Zahlen, Zahlengrößen, schlechtweg 
Größen genannt. Der Begriff der Größe schließt die Teilbarkeit ein. 
Ist die Teilbarkeit uneingeschränkt, kein Teil der letzte, so heißt die 
Größe stetig oder kontinuierlich, sonst unstetig oder diskontinuierlich. 

Sind alle Elemente von derselben Beschaffenheit, oder sehen wir 
von dem Unterschiede ab, so haben wir einfach benannte Größen, 
bzw. Zahlen. Sind zwei oder mehr Gruppen gleicher oder gleich- 


X. Abschnitt. Gleichungen ersten Grades. 41 


gesetzter Elemente — Einheiten, Maßgrößen — vorhanden, so haben 
wir zwei- oder mehrfach benannte Zahlen. 

2. Die Addition oder Subtraktion beliebig vielfach benannter 
Zahlen macht keine Schwierigkeit. Wir definieren: 

at tb ++ a tbh)a ta hb)at:., 

wobei, um die Subtraktion durchzuführen, nötig ist, daß zu jeder Einheit 
e, eine entgegengesetzte e, gedacht werden kann. Die Multiplikation 
liefert im allgemeinen unübersteigbare Hindernisse. Schon wenn man 
zwei gleichbenannte Zahlen einer Einheit, oder wenn man zwei einfach 
benannte Zahlen multiplizieren will, hat man vor allem den Sinn des 
Produkts der Einheiten festzustellen; und wenn das auch in einzelnen 
Fällen, wie lkg-1m = 1kgm oder Masse mal Beschleunigung gleich 
Kraft mit Erfolg geschehen kann, so ist doch das Produkt zweier 
solcher Zahlen von den Faktoren der Art nach wesentlich ver- 
schieden. | 

3. Bei der Multiplikation muß der Multiplikator stets unbenannt 
sein, doch ist es Brauch, willkürlich zu sagen: akg-b oder b. a kg. 
Das Wesen der Multiplikation als Bildung von Zahlenreihen mit 
geänderter Einheit tritt sehr scharf hervor. Ebenso fallen die beiden 
Arten der Division, Teilung und Messung, deutlich auseinander. Die 
Teilung ist laut Definition der kontinuierlichen Größe uneingeschränkt. 
Anders steht es mit der Messung. Der Satz: Das Verhältnis zweier 
kontinuierlichen gleichartigen Größen a und b ist eine bestimmte 
Zahl, gilt nämlich nur, wenn wir auch Reihenzahlen als Zahlen zu- 
lassen, und zwar auch solche, bei denen jede folgende Dezimale nur 
mit Hilfe der vorhergehenden bestimmt wird. Für den Begriff: Ver- 
hältnis verweise ich auf Webers Enzyklopädie der elementaren Arith- 
metik von 1903 oder auf meine „Elemente der Geometrie“ von 183%. 


X. Abschnitt. 


Gleichungen ersten Grades. 


1. Jede Operation wurde mit einer bestimmten Gleichung iden- 
tiiziert. Alle vier Spezies lassen sich also zusammenfassen unter dem 
Gesichtspunkte der Gleichung. Das Wort species in der Bedeutung 
Rechenoperation ist die lateinische Übersetzung des griechischen 
Wortes sidog von Diophant und bedeutet bestimmte Gestaltung. 
Zur Zeit ist es zuerst um 1200 in einem Kodex des Klosters Salem 
in seiner arithmetischen Bedeutung nachgewiesen. Dieser Gesichts- 
punkt der Gleichung, der bei Addition und Multiplikation infolge der 


42 X. Abschnitt. Gleichungen ersten Grades. 


Übung verwischt ist, trat deutlicher bei der Subtraktion und ganz 
scharf bei der Division hervor. Das Eigenartige besteht darin, daß 
wir, noch ehe wir von dem Wert, ja selbst von der Existenz der 
resultierenden Zahl die Vorstellung haben, schon ein Zeichen, z. B. 
x, dafür einführen und dies in Beziehung zu bekannten Zahlen 
bringen, dann durch Versuche, welche der Natur der Beziehung an- 
gepaßt sind, Existenz und Wert zugleich bestimmen. Die Auflösung 
der mathematischen Gleichung ist das klassische Beispiel für das, was 
man philosophisch indirekte Begriffsbestimmung nennt; es ist 
die beste Illustration des Sprichworts: Sage mir, mit wem du gehst, 
und ich sage dir, wer du bist. Es ist freilich auch der vierte Punkt 
zu drei harmonischen, ebenso ein indirekter, d. h. durch Beziehungen 
bestimmter Begriff, und das Dreieck, von dem b, hu, B gegeben sind, 
nicht minder, auch jeder Indizienbeweis der Juristen liefert ein 
solches Beispiel. Die Kunst des Mathematikers besteht eben darin, 
die indirekt durch ihre Beziehung zu bestimmten Zahlen gegebene 
Zahl & in immer einfachere Beziehungen zu bringen und sie zuletzt 
zu einer völlig scharfen Vorstellung, zu einer direkt bestimmten Zahl 
zu machen. 

2. Eine Gleichung, in welcher auf beiden Seiten eine, zwei usw. 
noch zu bestimmende Zahlen vorkommen, heißt eine Bestimmungs- 
gleichung mit einer, zwei, drei usw. Unbekannten. Kommt die Un- 
bekannte nur mit bekannten Zahlen multipliziert und dividiert vor, 
so heißt die Gleichung: vom ersten Grade. Alle Gleichungen ersten 
Grades lassen sich auf einen der bei den vier Spezies behandelten 
Typen zurückführen. Diese vier, und somit alle, hatten ein ganz be- 
stimmtes Ergebnis, und dies findet seinen Ausdruck in den Sätzen: 
Gleiches zu, von, mal durch Gleiches gibt Gleiches, mit deren Hilfe 
die Reduktion auf einen der vier Typen bewirkt wird, meistens auf 
den der Division ax =b, wo «0 sein muß. Alle wurden sie da- 
durch gelöst, daß man für die Unbekannte Werte probiert, bis der 
passende Wert gefunden ist, und wenn sich zunächst keine solche 
passende Zahl findet, wie z. B. bi 7+x=5 und 42 =11, den 
Zahlbegriff angemessen erweitert. In diesem Sinne spricht man von der 
zahlenbildenden Kraft der Gleichung. Es ist bequem, dafür zu 
sorgen, daß die eine Seite, in der Regel die rechte, einen festen, kon- 
stanten Wert hat, so daß die linke Seite sich, je nach dem für die 
Unbekannte probeweise eingeführten Werte, ändert, bis die Gleich- 
heit mit der rechten Seite erzielt, die Gleichung gelöst ist. Wir 
haben hier für die Gleichung ersten Grades dieselbe Methode, welche 
die Lösung der Gleichung jeden Grades gibt; die Unbekannte geht in 
die Freiveränderliche, die Unabhängige, Variable über, der Ausdruck 
auf der linken Seite, dessen Wert von dem jedesmaligen Wert der 
Unabhängigen abhängt und durch ihn völlig bestimmt ist, in die 


X. Abschnitt. Gleichungen ersten Grades. 43 


Funktion der Variablen über. Wir bezeichnen die Unabhängige 
gern mit x. Zuerst bei Descartes in dem berühmten Werke La 
Geometrie von 1637. x hat anfangs keinen Vorzug vor y und z, und 
zwar sind diese Buchstaben gewählt, weil Descartes die Bekannten 
mit a, b, ce bezeichnet, und anfangs ist sogar konsequenterweise 2 be- 
vorzugt. Das Gleichheitszeichen danken wir Recorde 1552 mit der 
Motivierung: „Da keine zwei Dinge gleicher sein können als ein Paar 
paralleler gleichlanger gerader Linien“. Das Wort Funktion rührt 
von Leibniz her; seine Anwendung in diesem Sinne von Jacob. 
Bernoulli; die ersten Funktionszeichen entnahm Leibniz der Astro- 
nomie, also D, ? usw., p(z) zuerst 1710, dann 1733 bei Clairant p(x), 
F‘(x&) usw.; dann Euler f(«). Das Wort Koeffizient. stammt von Vieta. 

3. Die Lösung der Gleichungen ersten Grades führt zu dem Satz: 
Jede endliche Folge von Spezies (natürlich mit Ausschluß der ver- 
botenen Division durch Null) an Zahlen unserer Reihe gibt ein ganz 
bestimmtes Glied der Reihe, d. h. wir bleiben im Zahlkörper der 
rationalen Zahlen. 

4. Über Systeme von Gleichungen ersten Grades mit mehreren Un- 
bekannten fasse ich mich kurz. Ihre Lösung besteht im Prinzip in 
der Substitutionsmethode, d. h. darin, daß wir eine der Unbekannten, 
z. B. x, aus der ersten Gleichung durch die Konstanten und die anderen 
Unbekannten, die wir als feste Zahlen ansehen, ausdrücken und diesen 
Ausdruck in die übrigen Gleichungen einsetzen, wodurch die Zahl der 
Unbekannten und die der Gleichungen um eins vermindert wird. Es 
sind also zur Bestimmung von n Unbekannten » unabhängige Glei- 
chungen nötig. 

5. Was den Ansatz der Textgleichungen betrifft, so ist dies für 
die Schule eine der wichtigsten Aufgaben, die eigentlich von Sexta 
bis Prima geübt wird. Nur drei methodische Bemerkungen: 

a) Die Gleichung wird gewonnen durch doppeltes Ausdrücken der- 
selben Größe, wobei der Schüler Urteilskraft, wenn auch in be- 
scheidenstem Umfang, entfalten muß. Er muß wissen, bzw. 
lernen: daß das Ganze gleich der Summe seiner Teile, daß der 
Wert der Mischung gleich der Summe der Werte der Bestand- 
teile, daß der Reingehalt der Mischung gleich der Summe der 
Reingehalte der Bestandteile ist, der Raum des Ganzen gleich 
der Summe der Räume der Bestandteile, der Verkaufspreis 
gleich Einkaufspreis plus Gewinn usw., und dabei geübt wer- 
den, sich die Dinge, von denen die Rede ist, anschaulich vor- 
zustellen. 

b) Es muß geübt werden, sich Angaben, die fehlen, zu ergänzen, 
z. B. in der bekannten Aufgabe von den zwei Quellen, die ein 
Bassin füllen, den Inhalt des Bassins, da er jedenfalls ein ganz 
bestimmter ist, also durch eine den Rechnungsregeln unter- 


44 XI. Abschnitt. Vom Rechnen mit Reihenzahlen. 


worfene, von Null verschiedene Zahl, ausgedrückt wird, an- 
zunehmen, und zwar mit « hl und nicht etwa ihn gleich 1 zu 
setzen. Desgleichen in der Aufgabe, die der Uhraufgabe vor- 
auigeht, von den zwei Pferden, von denen das eine den Zirkus 
in # durchläuft, das andere in 3’, den Umfang des Zirkus mit 
am anzunehmen, usw. 

c) Es muß dem Schüler immer wieder eingeschärft werden: Je 
mehr Unbekannte, desto zahlreicher die Beziehungen, desto 
leichter der Ansatz, z. B. bei der Aufgabe: Jemand will sich 
12 hl Wein & 80 # mischen aus zwei Sorten & 60 und & 108 #,; 
wieviel muß er von jeder Sorte nehmen? ist es viel natürlicher, 
daß der Schüler sagt: von der ersten nimmt er x, von der 
zweiten %. - Bei weitem die meisten der Aufgaben, welche 
Bardey als Gleichungen 3. Stufe bezeichnet, sind nur deshalb 
schwierig, weil der Schüler sich mit einer Unbekannten ab- 
quält; z. B. die Aufgabe: Gib du mir 1 # ab, so habe ich 
dreimal soviel wie du; und der andere: Gib du mir 1 M, 
so haben wir beide gleich viel: «+1)=3(y-—1) und 
@ 1) = y. 

Der Übungsstoff in unseren Sammlungen — ich nenne Meyer- 
Hirsch, Heis, Bardey — ist größtenteils durch Jahrtausende zu 
verfolgen. Es ist aus Ahmes, aus Diophant, den Indern, Beda, 
dem Ehrwürdigen, den Arabern, Leonardo, Lucas Paceciolo, 
Sturm usw. zusammengeflnssen. ; 


Xl. Abschnitt. 


Vom Rechnen mit Reihenzahlen. 


1. Unser Intellekt wird einerseits vom psychischen Trägheits- 
gesetz beherrscht, demzufolge wir eine Vorstellungsreihe fortsetzen, 
bis wir durch eine Ursache oder einen Grund gezwungen werden, sie 
zu enden, andererseits vom Hemmungsprinzip, das uns zwingt, zu 
einer Vorstellungsreihe, die an sich keinen Abschluß hat, einen Ab- 
schluß zu denken, den Abschluß durch eine neue Vorstellung herbei- 
zuführen. Zu solchen Vorstellungsreihen gibt besonders Raum und 
Zeit Veranlassung; wir haben aber schon im periodischen Dezimal- 
bruch eine solche Reihe kennen gelernt. Beispiel sei die Reihe der 
Zeitmomente, während derer Achilleus der Schildkröte nachläuft, oder 
die Reihe der Verstärkungen, welche der elektrische Kondensator in 
der Sammelplatts hervorruft, die Reihe der Stammbrüche 4, 5, .-,, 
die Reihe der Wege, welche die Elfenbeinkugel, die senkrecht auf die 


XI. Abschnitt. Das Rechnen mit Reihenzahlen. 45 


Marmorplatte auffällt, zurücklegt. In allen diesen Fällen denken wir 
den Abschluß durch eine Vorstellung hinzu, welche die Grenze der 
betreffenden Reihe heißt. Die „Grenze“ ist also von den Gliedern der 
Reihe wohl zu unterscheiden, weil sie als ein Neues von der Ver- 
nunft hinzugefügt wird. Die so durch einen Grenzübergang gebil- 
deten Begriffe heißen „Garenzbegriffe“. Die Grenze ist aber keines- 
wegs von ihrer Reihe unabhängig; sie ist durch die Reihe bestimmt 
und mit ihr zugleich gegeben, wenn auch zunächst nur indirekt, 
wie das x in der Gleichung, wie die Ursache, wenn die Wirkung be- 
obachtet wird. So ruft die sich mehr und mehr verlangsamende 
‚Bewegung des in die Halle einfahrenden Eisenbahnzuges mit Not- 
wendigkeit die Vorstellung der Ruhe als Grenzabschluß wach, so geht 
die Reihe der einem Kreise eingeschriebenen regelmäßigen Vielecke bei 
stetig sich verdoppelnder Seitenzahl schließlich in die des Kreises über, 
so hat die Reihe der Zahlen 0,5, 0,33, 0,533... ., deren Dreifaches sich 
mehr und mehr der 1 nähert, zur Grenze die Zahl, welche dreimal 
genommen 1 gibt: 5. Ob die so als indirekte Vorstellungen ge- 
gebenen Grenzbegriffe schließlich zu direkten, anschaulichen, völlig 
scharfen Vorstellungen werden, hängt von den Umständen ab, bzw. 
von der Deutlichkeit, Fülle und Wichtigkeit der Merkmale und Be- 
ziehungen. Die wichtigsten Grenzbegriffe sind die des unendlich 
Großen oder des unendlich Kleinen, ohne welche Funktionentheorie 
und Differentialrechnung nicht vorhanden wären. Sie lassen sich, 
wie Bolzano in seinen Paradoxien des Unmendlichen bemerkt hat, 
zurückführen auf die Unendlichkeit der Zahlenreihe. Ihre weitere 
Analyse, sowie die der Grundbegriffe der Geometrie, die samt und 
sonders Grenzbegriffe sind, z. B. Mittelpunkt, Länge, Flächeninhalt, 
Volumen, Punkt, Winkel usw., gehören nicht in den Rahmen dieser 
Vorlesungen. 


2. Sia,a+0, a+0 +09, a+0-+0+0 usw. eine unendliche 
Reihe von Zahlen, so fällt sie unter das Grundgesetz, kurz unter 1 
und ihre Grenze ist a; denn da alle Glieder der Reihe gleich a sind, 
so liegt kein Grund vor, die Grenze von a verschieden zu denken. 


3. Ist a,, @%, 4,... eine unendliche Folge von Zahlen und von 
einem bestimmten Index an a, N und gibt es eine Zahl «, 
welcher die Glieder der Reihe mit wachsendem Index n so nahe 
kommen, als man will, ohne sie je zu erreichen, so daß sich also für 
jedes noch so kleine vorgegebene + ein Index n bestimmen läßt, 
so dß a — a, ,,<-+ 8, ist — wo %k beliebig — so hat die Reihe die 
Grenze a. 


Beispiel: 92099 70,.39972. renze, 1. 


Hierunter fallen alle periodischen Dezimalbrüche, aber nicht alle 
Reihen von der Form: 


46 XI. Abschnitt. Rechnen mit Reihenzahlen. 


1 1 1 1 1 1 
sondern nur diejenigen, in denen 2 > 1, wo dann die Grenze 


c 6 
El heißt. 


4. Sei b,b,b, usw. eine Reihe von der Eigenschaft 
b,> sy USW., 
und es gäbe eine Zahl b, so daß b,,„— b Stets kleiner +, so fällt 


auch diese Reihe unter Grundsatz 1., und die Grenze derselben 
nennen wir b. 


Beispiel: 2,2—-53,2—5— 7, usw.: Grenze 1. 
5. Hat im Falle 4. die Grenze den Wert Null, so heißt die 
Reihe eine „Nullreihe“, für welche also b,»<b, , und b,,, selbst 


28 18t: 
Beispiel: 1.0,2.0. 0180,00. 


6. Alle diese Reihen, als deren Grenze wir bekannte Zahlen der 
Zahlenreihe erhalten haben, hatten die Eigenschaft gemeinsam, daß, 
wenn man die Reihe mit a,a;: - - bezeichnet, a,,,„— «@, dem absoluten 
Betrage nach <e ist, wo & beliebig klein vorgegeben, n bestimmt 
und % jede beliebige Zahl ist. Es ist nun ein natürlicher Schritt, 
allgemein die Reihen zu betrachten, welche die hervorgehobene Fun-. 
damentaleigenschaft besitzen, nämlich, daß sich für jedes noch so 
kleine & ein Index » findet, so daß a,,,— a, für jedes % kleiner ist 
als &, dem absoluten Betrage nach, und ihnen eine Grenze zuzuweisen. 
Für den Fall, daß diese Grenze sich nicht unter den bisherigen 
Zahlen findet, stellt man sie als neue Zahl ın die Zahlenreihe ein, 
sobald wir nachgewiesen haben, daß für sie die Regeln der Rech- 
nungsweise gültig bleiben; diese Reihen heißen Fundamentalreihen, 
ihren Grenzen Reihenzahlen. Wir führen für sie Zeichen ein; 
wird die Grenze durch die Reihe selbst bezeichnet, so schließen wir 
die Reihe in Klamihern ein. Also: a = (a,as4, : : :). 


7. Zwei Reihenzahlen heißen gleich, wenn die Reihe der Diffe- 
renzen ihrer Glieder eine Nullreihe ist und können als gleich mit 
demselben Zeichen bezeichnet werden. Gibt es eine Reihen- oder 
gewöhnliche Zahl y, so daß y—a,,,<e ist, so sagen wir: y=q. 
Insbesondere können alle Nullreihen mit O bezeichnet werden und 
dieser Begriff auch auf Reihen wie 1, — 0,1, + 0,01 — 0,001, - - aus- 
gedehnt werden, so daß Nullreihe jede Fundamentalreihe heißt, für 
welche «a,,, dem absoluten Betrage nach < e ist. 


8. Es folgt der wichtige Satz: Jede Reihenzahl kann mit 
jedem hinlänglich entfernten Gliede bezeichnet werden; 


denn a,,, ist Grenze von (a a -..), die Zahlen, welche nach 


n+k? n+k) 


IX. Abschnitt. Rechnen mit Reihenzahlen. 47T 


diesem Satz als Zeichen für die Nullreihen auftreten können, nennen 
wir unendlich klein; eine solche Zahl kann also kleiner als jede 
beliebige vorgegebene Zahl & werden. 
elst: 
= (AA::.) und‘db=(bb::-), 


ferner « eine bestimmte positive Zahl, und: 


Antk 2 Du+% BD &, 
so heißt 4>b. Ist b,,,—-9,,,>«, so heißt a <b.. Andere als 
die unter 7. und 9. angegebenen Beziehungen, insbesondere etwa 
Unbestimmtheit der Differenzen, sind bei Fundamentalreihen vermöge 
ihrer Definition ausgeschlossen. 

10. Jede einfach unendliche Reihe von endlichen Zahlen, deren 
Glieder von einem gewissen Gliede an immer zunehmen, dabei aber 
numerisch unterhalb einer angebbaren Zahl y bleiben, ist eine Fun- 
damentalreihe. 


Beweıs. Falls: 


nicht kleiner als & ist, so sei A” der kleinste Wert, so daß: 


U u 7 = ©, 


I 


und ebenso sei AA” --- je der kleinste Wert von %k, und: 


N = Ark > €, 
er Any. -)> 8, 
F a DE EUREN 
und so wäre: 
An+.) > I. 


Entsprechend ist der Beweis des entsprechenden Satzes, wenn 9 
die untere Grenze und die Glieder abnehmen. 
11. It a=(a,:-:) undb=(b,-:..), so existieren a +b, @:b, 


und wenn 5b keine Nullreihe begrenzt 1 in der Weise, daß die be- 


treffenden Zeichen Fundamentalreihen begrenzen oder bezeichnen, 
deren Glieder die entsprechende Zusammensetzung haben. Den Be- 
weis für Addition und Subtraktion kann ich übergehen. Ich führe 
den Beweis für die Operationen der 2. Stufe. 
Es ist: 
Deo ehe er: 
dann ist: 
Any i Dr RE a,b, = (a, ar e)(b, SH n) Kur ad, 
oder: 


€ eb, se nd, A ae 


48 XI. Abschnitt. Rechnen mit Reihenzahlen. 


also auch wenn etwa 7 > e: 


ep Ar: ad, = n(b, It Gi, kr €) oder = Ö, 
wo 0 beliebig klein. 


Ü 


Beweis für die Division: 


Garn 
ON, b, Dr b, ; 
d 7 (@, Ye €) D, ar ROHR — a,(b, er b, nn) TU b, 
LER N ? 
On ın | ar eb, 
d< —— <6, 
b, Tal, 


wo Ö unendlich klein, außer wenn b eine Nullreihe begrenzt. Damit 
ist zugleich auch die Erweiterung der Gleichheit in 7. begründet. 

12. Die Definitionen in 11. zeigen, daß die Regeln der Rech- 
nung sämtlich bestehen bleiben, weil wir die Operationen für die 
Grenzen auf die Glieder der sie definierenden Fundamentalreihen über- 
tragen haben. Die Erweiterung des Zahlbegriffs durch die 
Reihenzahlen als Grenzen der Fundamentalreihen ist somit 
gerechtfertigt. 

13. Diese Darstellung ist im wesentlichen von @. Cantor be- 
einflußt; unabhängig von Cantor, aber zeitlich später ist die Dede- 
kindsche, die von der @. Öantors im letzten Grunde nicht verschieden 
ist und der z. B. H. Weber in seiner Enzyklopädie gefolgt ist. Aus 
der Definition der Fundamentalreihe und den Definitionen in 7—9 
folgt nämlich sofort, daß, wenn eine Fundamentalreihe gegeben ist, 
von jeder Zahl z der Zahlenreihe festgestellt werden kann, ob sie 
größer, kleiner, gleich als die Reihenzahl ist. Denn da jede Zahl 2 
als (2,2: :--) erklärt werden kann, so bleiben nur die drei Möglich- 
keiten 2— a, ,, > <&2—q,,,<e. Die Reihenzahl bringt also, wie 
jede Zahl, einen Schnitt in der Zahlenreihe hervor, indem sie die Zahlen- 
reihe in einen oberen und einen unteren Bereich teilt, nur daß beide 
Bereiche durch die Reihenzahl getrennt werden. Umgekehrt definiert 
jeder Schnitt der Zahlenreihe eine Reihenzahl, denn: sei s ein Begriff, 
durch den die Zahlenreihe in zwei Bereiche getrennt wird, in der 
Weise, daß von jeder rationalen Zahl angegeben werden kann, ob sie 
größer oder kleiner als s sei, wie das z. B. durch den periodischen 
Dezimalbruch geschieht, und sei a <s und b>s, und denke man sich 
das Intervall b—-a=c in p, Teile geteilt und die Reihe gebildet: 

en 
so ist entweder: 

s=4+ 


ke 
Pı 


oder a+at<s und ar mE 55 
1 1 


XI. Abschnitt. Rechnen mit Reihenzahlen. 49 


Wir entwickeln auf diese Weise zwei Fundamentalreihen: 


ke ke ke ke ke K'e 
A—(a, a —, 4 +— + ——, a +); 
i 77? n5 ı T Rn 77 Ta i 


B=(b, art, a+ + Kan La usw.) 


Die Differenzenreihe bildet eine Nullreihe, also A—= B, und da 
s>d,,;, und SUN st s=A=B. 


Cantor sowohl als Dedekind glauben die Stetigkeit durch 
ihre Festsetzungen rein arithmetisch definiert zu haben. Es ist 
nicht schwierig zu zeigen, daß beide auf geometrischer Anschauung 
fußen. 

14. Jede endliche Folge von Spezies, auf Glieder der durch die 
Reihenzahlen erweiterten Zahlenreihe erstreckt, führt wieder zu einem 
bestimmten Glied dieser Reihe. 

Ihre Gesamtheit bildet also den Zahlenkörper der reellen 
Zahlen. Man könnte aber die Frage aufwerfen, ob etwa eine un- 
endliche Folge von Reihenzahlen zu Neubildungen führen könnte. 

Dei: 

HAN. ), = lau), 


Vkı (9; 9a, 93, ° ); 
und 9,,, 9, <e für jedes k, so ist: 


und: 


2 (v) 
ga, lan. 
also ist nach der Voraussetzung über g auch g definiert durch eine 
Fundamentalreihe. 


15. Man identifiziert axiomatisch die Mannigfaltiskeit der reellen 
Zahlen mit der der Punkte einer Linie und bezeichnet sie als line- 
ares Kontinuum. Cantor hat bewiesen, daß die Mächtigkeit des 
linearen Kontinuums von der der rationalen Zahlen bzw. der ganzen 
Zahlen verschieden ist, d. h. daß es nicht möglich ist, die Reihen- 
zahlen insgesamt durch die natürliche Zahlenreihe abzuzählen. Be- 
weisen läßt sich nur, daß, wenn g eine Zahl ist, Punkte existieren, 
deren zugehörige Maßzahlen von g9 um weniger als & abweichen. 

Cantor bewies nämlich den folgenden Satz: 

Ist a,a,Q, --- eine einfach unendliche Reihe verschiedener reeller 
Zahlen, welche nach irgend einem Gesetz gebildet ist, so gibt es ın 
jedem Intervalle «---ß, in dem alle reelle Zahlen von «-.- ß 
nach der Größe geordnet vorzustellen sind, Zahlen, welche in der 
a-Reihe nicht vorkommen. 

Man braucht nur den Fall zu betrachten, wo in jedem noch so 
kleinen Teilgebiet von «@:---ß Zahlen «a vorkommen, weil sonst der 


Simon, Methodik der elementaren Arithmetik. 4 


50 XI. Abschnitt. Rechnen mit Reihenzahlen. 


Satz eben dadurch richtig ist. Dann hat eine der Zahlen a in dem 
betreffenden Intervalle «--- ß den kleinsten Index und eine zweite 
den nächst größeren; von diesen beiden Zahlen werde die kleinere 
mit «@', die größere mit ß’ bezeichnet. Hiernach bestimmen «’ und ß’ 


innerhalb @--- ß ein Zwischenintervall (« --- 8”), und es ist: 
NEE IE Ir} 
In gleicher Weise wird in «--- ß’ ein zweites Intervall «”, pP” 


eingeschaltet, indem wir von den a nur den kleinsten Index innerhalb 
ce #' aufsuchen und das a mit dem nächst größeren. Mit dieser Bil- 
dung von Teilintervallen kann man nun unbeschränkt fortfahren. Aus 
diesem Verfahren, jedesmal den kleinsten und den nächstgrößeren 
Index aufzusuchen, folgt, daß innerhalb des Intervalles («” - - - ß”) sich 
kein a finden kann mit einem Zeiger, welcher kleiner ist als der 
größere Zeiger der beiden Zahlen «” - - - ß”, welche ja beide der 
a-Reihe angehören und das ist der Nerv des Beweises. Insbesondere 
kann a, nicht in dem Intervall liegen, denn zur Bildung des v-Inter- 
valles werden 2» Zahlen der Zahlenreihe « erfordert; im denkbar 
günstigsten Falle wären dies die Zahlen a,,«a, ---a,,, dann aber lägen 
sogar alle « unter dem Index 2», um so mehr also a, außerhalb des 
v-Intervalles. Nun sind &=[e’,«”,---] und n=[P,P”,-:-] zwei 
Reihenzahlen nach Satz 10 und sind nach Definition einander gleich, 
aber & kann keine Zahl der a-Reihe sein, denn a, liegt außerhalb 
am — ... 8 und & innerhalb. 


16. Ich will hier die wichtigsten, die Hauptformen, der angeb- 
lich arithmetischen Einführung der Reihenzahlen angeben: 

1) Die Weierstraßsche Art (nicht ganz zutreffend von E. Kossak, 
Programm des Werderschen Gymnasiums 1872 dargestellt); 2) die 
R. Dedekindsche; 3) die G. Cantorsche. Allen gemeinsam ist die im 
Wesen der Reihenzahl begründete Tatsache, daß sie eine wohl definierte: 
unendliche Menge von der Mächtigkeit der Zahlenreihe an rationalen 
Zahlen erfordern. Ihr Unterschied liegt in der Art und Weise, wie 
die Menge mit der durch sie definierten Zahl verknüpft ist und in 
den Bedingungen, welche die Menge zu erfüllen hat, damit sie als 
Grundlage für die betreffende Zahlendefinition sich eigene. 

Weierstraß: Es wird die Reihenzahl « definiert durch eine 
Menge positiver rationaler Zahlen a, die mit der Marke (a,) bezeichnet 
wird und welche die Bedingung erfüllt, daß, wie viele und welche 
auch von den a, in endlicher Anzahl summiert werden, die Summe 
immer unterhalb einer angebbaren Grenze bleibt. Hat man nun 
zwei solche Aggregate (a,) und (a,'), so zeigt sich, daß sich drei Fälle 
darbieten können: Entweder ist jeder n‘* Teil der Einheit in beiden 
Aggregaten, sofern man ihre Elemente in hinreichender vergrößerungs- 
fähiger endlicher Anzahl summiert, stets gleich oft enthalten, oder es. 


XI. Abschnitt. Rechnen mit Reihenzahlen. A1 


ist - - von einem gewissen » an in dem rel Aggregat stets öfter 


enthalten als in dem zweiten oder drittens umgekehrt. Diesen Vor- 
kommnissen entsprechend sind, wenn 5 und 5’ die durch die beiden 
Aggregate (a,) und («,) zu definierenden Zahlen sind: 


u ie, IE 


vereinigt man die beiden Aggregate zu einem neuen (a 
iurch b + b’ definiert. 

Bildet man aber aus den beiden Aggregaten (a,) und (a,) das 
neue Aggregat (a,: 4); in welchem die Se: die Produkte aus 
allen a, in alle a, sind, so wird dieses neue Aggregat Grundlage 
für bb‘. 

Man sieht, daß hier die Art und Weise, das Erzeugungs- 
moment, welches die Menge mit der durch sie erzeugten, bzw. 
definierten Zahl verknüpft, ın der Summenbildung liegt; doch 
muß ganz besonders betont werden, daß. nur die Summation einer 
endlichen Anzahl von rationalen Elementen a, zur Anwendung kommt 
und nicht etwa von vornherein die zu definierende Zahl db als die 
Summe a, der unendlichen Reihe (a,) gesetzt wird. Es wäre dies 
logisch falsch, weil vielmehr die Definition von Summe «a, erst 
durch elkrtan ran, mit der schon vorher definierten fertigen Zahl b 
gewonnen wird. 

Die Definition von Dedekind (Stetigkeit und trat 
setzt die Gesamtheit aller rationalen Zahlen als gegeben voraus und 
denkt diese in zwei Gruppen geteilt, einen oberen Bereich und einen 
unteren, derart, daß, wenn die Zahlen des unteren mit A, und die 
der oberen mit 5, bezeichnet werden, stets A,< DB, ist. Eine solche 
Teilung nennt Dedekind einen Schnitt, bezeichnet ihn mit (A, B,) 
und ordnet ihm eine Zahl b zu. Vergleicht man zwei solcher 
Schnitte, so sind wieder drei Möglichkeiten vorhanden: 


url Var ie AN Dee ine 


Der erste Fall findet, außer wenn 5b eine rationale Zahl 
ist, nur bei völliger Identität statt und darin liegt ein wirklicher 
und großer Vorzug der Dedekindschen Form, daß jeder Reihenzahl 
b nur ein einziger Schnitt entspricht, welchem Vorzug aber der viel 
größere Nachteil gegenübersteht, daß die für die Analysis ent- 
scheidenden konvergierenden Reihen sich niemals in der Form von 
„Schnitten“ darbieten, in welche sie mitunter mit großer Mühe ge- 
bracht werden müssen. 

Der Vorzug der Cantorschen Form gegenüber der Weierstrab- 
schen liegt vor allem darin, daß von vornherein die Vertretung der 


Reihenzahl db = (a,) durch irgend ein hinreichend fernes Glied klar 
4* 


7 . 
a,), So wird 


v? 


52 XII. Abschnitt. Potenzierung und Radizierung. 


ist und daß infolgedessen b><=0 ıst, wenn ima,><=( ist. 
Ferner in der bequemen Definition der sämtlichen vier Spezies; dann 
aber, und das ist der größte Vorzug, gestattet sie ohne weiteres, irra- 
tionale Zahlen zu definieren, deren «a, selbst irrationale. Zahlen sind, 
und so fort, z. B.: 


; | 7 2m+1 
. TU 1 m 6 ) 
sn Ze = > (6: ) (2m-+1)! 
0 


Ss 


Die Operationen 5. Stufe. 
XII. Abschnitt. 


Potenzierung und Radizierung. 


1. Wie aus der Addition die Multiplikation sich abzweigte und das 
Produkt, anfänglich nur die Summe von gleichen Summanden, zu 
einer selbständigen Zahlenform wurde, so entwickelt sich aus der 
Multiplikation die Potenzierung. Ein Produkt von n gleichen Fak- 
toren, von denen jeder gleich a ist, wurde zur Abkürzung a” ge- 
nannt, a Grundzahl, n Exponent. Als Grundzahl kann jede reelle 
Zahl auftreten, als Exponent nur die Anzahlen von 2 inklusive an. 
Durch die Jahrhunderte, von den Araberın, von Jordanus an bis 
Neper und Jobst Bürgi, zieht sich die Betrachtung, daß die Ex- 
ponenten eine arithmetische, die Potenzen eine geometrische Reihe 
bilden; jede der Reihen, heißt das, befolgt ein einfaches, durch die 
ganze Meihe hindurchgehendes Gesetz; das der Exponenten ist das 
der natürlichen Zahlenreihe, das der Potenzen lautet: Jedes folgende 
Glied geht aus dem vorhergehenden hervor durch Multiplikation mit 
demselben Faktor, nämlich a. 

Wir erhalten daraus sofort die Formel aa’ = a’”*+‘°, das Grund- 
gesetz und — wie sich zeigen wird — das für die Potenzform cha- 
rakteristische Gesetz. Ebenso einfach folgt: 

De und oo 

2. Wir stoßen aber für die Divisionsregel auf dieselbe Beschrän- 
kung, welche wir bei der Subtraktion überwinden mußten. Die 
Reihe der Potenzen und die der Exponenten hat einen Anfang. Da 
die Exponenten eine Folge aus der natürlichen Zahlenreihe bilden, 
so bleibt ihr Gesetz erhalten, wenn wir die Reihe nach rückwärts 
fortsetzen durch Einstellung von 1, 0, — 1, —2::: Soll das Gesetz 
der Potenzen und damit die daraus folgenden Rechnungsregeln er- 


XH. Abschnitt. Potenzierung und Radizierung. 553 


halten bleiben, so muß jedes folgende Glied der Reihe aus dem vor- 
hergehenden durch Multiplikation mit a hervorgehen. Es muß also 


definiert werden: 
1 1 
az aıaW=a:a=1; ale dr. 
a a 
Die Erweiterung rechtfertigt sich schon durch den Nutzen für die 
Dezimalbrüche. 


3. a” hat jetzt einen bestimmten Sinn für jedes ganzzahlige r; 
aber der Potenzbegriff ist in vier ganz getrennte Begriffe zerrissen 
und dabei ist a” noch nicht erklärt für den Fall, daß r ein Bruch 
oder eine keihenzahl ist. Wir könnten allerdings schon jetzt durch 
die Forderung, das wesentliche Gesetz der Potenzenreihe aufrecht zu 


D 
erhalten, die passende Definition von «a? finden. Indessen enthalten 
die bisherigen Sätze, da sie nicht formell auf Potenzen mit ge- 
brochenen Exponenten führen, keinen Zwang, den Potenzbegriff zu 
erweitern. 


4. Wir erwähnen die Formeln: 
ab (ah: Funde a br — (+) : 
wo b=(, und ferner: 
(— re (12: (— RE REN (0 Zu 


5. Die Radizierung: Die Gleichung a”=b, in welcher a be- 
liebig ist und n eine ganze Zahl bedeutet, ist durch die Definition in 
2. in bezug auf b gelöst, d. h. wenn a und n gegeben, läßt sich 5b 
als bestimmte Zahl ermitteln. Man kann nun die Gleichung ebenso 
bei gegebenen n und b nach a aufzulösen versuchen; auch bei ge- 
gebenen a und b nach n, was wir aber vorläufig noch verschieben. 
Eine Zahl a, welche unter dem Exponenten » die Zahl b ergibt, heißt 
n® Wurzel aus b, (Yb), b heißt Radikand, n Wurzelexponent. Der 
Wurzelhaken findet sich zuerst bei Adam Riese 1524, Stevin 
1585 Y@&, Albert Girard, der für die Lehre von den Polygonen 
und vieles andere bedeutsame Mathematiker, schreibt 1629 Y, usw.; 
aber schon die Ägypter hatten ein dem unsrigen ähnliches WürzeR 
zeichen |f , ta genannt, für die zweite Wurzel, die Quadratwurzel. 

Die Gleichungen a” —=b und a= Yb sind äquivalent, d. h. sie 
folgen auseinander, doch ist die zweite, solange bis die Existenz der 
Wurzel und ein Verfahren zur Berechnung nicht nachgewiesen sind, 
eine leere Form. , 

bee launan = Heundna = "VB, sonst au = brtZund a— Vb-!; 
Vb ist sinnlos, außer wenn b=]1 ist, und dann ist es unbestimmt; 
wir können daher die Radizierung mit Null verbieten und uns un- 


54 XI. Abschnitt. Potenzierung und Radizierung. 


beschadet der Allgemeinheit auf den Fall, wo n eine Anzahl ist, be- 
schränken. 

7. Hauptsatz: Wenn a”=c” und a und c beide größer als 
Null sind, so ist a=c. Der Fall n=1 erledigt sich von selbst. 
Die anderen Fälle veranlassen uns zum ersten Male, die n'® Potenz 
eines Binoms in Betracht zu ziehen. Wir sehen aus dem Multipli- 
kationsgesetz sofort, daß (a + b)">a”. Der Beweis ergibt sich frei- 
lich auch schon daraus, daß ein Produkt wächst, sobald ein Faktor 
wächst. Der Beweis zeigt, daß es höchstens eine positive Y aus 
einer positiven Zahl gibt; auch wenn a und c beide kleiner als Null 
sind, gilt derselbe Satz. 

8. Hieran schließt sich die Frage nach der Bestimmtheit von 
V—-b. Sin=2r+1. Wenn att!= — 5 ist, so ist (-a)r+!=b 
und die Radizierung ist wieder auf positive hadikanden zurück- 
geführt. Es gibt daher nur höchstens eine negative Wurzel aus 
einer negativen Zahl, wenn n ungerade ist. Ist n = 2r, so ist sowohl 
a?” als (— a)?” = (a?), also positiv, und wir sehen, es existiert keine 
reelle Zahl, welche unter einem geraden Exponenten eine ungerade 
Zahl ergibt. Wir stehen daher vor der Wahl, entweder die Radizie- 
rung negativer Zahlen für gerade Wurzelexponenten zu verbieten, 
oder den Zahlbegriff zu erweitern. Man hat sich für das letztere 
entschlossen, eine Entscheidung, die vor allen Dingen durch den Er- 
folg gerechtfertigt ist. Vorläufig aber schließen wir negative Werte 
des Radikanden aus. | 

Wir können sogar, unbeschadet der Allgemeinheit, b auf ganze 


positive Zahlen beschränken. Denn wenn 5b = nn so ist: 


N ? 


b 2 und Vb= Ve 
vorausgesetzt, dab Vb- q"=! existiert. 

9. Das Natürlichste zur Ausreehnung der Yb oder zur Lösung 
der Gleichung x” — b wäre (vgl. Division), eine Tabelle der »‘-Potenzen 
zu entwerfen, welche den Überblick über den Verlauf der Funktion 
x” gewähren würde, unter Einschränkung der Variablen x auf positive 
Werte. Diese Tabelle ist zwar wegen der unendlich vielen Werte 
des x” unausführbar, aber wir können sie wenigstens für ganze Werte 
von & beliebig weit fortgesetzt denken. Wir würden aus solcher 
Tabelle z. B., wenn auch nicht die Y2, so doch Y1,96 als 1,4 ent- 
nehmen können. Jedenfalls tritt bei dieser Betrachtung die für die 
numerische Berechnung entscheidende Eigenschaft der Funktion x” 
hervor, mit wachsendem positiven x beständig zu wachsen. 

10. Hauptsatz: Die positive »-Wurzel aus einer ganzen posi- 
tiven Zahl ist entweder eine ganze Zahl oder eine Reihenzahl. 


XI. Abschnitt. Potenzierung und Radizierung. 55 


Beweis: Sie kann kein Bruch sein; denn, denken wir Vb= =; so 


kann man p und g teilerfremd machen, und es wäre p”—= g”.b, d.h. 
dieselbe Zahl auf zwei wesentlich verschiedene Weisen in Prim- 
faktoren zerlegbar. Weil die Funktion x” mit wachsendem x be- 
ständig und, wie leicht zu zeigen, über jede Grenze wächst, so sind 
daher nur zwei Fälle möglich: entweder es findet sich eine ganze 


Zahl a, so daß a"—b ist, und dann ist a— Yb, oder es findet sich 
eine ganze Zahl a, so daß a" <b und (a+1)">b ist. In diesem 


Falle ist VD keine ganze Zahl und kein Bruch. Sie kann daher, 
wenn überhaupt, so nur eine Reihenzahl sein zwischen a und a+1. 
Denken wir uns nun die Differenz zwischen beiden Grenzen, d. h. 1 
in p gleiche Teile geteilt, wo p beliebig groß ist, und betrachten die 


Reihe: 
\r 2 n 
(e+5) (+ 5 ’ 
so wächst diese beständig und über b hinaus, und es muß sich 


daher eine Zahl % finden, so dab (a + n dem unteren Bereich, 
k+ı\n 
(+) 
rn in p’ gleiche Teile geteilt und betrachten die Reihe: 
k ins 
ee) 
so gibt es aus Be Grunde eine Zahl X, so daß: 


(+, +, Zt und (a+ + >b 


dem oberen angehört. Denken wir uns das Intervall 


ist, usw. Wir MORE auf diese Weise zwei Fundamentalreihen: 


k “ k k k” 
a? a 5 s [47 7 DR LO 
;att re ee 
k ; k kr 
ar at + at; 
1 


Die Differenzen bilden eine Nullreihe, so daß nach XI, 7 beide 
Reihen dieselbe Grenze 9 besitzen, als welche ja jedes hinlänglich 
entfernte Glied eintreten kann; die eine Reihe nimmt immer ab, die 
andere immer zu. Die Reihen ihrer » Potenzen bilden nach XI, 10 
zwei Fundamentalreihen mit der Grenze 9“, von denen die eine be- 
ständig nach b hin wächst, die TE fällt. Da b ja zwischen «,” 
und ß,” liegt, ga — ip: also «”—= ß,” ist, sind die Reihen der 
Differenzen b — «,”, usw. und b — Br NOTEN also: 


ler eg” 
und die V aus Db ist in g gefunden. 


56 XII. Abschnitt. Potenzierung und Radizierung. 


11. Wir ersehen aus dem vorstehenden Existenzbeweis, daß es 
unendlich viele Reihen für Vb gibt, aber alle diese Reihen sind nach 
XLH, 7 einander gleich. Zur Kantate können wir die Gleichheit aus- 
führlich te 


br Dre en an Oo a 
A,r% ee Oyar; 
folglich: El, 
12. Va-Ve= Yaec. 
Beweis: Nach Definition des Produkts in XI, 10 gilt der Satz, 
daß die Reihenfolge der Faktoren beliebig ist auch für Reihenzahlen. 


Also ist: 
(Ya.yer - Ya)" (Ve)’—aec q.e.d. 
oder wieder zur Übung im Rechnen mit Reihenzahlen: 
Ve (000...) und 1 (HırePs ‘5; 
Va: Ye= (My, Pa °*'); 


glas a eo ae 
. & n,— Nn),- - a 
ebenso wird bewiesen, daß Ya:YVe= ns nl) 


Kurz: Da die Y eine ganze oder Reihenzahl ist, so gelten für 
sie alle Regeln der Rechnung. Man nennt diese Reihenzahlen, welche 
n® Wurzeln aus positiven reellen Zahlen sind, algebraische Zahlen oder 
Irrationalzahlen. 


13. Das für den Existenzbeweis durchgeführte Verfahren ist für 
die Berechnung zu zeitraubend. Wir können es erheblich verkürzen. 
Wir werden nur die numerische Berechnung der Quadratwurzel aus- 
führlicher behandeln, da alle anderen sich von ihr nur durch den Zeit- 
verbrauch unterscheiden und wollen das Verfahren gleich an einem 


Zahlenbeispiel durchführen. Sei &=7, &—=YVT, so finden wir aus 
der Tabelle der Quadratzahllen 2<x< 3. Statt nun beliebig mit 
eingeschalteten (interpolierten) Zwischenzahlen zu probieren, machen 
wir uns klar, daß die Funktion x°, welche für = 2 den Wert 4 hat, 


beständig wächst und daher die Y2 eine solche Zunahme erleiden 
muß, die dem Quadrat 3 zuführt. Wir werden also veranlaßt, 
die Änderung der Funktion genauer in ihrer Abhängigkeit 
von der Änderung der VERS En zu betrachten und dadurch 
auf die Formel (a + By — a?-+ 2ab + b2, also wiederum, und diesmal 
sehr energisch, auf den en hen Satz Kia, der sich 
nach jeder Hinsicht als der natürliche Abschluß der elementaren 
Arithmetik und als Ausgangspunkt der höheren erweist. Hier muß 


XI. Abschnitt. Potenzierung und Radizierung. 57 


nun 4z+2°=z2(4+2)=3 sein und wir wissen, daß O<z<1 ist, 
also 42<3, 2<7 und 42+1>3,2>7%, wenn wir z=* setzen 


8 

und YT=2+3, so ist'der Fehler kleiner als +. Wollen wir ge- 
nauer rechnen, so ermitteln wir zunächst die Zehntel, zwischen denen 
2 liegt. Wir proben mit 0,6 und berechnen die Zunahme gleich 
0,6 .4,6—=2,76, also ist der Wert der Funktion x? für x = 2,6 gleich 
6,76. Der Wert 0,7 erweist sich schon zu groß, da die Zunahme 
0,7:.47= 5,29 ist. Es bliebe noch 0,24 einzuholen. Also ist die 
Wurzel: 


26+2 und 522 +2=02%4, 2<0,l, 2<001, 


also 2 zwischen: 
0,24 0,23 
5 und 


0,47 0,01 
setzt man = 70,4, 80 ist der Fehler kleiner als 10.9 


Wir finden jetzt 0,04 zu klein, 0,05 zu groß. 


So fortfahrend sehen wir, daß wir der gesuchten Wurzel so nahe 
kommen können, als wir wollen. Wir entwickeln die beiden Funda- 
mentalreihen, von denen die eine steigend, die andere fallend, sich 


der Y7 als Grenze nähern. Die Annäherung kann in jedem Augen- 
blick kontrolliert werden, wenn wir die Zehntel, Hunderstel usw. er- 
mitteln. Ist « der gefundene Teil der Wurzel und 7—a’=R, so 
liest die Zunahme stets zwischen R durch 2a, und AR vermindert um 
eine Einheit seiner letzten Dezimale dividiert durch 2a. 


oder < 0,001. 


14. Unser gewöhnliches Verfahren ist von dem geometrischen des 
Theon, oder vielmehr seiner Tochter, der durch Schönheit und Talent 
berühmten Hypatia, nicht verschieden, und 
das letztere ist unmittelbar anschaulich. Neben- 
stehende Figur 2 lehrt alles, was zu zeigen 
ist, sofort; nämlich, daß man für die beiden 
Rechtecke mit den Seiten «a 
und z eins mit den Seiten 24 
und 2 setzen kann, und statt 
2az-+ 2? auch das eine Recht- 
eck mit den Seiten 2a +2 
und z. Geometrisch vorgetragen 
macht das Quadratwurzelaus- 
ziehen, das arithmetisch recht mühsam ist, den Jungen geradezu Spab. 
Das, worauf es ankommt, nämlich, daß man unter provisorischer Vernach- 
lässigung von 2? gegen 2az die Wurzel unschwer, so genau als man will, 
berechnen kann, begreifen die Schüler fast sofort. Man quäle sie mit 
dem Algorithmus möglichst wenig, da er doch wenige Wochen darauf 


Fig. 2. 


58 XH. Abschnitt. Potenzierung und Radizierung. 


gegen die bequeme logarithmische Berechnung aufgegeben wird. 
Überhaupt sind es selten oder nie die eigentlichen mathe- 
matischen Gedanken, welche den Schülern Schwierigkeiten 
bereiten, sondern fast immer nur der Mechanismus und Al- 
gorithmus, und da haben sie meistens recht, weil sich die Be- 
weise für die wirkliche Allgemeingültigkeit des Rechnungsverfahrens 
oft nur sehr schwer geben lassen (Simon, Methodik). 

Man bespricht dann kurz die Kubikwurzel usw. und zeigt, dab 
sie analog die Formeln (a + b)°- -(@a+b)”, d. h. den Binom ver- 
langen; man kann etwa zwei Den gewählte Kubikwurzeln auf 
zwei Den berechnen lassen. Den Algorithmus an heute nicht 
leicht ein mathematisch gebildeter Lehrer ein. 


15. Da a?= (—a)?, so hat Ya? außer a den Wert a’. Es tritt 
also hier bei dem einfachsten Fall der Radizierung schon die Mehr- 
deutigkeit auf; d. h. zum ersten Male, wenn man von 0:2 —0 ab- 
sieht, wird auf eine bestimmt gestellte Frage eine doppelte Antwort 
gegeben, und hierdurch ist die Radizierung von ‘den vier Spezies 
scharf getrennt. Insofern sowohl a als «a quadriert a?, bzw. b geben, 


werden gewöhnlich beide als Yb bezeichnet und nur ausnahmsweise 
durch die Vorzeichen + und — unterschieden. Die Interpretation 
des Gleichheitszeichens erleidet damit eine neue Erweiterung. Kommen 
auf einer oder beiden Seiten einer Gleichung Wurzelzeichen (Irratio- 
nalıtäten) vor, so kann nur geschlossen werden, daß mindestens einer 
der Werte der linken Seite gleich einem der Werte der rechten 
Seite ist. 

Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist ohne eine neue 
Erweiterung des Zahlkörpers nicht möglich, denn keine reelle Zahl 
gibt aufs Quadrat erhoben eine negative Zahl; aber für den Augen- 
blick sehen wir von dieser ab, da die Probleme, welche auf eine 
Quadratwurzel mit einer negativen Zahl führen, die quadratischen 
Gleichungen, uns zu einer Erweiterung nicht zwingen, sondern erst 
die kubische Gleichung uns in die Zwangslage versetzt, wirklich mit 
Wurzeln aus negativen Zahlen zu operieren. 

16. Wenn der Radikand die Form a”” hat, so ist eine Ya” — a”, 
da (a)” = a’””" ist, und unter vorläufiger Beschränkung auf positive 
a und positive Wurzeln gelangen wir zu dem Satz: Potenzen werden 
radıziert, indem man ibre Exponenten durch den Wurzelexponenten 
dividiert. Der Satz führt uneingeschränkt angewandt auf Potenzen 
mit gebrochenen Exponenten und wir sind jetzt nicht bloß rein 
‘ formal veranlaßt, den Potenzbegriff auf Potenzen mit gebrochenen 
Exponenten zu erweitern. 

Da kämpfen nun zwei Auffassungen — einerseits die historische, 

» p 
wonach a? definiert wird als Ver, und die formale, wonach a? zu 


XIII. Abschnitt. Die quadratische Gleichung. 59 


B gehört, der p-Zahl in der Teilreihe T und daher definiert werden 
ee 
muß als (a8). Ich bevorzuge in der Sekunda des Gymnasiums die 


formale. Die Reihe der Exponenten ne > = nn usw. befolgt nach 
wie vor das Gesetz der Zahlenreihe: Konstanz der Differenzen. Die 
Sein > Eu 
Reihe der Potenzen a?, a?, a? --- a? .-- muß, damit die Rechnungs- 
regeln gültig bleiben, ebenfalls ihr Gesetz befolgen: Konstanz der 
1 1 
Quotienten. Da a’=1, so ist dieser Quotient a? selbst; sei a — x, 
2 q 


so muß a? definiert werden als x? und a? als gleich a! = a = «1, 
SEM ‚me EN 
d.h. also a —=Ya und a? = (Va)”. Und jetzt muß bewiesen werden, 


2 
daß das so definierte a? — Var ist. Es ist aber 
it (=, q. ed. 
Die Umkehrung überlasse ich Ihnen. 
17. Hiermit hat für positive Zahlen a und deren Wurzeln die 
Definition gebrochener Potenzen keine Schwierigkeit, wenn auch n 
eine Reihenzahl ist. Nur müßten wir den Beweis liefern, daß a‘, 


wenn & hinlänglich klein, von 1 nicht merklich verschieden ist. 
1 


Sei = = wo n etwa 10% ist, so ist a >1, wenn a>1 ist 
und z. B. (1 + ß), dann ist: 
(1 + Pr = 4, a>1 pr; Be 


und da a — 1 fest und n beliebig groß gemacht werden kann, so 
kann ß<n gemacht werden, und es ist a‘ von a’r+* nicht wesent- 
lich verschieden. Am besten spricht man aber von Potenzen mit 
irrationalen Exponenten überhaupt nicht, sondern geht über zu: 


XIH. Abschnitt. 
Die quadratische Gleichung. 


1. Die Quadratwurzelausziehung ist identisch mit der Auflösung 
der rein quadratischen Gleichung: 2?=c. Ihre Lösung ist identisch 
mit der Auflösung der quadratischen Gleichung 2a +0 =c—.a, 
wz=a+tzudx=2z-a=Ve-— a ist. 

Jede gemischt-quadratische Gleichung läßt sich auf die Form 
x” + 2ax=b bringen, welche mit der obigen identisch wird, sobald 
wir b=c—.a? setzen, also c=.«a?”+b und folglich: 


een Vaihb.d, 


60 XII. Abschnitt. Die quadratische Gleichung. 


So einfach diese Lösung ist, so ist sie für die Untersekunda, wo der 
Pythagoras und der Potenzsatz geometrisch zu quadratischen Glei- 
chungen zwingen, noch zu kompliziert. Es ist einfacher zu sagen, 
x’+2ax ist nicht das Quadrat des Monoms x, auch nicht des 
Binoms © -+.a; man kann es aber dazu machen, indem man die 
quadratische Ergänzung a? auf beiden Seiten addiert. 2 + a ist 


Va+b und e=—a+YVa?+b. An Problemen, wie von einem 
Rechteck ist Inhalt und Umfang gegeben, oder die Abschnitte einer 
Sehne von gegebenem Abstand in gegebenem Kreise zu finden, zeigt 
man, wie absolut nötig die Zweideutigkeit in der Natur ist. Andrer- 
seits ist auch klar, daß wenn der Ausdruck unter der Wurzel negativ 
ist, dies ein Zeichen ist, daß das Problem unter dieser Angabe nicht 
möglich ist. Hier ist auch Gelegenheit, zuerst auf Maximums- und 
Minimumsaufgaben einzugehen. Typisch ist dafür die älteste Auf- 
gabe, die schon bei Euklid vorkommt, das Rechteck aus Inhalt 
und Umfang 2s. Es ergeben sich für die Seiten =s+e und 
y-s—.; 2—e—=i; Tlist also" Maximum für "el 0, rd heurs 
Quadrat: = s+ Vs —i; y=s—YVs’—i, also Maximum i—=?, oder 
Minimum s= Yi. 

2. Nachdem in Obersekunda des Gymnasiums bzw. Untersekunda 
des Reaigymnasiums die Logarithmenrechnung bereits geübt ist und 
die Schüler mit dem Funktionsbegriff dabei erheblich vertrauter ge- 
worden sind, muß auch die Behandlung der quadratischen Gleichung 
vertieft werden. Man sieht, daß die Lösung darauf herauskommt, statt 
x als Variable z einzuführen, also auf die Substitution z=x-+a, 
wodurch wir für 2 die rein quadratische Gleichung 2?=c erhielten. 
Diese Substitution muß aber erzwungen werden. Die Normalform sei 
x” +ax+b=(. Wir setzen für x ein: 2+ 4, wo A ein sogenannter 
Parameter ist, d.h. eine Hilfsvariable, über die wir zweckentsprechend 
verfügen. Es ist ungefähr dasselbe Prinzip, mit dem heutzutage 
‚Festungen gewonnen werden: Man wirft möglich viel Menschen hinein, 
um die Festung schneller auszuhungern. Wir erhalten: 


2+2z(.a +2) +2 +0 +b=0; 
setzen wir für A: — > so erhalten wir: 
h a2 ae B 
+5 2-0; z2-V® -2- ya; 
= ——+Vg; »—-— — — VA. 


Sieht man d als Variable an, so sieht man, daß die Parabel mit 


dem Parameter nn eine Übersicht über die Gesamtheit der reellen 


quadratischen Gleichungen gewährt. 


XIH. Abschnitt. Die quadratische Gleichung. 61 


Ist d=0, so hat die Gleichung nur eine Lösung; ist d <0O, so 
hat sie keine reelle Lösung und Lösungen nur unter Zuhilfenahme 


von Zahlen von der Form: «&+ß-V-—1 — komplexen Zahlen — 


über die wir bei Gelegenheit der Gleichungen 3. Grades ausführlicher 
2 


handeln werden. Ist a fest und 5b variabel, so ist T 


Wert, das Maximum für b. Ist b fest und a variabel, so ist V2b 
das Minimum für a. 


der größte 


3. Da die Wurzeln x, und x, Summe und Differenz derselben 
beiden Zahlen sind, so ist +, =-aund z-%=b. Das Auf- 
fallende an diesen fundamentalen Gleichungen liegt nicht darin, daß 
sich x, und z, durch « und 5b ausdrücken lassen, da ja x, und =, 
Funktionen von a und 5b sind, sondern darin, daß, während x, und 
%, in komplizierter Weise von a und b abhängen, a und b von z, 
und &, in denkbar einfachster Weise abhängen. a und b sind, ab- 
gesehen vom Zeichen, die einfachsten symmetrischen Verbin- 
dungen, bzw. Funktionen der Wurzeln. 


4. Ersetzt man in f(x), der quadratischen Form, a und b 
durch x, und &,, so geht f(x) über in #2 — (x, +2,)% + (x, :%,) oder 
in (@—2,)(& —%s). Die Form verwandelt sich also durch Adjunktion 
von x, und &, in ein Produkt, was auch immer & sei, und man sieht, 
daß die Summe f(x) nur deshalb für x, und &, den Wert O hat, 
weil sie identisch ist mit einem Produkt von zwei Faktoren des 
1. Grades. Die Gleichung 2. Grades f(x) = 0 vertritt die Stelle 
zweier Gleichungen 1. Grades: 


+, —Vd=0; + +YVa=0. 


Es ist wichtig, dies Resultat die quadratische Form betreffend, un- 
abhängig von der Auflösung der quadratischen Gleichung zu zeigen. 

Es sei v ein beliebiger, aber bestimmter Wert der Variablen, dann 
ist f(x) — f(v), weil das konstante Glied weefällt und a” — b* durch 
a — b teilbar ist, gleich (« — v)-Q, wo Q für unsere Form 2. Grades 
gleich  +v-+.a ist. Da f(x) — f(v) Null ist, nicht nur wenn x=v, 
sondern auch wenn =0 ist, d.h firc=o, wv+o=—.a, 80 
sieht man, daß die Form f(x) denselben Inhalt erhält für je zwei 
Zahlen, deren Summen gleich — « ist und nur für diese. Nur wenn 


v und ® gleich werden, d.h. für = — > nimmt die Funktion f(x) 


den Wert r(— 5) — — (a = 0) nur einmal an. Ist v=x, eine 


Wurzel der Gleichung f(x) =0, d. h. ein Nullwert der Funktion 
f(x), so ist auch = %, = —-a-—x, ein zweiter Nullwert und ein 
dritter ist ausgeschlossen. 


62 XII. Abschnitt. Die quadratische Gleichung. 


5. Der Beweis des Satzes läßt sich noch vereinfachen und ver- 
allgemeinern. Sei f(x) eine Form beliebigen Grades, z. B. n'“ Grades, 
so läßt sich f(x) durch «— v dividieren und man erhält: 

f@)=-(@-v) Q@+R, 
wo @ eine ganze rationale Form oder Funktion vom höchstens 


(n — 1)” Grade in x ist und R vom 0° Grade ist, d.h x gar nicht 
enthält. It 2=v, so it 2-v—=0 und fwW)=R, also R=f(v), 


also: 
fe) - fo) =-@—v)e. 

Ist v eine Wurzel der Gleichung f(x) =0, d. h. eine Nullstelle der 
Funktion, so ist fv)=Ö und f(x) = (2 —v)Q. Wir haben hier den 
wichtigsten Satz der Algebra. Ist v eine Wurzel der Gleichung 
n® Grades f(x)=0, d.h. eine Nullstelle der ganzen ratio- 
nalen Funktion n® Grades f(x), so ist f(x) durch 2 —v ohne 
Rest teilbar. Hieraus folgt, daß keine Gleichung mehr Wurzeln 
hat, als ihr Grad anzeigt; indem wir uns für jetzt auf die Form 
2. Grades beschränken, folgt, da @ vom 1. Grade, daß, wenn ein x, 
existiert, für das Funktion f(x) = 0 ist, auch ein x, existiert: Wurzel 
von )=0, und daß fa) = (2 — x2,)(& — %,) ist für jeden Wert des 
x oder identisch. Hieraus folgt, wenn man <=0 setzt, 2%, :% = b 
und fir =1l:2, +2%,=-—a. Es macht keine Schwierigkeiten, 
diese Sätze zu verallgemeinern. 

6. Man sieht, daß die Auffindung der Wurzeln identisch ist mit 
dem Problem, zwei Zahlen zu bestimmen, deren Summe und Produkt 
gegeben ist, sieht auch sofort die Zweideutigkeit des Lösungssystems 
und hat Veranlassung, Systeme von quadratischen Gleichungen mit 
zwei Unbekannten zu lösen. Von Systemen mit drei Unbekannten 
nur die allereinfachsten, wie etwa: 

2+ypP+2, a+y=2, ayH+y2+ 20; 
dann sind aber auch alle Lösungsysteme zu berücksichtigen. 

Diese Systeme gehören in die Algebra, speziell in die Elimi- 
nationstheorie. 

7. Man muß jetzt bemerken, daß die scheinbare Leichtigkeit der 
Auflösung der f? darauf beruht, daß die eigentliche Arbeit schon bei 
der Quadratwurzelausziehung geleistet worden ist. Bei der Repetition 
in Obersekunda oder Prima muß man die direkte Lösung unabhängig 
von der Wurzel durchführen und zeigen, daß zwischen beiden Aloo- 
rithmen kein nennenswerter Unterschied ist. 

8. Sei y=f(x) eine ganze rationale Funktion »‘® Grades, also: 


> a, x”=' dann handelt es sich darum, einen oder mehrere oder 


0 
alle Werte des x zu ermitteln, für die y, d.h. f(x), den Wert Null hat. 


XII. Abschnitt. Die quadratische Gleichung. 63 


Man sieht, die Auflösung der algebraischen Gleichungen beliebigen Gra- 
. des ebenso wie die der Gleichungen 1. Grades, der Divisions- und Sub- 
traktionsgleichung, sind spezielle Fälle eines sehr allgemeinen 
Problems und dieses heißt Umkehrung des Funktionalverhält- 
nisses. Es handelt sıch hier darum, x so zu bestimmen, daß,y den 
Wert Null, oder die einfachere Funktion p(x) = x? -+ ax den‘ Wert 
—b hat, d. h. also, x aus y zu bestimmen. Das heißt aber, x als 
Funktion von y betrachten. Dabei muß sich herausstellen, und darin 
lag der Unterschied der quadratischen Funktion von denen des 
1. Grades, daß, während zu jedem x nur ein y gehört, zu jedem y 
— mit einer einzigen Ausnahme — zwei Werte des x gehören. 
Man sagt: y ist eindeutige Funktion von & und & zweideutige von y. 

9. Der Begriff Funktion, der jetzt generaliter die Abhängigkeit 
einer Größe von einer anderen bezeichnet, hat im Laufe der Zeit 
mannigfaltige Änderungen erlitten. Ursprünglich Bezeichnung der 
Potenzen einer und derselben Grundzahl nannten Leibniz und nach 
ihm Bernoulli und Euler jede Größe y Funktion oder abhängig 
von einer anderen x, der Unabhängigen (d. h. variablen) oder 
des Arguments x, sobald für y ein analytischer Ausdruck vorlag, 
wie y=ax®—b oder y=sin& — cosz allgemein y—= f(x), durch 
welchen die Anderung des y an die des x gebunden war, und dehnten 
diese Bezeichnung auch auf den Fall aus, wo diese Bindung durch 
eine Gleichung bewirkt wurde, die, außer y und &, nur Konstanten 
enthielt, wie: #2 — 2axy+b=0, allgemein p(z, y) =. 

Im ersten Falle heißt y explizite Funktion, im zweiten implizite. 
Die Fourierschen Reihen (trigonometrischen), welche gestatten, eine 
willkürliche Zahl y darzustellen, auch wenn y in verschiedenen 
Teilen des Gebiets von x ganz verschiedenen Gesetzen gehorcht, 
zwingen dazu, den Begriff umzuprägen. Funktion einer reellen Ver- 
änderlichen x in einem gegebenen Gebiet oder Intervall von a bis 
db, d. h. zwischen <=a und <=, heißt jetzt jede Größe y, welche 
für jeden besonderen Wert, den x in seinem Gebiete annehmen kann, 
einen einzigen und bestimmten Wert hat, welcher durch den des 
x gegeben ist oder gefunden werden kann, gleichviel ob durch Rech- 
nung, geometrische Konstruktion, Beobachtung oder sonst wie. So 
ist ein Dezimalbruch, dessen Stellen wir auswürfeln, Funktion der 
Anzahl der Würfe, während die Quadratwurzel von & erst nach Fest- 
setzung des Zeiehens zur Funktion von x wird. 

10. Von den Funktionen sind die wichtigsten die stetigen oder 
kontinuierlichen. Das Argument x heißt stetig im Gebiet a — b, 
wenn es jeden Wert zwischen a und b, die Grenzen inklusive, an- 
nehmen kann. Eine Funktion y von x heißt stetig, wenn nach An- 
nahme einer beliebig kleinen positiven Zahl Ö sich eine positive Zahl 
&, Funktion von d, finden läßt, so daß, wenn x sich um nicht mehr 


64 XIH. Abschnitt. Die quadratische Gleichung. 


als + & ändert, sich y um nicht mehr als + Ö ändert. Man bringt 
seit langer Zeit, eigentlich schon seit dem Einmaleins, den funktio- 
nalen Zusammenhang durch Tabellen, deren es außerordentlich viele 
gibt, zum Ausdruck, auch mehr und mehr graphisch durch Kurven. 
Dabei ist aber zu bemerken, daß eine geometrische Darstellung durch 
Kurven nur möglich ist, wenn die Funktionskurve im allgemeinen in 


jedem Punkte eine bestimmte Richtung hat, d. h. das Verhältnis 8 


sich überhaupt einer bestimmten Grenze nähert, d. h. ebenfalls Funk- 
tion von & ist. Das erste Beispiel einer stetigen, aber nicht diffe- 
rentiierbaren Funktion gab Riemann in seiner Habilitationsvorlesung 
von 1854, das berühmteste ist die Weierstraßsche Funktion (Crelle 
79, Seite 269). Sehr einfach ist das Beispiel von H. A. Schwarz, 
Gesammelte Abhandlungen, Band II: 


yla) = Ela) + Vz — ER), 
wo &(2) die Legendresche Funktion von &, d. h. die größte in 
enthaltene ganze Zahl bedeutet, und die Wurzel positiv ist, und & 
selbst nicht <(. 
Die Kurve y=g(«) besteht aus lauter kongruenten Parabel- 
stücken. Y =Y®%; % zwischen 0 und 1, und hat für jeden ganz- 


zahlisen Wert eine Ecke, an der die Parabelstücke aneinander stoßen. 
Es ist: 


yl)=1; pyl+9)=1+Yyo, IH 


VE 
| es 
also wenn d =(, über jedes Maß groß. 
Verdichtet man diese singulären Stellen nach einem bekannten 
Weierstraßschen Prinzip, so entsteht die Funktion: 


I, 


gr Di 


wo n alle ganzen Zahlen von 1 bis unendlich durchläuft. Sie ist für 
den Bereich von 0 bis © eine eindeutig erklärte stetige Funktion, 
welche beständig mit x wächst. Doch lassen sich in jedem noch so 
kleinen Intervall x bis (£+n) unzählig viele Werte x’ angeben, für 


f@ + —f@) 
Ö 


welche 


‚ wo h vom positiven her sich der OÖ nähert, 


über jedes Maß wächst. Diese Funktion ist also nicht graphisch 
darstellbar. 

11) Aus der tabellarischen Darstellung ergibt sich nun der Satz, 
der das Umkehrungproblem ganz allgemein löst: 

Wenn y im Gebiet des x von a bis b von A bis B stetig 
und gleichändrig oder monoton ist (d. h. beständig wächst 
oder beständig fällt), so ist die funktionale Beziehung um- 
kehrbar, d. h. zu jedem Wert Ü des y zwischen A und 5 läßt 


XII. Abschnitt. Die quadratische Gleichung. 65 


sich mittels des Grenzverfahrens ein und nur ein Wert e 
des x zwischen a und b berechnen, so daß f(c) gleich C im 
erweiterten Sinne des Gleichheitsbegriffes ist, d. h. daß 
f(e)— € dem absoluten Betrage nach nicht größer als 6Ö. 
Der Beweis wird genau wie in XII, 10 geführt, am bequemsten 
durch fortgesetztes Halbieren des Intervalles. 

12. Wir wenden uns zurück zu fx)=x&+ax+b. Wir be- 
weisen, die Wurzeln sind, wenn a und b ganze Zahlen, entweder 


ganze Zahlen oder Reihenzahlen. Voraussetzung: : ist eine 


Wurzel und p und q teilerfremd, so müßte 9 = — g(ap + bg) den 
Teiler g haben. Wir untersuchen nur die Funktion 2 — ax +b, weil 
sie durch Verwandlung von & in —xz in @®+ax+b übergeht. 


. A . . [44 . . 
Nimmt x beständig zu von — oo bis 5, so nimmt y ab von oo bis 


(2-5), es hat für = 


a ° 5 
; — seinen kleinsten Wert. Denn wenn x 


[47 . & ef . . . . . 
von „ bis oo wächst, so wächst die Funktion, weil ihre wesentliche 


Zunahme &(2x — a) jetzt fortwährend größer als Null ist und &? gegen 
& verschwindet. Die Funktion ist für jeden Wert des & stetig und 
differentiierbar, also auch graphisch darstellbar, nämlich durch eine 
vertikal gestellte Parabel. Sie hat zwei Intervalle zum Unterschied 


a 


von den Funktionen 2-+a und ax, das eine von = — x bis — Et 


in dem die Funktion monoton und stetig fällt von + oo bis — (< _ 0), 


2 
das andere Intervall vnx=+ - bis + ©, in dem sie von — (Z - 0) 


bis oo wächst, gleichändrig und stetig. Wenn wir den Minimalwert 
zu beiden Intervallen rechnen, so nimmt die Funktion jeden Wert 


zweimal an. Ist nun - (7 -2)<0, also d>0, so gibt es in 


jedem Intervall einen Wert des x, für den f(x) gleich Null ist, den 
wir durch das Grenzverfahren berechnen können. Falls d=0, also 


2 
auch —d=(0, so sind beide Wurzeln gleich — f(x) ist (2 5): 
Wir sagen aber in diesem Falle: Die Wurzel - ist eine doppelte 


Wurzel, da wir den Wert r zu beiden Intervallen rechnen. 
13. Das Grenzverfahren läßt sich genau wie bei der Gleichung 
2=?—c=( abkürzen. Wir nehmen als Beispiel: 
© —- 122 719=0:; z=10 zu klin, f@)=-1; 
z=11l zu groß, fa)=x& —-12)+19=+8; <=-10 +3; 
Zunahme 2(2:10 — 12) +2; fla) - f(l10)=1; 


Simon, Methodik der elementaren Arithmetik. 9 


66 XIV. Abschnitt. Der Logarithmus, 


1 1 1 
ET Arte 


Zunahme —— (2:10—12+2)=8,1-0,1—0,81, Rest 0,19; 


Zunahme z(2. 10,1 — 12) + 2°, usw. 


Man sıeht, das Verfahren bleibt absolut dasselbe wie bei der Quadrat- 
wurzelausziehung, nur, daß nach der Verdoppelung zum jedesmaligen 
Divisor — 12 dazukommt. 


XIV. Abschnitt. 


Der Logarithmus. 


1. Historisch: Der Gedanke, die arithmetische Reihe der Ex- 
ponenten einer positiven Grundzahl «a mit der geometrischen ihrer 
Exponenten in Korrespondenz zu bringen, und so die komplizierten 
Rechnungsarten: Multiplikation, Division, Potenzierung und Radizie- 
rung um je zwei Stufen zurückzuschrauben, läßt sich von Archi- 
medes über Jordanus Nemorarius, Chuquet, Luca Paciuola 
Stifel bis Jobst Bürgi und Neper fast ununterbrochen verfolgen. 
Aber um den Gedanken durchzuführen, alle (positiven) Zahlen als 
Potenzen ein und derselben Grundzahl anzusehen, mußte erst die 
Masse der Potenzen verdichtet werden. Es mußte erst Chuquet 
negative Potenzen und wunderbarerweise vor ihm der Bischof Oresme 
etwa um 1550 gebrochene Exponenten einführen, die allerdings erst 
wieder bei Albert Girard 1625 und dann vollständig bei Newton 
auftauchen. Die heutige systematische Darstellung danken wir Eulers 
klassischer Introduktion und noch mehr seiner berühmten elementaren 
Algebra, die sogar in Reclam-Ausgabe erschienen ist. 

2. Wie wir a" =c nach c und nach a aufgelöst haben, können 
wir diese Gleichung auch nach » auflösen; dann heißt » der Loga- 
rithmus der Zahl oder des Numerus c im System mit der Basis a. 
Das Wort Logarithmus ist von Neper eingeführt, dessen Mirifici 
logarithmorum canonis descriptio, die erste gedruckte Logarithmentafel, 
. 1613 in Edinburgh erschien, da Jobst Bürgi zur Drucklegung nicht 

zu bewegen war. Das Wort bezieht sich auf die Proportionalität der 
aufeinander folgenden Numeri: „Numerorum proportionalium aut quan- 
titatum sunt aequidistantes logarithmi“ (Mantisse: Wallis). Der Begriff 
der Basis findet sich zuerst bei Briggs. Wir schreiben n = «log c 
und lassen, wenn keine Verwechselung zu befürchten, die Basis «a weg. 

3. In Obersekunda, wo man mit der Logarithmenrechnung be- 
ginnt, muß zunächst die Potenzierung vollständig repetiert werden, am 


XIV. Abschnitt. Der Logarithmus. 67 


besten jetzt vom rein formalen Standpunkt. Es wird dann zum 
Schlusse zum erstenmal gezeigt, daß, so zerrissen der Begriff ist, ein 
gemeinsames Band besteht in der Funktionalgleichung: 


I. ef) =rfa@+y). 

Man beweist den Satz: 

Ist f(a)f(y) = f(@ + y) für jeden beliebigen Wert des x und y 
und hat f(1) einen bestimmten Wert +0, so ist f(«) = [f(1)]” für 
jeden Wert des x, für den die Potenz erklärt ist. Zunächst leitet 
sich aus I ab: 


I. a) = fine), 
worin n eine Anzahl ist, dann folgt, daß f(0)=1 ist, ferner, daß 
fe):fy)=fl2—y) und aus I, daß A) = Vf), d. h. also die 
vier Potenzregeln. Setzt man in II: 

a a ie 
so ist f(n) = a”, also der Satz richtig für n=1,2,3---, und da 
0)=1= a), auch für n= 0, dann folgt aus 1: 


1 


N rt f-m)=- 


also: 


1 
n 


[4 


N 
und letztens: 
DNE SS re SE en 
ra)l=tW=w, f(F)-Var-ar. 
Damit ist der Satz bewiesen. 
4. Wir setzen voraus, daß «> 0 und +1, ja aus Bequemlich- 


keit sogar, daB a>1 ist. Als Existenzbeweis des Logarithmus ge- 


nügt zunächst die Annahme von «= 10 und der schon gegebene 
1 


Nachweis, daß»@”, wenn » hinlänglich groß ist, so dicht an 1 heran- 
gedrängt werden kann, als man will. Setzt man n = 10%, so sieht 


man, daß die Potenzen von 10, welche nach = fortschreitet: 


? 


1 2 
101°, 101% usw. ein hinlänglich dichtes Netz stets wachsender 
Zahlen bilden, in dessen Maschen jede vorgegebene positive Zahl 
gefangen wird. Damit ist ein für diese Stufe genügender Existenz- 
beweis gegeben. Zur numerischen Berechnung des Logarithmus be- 
dient man sich zunächst des einfachen Verfahrens der fortgesetzten 
Quadrierung, d. h. Halbierung des Intervalles, welches schon Briggs 
anwandte. 

Beispiel: 9 (0 Bl: 

DEREN ANNE 20,50 10T 2; 

br 


63 | XIV. Abschnitt. Der Logarithmus. 


0,25 < 20,5: 1026561, 37-982 4 0,30 

101 42,986/121;°10°%°=1716 210277101 10°7°730 ZA DE 
2161: 1298= 0A 

während die fünfstellige Tafel 0,4712 zeigt. 

5. Der strenge Existenzbeweis macht ebenfalls keine Schwierig- 
keiten. 

Setzen wir «> 1 voraus, so ist schon bewiesen, daß a” mit 
wachsendem x beständig wächst, und zwar wächst es, wenn x von 
— co bis + oo wächst, von OÖ bis + oo, denn: 


a=(l1+p”">1+np>10, 
sobald: . 


n > © und  mu2>310% und a. en 


Es muß nur noch gezeigt werden, daß a” Be stetig ın Fe 
XIII, 10 definierten Se ®?(a—1); s 


= 1, so ist zu zeigen, daß bei gegebenem beliebig kleinem n das 


1 
a? ae 1) kleiner als 7 gemacht werden kann. 
Wenn a>]1, so ist: 
1 
a" - ltr: Ita; 
also: 
1 


I+nr<a, re oder mel 


u 


5 A 
Wenn also 


art: — a® g N. 

Die Funktion a” ist also gleichändrig und stetig zwischen 
z=—oo unddx—=-+ oo, und es gehört zu jedem Wert der Funktion 
zwischen 0 und + oo ein durch eine Reihenzahl zu ermittelnder 
Wert des &, d. h. zu jedem positiven Numerus gehört ein Loga- 
rithmus. 

6. Anders ausgedrückt: es lassen sich jetzt alle positiven Zahlen 
als Potenzen der positiven Zahl «> 1 darstellen. Hat man den Ver- 
lauf der Funktion a” in eine tabellarische Übersicht gebracht oder in 
eine Logarıthmentafel, so gehen die vier Potenzregeln in die vier 
Logarithmenregeln über: 


on-lpr+lg; KB -lep-Igg; 


ı, d.h. n ee, bzw. e< ee 
n 


0a. 


N i' 
gp—-nlep; gVpr=--1gn. 


Die Logarıthmen bürgerten sich erst ein, als Neper auf den 
Rat von Briggs 10 zur Grundzahl machte. Diese Grundzahl hat 


XIV. Abschnitt. Der Logarithmus. 69 


den Vorteil: a) das man die Ganzen der Logarithmen, die Charakte- 
ristik (Kennziffer) sofort erkennen kann, da sie, wenn die Numeri 
dezimal geschrieben sind, mit der Ordnungszahl der höchsten gelten- 
den Ziffer übereinstimmt und b) und das ist der Hauptvorteil, dieselbe 
Mantisse gilt für alle Zahlen, die sich nur durch die Stellung des 
Komma unterscheiden. 

7. Historisch: Den entscheidenden Anstoß gab Michael Stifel 
in seiner Arithmetica integra von 1544, Buch I, S. 35, der die arith- 
metische Reihe der Exponenten, das Wort stammt ebendaher, mit der 
geometrischen der Potenzen, wie schon vor ihm Chuquet und vor 
beiden Archimedes in seinem Sandzähler, in Korrespondenz setzte. 
Stifel sprach es an der angeführten Stelle ganz klar aus, daß auf 
diese Weise die Rechnungsarten der dritten und vierten Stufe in die 
der ersten und zweiten Stufe übergehen. Seine Bemerkungen druckte 
Simon Jakob im Rechenbuch von 1565 ab, und dies Buch las Jobst 
Bürgi, der zwischen 1603 und 1611 die Arbeit vollzog, ein hinläng- 
lich dichtes Netz von Numeris zu entwerfen, indem er zu den Loga- 
rithmen 10. 20 : 30 - - - die Potenzreihe bildet: 10%(1,0001!, 1,0001? .-- 
usw., es sind also Tafeln, die man heute Antilogarithmentafeln 
nennt. Der Nepersche Kanon ist eigentlich eine Tafel der Loga- 


rıthmen des Sinus, Kosinus, Tangens; er addiert nicht sondern 


1 
10000 ? 


subtrahiert 0000: Weder die Bürgischen noch die Neperschen 


Logarithmen sind natürliche Logarıthmen. Henry Briggs hat das 
Verdienst, dekadische Logarithmen einzuführen, er veröffentlichte ım 
Jahre 1617, dem Todesjahre Nepers, das erste Tausend achtstelliger und 
1629 in der Arithmetica logarith. die vierzehnstelligen Logarithmen aller 
Zahlen von 1 bis 20000 und 90000 bis 100000. Die Lücke füllte 
der holländische Buchhändler und Mathematiker Adrian Vlacgq aus, 
der in einer sogenannten zweiten Auflage der Arithmetica die Briggschen 
Logarithmen auf zehn Stellen und die fehlenden von 20000 bis 
90000, außerdem die direkten Logarithmen der Funktionen Sinus, 
Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans gab. Auf Vlacq 
gehen eigentlich alle späteren Tafeln zurück, von denen besonders die 
großen Vegaschen siebenstelligen Tafeln von 1783 noch Erwähnung 
verdienen. (Bei Vlacq noch 171 Fehler, bei Vega nur noch fünf in den 
sieben ersten Dezimalen.) Von Vega rührt der praktische Stern her. 


10 XV. Abschnitt. Der binomische Satz. 


XV. Abschnitt. 


Der binomische Satz. 


1. Die Radizierung sowohl wie die Logarithmisierung weisen auf 
die Formel («+ 5)” hin, die für die Spezialfälle » — 2, 3,4 schon 
den Hellenen bekannt war und langsam weiter entwickelt wurde. 
Die Regel über die Multiplikation einer Summe ergibt: 


it BD a)” es 708 2 nt a ph GEL ar ar a een 
n 
- 2 BL ar Ro 
k=UV 
wo die c ganze Zahlen sind, welche von n und % abhängen; man 
kann diese Binomialkoeffizienten rein arithmetisch als explizite bzw. 
independente Funktionen von n und % bestimmen. Es ist: 


re El n Se — e(n+1 
On Lu, ee 
Diese Formel genügt, um sukzessiv sehr schnell die Koeffizienten zu 


bestimmen. Durch das sogenannte Pascalsche Dreieck, das Pascalsch 
heißt, weil es sich schon bei Stifel findet: 


121 
1331 
14641, 


und es läßt sich daraus der Ausdruck für c,” unschwer ableiten. 
Bei genauer Überlegung tritt aber die Bedeutung des Binomial- 
koeffizienten direkt hervor: c,*” zählt, wie oft das Glied x” -*a* ge- 
bildet wird durch Auswahl von je a — %k Gliedern x und %k Gliedern 
a immer aus je einem Faktor. Die Abzählung wird durch die 
Unterschiedslosigkeit der Faktoren erschwert; man gibt deshalb den 
Faktoren a Nummern von 1 bis » und sieht, daß x*°=* multipliziert 
ist mit der Summe der Kombinationen der a zu je k. Man sieht, c,” 
zählt, wie viel elementar verschiedene Auswahlen sich aus den » Ele- 
menten a zu je / treffen lassen. 

Wir müssen jetzt die notwendigsten Formeln aus der Kombina- 
tiorik, der Zählung von Zählungen, aufstellen. 

2. Es kann zunächst gefragt werden, auf wie viel verschiedene 
Arten die Menge n gezählt werden kann oder, was dasselbe ist, wie 
viel Anordnungen — Permutationen — sich von n Elementen bilden 
lassen. Die Anzahl sei P,, so ergibt sich sofort die Funktional- 
gleichung: PA =n: P,_,, da das n-Element in jeder der P,_, Formen 
von n— 1 Elementen » Plätze einnehmen kann, und da P, =1, so 
ist P,=1:-2-.3..:n=n! gelesen n Fakultät und nach Kramp 
(Arithmetica universalis 1808) »! bezeichnet. 


XV. Abschnitt. Der binomische Satz. 11 


Werden aus den n Elementen Auswahlen zu je k getroffen, so 
ergibt sich die Funktionalgleichung der Variationen k Klasse: 


vw9—=r.ı:n— (k—D), 
und da v,”=n, so ist: 
v®=nn—1):---n—k-D)=[n|k], 
gelesen n neben k: 


k=[k|k) und [ala+1]=0, 
u n! 
Pl mr 
Wird schließlich die Anzahl der elementar verschiedenen Formen 
von n Elementen zu je k, der Kombinationen im engeren Sinne 
verlangt, so erhält man dieselbe durch den Satz: 
n n n_ |r|Kl n! n In Ik] 
vo‘ )— c,‘ IR 2% also Ge [% | R] = n—k)ık! = () — ae) 
gelesen: n über %k seit Euler, auch n, gelesen n tief % mit Abel, die 
Acta mathematica schreiben [n, die Engländer Ln. 
3. Aus der Bedeutung von », als Kombinationszahl ergeben sich 
ohne Rechnungen: 


(1) NN. 
(2) tm a=R+D), 
und (3) die Verallgemeinerung von (2): 


n=k 
(3) en I El a BE = Dr, 5 
NA=0 


Die Formel (1) gestattet den Bereich der Funktion n, zu er- 
weitern, indem wir festsetzen „,n=1, ,=1, n_,=0. Lassen wir k 
auf ganze Zahlen beschränkt, so behält », für jeden den Rechnungs- 
regeln unterworfenen Wert des » einen eindeutigen Sinn, und wir 
müssen Formel (3) und damit auch (2) arithmetisch für jeden Wert 
der Zahlen r und s beweisen. Die Formel ist äquivalent mit der 
Formel, die man erhält, wenn man die Gleichung mit %! multipliziert: 


[e+9|2]= > [r|k—pllis|olk,, 


wo r und s beliebig und % eine Anzahl ist. 

Da die Gleichung für k=1 und k=2 ohne weiteres gilt, so 
beweist man sie durch den Schluß von n auf »-+ 1 mittels des 
Kunstgriffes r +s— %k zu zerlegen in r—(k—p) und s—p, also 
was nicht uninteressant ist; es wird jedes Glied auf der rechten 


iR XV. Abschnitt. Der binomische Satz. 


Seite auf verschiedene Weise multipliziert, aber so, daß es doch 
r+s— kmal genommen wird wie erforderlich, da: 


[r|k+1]= [n| klin — k). 


Man hat somit: 


r +9) |k+1]= Dr |k+1-plls|olk,+ > k—pl[s|p-+1jk, 
k+1 k+1 
- >’ [rk +1 plls|plk, + > ie + 1—plls|olk,. 


+1 


— DI, [r k+1-plls|plk+1),, q. ed. 


4. Der Binom nimmt jetzt die Form an: 


(© + a" = (m)ar-tak, 
0 


und da zunächst n als Anzahl vorausgesetzt ist, also n,,„=0, so 
können wir auch schreiben: 


(es) 


(+ a), - > nal 
0 


Man tut gut, die Formel durch den Schluß von n aufn+1 
noch elementarer zu beweisen. Es ist: 


o o 
(ce + at! = > mar timkgb 4 > mar =tattt, 
0 : 0 


Da wir in der zweiten Reihe als allgemeines Glied so gut das 
k® wie das (k + 1)'* nehmen können und n_,= 0 ist, so hat man: 


[e 0) [e ») 
(x + a" +!= > Nat t—kat + >’ a: 
0 0 


[e,.) ao 
- (n,+ n,.,)a" 1 =Fa* - 2 (nr tiztor, 
0 0 


Der Binom bewiesen durch vollständige Induktion gilt nun für 
jedes n, das durch Zählen erreicht werden kann, also für den Fall, 
daß die linke Seite eine Potenz im ursprünglichen Sinne ist; x und a 
können beliebig sein, nur müssen sie den Regeln der Rechnung ge- 
horchen. 

5. Nun geht man die Erweiterungen des Potenzbegriffes der Reihe 
nach durch: 


n=.1: (©+ a=xc-H u. 


XV, Abschnitt. Der binomische Satz. 73 
Die rechte Seite: 
l,2a +1l,0d=x-+a; 


der Satz bleibt gültig; 


je.) 


n-0:(@+a=1, D.- - 0a =1. 
0 | 
Der Satz gilt noch immer. Jetzt n=— 1: die linke Seite — : 


Ri c+a?’ 
die rechte Seite > 1),2”1=*a* gibt eine unendliche Reihe. 
0 


Wir vereinfachen zunächst die Formel etwas; da 
@+a=a(l+) —-=ı(l+2), 


so ist der Binom { mit der einfachen Formel: 


(1+ 2)” - > N.2*. 
0 


Für n=— 1 geht die linke Seite über in —. 


i-+2 
in 2 (— 1)*2*, d. h. es ist die Grenze der Reihe: 
0 


, die rechte Seite 


1, 1-3; 1—-2-+2°; 1—-2+2°—-2°.... 


Es fragt sich, ob diese Grenzen als Zahl der Zahlenreihe existiert, 
d.h. ob die Reihe eine Fundamentalreihe. Es ist: 


= tellete hen), 


daher a,,,— a, dem absoluten Betrage nach < als: 


ER RE 
zr(1+Jl21+---+|29, d. h. <del). 


Wir sehen, sobald |z2|<1, ist: 


I [ei 


2] 
u Baer 


und kann mit hinlänglich großem 7 <s gemacht werden; also hat, 
wenn |2|< 1, die Reihe eine Grenze g als Reihenzahl; die Zahl 


1 5 ; 

ap = y kann als die Reihenzahl: 
os 2° 2 BEN, 
re a Ti. 


angesehen werden, deren Glieder alle =y sind und y—g ist eine 


Nullreihe, da: 
k 
’ z 
ke el Dh Ya er 


74 XV. Abschnitt. Der binomische Satz. 


wenn |2| <1: also: 
1 
a rer 
Der Binom gilt also für n = — 1, aber mit der Bedingung, daß 
'2\,<1,.d. h. daß die Entwicklung von (+ a)” nach steigenden Po- 
tenzen des kleineren Summanden fortschreitet. Sobald |z| nicht wirk- 


lich <1, werden alle Schlüsse, auf die der Beweis sich gründet, hin- 
fällig. Die Reihe der Differenzen wird, wenn |2| > 1, dem absoluten 


Betrage nach immer größer, die Reihen > divergieren. 


0 
6. Man erleichtert den Schülern die Sache, wenn man statt 2 


einführt — og und in genau gleicher Weise die Gleichheit von —— 


[ee] 
Bea } er 
De und > o* begründet. 
ws 0 


Man kann den Beweis 
auch geometrisch führen. 

Man sieht sofort (Fig. 
3), daß, wenn: 


o<1 ist, AO= De’ 
0 


und: 


EL Ne ehe 
ACT er 
Ist o=1, so rückt © ins Unendliche und ist e > 1, so existiert 
( überhaupt nicht. 


7. Sei nun: n eine beliebige Zahl, wir betrachten die Reihe 


[0'e) 


> N,2*, sie ist die Grenze der Reihen: 


(1) 1,1+n3; 1+n2+1%2; seh 

= Rn PHD) nm p+k— nen 
Gy. —0y=ern,) ee ee 
uno a1 re) mn nn 2 


p+1 | @+De-+2% 


Da n eine bestimmte, also endliche Zahl und p ohne Grenze, so 
kann = <g gemacht werden, also: 
Kon + (1 +8)l2|+---+(1+ ct|a]ent 
und wird (l+.)2<1, also |z| selbst merklich kleiner als 1, so ist 


1—|(1+9z|* 
1—-|(1-+92]| 


18] < 


XV. Abschnitt. Der binomische Satz. 765) 


also: 
1 
a<7., we-ll+gsl<i 
und: 
een, 
bb sr , 


welche Zahl, da |2|)< 1, so klein gemacht werden kann als man will 
für hinlänglich großes p und beliebiges X. 

Also definiert (I) eine Zahl 9 Daß nun g=(1+z)", ist be- 
wiesen, sobald gezeigt wird, daß für g, welches bei festem z und 
\2\<1l eine Funktion von » ist, die Fundamentalgleichung der Po- 
tenzen gilt f(r)f(s)=f(r + s). Nach Definition des Produktes zweier 
Reihenzahlen ist: 


fer) fs)=1+2: 4a 1, It N, 1.28 Y, Ge 
KIN Its) er Hrr-ısı 
se +1r,S ee 
785 | VoS% 


also nach Formel (3) auf 3.71, deren Alloemeingültigkeit bewiesen ist: 
frr)=fer+9), 
und da flj=1-+z, so ist fm) = (1-+ 2%. 

8. Hiermit ist der Binom für |2|)<1 und alle den Rechnungs- 
regeln unterworfenen Zahlen n bewiesen. Die Ausdehnung des Bi- 
noms auf negative und gebrochene, kurz auf beliebige Exponenten 
bildet die Wasserscheide zwischen der Arithmetik und Analysis. Mit 
Recht hat Newton, der Urheber dieser Ausdehnung, auf sein Grab 
in Westminster diesen Satz als seine größte Leistung unter so vielen 
großen schreiben lassen. Mittels des allgemeinen Binoms kann nun 
die Radizierung direkt gegeben werden, z. B. y1001: 

ION 10 elle, 


1001% = 10(1 + 9% = 10(1+ 4 2— 52°+R), 


< (5) nn N : 
V65=2(1+4,) -2(1+42- 5 ?+R), 
WwoOö 


55 1 1 
R< 1296 64° < 5000000 


76 XVI. Abschnitt. Kubische Gleichung. 


XVI. Abschnitt. 
Kubische Gleichung. 


1. Sei @°+ «2° + ßx+ y eine Form dritten Grades, oder eine ganze 
rationale Funktion dritten Grades von «. Wir versuchen, sie in 
eine rein kubische Form umzuwandeln und schaffen zunächst das 
Glied x? weg durch die Substitution = 8-+ 4, wir erhalten: 

f@)=-fE+N)=-8+8BR+a)+5BR +20 + P)+f(A), 
letzteres folgt sofort daraus, daß für &=0 links f(A) und rechts 


auch übrig bleiben muß, also durch die Substitution « = 8 — rn geht 


f(x) über in &®—8$ (z —ß) +f (- =), dies ıst eine rein kubische 
Form, wenn @=35ß ist. Wir nennen die Form 2° — 3ax — 2b und 
führen für x ein «+ v und bilden (u + v)?, welches gleich 


w+ v+ 3uv +3uV=u+ v?+ Blu + v)uv 


ist. Wir entnehmen daraus, daß, wenn wir v so bestimmen wollten, 
daß u herausfällt, «® darin bleibt, aber auch, daß: 

(u+ vv)’ — 3(u + v)uv — (u? + v?) 
identisch verschwindet für jeden Wert des « und des v; können wir 
also zwei Zahlen « und v so bestimmen, daß: 

w-._B-a und W+v=2b, 

so verschwindet f(x) für 2» =uw+v und. =u+v ist eine Wurzel 
von f(&) =. 


Zweı solche Zahlen lassen sich aber leicht bestimmen, es ist: 

3 MEIDEN ERDE 20 

wa, W=b+V®—- aA, V-bFYVH—o, u —Vb +YVD, 
3, ————— ge een 
oVbEVD, Azur VbrVDtloeuD 

und da «+ v sich durch Vertauschung von vw und v nicht ändert: 


3 3 
-VorVe a +lı Vo a, 
das ist die so hoch berühmte Cardanische Formel. 

Ist 5 >a°, so ist die Wurzel x, wenn wir unter der dritten 
(Kubik-) Wurzel aus einer reellen Zahl die eine reelle Zahl XII, 8 
verstehen, eine reelle Zahl. Ist aber b’<a?, also a größer als die 
positive Wurzel aus b, so erscheint x unter der Form der Kubik- 
wurzel aus zwei konjugiert komplexen Zahlen A +iu und A — u. 

2. Einige Worte zur Geschichte: Bei der Lösung der Gleichungen 
haben sich die Hellenen trotz der geometrischen Einkleidung von 


XVI. Abschnitt. Kubische Gleichung. 7 


algebraischen Gesichtspunkten leiten lassen. Die Gleichungen ersten 
Grades lösten sie konstruktiv mittels der Proportionenlehre oder 
der Ähnlichkeitssätze. Die Lösung der Gleichungen zweiten Grades 
gelang ihnen konstruktiv mittels der Satzgruppe des Pythagoras. 
Dann gingen sie konsequenterweise an die Gleichungen dritten Grades, 
und daß der eigentliche Leitstern die Algebra war, geht schlagend 
aus den beiden Problemen hervor, in die sie die Lösung kleideten, 
die Verdoppelung des Würfels und die Trisektion des Winkels, die 
beiden sogenannten Delischen Probleme. Auf konstruktivem Wege 
gelang ihnen diese Lösung teils mit Hilfe der Kegelschnitte, teils 
mittels Kurven dritten Grades oder auch mittels mechanischer Kurven; 


reicht doch, wenn man die Tangente von .. als Unbekannte einführt, 


schon die Trisektion allein aus. Aber die rein algebraische Lösung 
versuchten die Griechen nicht und sie gelang den Arabern nur in 
vereinzelten Fällen, in denen sie die Lösung im voraus kannten, 
sie verzweifelten an einer algebraischen Lösung. Die Lösung der 
Gleichung © +ax=b gelang etwa um 1500 dem Scipione del 
Ferro (Ferreus), der von 1496—1526 Professor zu Bologna war, 
von dem wir sonst wenig wissen; seine Methode stimmte mit der 
vorgetragenen, der Methode von Hudde, vermutlich überein, denn‘ 
die Entwicklung ist äußerst wahrscheinlich der Bemerkung über 
(u + v)® zu verdanken. 


Ferro teilte seine Formel ohne die Ableitung verschiedenen 
Leuten mit, u. a. Fiori (Floridus), der im Jahre 1535 den Tarta- 
glia, einen bekannten Mathematiker, Professor zu Brescia, zu einem 
öffentlichen Wettkampf herausforderte, indem er ihm 30 Aufgaben 
vorlegte, die alle auf die Lösung von x&+ax=—=b hinauskamen. 
Tartaglia erzählt in seinem general traitato von 1546, daß es ihm 
gelungen sei, acht Tage vor dem Termin, am 12. Februar 1535, die 
Lösung zu finden. Es gilt heute als sehr wahrscheinlich, daß Tarta- 
glia von der Lösung Ferros Kenntnis bekommen hat. Tartaglia hielt 
seine Lösung und deren Ableitung anfangs sehr geheim, teilte sie 
aber dann Cardanus gegen das schriftlich wiederholte eidliche Ver- 
sprechen der Verschwiegenheit mit; Cardanus aber veröffentlichte die 
nach ihm genannte Formel in ein wenig anderer Fassung in seiner 
Ars magna de rebus algebraicis, einem gewaltigen Werke, 1545 zu 
Nürnberg gedruckt bei Petrejus. Cardanus fand die Ableitung selb- 

X 


ständig, er reduzierte durch die Tschirnhausen-Substitution 2 = y — rn 


die allgemeine kubische Gleichung auf die spezielle Ferrische Form, 
er erkannte die Dreiheit der Wurzel, erkannte die Schwierigkeit, die 
der Casus irreducibilis bietet, rechnete als der Erste mit komplexen 
Zahlen, wußte, daß die Summe der Wurzel gleich dem Koeffizienten 


18 XVI. Abschnitt. Kubische Gleichung. 


des zweiten Gliedes, usw. Tartaglia beschuldigte entrüstet in ver- 
schiedenen Schmähschriften den Cardanus des Eidbruches. Cardanus 
schwieg, aber sein Schüler Ludovico Ferrari, der mit 23 Jahren 
die Auflösung der Gleichungen vierten Grades fand, dem Cardanus 
leidenschaftlich ergeben und ihm kongenial an Begabung und zügel- 
loser Lebensweise, verteidigte ihn. Er führte aus, daß, als Cardanus 
die Formel publizierte, sie gar kein Geheimnis mehr war, da z. B. 
er selbst und Cardanus den Nachlaß Ferros 1542 bei dem Schwieger- 
sohn Ferros, dem Professor Della Nave in Bologna, genau kennen 
gelernt hätten. Ferrari ließ sehr deutlich durchblicken, daß Tartaglia 
die Formel derselben Quelle verdanke. 

3. Wenden wir uns nun zu der Lehre von der kubischen Glei- 
chung zurück. Hat f(x) = &°— 3ax — 2b die Wurzel (den Nullwert) 
2 sokistsnacheXIT ID: 


fa) = (8 — 2) Q(a, 2); 
wo Q mit &° beginnt und gleich (x — z,)(x — &,) ist; also haben wir: 

+65 =0; 1% + = —- 30; 2,8% = 25; 
wiederum sind die Koeffizienten die einfachsten symmetrischen Ver- 
bindungen der Wurzeln. 

4, Vermehren wir © um h, so ist der Faktor von h! gleich 
3(2°— a); diesen Faktor nennt man die Ableitung der Funktion 
f(x); wenn h hinlänglich klein, so ist 3h(x?— a) die wesentliche Zu- 
nahme, die Funktion ist also stetig und da sie für «= — a negativ 
und für &—=+ 00 positiv, so hat sie mindestens eine reelle Wurzel. 
Ist eine Wurzel von der Form A + iu, so ist: 


f(@) = p(A, u) + ivlA, u) = 0 


o(l,u)=0 und d(A,u)=0, 
d. h. aber f(x) verschwindet auch für A— iu. Die Gleichung dritten 
Grades hat also entweder eine reelle Wurzel und zwei konjugierte 
komplexe oder drei reelle Wurzeln. 
5. Wenn b?>a?, so waren u, und v, reell, und die sicher vor- 
handene eine reelle Wurzel x, kann gleich «,+ v, gesetzt werden, 
Es ist dann: 


und also: 


oa,2)= +2 +%°— 34 
und die Bedingung der Reellität von x, und x, ist: 
2?’ >42, ?’—3a) oder da>ı”. 
d.h. (u— v)?<0O, weil 4a = 4uv war, d. h. aber « und v sind keine 
reellen Zahlen, d.h. 5<a?. Also: Wenn alle drei Wurzeln reell 
sein sollen, so muß b?<a? sein und die eine der reellen Zahlen 
unter der Form: 


Vatiß Er Ve — iß erscheinen. 


XVIM. Abschnitt. Die komplexen Zahlen. 79 


6. Als Beispiel nehmen wir die Aufgabe, von einer Kugel Y, 
durch eine Ebene ahzuschneiden. Daß eine reelle Lösung existiert, 
ist von vornherein klar. Wir haben: 


4 h 
— ri = N A 
en a(r >), 


. % 2 
und setzen wir — — x, so ist: 
4 
) 
3 3]. 
Es ist hier a=°,,b=— °,; also: 


@>b° und D=-_—-"),; 
"—y(-1+iV2) ud W-'y(-1-iY2), 


und die Cardanische Formel versagt. 

Durch den „casus irreducibilis“ der Gleichung dritten Grades 
sind wir also gezwungen, die hechnung mit komplexen Zahlen auf- 
zunehmen. 

7. Es muß bemerkt werden, daß es Vieta, dem größten Mathe- 
matiker Frankreichs nach Fermat, 1591 gelang, den casus irreduci- 
bilis zu erledigen. Er brachte &°— 3ax — 2b in die Form: 

0 3x2 2b 


a, Bi a rw a, 2 


und setzte Pen ,‚ welches ja kleiner als 1 ist, gleich cos und iden- 


Ba; d-Yat 0. 


tifizierte die Gleichung dann mit: 


(2 cos 3, — B) (2 cos 3) —=2c08p, 


d. h. er fand in x = 2a” cos n. die Lösung. (Gedruckt in der Vieta- 


Ausgabe von van Schooten, 1615.) 


XVII. Abschnitt. 


Die komplexen Zahlen. 


1. Die Notwendigkeit, mit Symbolen von der Form «a +:b zu 
rechnen, ist nachgewiesen; i bedeutet darin einen Begriff, dessen 
Quadrat gleich — 1 ist. Das Zeichen i ist von Gauß in den dis- 
quisitiones arithmeticae „brevitatis causa“, d. h. als Abkürzung ein- 
geführt, aber schon 1777 von Euler benutzt. Der Name imaginäre 
Zahlen für Zahlen von der Form ai rührt von Descartes her, la 
geometrie 1637; ihre Anerkennung als Zahlen, d. h. der Nachweis, dab. 


80 XVII. Abschnitt. Die komplexen Zahlen. 


Zählbares unter sie fällt, rührt im wesentlichen von Gauß her, der 
in der Anzeige zur Theoria residuorum biquadraticorum der Theoria 
der quadratischen Reste (Komplex) auf das schärfste hervorhebt, daß, 
wenn es sich um Abzählung von Reihen (z. B. um die Punkte einer 
Ebene), d. h. also um Manniefaltigkeiten zweier Dimensionen handelt, 
auch Zahlen zweier wesentlich verschiedenen Einheiten, um es kurz 
zu sagen, zweifach benannte Zahlen nötig sind. G. Cantor hat mit 
Benutzung des Satzes, daß jede Reihenzahl zwischen O und 1 sich in 
einen Kettenbruch von der Form (a, -), wo dann « ganze positive 
Zahlen sind, entwickeln läßt, nachgewiesen, daß die Mächtigkeit 
der Zahlen durch Einführung der Zahlen a+:b nicht geändert 
wird, ja nicht einmal durch Einführung von n» verschiedenen Grund- 
einheiten, Crelle, Band 84. Übrigens sah noch Cauchy in der 
komplexen Zahl nichts als ein Mittel, zwei Gleichungen in eine zu- 
sammenzuziehen oder eine in zwei zu spalten, da irgend zwei doppelt 
benannte Zahlen a+:b und «+:Pß nur gleich sind, wenn a=« 
und b=f. 

2. Die Addition und Subtraktion wird wie die zweifach benannter 
Zahlen definiert, also: 

+ib)+ +) = (a ta)+ilb +dN. 

Da wir zur vollständigen Durchführung der Subtraktion ;’, d. ı. 
— ti einführen müssen, so wird die Subtraktion auf die Addition der 
entgegengesetzten Zahlen zurückgeführt. Die Multiplikation und die 
Division macht Schwierigkeiten. Um sie zu überwinden, brauchen 
wir den Grundsatz, daß sich mit © rechnen lasse wie mit jedem 
anderen Zahlzeichen, wobei dann immer ‘? durch — 1 ersetzt werden 
kann. So gelangen wir zu folgenden Festsetzungen: 

Wenn e=1, e =!1, @=-—1 und wir —i mit i” bezeichnen, 
so ist: 


.r .r .r 
Ba nee 


a —- kam] er: : 


I 
ee a 
Ferner definieren wir: 
(a + ib)(a + ib”) = (aa’ — bb’) + i(ab’ + ba’). 

Man sieht sofort, daß die Gesetze der Addition, Subtraktion und 
Multiplikation erhalten bleiben. Gauß ordnet die vier Einheiten, die 
Wurzeln der Gleichung «— 1=0 in der Reihenfolge +1, :; —1; 
v; +1 und nennt jede die erste adjungierte der unmittelbar voran- 
gehenden; dann gehören zu jeder komplexen Zahl «+ ib drei ad- 
jungierte: 

a—b; —a—bi; b—-ai 
(Fig. 4), und es läßt sich für die Multiplikation eine Definition geben, 
welche alle Fälle umfaßt. 


XVIH. Abschnitt. Die komplexen Zahlen. sl 


Das Produkt zweier komplexer Zahlen ce und d ist diejenige Zahl 
cd, welche so aus c und seinen drei adjungierten gebildet ist wie d 
aus 1 und ihren drei adjungierten. Beispiele: | 


(8+39)2;5 (5 +23)(4 + 53). 
3. Der Quotient ce: d ist diejenige Zahl, welche mit dem Divisor 
d multipliziert den Dividend ce gibt. Wir beweisen die Existenz des 


Quotienten durch den Satz: Zu jeder 
komplexen Zahl c, ausgenommen 0, gibt 


K \ 1 
es eine reziproke y = ur 


Beweis: Sei c=a- ib, und 
y=u-iv, so erhalten wir aus cy=1 
au—bv=1 
und: av+bu=(, 

a k te, 
arm PT ri 
zwei ganz bestimmte Zahlen, außer 
wenn: 

a0, db=-0, dh.c=0, ae 
und wenn: c=a-+ıib undd=f-+ ig ist: 

I ass vg 
ag 8) (er — ne); 
und wenn f*+g’=1, so ist: 
1 
TER ÄLTE 
4. Die Zahlen a und b heißen die Koordinaten der komplexen 


Zahl, a die reelle, b die imaginäre oder laterale, die positiv genommene 


Va?’-+ b? heißt der absolute Betrag, und wird dadurch bezeichnet, 
daß man die komplexe Zahl c in zwei Striche einschließt, auch mit 


also: u = 


den Buchstaben r, og usw., also Ya +b’=|c|=r. Jede komplexe 


Zahl c läßt sich auf die Form bringen: r ( = ); bezeichnet man 
m mit «, ei mit ß, so ist @® + = 1 und a+ib=r(« + iß), diese 
Form nennt man die Normalform der komplexen Zahl. 


It ,=r,(a, +iß,) und, =r,(0, + iß,), so ist: 
ern — ht + ah), 


(&,% F Buße)’ + (@, ß; + %P,)’ = (a,” a (0° ae 
so ist: 


da: 


1 ernyHt li), 
wo y? +06? wieder =1 ist. 


Simon, Methodik der elementaren Arithmetik. | 6 


82 XVND. Abschnitt. Die komplexen Zahlen. 


Komplexe Zahlen wie: «+ iß, deren absoluter Betrag = 1 ist, 
heißen komplexe Einheiten. Wir haben die Sätze: 

Der absolute Betrag eines Produkts ist gleich dem Produkt der 
absoluten Beträge ihrer Faktoren. 

Das Produkt zweier komplexer Einheiten ist eine komplexe 
Einheit. 

Der Quotient zweier komplexer Einheiten ist wieder eine kom- 
plexe Einheit. 

5. Über die Summen bzw. die Differenzen gilt der wichtige Satz: 

Der absolute Betrag der Summe zweier komplexer Zahlen ist 
nie größer als die Summe der absoluten Beträge der Summanden. 

Es ist: 

(aa’ + bb? < (aa’ + bb) + (ab — a’b), 


a@+a?+b+b?+2...-<a+b+a”+b?+2y, 
(+0 ++ <VEHR + Var +), 
Vleat als IV <SVoarp Vor nase 

Die Gleichheit tritt nur ein, wenn jr — n ‚d.h. also wenn die 
Zahlen zur selben komplexen Einheit gehören. 

6. Da jede komplexe Zahl das Produkt einer positiven reellen 
Zahl r, einer Maßzahl, mit einer komplexen Einheit ist, so hat nur 
die Rechnung mit dieser Interesse. Wir sehen, daß zu jeder kom- 
plexen Einheit eine vollständige Zahlenreihe gehört von der Mächtig- 
keit des Linearkontinuums. Jede dieser Zahlenreihe kann durch einen 
Strahl abgebildet werden, alle zusammen durch ein die Ebene er- 
füllendes Strahlenbündel. Die Einheiten selbst sind nicht unabhängig 
voneinander, aus je zweien von ihnen läßt sich jede dritte durch die 
vier Spezies mit reellen Zahlen ableiten. Wollte man Zahlen von 
mehr als zwei fundamental verschiedenen Einheiten einführen, so 
ließe sich, wie Weierstraß gezeigt hat, keine Festsetzung so treffen, 
daß die Rechenregeln bestehen bleiben; ein Produkt kann 0 werden, 
ohne daß einer der Faktoren 0 wird, und die Division wäre in un- 
zählig vielen Fällen unmöglich. 

7. Sei «+ iß eine komplexe Einheit, also @® + ß?=]1, d.h. von 
den beiden Größen « und ß ist die eine, abgesehen vom Zeichen, 
durch die andere bestimmt, dann können wir beide als Funktion einer 
dritten Größe @ ansehen und über diese Funktion zweckmäßige Be- 
stimmung treffen. 

Sei: a=c,undß=s,unda+iß=e,. Es muß dann zu jedem 
Wert des p ein ganz bestimmtes Wertsystem « und ß gehören, also 


XVII. Abschnitt. Die komplexen Zahlen. 83 


c, und s, müssen den Charakter eindeutiger Funktion haben und en 
desgleichen. 


Da e,e,= €, ist, so muß: 


psy — Spey =; und CySy + Spüy = Sy 
sein. 

‘Werden die Faktoren gleich, so 
erhält man: 

(u + ißr= (e,)" = 6, 

Die Gleichungen zeigen, daß wir 
„= 608 p und e,=sing setzen können. 
/sa der gleichen Festsetzung kommen 
wir, wenn wir a als Abszisse und b 
als Ordinate im Sinne der analytischen 
(reometrie ansehen. Wir haben dann: 


a=rcosp, b=rsingp 


und: 
a+tib=r(cosp+tising), 


Fig. 4. 


wo r=Va?+b?, p der Richtungsbogen im Einheitskreis, genauer 
dessen Maßzahl und g bestimmt wird durch tg po = R und das Zei- 


chen von cos oder sin g, 
d.h.von a oder b. Wäh- 
rend r bestimmt ist, ist 
p nur bis auf Vielfache 
von 2x bestimmt. r 
und @ sind Polarkoor- 
dinaten (Fig. 4). 

8. Die geometrische 
Repräsentation rührt 
nicht von Gauß her, 
obwohl seine Theoria 
residuorum  biquadrati- 
corum sie in die Funk- 
tionentheorie eingeführt ° 
hat und Gauß schon 
in seiner Dissertation 
von 1799 die Kenntnis 
andeutet, auch nicht von 
ArgandoderFrancois Fig. 5. 
1806, sondern der nach- 
gewiesene erste ist der dänische Feldmesser Caspar Wessel, der am 
10. Mai 1797 der dänischen Akademie eine Abhandlung über die Dar- 
stellung der Richtungen überreichte. | 


6 KR 


84 XVI. Abschnitt. Die komplexen Zahlen. 


Die Summe zweier komplexen Größen, d. h. der Punkt der 
Gaußschen Zahlenebene, der ihr entspricht, wird dann gefunden durch 
die Diagonale des aus den Summanden vervollständigten Parallelo- 
gramms. Die geometrische Addition, die zugleich die der Kräfte ist 
(Vektoren im Sinne der Hamiltonschen Quaternionentheorie), ist also 
nichts als eine komplexe Addition. Die Differenz D von 8 und Ü 
wird durch geometrische Addition der entgegengesetzten Größe ge- 
funden (Fig. 5 auf 8. 83). 

Das Produkt uv entsteht so aus u, wie v aus der Einheit; um 
es zu konstruieren, nimmt man « als Einheit und konstruiert daraus die 
Koordinaten von v, und erhält so ein Produkt, das nach Größe und 
Richtung u» darstellt (Fig. 6). 


Fig. 7. 


Sie sehen, daß, wenn a,+b,il(r,g,) und ,+ ib, ((r39,), dann 
uvi(lrır; Pı + 95) Ist. 
Gleichzeitig folgt die geometrische Division: 


uwv:u=v; ist uv((e,9), und ul(r,p), 


le a 


Insbesondere ist — I —_ p) ‚d.h. man konstruiert die Polare 


so Ist: 


zu c, bzw. transformiert c durch reziproke Radien und nimmt das’ 

Spiegelbild, dann ist: 
1 a ib : 

a — —— (Fig. 7). 

Me et En 


und (e,”"=e,,- 


Nach unserer Festsetzung ist e,e,= Ep 


XVIH. Abschnitt. Fortsetzung der Gleichung dritten Grades. 85 


Dies ist der sogenannte Satz des Moivre: 
(cosp+isinpyg”=cosnp-+isinng. 
Man kann die Theorie der komplexen Zahlen und diese Auf- 


lösung auch rein algebraisch durchführen, muß dann aber den Binom 
erst noch weiter durcharbeiten. 


XVII. Abschnitt. 


Fortsetzung der Gleichung dritten Grades. 


1. Die Gleichung 2° — 1 =0 hat die Wurzeln: 
zul, ar, 
Hish. 


n 27 SIE ce h 
- Y = 0608 7 Fism —— 5 


und: 


s Arm POREE..,; 
V, = 008 7- + vsin nen; 


daß e® und „?=1 ergibt der Moivre ohne weiteres; man sieht auch 
sofort, daß die V aus 1 enthalten sind in der Form: 


2kr u 2 Kr 
Os 0 sun 
r N 


wenn k von O bis n— 1 läuft. Es ist, dad 1l-e-y=1= 2-1? ist, 

n=8 undz=,/, also die drei dritten Wurzeln aus 1 sind die Po- 

tenzen einer der beiden „primitiven“ Wurzeln &°, &', &? oder 7, n}, n?. 

Dieser Satz läßt sich leicht verallgemeinern, was ich Ihnen überlasse. 
2. Da u und v aus: 


2 — Bar —2b=0, 
z=Ww-+v durch: 
N ee 


bestimmt waren, so sind, im Falle D=-b?’— a? > 0 ist, "= N, v”’—=-M 
reelle Zahlen, und wenn wir dann die eine reelle Wurzel «, bzw. v, 
nennen, so erhalten wir als Lösungen für « und v je drei Werte, 
also im ganzen neun Lösungen &. Aber das System war künstlich 
erhöht, es mußte uv—=a sein, d. h. reell, und somit bleiben nur die 
Lösungen zz =wW+ %, %&=us+ vn und %,—=un-+ ve übrig. 

ae Ist a?’ <=, 80 ı8t: 


Ute D al) 
Ber a’; a’), 3 ad, )? 


86 XVII. Abschnitt Gleichungen vierten und fünften Grades. 


setzt man = ‚ wo unter a’, die + Va? verstanden wird, gleich 
cos p, was erlaubt, da |a®,|>|b| und sing = + Y1— cos?, so ist: 


u? bzw. v’= a?, (cosp+tisingp), 


also: 
w= ah (cos . + tsin 2) Den, (eos . — sin 7) > 
wodurch 4,%, = a, und da: 
BE Tr 

1 Pe 3 Ye 
und: 

a re 

ee 7 isin —-, 


so sind u,e und v,n und “un und v,e konjungiert komplexe Zahlen, 
und wir haben die drei Lösungen, die alle drei reell sind: 

2) — 20, 008 en; X, = — 2al), cos (+ - =) 
und: 

%,—= 2a}, cos (7 + 2) 

17 
ne 
negativ, die erste positiv, die dritte ist positiv, sobald g > 90°, d. h. 
b negativ, ist. In dem von uns angeführten Beispiel der Kugelteilung 
wird die zweite Wurzel beseitigt durch die Negativität und die dritte 


dadurch, daß sie für - einen Wert < a d.h. A>2r gibt. Die 


Gleichung ist eben allgemeiner als das Problem. 


Da z nDier>: so ıst dıe zweite Wurzel unter allen Umständen 


| Gleichungen vierten und fünften Grades. 


4. Das Pensum gestattet nur wenig Zeit auf die Gleichungen 
höheren Grades zu verwenden, um so weniger, als ein Aufgabenkreis 
nicht in Betracht kommt; man begnüge sich daher mit dem Nach- 
weis der Auflösbarkeit der Gleichungen des vierten und der Unauf- 
lösbarkeit der Gleichungen fünften Grades. Für Oberrealschulen kann 
man etwas ausführlicher auf die Gleichung vierten Grades eingehen. 
Sie finden Beispiele in: Emil Lampe, geometrische Aufgaben zu 
den kubischen Gleichungen; Berlin 1877, und in seinem Programm 
von der Louisenstädtischen Oberrealschule von 1885. 


Durch die Tschirnhausensche Substitution 8=x — T beseitigt 
man das Glied mit x? und kann also voraussetzen: 


a* — Aaa? — 8bx +4ce=0. 


Bu a 2 u ee a nd 


XVII. Abschnitt. Gleichungen vierten und fünften Grades. ° 87 


Man setzt ©—= VYt+Yu-+ YVv und: 
«e=t+u+rr, B=uv+tovtittu, y=tur, 
so folgt: p" IR 
2? —= «+2(Yuv + Yot + Yin), 
(@— @?’—4(8 +22 Yy), 


et — 222 — 82 Yy ta —4B=0. 
Der Vergleich der Koeffizienten ergibt: 


oder: 


vb 
20: ee B=a’— c. 


Die kubische Gleichung, deren Wurzeln ti, «, v sind, ist: 
@ Ya —- ug —v)=- 2a +2 )-#=0. 
Nach Auflösung dieser sogenannten Resolvente ist: 

= +YVt+Yu+YVv, 

mit der Bedingung, daß: 

+ Ytl+Yu)(+Yr)=+b 
ist, wonach übrig bleiben: 
= +Vt+Yu+Yv; 8 = — YVi+Yu+Yv; 

= —- Vt+Vu— Yo 


u= Ur Vu — Ve. 
5. In mancher Hinsicht, d. h. für numerische Rechnung be- 
quemer, ist die folgende Methode: 
Die Gleichung sei: 
+ 2a +b?+-ca+d=0, 


und: 


oder: 
(+ as)’ = ara —b)— cr —d. 


Um auch die rechte Seite zu einem Quadrat zu machen, fügt 
man links den Parameter y% hinzu, also: 
(?+a2+y’= a —b+2.y+eßay—c)+y—d. 
Damit die rechte Seite ein Quadrat sei, ist nötig und hin- 
reichend, daß: 
(Zay — = dab +2y)y"—d), 
und dies ist die kubische Resolvente der biquadratischen Gleichung. 


Sie hat immer eine reelle Wurzel y, setzt man diese in die Gleichung 
ein, so ist: 


88 XVII. Abschnitt. Gleichungen vierten und fünften Grades. 


2 ta +y=-+leVa®—-b+2y +Yyp—a); 


eine Gleichung, die wegen des doppelten Zeichens zwei quadratische 
Gleichungen für & repräsentiert, 


6. Die Gleichung fünften Grades: Der Beweis, daß die Glei- 
chung fünften Grades generaliter nicht algebraisch auflösbar ist, d. h. 
sich nicht mit Zuhilfenahme von Wurzelirrationalitäten oder Radi- 
kalen in Faktoren zerspalten oder reduzieren läßt, beruht auf dem 
Kroneekerschen Satz: Eine Gleichung fünften Grades, die irredu- 
zibel und algebraisch lösbar ist, hat entweder fünf reelle Wurzeln 
oder eine reelle Wurzel, niemals drei reelle (und zwei imaginäre), für 
dessen Beweis ich auf H. Webers Enzyklopädie der elementaren 
Mathematik verweise. 

Irreduzibel heißt eine Gleichung, wenn sie sich nicht in das 
Produkt zweier ganzer rationaler Faktoren mit rationalen Koeffizienten 
spalten läßt. Ist in a,x”-* die Zahl a,= 1 und die « ganze Zahlen, 
so haben wir schon am Beispiel der quadratischen Formen bewiesen, 
daß die Wurzel kein Bruch sein kann, und zeigen ebenso, daß, wenn 
die Form reduzibel ist, die Faktoren wieder von derselben Art sein 
müssen. Der Nachweis der Irreduzibilität gehört zu den schwierigsten 
Problemen der Algebra, allgemeine Kriterien gibt es nicht. Für den 
hier vorliegenden Zweck genügt aber der Eisensteinsche Satz: Eine 
ganze rationale Form mit ganzen Koeffizienten, deren sämtliche 
Koeffizienten von a, bis a, durch eine Primzahl p teilbar sind, ist 
irreduzibel, wenn a, nicht auch durch p? teilbar ist. 

Beweis: Es sei: 


Ey 
N—Ra / u—i '— A 
> 0,0" Bi > a > > Goa 


wo u+v=n und b, und c, gleich 1. 
Der Vergleich der Koeffizienten ergibt die Formel: 


k 
—_ | Du nloy 
0 


wo c,=(, wenn p>», und c_, auch O ist. 
Also haben wir die Kette von Gleichungen: 

q, Sb MT ON O NE, FE al EB a AN ad te 
ü, je b.6, — u ir Du Sr. bi €,_ı Fr Ce, ters ds a bs F b, €, + (25 
.=b+4- 

Ist nun a, durch p teilbar, aber nicht durch 9°, so kann von 
den beiden Faktoren nur einer, 2. B. b,, durch » teilbar sein, dann 


ergibt die zweite Gleichung ‚ daß auch b,_, durch p teilbar ist und 
so herab bis b,; dann en folgt rückwärts, daß c,, €, bis e, durch 


XIX. Abschnitt. Die Exponentialfunktion. 89 


p teilbar sind, also «, durch »* teilbar sein müßte gegen die Voraus- 
setzung. 

6. Danach lassen sich beliebig viele irreduzible Gleichungen 
fünften Grades mit drei reellen Wurzeln bilden, wodurch der Nach- 
weis, daß die Gleichung fünften Grades überhaupt sieh nicht alge- 
braisch lösen läßt, geliefert ist. Man kann, wie 1786 E. J. Bring 
in Lund gezeigt hat, mittels Auflösung von Gleichungen von nicht 
höherem als viertem Grade die Gleichung fünften Grades auf die 
Normalform 2 +ax+b=0 bringen. Betrachten wir z. B. 


y= 2 20x — 10. 


Die Ableitung ist 5(2*— 16), also wächst die Funktion von x = — © 
bs = — 2, nimmt ab von —2 bis +2 und wächst von +2 
bis + oo. 
Tabelle: 
% Y 2 Y 

—:06 — 88 2 + 118 

—4 — 714 +2 — 138 

—9 — 11 +Yy + 694 


also liegt eine Wurzel zwischen — 3 und — 2, eine Wurzel zwischen 
— 2 und +2, eine zwischen 2 und 4; andere Beispiele sind: # — 92 — 35, 
wo eine Wurzel zwischen —2 und — 1,16, eine zweite zwischen 
— 1,16 und +1,16 und eine dritte zwischen + 1,16 und + 2 liegt. 
Eine unendliche Schar liefert <= 5p?x — pgq, wo p Primzahl und 
p und g teilerfremd und g<4p*. Eine reduzible Schar gibt: 


x? — Bptx — 4p°. 


XIX. Abschnitt. 


Die Exponentialfunktion. 


1. Der binomische Satz in der Form (1 + 2)"= In,2* ist, wenn 
Iz’<1 ist, an die einzige Bedingung gebunden, daß » endlich, 


5 sonst nicht < e); man kann versuchen, diese Beschränkung ab- 


zustreifen. Die Hoffnung, daß I'n,- z* bei über jedes Maß wachsen- 
dem n endlich bleibt, beruht darauf, daß, in dem Verhältnis wie n, 
wächst, z* abnimmt. Es ist: 


ni) 


90 XIX. Abschnitt. Die Exponentialfunktion. 


Lın. ; 
Wenn also z. B. z= „ st, so ist: 


1 1 k—1 
DEAN RER UA NER, 
re (1 = (1 n ) 


und nähert sich mıt wachsendem » mehr und mehr dem Ausdruck 


2; ıst % selbst über jedes Maß groß, so wird der Zähler von n, : n* 


unendlich klein und der Nenner unendlich groß, als das Verhältnis O. 
2. Wir betrachten jetzt die Reihenzahl: 


() (142), (143) (144), 


oder: ; 


2 3 98 = n 
ER er er 
oder auch: 


DR 1%; Daß In) 


oder auch von der allgemeinen Form: 


In dieser letzten Form sehen wir am deutlichsten, daß die Reihe 
eine Fundamentalreihe ist, und zwar eine beständig steigende, und 


ferner, daß die Glieder der Reihe mit wachsendem Index » der >= n 
u R! 


je’; 
’ { 1 
so nahe kommen als man will, ohne sie je zu erreichen. Daß > er 
Ki! 


eine Zahl der Zahlenreihe ist, ist leicht zu zeigen. ‚Wir bezeichnen 
sie mit e und haben somit bewiesen, daß (Il) die Grenze e hat. In 


2 : : : 
der Form 7: hat die Grenze die Form 1”. Es verdient hervor- 
gehoben zu werden, daß, wenn man die fallende Fundamentalreihe 
1.00 2:08 N n ö 6 
a betrachtet, auch ihre Grenze als 1” angesehen 


werden muß, und zwar nach den Sätzen über das Produkt zweier 
Reihenzahlen als - Man sieht, daß 1° unbestimmt ist, wenn man 


den Prozeß des Werdens nicht kennt und kann diese Gelegenheit 
benutzen, um die Unbestimmtheit des Zeichens oo hervorzuheben, 
welches eben nur das Unendliche im Werden bezeichnet, zum Unter- 
schied von den Cantorschen transfiniten Zahlen, die völlig bestimmte 
Modi des Unendlichen bezeichnen. Das Zeichen oo, heißt dies, gibt 
nur eine Art und Weise der Veränderlichkeit an, ganz analog wie 


XIX. Abschnitt. Die Exponentialfunktion. 91 


das unendlich kleine. Zugleich hat man hier ein natürliches Beispiel 
der Unstetigkeit einer Funktion, indem (1 + 2)‘, wenn z von — e bis 


+ geht, von — auf e springt. 
i Wir haben also das Resultat: 


(I) limes (1+ ,.)" = limes It = D 2 = = 2,7182818. 
n==» i n=® N) N 0 = 
3. Wir betrachten jetzt die Reihe, deren allgemeines Glied: 


(II) (1 En —) er 
Es ist: 


"(4 -Ieaa- 23T 


Wir sehen: 
NT .- k 
limes (1 + ) - - = (AV. 
0 


Wir haben zunächst zu untersuchen, ob f(x) eine Zahl der 
Zahlenreihe ist. Sei: 
Bu 
N 
0 


und x ganz unbeschränkt nur dem absoluten Betrage nach endlich, 


sei |2|=», so .ist: 
v 
a|<D 
0 


Da v endlich und % über jedes Maß wächst, so wird es unter den 


Werten von % einen Wert p geben, für welchen 5 für jedes 
ME ıst. ä 
Nun ist: 
DE © 
v 2 v 
k! BE ae 
k=9 
vP v v v vP 1 
By ee eg) De 
Det 
2 wg vP 1 
TRENNT 


d. h., da » beliebig groß gewählt werden kann, f(v) weicht von der 
Zahl s, so wenig ab, als man will. Wir haben daher bewiesen, daß 
f(x) für jeden Wert des x, dessen absoluter Betrag endlich ist, einen 


92 XIX. Abschnitt. Die Exponentialfunktion. 


bestimmten endlichen Wert hat, oder — was dasselbe sagt — daß 
2 
die unendliche Reihe y im ganzen endlichen Bereich 


des x konvergiert. Es hat also die Reihe (14 ). eine (Grenze, 
und sie ist f(x). 

4. Obwohl nun jedes Glied der Reihe (III) die «-Potenz des 
entsprechenden Gliedes der Reihe (I) ist, so muß doch noch bewiesen 
werden, daß dieselbe Beziehung zwischen den Grenzen besteht, d. h. 
daß f(x) = e* ist. Wohl haben wir in Abschnitt XII nachgewiesen, 
daß eine endliche Folge von Elementaroperationen sich von den 
Gliedern auf die Grenze übertragen läßt — aber hier handelt es sich 
um den Satz: Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten 
multipliziert, für unendliche hohe Exponenten der Potenz, und dafür 
ist der Satz nicht bewiesen. Daß Vorsicht geboten sei, sieht man 
aus dem Umgekehrten, indem zwischen den Grenzen zweier Reihen 
Beziehungen bestehen können, welche zwischen den erreichbaren Glie- 
dern der Reihe nicht bestehen. So z. B. ist die Grenze der Reihe: 


av) (ED 
0 


auch gleich: 
SER 
x 
fd- IH 
0 


5. Da wir vermuten, daß f(x)—=e” und wissen, daß f(1)=e ist, so 


k 
werden wir sehen, ob für die Funktion Dr das Additionstheorem 
der Potenzen gilt. Es ist: 


[7 e) 1 yP p=z@ a=p | | 
KO) 
0 2 0 PB zer el Mt = 
[6 o) pP & 
LEE) p! En (+ y)? 


Also f(x) in allen bisher erklärten Fällen von e* gleich e*. 


Da nun für f(x) das Additionstheorem und somit alle Regeln 
der Potenzrechnung gelten, und zwar für jeden Wert des x, solange 
'x| endlich ist, während in e* das Argument x auf reelle Zahlen be- 
schränkt ist, so kam Euler auf den Gedanken, an Stelle des zer- 
rissenen und unvollständigen Potenzbegriffes die einheitliche Defini- 
tion zu setzen: 


XIX. Abschnitt. Die Exponentialfunktion. 93 


deren Übereinstimmung mit den fünf Fällen «= 2, 3, usw, x=1, 
usw. nachgewiesen ist, weil für die so definierte Potenz alle Regeln 


age 
der Potenzrechnung bestehen bleiben. Die Funktion f(x) - >! Er =e& 
0 


heißt die Exponentialfunktion. 


6. Als neu kommt jetzt die Potenz mit komplexem Exponenten 
@ + ib hinzu, oder, da e*t+"®—= e“. e'’ ist, die Potenzen mit imaginären 
Exponenten e®’; es ist eP® selbst eine we Zahl, da: 


oo ar [e +) 
"ar: pr SR nd T RN 
eP = = ae ih en. di a =u-+iv ist. 


Die Exponentialfunktion, heißt dies, spaltet sich in zwei Funk- 
tionen: v undv Da e=u— iv ist, so ist &=-W+V=1; u 
und v sind also Koordinaten einer komplexen Einheit, und es drängt 
sich der Gedanke auf, daß v=cosp und v=sin o sein könnte. Wir 
bezeichnen vorläufig « mit c(p) und v mit s(p). 


7. Zunächst ist klar, daß « und v für jedes endliche x Reihen- 
zahlen sind. Wir ee: ihr Additionstheorem und überhaupt 
die Funktionen e*, c(&), s(&). 

e” und also Ah c(x) und s(x) sind für jedes endliche x ein- 
deutig bestimmt, es sind Funktionen von x. Daß sie auch stetig sind, 
folgt sofort aus dem Additionstheorem. 

Beispielsweise geben wir den Beweis für e”; es ist: 


er_e-ee@—1; e=-l+e+ +: 


e”(e— 1) soll <od werden. Man setze d= ne”; aus der Reihe für 
e: folgt, daB e<n ist, und wenn n hinlänglich klein, ist sicher 
&< 3, also: 


e<1i+.+3(1+2+[) +-)), 


also: 
h &° e\-1 BE 1m 2-4 18\ 
e—1<e+5(1-5) ac 2 ) 
re Do 
\ 3 Di 
also: 
2 9E 
Sr x 
In 32 
Dies ist <n, wenn e< 5 ist, also e®fe — 1) <d, wenn: 
ar 
e< - e< s 


94 XIX. Abschnitt. Die Exponentialfunktion. 


8. Analog ist der Beweis für e(z) und s(x), doch muß zuvor das 

Additionstheorem für c(x) und s(x) entwickelt werden. Es ist: 
ei=c(p) +is(p); eich) + ish); 
emp +H) Hi. s(p tw) 
—= c(p) ed) — s(p) sp) + Üle(p) s@) + s(p)  elw)), 

d. h. also: die Funktion ce hat dasselbe Additionstheorem wie der 
Kosinus, und die Funktion s wie der Sinus. Nun ist für hinlänglich 
kleine Werte des arcus go: csp—=1— = bis auf weniger als 2 


und ebenso c(p); für hinlänglich kleine Werte des p ist also: 


c(p)=cosp und s(p)=siny, 
und da die Additionstheoreme, d.h. die Fortsetzungen übereinstimmen, 
so ist c(p) gleich cos p und s(p) gleich sing und wir haben: 


2 2k s x 2K+1 
con en an Der ee 


Es muß bemerkt werden, daß man für die algebraischen Be- 
trachtungen die Geometrie nicht braucht und die Funktionen Kosinus 
und Sinus rein algebraisch durch die eben aufgestellten Reihen defi- 
nieren kann, und zwar für reelle und komplexe Werte des Argu- 
mentes 9. ö 

9. Was zunächst den Zahlencharakter der Zahl e betrifft, so hat 
zuerst Lambert 1770 durch Kettenbruchentwicklung die Irrationa- 
lität von e (und die von x) bewiesen. Äußerst einfach ist der Beweis 
von Fourier, den de Stainville in seinen Melanges d’Analyses von 


1815 mitgeteilt hat: Wenn e= # wäre, so wäre e-gq! eine ganze 


q 

Zahl n und gleichzeitig: 

/ — nel’ en — } > Kekeota 

de Beweis et d 
sahne 

SER ErIe AL, Keen Aue 1 ni 1 
n<g+ 2 arm ee v2 Zu ze 
q 


d. h. die Differenz zweier ganzer Zahlen wäre kleiner als der echte 
Bruch —. 


Liouville hat in den Comptes Rendus von 1844 und in seinem 
Journal von 1845 die Existenz reeller Zahlen nachgewiesen, welche 
nicht die Wurzeln irgend einer algebraischen Gleichung mit rationalen, 
oder ganzzahligen Koeffizienten sein können, welche also keine alge- 
braische Zahlen sind, und die man zum Unterschiede transzen- 


XIX. Abschnitt. Die Exponentialfunktion. 95 


dente Zahlen nennt. Diesen Nachweis hat @. Cantor, Crelle 77, 
1873, noch vereinfacht 1891, außerordentlich viel einfacher erbracht. 
Er bewies, daß die Menge der algebraischen Zahlen mit der Zahlen- 
reihe von der gleichen Mächtigkeit, d. h. gegenseitig eindeutig be- 
ziehbar ist. 

10. Die algebraischen Zahlen sind die Wurzeln der algebraisch 

irreduziblen Gleichungen a,-2"+.a,: 2" "!...a,=0, wo wir die a 
ganz und a, positiv machen können und die Gesamtheit der a ohne 
einen gemeinsamen Teiler. Der Beweis beruht RESEISOHEI auf dem 
Begriff der Höhe: H=n—1+ ,|=:::+.a, 
‘ Es lassen sich nun die algebraischen Z a Mach ihrer Höhe 4 
und innerhalb desselben 47 vera ihrem Wert ordnen, und dadurch 
erhalten wir sie in einer einfachen Reihe, eine erste, zweite, aber 
keine letzte. Zu jedem A gehört eine bestimmte Anzahl f(H) von 
algebraischen Zahlen. 

Ich gebe die Anfangswerte der Tabelle: 


| ! | | | 
Hin | as | A, A, | a | a, |f(HA)| Wurzel | Gleichung 
1 i PR MENTOR | | 1a 0 | c—=0 
2 RAT 0001700 | 
Be Lei 2 Qi | PR | 2-1 
Bi Tran | +1 | 
YA 0 0 | | | 
ih 18 0 | 48.29 | 2c+1 
17.2 i k | 
Bl, 2 | | | —4H +4 +2 
a 0 | 
| LOPRR eL 0 | | 2 
| Er HET | | 
ar3 EI EUN. EU 0 | | 
a 1 4 0 12. 228  3cH4+1 
3 1 | | —- 1,61803 
2 2 12441420. 003 
Be | | — 0,0716 | 
2 GURTOS IE RU) | — 0,61803 
2 1 0 — 0,333 Zee 1 
2 0 1 + 0,333 
Ken 2 0 u + 2—1 
et 1 2 —c—1 
dar 7a N 2 E= 72.9 
3 2 GERD 0 u 
1 1 0 0 + 
1 0 1 02 | 
| Pt 0 0 1 
RE a | 
5 | 1 | | | 22 


Wir haben nun schon bewiesen, daß die Mächtigkeit der reellen 
Zahlen von der zweiten Klasse ist, und damit ist der Satz bewiesen; 


96 XIX. Abschnitt. Die Exponentialfunktion. 


aber @. Cantor hat eine sehr einfache BRechenvorschrift gegeben, 
Zahlen zu bilden, die in dieser Tabelle nicht vorkommen können, und 
zwar in jedem noch so kleinen Intervall in unendlich-achtfacher 
Menge. 

Denken wir uns z. B. im Zahlenintervall 0,6180 bis 0,6181 eine 
Zahl, welche als sechste Dezimale eine von 3 (und 9) verschiedene 


Ziffer (der Ausschluß der 9 erfolgt, um 0,618029 auf alle Fälle aus- 


zuschließen), sowie als siebente Ziffer eine von 9 und der siebenten 


Ziffer, von 1:Y2, das ist 0,707 11 verschiedene Ziffer und als achte 
Ziffer eine von der achten Ziffer der nächsten algebraischen Zahl, 


d.h. Y2 und 9 verschiedene usf. hat, so erhalten wir eine reelle 
Zahl, die sicher nicht in der Tabelle vorkommt. 


11. 1873 in Comptes Rendus: Sur la Fonchon ecponentielle und 1874 
in einer selbständigen Schrift bewies Hermite auf sehr diffizile 
Weise mittels bestimmter Integrale die Transzendenz von e und an- 
schließend daran 1882 Lindemann die von x. Der Beweis ist dann 
von Hilbert, Hurwitz, Gordan, Weber immer mehr vereinfacht 
worden. Sie finden diese rein algebraischen Beweise in F. Kleins 
„Vorträgen über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie“ von 
1895 und in Webers Enzyklopädie. 

12. Wir haben auch vom rein arithmetischen Standpunkt aus 
die Formeln, welche als Eulersche Gleichung bekannt sind: 

et'=cosz +isinz 
und: i 
ei COINE+TSInnd« = (608% + sin x)”, 
den Moivre, welcher in dieser Form auch zuerst bei Euler vorkommt. 
Die Funktionen e”, cos x, sin x können in Tabellen gebracht und auch 
graphisch dargestellt werden, denn sie sind stetig und differentiierbar. 
Es ist: 


DE u e(e— 1)= ee(l Er - "r en ne ), 
daher: 


Die Exponentialfunktion ist nicht nur stetig, sondern sie ist ihre 
eigene Ableitung. Wir finden als Ableitung von cos x den negativen 
Wert von sin«, und sin hat die Ableitung cos «. 
Die Exponentialfunktion ist durch die eben bewiesene Eigen- 
schaft und = 1 bestimmt. Es ist: 
A 
er ee ee re, 
er setrr: — ei + &)”. 


XX, Abschnitt. Der natürliche Logarithmus. 97 


Item und 2= 2 wo n über jedes Maß groß, so ist: 
” 


wo n über jedes Maß groß: 


eetN ei! e® 


und wenn a=0 undh=«: 


XX. Abschnitt. 


Der natürliche Logarithmus. 


 k 
1. Die Reihe > Tr oder e” gab für die Grundzahl e die zusammen- 
_ k! 


fassende Definition der Potenz; der Versuch, auch a” allgemein zu 
definieren, mußte daraufhın gemacht werden. Die Aufgabe ist gelöst, 
wenn es gelingt, jede Zahl a als Potenz von e darzustellen. Denn ist 


a.— er, sorist: 
k k 
CE, 
A RX 3 
er -2, RK! 


Man sieht, wäre die Logarithmenrechnung noch nicht erfunden, 
so müßte sie an dieser Stelle erfunden werden. Mit Recht heißt e 
die Basis des natürlichen Logarithmensystems. - 

Um den natürlichen Logarithmus von a zu finden, müßte die 


nk 
Gleichung unendlichhohen Grades 4a — > 7 nach «a aufgelöst werden. 
0 Us 


Da dies nicht ohne weiteres geht, so gehen wir von der Produkt- 
form aus, bzw. von der Relation: 


f(«) = lim (14) 


wo lime, = ist; daher: 


n 
? 


dh. (142) =a+s, 


(i+2)=-@ +0)", 


Simon, Methodik der elementaren Arithmetik. 7 


98 XX. Abschnitt. Der natürliche Logarithmus. 


und da lim e,= 0, also für große Werte des n: |a| > |e,| ist, so ist 
nach dem Binom: 


(145) = a” + Pl) 


wo P(e,) eine nach ganzen Potenzen von & fortschreitende, konver- 
gente Reihe vom Charakter einer Fundamentalreihe ist, also: 
=> n 
= Mer — 1) + ,P(&,); «= lim (a = Ki: lim g,- P(e,), 
also schließlich: 


el 


2. Neper berechnete die Logarithmen, indem er 2% = n setzte. 


Wir setzen, um zu der erforderlichen Radizierung, d. h. zur Berech- 
1 


nung von a” den Binom anzuwenden, a= (1+(a — D)=1+2, und 
nehmen an, daß | 2) < 1, d. h. wir beschränken uns auf die Zahlen 
zwischen O0 und 2, die Grenzen ausgeschlossen. 

Dann ist: 


= k 
[7 
a=log(1l+2)= > (— 1)*-1 > 
weil für +0: 


k—1 
lim » ER — er ist. 

Der Ausdruck logarithmus naturalis sowie die Reihe rühren von 
Mercator 1667 her auf Grund des Satzes von Gregorius a St. Vin- 
centio aus seinem bedeutsamen opus geometricum über den Flächen- 
inhalt der auf die Asymptoten bezogenen gleichseitigen Hyperbel, 
wonach: 


x 


j®- log x ist. 


1 


3) Die spezielle Lösung gibt nun, wie so häufig in der Analysıs, 
auch die en J Re Zahl r kann auf die Form gebracht werden: 


1+2 


le ne S ist, also |2| < 1, wenn r eine positive, reelle 


Zahl ist. Dagegen, wenn r negativ ist, so ist |2|>1 und die Reihe 
hört auf zu konvergieren. Man hat: 


log r = rin —=2R(@), 


wo 2|<1 und z gleich - ] ist. Für jede positive Zahl gibt 


also diese Reihe einen reellen Logarıthmus. Diese Reihe und 


XX. Abschnitt. Der natürliche Logarithmus. 99 


ihre Entwicklung rührt von Halley her, bekannt durch seinen Ko- 
meten (Halley, Philosoph. Transakt. 1695). Zur wirklichen Berech- 
nung ist die Reihe im allgemeinen zu schwach konvergent, da 2 sich 
rasch der Grenze 1 nähert. Auch erleidet die Arbeit keine Erleichte- 
rung durch die schon berechneten Logarithmen. 

4. Von den zahllosen Umformungen erwähne ich a) die, mittels 
der Vega 1794 seinen Thesaurus berechnete; er setzte: 


a en 


Te=2 y—1 ’ . R, er: 
und erhielt dadurch: 


! 1 = gzk+l 
logy-5 llogy—1)+legsW+1)] er 


Ist y eine Primzahl p, so sind y— 1 und y+ 1 durch 2 teilbar, 
und man hat: 


logp = > log (77 


Var 2 
gas 


")+lo se ")|+log2 + Ra), 


Aus diesen Reihen findet man z. B.: 


logd = log 2 +log3 + R (5) 


Sehr bequem ist auch: 


1i+2 _ Yrh De h 
b) er ae 
log (y+h)—=logy+ 2[z], wo [] für R(z), 
2..B.: 


log = log 2 +log3 + 2,5]: 


Man sieht hier, daß, wenn Fr einigermaßen klein ist: 


2h } 
log (y+ h) — logy= 22 = ae 


d.h. also: Die Zunahme des Logarithmus ist der Zunahme 
des Numerus proportional. 

5. Noch einige Bemerkungen: 

Die Reihe für logr konvergiert auch, wenn r eine komplexe 


Zahl p ist und ihre ll Koordinate a nn denn wenn p=a-t1b, 
mz 


100 XX. Abschnitt. Der natürliche Logarithmus. 


a—1I-+ ib 
TERN; 
kleiner als al(a + 1)’+ b?] ist, und dies ist dann und nur dann 
richtig, wenn a>0 ist. Die Reihe gilt also für alle komplexen 
Zahlen im ersten und vierten Quadranten der Gaußschen Ebene. 


6. Interessant sind die Grenzfälle der Reihe für log (1 + 2), wo 
2=—1 ist: 


lg 1-2)=—[14+,+ a: : =. 


so ist 2—= und der absolute Betrag von 2 ist <]1, wenn OÖ 


Diese Reihe, die sogenannte harmonische Reihe, ist die bekann- 
teste Widerlegung der Lagrangeschen Ansicht, daß eine Reihe konver- 
giere, wenn ihre Glieder schließlich unendlich klein werden. Es ist: 


1 1 1 it 1 1 1 4 1 
tan Or ae 
1 
n+1 
An der Grenze + 1 hat man: 


log 1+2)=1 +3 -5+t. + DioH 


N 


1 1 
a 


In dieser Anordnung konvergiert die Reihe, weil aus: 


+69 


folgt, daß ihr Wert > er ist, und aus 


1-(4-N+) 


folgt, daß ihr Wert <1 ist, und es ist in der Tat, wie aus der 
Stetigkeit des Logarıthmus folst: 


1 1 1 N 
a re Er 
Aber die Logarithmenreihe definiert keine Zahl der Zahlenreihe. 
Sie ist nicht konvergent unabhängig von der Anordnung ihrer Glieder. 
Man bilde: 
4 1 1 1 
u o- 2,6 a ae ee an ee cn 
ist, und setze: 
1 1 1 
u- 2 u, VO Be 


also: 
1.0917 Sg 
nl Se a 


(u enthält also dieselben Glieder wie o, aber in anderer Anordnung) 


XX. Abschnitt. Der natürliche Logarithmus. 101 


so Ist: 
1 1 


| 1 
u ar rn ck 


also: 


10-0 und u, log 2. 

Es läßt sich unschwer zeigen, daß eine solche bedingt konver- 
gente Reihe je nach der Anordnung der Glieder jeden beliebigen 
Wert annehmen kann. 

7. Da man für jeden absoluten Betrag den logarithmus naturalis 
berechnen kann, so muß noch für jede komplexe Einheit «+:iß der 
Logarithmus berechnet werden. 

Es war: 


csp+tising=et; csp—isnp= et; 


daher: 
Fr; 1 all 
pi Cop ising = «+ :ß ve & 
cosp —ising e—iß i ;ß 
Ü 


? 


. sın . 
Den Quotienten ah * _ nennt man tangens p, seinen 
. $ e Sp . . 
reziproken Wert cotangens p. Auch diese gehören zu den trigono- 
metrischen Funktionen und sind in Tabellen verzeichnet. Sei “ —it; 


so haben wir: 
Baer 
le we 
und sobald 2| <1 ist: 


gR+1 
2-2 Yyerr 


e grrl 
-DIc- 1) 2k+1? 


die Arcustangens-Reihe. 


1-4 


und 20 lo Fre 


also: 


8. Ist «@<ß, so kann man die Gleichung benutzen: 


(a + BI + ie) = id + P) = 

Den Logarithmus von i gibt also die Reihe nicht, ebenso- 
wenig die Logarithmen der negativen Zahlen; man sieht, hier fehlt 
log (— 1). 

Aus der trigonometrischen Bedeutung der Funktion cos x und 
sin“ wissen wir, dab für . die Funktion cos«—= 1 und daher 


sn&=0(0 is. Das kann und muß arithmetisch nachgewiesen 
werden. 


102 XX. Abschnitt. Der natürliche Logarithmus. 


Die Funktionen sind stetig, wie bewiesen. Solange nun 2@?< 2 
ist, ist die Funktion: 


mei 3) 0+ 


sicher positiv; für —=1,5 ist sie.noch >0, aber für z= 1,6 ist 
sie schon negativ. Sie muß also zwischen 1,5 und 1,6 durch OÖ 
gehen. Durch weitere Eingrenzung berechnen wir als Nullstelle 
22 = 3,1415926..., d. h. x, und daß dies der erste Wert > (0 ist, 
für den cos& durch Null geht, folgt daraus, daß ihre Ableitung, d.h. 
— sinz von x2=0( bis <= 1,6 sicher negativ ist. Wir haben: 


IT . TU 
Cose 0 nel 


Aus dem Additionstheorem erhalten wir: 


sin (5 -- p) —=(08p, Cos (7 — p) — Su ®, 
ferner: 
sinz=(0, csz—=--—1, 
TT 


IR, im, : 
sin, =c8. =+7zYV2, sin2z=1, co 2m =0; 


Somit geben die Eulerschen Gleichungen: 


— er le 
9. Die fehlenden Logarithmen von ? und — 1 sind in - i und mt 
gefunden; zugleich aber stoßen wir auf die wichtigste Eigenschaft der 
Exponentialfunktion und der mit ihr so nahe verwandten zyklischen 
Funktionen: auf die Periodizität. Es ist: 
er +2 ri we ED, ei ar: ir 
und allgemein: 


COS 


08 
sin | 


”+2kn)= m, 


Vr DEIN 
e = ’ m 


wo k eine beliebige positive oder negative ganze Zahl ist. 

Die Exponentialfunktion hat also die Eigenschaft, daß ihre Werte 
jedesmal, wenn man die imaginäre Koordinate des Argumentes um 
2n vermehrt, wiederkehren. Ihre Periode ist 2:, während Kosinus und 
Sinus die reelle Periode 2x, ihre Quotienten Tangens und Kotangens 
die reelle Periode x besitzen. Das ganze Geschlecht ist als das der 
„einfach periodischen Funktionen“ charakterisiert. 

Die Periodizität ist eine Folge der einfachen Additionstheoreme, 
und es ist nicht uninteressant, daß die gewöhnlich immer als Beispiel 
der Einfachheit angeführte Gleichung 1-1=1 vielleicht die kom- 
plizierteste, jedenfalls die folgenreichste Gleichung der Mathematik 


XX. Abschnitt. Der natürliche Logarithmus. 103 


ist, und sich hinter ihr die unendliche Vieldeutigkeit des Logarithmus 
verbirgt: 

10. Jede komplexe Zahl a + ib ließ sich auf die Form (@ + ip)r 
bringen; r läßt sich durch die Reihe: 

NT gt 
log w—=2 aktı 0 

auf die Form e bringen, wo o eine reelle Zahl ist, «+iß auf die 
Form e?‘ durch die Reihe für @, die allerdings nur gilt, wenn t kon- 
tinuierlich von — 1 bis +1 wächst und dann für p die Werte von 


— 7; bis +7 gibt. Man wendet sie direkt an, wenn « und ß po- 
sitivr und «e>ß ist; sind « und ß positiv und «<ß, so ist: 


Go 
e\? —=snpg+ticspg=Pfß-+tie, 


und man berechnet - — p, indem man in die Arcustangens-Reihe für 


t den reziproken Wert einführt. Ist « negativ und |@ > ß, so be- 
nutzt man die Formel: 


er —= —cosp+tisnpyg=|a|+tiß 


und berechnet x — 9, welches < T ist. Sind « und ß beide negativ, 


so gibt die Reihe denselben Wert, wie wenn beide positiv wären; 
wäre dieser @,, so wäre g=r-4 @,, USW. 

Man sieht, daß für jedes «+ :Pß sich ein und nur ein Wert o 
zwischen O0 und 2x findet, so daß ee'=«-+iß ist. Denn wäre e”' 
auch gleich & +iß, so müßte ev -W'—-1 = e*”i sein. 

Jede Zahl «+ ib läßt sich jetzt auf die Form bringen: ey +pi+?r=i, 
wo @ zwischen O und 2x liegt, 2x ausgeschlossen, g eine reelle Zahl 
und %k eine ganze Zahl ist, d. h. zu jeder Zahl gehören unendlich 
viele frauen, der zu k = 0 gehörige heißt der Hauptlogarithmus. 
It a +ib=r, dann ist 9=0, der Hauptlogarithmus =o; ist 
—a+ib=—r, so ist = und der Hauptlogarithmus ist gleich 


o+ ir; der Hauptlogarithmus von ’ -[, der von —i ist nicht 
gleich — =, sondern gleich - m 


11. Es folgt, daß die Definition von a”= e** keine bestimmte 
ist. Wir bekommen jetzt auch Aufschluß über die Vieldeutigkeit der 
Wurzel. Es ist a = e“+?”i%X wo « den Hauptlogarithmus bezeichnet. 
Es ist also: 


& DTUR Vo DIE U 


Be odergoleichz rer 2° 


104 XX. Abschnitt. Der natürliche Logarithmus. 


2rtik 
KAP N [} . .. 
Aber e * oder Y1 hat n verschiedene Werte, die man erhält, wenn 
man k von O bis n — 1 laufen läßt, da aus 
2rrik 27BUk 
e ron 


folgt, daß a eine ganze Zahl ist; also hat die Ya= e* : Y1 eben- 
Br & a+2ri 

falls n verschiedene Werte. Man könnte Ya=a" =e " setzen 

und diese Gleichung wäre jetzt eine vollständige, da die beiden Seiten 

n verschiedene Werte haben. Man stößt aber wieder auf die im 

XI. Abschnitt bemerkte Schwierigkeit. Es ist a? nicht gleich 


#7 


eae+ikzi sondern a?=,e?°t?*=i und deshalb a® nicht identisch mit 
1 2 1 


a®, da a® sechs Werte haben würde und a? nur drei. Es ist daher 
vorzuziehen, daß wir a” definieren als e“”, wo « der Hauptlogarithmus 
ist, und die Vieldeutigkeit an das Wurzelzeichen knüpfen. 


Die Vieldeutigkeit des Logarıthmus wurde von Euler gelegent- 
lich der Frage nach den Logarithmen der negativen Zahlen bemerkt; 
die Fragen sind noch immer nicht völlig geklärt. So ist z. B. neuer- 
dings in der Hoffmannschen Zeitschrift eine Note veröffentlicht, 
derzufolge eine negative Zahl bei positiver Basis auch reelle Loga- 
rithmen haben könnte; sie geht von dem falschen Öbersatz aus: es 
ist immer ?loga =‘loga:‘logb ein Satz, der nur für die Haupt- 
logarithmen von b auf der rechten Seite richtig ist; wenn 


a=b Munde eteinderp ee 
so ist nicht: br — ef w+ ini 
sondern: 


b? — ePe+2Ari also: De Kr 2hri 
p) . BR Se = ß 


Bei einer solcher ungenauen Definition des Logarıthmus könnten 
ebenso auch komplexe Zahlen reelle Logarithmen haben. 


12. Die Periode x selbst kann mit der Arcustangens-Reihe be- 
quem berechnet werden. Die Reihe ist zuerst von David Gregory 
am 15. Februar 1671 an Collins, der zum Newtonschen Kreise 
gehörte, mitgeteilt. Sie ist dann von Leibniz 1675 durch Zer- 
legung des Sektors in unendlich viele Teile selbständig abgeleitet 
worden. Leibniz gab für {=1, zu welchem Werte nach den 


Additionstheorem — gehört, die bedingt konvergente Reihe: 


U 1 ii 1 
TER 3 


XX. Abschnitt. Der natürliche Logarithmus. | 105 


die ihn zu dem Ausspruch: deus quidem numero gaudet impari (Gott 
freut sich der ungeraden Zahl) begeisterte. Es lassen sich beliebig 
stärker konvergierende Reihen ableiten, die auf der Eulerschen 
Formel beruhen (Euler: de variis methodis eirculi quadraturae nu- 
meris proxime exprimendae; Petropolit. T. IX p. 222): 


arctg en — arctg Ey = + arctg = 


Wir erwähnen die Formel von Schulz (von Strasnicki), mit der 
Dahse, Crelle 27, S. 198 x auf 206 Stellen berechnete: 


76 it IE 1 
> —areig — + arcig FE tsarciorn 
und die von Machin 1706: 
7U 1 1 
TR == 4 arctg 7 —— arctg 239 . 


Es ist: 


tga—+t 
ee ET 


und wenn tg-9 = so ist: 


E 


200 


5 1 
129 = 5, A re: 19 -—-+%, tg y = 


239 

13. Es ist eben so einfach wie lohnend, den Zusammenhang von 
logarithmus maturalis und Numerus, also von x und e” geometriseh zu 
versinnlichen. Nehmen wir für « und e” je eine Gaußsche Zahlen- 
ebene, bewegt sich z auf der reellen Achse von — © bis + 00, so be- 
schreibt e” den reellen positiven Strahl von 0 bis . 

Durchläuft x eine Parallele zur reellen Achse im Abstand b, so 
dreht sich der Numerus in die Richtung, die der Bogen b des Ein- 
heitsstrahles angibt. Wenn sich also x um 2x gehoben hat, hat der 
Numerus eine volle Umdrehung ausgeführt, und jedesmal nach einer 
Änderung der imaginären Koordinate des Logarithmus um 2x kehrt 
die Exponentialfunktion in die frühere Richtung zurück. 

Während der Logarithmus also einen Streifen von der Breite 2x 
bedeckt, bedeckt e” ihre ganze Ebene, und wenn x die Halbebene 
ausgefüllt hat, in Parallelen zur Achse + 1, hat e” ihre Ebene unend- 
lich oft bedeckt. Dennoch sind beide von gleicher Mächtigkeit, eine. 
gute geometrische Verifikation der Cantorschen Sätze. 

Durchläuft & die Parallele zur i-Achse im Abstande a, so be- 
schreibt e” den Kreis mit dem Radius e* und jedem Abschnitt der 
Parallelen von der Länge 2x entspricht ein voller Umlauf. Die Ab- 
bildung des Logarithmus a + ib geschieht also in der Weise, daß die 
imaginäre Koordinate b von + 1 aus auf dem Einheitskreis auf- 


106 XX. Abschnitt. Der natürliche Logarithmus. 


gewickelt |jwird und der Radius in dieser Richtung auf die Länge e* 
gebracht wird. 
Lassen wir den Logarıthmus ein Rechteck, dessen Ecken: 


a+ib, a+ib, a+ib, a-+iıb, 


Fig..8. 


sind, durchlaufen, so durchläuft der Numerus den Sektor eines Kreis- 
rings mit den ne der Ecken: 


ee bysen br ea, bs ebay 2, 
Die Abbildung ist eine konforme (winkeltreue), da der Radius 
auf dem Bogen senkrecht steht. 


Namenregister. 


Alsted, J H., 3. 
Archimedes 66, 69. 
Argand, F., 93. 
Aristoteles 23 

Atelhard (von Bath) 25. 


Bardey, E., 44. 

Baumeister, A., 2. 

Beda (Venerabilis) 44. 

Bernoulli, J., 13, 43, 63. 

Bolzano, B., 5, 45. 

Bombelli, Raf., 24. 

Böttcher, K., 28. 

Briggs, H., 66, 67, 68. 

Bring» E. J., 89. 

Bürgi, Jobst, 35, 52, 66, 69. 

Cantor, G., V., 2, 10 (m), 23 (m), 48 (m), 
49 (m), 50, 51, 80, 90, 95, 96, 105. 

Cardano, Hier., 24, 76, 77 (m), 78. 

Cauchy, A., 80. 

Chuquet, N., 14, 19, 24, 66 (m), 69. 

Clairaut, A. O., 43. 

Collins, J., 104. 


De Dacia (siehe Petrus). 

Dahse, Z., 7, 105. 

Dedekind, R., V., 2, 48, 49, 50, 51. 

Descartes, R., 43, 79. 

Diophant 24, 41, 44. 

Eisenstein, F. G. M., 88. 

Euklid 31, 60. 

Euler, L., 43, 63, 66, 71, 92, 102, 104, 105. 

Fermat, P. de, 79. 

Ferrari, L., 78, 

Del Ferro (Ferreus), Scipione, 77 (m), 78. 

Fiori (Floridus) 77. 

Fourier, J. B., 63, 94. 

Francais 33. 

Frisius, Gemma, 8, 

Gauß, J. C. F., 2, 79, 80 (m), 83 (m), 100, 
105. 


Girard, A., 53, 66. 

Glaisher, J. W. L., 30. 
Gordan, P., 9. 

Graßmann, H., 2. 
Graßmann, R., 2. 

Gregori, David, 104. 
Gregorius a St. Vincentio 98 
Griffiths 15. 


Halley, E., 99. 
Hamilton, Rowan, 5, 84. 
Hankel, H., 12, 16 (m). 
Heiß, E., 44. 

Hermite, Ch., 96. 
Hilbert, D., 96. 
Hilprecht, H. V., 22. 
Hirsch, Meyer, 44. 
Hudde, J., 77. 
Hurwitz, A., 96. 
Hypatia 37. 


Jacob, Sim., 69. 

Jacobi, C. G. J., 2. 

v. Jauer (siehe Rudolph). 
Jordanus (Nemorarius) 52, 56, 66. 


Kant, L., 4. 
Kästner, A. @., 13. 
Kepler, J., 35. 
Kewitsch G., 21. 
Klein, F., 96. 
Kossak, E., 50. 
Kramp, C., 70. 
Kronecker, L., 88. 
Kummer, E. E., 1. 


Lagrange, L. de, 100. 
Lambert, J. H., 94. 
Lampe, E., 86. 

Lange, F. A., 5. 
Legendre, A. M., 6, 64. 
Leibniz, @. W., 22, 43, 63. 


108 


Leonardo (Pisano) 36, 44. 
Lindemann, F., 96. 
Liouville, J., 94. 
Lorberg, H., 2, 4. 
Lüroth, J., 40. 


Machin 105. 
Mercator, G., 98. 
Meyer, Fr., 16. 

De Moivre, Abr, 85. 
Monge, G., 2. 


Muhamed Ben Musa Alchwarizmi 25. 


Della Nave 78. 


Nemorarius (siehe Jordanus). 


Neper, J., 52, 66, 68, 98. 
Newton, Is., 66, 75. 


Nikomachus (von Gerasa) 22. 


Oresme, N., 66 
Ougthred, W., 22. 


Pacciolo, Luca, 44, 66. 
Park, Mungo, 3. 
Petrejus 77. 

Petrus (de Dacia) 22. 
Pflieger, W., 16. 
Platon 23. 

Poncare, .H 21 2 7: 


Namenregister. 


Recorde 43. 

Regiomontan 35. 

Riemann, B., 64. 

Riese, Adam, 24, 53. 
Rudolph (von Jauer), Ch., 22. 


Sargon 16. 

Schopenhauer, A, 4. 

van Schooten, Frz., 79. 

Schulz von Strasnicki, K., 105. 
Schwarz, H. A., 64. 

De Stainville, L., 94. 
Stevin,‘D., 35 (m), 58. 

Stifel, M., 24, 66, 69. 

Sturm, Joh. Chr., 44. 


Tartaglia, Niec., 24, 77 (m), 78 (m). 
Theon 57. 

Tonstall, C., 26. 

Tschirnhausen, Walth. von, 77, 86. 


Vega, G., 69, 99. 
Vieta, Fz., 35, 43, 79. 
Vlacq, Adr., 69. 


Weber, H, 41, 48, 88. 

Weierstraß, C., V, 2 (m), 12, 17, 18, 
50 (m), 51, 64 (m), 82. 

Wessel, Casp, 83. 


Neuester Verlag von B. @. Teubner in Leipzig. 


Enceyklopädie der Mathematischen Wissenschaften, 


mit Einschluß ihrer 


Anwendungen. Hrsg. im Auftrage der Akademien der Wissenschaften zu Göttingen, 
Leipzig, München und Wien, sowie unter Mitwirkung zahlreicher Fachgenossen. 


In 7 Bänden zu je 6—8 Heften. gr. 8 


Bisher erschien: 


I. Arithmetik und Algebra, 2 Teile, 
W. Frz. Meyer. 

I. Teil. [XXXVILH u. 554 S.] geh. #. 17.—, 

in Halbfranz geb. M. 20.— 

II. Teil. [X u. S. 555 —1197.] 

in Halbfranz geb. M. 22.— 


II. Analysis, 2 Teile, red. von H. Burkhardt und 
W. Wirtinger. 
I. Teil. Heft:1. [160 S.] 1899. 4.4.80; 2./3. [240 S.] 


red. von 


geh SA. 19.—, 


1900. M.7.50; 4. [160 S.] M. 4.80. 5. [199 S.] 
1904. M.6.— 
II. Teil. Heft: 1. [175 8.] 1901. M. 5.20. 


III. Geometrie, 3 Teile, red. von W. Frz. Meyer. 


geh. 


IV. Mechanik, 2 Teile, red. von F. Klein u. (.H.Müller. 
I. Teil. I. Abt. Heft: 1. [121 S.] 1901. 4.3.40; 
2. [156 8.] 1902. M.4.60. 3. [156 S.] 
1903. AM. 4.60. 
II. Abt. Heft:1. [152 8.] 1904. M. 4.40. 
II. Teil. Heft: 1. [147 S.] 1901. M.3.80; 2. [131 8.] 
1903. M. 3.80. 
V. Physik, 2 Teile, red. von A. Sommerfeld. 
I. Teil. Heft: 1. [160 S.] 1903. A. 4.80. 
Heft: 2. [159 S] 1905. M.4.S8ü. 
II. Teil. Heft: 1. [280 S.] 1904. M. 8.— 
VI. 2: Astronomie, red. von K. Selhwarzschild. 
Hlett. 17. 193737719059 425.80 
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VI. 1: Geodäsie und Geophysik, 


II. Teil. Heft: 1. [160 S.] 1903. #. 4.80. red. von Ph. Furtwängler und E. Wiechert. 

II. Teil. Heft: 2. [96 S.] 1904. #M. 2.80. In Vorbereitung: 

IH. Teil. Heft: 1. [183 S.] 1902. A. 5.40. VII. Historische, philosophische und didaktische 
Heft: 2/3. [256 S.] 1903. M. 6.80. Fragen behandelnd, sowie Generalregister. 


Encycelopedie des sciences math@matiques pures et appliqudes. Publiee 
sous les auspices des Acad&mies des sciences de Göttingue, de Leipzig, de 
Munich et de Vienne avec la collaboration de nombreux savants. Edition francaise, 
redigee et publiee d’apres l’edition allemande sous la direction de Jures Mork, 
professeur & l’universit€E de Nancy. En sept tomes. Tome I: vol. 1, fasc. 1 
[160 pag.] gr. 8. 1904. n. M 4.— 


Abraham, Dr. M., Privatdozent an der Universität Göttingen, Theorie der Rlektri- 
zität. I. Band: Einführung in die Maxwellsche Theorie der Elektrizität. Mit 
einem einleitenden Abschnitte über das Rechnen mit Vektorgrößen in der Physik. 
Von Dr. A. Förrr. Zweite, umgearbeitete Auflage von Dr. M. Arranım. Mit 
11 Figuren im Text. [X VI u. 443 S.] gr. 8. 1904. In Leinw. geb. n. M 12. — 
II. Band: Elektromagnetische Theorieder Strahlung. Von Dr.M. Apranam. 
[X u. 4048.] gr.8. 1905. In Leinw. geb. n. A. 10.— 


Ahrens, Dr. W., in Magdeburg, Scherz und Ernst in I Mathematik. Ge- 
Hügelte und ungeflügelte Worte. [X u. 522 8.) gr. 1904. In Leinw. geb. 

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mathematische Unterhaltungen und Spiele [X u.428 S.] gr. 8. 


1901. In Original-Leinwandband mit Zeichnung von P. Bürck in Darmstadt 
n. M#. 10.— 


Alexandroff, Dr. Iwan, Professor der Mathematik am Kaiserlich Russischen Gymnasium 
zu Tambow, Aufgaben aus der niederen Geometrie. Nach Lösungsme- 
thoden geordnet und zu einem Ubungsbuch zusammengestellt. Mit einem Vorwort 
von Dr. M. Scauster, Professor am Gymnasium zu Eutin, und 100 Figuren im 
Text. [VIu. 123 8.] gr. 8. 1903. In Leinwand geb. n. M. 2.40. 


Börnstein, Dr. R., und Dr. W. Marckwald, Professoren an der Universität Berlin, 
sichtbare und unsichtbare Strahlen. Mit 82 Abbildungen im Text. [VI 
u.142 8.] 8. 1905. geh. M 1.—, in Leinw. geb. M. 1.25. 


Cesaro, Ernesto, Professor der Mathematik an der Königl. Universität zu Neapel, 
elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infini- 
tesimalrechnung. Mit zahlreichen Ubungsbeispielen. Nach einem Manuskript 
d.Verf. deutsch hrsg. von Dr. G. Kowarewskı, Professor an der Universität Greifswald. 
Mit 97 Figuren im Text. [VI u. 894 8.] gr. 8. 1904. In Leinw. geb. n. M. 15.— 


Engel, Dr. Friedrich, Professor an der Universität Greifswald und Dr. Paul Stäckel, 
Professor an der Königl. Technischen Hochschule zu Hannover, Urkunden 
zur Geschichte der nichteuklidischen Geometrie. Mit vielen Figuren 
im Texte. In zwei Bänden. gr. 8. geh. 


I. Band: Nikolaj Iwanowitsch Lobatschefskij, zwei geometrische Abhand- 
lungen, aus dem Russischen übersetzt, mit Anmerkungen und, mit 
einer Biographie des Verfassers von Frıepr. Enger. I. Teil: Die Über- 
setzung. Mit einem Bildnisse Lobatschefskijs und mit 194 Figuren im 


Text. I. Teil: Anmerkungen. Lobatschefskijs Leben und Schriften. 
Register. Mit 37 Figuren im Text. [XVI, IV u. 746 S.] 1899. geh. 
n. M. 14.—, in Halbfrzbd. geb. n. #. 15.40. 

II. Band: Wolfgang und Johann Bolyai, geometrische Untersuchungen, 
herausgegeben von Paur SrÄcker. Mit einem Bildnisse Wolfgang 
Bolyais. [In Vorbereitung. | 

Fiedler, Dr. W., Professor am Polytechnikum zu Zürich, die darstellende Geo- 
metrie in organischer Verbindung mit der Geometrie der Lage. 
4. Aufl. In 3 Teilen. I. Teil: Die Methoden der darstellenden und die Elemente 
der projektiven Geometrie. Mit zahlreichen Figuren im Text und auf 2 Tafeln. 
[XXIV u. 431 S.] gr. 8. 1904. geh. n. M 10.—, in Leinw. geb. n. M. 11.— 

Fisher, Dr. phil. Irving, Professor der Nationalökonomie an der Yale Universität, 
kurze Einleitung in die Differential- und Integralrechnung (Infini- 
tesimalrechnung). Aus der durch mehrere Verbesserungen des Verfassers 
vervollständigten dritten englischen Ausgabe übersetzt von N. Pınkus. Mit 11 Fi- 
guren im Text. [VI u. 72 8.] gr. 8. 1904. In Leinw. geb. n. # 1.80. 

Fort, O. und O. Schlömilch, Lehrbuch der analytischen Geometrie. I. Teil. 
Analytische Geometrie der Ebene von O. Fort, weil. Professor am Kgl. Sächs. 
Polytechnikum zu Dresden. 7. Aufl. bes. v. Dr. R. Heger, Professor an der Königl. 
Technischen Hochschule zu Dresden. Mit in den Text gedruckt. Holzschn. [XVII 
u.268 S.] gr.8. 1904. geh.n. M 4.—, geb.n. M. 4.80. 

Gleichen, Regierungsrat Dr. A., Privatdozent an der Königl. Technischen Hochschule 
zu Berlin, Lehrbuch der geometrischen Optik. Mitzahlreichen Abbildungen 
io Textes [RTV 0.651198.) 7 97.787 719027 Vgebe na 20 

Grassmanns’, Hermann, gesammelte mathematische und physikalische 
Werke. Auf Veranlassung der mathematisch-physikalischen Klasse der Königl. 
Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften und unter Mitwirkung der Herren 
JAcoB LÜROTH, EDUARD StuDy, JUSTUS GRASSMANN, HERMANN GRASSMANN der Jüngere, 
GEORG SCHEFFERS herausgegeben von Frıeprıcn Enger, Professor an der Uni- 
versität Greifswald. 

II. Band. I. Teil. Die Abhandlungen zur Geometrie und Analysis. 
Mit 45 Figuren im Text. [X u. 452 S.] gr. 8. 1904. geh. 
n. M. 16 — 

I. — IH -— Die Abhandlungen zur Mechanik und zur mathe- 
matischen Physik. Mit 51 Figuren im Text. [VII u. 
266 8.] gr. 8. 1902. geh. n. M. 14.— 

Heffter, Dr. L., Professor an der Universität Kiel, und Dr. C. Koehler, Professor ah 
der Universität Heidelberg, Lehrbuch der analytischen Geometrie. 1.Band: 
Geometrie in den Grundgebilden erster Stufe und in der Ebene. Mit 136 Figuren 
im Text. [XVI u. 528 8.] gr. 8. 1905. In Leinw. geb. n. M. 14.— 


Klein, Geheimer Regierungsrat Dr. Felix, Professor an der Universität Göttingen, 
Vorträge über ausgewählte Fragen der 'Elementargeometrie. Aus- 
gearbeitet von F. Tiserr. Eine Festschrift zu der Pfingsten 1895 in Göttingen 
stattfindenden 3. Versammlung des Vereins zur Förd:rung des mathematischen 
und naturwissenschaftlichen Unterrichts. Mit 10 Figuren im Text und 2 lithogr. 
Tafeln.- [V u. 66 8.] gr. 8. 1895. geh. n. #4. 2.—, in Leinwand geb. n. M 2.80. 

und Dr. E. Riecke, Professor an der Universität Göttingen, neue 
Beiträge zur Frage des mathematischen und physikalischen Unter- 
richts an höheren Schulen. Vorträge, gehalten bei Gelegenheit des Ferien- 
kurses für Oberlehrer der Mathematik und Physik, Göttingen, Ostern 1904. 
Enthaltend Beiträge der Herren OÖ. Beurenpsen, E. Bose, E. Görrme, F. Krem, 
E. Rıerexe, F. Scnitume, J. Stark, K. SchwArzschitLp. gr. 8. 1904. Teil I. Mit 
6 Figuren im Text. [VIII u. 190 8.] geh. n. M. 3.60. Teil II. Mit 151 Figuren 
und 5 Doppeltafeln. [VI u. 198 8.] geh. n. M. 4.60, geb. n. #. 5.— Beide 
Teile in einen Band geb. n. M. 8.60. 

Kohlrausch, Wirkl. Geh. Oberregierungsrat, Prof. Dr. F., in Marburg, Lehrbuch 
der praktischen Physik. Zehnte, vermehrte Auflage des Leitfadens der 
praktischen Physik. Mit zahlr. Figuren im Text. [XXVII u. 656 8.] gr. 8. 
1905. In Leinw. geb. n. M. 9.— 

Koenigsberger, Geheimrat Dr. Leo, Professor an der Universität Heidelberg, Carl 
Gustav Jacob Jacobi. Festschrift zur Feier der hundertsten Wiederkehr seines 
Geburtstages. Mit einem Bildnis und dem Faksimile eines Briefes. [XVII u. 
554 S.] gr. 8. 1904. In Leinwand geb. n. M. 16.— 


Lobatschefskijs, N. G., imaginäre Geometrie und Anwendung der imagi- 
nären Geometrie auf einige Integrale. Übersetzt und mit Anmerkungen 
herausgegeben von Dr. Hemrıcn Lıesmann, Professor an der Universität Leipzig. 
Mit 39 Figuren im Text und einer Tafel am Schluß. (A. u. d. Titel: Abhandlungen 
z. Geschichte d. mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen. 
Begründet von Morırz Cantor. XIX. Heft.) [XI u. 187 8.) gr.8. 1904. geh.n. #. 8.— 


Loria, Dr. Gino, Professor der höheren Geometrie an der Universität zu Genua, die 
hauptsächlichsten Theorien der Geomtrie, in ihrer früheren und 
jetzigen Entwickelung. Historische Monographie. Unter Benutzung zahl- 
reicher Zusätze und Verbesserungen seitens des Verfassers ins Deutsche über- 
tragen von Frırz Scnürre, Oberlehrer am Gymnasium zu Düren. Mit einem Vor- 
worte von Professor R. Sturv. [VI u. 132 S.] gr. 8. 1888. geh: n. WM. 3.—. 


 Mie, Dr. G., Professor an der Universität Greifswald, Moleküle — Atome — Welt- 
äther. Mit 27 Figuren im Text. [IV u.1388.] 8. 1904. geh. 4 1.—, in Leinw. 
geb. M. 1.25. 

Müller, Dr. Conrad H., Professor in Göttingen, Studien zur Geschichte der 
Mathematik insbesondere des mathematischen Unterrichts an der Universität 
Göttingen im 18. Jahrhundert. Mit einer Einleitung: Über Charakter und Um- 
fang historischer Forschung in der Mathematik (Sonderabdruck aus dem 
XVII. Heft der Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik). [X u. 94 8.j 
gr.8. 1904. geh. n. M. 2.— 

Netto, Dr. Eugen, Professor an der Universität Gießen, elementare Algebra. 
Akademische Vorlesungen für Studierende der ersten Semester. Mit 19 Figuren 
im Text. [VIII u. 200 S.] gr. 8. 1904. In Leinw. geb. n. M 4.40. 

Nielsen, Dr. Niels, Dozent der reinen Mathematik an der Universität Kopenhagen, 
Inspektor des mathematischen Unterrichts an den Gymnasien Dänemarks, Hand- 
buch der Theorie der Gammafunktion. [X u. 326 S8.] gr. 8. 1906. 
In Leinw. geb. n. M. 12.— 

Pascal, Ernst, Professor an der Universität zu Pavia, Repertorium der höheren 
Mathematik (Definitionen, Formeln, Theoreme, Literatur). Autorisierte 
deutsche Ausgabe nach einer neuen Bearbeitung des Originals von A. Scherp, 
weiland Oberleutnant a. D. in iWesbaden. In 2 Teilen: Analysis und Geo- 
metrie. I. Teil: Die Analysis. [XO u. 633 8.] gr. 8. 1900. Biegsam in 
Leinw. geb. n. A 10.—. I. Teil: Die Geometrie [IX u. 7128.) gr. 8. 
1902. Biegsam in Leinw. geb. n. M. 12.— 

Perry, Professor John, Drehkreisel. Volkstümlicher Vortrag, gehalten in einer 
Versammlung der „British Association“ in Leeds. Übersetzt von Dr. Aucusrt 
Warzer, Professor an der k. k. Technischen Hochschule in Brünn. Mit 58 Ab- 
bildungen im Text und einem Titelbild. [VIII u. 125 S.] 8. 1904. In Leinw. 
geb: n. M. 2.80. 

Poincare, Henri, Membre del’Institut, Wissenschaftund Hypothese. Autorisierte _ 
deutsche Ausgabe mit erläuternden Anmerkungen von F. und L. Lindemann. 
[XVI u. 342 S.] 8. 1904. In Leinw. geb. n. M. 4.80. (2. Auflage unter der Presse.) 

Reichel, Dr. Otto, Professor an der Königl. Landw. Hochschule zu Berlin, Vorstufen 
der höheren Analysis und analytischen Geometrie. Mit 30 Figuren 
im Text. [X u.111 S.] gr.8. 1904. In Leinw. geb. n. M. 2.40. 

Richarz, Dr. F., Professor an der Universität Marburg, neuere Fortschritte auf 
dem Gebiete der Elektrizität. 2. Auflage. Mit 97 Abbildungen. [VI u. 
128 S.] gr. 8. 1902. In Leinwand geb. n. M. 1.50. 

Schilling, Dr. Friedrich, Professor an der Technischen Hochschule zu Danzig, über 
die Anwendungen der darstellenden Geometrie, insbesondere über 
die Photogrammetrie. Mit einem Anhang: Welche Vorteile gewährt die 
Benutzung des Projektionsapparates im mathematischen Unterricht? Vorträge, 
gehalten bei Gelegenheit des Ferienkurses für Oberlehrer der Mathematik und 
Physik, Göttingen, Ostern 1904. Mit 151 Figuren und 5 Doppeltafeln. [VI 
u. 198 8.] gr. 8. 1904. geh.n. M 4.60, in Leinw. geb. n. M 5.— 

Schlömilch, weil. Geheimer Regierungsrat Dr. Oskar, Ubungsbuch zum Studium 
derhöheren Analysis. 1. Teil: Aufgaben aus der Differentialrechnung. 5. Auflage, 
bearbeitet von Dr. E. Narrscn, Professor an der Königl. Technischen Hochschule: 
zu Dresden. Mit 85 Figuren im Text. [VIII u. 372 8.] gr.8. 1904. In Leinw. geb. 
n. M.8.— 

Schüssler, Dr. Rudolf, Professor an der Technischen Hochschule zu Graz, 
orthogonaleAxonometrie. Ein Lehrbuch zum Selbststudium. Mit 29 Figuren- 
tafeln in besonderem Hefte. [VIIu.1708.] gr.8. 1905. In Leinw. geb.n. 4. T.— 


Seliwanoff, Demetrius, Privatdozent an der Universität St. Petersburg,. Lehrbuch 


der Differenzenrechnung. [IV u. 92 S.] gr. 8. 1904. In Leinw. geb.n. 4 4.— 


Starke, Dr. H., Privatdozent in Berlin, experimentelle Elektrizitätslehre. 
Mit besonderer Berücksichtigung der neueren Anschauungen und Ergebnisse dar- 
gestellt. Mit 275 in den Text gedr. Abb. [XIV u. 422 8.] er. 8. 1904. In 
Leinw. geb. n. 4. 6.— 


Staude, Dr. Otto, Professor an der Universität Rostock, analytische Geometrie 
des Punktes, der geraden Linie und der Ebene. Ein Handbuch zu den 
Vorlesungen und Ubungen über analytische Geometrie. Mit 387 Figuren im 
Text. [VIII u. 447 S.] gr. 8. 1905. In Leinw. geb.n. M 14.— 


Stolz, Dr. Otto, weil. Professor an der Universität Innsbruck, und Dr.J. Anton Gmeiner, 
Professor an der deutschen Universität Prag, Einleitung in die Funktionen- 
theorie. Zweite, umgearbeitete und vermehrte Auflage der von den Verfassern 
in der „Iheoretischen Arithmetik“ nicht berücksichtigten Abschnitte der „Vor- 
lesungen über allgemeine Arithmetik“ von O. Srorz. Mit 21 Figuren im Text. 
[X u. 598 8.] gr. 8. 1905. In Leinw. geb. n. M. 15.— 


Auch in 2 Abteilungen: 


I. Abteilung. Mit 10 Figuren im Text. [VI u. 242 S.] 1904. In Leinw. 
geb. n!M. 6.— 

I: _ Mit 11 Figuren im Text. [VIII u. S. 243—612.] 1905. In Leinw. 
geb. n. M. 9. — 


Sturm, Dr.R., Professor an der Universität Breslau, Elemente der darstellenden 
Geometrie. 2., umgearb. u. erw. Aufl. Mit 61 Textfig. u. 7 lithogr. Tafeln. 
[V u.1578.] gr. 8. 1900. In Leinw. geb. n. 4. 5.60. 


Thomae, J., Geheimer Hofrat und Professor an der Universität Jena, Sammlung 
von Formeln und Sätzen aus dem Gebiete der elliptischen Funk- 
tionen nebst Anwendungen. [IV u. 44 S.] 4. 1905. kart. n. M. 2.80 


‘Vahlen, Dr. Karl Theodor, Professor an der Universität Heidelberg, abstrakte 
Geometrie. Untersuchungen über die Grundlagen der Euklidischen und Nicht- 
Euklidischen Geometrie. Mit zahlreichen Figuren im Text. [XH u 302 S.] 
gr.8. 1905. In Leinw. geb.n. M. 12.— 


"Verhandlungen des ILI. Internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidei- 
berg, vom 8. bis 13. August 1904. Herausgegeben von dem Schriftführer des 
Kongresses Dr. A. Krazer, Professor an der Technischen Hochschule zu Karlsruhe. 
Mit einer Ansicht von Heidelberg in Heliogravüre. |X u. 756 S.] gr. 8. 1905. 
In Leinw. geb. n. #. 18.— 


"Vivanti, G., Professor an der Universität Messina, Theorie der eindeutigen 
analytischen Funktionen. Umarbeitung unter Mitwirkung des Verfassers 
deutsch hrsg. von Dr. A. Gurzmer, Professor an der Universität Halle a. S. 
[VI u. 512 8.] gr. 8. 1906. In Leinw. geb. n. M 12.— 


"Weber, Dr. H., Professor in Straßburg, und Dr. J. Wellstein, Professor in Straßburg, 
Encyklopädie der Elementar-Mathematik. Ein Handbuch für Lehrer 
und Studierende. In3 Bänden. gr.8. I. Band. Elementare Algebra und Analysis. 
2. Auflage. Mit 38 Textfiguren. [XVIII u. 539 S.] 1906. In Leinw. geb. n. M. 9.60. 
II. Band. Elemente der Geometrie. Bearbeitet von H. Weser, J. WELLSTEIN und 
W. JacosstmuaL. Mit 280 Textfiguren. [XI u. 604 8.] 1905. In Leinw. geb. 
n. 4. 12.—. (Bd. III. Anwendung der Elementarmathematik. Unter d. Presse.) 


"Wölffing, Dr. Ernst, Professor an der Königl. Techn. Hochschule zu Stuttgart, Mathe- 
matischer Bücherschatz. Systematisches Verzeichnis d. wichtigsten deutschen 
und ausländischen Lehrbücher u. Monographien d. 19. Jahrhunderts a. d. Gebiete d. 
mathematischen Wissenschaften. In zwei Teilen. I. Teil: ReineMathematik. 
Mit einer Einleitung: Kritische Übersicht über die bibliographischen Hilfsmittel 
der Mathematik. A. u. d. T.: Abhandlungen zur Geschichte der mathematischen 
Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen. Begründet von Morırz CAnTor. 
Heft XVI, 1. [XXXVI u. 416 8.] gr. 8. 1903. geh. n. 4 14.—, in Leinw. 
geb. n. M 15.— 

‚Zeuthen, G. H., Professor an der Universität Kopenhagen, Geschichte der 
Mathematik im 16. und 17. Jahrhundert. Deutsch von RaruarL Mryer. 
A.u.d. T.: Abhandlungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften 
mit Einschluß ihrer Anwendungen. Begründet von Morırz Canror. XVI. Heft. 
[VIII u. 434 S.] gr. 8. 1903. geh. n. M 16.—, in Leinw. geb. n. M 17.— 


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