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Full text of "Opuscoli matematici e fisici di diversi autori"

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UNIVERSITY OF ILLINOIS 
LIBRARY 


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OPUSCOLI 


MATEMATICI 


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CESTI 


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DIVERSI AUTORI 
TOMO PRIMO 
MILANO 


PRESSO PAOLO EMILIO GIUSTI 
1832. 


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Digitized by the Internet Archive 
in 2022 with funding from 
University of Illinois Urbana-Champaign 


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PREFAZIONE 


Iue difetti si debbono ‘egualmente evitare nello studio delle 
scienze fisiche e matematiche. Vi sono taluni i quali pongono ogni 
cura nella parte pratica di esse, e formandosi un’ idea troppo ristret- 
ta della loro utilità, rifuggono da ogni ricerca che non si presti ad 
una immediata applicazione. Si veggono costoro affaccendati nel 
raccogliere risultamenti di sperienze e di osservazioni, e nel discutere 
in essi l'esattezza delle ultime decimali con una pazienza che resiste 
ad ogni fatica, senza che poi si prendano molto pensiero di sollevarsi 
alla contemplazione delle leggi ammirabili che regnano sopra quei 
numeri e ne stabiliscono i rapporti e le grandezze. A questi deve 
dirsi: Prezioso è il vostro studio quando congiungasi col teorico, 
perchè l’uno perfeziona l’altro trovando i valori di quelle quantità 
costanti ch’esso lascia indeterminate; ma il primo disgiunto dal se- 
condo è veramente un corpo senz'anima. Lodevole è colui che ra- 
duna con intelligenza le espressioni di molti fatti all’ oggetto di 
indagare le formole matematiche dal cui sublime magistero quelle 
dipendono: ma chi giunge al ritrovamento di quest'ultime ha tanto 
maggior diritto alla nostra gratitudine ed ai nostri encomii, quanto 
n’ ebbe Keplero più di Ticone. 

Havvi però un altro difetto verso il quale sembra che nel nostro 
secolo siavi una tendenza, forse pel motivo che nel passato alcuni 
dotti inchinavano nell’opposto, ed è quello di abbondare in cal- 
coli ed in teoriche di cui può temersi che abbiano a restare lungo 
tempo in una sterile astrazione e generalizzazione, teoriche che, par- 
lando di fisica matematica, sono talvolta fondate sopra ipotesi non 
troppo assicurate. A chi si conduce in tale maniera converrà tenere 
un altro linguaggio: princip] certi, metodi a tutta prova, verità che 
ritornano sempre le stesse dopo svariati processi analitici, dopo la 
considerazione di fenomeni molteplici: ecco la scienza che abbiamo 
ereditata da’ nostri maggiori, la sola scienza che passerà alle più tarde 
età per onore dell'umano ingegno , per conforto dell’ umana vita. 

Le quali cose scrivendo noi non vorremmo che in troppo rigido 
significato fossero intese Je nostre parole, come se biasimassimo senza 


see ICI 


IV PREFAZIONE 
distinzione tutte quelle ricerche dei moderni di cui per avventura 
non si scorgesse subito un’utile applicazione. Sappiamo di varie dot- 
trine credute sul principio infeconde di conseguenze, che nel pro- 
gresso riuscirono ad ottimo fine: sappiamo di alcune ipotesi, che rin- 
francate successivamente dalla costante corrispondenza dei fatti, pas- 
sarono ad accrescere il numero delle cognizioni certe: sappiamo in 
fine che lo spirito avendo anch'esso i suoi bisogni, sarebbe irragio- 
nevole il chiudergli la fonte di quel diletto che talora prova vivis- 
simo nella contemplazione di verità anche puramente astratte; chè 
a torto, per recare un esempio, si toglierebbe da un libro d’analisi 
Pelegantissima formola di Wallis esprimente il rapporto del diametro 
alla circonferenza per mezzo di prodotti infiniti dietro il solo motivo 
ch’essa non è poi la più opportuna a calcolarne prontamente il valore 
approssimato. Di questa libertà che vorremmo lasciare ai geometri 
noi non riproviamo l’uso ma l'abuso; e perchè non si incorra nel 
secondo crediamo conveniente ricordare agli studiosi il pericolo di 
disperdere le forze della mente in ciò che meno importa, e il dovere 
di consacrarsi di preferenza alla ricerca ed alla meditazione di quelle 
verità che formano quanto v'è di più sodo nella scienza. 

H numero di sifatte verità, di cui sempre si mantiene la memoria 
in mezzo alle umane vicissitudini, non è troppo grande: esso si ac- 
cresce ma lentamente, essendo pochi gli uomini privilegiati ai quali 
è dato di aggiungervi le loro scoperte. Di qui la ragione per cui na- 
turalmente si diffida sulle prime dell'eccellenza intrinseca di quelle 
produzioni che escono alla luce con facilità ed in gran copia. Ma 
non per questo vogliamo noi sentenziare in maniera precipitata sui 
lavori de’ moderni; protestiamo di nutrire un’alta opinione intorno 
il sapere di alcuni geometri viventi, e di riconoscere in taluno di 
essi quella potenza intellettuale che allarga i confini delle scienze. 
S'inganna chi crede Pumana natura esaurita negli uomini sommi 
che ci precedettero, talchè a noi null'altro rimanga che studiare e 
quasi idolatrare le opere loro. No: se ricomparissero fra noi, ammi- 
rerebbero essi pure i perfezionamenti e le aggiunte fatte ai loro in- 
segnamenti, nè sdegnerebbero di rendersi per qualche poco discepoli 
di quelli ai quali furono maestri. Nelle scienze severe sempre si 
progredisce e si sale, nè il cammino è come iu altro genere di studi, 
ove quando giungesi a certe sommità il passar oltre è discendere. 


PREFAZIONE Vv 


Se non vogliamo di subito arrischiare sulle produzioni de’ moderni 
un giudizio il quale riescirà difficile anche a chi verrà dopo molti 
anni a correre il nostro arringo, non possiamo però ommettere una 
osservazione che non ne tocca la sostanza, e che ci è necessaria per 
ciò che or ora diremo. I grandi Geometri del passato secolo lavora- 
vano le opere loro in quella guisa che it celebre Sanzio i suoi dipin- 
ti; ponendo cioè il primo e massimo pregio nell’invenzione ma non 
trascurando di scendere a trattare con amore i più mimuti partico- 
lari: nè la fecondità in taluno quasi prodigiosa faceva danno a que- 
sta regola, come il lettore dovrà convenirne rammentando anche 
solamente le opere d’ Eulero. Che lo stesso possa dirsi di varie re- 
centi scritture, non dissimuliamo di sentirne dubbio: al qual dubbio 
un altro poi se ne aggiunge anche più spiacevole, quello cioè che la 
minore attenzione ad un'arte, la quale fa amare la scienza e diminui- 
sce la difficoltà del suo acquisto, abbia a scemare il numero de’ suoi 
cultori. Se però ci venisse fatto d’ incontrarci in uno di que? pusilla- 
nimi, che sconfortato dalla quasi impossibilità di percorrere tanti 
libri e tante memorie di fresca data relative alle scienze esatte, fosse 
sul pensiero di voltare strada, gli vorremmo fare coraggio col dirgli 
essere l'esperimento meno assai malagevole di quanto può sembrare 
a prima vista, giacchè superati di tratto in tratto certi punti princi- 
pali, tutto il resto non ha più nulla che possa arrestare. Anche sul 
conto delle materie gli diremmo che queste sono spesse volte ripe- 
tute in più luoghi: che alcune dottrine vestite di un aspetto di 
novità si trovano in parte fra le già conosciute: che varie indagini 
particolari possono oltrepassarsi quando si è in possesso di metodi 
generali: che non a molto si riduce la sostanza di ciò che ciascuno 
scritto aggiunge al deposito delle cognizioni antecedenti, risolvendosi 
il rimanente in contorni ed accompagnamenti: e queste ed altre cose 
suggerendogli ci lusingheremmo di vedere di nuovo erigersi le sue 
speranze. 

Abbiamo finora cercato di dare in succinto qualche idea intorno 
lo stato delle scienze fisiche e matematiche ai nostri giorni con 
quella schiettezza che non prendendo di mira l’uno o l’altro autore 
considera le loro produzioni complessivamente. Se tali nozioni non 
sono false, quali saranno gli scrittori che oggidi possano appellarsi 
veramente benemeriti della scienza? AI certo prima d'altri coloro che 


VI PORVIELE CA4Z3I O0SNIE 


si affaticano per aumentare con trovati nuovi e originali le cognizio- 
ni di non dubbia importanza. Poi anche quelli che si propongono di 
far note ai loro connazionali le recenti teoriche di cui la scienza si 
arricchì per altrui mezzo, sceverandole da ciò che è di minore inte- 
resse, ordinandole e incorporandole a quelle che per sistema d’istru- 
zione sono alla portata di molti, dilucidandone alcune parti, sup- 
plendo alcune dimostrazioni, esponendole con metodo. Finalmente 
anche coloro che non giungendo a nulla migliorare nelle produzioni 
degli altri si fimitano a darne compendiosa ed esatta notizia, e così 
risparmiano la fatica di andar frugando nei vari giornali e nelle 
raccolte accademiche a que’ molti che si accontentano di tali in- 
formazioni. 

Gli scrittori degli opuscoli che ora cominciano ad uscire in luce, 
e proseguiranno se il pubblico vorrà loro prestare grata accoglien- 
za, sono lontani dal credersi da tanto di conseguire tutti e tre i fini 
sopra indicati. Faranno essi però tutto che possono per tale conse- 
guimento: chè non solo merita lode quegli che arriva alla meta, ma 
anche colui che scorgendola da lungi si affanna con ogni sua possa 
per avvicinarvisi. Però i fascicoli di quest'opera, che si succederan- 
no a non lungo intervallo, presenteranno due parti, nella prima 
delle quali si daranno scritti originali cercando che siano di argo- 
menti interessanti ed al livello dello stato attuale della scienza: nella 
seconda poi avranno luogo compendj, discussioni, notizie dirette 
all’intento di divulgare fra noi le utili cognizioni da qualunque 
luogo ci vengano. Entrambe queste parti saranno limitate a quanto 
è proprio della matematica pura ed applicata, e della fisica princi- 
palmente congiunta colle matematiche; essendo questo campo anche 
troppo vasto senza che vi sia bisogno di estenderlo a comprendervi 
le scienze affini. 

Pertanto l'oggetto di quest'opera è manifesto: essa tende a infer- 
vorare fra di noi lo studio di scienze nobili e ben degne di occupare 
gl ingegni italiani, i quali posti fra la vivacità francese e la gravità 
alemanna sembrano i più atti a coltivarle con successo. 


PARTE PRIMA 


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SULLE FIGURE ISOPERIMETRE 


ESISTENTI IN QUALSIVOGLIA SUPERFICIE 


MEMORIA 
DI ANTONIO BORDONI 


Quantunque lo scopo principale, che ho di mira in questa breve memoria, 
sia la contemplazione delle linee costituenti i contorni delle figure della massi- 
ma o minima area fra le isoperimetre esistenti in una superficie qualsivoglia, 
non ostante, in essa espongo e dimostro anco, col metodo delle derivate, pro- 
posizioni relative alle superficie sviluppabili, che occorrono nella dimostrazione 
di una singolare proprietà delle linee medesime; anzi do principio ad essa col- 
l’esporre alcune considerazioni generali, che sono necessarie od almeno utili 
per la facile ed esatta intelligenza di alcuni passi di essa medesima. 

Si abbiano le due equazioni 


(1)---ya(t=xb(t)+A(t), za()=xc(t)+B(0) 


fra le x, y, 2 coordinate rettangole e la £ quantità indeterminata: per ogni va- 
lore individuato della £, le x, y, 2 saranno coordinate dei punti di una linea 
retta, la quale varierà, variando la # stessa; ed ammesso la £ quantità da elimi- 
narsi, le medesime x, y, 2 saranno in vece le coordinate dei punti della super- 
ficie luogo di tutte le rette corrispondenti agli infiniti valori dei quali è suscet- 
tibile la medesima quantità #. 

Per la origine delle coordinate si immagini la retta parallela a quella rap- 
presentata colle due equazioni 


ya(n)=xb(n)+4(n), za(n=xc(n)+B(n), 


ove n esprime un valore individuato della #; ed essa si mova senza cessare di 
passare per l’ origine e di mantenersi parallela alle successive rette rappresen- 
tate colle equazioni, che risultano col porre nelle (1) in luogo della quantità # 
tutti i suoi valori successivi all’72; e continui, finchè cada nella rappresen- 
tata colle due equazioni 

sa =adb(bizattiro(1), 
cioè finchè sia parallela alla stessa rappresentata colle (1). 


Opusc. Matem. e Fisici. I 


2 PARTE PRIMA 


Evidentemente, le successive deviazioni di questa retta saranno le stesse de- 
viazioni delle anzidette sue parallele; ed essa genererà una porzione della super- 
ficie conica, le coordinate della quale sono le x,y, z, che entrano nelle equazioni 


ya(=axb(t); sat) =xc(t), 
ritenuta la £ quantità da eliminarsi. 


Questa porzione di superficie conica suppongasi distesa in un piano, e l’ an- 
golo compreso dalle due rette, nelle quali cadono i suoi estremi, si denomini É: 
quest’ angolo £ si chiamerà complesso delle successive deviazioni delle rette 
appartenenti alla famiglia rappresentata colle due equazioni (1). 

L’arco circolare, misura dell’ angolo É, e propriamente l'angolo stesso, è 
evidentemente la curva comune alla porzione anzidetta di superficie conica ed 
alla sferica avente il centro nella origine delle coordinate ed il raggio eguale 
alla unità; e però é' derivata di esso sarà la 


Vf), 
purchè le x, y, 2 siano desunte dalle equazioni seguenti 


ya)=xb0), 2a) =xc(1), 


CAI; 


ma queste equazioni ammesso a° + dD° + c° = 1, danno ax=a, y=b, s=c; 
adunque sarà 
bra + b'*+ "2. 


Vale a dire, il quadrato della derivata del complesso delle successive deviazioni 
delle rette appartenenti alla famiglia rappresentata colle equazioni (1) eguaglia 
la somma dei quadrati delle derivate delle quantità «, d, c, le quali sono evi- 
dentemente i coseni degli angoli fatti cogli assi delle coordinate dalla retta 
rappresentata colle medesime equazioni (1). 

Quando le rette rappresentate colle equazioni (1) siano tangenti di una curva, 
le successive deviazioni di esse si chiamano angoli di contingenza di prima 
specie della curva stessa; e quando siano perpendicolari ai piani osculatori 
della curva, le medesime successive deviazioni di esse chiamansi angoli di con- 
tingenza di seconda specie della curva stessa, e sono in sostanza le successive 
deviazioni diedre degli stessi piani osculatori. 

Osservazione. Nella superficie luogo di tutte le rette rappresentate colle 
equazioni (1) vi è una linea, ogni punto della quale, è quello di una delle me- 
desime rette, vicino, più di qualunque altro di essa, alla prossima di esse mede- 
sime; e dessa è interessante per una tale superficie, come per una superficie 
sviluppabile lo è il suo spigolo di regresso; e però credo bene di indicare, come 
si possa essa determinare. 

Evidentemente, per questa linea, dev'essere minima la quantità V/(0°+y/24+2"2) 
e le x', y', 2° insieme alle x, y, 2 soddisfare le quattro equazioni 


- 


GEOMETRIA ANALITICA 3 
ay —bx-A=o0, ya'-—xb'—A'+ay'—ba'=o0, 
az—-caxT-B=o0, za'—xc'—B'+-az'—ca'=o, 

ove le derivate indicate sono tutte rispetto alla #; e però per essa avransi anco 
le due seguenti 
ax'+by'+c2=o0, a'x'+b'y'+c'3'=o0. 

Eliminando da queste sei equazioni le cinque quantità y, 2, x’, y', 2/, ed avuto 
riguardo alla a°+ 5°+ c°=1 ed alla sua derivata aa'+00'+cc'=o0, facil- 
mente si trova la seguente 

axE*=(Aa'— A'a)b'+(Ba'— B'a)c', 
la quale combinata colle medesime 

ay-—bx -—A=0, az—cx—-B=0 
dà le x, y, 2 coordinate della linea richiesta. 

« Trovare la derivata del complesso degli angoli di contingenza di prima 
« specie dello spigolo di regresso della superficie sviluppabile tangente una 
« data, qualsivoglia, lungo una curva pure data ? 

Sia z= (x,y) la equazione fra le x, y,z coordinate rettangole della super- 
ficie qualsivoglia data, ed y=f(x) l’ analoga di una projezione della curva 
lungo la quale questa superficie è toccata dalla sviluppabile. 

Si denominino #, w i valori delle derivate parziali dI) 7 CAI) 

da dy 
corrispondenti alla y =f(x), e 2’, 4; #”, w'' le derivate prime e seconde totali 
prese rispetto alla x contenuta in questi medesimi valori; e A’ la derivata richiesta. 


Essendo R—2z=(P—x)t+(Q—y)u, 
o=(P_—ax)t'+(Q—y)u' 
le equazioni fra le P, Q, £ coordinate rettangole della retta caratteristica della 
superficie sviluppabile, i coseni degli angoli fatti da essa cogli assi delle coordi- 


nate risultano 
lÀ / 
u Ù ? 
—, —-, —, dovea=tu'—ut', e u=|/(t'°+u'+q?); 
‘sa bt 
x ’ = x 
e però, per l’ esposto superiormente, sarà 


Inta fra ’ 

U A È 
v=()- (1) (0 

dé È da 
ossia w'A'* = (u'" + t"4+ a!) u?— u?u'?, ed anco 
piau’ t'uft+(a—t'aBt+ (ua ua. 
Ma t'a'-—t'a=t(tu’—1’u), wa'-—u'a=ul(t'u'—t'u); adunque sarà 
uiA':=(1+10+u?) (eu''—t'u)?, e conseguentemente 
Amel a (Cu'— tu): 


la 8 è posta per V(1+£+ wu). 


4 PARTE PRIMA 

Osservazione. Sebbene la derivata del complesso degli angoli di contingenza 
di seconda specie dello spigolo di regresso contemplato nella proposizione qui 
esposta non occorra in questa memoria, nulladimeno credo bene di esporla. 

La retta normale della superficie qualsivoglia, nel punto pel quale si hanno 
hi (x, Sf), ed y=f(x), fa uo assi delle coordinate angoli aventi per coseni 

\TAiLAgE 
na AR 18? 
ed è essa per pendicolare al corrispondente piano tangente la FIDARE svilup- 
pabile, il quale è lo stesso osculatore del suo spigolo di regresso; e però la 
derivata richiesta sarà 
a V((CB—1Bf+(uB—u'B) +8!) cioè To 

« Trovare la derivata dell’ angolo compreso dalle due rette condotte dallo 
« stesso punto della linea di contatto tra la superficie qualsivoglia e la svilup- 
« pabile, l’ una tangente a questa linea e 9 altra caratteristica della medesima 
« superficie sviluppabile? 

Si denomini $ l’ angolo del quale si cerca la derivata, s l'arco corrispon- 
dente della linea di contatto fra le due superficie, ed @, 4 le quantità tw—u#', 
V(*+ u'+ a), ove però le derivate si intendano prese rispetto a qualsivoglia 
variabile. 

Egli è evidente, che i coseni degli angoli fatti dalle due rette nominate cogli 
assi delle coordinate x, y, sono ordinatamente 


SD 
4 
n 


e però, posto ato, aa AA] 
I 
cos. Ga ti (au'—bt'+ ca). 
Questo valore del cos. P dà 


n I 2 / / 2 

«DE —- a au! bt ‘+ C& 3 

sen. P n V (6 ( ») 
ossia senp=z Va bu)+(aa—cu'f+(ba+6t)) 


Cioè: ‘seni È (at'+bu'), 
per essere c=at+du, ed a=tu'—ut'. 
La stessa espressione del cos. 9 somministra visibilmente 
u°P'«sen.p=p(b't'—a'u-c'a)+a(wu'—uu')Au't-ut")+c(au'—uu'), 
; B 
ossia P'e “n + ui sen. gi a 
ammesso A=d't— a'u—ac', 


e B=(v'u'-wvu')a—(u't'—ut')b+(au —ua')c. 


GEOMETRIA ANALITICA 5 
Sostituendo nella espressione della .4 in luogo della «@' il suo valore 


b / Cc / aa Miti TÀ / c' f 
— -b'—-c', siha A=—(at'+bu)+—(cu—aa); 
a (0 Uu a 


e da questa, ponendo in luogo delle quantità c, a le equivalenti at + 0%, 
sita I 
tu'—ut', si ottiene 4= È; (at'+bw')(b'+uc'). 
Così, per essere 
Lù % 
uw'-— uu ((u'—t'u)+- (au'—q'U), 
lay du 
II Ip u' UP fay!! % fi I xl 
ut''— u't ici u_tu cho (at —a' t'), 


Pad LA 
ua' — u'a= 7, (a't'—at') + È (a'u — au), 


ed au'—a'u=ult'u'—t'u), at'-a''=t(t'u-—-tu’, 
alt'-at'=i(tu'—(u), a'uT-au'=ult'u'—t'u'), 
e però uu''—w'u'= 7 (ua) (uu), 
u'—yi=7 (+ ta) (ut —u'"t'), 


I 
uo —ua=z- (tt'+uw')(('u'—t'u'), 
la espressione della B equivale evidentemente alla 


È (a (t'-au)+b(u'+at)+c(tt'+u u')) (#'t'—u'"t'); e per tanto sarà 


mes ; (a+ bu) (tu! 1), 
giacchè è a=tu'—ut', e ccat+bu. 
I valori di sen. p, 4, B trovati danno 
A:usenP=(0+uc'):a8, 
B:uwsenPp=f(lu' —t'u'):u=— A'; 


quindi avrassi p'= To (b'+uc')— A/, 


s' 


b b s' 1A 14 z! / 
cioè la derivata richiesta p'= Ba ((£) Bra u(5 ) MA cs 


« Trovare la derivata del complesso degli angoli di contingenza di quella 
« curva piana, nella quale si trasfigura la linea di contatto tra la superficie 
« qualsivoglia e la sviluppabile, quando questa sia distesa in un piano? 

La derivata richiesta si chiami y'. 


6 PARTE PRIMA 

Nel piano, ove sia distesa la superficie sviluppabile, si immaginino le due 
linee a seconda delle quali si dispongono la curva di contatto e lo spigolo di 
regresso, ed anco le due rette secondo le quali si dispongono la tangente e la 
caratteristica contemplate nella proposizione antecedente: evidentemente que- 
ste due rette saranno tangenti le due prime linee, e comprenderanno anch'esse 
l'angolo 7, ed il complesso degli angoli di contingenza della seconda di queste 
linee sarà lo stesso A considerato nella proposizione prima. Ma la retta tan- 
gente di una linea piana, nel punto ove è questa incontrata dalla tangente di 
un’altra linea piana, fa con quest’ altra un angolo, la cui derivata aggiunta a 
quella del complesso degli angoli di contingenza della seconda linea eguaglia 
la derivata del complesso degli angoli di contingenza della prima; adunque sarà 


'=p'+ A', e per tanto y' = > (() + u(5)). ed anco 
vA=Z((L) (E) e vO= ot 


ove le derivate siano rispetto alla x od alla s. 


Corollario. Si chiami D il raggio di curvatura corrispondente all’s della linea 
y / SIONI 
piana. Essendo come è noto, s' (=D) sara dhe (2) + E) È 
$ $ 
Osservazione. Denomininsi r,v le coordinate rettangole della medesima li- 
nea piana anzidetta: evidentemente avranno luogo le due equazioni seguenti 


/ / / vi { SAN 
ii plinto pal deo (10 (L)+1(5) INI PO, 


colle quali si potrà scoprire la equazione fra le 7, v, quando si conoscano le due 
eh (0, y), y=f(x); e reciprocamente, si potrà scoprire la y=/(x), quando 
conoscasi la = =F(x, y) e quella fra le coordinate r, v. 

Per lo sviluppo di queste ricerche, leggansi le ultime pagine del Tomo I.° del 
Trattato di calcolo differenziale ed integrale del benemerito Lacroix. 

« Trovare la sfera, che ha un contatto di second’ ordine con una curva esi- 
« stente in una superficie qualsivoglia ed il centro nel piano tangente la su- 
« perficie medesima nello stesso suo punto di contatto colla curva? 

Si denomini A il raggio della sfera, ed 4, 2, C le coordinate rettangole del 


suo centro; e la curva sia la stessa di contatto fra la superficie qualsivoglia e 
la sviluppabile replicatamente contemplata. 


Peril contatto di second’ordine tra la sfera e la curva si hanno le tre equazioni 
(@—d} +(y—Bf+(—0}=R, 
r_-Ad+(ry_ B)y'+(2—C)z'=o0, 
ssa (y_B)yr'e(2—C)z'=o, 


ove le derivate sì delle ordinate y, 2 che dell’arco s sono rispetto alla x; e per 


GEOMETRIA ANALITICA " 


la proprietà, che il centro della sfera dev’ essere un punto del piano tangente 
la superficie (quatro ghi si ha anco la 


z-C-t(x—A4)—u(y—B)= 
Sostituendo nella seconda e terza di queste equazioni il valore di 3—C dato 
dalla quarta, risultano le due 


(1+-t23)(xr-A)+(y'+u3')(y—B)=o0, 
"(x A)+(y'+u2")(y—B)=—s", 


le quali danno le 
("i+ uz')— (1+-2/0)(yl'+uz)) (Y-B)=(1+2't)s, 
(ey +u3')— (14-20) (yl' +2) (x d)=—-(y'+u3')s'", 


TI LI z! / 
ossia (B—y) (() + (5) ja + tz", 


II ARA 
e(4-x) (25 + U fave , che riducono la quarta stessa alla 


CA) 


E sommando fra loro i quadrati dei membri corrispondenti di queste tre 
equazioni ottenute, e ponendo nella risultante in luogo del trinomio 
(4A—-xf+(B—y)} +(C— 2) il quadrato A?, ottiensi la seguente 


r((3)+ u(5)) = +tz')Y+(y'+uz') +(u—ty') 


to ' z! / 
ossia £î ((£) u(5))=6 , per essere 


(1+ tz) +(y'+uz')+(ut—ty'}=P° ss. 


Quindi, per la sfera richiesta, sarà 
n=s:((2)--(0) 
sman0tn):((8)-(6)) 
ner ti: ((8) (0) 

conio) (0) 


Il valore del raggio A è visibilmente lo stesso di quello del ) trovato nel 
corollario della proposizione antecedente, come era facile a prevedersi, che ciò 
sarebbe accaduto. 

Eccomi allo scopo principale di questa breve Memoria cioè alla contemplazio- 
ne del contorno della figura dell’area massima o minima tra le isoperimetre ed 


8 PARTE PRIMA 
esistenti tutte in una superficie qualsivoglia : e siccome coll’unire due punti del 
contorno, qualsivogliono, quando sia esso continuo, od i termini di un suo 
lato, quando sia discontinuo, con una linea individuata esistente anch’ essa 
nella superficie, si racchiude colla parte corrispondente del contorno mede- 
simo una figura, che ha essa pure proprietà di massimo o minimo analoghe a 
quelle della figura intera; così mi limiterò alla trattazione delle proposi- 
zioni seguenti. 

« Fra le linee esistenti in una data superficie ed aventi lunghezze eguali ed i 
« termini nei medesimi due punti, trovare quella, che insieme ad una già 
« individuata nella medesima superficie, racchiude la figura della massima o 
« minima area? 

Si riferiscano i punti, le linee e la superficie a tre piani fra loro perpendico- 
lari, uno dei quali passi pei due punti termini dati della linea richiesta; e sia 
L(x,y,z)=0 la equazione della superficie data ed y=f(x) quella di una 
projezione della linea pure data: e l’ordinata y sia quella perpendicolare al 
piano, che passa pei due punti termini comuni delle linee. Così, si denomini 5 
la lunghezza data di questa linea ed «, c i valori della x corrispondenti ai me- - 
desimi due termini di esse. 

Ora, si immagini nella superficie una qualunque di quelle linee , che passano 
pei due punti dati, e siano x, y, 2 le sue coordinate rettangole; e la lunghezza 
di quella sua parte, che è compresa fra questi medesimi due punti sarà 


Suva +y!+53")dx. 
Similmente, l’area di quella figura, che è racchiusa con questa linea e colla 
rn f(€) 
data, sarà f de f V(1+2+w2)dy. 


Si supponga trovata una primitiva particolare rispetto alla y della V/(1+# +2), 
e denominisi É(.x, y); cioè sia identica l’ equazione 


(Y)=V(1+t+w); e si avrà 
f (2) 
S Va+e+dy=tx,)—-H{2,f(2); 
e conseguentemente la primitiva duplicata sopra esposta ridurrassi alla semplice 


St f] ax 


Si tratta adesso di trovare le funzioni della x, valori delle Y, 2, che hanno la 
proprietà di soddisfare le due equazioni 


DREI EDI Suva ARI LO 0, 


e di rendere massima o minima la primitiva definita 


S (E, tr S))de. 


GEOMETRIA ANALITICA 9 

Dalla teorica dei massimi e minimi risulta, che i valori richiesti delle y, 2 

saranno tra quelli soddisfacenti la equazione Fx, y, 2) =0, e la risultante 
della eliminazione della quantità 4 dalle due seguenti 


o=eP()+t0)-25), 


a UA 
o=wP(2)—3(5) ; 
ove la À esprime una costante arbitraria, e la s l’ arco della linea richiesta. 
Eliminando effettivamente la funzione 4 da queste ultime due equazioni , 


ARE IA 
si ottiene la F'(2) #0) —AF"(A) (4) + AF'(7) (5) —0, 
la quale si riduce alla (4) + (5) — = 0, 
per essere FP'(y)=—uF'(2), e V(r+0?+w)=B8. 


Quindi la linea richiesta apparterrà alla famiglia rappresentata colle primitive 
complete delle due equazioni 


vi , z! lÀ B 
Et, SI (1) +u(5) —37=9; 
e propriamente sarà quella, per la quale, la costante Z e le due portate dalla 
integrazione di queste equazioni saranno determinate in modo da rendere la 


fi VO +y/3+52'2)dx eguale a b, e che passi pei due punti, per i quali si hanno 
Trai la) vela (1/0); ediacsct@i = Age 2=F(c,f(0). 
Nell’ ultima equazione esposta pongasi m in vece di a , e sostituiscansi 


anco i valori delle #, w cavati dalla penultima, i quali sono — f(x): £(), 
— P'(y):F"(z); e si avrà la 
di / aa z / 
(1)--- F'(2) (4) — F'()) (5) —mV(F'(}+P(y}+FG)})=o0. 
La superficie data sia piana anzi lo stesso piano degli assi delle x, y; e sarà 


P=z, F'(x)=o, F'(y)=o0, F'(2)=1; e la equazione (1) ridurrassi alla 


Ivi 
(2) —m=-o0 ossia y'—(mx+A4)s'=o0, ovvero (my+B){+(mx+A4)—1=0, 


dove 4, B esprimono le costanti introdotte dalle due integrazioni eseguite. 
Questa equazione visibilmente esprime la nota proprietà cioè che la linea 
richiesta, in questo caso, dev’ essere circolare. 
In secondo luogo , sia F=z2° + y+x°—n°=o, vale a dire la superficie 
data sia la sferica di raggio 7. ed avente il centro nella origine delle coordinate. 
Questo valore della F dà (x) =2x, F'(Y)=2y,) F'@=22, per cui 
V(F° (aP+E(yY}+P' (3)?) = 27; e però la equazione (1) somministra la 
INI ANI 
” #4 3 ——— oi / / o SEZ 
(I —r\G}7mn=o, ossia zy'— y3 — (mnx + A)s'=0 


Opusc. Matem. e Fisici. 2 


10 PARTE PRIMA 
sua primitiva completa del prim’ ordine, ove 4 indica una costante arbitraria , 
e la variabile principale può essere qualunque. 

La superficie sferica essendo situata rispetto ai piani degli assi delle 2, x; x, y 
come lo è rispetto a quello degli assi delle y, 2, avranno evidentemente luogo 
anco le due equazioni seguenti 


az —2x'—(mny+B)s'=o, yx' —xy' —(mnz+C)s'=o0, 
dove le 8, C sono due costanti. 


Moltiplicando i membri di queste tre ultime equazioni ordinatamente per 
x, Y, 2, e sommando i corrispondenti delle risultanti, si ottiene la 


mn(x°+y°+2°)s' +(4x+By+Cz)s'=o0, ovvero Ar +By+Cz+mò=0, 
la quale insegna, che la linea richiesta dev’ essere piana e però circolare. 


In terzo luogo , la superficie data sia la cilindrica, che ha le caratteristiche 
parallele all’asse delle ordinate y e per equazione z— P(x)=o0. 


Essendo l—=2— p(x), si hanno L'(a)=—pP'(x), F'(r).=0,f'()=1; 
e però la equazione (1) per questo esempio sarà 
9 AES A 
(17) —mV(1+p"?)=o0. 
Chiamisi v l'arco della curva avente per equazione 2== 7 (x), cioè l’ arco 
della traccia della stessa superficie cilindrica: sarà V/(1 + p':) =; e però, 


(ESUA 
la equazione trovata equivarrà alla (5) —mnmev'=o0, la quale somministra la 
y-(mv+ A)s'=o, ed anco 
ye) (mv+A)s'(v)=0, 


dove 4 esprime la costante voluta dalla integrazione eseguita. 
Dalla rettificazione delle curve si ha 


(= V(e'(0) +y'(+ (0), e però sarà s'(0) = V(1 A), 
giacchè x'(7)° + 2'(0)°= 1; e per tanto, l’ ultima equazione ridurrassi alla 
y(0)=(mv+ A) V/(1 +y/(0)), 
la quale somministra evidentemente la 
(my+ BY} +(mv+A)—-1=0 


dove B esprime un’altra costante arbitraria. 
Quest’ ultima equazione trovata o la sua equivalente 


(y+ BA +(0+A42)—-%=0 


insegna che, la linea richiesta si trasformerà in una circonferenza o in una 
porzione di circonferenza, qualora la superficie cilindrica si distenda in un 
piano: proprietà che era facile a prevedersi, e che ha sempre luogo, quando la 
superficie data sia sviluppabile. 


GEOMETRIA ANALITICA LI 
Per ultimo esempio, la superficie data sia di rotazione, ed f=z°+ y°—p(a)}=0 
cioè 1’ asse delle ordinate x sia lo stesso della superficie. 
Questo valore della Y dà F'(ax)=—-29P', F(y)=2y, Pa) =22, e 
però V(P(x) +P'(y)Y+P"'(2)° ) eguale a 2V/(P9P"+y°+2") ossia a 2PV(1+P"); 


per cui la equazione (1) somministra la seguente 


(arri 


una cui primitiva completa del primo ordine è evidentemente 
sy'—y3—QV(1+y?+2"?)=0: 
la Q è posta per semplicità in vece della quantità 
m[PV1+9")dx, 


e contiene la costante arbitraria voluta dalla primitiva eseguita. 
La equazione 2*+y°—P(x)=0, fra le x,y,z coordinate della curva 
richiesta, somministra 


=V(P_y), 2'=7 (PP — yy"); e però sarà 
zy 19; _yP), e 
V(1+y+2)=V((Py-Pyf+(P_-y)(1+P?)):z; 


e per tanto l’ ultima equazione trovata equivarrà alla seguente 
d(pyr-yP)=QV(Pr-7PY+(P—P)(1+P2), 


la quale dà 
(O 


Br ri digit. 
> 
(Pin) Grid 
e conseguentemente sarà 
I+P"? 
Ang. sen T = (L DEI dx, 
p PV P_Q 
I 4 
ovvero y=@ sen. f£ ra Th) 
PV P_Q 
la costante arbitraria, voluta dalla integrazione, sì suppone contenuta nella 
primitiva tuttora indicata rispetto alla x. 
Sostituendo questo valore della y nella equazione y°+2°= p?(x), si ha 


evidentemente 
EM, Q eli Met 
ag cos. f < F_G da 


Concludiamo pertanto, che, la conoscenza della famiglia delle linee alla quale 


ossia 


dx: 


12 PARTE PRIMA 
appartiene l’attuale richiesta, è ridotta a trovare le primitive rispetto alla x 
delle due funzioni 

Q I +" 
PVU(1+P?), FV_G: 
PIV P_Q 
per cui si dà per conosciuta. 

Osservazione. Se nelle due equazioni, qui trovate, si supporrà la quantità Q 
costante, esse rappresenteranno evidentemente la Geodetica esistente nella su- 
perficie di rotazione avente per equazione 2° + y° — p(x) =o. 

« Fra le figure isoperimetre esistenti nella stessa superficie ordinaria, trovare 
« quella la cui area è maggiore dell’ area di ogni altra di esse? 


Siano y=p(x,4,4,B), ==Y(x,4,4,B)le primitive complete delle equazioni 


E (x,Y,2)<20; (2) u ()- 2 carri 1}: 


ove le 4, B esprimono le due costanti arbitrarie introdotte dalle integrazioni. 
Evidentemente il contorno della figura richiesta sarà una delle linee appar- 
tenenti alla famiglia rappresentata colle due equazioni 


YCP(LA5A4.D), 2=% (2,4, 4, B); 


e però la proposta proposizione si riduce a trovare gli opportuni valori delle 
costanti À, 4, .B atti ad individuarla. 

Si determinino le due primitive 

SV(i+Pat ye SSN ++) de dy 

talmente, che la prima rappresenti l’ intero contorno della figura, e la seconda 
l’area di essa, e riesciranno due quantità formate colle 4, 4, B: siano esse 
o (A, 4, B), d (A, 4, B). 

Fatto ciò, si trovino i valori delle 4, 4, B, che rendono massima la funzione 
ò (4, 4, B) e che sono tra quelli soddisfacenti la equazione (4, 4,B)=Z, 
ove Z esprime la lunghezza del perimetro della figura richiesta; cioè trovinsi i 
valori delle 4, 4, B soddisfacenti quest’ ultima equazione e le due seguenti 


d' (A) (A) —d'(A)a'(A)=o0, 
‘I(A)a(B)—d(B)a(A)=0 
e si pongano nelle due equazioni y= @ (x,4, 4, B), :=(x,4, 4, B), esi 


avranno le equazioni del contorno della figura richiesta e però essa medesima. 
« Se la superficie sviluppabile tangente una qualsivoglia lungo una parte 
« continua del eontorno di una figura della massima o minima area, fra le iso- 
« perimetre esistenti nella medesima superficie qualsivoglia, si distenderà in un 
« piano, la linea di contatto si trasfigurerà in una circolare. 
Si ritengano tutte le denominazioni usate nella proposizione penultima, e le 
coordinate della linea di contatto di cui si parla soddisfarà la equazione 


GEOMETRIA ANALITICA 13 


Cee 
la quale dà A=8: ((2) + (5) 4 


Ma dal corollario della proposizione terza risulta, che il secondo membro di 
questa equazione cioè la quantità 


#:((#)G)). 


esprime il raggio di curvatura della linea, nella quale si trasforma o trasfigura 
quella di contatto tra la superficie qualunque e la sviluppabile, quando questa 
sia distesa in un piano; adunque per la linea attuale , questo raggio sarà eguale 
alla À, che è quantità costante, e conseguentemente la linea stessa alla quale 
esso compete sarà circolare: come si è dichiarato nella proposta proposizione. 

Osservazione I. Quando esista effettivamente la superficie rigida, nella quale 
dev'essere la figura della massima o minima area fra le isoperimetre, ogni parte 
del contorno di questa figura analoga alla considerata in queste ultime tre pro- 
posizioni, si potrà tracciare sulla medesima superficie con facilità; giacchè, 
determinate, come si è detto nelle due proposizioni antecedenti, la costante 4 
e le funzioni della x valori individuati delle y, 2, e descritto in un piano un 
arco, o circonferenza, di raggio eguale a 4 e di lunghezza d, basterà adattare il 
medesimo alla superficie rigida col metodo usato in altre analoghe circostanze, 
avuto riguardo che la retta tangente ad esso nel suo principio coincida colla 
toccante la curva richiesta, che è determinata coi valori delle y/(x), 2’ (x) 
corrispondenti alla x =« ovvero alla x = c, e che dirigasi convenientemente, 
onde l’ altro termine di esso cada nel punto altro dei due dati nella superficie 
qualunque. 

Osservazione II. Tutte le sfere, che hanno un contatto di secondo ordine 
colla linea considerata in queste ultime tre proposizioni ed i centri nei piani 
tangenti la superficie qualsivoglia nei medesimi punti di contatto di esse, sa- 
ranno tutte tra loro eguali: ciò discende evidentemente dalle due proposizioni, 
che precedono le due antecedenti, combinate fra loro. 

Finalmente osservisi, che, le proprietà esposte per la figura della massima 
area fra le isoperimetre esistenti in qualunque superficie, si estendono eviden- 
temente a quella del minimo contorno fra le aventi aree fra loro eguali. 


14 PARTE PRIMA 


NOTA 


SOPRA UNA TRASFORMAZIONE DELLA PRIMITIVA TRIPLICATA 
FONDAMENTALE PER LA STEREOMETRIA, 


Si denominino x, y 2, le coordinate rettangole di un punto qualunque di 
una superficie data, 4 la lunghezza di una retta tirata da questo punto, ed a, d, c 
i coseni degli angoli fatti da essa cogli assi delle x, y, 2; e le 4, 4, 5, c siano 
funzioni date delle x, y. 

Evidentemente, eliminando le x, y dalle tre equazioni 

P=zx+ai, Q=y+b4, R=23+%c 
combinate con quella della superficie data, si avrebbe quella fra le P, Q, A 
coordinate rettangole della superficie luogo degli altri termini delle rette 4; 
ed eliminando 4, si hanno visibilmente le due seguenti 
bP_aQ=bx—ay, bR-cQ=bz—cy, 
fra le P, Q, R coordinate rettangole di un punto qualsivoglia di quella retta 
della quale è parte la 4 stessa. 

Così si denominino p, g,7 le coordinate rettangole di quel punto della retta 4, 
che ha dalla superficie data la distanza #; e Y” il volume del corpo compreso 
fra le due superficie, nelle quali vi sono i termini delle rette 4 e la porzione 
intercetta tra queste medesime due di una qualunque di quelle altre superficie, 
che sono generabili da rette a seconda delle quali cadano delle 4 particolari. 

Essendo Y=fffdpdqdr, 
purchè le primitive parziali siano convenientemente estese, e 

p=x+at,\q=y-#bt, r=3+ct%; 
dove le x, y, # sono tre variabili indipendenti l’una dall’altra, il volume 
stesso /” sarà eguale anco alla primitiva 


Pod au @)| 
SITIO(PArATPAìqY)dxdydt, 
+1 (6) (px) ay) —P(7) 1) 
purchè i suoi limiti siano i medesimi della antecedente. 
I valori delle p, g, ” dianzi esposti danno 
pislestsctaty pg PISA 
q'(x)=t0', gip) =x + eb), q'(0)=b, 
r(a)=tc+2, r(p)=t*z,, r(0=c, 
dove le derivate z', a’, 2, c' sono rispetto alla x, e le TA SONE 0) rispetto 
alla y, le quali somministrano 
p'(t) (g' (c)r(Y_-9(7) rx) pi (— z'4 (0z,—b,2'—c')t+(bc—L, c) t), 
g'(t) (P(3) (xe) — p'(x) (7) 6 (a, +(a,z'-adz—c)t+(ac—-a'c) t) 
r'(t) (p'(@) q'(y)—p'(y) g'(x) i (1 + (d+b)t+ (db, —a,0) e) ; 


») 


GEOMETRIA ANALITICA 1) 
e però il sestinomio sotto la primitiva ultima esposta sarà 
A+ Bt #'iC8, 
ammesso A=c—az'—bdz,, 
B=ca-ac+cb—bc,+(ab'—ab)z,+(ba—b,a)2, 

e C=a(b'e,--b,c')+b(a,c'— ac) +c(a'b,—a,b'). 

Ma insieme alla equazione nota a+ 5° + c*= 1 sussistono le due 
ad+bb'+ec=o0, aa +bb,+cc,=0, 
le quali, combinate opportunamente colla prima, danno le 
b(ab—ab')+c(ca—-ac)=a', a(ab—ba)+c(cb,—bc)=b, 


/ 
sù, a b 
cioè gue dan cu (ab'— ba}, 


Cover des a LIE 
Cc C 


e combinate fra loro somministrano le due 
b(a, b'— 45 fm c(a, ci a'c,) — 0, 4 (ab, —a, 0) ka (Cb, bc) = 0, 


cioè a, — a'c,= E (ab, —ba)), b'e,-— c'b,= = (abba); 
adunque sarà B= - (d+b+ (ab—ab)(b+05) +(ba—ab)(a+c2)), 


e c=: (ab,—l'a). 


Della primitiva triplicata 
SSISA+Bt+Ct)dxdydt, 
eseguendo la parziale rispetto alla variabile #, ed estendendola dalla #= o alla 
t=À, si ottiene la seguente 


SS(42+1Bx+3 Cw) dedy. 
2 3 

Corollario I. Se il corpo non terminasse alla superficie data, ma ad un’altra 
per la quale fosse t=4, funzione anch’ essa delle x, y o costante, il volume 
del corpo evidentemente sarebbe 

SS(A-24+ 1 (A-A)B+3 (8-2) C)da dy; 

e se fosse anco 4, = — À cioè il corpo fosse segato dalla superficie data tal- 
mente, che le rette 4, 4, fossero fra loro eguali e luna da una banda e l’ altra 
dall’ altra di questa superficie, il volume di esso sarebbe semplicemente 


| 2 (J(24-+3#C)dxdy. 


Corollario LI. La superficie data e quella nella quale vi sono le altre estremi- 
tà delle rette 4 siano cilindriche e perpendicolari ambedue al piano degli assi 
delle ordinate x, ; e le direzioni delle rette 4 incontrino tutte l’asse delle z, più 
quelle che incontrano una qualunque posizione della retta generatrice dell’una o 
dell’altra superficie passino tutte per un medesimo punto dello stesso asse delle z. 


16 PARTE PRIMA 

Chiaminsi, « l’angolo fatto dall’ asse delle 2 col piano passante per la 4 e 
perpendicolare a quello degli assi delle x, 2, e v la distanza delle due rette co- 
muni a questo medesimo piano ed alle due superficie cilindriche. 

Evidentemente si hanno 


= sa n 
a=%-sen.U, b=- sen.u, CE='cos:u” A 2-7 
n n n x 


doven=V(x° + y° sen.'u); e però sarà 2,=0, UT0, 
I Y, 
ie 2 3 374) a, A 3 
dI (y° sen°u+ x°U COS.U), aj 3 Sen. 4, 
v=+, (x*yu cosu—xysenu), b,= Tito U 
ni Li, . SEC ea 


7 1 di / RI RA 2 
a' + b,=—- senu+ +u'cos.u, ab —a' b= - sen.*u, 
n n ri 


ba—ab=— e sen.u, e conseguentemente 
a, fi PIO .U, gu 


x ; Gale 
de po (cosu—z'sen.u), C==; u sen.u, 


e B= = (xu'+ sen.ucosu—2'sen.?4). 
Sostituendo questi valori degli 4, B, C e quello della 4 nel trinomio 
UNA RASO 
2 3 


si ottiene con facilità il seguente polinomio 
v° ; 93 
v(cos.su—z'sen.u)+ —(xu+senucosu—z'sen.’u)+3— u' sen.u 
2X 3x i 


la cui primitiva rispetto alla y, estesa dalla y=o alla y=mx, ove lm 
esprime una costante, risulta 


mv 
7 (6 (cos.u—z'sen.u)x+39(x4'+sen.u cos.u—z' sen." 1) +-29°U' sen.) ovvero 


6 


ca (3 (cos.u—2'sen.w)(22x + vsen.u)+v(3x + 20sen.w) u) ; 
formula utile per la cubatura delle volte a spicchi, ed anco per istabilire le 
loro condizioni di equilibrio. 

Corollario III. La superficie data sia quella, che ha per equazione 
z+y°—p(x) =o, cioè sia di rotazione ed abbia per suo asse lo stesso 
delle ordinate x; ed un prolungamento della retta nella quale vi è £ passi per 
questo medesimo asse, ed il coseno 4 sia funzione della sola x. 

Siccome la direzione della 4 passa per l’asse delle x, così si avrà la equa- 
zione cy —bz=0, che combinata colla a+ 0°+ c°= 1 dà 

b= DIVE ez 
P 2 to) 2 


dove m esprime V/(1 — a°) cioè il seno dell’ angolo avente a per coseno. 


GEOMETRIA ANALITICA 17 


Questi valori delle è, c, insieme a quelli delle 2’, 2, che sono E PL, 


VA 
de 


evidentemente danno c — az'— bz,= si (m_—-aP'), 
« 


a'+b,= 3 (m+a'p), b+cz,=0, 


p 


a+cz=a+m@P', ed 


am f 


ab—-ab=— TÉ a'b—a b'= mg 


e per tanto per questo esempio sarà 4 + Bt+ C?° eguale ad 
lÀ 
:((m_ap)g + (è + — p_camp)ira't), 
#2 I ; É 
cioè A +Bt+Ct°= "(m_ap' me a')(mt-+- 9) 
Questo valore del trinomio 4 +2t+ C#°, contenendo la sola y contenuta 
I 
nel suo fattore > 


3° V@=-y) 


annullasi colla y medesima, che è 


(map 2. dY(me+9)è, 


ha quella sua primitiva rispetto alla y, che 


dove £ esprime l’ angolo, che ha 3 per seno. 


Così, ordinando quest’ ultima quantità secondo la variabile #, e trovando 
quella sua primitiva rispetto alla #, che comincia colla t= ‘oa P ottiene 


(mappe i (m_amp+ 4 p)e+ È e), 
la quale, denominato « l’ angolo che ha per seno m e per coseno meno a, si 
riduce alla seguente 


I 2 
n É (ce P+tsen. 4) (sen. 4 + P'cos.u)t + (9 + 3 sen. u) e) : 
espressione, che è visibilmente quella, trovata per lo stesso soggetto dai signori 
Gratognini Giuseppe, Masetti, Conti, ed anco da me sempre con metodi 
speciali per essa. 
Corollario IV. La direzione della retta 4 sia quella della. normale la super- 
Rat, 


. . . lesi 5 I 

ficie data; cioè siano a=— —, b=— +, c=-, dove a=V/(1+2?+ 23); 
4% % % 

e si avranno anco db + cz, =0, a+c2 =0; e però sarà 


D. fd B=-(d+b)=- (0223 —(1+2" z —(1+23)2"), 
e C=- IC "2, ZF), ossia 


I bt; % 
cs pet B=a(7+ 2) e CER 


I 


Opusc. Matem., e Fisici. 


18 PARTE PRIMA 
dove r, R esprimono i raggi delle curvature sferiche della superficie data; e 
conseguentemente sarà 


r=(-(x E edady 
ossia v=(]JY(* x -)(1 + x)dedcdi 


ove c, C significano gli archi delle linee delle medesime curvature sferiche : 
tutto come trovai replicatamente in altre occasioni. 

Si chiami @ l’arco di quella curva, che è parallela, corrispondente e distante 
dalla c di #; é il raggio della sua curvatura Ri DREA e 4 il complesso dei 
suoi angoli di contingenza di prima specie. 

Dai paragrafi Ep e duecentosei delle mie lezioni si hanno 


SORT pi Ce) e e (7) (c); e però sarà 


pf 


za + \Ey'()dCdedt, ossia v=fayff(1-+x7)fdcw. 


Da questa relazione se ne possono desumere varie altre come casi particolari 
di essa. Per esempio, la superficie data sia sviluppabile e la C sua caratteristica 
e però Le = 0; e si avrà la particolare relazione seguente /=fdy ffédCdt, 
la quale appuntino equivale alla relazione o regola pubblicata in questo anno 
dal sig. Mainardi; giacchè le C, £ sono coordinate rettangole di un punto qua- 
lunque del piano normale la superficie sviluppabile data e però tangente la 
superficie pure sviluppabile luogo dei centri delle curvature sferiche ordinarie 
della data medesima, £ la perpendicolare tirata da questo punto alla caratte- 
ristica della seconda superficie sviluppabile, e il complesso degli angoli 
diedri successivamente descritti dal piano suddetto nel muoversi, conservan- 
dosi o normale la prima superficie sviluppabile ovvero toccante la se- 
conda di esse. 

Corollario Y. Se la superficie data alla quale sono normali le direzioni delle 
rette 4 fosse sviluppabile, come dianzi, e segasse il corpo come si è supposto 
alla fine del corollario primo, per cui A,=—4, il volume di esso sarebbe 
semplicemente 2(A@dxdy; dimodochè, se la 4 fosse anco costante, questo 
volume sarebbe 24 fadxdy, cioè il prodotto dell’ area della corrispondente 
superficie data per 24 grossezza del corpo medesimo. 

Osservazione. Approfitto della occasione qui sopra occorsa della superficie 
sviluppabile luogo dei centri delle curvature sferiche di un’altra superficie 
pure sviluppabile per esporre alcune sue interessanti proprietà. 

« Data la curva spigolo di regresso di una superficie sviluppabile, trovare 
« quella che è lo spigolo di regresso dell’ altra superficie pure sviluppabile, 
« nella quale vi sono i centri delle curvature sferiche della prima? 

Si denominino x, y, z le coordinate rettangole di un punto qualunque della 
curva data ed s l’ arco di essa. 


GEOMETRIA ANALITICA 10 


il piano tangente la seconda superficie sviluppabile passerà per la retta 
toccante lo spigolo di regresso della prima, e sarà perpendicolare alla normale 
ordinaria di questo spigolo medesimo; e però le /, È R coordinate di un 
punto qualunque di esso avranno la relazione 


P_a(F)+(-N(T)+-a(5)=o 
ovvero (1) ---(P—x)d'+(Q—y)d'+(R—z)c=o0, 
supposto a/'=as', y'=ds', '=cs', essendo a, d,c i coseni degli angoli fatti cogli 
assi delle x, y, z dalla retta toccante la curva data. 
Per i significati delle a, d, c si ha la equazione a+ 0° +c°= 1, qualunque 
sia la x; e però avrassi anco la aa'+ 00 +cc'=0 e la seguente 


ad'+bb'+cc'+a’+0’+c’—=o0 ossia aa'4+bb'+cc'+u?=0, 


ove 2’ esprime la derivata del complesso degli angoli di contingenza di prima 
specie della curva data. 

Le P,Q,R coordinate rettangole della caratteristica della seconda superficie 
sviluppabile soddisfaranno la equazione (1) e la sua derivata, la quale sarebbe 
(P_—a)d'+(Q—-y)b'+(R_-2)c'-—x'd-yb-zc=0, 

ma riducesi alla 
(2)---(P_x)d'+(Q—y)b'+(R—z)c'=o, 
per essere c'a' + y'b'+2'=(ad +bb'+cc)s e però zero. 

Così, le P, Q, R coordinate della curva spigolo di regresso della medesima 
seconda superficie sviluppabile soddisfaranno le due (1), (2) ed anco la seguente 
(P_—a)ad"+(Q—-pb'+(fR_-2)'-x'd'-yb'-3d'=o0, 

derivata della (2), cioè la 
(3) - --(P—x)d"+(Q0—y)b"+(R—z)c"+su?=0; 
giacchè si ha 'a'+y'D'+2'c'=(ad'+bb'+ec'i'=—su?. 

Le equazioni (1), (2), (3) equivalgono evidentemente alle tre 
(P_a)U=(b'd-bl'')su?, 
(Q0—y)U=(d'c'—a'c')su° 
(R_-2)U=(a'b—a b')su?, 

dove U=adb'''+acda'l''+Vi'a'Vla'l'-db'a'—a ci, 
le quali somministrano immediatamente le P, Q, , coordinate della curva 
richiesta, formate con quelle della data e loro derivate. 

Corollario. Si chiami D quella porzione della caratteristica della seconda 
superficie sviluppabile, che è intercetta tra il suo spigolo di regresso e quello 
dell’ altra. 

Essendo D°=(P_af+(Q—y)}+(R—2), 
le ultime tre equazioni esposte danno 


U: D°— ((0c i — L c')? dom (a'c 7) — ally (aV—-ab)) su; 


20 PARTE PRIMA 
a s' a 7 ,I " 
e però sarà D= gr Vea 4-2 — 42), 


per essere (bebe +(d'—a')+(d'b'—a' bd eguale ad 


io) cioè a u' (a+ b!!2 sp CRE 72 


(a+ D+ 02) (a+ b'°+ c'°— 

« Trovare la derivata del complesso degli angoli di contingenza di prima 
« specie dello spigolo di regresso determinato nella proposizione antecedente? 

La derivata richiesta si chiami é'. 

Siccome la retta caratteristica della seconda superficie è toccante del suo 
spigolo di regresso, così le P, Q, R coordinate di questa toccante avranno le 


relazioni (1), (2); e però le equazioni di due sue projezioni saranno 
(Q0—y)m=(P—x)n, (R—z)m=(P—x)h, 


dove mn=b'e'-Lb'd,n=d''—-dc', ed h=da'b'—d'l. 
598 1 cu RE m nh 
Questa retta fa cogli assi delle x, y, 2 angoli i coseni dei quali sono cera 


dove t=V(m°+n?°+ h'); e però sarà 
mN3. /n 12 KN!2 
E2=(—-)+(-)+|(- 
t t É 


ossia pa = (m'°+ nl + ht?) ; 


I 
pa 4 se r\2 JADA I\2 ) (A f\2 
ed anco é?—= 7 (mn nm) +(hm_-mh)Y+(nh—-hn) li 
Ma si ha mn' —nm' =(0'c'—b'oM(d'e' — a' "(0 eb" c')(d'e'— a' c' 
cioè mn'—nm'=Uc'; e similmente si hanno 
hm _-ml =Ub', nh'—hn'=Ua', ed anco 

(b'e'-l'e) RS (a'e'-a'c') di (D'a' — b'a') cioè t_(a'+ bl!2 +e" —u")u'; 

adunque sarà £' = (a+ 5° + c'*) U? : (a'': + ba + cl! — pl")? 4, 
5 però E=U: (al'? degl ca — y!2) e. 

« Trovare la derivata del complesso degli angoli di contingenza di seconda 
« specie del medesimo spigolo di regresso considerato nelle due proposizioni 
« antecedenti ? 

La derivata qui richiesta chiamisi p'. 

Siccome il complesso degli angoli di contingenza di seconda specie di una 
curva è quello delle successive deviazioni diedre dei piani osculatori di essa, e 
però lo stesso delle successive deviazioni delle rette perpendicolari a questi 
piani; e le normali ordinarie dello spigolo di regresso della superficie sviluppa- 
bile data sono appunto perpendicolari ai piani osculatori dello spigolo di re- 
gresso della seconda superficie; così, la derivata richiesta sarà quella del com- 


plesso delle deviazioni di queste medesime normali ordinarie. Ma le p, g, 7 coor- 
dinate rettangole di una qualunque di queste normali soddisfanno le equazioni 


Q-Nd=—-2)I, ad =) 


GEOMETRIA ANALITICA 21 
per cui i coseni degli angoli, che essa fa cogli assi delle coordinate, sono evi- 


a' PNE 1.5 


x 
dentemente dirà. —-; adunque sarà 


de 
p'? ca) + @) ta (3) 
— L' L' w' , 
ossia p' — n (du en a'u') La (b'u dif bu) Le (cu oa d'u')) 
cioè P = 7 (a”2+ b''2+ ca — yu") e conseguentemente 


p' = V(allr + bla + cita — p!'3). 


« Trovare il coseno dell’ angolo compreso da quelle caratteristiche delle due 
« superficie sviluppabili, che passano per lo stesso punto dello spigolo di 
« regresso della prima ? 

Si denominino p, 9g, le coordinate rettangole della caratteristica della prima 
superficie, e P, Q, A le analoghe della corrispondente caratteristica della se- 
conda; e 4 l’angolo compreso da esse. 

Le equazioni delle due caratteristiche sono evidentemente 


(_y)a=(p_x)b, ("-z)a=(p—a)c, 
(Q— y)m=(P— x)n, (R—z)m=(P—x)h; 
e però sarà cos. =(am+bn+ch):V(m+n+h), 
cioè cos.p=S:w' V(a'+ b'+ c"2—y!2), 
dove Sab'e'+ca' l'+bca'—ba' '—elb'a'—ac 0. 
Corollario. Essendo sen*w=zi—(am+bn+ch) :(m+n°+h°), ed 
at+b+c*=1, sì ha 


I 
sen.'y = a ((6 m_—an) + (ah—cm) + (cn— bh)) | 
Ma bm—an=u"c', ah-cm=u"B', cn-bh=w"d', e wa? +b"24-!2—y/!2); 


adunque sarà sen. =w?:V(a" + 6" + "> — yu"), e conseguentemente 
13 
AIR EL gi ti 
tang.p = “= cioè tangip=': da 
Vale a dire, la tangente dell’angolo y eguale ad una frazione, il cui numeratore 
è #', derivata del complesso degli angoli di contingenza di prima specie dello 


ni 


spigolo di regresso della prima superficie sviluppabile, ed il denominatore a è 


la derivata del complesso degli angoli di contingenza di seconda specie di 
questo medesimo spigolo di regresso. 

Osservazione. Non espongo le espressioni delle coordinate del centro della 
curvatura sferica corrispondente ad un punto dato della prima superficie svi- 
luppabile, nè il raggio di essa, perchè facilissime a costituirsi stante la cono- 
scenza dell’ angolo y e del piano toccante la superficie medesima. 


PARTE PRIMA 


IS] 
(SS) 


NOTA (*) 


SOPRA DI UNA PROPRIETA CHE HA LUOGO TRA LA CARATTERISTICA DI UNA SUPERFICIE 
INVILUPPANTE E LA LINEA INDIVIDUATA LUNGO LA QUALE LE SUE INVILUPPATE 
HANNO UN CONTATTO DI UN ORDINE QUALUNQUE CON UNA SUPERFICIE DATA. 


La equazione == (x, y) rappresenti la superficie data, e la y=%(x) 
sia l’altra della linea individuata esistente in essa; e la r=f(p, g, a, d, - - -), 


I 
dove p, q, r sono coordinate analoghe alle x, y, 2 e le a, db, - -- È (n+1)(n+2) 


arbitrarie, rappresenti la famiglia delle superficie inviluppate. 
Evidentemente le a, d, - - - saranno quelle funzioni della x, che si avranno col 
porre y(x) in vece della y nelle funzioni delle x, y valori delle stesse quantità 


ETRE i I Bali ) 
a, b, - - - determinati col soddisfare le ne (2+ 1)(2 + 2) equazioni seguenti 


a_hiec VAIO, b, IRE) dl 2 af), 15 A cr tà Sy} n3 7 > 


ER) ii (ne) — (N-1) ,(N=2) —_ £'(n-2) Prfice (AI) lia” del da densi 
svi TRS) a PR /1 ZU [JI Z(nef} — (ne1)9 mbe / n 


Così, la equazione della superficie inviluppante sarà la risultante della elimi- 
nazione della x dalle due 


r—f(p,q,a,b,---)=o, f'(a)a'+f'(b)b'+ecc.=o, 
dove a', d' - - - esprimono a'(x)+a'(Mwy(x), (a) +b'Ma'(x),---; e 
queste due equazioni rappresenteranno la caratteristica di essa. 


i aa d a, b, - - - 
La seconda di queste equazioni cioè la (Pad) 
bo 
per semplicità scriverassi /'=0, esprime evidentemente la projezione nel 
piano degli assi delle p, g o delle x, y della caratteristica medesima. 
La superficie inviluppante tocca la superficie data lungo la linea rappresen- 


tata colle equazioni 


la la quale 


s=P(X,9), yYZY (x); 


e tocca una sua inviluppata lungo quell’ altra linea, che è rappresentata colle 


r=f(p, G, 4g b, or -), a: 


la proprietà, che forma lo scopo di questa nota, è una singolare relazione, che 


(*) Era già stampata la precedente memoria quando l’Autore ha desiderato che questa sua 
nota vi fosse qui aggiunta per la ragione da lui esposta in fine di essa. 


Avvertenza dell’ Editore. 


GEOMETRIA ANALITICA 23 


ha luogo fra le due tangenti trigonometriche (x), ri, corrispondenti al 


punto comune di queste medesime due linee. 


Se nelle equazioni 55) a di ) (75) o; 


Cral 701 Cr) alal Fri CAT nt 


derivate esatte della f'= o degli ordini primo, secondo, - - - (m— 1) esimo si 
pone x- in vece della p, e W(x)in vece della g, le risultanti riescono affatto 
identiche in forza dei valori delle a, 6, - - -; e quella dell’ordine resimo si 
riduce alla seguente 


(fY+n SEIN + n Da 1) (fnDY A+ n'e sf A/na +f DE À/” 20; 


dove 4' esprime il valore della (1 TI) corrispondente alla p=x, le f®, /}®",--- 


1 valori cor rispondenti alla stessa NE delle 


ERIE ne dns D, (ELP do) PPT. bea DI -- 
pi P 


ossia le derivate parziali seguenti 


e Ù, a, b, ; e, 3) pra Y, d, b, rato )\, Cai 

da" ? da" I dv ; 
e le ( SPY, (ff), --- esprimono le derivate totali rispetto a quella sola x, 
che è nelle cade are a(x, 0) (x), b(x ,Y(£)), - - - delle stesse f ©”, f;19D ---. 


Ma dalle equazioni 


la ni 
identiche si hanno, pel caso di y=vy(x), le seguenti 
sun a fra fo a+ (SY, 
mana ff (I, 
20 an gia) =fn a fim) + (fi), 


Zam + Em (e) = Su + fan Y (x) + (fm), 
le quali danno, posto z—f=É, 
dii reo Arisa E y'(x), 
I EM + ED'(x), 
(firay = fo + Eni), 


Ut =" 48 »o EntnY'(); 


24 PARTE PRIMA GEOMETRIA ANALITICA 
adunque la equazione trovata sopra equivarrà alla 


got n ipa SEI e ne 


N(NT1) sm | * 
+ (80 + fiera a ROL) fio dle hood Land), . 
la quale esprime la richiesta relazione delle tangenti 4/, W/(x). 
Pel caso dell’ = 1 cioè che le superficie inviluppate abbiano colla data un 
contatto del solo primo ordine, la relazione qui trovata si riduce alla 
E'PEN +(E+E,4)p' =o 
cioà 2" —S'+(2, —S)N+W)+ (nf) vp =0; 
ed è appunto questa, che dovrebbe costituire le linee 18 e 20 della pagina 
326 esima del primo tomo delle mie lezioni, e non quella che vi è attualmente 
per inavvertenza; anzi è per togliere la difficoltà incontrata nella lettura di 
questo passo da giovini anco esperti nel calcolo, che io mi sono determinato di 
pubblicare sin d’ora la nota presente, sebbene compilata per altro mio lavoro. 


Quando la equazione r=/(p, 9, a, bd, - - -) 


sia di primo grado, cioè che le superficie da essa rappresentate siano piane, es- 
sendo evidentemente f"= f/= f,,= 0, l’ultima relazione esposta si riduce 


zi + 4) +24 =0, 


che è la fondamentale per la teorica delle tangenti chiamate conjugate dal 
sig. Dupin scopritore di essa. 


(S) 
LI 


——__———————  P€ 


RIFLESSIONI 
SULLA LEGGE DELL’ATTRAZIONE MOLECOLARE 


MEMORIA 


DI GIUSEPPE BELLI 


di 


To aveva procurato di dimostrare in una memoria inserita già nel Giornale 
di Fisica di Pavia (1), che l’ attrazione alle minime distanze, detta molecolare, 
non segue la medesima legge della universale secondo che opinava Buffon (2) 
e più recentemente Laplace (3), ma bensì, come credette il medesimo Newton 
scopritore di questa forza, e poscia sostenne il Clairaut (4), decresce all’aumen- 
tarsi delle distanze con una legge di gran lunga più rapida, cioè ch’ella segue, 
secondo che mi parve poter dedurre da diversi fenomeni, una legge più rapida 
di quella delle quarte potenze reciproche delle distanze, o anche delle quinte. 
Avendo però fatto uso di calcoli semplicemente approssimativi, la cui legittimi- 
tà non bene potevasi da tutti sentire, n’ è venuto che parecchi Fisici, sebbene 
avessero avuto sott'occhio quel mio lavoro, continuarono ad attenersi alle idee 
di Buffon, o a quelle di Laplace, parendo loro più consentanee alla semplicità 
delle ‘operazioni della natura (5). Per la qual cosa avendo io sempre tenuto 
presente al pensiero questo punto controverso della fisica speculativa, e paren- 


(1) Volume dell’anno 1814, pag. 110 e 169. 

(2) Atti dell’Accademia di Parigi pel 1745, pag. 495 e seg.; pag. 551 e 580. Veggasi anche 
nella Storia Naturale di quest’ autore l'articolo intitolato: De la Nature seconde vue, Paris 
chez Dufart, Tom. XXIII, pag. 585, il quale articolo nell’ edizione milanese del Galeazzi del- 
l’anno 1771 trovasi al Tom. XIII, pag. xxx e seg. 

(5) Veggasi il passo della sua £xposition du Sistéme du Monde, citato in questa 
Memoria al num. X. 

(4) Atti di Parigi pel 1745, pag. 329 e 529, e principalmente alle pag. 577, 578 e 585. Alla 
pag. 585 viene da esso Clairaut citata l’opinione di Newton, il quale pei fenomeni della rifra- 
zione , della rotondità delle goccie, della salita dei liquidi nei tubi capillari, ecc. ammet- 
teva una legge più rapida della ragione inversa dei cudi delle distanze. 

(5) Veggasi una Memoria del cav. Leopoldo Nobili Sulla identità dell’ attrazione moleco- 
lare coll’astronomica, inserita nel citato Giornale di Fisica di Pavia l’anno 1817, e riprodotta 


Opusc. Matem. e Fisici. 4 


26 PARTE PRIMA 


domi di aver trovato delle dimostrazioni rigorose in appoggio dell’ opinione da 
me abbracciata, mi sono creduto in debito verso il pubblico di darle alla luce, 
affine di rischiarare e forse terminare interamente una tale questione. Ed è 
questo appunto l’ oggetto della presente memoria; nella quale io esamino pri- 
mieramente la idee nell'ipotesi della continuità della materia; quindi pro- 
curo di estendere le trovate conclusioni alle diverse ipotesi della materia 
discontinua, cercando in ispecie di dimostrare l’inutilità del ripiego di Laplace, 
cioè del supporre una grandissima distanza fra le molecole dei corpi; osservo 
in terzo luogo se vi abbiano ipotesi sulla costituzione della materia, colle quali 
possano conciliarsi le due attrazioni, e a quali difficoltà queste ipotesi vadano 
soggette; e in fine accenno brevemente a quali leggi di attrazione si debba ricor- 
rere per conservare su tale costituzione della materia le ipotesi più ricevute. 


ARTICOLO PRIMO 


I nsufficienza dell’ attrazione astronomica per produrre la coesione 
e l'adesione dei corpi, nell’ipotesi della continuità della materia. 


IS 


Io comincerò a dimostrare il mio assunto per ipotesi che i corpi si suppon- 
gano formati di materia continua, vale a dire di materia distribuita in modo da 
riempire interamente lo spazio contenuto sotto la loro superficie senza lasciare 
interruzioni o spazii vani, supponendo altresì che la densità ne’ diversi punti 
di un medesimo corpo o sia uniforme o almeno non presenti differenze molto 
grandi. Non è questo a vero dire il caso della natura, mostrandoci le sperienze 
che tutti i corpi sono porosi e perciò formati di RAI discontinua. È però 
questa l’ipotesi più semplice e che più facilmente si presta all’ uso de’ calcoli. 
Le conseguenze poi che da essa sì ottengono si possono, colle modificazioni 
opportune, estendere ad altri casi più complicati e più conformi allo stato reale 
delle cose. 

Ammessa una tale ipotesi, e bramando di dimostrare la cosa con maggiore 
evidenza di quello che fecero già chiarissimi autori, il mezzo che a quest’ uopo 
mi sembra il migliore si è di determinare in numeri la forza colla quale in vir- 


con qualche aggiunta dalla Società Tipografica di Modena nel 1818. Si veggano inoltre le 
Ricerche sul moto molecolare de’ solidi del conte Domenico Paoli, Pesaro 1825, alla pag. 5a. 
Un'estesa enumerazione degli Autori che ne’ varii tempi si dichiararono per l’una o per l’altra 
delle due opposte opinioni può vedersi nel Gehler's Physikalisches Wòrterbuch neu bearbeitet, 
Lipsia 1825 e seg. agli articoli Anziehung e Cohasion. Ad onta però degli sforzi di tanti 
Fisici, il sig. Muncke estensore di que’ due articoli riguarda la questione come non ancora pie- 
namente risoluta (Tom. I, pag. 324; Tom. II, pag. 127). 


FISICA MATEMATICA 2” 


tù dell’ attrazione astronomica terrebbonsi uniti due corpi di materia continua 
di data densità e di data forma, posti a combaciamento per una parte della loro 
superficie, e di far conoscere così la estrema piccolezza di questa forza, in con- 
fronto di quella con cui secondo le sperienze tendono effettivamente a stare 
insieme uniti due corpi naturali di quella forma e di quella densità. Io avrei 
desiderato di ciò fare nella mia prima memoria; ma non avendo saputo trovar 
forme di corpi le quali si prestassero interamente a calcoli rigorosi, ho dovuto 
contentarmi di approssimazioni. Ho poi ritrovato diverse forme a ciò idonee, 
e fra le altre quella di due parallelepipedi rettangoli aventi le facce parallele 
l’uno coll’ altro. Il perchè io prenderò a considerare due corpi di tale figura, i 
quali per maggiore facilità de’ calcoli supporrò essere due cubi uguali, posti 
a combaciamento per una delle loro facce. 

Abbiansi adunque due cubi 4, «e (fig. 1) uguali in grandezza, e posti a com- 
baciamento per la comune faccia «£, i quali riferiti a tre assi ortogonali col- 
l’origine in 4 abbiano gli spigoli 4a, ad paralleli alle x, gli 4C, «e paralleli 
alle y, e gli 4D, ad alle 2, ammesso che queste coordinate crescano rispettiva- 
mente pei versi da .4 verso a, da 4 verso C, e da 4 verso D. Suppongasi che 
la materia che separatamente compone ciascuno di essì vi sia distribuita uni- 
formemente per tutta la di lui estensione solida, senza che vi abbiano vacui nè 
diversa densità dall’ un punto all’ altro, potendo però esservi differenza di den- 
sità dall’uno all’altro cubo. E inoltre si supponga che questi cubi si attraggano 
vicendevolmente in ragione inversa de’ quadrati delle distanze, e con quella 
energia che è voluta dall’ attrazione astronomica in corpi collocati in quelle 
posizioni e dotati di quelle masse e figure. 

Chiamisi 

h Ja lunghezza di ciascuno spigolo de’ due cubi; 

A la densità del cubo 4£ riferito all'acqua distillata al massimo di densità; 

d quella del cubo ae; 

4 la massa di un corpo che abbia il volume 1 e la densità 1; riguardo alla 
qual massa, adottando noi il sistema metrico de’pesi e misure, vale a dire il 
metro lineare, il metro quadrato e il metro cubico per unità, rispettivamente, 
di lunghezza, di superficie e di volume, e il chilogrammo per unità di massa, 
sarà &= 1000; giacchè un metro cubico di acqua distillata al massimo di 
densità ha la massa di 1000 «chilogrammi. Si denomivi 

K la forza colla quale in virtù della gravitazione si attraggono due chilo- 
grammi di materia, supposti concentrati ciascuno in un punto, e situati alla 
vicendevole distanza di un metro; vale a dire sia X la quantità di moto che uno 
di questi corpi della massa d’un chilogrammo acquisterebbe durante un minuto 
secondo, per un’azione continua ed uniforme uguale all’attrazione ch’esso sente 
dall’ altro corpo; nel qual caso sarà 


i afggo copi I È 
— il numero de’ chilogrammi al cui peso equivale una tal forza in un luogo 


0 


ove la gravità, cioè più precisamente la velocità acquistata dai gravi in un se- 


28 PARTE PRIMA 
condo di libera caduta, sia g (1). Chiamisi 

P la forza totale con cui i due cubi si attraggono a vicenda, cioè la forza 
con cui il cubo AE è sollecitato verso l'aumento delle x, e il cubo de secondo 
la diminuzione delle x medesime ; 

X, Y, Z le coordinate di un punto M preso nel cubo 4É; 

x,y quelle di un punto m preso nell’ altro cubo de. Si avrà 


[apt =KAd# (]] (({}fazd y:dz-dX.d Y.dZ. | (2A) 


(a-XY+(7—F)} +22) 

venendo estese le integrazioni fra i limiti 
ehhh 10h 
AO e Vian OTO 


e la difficoltà consisterà neila determinazione del secondo membro di questa 
equazione. 

In fatti se noi immaginiamo che ne’ due punti /M, n: sieno concentrate tali 
quantità di materia, quali sono contenute in una unità di volume colle densi- 
tà A, d rispettivamente, queste masse avranno rispettivamente per misura le 
quantità 


LA, ud, 


per vicendevole distanza la quantità 
(XY +(IY+G=2}}", 


e per vicendevole attrazione la quantità 


KAduu 
(AA) +(y YV\)+(-Z). 


(1) Per comodità de’ lettori stimo qui utile qualche schiarimento. È noto che le forze con- 
tinuate dette motrici si sogliono misurare dalla quantità di moto che esse sono atte a comuni- 
care ai corpi liberi in una unità di tempo di azione uniforme. Ora, prendendo il minuto se- 
condo ad unità dei tempi, e chiamando g la velocità che in un dato paese acquistano i corpi 
liberamente cadenti per un minuto secondo, se n è il numero de’ chilogrammi o delle unità 
di massa di un corpo, acquista questo dopo un secondo di libera caduta la quantità di mo- 
to ng. Ma questa egli acquisterebbe pure quando, cessata in esso l’azione della gravità, venisse 
spinto all’ingiù con una forza esterna uguale al suo peso. Dunque una forza uguale al peso, 
in quel paese, di r chilogrammi è atta a comunicare al corpo supposto (e per le dottrine delle 
forze il può a un corpo qualsivoglia), mediante un'azione continuata per un secondo, la quan- 


tità di moto ng, ed ha perciò per sua misura rg. Dunque, fatta ng=X, ossianz ra si ha che 


ghe. «I ° SEAN 
una forza uguale al peso di chilogrammi —, quando venga misurata dalla quantità di moto, ha 
5 


i alal SK 
per misura X; e viceversa una forza avente per misura X equivale al peso di chilogrammi — . 


€ 


FISICA MATEMATICA 29 
E però decomponendo la forza con cui la massa in è sollecitata verso. il 
punto n, in tre parallele ai tre assi ortogonali, la componente secondo l’au- 
mento delle x sarà 
KAduu(a — X) 


CRIRRATIT CSV ALZI LIVRE. 
{ex} +(Y_-FY)l+(z —z}} 


e per le comuni regole del calcolo integrale, la total forza con cui il cubo AE 
è attratto dalla massa in m secondo le x crescenti, sarà 


TA p7 I (I TAI 
sil) ax} +(y—Y}+G—Z)} 


prendendo gli integrali fra i limiti già indicati; e la forza in fine con cui il 
cubo 4£ è attratto dall’ intero cubo «e secondo le x crescenti, sarà 


UR RR er pf 


(A-A)}+(y—-FY}+ 2) 


estendendo gli integrali come sì è già accennato. La quale espressione, metten- 
do fuori del segno d’ integrazione la quantità costante 
KAduw, 


e postone il valore uguale a P, ci somministra la formola [1] qui sopra esposta. 


III. 


Incominciando dalla determinazione del coefficiente X, noi potremo ottenerla 
dai seguenti dati: 
1.° Le dimensioni del globo terrestre, il quale secondo Laplace (1) ha il 
semiasse minore di metri legali 
6356215, 
e il semiasse maggiore di metri legali 
6376606. 
2.:° La densità media del medesimo. Questa, prendendo per unità la 
densità dell’acqua distillata, secondo le sperienze e i calcoli di Ca- 


vendish (2) è espressa da | l I ; È | , 145) 48 
Secondo le sperienze medesime , fatta la revisione de’ calcoli da 

Hutton (3), è i | 1 Fog 
Secondo le osservazioni e i calcoli di Maskelyne e di Hutton, riveduti 

da Playfair (4), . ft. : - 4,73 


(1) Exposition du Systéme du Monde, Paris 1824, pag. 63. 

(2) Philosophical Transactions, 1798. 

(5) Ibid. 1821, pag. 291. 

(4) Gehler's Physikalisches IVòrterbuch neu bearbeitet, Tom. III, pag. 948. Phil. Trans. 
1811, pag. 347. 


30 PARTE PRIMA 


Secondo le osservazioni e i calcoli medesimi, prima della revisione di 
Playfair, ella veniva stimata circa. 3 o £ i va 0495 
Prendendo perciò una media fra i risultamenti corretti di Cavendish 
e di Maskelyne, possiamo ritenere che questa densità sia prossima- 
mente (1) . : i 1 ì MEUT0X 
3. L’attrazione che la massa terrestre eserciterebbe su di un corpo s' ella 
fosse tutta condensata nel suo centro di figura. Osserva Laplace (2) che verso 
i corpi situati alla superficie del globo ad una latitudine che abbia per seno 


I . x . . . . . . . 
V3 (cioè ad una latitudine di gradi sessagesimali 35° 15' 52" prossimamente), 


ove corrisponde una distanza dal centro terrestre di metri 6369809, questa 
attrazione non varierebbe sensibilmente quando la massa della terra venisse 
tutta a raccogliersi nel centro di figura. Ora i corpi liberamente cadenti a quella 
latitudine percorrono nel primo minuto secondo centesimale metri 3,65631; e 
però aggiungendo a questa quantità una sua 432.° parte, affine di aver l’ intero 
effetto dell’attrazione terrestre cioè non scemato dalla forza centrifuga, è atta 
tale attrazione a quella latitudine a far discendere i corpi nel primo secondo 
centesimale di metri 3,66477, che danno metri 4,909296 per un minuto se- 
condo sessagesimale ; e quindi nella durata di uno di questi ultimi secondi può 
essa attrazione comunicar loro la velocità 

981859. 
E questa è la misura dell’ accelerazione del moto che può essere prodotta dal- 
l’ attrazione della massa della terra ad una distanza di metri 

6369809. 
Combinando insieme questi dati, e indicando con 

Ò' 


la densità media della terra, avremo 
Kòd'u =: t 6356215 - [6376606]? 
n E i 


essendo 7 la semiperiferia di raggio 1. Perocchè dall’un lato, essendo X V’attra- 
zione fra due chilogrammi di materia alla distanza vicendevole di un metro, 
sarà quella esercitata su di un chilogrammo di materia da tutta la massa ter- 
restre alla ragguagliata distanza di metri 6369809 , espressa da 

K-4 x-6356215 [6376606]? DE assioni 
e dall’ altro lato questa forza attrattiva trovasi per mezzo della sperienza essere 


uguale a 9,81859X1, 


(1) Questa densità venne calcolata recentemente, in un modo però semplicemente approssi- 
mativo, anche dal sig. Carlini, deducendola dalle accurate osservazioni da lui fatte sulla 
lunghezza del pendolo semplice a secondi a grande elevazione sopra il livello del mare; e il 
risultamento fu prossimo a quelli dedotti dalle osservazioni di Maskelyne. Vedi le Effemeridi 
Astronomiche di Milano per l’anno 1824, nell’Appendice a pag. 28 e seg. 

(2) Exposition ecc. pag. 190. 


FISICA MATEMATICA 31 


esprimendosi col primo fattore (cioè con g,81859) la velocità che questa forza può 
comunicare in un minuto secondo, e col secondo fattore la massa posta in moto. 
Dalla precedente equazione, ricavando K, si ha 


[2] =0,000000 000367 990 ina 
E però ponendo 
d'=691 
ug 
== 5,01 
sì avrà rispettivamente 
[3] K=0,000000 000069 30, 
[4] K=0,000000 000078 13, 
[5] K=0,000000 000073 45. 


Osservazione I. Se si volesse il numero dei chilogrammi al cui peso equi- 
vale la forza attrattiva di cui si tratta, non si avrebbe che a dividere il valore 
di K per 9,8088 trattandosi di chilogrammi pesati a Parigi, e in generale pel 
valore di g quando questi chilogrammi sieno pesati in altri luoghi. 

Osservazione TI. La quantità Kd', misurata con grande approssimazione 
dal numero 

0,000000 000367 990 
esprime l’ attrazione esercitata sulla massa di un chilogrammo da un decimetro 
cubico di materia che abbia per densità la densità media della terra, supposte 
queste masse concentrate in due punti alla distanza di un metro. 

Osservazione III. Noteremo in fine che i superiori valori numerici di K 
sarebbero stati alcun poco più esatti, se in luogo di dedurli dalla densità terre- 
stre conclusa dai citati autori, si fossero immediatamente ricavati calcolando le 
loro osservazioni; poichè avendo essi misurate le effettive attrazioni esercitate 
da determinate masse, sarebbe stato questo un più breve e più diretto cammi- 
no, nè si sarebbero introdotte nei calcoli le dimensioni e la gravità terrestre 
(come si è necessariamente da essi dovuto fare onde ottenere d'), per ritoglierle 
poscia nuovamente con grandezze verisimilmente un po’diverse. Ma sono queste 
delle differenze ben leggiere, e da non porsi a confronto colle inesattezze ine- 
renti alle osservazioni suddette. D'altronde quei valori di d’ sono già conosciuti 
dagli scienziati, e, con quel grado di confidenza che meritano, da loro approvati. 


IV. 


Veniamo ora alla ricerca della quantità 


[6] E peer 


(XY + (9—Y) + 276 


estesa fra i limiti già nominati. 


32 PARTE PRIMA 


Cominceremo dall’ osservare essere indifferente l’ ordine delle integrazioni, e 
potersi esse eseguire ordinatamente per riguardo alle variabili y, Y, 2,7, x, 4; 
il che senza altre considerazioni analitiche puossi riconoscere dal solo esame 
della questione; giacchè seguendo quest’ ordine si va estendendo l’ attrazione 
che ha luogo secondo le x fra due punti materiali (cioè fra masse concentrate 
in due punti) e che è misurata dall’ espressione 


&—2) 
e—X}+(y—V}+(G—2Z)}" 


moltiplicata per un coefficiente costante, 
1.° a tutta una retta del cubo «e parallela alle y, con un punto del cubo 4E; 
2.° a due rette parallele alle y 1 una in ae e 1’ altra in 4E; 
3.° a un piano di «e parallelo alle y,z, con una retta di 4£ parallela alle y; 
4° a due piani paralleli alle y, 5, l'uno in 4£ e l’altro in de; 
5.° a tutto il cubo «e, con un piano di 4£ parallelo alle y, 2; 
6.° a tutto il cubo 4£ con tutto il cubo «e. 
Eseguiremo adunque le operazioni suddette secondo l'ordine indicato dal- 
l’ espressione 
h__p2h bi dillhdsa Gi È 
1) Saxf de-xfazfafarfo, —————; 
o h o o 0) o ent r} +2} 


Ponghiamo per comodità 


[8] villi /iliaicna, —— pi i Lia 
fast +(y—Mf+G@—2}} 
LT-Xz P 
ima 


Via Al bl 
avremo, eseguendo la prima integrazione, 
x 4 
[9] dy F=z-—-;.————- + Cost. 
Pur Vp +.igitr 
come non è difficile a trovarsi, e come la derivazione immediatamente con- 
vince. Perciò estendendo l’integrale fra i suoi limiti, si avrà 


n DA y 
dy Fa. —Ee=__+ali —{—< 
Bilo part Vpareh=P) Puo vporer 


La seconda integrazione ci dà immediatamente 


SI 0 I gr I U AT DIS 
[11] ferre Vpur4+(h_Y) SIGLA Vp4a+1°+Cost. 
e però i : 
fi Pay A E aes 2 
[12] Sarfo apri +r"+ vai pei 


FISICA MATEMATICA 33 
Venendo alla terza integrazione, avremo 


Saf drf dr. P= fa, Vpaerae+hk i 


Vp+7 


ari I 
=fa(7 COEN 


n = fdr. af + S via ona 
= + Vpur+h'  (p+r’)Vpar' 4h 
=— 2log. (r + Vpî+r) + 2 log. (r + Vpar+ht) 


2 ; d Eta it a UE ’ 
ma Re far (pur )Vpar' 4h (1) 


Per ridurre razionale l’ espressione che rimane ancora sotto il segno 
d’ integrazione si presentano due maniere, cioè 
1.° di porre 


Vp'+ r+h = Vp° E he +'ru 


essendo u una nuova variabile; con che si ha 
u 
1—-u° 


r—=2 Vpî+x . 


I 


far £ = = fdu. = 
pur? Vprt4+h di fr +r)Vpar+h 


;E 21°) | 
= fdu “p(i—w)f+4(pî+h')u > 
° di fare 
Vpu+r+h =r+tVp Sch : 
essendo similmente £ una nuova variabile; donde si ha 


r=! pali Vpuhe 


2 


pur= (perle PELI I 


dr 3001-29) 
(Si Cesa Vpihò, 


at 


(1) Serve l'abbreviazione log., e talora la semplice 1., per simbolo (come è di costume) de” 
logaritmi iperbolici. Occorrerà più innanzi di far uso de’ logaritmi tavolari; e questi noi gli 
indicheremo col simbolo Log., ovvero con la semplice L., come si avvertirà a suo luogo. 

Opusc. Matem. e Fisici. 5 


34 PARTE PRIMA 


e perciò far; (p+r 7 penali ;= fai È da +7 To Ri 


= sf: Fre: 
Di queste due maniere noi preferiremo la seconda, siccome quella che facil- 
mente permette di ridurre 1’ espressione da integrarsi ad avere un denomina- 
tore di secondo grado. Ponendo adunque 


t*=s, e poscia s+-_=6@, si avrà 
t 
dr ————==_Afdi Te _-«< 7 
fa (pur )Vpar+k ife (P+h)(1+s)—-4hîs 


I 
=_afds pali xa(pR)s+(p +) 


=—2fdo 4Pk 
Ge) 

DEUS Arc.tan. pn) + Gost. 

ph 2ph 
3 da tan. oa er. Eroi a } + Cost 
= Arc.tan. pe ale La ua } Cost 
og SE 7 Aro. tan. pt ee Cha Petri FE Goa 
2ph 

ELI {Are tan. AM EE, I tan. "Cost 

ph hr p 
paro tan. ALA & +Arctan. 2} Cost 

* ph pvpiehiser. 2 P 


E siccome la quantità 


sen (Are tan. L — 2) 
ph P 2 


per riguardo alla 7 si può considerare come costante, così sarà in fine 


Micin 

3 PIRAS TOOL \rc. tan. 3 Cost. 
[13] Sd (p' r)Vp oa =" Arc. tan DV reo OS 
Pertanto sarà 

h h 
[14] Sd:farf ay. Fr=—2 log.(r+- Vperr) + 2 log.(r+ perc) 
hr 

pVpul+1° 


+ Cost.; 


v fg 
DR De Arc. tan. 
P 


FISICA MATEMATICA 35 
ed estendendo l’ integrale fra i suoi limiti, 


19] SafUfay Fal. (-Z4+Vp(h=2) ) al(h-Z+Vp4l+(h=Z)) 
ei. 
pVpr (12) 


+21(—Z+Vp+2°) 


2h 
cia 2° Arc.tan. 
P 


n LAI —hZ 
—21(—Z+Vpal4Z )— —Aretan——==—., 
P pVP +h+Z 
i she i T °D i | 
dove i due archi si prenderanno entrambi fra — — e + —; imperciocchè 
2 2 


non potendo la tangente 
hr 
pVpiuh+r 
col variare della ” passare per valori infiniti , se noi prenderemo fra quei limiti 
l’arco che le corrisponde per un dato valore di z (come ne abbiamo l’arbitrio), 
dovremo contenerci fra i limiti medesimi per un altro valore di 2 qualsivoglia. 
Venendo alla quarta integrazione avremo 


[16] Sazfd:farfayr=zf dear) w .P_faz. gt a(fdef far ce: 4] 


<A 


indicando con 4 e B i due termini del secondo membro presi co’ loro segni. 
Lasciando per ora da banda la 4 siccome facilissima ad aversi, facciamoci a 
ricercare il valore di £. 

È ovvio il vedere che può farsi 


Safarfay.F=yi-2-v0-2) 


essendo la forma della funzione y data dall’ equazione 


y(r= 2 1(r- Vpr) +2 L(r+ Vprresr)+ preti , \ 
Ora 
dy(r) c—2aVpalar — a 
CO pd 
e però 
db(h-Z) [dy(h-Z)][d( IZ SI [dy(h_Z) 
( dZ )= È ‘a(le=Z) | (°z S pas | FOESAE 
aV/p+h+(-Z) 2 


TT paleZ  pPE9ez2) 


RIE où Lies (I - DAI MILL È: er 


36 PARTE PRIMA 
Sarà dunque 
B=—faz.2)- avpl'a+(h-Zf 2 n aVpaul+Z? 2 
PALIO “ VprleZi 0 Pr ZO 


— faz. 2Z __(az. op re sio — faz. oZ 
puZ V 


VpA=Z) 

fa faz 2Z Mpa (a): 
pî+(h-Z) 4 

essendosi nell’ultimo de’ due secondi membri rovesciato l’ordine de’ termini per 

lasciare in fine il più difficile ad integrarsi. Indicando rispettivamente questi 

termini presi co’ loro segni per mezzo delle lettere C, D, £, F, sarà 


oa DER 


Ora 
2Z 
C=|]dZ.——_=2V/p+Z° + Cost. 
p+Z 
2Z Ria a +h ph aZa Z(pu+h+Z°) 
DERE SSA I A 
fa PZ afz. PHZNVPREZ 


Z Z 
sea 3 dZ RIE TE E h dZ em dec e rn et 
3 vpi azi Di yi PZ) VPEREZ 
=—2V/piah+Z—hlog(p+Z°)+ 2hlog.(h +Vp + +Z°) + Cost. 


2Z h—h+Z 
E=—-|JdZ- dZ 
fe Ara idea —afaz. VP VpPET=Z? 3 
hT-Z 

——2AidZ. dZ 
Vp nz n afdz. VP <E( CRETA; 

+ ahlog.(h-Z+ Vpa(h-Z) ?) — 2V/p'+(h—ZY+ Cost. 

PAIS 2ZVp aZVp+h'4(h_Z) Vo (Z+h_-h)Vpkh+(h-Z) 
F= fd Li — p+h-Zf =2fd É RENE pEAAZINA La 


ti (-Z)Vp+h4(-ZY p dà Fal +(_Z) x 
=—> faz. e fe 


=_a faz. (h-Z)VpH+k+(h- ZÎ Alaz n7) e, 


Pira [PZ VP Z} 
=_af iz 02) ESE re) bl o a 
pise(h-Z): Vp=R+(1=Z) 


alt fe [p'+(1=Z) |VpPAEFA=Z) 
=L+M4+N, 


FISICA MATEMATICA 37 
indicandosi per ordine con Z, M, N i tre termini del penultimo secondo mem- 
bro presi co’ loro segni. 

Il primo di questi termini, cioè Z, è similissimo a quello indicato poco sopra 
con D, e per farli coincidere altro non occorrerebbe che porre in D la quan- 
tità (-—Z) in luogo di Z, e cangiare il segno a tutto il termine. Sarà dunque 


L=2V/pil+A-Zf+h1.[p+(h-Z)f|- 2h .(h+ Vpul+(h—-Z) )+ Cost. 
Venendo al secondo, dalle più note formole si ha 


| [dh_Z) I 
M=2h|dZ. =_= e mc 
i i V VPFIRFA=ZP +h° = Pip nf SA az - VpPEFRE h-Z) 


SEME) Edy STA Rd de | LT Da 
fai ) Vpih'+(h-Z) 


=—2h log.(/ —Z+Vp+ h-E R-Z7) +- Cost. 


Finalmente la /V si assomiglia al primo membro dell’equazione [13]; perciò si avrà 


face I 

N=—- 2h |JdZ- MEAN TA I gli A 

S lo az 1 [p+ (-—-Z)]|Vp +h+(h-Z) 
2 hè h elia 4) 


ie ATC. tali tie ESA GOsN 
2 
pVpuk'4(h_Z) 
Ar ; T T . 
dove similmente l’ arco si prenderà sempre fra — — e + — per la medesima 
2 2 


ragione detta più sopra, cioè che la sua tangente non passa mai pel valore infinito. 
Adunque raccogliendo i tre termini Z, M, N sarà 


F=2V/p+h4+(h-Z)f4+ hlog.{[p+(h-Z)}]}—2h log.(h+ Vp° +h+(h-Z)) 


h(h-Z) 
pVpul+(h-Z) 


e riunendo i quattro C, D, £, F formanti il valore di B, si avrà 


+ Cost. 


—2h log.(h—Z+V p'+h'+( rSZ}) > Arc.tan. 


B=2Vp+Z—aVp+R+Z— hlog.(p°+Z°)+ 2hlog.(h-+ Vpar+Z?) 
+ 2hlog.(h—Z+ Vp'+@m=Z)})—2VpP+0=Z) + 2VpPrR+M-Z? 
+ h log. [p°+(h—Z)Y]— 2hlog. (h + Lariana 
— aklog.(h-Z+/PFRW=Z7)-? ca, 


pVp+l+(1-Z) 
ed essendo 


mrAre .tan. 


+Cost.; 


38 PARTE PRIMA 


Az— 2Zlog. (h-Z+ Vp +(=Z))+ 2Zlog. (h-Z+ Vp+h +A—-Z) ) 


2hZ h(h-Z) hesi 
Arc. tan. 3-9 4 log. {Ze i fa 
pi: Ng pVp+l+(h-Z) $ 9008 1 
«tl 74 —hZ 
n — 2 Zlog. (-Z+Vp + h SA )— Sdgggia  e e 
slna 


[17] fazf ddr dy F=NPFZNPEREZ a VPI) 
+aV/pHENI=ZY-Nh1(p+Z2)+2h1(h+Vp4HZ) 
+2(h—Z)l(h-Z+Vp"+0-Z7) 
+h1.{p°+(h—Z)Y]}—2h1(h+Vp++--Z}) 
—2(h—Z)(h-Z+Vp+P+0-Z)) 
+2Z1(-Z+Vp+Z°)-aZ1(-Z+VpHal+2) 


i 2hh_Z)  ce.tan. h(h—Z) 
P pVp+h+(h-Z) 
2hZ ha 
= Se 2* A+ Cost. 


Ed estendendo l’ integrazione fra i dovuti limiti, e facendo la riduzione de’ 

termini simili, sarà i 

[18] Sazy def dYf RI PRI GINE ce ira I ce 
+ 4hlp—2hl.(p°+h)—6h1(h4+VpHr) 
+2h1.(—h+Vp+?) + 6h1.(h + Vpaaft) 
ah h+ Vprali)+ fe Are.tan. do SELE 


pVp'+2h 


e siccome si ha 
4log.p= 2log.p°'= 2log. (È + VP) +2 log.(#R+ Vp+R°) 
— 2. log.(p°+4%)= — 2 log.(h+ Vp-ak°)—2log.(—H + Vp'alt) 
sarà finalmente 
[9] f azf def drf IAA VPRR-AVPAIE+411(--h4+ VETO) 
—4hL(h+VP+R)+4h1(h+Vp=-2k) 
DE 


ria MEA LS kh} 
dal 4h1.{(h+ V pel) fe S Aretan— à 
P / P + 2/ 


FISICA MATEMATICA 39 
Ci rimangono le due ultime integrazioni, vale a dire ci resta a ridurre a co- 
mune forma algebraica la quantità 


bl dx (de. {ax f dz f de bf dY si dy «F 


ossia, rimettendo (x —X) in luogo di p nel secondo membro della |rg], 
la quantità 


Ù 2h 
[20] Sf dxf dx» id (A-Xf+8(a MN) + (XY 4(e-X) 2h +2 XP 
+4h(x-X) l(- h+Vhî+ (CX) -4h(x-X)l. (h+ VR°+(x-X }) 
+4h(e-X)(fa VA AT)-4M DIA AK0A7) 


+4h° - Arc. tan. =— es A 
(€-X)V2h4+(x-A) 


Indichiamo la quantità contenuta sotto le grandi parentesi con 
o i «h 2h 
II(x—X); si tratterà di trovare S dX If dx Ie N). 
Facendo a tal uopo nuovamente (€ — X)=p, avremo 
(S I 
fax e—x)= fax -( SI. TI(p)= fap + 1(p)='M1(p) + Cost. 


dove con TI(p) si vuol Mie. una funzione primitiva particolare di II(p) 
formata semplicemente di p e di costanti. Ora essendo 


[21] I@)\=—4p°+8pVpîal?—4pVp+2h'+ 4ph . log.(—% +Vpahò ) 
—4ph-log. (h+ Vpuh e) + 4ph-log. (h+ Vp+oh) 


— 4ph- log.(— ha Vp'2h) + 4h°- Arc. tan. 


puoh 
colla integrazione per parti si avrà, previe alcune riduzioni sull’ultimo termine, 


3 3 
mp=—i pipa tp ah?) 


+ ap*h-Jog.(—h+ vp?) fap. (op rr VE RSA ver) 
— ap°h-log(h + n ) + fap. -(2p° rigo GR) 
+ aph-log(h+VpP=ale) — fap. (ph rt VP Tr ) 
— 2ph.1 SCE na far: (ap Là a va) 


2h° 
ci Ì, È ° Ari . t Via Urso d Sal € ————_—___Ò0Ò° . 
7 adito pi p a + fe (pie (publ) ra) 


40 PARTE PRIMA 
Unendo insieme i primi due de’ termini che ancora trovansi sotto il simbolo 


d’ integrazione, se ne ha 
4phè 
Ne fe ip EE 
V p'+ h 
e dagli altri tre dopo qualche riduzione si ha 
fap SVAPICI + fap. 4ph' i 

Vp'+al (pî+h)Vp+2h? 
perciò questi cinque termini, fatta la integrazione , danno 
_4RVP FARFA gf) LI(h+- pro APR)} +-Cost 
ossia, fatta una facile riduzione, 
—4heVp'+l+4h?Vp+oht +2h31 (-h+Vp°+2h +2h° )- —2h°1.(h+Vp"+2k")4+-Cost. 


In conseguenza di che si avrà 
3 3 

[aa] adi pale pale MVP Aero 

+ spia (- h+ Vpah 3) — log. (4 + Vp+ Te) 

+ (opa )flog.(h+ VARE) _Hog(-h+ Vprate)} 

he 
h?. Are.tan ——_- 

+ 4p rc.tan rem ) 

dalla quale equazione si potrà avere il quinto integrale definito, essendo 
2h h h h h 2h 
(a— Z| dz di -Ix-X)=' VETO: 

Sf dela Vf dzfd f dY f dy.F: dh da +T(x-X}='II(2h-X)-'TI(h-X) 


Ma senza trattenerci ad effettuare questa sostituzione, passiamo all’ ultima 
integrazione. Cominciamo dall’ osservare che 


fax faefazfa: far far perni en. 


+(f—V}+G-2)|} 
= fax. M(ah-x)— IX IA —X) 
=— fax. (75) II(h_X) + fax. (€ al, - TI(A—X) 


=_ fdh-5)Ih-X+ SATA) TI(A—X) 
= —"I(2h-X)+"I(A_X)4 Cost., 


indicandosi con "II(2h—X), e “II —X) ciò che si otterrebbe prendendo la 
funzione primitiva di ‘II(p) per rispetto a p, cioè determinando la funzione 
"I(p), e sostituendovi rispettivamente la quantità (2R2— A) ela (A— A) in 
luogo di p; ben inteso che in “II(p) non si trovi contenuta la A esplicita- 
mente, ma solo vi sia la p e delle costanti. Estendendo poi l’ iutegrale fra i 


FISICA MATEMATICA 41 


suoi limiti sarà 


"N {ae £ h fsh ASSE 
Tee An 


x} +(y_M)+ (1-2) 
= —"I(/h)+"II(0)+"II(24) —"II(h) 
="II(0)+"II(24) — 2”II(k). 

Converrà adunque ricercare "II(p). 


Richiamando l’ equazione [22] e integrando per parti i termini trascen- 
denti noi avremo 


8 saro 4 3 | 
HT] pe—3pî+fap . 3(P'+ h°) — fap . Lafna 20°)? — fap » 4h? Vp°+ hè 
di -fdp Ke VE DERE pPhilog(h+ Vp+Jé)_Hog.(h+- VP+Te)} 


Balgora UL E TR AE 
Sep Sh —h+Vp°+h Vp+h h+Vpuhî Vpuh? 3) 
+(5 pÈ h-apl){log. (4 + Vp+2l) —log.(—A +Vp'+ pralr){ 


A È, (3 SL DAN e ea] 
fap-(3p'hopl haVparalè Vpoal® —huVypaalè Val?) 
h? 4p° hf 
ie eni PERO dida TA Sl 
pVpî+2h? + fe: (pu h*)Vp'+2h° la 
e potendo l’ultimo de’ termini che trovansi sotto il simbolo d'integrazione, 
unito col penultimo de’ medesimi, ridursi a 


+ ap°h? - Arc.tan. 


I 


WERE (pl RSA 
3 Vpî+2h? 3 (puh®)Vpî+2h?° 


e il terzultimo preso col suo segno a — fap : dp h , sarà anche 


(IE Sha rai CEN 
Vpî+ hi 
"I(pet 3p' dr 3ph Nlog(A+ Vpî+R?)—log.(/ Sr! Vp+Te)} 


+(5 pîopl){log. (4 he Vpî+2h°)—log.(—h+ Vpiralt) 


+ 2p° h* + Arc. tan. KERALA 
Aa 
+ fd + h°)° — 4h° ti ; 
fap: i3( (Piste Di 4h°Vp° sa vai 
pîI 
RELA une ea) 
P +21 


d ce 
ftp} Xx FAVA +-2h° 


Opusc. Matem. e Fisici. 6 


42 PARTE PRIMA 
Ora in quest’ultima equazione, per riguardo al primo termine da integrarsi , 
noi abbiamo 


fap ; È (ph) — 4heVp4+h'— dele eri 
= fap: (G- il dr 
=(3p_pR)VpEP — fap. TR 


= —ph' ) Vp+h Ela log. (p+Vptrò ?)+ Cost. 


Il secondo de’ termini da integrarsi si può decomporre in due parti, cioè si 
può mettere sotto la forma 


3 
d Ad 42h?) + 4h ri: nos Il fap . i 
fe "A 301 ) P 3P Vp+2h? L0aS Vpî+oh?° 
dove la prima parte è la stessa cosa che l'integrale or ora trattato, moltiplicato 
I i 1 La 
per — -, e postovi 24° in luogo di /°. Perciò esso secondo termine da in- 
tegrarsi sarà uguale a 


pere ; (i pie) Vp'+2h°— InMtog. ( p+ Vprste)}- d1Alo g. ( p+V p+2l?)+-Cost. 


ossia a { — 3p+ pie) Vprolé—3 hé log.(p Lr Vp+oh) + Cost. 


Finalmente per rispetto al terzo termine avremo, come già si è trovato poco 
sopra Re l'equazione [13], e vi si cangino la re la prispettivamente in p, 4), 


I A 
ULIZEI 4 n. Arctan —L_ + Cost., 
p (ph? )Vpf+2h? Puo; Vp°+2h° 
: T T 4 
intendendo che l’arco venga preso fra — e +3; come più sopra all’equa- 


zione [15]. Sarà pertanto 
[29]: Ma 3più (3 pî —plé) Vpuh? — (57° —p n) Vppu2ht° 


TI 3prnog(- Salo (3pî_apl Joos.(- Sun) 
3 h4V puh? _huyVpralt 


sa 53M log.(p+ Vpate) —;3 hi. log.(p+ ph?) 
p 


——_—_ + 4 pa hA Ara tano + Cost. 
pVp°+2h° D) Vpu2h° 


Mettiamo ora successivamente in luogo di p le quantità zero, /, 2h. Comin- 
ciando dalla determinazione di II(0) noi incontriamo una difficoltà, la quale 
consiste nell’ assegnare il valore al termine 
IT —h4-Vp+h? 
5 ph» log{— 
2 2 
9 h+V p'+ h 


+ 2p°h? - Arc.tan. 


FISICA MATEMATICA 43 
allorquando si fa p= 0. Essendo questa espressione uguale a 


5 hp? p ilogp'— log.(h+-Vp"4+h)— log.(h+Vp+r FP) 


ossia a dp: -p {log _ log.(h+ Vp°+ re) , 


ridurrassi la difficoltà alla determinazione della quantità 


plog.p 
pel caso che sia p= 0. Facciamo perciò . 
PIET 
essendo e la base de’ logaritmi iperbolici; avremo 
log.p=—@ 
I dota 
"Asi pi rnienno 
tel Ta) 
RISE. 0 03 o 
I+0+_T-+ + + ecc. 
dedi 4 


I Th) 0? 03 
—+I+-+ + ta + ecc. 
(M) De 2:34 


2 


intendendo co’ denominatori de’ due ultimi secondi membri di rappresentare i 
limiti a cui si vanno accostando le due serie a proporzione che si prende un 
maggior numero di termini. Ed è ovvio il vedere che le due serie, dopo un 
sufficiente numero di termini si rendono sempre convergenti qualunque sia 
la ©, e che perciò hanno sempre de’ limiti determinati. Per avere ora il 
bramato valore di 


plog.p 


pel caso di p= 0, converrà porre nell’ultimo di que’ secondi membri 


OZ; 

vale a dire converrà cercare il limite a cui si va gradatamente accostando il 

valore di quella frazione a proporzione che si aumenta la @ supposta di valor 

positivo. Osserveremo adunque che il denominatore di una tal frazione è forma- 

to di due parti, cioè 
I 1) 
-,I1I+- + 
n) 2 


2 


© 03 

2:30 2.3.4 
delle quali coll’ aumentarsi dell’ @ la prima diminuisce sino a potere divenir 
minore di qualsivoglia quantità data, e la seconda invece cresce fino a poter 
superare qualsivoglia assegnata grandezza. La lor somma perciò è di tale na- 
tura, che con un sufficiente ingrandimento della @ può divenir maggiore di 
ogni dato. La frazione adunque che ha questa somma per denominatore , è tale 
che a valori di @ sufficientemente grandi, ossia a valori positivi di p sufficien- 


ri 166, 


44 PARTE PRIMA 
temente piccoli, avrà valori negativi i quali, prescindendo dal segno, potranno 
essere minori di qualsivoglia quantità data; ed avrà perciò per limite lo zero , 
cui si andrà continuamente accostando. E incomincerà la diminuzione quando 
© superi 1, come si può vedere prendendo la derivata prima di 
OCT 
e osservando quando ella sia negativa. Ora se, mentre una data variabile 
si va accostando a un limite Z, noi veggiamo Fat una funzione di questa 
variabile va continuamente ao a un altro limite Z, in tal caso 
noi concludiamo che fatta la variabile uguale a 2, dee la o avere il va- 
lore Z. Quando adunque si ha p=0, sarà 


plog.p=0, 


2 —h+ Vp°+ 2) 
- pì hlos. (Fit re) 
Fava ESP ica Vp*+ h? 
Avremo adunque 


"TI(o)=—h log.h — 37 log. 2 + Cost. 


E sostituendo prima % e poi 2% in luogo di p nella equazione [23] avremo 


"TI(£)= Mis — a+ iV3+3lg eso Lea 


I+|/ 3 1-+-|/3 
— log. h— zlog (1+V2)— 3 log. hT_- 5 glog.(1+V3) 
4 I) 
+- 2 Are. tan. Ta +5 Arc. tan. V3) + Cost. 
Uan) ML+(3 ia Sutto V6+- log. CIEL) 
16 +6 
+($_-4 log(T)— -zlog. h—zlog g.(2+V/5)— zlog.h 
— 3 log(2+V/6)+ 8 Arc.tan. leslie tan. of Cost, 


essendo la costante tutte e tre le volte la medesima. Perciò, fatte le necessarie 
riduzioni, avremo 
"H(0)+"II(2h)— 2"II(h) 
ossia 
h 2h h h h h 
fAX( de fazfiga (Alf IZZO 
lo) h o o 0) o x 2 


(A+ (7) +(@—Z)1 


& 


uguale a 
[24] +3M i; 1f+aVa—4V3-+10/5—a V6+23L2—41.5 
+101.(1+V/2)+ persero AE (1+V6)—1.(2+//5) 


I 
— 21.(2+ 6) — 20 Arc. tan. —+ + 4 Arc. tan. + 24 Arc.tan. 


3 /6 ra 


FISICA MATEMATICA 45 


V. 


Non rimangono ora a farsi che delle riduzioni numeriche, le quali io porrò 
qui sotto distesamente , affinchè men nojosa riesca la fatica a quei lettori che le 
vorranno rifare. Calcolando adunque dapprima le quantità algebraiche avremo 


Male=iAa1356 
V3 = 1,73205081 
V5 = 2, 23606798 


+ 2V/2= 2,8284271 
+10|/5 = 22,3606798 
+ 25, 1891069 


VG=2,44948994 |-14 =— 14 
— 4V3=— 6,9282032 
— 2V6=— 4,8989795 
pù 25, 8271327 
+ 25, 1891069 
Ri — 0,6380758 
— 14+2V/2—4V/3+10V/5—2V6=-------- — 0,6380758. 


Indicando con 4 il logaritmo iperbolico del 10 , «avremo 


23log.2—4log.5+10log.(14+|/2)+20log.(1+V3)=32log.(1+|5) 


A=2,30258509 +; + 23 log.a = 6,9236900 - 4 
log.2=0,3010300 + 4 10log.(1+V2) = 3,8277570 +4 
log.>=0,6989700 + À 20 log.(1+V/3) = 8,7297760 < 4 

log.(1+V/2)= 0,3827757 - 4 8log.(1+|/6)= 4,3020392 -4 
log.(1+V/3)=0,4364888 + 4 +23,7832622 + 4 
log.(1+|/5)=0,5100176 +4 — 4log.5=— 2,7958800 + 4 
log.(1+V6)=0,5377549 -4 | —32log.(1+V/5)=—16,3205632 - 4 
log.(2+V5)=0,6269630 - 4 | — log.(2+ V5)=— 0,6269630 - À 
log(2+|/6)=0,6483102-4 | — 2log.(2+V/6)=— 1,2966204 “& 
—21,0400266 - 4 

+ 23, 7832622 + À 

+ 2,7432356 - 4 


+8log.(1+V/6)—log.(2+|/5)—210g.(2+|/6)=2,7432356X2,30258509 


- - - = ’ @ —- “= - - - - - 


+6,3165334. 


46 PARTE PRIMA 
Finalmente, adottando la divisione sessagesimale della periferia del cer- 
chio, e ponendo 


180°=3,14159265, 


sarà 

die a: = 30°. 0’, 0000 4Arc.tan. / 6 15655’, 5648 

Arc.tan. Ve = 39° ..13' 8912. ‘24 Afo.taniena 3% = 270°.53/a224 

Arc.tan. > Ve” 11°» 32/, 2176 + 433°-48/, 7872 
—20Arc.tan. pg G00° 0’, 0000 


—166°- 11’, 2128 


— 20Arc.tan.— + 4 Arc.tan. + 24 Are.tan. — 


73 Ve 376 


= — 166° - 11’, 2128 =—2,9005082. 
Adunque sarà 


[25] “TI(0)+"TI(22)—2"I(A)= 3hi(—o, 63807586, 3165334—2,9005082) 
=h4o0, 9259831 
= h'i-.0,925983 , 


tralasciando in quest’ultimo secondo membro la settima decimale, di cui non 
si può assicurare l’ esattezza. E perciò, sostituendo questo valore nell’ equa- 
zione [1], sarà 


[26] P= KAd uh! » 0,925983 
e ponendo 4= 1000 
I 
K=0,000000 000367 990 » 37 


come si ha dall’ equazione |2], si otterrà 


4 
Ca P= 2". 0,000340783. 


E se vorremo la forza rappresentata da P espressa in chilogrammi, vale a 
dire se vorremo il numero de’ chilogrammi di materia, i quali in un determi- 
nato luogo hanno un peso uguale a quella forza, indicato un tal numero con 


% 


7 
avremo 


4 
[28] dir = = 0,000340753 COS 


d'g 


dove, come si è già veduto più sopra , le lettere 


FISICA MATEMATICA 47 
A, d esprimono le densità de’ due cubi che si attraggono, 
ò' esprime la densità media del globo terrestre, 
h la lunghezza de’ lati di essi cubi misurata in metri, 
g la velocità che viene acquistata in un minuto secondo sessagesimale da’ 
corpi liberamente cadenti in quel luogo, misurata similmente in metri. 


VI. 


Veniamo ad un esempio numerico. Supponiamo che i due cubi sieno di ferro 
ed abbiano il lato di un centimetro, e che si voglia la forza colla quale si 
attraggono al contatto in conseguenza della gravitazione, espressa questa forza 
in chilogrammi pesati a Parigi. Ammettendo per densità terrestre la media 
aritmetica de’ risultamenti corretti di Cavendish e di Maskelyne, avremo 


AZ #7900 
dò = 7, 800 
OIZERTOÌ 
hiezyn.inî 


g = 9; 8088, 
e però fatte le opportune riduzioni sarà 
[29] X=0,000000 000004 21867, 


vale a dire sarà la ricercata forza uguale a quattro bilionesimi di chilogrammo 
e 21867 centomillesimi di un bilionesimo. 

Paragoniamo questa forza colla effettiva tenacità che questi due cubi mani- 
festano al vicendevole contatto. Egli è noto per le sperienze di Rumford che 
una barra di buon ferro lavorato della sezione di un centimetro quadrato può 
sostenere prima di rompersi un peso di 4470 chilogrammi (1). E a questa 
tenacità è uguale la forza con cui terrebbonsi effettivamente uniti i due cubi 
messi ad esatto combaciamento, vale a dire saldati insieme; giacchè è noto che 
la tenacità di una barra non dipende punto dalla sua lunghezza. Si chiami 
adunque 7’ la forza colla quale si tengono attaccati i due cubi, espressa in 
chilogrammi; avremo 

l'’=4479; 
e fatto paragone con %, sarà 


X:T'::0, 000000 000004 21867 : 4470 


6194: :Wt008 570000 000000 
da cui 
I 
[30] 2 eee eee n'e 
1059 970000 000000 


(1) Venturoli, Meccanica, Milano 1817, Tom. I, pag. 253. 


48 PARTE PRIMA 


donde apparisce chiarissimamente quanto .poca parte avrebbe l'attrazione 
universale nella coesione de’corpi, se questi potessero riguardarsi come formati 
di materia continua. 


VILLE 


Osservazione I. Se i due cubi, in luogo di ferro, si fossero supposti di altra 
sostanza solida più pesante, e la media densità terrestre sì fosse presa quale 
vien data da Playfair, sarebbesi in tal caso ritrovato per X, ossia (ciò che 
torna allo stesso) per P, un valore alquanto maggiore, ed anche otto o dieci 
volte più grande, ma però sempre senza paragone più piccolo della tenacità 
che si manifesterebbe fra quei due cubi insieme saldati. 

Osservazione II. E finalmente queste conclusioni varrebbero se anche i due 
cubi di ferro si fossero assunti assai maggiori, purchè di grandezza non ster- 
minata. Quando per esempio fossero del lato di un decimetro, la loro vicende- 
vole attrazione al contatto, procedente dalla gravitazione, sarebbe di grammi 


0, 000042 1867; 


e quando essi avessero i lati di un metro, questa loro attrazione sarebbe di grammi 
o, 421867. 


Potrebbe nulladimeno in cubi grandissimi l’ effetto della gravitazione essere 
uguale ed anche maggiore della tenacità: perciocchè questo effetto cresce in ra- 
gione delle quarte potenze dei lati dei cubi, mentre la tenacità si aumenta come 
i soli quadrati. Ma, ripetiamo , ciò avrebbe luogo solamente a dimensioni enor- 
mi. Per esempio, trattandosi di due cubi di ferro, avrebbesi l’ uguaglianza 
solo allorquando i lati superassero la lunghezza di trecento mila metri, 
cioè fossero di metri 


ZI55IO, 


Osservazione TTI. La conclusione precedente si può applicare a corpi di 
qualsivoglia forma; vale a dire che in qualsivoglia corpo il quale non sia gran- 
dissimo, quando si riguardi formato di materia continua, non può l’ attrazione 
universale essere ammessa come causa della coesione. Si concepisca infatti. che 
il corpo venga distinto da un piano in due parti, e che a queste venga aggiunta 
altra materia della stessa natura di quella del corpo, in guisa da averne due 
uguali cubi circoscritti ad esse due parti, i quali si combacino in quel piano al 
modo considerato più sopra (num. II). Sarebbe ben piccola la forza con cui 
l’attrazione universale tenderebbe a tenere uniti questi due cubi; ma più pic- 
colo ancora sarebbe I effetto di tale attrazione fra le due parti del corpo; è 
dunque affatto inefficace questa per essere cagione della coesione. 

La densità del corpo l’ abbiamo tacitamente considerata uniforme; s’ ella 
fosse diversa dall’ un punto all’ altro, perchè reggesse la dimostrazione baste- 
rebbe assumere per densità de’ cubi circoscritti la massima densità che abbia 
luogo nel corpo. 


FISICA MATEMATICA 49 
Osservazione IV. Supponiamo che la materia di ciascuno de’ due cubi, con- 
servando la medesima densità e quindi il medesimo volume, prenda la forma 
di una sfera. Quale sarà l attrazione delle due sfere al vicendevole contatto? 
Cominciando a ricercarne il raggio che indicheremo con p, si avrà questo 
dall’ equazione 


4 


3 ch 
da cui 
DIVE 
pet Te) 


Continuando a chiamare A, d le densità, saranno le loro masse espresse 
rispettivamente da 


i Au, he d L. 


E la forza con cuisi attraggono si avrà richiamando quel Teorema di Newton, 
che una sfera omogenea in conseguenza della gravitazione attrae i corpi este- 
riori e n° è attratta precisamente colla medesima forza come se la sua massa 
fosse tutta concentrata nel centro di figura (1). Converrà dunque supporre che 
le due masse sieno concentrate in due punti collocati alla distanza 2; con 
che per misura della cercata attrazione si avrà la quantità 


K.h Au-h3d 
4p° i 


ossia sostituendo in luogo di p il già trovato suo valore, e chiamando S' l’attra- 
zione di cui si tratta, sarà 


Jun K.h° Ad 
Kle() i 


ossia facendo le convenienti riduzioni, 


VI 
S= KMAdW. pie: 


Paragonando questo valore col secondo membro dell’ equazione [26], espri- 
mente l’ attrazione P dei due corpi quando hanno la forma cubica e stanno a 
mutuo combaciamento, avremo 


gl 10909 
P:S::Kh'Aduu- 0,9259838: KASAd LU - VEE 


dalla qual proporzione, tolti i fattori comuni ai due ultimi termini, ed eseguita 
l’ estrazione della radice cubica, si avrà 


[31] P:S:10,925983 : 0, 649629. 


S 


Apparisce di qui che il combaciamento de’ due cubi ha bensì qualche van- 


(1) Princip. Mathem. L. I, Prop. 74. 
Opusc. Matem. e Fisici. n 


fel 


0 PARTE PRIMA 


taggio sopra il semplice contatto delle due sfere, ma è affatto lontano dal 
bastare, come alcuni credettero, a dar ragione dell’ adesione de’ corpi dotati di 
faccie piane e messi con queste a combaciare insieme, nel supposto che altra 
forza attrattiva non vi abbia fra loro che quella della universale gravitazione: 
la maggiore infatti delle due attrazioni non supera nel nostro caso la minore 
nemmeno nella ragione di 3 a 2. 


ARTICOLO SECONDO 


Estensione delle precedenti conseguenze ad altre ipotesi 
sulla costituzione dei corpi, e insufficienza dell’ ipotesi immaginata da Laplace. 


VIII. 


* 


L’ ipotesi della continuità della materia da noi supposta nell’ articolo prece- 
dente non è la più universalmente abbracciata. Una gran parte de’ Fisici am- 
mette con Newton che i corpi sieno formati dall’ unione di minime particelle 
estese, figurate, solide, e, per le attuali forze della natura, incorruttibili; e tiene 
che queste non si trovino già a mutuo contatto, ma che per l’azione del calori- 
co si mantengano a qualche distanza le une dalle altre, distanza però non molto 
grande a paragone de’ loro diametri. Altri e segnatamente il celebre Laplace, 
onde agevolare la spiegazione di alcuni fenomeni e in ispecie di quello appunto 
della coesione de’ corpi, ammettono essi pure la materia siccome formata da 
così fatte molecole, ma però reputano queste situate a distanze incomparabil- 
mente maggiori dei loro diametri. Altri finalmente suppongono che la materia sia 
nei corpi in continua comunicazione fra se, lasciando però moltissimi intervalli 
vacui; talchè non si abbiano già particelle disseminate nel vacuo, ma piuttosto 
de vacui disseminati nello spazio pieno. Noi esamineremo separatamente queste 
tre diverse ipotesi, procurando di estendere a ciascuna la già dimostrata con- 
clusione della incapacità della gravitazione ad essere causa della coesione dei 
corpi; e cominceremo dalla prima, cioè dalla ipotesi atomistica più comune. 

Immaginiamo che si abbia un corpo omogeneo cristallizzato, nel quale le 
molecole integranti, supposte di forma parallelepipeda, sieno disposte in tanti 
strati paralleli e in guisa che quelle di uno strato stiano a fronte una per una 
con quelle dello strato sottoposto, rimanendo però fra l’ una molecola e 1’ altra 
de’ piccoli intervalli. Nella quale supposizione nulla vi ha che non sia consen- 
taneo alle dottrine sulla struttura dei corpi cristallizzati. Giacchè secondo 
Haiiy o le molecole dei corpi sono di forma parallelepipeda, o si trovano nei 
cristalli per cotal modo disposte da poterle distinguere in tanti gruppi paralle- 
lepipedi (1), e questi parallelepipedi o semplici o composti sono collocati paral- 


(1) Iaiiy, Traite de Physique, Paris 1821, $ 133. 


FISICA MATEMATICA 5I 


lelamente gli uni agli altri e in guisa da formare tanti strati piani e paralleli 
secondo ciascuna delle tre direzioni delle facce di uno de’ parallelepipedi me- 
desimi. Il supposto corpo cristallizzato poi immaginiamolo tagliato di tal ma- 
niera che ne risulti un prisma retto a basi quadrate parallele alle superficie 
che separano gli strati, con un'altezza doppia de’lati delle basi, e tale che 
diviso in due uguali cubi, riesca il piano di separazione nel mezzo appunto di 
due strati vicini. Che se nel tagliare le facce laterali alcune particelle dovesse- 
ro venir segate, queste si levino fuori, e si lasci pure che manchi qualche cosa 
alla rigorosa perfezione delle facce medesime. 

Chiamiamo 

A la densità effettiva del prisma, cioè quella che si ottiene paragonando la 
massa di esso con quella di un ugual volume d’acqua distillata presa al suo 
massimo di densità ; 

2h V altezza del prisma medesimo; 

« il rapporto dello spazio occupato dai vacui a quello occupato dalla materia 
delle particelle, talchè quello spazio sia a questo come «: 1; 

Y il valore in chilogrammi della forza colla quale si attraggono a vicenda, in 
virtù della gravitazione, i due cubi in cui abbiamo supposto divisibile il prisma; 

(1+ 6) il rapporto secondo cui verrebbe ad aumentarsi questa attrazione de’ 
due cubi, quando gli spazii vacui del prisma venissero riempiuti con altrettanta 
materia della stessa natura e densità di quella che costituisce le particelle; sia 
cioè la nuova attrazione aumentata espressa da 


(1+6)V. 


Procuriamo di assegnare all’ attrazione effettiva 7” un limite, del quale ella sia 
necessariamente minore. 

Venendo per mezzo del riempimento de’ vacui aumentata la materia del 
prisma in maniera che la nuova total massa è alla primitiva come (1+@) ad 1, 
ne segue che la nuova densità de’due cubi, cioè quella dopo un tale riempimento, è 


(1+a)A. 


Ora se noi richiamiamo i calcoli precedenti, e riflettiamo che l’ attrazione fra 
due cubi di materia continua ed omogenea della densità 


(1+4)A, 
e co lati della lunghezza 4, è misurata in chilogrammi (equazione [28]) dalla 
espressione 
2 4 
0, 000340753 è e La ' 
dg 
e facciamo questa uguale a 


(1+6)F, 


avremo per determinare Z” l’ equazione 


59 PARTE PRIMA 


® 4 
(1+ 6)Y=0, 000340753 » i ra A h 


da cui 
n ] AA (1+4) 
[32] } e 0, 000340753 o Ig . A+ 6) 
La quale equazione attesa la somma piccolezza della quantità 
AA 


0, 000340753 - Edi 


resa ancora minore dal divisore (1 + 6), e non guari aumentata dal fattore 
(1+@), il quale in questa prima ipotesi sulla costituzione dei corpi non ha 
un valore molto grande, ci mostra che l’attrazione indicata da /7 è piccolissima 
e trascurabile in confronto della tenacità che si manifesta fra le due parti del 
prisma. Ma ciò diverrà più evidente con un esempio. 


Saggi —DEOTE 
Alga 
prendendo per esempio il carbonato di calce cristallizzato (1), siccome quello 


che assai facilmente si può dividere in lamine parallèle. Noi avremo, ammessa 
la densità terrestre = 5, 01, e fatta g= 9, 8088, 


AA _ 0,000340753 (0,01)f(2,7182) 
i, re ee a 
0, 000340753 Ve — 5,01 X 9g, 8088 


=0,000000 000000 512329 
e però 


2 
Y =0,000000 000000 512329 - Ta ; 


dove si scorge chiaramente, che se la @ non è grandissima, l’ attrazione di cui 
si tratta non è che una piccolissima frazione di un chilogrammo, anzi di un 
milligrammo che ne è la milionesima parte, e però è affatto incapace a dare 
origine alla coesione con cui stanno ‘uniti i due pezzi cubici di carbonato * 
calcare costituenti il prisma retto. 

Osservazione. Affinchè la quantità 


0,000000 000000 512329 (1 + 4) 


arrivi ad essere uguale a , deve aversi 


1000 
I 


Ue == === ili 44179 


V0,000000 000512 329 


cioè lo spazio occupato dai pori dev’ essere 44179 volte più grande di quello 


(1) Haiy, Mineralogie, Tom. I, pag, 241, ediz. 1822. 


FISICA MATEMATICA 53 


occupato dalla materia. Nè con ciò arriverebbe ancora l’attrazione de’ due cubi 
ad uguagliare un grammo, dovendo la suddetta quantità 


0, 000000 000000 512329 (1 +4) 


venir divisa per (1-+-6); il qual divisore è certamente assai grande, non potendo 
l’attrazione che crescere moltissimo a cagione di un cotanto aumento nella 
densità. i 


IX. 


Procuriamo, per una maggiore generalità, di estendere la conclusione al caso 
di una disposizione di molecole meno regolare di quella ora supposta, al caso 
cioè che esse molecole, riguardate ancora come separate le une dalle altre, però 
a distanze non molto grandi a paragone de’ loro diametri, non formino degli 
strati piani e paralleli, ma si insinuino le une fra le altre di tale maniera, che 
volendo condurvi di mezzo una superficie la quale divida in due parti il corpo 
senza segare veruna di esse, debba questa essere curva e presentare una specie 
di ondeggiamento come mostra la figura 2. Il quale caso è certamente assai 
meritevole di considerazione, sì perchè questo si può considerare come lo stato 
più comune dei corpi non cristallizzati, e sì ancora perchè da alcuni si attribui- 
sce molto effetto a questa vicendevole inserzione o intrecciamento di particelle. 

Abbiasi pertanto un piccolo corpo M (fig. 2) della forma di un prisma retto 
a basi quadrate la cui altezza però ora non stabiliamo , e il quale si trovi nella 
condizione accennata. Immaginiamovi condotta a traverso una superficie che 
il separi in due parti 

A e B, 
senza segare nessuna delle molecole, anzi tenendosi alcun poco discosta dal- 
l'assoluto contatto con esse, il che potrà facilmente aver luogo per mezzo di 
un opportuno incurvamento che abbia essa superficie. 

Concepiamo che coll’aggiungere a queste due parti di prisma 4 e £ un’op- 
portuna quantità di materia della stessa densità delle particelle, la quale 
riempia gli interni spazii voti di esse due parti e le ricopra esteriormente 
ove occorra, si venga a ridurre ciascuna di cotali due parti a un solido 
risolubile in tanti prismi retti aventi gli spigoli laterali o longitudinali tutti 
paralleli fra loro e agli spigoli laterali del prisma primitivo M, combacian- 
tisi fra loro lateralmente, e ne’ quali le ‘basi situate dalla banda dove i due 
pezzi sono stati divisi sieno qual più sporgente e quale meno, essendo poi 
queste diverse basi o uguali o disuguali dall’uno all’altro piccolo prisma come 
più torni comodo, Sieno questi due nuovi solidi che noi indicheremo con 


140 B' 


appena sufficienti a comprendere in se le nominate parti 4 e 8, non superan- 
dole sensibilmente di volume, nè arrivando nè l’un nè l’altro fino alla superficie 
curva dividente. 


54 PARTE PRIMA 


Chiamisi come poco sopra 

A la densità di esse parti 4 e B, ossia più precisamente il rapporto della 
massa dell’una e dell’altra di esse alla massa dell’acqua che capirebbe nel 
volume del rispettivo circoscritto aggregato di prismi; e potrà facilmente aversi 
in entrambe queste parti 47 e 2 la densità medesima, bastando allungare all’oc- 
correnza alcun poco i piccoli prismi circoscritti alla parte più densa da quella 
estremità che serve per una delle basi al corpo M. Si chiami 

(1 +) il rapporto dello spazio occupato da ciascuno di tali aggregati di 
prismi allo spazio occupato dalla materia delle particelle che in esso si conte- 
nevano prima del riempimento de’ vacui, talchè sia 

(1+a)A sì la densità de’ due solidi 4/, 5, come anche quella delle molecole 
componenti il corpo M. 

Si concepisca che tutti i prismi appartenenti ad .4' si ritirino a livello di 
quello fra essi che è il meno sporgente verso 2”, o la cui base rivolta a questo 
ultimo è situata più indentro degli altri: con che tutte le basi rivolte verso £' 
verranno a disporsi in una superficie piana perpendicolare ai lati dei piccoli 
prismi medesimi. E invece i prismi del solido 8’ si suppongano prolungati 
verso 4’ per mezzo di un’ aggiunta di materia simile alla loro, tanto da venire 
in contatto colla nuova superficie di 4’. E si chiamino rispettivamente 


HI II 
4, B 


i due solidi 4’ e 2’ così cangiati di figura. 

Ciò premesso si chiami 

Y la forza con cui in virtù della gravitazione si attraggono i due solidi 4 e 8 
parallelamente agli spigoli laterali de’ prismi, supposta espressa questa forza in 
chilogrammi; 

U, IV le forze con cui si attraggono i due solidi medesimi, secondo due altri 
assi ortogonali, espresse similmente in chilogrammi; 

V?, U', W' le tre analoghe forze riguardo ad 4', B'; 

V", U", I" quelle rispetto ad 4”, B”. 

Tenendo conto delle sole /7, /?, Y?”, noi considereremo primieramente la 
relazione che esiste fra Z7 e /7, quindi la relazione fra 7” e /”, finalmente la 
grandezza assoluta di 7’; dal che potremo trarre qualche cognizione sulla 
grandezza di Y. 

In primo luogo adunque essendo la quantità di materia de’ solidi 4’, 2' 
quella medesima che compone i solidi 4 e 8 coll’ aggiunta di quella che ha 
riempiuto i vani, egli è evidente che sarà 


In 
ossia che si avrà 


V'=(1+6)V, 


essendo 6 una quantità positiva. Ogni piccola porzione in fatti della materia 
che si aggiunge al solido 4 all'oggetto di ridurlo alla forma A4' è evidente- 


FISICA "MATEMATICA 55 


mente attratta dal solido 8 di tale maniera che decomposta P’ attrazione in tre 
forze analoghe alle 77, U, 7, la componente analoga alla 7” opera secondo il 
medesimo verso di questa, tende cioè anch’ essa a far muovere i due solidi 
4 e B lun contro l’altro e non nella direzione contraria: perciocchè noi non 
consideriamo qui que’ modi stravaganti di disposizione di molecole ne? quali 
per avventura potesse aver luogo qualche eccezione, potesse cioè qualche por- 
zione della materia aggiunta ad 4 essere attratta con tale energia da quelle 
molecole di 58 le quali maggiormente sporgono e si insinuano fra i piccoli pri- 
smi di 4, da dare la componente analoga alla 77 diretta in verso contrario 
alla 77 medesima; questo caso verrà compreso nelle dimostrazioni che dare- 
mo nel terzo articolo. Ogni porzione poi della materia che si aggiunge a £ 
onde ridurlo alla forma 5’ serve evidentemente e in ogni caso ad aumentare 
quella componente dell’ attrazione fra 4’ e 8 la quale opera secondo il verso 
stesso della /7. 

Paragonando in seguito fra loro le 7”, 7’, noi non veggiamo in vero chia- 
ramente se si abbia 7” maggiore o minore di /', ma però possiamo dimostrare 
che sicuramente sì ha 


pasta. 


Il che apparirà esaminando separatamente le variazioni di attrazione che hanno 
luogo ne’ diversi casi fra i piccoli prismi di 4’ e quelli di 2’, nel passaggio di 
questi 4’, £' alla forma 4”, B". 

a) Può avvenire per un primo caso che un prisma a/ (fig. 3) appartenente 
ad 4’, e un prisma dr appartenente a 5’, posti l’ uno rispetto all’ altro come 
mostra la figura, passino alle posizioni @'?', 0/7", rimanendo il secondo al suo 
posto, e ritirandosi il primo fino a che le due basi «, 72 siano in uno stesso pia- 
no, nelle posizioni 4’, 2’. In questo caso chiamata 9’ l’ attrazione primitiva dei 
prismi secondo i loro spigoli laterali, 9 quella che ha luogo di poi, si ha 


OI. 
Perciocchè segato 42 in & col piano prolungato della base r dell’ altro pri- 
sma dr, e similmente segato dr in n col prolungamento della base «, noi po- 
tremo riguardare l’ attrazione v" come uguale alla somma di altre due attra- 
zioni, l’ una della parte di prisma 272 con tutto il prisma 42, la quale è minore 
evidentemente di 0”; l’ altra della parte mr verso 2 (non essendovi veruna 


attrazione fra «& ed mr parallelamente ai suddetti spigoli de’ prismi), e questa 
è pur minore di v”; dunque sommando sarà 


DIVO 


5) Può avvenire che due prismi «2, dr situati l’ uno rispetto all’ altro come 
i precedenti, col ritirarsi di «2 prendano l'uno per riguardo all’ altro le posi- 
zioni «'l’, b'n' (fig. 4), e quindi il secondo si prolunghi sino in p', essendo que- 
sta nuova base p’ situata nel prolungamento della «. Ora chiamate anche 


56 PARTE PRIMA 


qui v/, e! le due attrazioni che hanno luogo prima e dopo fra i due prismi 
parallelamente agli spigoli laterali, e segati 42 in A, n in m come precedente- 
mente, avremo ancora la v' composta di due parti; la prima fra Dm ed 42, e 
questa minore di v”; la seconda fra mr e kZ, e questa pure minore di v”. 
E però sarà tuttavia 


oil 


c) Può in terzo luogo accadere che essendo le basi a, n in un medesimo 
piano, si ritiri il prisma 4 in guisa che ne risulti la posizione rispettiva a'2", 0'r' 
(fig. 5), e quindi si estenda il 0‘, sino in p' situato nel piano prolungato della a’. 
Continuando a ritenere le denominazioni precedenti, avremo evidentemente 
v<v",e a maggior ragione 


Dod 1° 


d) Può accadere che la base a, trovandosi già al di sotto della base 7. (fig. 6), 
rimanga a suo luogo, e soltanto si estenda il prisma &r. sino al piano di cotal 
base a. In tal caso avremo ancora evidentemente v'< 9”, e quindi altresì 


ATI 
e) In fine può avvenire che i due prismi a/, dr dalle posizioni che si veg- 
gono indicate nella fig. 7, dove il dr trovasi, come qui sopra, lontano dal piano 
della base 4, passino alle posizioni @'/, 0‘, nelle quali la distanza fra quel 
piano e quel prisma sia ancor maggiore, e che quindi il 2/7 si estenda fino in 
p' situato sul detto piano prolungato della base a’. Anche qui sarà g/'<w", 
e però 


via wi 


Paragonando adunque tutte le attrazioni che hanno luogo fra i prismi di 4' 
e quelli di £', colle attrazioni de’ prismi di 4’ con quelli di 8”, noi troviamo 
che ciascuna di quelle è minore del doppio della corrispondente di queste. 
Perciò chiamando = 
2 v' la somma delle prime 


X 0" la somma delle seconde 
si ha 
DA E IA 


Ma Sp 0, Eee perciò 


VIAN = e af AL, 
ossia 
i ga p!, 
1 Ei ng a, 
Lea” 


essendo y una quantità positiva. 


FISICA MATEMATICA 5” 


Per trovare un numero del quale il valore di 7” sia minore, gioverà che il 
corpo primitivo dalla cui divisione si hanno le due parti 4 e 8, venga preso di 
tale altezza (sulla quale altezza il lettore rammenterà non essersi nulla finora 
stabilito) che il più lungo prisma del solido 4” e i prismi del B'" non supe- 
rino in lunghezza ilati delle basi quadrate del corpo stesso. Con ciò si avrà 7/7” 
minore dell’attrazione fra due cubi, le cui facce uguaglino le basi quadrate 
del corpo primitivo, e la cui densità sia quella di 4”, 8"; vale a dire, in- 
dicando con % la forza con cui si attraggono cotali cubi posti a combacia- 
mento, slavrà 

pp! < vi 
ossia 


|A ct sly 


LEE 


essendo e una quantità positiva. 
Sostituendo ora opportunamente i ritrovati valori, avremo 

I 
Die V! 
1+0 


2 "I 
RC IRR ln OS PIRO REI VI) 
once 0) (ee 7)(1 +8) 
e infine, sostituendo il valore di % dato dall’equazione [28], e ponendo (1-+-a)A 
sì in luogo di A che in luogo di è, avremo 
A?°hi(1+a) 
d'g I) 


Sami CESSI] CEST] CET) 


indicandosi anche qui con 4 la lunghezza dei lati della base del prisma. 
Ma abbiamo già veduto precedentemente (num. VIII) che la quantità 


A?h' (1+ a) 
d'g 


* 0,000340753 - 


0, 000340753 » ; 
quando non sia molto grande la & e si prenda piccola la 4, è diun valore estrema- 
mente piccolo; perciò sarà piccolissimo in questi casi anche il suo doppio, cioè 


A?h4(1 + a) 
pr at pod ’ 


e questo diverrà ancor minore se si dividerà per (1 +6)-(1+y)-(1+ e), 
talchè sarà tenuissima l’ attrazione effettiva 77. 

Però se anche si prendesse « sì grande da avere di qualche sensibile gran- 
dezza la quantità suddetta 


2. 0, 000340753 - 


2 - 0, 000340753 - 


2 


A? hi(1 + a) 
d'g 


Opusc. Matem. e Fisici. 8 


58 PARTE PREMA 
se si ponesse, per es., 4 = 30000, ovvero “= 40000, non perciò potrebbesi 
ancora asserire che in questo caso fosse sensibile la 7 poichè insieme al grande 
aumento di densità che avrebbe luogo in 4 e in # nel loro ridursi ad 4', 8’, 
si produrrebbe altresì fra le medesime parti 4 e B un grande aumento di attra- 
zione, e però avrebbe un grande valore anche il divisore (1+-6). 

Per rischiarare la cosa con un esempio, cerchiamo qual dovrebbe essere il 
valore di @, affinchè in un prisma quadrato di ferro co’ lati delle basi lunghi 
un centimetro, e formato internamente secondo l’ ipotesi che consideriamo , 
si abbia 


27,4 2 
2 + 0;000340753 - __._. 
te] 


uguale all’ effettiva tenacità di questo prisma, cioè a 4470 chilogrammi. Fatto 


2 + 0,000340753 » go = 4479 


e posto d'= 5,01, g=9,8088, A=7,800, A=0,01, avremo 


4470 d' g 


E 000 


n 529 788000 000000 
e prossimamente 
a 23 000000. 


Dovrebbe adunque esservi ventitre milioni più di voto che di pieno; nè questo 
basterebbe ancora affinchè la tenacità potesse dipendere dalla gravitazione, 
specialmente in conseguenza del divisore (1+-6) di cui abbiamo già parlato. 

Rimane adunque provata la nostra tesi anche per questa maniera di disposi 
zione delle particelle, nella quale essendo esse staccate ma non lontanissime, 
non si trovano unite regolarmente. 

Osservazione I. Nella precedente dimostrazione noi abbiamo cercato di va- 
lutare la forza necessaria a separare l’ uno dall’ altro due aggregati di molecole 
materiali uniti dalla gravitazione in un modo poco regolare, nel supposto che 
in questa separazione debbano cotali molecole rimanere intatte o senza rottura. 
Questa condizione ha fatto sì che la dimostrazione risultasse alquanto lunga ; 
ima noi avremo occasione di trarne ancora partito fra poco nell’ esame dell’ipo- 
tesi di Laplace. i 

Nel caso però che chi adotta l’identità dell’attrazione molecolare coll’astrono- 
mica, ammetta altresì che le molecole de’ corpi (supposte estese e occupanti uno 
spazio che non sia incomparabilmente più piccolo della somma degli spazii vani) 
abbiano le proprie parti collegate fra se in forza della medesima gravitazione, in 
tale caso è opera assai facile il dimostrare impossibile la suddetta identità, qua- 
lunque si supponga essere la disposizione di esse molecole. Basta a quest’ uopo 


FISICA: MATEMATICA 59 


. 


l’immaginare che un corpo solido di esse formato venga tagliato in due parti 
mediante un piano, il quale seghi anche molte delle molecole. Coll’immaginare 
in fatti che sieno riempiuti d’altra simile materia gli intervalli voti che si 
trovano fra le diverse molecole, si può agevolmente dimostrare piccolissima la 
forza colla quale sì terrebbero unite luna all’ altra le due parti in grazia della 
gravitazione, e piccolissimo lo sforzo necessario a separarle 1’ una dall’ altra 
quantunque questa separazione esiga che vengano divise molte molecole, e più 
piccolo ancora lo sforzo occorrente a rompere il corpo nelle naturali separa- 
zioni fra molecola e molecola se mai questa maniera di rottura presentasse 
minore diflicoltà. 

Chi poi ammettesse che le molecole stiano unite in se stesse per una forza 
differente dalla gravitazione la quale tenga insieme legate le parti di ciascuna 
molecola, perchè ricuserebbe di ammettere che questa forza operi anche fuori 
dell’ assoluto contatto e sia causa del vicendevole legame delle molecole di 
ciascun corpo solido? 

Osservazione II. Si presenta qui un’ altra ipotesi, la quale consisterebbe nel 
considerare le particelle de’ corpi come inserite e collegate le une colle altre 
in guisa che nessuna di esse potesse esser cavata fuori dalle sue vicine senza 
scomporne l’ unione. Di questa parleremo nell’ articolo seguente al num. XII. 
Ora passeremo ad esaminare l’ ipotesi di Laplace. 


X. 


Ma se le molecole dei corpi fossero situate a distanze incomparabilmente 
maggiori de’ loro diametri, essendo in contraccambio densissime, di maniera che 
il totale volume del corpo non fosse già 50000 nè 100000 le) maggiore dello 
spazio occupato dalla semplice materia, ma bensì milioni od anche bilioni di 
volte, in qual modo andrebbe la cosa? Avverrebbe egli mai che quando nel 
valore di /” dell’ equazione [32] andasse successivamente crescendo la &, più 
rapidamente si aumentasse il numeratore (1-+@)? che non il denominatore 
(1+ 6), talchè a valori di @ grandissimi la 77 avesse valori sensibili? Tale è il 
sospetto che in altra maniera conceputo venne in pensiero al celebre matema- 
tico Laplace. Dubitò egli che quando le particelle stessero collocate a distanze 
immensamente maggiori dei diametri, potessero i corpi recati al contatto 
attraersi per la gravitazione con una forza di gran lunga più grande che ‘a di- 
stanze appena sensibili, di modo che da una medesima causa dipendessero e i 
fenomeni astronomici e i molecolari. Ecco le sue parole (1). « La force attrac- 


(1) Exposition du Système du Monde, Livre IV, Chap. xv, édit. de l’an IV. Veggasi ezian- 
dio l'edizione del 1815 a pag. 356, ove è riprodotta in più brevi termini la medesima idea. 
E però da notarsi che nell'edizione del 1824, pag. 385 e 384 il celebre autore si esprime a 
questo riguardo in un modo più circospetto, e di questa ipotesi ch’ egli aveva immaginato per 
conciliare le due attrazioni, non fa più parola. 


«( 


60 PARTE PRIMA 
tive disparait entre les corps d’ une grandeur peu considérable; elle reparait 
dans leurs élémens sous une infinité de formes différentes. La solidité des 
corps, leur cristallisation, la réfraction de la lumière, l’élévation et l'abais- 
sement des fluides dans les tubes capillaires, et généralement toutes les 
combinaisons chimiques, sont les résultats de forces attractives dont la con- 
naissance est un des principaux objets de la physique. Ces forces sont-elles la 
gravitation méme observée dans les espaces célestes et modifiée sur la terre 
par la figure des molécules intégrantes? Pour admettre cette hypothèse il 
faut supposer beaucoup plus de vide que de plein dans les corps; ensorte que 
la densité des molécules soit incomparablement plus grande que la densité 
moyenne de leur ensemble. Une molécule sphérique d’un cent milliéme de 
pied de diamètre, devrait avoir une densité an moins dix mille milliards de 
fois plus grande que la moyenne densité de la terre, pour exercer à sa sur- 
face une attraction égale à la pesanteur terrestre; or les forces attractives des 
corps surpassent considérablement cette pesanteur, puisque elles infléchissent 
visiblement la lumière, dont la direction n° est pas changée sensiblement par 
l’ attraction de la terre; la densité de ces molécules serait donc è celle des 
corps dans un rapport de grandeur dont l’ imagination est effrayée, si leurs 
affinités dépendaient de la loi de la pesanteur universelle. Le rapport des inter- 
valles qui séparent ces molécules, à leurs dimensions respectives, serait du 
méme ordre, que relativement aux étoiles qui forment une nébuleuse, que l'on 
pourrait , sous ce point de vue, considérer comme un grand corps lumineux. 
Au reste rien n’empéche d’adopter cette manière d’envisager tous les corps; 
plusieurs phénomènes, et entre autres l’extrème facilité avec laquelle la lu- 
mière traverse dans tous les sens les corps diaphanes, lui sont favorables. 
Les affinités dépendraient alors dela forme des molécules intégrantes, et l’on 
pourrait par la variété de ces formes, expliquer toute la variété des forces 
attractives, et ramener ainsi à une seule loi générale, tous les phénomènes de 
la physique et de l’ astronomie. Mais l’ impossibilité de connaître les figures 
des molécules, rend ces recherches inutiles à l’ avancement des sciences. 
Quelques géomètres, pour rendre raison des affinités, ont ajouté à la loi de 
l’ attraction réciproque au carré des distances, de nouveaux termes qui ne 
sont sensibles qu’ à des distances très-petites; mais ces termes seraient 1’ ex- 
pression d’autant de forces differentes; en se compliquant d’ailleurs avec 
la figure des molécules, ils ne feraient que compliquer l’ explication des phé- 
nomènes. Au milieu de ces incertitudes, le parti le plus sage est de s’attacher 
à déterminer par de nombreuses experiences, les lois des affinités,...... » 

Ella è certamente acuta una tale riflessione o ipotesi del signor Laplace, e 


venne da molti Fisici accolta assai favorevolmente (1). Ed io pure non sarei 


(1) Traité de Physique par M. Hay, 1831, Tom. I, $ 86; Traité de Cristallographie dello 


stesso autore, 1822, Tom. I, pag. 248. 


FISICA MATEMATICA GI 
schivo dall’ accettarla come un'ipotesi felicissima, nè porrei difficoltà al 
ammettere una rarità sì enorme nel tessuto de’ corpi, quando per mezzo di 
questa vedessi potere conciliarsi in una sola, con mirabile semplicità della 
natura, le due diverse attrazioni. Ma esaminando la cosa davvicino io vi 
trovo delle gravi difficoltà; e per dirla in breve io reputo questa ipotesi del 
tutto inutile allo scopo proposto: il che io mi proverò primieramente di di- 
mostrare per un caso particolare, procurando poscia di venire a una maggiore 
generalità. 

Si ammetta adunque come possibile (col soccorso a cagion d’ esempio del- 
l’azione ripulsiva del calorico) che le particelle materiali sieno situate a cotanta 
vicendevole distanza come suppone Laplace. E per un caso particolare si con- 
cepisca uno spazio prismatico retto a basi quadrate con un’ altezza doppia dei 
lati delle basi, il quale perciò si possa distinguere in due sppali cubici eguali; 
questo si immagini diviso in tante minime ila cubiche; e ne’ punti di mezzo 
di queste si suppongano avere i loro centri altrettante minime ma densissime 
particelle sferiche simili fra loro in tutto, ed aventi i diametri incomparabil- 
mente minori delle vicendevoli distanze da centro a centro, ossia dei lati delle 
cellette suddette. E sieno sollecitate le une verso le altre dalla gravitazione, 
attraendosi vicendevolmente con quella forza che è voluta dalle loro masse e 
dalle vicendevoli distanze. Noi cercheremo di misurare approssimativamente, 
con quanta forza totale attraggono l’uno coll’altro i due aggregati di molecole 
esistenti nelle due parti cubiche in cui lo spazio prismatico suddetto si può 
distinguere, onde vedere se tale forza possa tenere sì fattamente legate quelle 
particelle da formarne un corpo simile ai corpi solidi della natura. 

Chiamiamo 

VY questa attrazione che si ricerca, espressa in chilogrammi; 

h la langhezza dei lati delle basi del prisma, che è anche quella dei lati 
de’ due cubi; la quale lunghezza noi supponiamo piccola per es. non maggiore 
di due o tre centimetri; 

A la densità media del prisma. 

Ciò posto concepiamo che ciascuna particella contenuta nel prisma, senza 
cangiare di massa ma rendendosi opportunamente men densa, si accresca di 
volume fino a divenire una sfera che tocchi le facce della piccolissima celletta 
cubica ove è rinchiusa. Per quello che è stato dimostrato da Newton (1), non 
si cangerà punto l’ attrazione vicendevole di queste particelle, e la forza totale 
con cui quelle contenute nell’ uno de’ due spazii cubici attraggono quelle del- 
l’altro, non si troverà alterata, e verrà ancora misurata da . Giacchè tale forza, 
tanto nello stato primitivo delle molecole quanto nello stato posteriore, è quella 
medesima che avrebbe luogo se le masse di esse particelle si trovassero con- 
centrate nei loro centri di figura. 


(1) Si vegga più sopra al num. VII, Osserv. IV. 


62 PARTE PRIMA 

Noi passiamo adunque, mediante questa supposizione, dalla ipotesi di Laplace 
di una immensa piccolezza e distanza delle molecole, a un’ altra di tante sferet- 
te a mutuo contatto, senza avere alcuna diversità di attrazione. Rimangono 
però ancora fra queste degli intervalli, i quali, per venire al caso di due cubi 
omogenei, conviene immaginar riempiuti. Chiamiamo pertanto 


(1+ 4) 


il numero delle volte che lo spazio totale contiene quello occupato dalla sola 
materia delle sfere; e sia 


r:(1+6) 


il rapporto secondo cui cresce l’ attrazione delle due masse contenute ne’ due 
spazii cubici per quel riempimento di vacui supposto fatto con materia della 
medesima densità delle sfere. Avremo da un late 


(1+a):1::8:47 


essendo 7 la semicirconferenza di raggio 1, e però 


6 


(1+a)=3; 


e la quantità di materia contenuta ne’ due spazii cubici dopo il riempimento 
sarà a quella che v'era prima come 


(1+a):1, 
ossia come 
Der 
e 
e la densità sarà divenuta 
6A 
Ke 


Da un altro canto la nuova attrazione sarà 
( Hier 6) hi 


e questa avendo luogo fra due cubi uguali omogenei a mutuo combaciamento , 
sarà misurata in chilogrammi (vedi l’ equazione [28]) dall’ espressione 


36 7 
0, 000340753 + A FIR 
Perciò avremo 

77 23.0 0003 409981 36- Ahi 


t'd'g(1+ 6) 


FISICA MATEMATICA 63 


Ma nel secondo membro di questa equazione il fattore 


0, 000340753 » A°h'. sa 
5 

per le cose già vedute superiormente è piccolissimo; nè punto divien sensibile 
coll’ essere moltiplicato per bi che è quantità minore di 4; e poscia torna a 
diminuire nel venir diviso per (1 + 6). Dunque noi possiamo conchiudere che 
la /” è quantità piccolissima ed immensamente minore della tenacità che si 
manifesta in un corpo solido avente quella forma prismatica; e che in questo 
caso particolare l’ ipotesi di Laplace è del tutto ineflicace. 

Abbiano ora queste molecole una disposizione comunque diversa dalla prece- 
dente, essendo però sempre uguali fra toro e di forma sferica e collocate a distanze 
incomparabilmente maggiori de’ diametri Se è tale questa loro disposizione che, 
crescendo tutte ugualmente di volume fino a toccarsi senza mutare nè la forina 
sferica nè i luoghi de’ loro centri, non laseino negli intervalli che ancora ri- 
mangono dopo l’ ingrandimento fra l'una e l’altra, una parte di spazio vota 
immensamente maggiore della parte piena, anche in questo caso l’ ipotesi di 
Laplace è insufficiente. 

Si concepisca in fatti che un corpo, composto di particelle a un cotal 
modo disposte, abbia una forma prismatica a basi quadrate, con un’ altezza 
leggiermente minore del doppio de’ lati delle basi. Vi si immagini condotto 
attraverso un piano perpendicolare ai lati che il distingua in due parti 
d’uguale altezza. Si considerino raccolte insieme in un sol corpo tutte le 
particelle che hanno i centri dall'una banda rispetto a quel piano, e raccolte 
similmente insieme in un secondo aggregato quelle che hanno i centri dall’ altra 
banda, supponendo unite o alle prime o alle seconde, come più aggrada, quelle 
che per avventura avessero i centri nel piano dividente; però o tutte unite alle 
prime o tutte alle seconde e non già parte alle une e parte alle altre ; e questi 
due aggregati si chiamino 


A, B. 


Si supponga quindi che stando co’ centri ai loro posti e non variando di 
massa, creseano tali particelle di volume fino a che sieno vicinissime a toccarsi, 
non mancando a ciò, per un esempio, che l’aumento d’un milionesimo o d’un 
bilionesimo del volume a cui sono giunte; tanto che fra i due aggregati si possa 
condurre una superficie o piana o ondeggiata che non le tocchi. E si chiamino 
questi due nuovi aggregati 


A, B'. 


Egli è chiaro, pe’ Teoremi di Newton, che questi due solidi 4’, B', si attrar- 
ranno colla medesima forza de’ due 4, 5; di maniera che noi potremo appli- 
care all’ attrazione vicendevole di questi le conclusioni che troveremo per ri- 


64 PARTE PRIMA 


guardo all’attrazione di quelli. Ma per poco che si rifletta, si scorgerà che 
i due solidi 4°, B' sono nelle stessissime circostanze di quelli contemplati al 
num. IX; e che immaginandovi circoscritti de’ minimi prismi, e ripetendo 
anche pel caso presente i medesimi ragionamenti, si arriverà alle stesse  con- 
clusioni, cioè che fra 4’ e 2' dee per la gravitazione esercitarsi un’ attrazione 
debolissima. Sarà dunque piccolissima anche l’ attrazione fra 4 e B; e se più 
poderosa forza non si oppone, basterà un piccolissimo sforzo a disgiungerli; e 
però la gravitazione non sarà atta a produrre la coesione nel corpo proposto. 

Osserverò qui di passaggio che a queste sferette si possono riferire i punti 
inestesi, dei quali, riguardati come tante sedi di forze, credeva Boscovich costi- 
tuita la materia (1). Giacchè supponendo che le masse di questi atomî si esten- 
dessero e si diffondessero nello spazio di altrettante sferette intorno ad essi 
come a centri descritte, la loro vicendevole attrazione dipendente dalla gravita- 
zione non si altererebbe punto. Per conseguenza anche nell’ipotesi di Boscovich, 
la gravitazione non potrebbe dar origine alla coesione. Ma a dire il vero non 
si accontentava neppur egli della gravitazione, ed anzichè di troppa semplicità, 
egli peccò piuttosto per una superflua moltiplicità di forze attrattive e ripul- 
sive, le quali secondo lui vanno alternativamente succedendosi ora dell’ una 
specie ed ora dell’ altra, a proporzione che si passa a luoghi più e più lontani 
dai singoli atomi materiali. 

Tornando all’ipotesi di Laplace ci rimane da ultimo a considerare il caso 
che le molecole sieno d’ una forma diversa dalla sferica. Abbiano esse pertanto 
una forma qualsivoglia, ed anche, per una maggiore generalità, non sieno, se 
piace, uniformemente dense in tutte le loro parti nè simili fra loro di forma; 
solamente sieno tutte uguali fra loro nella massa e a distanze incomparabil- 
mente maggiori dei diametri. E si supponga che un corpo di esse formato ed 
avente la stessa forma prismatica come nel caso precedente, venga da un piano 
parallelo alle basi e condotto attraverso e per mezzo al prisma, distinto in due 


arti 
Ì Ae B, 


l'una formata dall’aggregato di tutte le particelle che hanno il centro di massa, o 
come suol dirsi di gravità, situato dall’una banda del piano, l’altra dall’ aggre- 
gato di quelle che hanno un tal centro dalla banda opposta, supponendo unite 
o tutte alle prime o tutte alle seconde quelle che per avventura avessero il 
centro di massa nel piano dividente medesimo. E si chiami al solito 

V la forza con cui, in virtù della gravitazione, esse due parti 4 e 2 si 
attraggono nella direzione perpendicolare alle basi del prisma, supposta espres- 
sa in chilogrammi. 

Egli è certo che in ciascuna molecola appartenente ‘alla parte 4 esiste un 
punto, dove se tutta la massa di essa molecola si venisse a concentrare, non si 


(1) Vedi la sua opera che ha per titolo Theoria Philosophie naturalis, la quale consiste 
appunto nello sviluppo e nelle applicazioni di questa sua ipotesi. 


FISICA MATEMATICA 65 


altererebbe la sua attrazione verso 5, considerando qui pure questa forza nella 
sola direzione perpendicolare alle basi del prisma. V’ è anzi una serie di questi 
punti disposti in una superficie che passa attraverso alla molecola; in questa 
superficie però noi non prendiamo che un punto scelto ad arbitrio. Appelliamo 
questo il punto di attrazione media. E supponiamo che tutte le molecole di A, 
conservando la propria massa e il proprio volume prendano la forma di tante 
sferette co’ centri posti ne’ rispettivi punti di attrazione media, e chiamiamo 


A il corpo .4 così trasformato. 


L’ attrazione fra 4’ e B perpendicolarmente alle basi sarà ancora 77. 


Supponiamo che anche le molecole di 2 si cangino in altrettante sfere coi 
centri ne'loro punti di attrazione media verso 4’, presa quest’attrazione secon- 
do la direzione già detta; e chiamiamo 


B' il corpo £ così cangiato. 
Sarà l'attrazione fra 4’ e 8’ presa come sopra, uguale a quella fra 4’ e 8, 
cioè sarà essa pure Pa 

Supponiamo in fine che tutte le sferette onde sono composte la d' e la B' 
crescano di raggio senza cangiare nè massa nè centro; mon però al segno che 
volendo allontanare la 4’ dalla 5’ con moto perpendicolare alle basi, restino 
le sferette di 4’ impegnate fra quelle di 5’, ma l'aumento cessi qualche poca 
cosa prima, tanto che si possa condurre fra 4' e 5 così modificati una super- 
ficie 0 piana o curva, la quale tenga rivolta ad una delle basi la medesima fac- 
cia dappertutto, nè in verun luogo si ripieghi a volgervi la faccia contraria. 
Noi avremo fra 4’ e 2’ così trasformati e che diremo 4”, B' la stessa attra- 
zione Z di prima, presa però sempre secondo la direzione già detta. Ma questo 
ultimo stato di molecole, supposto che il volume occupato dalle sferette ingros- 
sate sia una parte considerevole del volume intero del prisma, è similissimo 
a quello del num. IX, e si possono ad 4” e 5" circoscrivere degli analoghi 
prismi, e adattare le deste dimostrazioni, e cavarne le medesime conclusioni. 
Dunque è piccolissima l’ attrazione fra 4 " e B" parallelamente ai lati del 
prisma preso primitivamente a considerare; e quindi piccolissima anche quella 
fra 4 e B. 

Per estendere questa conclusione a un corpo formato di molecole differenti fra 
loro nelle masse, il che potrebbe stimarsi essere il caso dei corpi misti (ritenuta 
sempre l'ipotesi di Laplace), converrà prima concepire questo corpo diviso in 
due pezzi 4, B, come si è fatto qui sopra; quindi immaginar le molecole ri- 
dotte a tante sferette (quando non sieno di questa forma) co’ centri ne’ rispet- 
tivi punti d’attrazione media e con volumi proporzionali alle masse loro; poi 
concepir queste molecole cresciute tutte proporzionalmente fino a che manchi 
pochissimo o al loro vicendovole contatto o al trovarsi le parti 4 e 2 vicen- 

Opusc. Matem. e Fisici, 9 


66 PARTE PRIMA 


devolmente impegnate l’una nell’ altra. Quando con questo non sia lo spazio 
totale da esse sfere occupato una parte estremamente piccola del volume 
totale del corpo, potremo applicar qui pure le dimostrazioni del num. IX, e 
conchiuderne debolissima ed inefficace l'attrazione dipendente dalla gravi- 
tazione. 

Osservazione I. In quest ultimo caso e nei due precedenti noi abbiamo bi- 
sogno che le minime sferette possano, rarefacendosi, riempire una notabil parte 
dello spazio totale. Ora ciò dee necessariamente avverarsi quando le molecole 
sieno a distanze pressochè uguali l’una dall'altra, cioè quando l’una di esse non 
sia dalle sue più prossime notabilmente più distante che un’altra similmente 
dalle sue più vicine. Ed anche quando vi sia sensibile diversità purchè non 
eccessivamente grande, le nostre conclusioni mantengonsi ferme, non potendo 
allora essere grandissimo lo spazio che coll’aumentar di volume esse debbono 
lasciar voto. Che se poi taluno volesse ricorrere a questa estrema diversità fra 
le distanze, è d’ uopo confessare che gli si potrebbe bensì torre molto terreno, 
ma che non si arriverebbe a scacciarlo interamente dal suo rifugio. Perciò, non 
volendo ora estenderci in queste sottigliezze, tanto più che lo stesso Laplace 
non sembra avervi ricorso, intorno a ciò non ci fermeremo, e lasceremo 
pure che questa modificazione dell’ ipotesi si possa riporre fra quelle che pos- 
sono dubitarsi atte a conciliare le due attrazioni, e delle quali noi parleremo 
nell’ articolo seguente. 

Ecco adunque a parer mio dimostrato, che non solo l’ipotesi in questione è 
lontana dallo spiegar chiaramente il fenomeno della coesione, e lo involge piut- 
tosto in oscurità, ma che, presa nel modo ammesso da Laplace, ella è assoluta- 
mente inutile allo scopo pel quale fu proposta; con che io credo di avere sod- 
disfatto a quanto aveva già una volta promesso (1). 

Possono vedersi altre diflicoltà a questa ipotesi di Laplace nella già citata 
mia memoria sull’attrazione molecolare (2). Fra queste però piacemi riportare 
ancora quella che io reputo la più solida, ed è che: « Una sì grande distanza 
« fra le molecole de’ corpi proibirebbe quel grande ravvicinamento delle su- 
« perficie di due corpi, dal quale si fa dipendere il grande aumento dell’ attra- 
« zione di gravitazione ». La quale difficoltà essendo stata egregiamente svilup- 
pata dal ch. cavalier Nobili (3), mi si permetta di riferire le sue proprie espres- 
sioni. « Nell’ ipotesi di Laplace, dice egli, si vuole che le molecole stieno nei 
« corpi a lunghissimi intervalli le une dalle altre, affinchè la loro densità fatta 
« superiore d’assai a quella degli aggregati, possa nel contatto di questi stessi 
« aggregati produrre fra le molecole delle attrazioni molto più grandi di quelle 
« che han luogo a distanze finite del contatto. Ma noi chiediamo a Laplace con 
« quale diritto egli pretende che le molecole giungano ad esercitare nel con- 


(1) Giornale di Fisica di Pavia, anno 1826, pag. 526. 
(2) Idem, anno 1814, pag. 120. 
(5) Sopra l'identità dell'attrazione molecolare coll'astronomica. Modena 1818, pag. 37. 


FISICA MATEMATICA 67 


tatto quella preponderanza d'attrazione che proviene dalla loro densità, dal 
momento ch’ egli ha proscritto il contatto dalla costituzione de’ corpi? Egli 
« vuole ch’entro de’corpi le molecole sieno separate da larghi intervalli, e poi 
« perchè la densità delle molecole di un corpo possa sopra le molecole d’ un 
« altro corpo esercitare un’attrazione molto energica, pretende che le molecole 
« dei due corpi pervengano al mutuo contatto; quasi che fosse lecito il supporre 
« che quella qualunque siasi cagione onde dipendesse la separazione delle mo- 
« lecole nell'interno de’ corpi, cessasse subito d’esistere fuor de’ medesimi corpi, 
« per permettere così fra le molecole esteriori quel contatto ch’ essa cagione 
« da sì lontano impedisce alle molecole abitatrici delle regioni interne. Ma non 
« sì vorrà certo tollerare una simile licenza...... Coll’ ammettere nei corpi 
« l’architettura di Laplace si ammette necessariamente l’ esistenza di un potere 
« ripulsivo fra le molecole, capace di mantener queste a grande distanza le une 
« dalle altre. Ora ammesso una volta questo potere, bisogna di forza ricono- 
« scerlo in tutti i luoghi ove si trovano delle molecole, e riconoscendolo con- 
« viene lasciargli distaccare le superficie dei corpi ugualmente che le parti più 
« interne. Non volendo dunque concedere nell’ipotesi in discorso che quanto 
« permettono le regole della sana filosofia, si vedrà sparire affatto quella pre- 
« ponderanza di attrazione, che si sperava di conseguire dalla densità delle 
« molecole; si vedrà che l’idea di Laplace, benchè alquanto ingegnosa, nulla 
« serve all'oggetto per cui era destinata ». 


- 
-_ 


_ 
-_ 


XI. 


Ci sbrigheremo in pochissime parole dell’ ultima ipotesi che abbiamo detto 
essere ammessa da alcuni Fisici rispetto alla costituzione dei corpi, consistente 
nel riguardarli formati di materia che tutta sia in continua comunicazione con 
se stessa, senza però riempire totalmente lo spazio occupato da essi corpi, ma 
lasciando numerosi intervalli, come grossolanamente mostrano le spugne, le 
pomici, le scorie (1) ecc. 

In questa ipotesi le nostre conclusioni continueranno a valere ogni volta 
che ne’ corpi lo spazio pieno non sia piccolissimo in confronto del voto. Chia- 
misi in fatti al solito 

« il numero delle volte che lo spazio vacuo in un corpo così formato, è mag- 
giore dello spazio pieno; 

A la densità media del corpo medesimo. 

V l'attrazione, espressa in chilogrammi, fra due parti in cui il corpo venga 
diviso da un piano. E sia 

t:(1 + 6) la proporzione secondo cui si aumenta questa attrazione se le due 
parti divengono di materia continua col riempirsene le cavità d’ altra materia 


(1) Vedine le citazioni nella dotta opera del conte Paoli rammentata al principio della 
presente memoria e intitolata Ricerche sul moto molecolare de’ solidi, alla pagina 3o. 


68 PARTE PRIMA FISICA MATEMATICA 
della stessa natura, e se si riducono a due cubi di lato % col circoscrivervi op- 
portunamente altra simil materia. Per le cose già dette si avrà 


A°(1+-4) 


(1 +6) Y =0,000340753 - TE) > 


da cui si trarrà la medesima conseguenza già tante volte dedotta sull’ estrema 
piccolezza di 


(sarà continuato) 


PARTE SECONDA 


Lai DIE 
LUNE sai LE 
| si = (e Ù 

, ngi xi 


HE 
dn Ku) La 
n a) Hg Di gta 
PONAR: a, 


AI GIOVANI ITALIANI 


STUDIOSI DELLE MATEMATICHE 


GABRIO PIOLA 


In questa seconda parte, come si enunciò nella prefazione, deb- 
bono aver luogo notizie, compendj e dichiarazioni risguardanti i 
progressi delle scienze matematiche ai nostri giorni, nei quali un 
solo geometra francese, il celebre Cauchy, propose e usò Palgoritmo 
di due nuovi calcoli. Una riflessione però ritarda la pubblicazione di 
tali articoli, ed è che la lettura di essi non sarebbe fra noi alla por- 
tata del maggior numero degli studiosi, essendo mancanti di opere 
italiane nelle quali siasi esattamente tenuto dietro agli avanzamenti 
dell’analisi dopo Eulero e Lagrange, e siano insegnate con metodo 
le dottrine che immediatamente precedono quelle di cui si tratta. 
Il calcolo principalmente degli integrali definiti, tanto ingrandito 
per le scoperte che dopo Eulero vi fecero Laplace, Legendre, Fou- 
rier, Poisson, Cauchy ed altri moderni, è fra noi poco conosciuto 
perchè, quantunque si abbiano varj preziosi teoremi nel corso di cal- 
colo sublime del Brunacci, e nelle famose annotazioni di Mascheroni 
alla maggior opera di Eulero ; e si stimino, come è dovere, alcune 
interessanti memorie di Bidone, di Plana, di Paoli, di Frullani, 
di Libri e di qualch’altro, un tal calcolo è ommesso o appena 
toccato nei trattati destinati all’ istruzione. Eppure esso è ormai 
lo strumento più poderoso con cui si assoggettano all’ analisi i più 
astrusi problemi: e le memorie di maggior peso che presentemente 
escono in luce riboccano delle sue formole. Pare pertanto che in 
tale stato di cose il miglior servigio che possa rendersi ai giovani 


italiani sia di cominciare a mettere loro nelle mani un trattatello ove 
venga esposto con ordine e con chiarezza un sunto delle più im- 
portanti dottrine spettanti al calcolo degli integrali definiti, e nel 
quale non si diano per conosciute se non le teoriche matematiche 
registrate nei corsi in Italia più diffusi. Riempiuta questa lacuna, 
potrà allora sperarsi che più favorevolmente ed utilmente siano ac- 
colti anche gli articoli i quali abbiano per iscopo gli ultimi ritro- 
vamenti di cui la scienza fu arricchita. 

Conoscere 1° utilità di questa operetta e sapere comporla non è 
poi la stessa cosa: nè io mi sarei assunto un tale incarico senza il 
consiglio e la sollecitazione di dotti amici, alcuno dei quali avrebbe 
potuto assai meglio egli stesso vincere la prova. Ad ogni modo il 
lavoro è eseguito e sarà pubblicato nei fascicoli di questa raccolta, 
ove ne porrò alcuni capitoli per volta tenendo una successiva nume- 
razione per maniera che sia poi facile riunirli a formare un solo e 
piccolo volume. Se questo libretto non corrisponderà perfettamente 
all’aspettativa ed al bisogno, produrrà almeno il vantaggio di eccitare 
altri a scriverne uno migliore. 


TRATTATO 
SUL CALCOLO DEGLI INTEGRALI DEFINITI 


INTRODUZIONE 


I ramo d’ analisi di cui prendo a dare qualche notizia deve eccitare negli 
studiosi, forse più d’ogni altro, un particolare interesse per ragioni che 
verrò sponendo. E primieramente coloro i quali sentono desiderio di farsi in- 
nanzi presentando alcun che di loro invenzione possono qui più che altrove 
sperare di ottenere il loro intento. Studiando l’analisi quale è scritta nelle 
grandi opere dei Geometri che fiorirono nel passato secolo e sul principio del 
presente, pare di scorgere un campo percorso e visitato in tutte le parti con 
tanta diligenza che è quasi meraviglia il trovarvi una benchè piccola novità; 
non così delle ricerche sinora fatte intorno agli integrali definiti: vedesi una 
moltitudine di risultati che si accresce continuamente, si ammirano metodi di 
maggiore o minore generalità ed estensione: ma si conosce chiaramente che 
siamo ancora lontani da quel tutt’ insieme che annunzia una scienza perfetta. 
Una tale circostanza deve contribuire ad infervorare coloro che si pongono 
allo studio di questo calcolo: ma molto più la considerazione della sua gran- 
dissima utilità. Infatti le principali difficoltà dell’ analisi si possono ora riguar- 
dare come da esso assorbite, che ne cambia la forma e se tutte non le vince, le 
riduce così, che se havvi speranza di superarle non è che dietro i suoi avvia- 
menti. È curioso il vedere come ciò si verifica anche di alcune delle principali 
difficoltà dell’ algebra elementare, delle quali la più celebre è la risoluzione 
generale delle equazioni. Dove però il calcolo degli integrali definiti associato 
colla teorica delle funzioni discontinue veracemente trionfa è nell’ applicazione 
ai problemi di fisica matematica; l’ integrazione delle equazioni a differenze 
parziali a cui tali problemi conducono, cangia per virtù del medesimo intera- 
mente d' aspetto, e le nuove forme d°’ integrali corredate del conveniente nu- 
mero di funzioni arbitrarie sono così fatte che si attaccano immediatamente alle 
viscere delle questioni. Sappiamo da un passo di uno scritto di Fourier inserito 
nel Tomo VII delle Memorie dell’ Istituto di Francia, che Lagrange sul fine 
della sua carriera antivide il perfezionamento che per questa parte dovea pren- 
dere l’analisi, avendo egli stesso gettato i semi delle nuove teoriche in più 
luoghi delle sue opere. 

Opusc. Mater. e Fisici. 10 


54 PARTE SECONDA 

Se interessante è lo studio del calcolo degli integrali definiti, non manca poi 
di avere anche qualche circostanza sfavorevole che allontana e disgusta sulle 
prime chi si pone al medesimo. Quel doversi in esso percorrere una moltitu- 
dine di casi particolari che ad uno ad uno non destano grande interesse, e il 
cui numero sembra potersi accrescere quanto si vuole, disanima lo studioso il 
quale dopo molta fatica non capisce ancora bene a qual punto si trovi. Sappia 
egli però che questo subito giudizio non è retto, e creda che nel progresso egli 
troverà il guadagno assai maggiore di quanto erasi immaginato. Alcuni casi dei 
più semplici che possono sembrare capricciosamente costrutti e tali da non 
doversi mai incontrare nelle questioni indipendenti dal nostro arbitrio, occor- 
rono invece frequentemente; e l’ immensa quantità degli integrali definiti di 
valore assegnabile sembra raccogliersi intorno ad alcuni come a centri, ottenuti 
i quali, si forma una lunghissima serie di altri ed altri risultati. Questa riflessio- 
ne però non toglie che s° abbiano a ridurre più che è possibile a punti di vista 
generali le determinazioni dei valori nei diversi casi: ed io pure mi conformerò 
a questo metodo. Che anzi è questo il principale scopo del presente lavoro: 
perocchè sono ben lontano dalla pretesa di raccogliere tutto quanto si cono- 
sce relativamente agli integrali definiti, sapendo che a tanta impresa appena 
basterebbe un’opera assai voluminosa. Mio pensiero si è di toccare i punti 
più interessanti della teorica, conosciuti i quali non è poi difficile allargare le 
proprie cognizioni mediante la lettura delle molte memorie scritte in tale argo- 
mento. Non voglio esporre un lusso una gran copia di formole: ma piuttosto 
entrare qua e là in brevi discussioni e riflessioni: credendo ottenere. così il 
doppio vantaggio di spargere di qualche amenità una dottrina per se alquanto 
arida, e di esercitare l’ ingegno onde possa penetrar meglio anche altrove nelle 
finezze della moderna analisi. Dividerò il Trattato in due Sezioni: nella prima 
si percorreranno le diverse maniere con cui si ottengono i valori di molti inte- 
grali definiti e si parlerà anche di alcuni usi meno importanti della teorica, 
perchè il lettore si persuada al più presto della sua utilità. Nella seconda Sezione 
si tratterà l’ applicazione della teorica alla trasformazione delle funzioni ed alla 
integrazione delle equazioni, cioè l’ applicazione oggetto primario a cui tende 
tutto il precedente insegnamento, 


ANALISI 


SEZIONE PRIMA 


SOPRA LA RICERCA DEI VALORI DEGLI INTEGRALI DEFINITI 
E SOPRA ALCUNI LORO USI, 


LI 
dI 


GoteP ‘O saPsiP I! Me0 
Prime nozioni generali. 


E: dadiheoò per 


SIE pd) 


l integrale indefinito e incompleto o la funzione primitiva di P(É) senza ag- 
giunta di costante arbitraria: e per 


b 
SdE- GO) 
a 
secondo l’uso più ricevuto, l'integrale o la primitiva della stessa funzione definita 
fra é—=a e É=bB. Avvertasi non essere necessario che sia d>@, quantunque 
ciò si verifichi di frequente, principalmente nelle applicazioni alle misure delle 


quantità concrete: in generale si considerano «, è quantità qualunque. Chia- 
mato per comodo £(é) l’ integrale indefinito, sarà 


(a) fai . Pt) = F(6) — F(a). 


Adunque in un integrale definito la lettera É per cui si fa l’ integrazione è de- 
stinata a sparire, ed entra in un modo puramente istrumentale. Non si avrà 
quindi alcuna difficoltà a sostituirle, quando torni utile, un’ altra lettera qua- 
lunque: e si terrà fermo che per tale mutazione il valore dell’ integrale definito 
non soffre alcun cangiamento. L’integrale definito sarà funzione dei limiti a, 4: 
il più sovente però questi limiti non saranno espressi con lettere ma per nu- 
meri o grandezze determinate; i più frequenti valori che si danno ai limiti sono 


(1132 IP Romi GORE CIPE renale” MI AMI: n PSE 


2. Nel secondo membro della precedente equazione (@) entreranno, general- 
mente parlando, le altre lettere che si sottintendono concorrere alla composi- 
zione della funzione p(É); sopra alcuna di esse si fissa spesso per circostanze 
particolari una attenzione non comune alle altre: allora essa è marcata apposi- 
tamente tanto nella funzione @ sottoposta al segno integrale quanto nella 
espressione dell’ integrale definito preso per un’altra lettera. Pongasi 


(6) 4@)=fdi 90) 


76 PARTE SECONDA 


dove nella @ si marca la x come la quantità presa particolarmente di mira, e 
la É come la variabile per cui si eseguisce l’ integrazione, e che ad operazione 
finita non compare più. L’ integrale agri si esprime compendiosamente per 
(x), essendo evidente ch’ esso è funzione della x la quale nella integrazione è 
stata trattata alla maniera di una costante. Tra le funzioni P(x, È), (to) occor- 
rono alcuni confronti meritevoli di seria considerazione 1.° la forma della fun- 
zione @ è spesse volte molto semplice, e invece riesce complicata quella della : 

° la funzione g è sovente algebrica e razionale, e la y trascendente: 3.° (e 
DSL è ciò che più rileva) la funzione $ è ooo, e la y è molte volte 
inassegnabile sotto forma algebrica o sotto firma BAipandento di logaritmi, 
SETTARE , e funzioni circolari, 

3. Pongasi mente a quest'ultima circostanza, e riflettendo che la funzione 
y(x) quantunque non assegnata, è per la (6) stabilita mediante una operazione 
di cui si hanno chiarissime idee, si capirà che di qui emerge una nuova maniera 
assai generale per significare le funzioni, a cui si possono ridurre anche varie 
espressioni trascendenti antecedentemente usate. Così si prova facilmente essere 


LT1 
loge= f dé I1+ (x — 1+(e— 1)é? 


e come log.x è una foggia di scrivere inventata per compendio, e adottata per 
convenzione, si potrebbero similmente immaginare quante si vogliono nuove 
notazioni onde esprimere funzioni di x eguali a integrali definiti presi relativa- 
mente ad un’ altra variabile e non riducibili alle espressioni già ricevute. Ciò. 
si è fatto per certe quantità da alcuni chiamate iperlogaritmiche, pei trascen- 
denti elittici, pei così detti integrali Euleriani ecc., e può ripetersi a piacere; 
è qui la {inte d’ infiniti ini Si è detto ae questo si potrebbe fare, 
non già che sia necessario: essendo anzi in generale da consigliarsi una certa 
ritrosìa ad introdurre per compendio nuove lettere simboliche. È certo che 
con un poco di esercizio si arriva a maneggiare l’espressione fatta coll’ inte- 
grale definito (la quale ha il notabilissimo vantaggio di una costante uniformità) 
quasi colla stessa facilità che s’°incontrerebbe usando di una caratteristica 
particolare. 

4. Nè si dica essere di poca utilità 1’ anzidetta maniera di esprimere le fun- 
zioni col mezzo di integrali definiti presi relativamente ad un’altra variabile : 
giacchè le forme sigmificate da y(x) non sì ponno assegnare. Primieramente la 
(x) si può calcolare per serie e ridurre a tavole: allora essa è niente meno nota 
di quello siano le funzioni log. x, sin.x, ecc. le quali, se ben si riflette, non sono 
note che alle stessa maniera. Così Legendre ha date le tavole dei trascendenti 
elittici, e di una funzione Fx) da lui chiamata gamma, le quali presentano van- 
taggiaffatto simili a quelli che si ottengono dalle tavole logaritmiche. In secondo 
luogo (e qui sta il più) le operazioni a farsi sopra y(x) di forma ignota non si 
possono che accennare, dove nel secondo membro della (6) si possono eseguire 
il più delle volte passando sotto il segno d’ integrazione, che si riferisce ad una 


ANALISI 77 


variabile indipendente da quella o da quelle su cui si opera, Accade allora 
talvolta (non volendo parlare d’ altre deduzioni importanti di cui adesso sareb- 
be troppo anticipata l’idea) che dopo tali operazioni si possano eseguire le 
integrazioni dapprima non riducibili alle espressioni ordinarie. 

5. Si comprende dopo il sin qui detto che una funzione y(.x, y) di due va- 
riabili x, y può essere data mediante un’ integrale definito avendosi 


O Var)=fdt9(275) 


e che in generale una funzione di più variabili può essere determinata da un 
simile integrale che contiene una variabile di più destinata a sparire dopo la 
integrazione. 

6. Quantunque il modo di espressione anzi esposto (equazioni (6), () sia 
assai vantaggioso per ridurre gli analisti a considerare e trattare le funzioni 7 
sotto i segni integrali assai più semplici delle y ad integrazioni eseguite, alcune 
volte non è artifizio che basti, e fa duopo ricorrere a un integrale duplicato o 
triplicato. Chi però ha ben compreso lo spirito del metodo non durerà fatica 
ad intendere che anche la 4/(x) data dall’ equazione 


0) p@=fdefdn-pa te) 


è una funzione di x che dipende da due invece che da una operazione d’inte- 
grazione definita; e che la (x) data dalla 


@ v@=ffdnfde nat n0 


è una funzione che dipende da tre simili operazioni. Capirà altresì che queste 
espressioni per integrali duplicati e triplicati presenteranno vantaggi analoghi 
a quelli osservati nella espressione (6), presentandone spesso de’ maggiori, per- 
chè le funzioni P posto sotto segni d’ integrali duplicati o triplicati potranno 
prestarsi ad operazioni analitiche alle quali non sarebbero atte le simili fun- 
zioni poste sotto un solo segno integrale. Vedremo più tardi il bisogno di con- 
templare la funzione @ in un integrale multiplo formato di r segni integrali, 
nè ciò avrà difficoltà dopo le esposte riflessioni. 

7. Scolio. Ed ecco qual è la chiave dei nuovi metodi: invece delle funzioni 
che risulterebbero ad integrazioni eseguite, considerare le funzioni assai più 
semplici poste sotto uno o più segni integrali. Queste generalmente parlando 
sono assai più trattabili, e l’ operare su di esse è un ripiego di effetto mirabile 
come (prendendo un confronto fra le cose più note, che non è però rigorosa- 
mente esatto) operando sui logaritmi piuttosto che sopra espressioni di pro- 
dotti e potenze. Il vantaggio maggiore poi si è di poter eseguire sopra le ac- 
cennate funzioni più semplici ciò che non solo difficilmente ma in nessuna 
maniera può farsi direttamente. Così le funzioni di una o più variabili che ver- 


78 PARTE SECONDA 


, rebbero somministrate dall’ integrazione di parecchie sorte di equazioni, non 
si sapranno spesso assegnare sotto le forme ordinarie, ma si sapranno esprimere 
sotto forme come le (6), (y), (0), (e). Questa vista è generalissima: i casi in cui 
le funzioni potranno prodursi sotto le forme ordinarie saranno compresi come 
casi assai particolari nelle espressioni fatte cogli integrali; quindi con queste 
ultime dovranno il più delle volte annunciarsi i metodi d’ integrazione: anche 
per la circostanza ch’ essi a maggiore generalità uniscono facilità e speditezza. 

8. Scolio. Le nozioni esposte nei precedenti numeri valgono a persuadere 
l’importanza della teorica che ho preso ad esporre: ma la loro applicazione è 
riserbata principalmente alla seconda parte di questo Trattato. Giovano esse 
però ad illuminare anche alcuna delle materie disposte per la prima parte: ed 
ecco il motivo pel quale le ho anticipate. 


CAPO IT. 


Teoremi generali relativi ai cambiamenti d’ espressione 
che possono farsi negli integrali definiti. 


o. Per lo spezzamento di un integrale definito in due e più abbiamo il teorema 

b m b 

fax -f(x) ili f(x) +fda -f(x) 

w a mb 
che subito si dimostra chiamando (rivedi il num. 1) F(x) l'integrale indefinito, 
e ponendo in luogo degli integrali definiti le espressioni equivalenti appunto 
come nel secondo membro della equazione (@) del citato numero. Questa stessa 
dimostrazione ci fa capire non essere necessario che 4 abbia un valore maggio- 
re di « ed n ne abbia uno compreso fra i due, quantunque ciò accada il più 
delle volte. È manifesto che quanto si è fatto dell’integrale proposto può egual- 
mente farsi di uno qualunque dei due in cui esso è stato spezzato: e che quindi 
il proposto integrale può ridursi alla somma di molti composta di un numero 
di termini quale più ci piace. Sull’ uso di questo teorema in tutti i casi occor- 

rerà più tardi una osservazione. 

10. Pel rovesciamento dei limiti di un integrale definito, abbiamo il teorema 


(de f=-fdx:f@) 


che immediatamente sì dimostra collo stesso mezzo suggerito per la dimostra- 
zione del teorema antecedente. 
ri. Seè f(a)=p(x)+q(x)+r(x)+ ecc. è anche 


Sazs@=f dep) f dea) f der) ecò.; 


e a provar ciò basta sostituire a ciascun integrale definito l espressione equi- 
valente indicata al num. 1 nella equazione (a), 


ANALISI 79 
12. Pel cambiamento dei limiti abbiamo il teorema generalissimo 


fax f(x) = fida Î( (2) v'(x) 


dove nel secondo membro y(x) è un’ altra funzione qualunque di x indipen- 
dente da f(x), W'(x) è la sua derivata prima per rapporto ad x, e nei limiti il 
simbolo indica la forma di funzione inversa della y. 

Dimostrazione. Pongasi *=(y), e la trasformazione dell’ integrale inde- 


finito fd f(x) nell’integrale indefinito fr SMI è cosa delle più 


ovvie nel calcolo integrale ordinario. Passando alle definizioni, i valori di y 
corrispondenti ai valori 4,5 di x si avranno deducendo dalla x =w(y) la sua 
inversa y= f(x), indi nel secondo membro di quest’ ultima ponendo prima 
x=a, poi x —=Ò. Così l’integrale definito proposto si prova eguale a 


SESIA 
A(a) 


Ridotta la trasformazione a questo punto, alla lettera y che giuoca in un 
modo puramente istrumentale, si può di nuovo sostituire la lettera x, e si ha il 
teorema enunciato (*). 

Una osservazione su cui ritornerò più tardi è che ad un solo valore di x 
possono nel passaggio dalla «=y(y) alla y= f(x) corrispondere più valori 
di y. Per ora supporrò che ciò non avvenga prendendo a sciogliere soltanto 
equazioni di primo grado nei corollarj che passo a spiegare. È evidente che 
il numero di questi corollarj può ingrandirsi a piacere: porrò quei soli che 
sono d’uso frequente. 

13. Per ridurre a zero uno dei limiti. 

Si fa «a+ y e si ha 


b b-a 
Sflxr.f@A= dx -.f(a+%x). 


14. Per introdurre nei due limiti una quantità arbitraria. 
Si pone «= y+ e si ottiene 


b b-h i 
ih dx-f(a)=f de-fla +1). 


Può osservarsi che il corollario precedente è un caso particolare di questo 
ove pongasi A —=a. 

15. Per cambiare il segno alla variabile senza cambiare i limiti. 
Si fa x=a+0—y, ed osservando che in questo caso è (n.° 12) W'(y)=—1 


b (27 
l’ integrale efa dx f(x) si muta dapprima nell’ altro — “li dy-f(a+d—y); 
a b È: 


(*) I quattro teoremi antecedenti trovansi anche nelle Lezioni di calcolo sublime del Bor- 


doni. Vedi Tom. I, num. 85, 86. 


80 PARTE SECONDA 
poi rovesciando i limiti (n.° 10) e riponendo x per y si ha 


b b 
Sarfa=f dx: fla+b—x). 
16. Per ridurre i due limiti eguali e di segno contrario. 
Si mette a = y + =(a + b) e si deduce 


2(b-a) 


fax vete ps e): 


17. Per cambiare i due limiti a, b in altri due @, 6 quando niuno dei quattro 
sia l'infinito. 


Si fa IA ee i e si ha 


ia LIMO en 
fazs fasi fia SIT) 
ASTE 
18. Giova marcare due casi particolari del bai; teorema, che occor- 
rono per mutare i limiti zero, 1 in due en e viceversa 


Sda:S)=7 SÉ 
di Ro 


19. E questi altri compresi nei precedenti 


fax:fa=bfde-f02). 


x 


L’ ultimo ora esposto corollario è principalmente di uso per far dipendere ì 
valori degli integrali definiti in cui uno dei limiti è qualunque , dagli stessi in 
cui un tal limite è l’unità. È facile capire di quanta utilità riesca una tale ridu- 
zione supponendo che sia costrutta una tavola coi valori di integrali definiti fra 
zero, 1 per diverse determinazioni della funzione f(x). 

20. Chi si è resa familiare l’idea dell’indipendenza del valore di un integrale 
definito dalla lettera che si adopera nell’integrazione comprenderà che l’ultima 
equazione trovata non si altera scrivendo dapprima 


fax-Sa=bf du f(04) 


e poi mettendo x in luogo di 6; talchè hassi 


fda:S@)=x f du fu); 


ANALISI Bi 
così un’ integrale che ritiene la variabile in uno dei limiti si fa dipendere da 
un altro nel quale ambi i limiti sono determinati e la variabile suddetta figura 
come una costante. 

21. Ecco un altro teorema assai importante che riduce alla metà il corso 
della variabile fra due limiti eguali e di segno contrario 


Sar sa=f da +2]. 


Per dimostrarlo spezziamo il proposto integrale in due (n.° 9) in modo di avere 


Ora trasformiamo il primo di quelli del secondo membro facendo x = — % 
otterremo 


fac sm=- far n=f dry) =fdx-p-2); 


sostituiscasi l’ultimo trovato valore in luogo del suo equivalente, poi si coprano 
con un solo segno integrale i due termini simili ed avrassi l’espressione 


? 


annunciata. 

22. Un tale teorema ha due corollarj di molto uso. 
Quando P(-—x)=P(x), come succede ogni volta che la x è nella Pdap- 
pertutto a potenze pari, o sotto coseni, o ecc., abbiamo 


fda Pa)=2 f de 9(2). 


Quando P(-— x) =—P(x), come succede ogni volta che la x è nella $ dap- 
pertutto a potenze dispari, o sotto seni, o ecc., abbiamo 


fix P@)=o. 


23. Il cambiamento dei limiti quando nei primi o nei secondi entra l’infinito 
è operazione che esige particolari artific}, e cautele. Trovo che il Poisson (*) 
per cambiare i limiti zero, 1 nei limiti zero, 0, adopera (n.° 12) l'equazione 
I DE N I 
, la cui inversa è y= —— — 1. 
1+Y I-X 


Trovo che il medesimo geometra fa altrove uso per lo stesso oggetto della 
le) lele) 


equazione 
i NRE ì I 
ee” la cui inversa è y=—- log. x 


essendo sempre 7. quantità positiva. E manifesto che simili trasformazioni pos- 
sono farsi in moltissime altre maniere. Chiuderò questo capitolo dimostrando 
una formola generalissima data dal Cauchy (**) per trasformare un’integrale 


(*) Journal Polyt. Ch. XIX, pag. 478. 
(**) Exercices de Mathénatiques, Tom. I, pag. 106. 


Opusc, Matem. e Fisici, II 


82 PARTE SECONDA 
definito fra l'infinito negativo e il positivo in un altro definito fra zero e 
l’unità. La formola è 


(info = fas. [f) SI) + ICI] 


Infatti l’integrale del primo membro è primieramente pel teorema del n.° 21 
eguale all’altro 


fdx Ma + fa]: 
e questo pel teorema del n.° g eguale alla somma 
VICETIVICO Re (ct ES E ZIVORZI EE 
qui Tnt il primo come è, si trasformi il secondo ponendo a = i nica 
CUrReS =. Vedendo da quest’ultima relazione che ai valori *x=1,x=% 
corrispondono i valori y= 1, y==0, si capirà (num. 12) che quell’ integrale 


eguaglia — sh d y: ie fe (3) + 3 dn (— Ur e questo (n.° 10) l’altro 


I Wò: I I ih 
REVORENIAO) 
S J RIST vi ye 
Rimettasi ora x per y e l’espressione risultante si conpenetri con quella del 
primo integrale non toccato: si avrà la formola proposta. 


GA POSILE 
Come per mezzo di un integrale definito si esprimano i resti delle serie. 


24. La formola di Taylor 
(A fa+@=f(x)+af(a)+f"a)+---- 


e quella che subito ne discende, posto x =0, @o= x, 


2 


Do SA=S+ef)+TL"0)+---- 


hanno ne’ secondi membri serie infinite che qualche volta (e lo vedremo in 
appresso) possono condurre a conclusioni erronee quando nell’applicazione dei 
valori particolari diventano serie divergenti. A togliere ogni pericolo di errore 
si fanno finire dopo un certo numero di termini che è arbitrario, ponendo un 
resto il quale equivale alla somma di tutti i termini seguenti. Dicasi A il resto 
della serie (4) dopo un numero r di termini, e similmente 7° quello della se- 
rie (6). Lagrange ha insegnato ad esprimere /ì, ” nella maniera che segue 


ANALISI 83 


e (E Ana ogg da 


reg. — en 1I:2:3---n 


(c) Rc 


essendo ? un numero compreso fra zero, 1, e indicando al solito f la derivata 
(2) esima della f presa per riguardo alla quantità notata fra le parentesi. 

È noto richiedersi che nel primo caso la f®(x+0), ove x si riguarda come 
avente un valore determinato, non debba diventare infinita per nessun valore 
di © compreso fra zero e quello che gli venne in atto assegnato: e che lo stesso 
sì possa dire nel secondo caso della fx) rispetto ai valori della x. 

25. Quantunque siano molte le applicazioni del riferito teorema, è evidente 
ch’esso lascia ancora qualche cosa a desiderare. Infatti, conoscere i limiti fra i 
quali è compresa una quantità non è conoscere la quantità, e però Lagrange 
istesso chiama la quantità 0 incognita, come può vedersi sul fine del Capo VI 
della teorica delle funzioni analitiche. In conseguenza anche i resti R, 7, quando 
per essi si prendano i valori delle equazioni (c), non possono dirsi determinati, 
e si hanno solo delle nozioni, che qui non giova di richiamare, intorno alle 
quantità fra le quali essi debbono essere contenuti. Sarebbe dunque un notabile 
miglioramento nella esposta teorica quello di dare le espressioni dei resti f, r, 
in maniera assoluta, senza l’intervento della quantità @ conosciuta solo imper- 
fettamente: e questo è ciò che si ottiene mediante una delle più facili applica- 
zioni del calcolo degli integrali definiti nel tempo stesso che si forma una nuova 
dimostrazione delle formole di sviluppo. Mi affretto a mettere questa analisi per 
la ragione indicata sul fine della introduzione. 

25. Si conosce facilmente la verità dell’ equazione 


(d) fla+a)=f()+ f de-f(x+0—2) 
ponendo mente al valore dell’integrale indefinito 


Sfdsf&a+o—-2)= —f(x+0— 2) 


che subito si vede giusto col mezzo della derivazione, e passando da questo al 
valore dello stesso integrale definito fra zero, @ (riveggasi il n.° 1). Il teorema 
d’ integrazione a parti dà poi successivamente 


SazSat+o-2)=sfle+0—-2)+ fdesf'(n+0—2) 
z° I a 
VELE Nec +@0—3)= i ta 2 fas#f"x+0—2) 


m 
fa: : pt al CA +@0T—-z)= fm +o—z2)+ 1 faz foam(e+a—2) 
m 


Si proceda da queste equazioni a quelle che si trovano definendo gl’integrali 


84 PARTE SECONDA 


fra i limiti zero, @ (riveggasi il n.° 11), cioè alle 
fai «f(x +0—2)= 0 f(x) + fa -2f'(x+@0— 2) 
Los ci zj= — rp. 


fas E a fili <albsce ) = © f11(x) «n 3 f 2-5f"(£+ o as 


= — —- -; 


5) a” I © gia 
Sd frara—2)= frati f dear (+02) 


(0) 
e queste insieme colla (d) daranno per via di successive sostituzioni altrettante 
nuove espressioni di f(x + @) che saranno 


fa+o)=f(a)+0fa)+ f ds -2f"(x +02) 
=f+of a+ TS) + 1 (daafe+o—a) 


Sar ZA (UA) 


à 
I 
& 
t] 


A dl.) 


Proseguendo e generalizzando sì ottiene 


pl È 


fx+0)=f(x)+0f(x)}+----+ retro è RAM 
L %) La CO Para Me 
taria sa Di (x + @ z) 


ed ecco la serie di Taylor terminata con un integrale definito. Quella che se 
ne deduce ponendo x =0, @ = x, sarà 


f(a)=f(0)+xf(0)+----+ 


ca nd 
1-2---(n- ne RE > (a) 


XL 
anna dz.33>f0(2—z 
rn af a 


quindi i due resti R, 7 delle equazioni (c) saranno ora espressi in quest'altra 
maniera, 


ni ess ati af (+e 2)5 


di 


€) ; 
West Tin i I ii pg ft mg £M( — gh 
"aiar a n } 


Pa 


ANALISE 85 

26. Chiunque nella lettura del capitolo precedente si è formata una giusta 
idea sul potersi in infiniti modi variare le espressioni per integrali definiti 
senza cambiamento di valore, capirà che i resti &, ” dietro le precedenti equa- 
zioni (e) si mettono a piacimento sotto moltissime forme diverse. Darò qui 
alcune di queste trasformazioni che trovo usate a qualche fine. Per cambiare 
l’espressione di fl pongo @—z=%: rifletto che ai valori dei-limiti 3=0, z=@ 
corrispondono i valoriu=@, uw=0: e usando il teorema del n.° 10, ottengo 


(f) hi sare ea (0. us(o—u)' f(x + U). 


Opero in similissima maniera per trasformare l’ espressione del resto r° ponendo 
X-—-Z=U, e trovo 


f È ‘0 
g) } cane Frati L » (C— 3 gt (u) à 


Sotto queste fogge compajono i resti &,7 nella lezione trentesima sesta del 


Cauchy (*). 
Ponendo ora nella prima delle (e) z=@£, e nella seconda 2=.xt, si otten- 
gono (vedi n.° 19). 


i o” I 

Re fadrmfoero—01) 
(4) 

E= carati A fx (1—-%)} 


1:2---( 


Si adotti un tal valore di A, e sì metta @= y — x, essendo y una nuova inde- 
terminata qualunque: la formola (@) (n.° 24) diventerà 


A SOEIE+-ASAT (Bat ---- 
È > Ver; Bn MI e). 
se Sr arme €, 0) "f dtt fP[yty_-x)] 


rapire 
equazione rimarcabile di cui si serve altrove (**) il Cauchy per importanti 
ricerche. 

27. Scolio. Le trovate espressioni dei resti sono ancora suscettibili di un per- 
fezionamento per cui sotto all’ integrale definito invece delle derivate (72) esime 
della funzione primitiva compare la stessa funzione non affetta da operazione 
di derivazione. Ciò può ottenersi col sussidio di una formoîa che dimostrerò 
nel Capo V. 


—_—_——_m_____—_ _ __—_gpnh— 


{*) Acsume des Lecons données a l École Polyteehnique. 
{**) Memoires de l’Institut de France. Tome VHI, pag. 13% 


86 PARTE SECONDA 


CAPO IV. 


Ricerca dei valori degli integrali definiti passando per gli indefiniti. 


28. Uno dei maggiori vantaggi per cui si raccomandano alcuni metodi pro- 
prj del calcolo degli integrali definiti è quello di giungere per essi non di rado 
ad ottenere fra certi limiti i valori di varie formole integrali delle quali è in- 
cognita l'integrazione indefinita. Apprezzeremo noi pure in appresso più d’una 
volta una sì bella proprietà di quegli artificj analitici: ma qui sul principio 
gioverà riflettere che dove si possa eseguire l’ integrale indefinito, il passaggio 
per esso è certamente la via più naturale per la ricerca di qualsivoglia integrale 
definito. È infatti grandissimo numero di integrali definiti si determinano per 
questo mezzo: occorrendo spesso l’ osservazione che mentre il valor variabile 
dell’ integrale indefinito ha una espressione complicata, quello dell’ integrale 
definito fra certi limiti ne ottiene una breve ed elegante. Ognun vede che si 
potrebbe qui non finirla mai richiamando tutti gl’ integrali indefiniti che si 
sanno determinare per quindi passare a innumerabili integrali definiti. Memore 
che non mi sono proposto di percorrere in tutta la sua estensione questa parte 
d’ analisi, ma solamente di prendervi qua e là alcune notizie, mi limiterò 
sull’ argomento in discorso ad alcune riflessioni. 

29. Il più delle volte si pigliano le formole degli integrali indefiniti, vi si 
assoggettano opportunamente alcune costanti a certe condizioni, e si danno 
alla variabile nei due limiti tali valori che semplificano grandemente i risultati. 
Prendiamo per un esempio le formole note e facilmente dimostrabili posteriori 
colla derivazione 

fax.etsinar=—et a CORE, 
a+ 5 
(4) 
Sdx e cosar=e A REA : 
ad + dÈ 
assoggettiamovi la costante è a non poter avere che valori positivi e maggiori 
di zero, e definiamo gl’integrali fra zero, 0. 


i I I 
Avvertendo essere e°— — = — =0 troveremo 
e 0 


b 


I 


co a a te) S 
(6) fda-esinar= pe NR Li fdxetcosar= 
f a'+.b È 


integrali definiti di molto uso. 
30. Altre volte dirigendosi alla ricerca dell’ integrale definito per la stessa 
via che per quella dell’indefinito si può nondimeno abbreviare di molto l’ope- 


ANALISI 37 
razione. Valga per esempio l’ integrale 


I aq" 
fine 
o Via 


Abbiamo l’ equazione identica 


n fee ==> =—_ lamina o] T 


m 


pe) 


che trovasi a priori coll’ integrazione a parti, e provasi subito « posteriori colla 
derivazione. Sogliono gli autori scrivere dopo questa quelle altre equazioni 
che da essa si deducono mettendo successivamente m.— 2, m—4, ecc. in luogo 
di 72; allora mediante una contiuua sostituzione si fa dipendere, quando m è 
numero intero e positivo , l’ integrale proposto dai due noti 


(d) fax TESSS ei —Vi-a' i fida GF SATO, SID. dc. 


Le formole finali dell’ integrale indefinito nei due casi di m pari e dispari 
sono alquanto lunghe, e danno poi espressioni molto più semplici quando si 
passa al definito fra i limiti già detti. Se però non si cerca che quest’ ultimo, 
l'andamento del calcolo diventa più corto osservando che nel secondo membro 
della (y) il termine non affetto da segno integrale svanisce in ambi i limiti, 


e si ha 
m 
M_— 1 
Sda= fin Sg 
Vi—a Dir Lot 


quindi colla pati Ho sostituzione 


l=21 


fia L= CP (n I rt E I a ace (de EC 


m(m—2)(m—4)---(m_-2r+2) o 


essendo ” un numero intero qualunque. 
Pertanto, fatta prima m=2r, poi m=2r+1, e considerati i valori 


IN , faa4= I 


che deduconsi dalle (d), si hanno dalla precedente le formole 


Vir ia 
Vira 1 785 


a” +1 - 6 Reso]? 
i. E, 3 5. m---(2r+1) 
È bene formarsi una tavoletta degli integrali definiti che sono casi partico- 


lari dei due precedenti per r=0, 1, 2,3, 4 ecc., giacchè occorrono essì in alcune 
questioni di meccanica, ver. gr. nella teorica del pendolo. 


JE 


(e) 


33 PARTE SECONDA 

31. Interessano talvolta alcune formole d’integrali definiti non tanto 
considerate da sole, ma perchè diventano utili in ulteriori più importanti 
ricerche. 

Adunque. 1.° Sotto l’ indicato riguardo giova osservare le seguenti 


r Me IA ras 3 . kaax CILOIO 
Sdx-sin. ——- sin, 20" da. sin. cos. —— =0 
ni r r' n r' r% 


Pr r ka x LTAX 
(6) da cos. cos —— =0 
=r } de 4 


. 2 si VE, 
“ È LTX a UIL 
Sax-(sin 22) = f/dx (cos dagli 
cr 1 i; la rn 


dove &, î sono numeri interi, ” quantità qualunque, e 7 ha la solita significa- 
zione. Ne lascio all’ esercizio dei lettori la dimostrazione: avvertendo che per 
le tre prime bisogna scomporre 1 prodotti di seni e coseni in somma o difl'eren- 

kira. «lIrx 


SICA == 
r 


za di seni e coseni semplici. Così in luogo della espressione sin. 


-È I NOIE NOTO. Serie 
conviene assumere l'equivalente — cos. (K—i) ———- cos.(kK+ i) (9a Si ese- 
2 Para 


guiscono allora le integrazioni indefinite alla maniera ordinaria, e si passa alle 
definizioni, che danno i valori notati per essere sin.(K—{)rm=0, sin.(k+i)x=0, 
giacchè 4—i, k+ i sono sempre anch’ essi numeri interi. Per le due ultime 
formole, avendo le espressioni d’ integrali indefiniti adoperate a trovare le an- 
tecedenti prima e terza, vi si fa 4== i; e del termine che si presenta sotto la 


09 ; 
forma o si cerca il valore colla nota regola. 


2.° Mascheroni fece molto uso della formola 


Per dimostrarla si pone w=z°, da cui z=*w*. Adunque ad un valore di w 
corrispondono due valori di 2, caso preveduto più sopra (num. 12). Qui però 
uno e l’ altro conducono alla stessa formola integrale trasformata. Quando il 
2 

+2 


I 
1 DI 1,4 
radicale si prende col segno positivo la trasformata è af da. —— 
I 
0 


e quando 
2g © I 


-I 2 
. . n Io Rete . » 7° 
si prende col segno negativo, essa è — 2f dz: Lia , che subito si dimostra 
4 I+Z 


eguale alla precedente mediante il corollario primo del n.° 22, 0 ponendo ==—y. 
Essendo poi 
I+ 2° I 


1-z/2+2° 


I 
2 i; 2: -——_ + 
I+z4 I+2z/2+2° 


ANALISI 89 
sì trova primieramente l’ integrale indefinito 


2 
I4-Z Z Z 
2 faz * ———z == Va Arc. tan. —P—- + Va Arc. tan. —_—— 
I+- 24 V2+-2 Va—z 
che a motivo del teorema generale 
Lt 
Arc. tan.x + Arctanoi== Arc, tan. a 
I-XY 


si riduce 


2 
dea Va 3) 
2 faz: 12£ = Va Aro. tan, SL, 
ce 


Tg 


ei 


quindi passando alla definizione fra i limiti zero, 1 si ha il valore del secondo 
TC . L | © . 

membro della (7), prendendo — per l’ arco la cui tangente è infinita. 
2 


3. Ecco un’ altra formola che presto ci sarà utile 
: 
(3) faa » ehav-1 = 0 
=T 
quando / sia numero intero positivo o negativo ma non zero. 
Si prova ponendo in luogo di eY-* l’ espressione equivalente 


coshx+V—1sinhx. 


L’ integrazione ordinaria dà 


sin.ha cos hx 
Sizes te MAE y_ 
h h 


e passando ai limiti si trova l’esposto. Il caso di/=z0 si sottrae alla formola (3) 
e il valore dell’ integrale è allora 27. Infatti nella quantità equivalente all’ in- 


“RO CIR e 
tegrale indefinito si ha allora il primo termine sotto la forma —: quindi per la 
0 
nota regola, o più prestamente ‘eseguendo l’ integrazione definita nella espres- 
TX 
sione “I dx, si ottiene il valore 2 7. 
I 


4. La dimostrazione che daremo in seguito di alcuni interessanti teoremi 
d’ Eulero esige la cognizione dell’ integrale 


pi I 
fa 
I a+ b cos.x 


À questo oggetto si ponga x=2Arc.tan.?, la cui equazione inversa è 
t=tan. - x, talchè ai valori dei limiti x=0, x= corrispondono t=0, t=% . 
2 


Opusc. Matem. e Fisici, 12 


90 PARTE SECONDA 


Abbiamo poi 


I I I î 
COS. — LX = ’ Sn LT 
2 Via-t* 2 Vi+<t 
quindi 
I À IE, A 1-13 
2 2 I+% 


I 1+0 sit (CE) 2 
—_ —— _— =.211e::e:::e-ire i inglre (4_)= ——; 
a+bcosr a+b+(a—b)t°’ dt r+t 


pa 


e pertanto 
I 


RE ie poll i 
S a+ bcos.x È a+b+(a—b)t° 


Quest’ ultimo si trova facilmente passando per l integrale indefinito , 
giacchè 


I I i a—_ 
Sui rara = pr reame Vi 


e si conchiude 
Tr 


È I 
(4) fade I leiiI|ld4|‘EC—- —-- 
; ® det db COS... Va — bè 


dove perchè non compaja l’immaginario bisogna che sia 2 <a. 


32. Il passaggio per integrazioni ordinarie è spesse volte associato ad artificj 
particolari d’ analisi. Molto in questa parte si sono distinti gl’ italiani geometri 
Mascheroni, Bidone e Frulfani; esporrò in seguito un metodo dei due primi 
prendendo almeno quella estensione che è necessaria a formarsene un’idea. Non 
tarderò però a riferire quello elegantissimo del Frullani per trovare il. valore 


sinva= \V. 9 È REST) i 
-— di grande importanza in ulteriori ricerche e 
X 


dell’ integrale f dx »- 


discussioni. 
Si cominci a spezzare il corso della variabile da zero all'infinito in tanti 
intervalli eguali a x facendo (num. 9) 


cS  sm.X Te sin fa Imma dra sian A, 
f da» =f da- +f. da- +f dx- + ecc. all’ inf. 
18] 9) de @ ST 237 LAG 


IC IL 


(° 


Tutti gl integrali che compongono il secondo membro di questa equazione 
si possono ridurre ad un sole adoperando il teorema del num. 13, e si ha 
I ] ) 


(AE a (da ne ra sin.(1-+x) __sin(orta)  sin(3r+x) 
o & 


+ecc. 
XL se IT + 3 2 + 3Tr4+x 


ANALISI QI 
che non si altera scrivendo 


Pei Ema ri I I I I 
da - =Pdr<sina "è sere ACL: 
o x » ML 2arx+x  4rt+x 6r+x 


I I I 
—f da. sin. xii ++ rreì. 
* 3rtx 5r+x qT+x 


Nel secondo integrale del secondo membro si cangi il segno alla variabile senza 
cangiare i limiti (vedi num. 15) e diventerà 


. I ni ) SAT I 
—f da . sine! +e +aT0T- +£— + ecc. 
È amnr-x 4yn-x 6rar-x 81r—-x 


quindi riunendo i due integrali in un solo 


LO get ILE It I I I I I 
(ae e dr-sina)—-— ——+———,-——+7°°T0Tta=—— +ecc. 
E le 2r-x a5+x 4a-x 4a+x 67-x 
Eulero ha dimostrato essere (*) 


TT MIT I I I I I 


_ 


] + e E E e +e 
an ani (aa mm drm ngn 5Bn-+m 


significando 7,7 quantità qualunque. Facciasi "rex, m=r—x e la precedente 
formola diverrà 


i IC I I I I I I 
ot. —_——— — + ns 
2 2 XxX 2X1-X 2%X+x 4r-x 4a+x 6br—-x 


Adunque l’ ultima equazione può ridursi 


ST A O % 
da + =- fda.-sinacot.-, 
i n 24, 2 


i ‘ * X ; 
è siccome sin.rcot.- = 2 (cos. 2) , viene 
2 


PA 


fio =(de -((cos.È 2) : 


E x 
mettasi per (cos. È) si espressione equivalente = 005. X2+- e alla maniera 
2 2 


{*) Introductio in analysin inf. T.I. num. 171, 172. 


92 PARTE SECONDA 


dai sl ax\f x ddt 
ordinaria si troverà prontamente 1} dx * ( cos. 7) 337: quindi 
[0] 


PA 


(x) faa . Line e 


Ponendo in questa *=7ry, dove r dinota una qualunque quantità positiva, 
i limiti non si cambiano, e si ha la formola più generale 


co ASIMan T 
(4) ira 


nella quale è notabile che il valore dell’ integrale definito è indipendente dalla 
grandezza di r: non è però indipendente dal segno della stessa 7, come meglio 
in progresso. 

Il sig. Poisson avea messo antecedentemente in più d’un luogo della sua 
grande memoria sugli integrali definiti qualche andamento di calcolo simile al 
surriferito : e verrà occasione di parlarne. 


(CAPA Virgo Ve 
Formola di Laplace e sue applicazioni. 


33. La formola (3) superiormente dimostrata ci conduce al ritrovamento 
di un’altra più importante, che è quella di cui parlammo al num. 27. Prendasi 
la formola di Taylor completata col Suo resto dopo un numero z+1 di termini 
(num. 24, 26) e vi si faccia @= #7, dove £, y sono qualunque: avremo 


fa+ te alate 1 UGO i IRON 


F SA ent tor 


ir pre 


af die SOA (1A) ta 


I i --n 


Si moltiplichi questa equazione per e''Y =, avvertendo di passare nell’ ultimo 
termine questo fattore sotto l’ integrale, poi si integrino i due membri del- 
l’ equazione risultante per y fra i limiti —7, x. Tutti i termini del secondo 


n bd 
membro antecedenti a SE Ae: sa dy svaniranno a motivo della 
I . RI . - nu 2 
a È" 
formola (I), e questo si ridurrà eo f(x). 27 secondo l’ ecce- 
Lo O STENO, 


(*) Memorie della sdeietà Italiana T. XX. pag. 448. 


ANALISI 93 


zione marcata per la stessa formola (2): l’ultimo termine poi conterrà un’ in- 
tegrale duplicato, e risulterà l’ equazione 


Sd fatte yen iS © (x) 27 


dre i i dt. 1A dy fo x+ (ee, 


RIE DEE 

Abbiamo 
nti (1— VEST AVA LI I raf [x + (be? 
SOI + (1-6) Ee 7]? e | 


quindi l'integrazione per y nell’ultimo termine si può eseguire, ed esso 
diverrà 


srl) de Sy MANA] 


1.2:3---7 


Vas 


P a 7 caz 
sotto la quale espressione si vede che è zero, giacchè e !—=e"” 7, equa- 


zione subito dimostrata traducendo gli esponenziali colle equivalenti formole 
composte di seno e coseno. 
Adunque la trovata equazione somministra 


(a) fe TT mi: _ di dy fa +0) 


per cui la derivata (72) esima eguaglia una espressione nella quale la forma della 
funzione è la primitiva. 

34. Scolio. La precedente formola è quella stessa che il Frullani ultimamente 
chiamò inammissibile (*). Essa è stata data la prima volta dal Laplace (**) sen- 
z’altra osservazione fuori di quella sull’ introduzione dell’ immaginario che 
avrebbe desiderato di togliere: il Cauchy (***) trasformando con essa sotto 
espressione d’integrale definito il termine generale della famosa serie di La- 
grange per la risoluzione generale delle equazioni, non fa motto di alcuna 
restrizione: e nemmeno il Poisson in un caso simile (****), dimostrando una 
formola di Parseval per cui si ottiene sotto forma finita la somma della mento- 
vata serie, L’obbjezione del Frullani è fondata sulla necessità della convergenza 
della serie per la verità della dimostrazione, convergenza che in generale non 
non si può riconoscere. Il principio a cui si appoggia il suo ragionamento è 
giustissimo, e noi pure lo riconosceremo nel capo seguente giovandoci di quanto 


(*) Memorie della società Italiana. T. XX. pag, 700 e seg. 
(**) Théorie analytique des Probabilites. P. I. num. 21. 
(***) Memoires de l’ Institut de France. T. VIII. pag. 108. 
(****) Journal Polytechnique. Ch. XIX. pag. 496. 


"4 = 7 
94 PARTE SECONDA 


egli c’insegnò in questa occasione: ma la difficoltà sul punto in questione 
rimane tolta quando si tien conto del resto, come sopra si è fatto. Il valente 
Toscano volle eziandio provarsi a discutere un caso particolare in cui eredè di 
cogliere in fallo la formola controversa. Pare però che a quanto egli dice in 
proposito si possa dare una risposta, la quale in questo luogo ci condurrebbe 
troppo in lungo, e che non è forse più necessaria ora che abbiamo una dimo- 
strazione (come ci sembra) rigorosa. 

35. Facendo uso della trovata formola (a) rilevasi facilmente che le espres- 
sioni dei resti A, ” date al n.° 26 (equazioni (h)) possono trasformarsi nelle 
seguenti 


n I xd 
(6) hi sa fa L- gita dy -f[x +0 (1 tube: t) re e cile, 
> -v 


O 


dove si veggono tolte le derivate (7) esime secondo si disse al n.° 27. Non sono 
però queste le formole più semplici, potendosi dalle precedenti dedurre altre 
ove conservando l’indicato vantaggio siavi un solo integrale e non un’ integra- 
le duplicato. Darò nel numero seguente l’analisi per questa traformazione che 
avrei desiderato di riferire più tardi contenendo l’uso di due principj che 
in seguito si spiegano più in difuso; ma sembrommi inconveniente maggiore il 
tornare più volte a spizzico sullo stesso argomento: il lettore che sentisse qual- 
che difficoltà per la derivazione e l’integrazione che vi si fanno pensi che in 
appresso vedrà anche più chiaramente la ragione di queste operazioni. Intanto 
rammentiamoci che in un’integrale duplicato, quando i limiti fra cui è definita 
un'integrazione non sono funzioni della variabile per la quale deve farsi ]’ in- 
tegrazione seguente, è indifferente l’ordine nel cominciare dall’una piuttosto 
che dall’altra. Quindi la formola (0) può anche scriversi 


ne 


(d) rta Say Saretta & prete 


È vero, che il Cauchy ha recentemente provato (*) (e ne farò cenno in 
seguito) esservi qualche caso in cui una tale inversione d’ordine non è lecita; 
ma una lieve osservazione a quanto egli dimostra nel luogo citato persuade fa- 
cilmente che la precedente formola non soggiace a quella eccezione. 

36. Nella formola (d) & è evidentemente una funzione di r numero positivo 
ed intero, epperò può scriversi f,, avendo di mira la circostanza indicata. 
Si moltiplichi poi per é" ed avremo 


no” 


x -nyVoi : neI ( Ver 
e Jidree g* fari fx +o0(1—-t+Ée” 7]. 


(e) PM 


(*) Exercices de Mathematiques. T. I. pag. 85. 


ANALISI 9 

Qui la É è una quantità affatto arbitraria che entra in una equazione identica, 
laonde secondo un principio notissimo sussisterà insieme a tale equazione an- 
che la sua derivata per rapporto a É. Avvertasi inoltre che la R, può conside- 
rarsi non contenente la É quantunque questa indeterminata appaja nel suo 
valore (d): è infatti chiaro che A, ha un valore determinato supponendo de- 
terminati x, 7, ©, e che quindi la é nel secondo membro della (4) deve entrare 
solo apparentemente e sparire a integrazioni eseguite. Si derivi adunque per é 
ritenendo /ì, costante, e passando nel secondo membro sotto i segni integrali 
come è manifestamente lecito, e otterrassi 


enN-I o" (E -(ne1)vVo1 È n-I VEE 
C) hec=t (dy et fari fle+o1—9)+6e"]. 


Stando agli integrali indefiniti abbiamo per integrazione a parti 


pai 


fare platon a+ ion =- feto) te] 


if fir+o(1—)+ te 


O 
come può immediatamente verificarsi colla derivazione. Da questa passando ai 
limiti e ritenendo n 5.1 


Save Se+o( tie 1=— fe te) 
n fare feto —)+ te] 


+ 


+ 


Pertanto la precedente (f) diventa 


R, ho —__ 


Î "RA o (+ E) 


29 
n die gt fa TELE oi 


Ma la (e) ove mettasi z—1 per n dà 
FA «ZE Say vert: fai DR Talora]. 


E però, sottraendo luna all’ altra queste due ultime equazioni , risulta 


ner 


arena (de fto 


3T 


96 PARTE SECONDA 


ossia 


Ra Ln 33451 Lene Lia 


Una tale equazione può integrarsi nel sistema delle differenze finite ove la va- 
riabile è 7. coll’aumento costante 1: e poichè in tale supposizione è 


x oe Vol —)= oa e"I Kr 
pes OCT 
viene Si 
sg Sa+E®) 
(8) Paz = if TR gori te: SNAITE 9793) I) + Cost. 


La costante si prova zero col seguente ragionamento. Da tutte le espressioni 
del resto &, date superiormente (ver. gr. dalla (d)) si rileva che il suo valore 
diviso per @"* deve ancora ridursi a zero facendo @=0. Questa proprietà si 
verifica anche nel primo termine dell’ ultima trovata (g), dunque deve verifi- 
carsi (quando esista) anche nel secondo, dunque la costante deve essere una 
quantità moltiplicata per ©", nel qual caso conterrebbe la 7 e non sarebbe più 
costante. Non si schiva questa contraddizione se non supponendo la co- 
stante zero. 
Per tal maniera si conchiude che il valore del resto R può scriversi 


di Reprn te1) 
Raf CONE Lo) 
da cui, quando a =0, o=x 
| Mete: VAIO 
(é) alinea nai 


Ecco le due formole che danno i resti R, x senza derivazioni applicate alla 
forma f, e mediante un solo integrale definito; la seconda è stata trovata la 
prima volta dal Cauchy dietro un’analisi tutta diversa in una memoria che non 
è ancora stampata. 


(sarà continuato ) 


PARTE PRIMA 


SULLE INTENSITÀ 


DELLE VARIAZIONI DELLE QUANTITÀ 


MEMORIA 


DI ANTONIO BORDONI 


Le cognizioni di molte cause e di molti effetti sì naturali che artificiali di- 
pendono da proprietà relative alle intensità delle variazioni delle sole loro 
grandezze, per cui si possono concepire senza punto specificarne la natura 0 
specie: tali sono appunto le proprietà contemplate in questa memoria, le quali 
sì riferiscono alle sole intensità delle variazioni, cioè degli aumenti o dei de- 
erementi, delle quantità in genere; per il che riesciranno utili in molte ricerche 
sì naturali che speculative. E sebbene si possono esse concepire, contemplando 
le quantità in sè stesse, non ostante, per facilitare sì il concepimento che 1’ uso 
loro, supporrò le quantità relative ai punti di una linea, o di una superficie , 
ovvero a quelli dello spazio ; e nell’ esporle terrò appunto quest’ ordine 
medesimo. 

I valori di una quantità Q, corrispondenti ai successivi punti di una linea, 
siano tali da costituire una serie continua ed uniformemente crescente; e Q,, Q, 
esprimano quei valori particolari della Q stessa, che corrispondono ai termini 
di una porzione, della linea medesima, eguale alla unità. 

Se sì duplicasse , triplicasse , - - - la costante intensità della successiva varia- 
zione dei valori della Q, ordinatamente si duplicherebbe, triplicherebbe, - - - la 
differenza O, —Q,; anzi, tra la costante intensità, qualunque essa sia, della 
successiva variazione della Q e la differenza Q,—Q, vi sarà evidentemente un 
rapporto costante; e però si potrà usare, come si farà effettivamente , la diffe- 
renza Q,—-Q, per indicare la medesima costante intensità della successiva 
variazione dei valori della Q. 

Quando la differenza Q,— Q, eguaglierà la unità della specie delle quanti- 
tà O, la corrispondente intensità della variazione dei valori della Q, si chiamerà 
unità delle intensità delle variazioni dei valori delle quantità della medesima 
specie della ( stessa. 

Si immagini una linea, ai punti della quale corrispondano valori di una quan- 
tità Q formanti una serie continua ma variabile comunque. Se la variazione, 


- 


Opusc. Matem. e Fisici. 19) 


9$ PARTE PRIMA 


che ha luogo per la Q, passando da un punto di questa linea al prossimo se- 
guente di essa medesima, si mantenesse costante per una porzione qualsivoglia” 
della linea, si avrebbe una serie continua ed uniformemente crescente o decre- 
scente di nuove quantità. La intensità della variazione, che avrebbe luogo per 
questa nuova serie di quantità, è quella, che si chiamerà intensità della varia- 
zione della Q corrispondente al punto anzidetto, qualunque sia la variazio- 


ne di essa, 
Proposizione prima. 


Data quella funzione della porzione indeterminata di una linea, che rappre- 
senta una quantità relativa al termine variabile della porzione stessa; trovare 
la corrispondente intensità della variazione dei valori della quantità medesima? 

Si chiami, s la lunghezza della porzione della linea, Q (s) la quantità corri- 
spondente, /(s) la intensità richiesta, ed w, t le unità delle medesime Q, /. 
Evidentemente, ciò che sono Q(s), Z(s) per la parte s, saranno Q(s+ 0), 
I(s+0) per la s+- ©, qualunque sia la indeterminata @. 

Se pel tratto della linea la intensità della variazione della quantità Q fosse £, 
la differenza delle due quantità corrispondenti ai termini di esso sarebbe evi- 
dentemente 0; e però, se la intensità pel medesimo tratto @, in vece di essere /, 
fosse la /(s), la differenza delle quantità corrispondenti ai termini stessi, come 


quarta proporzionale dopo 


ZA GIPOTTO 
t, uo, I(s) sarebbe @ i PRA 
e se in vece essa fosse la Z(s + ©), l’ analoga differenza risulterebbe 
U i u a U 
den I(s+0) ossia @ A I(s) + 0° ” I'(s) + ecc. 
Ma la vera differenza delle due quantità corrispondenti ai termini del tratto o è 
o? 
Q(s+0@0)—Q(s) ovvero 0 Q'(s) + = Q'(s)+ ecc., 


e dev essere compresa fra le due 

u u Aa 

o-I, o-T+ 0° — I'(s)+ecc.; 

È t £. 

adunque sarà 
Tapd DU 
Ol= % Li 5d4 cioe Las Q'(5), 

sottintendendo le unità w, £. 


Vale a dire, la intensità della variazione della quantità Q relativa ad un 
punto qualunque di una linea è la derivata della Q stessa, presa rispetto al- 


é 
CALCOLO APPLICATO 99 


l’arco 0 meglio alla porzione corrispondente della linea medesima: proprietà 
molto interessante. 

Corollario I. I massimi e minimi valori della Z(s) corrisponderanno in ge- 
nerale a quelli della s, che renderanno 


Qisezo e ie) <Lovvera So: 


Corollario II. Per i punti, ove la Q sarà massima o minima, essendo 
Q'(s)=o, sarà pure Z= o. i i 

Corollario III. Se Q'(s) > 0, la Z(s) sarà intensità di aumento della Q; e 
reciprocamente se Q'(s)< o, la /(s) medesima sarà intensità di diminuzione 
della Q stessa. 

Osservazione. La P(s) sia una quantità omogenea alla Q(s), e relativa allo 
stesso punto della linea suddetta, al quale si riferisce la Q stessa: le variazioni 
sofferte da queste due serie di quantità, col passare dal punto corrispondente 
alla s a quello che corrisponde alla s + ©, sono 


2 3 
o P'(s) + A P"(s) + 23 P"(s)+ecc., 


. 


: tà) 


00) + QU)+ a 0!) + ecc; 


e però se sarà 2'(s)> Q'(5); 
ovvero P'(s)=0'(s), e P"s)>Q"(5); 
oppure P'(s)=Q'(5), P)=0"0), e PU) (0); 


---,le variazioni della P (s), almeno le corrispondenti ai piccioli o nascenti 
valori della ©, saranno minori delle variazioni corrispondenti della Q (5). 

Le P"(s), Q”(s), dalle quali possono dipendere le grandezze rispettive ed 
anco assolute delle variazioni dei valori delle quantità 2, Q, si chiameranno 
intensità di secondo ordine delle variazioni delle stesse quantità £, Q, per di- 
stinguerle dalle 2’(s), 0/(s), che si chiameranno intensità di primo ordine delle 
° medesime variazioni delle quantità P, Q. 

Sia f(x,y,z)=0 la equazione fra le x, y, z coordinate rettangole di un 
punto qualunque di una superficie, e Q(x,y,2) una quantità relativa a questo 
medesimo punto di essa, 

Per questo punto e nella superficie si immagini una linea, e si denomini s 
quell’ arco di essa, che ha i termini l’uno nel punto stesso corrispondente alle 
coordinate x,y,z e l’altro in quello pel quale le coordinale sono 


L+t@0,y+0,5+a. 


100 PARTE PRIMA 


Proposizione seconda. 


Trovare la intensità, Z, di primo ordine della variazione, che accade nella 
quantità Q col passare dal punto primo termine dell’ arco s al punto prossimo 
seguente appartenente all’ arco s medesimo? 

Si considerino le 0,0, funzioni dell’arco s, ela quantità Q pel termine 
variabile dell’ arco stesso sarà 


Q(2--0(5), y+0(0), s+-a(1)) 
purchè le 0(s), 0(s), @(s) abbiano la relazione 
Vi +0(s),y+0(s),z+a (5) == 
ed anco la seguente @'+ 0/24 a'?—= s'2, 


Dalla proposizione antecedente risulta 


0) as) + Q0) 05) + Qa) as) 
per la intensità di primo ordine della variazione della Q corrispondente al 
termine variabile dell’ arco s; purchè le derivate @/(s), 0/(s), a/(s) abbiano le 
relazioni seguenti 


S(0)A)+S(0)0()+f"(a)a'(s)=0, 
o (sYV+ 0'(sY+a/(sYf= 1; 
e però, siccome la / è quel valore della intensità qui esposta, che corrisponde 
ad s=o, e quelli delle Q/(@), Q'(0), Oa), f'(0), f'(0), f'(@) corrispondenti 
alla s=0 sono ordinatamente Q'(x), Q'(Y), O' (2), fe), {1 f(£); così sarà 
I=Q'(x)a+0Q'(y)b+Q'(z)c, 
o=Sa)a+f(y)b+f)c, 
1 =da'+ 0°+ c°, 
dove a, b,c esprimono i valori corrispondenti all’s=o0 delle derivate @/(s), 
0'(s), a/(s), cioè i coseni degli angoli fatti cogli assi delle x,y, positive dalla 
toccante l’ arco s nel suo primo termine, che è lo stesso punto della superficie 


al quale corrispondono le coordinate x, y, 2. 
Dalle equazioni 


/ de dz WrLi di 7 d 2\ ia 
fa+fA( E SOESAT)=o, 
derivate prime parziali esatte della f(x,y,2)= 0, si hanno 


ra=-So(T) So=1SUAT). 


CALCOLMORSTARPETCA TO IOI 


per cui la seconda delle equazioni esposte si riduce 
o (52) 0(55) c ossia € a(4£) e (7) 
==n.-- + bD(k_ |) =al-=— ssa la 
da dy da dy/' 
e però sarà 


I=(C@+ (e) 


edile (- (75) + d (DÌ ; cioè 


I=a0'+b50,, ed 1=a’+b’+(az'+bz), 


IAUE TANO A sa. AGE dz 3 Da, 
ove le 2‘, 2, indicano le derivate parziali (TE) ; (77) , eleQ',0,i binomi 
(e)+ 0"), Q'(Y)+Q'(2)z,, che sono le derivate parziali della Q(x,y, 2) 


prese, la prima rispetto alla x e la seconda rispetto alla y, avuto riguardo, 
che la componente 4 è funzione delle x, y. 

Concludiamo per tanto, che la intensità di primo ordine della variazione 
della quantità Q, secondo la direzione che fa cogli assi delle x, y angoli aventi 


a, D per coseni, è 
aQ'+b0Q,, 


purchè a, 6, abbiano la relazione seguente 
a+ b-+-(az+bz)=1. 
Corollario I. Se in questa equazione o nella equivalente 
(1+ 2°) + (1+22)b+2abz'z—1=0 
si pone per è il suo valore (Z—« Q'): Q,, cavato dalla eguaglianza 


I=aQ'+50Q,, 
si ottiene la seguente 
(1+2)/°-24aIl+a*B°-Q:=o0, 
dove A=(1+2))0'—z2z,0,, 
e B_=Q4+ i+ (2 Q,2), 
colla quale si potranno avere i valori della Z corrispondenti a valori dati dell’ «, 
per ciascuno dei quali saranno due quelli della Z; giacchè due sono appunto 


quelle direzioni della 7, che fanno coll’ asse delle x angoli aventi coseni fra 
loro eguali; eccettuato il caso di 


a=(1+2){(1+22+ 25), 


cioè che l'angolo compreso dalla direzione della intensità e dall’ asse delle 


102 PIA RUTIE A P_RBMIA 


sia il minimo, pel quale si ha solamente 
. Il . 
IZA:(1+ 224 23). 


Corollario II. La variazione della quantità Q non avrà intensità di primo 
ordine, quando accada secondo la retta faccente cogli assi delle ordinate x, y 
angoli, i coseni dei quali soddisfacciano le due equazioni 


VETO 
r=d'+0+(a2'+5b2), 
le:quali' danno. a Qin (nt 
e “c'—(2'0;a- 2 04/H% 


Fra le p, g,r coordinate rettangole di questa retta e parallele ordinatamente 
alle x, y, 2 si hanno le due equazioni 


(q = Q,= (p bri x) Q', 
(r_-2)Q=(p—x)(2"0,+2,0'). 
Corollario ITT. Se nel valore della Z cioè nel binomio a Q'+20, e nella 


equazione 
r=a'+ b+ (az'4+ bz,) 


si pongano —a, — d in vece degli a, 6, si hanno 
I=—-aQ0'-b5Q,, 1=a+b°+(az'+bz)); 


e però, se la Z a seconda di una direzione individuata sarà intensità di aumento 
per la quantità Q, secondo la direzione opposta sarà intensità di diminuzione. 


Proposizione terza. 


Trovare la massima o minima delle intensità considerate nella proposizione 
antecedente? 


Stante la medesima proposizione antecedente la presente si riduce a trovare 
quei valori degli a, è, che rendono massima o minima la quantità 


ped: / 
IzaQ'+b0, 
e che sono tra i soddisfacenti la equazione data 
a+b+(az'+bz)—1=0; 
e però essi saranno fra quelli, che soddisfaranno anco la seguente 
(D+ (az'+b3)5)Q—(a+(a2'+bz,)2)Q=0 
+ di PARO I Neto. 1 t; Ro 

cioè la Ab — Ca=0; posto (1 +2?) 0,—2'2,0'= C. , 


CALCOLO APPLICATO 103 


+ Quest ultima equazione dà è = -a, per cui la data medesima si riduce alla 
2A 


1 
(44 C+ (43+ Cz) )a'= A". 
Ma pei valori delle 4, C il polinomio 4°+ C°+(423'+- Cz)? equivale al prodotto 
(14 39+ 2? (Que Q+ (Q'z-Q, 2) ) cioè ad a°'B*, i 
dove a'= 1 + 2?4+- 2}; adunque sarà 


si d C 


2 Di CRISI 
a'= pi cioè a=t_, e b=zt_43. 
a B° 0 a B 
Sostituendo questi valori degli a, è nel binomio a Q'4#+-5Q,, si ha 
I x 
cniees a, (40'+C0Q); e siccome 40'+CQ,=B', 
7) 


così il richiesto valore della /, che denomineremo /,, sarà + oL 


I medesimi valori degli 4,6 dianzi trovati, e quello della 2/(@) desunto dalla 


equazione 


l'(a)=Q'+Lb'(a)Q,= 0, 
/ 
che è — O sostituiti nella 
I +d'(af'+ (+ Z; V'(a)f'+ (a3'2,+ (1+ 23) b'(a)) ba) = 0; 


la quale è la derivata seconda della data, la riducono alla 


Vo ti % 
di LI pod =o, 
ba 1 B:(.BX° 
che somministra Q,0'"(@)= F 5; (7) ; 
4 
Ma Q,b'"(a) è evidentemente il valore della derivata seconda della / presa 
rispetto alla a; adunque sarà 


VA) I A (0) 


Concludiamo pertanto, che la / è suscettibile di un valore massimo ed anco 
di un minimo; e che si hanno pel primo 


B d C De 
I=-, des Do elise Pa e c= p7 (#0+2,0)); 
CAperci altro 
B A C I INI \ 
SEM dt SI AT rina sce. + Z;().). 
ii an vara Ba? °° ai ta da 


Evidentemente, queste due intensità sono diametralmente opposte ed eguali 


104 PARTE PRIMA 


fra loro, come si doveva aspettare; giacchè la direzione, per la quale è massima 
la intensità per l’ aumento della Q, è la stessa di quella, per la quale è massima 
la intensità della sua diminuzione. 


Proposizione quarta. 


Una qualunque intensità di primo ordine è eguale alla massima di esse 
moltiplicata pel coseno dell’ angolo compreso dalle loro rispettive direzioni. 
L'angolo compreso dalle direzioni delle due intensità si rappresenti con //,,. 
Essendo 
A C 


I 
; BASTA Ip SIN Le x 
cet) db O LUI + dbz > (2 0'+ 2,0) 


) ai Lo a 
i coseni degli angoli fatti dalle direzioni delle /, /,, ordinatamente cogli assi 
delle x, y, 2, sarà 


CORSIE (a 4 +6bC4+c(3'Q0'+ 2,0))) ‘1a B. 


Ma il polinomio a A+bC+c(2'Q'+z,0), 
ossia a(4-4-23°0'+z'z,0)+b(C+2'3,0'4-3 ) 


è eguale ad a°(aQ'-bQ,) cioè ad a'/; adunque sarà 


cOn dI — ai ed Sr) e però 
I=1I,cos.IT,,, 


come si è dichiarato. 

Corollario I. Si chiamino /,, 7, due intensità qualsivogliono aventi le loro 
direzioni fra loro perpendicolari. 

Essendo 


—_— — 100, _— —_ 3 dtd =. n 
I=Iicost Ered, IL, cos:/ ig, pero i een i atha 


I 


Dial 


moi 


cioè la somma dei quadrati delle intensità fra loro perpendicolari costante , 
anzi eguale al quadrato della massima. 

Corollario TI. Per la Y= o si ha cos. Z7,, ossia l’ angolo 77, retto; e però 
la direzione della massima intensità di primo ordine è perpendicolare a quella 
di nessuna intensità, 

Corollario III. Nel piano tangente la superficie nel punto di coordinate 
x, Y, 2 si immaginino quelle due circonferenze, le quali hanno per diametri le 
rette rappresentanti le direzioni e grandezze della +/,. Quelle corde, di que- 
ste circonferenze, che hanno un termine nel punto anzidetto e la medesima 
direzione della #2 Z, sono evidentemente eguali a © Z,, cos. 77, ; e però le 


m 


intensità di primo ordine, sì degli aumenti che delle diminuzioni della Q, sono 


CALCOLO APPLICATO 100 
rappresentabili con quelle porzioni delle rette direzioni di esse, che sono corde 
delle circonferenze dianzi immaginate. 

Evidentemente queste due circonferenze sono tangenti la retta rappresen- 
tata colle due equazioni esposte alla fine del corollario secondo della propo- 
sizione antecedente. 

Corollario IV. Per quel termine della retta rappresentante la Z,, che è fuori 
della superficie, si immagini condotta la perpendicolare alla medesima dire- 
zione della 7, e nel piano tangente la superficie; e chiamisi D la porzione 
della retta direzione della / intercetta fra questa perpendicolare ed il punto di 
coordinate x, y,z: sarà 

2 


ci o) Spero ico 2a 


Così, si chiamino /,, D, due altre quantità analoghe alle Z, D; e si avrà 


2 


— m, é x 
fr 7: e conseguentemente sarà 
I 


I 


ASI Bin - ossia pala Deal): 


cioè le intensità di primo ordine degli aumenti della Q saranno reciprocamen- 
te proporzionali a quelle porzioni delle rette rispettive loro direzioni, che 
saranno intercette tra il punto in comune e la retta immaginata. 


Proposizione quinta. 


. Trovare ia linea a seconda della quale hanno luogo le più rapide variazioni 
della quantità Q? 

La linea richiesta è nella superficie, per cui fra le sue coordinate x, y, 2 si 
ha la equazione f(x, y, 2) = 0; e nel punto, ove corrisponde la quantità Q, ha 


la tangente, che fa cogli assi delle ordinate x, y angoli, i cui coseni sono 
ci ; E e però per essa medesima la dg sarà eguale a 
TRA TS dis da su 


v 


C 


a OSSIA a lr: 
Ba” Ba “VA 
Quindi un’ altra sua equazione sarà la seguente 


ueoza cioè 


((1 +2) 0'— 3z,0)) {4 —(1+22)0,+2'5,0'= 0. 


Dimodochè, sostituendo in questa equazione in vece delle Q/, Q, i loro valori 
Opusc. Matem. e Fisici. 14 


106 PARTE PRIMA 
formati colle x, y, 2, 2°, 2,, e nella risultante ponendo quelli delle z, 2, 2, tutti 


formati colle x, y e desunti dalla f(x, y,z) = 0, avrassi una equazione fra 
d DANILA, i 
le Lara (72) , la cui primitiva completa combinata colla stessa f(x, y,z)=0, 


darà la linea o meglio la famiglia delle linee alla quale apparterrà la richiesta. 
5 5 
Volendo una particolare di queste linee, per esempio quella che passa per un 
punto dato, converrà determinare opportunamente la costante arbitraria con- 


tenuta nella primitiva completa. 
Osservazione. Per una qualunque di quelle linee, per ciascuna delle quali la 


quantità Q è costante, si ha 


a0'+b0Q,=0; 


e però le equazioni della famiglia di queste linee saranno evidentemente 


f(x,y,3)=0, (Aoa+=o. 


Proposizione sesta. 


Trovare la equazione del piano, che passa per la direzione della Z,, e per la 
normale della superficie data nel punto, ove corrisponde la Z,, stessa ? 
Fra le coordinate p, g, ” rettangole della retta direzione della intensità Z,, si 


hanno evidentemente le equazioni 
(A_y)A=(p_x)C, 
(—)4=(p—x)(#4+5,0); 

e fra le p, g, r coordinate analoghe della normale alla superficie hansi le 


y)zi=(P-—3)z,=0.,, (n_—2)Z+p—x=o;; 


(9 
e però, fra le p, g, coordinate rettangole del piano individuato da queste due 
rette, avrassi la equazione 


( e 30) PELOSA 


siccome facilissimamente si può verificare. 


Proposizione settima. 


Date le grandezze e le direzioni di due intensità del primo ordine della va- 
riazione della Q, trovare la massima di tutte le possibili intensità di primo 
ordine della quantità Q stessa ? 

Siano /,, 7, le due intensità date, ed 4,, 4,5 5, d,; C,, C, i coseni degli 
angoli da esse fatti cogli assi delle x, y, 2. 


CALCOLO APPLICATO 107 
Essendo 


I, ==2/0fbanb; Gpl 


2 


f 
a; 0'+0,0,, 
si hanno 


(a, birra) Ob ed; ’ 
(a, demo i _dilsnh ’ 
(ab, —a,b,)(0"—Q,3)=c,I,—-c,1,; 


e però, sommando i quadrati dei membri corrispondenti di queste tre equa- 
zioni, sì avrà 


(ab, — b,a,) B=f+DB_-2(aa,+6bb,+c,c)I,I,. 


—_— —_- I —_ 
€ ta dla 3 2 ° 
Ma aa,+06,b,+c,c,=cos./,I,, ed (ab, —b,4,) = SPARE 


adunque sarà 
b| 


27 7 — — 
PERL VE ZI bel ZA ii peli Bel bg 


cioè /} sen. //,=/I+1I?— 21, I,cost,l,, 


equazione, che somministra immediatamente la Z,, richiesta, la quale farà colla 
direzione della Z, un angolo, che avrà per coseno /, : Zm - 

Corollario. Se un’ altra quantità 2 relativa al punto della superficie, al quale 
si riferisce la Q, avrà due intensità di primo ordine 77, 77, secondo le dire- 
zioni delle /, , Z, eguali rispettivamente a queste medesime, ogni altra intensità 
di primo ordine della P stessa sarà eguale a quella della Q avente la medesima 
direzione. 


Di fatto, dalle due equazioni 
«ELL ce 
I*sens/, A, =" 4-Mi,.—2i, Iicos4 It, 
2 ap 7] PT Ta I A 
Pa sn Tipo 08,71, 


si ha /_ eguale a 77, massima intensità di primo ordine della quantità P, 
e dalle 


Pohl T 
EL hi F] Fr n I 

cost In=7- > cos. 7’, Tn= pr 
m m 


II ll AR 17 
cioè le massime intensità sono fra loro eguali e dirette secondo la medesima 
retta; e conseguentemente anco tutte le altre intensità aventi la stessa dire- 
zione saranno anch’ esse fra loro eguali. 

Se la proprietà qui sopra ammessa avrà luogo per un punto qualunque della 
superficie, evidentemente sarà P stessa eguale alla Q o differirà al più di 
una costante. 


108 PARTE PRIMA 


OSSERVAZIONE PRIMA 


In questa osservazione espongo un esempio di alcune cose trattate, il quale 
racchiude proprietà, che occorrono molte volte sì nella teorica che nella 


pratica. 
La superficie, alla quale si riferisce la quantità Q, sia la sferica rappresen- 


tata colia equazione x°+y°+2°—1=0. 
Essendo f(x, y,2)=x"+y°+z2°—1, si hanno 2'=— 
a= sO (az O) 100 Q'(x) — xQ'(3) : 
o=1(0 0) 70), -Q=1(x0)-y 2). 
Questi valori sostituiti nella frazione È danno 
L=V{(CM-x 0 00M]. 
ossia IaV{O}+ QU} + O (20) +20) +50). 
Quando la Q(x, y, 2) sia funzione omogenea, si ha 
In=V(Q'@af+0(p)+0'@f_n° 0), 


ove lr: esprime la dimensione della Q stessa. 
Per un caso di questo esempio, sia Q una funzione composta delle due com- 


ii 
ale 


ponenti e=-Z, u=2; e si avranno 
O)=— (10) +01), 
o()=10, Q)=10') ed n=0; e però sarà 
In=1V(OW)+ + (10) +10 )), 
cioè Ie Vi+ +) V(00+ + (10M) + 0) ), 


giacchè dalla equazione x° + x°#*+ a*2=1 si ha e=1:V(1+0+w). 


Non espongo i risultamenti, che sì ottengono col sostituire nelle altre for- 
mule generali relative alla intensità /,, qui trovata, perchè non presentano 
nessuna difficoltà ; ed in vece fo riflettere, che in questo esempio la quantità Q 
si può ritenere relativa ad una delle infinite rette passanti pel centro della 
sfera e funzione qualsivoglia delle x, y, 2 coseni degli angoli fatti dalla retta 
stessa con altre tre fra loro perpendicolari, ovvero funzione delle due tangenti 


CALCOLO APPLICATO 109 
degli angoli fatti coll’ asse delle x dalle projezioni ortogonali nei piani degli 
assi delle x,y; .x,z della retta medesima alla quale si riferisce la quan- 
tità Q stessa. 


OSSERVAZIONE SECONDA 


Siccome la conoscenza delle variazioni della quantità Q pei punti, ove rie- 
scano nulle le Q', Q, separatamente, come accade in quelli per i quali la Q 
stessa è massima o minima, dipende dalle intensità di secondo ordine delle 
variazioni di essa; così espongo le due proposizioni seguenti. 


Proposizione ottava. 


Trovare la intensità di secondo ordine, $, della variazione della quantità Q 
contemplata nella proposizione seconda, ma corrispondente ai punti dove le 
Q', O, sono nulle? 

Ritengo le denominazioni già introdotte etti per la proposizione 
seconda, e considero immediatamente la Q come funzione composta delle sole 
X,Y} cioè intendo posto nella Q(x, y, 2) il valore della 2 cavato dalla equa- 
zione della superficie, e rappresento il risultamento colla Q stessa. 

Dalle prime due proposizioni risulta, che S sarà il valore corrispondente 
alla so della derivata seconda, presa rispetto alla s, della quantità 


Q(c+0(5), 7 +05), 
a "Q+ 2a60Q+00,,+ 0! "+ +%Q, 2 
a'Q4 2060 + 0° Qu, 
per essere Q'=0, Q,=0; vale adire sarà 


S=aQ+ 2060 +00, 


il quale sarebbe 


ma riducesi all’ 


dove le 4,5, coseni degli angoli fatti dalla direzione della S' cogli assi delle 
x, Y, abbiano la relazione seguente 


a'+0°+(az''+bz) —1=0. 


Corollario. Scelto per piano degli assi delle coordinate x,y lo stesso piano 
tangente la superficie nel punto, ove corrisponde l’attuale quantità Q, essendo 
on = 0, sara 


S=Da + 20abE+F0%?; 


dove le D, E, significano i valori corrispondenti delle tre quantità Q”, 05, Q,,; 
e le a, 6 hanno la relazione a+ 9°= 1. 


r10 PARTE PRIMA 
Dimodochè, denominato 4 l’angolo, che ha per coseno 4 e per seno 6, sarà 


SD cosìu+ 2E cosusenu + Fsen'w, i 
OVVero sui (D— F)cos.2w+ £ sen.2u + - (D +). 


Se fosse D=F, ed E=0, risulterebbe S= D, cioè S costante od indi- 
pendente dalla sua direzione. 


Proposizione nona. 


Trovare i valori massimi e minimi della intensità $S contemplata nella pro- 
posizione antecedente ? 


n) PRA AO | II ÎÀ 2 
Essendo Sea Q + 2abQ,+ bd Ji ; 
ed ia +0+(az'+ bz,), 


i valori dei coseni a, è corrispondenti al massimo o minimo della $ soddisfa- 
ranno anco la equazione 


(aQ+b01)((1+27)B-+2z,4)—(6Q,-a0)((1+2)a+250)=o0, 


ossia. L ()) III (È) EN =.00° 


a 
posto (1-2) Q/—#2,0,=; 
(14-29) Q,=(1+22) "=, 
ed (14-22) O/—2'2,0"=N. 
E sostituendo nella eguaglianza 
S=a(aQ"+ 60) + baQ+50,) 


in luogo dei binomi «Q”+50/, aQ/ +80, separatamente i loro valori, 
desunti dalla prima equazione qui trovata, si hanno le due 


(i + 22)db + 2'z,a) Sa0+50,, 
(Gi +2)a +25, b) Sagl 50,3 
dalle quali, eliminando il rapporto i si ottiene la seguente 
a'$-PS+R=o0, 
dove a'=1+ 2? + 23 come superiormente , e 
P=(1+2))0"+(1+22)0,—22'3,0/, 
ed R=0Q"Q,—Q?. 


G'A'L' CO L'OSAPPLEGATO BI I 


Sciogliendo le due equazioni, qui trovate, la seconda rispetto alla S e la pri- 
ma rispetto al rapporto (=), si avranno le grandezze e direzioni della massima 
AU 


e minima intensità richieste. 
Siccome queste medesime due equazioni trovate contengono visibilmente le 


. x (#4 . . . . 
quattro quantità Q”, 0, Q,» go come le due relative alle massime e minime 


curvature sferiche della superficie rappresentata colla equazione f(x, y, 3) =0 
contengono le quantità 2", 2}, 2,,, ed il raggio di queste curvature; così non mi 
trattengo in ulteriori considerazioni ad esse relative, giacchè riescirebbero ri- 
petizioni di analoghe relative a queste curvature d’altronde notissime. 
Osservazione. Dal punto , ove corrispondono le coordinate x, y, si immagini 
condotta la retta a seconda della direzione della intensità £ qualsivoglia, ed 
I 
VS 


essa, ammessa la origine loro nel punto dove corrisponde la quantità Q: sarà 


eguale ad ; e si chiamino p, g le coordinate rettangole dell’altro termine di 


a=pVs-nb=g Ser però pP+daî=3, 
ed S=Dp°S+2EpqS+Fq°S, ossia Dp°+ 2Epqg+Fq=1. 


Questa equazione insegna, che, le intensità di second’ ordine delle variazioni 
delle quantità Q, sono reciprocamente proporzionali ai quadrati dei semidia- 
metri della linea di second’ ordine rappresentata colla equazione medesima , ed 
aventi le stesse direzioni di esse; e conseguentemente queste intensità avranno 
fra loro tutte quelle relazioni, che vi sono fra i quadrati reciproci dei semidia- 
metri di una linea di second’ ordine. Per esempio, denominate $, ; $, le inten- 
sità massima e minima di second’ ordine, le quali avranno luogo secondo gli 
assi della linea anzidetta ; sarà 


SS, c08.°S5 + S, cos.S$, ; 


la somma di due intensità a direzioni fra loro perpendicolari sarà £, +4, e 
però costante. 

E qui si rifletta, che, per avere la S, secondo qualsivoglia direzione, non è 
necessario conoscere propriamente quella funzione delle x, y, che rappresenta 
la quantità Q; giacchè basterà conoscere il massimo ed il minimo valore della 
$ medesima, come risulta dall’ultima equazione esposta; ovvero conoscere i 
due valori della S' secondo due diametri conjugati della linea di second’ ordine 
anzidetta e l’ angolo compreso dalle loro direzioni; ed anco basterà conoscere 
tre valori qualsivogliono della S medesima e gli angoli compresi dalle loro 
direzioni, essendo ciò sufficiente per determinare le grandezze e le posizioni 
dei massimi e minimi valori della S, e però ogni altro valore di essa 
medesima. 


I12 PARTE PRIMA 


Proposizione decima. 


Trovare la intensità di primo ordine di quella variazione, che è sofferta da 
una quantità col passare da un punto dello spazio ad un altro prossimo se- 
condo una data direzione ? 

Si chiamino x,y,z le coordinate rettangole di un punto dello spazio, 
Q(x, y, 2) la quantità relativa ad esso, s una porzione indeterminata della 
retta avente un termine nel punto medesimo e condotta secondo la direzione 
data; «, d, c, al solito, i coseni degli angoli fatti dalla s cogli assi delle coordi- 
nate x, y, zj in ultimo chiamisi / la intensità richiesta. 

Essendo x + 45, y +55, z+ cs le coordinate rettangole di un punto qua- 
lunque della retta direzione data, la quantità Q relativa a questo medesimo 
punto di essa sarà 

QO(+as, y+bDs,2+cs); 


e però la Z intensità richiesta, sarà il valore corrispondente alla s=0 della 
derivata prima, presa rispetto alla s, di questa medesima quantità, il quale evi- 
dentemente risulta 


aQ'(x) +bQ0'(Y) +00"(z); 
I=aQ'(x)+b0Q'(y)+c0'(2), 


dove però gli «, 6, c hanno la notissima relazione 


e per tanto sarà 


LIZA e 


Corollario I. Per ogni direzione delle retta s, a seconda della quale la 7 
riesca nulla, sarà 


o=aQ'(x)+50'(y)+c0Q'(z). 
Si chiamino p, q, ” le coordinate x +45, y+d5, 2+cs, cioè siano 


x+as=p,y+bs=q, z+Ccs=r e però 


I 
si = (P_x), b=- (g-y), o=t(r—z); 
e la equazione dianzi trovata si ridurrà 
o=(p_—x)Q'(x)+(g—y)0'(y)+(r—20Q"), 


la quale insegna, che, le direzioni a seconda delle quali i valori della 7 sono 
nulli, esistono nel piano tangente la superficie rappresentata colla equazione 


Q(x, y, z)= K costante. 


Corollario II. Essendo Q'(x), Q'(y), Q'(2) le intensità di primo ordine 
della variazione della quantità Q parallelamente agli assi delle x,y, 2; e le 


CALCOLO: APPLICATO 113 


a, b, c i coseni degli angoli compresi dalla direzione della / e dagli assi mede- 
simi, dalla equazione 


T=aQ'(x) +0Q(7) +00") 
risulta una regola facile per trovare qualunque intensità di primo ordine, 
quando se ne conoscano tre a direzioni fra loro perpendicolari. 


Proposizione undecima. 


Trovare la direzione e la grandezza della massima o minima intensità consi- 
derata nella proposizione antecedente ? 


Essendo I=aQ'(x)+050Q'(y)+c0'(z), 
ed 1ca'+b+cÈ°, 


i valori dei coseni 4, 6, c 0 di queste quantità in generale, che rendono mas- 
sima o minima la /, soddisfaranno anco le due equazioni 


bQ'(x) -a@Q'(y7)=0, cQ(x)—aQ'(z)=o0, 


le quali combinate colla data a° + 0°+ c°=1 somministrano 


coad9) 36 A RP 04 
TI EN, ARI A 


dove % esprime il radicale positivo 


y(Q'(aft+ (7) +08); 


e questi valori delle «, d, c, sostituiti nella espressione generale della 7, danno 
per valore corrispondente della Z, che denominerò 


SLI V(O'()t + Q'(yf+ O'()°) : 


Dalla espressione generale della Z e dalla relazione delle «, 6, c si hanno 

d° I bun G diana at cl 

(FEC0() (Aa. 

dat: 1 d°c CR a O 

n) Q(£) SEO Tab) ici cia) 
d° I CREATE I. SIE + c° 
17) = CE) (78). TR)=— 

e però sarà 


Tae e+A E (et, 8-- alb 


Questi valori delle derivate seconde parziali della Z danno 
Opusc, Matem. e Fisici. 15 


PARTE" PRISMA 
9 2 272 If) 4 
(73) (7) " (12) Ss "i “a TE; 


quantità positiva; e per tanto i valori trovati della Z saranno i richiesti. 
Si può avere questa espressione della /,, anco con quest’altro metodo. 
Si divida ciascun membro della equazione 


I=aQ'!x) +50) +00) 


Q'(2) 
MU? 


bei 
bei 
ESS 


per M; e si avrà la 


TOR Op) 
MES 


€ 


il cui secondo membro è visibilmente il coseno dell’ angolo , 2, compreso dalie 
direzioni della Z e della normale alla superficie rappresentata colla equazione 


O.) 


[= Mcos.w. 


e però sarà 


Ma da questa equazione risulta, che il massimo ed il minimo dei valori della 
corrispondono al massimo e minimo del cos.w, i quali sono più uno e meno uno; 
adunque quelli della Z saranno +4, —M, e le loro direzioni la medesima 
normale anzidetta. 

Qui pure, come nella proposizione terza, la Z è suscettibile di un massimo e 
di un minimo valore; ma siccome uno è diametralmente opposto all’ altro , e le 
loro grandezze sono eguali, e si riferiscono 1’ uno ad aumento e l’altro a dimi- 
nuzione della Q, dimodochè sono in sostanza due massimi l’ uno relativo agli 
aumenti e l’altro alle diminuzioni della quantità Q; così limiterò le considera- 
zioni seguenti al solo primo, pel quale si ha 


I,=V(O@HX+Q'yf +2), 
fa) : 40 > baz 2 c= 0'(2) : 2 : 


Corollario I. La equazione trovata nella seconda soluzione della proposi- 


zione proposta cioè la 


I=Mcos.w ossia Z=Z,cos.I7, 


"nm 
esprime, che, una intensità di primo ordine qualsivoglia eguaglia la massima di 
esse moltiplicata pel coseno di quell’ angolo, che è compreso dalle direzioni di 
essa e della massima: che sono eguali fra loro tutte quelle, le cui direzioni fanno 
angoli eguali con quella della massima medesima ; ed anco, che, le rette rap- 
presentanti le direzioni e grandezze di tali intensità ed aventi un termine nel 
punto di coordinate x, y, 2, sono altrettante corde di quella sfera un cui dia- 
metro rappresenta la /Z,. Questa sfera è evidentemente tangente la superficie 
avente per equazione Q(.x, y, 2) = X. 


® 


CALCOLO APPLICATO 115 
Corollario TI. La retta rappresentante la intensità / si supponga prolungata 
sino al piano tangente la sfera anzidetta nel punto opposto a quello al quale 
corrispondono le coordinate x, y, 2; e riesca Z la sua lunghezza. 


n La _—— è 
Essendo cos./,£ ossia cos. al iL edSl=/,00841,.;s1 ha 
2 
ln 
late 


e però due intensità qualsivogliono saranno reciprocamente proporzionali alle 
rette analoghe alla Z e relative ad esse medesime. 

Corollario LIT, Se le direzioni delle massime intensità di primo ordine delle 
variazioni della quantità Q relative ai punti dello spazio fossero tutte fra loro 
parallele, si avrebbero le tre equazioni 


MEI e DRM OL e MO AIA E) 
ove 4, B, C esprimono tre costanti, le quali equazioni somministrano 
Q=zAdx+By+Cz+D, 


D costante arbitraria; e però le superficie, in ciascuna delle quali vi sono i 
punti corrispondenti a quantità Q eguali, s sarebbero piane e fra loro parallele. 

Corollario IV. Così, se le direzioni delle massime intensità passassero tutte 
per un medesimo punto, scelto il medesimo per origine delle coordinaie, si 
avrebbero le due equazioni 

aio 2 CERVI a, a Li A TATO 
rQ()-xQ'y)=0, sQ'(x)—x0(7)=0, 
le quali danno 
Q=pe+y+2), 


ove G(x°+ y°+ 2°) esprime una funzione qualunque di x°+y°+ 2°; e con- 
seguentemente le superficie, ai punti di ciascuna delle quali corrispondono va- 
lori della quantità Q fra loro eguali, sarebbero sferiche e concentriche. 

Corollario Y. Peri punti dello spazio, nei quali le massime intensità sono 
funzioni simili delle corrispondenti quantità , si ha la equazione 


I 2 ARR, 1/3 Cara 
'(eV4+ 0 (f+ Q'(Y_P(O)=0, 
ove P(Q) indica quella funzione di ogni valore della quantità Q, che esprime 
la massima intensità corrispondente. 
Questa equazione fra le quattro variabili x, y,z, 0 e le derivate prime 


parziali della Q ha per primitiva generale la ona della eliminazione delle 
quantità a, 8 dalle tre seguenti 


OA 


,8)=0, 
RA Vero, 


OMO) +F(6)=0, 


It Vara P) 


116 PARTE PRIMA 


dove F(a,8) esprime una funzione arbitraria delle quantità «,8; e la y(Q) 


È | I 
è posta in vece della fr dOQ . 
P(Q) * 

Si osservi, che la prima di queste tre equazioni è una primitiva completa 
della proposta, ove le costanti siano @, 8, /'; e che i primi membri della se- 
conda e terza sono le derivate prese rispetto alle «,8 del primo membro della 

») 
prima di esse; ed anco che le medesime tre equazioni danno 


eZ TEA UO) —F(a), 

SA e EA 
TRA 
== Tara pe) V (0) — ala) — 8F(0) + Fa, 8) 


cioè le coordinate di quei punti per i quali, la quantità essendo Q, la intensità 
di primo ordine della sua variazione è P(Q). 

Individuata la funzione /°(«, 8), che entra in queste tre equazioni, e dato 
un valore particolare alla quantità Q, indi variate le «, 8, nei risultanti e cor- 
rispondenti valori delle x, y, z, si avrebbero le coordinate di una superficie, 
la quale cambiarebbe, dando altri valori continui alla Q, e queste diverse su- 
perficie sarebbero tante, quanti sono i valori attribuibili alla Q stessa: tutte 
queste superficie sono tra loro parallele, giacchè le p, g, » coordinate di una 
retta normale di esse hanno evidentemente le relazioni seguenti 


art+-p+(1+a°)PF'(a)+aBF'(8)—aF(a, 8)=0, 
Br+q+aBF'(a) + (14 B°)F(8)—BF(a, B)= 0, 


le quali non contengono la Q. 


Proposizione dodicesima. 


Fra le infinite intensità di primo ordine delle ‘variazioni della quantità Q 
relativa ad un punto qualunque dello spazio, essendo date le grandezze di tre e 
gli angoli compresi dalle loro direzioni, trovare la massima ? 


Si chiamino Z,, Z,, 73 le intensità date, ed 4, d, c, s, t, u ordinatamente i 
coseni degli angoli: Z, Z,., 443, 2,13, 4:Ino IIa Iata ed fig, h i seni 
dei primi tre, e 7° il quintinomio 

r-ad-b'—c'+ 2abe. 
Pel noto teorema di Carnot si ha la equazione 


V°=f°u+g°t+ h°s—2zast—-absu—2ctu+ 2abtu+2acsu+ 2bost; 


CALCOLO ARPPLICATO 117 


e però, siccome dalla proposizione antecedente risultano 
EZI Ai n e 4 
così avrà luogo la equazione seguente 
V°1=f°I+g*I+I3—20I], I, -2bI,I—-2cI,1; 
+ 20b1I,I, + 2acI,13+ 2bc1,1z, 


la quale somministra immediatamente il valore richiesto della /,, . 

La direzione di questa medesima intensità avrassi mediante i valori degli 
s, t,w ora conosciuti, 

Corollario I. Se gli angoli Z,/,, 1143, 4.13 fossero retti, sarebbero 
n — —o —_—rr—— piadle —— — x 
iero aaa xe: però 


I=PFh+B+1Ih. 


Corollario FI. Se le quantità Q; P, relative al medesimo punto dello spazio, 
avranno, secondo le medesime tre direzioni, intensità di primo ordine rispet- 
tivamente eguali fra loro, le loro intensità di primo ordine a seconda di qualsi- 
voglia altra direzione saranno anch’ esse fra loro eguali; giacchè dall’ ultima 
equazione, qui sopra esposta, risulta, che le grandezze e direzioni delle loro 
massime intensità sarebbero le stesse; e conseguentemente anco due altre qual- 
sivogliono loro intensità, aventi la stessa direzione, saranno fra loro eguali. 
Anzi, se la proprietà enunciata fra tre intensità avesse luogo, qualunque fosse 
il punto, al quale si riferiscono, si avrebbero le tre equazioni 


P(x)=Q(x), P'(y)= 07), P'()=Q%), 
ove le x, y,z sono variabili; e per tanto la P (x, y, 3) o sarebbe eguale alla 
Q (x,y, 2) o ne differirebbe di una semplice costante. 

Osservazione I. Quando si conoscano gli angoli compresi da quattro rette e 
le intensità di primo ordine secondo tre di esse, si può determinare ta intensità 
secondo la quarta, determinando la massima, come si è fatto qui sopra, indi 
l’angolo fatto dalla direzione della richiesta colla direzione della massima e la 
richiesta colla proposizione penultima; ed anco, si può desumere la quarta 
immediatamente dalle tre date e gli angoli compresi dalle quattro direzioni; 
ma non credo di esporre quest’ ultima soluzione, perchè sarebbe una replica di 
una analoga esposta in altra oecasione rispetto alle forze ed ai momenti nella 
memoria, che verte sui momenti ordinari, dirò solo, che le quattro intensità 
riescono proporzionali alle aree delle facce di una piramide triangolare, che 
abbia i piani delle facce stesse perpendicolari rispettivamente alle direzioni 
delle medesime intensità. 

Osservazione II. Se si conoscessero solamente due intensità 7, , Z, e Ì' ango- 
lo Z, 7, compreso dalle loro direzioni, non si potrebbe determinarne una qua- 
lunque, ma si potrebbe trovare la massima di quelle aventi le direzioni nel 


118 PARTE PRIMA 


piano individuato dalle direzioni delle due date ed anco una qualsivoglia di 
esse; giacchè sarebbero queste altrettante corde della circonferenza circoscritta 
al triangolo, di cui due lati sarebbero le rette rappresentanti le stesse due /,, /,. 


OSSERVAZIONE TERZA 


Sebbene i valori della quantità Q relativi ai punti della superficie rappre- 
sentata colla equazione 


a LE eni 
Q (x,y, 2) =K 
siano fra loro eguali, non ostante, la massima intensità di primo ordine cioè la 
ne , 2 f n 2 v re a 
I, ossia V(Qe}+ QQ) 
relativa ai punti stessi, cambia dall’uno all’ altro; e talvolta interessa la mas- 
sima intensità di primo ordine della sua variazione, cioè la sua grandezza e 


direzione: ciò si avrà mediante le proposizioni seconda e terza, surrogando 
alla equazione 


f(x,y,2z)=0 la Q(x;y, 2) —K=0, 


ed alla quantità Q (x, y, 2) la seguente 
/ 2 1/2 I7\2 fre INN / Toe) A 
V(Qet+ 0 f+ (4) ossia Q3)V(1+22+ 23), 
ove le 2’, 2, siano desunte dalla medesima equazione della attuale superficie. 
Per esempio, ammesso il piano degli assi delle x, y lo stesso tangente Îa 


superficie avente per equazione Q0 —K=0, nel punto di coordinate x, y, 2, 
le 4, B°, C usate nelle proposizioni citate, risultano eguali ordinatamente alle 


e però la grandezza della massima intensità richiesta sarà 


Va a): 


ela direzione farà coll’asse delle attuali ordinate x l’an golo avente per tangente 


[Foti ) 
dydz}j'\dxdz}' 


In questo esempio delle proposizioni seconda e terza, la quantità, /,,, alla 
quale si riferisce la intensità contemplata, contiene le derivate di un’altra, 
che è la Q: ciò che si è detto per esso, si potrà estendere a tutti i casi analo- 
ghi, cioè a quei casi, nei quali fra le componenti delle quantità a contemplarsi 
vi saranno delle derivate solamente indicate. 


CA'LCOEO% APRPEDNGATO 119 


OSSERVAZIONE QUARTA 


Quando la intensità di primo ordine delle variazioni della quantità Q siano 
nulle ovvero eguali fra loro solamente, la conoscenza delle variazioni della @ 
stessa dipende dalle sue intensità di second’ ordine; e però occorrerà la 


Proposizione tredicesima. 


Trovare la intensità di second’ ordine, $, corrispondente a quella di primo 
ordine, considerata nella proposizione undecima? 

Siccome la S dev’ essere il valore corrispondente alla s= o della derivata 
seconda, presa rispetto alla s, della quantità Q(x+4s, y+ds, 3+Cs); così sarà 


S=Aa+Bb+Cc+2Dab+2Eac+2Fbc, 


dove 4, B, C,D, E, F esprimono ordinatamente le derivate 
Q'(x) Q'(y) Q'"(z) d°Q ) d'Q ( d'Q 
Ù 7 °\dxdy}\dxdz}” \dydz}° 
e le a,6,c hanno la solita relazione 
a+b+c°=1. 

î I ci ani 

Scelgasi la parte delle retta s eguale ad VS? ° denomininsi p, g, r le coor- 
dinate rettangole as, ds, cs, la cui origine sarà nel punto ove corrisponde la 
quantità Q. 

Essendo as=p, bs=q, cs=r hansi a=pV/S, b=qVS, c=rVS; e però le 
due relazioni od equazioni, dianzi esposte, si ridurranno alle seguenti 

tCicdpyBg+Cr+2Dpq+2Epr+2fFqr, 
S'=p+gq'+r°, 

le quali manifestano, che le intensità S'° di second’ordine, sono reciproca- 
mente proporzionali ai quadrati dei semidiametri della ‘superficie di secondo 
ordine rappresentata dalla prima e diretti secondo le S; e per tanto avranno 
luogo, per le attuali intensità, proprietà analoghe a quelle, che hanno i qua- 
drati reciproci dei semidiametri di una superficie di second’ordine. Per esempio, 
la somma di tre qualsivogliono di esse, che abbiano direzioni fra toro perpen- 
dicolari, sarà costante; la massima cadrà secondo il minimo e la minima secon- 
do il massimo asse della superficie rappresentata colla equazione 


ticA4p+Bqg+Cr+2Dpq+2Epr+2Fqr: 
se le D, E, f saranno nulle e le A, B,C fra loro eguali, le intensità S' cor- 
rispondenti saranno tutte fra loro eguali; e chiamate S,, $,, 53 le tre dirette 


secondo gli assi, una delle quali sarà la massima ed un’ altra la minima, st avrà 


Ste $, cos. S Da at Si cos. 5 Hi den Sa cos. S LA i 


120 PARTE PRIMA 


Proposizione quattordicesima. 


Trovare la massima e la minima intensità di secondo ordine fra quelle, che 
hanno le direzioni nel piano tangente la superficie rappresentata colla equa- 


zione Q(x, y, 3) - K=0? 
Per la speciale direzione ammessa, le @, è, c hanno anco la relazione 
aQ'(x)+b0'(y)+c0Q'(z)=0; 


e però si dovranno trovare i valori delle stesse quantità 4, 6, c, che rendano 
massima 


S=Aa+B5+Cc+2Dab+2Eac+2Fbc, 
e che sono tra quelli soddisfacenti le due equazioni 
d+b+c=1, 
aQx)+b 07) + cQa)=o. 
Dalla equazione Q (x, y, 3) A=0 si hanno 
= - 1, VE -U1, 


per cui l’ultima equazione equivale alla 4 2'+5z,=c, la quale riduce la pe- 
nultima alla 


d+0+(az'+bz)=1, 


e la espressione della S alla seguente 


(A+Cz2+2E3)d+(B+C2+2Fz)b° 
+2(D+ Cz'z,+Ez+F2')ab. 


Ma dalle equazioni derivate seconde parziali esatte della stessa Q—A=0 sì 
hanno le tre 
A+ C22+2Ez'=—-QQ'(2)2, 
olo DU —_ m\ 
D == Cz Cia 13) &, AT Pa Q'(2) zi 3 
” —— 1 -” I, PI 
A Ba Cz +aFz=—Q'(2)2,; 
per cui risulta ” 
Sa (dz'+2abz3+0°2,)Q'(); 


adunque, si dovranno trovare i valori delle a, è, che rendono massimo o mi- 
nimo il trinomio 
T=a°'z'+2ab2+02,, 


e che sono tra i soddisfacenti la equazione 


d'+b+(az'+bz) 10: 


C'A°LICIO LION AFPIPIL'ICA.TO 12I 


ricerca, che è un caso della stessa proposizione nona, dalla quale emerge, che 
per le grandezze e direzioni dei valori richiesti della S' hanno luogo le due 


equazioni seguenti 
N° i 3 7 
(44 U 


o T-PT+R=o0, 
dove L=(1+22)zf—2'/2,2,» 
M=(1+2?)z,--(1+23)2", 
N=(1+2)2 — 2'5,5", 


—_ 22\ all nl2 la nl 
P=(1+2°)Z'+(1+2?)z,_ 222,2}, 


ed R—=2"2,— 2, e TQ'(z) eguale a meno i valori della S. 


La prima delle due equazioni qui trovate insegna, che le direzioni del mas- 
simo e minimo valore della $ sono le tangenti delle linee delle curvature sfe- 
riche minima e massima della superficie rappresentata colla equazione Q—A—0; 
e la seconda, che le grandezze dei medesimi massimi e minimi valori sono 


eguali ad a Q'(z), 3 Q'(2), dove i d,, d, esprimono i raggi delle stesse due 
I 2 
curvature sferiche. 

Osservazione I. Essendo a°2"+ 2a b 2 + 0°z,, eguale all’a divisa per d, rag- 
gio della sfera avente un contatto di primo ordine colla superficie della equa- 
zione O — K=0 edi second’ ordine colla linea esistente in questa superficie, 
e che ha per tangente la direzione della $S, qualunque, sarà 


s=— 0) 


7 


QI 8 


risultamento assai utile. 
Siano S,, d, due altre quantità analoghe a queste ultime $,d; e si avrà 


È % , 
S,=— Q'(2) di ° però sarà 
I 
Sk $, nn d, ° d, 
cioè le intensità $S reciprocamente proporzionali ai corrispondenti ragei d 


55 
delle curvature sferiche anzidette. 1 
Osservazione II. Non voglio ommettere di far riflettere, che le due equazioni 


Sa (a'z'+2ab23+b°2,)Q'(z), 
i=d+0+(az'+b2,) 


insegnano, che le S sono anco reciprocamente proporzionali ai quadrati dei 
semidiametri di una linea di second’ ordine, e che da questa loro proprietà si 
possono desumere facilmente molte delle qui sopra esposte. 

Opusc. Matem. e Fisici. 16 


P'ASRUME PARIOLI 


OSSERVAZIONE QUINTA 


Siccome quelle intensità di primo ordine, le cui direzioni fanno angoli eguali 
colla direzione della massima di esse, sono tra loro eguali; così l’ esame delle 
variazioni delle corrispondenti quantità Q bisognerà appoggiarlo alle intensità 
di secondo ordine di esse; e però interesserà la 


Proposizione quindicesima. 


Trovare la massima e minima intensità di second’ ordine, fra le corrispon- 
denti ad intensità di primo ordine eguali fra loro? 
La grandezza di ogni intensita di primo ordine si chiami &: sarà 


S=Ada+Bb+Cc+2Dab+2Eac+2Fbc, 
I-4+bD+G5 
ek=zaL+bM-=+cN, 
ove le Z, M, I sono qui esposte in vece dei valori delle Q'(x), OY), Q'(2). 


Si considerino le è, c funzioni della « e date dalle ultime due equazioni, e pei 
valori richiesti della S' avranno luogo le tre equazioni seguenti 
o=4a+Db+Ec+(Bb+Da+Fc)b'(a)+(Cc+Ea-+Fb)c(a) 
o=za+bb'(a)+cc'(a), 
o=zL+Mb'(a)+Nec'(a), 
le quali colla eliminazione delle derivate 0/(@), c'(a) danno la 
(da+Db+LEc)(cM—-NbD) 
+(Bb0b+Da+Fc)(aN— Lc) 
+(CC+Ea+Fb(6(L-Ma)=o. 
Col mezzo di questa equazione e delle due date si avranno i valori delle 


a, db, c, cioè le direzioni delle S richieste; e però questi valori medesimi, i quali 
si otterranno col porre quelli delle «, 6, c nel sestinomio 


d'a Bb. CewexD'ab'iaEgek abc 


Osservazione. L’ ultima equazione trovata esprime evidentemente, che tutte 
le direzioni dei valori della $, analoghi a quelli considerati qui sopra, cioè qua- 
lunque sia &, saranno in una superficie conica di second’ ordine; dimodochè, 
le stesse direzioni della S contemplate saranno le rette comuni a questa su- 
perficie conica ed a quella pure conica, per la quale si ha 


alt+bMeieN=k. 


CALCOLO APPLICATO 123 


OSSERVAZIONE SESTA 


Se nella espressione a Q'(x)+2Q'(y)+cQ'(z) valore della / intensità di 
primo ordine della Q si variano le @, è, c, varia la / stessa, ed interessa talvolta 
la massima o minima intensità, almeno di primo ordine di una tale variazione. 


Proposizione sedicesima. 


Trovare la massima e minima intensità di primo ordine della quantità / già 
intensità di primo ordine della Q? 
La quantità, /, è qui una funzione delle a, d, c, le quali hanno la relazione 
rappresentata colla equazione 
a+ b+c°—1=0; 


x 


e però la presente ricerca è un caso particolare della proposizione terza, e 
propriamente del primo passo della osservazione posta appena dopo la propo- 
sizione settima. 

La intensità richiesta chiamisi R: dalla osservazione citata risulta 


R=Iaf+IT06}+I(f-(aIa+bI(0)+cI(c)). 
Ma per essere /—= a Q'(x) + 6 Q'(y)+cQ'(z) si hanno 


A o MOLLI RO 
ed al'(aà+0bI'(0)+cl'(c)=I; adunque sarà 


r=0(xY+ 0(yY+Q'@Y_S 
ossia fiî= fi, — I° ed anco + R°= I}. 


m* 


Vale a dire, il quadrato di qualunque intensità di primo ordine della quanti- 
tà Q, più Gan della intensità pure di primo ordine di questa medesima 
intensità della Q, è eguale al quadrato della massima intensità di primo ordine 
della stessa quantità Q: proprietà rimarcabile. 

Similmente dalla proposizione sesta risulta, che la equazione del piano, che 
passa per la direzione della 7 e per quella della sua massima intensità di primo 
ordine, A, è la seguente 


(cI-l'c)r+pI-—-ql'=o0, 


ove le /', c' significano le derivate rispetto alla a e le /,, c, quelle rispetto 
alla 4; ma pel caso presente si hanno 


a d I 


al coca — ——_ 
Graz ua RI fa 


(cQx) — aQ (2), 
(Cor) — bQ'(2); 


1 


I 
di 
I 
c 


124 PARTE PRIMA 


perciò la equazione medesima sì riduce 
(6 o'(x)—a (7) rt (c (0,69 lei | Q'(2)) p+ (a Q'(3)—c Q(x) ZII 
la quale è soddisfatta tanto da 


b C / A fr , Va , 4 
q=7P ed r=-P; quanto da g=p0'(y):0'(x), ed r=p@Q'(z):0'(x); 
adunque il piano medesimo passa per la direzione della Z ed anco per quella 

della Z,,; come era facile a prevedersi. 


mi)’ 


Corollario I. Siano I, , I, due intensità di primo ordine della quantità Q a 
direzioni faccenti con quella della /,, angoli complemento Pun dell’altro, e sarà 


Mar + Ii; 


e però A intensità di primo ordine della /, eguaglierà la /, . 


—_ 


Corollario II. Essendo R°= ° — I° ed /=/,,c08.4/,,, sarà 
R=E-Tncos} II, cioè R=I,sen IL, 


Vale a dire le è hanno fra loro proprietà affatto analoghe a quelle delle /. 
Osservazione. Non parlo di qualunque intensità di primo ordine della / pure 

qualsivoglia, perchè non presenta nè difficoltà nè singolarità, ed è un caso 

particolarissimo della contemplata nella proposizione seconda. 


= 


Proposizione diciassettesima. 


Trovare la massima intensità di primo ordine di una qualunque intensità di 
second’ ordine della quantità Q? 


Scelgansi per assi delle coordinate gli assi della superficie di second’ ordine 
considerata nella proposizione tredicesima; e chiamisi, & la intensità richiesta, 
P la perpendicolare tirata dalla origine al piano tangente la superficie di se- 
cond’ordine, ove è incontrata dalla direzione della S, e D la distanza del punto 
di contatto di questo piano da quello del piano stesso, che è piede della retta £. 

Per la scelta delle coordinate si ha 

S=Aa+Bb+ Ce; 
e però /î sarà la massima intensità di primo ordine della variazione del trinomio 
da+Bb+CcÈ, 
dove le a, 2, c, che sono le variabili, hanno però la relazione 
da b+e—-1=0: 


l’attuale proposizione è per conseguenza anch’ essa un caso della proposi- 
zione terza. 


GA TCO L'ORTAPREIGATO 129 


Essendo S'(a)=24a, S'(0)=2Bb, S(c)=2Cc, risulta 
R'= 4(d'at+ Bb+ Ce) — 45°. 


Ma d'a + B'b°+ C°c° eguaglia la unità astratta divisa per quadrato del pro- 
dotto della P pel semidiametro della superficie di second’ ordine diretto al 
punto di contatto del piano tangente anzidetto, cioè 


PAL a i 
d’dt+Bb0£Ca= p?> 
adunque sarà 

S 


A 


z È SRO. /T x 
i — 45° ossia PRZ4S(5 CSpA 


ed anco P*R°= 4 S°D*; e conseguentemente avrassi 


Degna 5 
t=2584 ossia R=2Stang.SP, 


pi. 
dove SP esprime l’ angolo compreso dalle direzioni delle $, P. 
Non mi occupo della direzione della attuale /, perchè non presenta nessuna 
difficoltà, eccettuata la lunghezza del calcolo. 


Proposizione diciottesima. 


| Trovare la condizione, perchè la direzione della massima intensità di primo 
ordine della variazione di una quantità relativa ai punti diun piano sia la stessa 
di quella della massima intensità di second’ordine della medesima quantità ? 

La quantità relativa al punto corrispondente alle coordinate rettangole x, y 
si denomini z(x, y) o semplicemente z; e l’angolo fatto dalle direzioni delle 
due intensità coll’asse delle ordinate x, denominisi w. 

Per la intensità di primo ordine si ha Ia equazione 


Ig — 
ziangu—z=0, 
e per quella del secondo ordine la 
ia z lf pel 
zitang.u+(2"—z,)tangu—z}=0, 
dalle quali, colla eliminazione della tang.w, si ottiene la richiesta 


»2 ” 

Hot i; )4 ee sol: 

z+(2"—2,)—2=0, Ossa 
du 


la quale però è alle derivate parziali rispetto alla quantità 2. 
Questa equazione alfe derivate parziali del second’ordine ha per primitiva di 


primo ordine la 
( d 2) i È z 
eat in ff O 
da dy 


126 PARTE PRIMA 
dove la # esprime quella funzione delle x, y, che entra nella 
ax—yt+P(i)=0, 
e la P() significa una funzione qualsivoglia della £ stessa; e però 2 sarà una 
funzione arbitraria del valore della costante arbitraria contenuta nella primi- 
tiva completa della equazione alle derivate ordinarie 


P' LEO 


Da questa equazione, scelta la 4 per variabile principale, ed eliminata x 
mediante l’ antecedente, si ha la seguente 


ed ni | 
(1+ (Ty \EI=.04 
la cui primitiva completa dà 
» (DO 
OI pren 140°)? 


D esprime la costante arbitraria ; adunque sarà 
A 
= +) fd), 


ove la £ esprima la suddetta funzione delle coordinate x, y, somministrata 
dalla equazione 


Ir_—yt+pi—=o0, 


e la y significhi una funzione qualsivoglia od arbitraria della quantità racchiusa 
fra le due parentesi grandi. 


Ù 0 . . . PI IC 
Per dare un esempio: sia @(t)=#, esiavrà t= 


sr 


y—_1 
/ 
L \ a 
Seb de=vi+ò), e pero a (Va = 1), 
cioè la quantità 2 eguale ad una funzione anco arbitraria del binomio 
Lt+(y1). 
OSSERVAZIONE SETTIMA 


Se la intensità di primo ordine contemplata nella proposizione decima si 
fosse desunta dalla quantità 


Q(x + 0(s),y+0(s), z +a(5)), 


ove le x +0(s), y+0(s), 2+a(s) esprimono le coordinate di una linea qual- 
sivoglia, fra quelle aventi un termine nel punto di coordinate x, 7, z, essa 
sarebbe risultata 


CALCOLOgT APRELGATO n 


o/(s) o'(x) + 0'(s)? Q'(Y) +5) o": )+ 20/5), 93), (TÈ) 
RETTORI CSA EZTIONIO] (TÈ + 0"), 0/2) 
+0" OP) +e (5), 


e si sarebbero avute le due equazioni seguenti 
rat (Ta 
E IOIORI ZON 40 RI FO N4O0 
cioè si sarebbe avuto 
S=Aa' + Bb + Cc+2Dab+2Eac+ 2Fbc 
+0") (TN 


e le due equazioni 
dici Caio Magliano 


Non contemplo questo caso , perchè riesce facile dopo quello esposto, ed anco 
perchè nella contemplazione della natura occorre poche volte. 


128 PARTE PRIMA 


Continuazione delle arFLZESSIONI SULLA LEGGE DELL'ATTRAZIONE MOLECOLARE 
di cruseppE BELLI (V. Fascicolo I, pag. 25). 


ARTICOLO TERZO 


Di alcune ipotesi le quali considerate dal lato della Meccanica 
potrebbero essere atte a conciliare le due attrazioni. 


XII. 


Abbiamo veduto nei due precedenti articoli che adottando sulla costituzione 
dei corpi le ipotesi più ricevute fra i Fisici, non si può assolutamente colla 
sola attrazione universale dar ragione della coesione de’ corpi, essendo ella 
una causa troppo minore di quello che all’ uopo bisognerebbe. Rimangono 
adunque per la spiegazione del fenomeno queste due sole vie, cioè o che si 
abbandonino le ipotesi già ricevute, ed altre se ne ammettano più felici per 
conciliare quella causa con quest’ effetto; ovvero, se vogliansi ritenere le ipo- 
tesi già stabilite, che si ricorra ad una qualche altra più rapida legge di attra- 
zione. Noi considereremo l’ una strada e l’ altra, ed esamineremo quale di esse 
sia meglio seguire. 

Incominciando dal primo modo di spiegare la coesione, noi confesseremo es- 
servi veramente alcune ipotesi, le quali considerate semplicemente dal lato della 
Meccanica sono capaci di dar ragione del fenomeno senza che sia d’uopo ricor- 
rere ad una nuova attrazione oltre alla universale. Ma guardandole da tutti gli 
aspetti, sorgono delle sì forti difficoltà contro di esse, che sembra assurda cosa 
il volerle ammettere. 

Una di queste ipotesi potrebbe' esser quella di concepire i corpi siccome for- 
mati di molecole separate le une dalle altre, ma però in tal modo foggiate e 
in tal maniera commesse insieme, che senza un notabile sforzo non si potessero 
svincolare le une dalle altre. Vale a dire, si potrebbero esse supporre in tal 
condizione che immaginando un corpo distinto in due pezzi 4 e 5, le molecole 
di 4 adjacenti alla superficie di separazione fossero impegnate frammezzo a 
quelle di B, nè avessero libertà d’uscirne e liberarsene, senza svellere o almeno 
smuovere queste ultime; queste poi fossero impegnate colle altre più interne 
del medesimo pezzo 5 che stanno ivi immediatamente sotto, e queste con le 
seguenti, e così via via, quasi nella guisa di un mucchio di pezzi di ferro tor- 
tuosi od uncinati che fossero intralciati ed aggrappati gli uni cogli altri. 

Con questa ipotesi si darebbe ragione della coesion dei corpi non solo sen- 
za veruna nuova attrazione, ma anche senza la stessa gravitazione, servendo a 
ciò la sola consistenza o tenacità delle molecole; solamente la gravitazione 


FISIGANMIASNEMATICA 120 


gioverebbe alcun poco a tenere raccolto e legato insieme il tutto onde meno 
facilmente si sfasciasse. Però non sarebbe del tutto spiegato il fenomeno, giac- 
chè rimarrebbe ancora a sapersi donde nasca questa tenacità delle molecole. 
E che tale tenacità sia necessaria in cotesta ipotesi, è facile il convincersi. 
Immaginando in fatti un corpo distinto in due parti da un piano che passi 
attraverso ad un gran numero di molecole, egli è chiaro dalle cose dette nel 
secondo articolo che la gravitazione gioverà pochissimo a tenere l’ una presso 
I altra queste due parti; ma lo sforzo che sarà necessario per poterle staccare 
uguaglierà la somma delle tenacità colle quali si tengono insieme le parti di 
quelle molecole che da un tale piano vengono divise. Prescindendo poi dalla 
imperfetta spiegazione del fatto, ella sarebbe un’ opinione bizzarra quella di 
voler supporre le molecole de’ corpi di una forma tortuosa ovvero uncinata 
come gli atomi adunchi de’ Gassendisti (1); e sarebbe affatto contraria alle 
dottrine della cristallizzazione, le quali ci mostrano esser le molecole di tutti 
i corpi inorganici dotate di forme regolari e geometriche e incapaci di quel 
vicendevole intrecciamento, 


XIII. 


Un'altra ipotesi che si potrebbe formare sarebbe quella di immaginare i 
corpi siccome composti di tanti sottilissimi fili, ossia come formati di un tessuto 
fibroso o reticolare. Si può agevolmente dimostrare che prendendo a conside- 
rare due prismi di materia continua, ottenuti col dividere per mezzo un prisma 
retto a basi quadrate mediante un piano perpendicolare agli spigoli laterali, i 
quali due prismi combaciandosi nelle basi si attraggano per la sola gravitazione, 
e concependo che, in grazia di un opportuno condensamento della loro materia, 
si riducano piccolissimi i quadrati delle loro basi senza che però si cangino nè le 
lunghezze di essi prismi nè le loro masse, puossi, dico, dimostrare facilmente che 
la forza totale con cui cotali prismi si attraggono può essere aumentata immen- 
samente. Se adumque si immaginasse che un dato spazio, supposto prima 
riempiuto di materia continua, venisse diviso in tante parti prismatiche, e che 
la materia appartenente a ciascuna di queste venisse a condensarsi in un sotti- 
lissimo filo, potrebbero questi fili avere una tenacità incomparabilmente maggiore 
di quella prima del condensamento, e l'unione di tutte queste tenacità potrebbe 
formare una forza considerevole che sarebbe la tenacità del total corpo se- 
condo la direzione de? fili stessi. E ad avere una somigliante tenacità in tutti i 
versi basterebbe che di questi fili ve ne fossero in tutte le direzioni, cioè 
che i corpi avessero un tessuto reticolare. Malgrado poi una sì forte coesione, al 
venire spezzato il corpo ed allontanate appena alcun poco le estremità de’ rotti 
fili, si perderebbe immediatamente il vantaggio del tessuto reticolare, e svani- 


(1) Poli. Fisica, Venezia 1804, Tom. I, pag. 935. 
Opusc. Matem. e Fisici 17 


130 PARTE PRIMA 
rebbe quel grande effetto della gravitazione, in un modo perfettamente con- 
forme a quanto avviene in natura. 

Pria di esporre le difficoltà le quali a parer mio impediscono d’ adottare 
questa maniera di spiegar la coesione de’ corpi; darò qualche sviluppo alla di- 
mostrazione testè abbozzata. E comincerò dal determinare la forza colla quale 
si attraggono in virtà della gravitazione due prismi retti a basi quadrate, uguali 
fra loro e congiunti per le dette basi, allo scopo di dimostrare che se i lati 
di queste basi andranno rendendosi successivamente minori, conservandosi 
costanti le loro altezze e le loro masse, potrà questo effetto della gravitazione 
aumentarsi sino ad una grandezza qualunque. 

Chiamisi 

h la lunghezza dei lati delle basi di questi due prismi, 

h' l'altezza di ciascuno de’ medesimi prismi, 

A la loro densità, 

P la loro attrazione vicendevole, supposta espressa dalla quantità di moto 
ch’ella è capace di comunicare in un minuto secondo, e nella supposizione che 
questi due prismi si trovino a vicendevole contatto per tutta l'estensione di 
una delle basi di ciascuno. 

Riferiamo questi due prismi a tre assi ortogonali, nella stessa maniera che 
abbiam fatto al num. II pei due cubi che allora consideravamo, vale a dire in 
maniera che rappresentando con Aa, ab (fig. 1) le altezze de’ due prismi, per 
DAC, be le loro basi libere, e per dac£ il piano d’ unione delle altre due 
basi, sia 

Ab nell’ asse delle x, 

AC in quello delle y, 

A4D in quello delle ; 
supponendo che l’origine sia in 4 e che le coordinate crescano nelle direzioni 
da 4ab,da Aa Gi. 

Adottando, oltre alle precedenti, quelle denominazioni delle quali abbiamo 
fatto uso nel num. II, l'attrazione vicendevole de’ due prismi in virtà della gra- 


vitazione sarà espressa da 
nh! 2h' 
P=tw'apfaxfdto-vfazfd:frf cy RISO DIARI 
gemme 


Delle prime quattro fra queste integrazioni noi abbiamo il risultamento già 
bello e ottenuto nel secondo membro dell’ equazione [19], senza che nulla vi 
resti a fare. Per riguardo alle altre due, rappresentando con 


II(p), Ip), "IIp) 


quelle stesse espressioni che erano state rappresentate dalle medesime indica- 
zioni al num. IV (veggansi le equazioni [21], [22] e [23]), noi avremo 


FISICA MATEMATICA I3I 


oh! 


dx +KI(c-X)='I(2W/-XA)'I(h_-X) 
h' 


7 kh! 
dX .f,dx -IIe-X)="I(0)+"II(2h')—2 "TIW). 
0 h 

Per conseguenza, onde ottenere l’integrale di sesto ordine del quale abbiamo 
bisogno, non occorre che richiamar l’espressione rappresentata da “II(p), e 
sostituire in essa le quantità zero, /', 2/4' in luogo di p, e porre i tre risulta- 
menti nel secondo membro dell’ultima delle equazioni or ora esposte. 

La quantità "II(0) era già stata determinata al num. IV, e si era avuto 


"I(o)= — h'log.h — s h4 .log.2 + Cost. 


Le quantità "II(/'), "TI(24') si ottengono agevolmente coll’ eseguire le indi- 
cate sostituzioni, e si ha 


41((/d=—e 5 hi (5 pesa WI) VA h' + hh (3 e WI) VIP 2khh 


+ 341 log I +( 2h*h—oh Tè )lo g. | ca a 
ti h+V L'h'4 ul 3 sa VAR hh 


ATO Alog.(K+ VURN+h .) — 3 hilog.(h'+ hW-+-2kh) 


3 
hî 4 h' 
Su» al $; 'h*. A DU è er I hAA dii E pare eps arno er Le 
ia VIA SANE ee VAR +2hh pese 


16. 


"I(2h')=— “di h't+ (E bi hi) V4RRNAh—- ( È hh ) V4h'N' 4 2hh 


© "31 hog.{ 


—h+V 4h h'+hh a ( 16 


h+V 4h sii 
h+V4h'h'+hh 3 


RAM Yogi 
—h+V 4h'h'+2hh 


MRI log.(24/+ VARIA) ZH log.(2fh'+ VA4RRI+2h .) 


h 5 
hi 4 2h' 
SnRiMiAirdtani——__ o hi irelah lc Ist. 
lA'h°-Arc.tan si VAnii=ZSlh + 3 1*-*Ave.tan Varinzzsli pit 


Perciò , facendo per maggiore semplicità 


h=z th 


sì avrà 


132 PARTE PRIMA 


"IT(0) +"II(24h')— 2"1(k) 


agli aVeg (3; Vi 


16 Praia de (e sii ) Vi+i i] 


3a 
pui l1-5)- pig "a 
+<5Arc.tan. ER Arc.tan. ee ga pei re 
Va ni È 3pl Ù Vici 3 (3 v) 


ea prete »)° Fao “gl 
RR a 
pus ps 


== daro tan. ———_ 7 Arc. tan. Vis 
9 
Vie 
UA 


TTD. 


e per Conseguenza od alone ridipio ia 
[ag] e Magia Wet tf 1+(-34% N 4+3. 
o [pg e 
presi sas 
ia pa) 3a sca an Arc.tan. 


+ dar c.tan. 


rg 
[Vj 


| pVes 


Sai 19° _4p 
pa tl 6 za | 
e: Marzo Vi) 
— 4W4°-Arc.tan. — 3 Arc. tan. 


y° Vi ? Vasi 


FISICA MATEMATICA 133 


Diamo all’ espressione contenuta nel secondo membro una forma, la quale 


sia atta a mostrarci facilmente secondo qual ragione si aumenti il valore di ?, 
f 


allorchè la quantità y ossia + si rende successivamente più grande. 


h 
Chiamiamo a quest’ uopo 
A' 
fa densità che acquisterebbero i due prismi se, senza variare di massa, sì 
cangiassero in due cubi co’ lati della lunghezza /', vale a dire se i lati delle 
loro basi passassero dalla lunghezza & alla /' ossia variassero nella proporzione 
di 1 a w. Si avrà evidentemente: 


AS "GO As toa 
i car E 
e per conseguenza 
7 Nm 4 


sostituendo il qual valore di A, il fattore fuori delle parentesi del secondo 
membro dell’ equazione [34 |] diverrà 


a) KA'A'uul', 


Ciò posto sviluppiamo i varii termini contenuti sotto le parentesi principali 
del suddetto secondo membro dell’equazione [34], in serie secondo te potenze 
decrescenti di y, e in ciascuna serie determiniamo tutti i coeflicienti delle po- 
tenze positive di essa 17. 

Lasciati da banda i primi tre termini, i quali non sono soggetti a sviluppo, noi 
cominceremo dal quarto, sviluppandolo mediante la nota formola di Lagrange 


mel n 


BOI) +IP (+ PP tO Fa) 


ove per 4 s'intende una quantità reale presa opportunamente fra zero e +1 (*). 
Poniamo, per ciò che si vedrà or ora, 


ME Van 
rappresentando con a e 0, sì ora che in tutto il presente n.° XIII, due quantità rea- 


dM d° M° ) 


li e positive, e per maggiore comodità indichiamo le quantità de (797): ecc 


con /M', MI", ece. come sovente sì suol praticare; noi avremo 


(*) Io so benissimo che questa formola non è generale, ma che vi sono de’ casi ov'ella è er- 
ronea (V. il Resume des Lecons sur le Calcul Infinitésimal, par M. Cauchy, Tom. I, p. 145). 
Essa però non è soggetta a difficoltà allorquando, facendo passare la & per tutti i valori com- 
presi fra zero e +1, non sì hanno mai, nella serie de’ valori di 9‘%(£0), nè de’ valori imma- 
ginarii nè de’ valori infiniti nè de’ passaggi per salto da una grandezza ad un’altra; e da questi 
sfavorevoli accidenti vanno appunto immuni tutti gli sviluppi che noi passiamo ad eseguire. 


134 PARTE PRIMA 


I 


M'—= TZ 
aVa+0 
ip id 
4(a+ 0) 
Mera = Ta 
8(a+ 0) 


Per conseguenza, sviluppando in serie la quantità Va4+-0, e limitandoci alla 
determinazione de’ soli primi due termini, e pe’ rimanenti aggiungendo il 


resto sotto la forma approssimativa o indeterminata trovata da Lagrange, 
sl avrà 


FASI 0 6° I 
Me b |grnbgo i i Fl ) 
(a tok 0) 
ovvero osservando che 
I I k 


RR -AN3 TT 
(a+-k0) (14-30) a 


dove l’ultima X è una quantità similmente compresa fra zero e + 1, ma però 
in generale diversa dalla 4 precedente, si avrà anche 


Va+-0=V/a+ CERI 
6 a? 


Ù . . I . . Ù . x 
e sostituendo rispettivamente 4 e p in luogo di a e di 0, si avrà 


RETTA; I k 
Vi-p=rgoan 


Determinando anche il terzo termine della serie, avremo 


2 3 
ano art Ò A LE MRO SAREI 
IV. 8a - 16(0-+k0) 
ya o ARI 
RE SON 8 gr 16 a? 


e per conseguenza 
V se dinamo: I k 
3 = Ti ai + 7. 
y° 4g 6444 51249 
Introducendo questi due sviluppi nel quarto termine del secondo membro 
dell'equazione [34], avremo 


SICA MATEMATICA 135 


ove k è generalmente di valor diverso dall’ uno all’ altro de’ due termini del 
secondo membro. Facendo le riduzioni, e osservando che la quantità 


ES Pa 3 k 
964° 964°” 


quantunque le due / sieno di valor diverso, può ridursi a 
k 
7 _.]2 
244 


ove & è una nuova quantità compresa fra zero e +1, avremo 


b) (FI 2p)V i+ p=pi DITTE 


Osservazione. Noi faremo uso frequentemente di questa lettera 4 per indi- 
care una quantità compresa fra zero e +1; e per non moltiplicare a dismisura 
il numero delle indicazioni noi impiegheremo per questo scopo sempre la let- 
tera medesima senza apporvi nessuna distinzione, quantunque ella possa avere 
un valore diverso ogni volta che venga adoperata. Egli è poi ovvio a vedersi, 
che quando si avrà, p. e., 1’ espressione [3 & + 4 X] CRI le due & di v5 
diverso, noi potremo fare una riduzione e scrivere 74; ma avendosi [4&—3k], 
non potremo fidarci a far riduzione veruna. 

Pel quinto dei termini contenuti fra le parentesi principali dell’equazione [34] 
noi porremo 


DI 
a=2,0=<% 


y° 
nei due precedenti sviluppi della quantità Va + 9; il che ci darà 


c) (- of 2) Vi+g CR 3U(a + nq? DR sw * 64 St) 


PARTE PRIMA 


136 
Passiamo al sesto termine, e facciamo 
0 NA 0° 
M=-log. | sa ati] ; 
0+-Va+0 
sarà 


I A 


fn suit Va 0° | —_ Va Seta 


—d0+Va+0°) 0+Va4+0 | 


a yen 


20 
Una 
(a +0?) 
2 6 6° 


I x 5 
(a+0)  (a+0°) 


( 3 
al 

2 120 
img erNeE.’ Phgpioo igor 


Pe = 0)? (a+ e» 
e perciò sviluppando la M in una serie ove sieno determinati i primi quattro 


termini, avremo 


log. Rees LESLIE ds DE iii 
lenze) Der as 91 5° Va 2-3 è 
0% --18k0 030-k6 
a bi i ) 
Fi (a+k0?) (a+k0°) 
2 PESI Sho 113 
i Cori 3 rh 5 a 7 ) 
* 343 4 ai ar 
Per conseguenza facendo 
DE. 
Pi amet A ODI) fio 
pera 
e moltiplicando l’equazione per A si avrò 
I De 
d) 16 log va 16 + Lod TIA 
(3 FARO: I 3 pi Ca 188400 dra 
plioni 
ii GU 2 k SR 
Le oa 


SICA MATEMATICA 137 


Veniamo ora al settimo termine, pel quale occorre un po’ più di calcolo. Fac- 
ciamo per esso 


fr ea 30 
n Gi Van LI 
avremo con una prima derivazione 
y 20 ] A 20 
1+_—— A e 
Misa Va+ 20° | Va + 20° 
Vietirrara | —B+Va+20" 


I 0 0 
lo = a dra Ae EL rpg 
I fa + g9(f oP- 1-0 — mi 


alli 


e Sia 
Va + 20° 


24 
xa ra 


Mediante una seconda derivazione otterremo 


2a(— 20) ae(-740) 


M'= ——_—______— + 
(a+0) Va +20 (a+ 0)(a+- 20°} 
CRI EE Ot CH Ses ng (a+20+a+ 0°) 
(a+0°Y(a+2 0 


tris (84°0 + EA 
(a + 0) (a+2 9) 
Dalla terza derivazione, dopo fatte le opportune riduzioni, si ha 


— 845+ 204° 0° + 1084? DS 90807. 


vi 
(a+ 0a + 20?) 
E dalla quarta, dopo fatte similmente le necessarie riduzioni, si ottiene 
Mmr— 16840 + 408 440° — 216.48 0% — sia 0° — 960a du: 
(a-+0Y(a +20) 


Sviluppando pertanto in serie la quantità 


1 [GSi 0+-Va+ 20° 
pa 0+Va+20 
Opusc. Matem. e Fisici. 18 


138 PARTE PRIMA 
secondo le potenze di @, e determinando solamente i primi due termini 
avremo 
F CIA 20 
———_—_- [0 + 


I lea 8a 0k—r12a®k 
| 77 Vara@IT xh 


Va 2 (a+k0°)(a + cai 


2 È Papi: 
LA RAIN ha Ue 


20 6? 8a 0k nad) 
= RE alare 


_ 30. 40%k._ 60% 


ai az 


e determinando eziandio il terzo e il quarto termine, sarà 
+—.0+T5f— 
0+-Va+20° | Va 2 2.3 


{Pei RE (a 20 0° 63 a) 


0% 16840k0+40845k0°— 2164 k0— 13204°k07- 0960 4k0° 
Pesio Licio sci conii icone 
(a+k0°)i(«+2k0°) 


n fe (at k+ I 7a°0k—-ga"04k—55a05k—400* k) . 


3a: a? 


Mettiamo ora 4 € 7 in luogo di a e di 4, rispettivamente; il primo de’ due 


precedenti sviluppi darà 
, 


a SE I DUINO. 
ie ALIA 


Veg 3-2 ,. 19°4k g-4k 55-4k  4ok. 
| I 2} w 61,3 Fai a 
en Va 
SR SITA) 90 o 
Td GI 3a * 12847 51299 20484"! 10243? 


e introducendo opportunamente questi due ultimi sviluppi nel settimo termine 
di cui ci occupiamo, avremo 


FISICA MATEMATICA 139 


e) (3v °_ 44) log Vis 
i di Vi+3 | 
n) dl 


raf et ok i9k ok 55k____S5k E 7 kvò cXk 
dp) ba Gp” Bago* 1389 5129 20484" 10244)" lg 1 —:Gp) 


red A) E 


164048 19R 354 3E __55E. 5% 
QUE g Gy? 24h 3a 3844. 1924 


Proseguendo i nostri sviluppi facciamo 


M =log. (a + Va‘ + 0) : 


3 I I 
sarà M=——P_.———_—_ 
aVlVa+0 a+Va'+0 


I 


aVa'+k0. (a + Va'+ ko) 


d’ onde log.(a+V/@& + 0) =log.2a +0. 


k 
=log.2a+0.—. — 
2a 24 


I Ok 

=log2a ++; 

o) Vi 
I x 

e facendo a=2, 0=:, sarà 


p° 2 
log.(2+V 4+%; È 3 )=log4+ x 109? 


e l'ottavo termine sotto le parentesi dell’ equazione [34] sarà aper in serie 
dall’ equazione 


si 31 51 do 
di, Fi Vac p)F-364-7p 
Se nel precedente sviluppo della quantità ni da Va + 9) noi faceiamo 


: INS 
invece 0 SF , ritenendo a—= 2, avremo 


log.( su Vip) gp ; 


140 PARTE PRIMA 


il che ei dà pel nono termine 


2 log Ea I ko 
3. —jlog(a+ V4+-7)= DUCA 47 121)° 
Si MiezAret c 
Sia ora M = Arc.tan ——; 
4VG+9° 
I I 0 I I 
sarà M'= x * rg RI) 
2 % 7 
£ zen ‘CEI, 


' 1604+0) 


| 10 =) 
“Arad 


—64-160+@ VA 


ETRO] sora SAAS Re LN 
= Via cile 


D 


LL 
e TTtt.ttie ]ema 


(8+ 0)V4+90° 
M È Xi 
i (te re = ra seri 
——— _____}(8-+20+48+0) 
(B+-0)(4 +0) 


th: (16+30) ; 
(8-0)(4+0) 


4 ORE — 16—3k0 
e però Arec.tan. ara aa dia oi 
4V4 + a (8-+K0)(4 + k0Y 


09 0 a6k ‘30h 
me 7 (68 618) 


A k0 3E9- 


re eta 


e facendo 0=-7 , si avrà pel decimo de’ suddetti termini 


FISICA MATEMATICA 141 


SULA I x Pa lia N k 4 _Ik+8 
h) 81° Arc.tan, —775==3 584 ( x ap — 64 4 i tu, ag) 
21)° Artie 
k 3h 


Per avere il termine successivo si ponga 


M= Arc.tan ——— ; 
VT 


: J I I 
sI avra M'= TRI, A 2(— 2) rea 
2 


+ 2 
rt Ei (4 ere 0) 
AD LAENMAE. COR RR Li 
‘tan. (8 DOVA A 
2 7, 
e perciò Arc.tan. Te Gao fp Arc.tan. — ETkO) VARI 

SS 3 AI 
a 16 


2 i i 
e facendo HR , avremo l’undecimo termine dato da 
, k 
i) daro, tan. 3T— Gus 
Va -{ 


Considerando gli altri termini sat all’undecimo noi veggiamo che se 


2 nà I 4 
si aggiunge 310g.2 al termine 3log.(* + Vi O e 3 log. 2 al termine 


4 2 
3log.(» + [e a essi rendonsi tutti rispettivamente uguali a ciò che 


D) 


divengono i termini che abbiamo sviluppati col sostituirvi £ in luogo di + e 
col moltiplicarli quindi per —2. Indicando adunque con 


P() 


la somma dei termini già sviluppati, e con 


H 


la somma di tutti gli altri che loro vengono dopo, si ha 


Pe pas 2log.2 =_2p(£) 


e perciò H=—-2 (2) — 2log.2. 


142 PARTE PRIMA 

Si avrà dunque lo sviluppo della somma de’ menzionati ultimi termini con- 
tenuti fra le parentesi principali del secondo membro dell’ equazione [34], 
prendendo la somma degli sviluppi già trovati, moltiplicandola per —2, 


ponendovi di in luogo di y, e sottraendovi la quantità 2log.2. 


Gli sviluppi che abbiamo ottenuti, raccogliendoli insieme, sono per or- 
dine i seguenti 


STRA k 
\ CR ra 
5) TNT API E 
\ af ST MAS IRE 
. di Gp 
2 16 k 5k 
a REA Le egg AE 
È 9 3% 84° 9644 
8 (Gn eg 35 n pad SB 54 
ibi BU GE api 320 3808 1024 
) eat cali 
f z10g.4 VEDI 
5 AR k 
5/ Brest 1294? 
k 3k 
h) sr — ai 164 
i) iter Li la 
3 Gp” 
E la loro somma è 
ar). Mo) I IO, RARO VISIT, FIAS 
VI) fra + bito “plat 
3k 55k 5k 


— 3ogî 3840192: 


Perciò la somma degli altri termini che vengono in seguito fra le parentesi 
dell’ equazione [34], è uguale a 


x rt aa 1/51-8 ‘8 32:51 ‘O SESTA 
3 RA Ra ei sie s( Sl di ) pù hg ) 
(7) +46* 0g.4 37 3% +9 70 ai k dal Dr: k Ta h 


128-3% 512-55k 2048-5k 


| Bag > 38448 1929 — 2log.2. 


FISICA MATEMATICA 143 


Unendo ora insieme le due somme (m) e (n), e loro aggiungendo inoltre i primi 
tre termini sotto le principali parentesi della suddetta equazione [34], avremo 


4 
log. — 5 log.2 = A pi 
I I O, RO Ri 145 (dx 
pr A pa SERA caio ne k—- 3) 
3k 554% 5k 


sE 2 2 pa 47 DOe 96, __145 
Apre pe prg) 


12% 220 k I60k | 


e facendo le riduzioni 
di 281 7 I SA 72 __ 2329 
log.+2 —— glog. 2-39+ 1 (7A ce rr bito Sa Dry k) 


I CHUE 


+13 5). (EE pes sog! a: a DK) 


Moltiplicando questa somma per la quantità «), vale a dire per 
KA'A'uul', 


e ponendo il prodotto uguale a 2, avremo finalmente 


î 28 283 
E v—_ DA! } IK o . ep ge co: (7 Dai ia k 
[35] P_KA'A' uh" Moggi + te a log 2— 5% Pal k 7 ) 


o. Bini +p(1oh-3,1) 


+p(3h a col +3 90) 


la quale equazione esprime in un’ altra maniera il valore dell’ attrazione vicen- 
devole che viene esercitata, in virtù della gravitazione, fra due nguali prismi 
retti a basi quadrate, congiunti per tutta l’ estensione di due delle Ior basi. 
Ha il vantaggio questa equazione di farci molto più facilmente conoscere che 
non la [34]. , sebbene in un modo soltanto post . secondo qual ragione 
s'aumenti una siffatta attrazione, a properzione che la 1 diviene più g grande. 
Perciocchè il secondo membro de essa è formato di due parti, di cui l’una, che 
è di forma determinata, non contiene altro di variabile che la quantità toy: 


144 PARTE PRIMA 
e l'altra, la quale si trova sotto forma indeterminata e di cui non possiamo 
avere il valore che approssimativamente , è di una grandezza piccolissima al- 
lorquando 7 è molto grande. 

Procuriamo nulladimeno di rendere più comodo l’uso di questa equazione 
pel caso che si abbia 


=1, ovvero WD>i. 


Cominciamo a porre in luogo di X il valore che abbiamo trovato per questa 
quantità al num. II, vale a SEO facciamo (veggasi Sc [2]) 


K=0,000000 000367 990 37 


s 


Facciamo altresì, come è voluto dal sistema metrico 
== 1000, 


Adottiamo l’uso de’ logaritmi tavolari, di quelli cioè che hanno per base il 
ro, i quali, per distinguerli dagli iperbolici, noi indicheremo col simbolo 


Log., evvero colla semplice L.; 
avremo con ciò 


log. = 2,3025851 + Log.y. 
iduciamo in numeri ordinarii la quantità costante 


I 
gate 


I 


pre) 
e questa diverrà 


0,8050867 . 
Osserviamo che nell’adottata supposizione di 9 non minore di 1 sì ha 


a agi i I 
UA A9 9. Tae VS e Mi 


e che perciò la quantità indeterminata contenuta fra le parentesi principali 
dell’ equazione [35] si può ridurre alla forma 


(ESA). (ri). (do) 


pa ah — 34 a GI 3) 


ovvero più semplicemente a quest'altra 


È (Paine Lon n) (a 9 3 59 9 2.) 


9 
Ul 80 32 (1.384 192 


FISICA MATEMATICA 145 


: CE, 
la quale si riduce a 


E) ce (157 3A 3318) 


Esprimiamo finalmente in chilogrammi la forza attrattiva fra 1 due prismi, 
e chiamiamo 


% 
il numero di questi chilogrammi, supposti pesati a Parigi; avremo 


POMRRIANA LI 
g 98088 


0 no 


asciando per un momento da banda la %, e facendo opportuna sostituzione 
L lo p omento da banda la X, e facend tuna sostit 
degli altri valori or ora trovati, I’ equazione [35] prenderà la forma seguente 


P=0,000000 000367 990 * + + A'A'. 1000000 -14}3,3025851 +L.)/+0, 8050867 


I Sd 197 
+ gi 5390k)}, 


cn 


da cui, ponendo 
P 
—  9,8088 
sl avrà 
_% 000000 000367 990 « A'A':1000000 -h'i 


0, 8088 - d -{2,3025851 +L.) + 0,8050867 


I SO 5 197 
+ (157 g%-7 33845), 


e facendo le occorrenti riduzioni numeriche 


0,000367 990 + 2;3025851. DIA IO 0,8050867 
DEE 9,8088 d' DIOR SORTI 
85, I 
(157 FEO da0c 1 
cd radica 2,3025851 
pVATATR 
—=0,000086 3845 y SAMI Y+0, ,3406447+ (68, 568765-4—32 ,7948881)}, 


ovvero, semplificando i due numeri che si trovano nella parte indeterminata , 


scrivendo in luogo delle due &, e conservando soltanto sei cifre 


I+a? 1+60 
RT ; 
decimali nel numero 0,3496447, sarà 

Opusc. Matem. e Fisici. 19 


146 PARTE PRIMA 
Ip14 , 
[36] Y=0,000086 3845 « Ri PST A {Log. +0, 34g615+ Fr (2 o 27) 1 
nella quale equazione, per richiamarlo alla memoria, 

h' esprime l'altezza di ciascuno de’ due prismi, 

il numero delle volte che quest’ altezza contiene uno de’ lati delle basi , 

A' la densità a cui ciascuno de’ due prismi si ridurrebbe se, senza cangiare 
di massa, venisse ad acquistare il volume di un cubo co’ lati uguali a /', 

a, 6 due quantità di cui non si conosce il preciso valore, ma delle quali si sa 
soltanto ch’esse dipendono da y e che sono reali e positive. 

Può avvenire qualche volta che in luogo di avere nel valore di X la densità 
fittizia A’, giovi avere la densità reale A de’ due prismi che si attirano. In que- 
sto caso, indicando con / (come già si disse al principio del presente numero) 
la lunghezza di ciascuno dei lati delle basi, e facendo 


delia 
bai h' h' 
st‘ha 
[37] X=0,000086 3845 - A°h' -ÎLog 1)+0,349645++, Bi rio. R 


agire 


ve tea ‘180 


Facendoci ora, dopo tutto questo calcolo, a considerare l’ equazione [36], noi 
possiamo scorgere che per piccola che sia la quantità 


IAI DI 
0,000086 3845 - Sd i 
la 4 è capace, con un sufliciente ingrandimento , di far crescere il secondo 
membro fino a una grandezza qualunque. In seguito a ciò si può dimostrare che 
il tessuto reticolare a fili abbastanza sottili, quando non si abbia difficoltà a vo- 
lerlo ammettere, può rendere l’effetto della gravitazione uguale alla tenacità che 
si osserva effettivamente ne’ corpi; intorno alla qual dimostrazione possiamo 
richiamarci alla memoria quanto abbiam detto al principio del presente 
numero. 

Supponiamo per un caso particolare, che si abbia un corpo della forma di un 
prisma retto a basi quadrate, dell’ altezza di due centimetri, co’ lati delle 
basi della lunghezza di un centimetro , formato di fili “lean distribuiti in 
tre direzioni ni loro perpendicolari cioè nelle direzioni degli spigoli di esso 
prisma; e supponiamo che la somma de' fili disposti secondo ciascuna delle tre 
direzioni abbia una massa uguale al terzo della massa totale del prisma. Imma- 
giniamo inoltre che questi fili abbiano la forma di piccoli prismi retti a basi 
quadrate colle facce parallele alle facce del corpo totale, e che tutti questi fili 
sieno di uguali sezioni trasversali e di uguale densità e collocati, quelli aventi 
una stessa direzione, a uguali distanze Vl’ uno dall’ altro. E perchè ogni cosa sia 
data, supponiamo che i fili diretti secondo la lunghezza del prisma sieno in 


SICA MATEMATICA 147 
numero di 10000, e che la densità dell’intero prisma sia quella del ferro, vale a 
dire uguale a 7,800; e poniamo 
d'=2b50f4 


Concependo che il prisma totale sia distinto in due parti uguali, mediante un 
piano parallelo alle basi e situato ad uguale distanza dall'una e dall altra di esse, 
cerchiamo di dimostrare che col dare ai già descritti fili una sufficiente sotti- 
gliezza, le due parti del prisma totale così distinto possono , in grazia della sola 
gravitazione, rimanere attaccate l’una all’altra con una forza uguale alla tena- 
cità di un prisma di ferro delle suddette dimensioni. 

Facciamo uso dell’equazione [36], e in questa 

X rappresenti la forza colla quale si attirano, in conseguenza della gravita- 
zione, le due metà di uno de’ piccoli prismi diviso dal piano immaginato , 

h' la lunghezza di ciascuna di queste metà del piccolo prisma, 

A' la densità che questa metà acquisterebbe se ella, senza cangiare di massa , 
si rarefacesse sino ad acquistare il volume di un cubo di lato &/. Noi avremo 


BI 


I 


/ 


Sal PILE, 3005 


giacchè la massa del piccolo mezzo prisma è la trentamillesima parte della 
massa di mezzo il prisma totale, di maniera che esso piccolo mezzo prisma 
acquisterebbe la densità 

I 


a PI 


30000  ‘ 


O, 


prendendo il volume del mezzo prisma totale. Si avrà perciò 


(0, (0,01)! 
Fagl ROL 


X=0,000086 3845 


69 33 
iLog. )+-0,349645+ La i (L_ a) 
Ora sommando le forze, colle quali dieci mille di questi mezzi prismi n’attirano 
altri dieci mille situati seco loro a contatto, ossia prendendo dieci mila volte 
l'attrazione colla quale uno di questi mezzi prismi attrae quello che gli è unito 
per una base e che secolui forma un piccolo prisma intero, avremo per risul- 
tamento la quantità 
10000 £ 
ossia 


C ( Oi 
10000 + 0,000086 3845-(37 7,9 Ape (0,01)* jL)_o, 349645+ Ta (2 69 33 }i 


30000/ 5,01 r+a 1+6 


la quale coll’ aumentarsi della 4 può benissimo divenir uguale a 4470, vale a 
dire alla tenacità di un prisma di ferro che abbia un centimetro quadrato di 
sezione. 


148 PARTE PRIMA 
Il valore che a quest’oggetto dovrà avere 4 sarà dato dall’ equazione 


n 05 f) (0, 01)f w/ I 69 55 | 
{470 = 19000 - 0, 000086 3845 (3 o) Tur I nti agita cat P@ are 


la quale, eseguendo le convenienti operazioni, si riduce alla seguente 


Log.) + 0, 34964 5+ 7 RA =38 349767 000000 000000. 
Trasportando nel secondo membro il numero 0,349645, dal quale esso se- 
condo membro non verrà punto alterato, e considerando che in grazia del va- 
lore enorme che dee avere la W onde soddisfare l'equazione, il termine appros- 
simativo o indeterminato è estremamente piccolo, e che trasportato nel secondo 
membro non ne può alterar punto le cifre significative (quelle cioè che non 


sono supplite dagli zeri), noi avremo più sera aan 
Log.) =33 349767 000000 000000 


da cui, tenendo conto di sole sei cifre significative, e liberando + dal simbolo 
logaritmico, si ha 

i — 1033 349800 000000 000000 
dove y indica il numero delle volte che il lato della sezione trasversale di un 
filo è contenuto nella lunghezza di un centimetro. 

Quando adunque i prismi di cui parliamo abbiano quella enorme sottigliezza 
che abbiam trovata, potrà la somma delle attrazioni esercitate fra le due metà 
di ciascuno dei prismi medesimi essere uguale alla tenacità che avrebbe un 
prisma di ferro della sezione di un centimetro quadrato. 

La densità di questi sottilissimi prismi o fili sarà facile ad aversi, se si porrà 
mente che indicandola con A si ha 


A=A'p=Dy?, 


pi 
e che per conseguenza 


Log.A = 2Log.a) + Log. dea 


= 2Log.y) — 3,5850267. 
Sostituendo in quest’ultimo secondo membro il valore di Log./, avremo 
Log.A =76 699534 000000 000000 < 
da cui, tenendo conto di sole sei cifre significative , 


A = 1076 699500 000000 000009 


ove il secondo membro è un numero sì grande, che per iscriverlo secondo il 
modo aritmetico ordinario abbisognerebbe di tante cifre da riempire tutta la 
superficie del globo ! i 


FISICA MATEMATICA 149 


Noi potremmo adunque col mezzo di questa densità enorme de’ fili, e di 
questa inconcepibile loro sottigliezza ottenere dalla gravitazione un effetto 
uguale alla tenacità. Anzi avremmo qualche cosa di più; perciocchè converrebbe 
aggiungere gli effetti delle attrazioni che ciascuno de’ mezzi fili longitudinali 
esercita sui mezzi fili pure longitudinali i quali fiancheggino l’altra sua metà 
nell’altro mezzo prisma totale; fui a che vi sarebbero gli effetti delle attrazioni 
esercitate dall’ un mezzo prisma verso l’ altro in grazia della presenza de’ fili 
trasversali; le quali cose aumenterebbero di una piccola frazione di grammo i 
4470 chilogrammi che risultano dall'azione principale. 

Diamo qualche maggiore generalità alla nostra conclusione, ritenendo però 
che sì tratti ancora di un prisma delle medesime dimensioni come precedente- 
mente , formato di sottilissimi fili prismatici simili ai precedenti, dal numero in 
fuori, e disposti nella medesima maniera. Chiamiamo perciò 

n il numero di que? fili che hanno una direzione longitudinale , 

d la densità del corpo totale, 

T' la sua tenacità; 
per determinare 1 noi avremo 


T=nX=n-0,000086 3845(. $) 2° {Log I) +-0,349645 + i) (e 2) 
da cui 
Log.y +0, ,349645+ jr (I_ dI )ie Tnò 


1+6/0° mò, 000086 3845 » d° N ? 


e siccome per ipotesi si ha //= 0,01, così sarà 


S 69 9100 000000 Inò' 
o dodici (lire 
SA + 1)= ‘.0,000086 3845 + d° ? 


I4A LI 


ovvero più semplicemente, attesa l'enorme grandezza di + , 


__900 000000 7nd' 
ELA A 0, 000086 3845 d” 


9Q 000000 000000 7'nd” 


0,863845 d° i 


equazione che servirà a far conoscere la grossezza de’ fili prismatici. 
Se ne troverà la densità coll’ osservare che il volume della somma di quelli 
che sono contenuti in un centimetro cubico è 


3n- h' (7) i, 


150 PARTE PRIMA 


laddove il volume del centimetro cubico è 


(4') 


la densità perciò della loro materia sarà uguale a 
ò (h')° 


3n- (3) 


SA 


ovvero a 


e indicandola con A, si avrà 
Log.A = 2Log.4) + Log.d — Log.3 72 : 


_ 18 000000 000000 Tnd' Rea pila 
o, 863845 d* $ Pete 
dove il Logaritmo negativo è estremamente piccolo in confronto della somma 
degli altri DI termini dell’ultimo secondo membro; e se la 7. aumenta, questo 
logaritmo negativo si va bensì ingrandendo, ma però in una ragione di gran 
lunga minore che non fa il primo termine del suddetto secondo membro. 

Banjo adunque da quanto abbiam detto che col mezzo delle sole leggi della 
Meccanica, e lasciata da banda ogni considerazione fisica d’altro genere, non è 
possibile il dimostrare che assolutamente 1’ attrazione universale non sia la 
causa della coesione. 

Osservazione. Noi veggiamo ora la ragione perchè in alcune delle ipotesi 
esaminate nel secondo articolo non potè la nostra tesi, l’impossibilità cioè della 
conciliazione delle due attrazioni, venir dimostrata se non nel supposto che la 
materia occupasse una parte sensibile del volume totale del corpo (vedi al 
num. XI). Una tale ragione si è, che supponendo estremamente piccolo lo 
spazio effettivamente occupato dalla materia di un corpo, poteva questa materia 
avere una tessitura reticolare, la quale considerata soltanto dal lato della Mec- 
canica poteva bastare per questa conciliazione. 

Dicasi lo stesso (vedi al num. X._ nell’ osservazione ) del caso nel quale am- 
mettendosi l’ipotesi di Laplace si supponesse altresì che la distanza vicendevole 
delle molecole variasse estremamente da un luogo ad un altro. La distribuzione 
di queste molecole potrebbe accostarsi alla struttura reticolare , essendo alcune 
di esse sì vicine le ume alle altre da formare in certa guisa i fili, ed alire così 
lontane da lasciare de’ vani analoghi agli intervalli fra i fili medesimi; di maniera 
che quest’ipotesi in cotal mcdo aggiustata potrebbe avere i medesimi vantaggi 
di quella del tessuto reticolare. Ma ella sarebbe altresì sottoposta alle medesime 
diflicoltà che si oppongono a quest’ultima e le quali noi passiamo ad esporre. 


FISICA (MATEMATICA [OI 


XIV. 


Quantunque guardando la cosa dal semplice lato della Meccanica non si 
riesca a dimostrare, come testè s’ è veduto, essere assolutamente impossibile il 
ridurre la coesione de’ corpi agli effetti dell’attrazione universale , si viene nul- 
ladimeno anche co’ soli ragionamenti meccanici a scoprire una facilissima ob- 
biezione contro questa riduzione; e questa obbiezione si è che per poter attri- 
buire la coesion de’ corpi alla gravitazione sarebbe d’uopo ammettere ne’ corpi 
stessi un’ inconcepibile rarezza di tessuto ossia piccolezza di spazio occupato 
effettivamente dalla materia costituente essi corpi, e una inconcepibile densità 
all’ incontro negli spazii pieni. 

Per tentare di formarci una debole idea di questa densità , considerandola di 
quella grandezza che ci è risultata nell’ esempio numerico precedente , immagi- 
niamoci uno spazio sferico di un raggio uguale alla distanza delle più lontane 
stelle che siensi scoperte col telescopio, raggio che la luce non possa percorrere 
che nella durata di qualche migliajo d’ anni; concepiamo questo spazio tutto 
riempiuto di una materia molto densa quale sarebbe quella del platino; e im- 
maginiamo che tutta questa materia venga a condensarsi in uno spazio uguale al 
volume del più minuto corpicello che sia visibile col microscopio, e che quindi 
con una nuova condensazione venga questa materia a ridursi a un volume che 
sia tante volte più piccolo di quest’atomo, quanto lo è quest’atomo del suddetto 
spazio sferico: noi saremo ancora con tutto questo assai lontani dall’ aver rag- 
giunta la densità che si dee attribuire alla materia per far dipendere la tenacità 
dalla gravitazione, e non si potrebbe arrivarvi che con un numero enorme di 
siffatti successivi gradi di condensazione. 

Ora questa inconcepibile densità, quantunque non sia assolutamente impos- 
sibile, io credo che troverà molta difficoltà ad essere ammessa dai Fisici 
siccome effettivamente esistente nello stato reale delle cose. Nessun fenomeno 
della natura ci forza ad adottarla, e sarebbe poco saggio pensiero il voler am- 
mettere senza una fortissima necessità una idea sì strana e sì difficile a con- 
cepirsi sulla costituzione della materia. 

Chi però intendesse sostenere la contraria tesi, potrebbe notare che negli 
esempii precedenti noi non abbiamo supposto ne’ fili del tessuto reticolare la 
forma più vantaggiosa agli effetti dell'attrazione, la qual forma sarebbe la 
cilindrica; che lo stesso può dubitarsi essere della loro disposizione, potendo 
forse esservi delle disposizioni per questi fili le quali sieno molto più favorevoli 
all’attrazione che non quella secondo tre direzioni fra loro perpendicolari. 
Oltre a ciò si potrebbe esigere che non si trascurassero Ie attrazioni secon- 
darie le quali hanno luogo fra le parti che non sono ad assoluto contatto, quali 
sarebbero state nel precedente esempio numerico le attrazioni fra i fili trasver- 
sali dell’una metà del prisma totale e i fili trasversali dell’ altra metà. Si po- 
trebbe perciò dubitare che la sottigliezza necessaria ai fili potesse non essere sì 
enorme come noi abbiamo veduto. 


152 PARTE PRIMA 


Io non negherò che queste riflessioni non sieno atte al primo aspetto a spar- 
gere qualche dubbio sulla questione; io però spero di poterlo dissipare, e di 
dimostrare che in tutte le disposizioni possibili della materia è sempre neces- 
sario ammettere ne’ corpi una enorme rarità di tessuto e una enorme densità 
della materia, se si vuole che la coesione possa dipendere dalla gravitazione. 

Si supponga pertanto che si abbia un corpo di una tessitura reticolare, i cui 
fili sieno disposti nel modo che più piaccia; e se non si stima abbastanza eflicace 
la disposizione a fili, si prenda quella a lamine o quell’altra qualsivoglia che si 
giudichi più acconcia; giacchè la dimostrazione che intendo di dare abbraccia 
tutte le diverse disposizioni possibili della materia. Si supponga anche non uni- 
forme, se così aggrada, la densità della materia che occupa gli spazii pieni del 
corpo, ma ch’ella varii dall’un luogo all’altro nel modo che potrà sembrare più 
favorevole all’ attrazione. 

Si immagini che questo corpo sia stato tagliato alla sua superficie in maniera 
da prendere la forma di un prisma retto a basi quadrate, e lo si concepisca 
distinto in due parti per mezzo di un piano parallelo alle basi, condotto a di- 
stanze uguali da queste basi medesime. E si chiami 

C questo corpo-ridotto alla suddetta forma prismatica , 

4, B le due parti di esso che vengono distinte l'una dall'altra per mezzo 
dell’ immaginato piano, 

h la lunghezza de’ lati delle basi del corpo medesimo, 

2h la sua altezza, che noi supponiamo maggiore di 24, 

Ò la sua densità, vale a dire la media densità che si ottiene paragonando la 
sua massa col suo volume totale, 

(1+ e) il numero delle volte che il suo total volume contiene lo spazio oc- 
cupato dalla semplice materia ; e qui, se questa materia non è dappertutto della 
medesima densità, s'intende che lo spazio di essa sia quello ch’essa occuperebbe 
venendo tutta ridotta alla più grande densità che ella abbia nel corpo; da 
ciò segue che 

(1+-£)d sarà la densità di questa materia negli spazii pieni; e se questa den- 
sità che ha luogo negli spazii pieni non è uniforme, la quantità (1+-£)0 espri- 
merà la maggiore densità che abbia luogo nel corpo. Sia 

T la tenacità del corpo mostrata dalla sperienza, supposta espressa in 
chilogrammi, i 

Y la forza colla quale le due parti 4 e B si attraggono vicendevolmente in 
virtù della gravitazione secondo la direzione degli spigoli longitudinali, nel 
medesimo modo come avevamo convenuto al num. IX, supposta anche questa 
forza espressa in chilogrammi. 

Ciò posto concepiamo che questo corpo C, conservando la sua altezza 2//, 
si restringa nel verso laterale fino a perdere tutti gli interstizii voti, ed anche, 
nel caso di una densità non uniforme, sino a che tutta la materia abbia aequi- 
stata la più grande densità (1-+£)0; ma però di tal maniera che in questo re- 
stringimento la quantità di materia compresa fra due sezioni trasversali vicine 


FISICA MATEMATICA 153 


si mantenga frammezzo a queste due sezioni medesime, senza uscirne veruna 
porzione dallo spazio compreso fra i loro piani. Concepiamo inoltre che tutte le 
nuove sezioni trasversali (quelle che si ottengono col tagliare il solido, dopo il 
supposto restringimento del prisma primitivo), conservando le loro rispettive 
estensioni superficiali, e tenendosi ciascuna nel suo piano, si cangino in al- 
trettanti cerchii co’ centri in un medesimo asse perpendicolare ai loro piani. 
Chiamiamo 

C' il corpo totale così cangiato , 

A4', B' le due parti che nascono rispettivamente da 4 e da B mediante il 
cangiamento indicato, 

Y la forza colla quale si attraggono vicendevolmente queste due parti 4, {', 
la quale opererà esattamente in direzione perpendicolare ai piani dei cerchii. 

Egli è evidente che la densità di C' sarà (r+e)0, e l'altezza 2/'. Per quello 
che riguarda la forma, noi supporremo per ora, all’oggetto di dividere la diffi- 
coltà, che questo corpo differisca assai poco da un cilindro retto. Ammetteremo 
cioè che le irregolarità le quali possono aver luogo nella distribuzione della 
materia del corpo €, non si riscontrino che considerando degli spazii picco- 
lissimi e paragonando fra loro le diverse parti di ciascuno di tali spazii, consi- 
derando p. e. la struttura delle singole molecole quando alcuno voglia riguar- 
dare il corpo siccome formato di molecole distinte; ma considerando esso 
corpo in totale e stando a quel che può apparire ai sensi, ammetteremo per 
ora che il corpo sembri omogeneo o di densità uniforme; e limiteremo così pre- 
sentemente alle sole parti minime de’corpi la libertà di poterne noi immaginare 
il tessuto come più piaccia: e oltre a ciò ammetteremo che al restringersi delle 
diverse sezioni trasversali, succeda una tale compensazione fra le irregolarità 
della distribuzione della materia, che queste sezioni vengano a prendere delle 
estensioni superficiali pressochè uguali, e il corpo Cl’ differisca assai poco, come 
abbiam detto, da un cilindro retto. Lasceremo pel numero seguente il caso 
generalissimo che abbia luogo qualsivoglia altra più grande irregolarità nella 
distribuzione della materia del corpo C, e che il corpo C' differisca comunque 
da un cilindro retto. 

Concepiamo in fine che al corpo C’ venga aggiunta all’ intorno una quantità 
di materia della stessa sua densità, in maniera da presentare la figura di un 
prisma retto a basi quadrate, avente queste basi ne’ piani medesimi delle basi 
del corpo C*, e le facce laterali in contatto colla maggiore sezione trasversale 
dello stesso corpo C'. Chiamiamo 

C" questo prisma, 

D la lunghezza dei lati delle sue basi, 

4°, B" le due parti che ne nascono dividendolo con un piano parallelo alle 
due basi e da esse equidistante, 

Y" la forza colla quale esse due parti si attraggono vicendevolmente. 

Noi cercheremo successivamente le relazioni fra /7 e 77”, fra Y' e Y”, e 
fra Ze le dimensioni e la densità di C”, e procureremo quindi di trovare 


Opusc. Matem. e Fisici. 20 


154 PARTE PRIMA 


quale debba essere questa densità, affinchè si abbia 


V= T. 
Osserveremo prima di tutto che 


V>V. 


Se in fatti noi concepiamo che tanto le due parti 4 e 8, quanto le due 4°, 8’ 
sieno divise in un grandissimo numero di lamine parallele alle basi, tutte di 
una medesima ma piccolissima altezza, egli è facile a vedersi che 1’ attrazione 
esercitata da una qualsivoglia delle lamine di 4’ verso una qualsivoglia delle 
lamine di £', sarà maggiore dell’attrazione esercitata fra le due corrispondenti 
lamine di 4 e di 8. Perciocchè nelle due prime la materia ha una disposizione 
più favorevole all’ attrazione che non nelle seconde, qualunque disposizione 
possa ella avere in queste ultime (1). Ora dall’essere tutte le attrazioni particolari 
fra le lamine di 4' e quelle di 5’ maggiori delle attrazioni corrispondenti fra 
le lamine di 4 e quelle di 8, ne risulta che l'attrazione totale fra 4’, L' è essa” 
pure più grande di quella fra 4 e 5, e che per conseguenza si ha 


Ki Tuba 
Sì ha poi evidentemente 
p!! Dio Vv! : 
e però anche 
Facara 


ossia 
Dl'zzA tr 
essendo y una quantità positiva. 
Posto questo, siccome le densità di C e di C’ stanno fra loro nella ragione di 


1i(1+e), 


e le masse di essi due corpi sono uguali, così le sezioni dell’uno staranno alle 
sezioni dell’ altro prossimamente come 


(1+e):1, 


e per conseguenza quelle di C’ avranno un’area presso a poco uguale a 


3 hh; 


te 


alcune saranno qualche poco più piccole di questa quantità, ed alcune qualche 


(1) Quantunque sia questa una verità per sè stessa evidente, ne ho nulladimeno cercata una 
rigorosa dimostrazione, la quale a cagione della troppa lunghezza a cui mi è cresciuta l’ ho 
esposta a parte nella Nota collocata in fine della Memoria , ove questa dimostrazione è com- 


presa nei paragrafi dal 1.° al 12.° inclusivamente. 


FISICA MATEMATICA 155 


poco più grandi, e la maggiore di tutte potrà essere espressa da 


(ESA 


LEE 


essendo 4 una quantità positiva generalmente assai piccola. 


Siccome poi il diametro di questa maggior sezione è uguale a ciascuno de’ 
lati delle basi del prisma C”, lati di cui noi abbiamo chiamato 2 la lunghezza, 


così sarà 
D\? Lardli 
TT (3) a «hh ’ 


I--=te 


d'onde si avrà 
4h 1+%4 


TT I+E£ 


9, 1 Vi1+4 
i aria 
Essendo ora nelle due metà 4”, 5” del prisma Cl” 
h' la lunghezza, 
D uno qualunque de’ lati delle basi , 
(1+ e)0 la densità, 
sarà la loro attrazione vicendevole (equazione [37]) data dall’ equazione 


n (1+8f9° DI | PARROT. 00 39 
YV"'=0,000086 3345 do Tec L+0,349665+7:( 2), 
essendo 4 uguale a 5 ; ovvero da 
(1+e)d16-h5(1+4)? 3 09033 
2 & , ii -0,34 | rata 
Y"'—= 0,000086 3845. ci L.4)+0,349645+ PE Do) 
16-h4.d?.(1+4) 69 “Pa 
—__ 5. AA PIL A E 
= 0,000086 3845 mig’ {re Y +0,349645 + o p(3_ 2a 
e siccome 
Pi ti EA 
fs 
così si avrà 
vr "1 FAL hi ile | pis 69 Do 
Y =0,000086 3845 o ; Gp) Li +o, 340645 - v cena «Su 


Per conseguenza, onde si abbia 
Lal la hi 
dI 
dovrà verificarsi I equazione 


- 160°h4 (1-+4) 6 39 
Le 86 3845 sE Lab + ces" (e, 
0,0000 Eten | + 0,349645 p? (I i. 


i+0 MERA 


156 PARTE PRIMA 


d’onde si trae 


I 6 33 Tòd'x° Ta 
oi L.aPr0,349645+ (TTT —0,000086 ISIN GA 
dalla quale equazione, dando de’ valori particolari a d e ad 7, supposto che 
quelli di & sieno piccoli, e che quelli di d sieno quali convengono ai corpi 
naturali che noi conosciamo, si ricavano per dei valori enormi, 

Sia per un esempio 
= 00018 


abbia cioè il prisma primitivamente considerato la sezione di un millimetro 
quadrato; inoltre sia 


(2g 


che è il valore di 7’ corrispondente a un prisma di ferro d’una siffatta sezione , 


io 
MESIA 
hi 000° 


Avremo 


° 1/69 33 \__ 44,7:5,01-7°- 10004 1+yY 
ole Je a TEATRI Hegwiii 


e siccome, per ciò che si è detto poco sopra, la quantità 4 si ritiene ora come 
assai piccola, mentre la y è sempre di una grandezza sensibile, e siccome 
perciò alla quantità 

(1+- 7) 

(1+4) 
si può dare la forma 

1+É, 


essendo É una quantità positiva, così, eseguendo le moltiplicazioni indicate, sarà 


1/ 69 33 


Va 1+ 06 deter 


La + 0,3496045 + ) = 26284 500000 000000 - (1-+ È); 


e trasportando al secondo membro la quantità 


T.fko 33 
9,3496454 a 8) 


FISICA MATEMATICA 157 


e quindi trascurandola, siccome quella che è piccolissima a paragone della 
quantità 
26284 500000 000000 (1-+ È), 


dove introdotta non potrebbe alterare le cifre significative del coefficiente nu- 
merico ma solo quelle supplite dagli zeri, e sostituendo in fine per semplicità 
uno zero all’ultima delle suddette cifre significative, avremo 


Log. = 26284 000000 000000 (1+ È), 


e o) — 1025234 000000 000000 (1+$), 


dove y esprime, come si detto, il numero delle volte che il lato D della sezione 
trasversale del prisma C” trovasi contenuta nella metà /' della lunghezza del 
prisma medesimo, la quale /’ nel nostro esempio viene supposta di un 
metro. 

Da ciò si può riconoscere quanto sarebbe enorme il numero delle volte di 
che converrebbe poter impicciolire le sezioni trasversali del prisma primi- 
tivo C, e quanto grande dovrebbe essere la densità negli spazii occupati 
dalla sua materia, affinchè la coesione potesse essere una conseguenza della 
gravitazione. 

Potrebbe però avvenire che le sezioni trasversali del corpo Cl’ differissero 
l’una dall’altra assai più di quanto abbiamo supposto, e che perciò la più grande 
di esse superasse per un gran numero di volte quella di grandezza media, vale 
a dire che si avesse assai grande la quantità (1+4).In questo caso non si scor- 
gerebbe più chiaramente essere 


bel 


(1+4)° 


maggiore di 1. Quando nulladimeno questo valore di (1+4) non sia grandis- 
simo, quando esso non ecceda, per esempio, il numero 50 ovvero il 100, noi 
possiamo ancora servirci della dimostrazione precedente; dalla quale, pel caso 
che si voglia far dipendere la coesione dalla gravitazione, possiamo ancora 
trarre degli enormi risultamenti per riguardo alla rarità del tessuto de’ corpi e 
alla densità della loro materia. 

E in fatti quantunque nel secondo membro dell’equazione [38] la quantità 


Tò' x° 
0,000086 3845-160414 


venga divisa per 2500 ovvero per 10000 vale a dire per (1+4), con tutto ciò, 
semprechè si diano ad de’ valori piccoli, il quoziente che nascerà sarà ancora 
grandissimo, e si potrà ancora conchiudere che la quantità y dovrà essere espres- 


158 PARTE PRIMA 


sa da una lunghissima serie di cifre numeriche. Se, per un esempio, s1 avesse 
(1a-Adi=i1008 
il secondo membro dell'equazione [39] sarebbe 


44,7-5,01 10004. x? Npglinia 
16-7,8-7,8-0,000086 3845 +10000 v); 
ovvero 
2 628450 000000 (1+ 7), 
d’onde si otterrebbe 
o) — 102 628450 000000 (147) , 


XV. 


Nel caso però che le sezioni trasversali del corpo Cl’ avessero delle diffe- 
renze molto più grandi, e che per conseguenza la (1+-4) avesse de’ valori gran- 
dissimi, allora la precedente dimostrazione non sarebbe più vantaggiosa , non 
sarebbe più atta cioè a farci conoscere le strane conseguenze a cui conduce 
l’ipotesi che combattiamo.In questo caso conviene immaginare qualche trasfor- 
mazione di più; convien togliere dapprima queste grandi differenze e ren- 
dere più uniforme la grossezza del corpo Cl’; però mediante tali movimenti 
della sua materia che l’ attrazione vicendevole delle due parti nelle quali esso 
si suppone distinto non venga minimamente a diminuire; a quest’ uopo non 
venga a diminuire, perchè dal trovar piccola tale attrazione in sul fine si possa 
conchiudere ch’ ella era piccola fin da principio. E qui mi permetterò di 
pregar d’altenzione il leggitore, stantechè la dimostrazione che sto per esporre 
io la stimo la più difficile e insieme la più importante di questo mio lavoro. 
Il pregherò eziandio di sofferenza al vedere che io il conduco per strade 
difficili ad esaminare delle ipotesi affatto stravaganti sulla costituzione de’c orpi, 
e le quali non sono per niun modo probabili anche prescindendo dagli enormi 
risultamenti a cui esse guidano per riguardo alla densità della materia ed alla 
rarezza del tessuto de’ corpi. Io stimo necessario il considerarle con diligenza, 
per togliere radicalmente il dubbio che secondo qualche maniera di concepir 
formati i corpi, si possa senza incontrar gravi difficoltà dar buona ragione de- 
gli effetti molecolari mediante la sola gravitazione. Perocchè se questo dubbio 
sorgesse in alcuno per riguardo a qualche ipotesi anche bizzarra, gli farebbe al 
certo un possente invito ad adottarla la speranza di poter ridurre le due 
attrazioni ad una sola, e poco effetto farebbero su lui le ragioni contrarie, 
delle quali, come il leggitore si accorgerà, è alquanto difficile la compiuta 
esposizione. Anche l'ipotesi di Laplace si sarà presentata in sulle prime 
al suo celebre autore sotto l'aspetto di un’ opinione poco naturale; pure 


FISICA MATEMATICA 159 


l’averla stimata utile alla conciliazione delle due attrazioni e il non averne 
veduto chiare le difficoltà fecero sì ch'egli l’adottasse, ch’ egli credesse vedere 
argomenti a di lei favore in altri fatti della natura, e che molti valenti Fisici il 
seguissero. 

Concepiamo adunque, ripigliando da capo la dimostrazione, che si ab- 
bia un prisma C, nel quale, secondo che abbiamo già esposto nel numero 
precedente, la materia-sia distribuita in una maniera qualunque; e poniamo che 
le indicazioni A, d, (1r+e), Y abbiano lo stesso significato come nel numero 
precedente medesimo, e che 2/' sia ancora la lunghezza totale del prisma, la 
quale 2/' supporremo qui pure maggiore di 24. 

Supponiamo che questo corpo C sia stato trasformato in un altro corpo Cl’ 
mediante i medesimi cangiamenti che abbiamo già descritti nel precedente 
numero, vale a dire mediante il ristringimento nel verso laterale, e la riduzione 
delle sezioni trasversali ad altrettanti cerchii. E ammettiamo che questo corpo 
€' presenti de’ rigonfiamenti e degli strozzamenti, le cui sezioni trasversali 
differiscano fra loro secondo rapporti anche grandissimi. 

Noi cominceremo ad immaginare che tutto all’ intorno del corpo C’ venga 
aggiunta una certa quantità di materia della stessa densità di esso, la quale il 
riduca alla forma d’un aggregato di un gran numero di piccoli cilindri retti, 
collocati colle basi a vicendevole contatto, disposti intorno al medesimo asse del 
corpo €’, con delle larghezze o sezioni trasversali che differiscano fra loro 
come è richiesto dalla forma del corpo C‘, essendo esse maggiori ove il corpo C” 
è più largo e viceversa, e con altezze o uguali fra loro o disuguali (il che non 
importa), ma tutte piccolissime, affinchè la materia da aggiungersi sia in piccola 
quantità (Si può avere un'idea di cotali cilindri dalla fig. 8,Ja quale rappresenta 
con punteggiamenti i cilindri medesimi segati mediante un piano passante pel 
loro asse, con insieme la sezione del corpo C' fatta dallo stesso piano). Per 
conseguire il quale intento si distinguerà il corpo C' in tante lamine per mezzo 
di piani paralleli alle basi, e si ridurrà ciascuna di queste lamine , coll’ aggiun- 
gervi all’ intorno una sufficiente quantità di materia, alla forma di un cilindro 
ad essa circoscritto. Ed è chiaro dalla geometria che prendendo questi cilindri 
abbastanza corti, la quantità totale di materia che converrà aggiungere potrà 
essere piccola quanto piaccia: egli è un problema in fatti non difficile quello di 
circoscrivere a un emisfero o ad un cono una serie di cilindri retti la cui somma 
differisca in solidità da questa sfera o da questo cono meno di una assegnata 
quantità qualunque; e la stessa operazione si può facilmente eseguire rispetto 
a qualsivoglia altro solido di rivoluzione, quantunque abbia de’ mumerosi ri- 
gonfiamenti e restringimenti. A noi però basterà che la materia da aggiungere 
al corpo C' non arrivi ad uguagliare in massa il terzo del corpo €’ medesimo. 
Supporremo che in seguito vengano paragonate fra loro tutte le differenti lar- 
ghezze de’ piccoli cilindri, di maniera che, quando se ne presenti il caso, si 
possa scegliere fra essi cilindri quello o quelli che hanno la prima o più grande 
larghezza, quelli della seconda larghezza, que’ della terza, della quarta, ecc. 


160 PARTE PRIMA 


E chiameremo 
C' il corpo risultante dall'unione di tutti questi piccoli cilindri. 
Concepiamo dopo ciò che intorno all’ asse del corpo Cl" sia descritta una 
superficie cilindrica, che chiameremo 


S, 


il cui diametro sia doppio del diametro medio del corpo C’, doppio cioè del 
diametro di un cilindro uguale a C’ in lunghezza e in solidità (veggasi la fig. 8 
suddetta). La lunghezza di questa superficie si prenderà poi o uguale a quella 
di questo corpo C' o anche alcun poco maggiore, se ciò sarà necessario per 
l’uso a cui essa superficie dee servire; presentemente questa lunghezza noi la 
lasceremo indeterminata. Egli è chiaro che questa superficie, fra due sezioni 
perpendicolari al di lei asse e collocate alla distanza 2/4’ P una dall’ al- 
tra, potrebbe contenere quattro volte il volume del corpo Cl’, e più di 
tre volte quello del corpo C'”. Contuttociò, attese le notabili differenze esi- 
stenti fra le diverse sezioni trasversali del corpo C', differenze che noi suppo- 
niamo poter essere anche grandissime, potrà avvenire che molti de’ cilindri 
costituenti il corpo C” superino in larghezza questa superficie od avanzino 
fuori di essa. E a considerare le cose davvicino, nel caso che queste differenze 
fra le sezioni suddette sieno appunto grandissime, vi saranno nella lunghezza 
del corpo C” parecchi aggregati di cilindri o di dischi i quali sorpasseranno la 
superficie cilindrica S di cui parliamo ; fra l’uno e l’altro di questi aggregati vi 
sarà per avventura qualche disco che avrà la superficie laterale o convessa a 
livello con essa superficie $; ma di necessità vi saranno eziandio molti inter- 
valli o parti di questa superficie ne’ quali essa racchiuderà degli spazii vani, 
corrispondendo ciascuno di questi intervalli ad uno o a parecchi contigui pie- 
coli cilindri aventi i diametri più piccoli del diametro di una tale superficie $. 
L'oggetto della seguente trasformazione si è di far rientrare le parti sporgenti 
di questi piccoli cilindri, ne’ luoghi appunto ove vi hanno de’ vani. 

Scegliamo a quest uopo uno de’ piccoli cilindri della prima 0 maggiore 
larghezza, e determiniamo la lunghezza 

L 

la quale esso prenderebbe, se conservando il medesimo volume e la forma ci- 
lindrica, si restringesse fino ad avere per diametro il diametro della suddetta 
superficie cilindrica S. Supponiamo quindi che perpendicolarmente all’ asse di 
questa superficie cilindrica sieno condotti due piani, l’ uno dall’ una banda del 
piccolo cilindro scelto e 1’ altro dalla banda opposta, e i quali sieno per modo 
collocati, che: 

1.° Prendendo le lunghezze di tutti gli intervalli frapposti ad essi corrispon- 
dentemente_.ai quali la superficie cilindrica S ha dei vani, e prendendo altresì 


le lunghezze delle parti di intervallo che si potrebbero trovare comprese fra 
i medesimi due piani nel caso che da questi piani venisse segato attraverso al- 


FISICA MATEMATICA 1601 


cuno di siffatti intervalli, e aggiungendo a queste lunghezze la piccola lunghezza 
del cilindro scelto, sia la somma di tutte queste lunghezze uguale a Z; 

2.° Determinando il comun ceutro di massa o di gravità di tanti cilindri 
tutti della medesima densità e le cui superficie laterali o convesse consistano 
nelle suddette separate parti della superficie cilindrica S' concorrenti a formare 
la lunghezza Z, compresa eziandio in queste parti quella porzione della super- 
ficie S la quale si trova entro il piccolo cilindro scelto, e nel supposto che 
queste parti di superficie cilindrica rimangano ai loro luoghi di prima anche 
quando servono di superficie laterali ai nuovi cilindri che ora immaginiamo, 
coincida questo centro di massa col centro di massa o di figura del piccolo 
cilindro scelto. 

Di queste due condizioni la prima può agevolmente venir soddisfatta, nè « 
persuadersene si ha d’uopo di dimostrazione. E il può facilmente anche la se- 
conda; giacchè se per una qualche posizione de’ piani seganti, il centro di 
massa de cilindri in questione si troverà fuori del luogo che noi desideriamo, 
potrà esso venirvi rimesso coll’ avvicinare convenientemente a questo luogo 
quello de’ due piani seganti che si trova dalla banda verso cui troppo s° avanza 
il suddetto centro di massa, e col trasportare quindi più lontano l’altro piano 
segante dalla nuova posizione data al primo. E siccome potrebbe avvenire che 
non bastasse all'uopo quella parte della superficie cilindrica $, la quale si trova 
compresa fra i piani delle basi del corpo €’, così si potrà in questo caso chia- 
mare in sussidio anche una conveniente parte della medesima superficie S 
presa al di fuori delle basi suddette, trattando questa nuova parte come uno 
degli intervalli ove essa superficie S racchiude degli spazii vani. 

Determinati questi due piani seganti, e determinati altresì tutti gli intervalli 
e le porzioni di intervallo che si comprendono fra questi piani e ove la super- 
ficie cilindrica racchiude de’ voti, immaginiamo: 

1.° Che il piccolo cilindro scelto, rimanendo col suo centro di massa al pro- 
prio posto, e conservando la sua medesima larghezza e la sua medesima massa, 
si estenda secondo l’asse e si rarefaccia fino ad acquistare la lunghezza £; 

2° Che il cilindro risultante da questo allungamento si divida in diverse 
parti, delle quali una, avente la stessa lunghezza del piccolo cilindro scelto 
prima che si allungasse, venga collocata nel luogo precedentemente occupato 
da questo medesimo piccolo cilindro; una seconda avente la lunghezza di uno 
di quegli intervalli, esistenti fra i due piani seganti, ne’ quali la superficie $ 
comprende de’ vani, sia trasportata al luogo di questo intervallo in modo da 
occuparne esattamente la lunghezza; una terza di dette parti, della lunghezza 
di un altro di quegli intervalli, venga trasportata in un modo somigliante nel 
luogo di questo; e così dicasi delle altre parti in cui si verrà a dividere il 
cilindretto allungato; colla quale disposizione le diverse partidi questo cilindro 
verranno ad occupare tutti gli intervalli e le porzioni di intervallo che si erano 
determinate, aggiuntavi la posizione primitiva del piccolo cilindro scelto, senza 
che nulla avanzi della massa di questo cilindro, senza che nulla avanzi di que- 


Opusc. Matem. e Fisici. 2I 


162 PARTE PRIMA 


gli intervalli e di quelle porzioni di intervallo formanti la lunghezza £, e senza 
che punto si cangi il centro di massa della materia che componeva il suddetto 
piccolo cilindro scelto. Immaginiamo ; 

3.° Che in seguito ciascuna di queste parti separate del cilindro allungato si 
restringa nel verso laterale, in guisa da formare intorno al medesimo asse un 
cilindro della stessa di lei lunghezza ma di un diametro uguale a quello della 
superficie S', il quale cilindro perciò si trovi esattamente contenuto sotto la 
porzione che gli corrisponde di essa superficie S' medesima, occupandone tutta 
la larghezza; senza aver riguardo in questo restringimento alla materia preesi- 
stente sotto questa superficie S, la quale materia preesistente si suppone rima- 
nere immobile in tutte queste operazioni e di allungamento del cilindretto 
scelto, e di separazione e di restringimento della sua massa; di maniera che 
ne’ luoghi ove si avevano de’ vani sotto essa superficie, in questi luoghi vani dopo 
il restringimento la densità sia (1 + £)d, e ne’ luoghi in vece ove vi aveva di 
questa materia, la densità sia doppia cioè 2(1+ £)Ò. 

Terminate queste operazioni pel primo piccolo cilindro, prendiamone un al- 
tro che sia similmente, se ve n’ha ancora, della prima o maggiore larghezza; e 
fra gli intervalli che dopo le precedenti operazioni rimangono ancora con dei 
vani sotto la superficie cilindrica $, scegliamone alcuni dalle due bande del 
nuovo piccolo cilindro, i quali sieno compresi come precedentemente fra due 
piani condotti perpendicolarmente all'asse della superficie $, l’uno dall’una 
banda del nuovo piccolo cilindro e l’altro dall’altra, operando in modo che la 
somma delle lunghezze di questi intervalli scelti e il comun centro di massa 
de’ cilindri che vi si possono comprendere abbiano quelle stesse condizioni 
rispetto al nuovo piccolo cilindro, le quali avevano luogo precedentemente pel 
primo piccolo cilindro; e colle medesime operazioni facciamo che quella parte 
di materia del nuovo piccolo cilindro la quale eccede la superficie cilindrica $' 
passi al di sotto della medesima negli intervalli già scelti. Lo stesso facciamo, 
se ve n’ ha ancora, per un terzo cilindretto della maggiore larghezza, la cui 
parte di materia eccedente la superficie S' si faccia con somiglianti operazioni 
passare al di sotto di essa in intervalli non pieni tuttora sussistenti e ad esso 
terzo cilindretto laterali. E così si continui a fare per tutti gli altri minimi 
cilindri della maggiore larghezza che ancora vi possono essere, prendendoli 
l’un dopo l’altro con quell’ordine che meglio piaccia. Prendiamo di poi i pic- 
coli cilindri della seconda larghezza, cioè quelli che dopo i precedenti sono i 
più larghi di tutti gli altri, ed eseguiamo anche su questi le stessissime opera- 
zioni. Quindi passiamo a quei della terza larghezza, a que’ della quarta ecc. 
fino a che tutta la materia eccedente la superficie cilindrica S sia passata al di 
sotto di questa; e chiamiamo 

C"'il corpo che risulta da C” dopo tutte queste operazioni. 

Fermandoci a fare qualche considerazione sulle particolarità di questo cor- 
po €’, noi scorgeremo primieramente ch’esso si troverà interamente al di 
sotto della immaginata superficie cilindrica $, occupandola in alcuni luoghi 


FISICA MATEMATICA 163 


per tutta la di lei larghezza, ma in alcuni luoghi però lasciando degli spazii 
voti, lasciando cioè degli intervalli ove le sezioni di esso corpo C'” avranno 
un diametro minore di quello della superficie cilindrica S; perciocchè a riem- 
piere tutta intera questa superficie cilindrica, per tutta la lunghezza del 
corpo Cl”, il quale non è punto più corto di C.0 di C', converrebbe impiegare, 
nel nostro supposto che la materia aggiunta a C' onde ridurlo a C”, cioè a tanti 
contigui cilindretti, fosse meno del terzo di quella di esso C’, converrebbe, dico, 
impiegare oltre al triplo della massa di C””. 
La densità di C”' in certi luoghi sarà 


2(1+e)d; 


e questi saranno i luoghi ove la materia preesistente sì sarà compenetrala colla 
materia trasportata. In altri luoghi essa densità rimarrà ancora 


f n \ 
(1+%). 
Siccome l’ area media delle sezioni del corpo C' (num. MV) è 


I 


hh » 


ana” 


e il corrispondente diametro, il quale chiameremo 


IP. 
è dato dall’ equazione 
(DI hh 
aic\— ; 
ni de, I+£ 
ovvero da 
2h 


i ff 


nn 
Va Vite 
così il diametro della superficie cilindrica S sarà uguale a 


4h 


Va -Vi+e 


e tale sarà in molti luoghi anche il diametro del corpo O”. 


La lunghezza di C’” può essere la medesima di quella di C, di C’, e di C”, 
vale a dire 2//; ma ella potrebbe anche essere più grande, potendosi nelle 
operazioni colle quali si è ottenuto C”” essersi dovuta trasportare della materia 
oltre le estremità del corpo C”. Per quanto poi riguarda queste parti del corpo 
C'" le quali potrebbero eccedere la lunghezza di C”, non volendo noi entrare 


164 PARTE PRIMA 


in sottigliezze nè trattenere troppo a lungo il lettore in uno stato di cose co- 
tanto lontano dello stato reale, ci contenteremo di osservare che, unite insieme 
le parti di lunghezza eccedenti alle due estremità, la somma loro non può arri- 
vare al terzo della lunghezza del corpo C”. Perocchè se vi fosse un sì grande 
eccesso di lunghezza, vi sarebbe nella sola parte eccedente più materia che 
non in tutto intero il corpo C”. 

Dividiamo ora, con dei piani perpendicolari all’asse del corpo €”, in tre 
parti di ugual lunghezza quella porzione di esso C' la quale corrisponde a 
tutta la lunghezza di C”: egli è certo che in quella di mezzo fra queste tre 
parti vi sarà qualcuno degli intervalli ove la superficie cilindrica S, ad onta dei 
trasporti di materia, non si troverà interamente riempiuta; giacchè se fosse 
altrimenti, vi sarebbe in questa sola parte di mezzo più materia che in tutto il 
corpo C'”. Scegliamo uno di questi intervalli, e col mezzo di un piano perpen- 
dicolare all’asse del corpo C”” e passante per questo intervallo dividiamo esso 
corpo €’' in due parti che chiameremo 


qui HI 
4”, B". 


Compiuta così questa terza trasformazione, e venendo ad una quarta imma- 
giniamo che entro alla superficie cilindrica $, sì fra le due estremità del cor- 
po C'' che al di là di queste due estremità, sia aggiunta dell’altra materia, di 
maniera che tanto 4" quanto 5” vengano ad essere dappertutto della densità 


2(1+e)0, 
del diametro 
4h 
Va(1+e)” 
e della lunghezza 
XA 


È evidente che per dare a ciascuna di queste due parti una tale lunghezza è 
indispensabile lo aggiungere nuova materia al di là di entrambe le estremità del 
corpo C'”. Perciocchè la lunghezza di una qualunque di esse due parti, p. e. di 
A" si componeva precedentemente: 1.° di un intero terzo della lunghezza 

e A x I . O 
di C', terzo che è uguale a 32h ; 2. della lunghezza di una porzione della 
media fra le tre parti che erano state distinte nella lunghezza di C”, porzione 
RR EMA n genio E CIA 04 pci ANN 
che è più corta di 3 2h'; 3. di quella parte di lunghezza di cui C può sopra- 
vanzare C” alla estremità appartenente ad 4”, parte di lunghezza che simil- 
uttabé: da 3 i 
mente è più piccola di 3? h'.E così essa lunghezza di A” (ed è lo stesso per 


riguardo a 2”) era minore di 2 /'. 


FISICA MATEMATICA 165 


Chiamiamo 


107 


le parti 24”, 8” dopo l’aggiunta di materia che abbiamo supposto. 


Immaginiamo in fine che intorno a queste due parti A”, B" venga aggiunta 
della materia della medesima loro densità, di maniera che ne RR: due prismi 


4”, B 


a basi quadrate, ciascuno della lunghezza 2//, e co'lati delle basi uguali al 
diametro di 4" e di B'”. Avendo questi prismi per densità, per dltesza e per 
lunghezza de’lati delle basi rispettivamente le quantità 


ICI + e)0, De: dress 


avranno per vicendevole attrazione espressa in chilogranmni (vedi l equazio- 


ne [37)) la quantità 


mpadiva n SUA hft dd ‘5 Li ot 
0,000086 3845-4(1+e)d x(t 3 Lat 349645 + a (I n) ; 


ovvero quest'altra, a cui la precedente agevolissimamente si riduce 


0,000086 3845-1024 -d°/4 CA 0 
[a] 7 gfgre 7 spons p Vos |L +0 ,349645 diri pi sx } 


dove si ha 


_hVa(1+e) 
cpl AM 
Se ora noi chiamiamo 

A, B le due parti che sarebbonsi ottenute dal dividere il prisma primitivo € 
col mezzo di un piano perpendicolare agli spigoli longitudinali, fatto passare 
per quel medesimo luogo ove abbiamo immaginato operarsi la divisione del 

corpo C”” nelle due parti 4”, 8”; e se not chiamiamo 
Y la forza, espressa in chilogrammi, colla quale queste due parti 4 e £ si 
sarebbero atiralto per la gravitazione, secondo la direzione degli spigoli 
longitudinali del corpo C, noi possiamo riconoscere che questa forza riceve 
sempre degli aumenti Soli varie successive trasformazioni che abbiamo 
immaginato eseguirsi sul corpo C. Abbiamo infatti già veduto nel numero 
precedente che colla prima di tali trasformazioni la materia delle due parti 
4 e B prende una disposizione più favorevole all'effetto dell’ attrazione se- 
condo la già detta direzione. Nella seconda trasformazione, vale a dire 


166 PARTE PRIMA 

in quella con cui si riduce il corpo ad un aggregato di corti cilindri, questa 
materia viene accresciuta senza che si cangi la disposizione di quella che 
già sì aveva, e però la detta attrazione viene evidentemente ancora aumen- 
tata. In quanto alla terza trasformazione noi cominceremo ad osservare 
ch’ ella si eseguisce per mezzo di tre movimenti della materia, che sono: 
1.° l'allungamento de’ piccoli cilindri senza cangiamento di massa, 2.° la sepa- 
razione di ciascuno di questi cilimdri in parecchie parti, e l'allontanamento 
scambievole di queste parti senza spostamento del loro comun centro di massa, 
3.° il restringimento nel verso laterale di queste separate parti; in ciascuno dei 
quali movimenti la materia situata dalla banda di 4 per rispetto al piano che 
separa 4 da £, rimane tutta quanta da questa banda senza che ne passi veruna 
minima quantità dalla banda opposta o di £, e similmente tutta la materia 
situata dalla banda di 5 rimane da questa banda; in fatti la separazione fra 4 
e B si trova in un luogo dove in seguito la superficie cilindrica S conserva un 
intervallo con dello spazio voto, il quale intervallo non viene ad essere riem- 
pito di materia ne’ suddetti di lei smovimenti, e nemmeno da essa materia per 
cotali suoi smovimenti sopravanzato, stantechè badando al modo con cui si 
suppongono eseguiti questi smovimenti si vede che la materia non può con 
essi sopravanzare un intervallo ove vi sia del voto, senza prima riempirlo. Ciò 
posto osserveremo che in ciascuno de’ tre suddetti movimenti, l’attrazione 
fra le due parti derivanti da 4 e da 5 si va aumentando. Ella s’ aumenta nel 
l’allungamento de’ piccoli cilindri, perciocchè supponendo, per fissare le idee, 
che si venga ad allungare un piccolo cilindro esistente dalla banda di 4 l’at- 
trazione fra esso e tutti i piccoli cilindri situati dalla banda di 2, i quali sono 
tutti o d’un raggio uguale al suo o d’un raggio minore, si rende più grande, 
come si ricava dai paragrafi 14 e 15 della Nota posta in fine della Memoria. 
Si aumenta pure l’attrazione allorquando il piccolo cilindro allungato si divide 
in parecchie parti che si allontanano l’una dall’altra nel modo già dichiarato ; 
giacchè supponendo ancora ch’esso cilindretto si trovi dalla banda di 4, la 
sua attrazione nella direzion dell’asse verso tutti i punti materiali appartenenti 
alla parte 8 si aumenta con questo allontanamento, come risulta dai para- 
grafi 16 e 17 della Nota suddetta. L'aumento d’attrazione in fine che viene 
cagionato dal restringimento delle parti separate del piccolo cilindro, viene 
dimostrato nei paragrafi 7, 11 e 13 della Nota medesima. Dal che segue che 
l’attrazione fra 4" e 2" è maggiore di 77. Venendo di poi alle ultime trasfor- 
mazioni ella è cosa evidente che l'attrazione fra 4” e B'” è maggiore di quella 
fra 4" e B", e che quella fra 4” e B” è più grande di quella fra 4°” e B". 
Noi possiamo adunque porre quella fra 4” e B” uguale a 


(ata pe, 


essendo y una quantità positiva. E siccome questa medesima attrazione fra 
A” e B” è misurata dall’ espressione [4] esposta poco sopra, così sarà 


FISICA MATEMATICA 107 


0,000086 3845 +1024»d? 44 1/ 69 IX) 
(1+y)V= asi IL er Lili 


d’onde, posto 7 = 7, 


69 33 E a d' T. -(1+7) 


Dad IRE 1024+0,000086 3845 dh! * 


die di 
[40]  L.-+ 0,349645 + m( 


Per venire ad un esempio particolare facciamo 


h= 0,001 
1( pone 
dea NS 
T= 44,7 
dirzib;or; 


i quali valori si avrebbero nel caso che il corpo primitivo C fosse un sotul 
prisma di ferro della sezione di un millimetro quadrato e della lunghezza di 
due metri, e che si assumesse per densità della terra la media aritmetica de’ 
risultamenti corretti di Cavendish e di Maskelyne. In questo caso noi avremo 


69 33 1°. 5,01 + 44,7:1000%-(14+-y) 
Lo 349665 + (ea — 1024 0,000 
8. W + 0,3409645 + \t+a 1+6 1024 + 0,000086 3845 + 7,8 7,8 


=410 699000 000000 (1 + y), 


ovvero più semplicemente, traseurando per la loro piccolezza il secondo e il 
terzo termine del primo membro, 


Log.) =410 695000 000000 (1 + y); 


e siccome 


NWVaaFE) 


= 500-/reVi+e 
nr. Va-V i 


ua 


così 


Log. 500 + - Log. TA — > Log. (1+e)=410 695000 000000(1+ 7); 


Log.(1-+£)=821 390000 000000 (1+ y)— 2 Log. 500 — Log. Tr; 


e siccome i due ultimi termini del secondo membro dopo ridotti a numeri 


168 PARTE PRIMA “FIS TGA: EMA TEMA TICA 


vengono a confondersi colle ultime cifre del fattore noto del primo termine le 
quali sono supplite dagli zeri, così si potrà fare più semplicemente 


Log.(1+e)=821 390000 000000 (1+ Y), 
da cui 
(1 a €) — 1082! 399000 000000 (tb; 
ossia anche 
(I “anli €) — (1 uti y') ‘10821 390000 000000 _ 


essendo y' una nuova quantità positiva ; nella quale ultima equazione il fattore 
noto del secondo membro è un numero di tale grandezza che ad essere scritto 
secondo il metodo comune abbisognerebbe di una fila di cifre (supposto che 
mille di queste occupino la lunghezza di un metro) atta a cingere 20000 volte 
il globo terrestre. Ora il numero (1+-£) esprime, come si è già detto più sopra, 
il numero delle volte che la densità del supposto prisma di ferro, ne’luoghi del- 
la sua massa ove questa è più densa, dovrebbe essere maggiore della densità del 
ferro che ci vien data dagli attuali metodi fisici; ed esprime altresì quante volte 
il volume totale del prisma conterrebbe il volume occupato dalla sola materia, 
se questa mediante un opportuno restringimento , fosse dappertutto ridotta alla 
più grande densità che abbia luogo nel corpo. 

Si sarebbero avuti de’ risultamenti ancor più grandi, se in luogo di pren- 
dere un prisma della sezione di un millimetro quadrato, si fosse preso un filo 
più sottile; ma credo che il risultamento ottenuto nell’ esempio precedente 
basti per mostrare a quali strane conseguenze si arrivi quando voglia ammet- 
tersi la gravitazione per causa della coesione. 

E similmente il fattore cognito del secondo membro dell’ equazione [40] sa- 
rebbe stato più grande, se si fosse tenuto conto di alcune quantità che noi 
abbiamo trascurate e se si fosse fatto uso di più sottili ragionamenti. Ma in 
questo caso la dimostrazione sarebbe stata ancor più lunga, e d'altronde il ri- 
sultamento ottenuto è così enorme che si poteva ben trascurare con di lui 
svantaggio qualche piccola quantità, senza rischio che venisse a mancare la 
conclusione. 

E faremo nuovamente osservare che questo risultamento ha luogo per tutte 
le possibili disposizioni della materia, tanto per quelle già immaginate quanto 
per quelle che si potrebbero ancora immaginare. Qualunque di esse si volesse 
ammettere , converrebbe sempre supporre, per far dipendere la coesione dalla 
gravitazione, una rarezza di tessuto e una densità di materia della enorme 
grandezza data dall’ equazione [40]. 


(sarà continuato) 


PARTE SECONDA 


170 PARTE SECONDA 
litivamente a simili espressioni è totalmente diverso: siamo soliti di chiamarle 
serie infinite, e dal potere rimuovere l’ultimo termine lontano quanto ne ag- 
grada, ci pare d’essere autorizzati a non porlo più: o se ciò espressamente non 
diciamo, ne lasciamo perdere l’idea fra le oscurità dalle quali è per noi accom- 
pagnata la nozione dell’infinito. Ma si sa, principalmente dai Metafisici, che il 
progresso all'infinito non può fare le veci di una esistenza necessaria per isfug- 
gire un errore: e anche senza questa speculazione niuno può negare che 
tra il progresso all’ infinito e la posizione di un’ ultimo termine non si vede 
quella relazione d'identità che permette di sostituire una cosa per l’altra. 
Adunque non può dirsi legittima l'equazione tra una funzione sotto forma finita 
e la serie infinita che ne è dedotta con metodi analitici (ver. gr. col teorema di 
Taylor) quando (intendiamoci bene) si tengono le lettere in quella assoluta 
generalità in cui rappresentano soltanto posti di quantità qualunque, e l’idea 
della serie infinita è quella di una successione di termini che vengono gli uni 
dopo gli altri e che non termina mai. 

39. La mentovata eguaglianza che non può sostenersi nell’assoluta generalità 
delle espressioni letterali, può nondimeno talvolta accettarsi in un altro senso 
e dietro un tutto diverso principio quando si discende a riguardare le lettere 
come aventi determinati valori numerici. È noto che allora nasce nella serie la 
convergenza 0 la divergenza , che sono due futti i quali non si possono ricono- 
scere che nei numeri: credo di poter essere dispensato dal dichiarare in che 
consistono, giacchè se ne hanno idee chiarissime. Se ha luogo la convergenza, 
si può accettare l’equazione fra l’espressione finita e la serie infinita corrispon- 
dente, purchè il primo membro possa considerarsi wr vero limite a cui la som- 
ma dei termini del secondo membro sempre più si accosta quanti più termini 
si prendano fino a ridurre la differenza minore d’ ogni quantità assegnabile. 
È vero che anche in questo caso l'eguaglianza , rigorosamente parlando , non è 
mai vera dn atto, ma pure si deve ammettere razionalmente, perchè la nozione 
dell’infinito viene a supplire a quel pochissimo di differenza fra i due membri, 
che pur sempre rimane anche dopo qualunque sforzo d’ immaginazione per 
concepire sommato nel secondo membro un numero stragrande di termini. 
Ma quando nella serie infinita numerica ha luogo la divergenza, allora P egua- 
glianza anzidetta è manifestamente assurda : fi non si tratta di un errore il 
quale si va sempre attenuando e svanisce nell’ infinito, come nel caso della 
convergenza, ma di un errore che va sempre crescendo, e che perciò il pro- 
gresso all’ infinito non verrà già a togliere, ma a consolidare. Notisi che anche 
nel caso della convergenza per la verità dell’ equazione fra | espressione finita 
(che chiamo £), e la serie infinita, si è posta la condizione che la prima sia un 
vero limite della somma (che dio S) di un numero n. di termini della secon- 
da; perchè potrebbe avvenire che al crescere di 72, la 8 si accostasse continua- 
mente ad £, manon come a limite, accostandosi come a limite ad un’altra quan- 
tità £' che tenesse con £ una differenza assegnabile. Allora £' e non £ sarebbe 
eguale alla serie infinita: e l'equazione tra questa ed £ sarebbe ancora falsa. 


ANALISI 71 

40. Riassumendo il sin qui detto, conviene tener fermo, principio che 
l'eguaglianza tra una espressione finita e una serie infinita non si può mai rigo- 
rosamente accettare se non colla condizione espressa o tacita che la serie sia 
convergente: non basta: che sia convergente verso quella espressione finita 
come a suo limite. Ammessa questa dottrina, sorge naturalmente una grave 
difficoltà: siecome la convergenza non si manifesta se non nel caso in cui le 
lettere hanno valori numerici, dovremo noi diflidare di tutti quei calcoli, che 
pur son molti, nei quali, tenendo le lettere in tutta la loro generalità , si sosti- 
tuiscono alle funzioni i corrispondenti sviluppi in serie? Rispondo; varii di 
questi sviluppi, siccome dirassi qui dopo, sono serie sempre convergenti: essi 
dunque potranno in ogni caso sostituirsi alle funzioni equivalenti senza timore. 
Per gli altri niente c’ impedisce di avere in quelle sostituzioni di mira il nu- 
mero, che spesso è ancora infinito, dei casi in cui nelle serie starà la conver- 
genza. La generalità delle lettere abbraccerà questi soli casi, e non dando alla 
medesima una estensione maggiore non vi sarà pericolo di errore. Non così 
uscendo dai limiti dentro i quali ha luogo la convergenza: e se la questione 
sarà di tal natura che nelle serie adoperate si abbiano appunto a considerare, 
anche solo in parte, quei valori delle variabili pei quali le serie si fanno diver- 
genti, i risultamenti del calcolo saranno per lo meno dubbiosi, ma il più s0- 
vente strani e falsissimi, Nè è meraviglia: impiegando mezzi insussistenti, non 
è possibile, a meno di un compenso di errori, ottenere la verità. Parmi che 
d’Alembert sia stato il primo a indicare ai Geometri questo così nascosto prin- 


cipio di fallacia. Jgli dice chiaramente (*) « lo sviluppo della frazione 


in 1+r+2°+x°+ ecc. rappresenta in una maniera falsissima il valore di 
questa frazione quando .x è più grande dell’ unità, e in conseguenza ogni pro- 
posizione fondata sulla pretesa eguaglianza di queste due espressioni sembrami 
affatto dubbiosa » e poco più innanzi: « in generale ogni ragionanîento fon- 
dato sopra serie divergenti che si suppongono eguali a quantità finite sem- 
brami soggettissimo ad errore. » 

41. Che l'uso intermedio delle serie divergenti conduca all’ errore, è un’av- 
vertenza principalmente necessaria nella ricerca dei valori di parecchi inte- 
grali definiti. Sono questi quegli integrali i quali si trovano eseguibili alla ma-' 
niera ordinaria sviluppando in serie una parte della funzione posta sotto il 
segno d'integrazione. Se la serie messa in uso non si mantiene convergente per 
tatti i valori della variabile compresi fra i limiti assegnati all’ integrale, non 
possiamo assicurare l’ esattezza delle formole che si ottengono. Potrei io qui 
essere lunghissimo nel mostrare varii casi in cui l'uso di una serie divergente 
conduce a formole d’integrali definiti che sono erronee: mi limiterò ad un solo 
esempio recato dal Frullani nel luogo più sopra citato. 


(*) Opuscules Mathematiques. Tom. IV. Mem. 25, num. 10. 


172 PARTE SECONDA 
Sia proposta la frazione tetra svilupparsi in serie ordinata pei 
I+-72C0S.Z 
coseni degli angoli multipli di 2. A tale effetto pongasi attenzione all’ equa- 
zione identica 
I I I I 


—— 


HLCOS.E — LISeTI: I —_— EDIL 
va Sab rr Lt (II e 1+-2(1+ 19) 


che si dimostra facilmente « posteriori riducendo per mezzo di facili operazioni 


I 


il secondo membro alla forma e quindi subito a quella del 


n 

_ ((03V-1 —2V-1 
ia (ev +e ) 
primo. Mettendo per abbreviare 


Je PESTE 
(4) d= tl 
mr; 
e osservando essere 
I_1+V/i_rn 


AB n 


la precedente equazione diventa 


I I I I 
rePn'cos.s. a 
cos. 3 Vin (i ae so Do) 
a 


da cui, svolgendo in serie infinite le due frazioni, 


I I I È: 
(CAVIA: ina ie lira (e —:) evi 
I-+-72COS.Z Vi=7 a 
LI I az/-i —- i I izy-1 + 
— (a—-4)e --.- e - (Usb Ca —- CCE. 
a Ad, 


si sommi questa coll’altra equazione che se ne deduce ponendo —z per z, e 
si avrà mediante la nota trasformazione delle risultanti quantità esponenziali 


in coseni 
I 


(Y) ‘=: - ( L) COS. Z 
Y 1+nc0s3 = Vi—=7n a ui 


I II SA I . 
— 1) c0s.25+ ---F di-1) cos.iz È eee. , 
a 


Ora si moltiplichi per cos.ìîz, indi si integri per 2 fra i limiti zero, x; a motivo 
delle formole 
T 


x IT 
oli dz-cos.kzcos.iz=o0, Sf de (cosit= 
(0) (0) 


2 


ANALISI 173 


che facilmente si dimostrano e possono anche dedursi dalle ($) del num. 31 
avremo 


sc cab i Eat, ei <d eee, 
COS. Ì Z a-a' + se Zzè pari 
(d) fas Li =x 5.2 STA: L 
} I +7 C0S.Z Viren — se 2 è dispari 


Questa formola dà un risultato falso quando r<1, giacchè, siccome dimostre- 
remo in seguito, è in tal caso 


(a) fa È coSs.i Z a'r I se 7 è pari 
Nan SEIT 008, Vin — se z è dispari) ‘ 


La ragione di questa anomalia sta in ciò, che essendo r< 1, una delle due 
serie in cui la (y) è decomponibile si trova necessariamente divergente. Infattj 


| 
Ht 


O: I 
si capisce senza fatica dalla (4) che se 7 <1 è anche a<1, e però - >. 
a 


I RCA MII DER < 
Quando 2>I, nè @ nè 7 possono dirsi maggiori dell’unità, perchè constano, 


come ora subito vedremo, di due parti una reale ed una immaginaria ciascuna 
delle quali è dell’unità minore, considerando quanto alla seconda il coefficiente 
del V—1. Cessa allora la divergenza nel secondo membro della (y), e cessata 
la cagione dell’ errore, la formola (0) dà un risultato giusto. 

Per vederlo, faremo in similitudine di quanto insegnò il Poisson in un caso 
simile (*) 


I : rea 
s0—=-, sin0=-Vn—-1 
GosSo TR? n V 
riuscendo 0 un angolo reale e assegnabile, e avremo per la (@) 


MII potùl vg 
a=cos.0—V—1 sin.0; -=co8.0+|V—1 sin. @ 
a 


quindi 
a=(cos.0—V—1 sin. 0) = cosî0—V—1 sin.i0@ 


a*=(cos.0 +V— 1 sin. 0) = così +V—1 sin.i 0. 
Laonde dalla (d) si ottiene 


mi cos. iz T sinil = Ssetè pari è) 
© pini ni e pai | 
(9) 


I + 72 COS. Z sin. 0 -+-'8et è dispari) 


formola esatta, siccome proveremo più innanzi, prendendola nel senso che ivi 
sarà convenientemente spiegato. 


(*) Journal Polytechnique. Cah. XIX pag. 485. 


174 PARTE SECONDA 

42. È pertanto necessario avere un criterio dietro il quale giudicare della 
convergenza delle serie secondo il principio più sopra espresso al cominciare 
del num. 40. Non ignoro che io tocco qui un argomento il quale ha un’ esten- 
sione che abbraccia molti teoremi (*), ma potrà bastare per 1’ oggetto nostro 
restringersi a quanto segue. 

Sia (x) una funzione di x che si svolge in una serie di termini i quali 
procedono o per le potenze ascendenti della variabile, o per seni o per coseni 
di archi multipli della medesima, o con qualsivoglia altra legge espressa nel 
termine generale , corrispondente al posto (+1) esimo: e dicasi R(r, x) il 
resto della stessa serie dopo un numero 7 di termini, talchè 


(2) F(a)=u, +, +U,+U+--- + Un-+ R(n,x); 
se il resto R(12,.) è tale funzione di n,.x, che per n = co abbiasi 
(i) Ria oa 
allora siamo sicuri che la serie 

u,+u,+u,+ ecc. all’inf. 


può francamente sostituirsi alla funzione /(x) per qualsivoglia uso analitico. Infatti 
la somma di 7 termini della serie chiamata S sulla fine del n.° 39 è per la pre- 
cedente (7) eguale ad Z(x)—A(1, x): essa mantiene sempre questa eguaglianza 
comunque si ingrandisca il numero 7, onde quando n= % essa per una parte 
rappresenta la somma della serie infinita, e per l’altra è provata eguale ad F(x) 
a motivo della (3). Ora qui occorrono tre osservazioni importanti: 1.° alcune 
volte l’ equazione (I) sussiste essendo x qualunque: 2.° altre volte la sussi- 
stenza dell’equazione (3) non può riconoscersi se non per valori di x ristretti 
fra certi limiti : 3.° qualche rara volta l’equazione (3) non può stare per nessun 
valore di x. Nel primo caso la serie è sempre convergente; nel secondo è con- 
vergente dentro certi limiti e divergente fuori di essi; nel terzo è sempre 
divergente: epperò l’uso della serie sarà legittimo o illegittimo secondo si 
spiegò al num. 40. Ecco esempj dei primi due casi. 

43.1 notissimi sviluppi delle tre funzioni e”, sin.x, cos.x sono serie sem- 
pre convergenti per qualunque valore di x da — o a +0. 

Per la prima si prova facilmente dietro un teorema noto (**) che il resto 
f(n,x) è sempre compreso fra le due quantità 


Val n ali 
1.2:3---(n—1)n° 1:2:3---(n—_1)n 


(*) Cauchy. Cours d’ Analyse. Chap. VI, Exercices de Mathématiques. T. Il, pag. 221. 
(**) Bordoni. Lezioni di calcolo sublime. Tom. I, pag. 162, num. 117. 


<—]} 
3 
LI 


ANALISI I 
Scrivendo la quantità È 
° 
1-2-3---(n—1)n 


nella maniera seguente 


si capisce che avendo «x un qualunque valore anche grandissimo, gli ultimi 
fattori dell’antecedente prodotto sono zero per n=, e quindi è zero tutta la 
quantità. Dunque i limiti fra cui nel caso attuale è compreso il resto A(7,) 
sono entrambi zero qualunque sia x per r=%; dunque anche un tal resto. 
Per la seconda si prova coll’uso dello stesso teorema che il resto R(1,x) è 


sempre compreso fra i limiti 


qa ygall 
so è: I da 


0, Sua ——————@—€’ ’:- 0 vyero ———_—--;/sa ———TT—_——_—_ 
; 1:2+3---(n—1)n° 1+9:3---(n-1)n? 1-2-+3---(n—1)n 


. c' 
Ovvero 0, — sIn.x VERE Ca) i 
x" sat 
ovvero  — inargize(i E). cn 1:23:3---(n—1)n 


secondo che 7 si prende della forma 4p, ovvero 4p+1, ovvero 4p+2, ovvero 
4p+3: e siccome nel modo or ora usato si riconosce subito che questi limiti 
sono tutti zero per n=, si conchiude la stessa cosa del resto in questione. 
La dimostrazione è affatto simile per la seguente funzione semplice cos.x. 
44. Nel caso della serie riferita ai num. 37, 40 abbiamo 
esente sa 
I-x 
quindi perchè si verifichi la (3) bisogna che sia x° =0, cioè x numero mi- 
nore dell’unità astrazion fatta dal segno, ossia (ciò che è lo stesso) bisogna che 
I, +I. 


2 abbia valori compresi fra 
Il Poisson (*) dimostra le equazioni 


I—p cos.xr 
1—-2p COS.X + p' 


1-+ p COS.x + p' COS.2.X + pÎcos.3.x + ecc. 


(6) 


p sin.X 
» CI 2 
I—2p COS.x + p 


=psin.ax + p°sin.2.x E pîsin.3x + ecc. 


(*) Journal Polyt. Cah. XIX, pag. 405. 


176 PARTE SECONDA 


da ritenersi vere nel solo caso in cui p è minore dell’ unità , astrazion fatta dal 
segno. Per veder ciò si parta dalle equazioni identiche 


I pPcost, gl I I 


2: : SET 
Lo] COS.C + p I pe ice 


psinaV—1 _ I I 
2° ae e —aV/-1 
I—2p COs.X+p 1—pe I—pe 


facilmente verificabili riducendo i secondi membri in modo che vi spariscano 
gli esponenziali immaginarj. Svolgansi ora in serie le frazioni dei secondi mem- 
bri fino ad un numero r di termini, e tenendo sempre di mira le formole che 
danno i seni e coseni per esponenziali immaginarj, si caveranno le due 


I_-pCo0s.x 


2 Ne-I A 
_________" I+PCOS.XK +] COS.2X + === + cos.(n-1)X+ R,(n 
spaini P p p (n_1) :(1, p) 
sin.X ; A : 
P a = psin.x.+p°sin2x +---+p"' sin.(n—1)x +, (n, p) 
I— 2p COS.L+p 


essendo 


r° erov_i emnev_: 
R, (n, p=tpi 


I enev_1 emnev2I 
Rn p)=7aP4 


espressioni che facilmente si trasformano nelle seguenti 


cos.nx—pcos.(n—-1)x 


Mie a 


sin.na — psin.(2-1)x 
I-—2p cos.x +p° 


Adunque perchè siano R,(0,p),=0, R(, p)=o0, conviene che p'sia 
minore dell’ unità astrazion fatta dal segno. Allora infatti il fattore p°° è zero, 
e sarebbe infinito nel caso opposto. 


ANALISI I 


I 
| 


UA LEVEL, 


Metodi di Mascheroni e di Bidone. 


Il ch. sig. Bidone nella celebre sua Memoria sugli integrali definiti (*) adotta 
nel primo articolo un metodo di Mascheroni proposto da questo illustre geo- 
metra nelle sue Annotazioni al calcolo integrale d’Eulero, e ne prende motivo 
per fare all'Autore un elogio, che io non intendo di contraddire. Solo credo di 
non andare lontano dal vero nell’ asserire che riproducendo a’ nostri dì un tal 
metodo come sta esposto ne’ due luoghi citati sarebbe malagevole il rispondere 
ad ogni difficoltà possibile a promuoversi in occasione di quella lettara: giac- 
chè bisogna pur confessare che talvolta di que’ tempi non si usava in simili 
ricerche tutta quella circospezione, che poi si trovò necessaria. È mio pensiero, 
siccome dissi nell’introduzione, il cercare piuttosto di far penetrare agli stu- 
diosi lo spirito dei diversi metodi proprj della teorica, di quello che raccogliere 
tutti i materiali di essa: quindi sarebbe stato mio vivo desiderio il far conoscere 
le meditazioni di un bell’ ingegno italiano nella lusinga, che per lo studio di 
loro, si potesse aprire, come non di rado avviene, anche qualche nuova veduta. 
Mi riescirebbe però impossibile persuadere agli altri ciò di cui non valgo a pie- 
namente convincermi io stesso; quindi trovo più savio partito ommettere quel 
metodo : ommissione che già non fa danno, mentre tutto ciò che si trovò me- 
diante il medesimo si sa adesso ottenere seguendo altre vie più spedite e sicure. 
Ne esporrò in vece un altro che il Bidone si formò studiando sulle ricerche 
del Mascheroni; non già che anche intorno ad esso io non senta qualche dif- 
ficoltà sulla quale non passerò del tutto in silenzio; ma un tal metedo è tanto 
ingegnoso che sarebbe una vera mancanza il non farne almeno un breve 
cenno: se non per altro oggetto, per mettere sott'occhio ai lettori certe finezze 
di ripieghi analitici, che possono giovare in altre circostanze. Dissi almeno un 
cenno, giacchè consapevole del molto viaggio che mi resta a fare, mi limiterò 
ad una indicazione in generale accompagnata da qualche esempio, e ripeterò 
ai lettori che non sarebbe da consigliarsi in questa e in altre occasioni il se- 
guire tutte le deduzioni già fatte dagli inventori di simili metodi, ora che siamo 
ricchi di altri mezzi migliori per ottenere i medesimi risultati. 

45. Ecco il metodo. Suppongo di voler ottenere un’ integrale 


Sf de Pa), 


e suppongo di avere in serie l’integrale indefinito e incompleto 


(*) Memoire sur diverses integrales dèfinies. Turin, 1812. 


Opusc. Matem. e Fisici. 25 


178 PARTE SECONDA 
i a b c 

a dx -P(a)=f(a) ++ %+ + ecc. = F(x 

(a) fia. =/a+- +34 (x) 
(denommazione quest’ultima introdotta per brevità) dove f(x), 42,0, C+; ecc. 
sono funzioni di x che ricevono un valore finito per a=%. In tali circostanze 
si viene a conoscere il valore dell’ integrale nel secondo limite, cioè (©), 
perchè la precedente espressione dà (0 )=/(% ); ma il suo valore nel primo 
limite, cioè /(0), non si può conoscere, risultando nella stessa espressione un 
numero infinito di termini infiniti, spesso di segno contrario, dai quali (es- 
sendo la serie divergente) non è lecito di nulla conchiudere. Pertanto a trovare 


, e con facili 


| 


il valore di (0) si usa il seguente artifizio. Si pone x = 
trasformazioni (10, 12) si cava 
pd bi I I 
(5) fd pa)= dz-+- n(:) i 
o I & no 
x 


Immaginiamo adesso di avere l’integrale indefinito 


(c) ILE 3 A P (5) = (2) spent a + Di 490001142) 


d nà ” 
ya 7a) & pei 


(denominazione quest’ultima introdotta per brevità) con una espressione affatto 
simile alla precedente (a), che come quella, dà noto il valore di Y(o0). 


Siccome la (6) si risolve nella 


(d) F(x)—F(0)=Y(0)—t(4) ; 


se F(x), Hesi sono, dietro le note espressioni (4), (c), sviluppabili in serie 


infinite ordinate per le potenze ascendenti e discendenti della variabile: se 
possono cioè ammettersi le forme di sviluppo 


B,x + B,x° + By x° +ecc. 
Fa)=4+ 


C,x+ C,x?+Cyx7+ ecc. 


i M,x + M,x° + My x +ecc. 
b4 (+) sli : i 
Na N x+MNa+N,x3+ecc, 
(dove interessa di conoscere 4, £, e degli altri coefficienti basta sapere razio- 


nalmente la possibilità della determinazione), sostituendo tali espressioni nella 
(d), è da credersi che le due parti che contengono essenzialmente la variabile 


ANALISI 179 
faranno equazione da se, talchè rimarrà l'equazione tra le parti costanti 


A—F(0)=Y(0)—L 
da cui /(0)_—= A+Z— Y(%), e finalmente 
(1) Sf da G()=F(0)+t(0)—4—-1 


Un esempio rischiarerà ogni cosa. 
ot Ca COS.r"X 1 : I 
46. Vogliasi of dx-+-=-—;. Sviluppando la frazione —_—, per le 
f m+ax mi + 


potenze negative di x°, otterrassi 


cossa COST COS.r*X COS.7°X 
(8) fd -= = fde — n° fd ‘+ mfde — — ecc. 
My fui 8 fa 


Ora dalle due equazioni identiche facilmente verificabili 


fila CURTIS COS.1*X E fila sin.r°a 
gt E) dg gi 


feta Biasi sin.7'x nre fa COS. 
e E e 09 AR 


si cava per continua sostituzione 


2 


COS.1X I n 
dx - RR NEO Le ERO l'aa TA ego Yap De eps TEC Trio 


(an-1)x®*  (2an—1)(2n—2)(2r—3)x223 


prn-2 
wii «gio x _) 


3 
: r r 
dille mdc Lane (an-4)aA TTT 


LA p2n-3 
— (an1)---3-2 I 


pae sIN.rX 
dei £ E Dh ASE SIE AO da - 
atene -2°1 


dove negli ultimi termini sotto le parentesi, e nell’altro contenente l’integrale 
ha luogo il segno + se 7. è pari, e il — se nè dispari, quindi 


180 


PARTE SECONDA 


COS. COS.X sm.ra 
der. = =— ——-r|dx- 
XL x Va 


. 2 . 
ì COS.X micosi  m'rsinre m°'r’cosne  mir3 sin.rx 
mfde = —È;-- a ML pi 
4 3% dia did pi a x 
POR bberren ARIAL ST TE, 
COS. m*cos.re  m'rsinne m'r’cosre msn. 
+m' dx stan #0 Ea Lai E 
Di 


- dr eee CIA 
DI: Dgr 54:30 5:43.22 
mir'cos.ne mi È 


I fa sin.70 
PER E pin nz ce I dii, IC _____ 
Dil DI 55 


Cec. ecc. 


GC. 
a (g) si vede che il valore del proposto integrale 


COS.PX 
fd —-—; può mettersi sotto la forma (@), essendo 
m'4-x 


Per queste e per 


mi mb, mb y7 sin.r:x0 
fa=—-(r+ n eni Ii 
PST REI 1.2 XC 


fsi ih, (em em) fax. SID.7*TC 
am\ x: 
mr" miri mb 5 
i TITO 3 1°2--- 5 


1+:2-=-7 


—— 


rame DEE I (em en) COS.PL 
amr 


mir mp3 mb pò 
bee 


È 2a + 2:3:4:5 n iguana us ecc.) sin.r0 


I - 
p (eu er 2mr) sum. ra 
27 


EI mir? mé 4 
ct 37 


pa ; 4 o pe large = coc.) COS.7'IC 


ug (en en amr) COS.HIE 
mr 


RI né 73 
d,=+ 


Lio ie CCL SMETTE 
* 45-67 ) 


x 1 È 
fans piper (em er 27M — 309) SU, 7 


mi mir? ; sg 
a N le + ecc. } cos.r. 
i 5 5.6.7 ) 
3-4 I 
—=— —i.| eT_ er omr— > mi} COS.P.XC 
mr 3 
ecc. ecc 


Cce. 


ANALISI 181 


per le quali espressioni si riconosce che 4,, dz; €», ecc. non prendono un 
valore infinito per x =. Quanto a f(x), chiamiamo per un momento @(x) 


l'integrale indefinito fia IZ 


sin.70 3 
, e svolgendo sin.rx troveremo per serie 


7 ) x al ro ad AMET aL, 
MER DIRLO 2.-3---7 
La formola (4) del num. 32 ci dà 


0x0) — 00)= 


Ure 


DIA 


e siccome per l’antecedente valore di 0(x) in serie si riconosce oo, ca- 


vereno 0(0)= ci 


2 


Pertanto il fin qui detto ci somministra 


F(o)=f(0)=— nere). 


Abbiamo poi, fatto x = 


[+ 


> 


COS. 


r 

z I r I 
h fa = flo (ea 
(1) gi Et ‘alazionizi 4a z°(1+ mt 2° 


da ri fa: I 75 fa I 
ni. pio sr — pa presti go 100G 
2:3:4S 2x+mîz°) 2---60Î0 21+mî2°) 


ed essendo in generale, dietro la teorica della scomposizione delle frazioni 


I I m° mi rta i gare 


22114 2 2,2 


= — + 
LE ASTRI) pi E ri z Pn 


dove nell’ultimo termine ha luogo il segno + se n è pari, e a— senò dispa- 
ri, e in conseguenza 


i I I mi mi m' 
fa: i z(1+m°z") 1+M°z Sx © (on-1) noi (an23)z98 Mie (an—5)221-5 Ae] (an—7)3307 “i 
4 


2-2 
+ 121) 


tm? Arc.tan.7m23 ; 


Si 


quindi nei casì SRI. 


I 
ba — — Arc.tan.mz 
diaraieha um 
rà mr 
dz - . + — Arec.tan.1n2 
zi FOCA) +m°z si 44 3 
i miri mi 


gog: PIVA iso FIRE BOE II AE II I UE 


CEec. ecc. 


182 PARTE SECONDA 


si ha l'integrale per serie corrispondente alla (c), essendo 


za 4ah 6,6 
mr mir m°r 
(2 ez (1 - — + 43 —-+ecc. YAre tan.m22 =__(em4e)Arc, tan.m23 
m a 2:34 2+3-4-5-6 
ro miri mi 78 se I ion) 
fu ZZ- +3 + ——_ a + ecc.= + en—- 9 
di 5) 2:3-4 2+3+4+5-6 om 
I 
6,=0; Y:=— Gra (euriena — mr"); d,=0; ecc. 


Quando z=% abbiamo (0) =) 7 (en cele. d'onde 


4m 


non provano alcuna alterazione essendo costanti. 
Tutto pertanto corrisponde all’ enunciazione generale del metodo: e resta 


wi I ; ì N 
solo a vedere se (x), +(5) sono in questo caso sviluppabili nel modo 


espresso dalle equazioni (e), ed essendolo, quale è il valore delle costanti 4, L. 
Se nella forma di sviluppo indicata dalla (4) si mettono per /(x),@,,0,, ecc. 

i I ì i sin. a 

i valori superiormente trovati, e per {dx - 7» BILIE, 008PX le note 


e 


serie (essendo la prima quella della equazione (#) si vedono facilmente nascere 
le due serie ordinate per le potenze ascendenti e discendenti di x con A=0. 
Dicasi lo stesso della forma di sviluppo indicata dalla (c), ritenendovi, come 
si è NOTO a, 6, y, ecc. costanti; e 


Y(2) = 


l : I 
poscia sostituendo 7855 finita l'operazione si vede essere nulla la costante 


ss 5,5 
I mz ms 
E (e wu e") Arc.tan.mz = (ee) mz— ——- + —_ — ecc ) ; 
om 2 


designata con Z nella seconda delle equazioni (e). 
Per conclusione la (f) ove mettansi per #0), Y(0 ) i trovati valori, e 
ritengansi 4,4 eguali a zero dà 


- COS. cos.ra IT 
(i) fd: da: Lem, 


“mi cat mi + 2° 2 


47. Possono vedersi nella citata memoria del signor Bidone altri esempj, per 
alcuno dei quali le costanti 4, £ nella precedente (/) non sono zero. Sul conto 
di tali costanti bisogna osservare l’uflicio che prestano per togliere una inde- 
terminazione che sulle prime sembra rimanere, usando il metodo esposto. Agli 
integrali indefiniti e incompleti F(x), Y(z) si può togliere od aggiungere una 
parte costante qual più piace, la quale sparisce nelle differenze come I (0); 
ma nella formola (f) superiormente ottenuta sembra che non abbia luogo que- 
sta elisione della parte arbitraria. Se ben si rifletta però, aggiunta o sottratta 
una tale quantità costante ai secondi membri (a), (c), verrebbe anche aggiunta 

o sottratta alle costanti 4, Z nei secondi membri delle (e), e scomparirebbe 
nella (Y) come negli integrali definiti presi al modo ordinario. 


ANALISI 183 


{8. Scolio. Dissi che il metodo surriferito quantunque ingegnosissimo non 
va esente da difficoltà: infatti, che nella equazione (4) ove ad (x), +(1) si 
5°: 


sostituiscono le espressioni (e), debbano far equazione da se le due parti con- 
tenenti essenzialmente la variabile, è questa una proposizione di cui io non so 
formarmi una dimostrazione al tutto soddisfacente. Per trovare ragionevole un 


tal dubbio, osservisi che se una delle funzioni (x), Y (-) si sviluppi in una 
C 


serie la quale contenga le sole potenze ascendenti, come può agevolmente farsi 


I TORO 
nell'esempio adotto svolgendo la frazione —+-— nella serie —; — 
m'+x m 


non è più vero che nella (d) le parti contenenti essenzialmente Ja variabile 
facciano equazione da se. Si provi e vedrassi, che se la cosa deve riuscire a 
buon termine, bisogna che nei due membri della (d) vi siano tanto le serie 
ascendenti quanto le discendenti: il che è lo stesso che dire, bisogna che vi 
siano due serie infinite delle quali quando una è convergente, l'altra è diver- 
. È, P . DI . 4759 . . 
gente. Conviene credere che allora l'errore portato dalle serie divergenti si 
bilanci in ambi i membri, e ne esca la verità. Basta, se non m'inganno, questa 
osservazione a persuadere che metodi simili all’esposto non possono più accon- 
z . . . L . È 1 il ? Ò tì ® 
tentare chi si attiene al rigore attualmente voluto neil’analist. 
49. Potrei qui dilungarmi a riferire Je ricerche fatte sull’integrale fe +. — 
Xi 
definito fra certi limiti, ma converrà piuttosto restringersi a qualche cenno per 
non invilupparsi in difficoltà della stessa indole di quella sopra toccata. Dirò 
solo che lo sviluppo in serie somministra subito l'integrale indefinito e incompleto 


(ES: PRE ATEO 
IC È = O. dee ® SP rale -+ ecc. 
XL i pa RT. 1:2-:3 3 
da cui 
Hi IT ,3 3 
(2) fda MEA A o I o 
i do rIià 2 I-2-3 3 A 37 VIGRAUO 


la quale frazion decimale equivale alla somma delle serie 


self Alleati ecc. 
Ai hezke dieci , 


e che fatto e"= 2, il proposto integrale si trasforma nell’ altro 


i I 
fas: ì 
log. 2 


di cui non potendosi avere l’espressione sotto forma finita e ordinaria, si creò 
(vedi num. 3) un nuovo trascendente chiamato da alcuni iperlogaritmo, 0 lo- 
gologaritmo, o logaritmo integrale, ed è dotato di alcune notabili proprietà. 


184 PARTE SECONDA 


Ci :AGPAOMMESTIL 
Principali proprietà della funzione V(p). 


50, Considerando l’ integrale definito 


al di . (log. DE 


si capisce subito ch’esso è una funzione della sola p, la quale dopo Legendre, 
è dai Geometri comunemente indicata con T(p). Si adottò questa maniera di 
scrivere come caratteristica di un nuovo trascendente (vedi num. 3) perchè 
la detta funzione di p non si trovò assegnabile sotto forma finita per quantità 
algebraiche, o per trascendenti esponenziali, logaritmici, o circolari; e nondi- 
meno si RS convenire ch’essa è di grand’uso nel suolo integrale e per 
tutta l’analisi. Eulero fu il primo a trovarvi notabilissime proprietà, e però 
la gamma si denomina altresì il secondo integrale Euleriano. Esporrò sai alcu- 
ne di queste proprietà che hanno relazione all'oggetto principale di questa 
opera, rimandando al Trattato degli integrali Euleriani del Legendre (Chap. VII, 
et suiv.) il lettore che desidera seguire il nuovo trascendente in tutti i partico- 
lari fino alla costruzione delle tavole. 
51. Cominceremo ad osservare che 1’ equazione 


da E i I pet 
(a) T(p) =f dx . (log. 1) 
si cambia nella 
(5) r)= f da - e? x 


ponendo x = e”, e poi restituendo x in luogo d’ y. Per veder ciò facciasi uso 
dei teoremi esposti ai numeri 10, 12, riflettendo che ai limitix =0, x=1, 
corrispondono i valori br: y=o. A dimostrare le proprietà di T(p) si 
adopera, secondo torna più vantaggioso, l’una o l’altra delle due precedenti 
espressioni. 

52. L’integrazione a parti dà 


fix erazteso +p fdx « €77 XP! 


e da questa per la precedente (2) si ha subito l'equazione fondamentale 


(c) r(p+s)=pT(p) 


ANALISI 185 
quando sia provato che la funzione er” a? è eguale a zero tanto per .x—=0, quan- 
to per x =, Che lo sia per 1 = 0, supposta p quantità positiva, si vede im- 
mediatamente; per rilevare poi che è zero anche quando x =%, conviene 


I RO I È 
. Allora essa si riduce —, e siccome ad a=% 


pa I 
te) 


trasformarla mettendo x = 


Veli ef 


corrisponde z=0;.la proposizione sarà vera se z== 0 renderà infinita la quan- 
I I 


tità 2” e, lo che si dimostra facilmente. Sostituiscasi ad e? il suo sviluppo, 
ed avrassi 


|- 


: I } 
rPe—=zP 4 zP1 4 <gzP3 i PIL sno pen Lil 4 + ecc. 
Di SIAE PC a doll 


dove le potenze di 2 decrescono all’ infinito; talchè per quanto grande voglia- 
sì p, siamo certi che arriveremo a un termine in cui avremo potenze negative, 
e sempre negative da quel termine in poi. Pertanto z—=0 renderà nulli molti 
termini della serie precedente, ma dal punto in cui compajono le potenze ne- 
gative renderà tutti i termini delle serie infiniti; e siccome questi termini sono 
tutti di segno positivo (condizione necessaria, perchè se i segni sono alternati 
il raziocinio può fallire) si conchiuderà che il valor della serie per z—=0, e 
I 
quindi anche il valore della funzione equivalente 2? e”, è infinito. Non si può 
muovere alcun dubbio intorno a una tale dimostrazione appoggiandosi al detto 


I 
nel Capo VI, perchè (num. 43) la serie infinita che si è sostituita ad e”, è sem- 
pre convergente. 
Adunque è dimostrata la (c) colla condizione che p sia quantità positiva, 
53. Sì l'una che l'altra delle (a), (8) serve a provar subito la 


(d) tia; 
e la (c), ove facciasi p=1, dà pure 
(e) Loezi 


talchè I'(p) eguaglia l’unità tanto per p==1, quanto per p== 2. La (c) dà poi, 
facendo p= 0 


(1) (o) =% 


che potevasi anche provare dietro il num. 4g, riflettendo che la (0) ci porge 


r(o)= f de. 


Su quest’ultima (f) potrebbe muoversi una difficoltà che sarà tolta nel 
seguito. 
54. Si cavano dalla (c) le due serie di equazioni 


Opusc. Matem. e Fisici. 24 


186 PARTE SECONDA 


r(p+1)= pp) F(p+1)= pp) 

T(p+a)=(p+ (+1) Lp) =(p_1)p_1) 

L(p+3)=(p+2)F(p+2) T(p_1)=(p_2)F(p_2) 
rp+n+ =(p+ n) (p+n) r(p_n+ D=(p-nF(pn). 


Ora se si moltiplicano fra loro tutte le equazioni della prima serie, e poi si 
divide l'equazione risultante pel fattore T(p+1)F(p+-2) - - - T(p+r) comu- 
ne ai due membri, si ha 


Dpr) 


(8) p(p+1)(p+2)(p+3)---(p+n)= rp) 


In un modo affatto simile si deduce «dalle equazioni della seconda serie la 


I) PPM PAPI) SÙ, 


La (g) nella quale facciasi p=1, ce mettasi 7—2 in vece di 2, somministra 


a motivo della (d) 
(i) r(m)=1-2:3-4---(n—-2)(n—1) 


da cui si vede che 1 (p), quando p è numero intero, non è più un trascendente, 
ma il prodotto di tutti i numeri interi positivi minori del dato. 

55. Mettasi nella (g) 1—p per p, il che potrà farsi se alla condizione di p 
positiva si aggiunge la condizione di p minore dell’unità. 
Risulterà 


Wier VIE ed Di le DIE (a 


l(n+1— p) 
>) — 4 
P Ifipep) 


dopo aver posta z—1 in luogo di r. Il prodotto di questa e della (g) ci pre- 
senta, dividendo per p, 


(1—p°) (2° p°) (3° p°) (4 p°) I Prena (n° p') ll nti <<pi Tv (1 + I ua.) 


pI(p)l(i— p) 


che divisa per l'equazione identica a motivo della (7) 


1°. 2°.3%-4°---n°=|[P (+ 1)}f 
può scriversi 


DEE ta 


Qui il primo fattore del secondo membro si accosta in valore continuamente 
all’unità più che 7 diventa grande, ed è Punità stessa quando 7 si fa infinita : 


AMCAL'ESI 187 


allora 


(OI: = 


dove è facile ridurre il primo membro a forma finita, Sappiamo essere (*) 


i u° u? I u ) 
sinuczuli— RE [ATTESA ig 
1°x° 2a? 3° 7? 


da cui, dividendo per v, e poi facendo u= pa 


i Cm 


Pertanto la trovata equazione si riduce alla 


TT 


; Tr ; È ss «sile no) 
(2) Geena 
molto importante nel calcolo del nostro trascendente. Eccone subito un osser- 


ne discende 


vabilissimo corollario: fatta p= —, 


I 
2 


I 
(12) Li ( 3) pedi | 84,2 
va) 
formola feconda di tante conseguenze, che pochi risultati in analisi ne pre- 
sentano un numero maggiore. 
56. Diansi a p nella (7) successivamente i valori 


{9 418 ne 
rioni n n 


dove n esprime un numero intero positivo: risulteranno le 2 —1 equazioni 


O a 
Il n TT mn mn S 27 
IL 


sin. sin, 
rl 


Via 2 IT Th I T 
aaa Vo (local 
n 7 . IRi=—"2 n Ud! . Ib=>-"I i 
sIn, T Sii 


7 7 


si moltiplichino fra di loro tutte queste equazioni, nelle ultime delle quali è 
visibilmente ripetuto il primo membro delle prime; avremo nel primo membro 
I 2 MESI 


dell’ equazione risultante il quadrato della quantità Li (3) £) (3)- --T > ) 3 


Di, 


x 


(*) Eulero. /nt. in analysin inf. Tom. I, num. 158. 


188 PARTE SECONDA 
e però estraendo la radice 


(1) Ar) dA Ei] ì 


— sin. — - - - sim 
2 n 


Ora osservisi essere 


AS SEE Tur RR O resi sor 
sini. = 2:10. * —.C0s. = cassano a sini "Jas 
n n 2 nn n 2 n 2 
, 297 Fa 2 i a ve mei 
sil =—"—"a sini-% #1005.)-- Rossini sani sce 
2 DINA he ta rì 2 
L] I 
' I 
' I 
I] ' 
I TREIA pane, e, I AS PE nd ba 
sin. oe SIM, *— COS sn MIS, = 0 CERI ne 
2 nea 2 n 2 
e dal prodotto di tutte queste equazioni si caverà 
WE O Lo i N=<I I MOIO SRL AZIO ”» essi 
(0) sin.— SIn.— - - - SIN. T=2"! sn. -eT—- SIN—.—--- SIN. o, 
n n n n 2 n 2 a 


Ci conviene presentemente occuparci di quest’ altro ragionamento. La nota 
risoluzione dell’equazione a due termini ci fa capire che la quantità x”—1, in 
cui 7 è numero qualunque positivo ed intero , può risolversi in un numero 7 di 
fattori, dei quali n—1 sono trinomiali: si ha cioè 


RI di - 0LTE , MER L È n-1 
aem-r=(a°-1)( 1°-2r008.- +1 )( 1°—2xc08.— +1 )---(x°-2xc08.—741 ); 
n i n n 2 


per un'altro verso abbiamo identicamente 
a—-1T (x°-1) (am aa acan6 x di x 1) 3 


confrontando adunque i due valori di x°**—1, e dividendo per x°—1, forme- 
remo l'equazione identica con 7 qualunque 


Sa T 2 27 ; ST , n-1 

ax°-2r008.-+1 ){ x°—2rc058—+1 ){ x°—2xc0s.—+1 )---{(x°—2xcos.—2a+41 
acide n n n 

ai gir gandpone XLI 
dove i termini del secondo membro sono # di numero. Facciasi in questa 
xc=1; il fattore trinomiale generico x°— 2rc0s.-7 +1 che può rap- 
n 
presentare uno qualunque dei fattori del primo membro, si cangia in 


h 


h T\ i È "ag 
2(1— c08.—% TRA sin.> * si , e il secondo membro diventa n: quindi 


ANALISI 159 

MII ni dle VAL A): IO F3+R1: SEVÌ 

27") sin. + — sin.— « — sin.— + — - = - sin, at 
ri. da i | rm ‘2 In 2 


Una tal formola cangia la (0) nella 


; .. be... <3* MT nn, r 
sin. — SIN. — SIN, — = - - SIN.  rgpenenoii SASA 
n n n n ra 


e la (2) in conseguenza diventa 


du TOrO)ro Ad 


formola interessante che contiene la (22) come caso assai particolare. 

57. Uno dei vantaggi della fanzione T'(p) si è quello di darci per mezzo del 
suo logaritmo l’espressione dell’integrale finito Zlog.p preso per la p, essendo 
l’aumento finito eguale all’ unità. Un tale integrale è noto soltanto me- 
diante una di quelle funzioni che FEulero chiama inesplicabili, cioè per 
log.(p—1)(p—2)(p—3)---- Cost. e non può servire se non nel caso che p 
significhi un numero intero e positivo. Era dunque desiderabile di avere 
Zlog.p, come si hanno Zsin.p, 2«P, ecc., cioè mediante formole che lasciano 
alla p la sua generalità. Ora è Zlog.p=log.T(p) e può subito dimo- 
strarsi prendendo la differenza di questa equazione e passando dai logaritmi 
ai numeri, ciò che riproduce l’ equazione (c). Siccome poi la precedente 
espressione è evidentemente un integrale particolare, avremo il completo 
per la formola 

Zlog.p=log.I (p) + Cost. 


e più generalmente per la seguente 


(4) Zlog.p= log. (p)+ log.p(sin.2p7) 
ovvero 

(7) Zlog.p = log.p(sin.apr)T(p) 
essendo P una funzione arbitraria di sin.2pr. Tra i molti vantaggi che pos- 
sono ricavarsi dal trovato integrale notabilissimo è quello avvertito dal 
Paoli (*) di potere col suo mezzo dimostrare speditamente alcuni interessanti 
teoremi che altrimenti sono conseguenze di lunghi calcoli. Ritenendo la so- 
stanza delle dimostrazioni di questo grande geometra, mi si concederà di al- 
lungarle di qualche poco per toglierne, dove è possibile, l'ipotesi di cui egli 
fece uso, e provare che i teoremi sono veri in generale. È 

58. Dalla (g), ove mettasi 7-1 per n, e quindi 7p in luogo di p, si deduce 


ai i 


(*) Memorie della Società Italiana, Tom. XX, pag. 260. 


190 PARTE SECONDA 
Prendendo i logaritmi, la quantità log.P (2(p+1)) —log.T (np) che risulta 
nel primo re È Pateinenta la differenza finita di log. (2p) presa per p 
nella supposizione dell’aumento eguale all'unità ; quindi integrando 


log. T(np)= nplog.n + Zlog p+3log(p+- 1)... 2log(p+ n). 


Mettansi qui nel secondo membro in luogo delle somme le quantità equiva- 
lenti somministrate dalla (r): nè faccia difficoltà 1’ esservi in tutte, fuori della 
prima, la variabile p aumentata di una costante che non trovasi nel primo 
membro della stessa (7), giacchè si può benissimo in questa (7) surrogare 
p+a a p, essendo pia una quantità che aumenta dell’unità egualmente co- 
me p. Otterremo passando dai logaritmi ai numeri 

n) 


avendo posto per compendio 1)(sin.2p,r) in luogo della espressione 


P(sin.apr)P (sina(p + 2) 7) P (sin(p - 2) T ) --p (sin.2( DE ni a) 


A provare che nell’ ottenuta equazione la funzione arbitraria non può con- 
tenere la p, basta, per quanto parmi, fare in essa n=1, giacchè ne viene 
T(p)=P(sin.2pr)M(p), e quindi g(sin.apr)=1. Sarà dunque y funzione 


l(np)=4(sin.2p9, n)nPL(p)F (pa: 2)r (p--5) 


i I 
solamente di n: per determinarla pongasi p=-—, e a motivo della for- 
7 


mola (p) trovata al num. 56 avremo 


oo CE 


cavato da questa il valore di (72) e sostituito nell’ultima equazione, risulta 


I > n_-1 
peppers i pr. (e a i ra 


formola d’importanza primaria pel calcolo del nostro trascendente. 

59. Un altro integrale definito, che chiamasi il primo integrale Fuleriano, è 
niente meno del gamma celebre nel calcolo integrale ; siccome però esso si ri- 
duce a questo secondo mediante una formola elegantissima, non dirò delle sue 
proprietà se non quanto è necessario per trovare tal formola. Esso è 


() Sdraio) = (p, 9) 


ANALISI 191 
e si è adottato d’ indicarlo compendiosamente per (p, 7) espressione in cui 
sono marcati entrambi i suoi elementi p, g, che debbono essere quantità po- 
sitive. Ecco le proprietà che accennai, 
1.° Si trasformi l’integrale ponendo x==1—y, avremo 


(p,qg)= DO dy . (ay)! tre fi dy 39 (i-y)-"! 


cioè lo stesso integrale da cui siamo partiti ove sono permutate le lettere P; q 
Adunque una tale permutazione non ne altera il valore e si ha 


(1) (p 9) = (4; P). 


2.* Osservisi l’ equazione identica (ra) =(1—- x) — x(1— a)! 
e si riconoscerà identica anche la seguente fra integrali indefiniti 


fax ‘CP (1-X) Ml ‘AP (1-x)! — (de -IP(1-x)I . 
(Pd 
Passando alle definizioni fra zero, 1, e adottando la notazione (4), si caverà 


(2) (P,q+1)+(p+1,9)=(p; 9). 
3.* L'integrazione a parti 0 la posteriore derivazione convince subito 


della seguente equazione fra integrali indefiniti 


nap=t (sl gira DI LO q È, — °\q-1 
Sade (1 A x +4 fde (1a). 


Si passi ai definiti fra zero, 1, e si osservi che la parte del secondo membro 
non affetta da segno integrale svanisce in ambi i limiti: conchiuderassi 


PIO TS AS LIONS IG i 
fade vaga i: ep=1 [de aP(1—-x)* ossia 


(7) aPI+)=2 +19). 
60. Eliminando (p+1, q) dalle precedenti (x), (y) viene 
g 
(Pq+ = q) 


e prendendo i logaritmi 
log.(p, q+1 )— log.(p, q) 2 log.g — log.(p +-g). 


Il primo membro dell’ ottenuta equazione può riguardarsi come la differenza 
finita di log.(p, 9) presa parzialmente per la 9g; quindi integrando 


log.(p, "fe ZAq* log.q — 2Aq- log.(p +9) 


192 PARTE SECONDA 
dove ho assunta, come già altrove (*), la notazione 2 Ag invece della sem- 
plice 2 per indicare la variabile relativamente alla quale deve integrarsi. 
Sostituisco agli integrali del secondo membro le espressioni equivalenti date 
dalla formola (7), e marcando nella funzione arbitraria 1° altra variabile p trat- 
tata come una costante, conchiudo 
: 1 (9) 
>», g)=P(sin.29r, pjr——<. 
(P, q)= P( q Wa 
Ora si permutino le lettere p,g: il primo membro non cambia di valore 
(equazione (u)), epperò dall’ eguaglianza dei secondi membri si caverà fa- 
cilmente 
P(sin.297, p) __P(sin.2pa, g) 
Lp) T'(9) 


; DIRE Sè sin.209, P i 
Quest’equazione ci dice che la quantità P( ANO rimane costante al 
P 
variare di p; adunque non può essere che una funzione di sin. ap. La espri- 
mo per 7(sin.297, sin.2p7), e cavato dalla equazione che ne risulta il valore 


di P(sin.297, p), riduco la trovata formola alla 
T(p)T (9) 
T(p +9) 


dove rimane ancora a determinarsi la funzione arbitraria. 


(P, g)=%Y(sin.2pr, sin.297) 


Gr. Quando sia g="1, l'equazione fondamentale (4) dà subito (p, )=, A 


e per essere T(p+1)=pT(p), T(1)=1 si ha dalla precedente 


(sin2pa, 0)=1; 


convien dunque dire che sin.2pr o non siavi nella y, o se vi è, siavi in qual- 
che parte di essa moltiplicata per sin.297, la quale osservazione basta per 
conchiudere che la y è sempre l’ unità quando una delle due quantità p,gq è 
numero intero. Estendere l’ equazione 


OMM 


dimostrata vera quando o p o g è numero intero alla supposizione di p, g 
quantità qualunque, è cosa di cui lo stesso Paoli non potè venire a capo senza 
mettere un'ipotesi: vedremo però più tardi un altro andamento di calcolo che 
prova la (2) in generale. 


(*) Memorie della Società Italiana. Tom. XX, pag. 651. 


ANALISI 103 


62. Le facoltà numeriche del Kramp o i fattoriali del. Vandermonde sono 
espressioni di cui si può fare a meno in analisi dopo l’introduzione del gamma. 
Chiamasi fattoriale e s’ indica per [p]" il prodotto di un numero » di fattori 
decrescenti per una stessa differenza eguale all’unità; si ha cioè 


(aa) la pp—tr)(Pr2)r (Pr) ] 


Questo modo di scrivere fu in prima introdotto per abbreviazione, motivo per 
avventura non sufliciente a giustificare l’uso d’una nuova notazione ; in seguito, 
del fattoriale, che quando n è numero intero è una funzione intera, se ne è fatto 
un trascendente per 7. numero fratto. Ma, come notollo il Legendre, l’ equazio- 
ne (44) in cui sta la definizione del fattoriale, non somministra allora più alcun 
senso. Se però a cagione della precedente equazione (/%) (num. 54) si osserva 
essere 


i T(p+1 
6) vi= pilo: 


il secondo membro di questa equazione mantiene al primo un senso nel caso 
di n numero fratto; giacchè la T è una funzione che sostiene il suo significato 
anche quando il suo elemento è frazionario. Pertanto l’ equazione (08) esprime 
una proprietà di relazione tra il fattoriale e la gamma nel caso di n numero in- 
tero, e deve considerarsi una definizione nel caso del fattoriale ad esponente 
fratto diretta a stabilire il senso di quest’ultimo. Noterò che l'equazione (28) è 
stata data la prima volta dal sig. Cisa de Gresy (*). 

Può ancora domandarsi come si debba interpretare il fattoriale [p]" nel caso 
che 2 sia una frazione impropria maggiore di p+1, perchè allora nella (00) 
compare una ganzza ad elemento negativo, il che è un altro imbarazzo do- 
vendo tale elemento (rivedi il num. 52) essere positivo. Si risponde che 
colla (@a) può verificarsi subito quest’ altra 


(cc) [p}®= [p_r}[pY 


quando è,7. sono numeri interi, Essendo uno di essi, per es. 72, numero fratto si 
ritiene il secondo membro della precedente (cc) onde spiegare il senso del pri- 
mo; al fattore |p—r|' si dà il significato chiarissimo della (4a), e il fattore [p]" 
s’interpreta colla (55). Conseguenza di questo ragionamento è che nella (06) 
col fattoriale ad esponente frazionario può questo ritenersi una frazione mi- 
nore dell’ unità. 

63. Scolio. I due numeri precedenti servono a provare una non piccola uti- 
lità del trascendente gamzza, giacchè vi si vedono ridotti due altri trascendenti 
celebri, (p, 9), [p]®- Esso ha sui medesimi il grande vantaggio di contenere 


(*) Memorie della reale Accademia delle Scienze di Torino. Tom. XXVI, pag. 252. 


Opusc. Afatem. e Fisici. 25 


194 PARTE SECONDA 

un solo elemento invece di due: talchè, ridotto a tavole, riescono queste a sem- 
plice e non a doppia entrata. Tali tavole sono poi assai più brevi di quello che 
può sembrare a prima vista. Osservando | equazione (g) si capisce senza diffi 
coltà come si abbia prontamente la gara di qualunque numero (che a mag- 
gior comodo si esprime per mezzo del suo logaritmo) quando il trascendente 
sia calcolato pei soli numeri compresi fra zero e 1, ovvero fra 1 e 2. Diede il 
Legendre simili tavole computate di millesimo in millesimo e con dodici de- 
cimali: e vi aggiunse le differenze prime, seconde e terze all’oggetto di facilitare 
la ricerca del valore del trascendente pei valori intermedj dell’ argomento 
usando il metodo d’ interpollazione (*). 


CAROLA 
Prime applicazioni e conseguenze della funzione gamma. 


64. La funzione gamma occorre in varie espressioni d’ integrali definiti; a 
mostrarne immediatamente l’uso riprendasi l'equazione di posizione 


f da «eau 


facciasi x=4y" essendo 4,7 quantità positive, e osservando che i limiti 
rimangono i medesimi, si otterrà 


(e) Wa à 
na? f dy ew y=P(p); 
(0) 
ora si ponga rp=(, e si rimetta l'x, avrassi 


ter I G 
(4) dice sali di) 
o na” 2, 


formola assai rimarcabile. Quando q=1, a=1, n=2, ne disceude per essere 


(num. 55) (3) =Va 
(6) gf da e = 


che è una delle più note in questo ramo di calcolo. 
65. Applicando alla precedente formola il primo corollario del num. 22 se 


ne inferisce 


Va 


to lm 


gh de .e©= Va. 
- co 


(*) Traite des Fonctions Elliptiques et des Integrales Euleriennes. Tom. II pag. 89. 


ANALISI 100 
Facciasi in questa L= y+4 essendo 4 una qualun: que quantità reale: i limiti 
rimangono gli stessi, giacchè il non soffrir cambiamento per V aggiunta o la 
sottrazione di una qualunque quantità finita è appunto quella proprietà che 
costituisce la natura dell’ infinito matematico ; dedurremo dalla surriferita 


l’ equazione 


ev fd. DE n Zia 


mettansi per e’, e? i corrispondenti sviluppi in serie, e scomponendo il 
secondo membro in una somma d'’ integrali per ciascuno dei quali può tirarsi 
fuori del segno la corrispondente potenza della «, facciasi l'osservazione che a 
motivo della indeterminata « dovranno Sani i coeflicienti delle eguali 
potenze di essa nei due membri. Rica allora che nel secondo UICHA) sì 
hanno potenze dispari di 4 che non sono nel primo, conchiuderemo in generale 


(7) Sdr pome =0; 


e dal confronto dei coefficienti di 4?" avremo 


I gl p, 
ni oo Lem, sea PRTASaTI ed 
1:2-:3---n o 1-2- sese J°I 


riflettendo quindi all’ identità numerica 


1:9:3.---2n= 1:3-5e7-Q*0I1---(an—1)-2"-1 BG SE) 
ci risulterà 


9 


La 


O fiera ES 


Questa maniera elegantissima di dimostrare le formole (y), (0) devesi a 
Fourier (*); la prima di esse però si poteva dedurre immediatamente dal se- 
condo corollario del num. 22. 

65. Laplace ha fatto un uso felice delle precedenti (y),(d) nel seguente 
modo (**). Si sviluppi P(x+20y). col teorema di Taylor, essendo p_ sim- 
bolo di funzione qualunque : 


A 


i nera 200 aL pun)? ai 


*Do 


2 


2 Pal 


5 5 
rina gg ) a tar W: 5 IMESE 


(*) Theorie de la Chaleur, pag. 467. 
(**) Journal Polyt. Gal. XV, pag. 240 


- 


196 PARTE SECONDA 
ora si moltiplichi per e?° tutta l'equazione, e poi si integri per y fra i limiti 
— o, %; osservando le formole 


= 2 r 9 n e, I Ss / Re; 13 
dy-ev=V7; dy.yeY=-Va; dy.yiev= Vi; ecc. 
—'eai Neo 3 2 Si 2 


che sono altrettanti casi particolari delle (y), (0), avrassi 
(© Sir ga+me 


È II 2 N56 04 Fil: 0° VII 8° 
= EPA cre). 


Il teorema espresso in questa equazione è di alta importanza per un oggetto 
di cui verrà occasione di parlare nella seconda Sezione del presente Trattato ; 
ma può anche servire a ottenere risultati analoghi a quelli considerati in 
questa prima Sezione tutte le volte che la serie del secondo membro è con- 
vergente e sommabile. 

66. Sia per un esempio (x) = cos.a avremo 


P'(x)=2—cos.x; P'(x)=c0sx; P(a)=—cosxr; P"(x)=cosx ; ecc. 
quindi 
4 6 8 
1 xi SS VT PESO Li 1) Ù) oa 
Jo » cos.(x + 20y)eY =V cos. is 0 + ETRITIPE VOLI PRI ona 


si vede manifestamente che la serie del secondo membro è sommabile, ed 


3 A 
espressa da e? : adunque 


- co 


(6) Say - cos.(1 +20 y) eva cos.ret . 


Qui la x è qualunque: facciasi eguale a zero, indi si applichi il primo co- 
rollario del num. 22 per ridurre alla metà il corso della variabile: otterremo 


fa + cos.(20y) e = Va; 


cangisi la variabile ponendo y=xVa dove a è una quantità qualunque 
positiva, e in seguito mettasi 2/4V/a=5 nuova indeterminata , conchiuderassi 


9 
Z 


b 
ai) I i w 
(2) dx è e cosbx =-e 4 V/ A 
Q ip) U 


5 


formola di grand’ uso. 


ANALISI 197 
67. Il calcolo delle differenze finite ha in confronto del calcolo differenziale 
ordinario un difetto osservabile (*), quello di non poter assegnare |’ integrale 


della formola semplicissima È ; un tale difetto è ora tolto, come quello indi- 


cato al num. 57 mediante il nuovo trascendente. Presi i logaritmi nei due 
membri dell’equazione T(p+1)=pT(p), e fatta per brevità 


(3) Z(p)=log.T(p) 
abbiamo —Z(p+1)—Z(p)=log.p; questa si derivi per p, viene 
Zp+1)-Z'p)=, 
da cui integrando per p nel sistema delle differenze finite coll’aumento 1 : 


I Ei 
(6) X - =Z'(p) + Cost.= PP) + Cost. 
( l'(p) 
P P 
dove gli apici indicano le derivate alla maniera di Lagrange. 
Conviene però rammentarsi anche qui che la costante può cambiarsi con 
una funzione arbitraria di sin.27p. 
68. Una bella applicazione della formola (4) è stata fatta dal Paoli (**) per 
la ricerca del valore dell’integrale 


I AP — 901 
FORNI eni 
0 li 


dove p, 7" sono numeri qualunque positivi. Abbiamo dalla (t) del num. 59 


IC 


n I 5 p-1 
(a) (p,0)= f dae. 


quindi 
x xP_—_ apt _ I Manzi 1 
P+1,0)—(p,0)= f da. =— f da (RA O 


Integriamo nel sistema delle differenze finite, essendo p la variabile ed 1 
l'aumento: ci verrà 


(A) (po) =—23 
e per la (<) 
‘ (p,o) = —Z'(p)+- Cost. 


rrr————————————————m—m———_———_—_—_—_m—_—_—__—____—_—_—_———— —__——__—__———6<6 6 


(*) Lacroix. Traité du Calcul. "Tom. UT, pag. 86. 
(**) Memorie della Società Italiana. Tom. XX, pag. 266. 


103 PARTE SECONDA 


Essendo r un altro numero positivo avrassi parimenti 
(rro) = — Z'(r) + Cost. 
Sottraggasi quest’equazione dalla precedente: si otterrà 
(p,0o)—(r,0)=Z"(M—Z'"(p) 


ossia, sostituendo ai due termini del primo membro gl’integrali equivalenti 


per la (x) 
I p-ir __ gg 
(1) Sade TE =Z0-Zp). 


IC 


= I 


I 
69. Anche l'integrale f dx ‘i: ve a è un numero qualunque positi- 
£ 
(6) 


vo, può ridursi alle funzioni Z/: ecco l’artificio usato dal sig. Legendre (*). 
Abbiamo evidentemente 


ha 
. 


I tA yi a + 
da - —_ dex. —-; 
Lo IA-.L 0 ak 
I 


ora si faccia a=y° da cui y=.x°, e si vedrà che i limiti rimangono gli 
stessi, ottenendo . 


Ta ES TEA 
È 142 DI Lespi 


Il secondo membro di questa è confrontabile col primo della precedente for- 


CAI 
2 


mola (4) ponendo p= 


Adunque a motivo della stessa (4) 


0) fe Ei=tz(6t)t2(8) 
0 Les 2 2 2 D 
70. Vedemmo l’uso della funzione Z/(p), derivata prima per p della log.T(p), 
all’oggetto di determinare i valori di alcuni integrali definiti: terminerò que- 
sto Capo col mostrare, dietro la scorta di Paoli e di Legendre, l’uso della fun- 
zione Z®(p), derivata (7) esima per p della stessa log.T(p), all’oggetto di 


irovare la somma di una serie infinita che frequentemente occorre. 
La serie è 


I 


teri a eco. 
pri +2) 


I 
pio 


(*) Exercices de Calcul Integral. V."° P. num. 4. 


ANALISI 199 
dove 2 è un numero intero positivo. Se ne indichi la sonuna per s(p, n) fuu- 
zione di p, n che trattasi di voler conoscere. 

Abbiamo derivando per p 


s'(p, n= —n( Lara. pela: + soul) Sed + ec.) =—n5(p, mn 1). 
per Cp+ ot (p+ 2)" 


Di qui 


1/5; | 
s(pon+1)=— 25 (P, n); 
e diminuendo successivamente 7 di una unità 


S(p,n—1) 


s (P, n) = 


s(i,mn_—-2) 


spon—1)=— 


+2 


s(pn—cm)=— sii s(p,n—-m— 1). 


Cavasi da queste per continuata sostituzione 


I tei 
$s (P, nia @—1)(a—2) S (P, Je 2) 


I 
— (n—1)(n—-% dai varia) 


e in generale 


(6) s(p,nì=% (RANE Appare sp, n—m) 


dove nel secondo membro n è anch'essa un numero intero qualunque indi- 
pendente da 7, ed ha luogo il segno + se n è pari, il — se m è dispari. Fatta 
m=n—2 la precedente formola dà 

I 


(0) s(pn)h=% Se aape prone i s5(p, 1) 


col segno + se 7. è dispari, e col — se n è pari: circostanza che indicheremo 
mettendo al secondo membro il fattore — (1). 
Notisi essere per la primitiva denominazione 
I I I 


p pri ot: + 2 


- + ecc. 


200 PARTE SECONDA 


quindi 


I I 
s(p+1,1)= + + ecc. 
Pizza Port2 


e sottraendo l’una all’altra queste due equazioni 
I 
p 


S’integri per p nel sistema delle differenze finite coll’aumento 1, avremo 


(pri) —s(p)=— 


s(p, nata 


ossia a motivo della formola (.) del num. 67 
s(p,1)}=—Z'(p)+ Cost. 
e questo valore sostituito nella (0) darà la formola desiderata 
pu (3 1 Î; (n) 
(1) LA i raro ago crac 


la quale comincia ad essere giusta da 7 = 2 in avanti, ma non lo è per n=1, 
giacchè in tal caso non si elimina colla derivazione la costante del valore 


di i dato dalla (e) (*). 


Per vederne un uso particolare; quando nr = 2 abbiamo dalla (7) ove sosti- 
tuiscasi a Z”(p) il suo valore dedotto dalla (3) 


74 14 2 

(p) LISTA] : ri. Ì ME: SIR) Tp) 
p p (p+if  (pP+2) Ma : 

PAR A | (P) (P) 
Simili espressioni potranno farsi per n —=3, n=4, ecc. contenenti nei secondi 
membri Lp), 1° (p), ecc. E siccome quando x è pari, e p numero intero, le 
somme delle serie de’ primi membri sono altrimenti note (**), potranno aversi 
relazioni curiose fra i valori delle funzioni F(p), I"), T"P), ecc. nel caso 
particolare di p numero intero. 


(*) Exercices de Calcul Inteégral IV." P. num. 21. 
(**) Eulero. Introductio in analysin inf. T.1, num. 170. 


(sarà continuato) 


PARTE PRIMA 


Aso, “00 È 
di A 


AQIOA 


"VE pone 


i i au 


Wal 
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Ds i) Mr Vr: Va oh 
De ty ip pi | di i 


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Rin VIE 


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201 


LA MECCANICA 
DE’ CORPI NATURALMENTE ESTESI 


TRATTATA COL CALCOLO DELLE VARIAZIONI 


DI 


GABRIO PIOLA 


INTRODUZIONE 


La Meccanica de corpi estesi secondo le tre dimensioni, solidi e fluidi 
d’ogni sorta, è stata recentemente promossa mediante le ricerche di due in- 
signi geometri francesi Poisson e Cauchy i quali trattarono problemi assai dif- 
ficili per l’addietro non toccati. Il secondo di essi ne’ suoi Esercizj di Matema- 
tica diede alcune soluzioni in doppio, cioè nell’ ipotesi della materia continua, 
e nell’ipotesi della materia considerata come l’aggregato di molecole distinte a 
piccolissime distanze: il primo invece, credendo (*) che la supposizione della 
materia continua non basti a rendere ragione di tutti i fenomeni della natura, 
si attenne di preferenza all’ altra supposizione, bramando rifare con essa da 
capo tutta la Meccanica (**). Prima dei sullodati geometri, Lagrange avea 
trattati varii problemi relativi alla meccanica de’ solidi e de’ fluidi, creando 
una nuova scienza per queste come per tutte le altre quistioni di equilibrio e 
di moto: intendo parlare della Meccanica Analitica, opera cui anche oggidì si 
danno molte lodi, e viene chiamata la vera meccanica filosofica (***), ma che 
nel fatto si riguarda poco più che un oggetto di erudizione. Avendo io avuta 
nella mia prima giovinezza particolare occasione di fare su quest’ opera uno 


(****), erami formata un’idea così elevata della generalità e 


studio pertinace 
della forza de’ suoi metodi, che giunsi a riputarli, in confronto dei metodi an- 


tecedentemente usati, un prodigio d’ invenzione non minore di quello del cal- 


(*) Mémoires de l’ Institut de France. Tom. VII, pag. 400. 
(**) /bid. pag. 561. 
(***) Ibid. Tom. X, Eloge de Laplace. 
(****) Sull’applicazione de’ principj della M. A. di Lagrange. Memoria coronata dal- 
I’ Istituto Italiano. 
Opusc. Matem. e Fisici. 26 


202 PARTE PRIMA 
colo differenziale e integrale in confronto dell’ analisi cartesiana: e pensai e 
scrissi essere impossibile che per l’innanzi ogni ricerca di meccanica razionale 
non si facesse per questa via. Esaminate in seguito le recenti memorie, e 
avendo notato come in esse non si faccia uso (se non forse qualche rara volta 
in maniera secondaria) dell'analisi che tanto mi avea colpito, credetti d’essermi. 
ingannato, che cioè le nuove questioni di meccanica non si potessero assog- 
gettare ai metodi della Meccanica Analitica, Provai però a convincermene an- 
che per mezzo di un esperimento: e allora fu molta la mia sorpresa nell’accor- 
germi che in quella vece esse vi si accomodano egregiamente, e ne ricevono 
molta chiarezza: un andamento di dimostrazione che accontenta lo spirito: 
conferma in alcuni luoghi: cangiamento in alcuni altri: e quel che è più, ag- 
giunta di nuovi teoremi. Ecco il motivo che mi determinò a pubblicare una 
serie di Memorie sull’enunciato argomento, per tentare di ridurre alla mia opi- 
nione qualche lettore: ma innanzi alle prove di fatto pensai mettere alcune 
riflessioni generali dirette a indicare, per quanto almeno è della mia capacità, 
il profondo di quella sapienza che trovasi nella maggior opera del sommo 
Geometra italiano. : 

I. La generalità dei metodi è ragione assai forte per indurci a preferirli ad 
altri più particolari. Nessuno leggerebbe di presente uno scritto in cui si pro- 
ponesse di tirare le tangenti alle curve con alcuno dei metodi che precedettero 
il leibniziano, nè farebbe buona accoglienza alla quadratura di uno spazio piano 
curvilineo conchiusa dietro ragionamenti simili a quelli con cui Archimede 
quadrò la parabola. Ora l’ aver trovato nel calcolo delle variazioni quel punto 
altissimo in cui si uniscono tutte le questioni di meccanica, e possono in con- 
seguenza essere tutte trattate di una maniera uniforme , è forse qualche cosa di 
meno grande che l’ aver trovata la prima questione geometrica solubile in ge- 
nerale per mezzo della derivata, e la seconda per mezzo della primitiva dell’or- 
dinata che riguardisi come funzione dell’ ascissa ? (Veggasi la M. A. Tom. I, 
pag. 74, num. 1). 

II. Il metodo della M. A. non risulta (se ben si esamina) dalla traduzione in 
analisi di un solo e semplice principio meccanico, ver. gr. del principio del pa- 
rallelogrammo, o del principio di D’Alembert: è un metodo che può dirsi l’ela- 
borato di tutti i principj successivamente scoperti nella meditazione delle leggi 
della natura, e che però colla riunita potenza di tutti si fa strada alla soluzione 
de’ problemi. È noto che un principio meccanico di massimo o minimo tro- 
vato da Eulero dietro la considerazione delle cause finali e sviluppato nel 
secondo suppleinento al suo libro Methodus inveniendi lineas curvas ecc., 


è quello da cui prese Lagrange le prime mosse per l'invenzione del suo metodo 


MECCANICA 203 
fondato sul calcolo delle variazioni (vedi le Miscellanee di Torino, Tom. II, 
pag. 196). 

IL Una questione di meccanica presenta sovente varie parti: i punti alle 
superficie dei corpi abbisognano di considerazioni particolari che non hanno 
egualmente luogo per quelli che sono nell’interno de’ corpi stessi: e anche per 
linee individuate in queste superficie e per punti in queste linee possono darsi 
particolari circostanze. Con metodi meno generali le indicate diverse parti 
sono discusse successivamente: ma la M. A. le abbraccia tutte a una volta, 
perchè nella sua equazione generalissima, dietro un principio noto nel calcolo 
delle variazioni, si fanno separatamente nulle quantità opportunamente disposte 
sotto integrali triplicati, duplicati, e semplici: il che distribuisce in varie masse 
tutte le equazioni dietro le quali si analizza il moto o l’equilibrio compiutamente. 

IV. All’utilità di darci il problema svolto e anatomizzato, per così dire, in 
tutti i particolari un’altra se ne aggiunge non meno importante, quella di farci 
vedere l'indipendenza in cui rimangono alcune delle indicate equazioni dai 
cambiamenti introdotti in alcune altre. Se, per esempio, si vogliono trasportare 
dal caso dell’ equilibrio a quello del moto i teoremi fra le pressioni alle super- 
ficie dei corpi, si sente il bisogno di una dimostrazione. La M. A. vi supplisce 
colla semplice osservazione che il passaggio dall’equilibrio al moto introduce 
mutazione nella sola quantità sottoposta all’ integrale triplicato, non alterando 
quelle che stanno sotto i duplicati, e che quindi le equazioni dedotte da questi 
ultimi restano le stesse. Come mai dopo veduta questa gran luce potremo an- 
cora adattarci a’ ripieghi che in qualche parte sono in urto colla natura della 
questione ? 

V. Ecco il maggior vantaggio del sistema della Meccanica Analitica. Esso ci 
fa mettere in equazione futti di cui abbiamo idee chiare senza obbligarci a 
considerare le cagioni di cui abbiamo idee oscure: fatti certi invece di cagioni 
a esprimere l’azione delle quali si formano ipotesi dubbie e non troppo per- 
suadenti. È desso un sistema che abbisogna appunto di quelle sole cognizioni a 
cui arriva la mente umana con sicurezza, e si astiene o può astenersi dal pro- 
nunciare appunto dove non pare possibile mettere un fondo sodo ai nostri ra- 
gionamenti. Un sistema che assume pochi dati invece di un gran numero di 
elementi; un sistema in cui colla stessa fiducia si seguono i più vicini e i più 
lontani svolgimenti di calcolo, perchè non vi si fanno da principio ommissioni 
di quantità insensibili, che lasciano qualche sospetto di errore non egualmente 
insensibile nel progresso. Convincersi di tutte queste proposizioni è il frutto di 
lungo studio sulla M. A.: soggiungerò qualche parola a schiarimento di alcuna 


di esse, 


204 PARTE PRIMA 

VI. L’azione delle forze interne attive o passive (secondo una nota distin- 
zione di Lagrange) è qualche volta tale che possiamo farcene un concetto, ma 
il più sovente rimane alla corta nostra veduta torbida così da lasciarci tutto il 
dubbio che il magistero della natura sia ben diverso da quelle immagini man- 
chevoli colle quali ci sforziamo di rappresentarcelo. Per un esempio : se trattisi 
del moto di un punto obbligato a stare sopra una superficie, possiamo rappre- 
sentarci con chiarezza la resistenza della superficie siccome una forza che ope- 
ra normalmente alla superficie stessa, e stabilire con questa sola considerazione 
le equazioni generali del moto. Se trattisi invece di quelle forze che mantengono 
la continuità nelle masse in moto, io confesso che, almeno per me, il loro 
modo d’agire è sì inviluppato, che non posso accontentarmi alle maniere con 
cui vorrei immaginarmelo. Quando pertanto dietro alcuna di queste maniere 
io volessi stabilire le equazioni del movimento, non potrei attaccare fede 
ai risultati del mio calcolo: e molto più se facessi altresì delle supposizioni 
secondarie, e parecchie di quelle ommissioni accennate più sopra. Ma nel- 
la M. A. si contemplano gli effetti delle forze interne e non le forze stesse, vale 
a dire le equazioni di condizione che debbono essere soddisfatte, o certe fun- 
zioni che dalle forze sono fatte variare: questi effetti sono chiari anche nel 
secondo caso, e in tal modo, saltate tutte le difficoltà intorno alle azioni delle 
forze, si hanno le stesse equazioni sicure ed esatte che si avrebbero da una 
perspicua cognizione di esse azioni. Ecco il gran passo: si può poi, se si vuole, 
rivestire della rappresentazione delle forze i coefficienti indeterminati intro- 
dotti in maniera istrumentale , e allora, determinati questi coeflicienti « poste- 
riori mediante le equazioni meccaniche, acquistare delle cognizioni intorno 
alle forze stesse. Seguendo un tal metodo nel primo dei due casi sopraccen- 
nati il risultato del calcolo si trova perfettamente d’ accordo colla rappresen- 
tazione che ci eravamo fatta intorno all’intervento della forza passiva, e ciò 
non può che riuscire di molta soddisfazione. Nel secondo caso poi il risultato 
è d’accordo con quel tanto che vedevamo a priori: ed è poi un gran conforto 
il sapere ch’esso è sicuramente giusto anche dove i ragionamenti « priori erano 
deboli, anche dove entrando essenzialmente 1’ infinito non potevamo vedere al 
di là di poche congruenze, anche dove la punta della nostra intelligenza non 
poteva direttamente in nessuna guisa penetrare, 

VII. Insisto su queste idee perchè ne consegue, di qualunque valore esser 
possa, la mia opinione intorno a quella Meccanica fisica che si vuole adesso 
far sorgere a lato (*) della Meccanica Analitica. Applaudo a questa nuova 


(*) Memoires de Institut de France. Tom. VII, pag. 361. 


» 


MECCANICA 2009 
scienza: ma invece di vederla sorgere a lato della M. A., bramerei vedervela 
sorgere sopra: e mi spiego. Quando le equazioni dell’equilibrio e del moto siano 
stabilite dietro principj inconcussi, sarà lecito il far delle ipotesi sulla costitu- 
zione interna dei corpi in modo di avere altrimenti le stesse equazioni: e allora 
quelle ipotesi, se non con sicurezza, almeno con probabilità potranno essere 
ricevute. Ciò anche servirà per determinare in qualche maniera certe quan- 
utà sulle quali l’analisi lagrangiana non pronuncia. Supponendo quindi i 
corpi come quelle ipotesi danno, potranno dedursi altre ed altre conseguenze 
che non avranno maggiore probabilità della ipotesi originaria: ina se poi iu 
questo cammino ci sarà dato di avere altri punti di confronto colla natura nei 
quali non ci troviamo fuori di strada, l'ipotesi primaria acquisterà sempre 
maggiore consistenza. Non vorrei io però una meccanica fisica di cui le prime 
equazioni ragionate sopra supposizioni alquanto incerte non ottennessero se 
non una lontana conferma, scendendo dal generale al particolare, per qual- 
che corrispondenza con fenomeni osservati. La buona filosofia fatta esperta 
dalle aberrazioni di molti fra que’ pensatori che fabbricarono sistemi intorno 
alle cose naturali, deduce dalla moltiplicità stessa e contrarietà delle loro opi- 
nioni, che non è retto quel metodo di filosofare il quale, senza sufficiente 
appoggio nel suo principio, ne ha uno soltanto nel suo fine. Se queste rifles- 
sioni sono giuste, ognun vede quanto interessi rimettere in credito e in pra- 
tica lo studio della M. A. la quale è la sola che a stabilire l’ equazioni fonda- 
mentali abbisogna di pochi dati la cui verità non è disputabile. 

VII. Resta a sciogliere qualche difficoltà: la M. A. non è scienza al tutto 
perfetta: essa presenta alcuni passi mancanti e meno veri: essa conduce qual- 
che volta a calcoli intrattabili. Gli ammiratori di Lagrange non vorranno pie- 
namente ammettere queste asserzioni: ma quand’anche si ammettano, esse 
null’altro provano se non che a Lagrange come a Leibnitz mancò il tempo a 
riconoscere per intero la vastità di quel concepimento che si era formato nella 
sua mente, e riconosciutala, informarne altri a tutto agio. Leibnitz lasciò molto 
a fare ai suoi successori i quali compierono l’edificio di cui egli avea gettati i 
fondamenti ed erette molte parti: e i Rolle, i Lagny, i Nienventyt che non 
vollero portar pietre a questo edificio certamente la sbagliarono. Tocca ai 
geometri successori di Lagrange a perfezionare la grand’ opera ch'egli fondò 
e portò a tanta altezza: a rettificarne qualche luogo in cui egli pagò un lieve 
tributo all'umanità senza conseguenze che intacchino la sostanza del metodo, 
a spianarne qualche altro ove sono certe asprezze, a supplire alcune parti che 
tuttora si desiderano. E quanto alla malagevolezza e complicazione dei calcoli 


diremo: nulla è la fatica di un lungo calcolo, quando nel seguirlo sappiamo a 


206 PARTE PRIMA 
non dubitarne che siamo uniti colla verità e che colla verità giungeremo al 
fine: è gioja, è godimento in questa fatica sostenuta dall’aspettativa di un largo 
profitto. I grandi perfezionamenti poi introdotti nella scienza del calcolo dopo 
la morte di Lagrange valgono a superare alcune difficoltà a cui egli stesso 
erasi arrestato: ciò che rimane è un invito prezioso onde promuovere anche 
l’analisi col doppio scopo dell'invenzione e dell’applicazione. 

Premesse queste riflessioni generali per fissare l’attenzione dei leggitori sul- 
l'eccellenza del metodo lagrangiano a cui intendo di attenermi: farò un bre- 
vissimo cenno di quella disposizione che penso dare alle seguenti memorie. 
Comincerò da una sui corpi solidi rigidi nella quale si vedrà chiaro il modo 
con cui le nuove ricerche si attaccano alla M. A., e si troverà preparata 
l’analisi fondamentale che servir deve anche per quanto avrò a dire in ap- 
presso. Passerò nella seguente a parlare dei corpi estesi in generale: e quindi 
le teoriche saranno successivamente sviluppate secondo la concatenazione più 
naturale. 


207 


MEMORIA PRIMA 


SUL MOTO E SULL’ EQUILIBRIO DELLE PARTI INTERNE 
DI UN CORPO SOLIDO RIGIDO (*). 


4 Lagrange nel Cap. IV della Sez. V della prima Parte della M. A. ha date 
le equazioni generali che debbono essere soddisfatte nell’equilibrio di un corpo 
solido di figura qualunque, e per giungervi ha dimostrato che le variazioni 
dx, dy, dz delle coordinate del punto generico sono espresse colle formole 


da=l—yp+%q 
[1] dry =m+xp— 31 
dzazn—-xq+yr (**) 


dove 7, m2, n, p,g,r sono sei arbitrarie che non mutano passando dall’ uno 
all’ altro punto del corpo. I precedenti valori delle variazioni (come l’Autore 
chiaramente asserisce nel luogo citato sul principio del num. 61) soddisfanno 
di già per se stessi alle variate di quelle equazioni di condizione in cui sta 
espressa la solidità del corpo; però egli non fa che sostituirli nella formola 
integrale dovuta ai momenti delle forze acceleratrici 


[2] S(Xdx + Ydy + Zdz)Dm ; 


e siccome nella ipotesi che il corpo sia libero nello spazio non havvi altra forza 
a contemplare, questa formola dopo una tale sostituzione si eguaglia a zero : 
di qui le sei equazioni che trovansi registrate nel seguente nu. 62. 

2. Riflettendo sul riferito passo della M. A. si capisce che in esso trovansi 
formole integrali a compor le quali concorrono le quantità spettanti a tutti i 
punti del corpo: ma non trovansi già le equazioni a cui debbono soddisfare le 
coordinate di un solo punto del corpo. Per avere queste ultime, come in altri 
luoghi della stessa opera, bisogna introdurre tutte le forze interne operanti 


(*) Mi è necessario premettere un’avvertenza. Eulero, Lagrange ed altri geometri che fiori 
rono verso la fine del passato secolo ritenevano sinonime le espressioni di corpo solido e corpo 
rigido: giacchè chiamavano solido quel corpo in cui le distanze fra due punti qualunque sono 
invariabili. Presentemente chiamasi solido anche un corpo che si condensa e si dilata, e può 
cambiare di forma. Riserbandomi a parlare in seguito di tali solidi a figura variabile, starò 
in questa Memoria alla definizione antica che ognuno intende chiaramente. 

(**) Le arbitrarie qui denominate /, 72, n, p, g, r hanno veramente nella M, A. le espres- 
sioni dI, dn, dn, ON, dM, OL: siccome però non è necessario il simbolo è aflisso a quest’ ul- 
time, mi sono permesso un tale cambiamento per maggiore semplicità, 


208 PARTE PRIMA 
sul punto generico (7, y, 2), ossia (ciò che è lo stesso nel linguaggio della 
M. A.) bisogna aggiungere al termine [2] dovuto ai momenti delle forze acce- 
leratrici gli altri 


SALA SuOòM+ ecc. 


essendo À, 4, ecc. altrettanti coeflicienti indeterminati, e 
L=.0,;0 Jia. 


le equazioni di condizione portate dalla natura della questione, cui debbono 
soddisfare le coordinate .x, y, 2 del punto generico. Allora le variazioni dx, dy, ds 
sono libere da ogni vincolo, e si prova che debbono essere zero i loro coefli- 
cienti totali sotto gl’integrali simili nella equazione generalissima 


[3] SAdrx+Fdy+Zd02)Dm+SXL-+SudM+ ecc. =0 


avendo fatto subire ai termini A0Z, 40M, ecc., se ve ne era bisogno, le trasfor- 
mazioni insegnate nel calcolo delle variazioni. Accenno qui sommariamente e 
di fuga un tale andamento analitico, perchè suppongo che il lettore sia cono- 
scitore dell’ esposto metodo lagrangiano. 

3. Per applicare un tale processo al problema che mi sono proposto del- 
l'equilibrio e anche del moto delle parti interne di un corpo solido (giacchè è 
meglio trattare il caso più generale del moto), converrebbe conoscere le equa- 
zioni di condizione alle cui variate soddisfanno i valori [1] delle dx, dy, dg; 
saranno esse le Z—0, M—-0, ecc. da usarsi per piegare l’ equazione generalis- 
sima [3] alla nostra questione, e i coefficienti 4, 4, ecc. rappresenteranno le 
forze interne costituenti la solidità del corpo. Le equazioni che se ne dedur- 
ranno fra le coordinate del punto generico saranno allora confrontabili con 
quelle che il Cauchy desunse da altre considerazioni (*): e avremo anche tutto 
quel rimanente che si richiede per analizzare il problema in ogni sua parte. 
Non trovansi nella M. A. le accennate equazioni di condizione, epperò nem- 
meno quelle spettanti all’equilibrio o al moto diun punto nel solido ed espresse 
alla maniera anzidetta. Lagrange non fece questo, perchè non potea far tutto: 
ma i suoi metodi si prestano spontaneamente anche a tale ricerca, siccome è 
scopo di questa Memoria il mostrare. O \ 

4. Cerchiamo le equazioni di condizione portate dalla solidità del corpo. 
A questo oggetto rammentiamoci che, trattandosi di sistemi a tre dimensioni, le 
coordinate x, y,2 di un punto qualunque di essi debbono immaginarsi così com- 
poste da soddisfare a due sorte di variabilità; ad una variabilità per cui in una 
posizione qualunque fra le infinite che prende il corpo durante il movimento 
si possa passare dall’uno all’altro de’ suoi punti e percorrerli tutti; e ad una 
variabilità per cui si possa tener di mira la trajettoria di un solo punto del 


(*) Lxercices de Mathematiques. Tom. II, pag. 166, 


MECCANICA 209) 
corpo, facendo astrazione dalla massa che gli sta d’intorno, Queste due variabi- 
lità sono in generale complicate insieme in funzioni di difficile determinazione, 
ma nel moto di un solido a densità uniforme si ha la circostanza vantaggiosissima 
di poter assegnare a dirittura la forma di tali funzioni per riguardo alle variabili 
della prima specie, restando a determinarsi per le diverse questioni di moto 
sei quantità che sono funzioni della sola variabile tempo. Si giunge a questo 
intento mediante la seguente considerazione. S'immaginano tre assi rettangolari 
connessi invariabilmente col corpo per modo che l’accompagnino in tutti i 
suoi movimenti; dette allora 4, 6, c le coordinate di un punto qualunque del 
solido relativamente a tali assi fissi nel corpo e mobili nello spazio, le coordi- 
nate x, y,z dello stesso punto relativamente a tre assi fissi nello spazio si 
riconoscono esprimibili per le «, è, c mediante le equazioni 


ref +aa+6,b+y,c ‘ 
[4] y=g+a,a+6,b+y,c 
z=zh+ 3014 68b+y;c 


essendo f; g, & le coordinate che alla fine del tempo £ corrispondono al punto 
d'origine degli assi mobili col corpo, e @,, 0, Y.; 43 0, Y:;} 4, 03, Y3 nove 
quantità angolari di cui scrivo la significazione 


a, =cos.(a-x):;. 6; = c0s(h-x) pi cy = c08(6-x) 
[5] Un C08.(d pp); 0 COS); yi COS.» 7) 
a,=c08.(4-2); 6, =c0s8.(h +2); Y:=c05(c*2) 
e tra le quali si hanno le 21 equaziéni 
a+araj=i; 4,0, 4+0,6,+46;=0 
[6] 6+6+ 6=1; U% Y + 4, Ya + 33 0 
cell Plinio pil ME 0, Yst 0fa+-0373=0 
Uta 0g ui; | asa bibi Y7;—=0 
[7] ++ yi =1; + 60,05+YY3=0 
ag+0+yig=1; 4,03-+6,6+Y.Y3=0 
a, = ty 037: : an = 03Y: 7 6diYa 3 ao 0, 
[8] bo, =AY;—4Y i 6o,=A4Y3—-%7Y: î bo, auf, 


Y.= 2,6 — 436, 3 Y:= 4936, — a, 6; 3 ga3=@ 6, — a, 6, 


che però sono sostanzialmente soltanto sei, cioè le [6], o le [7], cavandosi tutte 
Opusc. Matem. e Fisici. 27 


210 PARTE PRIMA 
le altre da combinazioni delle medesime. In conseguenza di tali sei equazioni 
rimangono nelle [4] sei quantità fra le dodici f; g, #2; @,, 0,71; 4,3 6.,V1; 
43, 63, Y3 funzioni incognite del tempo, e del solo tempo, giacchè basta poca 
attenzione per capire dietro la loro rappresentazione geometrica ch’ esse non 
mutano passando dall’uno all’altro punto del corpo. 

5. Essendo le dodici quantità /, gg #} @,, 6,715 % 00, Ya; 4,03, Y3 in- 
dipendenti dalle «, d, c, si derivano dalle [4] le seguenti 


(aa (F=t (an 
[9] (7 =, ; (4 =0,; (È = 
Fize; (Z)=4s; ()=n 


epperò le equazioni [6], [7], [8] possono scriversi di nuovo colle precedenti 
derivate parziali: esse diventano 


(33 pal 19 leg t2h 
(a) Gi i) ca 
Ora 

ti ta + = 
(1) (FA) + GT) + (a) = 
DA = 
GG 
Gi Ric, Di ;) "i 


De De E - (70) (de 
da) ne (7) (7) (5) E 
Te) + (1) (1) (MA Da 


Ga E° 


ds a 


> & 


BI 


re: 
ZS 
Suit 
2] 
È 
allenta Pes 
i 
x 


Qu 
Sh 
È 
Il 
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a |a 

né per 

Poor 
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Re SITA 
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Faggrorna=® 
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Sè SS 
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Sb 
adr, 
&è 
Seca 
SR 
R18 


® 


SCOTT 


b 
i 7a dr dx\ (dy 
iCAlCabairaiC9 
dava. (dINTEF dy\ (dx 
(7)= (i) (A) 
6. Le precedenti equazioni [10], ovvero [11] sono quelle accennate ai nu- 
meri 3, 4 che ci eravamo proposti di cercare. Se così è, le loro variate, cioè 


DEI MA- O 


agi on 
S SR (SA 
Il 
(SHEST 
=lè 
> bee 
> 
SR 
SE 
| 
== 
SÈ 
NA 


RI MEN A 
(Go) (RA) CR) (O (Mn 
CE MI-) 
mn -VE-NA-MO 
(e) (0) (1) (2) + 9 (&) 
O 0A: 
ME 
MA = 


ovvero le 


212 PART:E PRIMA 


toh LS 5-5 da 


1 ; 6 
n) ARI 
PERE 


(È) (e). € do (o) È DE 


dovranno essere soddisfatte dai )S4 [1] delle variazioni dx, dy, dz trovati da 
Lagrange: si provi e vedrassi che la cosa è appunto così. 

7. Che le [10], ovvero [11] siano equazioni di condizione cui le coordinate 
del punto generico nel corpo solido debbono soddisfare, è proposizione provata 
per gli antecedenti; ma interessa di assicurarsi che non ve ne possano essere 
altre le quali non siano mere combinazioni delle medesime, talchè sia certo, 
che nelle [10], o nelle [11] è espresso tutto ciò che costituisce la solidità del 
corpo. Questo passo è un po’ difficile, e per vincerlo converrà provare che 
partendo dalle sole [10], ovvero [11] si può risalire alle [4] formate con quelle 
dodici funzioni incognite del solo tempo: perchè siccome in quest'ultime è pie- 
namente espressa la natura del moto qualunque di un corpo solido, bisognerà 
allora conchiudere ch’essa è tutta espressa anche nelle [10] ovvero |t1]. 
Mi riuscì questo calcolo, che essendo alquanto lungo rimando a due note puste 
in fondo della Memoria, nella prima delle quali provo come per solo andamento 
analitico, senza intermedio di considerazioni geometriche si conseguiscano dalle 
sole [10], ovvero [11] le altre quindici delle 21 equazioni [10], [11], [12]. 
Dimostro poi nella seconda nota che mediante l’uso delle menzionate 21 equa- 
zioni le 18 equazioni derivate parziali dedotte dalle [10] ovvero [11] sì ridu- 
cono alle 18 semplicissime 

2 


dx de die di i GT die ah 
(E (7° 0; (Treo 108 mt (E DRS (Fao 
x by Li ly 
iS] (oi (Th)=° io da CAS sa (7 ni 
ida tz 3 di lx si 
(7 a (do) (T- & (3 0; (ade) =® ia) DERE 


MECCANICA 213 
Con questo artificio di discendere ad ulteriore derivazione, piuttosto che tentare 
direttamente l’integrazione delle [| 10] ovvero [1 1], la salita dalle ottenute [15] 
alle [4] è affare di nessuna difficoltà. Infatti le prime tre tra le [15] danno subito 


=P0); (Fed; (F)=165) 


dx 
da 


; . dx i 
le quali vogliono dire che fatto (FE ; questa @, non deve per la prima con- 


tenere 4, non deve per la seconda contenere 2, e non deve per la terza conte- 
nere c: resta che &, sia soltanto una funzione incognita del tempo. La seconda, 
la quarta , e la ion delle [15] usate egualmente provano la stessa cosa di 6,, 


avendo posto È T)= 6,; ela terza, quinta e sesta conducono a simile con- 


da 
clusione per y,, avendo posto alii Ora le tre 
Îa 


da da dx 

i (a) alpe) 

ci somministrano 

c=aa+ Pb, c); e=6b,b+i)(a,c); r=Yy,c+%(a, b) 
il cul effetto si è che scrivendo 

raga +60, b4y,c+f 

dalla composizione di questa f è per la prima esclusa la 4, per la seconda 
esclusa la 5, e per la terza esclusa la c; rimane che f sia, come @, , 6,,Y,, fun- 
zione incognita della sola #; e così la prima delle equazioni [4] è dimostrata. 
In maniera affatto simile si dilatato anche le due seguenti. 

8. Assicurati che in quanto al numero delle equazioni di condizione pro- 
prie della questione non possono esservene di più delle [10] ovvero [11], 
conviene ora esaminare se ve ne possono essere di meno: ossia se quelle sei 
non siano riducibili a minor numero. Avanzo la proposizione affermativa, ma 
non senza qualche esitazione, perchè essa si trova in urto con quanto Lagrange 
asserisce verso la metà del num. 16 della Sez. IV della prima Parte della M, A. 
(Lom. I, pag. 86). Agevolmente potrà il lettore persuadersi che avendo con- 
traria l’autorità di Lagrange io mi sono posto e riposto molte volte a meditare 
un tal punto nella piena disposizione d’animo di trovar vera la sua asserzione e 
falsa la mia. Ma invece mi sono formata contro mia voglia l'opinione che il ci- 
tato passo della M. A. sia uno dei pochissimi accennati all’art. VII dell’ intro- 
duzione, nei quali la grand’opera ha bisogno di schiarimento o di aggiunta. 
Io credo che le equazioni di condizione indefinite fra le .x, y, 2 possano es- 
sere più di tre allora quando (come nel nostro caso) sono alle derivate par- 
ziali per le diverse variabili di cui le x, y, 2 s'intendono funzioni ; ritengo che 
delle nostre sei la quarta, la quinta e la sesta non sono conseguenze necessarie 
delle prime tre senza che per questo il problema sia più che determinato. 


214 PARTE PRIM: 
La ragione a cui mi appoggio si è che l'integrazione fatta sopra un numero di 
tali equazioni eguale a quello delle funzioni incognite x, y,z dà le primitive 
generali, nelle quali, come tutti sanno, entrano ancora parecchie funzioni arbi- 
trarie: le equazioni restanti potranno servire a determinare queste funzioni ar- 
bitrarie e a farci passare dalle primitive generali alle primitive complete , che 
sonole[4]. È manifesto che per le prime tre non riescono le x, y, z pienamente 
determinate: e che l'ufficio delle seconde tre essendo di far cosa in aggiunta di 
ciò che già si ottenne dalle prime, non potranno dirsi conseguenze necessarie 
delle medesime, ma avranno una sussistenza a se. Esse portano un passo più 
innanzi quella determinazione che le tre prime equazioni lasciano meno per- 
fetta: e la piena determinazione si conseguisce coll’ uso delle equazioni mecca- 
niche, operando sulle costanti delle primitive complete rimaste funzioni inco- 
gnite del solo tempo. Questo discorso è diretto a giustificare l’uso che farò 
delle equazioni [10] ovvero [11] come di equazioni di condizione escenzial- 
mente diverse fra loro. Un’osservazione però viene qui opportuna per chi non 
volesse passarmi buono il sopra esposto ragionamento. Se nella soluzione di un 
problema meccanico si ommettono alcune delle essenziali equazioni di condi- 
zione, è certo che si sbaglia affatto la via, e si tratta una questione diversa da 
quella che si ha di mira: però valse la pena di seguire l’analisi riferita al 
num. 7, e nelle due note ivi citate. Non è di eguale importanza il guardarsi 
dall’usare qualche equazione di più che sia conseguenza di altre parimenti ado- 
perate. Lagrange ha provato con più d’un esempio (vedi M. A. Tom. I, pag. 135, 
num. 27, e altrove) (e se ne potrebbe tentare una dimostrazione generale) che 
in tal caso nella pratica del metodo, che è quello solito del calcolo delle vavia- 
zioni, non ne risulta errore a motivo del compenetrarsi che fanno, pel giuoco 
dei coefficienti indeterminati, i termini superflui cogli altri esistenti in forza 
delle equazioni necessarie. Havvi ancora un’osservazione interessante. Ammessa 
la possibilità di un numero di equazioni di condizione maggiore di tre (e parmi 
che gli adotti ragionamenti e le legittime conseguenze che si vedranno in ap- 
presso non ne lascino dubbio), non è più vero (vedi M. A. Tom. I, pag. 26, 
num. 16) che si abbiano sempre tante equazioni quant? ne abbisognano per 
determinare le coordinate generiche &, y, 3, e tutti i coefficienti indeterminati 
introdotti secondo il metodo. 

g. Ora che nelle [13] o [14] del num. G posseggo le variate delle equazioni di 
‘condizione del problema nelle quali so essere iutto compreso , passo a trattarlo 
col metodo della M. A. accennato ai num. 2, 3. Comincio a darne la soluzione 
per mezzo delle [14] che trovo più opportune onde arrivare più speditamente ai 
risultati desiderati: esaminerò più tardi anche la soluzione dedotta dalle [ 13 |. 

E qui rammento che il termine 


s{[ o x | 3x +{(G = 2)_ Yi |do 20 [(F)-2]:A28 


dovuto ai momenti delle forze scotleRatici deve essere interpretato (secondo 
diede a capire il Lagrange nel $ I della Sez. XI della Parte seconda della M.A., 


MECCANICA 215 
e come io ho cercato di spiegare più diffusamente ai num. 178, 251 e seg. della 
mia Memoria di Meccanica da principio citata) per un integrale triplicato 


[16] Sdasdbsde VAS [(7£)-X]22+( A ada -2}4 


preso relativamente alle tre variabili della massa 4, d, c costanti per riguardo 
al tempo, dove I significa la densità, e // sta per un sestinomio PINI di 


derivate parziali come segue 


mM MAMA 
“Gi I 
1) MA A 


Alla stessa maniera, cioè come integrali triplicati, vanno interpretati i termini 
SAL, SudM, ecc. portati da equazioni di condizione riferibili a tutti i punti 
del sistema. Laonde nel nostro caso i termini cogli integrali triplicati introdotti 
dalle equazioni [14] saranno i sei 


Sda Sdb Sac (7 De) È aa da (i 2a da dx) ) 
[18] +SdaSdbSdc.B ( da) (de) )() (SE LE (4 2) (& 
+ SdasdbSdo-C{(98)(£È SII (E di 

+ SdaSdbSdc.L (7 (ME dd y +-(3) (5; P. 37) SÈ (FE) ( 2) 
+() (e Alcaifsica] 

+ SdaSdbSdc. E ei) (175) e () (TE) De (CE) e) 

‘d3\ (dd. z\ (dè. dz ; 

CI 

+ SdaSdbSde DI) (PZ (& ) (da 


d 
dd 9 dz\ /dèd 7 dz\(/ddy 

+()( da )a (T7) (TE db cp) (E 
essendo 4, B, C, 1, E, D i sei coefficienti indeterminati che secondo i metodo 
debbono moltiplicare le variate delle equazioni di condizione. Oltre l'integrale 
triplicato [16], e i sei precedenti [18] non potranno esservene altri nell’ equa- 
zione generale [3] trasportata dall’ equilibrio al moto : potranno però esservene 
dei duplicati, come diremo in seguito. 

10. I termini [18] si riconoscono suscettibili delle note trasformazioni inse- 
gnate nel calcolo delle variazioni e dirette al doppio oggetto di avere sotto i 
segni integrali triplicati termini ove le variazioni dx, dr. dz non siano affette 


216 PARTE PRIMA 


da derivazioni parziali per le variabili di cui le x, y, z sono composte, e ter- 
mini che siano quantità derivate esatte in riguardo ad alcuna di tali variabili 
(veggasi la M. A. Tom. I, Sez. IV, num. 14, 15, ovvero la mia Memoria replica- 
tamente citata, ai num. 46 e seg.) Per eseguire facilmente le suddette trasfor- 
mazioni osservinsi le due equazioni identiche 


Ri (FE) fel: = (1%) 0 fia A( da da) 


da 


da 
IE, (E) 


che subito si verificano, e modellando sulle medesime tutte le altre (avendosi 
in tutto a trasformare ventisette termini) si capirà che la somma dei sei inte- 
grali marcata [18] dà primieramente una quantità della forma 


rm-(110)- (CL) (7) 
Cry) (e) 
CE) (- 1) 
o=-(C (A) (LU) (E) 
i (GI) (a) _(0) 
(02 Ge) YO ii ae) — fo D(TE) ) 

n= (5 )- (2 (6) (25(4) 
(EL) — (AG) — (12060) 
(CC) (0) 


MECCANICA 217 
rt. Vié poi un'altra parte 


Sda Sdb Sde «- T 


la quale sommata colla | 1g] riproduce la quantità [18] ed è quella che contie- 
ne la riunione di tutti i termini derivate esatte o per 4, o per è, o per c. Ecco 
l’espressione di questa 7 


CD) (2) DI 
et Dea CO +(£2 A ?) 
(EG) (A) (e) 
(1 Li E + (CF <a salt )) 
(EGP) (I) (1) 
(CC). (AD) (e) 
(LE. (Lr). (CC) 
+ (CFG n() c}) + ti n). (1a: Di 2)oy 


(LEO) - (1) (Le) 


12. Il metodo lagrangiano c’ insegna che le equazioni dinamiche fra le coor- 
dinate del solo punto generico (x,y) si avranno coll’eguagliare a zero i coef- 
ficienti totali delle dx, dy, dz raccolti dai due integrali triplicati [16], [19]. 
Pertanto tali equazioni saranno 


DI (GF) x | dispre= i 


(A _r]-0=0 


ra[(G)-z]+8=o 


Opusc. Matem. e Fisici. 28 


[22] 


218 PARTE PRIMA 
avendo le P,Q, Ri valori [20]. Mi trattengo presentemente su queste equa- 
zioni indefinite all’oggetto di ricavarne con prontezza il risultamento capitale 
già noto ai geometri per altra via, riserbandomi ad esaminare in altra memoria 
i termini che in conseguenza della precedente quantità [21] vanno nell’ equa- 
zione generale a collocarsi sotto integrali duplicati. 

13. Mi è qui necessaria una breve digressione a fine di stabilire un teorema 
d’importanza”primaria non solo nella presente questione, ma anche in generale 
ove trattisi del moto di sistemi a tre dimensioni, Ritenendo in qualunque que- 
stione di moto le coordinate x,y,z del punto generico funzioni (diverse nei 
diversi casi) di tre «, 5, c per la variabilità di massa, e della £ per la variabilità 
di tempo, assunse Lagrange a titolo di brevità le seguenti denominazioni 


(veggasi la M. A. Tom. II, pag. 291) 


MAE 


(1) (o _ (O 


TS 


2) 

d 

(È ODE 
Cono 

[23] dI) (FA) de) 1°) 
iii CAI CAi 91C) 
(NE (©) €) 


i a i 
r=(È (67) — TE) (6) 


Va Te) — (6) T) 


Esprimasi ora per A(4,0,c,t) una quantità qualunque che in generale è fun- 
zione di tutte quattro le variabili 4,6, c,# (per esempio una velocità, una den- 
sità, una forza interna, ecc.): siccome dalle equazioni 

[24] Ve CM) Ridi den ARMATO 
si possono intendere dedotte le inverse 

[25] a4(%t96g51);; bb ey 
non havvi alcuna difficoltà a capire che la A summentovata può ridursi ad una 
funzione di «x, y,2,t, che s'indica per K(x, y,2,t) essendo identicamente 

[26] K(a, bic =Karabi i adb;o,t),, a (Gbit 


Veramente a significare la forma di funzione in x,y, 2,4 si sarebbe dovuta ado- 
perare un’altra lettera diversa dalla X perchè tal 0a generalmente è tutta di- 


MECCANICA 219 

versa dalla prima in 4,0,0,t: ma è invalso l’uso di adoperare la stessa lettera per 

la ragione che entrambe le espressioni sì riferiscono ad una stessa quantità. Segui- 

rò lo pure quest’uso ma raccomanderò di tener ben presente la fatta avvertenza. 
Ecco il teorema. Sono vere per identità le tre equazioni 


d O) n (È SES tO d. SILA = (5) 


d.a' K d.60K\ © (d- Da } dK 
i an) ez) 
d sa) d-6"K d. DI 17, dk 
Fase EE 
dove le nove «,a',@"; 6,6,6"; y,y';y' hanno i valori [23] e la 7 è quel 
sestinomio [17] riferito al num. 9g. S'intende poi che nei primi membri di tali 
equazioni la A abbia la composizione in @,,0,7, e nei secondi abbia quella 
in x, y,z,t come nella [26]. 
Voki la dimostrazione nella terza delle note analitiche poste in fondo 
alla Memoria. 


14. Si faccia nel nostro caso il confronto tra i secondi membri delle [23] e i 
secondi delle [12] riferite al num. 5, e dedurremo queste altre 


()=a “= dh, DT 
1 (= (= ar 


d=e: (6)=e: (Hr 


quindi le da di P,0, R (num. 10 equazioni [20]) potranno scriversi 
d:wA d.64 — (L15) 
=_( da ) "i ( db dc 


ua + F\ __ TT a 


[o RT) sfiga 


(I) (È 7 
Wie) si) 
(5) (E) (2) 
(9 (CE) (19); 


220 PARTE PRIMA 


Di 


ossia a motivo delle precedenti [27] 


ui CSS AI 


Sostituendo questi valori nelle [22] e dividendo, per /, indi cambiando i segni, 


avremo le tre equazioni desiderate 
di = (dI di dh, 
12) ay) dali 


fr GA] - (a 
[el] GM I 


15. Osservisi la perfetta coincidenza di questo risultato con quello ottenuto 
dai due celebri geometri citati dal principio dell’introduzione dietro ragiona- 
menti affatto diversi (*) e nei due casi dell’ equilibrio e del moto trattati sepa- 
ratamente. Raccomando di notare che nella mia analisi le 4,5, C,D, E, £ 
non sono pressioni che si esercitino sopra diversi piani, ma sono coefficienti, 
cui nel seguito attaccherò io pure una rappresentazione di forze secondo 
mi sembrerà più naturale: sono funzioni delle x, y,z,% di forma ancora in- 
cognita, ma di cui sappiamo che non cambia RA dall’una all’altra parte 
del corpo. Mi si può obbjettare che queste equazioni [30] sono state trovate 
coi metodi della M. A. nel solo caso dei sistemi solidi rigidi, laddove quelle 
dei due chiarissimi francesi si riferiscono anche a’ solidi elastici e variabili. 
Rispondo che nella seguente memoria farò vedere come esse si generalizzano 
ad abbracciare tutti i casi contemplati dai citati Autori senza dipartirsi dagli 
andamenti analitici insegnati da Lagrange. 

Ed è appunto per tradurre le equazioni [30] al caso generale, che giova 
esaminare (siccome ne facemmo cenno sul cominciare del num. 0) l’altra so- 
luzione che si ha usando le equazioni variate [13] invece delle [14]. Troveremo, 
come è ben da aspettarsi, il medesimo risultato, ma questa seconda analisi serve 
di fondamento a quella del caso generale, nel quale (e lo vedremo nella se- 


(‘) Cauchy. £xercices de Mathematiques. "Tom. I., pag. 111; Tom. II, pag. 166. 
Poisson. Memoires de l’ Institut de France. Tom. VII, pag. 387; Tom. X, pag. 578. 


MECCANICA 291 


guente memoria) non hanno più luogo le due soluzioni. L'esposizione riesce 
più breve di quello che possa sembrare di subito, perchè solo in alcune parti 
la seconda soluzione diversifica dalla prima, e basta indicare tali parti. Per 
maggiore chiarezza esprimerò colle stesse lettere marcate di un apice le quan- 
tità analoghe: così primieramente 4°, 5’, C’, D', E", £" significheranno i sei 
coefficienti indeterminati con cui moltiplicare nella seconda soluzione le varia- 
te delle sei equazioni di condizione. 
16. Ritenuto tutto l'esposto al num. 9, invece della somma d’ integrali tripli 
cati ivi segnata [18] avremo la seguente 
| 
c) 


(È = RO 
E MEA 
+ SdaSdb Sd (12) (Ax SL AA (a 
{e I EA 
SRO 
TRA Ve (TGA 
CI) CGI) 
PERSO: EI ZICL 
AR 


17. Le ventisette trasformazioni nei termini della precedente quantità [31] 
si fanno tutte sui due modelli 


E) 


da 


PE (EE r (1) 


db 


SdaSdbSdec. A' 


[31] + SdaSdbSde- B'i( 


, 
| 


+ SdaSdbSde LF 


222 PARTE PRIMA 
che sono equazioni identiche. Così la quantità [31] si scompone in due parti 
di cui la prima è 


[32] SdaSdbSdc.|P'dx +Q'dy+R'dz| 


avendo posto 


re (8) MA 
CEDE 
(LE) flo | (1) - (0) (1) 
o=-(* ta) (62) D)- e 1) 

n TO) CDL) 
(Ca) (2) €) 
n) 
CCD 
(PE) (2@) ( 11) (10 i) 


18. Abbiamo poi l’altra parte 


Sda Sdb Sde » T' 


essendo 


MECCANICA 223 


da 
p' (2A dat) («e (FP) ) (LE 
a da da 


14) - rt) a (EPG 5 


[34] 


da da và 
+(£42*) - ( (2 (GI): NE + (LEE i h) 
Mage 4 ì A 


4 
Psr 


CP) d (1 -B( Di) - (CPP 6 cP*) 

RATTI Ù 

n (* PD 7) M (eGo B( ;) DIE + (GO D'( 5) 
db 

É (1778) si 5) d. B' (o) ) (208 D'( 


n (CE .E' da) ) È (12) D' a PI (Led sa GA) 
RCD 
+ (CE? -E( tea)? di) ?9) + + (£2()?: 2) E (E ic) 


10. Invece delle equazioni [22] avremo Da 


ra((Ge) - x | + P'izz0 


Bs rz((G)_r]-o= 


r/d°z x : 
ra|(Ga)-2|+R = 
dove le 2’, 0’, R' stanno in luogo dei loro valori [33]. Interessa di ridurre 
questi valori [33] alla forma di quelli delle 2, Q, & espressi dalle {29], perchè 
ciò riuscendo tutto il rimanente cammina come nella prima soluzione. 
20. Stabiliscansi le tre equazioni 


Al'a- F''a + El'a'— 34] ‘* (Da +P(5) 7) E(G) 
de 


(i rr ree pear(to) E) (0) 


PIE ga) 


224 PARTE PRIMA 
essendo 4", /°", E" tre nuove quantità che avranno i valori risultanti dalla so- 
luzione di queste equazioni di posizione [36]. Le «,@',4", ecc. sono quelle 
quantità messe per compendio in luogo dei loro valori [23]. Si vede facilmente 
che a motivo delle [36] il valore di 2’ dato dalla prima delle [33] può scriversi 


Bo po-(P66)_ (SI) (04) 


iermie= \cltora 


Sl d+6":E" Sa glE' 
A da — db ) de ) 


espressione in tutto simile a quella di P nella prima delle [20]. Per ridurre 
similmente il valore di Q’ bisogna stabilire le altre tre DIR 


Pla + Bla + D'a'= da &F(d + n(É 2) 
[38] | "64 B'6+ D'e= EE B($ DID) 


Py py= (12) (A) (4) 


dove 5”, D" sono due nuove quantità cui si dovranno attribuire i valori risultanti 
dalla soluzione di queste [38], ed 7°” si vorrebbe che fosse quella stessa che entra 
nelle [36]. È evidente che ciò non può essere permesso se i due valori di 7” de- 
dotti dalla soluzione delle [36], [38] non si combinano ad essere identici: ma or 
ora dimostrerò che questo singolare accidente analitico ha appunto luogo. In 
conseguenza delle [38]il valore di Q' dato dalla seconda delle [33]può scriversi 
el e=-(E)- (E) (3) 
h c 


da 


_(d- e (=: I eri so) 


da 


AC) C) 


simile a quello di Q nella seconda delle [ 29]. 
Per ultimo all'oggetto di trasformare in maniera somigliante il valore di R', 
pon gansi le altre tre equazioni 


Z dz dz 
PIÙ, Hay! VI A9 LAI dai. / 
E'a + D'a' + C'a'LA (F)/ (F)+E (T) 
miée dz dz Z 
/ vp. DI pi "e'— Pi _ B' 01) fa 
40] e ALI (FE)- (7) (7) 


" _ Dig (RR ee.) dz ” ni (F 
E'y + D + Cy'=E()+D Ta) + € Te) 


nelle quali C”è una nuova quantità che riceverà il suo valore dalla soluzione 
di queste equazioni, ed £”, 2" saranno le stesse che entrano nelle [36], [38] 
quando sia dimostrato (ciò che da qui a un momento farassi) che i loro valori 
risultanti da quelle e da queste riescono i medesimi. Viene dalle [40] che il 


valore di &/ dato dalla terza nale 133) public pri 
4) r=-(E05)_ (CI (2 
em) (0) _ (12) 

Ca. deli (o TO MELO pio 


simile a quello di R nella terza delle | 20]. 
21. Rimane a dare la soluzione delle equazioni [36], [38], [40] e a dimostrare 
che i doppj valori risultanti da tale operazione per le tre /”, E”, D” sono fra 


loro eguali. 
Chiaminsi ordinatamente I, II, III, i secondi membri delle [36], e il metodo ele- 
mentare per la soluzione di tre equazioni di primo grado a tre incognite ci darà 


6'y'- y LUOPE PRA An ya alb b'al' 
3 J {fESSE fe iti Piera KI EI e —TT____— 
na O 2 + II ; 


MIENZAT, ia nr 


oe a yo — ay abba 
b'oet. mare li? alla 
AL 


essendo —Auab'y'—ay' 04 ba'y'—6by'a'+ya'6"—y6'a". 
Ora si richiamino le equazioni (24), (25), (26), (27) già dimostrate nella no- 


ta IN. posta in fondo alla memoria, e ivi preparate per l’uso che qui se ne 
doveva fare: le precedenti si ridurranno alle 


Po Had E (i) sl () + II. (FE) 


MUZE H 
[42] sha 6 +. (i) +II. 5) 
vr 


dz 
pini» 3 +—I. di) +IlI. Te) ? 
H 
Alla stessa maniera, AMISSE per pr (1), (ID), (II) i secondi membri 
delle [38], dedurremo da esse 


F'=(1). \d (1) 5) TE) + (ID) - (o) 


rit 
[43] B'=(1). di + (II). (i) + (II) - @) 
| H 
peo a). ). (I) - (F). 
H 


Opusc. Matem. e Fisici. 20 


226 PARTE PRIMA 
E 6hiamati (1), (AI), (II) i secondi membri delle [40], avremo da queste 


ultime 


dx XL pe 
e=(1)- (a) + 1). (25) + (I) (1a) 
H pen 


H 

[44] D'=(0). (7) + (1) (1) + (ID) (4) 
Hi Hi H 

c'=(1)- (7a) + ((D)- (1) + (I) (1) 
H H H 


22. Rimessi per I, I, II; (1, (II), (II); (1), (CI), (II) i trinomj di cui 
sono indicazioni, trovasi veramente che i due valori di /”, E”, D” dedotti dal- 
le Brapalena [42], [43], [44] riescono identici; e si n, an lean", B". C" 


DIRE E"Te let DCR eil nea: rimarcabili Moti 
[45] Hd'=d (7 + B' GO. sa (5) 
dx si dx\ {dx 
oe P(G (7 p)+2 A (F)eaD(G n) A 


ne (da) A) 


SEDE 
sl LOI 
FT) (ET) (TT) 

nez4 TA ds) (ae) a iaFoRenira] 

RD 
HEAL “Mao (E 

DADA 
SICA I FAAC] 

ua (CAR AIZZICE 


“7 
(] 
A 


db). 
de, (7 T) 5) 


MECCANICA 227 


23. E così dimostrato che nelle [35] possono alle P’, Q', R' attribuirsi i va- 
lori (37), [30], [41] fatti colle 4”, 2”, ecc. letquali sono date per le 4', B', ecc. 
mediante le precedenti [45]. Il che essendo, collo stesso discorso tenuto al 
num. 14 sulle [29] si oo che le [35] si riducono alle 


r [x-(3 Ta) ]+ Sn (7) è 0 
OE Re CORIO RICO LI Ca 
rim (e 


di una forma affatto simile a quella delle [30]. 

24. Giova notare, perchè ne avremo bisogno in seguito, che la quantità 7” 
segnata [34] al num. 18 si può anch'essa esprimere colle 4”, 2”, ecc. invece 
che colle 4°, B', ecc.: e ciò per effetto delle [36], [38], [40]. Non vi vuole 


che poca attenzione per capire la trasformazione della [34] nella seguente 


[47] T'= 
ci {(A'a+Fla'+E'al)dxc+(Pla+-B'al + D'a YI y+(El'a4+-D'al +Cal' shy 


da 


(d-I(A6+-P"6+ E" 6") d+(P"6+-B"0+ DO") (E6+-D' 6 CEI} 
CL Adria UT ©} 


‘d'a(A"y+F"y' +E! Nd x+(P"y+B"y'+D'ydy+(E"y+D"y' + C!y")dz 
pi A rane ae 

25. Dimostrai in due maniere, seguendo i metodi della M. A. le equazioni 
fondamentali [30], ovvero [46], il che era l’oggetto propostomi nella presente 
Memoria. Restano ad esaminarsi le conseguenze che derivansi dalle quantità 
portate ai limiti di una integrazione, e tuttavia esistenti sotto integrali dupli- 
cati; ed anche quelle risultanti dal confronto delle due soluzioni pel corpo 
solido rigido, delle quali (come enunciai al num. 15) non ha luogo che una 
sola nel caso generale. Sono questi argomenti di molta importanza, e me ne 
occuperò in successive memorie dopo che mi sarò sdebitato dell’ impegno as- 
sunto al num. 15. 


228 PARTE PRIMA 


NOTE 


IS 


Ai numeri 4, 5, 7. 
Dimostro in questa prima nota come dalle equazioni 


(1)  da+0a+03=1I (4) DE, 4-0, 6,-4+-a3 €38 =0 
(2) 64-62 + 6321 (5) 0 Y, + 4g fg +49 f3 =0 
(3) VRYA-7 = (6) CY: + E2Ya + E3yY3 =0 


sì possono per semplice processo analitico dedurre le altre quindici equazioni segnate [7) 8] 
al citato num. 4 della memoria: e con ciò avrò provata la dipendenza affatto simile delle 
equazioni [ 10 ], [11 ], [ 12 ] riferite al num. 5, siccome ho asserito in primo luogo al num. n. 

Prendansi le equazioni (4), (5) e considerandovi le due quantità @,, 4, come incognite, se 
ne cerchino i valori per mezzo delle formole generali che danno la risoluzione di due equa 
zionì di primo grado a due incognite: i risultati si potranno legare insieme scrivendo le due 
equazioni 

Gy ne Ha de 3 
6273 —63Ya a: 6371 = 6173 "a 61Ya— 6371 


quindi, se dicasi 2 il valore d'una delle precedenti frazioni, dedurremo 


2 


(x) = ct —A(6,73 — 63Ya); Ga 24637 — 6173); d3=A(6 7a — 6271). 


Ora per determinare 4 osserviamo che in forza delle trovate espressioni la (1) ci dà 


A°[ (6273 — 6372)? + (63716; 73)" +-(6, Ya — 6a ya] 45 


in questa il coefficiente di X? trovasi identico colla quantità 
(61-+63-+- 63)(y1-+-72-+- 73) — (617,4 62Ya +6373)? 


la quale per le antecedenti (2), (5), (6) vedesi eguale all’unità. Pertanto è 2221, X=4t1, 
e le (*) diventano 


(7) (64; 9363 74); moda eg (È dfn Y3); a = (6 173 6472) 


Queste, ove He due segni prendasi il positivo, sono tre fra le equazioni [8] sopra citate. 
Il doppio segno dovea necessariamente comparire, perchè nelle sei equazioni da cui siamo par- 
titi, le tre quantità 6, €,,€3 trovansi in perfetta simmetria colle tre y,, 7:73 € possono senza 
alterazione essere con esse scambiate: lo stesso cambiamento deve dunque potersi fare nelle 
trovate (7), ed esso è tale che, quando i secondi membri siansi presi col segno positivo, li fa 
passare al negativo. In pratica però si possono i valori (7) prendere, come si è fatto nella 
memoria, col segno positivo, perchè è evidente che nelle denominazioni [ 5 ] della memoria 
niente ci impediva di marcare per 7, Y2; 7g quei tre coseni che marcammo con 6,; 6,; 63, 
e viceversa: quest arbitrio è sottinteso e voluto dalla natura stessa della questione, ed esso 
equivale al doppio segno. Siccome però la chiarezza di un tale ragionamento può non essere 
visibile a tutti, lascerò nelle (7) il doppio segno. 

Risolvendo con un giuoco affatto simile per €,, €, le equazioni (4), (6), e adoperando Ia (2) 


(eli 
i 
a fine di determinare il coefficiente comune dei valori risultanti per 6, ; €,; € coll’ intervento 


MECCANICA 2209 
secondario delle (1), (3), (5), troveremo 
(8) E, =LT(4 72 — 4,73); E,=t(4,73—43V); = (4,7, =, Y12). 
Un terzo andamento eguale ai due precedenti dà 
(9) y,=£ (4,63 — 436); Ya= (436, — a, 63); r3 = E (4, 6,— 04, 6,). 


Le sei equazioni ultimamente scritte, presi i secondi membri col segno positivo, sono le re- 
stanti equazioni delle [ 8 ] che prendemmo primieramente a dimostrare. 
Presentemente abbiamo quanto basta per verificare sei equazioni che qui soggiungo 


a+6+y1=(4+6+73)(43+63+ 73) — (0,043 +6,63 + Y2 73)? 

od+- 61 + 93 = (a+ €24 72) (ag 4-63 +73) — (0 ag +6, 63-+-7 73} 

ag ++ =(aîf+61+y13)(a2 + 2+ 72) — (4,0, + 6,624+-Y1 Yaf 
Ch ig 4-S, Sat-y1 Ya (043+-6, 63-4-Y1 #3) (Aa 43+-6, C3+-Y27/3)_ AA 4+-616a4-Y1 Y3)(3+-63+-71) 
4, 43 4-È, 634+-Y1Y3= (4, 0t9-4+-6, Ea4-Y1 Ya) (002043 +6, 634+-Y2Y3) AA 083+-6, 64-71 Y3)(23+-E3+-71) 
A A34+-6, 63+-Y2Y3= (04 ty 4+-6, Sa+-Y1 Ya) (A 43+-6, €347 73) (42 434-602 63-+-Y273)(27+67+71) 


e si fa mettendo nei primi membri i valori somministrati dalle trovate (7), (8), (9), e provando 
allora che le equazioni sono identiche. La verificazione è meno penosa di quello che sembra 
a prima vista, perchè per le prime tre giuoca una trasformazione simile a quella di cui fa- 
cemmo uso più sopra nel coefficiente di 22: e delle restanti quando siasene verificata una, le 
altre si riconoscono per lo scambio lecito fra le quantità. 

Pongansi per abbreviare le denominazioni seguenti 


ea=0+62+72; y=o+6+yì; 2z—=03+63+73 
Ei, 4,+ 6, E, +Y Ya; NEGA + 6,63 +73; G=4%0+ E, 634-243 
e le precedenti sei equazioni diverranno 
(**) xy5—-@; y=xz—; a2xy È 
(#6) E(1+-2)=î; n(1+y)=86; 6(1+2a)=éx. 
Il prodotto delle ultime tre dà 
(EneA=Ez6(1+2)(1+y)(1+-2) 


da cui sortono pel prodotto Éx 6 i due diversi valori, zero, e (r+ x)(1+-y)(1+z). Questo 
secondo deve essere rigettato perchè se si accettasse si otterrebbe dalla prima delle (%%**) mol- 
tiplicata per È, é°=(1-+-x)(1+y), valore che sostituito nella terza delle (x) conduce 
alla x+y+2z3=—1, la quale non può stare, giacchè il primo membro è sempre quan- 
tità positiva, essendo (riveggansì le precedenti denominazioni) somma di quadrati. Resta che 
sia éxé=0, quindi le (x**) moltiplicate rispettivamente per é, x, $ si riducono 
È(1+2) 20; X(1+y)=0; é(14+-x)=0; 
e poichè i fattori 1+- 2, 1-+-y, 1+-x non possono mai essere zero, non potendo, come testà 
si accennò, x, y, 3 prendere valori negativi, è forza che siano 
sono; ea 
In conseguenza le (xx) diventano 


(xxx) sicrvagggensrs; ame 


230 PARTE PRIMA 

che moltiplicate fra loro presentano 
cya=(Ege) 

Vedesi da quest’ultima che il prodotto xyz può avere due valori zero, r. Il primo deve 
essere rigettato, perchè adottandolo dalle (xxx) moltiplicate rispettivamente per x,y, z si 
caverebbero x =0,y=0,z=0: il che non può stare, viste le quantità di cui x, y, 2 sono 
abbreviazioni. Esse sono somme di quadrati, e quindi non possono essere zero, se non lo è 
ciascun quadrato in particolare, nel qual caso riuscirebbero false le superiori equazioni (1), 


(2), (3). Devesi adunque assumere xyz=1, epperò le (*%%*%) moltiplicate rispettivamente 
per x, y,2 somministrano x°=1, y? =1, 2°=1. Estraendo da queste le radici quadrate 


si rifiuta il segno negativo, non potendo x, y, 2 essere negative per la ragione più volte 
accennata, e si hanno 

1 poni Pag ini 
I trovati valori di £, x, è, x, y, 2, rimettendo per queste lettere le quantità che rappresentano 
per compendio, ci porgono le equazioni 


a+ 624 yi DI Gy n +6, 6a-+- yy =0 
af+4-6+y} I o, 3 +6, 63-+-773=0 
+ 654 y3 =I A, 03 +- 6,63 -+Y373 =0 


che sono le equazioni [7 ] del num. 4 della memoria. 


Al numero 9. 
Adotto le equazioni di posizione 


pe Dial dr 4, A WI 
TESE 
dy 8. si 
(1) (a ii (= da 
z ‘dz 
(G)=o i, Ti) 


volendo che alle nove quantità &,, &,, 03; 6,13 63, €35 Y1> Ya» 73 ON si attacchi qui altro 
significato oltre quello di quantità sostituite alle derivate parziali esistenti nei primi membri 
delle (1) per brevità di scrittura. 

Con queste denominazioni le equazioni [ 10 ] del num. 5 della memoria prendono le espressioni 


(2) 4 +01 ; (5) WE, 4-4, 6, +- 49363 =O 
(3) + 6246321; (6) %, Yr + 4y yy +43 Y3 =O 
(4) PI9AA gir; (7) 6rY17t-6272-+- 6373 =0 


poste le quali, per effetto di solo maneggio analitico, come si è dimostrato nella nota prece- 
dente, sussistono insieme con esse le altre sei 


(8) ot4-64y2 ZI (11) Di, 0g +6, 69 +-Y1 Ya =0 
(9) di +4- 63473 =I (12) Un 0g 4-6, 634+-Y 73 =0 


(10) o5++%3=1 (15) 0,03 +-6263 +72 Y3=0 . 


MECCANICA 231 


Osserviamo primieramente che dalle equazioni di posizione (1) discendono naturalmente 
le seguenti 


(14) da, (F sE: dy,X. Di dy, 
db lai da)’ (3 
da,\ __(d6,\. da, d Ya 
(5) = (8) e (9) ne o) - (7) 
dog d6z\. È daz\ _(dy3\. d 63 dy3 
(20) (5 è) = (FE) x ia) (e ta (GA) ( (aa) (Ti )= (GE). 
Potrei ora scrivere a dirittura le 18 equazioni derivate parziali che si deducono immediata- 
mente dalle (2), (3), (4); (5), (6), (7) e di cui fecì menzione al num. 7 della memoria: ma per 


evitare nella farragine di tante equazioni quelle che non sono necessarie allo scopo, amo 
meglio usarne un po’ per volta secondo il bisogno; scrivo intanto le cinque 


x da, da, daz\ _ 
(25) Ret 
‘da, /da (daz 
(24) Gra Pata (e) 9\db)_ 


05 (ie) he 


ce 


dy, 


da 


da, dii 0a 


Ca 


(26) 


4 63 


me) Ga) A (9, 
en r(7) n(t9). na) «i Baal 


di cui le prime tre sono le derivate parziali della (2) per a, 5, c, e le ultime due sono le deri- 
vate parziali per a delle (5), (6). In queste ultime due i trinom]j 


dé, dé, E d63\ . dy, TEZONS d y3 
a(Ti)+0, Ta) calli 070) Uda ff +a (5 3) 


si possono per le (14), (17), (20); (15), (18); (21) cambiare nei trinomj 


(ta) (aa) 


e allora per le (24), (25) si riconoscono entrambi zero. Abbiamo dunque per la (23), e le (26), 
(27) diminuite ciascuna nei primi membri dei loro tre ultimi termini, la sussistenza simul- 


tanea delle tre 
dai à da, doi via 
a + (7 +a;(7i)=0 
È da, da, A dog Ri 
(28) (+e) (7) 
daz im 
(ae) 


Si moltiplichino queste rispettivamente per @,, €,, Y1; indi si sommino: avremo a motivo 


delle (8), (11), (12) 
(29) ()=0 } 


da 


232 PARTE PRIMA 


Si moltiplichino similmente le (28) per @,; 623 Ya, € sommate ci porgeranno a motivo del- 


le (11), (9), (13) v 
(30) * n) =o 


quindi, o per un giuoco simile, o per immediata conseguenza delle (28), (29), (30) anche 


(31) (7) o 


Assumansi adesso le cinque 


® 
0 
di seal (18) 
08 (0) (e 
08 n(88) (19) (= 


di cui le prime tre sono le derivate parziali della (3) per a, 8, c, e le ultime due sono le deri- 
vate parziali per d delle (5), (7). In queste seconde si prova che gli ultimi tre termini vanno a 
zero da loro separatamente, perchè a motivo delle (14), (17), (20); (16), (19), (22) que’ trinomj 


si trasformano nei 
a (BE) (GC) ae) 


che si riconoscono zero in forza delle (52), (34). Si ottengono così le tre 
ù dé, n d6, DI d ce 
PAGANO ASILI RI > 
d6, d 6, d63\ __ 
d 6, de, d6g\ i. 
CB db) RAG TITTO 


dalle quali collo stesso calcolo praticato sulle (28), le 


di d e 


ABIN Li diel\Matak d63\ _ 
(37) (1) DUO (38) di ) CO (30) (57) 0 
Basterà ora accennare che dalle tre derivate parziali della (4) per a, d, c, e dalle due per c 


delle (6), (7) si cavano similmente le tre 


(40) (54) 0; (41) (4) Ss" 0. (42) 3)= ioni 


A proseguire con successo la nostra dimostrazione giova ora rivolgersi alle derivate parziali 


delle (8), (9), (10): le tre della (8) sono 


MECCANICA 233 
da, dE, dy, — 
(45) a(F)+ (E) d)=o 
do, d6, dy, 
(44) dn DES (+ v\ qb )=o 


ORTO 


La (45) per le (20), (14), (15) diventa 


(46) e.) Yi (7)=0 ; 


La (44) per le (37), (16) riesce 


(47) % (TL) 
LALA CA 


Eliminando (5°) dalle due ultime si ottiene 
de 


ab) na) 
dalla quale e dalla (46) 


da, À a I 
(49) (77)=° MRCHAR era 
e in seguito dalla (47), o dalla (48) 


e la (45) per la (40) 


In maniera affatto somigliante dalle tre derivate parziali della (9) si conseguiscono 


(52) (2) 0; (53) (72) pi (54) (È)= ; 


e dalle tre derivate parziali della (10) le 
}: daz d'ag N 20001 dEé3\ _ 
(55) Te) =0 o (56) (0) 237 5 (57) ca) = O 


Presentemente risostituendo nelle 18 equazioni (29), (30), (31); (37); (38), (39); (40); (41); (42); 
(49); (50), (51); (52), (53), (54); (55), (56), (57) alle &,, 0, 43, 6,, ecc. le derivate parziali, 
delle quali per le (1) sono abbreviazioni, si hanno le 18 equazioni che al num, 7 della me- 
moria segnammo [ 15 ]. 


PRIMA 


PASRNCAE 


234 


Lisa 


Ai numeri 15, 21. 


ea e rn selen n PO 2 
Tek tEtESESRIEEIRSEERTE 


a Ln Pan SI gm pn DE Sirio Sigg Di pun Le 
SER SR SELE SRITERREREE 


Sd al 
Sori Soa ms DIS, 

Sr de È i Mia N ae an 

a | | ee i a o ea 

plli pe gÀ —Ò nt sn. pra 

do e" 

pr re = Re Pa TO e Ra fe BERT 

Io Sira STR Sese ro ele viola vs 

li eni Se a ARIA AE MIR AR gl 

2 TREBERIRIRSE SR ERER SESSI 

A rn n IZ SISSA NIE IA LIOARIOA Sh 

de et} eni ri eee TRE 

car $ è $ co co do SI "i IR DI da: è 

— RANA Lat 

E PEA 

S = 

=, 

pi 

V 

Re 

se 

o 

RE 

"© 

ea 


Si riconoscono identiche le nove 


lo) (©) ° W 
(cs sti: n SEIl 
CEN EA tara NI 
te ERE SIE A 
8° LE Sn 
3 = % % 3. 
to seat Di 
Va e ra Sn LIMERI  rno 
BS SR HS 5 >|2 
mica srarro na 
e e 
vw To to to do 
ES SA 
CEE NONA NEI 
SE 8° SE SI SE 
ls 
AR nun DL ori 
SÌ % è S ES 


MECCANICA 235 
Avrei potuto suggerire qualche altro mezzo per dimostrare le precedenti equazioni, e schi- 
vare la verificazione alquanto prolissa fatta colla materiale sostituzione dei valori: ma mi 
sarei dilungato in cosa di poca importanza. 
Ora sì richiami anche la [26] 


K(a,b,c, )ez& [a (a,b, c, t)\y(a, db, ct), z(a, db, c, i); t] 


e se ne derivino le tre 


dK =(F)(s dK\{dy dK\{dz 
(Ti dx Ta e 3! JP (77 di FAI dz) \da 
dK ia EEN da dK 4 (dK dz 
pel db) —\dK}\db} gar Ti da db 
(dK dK\ (dx dz 
\- de d =(F) de 2 c de 
Queste si moltiplichino rispettivamente per «, €, y; indi si sommifio: raccolti nel secondo 


1 dK LK 
membro dell’equazione risultante i coeflicienti totali di do È) ( Ta) (5) , avremo in 


1 dy dz 
forza delle (1), (4); (7) 
(11) o(T)+()+1(7)= 
da ANO de 


Si moltiplichino da capo le (10) rispettivamente per a’, €, y', e poi si sommino: otterremo 


in conseguenza delle (2), (5), (8) 


(0 (EB) +e) (en (18) 


E allo stesso modo, moltiplicando le (10) per 4”, 6”, y!”, e osservando le (5), (6), (9) 


e dK a{ dK RA 
(19) a(T3) + ACRI, T)= (E) 


Conviene verificare colla sostituzione anche le tre equazioni identiche 


(+ (1) (=> 
0 (9) 
2) (= 


Si moltiplichino tutte e tre per X, indi si sommino ordinatamente, la prima colla (11), la 
seconda colla (12), la terza colla (13); le tre equazioni risultanti potranno scriversi 


d.a K d.6 K d.y K hat dK 

da )+ db ae wr a dx 

d. a K d. ci ASPANT H dK 
da È Figari big d > 

da K d. 6" K 13°) d. SIL) (È 

( da er a 


le quali sono le {27 ] del num. 15 riportate ivi senza dimostrazione. 


(E 
ce 


Ss 


236 X PARTE PRIMA MECCANICA 


Aggiungerò che si hanno anche le nove equazioni identiche 


dx {dy ds gi 
(15) a(T) + 4 (4) +a!(T) eni! 


10° AA) 
1 (AD 
(18) e(Fe)+ - (2) e(F) 20 
(19) s(57 5) sa (+ e(T)=! 
(20) e(37) 4 (7 (7 


lea 
n (ra) 
0) r(9)+ A) vg) = 

nta) Pr 


verificabili alla stessa maniera delle nove surriferite, e che vengono utili in appresso (nu- 
mero 21). Ecco alcune conseguenze di quest’ ultime di cui faremo un uso importante. Assunta 
per brevità la denominazione 


(24) Ana y!' ay 64 6a Ey'al+ya'é'—y 6a, 


I d 
risolvansi per ( Te) (1 Sd A) hr ) le precedenti (15), (18), (21) usando le note formole da- 


te negli clementi d’algebra per la soluzione generale di tre equazioni di primo grado a tre 
incognite: otterremo r 


dy dz 
ICE (Ta) _ epnyor (7a) yoren (78) erro 
eee | H A b NT" A : 


Da una simile operazione eseguita sulle (16), (19), (22) ci verranno le 


Di) dy sh 
(26) db th ally! yl'al 1 db er: gl gal! db gal 0y/ 
i Mae A diga di er A MMOTRO 7 571 TRE e 
E da un’altra simile operazione sulle (17), (20), (23) avremo le 
dx dz 
(27) 7 TA GE LA ue Salt. GE) __ Sal'—a6! Fe) 6-0 


\ SRI RL A 


FISICA MATEMATICA 23 


Continuazione delle RIFLESSIONI SULLA LEGGE DELL’ATTRAZIONE MOLECOLARE 
di ciruseppE BELLI (V. Fascicolo II, pag. 128). 


XVI. 


Gli enormi risultamenti che abbiamo testè ottenuti bastano a mio giudicio a 
distogliere qualunque Fisico assennato dall’ ammettere l’ identità delle due at- 
trazioni. Aggiungerò nulladimeno per abbondanza qualche altro argomento, il 
quale mostri l’insufficienza della gravitazione a produrre i fenomeni molecolari, 
anche nel caso che alcuno volesse adattarsi ad ammettere quell’ inconcepibile 
rarità nel tessuto de’ corpi e quell’ inconcepibile densità nella materia loro, le 
quali ho dimostrate. 

Limitandomi adunque alla particolare ipotesi del tessuto reticolare, la quale 
a mio parere è la più vantaggiosa per ajutare la gravitazione a produrre 
grandi effetti, io osserverò che prima di poter ammettere una siffatta ipotesi, è 
d’uopo conciliarla co’ fenomeni della cristallizzazione , la cui spiegazione esige 
che i corpi si suppongano formati di molecole staccate, le quali, quando essi 
corpi sono cristallizzati, sieno tutte simili fra loro e regolarmente collocate le 
une presso le altre. 

Non sarebbe in vero impossibile l’ ottenere una tale conciliazione , e ciò col 
modificare l’ipotesi del tessuto reticolare, riducendola somigliante a quella cui 
venne condotto il cav. Leopoldo Nobili da alcune sue considerazioni sulla 
trasparenza de’ corpi (1). Ammise questi che le molecole integranti dei corpi 
trasparenti sieno -foggiate a guisa di tanti telai prismatici, tetraedri e paralle- 
lepipedi, i quali non presentino materia che sugli spigoli, e si trovino a perfetto 
contatto gli uni cogli altri. Però non sono le molecole elemenzari, ossia le ultime 
a cui i corpi si riducono dopo sofferte tutte le divisioni possibili quelle che il 
sig. Nobili riguardò come formate alla detta maniera; egli suppose che i corpi 
trasparenti sieno di natura composta, e che la forma a telajo appartenga, come 
s'è detto, alle loro molecole integranti, vale a dire a quelle molecole le quali, 
unendosene insieme un immenso numero, tutte fra loro omogenee e composte 
ciascuna di tutti i principii chimici del rispettivo corpo, costituiscono i corpi 
cristallizzati e le vere combinazioni chimiche. Si potrebbe adunque da taluno, 
lasciando da banda la trasparenza de’ corpi, ammettere una siflatta ipotesi 
anche per tutte le specie di molecole elementari; e in questo caso, conside- 


(1) Introduzione alla Meccanica della materia, Milano 1819, presso P. E. Giusti, a p. 80. 
Una ipotesi analoga a quella del sig. Nobili, ma per un diverso scopo , era stata immaginata 
anche da altri Fisici, e fra gli altri da M. Le Sage di Ginevra, il quale riguardava le molecole 
elementari de’ corpi siccome altrettante gabbie , ossia come tanti poliedri non aventi di mate- 
riale che i soli spigoli (Bibl. Univ. Aoùt, 1816, pag. 288, ove è citato V Essai de Chimie me- 
canique di questo autore al $ 24, pag. 65). 

Opusc. Matem. e Fisici. 


ad 


IO 


238 PARTE PRIMA 


rando l’attrazione vicendevole che potrebbe aver luogo fra le diverse parti di 
un corpo così formato, si avrebbero gli stessi vantaggi del tessuto reticolare, e 
inoltre si potrebbero spiegare i fenomeni della cristallizzazione. In fatti toc- 
candosi le molecole vicendevolmente, formerebbero esse un vero tessuto reti- 
colare, nel quale col soccorso di una sufliciente rarezza delle fila l’attrazione di 
gravitazione potrebbe avere bastante energia per tenere tutte le parti forte- 
mente legate insieme; e siccome altresì queste molecole sarebbero distinte e 
separabili le une dalle altre, e doiate di una regolare figura esterna, così po- 
trebbero dar origine a corpi di forme geometriche regolari. 

Avendo però riguardo a tutto, si trova che questa nuova ipotesi andrebbe 
incontro anch'essa ad assai gravi difficoltà; imperciocchè, oltre a che si sarebbe 
sempre obbligati ad ammettere nei corpi quella stessa rarità di tessuto e quella 
stessa densità di materia negli spazii pieni da noi trovate qui sopra, si ag- 
giunge altresì che i fenomeni del calorico esigono indispensabilmente che le mo- 
lecole elementari dei corpi, anche così formate, non si ammettano ad assoluto 
contatto le une colle altre come ha opinato il valentissimo Nobili per ri- 
guardo alle molecole composte, ma bensì a qualche vicendevole distanza. 
Il restringersi in fatti dei corpi pel raffreddamento fa conoscere che in essi 
esistono de’ vani che possono impiccolirsi. E possiamo bensì dubitare che questi 
vani sieno distribuiti irregolarmente in quei corpi dove le molecole sono con- 
fusamente ammassate, e supporre che essi vani scemino o crescano a cagione 
di scorrimenti di queste molecole le une sulle altre. Ma ciò non può concedersi 
per tutti i corpi; p. e. nol si può assolutamente per quei corpi cristallizzati 
che sono di natura semplice e che hanno le molecole elementari di forma 
cubica. In questi è forza ammettere che esse molecole sieno interamente 
staccate le une dalle altre, e come nuotanti nel calorico. Perciocchè un ammasso 
di tanti cubi i quali sieno a perfetto contatto e disposti gli uni presso gli altri 
con quella regolarità che la cristallografia dimostra, è impossibile che pel raf- 
freddamento si restringa; e se nel fatto esso si restringe, si dee necessariamente 
concedere che fra cubo e cubo esistano degli intervalli, i quali crescano coll’au- 
mento del calore e diminuiscano col raffreddamento. Ora mancando fra questi 
telai cubici il contatto, ed essendovi fra loro una distanza non piccolissima in 
paragone delle loro dimensioni, non può la gravitazione essere in essi abba- 
stanza efficace da poter produrre la coesione, malgrado il tessuto a telajo. 

Fingiamo in fatti che una unione regolare di tante uguali molecole cubiche a 
telajo formi un aggregato di due prismi retti a base quadrata, perfettamente 
uguali fra loro, congiunti per tutta l'estensione di due delle loro basi, e colle 
facce parallele a quelle delle molecole componenti; e chiamiamo questi due 
prismi 

MOV. 

Indichiamo con 

2 la lunghezza dei lati di queste molecole componenti, vale a dire la lunghezza 
dei lati dei più piccoli cubi che ad esse si potrebbero eircoscrivere. Suppo- 


FISICA MATEMATICA 239 


niamo che ad una determinata temperatura a cui siasi misurata la tenacità del- 
l’aggregato de’ due suddetti solidi /M, /V, p. e. alla temperatura di + 20° C., 
queste molecole si trovino separate le une dalle altre di una quantità 

tup 4 

n 
Noi possiamo riguardare tutte queste molecole come situate in mezzo ad al- 
trettante cellette cubiche esattamente contigue fra loro, le cui facce sieno pa- 
‘allele a quelle di esse molecole, e i cui lati abbiano la lunghezza 


i(1-+1 ’ 
n 


E siccome, quando si voglia che M, N risultino formati dall’ unione di tante di 
> 5 ) 

queste cellette contenenti le molecole cubiche, fa d’uopo che tutto all’ intorno 

del totale volume di questi due solidi presi insieme venga aggiunto uno spazio 


È I È MAL E 
che si estenda fino ad una distanza rana dalle molecole più esteriori, così noi 
Don 


pra 


supporremo fatta questa aggiunta , e chiameremo 

h' Valtezza di ciascuno de’ due solidi 1, / in cotal modo aumentati, e do- 
tati ancora della figura prismatica a basi quadrate, 

h la lunghezza dei lati di queste loro basi, Ja quale % supporremo minore di h'. 
Chiamiamo 

O la loro densità media, cioè la densità che essi avrebbero in tutte le loro 
parti se la loro materia si distribuisse in essi uniformemente , 

V la forza con cui essi si attraggono vicendevolmente in conseguenza della 
gravitazione, supposta espressa in chilogrammi, 

T la tenacità del sistema de’ due solidi M, N, ossia la forza colla quale essi 
si tengono effettivamente uniti l’uno all’altro, espressa anche questa in 
chilogrammi. 

Ciò posto procuriamo di trasformare questi due prismi in modo da averne due 
corpi de’ quali si possa misurare la vicendevole attrazione per mezzo del calcolo. 

Immaginiamo prima di tutto che entro a ciascuno de’ più piccoli cubi che 
si possono circoscrivere alle diverse molecole del prisma M, venga determinato 
un punto tale, che venendo a concentrarsi in esso la massa della rispettiva 
molecola, non soffra veruna variazione 1’ effetto della gravitazione fra questa 
molecola e il prisma / nella direzione parallela agli spigoli longitudinali de” 
due prismi /, N. Supponiamo che le masse di tutte le molecole del prisma M° 
si vengano a concentrare nei punti ad esse rispettivamente in un siffatto modo 
determinati, e i quali noi indicheremo col nome di punti di attrazione media di 
cotali molecole verso il prisma /V. E chiamiamo 

M' Vaggregato di tali masse così concentrate. 

Supponiamo del pari che le masse di tutte le molecole del prisma N ven- 
gano a concentrarsi ne’ loro punti di attrazione media verso MW, determinati in 
un modo simile a quello già indicato; e chiamiamo 

N' l’aggregato de’ punti materiali in cotal modo ottenuti, 


240 DARTE PRIMA 

Immaginiamo dopo ciò che le masse di tutti i punti materiali sì di /17’ che 
di /V' si allarghino di nuovo in altrettante piccole uguali sfere le quali abbiano 
questi punti per centri, e il cui volume sia bastantemente grande da potere 
alcune di esse toccare i lati delle ‘rispettive cellette cubiche. E chiamiamo 
rispettivamente 

M", N" i due aggregati di sfere risultanti da M' e da N. 

È facile a vedersi che il raggio di ciascuna di queste sfere sarà non minore di 

I 


an” 


vale a dire non più piccolo di mezza la distanza da cui si trovavano separate 
le une dalle altre le primitive molecole a telajo; giacchè, quand’anche i centri 
di alcune di tali sfere si trovassero collocati nei punti più esteriori di questi 
telai, sarebbe pur sempre necessario, perchè esse sfere potessero toccare le pareti 


i I 
delle proprie cellette, ch’ elleno avessero per lo meno un raggio uguale a —-2. 
2/1 
Noi possiamo perciò rappresentare la lunghezza dei raggi in questione con 
I 
b--;g)ì al 
(+0) 21, 


essendo e una quantità non minore di zero, vale a dire o positiva (il che sarà 
quello che effettivamente avrà luogo, quantunque non vogliamo su ciò insistere 
per non perder tempo a darne dimostrazione), o almeno uguale a zero. 

Il volume di una di queste sfere sarà per conseguenza 


4 sul, 
3T (1+0) Pol 


3 
e siccome la loro densità che noi indicheremo con 
A 
sta alla densità d, come sta il volume (1-3) È di una delle immaginate 
n i 


cellette cubiche al volume di una delle sfere medesime, vale a dire siccome 
noi abbiamo 


PEAGIETR I\° 3.4 3 È 
VT, Mita 14) Pro o 


così questa densità A sarà data dall’ equazione 


sei pra 
gr(1+ o) 5a 
ossia da 
[a} RISE TA 


FISICA MATEMATICA 241 
E Parca della maggior sezione di una qualsivoglia di queste sfere (la quale 
area è un elemento di cui or ora avrem bisogno) sarà 


S(GCOLE 


#, qu 


Proseguendo nelle nostre supposizioni, immaginiamo che le sfere degli ag- 
gregati 47, N” si ravvicinino fra loro nel verso laterale fino a che si tocchino, 
e che quindi la materia di esse sfere ravvicinandosi ancor più nel detto verso 
laterale, col soccorso di un cangiamento di forma nelle masse delle sfere stes- 
se, si unisca insieme in modo da riempiere tutti gli interstizii che si trovano 
fra le diverse sfere medesime; ben inteso che un tale ravvicinamento venga 
operato soltanto mediante un movimento della materia nel verso laterale, di 
maniera che ciascuna sezione trasversale de’ due nuovi solidi che si vengono 
ad ottenere, sia uguale alla somma delle sezioni che si sarebbero avute anterior- 
mente, per mezzo del medesimo piano di essa sezione, nell’aggregato delle sfere 
quando queste si trovavano ancora separate le une dalle altre. Supponiamo in 
fine che la nuova disposizione della materia delle sfere sia o si riduca tale che 
le nuove sezioni trasversali sieno altrettanti cerchii co’ centri in un asse co- 
mune perpendicolare ai loro piani. E chiamiamo 

M°", N" i due solidi ottenuti rispettivamente da 37” e da N” per mezzo di 
questa nuova trasformazione. 

La densità di cotali nuovi solidi sarà evidentemente la medesima di quella 
delle precedenti sfere, cioè A. 

E siccome mentre coteste sfere si trovavano ancora separate le une dalle 
altre e contenute entro le rispettive cellette cubiche, se si fosse condotto attra- 
verso ad esse un piano perpendicolare agli spigoli longitudinali de’ solidi M, N, 


non avrebbe questo verisimilmente potuto tagliar per mezzo, contemporanea- 
mente, tutte le sfere contenute in un intero strato trasversale di cellette; così 


la maggior sezione trasversale dell’aggregato de’ due solidi M'”, N°” conterrà il 
cerchio massimo d’una d’esse sfere, il quale giusta la formola [6] è misurato da 


T(1+0)1 


4n° n 


un numero di volte verisimilmente minore del numero delle cellette cubiche 
formanti uno strato trasversale; evidentemente poi essa maggior sezione non 
potrà contenere esso cerchio un maggior numero di volte. Ed essendo il nu- 
mero di tali cellette misurato dal quadrato 4° diviso per 1’ area d’una faccia di 
una delle cellette stesse, cioè essendo un tal numero misurato dalla quantità 


‘% 


( +1) e” 
td) 


sarà la suddetta maggior sezione trasversale dell’ aggregato de’ solidi M'"”, N” 


242 PARTE PRIMA 
espressa da 
i i .3 0 MII 


si VI Alsrieli7 


essendo 7 una quantità o maggiore o almeno uguale a zero ; ossia da 


T(i+0)h° 
[e] 4(1+ n)" G+7)' 


e il suo diametro sarà 
[d] 


Immaginiamo finalmente che al sistema de’ due solidi M'”, N°" sia circo- 
scritto un prisma retto a basi quadrate, avente le facce laterali a contatto della 
più grande fra le sezioni trasversali di essi solidi 17°”, N°, e diviso dal piano 
che separa M'” da N” in due uguali prismi retti i quali abbiano ciascuno 
l’altezza 4’, cioè l’altezza di ciascuno de’ solidi M, N. Egli è chiaro che questa 
altezza sarà sufficiente perchè le basi libere de’ due nuovi prismi sieno all’e- 
sterno 0 almeno a livello delle basi parimenti libere di M'” e di /”, Chiamiamo 


(1+0)h 
(1+n)V1+7 


M'", N!” questi due nuovi prismi. 


E in essi noi avremo due corpi i quali si attrarranno vicendevolmente, in con- 

seguenza della gravitazione, con una forza che potrà essere sottomessa a calcolo, 

come ci eravamo proposti di trovare. Poniamci ora a determinare una tal forza. 
Essendo in questi due ultimi solidi 


h' V altezza, 


(19) 1a lunghezza dei lati delle basi, 


(1+n)Vi+7 


60(14+ n) to 


lensità 
(1-40) 3 densita , 


A, ossia 


per la formola [37] si avrà il valore della suddetta forza uguale a 


0,000086 3845 [Pen 7. o ME 3{L Y+0,349645 (2 2a) 


T(1+0) +n)V1+7_ I+% 1+0 
ovvero a 

d°(1-4+-n)-36 hl 60. 33 
0,000086 3845 È ad 1-+-0}(1-47) IL, + co 0,2349645 Tassa SE, 3 er) ’ 
essendo 


[e] Va VE 
i of4=0) 

Ora in tutte le successive trasformazioni che abbiamo immaginate, l’ attra- 

zione vicendevole esercitata nella direzione degli spigoli longitudinali de’ solidi 


FISICA MATEMATICA 243 

:M, N, fra le varie eoppie di solidi successivamente ottenuti, la quale dapprin- 
cipio era /7, non è giammai diminuita; ma in alcune trasformazioni si è conser- 
vata della medesima grandezza, e in altre sì è aumentata. Nella prima trasfor- 
mazione in fatti, cioè in quella mediante la quale le molecole si sono supposte 
passare dalla forma a telajo a quella di tanti punti materiali collocati ne’ luoghi 
di attrazione media, l’attrazione vicendevole de’ due solidi considerati è rimasta 
la medesima. Ella si è similmente conservata la medesima nella seconda trasfor- 
mazione colla quale i suddetti punti materiali si sono cangiati in altrettante 
sfere co’ centri in que’ punti. Si è essa poscia aumentata nel ravvicinarsi che 
fecero gli aggregati delle sfere per cangiarsi ne’ solidi M°, N’; giacchè con 
questa trasformazione la materia de’ due aggregati di sfere ha preso una dispo- 
sizione più favorevole all’attrazione. E similmente questa attrazione si è au- 
mentata nel passaggio de’ due solidi 47°”, N°” ai prismi M'”, N”, a cagione 
della materia aggiuntasi. In conseguenza di ciò, avendo noi indicata con 7 
l’attrazione vicendevole fra i due primitivi solidi /4, N, quella fra i due prismi 
M'”, N'” potrà esserlo da 


(1+-4)/7, 


essendo 4 una quantità reale e positiva. 


Uguagliando le due espressioni dell’ attrazione vicendevole de’ due prismi 
Do Ele N” , noi avremo 


__0,000086 3845 -d*(1+22)"-36.4* hs 
e T°d'(1+0)(1+7) IL Ye 349645+ {2 +% 2a) 


da cui si trarrà 


0,000086 3845 +36-(1-+72)°. d* 14 | 33 
(oe cioe i air i) 


equazione da cui potremo riconoscere se la forza indicata da 7” può arrivare al 
valore della tenacità 7 

Prima però di venire a questo esame diamo ad una tale equazione una forma 
più comoda, Cominciamo a porre 


d' 2 DE 
e ad eseguire le moltiplicazioni de’ fattori numerici; sarà 
[Sf] PONI II2 saponi 893 . 


Cerchiamo un’ espressione del valore di 4 (e ne vedremo l’uso fra poco) la 
quale sia formata da una funzione determinata, alcun poco più grande di essa 
i, divisa per una quantità maggiore di 1, procurando però di ottenere una 
siffatta determinata funzione più piccola che sia possibile. Consideriamo a 
quest’oggetto che la maggior sezione che si abbia nel sistema de’ due solidi 
M"", N", e che è stata rappresentata (vedi [0]) da 


244 PARTE PRIMA 
T(1+0)h° 
4(1+n)(14+7t)” 
è necessariamente maggiore di una delle basi di un cilindro retto la cui altezza 


sia 2’, e il cui volume sia uguale a quello di uno di essi solidi 1", N". 
Ma l’area di ciascuna delle basi di questo cilindro retto sarebbe data dalla 
proporzione | 
Area della base del cilindro :4°::d:A, 


per eui quest'area sarebbe misurata da 


Ò h° 
A 2 


ovvero (vedi la [4]) da 
Th(1+ o) : 
6(1+ n) 
perciò sì avrà 
Th°(1+ o) Th'(14 o) 
4(1+n)(1+ 7) CES 
da cui 


MERE DPR : 


2(14+- 0)” 
di maniera che si potrà dare a (1-+ 7) la forma 


3(r+ n) 
MIAO 


essendo É una quantità positiva. Sostituendo questa espressione in luogo di 
(1+ 7) nel valore di 7) dato poco sopra dall’equazione |e|], avremo 


3 
h'(x14-r) V3 I 
[g] ia o) * i 3 
(1+- 0) /1+ È 


dove il secondo membro è appunto di quella forma di cui abbiamo bisogno. 
Facciamo ora il contrario, troviamo cioè un'espressione di w, la quale sia 

formata da una determinata funzione moltiplicata per una quantità non mi- 

nore di 1, procurando che una tale funzione determinata non si scosti gran 


fatto dal valore di essa w. Osserviamo a quest’ uopo che la quantità W non può 
lÀ 


} S0RTE Ì 4 ; È 
essere minore di pat La maggior sezione trasversale in faiti che si possa otte- 


nere ne’ solidi VM”, N” risulta da un’unione di tanti cerchii, i cui contorni non 
sopravvanzano le sezioni quadrate delle cellette cubiche tagliate dal piano della 
medesima maggior sezione, e la somma de’ quali cerchii non supera il pro- 


silor ) grite; ; . 
dotto di — per la somma di quelle sezioni quadrate medesime ossla per hî : 


4 


FISICA MATEMATICA 245 
perciò nè questa maggior sezione de’ solidi M”, N”, nè la equivalente maggior 
sezione de’ solidi MM”, N'” arriva a superare un cerchio il cui diametro sia 7; 
e i lati delle basi de’ prismi 27°”, N'7 non arrivano a superare la &, ma 
possono esprimersi per mezzo della frazione 

h 


I+” 


dove p è una quantità non minore di zero; e dividendo la /' per la lunghezza 
di uno di questi lati, si avrà il quoziente, che è #, dato dall'espressione 
h' 
che è della forma che si desiderava. 
Sostituendo ora queste due ultime espressioni [g] e [K] del valore di 1, la 

prima in Log.y, e la seconda in 

1 / 69 33 

ara 
e facendo la riduzione numerica indicata dall’ equazione [f], l'equazione [41] 
si riduce alla seguente 


h'(1 A V3 
AA 
hV2-:(1+0)(1+É)_ 


(1-4+- n) d° 44 


(1+0)(1-+7)(1+4) ati 


[42] V=-0,000062 893 - 


+ 0;349645 + pra x (LL 2) 


(1+p) I+ IT+6 
Veniamo ora ad un esempio numerico. Facciamo 
IEZZO. DO, 
MEZZIBRrE 


supponiamo cioè che i due prismi M, N abbiano i lati delle basi dlla lun- 
ghezza di un millimetro, e che sieno alti un decimetro. Supponiamo che si tratti 
di un corpo, del quale il peso specifico , la dilatabilità pel calore, e la tenacità 
sieno quelli stessi del vetro: avremo 


fe Bla pe 
UFT="Ti0O5 


la quale tenacità è la più piccola fra quelle che il sig. Navier trovò nel ve- 
tro (1). E potremo fare 
n = 2200. 


(1) Annales de Chimie et de Physique, Tom. XXXIII, pag. 240. 
Opusc. Matem. e Fisici. 31 


246 PARTE PRIMA 
Perocchè, quantunque il vetro riscaldandosi da 0° a +100°- C. si dilati secondo 


ciascuna delle tre dimensioni di di questa dimensione medesima (1), noi 


per maggiore sicurezza delle conclusioni vogliamo supporre che il corpo cri- 
stallizzato di cui ci occupiamo, passando dalla temperatura a cui se n’ è misu- 
rata la tenacità fino all’ assoluto zero , cioè fino all’ assoluto contatto delle mo- 
lecole, non si restringa che della metà di quello che fa il vetro da +100° C. 


IENE P. 
a 0°. Noi, avremo con ciò 
I 


"00 Mato (È) 


agraltà 0,000062 893 - (2201). 2,5 - 2,5 ù ” 

"7 (roof (+ ot +0 (| pae] PP 
I 69 oa rata) 
"10000 (1+@)(1+p)  (1+6)(1+p) 


00062 8 ORg3;0 
= "#1 È Ra. DI) È + 5,013930 + 0,088046 + 0,3409645 


+ 0,006900 —d| ì 
dove 4 è una quantità positiva minore della somma delle altre quantità com- 
prese fra le medesime parentesi, come immediatamente si scorge rammentando 
che YD.I, che perciò il logaritmo di 4 o della quantità posta in sua vece nel 
penultimo secondo membro, è necessariamente positivo, che 


I 33 
10000 VENT ATE TOO PSNIALAZO 4 


che per conseguenza la quantità contenuta fra le grandi parentesi del penul- 
timo secondo membro è di valore positivo, e che tale in fine dev’ essere 
anche la quantità contenuta fra le parentesi dell’ultino secondo membro. 
Si avrà pertanto 


j-— 09,900000 000000 000062 893-(2201)"-2,5-2,5-7,9 _ 0;000000 01428 
L4-@ 1+® 3 


essendo @ una quantità positiva. 

Ora questo valore di Y” è evidentemente lontanissimo dal valore 1,68 della 
tenacità del corpo in questione, del quale ultimo valore non arriva dd essere 
un centomilionesimo. Ed è a notare che noi abbiamo presa una delle minori 
tenacità che si riscontrino ne’ corpi naturali, e che abbiamo supposto assai 
piccolo il restringimento di cui doveva essere capace il corpo nel venire 
raffreddato, le quali sono pur due circostanze che hanno dovuto entrambe 
cooperare a ravvicinare fra loro l'attrazione /7 e la tenacità 7. 

Ella è dunque cosa certa che per molecole di forma cubica a telajo, comun- 
que dense ne sieno i fili e raro il tessuto, non può la coesione essere prodotta 
dalla gravitazione. 


(5) Biot, Traite de Physique, Tom. I, pag. 158. 


FISIGA MATEMATICA 


(©) 
Ja 
—3 


XVII. 


Si possono estendere queste conclusioni eziandio a quei corpi cristallizzati di 
natura chimica semplice , ove le molecole integranti (le quali in questi e negli 
altri corpi di natura semplice coincidono colle elementari) sono di forma 
tetraedra regolare. E la dimostrazione non ha difficoltà, benchè ricerchi una 
via leggiermente diversa, attesa la disposizione più complicata di queste mole- 
cole, le quali secondo Hay non si combaciano per tutta 1° estensione delle 
loro facce, ma solo si toccano negli spigoli e negli angoli solidi, e lasciano 
de’ notabili intervalli vani (1). | 

Noi rifletteremo primieramente a quest’ oggetto che ne’ corpi semplici cri- 
stallizzati aventi le molecole elementari dell’ anzidetta forma, quando essi si di- 
latano pel calore o si restringono pel freddo, tutte e tre le dimensioni si alte- 
rano nella medesima ragione; di maniera che in siffatte variazioni di volume 
questi corpi cristallizzati conservano sempre la medesima proporzione fra le 
loro parti e si mantengono continuamente simili a se medesimi, e in tutte le 
grandezze che possono acquistare pe’ cangiamenti di temperatura mostrano 
sempre di essere formati dalla regolare unione di tanti tetraedri regolari. Pare 
adunque che nella dilatazione di questi corpi (e il contrario si dica pel caso del 
loro restringimento) si operi mediante il calore un allontanamento delle di- 
verse molecole, nel quale le distanze fra i centri delle molecole medesime si 
aumentino tutte nella stessa proporzione, e ciascuna molecola mantenga le 
sue facce in una posizione parallela alla posizione di prima. Si può perciò 
riguardare il corpo dilatato siccome un aggregato di tante uguali cellette an- 
ch’esse di forma tetraedra regolare, toccantisi le une colle altre negli spigoli e 
negli angoli solidi, e dentro a ciascuna delle quali si trovi contenuta una mo- 
lecola similmente di forma tetraedra regolare ma di minore grandezza, colle 
facce parallele a quelle della celletta medesima, rimanendo ad uguale distanza 
tutto all’intorno le facce della molecola dalle facce della celletta, Il volume di 
ciascuna molecola sarà il medesimo a tutte le temperature, ma varierà la 
distanza fra la superficie di ogni molecola e quella della rispettiva celletta col 
mutare delle temperature medesime, e cangerà pure con ciò il volume di 
ciascuna celletta. 

To non richiamerò qui distesamente il modo con cui sono disposte le moleco- 
le elementari in cotali corpi cristallizzati. Mi limiterò a dire che questi possono 
immaginarsi formati di tanti strati paralleli l uno all’altro , aventi ciascuno per 
altezza l’ altezza di una delle cellette tetraedre or ora menzionate ossia la 
distanza fra uno degli angoli solidi di tale celletta e la opposta faccia triango- 
lare della celletta medesima. Ciascuno di questi strati, i quali per ajutare l’im- 
maginazione noi suppeorremo orizzontali, è formato dall'unione di un grandis- 


E e A 


(1) Traité de Cristallographie. Paris 1822, Tom. II, pag. 212, 216, ecc. 


248 PARTE PRIMA 


simo numero di cotali cellette, comprendenti ognuna una molecola tetraedra, 
ma aventi molti interstizi vani fra luna e l’altra; e di tali cellette alcune 
hanno una delle lor facce nella superficie inferiore dello strato considerato , 
formando in questa superficie con esse facce o basi una specie di scacco, con 
degli spazii triangolari pieni contigui ad altri spazii triangolari voti (vedi la 
fig. g dove i piccoli triangoli oscuri rappresentano gli spazii pieni, e i triangoli 
bianchi gli spazii voti), ed hanno, queste medesime cellette, gli angoli solidi 
opposti alle dette basi situati nella superficie superiore dello strato medesimo ; 
altre di tali cellette in vece hanno ciascuna una delle lor facce sulla superficie 
superiore del detto strato, formando qui pure una specie di scacco simile a 
quello già indicato, ed hanno gli angoli solidi opposti a queste facce collocati 
nella superficie inferiore (ne’ punti di questa ove si uniscono gli angoli de’ 
diversi triangoli pieni e voti). Non tutto poi, come si è detto, il volume dello 
strato è occupato da queste cellette, ma rimangono fra esse molti vani, i 
quali fra tutti formano uno spazio voto doppio del volume totale di esse 
cellette, talchè lo spazio occupato da queste non è che il terzo del volume 
dello strato (1). 

Supponiamo ora che si abbia un corpo cristallizzato risultante dall’unione di 
una moltitudine di queste molecole tetraedre, le quali abbiano inoltre la forma 
a telajo di cui ci occupiamo; e supponiamo, per venire addirittura ad un esem- 
pio numerico, che a quella temperatura alla quale se ne sia cimentata la tena- 


cità, possa questo corpo restringersi di secondo ciascuna delle sue tre di- 
. 2000 


meusioni, prima che le molecole si sieno portate a tale vicinanza da non po- 
tersi più accostare ulteriormente. Noi potremo concepire questo corpo sic- 
come formato di cellette le cui superficie sieno lontane dalle superficie delle 
rispettive molecole (dalle superficie cioè de’ più piccoli tetraedri che si possono 


della distanza fra le 


circoscrivere a queste molecole a telajo) per un 


superficie delle cellette e i centri delle molecole. 

Immaginiamo che in questo corpo venga segata una porzione della forma di 
un prisma retto a basi quadrate, nel quale una parte de’ piani delle naturali 
separazioni del corpo medesimo sia perpendicolare agli spigoli longitudinali ; 
e fra i piani\di questa classe uno serva a distinguere esso prisma in due uguali 
solidi prismatici che diremo 

i MV 
di ciascuno de’ quali sia 
h' l'altezza, 


e —Tr——,_———————6___ui_——_———t—_oa 


(1) Si vegga la Cristallografia di Haiiy, Tom. II, pag. 222. To ho sostituito le cellette alle 
molecole tetraedre, per poter dar ragione delle mutazioni di volume prodotte dai cangiamenti 
della temperatura ; intorno a che può vedersi il $ 206 del Tomo I del mio Corso di Fisica 
stampato in Milano nel 1830. 


FISICA MATEMATICA 249 

h la lunghezza de’ lati delle basi la quale noi supponiamo minore di /', 

d la densità media, 

T' la tenacità cimentata traendoli secondo fa maggior dimensione //, ed 
espressa in chilogrammi; e sia 

Y la forza con cui si attraggono vicendevolmente nella direzione degli spi- 
goli longitudinali, dipendentemente dalla gravitazione, espressa questa forza 
similmente in chilogrammi. 

Siccome poi i piani delle facce laterali de’ prismi M,.V segherebbero alcune 
‘ delle molecole del corpo cristallizzato, così noi supporremo che quelle parti di 
queste molecole spezzate le quali apparterrebbero ad M e ad N sieno tolte 
fuori da questi solidi per lasciarli formati di sole molecole intere. È giacchè ad 
onta di queste parti levate si può dubitare (e noi per brevità non vogliamo oc- 
cuparci a deciderlo per mezzo di dimostrazioni) che forse in qualcuno degli 
strati orizzontali componenti essi solidi M, /V, e aventi l'altezza di una sola 
celletta, la somma de’ volumi delle rispettive cellette superi la terza parte del 
volume dello strato medesimo, supposto che lo spazio di questo si estenda sino 
alle superficie laterali de’ solidi M, N; perciò noi supporremo levate tutto all’in- 
torno di ogni strato, ossia nelle sue facce laterali, alcune altre poche molecole 
nel modo che diremo, allo scopo che cessi interamente un siffatto dubbio, ed anzi 
la somma de’ volumi delle cellette suddette si mostri evidentemente minore del 
terzo del volume di un tale strato. Scelto adunque per primo un qualche strato 
particolare, noi immagineremo che nella base inferiore di esso venga congiunto 
ciascun triangolo pieno (vedi la fig. g) con un vicino triangolo voto, onde for- 
mare colle diverse coppie altrettanti rombi tutti eguali e tutti similmente situati; 
e in seguito supporremo conservate, insieme colle rispettive molecole, quelle 
cellette fra le appartenenti al suddetto strato, le quali si appoggiano colle lor 
basi su rombi compiuti, escludendo, similmente colle molecole rispettive, 
quelle poche cellette, sieno esse rotte o intere, le quali con tali lor basi si 
appoggiano a rombi imperfetti. Con ciò sovra a ciascun rombo intero si troverà 
posata colla sua base una celletta tetraedra il cui volume sarà esattamente 
uguale alla sesta parte del volume di un prisma retto avente esso rombo per base 
e l'altezza della celletta o dello strato per sua altezza. Ma l’inferior base dello 
strato oltre a rombi interi comprende eziandio di necessità de’ rombi imperfetti, 
sopra cui nè alcuna intera celletta nè alcuna frazione di celletta si appoggia; per- 
ciò la somma delle cellette che rimangono sovrapposte colle lor basi alla base 
inferiore dello strato ‘considerato, avranno fra tutte un volume che sarà minore 
della sesta parte dello strato medesimo. Ciò eseguito per la base inferiore dello 
strato che si è scelto, noi faremo la stessa operazione per riguardo alla base 
superiore cel medesimo, cioè immagineremo riunito ciascun triangolo pieno di 
essa base, vale a dire ciascuno dei triangoli occupati da basi di cellette appar- 
tenenti ad esso strato ma volte colla base all’insù, con un contiguo triangolo 
voto, formando colle diverse coppie altrettanti rombi; conserveremo quindi 
quelle fra queste altre cellette (con entro le molecole rispettive), le quali colle 


250 PARTE PRIMA 


loro basi volte all’insù s'appog giano arombi perfetti, escludendo quelle altre 
poche intere o spezzate, le quali s'appoggiano colle lor basi a rombi imperfetti; 
e con ciò avremo un altro aggregato di cellette il cui volume complessivo sarà 
similmente minore della sesta parte dello strato medesimo. Unendo poscia queste 
cellette colle precedenti, per compiere con ciò l’intero numero di quelle che 
debbono appartenere allo strato suddetto, si avrà fra tutte insieme un volume 
che sarà necessariamente minore del terzo del volume di esso strato. Immagi- 
neremo eseguita una operazione somigliante per ciascun altro strato; e verrà 
così ad essere affatto tolto il dubbio di cui avevamo parlato. Ed è chiaro 
che il numero delle molecole le quali colle operazioni indicate verranno ad 
esser levate da ciascuno strato, sarà ben piccolo a confronto del numero totale 
di quelle che rimangono allo strato medesimo, non venendone a mancare che 
alcune poche nel contorno di esso, ed stag piccolissima la larghezza di 
ciascuna celletta e quindi la Pesa delle liste ove si suppone operata la sot- 
trazione, a confronto della larghezza di ciascuno strato. Intenderemo poi che 
la METTER della massa de’ solidi 47, N all’ oggetto di assegnarne la 
densità 0, venga fatta dopo levate le mol alt Sasa: ; però nel donata de’ 
solidi dir alti intenderemo sempre che sia computato tutto lo spazio com- 
preso fra le basi di essi e gli altri piani co’ quali si è supposto segato il 
corpo primitivo. 

Immaginiamo dopo ciò che le diverse molecole appartenenti ad MM si con- 
centrino ne’ punti della loro attrazione media verso N, considerando l’ effetto 
dell’attrazione parallelamente agli spigoli longitudinali, e chiamiamo 


M' Vaggregato de’ punti mater lali risultanti ; 


e similmente immaginiamo che le molecole di /V si concentrino ne’ rispettivi 
punti della loro attrazione media verso 7°, e chiamiamo 


N' Vaggregato di questi nuovi punti materiali. 


Immaginiamo quindi che la materia concentrata in tutti questi punti, tanto 
di M' dhe di N, si torni a diffondere in tante uguali sfere, le quali mante- 
nendo i centri in questi punti medesimi si ingrossino al segno che alcune toc- 
chino le superficie delle loro cellette ;- e chiamiamo 


M", N" i nuovi aggregati. 


Ma qui, prima di passare ad ulteriori trasformazioni, fermiamoci alquanto a 
considerare questi ultimi aggregati /”, N”. Noi osserveremo primieramente 
che i raggi delle suddette minime sfere non possono essere minori delle distan- 
ze fra le superficie delle cellette e le superficie delle molecole contenute; peroc- 
chè i centri di esse sfere debbono trovarsi dentro allo spazio compreso dalla su- 
perficie delle molecole o al più in questa superficie. Saranno adunque questi raggi 


della distanza fra il centro 


î RETRANICE 
nell’addotto esempio numerico , non minori di ber 


FISICA MATEMATICA 251 


di una molecola e la superficie della rispettiva celletta. Chiamando perciò 
R quest’ ultima distanza, ed 
r il raggio di ciascuna delle sfere componenti gli aggregati M”, N", avremo 


[a] r= — R(1+4), 


2000 


essendo 4 una quantità non minore di zero. E perciò il volume di ciascuna di 
queste sferette sarà 
KMBULLAT 
9 0e ) (2000) ‘ 
il volume in vece di ciascuna celletta tetraedra sarà misurato da 8/3 - &5; 
perciocchè chiamata Z la lunghezza di uno qualsivoglia de’suoi spigoli, sarà 


valva l'altezza di una delle sue facce triangolari, £ V/ 3 la distanza di uno 


d 
degli angoli solidi dalla faccia opposta, e E Due V/ > il volume della celletta , 


il qual volume col porre £ - V a =4R si riduce a 8V/3-R}, come si è 


detto. Sta pertanto il volume di ciascuna piccola sfera al volume di ciascuna 
celletta, come s 
ISPA 
4 sil e ) : 8/3 


3° (2000) 
,.6V3 + (2000) 
; T(1+4) - 
Dal che segue che la somma dei volumi di tutte le sferette contenute ne’ solidi 


M", N" presi insieme è uguale al volume della total somma delle corrispon- 
denti cellette tetraedre moltiplicato per 


T(1+4) 
6V/3-(2000) ‘ 


ossia come 


E siccome queste cellette non occupano fra tutte che un terzo scarso del volume 
complessivo de’ corpi primitivi 1, N, lasciando, come si è detto, molti interstizii 
vacui che fra tutti formano uno spazio più che doppio di quello delle cellette ; 
così la somma de’ volumi delle anzidette sferette è uguale al volume de’ due 
corpi M, N presi insieme, moltiplicato per 


T(1+À) 
3(1+-p)-6V/3-(2000) ’ 


essendo p una quantità reale e positiva, ma di un valore estremamente piccolo 
in confronto dell’ unità , ossia per 
[6] CIAMVIE AV] ne i 
18V/3-(2000)(1+p) 


252 PARTE PRIMA 
Ciò posto , essendo il volume complessivo de’ due solidi M, N misurato da 
2h'h?, la suddetta somma de’ volumi delle sferette sarà data da 


[0] 2% h'h8(1+4) 
18V/3-(2000)(1+p) 
Chiamando adunque 
A la densità di cotali sferette, e rammentando che d è la densità de’ soli- 
di JM, N, avremo 
Add hf _iasehi (344) , 
18V/3-(2000)(1+p) 


da cui 
18/3 - (2000) (1+-p) 
[d| Ad. — 
1 T(1-+-4) 

Se colla materia di queste sferette, conservando la stessa densità, si volesse 
formare un cilindro retto dell’altezza de’ due solitli primitivi 4, [N insieme uniti, 
cioè dell'altezza 2 4', sarebbero le, basi di questo cilindro misurate dalla quanti- 

tà [c] divisa per 2 //, ossia da 


Thx1-+4) 
18V/3-(2000f(1+ p) ’ 


e il diametro di queste basi, il quale chiameremo 


D, 


sarebbe dato dall’ equazione 


D x h'(1-+- 7) 
"( 7)= 18V/3-(2000) (1-+p) ” 


G 
WEI] 


da cni 


3 
2h(1+- 4) 
POE ot pegate 
V13-V3-(2000) V1+ p 


Immaginiamo dopo ciò, nel modo che abbiam fatto nel numero antece- 
dente, che le sfere componenti i solidi 4", N” si ravvicinino nel verso tras- 
un sino a toccarsi, e che quindi le sezioni trasversali de’ solidi che risul- 
tano, senza variare di area, cangino di forma per tal modo da ridursi a tanti 
cerchii intorno ad un O, asse. E chiamiamo 


|e] Di 


IMPE, N'"" 


i due solidi provenienti da questa trasformazione. La maggiore delle sezioni 
trasversali dell’ aggregato di questi due nuovi solidi sarà evidentemente non 
maggiore di /°, ed evidentemente altresì sarà non minore di un cerchio che 
abbia D per diametro. Chiamato perciò 

H il diametro di questa maggior sezione, si avrà 


FISICA MATEMATICA 253 
x(5) hh 
2 — (1+8)° 


essendo È una quantità non minore di zero, e però 


Va O ansi 
e inoltre sarà 
3 
2h(1+4) (1+ 0) 
> 
(2000) V18-V3.Vt+p 
essendo o una nuova quantità non minore di zero. 

Un'altra espressione del valore di /7 la quale ci riuscirà utile fra poco la 
troveremo colle considerazioni seguenti. 

Supponiamo che ne’ due solidi M”, N” sussistano ancora quelle medesime 
cellette che avevamo immaginate ne’ solidi primitivi VM, N; supponiamo com- 
putati nel volume di essi M?’, N” gli stessi spazii voti frammezzo e intorno alle 
cellette, come in M, N; e riteniamo ne’ medesimi 7”, N” la stessa distinzione 
in istrati trasversali dell’ altezza di una sola celletta come negli M, N, dai quali 
non differiscano essi MW", N” in altro che nella forma’, nella grandezza e nella 


posizione delle molecole contenute nelle diverse cellette. In questo supposto , 
siccome l'altezza di ciascuna celletta è 


4R, 
essendo R, come si è stabilito, la distanza fra il centro di essa celletta e una 
delle sue facce, così il volume di uno solo de’ suddetti strati sarà 


4Rhh, 


[g] H=(1+0)D= 


e il numero delle cellette che occorrerebbero per formare un volume uguale 
a quello di esso strato sarebbe 


4Rhh 
8/3 - R3 
(stantechè 8V/3 4 è il volume di una sola celletta), ccsia sarebbe 
hh 


Però siccome un tale strato non sì trova effettivamente occupato tutto intero 
da siffatte cellette, ma solamente per una terza parte del suo volume, anzi 
per qualche piccola cosa meno, così il numero delle cellette che in esso si 
contengono sarà 
h h 
6V3-R°(1-+e)’ 

essendo e una quantità reale e positiva ma piccolissima, a somiglianza della p, 

Opusc. Matem. e Fisici. 


I 


2 


254 PARTE PRIMA 

della quale p per alcuni strati essa e potrà essere maggiore e per altri minore. 
Tagliando ora uno di questi strati mediante un piano parallelo a quei piani che 
dividono l’uno strato dall’altro, non potrà in generale questo piano segare con- 
temporaneamente pel mezzo tutte le sferette appartenenti allo strato medesimo, 
ma non potrà segare a questo modo che alcune di esse; altre le segherà fuori 
del centro, ed altre fors’ anche non le segherà punto. Essendo perciò il cer- 
chio massimo di ciascuna sferetta misurato da 


rt Rî(1+2) 
(2000) 


(vedi l'equazione [«] del presente numero XVII), sarà la somma delle sezioni 
fatte dal suddetto piano in tali sferette non mai maggiore ma in generale 
minore di 
hh x R°(14+ 4) 
6V3:-R*(1-+-e) . (2000) 
ossia di 
thh(1+4) 
6V/3* (2000) (14 e)” 


La massima sezione perciò che si potrà avere ne’ due solidi MM°”, N" segati 
trasversalmente, potrà essere espressa da 


thh(1+4) 
61/3 -(2000) -(1+7)(1+ e)? 


essendo T una nuova quantità non minore di zero; ossia da 


th'(14+ 4) 
613:(2000)°(1+%)’ 


essendo 7 una quantità reale e positiva, come si desume dall’essere reale e posi- 
tiva la e della precedente espressione, qualunque sia lo strato a cui essa e appar- 
tiene. Avremo perciò 
1a eg T hi(1+4) 
È Hi — 6V/3:(2000)(1-+ 7) ’ 
da cui 
i tia hV2:(1+4) 
[K] He -__-—_—____- . 
2000 -V3-WV3-Vi+% 


Immaginiamo per ultimo, pure a somiglianza del numero precedente, che ai 
due solidi 4", N" vengano circoscritti due uguali prismi alti come i due M, N, 
e a basi quadrate, aggiungendo tutto all’intorno in una conveniente quantità 
dell’altra materia ugualmente densa come le precedenti sferette, e chiamiamo 


DPFIANA 
questi nuovi prismi. Sarà 


FISICA MATEMATICA 255 
H la lunghezza dei lati delle basi di essi prismi, 
h' Valtezza di ciascuno de’ prismi medesimi, 


3. 18/3 [2000] 


3|20€ (1+p) Melo an 
PI EE) la loro densità, come si ha dall’ equazione [d]. 


La loro attrazione vicendevole poi sarà una quantità maggiore di /7, stantechè 
nelle diverse trasformazioni immaginatesi successivamente, l attrazione primi- 
tiva che avevamo indicata con /7 ha dovuto or crescere ed or rimanere co- 


stante, ma non mai scemare. Potrà perciò una siffatta attrazione fra i due ul- 
timi prismi essere espressa da 


, (+pY, 
essendo y una quantità positiva. 
Richiamando pertanto l'equazione [37], e sostituendo 
a % la quantità (1+7)/7, 


3. 18V/3(2000)(1+p) 
T(1+4) i 


hV2-:(14+4) 


a h la quantità ——T—_-_——__, come si trae dall’ equazione [K], 
(2000) -34-V/14-7 


a A la quantità 


a v, ossiaa ca da porre in Log.y, la quantità 
DIETRO LO. DI 
h'-(2000) V18-V3-Vi+p 
SE VERO là AU TATTO, 
2h(1+2) (1-+-0) 
come si trae dall’ equazione [g], e 


a w similmente, ma da porre nell’ mia 


Va (I pi ne 


la quantità 


Va <h'.(1+È) 


2h 


come è dato dall’ equazione | f], avremo 


At d°-18-18-3»(2000)"- h5.4-(1+4)f-(14+p) 
(147) CALDA 3845 - a (+Af(2000)-9:3-(1+nfd 


|w ’'(2000). V:VIB4 V3-V1+p +0,349645.+- oa { 69 33 ll 
2h(1+4)? (Id). pa... MER f 


Tai ed 


da cui 


256 PARTE PRIMA 


27,4 
oa 0,000086 3845 -4+36-[2000]|°-d°%'1+p) TL fe | 2000+L, 18 


I° d' (144) (HR): (1+7) 


de Th'h' ave) 1+4 1+6 


Veniamo a un esempio numerico , e facciamo 
d=2,5, cioè SEppontanio che i rate pr ismi 4, N abbiano la densità del vetro, 
h=0,001, cioè supponiamo questi prismi grossi un millimetro , 

: h'=0,1, cioè poniamo i medesimi prismi alti ciascuno un aeninino 5 
d'—=5,01; 


+IL34 11 (149) Li{(1+2)1+0)}+0,349645+ 47.100 _L Ì 


avremo 
-__0,000086 3845 +4+36-(2000)?-2,5 + 2,5-(1+) 


— (1000)i(3,141593)"+5,01-(1+4)) nf (147) L.50+îL. 2000+-L. (845.3 


4 
+ L.(1+p) +0,349645 + Miti so ta -d, 


10000-:3 14 


essendo 9 una quantità positiva, ed 4 una quantità pure positiva, e minore 
della somma delle quantità positive contenute sotto le grandi parentesi, come 
si riconosce dal considerare che DI, e che 


Yi e 
n: E : <0,349645 . 


T 10000 (1-4 6)(1-+ È) 


Da questa equazione, fatte le occorrenti riduzioni numeriche, si ha 


Jr_-9:900086 3845 -36-(1-+p) 


“10000 + 5,01 -(3,141593) }1,698970 -+4,991545+ 0,627636+ 0,1192830 


+ 0,3496459 +0,009200 + — 7L. (1+ i 


1+0 ? 
essendo @ una quantità reale e positiva, ossia 


0,000086 3845 - 36 - (1-4+- p)° | 7,756276 + 1L(1+p) | 
Mr 10000 * 5,01 + (3,141593)* (1-+-@) r 


fia 3L.(1+p) 
0,000086 3845 + 36 + 7,7560276 -(1+-p)°\1+ 7,7596276 


ul 10000 - 5,01 (3, 141593)" (1+ @) 
dove, come si è detto, la p è una quantità piccolissima in confronto dell’ unità. 
E però sarà 


) 1. 
Y=0,000000 048781 - — , 
men 


FISICA MATEMATICA 297 
essendo similmente £ una quantità piccolissima in confronto dell’ unità. 
Potremo adunque porre con tutta sicurezza 


0,000000 050 
I+® i 


Rsa 


Il qual valore di Z7 è minore di un trentamilionesimo della tenacità di un 
prisma di vetro della sezione di un millimetro quadrato, essendo questa tena- 
cità non minore di chilogrammi 1,68. 

Anche in questo caso ii la gravitazione è affatto ineflicace per pro- 
durre la coesione dei corpi. Con questa dimostrazione poi e colla precedente 
si comprendono tutti quei corpi cristallizzati di natura chimica semplice i quali 
hanno per forme delle loro molecole integranti de’ solidi regolari della geome- 
tria; il che secondo Haiiy è il caso del diamante, e della maggior parte de’ me- 
talli, per es. dell'oro, dell’argento, del rame, del ferro, del bismuto, ecc., le cui 
forme cristalline possono farsi derivare, secondo il medesimo Haiiy, da forme 
primitive cubiche, ovvero ottaedre regolari (1 1), cle cui molecole elementari 
possono riguardarsi, nell'ipotesi che esaminiamo, siecome de’telai di figura o 
cubica o tetraedra csi gi 

Vale la conclusione anche pel caso che nelle molecole elementari dei corpi 
si volesse supporre la materia disposta in una maniera diversa da quella a 
telajo, per es. a lamine in qualche modo congegnate o altrimenti. In generale 
in tutti que’ corpi cristallizzati di natura chimica semplice i quali, secondo il 
sistema di Haiiy, hanno per forma primitiva una di queste quattro, cioè il 
tetraedro regolare, il cubo, l’ottaedro regolare, e il dodecaedro romboidale, nei 
quali corpi la alate pal calorico è “autre me secondo tutte e tre le i peri 
sioni, non si può spiegare il restringimento prodotto dalla perdita del calorico, 
se non supponendo che le aiblasnie elementari, qualunque sia in esse la dispo- 
sizione della materia, si trovino lontane dal vicendevole contatto: e in questo 
caso possiamo sostituire a siffatte molecole altrettante minime sferette, e ripe- 
tere gli stessi ragionamenti fatti poco sopra per le molecole a telajo cubico e 
tetraedro regolare, e ricavare le medesime conseguenze. 

Ella è poi cosa bn chiara che quando sia duopo ricorrere a un’ altra causa 
diversa dalla gravitazione, per ispiegar la coesione in alcuni particolari corpi 
naturali, a quella causa medesima si dovrà pure attribuire la coesione di tutti 


gli altri corpi. 


XVIII. 


Si potrebbe da alcuno tentar di conciliare questo tessuto reticolare tanto coi 
fenomeni della cristallizzazione quanto co’ cangiamenti di volume cagionati dal 
calore col ricorrere a qualche altra ipotesi sussidiaria, per es. coll’ammettere che 
ne'telai dell’ipotesi precedente vi siano degli spigoli curvilinei e flessibili, e col 


(1) Haiiy, Minéralogie, Pavis 1822, Tom. III, p. 255, 269; 425, 531; Tom, IV, p. 202, 419. 


258 PARTE PRIMA 


supporre che il calore mediante il soccorso di questa flessibilità cangi le dimen- 
sioni di questi telai. Jo però non mi accingerò a dimostrare l’inutilità anche di 
siffatta ipotesi sussidiaria, prima che qualcuno l’abbia adottata, e prima che 
questi non abbia determinato e circoscritto chiaramente come ei l’assuma. 
Dirò bene che il ricorrere a un tale sussidio sarebbe un voler introdurre una 
nuova complicazione nelle nostre nozioni sulla struttura dei corpi, e un voler 
rinunciare al modo suflicientemente semplice e chiaro secondo il quale si con- 
cepiscono presentemente operarsi gli effetti del calorico (1), per sostituirne un 
altro assai men naturale e più oscuro. E nel caso particolare della flessibilità 
degli spigoli de’ telai, rimarrebbe ancora a spiegarsi in qual modo possa il ca- 
lorico produrre le flessioni e le distensioni di questi spigoli, e in seguito rimar- 
rebbe ad applicare queste nozioni sulla struttura dei corpi alla fusione, alla 
vaporizzazione, e agli altri fenomeni originati dal calorico tante nel suo accu- 
mularsi nei corpi quanto nel suo partirsi da essi, e così pure resterebbe a far 
l’applicazione di queste nozioni ai varii fenomeni della chimica; ai quali feno- 
meni tutti non è ben sicuro che questa particolare nuova ipotesi si possa 
prestare. 

Torna qui a proposito una giudiziosa riflessione di Laplace. « Si può aumen- 
« tare, dice egli, la probabilità di una teoria o col diminuire il numero delle 
« ipotesi su cui ella si appoggia, o coll’accrescere il numero de’ fenomeni che 
« da essa vengono spiegati (2) ». Ora quale probabilità potrà avere una dot- 
trina, la quale per poter sopprimere una sola ipotesi nella spiegazione de’ fe- 
nomeni naturali, l'ipotesi cioè di una nuova forza attrattiva, dee introdurre, 
onde potersi reggere, quasi altrettante supposizioni quanti sono i fenomeni da 
spiegare, vale a dire, 1.° la strana supposizione di una densità inconcepibile 
nella materia e di un tessuto rarissimo ne? corpi, allo scopo di dare una ba- 
stevole energia all’attrazione universale; 2.° quella delle molecole formate a 
telajo per salvare i fenomeni della cristallizzazione; 3.° quella della flessibilità 
degli spigoli di questi telai o qualche altra equivalente, per non mettersi in 
opposizione coi fenomeni del calorico; e forse molt’ alire nuove supposizioni 
ancora, per potersi adattare agli altri diversi fenomeni? 


XIX. 


In tutte le ipotesi esaminate finora noi abbiamo ammesso che la forza at- 
trattiva in cui consiste la gravitazione, risegga equabilmente in tutta la materia 
delle molecole dei corpi, talchè uguali parti di materia dovunque prese nella 
massa di una molecola sempre esercitino a parità di distanza una uguale attra- 
zione verso un dato corpo, e sempre ne vengano ugualmente attratte; e sola- 
mente ci siamo permessi di variare nelle diverse ipotesi la disposizione della 


(1) Può vedersi fra gli altri libri il Vol. I del mio Corso di Fisica alla pag. 99. 
(2) Exposition du Système du Monde, édit. de l'an IV, Tom. II, pag. 188. 


FISICA MATEMATICA 259 
materia suddetta, ora supponendo le molecole fatte a telajo, ora interamente 
piene, ecc. Potrebbesi sperare da taluno qualche maggior vantaggio per gli 
effetti della gravitazione col supporre che non tutta la materia componente le 
suddette molecole goda ugualmente della facoltà di attrarre e di essere at- 
tratta, ma che questa proprietà non risegga se non in alcuni punti particolari 
della loro massa, o almeno che in alcune parti di questa massa ella sia molto 
più energica che in altre (1). 

Sembra in fatti a prima vista che questa ipotesi dia un grande vantaggio alla 
gravitazione. Perocchè ammettendola noi possiamo immaginare che allorquando 
parecchie molecole si trovano al contatto apparente l’una dell’altra, ovvero alla 
più piccola distanza alla quale esse possano trovarsi, egli avvenga che i punti più 
attraenti di una molecola si trovino vicinissimi ai punti similmente più attra- 
enti di un’altra; e in cotal modo l’effetto dell’attrazione può essere assai più 
grande che quando l’ azione di questa forza sia distribuita uniformemente per 
tutta la massa di ciascuna di queste molecole. Ma a considerarla davvicino si 
trova che questa ipotesi, malgrado la sua vantaggiosa apparenza, non è punto 
più felice delle altre già da noi esaminate. 

Lasciata in fatti da banda ogni altra obbiezione, egli è facile a vedersi che 
questa ipotesi va soggetta a quelle medesime difficoltà le quali si oppongono alla 
supposizione delle molecole a telajo. Imperocchè per riguardo agli effetti este- 
riori ella è affatto la medesima cosa l'aver luogo una maggiore densità in al- 
cuni luoghi delle molecole o l’esservi in questi luoghi una più energica attra- 
zione. Noi possiamo adunque invece di queste molecole nelle quali 1’ attra- 
zione risiede o esclusivamente o più possentemente in certi luoghi particolari 
delle loro masse, sostituire altre molecole ove la materia sia tutta ugualmente 
attrattiva ma inegualmente densa, e dove la distribuzione di questa materia sia 
tale che l’efficacia dell’attrazione in luoghi omologhi sia ugnalmente grande in 
queste ultime molecole come nelle prime: nè vi sarà alcuna differenza fra la 
forza che tiene legato insieme un aggregato di queste ultime molecole, e la 
forza che tiene unito un aggregato di quelle. 

Ora quest’ultima disposizione, nel caso che la materia di ciascuna delle mo- 
lecole sostituite non abbia veruna interruzione con se medesima, è precisa- 
mente quella stessa delle molecole a telajo, nelle quali noi abbiamo veduto, che 
in conseguenza della distanza che è sempre d’ uopo supporre fra [queste mole- 
cole per ispiegare la contrazione cagionata dal raffreddamento, 1’ attrazione 
universale non può essere abbastanza energica da poterle attribuire la coesione 


(1) Una siffatta opinione della ineguale attività dell’attrazione ne’ diversi punti delle mole- 
cole materiali, è stata effettivamente adottata da alcuni Fisici, specialmente in vista de” feno- 
meni della cristallizzazione; nè io intendo di oppormi, se alcuno vorrà applicare quest'idea ad 
una nuova altrazione distinta dalla gravitazione, o se, anche applicandola alla gravitazione, 
cercherà con essa di dar ragione di tutt'altro fenomeno che di quello della coesione o dell’ade- 
sione. Vedi Gehler's Physikalisches IVGrterbuch neu bearbeitet, Tom. I, pag. 540. 


260 PARTE PRIMA 


de’ corpi. E nel caso che vi fosse qualche interruzione fra le parti di ciascuna 
molecola dopo fatta questa sostituzione, benchè non coincida allora la forma 
delle molecole sostituite con quella delle molecole a telajo, si possono nulladi- 
meno sottoporre le dette molecole surrogate alla dimostrazione medesima; vale 
a dire, nel supposto che i corpi presi a considerare sieno regolarmente cristal- 
lizzati e di natura chimica semplice, e che la esterna forma delle loro molecole 
integranti sia o cubica o tetraedra regolare, si può, dopo fatta la supposta sosti- 
tuzione, immaginare che le molecole sostituite sieno contenute in mezzo a 
cellette regolari, di poi supporre che esse vengano prima a concentrarsi nei 
rispettivi punti di attrazione media, e poscia ad allargarsi nuovamente in 
tante uguali sfere aventi questi punti per loro centri e le quali sieno grandi a 
segno da toccare alcune di esse le pareti delle loro rispettive cellette; e su 
queste sfere poi si possono proseguire appuntino le dimostrazioni esposte nei 
numeri XVI e XVII. 

Io stimo d’avere col fin qui detto dimostrata aftatto inefficace l’attrazione 
universale a produrre la coesione, ogni volta che si tenga conto della sola forza 
colla quale due parti di un corpo si attraggono l'una l’altra direttamente o per 
propria loro vicendevole azione. Rimarrebbe a considerare l’ opinione di chi 
volesse ammettere che l'attrazione universale tenga unite le parti di un corpo 
indirettamente, facendole spingere l’ una verso l’altra da qualche agente ora 
sconosciuto, cui essa universale attrazione solleciti. Siccome però ciò sarebbe 
una nuova causa che si verrebbe ad aggiungere, alla diretta vicendevole attra- 
zione delle parti di un medesimo corpo, la qual causa per ciò che diremo 
nel numero seguente, dovrebbe manifestare fra le masse apparentemente 
attraentisi una legge diversa da quella delia gravitazione, così noi avremo 
occasione di parlarne nell’ultimo articolo. 


xx 


Concesso che la gravitazione (l’effetto per lo meno di essa operante diretta- 
mente fra i corpi, del quale soltanto finora si è parlato) sia affatto inefficace per 
produrre gli effetti attrattivi che si manifestano al contatto dei corpi, e che 
questi esigano indispensabilmente una nuova distinta forza, non potrebbe que- 
sta operare almeno colla medesima legge di essa gravitazione, cioè anch’ essa 
nella ragione inversa de’ quadrati delle distanze, in guisa che quei grandi effetti 
che la gravitazione produce fra le masse celesti, questa nuova forza li riproduces- 
se in piccolo, ma ancor somiglianti, fra le minime particelle dei corpi terrestri? 
A chi così credesse si potrebbe facilmente rispondere che se così stesse la cosa, 
essendo nelle piccolissime distanze la nuova forza, ossia l'attrazione molecolare, 
molto più energica della gravitazione (siccome quella che sarebbe capace di 
effetti ai quali la gravitazione è insufficientissima), e scemando ambedue col- 
l’acgrescersi delle distanze nella medesima ragione, la prima si manterrebbe 


FISICA MATEMATICA 261 


più grande della seconda a tutte le distanze, talchè ne’ movimenti celesti 
avrebbe grandissima parte anche l'attrazione molecolare. O anche si potrebbe 
considerare, che sommate le due attrazioni insieme, si ridurrebbero esse ad 
una forza unica dotata di un’ unica legge cioè di quella della ragione reciproca 
de’ quadrati delle distanze, della qual conclusione noi abbiamo già dimostrata 


l’ insussistenza. 


(si darà il fine) 


Opusc. Matem. e Fisici. 


RISOLUZIONE 
DELLE EQUAZIONI INDETERMINATE 
DI PRIMO GRADO (°) 


MEMORIA 
DI GIOVANNI DE PAOLI 


1. Benchè la teorica dell’analisi indeterminata siasi al dì d’oggi assai avvan- 
zata al suo perfezionamento per opera dei valenti geometri Gauss, Libri, 
Cauchy, pure ci resta ancora molto da desiderare riguardo alla semplicità dei 
metodi. E a dir il vero, la conoscenza dei metodi dei sullodati Geometri, basati 
su dottrine le più sublimi d'analisi, esige uno studio particolare approfondito, 
e non isceuro da grandi difficoltà. Non sembrami pertanto inutile il dare me- 
todi più semplici e diretti, onde arrivare allo stesso fine per una via più facile, 
e più piana. Lusingomi che questa mia memoria abbia conseguito l'intento 
prefissomi, riguardo alle equazioni indeterminate di primo grado (**). La base, 
su cui è fondata la risoluzione di queste equazioni, e di molte altre, si è un 
teorema, di cui do la dimostrazione nel principio di questo scritto. Applicando 
questo teorema alle equazioni di primo grado a due, a tre, ed a n incognite, io 
giungo ad ottenere semplicissime ed eleganti formole generali, esprimenti il 
valore di ciascuna indeterminata dell’equazione proposta. È rimarcabile il le- 
game, che esiste tra questa e quelle. Per ultimo confrontando le mie formole 
con quelle del precitato analista italiano Libri ottengo curiosi ed eleganti 
teoremi. Ho creduto bene di dare la dimostrazione anche di ciò che è di già 
noto in analisi, per non obbligare i lettori ignari ad attingerla in altri libri. 
Debbo altresì avvertire a scanso di equivoci, che tutte le lettere adoperate in 
questo opuscolo denotano numeri interi e positivi, a meno che non si dica 
espressamente il contrario. 


(*) Questa memoria era già scritta sino dall'anno 1850 senza conoscere il metodo del 
ch. geometra Binet venutomi sott’ occhio recentemente nel Giornale della scuola politecnica 
stampato nell’anno 1831 (Journal de l’ Ecole polytecnique, Cahiex vingtième). Il mio me- 
todo però differisce dal suo in ciò che egli si serve del teorema di /erzzaz per la risoluzione 
delle equazioni indeterminate di primo grado, ed io di un teorema più generale che mi con- 
duce a formole più compendiose. 

(**) A questa terranno dietro consecutivamente altre trattanti della risoluzione delle equa- 
zioni indeterminate di secondo, e di più alto grado. 


TEORICA DEI NUMERI 263 
2. Sia pun numero primo: osservo l’equazione identica 


P(P_3) pa PP_3) po) 23 


ID» 


PA 


(a+1) a+ pal + +---+px+1 
e ne inferisco, che la somma di tutti i termini del secondo membro, toltone il 
primo e l’ultimo, deve essere un numero intiero multiplo di pj deve cioè essere 


(a) (r+1)=aP+1+pS,, 
essendo .$, un numero intero, Infatti i coefficienti del binomio Newtoniano 


pP_1) pp_1Xp_2) 
P; T'staia Ped i sli ni 

sono sempre numeri interi, e sì capisce, che tali di necessità debbono essere, 
considerata l’altra maniera, colla quale possono formarsi le potenze sviluppate 
del binomio, cioè quella della successiva moltiplicazione; ma essendo p numero 
primo, questo fattore in tutte le antecedenti formole generali dei coefficienti 
non può avere alcuna influenza a far sì, che essi riescano numeri interi, giac- 


chè non entra nei denominatori 
1*2, 1I*2-3, ecc.---1-2:3---p- 


Adunque gli stessi coefficienti, poichè hanno il faitore ‘P, sono prodotti di nu- 


meri intei per p. Adunque anche l’enunciata soma Ci termini 
DeL P (© E AE 1) pe 
panta D__ «PP 4 + pax 
P n i 


è il prodotto di un intero per p. 
3. La precedente equazione (2) 2uò scriversi senza alterazione 


a 1) ni e. i n mn 
(+1) (+1) [ps 


Cambierdo in questa successivamente 7 in e—1,@—2,£—3,---98, Lysi 
otterranno le equazioni seguenti 
ARIA Dalor \p A META 10 
caccia 1)f_(@—1)]=pSo; 
f \P . ì “\P rage Na e CA 
(2-1) (telo aa; 


(e 2) —(e—2)—[(x—3)—(®—3))}=pSsa 


264 PARTE PRIMA 


Facendo attenzione al modo, con cui sono fatti i primi membri di tali equa- 
zioni, si vede, che la loro somma dà un risultato assai semplice, cioè 


(5) xc—a=pàsSz; 
essendosi posto per abbreviazione 


Seite +-+, 


dove è manifesto, che anche X $, è numero intero. Ognuno comprende, che si 
poteva giungere immediatamente allo stesso risultato, servendosi del calcolo 
delle differenze finite. 
4. Pongasi nella (6) x” in luogo di x, ed avremo l’equazione 
amp—an=pZS,ym, 


la quale divisa per x”, ci dà 


x ov m 
m(p-1) rr P x 
(c) von) L= am bl 
: Sim, i 3 
Bisogna adunque, che Lele) sia un intero, giacchè x"(-1) — 1 lo è. Pos- 
9 Gall 
sono qui darsi due casi: che x sia, o non sia multiplo di p. Suppongo il secon- 
P x Sm 


do; è evidente, che non può essere numero intero, se da se solo non 


gen 


è numero intero il fattore e E 


Si chiami .X,, per abbreviazione un tale fattore, e si faccia 


@ tin 
la (c) prenderà la forma 
() - puor=p% 


5. Ponendo successivamente nella (e) 212, 372, - - - (p—1)7 in luogo di m2, 
formeremo le equazioni 
(ii —ITP Xam 3 


gin —1=p AS 


af De È ui Vai 
7 (p-1)m __ 1 =p Aia » 
Si sommino ora tali equazioni fra loro, e colla (e), risulterà 
2 È | 


(f) 1+-y” +y may 3 Late +y lp )m —p seveso (i CURA an PIRATA +X(p-1)m) . 


TEORICA DEI NUMERI 265 
Denominando per abbreviare Y,, la somma 


pe p. cis pa» Cia SÒ Xam mao eplia E rar Agia ’ 


ed osservando, che 


am m I Nd tt ara 
I seta dr CL 4-9 ve Lato Er, ome = > 
dalla (f) si trarrà 
(8) g"r_1=p(y"—1)Ymn; 


e da questa, cambiando successivamente mn in mp, mp*; mp’ - - - mp">, 
e y"—1 in pXn, ricaveremo 


yu—i=p(y" — 1)Yn pe 41 ITA IC 
y"P — 1=p(y" — 1) Y mp = DE I 


È app — 1) Lat =pAx Va ag Pap 


= —- - —- “- — © - S 2 2 £ ce c_|° 2 -| x - - = - cc ‘0 o è o  - 


TA —iI=p (ye 1) a Pg tm dp = 0° mp? 
le quali equazioni ci dicono, che essendo y"—1 divisibile per p, è y"? — 1 
divisibile per p°, y"?°— 1 divisibile per p°, y"°—1 divisibile per p', ed in ge» 
nerale y"?"' —1 divisibile per p". 


Sostituiscasi ad y il suo valore tratto dalla (d), e conchiuderassi questo bel 
teorema: Essendo p numero primo, x non divisibile per p; m, n numeri interi 


A ner NOS 
e positivi, è sempre x"" _.1 divisibile per p°. 
6. Nel caso particolare di p==2, il precedente teorema dà am”! 1 divisi- 


. . . . neI 
bile per 2”, quando x sia numero dispari; se però è 2.5.1, sarà a"? —i 
divisibile anche per 2"#. In fatti partiamo dalla formola x°— 1. Essendo x nu- 
mero dispari, cioè della forma 2r—1, sarà x°—1=4r(r-1), e poichè r(r—1) 
è sempre numero pari, sarà i 

x-1=2°%, 


essendo q numero intero. Ma se x è numero dispari, è evidente, che anche x” 
è un numero dispari. Adunque sarà anche 


(h) am_=2°0; 


O numero intero, cioè a dire x?*—1 è divisibile non solo per 2°, come dareb- 
be il teorema precedente, ma anche per 2°. Abbiamo poi 
) P 


acim li set 1)(e Lio 1) i 


266 PARTE PRIMA 
e quindi 
(è) aim_i=2(x" —1) Rn 
giacchè x°"-+- 1 è sempre numero pari. Mettendo ora in questa successiva- 
mente 272, 2°m, 2° m, - - - 2"-3m in luogo di m, avremo dalle (4), (i) 


s _ Q 
x m_ia(etm —1)Rn = 24 Rm; 
RE) 2m - = 
aaa pa (ce n 1) tam = Q Rm Ram 9 


f Sa 
STI Ma m —1)R: ac | ORIERO 22m 9 


n=2 ipa i 
AS ire) ERI (24 va) 1) P,n3 me= TI (0. Am fan rile in lat ia 


. . . . x nei . . . . 
il quale ultimo risultato ci dà la formola x®* —1 divisibile per 2"*, ma solo 
nel caso di 2r—15>>0, ossia di 2 >I già enunziato, giacchè nella dimostrazione 


. ele ‘ I 
siamo partiti dalla formola x"? — 1. 
7. Dal teorema del num. 5 segue che la formola 


gd! (c— —r)64=1 (6—i)y Ilona! (f—1)-- ig I 


è divisibile per @' 6" 77 - - -, supponendo «, 6, y, - - - numeri primi fra loro 
disuguali, ed x un numero non divisibile per nessuno di essi. Infatti nell’espo- 
nente di x chiamisi per un momento m il fattore 6*(6—1)y"- (721) ---, 

e la formola sarà ricondotta alla forma x@7(4-1) —1, che la convince divi- 
sibile per a' (num. 5). Chiamisi invece n il fattore a Cata (= detap=, 

e la formola MERA così alla forma am(5-1) —1 si vede per la stessa ra- 
gione divisibile per 6". In un modo affatto simile si prova la stessa formola 
divisibile per y”, e così di seguito. Quindi essendo essa divisibile simultanea- 
mente per aÉ, 6", y",--- sarà divisibile anche pel prodotto @'6%y"---. 
Facciamo per maggior semplicità 


VO N=d0@p---; 
(k) K= el (a—1)6r(b=r)yr:(y— 1); 
la formola x*—1, dove x è un numero non divisibile per a, 6,7, -- -, sarà 


divisibile per /V. Ora è visibile, che qualunque numero intero proposto /Y può 
ridursi alla forma del secondo membro della (j). Questa riduzione fissa i valori 
dei numeri &, 6, Y,- - - i, h,r,---,e riesce quindi determinato per la (4) il 
valore di A che chiameremo d’ora in avanti l'esponente, che corrisponde al 
numero duto N. Avremo adunque il teorema, uno dei fondamentali dell’analisi 
indeterminata: essendo dato un numero qualunque N, x un numero non divisi- 


TEORICA DEI NUMERI 267 
bile per i varii numeri primi, che lo compongono, 0 ciò, che è lo stesso, x primo 
con N, K_ l'esponente, che corrisponde allo stesso numero, è sempre x*—1 
divisibile per N. 


8. Osserviamo relativamente a questo esponente £, che nel caso, in cui uno 


dei numeri primi &, 6, y, - - - di /N sia il 2; sia per esempio 
0 N=267"---, e ida, 

può prendersi più semplicemente 
(m) K= 2:62 (6—-1)y"'(f_1)---. 


La formola generale (k) darebbe 
KZAPO(1)y (1 


ma si rifletta, che in tal caso, fatto m = 0*1(6 —1)y"(yY — 1) - - - la formo- 


la 22! 1 non è solamente divisibile per 2°, ma (num. 6) anche per 2°, il 
che è troppo, bastando, che sia divisibile per si. Possiamo adunque dite 


di uno la è nell’esponente della detta formola, di modo che aoma “— 1, ossia 
ax*— 1, dove & ha il valore (2), è pure divisibile per /V, come abbiamo enunziato. 

o. L’ esponente & (equazioni (k), (m)) non è il solo, che goda dell’indicata 
proprietà, ma vi possono essere altri numeri minori, che producono lo stesso 
effetto. Per vederlo si rifletta, che, disposti i numeri «, 6, y, ecc. in ordine di 
grandezza cominciando dai più piccoli, può succedere, che nel valore di X so- 
pra espresso i numeri @—1, 6 —1,y—1, ece. abbiano divisori comuni, o 
siano risolubili in fattori, che riproducano alcuni dei numeri primi «, 6, ecc. 
antecedenti. In tal caso si considerino le parti separate 


a" (a—1), 01 (6—-1); Y(Y—1), ecc. 


dal cui prodotto risulta X; se in alcuna delle seguenti siavi un fattore semplice 
o composto, che si possa altresì raccogliere dai fattori costituenti le parti pre- 
cedenti, quel fattore si potrà sopprimere; poichè è inutile replicare un fattore, 
che si può considerare a piacimento trasportato nelle diverse parti per provar- 
le successivamente tali quali si ha bisogno. Per esempio se fosse 


II-D04 — 3 "9290073 
si avrebbe dalla (72) 


K=2%?.3!(3—1)-9(7—1)=2:6-6. 


Qui i due fattori 2, 6 si possono tralasciare, perchè sono già contenuti nella 
parte rimanente 6; perciò si avrà più semplicemente 2f—1 per la formola dei 
numeri divisibili per 504, essendo x un numero intero, e primo con 504. Tro- 
vato l’ esponente minimo, un multiplo qualunque di esso rappresenterà tutti gli 
esponenti che appartengono al dato numero N. Alta fine di questa memoria si 


268 PARTE PRIMA 
è posta una tavola contenente gli esponenti minimi, che corrispondono al 


numeri naturali da 2 sino a 200. 
10. Secondo ciò, che abbiamo detto nel numero precedente, si può immedia- 
tamente semplificare ancora di più l’esponente &. Siano 7. i diversi numeri 


primi componenti il numero NV, i quali chiameremo di, 03, - - - dn, € sia 
1în 
(n) VS b,* 63° --- b,". 
È chiaro, che un numero n —1 per lo meno delle 7 parti 
m -I ci, bn =i 
bai (2-20) b,* (da 395 bi (Gn—-1), 

il cui prodotto dà l’esponente #, conterranno il fattore 2, poichè fra tutti i 
numeri è, — 1, 5, — 1, - - - dai i non ve ne può essere, che un solo, che sia 
dispari, proveniente da quello fra i numeri primi d,, 22, - - - da, eguale al 2 


Adunque, siccome basta, che il fattore 2 vi sia in una sola delle parti sud- 
dette (numero precedente), così si potrà Vesponente X dividere un nume- 
ro z—2 di volte per 2, di modo che tanto la formola x*—1, quanto l’ al- 


n=2 RR vc 
tra x* —1 sarà divisibile per /7, posto 


(e) (er 


K= Mi p)(i-7)-- in) 


Osserviamo riguardo al valore (2) di X, che la parte 2°? costituente dello 
stesso contiene il fattore 2, giacchè è 2 > 2. Si potrà adunque in tal caso sop- 
primere il 2 fattore di tutti i numeri pari É6 —1,y—1, ecc., in guisa, che si 
avrà più semplicemente 


(p) duo (3) g”: (14) ecc. 


Se vogliamo esprimere per mezzo di simboli il valore (1) di VV, e quello (0) 
dell’ esponente 4, che gli corrisponde, possiamo fare 


(0) I (Fn 


ovvero 


ex 


un LINA 
PIVA 
(4) N= e 7° UA-I ; 


ue My 4 I 


PAR: 1, b_ 
(7) K =e uzo U-+I ( 4-bI 1) ; 


estendendo le somme 2 da w= 0, sino ad u= 7, e denominando al solito e la 


(*) Un’ espressione identica colla presente trovasi a pag. 227 del T. 4.° degli Exercices de 
Mathématiques del sig. Cauchy) ma vi è impiegata ad altri usi. 


TEORICA DEI NUMERI 209) 
base dei logaritmi iperbolici. È da rimarcarsi il legame, che passa tra i secondi 
membri delle equazioni (J), (7). 

rr. Combinando le formole sin qui esposte, si arriva a varie deduzioni osser- 
vabili sotto certi aspetti, ma che non formano il presente mio scopo. Soggiun- 
gerò però un teorema, che mi è pur necessario nelle dimostrazioni consecutive. 
Siano 4, 5 due numeri primi fra loro, £ l'esponente, che corrisponde ad a, e k, 
quello che corrisponde a 2; sarà pel teorema del num. 7 la formola 2*— 1 di- 


visibile per @, e la formola a '— 1 divisibile per è. Adunque il prodotto 


(88 — 1)(a" — )=d" bd — (04 sat I) 


sarà divisibile per 40; ma nel secondo membro della precedente identità il 
primo termine è divisibile per 46, poichè si ha sempre #, £, >0; dunque dovrà 


esserlo anche la parte restante 2* + ana 

12. Applicando attualmente ciò, che abbiamo premesso, siamo in grado di 
risolvere completamente le equazioni indeterminate di primo grado. Incomin- 
ceremo dall’ equazioni a due incognite per quindi progredire a quelle a tre, ed 
a n incognite. Sia pertanto l equazione proposta a risolvere 


(5) axr—by=c; 


dove i numeri dati 4, 5 si suppongono primi fra loro. È noto, che si può sem- 
pre ridurre qualunque equazione indeterminata di primo grado a due incognite 
alla detta forma. In fatti se uno dei numeri 4, è fosse negativo, si cambierebbe 
il segno all’indeterminata, che nella data equazione lo moltiplica, ed il trovato 
valore di questa col segno cangiato sarà quello dell’indeterminata della data 
equazione. Non possono poi «, 4, perchè l’ equazione sia solubile, avere un fat- 
tore comune, che non lo sia anche di c, e siccome in tal caso si ha sempre il 
mezzo di toglierlo colla divisione, siamo ridotti alla fatta supposizione. Ciò 
premesso, vediamo quale sia la forma dei valori di x, y. Dicesi primieramente 
che conosciuti due valori particolari @, 6 di .x, y che soddisfacciano alla (s) 
potremo conoscere tutti gli altri mediante le formole 


(t) r=za+b0, y=65-+a0 


dove @ è un numero intero indeterminato. Infatti se @, 6 sono come si è detto, 
insieme all’ equazione ax —by=c sussisterà l’altra aa—b6=c, e 
quindi sottraendo le due equazioni avremo 


a(@—-a)—b(y_-6)=0; 
ossia 


Qui i due termini della frazione nel secondo membro sono primi fra loro, e 
S3* 


270 PARTE PRIMA 
quindi essa non è riducibile a termini minori: la frazione poi del primo membro 
dovendo essere a quella eguale non potrà differirne se non per un comune 
fattore @ per cui siano divisibili i suoi due termini: il che suppone x —a—=b0, 
y—6=@4@ equazioni che riproducono le (4) sopra annunciate (questa dimo- 
strazione è dovuta a Lagrange). 

Accertati così che dalla cognizione di due valori particolari si passa alla co- 
gnizione di tutti, ci conviene fra quei valori particolari scieglierne due i quali 
godono di una singolare proprietà ed è quella di essere multipli di c. Che sia 
così, proviamo a supporre invece delle (#) le 


(1) a=TC+dbo y=U4Cc+4@ 


e sostituendo nella (s) vedremo ch’essa si riduce tutta divisibile per c e laseia 
(x) amr—-bu=1. 

Questa equazione ci fa conoscere due cose: la prima, che due valori particolari 

T, che soddisfanno ad essa conducono a trovare i due valori particolari rc, 

uc multipli di c che soddisfanno alla proposta (5); la seconda, che invece della 

proposta (s) possiamo trattare la precedente (x) più semplice perchè il secondo 

membro vi è eguale all’unità, 


Ora dalla (x) abbiamo 


e trattasi di trovare per 4, 7 due valori numeri interi. 

A questo fine è necessario, che a 7 — 1 sia divisibile per 6; il che si ottiene 
se, denominando & l’esponente, che corrisponde a 2, e # un numero primo 
collo stesso numero bd, sì fa 

amri1=t'— 1, 


Da qui si ha 


equazione, che ci indica essere # divisibile per «. Affine di soddisfare a questa 

condizione noi faremo per ora semplicemente t= 4; il che è possibile, atteso 

che 4 è primo con 6. Avremo adunque 
aaa 


e quindi 


Sostituendo questi valori nelle equazioni (x), si ricaveranno le seguenti eleganti 
formole generali per la risoluzione della (s) 


(7) vezzo iizze -- +49; 


ove @ è una indeterminata qualunque. 


TEORICA DEI NUMERI 271 

13. Permutando a in 6, a in — y, e viceversa, la (s) resta ancora la stessa. 

Adunque facendo le stesse permutazioni nelle formole (y), e supponendo, che & 

si cangi in &, esponente, che corrisponde ad a, si otterranno due altre formole 
eleganti 


k,=1 b'—-1 
y=t—tce-b' —a0; a=—c. —— —bo. 


Acciocchè x, y siano positivi, fa d’uopo cangiare il segno all’ indeterminata O, 
k —i 
1 


_ c- L 
e fare @ > -—— dopo il cangiamento, come consta dalle formole ultime 
a 


così cambiate 


k 
k,_1 b'—1 
(2) yr=—c-b' +a0; xXZ—-C0—— + db. 


È facile il provare, che i valori attuali non diferiscono dai precedenti, che pei 
multipli di «, o di d. Infatti si hanno identicamente 


k 


ki 
—c-b + daZz Ct: ; -+-aloT—c- 


7 


k 
a 1 
ab 


bis: 
) — 
PSI Pa pe SII I fon I n (oc 


a Î 


k 
Ol bio 
ab 


ove si vede, che al luogo dell’ indeterminata @ trovasi la quantità 


che è pure un numero indeterminato ed intero, poichè è intero 


k 
da+b'—3 


(num. 11). Se il numero 6 si mette sotto la forma (9) (num. 10), le formolte (y) 
diverranno 

i; ico» dEi 
Zia 1 dà (2996 —1) Li si put 
(4a) be Gi 0% +0e uZzo U-+I = 


+40 . 
un My4x 


LI 
uo ULI 
€ 


272 PARTE PRIMA TEORICA DEI NUMERI 
le quali saranno i valori delle due indeterminate dell’ equazione 


has] Va, 
ZSCMCO 
(55) aLr—-ye UL0 UAI Posti fe 

14. Nella pratica applicazione se il numero a, o il 6 ha divisori comuni con c, 
conviene prima di effettuare il calcolo eliminarli, affinchè riesca più semplice. 
Per esempio se d e c hanno il massimo comun divisore d, col fare *=0dx,, 


la (s) si trasformerà in quest'altra più facile a trattarsi 


b c 
meg 


In certi casi si possono avere per x, y valori più semplici, che quelli delle for- 
mole precedenti, come passiamo a vedere. Mettiamo il numero a sotto la forma 
FÎ4h G841 - - -, essendo l'esponente, che corrisponde a 5; 4, Z--- minori 
di &, e /, G,--- numeri primi ineguali; il che è visibilmente possibile. Ciò po- 
sto, è chiaro, che per soddisfare all’ equazione (num. 12) 

R 

T=-; 

a ; 

basta il fare 
1 =|EFGER o. 

Si avrà allora 


DR più: E ILL AEREL | ce 
= FIA GH --., PAZZA ; DE E 
e quindi 

VE Ffù: RA n I 
(cc) a=l 4% G---+bovy=c- cc. + ad . 
Confrontando le formole attuali colle (y), si vede, che, quando non sia 
f=g=---=0; A=1=---=1, cioè, quando a non sia un prodotto di 


semplici numeri primi ineguali, si otterrà del vantaggio nella pratica appli- 
cazione, servendosi delle ultime formole. Per un esempio sia da risolversi 
l’ equazione 
Qoob]: 

paragonandola colla (s) si ha a=g=3°; b=20=2°-:5, c=7; qui 
l’esponente minimo &, che corrisponde a d, è 4; epperò f=0, A=2; F=3; 
G==1;---. Avremo adunque per i valori delle indeterminate dell’ equazione 
proposta (equazioni (c0)) 


ex=7:317% + 200 =63 + 200 : 


BI]; 
Got 90728 +90 £ 


y=7: 


(sarà continuato) 


PARTE SECONDA 


inmenicandtc— ciente 


Seguono due Capitoli che continuano la prima Sezione 
del TRATTATO SUL CALCOLO DEGLI INTEGRALI DEFINITI (Vedi 


Fascicolo II, pag. 169) 


ANALISI 


w 
I 
DD 


CAP OG 
Derivazione e integrazione per le costanti. 


71. I valori delle formole d’integrali definiti ottenuti coi metodi sin qui 
esposti o con altri che vedremo in seguito, sono in sostanza espressioni di una 
stessa quantità analitica sotto diversa forma, talchè l equazione fra la formola 
integrale e il suo valore è una vera equazione identica nei cui due membri en- 
trano le lettere considerate come costanti relativamente a quella per cui è 
indicata l’integrazione. Ora è noto che insieme con una equazione identica 
sussistono tutte le sue derivate e primitive di qualunque ordine prese per ognu- 
na delle lettere che la compongono: potremo dunque derivare o integrare 
l’accennata equazione tra la formola integrale e il suo valore per ognuna delle 
costanti anzidette, avvertendo che questa operazione si fa nel primo membro 
passando sotto il segno integrale relativo ad altra lettera indipendente da quel- 
la su cui si opera, e che è destinata a sparire (rileggansi i primi numeri del 
trattato). Vedesi qui un mezzo per cui appoggiandoci a un risultato noto ne 
possiamo dedurre altri ed altri moltissimi, a parecchi dei quali sarebbe stato 
difficilissimo o anche impossibile arrivare direttamente. Gli esempj meglio di 
ogni discorso renderanno famigliare al lettore l’esposto principio che è il più 
ona d’ogni altro nella teorica che esponiamo. 

72. Trovammo al numero 46 la formola 


(a) fia Le 1 


MA x 2m 


e sarà nostra cura corredare in seguito questo risultato (dovuto originariamente 
a Laplace) di altre prove e di analoghe riftessioni. Intanto osservisi che le 
lettere 7°, n stanno come costanti in ambi i membri della equazione, appunto 
come si è detto nel numero precedente: e però potremo derivare o integrare 
per esse. Scelgo di derivare per riguardo ad 7, e così ottengo 


x co Xsin.ir* TT I 
(6) fia. iper OT I 


mi + x 2 


Questa e la precedente formola danno nel caso particolare di m=1 


i 2 sin.r.x Ta 
(c fia = (dee. Pa e. 
A I+-X 14-X 2 
Vedremo in seguito che per la sussistenza delle ARIA (a), (0) havvi la condi- 
zione che il prodotto mr nella quantità esponenziale sia sempre quantità positiva. 
n3. Pr endiamo a trattare l’ integrale 


jo pe cenni 
f (m°+ax°)(1—2pcos.rx +p°) 


70 


CI 
(Pi: 


Opusc. Matem. e Fisici. 


274 PARTE SECONDA 
riflettendo col Legendre (*), cui devesi tutto questo pezzo di teorica, che la p 


I 


Rit. STE ! I 
può sempre supporsi minore dell’unità, giacchè se non lo fosse, fatta p = — 


sarebbe poi p' minore dell'unità, ed eseguita la sostituzione, verrebbe la stessa 


formola col p' in luogo di p, e moltiplicata per p'. Adunque potremo mettere 


sin. rx È 
___———; la serie 
I—2pcos.rx +p 


(num. 44) in luogo della frazione 
Sin rr+ psin2rx + p°sin.3 rx + ecc. 


e quindi l'integrale proposto equivarrà alla somma 


a E sin. x © xsin.2rx ROSARIA 
Le mati pp go Cei de + +p dins precoci 
A mM 9 È mM x Î mx 
ossia per la precedente (5) alla serie infinita 
A (em + i iE danioiana p emi p° em ecc) 
2 


la quale, posta é= pe", diventa 


La (E+- E + E ecc.) 


2 P 
e riducesi 
T È Tr Det TE 1 
aan ovvero ES gVy ero 2. perzcane 
IM a piene aule 


quando (numeri 37, 44) sia é minore dell’unità, il che appunto si verifica nel 
nostro caso in cuè p<i1,e mrbdo. 
Pertanto si ha la formola 


dapesitale dal ESE iii E lisa 
(0) N pe (m°+x*)(1—2pcosra +p°) 2 ev—p 


di cui la (6) è caso particolare. 

74. Nella formola ora trovata la p deve essere minore dell’ unità, ma astra- 
zion fatta dal segno, talchè può mettersi — p in luogo di p: quindi insieme 
colla (d) sta quest’ altra 


1 Sa Ls LE I 
È o (m'+x*)(1+2pcosrx+p°) 2 ev+p° 


Il sig. Legendre somma le due (d), (e) ed osservata l'identità 


I I 2(1+p°) 
E I #FET— = --1r E 
I—2pcosrXx+p°  1+2pcos.por+p° © 1—2p°cos.27x + pi 


(*) Eercices de Calcul Intégral, IV."* P., num. 131. 


ANALISI 275 


deduce, mettendo p per p°, 


Lal x sin. rx IT I em 
(f) faa E ef E1lle eta 
[0] 


(m+x*)(1—-2pcosara+p) a 1+p ewt_p' 


75. Passiamo a qualche caso d’integrazione per le costanti; facendo atten- 
zione al modo con cui queste integrazioni si definiscono: senza di che esse non 
sarebbero utili. 

Propongasi l'equazione che subito si verifica 


I 
ifidzzonne n 
o mn 


Integrando per la costante m2 otteniamo 


I arsi 
See log. age 


dove C è la costante arbitraria indipendente da m: essa per m=1 deve in 


ce) 
forza della trovata equazione eguagliare l'integrale f dx - ; dunque lo 


I 
log.x 
eguaglierà sempre, e ricaverassi 


I ame! —1 
g) Sf de ==log. m. 
A log..x 
Prendasi la seconda delle formole (6) del num. 29 e integrata per a ci presenterà 
vr sin. adx a 
(kh) f da -e&: —— = Arc. tan. 7 
0 96 db 
dove non ho aggiunta costante perchè aggiungendola si trova zero in conse- 
guenza della stessa equazione ove facciasi a = 0. 


Prendasi la prima delle formole (6) dello stesso rumero e integrando per «, 
avremo 


co COS. da I I 
fdt cea aloe DV 
o IC ca 
la C per ipotesi non contiene a, dunque mettendo c per « sarà 
per 1} ) I 


fda serbo ICE —__ - log. (c'+ 5) +C 


IC 


in cui la C è la stessa: pertanto le due equazioni sottratte l’una dall'altra som- 
ministrano il risultato 


È TO cos. Ad X — COS.C.X I EAT 
(i) f deere LETT TETE = È log. Fra): 
; LC 2 


76. Si usa in varii casi l’antecedente metodo d’introdurre le costanti arbi- 
trarie e poi determinarle dietro valori particolari della costante per cui si è 


276 PARTE SECONDA 
integrato: il più sovente però le costanti arbitrarie non si mettono, esprimendo 
a dirittura definita fra due limiti l'integrazione per la costante. Compare allora 
nel primo membro un integrale duplicato che tante volte non si scrive ponen- 
do subito per la formola integrale che è sottoposta ad altro segno integrale 
una nota espressione equivalente. Faremo uso nel numero seguente di tale ab- 
breviazione, che suppone un passaggio fatto a mente: e terremo in questo la 
via lunga. 

Riprendasi l’ antecedente formola (d) e s'integri per la costante r fra zero, 7, 
avremo 


o to 5; î sin. "AGIO gia 1 
fd fa LEI (dre. 
è mix X Do I--2pcos.rX + p PE ete=-h) 


I due integrali per 7° si trovano passando per gl’ indefiniti giacchè 
per 8 S 


fi = : log.(1-2pcosrx+p°); fdr- o =! log(1—pe") 


I —2pcos.rxe+p°  2px ep mp 


epperò nella formola precedente bisognerà sostituire in luogo dei due integrali 
per 7° rispettivamente i binomj 


I 


log.(1—-apeos.ra+p')--log.(1-p} ; —log.(1—-pe)- e log.(1-p). 


2Pp% mp "m P 


Osservando allora che risultano identici i secondi termini nei due membri per 


9° I TC L ; 
essere ff dex: = —, come provasi passando pel noto integrale arco 
D mia am 


di tangente, la precedente sostituzione lascia la formola 


1 i log.(1—2pcos.rx +p°)__ 9 a 
(k) Sf dae PETITE ALI E log.(1—pe DL 


zi No 
TIE 


Ponendo in essa (come nella (d) per passare alla (e) — p per p, si ha pure 


(= fd et apoose +) E log(14 pe). 


mi + a? 


Facciasi in queste p—.1, indi mettansi per 2—2 cos.rx, 2 +2 cosa le 


bi 


2 2 
espressioni equivalenti 4(sin. = ra) ; 4(cos. ra) : e alcune altre facili ri- 


duzioni ci condurranno alle due 
solenti 
ORION. [SIE 31% 


de. — 
È m+x am 


(m) 


- 4 I 
Li log. (cos. re) 
2 TT 14 e 
dx » = — log{ —T—_ 


m' + a am 


em 


ANALISI 2 
: id 


la di cui sottrazione somministra |’ altra 


(1) 


Le tre formole ultimamente trovate si derivino per la costante r, indi, fatte 
tutte le riduzioni, si ponga nelle sole due prime 2, in luogo di r: sortiranno le 
tre osservabilissime dovute al sig. Bidone (*) 


/ I 
YO x _ par 
id log.(tan., VI gne po 
f PMI Rei E 2 02. (3 ) ì 


dx : = 
n +X am e" 4 I 


" 4 gi 18) (Upi IT 
do » ire ———_— 
È mA X em 
Do a 
Ea CDA 1-1 DM POI ti (5 IT 
(0) di da aree REESE 
S° Mi Cit 
Ù CE COSCE T 
LA * 2 ar mr meri 
è mi X e — e" 


Se nella seconda si fa 22 = 0 viene la 


o tan. rx IT 
(P) S ii even 


rimarcabile per la proprietà di aver lo stesso valore come quando sotto il se- 
gno integrale vi è il seno in luogo della tangente (num. 32 formola (2) (#k 

Il sig. Legendre nel luogo riferito al num. 73 deriva le due formole (k), (4) 
per l’altra costante p e così ne cava due altre eleganti che il lettore si formerà 
agevolmente. 

77. Il principio d’integrazione per le costanti diventa assai più fecondo di 
conseguenze mediante l'osservazione che prima d’integrare si possono molti- 
plicare i due membri dell’equazione per una funzione qual più piace di quella 
costante rispetto alla quale si integra, funzione che nel primo membro passa 
sotto il segno integrale. Vedonsi allora alcuni integrali definiti dipendere da 
altri con cui non potevasi nemmeno sospettare che avessero relazione, e si ot- 
tengono notabilissimi risultati. Troverò con questo artificio due formole che 
furono dal Fourier (**) dimostrate assai elegantemente ina coll’uso dell’imma- 
ginario nei limiti, il quale è un mezzo che lascia, almeno per alcuni, qualche 


incertezza. 
Se nella formola (6) del num. 64 poniamo x=z|/%, essendo w una costante, 


deduciamo 


fd . cal 
A 2 / uk 


(*) Memoire sur diverses intégrales définies. Turin 1812, pag. 104. 
(**) Journal Polyt. Cah. XVII, pag. 557. 


(***) Theorie de la Chaleur, pag. 552. 


278 PARTE SECONDA 


Si moltiplichi questa equazione una volta per cos.v, e un’altra volta per sin. : 
si formeranno le due 


I e IT sinu 
fine cos. u= VE . <; fare STIA . 
2 Vu 


le quali si integreranno per w fra i limiti uw=0, u= 0. Rammentate le for- 
mole (6) del num. 29 avremo (rileggasi il principio del numero precedente) 


(A) fd = LE (du oi ; fd. 4= La (du: sE 


Qui gl’ integrali definiti dei primi membri possono aversi passando per gl’ in- 
definiti, Lascio all’esercizio degli studiosi il trovare « priori e mi accontenterò 
di dire che si dimostrano subito 4 posteriori le formole 


fd . - e È fare. tan.(zV/2+1)+ Arc. tan. (zV/2 —1) 


MEZE og: CET 


4V2 I-z3V2+2 
fa: ui ed die tare. tan.(zV/2+1)+ Arc. tan. (3/2 — 1) 
14-zh 2V/2 $ 
I 1+z2V/2+3 
+ lo 
{Va Ss VTE, ) 
In queste la parte logaritmica si annulla tanto per z—=0, quanto per 2= 0, 
1 T TT] 
e la parte circolare è zero per z=0, e peg Lea ritenendo = l’ arco 


la cui tangente è infinita. Pertanio 


fi I + 3! 


e > quindi dalle (4) 


COS. 1 sin. w TT 
fin È sa (du Sa = VE 
2 


le quali, posta = a°, si trasformano subito nelle celebri 


È ce I TT 
(9) fade * COS. snifdeina — W-. 
2 
(0) o 


2 


78. Fourier ha dedotto (*) dalle precedenti (9g) due altre formole che rie- 
scono utilissime nelle applicazioni a’ problemi fisici: ecco in qual modo. Le (9g) 
danno subito (vedi num. 22) le seguenti 


AYTheorie de la Chaleur, pag. 531 et suiv. 


ANALISI 2709 
4 


o A e ì È T 
Sde COS. — fade BILE — 75 : 
co —o 2° 


pongasi ora c=y+b, dove è è una costante qualunque: i limiti rimangono i 
medesimi, ed essendo per isvolgimento di notissime formole 


cos. (y°+- 26 y + b°)=cos.y° cos. 2 è y cos. 8°— sin. y° sin. 2 è y cos. b° 
— sin. y° cos. 2 è y sin. d'— cos. y° sin. 2 d y sin. d° 
sin. (y°+20y + 0°)= sin.y° cos. 2 è y cos. 6°+ cos.y° sin. 2 d y cos. d° 
+ cos.y° cos.2 8 y sin. 9°— sin. y° sin. 2 6 y sin. 4° 


le precedenti equazioni danno 
b° P c by— sin. 8’ 5 in. y° I id A 
cos. fe » cos. Y° cos. 2 Ò - sin, S »- sin. Y° cos. 2 = 17 bs 
È: di + ta »{ 9 2 AI ni 


cos. d° fd, - sin. y° cos. 2  y + sin. 6° Sd ‘ cos. y°cos.2d y = VE 


avvertendo essere (num. 22 corollario 2.°) 


(ce) o) 
Say - sin. y°sin. 20 y = Say ‘ cos. y° sin 20 y= 0. 
o —D 
La risoluzione delle trovate equazioni, in cui i due integrali si considerano 
come due incognite, ci somministra 


I 


su 2 2 I È 2 
Sdr cos. y° cos. 20 y = Va(7- cos. b° + pz sin 0) 


53 . 2 be 20 PAS “LA La o 2 
Sd - sin. y*cos. 26 y= VT (E eos. è Va sin. è ) ; 


SI. ._ I 
Ora osserva l’insigne Geometra che mettendo opportunamente. sin. 5, ovvero 


4 


doi per —-, i secondi membri sì riducono rispettivamente 


Va sin. i + b) 3 Vasin. SER b) 


I 
V2 
quindi facendo y=x Vt, dove 2 figura costante, e poi 20 Vi=c, si hanno 
> ma. 3 n 
f da *- cos.t.a' cosce VE sm. z(a + ) 
oo t 4 t 


o ; Ù "STRO | c° 
f de-sinta cosca—=i/— sin.(xrT_- -}. 
die t 4 t 


79. Se al num. 77 invece di appoggiarei alla formola (6) del mm. 64 aves- 
simo presa a fondamento la (7) del num. 66, moltiplicando similmente per 


(”) 


280 PARTE SECONDA 
cos.u, sin.u, e cambiando « in ci saremmo formate le due 


b3 


e 2 I 
fade * cos. dx è e” cos.u = 
D) 2 


| 
< 
3 


si ‘ 
2 . 
fi dx-cos.b xe” sin.u= 


0 


nm 
SE 

È 

SÌ 


dalle quali possono cavarsi due formole assai eleganti che contengono le (9) 
come casi particolari. S'integrino le precedenti per « fra i limiti zero, 0, e a 
motivo delle (6) del num. 29 dedurremo prontamente 


i E COS.u COS. DX 
fdu ll è Se alal 
Zio Vu Var 1a gi 
© ME; 


/ 


R° qu. 
ser e sin.te cos. d x ba 
dui iaerta = f da 
È Vu Va + 


Qui i secondi membri hanno valori assegnabili, che si ottengono da un'analisi 
generale del sig. Poisson (*): ma non potendo questa per la sua lunghezza aver 
luogo nel presente trattato, mi è forza cercarli altrimenti. 

Partasi dall’ equazione identica 


1 I cela I era 


r+ai cala 1+tx24+ax° Vo 1-xV2+%2È 


e potrassi scrivere 
 cos.ba ba 
(*) fe d'a i i 
essendo 


vg 


fue (2 + V2)cos.dx . ‘pe pal rin (x—V2)cos.bx 


1+xV/2+a° ; TCA TEA 1-axVa+x°° 


me 


Avverto che per rendere le espressioni meno complicate metterò, ove mi torni 


È SUE: . . : 
comodo, , in luogo di Va restituendo poi ad 7 il suo valore sul fine. Per 
trovare 4 pongo x=. A , d'onde x+Va=y+?; riuscendo quindi 


(x+V/2)cos.bx=ycos.bycos.br4+ysin.b ysin.br+7cos.bycos.dr+rsin.db y sin.br 


ottengo dopo le riduzioni 


(‘) Journal Polyt. Cah XVI, pag. 225 et suiv. 


ANALISI 281 


cos.br °° rcos.by sin. dr ysin.dy 
Vo g— — "fi dy.-—r + VICE nt pe int 
r n 


aV2 r+y 2/2 ray 
COS. e: _cospòy — sin. PI __ sindby 
» VIE r+y div ea ray 


oi. I ) 
Similmente per trovare B pongo x =y + Va d'onde x—-Va=y—r. 
Qui ho 
(x—|/2)cos.bx=yc0s.5ycos.br—ysin.bysin.br—rcos. by cos.dr+rsin.by sin. dr 
e in conseguenza 


cos. dr ycosdy _sinbr © y sin. dy 
faina a pigra da a IICZA r4y? 


e b in br £° sin. è 
__ COS. cl fa cos. MGORIA, __ sin bi ppi y 
ru yi 4 pi r+y 
Scompongo nei quattro precedenti integrali il corso della variabile in due 


parti, delle quali la prima da —r a +r e la seconda da r a ®; osservando 
poi (num. 22) che si hanno 


far E by o; far: (EI dy pe > fdy » VA 


x ast] Lang 


: ORO para A cos.by . È sind y __ 
Str lo aa e nr IICIZ r+y +y° VICZZ r+y° sati. 


vedo di poter dare a 2 la seguente espressione 


_eos.or f7° yCospy  SI:or È SEA SIZE > ysin.by 
B= va SI ava auf dba e + Sir CES} 


cos. br ",  cos.by » Sent sin.dr sind 100 
Lilia fd Fe ana "@ 4 Sur r+y? 
Con questa nella differenza 4—£ si elidono quattro termini, e ricomponendo 


negli integrali restanti il corso spezzato da zero a r e da r a © in un solo da 
zero a ©, viene 


n.bdr FC sin. d cos.dbr l% cos.d 
A-B="T2 | dy. VIALI RE COST (ay SEI 
V2 0 o I x 


ra y° PED ray" 


Siamo così arrivati a integrali noti (vedi num. 72, formole (@), ( D)): mettansi i 
loro valori, e si dedurrà per la (*) 


_ cos. da — og a Red i leda Di 
(t) faa da ve (sin Va + COS. AL i 


Derivando ora per la costante 2 discende 


Opusc. Matem. e Fisici, 56 


282 PARTE SECONDA 


(added RD 


arme ma 


N 


e derivando un’altra volta per è 


° b 
(x) fade ei a (cos i sin 4 )gl 
$ ù ra ava “V2 Va ‘ 


Per le (#), (x) le (s), ove facciasiu= x°, d=a|/2 diventano 


= I J/T 
fade “e cost = [VE (cos.a — sin.a) e 
eo 
TA T 
fax e FAfsmnan ION (cos.a + sin.a)e. 


Si può in queste introdurre un’altra costante facendo come sul fine del nu- 
mero 78: molte, e alcune nuove, sono le formole che facilmente se ne cavano 
derivando o integrando per le costanti. 

80. Vedemmo come si deriva o si integra per costanti che nel ritrovamento 
dei valori delle formole integrali Red rimasero indeterminate: non potreb- 
bero dunque servir di fondamento a ricerche di tal sorta formole integrali 
nelle quali le costanti non vi fossero, o fossero determinate. Or havvi un me- 
todo col quale le costanti indeterminate s’ introducono in formole integrali 
quando non ve ne siano, o si aumentano quando vi siano. Eccolo compendiato 
dietro gl’insegnamenti del degno Continuatore delle scoperte di Eulero (*). 


ui 


ce) 
Sia una formola sf dx*@(x) di cui conoscasi il valore, che chiamo A. 


[e] 
Scompongo il corso della variabile in due parti delle quali la prima da zero a 
m, e la seconda da m a ©; talchè 


TALI! 


J dx @ P(x)+ fc dx-P(x)=4. 


In questa trasformo il primo integrale ponendo x =7 2, e il secondo ponendo 
mm 5 5 ee È È s È 3 E ni 
x=—: dietro facili riduzioni nelle quali debbo supporre che il mio lettore 


non abbia più di presente alcuna difticoltà: trovo 


i si i I UA A 
(3) f dx \P(ma) + ) =. 
i, da Di x m 


Così la formola proposta me ne ha somministrata un’altra nella quale havvi 
l’indeterminata 72 per cui si può derivare quante volie piace ottenendo le 


dari EP (ma) + — — P' r (E) = — ZL; ecc. 


(*) Exercices de Calcul Integrale. IV."* P., num. 155. 


ANALISI 283 
Viceversa da un integrale definito fra zero, 1 se ne può dedurre un altro 
definito fra zero, © avente una costante indeterminata. 


Sia Sax y(a=B 


bari nz . . : 
facciasi 2 = ——— dove r è una costante indeterminata, e troverassi 
I 4-73 


(w) fio Tears p(__)= 2 


da cui, come dalla (2) possono dedursi altre formole derivando per x. 

Non pongo esempj perchè lo studioso può formarseli a piacere: piuttosto 
avendo mostrato come da una sola formola integrale di valor noto se ne pos- 
sono dedurre altre infinite, chiuderò questo capo traducendo le parole colle 
quali il Legendre termina il paragrafo ultimamente citato della sua opera. 
« Vedesi quanto è feconda la teorica degli integrali definiti, ma la ricchezza di 
« questo ramo d’ analisi, come quella di tutti gli altri, non tanto consiste nel 
« numero delle formole, quanto nella scelta di quelle che riuniscono l'eleganza 
c alla semplicità, sole qualità che possono renderle atte a numerose applica- 
« zioni. » 


_ 


CAPO XI. 


Dell’uso delle equazioni differenziali 
per la ricerca dei valori di alcuni integrali definiti. 


81. Nel Capo precedente fu esaminato il principio di derivazione e integra- 
zione per le costanti indeterminate nel caso in cui di una formola integrale 
definita è noto il valore: mostrerò in questo come esso vale molte volte per 
trovare lo stesso valore quando è incognito. 

Chiamisi y il valore di una formola integrale definita ove entri una inde- 
terminata 4: può darsi che derivando per «a, l’ integrale dapprima incognito 
riducasi ad un altro che sappiasi assegnare : allora una successiva integrazione 
per la stessa costante conduce a trovare il valore di y cercato. Sia per esempio 


a) yY ii sin.4.X 


c(m+x°) 
derivando per a si ottiene 
_ cos.aa 
AVE 
da ni+a? 
dove il secondo membro è un integrale noto (num. 72 formola (a): dunque 


DI) = n emma 
da 2nu 


284 PARTE SECONDA 


Integrando per « 


n 
rZ —-e"+C. 
J am 
La costante C si determina osservando dietro l equazione di posizione (I) 
che y deve essere zero per «4 = 0, e si cava 


C= —. 
am 
Fatte le sostituzioni, la (I) diventa 


(4) fax sIn.d x Pi Sd — ema), 


e(mairxì am 


Per un secondo esempio sia 


raf GEIE 


Si derivi per la costante « e avrassi 


(Defie. 


Il secondo membro di questa equazione presenta una formola di cui può asse- 
gnarsi il valore per mezzo dell’equazione (v) del num. 68 ove faceiasi p= 4, 
r=a+-m. Esso risulta Z'(a+m)T—Z'(a) ossia 


(a+ m) 
d-log.Ff(a + m) d log. e falla: LOI i TO ) 
(EDI. desi —(— da / 1 i 


dy ) ; Rui 1 
Ritenuta pertanto ae eguale a tale ultima espressione, si ha integrando per « 
a 


l(a+m 
y = los. natio ) ag i 
7 E g 79 
Si determina la costante C riflettendo che per la prima equazione (Il) y deve 
essere zero quando «= 1, e si deduce C=—log.I"(1-4-7m). Eseguite le so- 


stituzioni, la (II) diventa 


IE r(a+m) 
(0) fae “ (e—1)logia FI l(a)T(14+m) 


9 


Pongasi in questa 4 + n per 4; avremo 
(a +mt+ n) 


Melani )(r-ax") pi 
(7) fax (eroga alb: r(a+n)M(1+ m) 


e sottraendovi l’antecedente risulterà 


ANALISI 255 
(0) fa sa ae) pe La) P(a+m4- n). 


° T(a+m)T(a+n)” 


(e —1)log.a 


formola celebre di Eulero feconda di conseguenze (*). 
82. Il più delle volte però non riuscirà (2) eguale ad una funzione nota 


di «: ma potrà accadere che si renda eguale ad una espressione che contiene 
la stessa y; allora si ha un’ equazione differenziale spesso integrabile coi me- 
todi noti: il che succedendo si ottiene il valore cercato. 

Comincerò con questo mezzo a confermare un risultato già trovato (num. 66 


formola (n). Pongasi 
(A) "a =fd Le COSSANO 3 


si consideri y funzione di 6 e derivando per è avrassi 


dy CIS SI. SET AN di 
Ga fdrze SUA 


Stando agli integrali indefiniti e integrando a parti si trova subito 


dita 
DE, entsiniba b 22 
da xe" sinba=— ——‘—+— fdx- e" cos.bx; 
24 24 
2 . 
— ec”. sin. dx 
24 
positiva, svanisce tanto per x=0 quanto per *=%, conchiuderassi 


si passi ai limiti e osservando che la quantità , quando a è 


24 


es Sira b i 22 by 
f de ce x sin.bx = dx e cosbxa == . 
(0) l (6) 


Così si forma l'equazione differenziale 


dy a ipote 
FARE 


la quale s’integra facilmente coi metodi noti, e se ne deduce 


(B) pene ng 


dove C è la costante introdotta dall’integrazione. Per determinarla bisogna ap- 
poggiarsi ad altra formola nota corrispondente ad un valore particolare della 
costante indeterminata: e questo è l'andamento ordinario negli altri casi simili. 
Pel valore particolare di 50 abbiamo dalla formola (6) del num. 64, come 


(e°) 
’ . Tdi ? Z : 2 I T 
facemmo sul principio del num. 77, 7 if dates =j V/= , (avendo 
(0) 


(*) Legendre. Ewercices de Caleul Intégral, IV." P., num. rtr. 


286 PARTE SECONDA 
segnato y, il valore che prende y quando B5=0), e per l’ultima equazione si 
vedrà dover questo essere il valore di C. Sostituendolo nella precedente (2), e 
mettendo nella stessa per y il suo valor di posizione stabilito colla (4) vedremo 
riprodursi la formola del numero citato. 

83. Passiamo collo stesso metodo alla ricerca di un integrale di valore inco- 
gnito. Si metta 


2 
1 


o n° -— — 
1 R°) 
Y I GI - € 2 
o 


e considerando y funzione di a dedurremo 


a 
(È N=— 20 SIE e. 
da A 6 ca 


suine . a . a AA e, 
Ora si faccia Dane da cui Y=7: ed essendo a quantità positiva , ve- 
DC 


drassi che ai limiti x =0, x="© corrispondono i limiti y= ©, y=0; 
eseguita poi la trasformazione coi teoremi dei numeri 10, 12, si trova 


Ri © ur'lbedieni y 
fdaze "21 ( dy.e AZATA 
ab, a 


l’ integrale della quale è 
wa LE goa 


essendo C la costante arbitraria indipendente da «. Per determinarla si osservi 
che il valore di C è quello di y per a=0, e che un tal valore per la formola 


(6) del num. 64 è © Vr: si conchiude 


PA 


a? 
Lp — — 


(e) docet Var. 20 
E 2 
formola originariamente data da Laplace: il precedente metodo per trovarla è 
dovuto al sig. Poisson (*). 
84. Recherò ora un’analisi de’ signori Legendre e Poisson (**) in cui si di- 
scende ad una equazione differenziale di second’ordine, e con essa intenderò di 
soddisfare in parte a un Ren assunto al num. 72. 


1 cos. 
Sia — 
int 4 a 


(*) Journal Polyt. Cah. XVI, pag. 255. 
(**) Exercices de Calcul Intégral. IN." P., pag. 557. 


ANALISI 287 
Derivando due volte per r si ha 


d'y I COSA 
=— (dx ‘| rr 
dr mt x 
e ponendo m°+x°—m?* in luogo di x 


cosa 
(5, L)j=— f da. cose +m' f dar 
m prag, 


Dalla formola (2) del num. 32 derivata per r si ha 


(3) fade ‘ COS.rx 0 


risultato che sarà confermato in questo stesso Capo e su cui tornerò in seguito 
a fare qualche riflessione. Pertanto l’ultima equazione diventa 


di Ù 
dr —my—-0 
che ha per integrale completo y=4e+ Be” quindi 
2 dUCOSTA 
(1) gf dx s —- ——— cc Ae” -r Ber 
fl ma 


essendo 4, B due costanti indipendenti da r che debbono essere determinate 
dietro l’esame di alcuni valori particolari di 7. Ciò fecesi dai sullodati geometri 
in maniera che conteneva un ragionamento alquanto indiretto; il sig. Lacroix (*) 
lo schivò col seguente artificio. Si derivi la (I) per r: viene 


(11) Si da di 2A) —=Bme"T-Ame"; 


mn 


ora POSERO 1) fn E AR Ced integrale del primo membro sì trasformerà in 


zsin 3 :d RA 1 IRR i, 
f dz» <=; quindi l’ultima equazione può scriversi 
mr +3 


XSM.x 
(II) yE: da + a Bme"-- Ame" . 


Si faccia adesso "= 0: il primo membro della (1) diverrà #— , chè tale è il 
2m 


: SÈ I i : x 3 
valore di de :--——-, come dicemmo anche al num. 76, e il primo della 
dA mira’ st 


{l{) per la (x) del num. 32 diverrà — . Le due equazioni risultanti 
T Tr 
— 4+5; -=Bm_-Am 
21 Ss 


(*) Traite du Calcul. Tom. II, pag. 493. Note. 


288 PARTE SECONDA 


T 1 REL : 
danno 4A=0, B=-—:. valori che sostituiti nelle (7), (II) riproducono le 
2m 


formole (a), (0) del num. 72. 
Prevedo che lo studioso avrà qui una difficoltà circa il fare r=0 nella (III) 
e non piuttosto nella (II): ma per ora non gli posso rispondere. 

85. L’esposto metodo può essere generalizzato ed esteso al caso in cui la 
equazione differenziale lineare di secondo ordine ha nel secondo membro una 
funzione qualunque della variabile che figura da costante nell’ integrale. Sia 


ANTE 
(o) y=fda ot 
È to? Cc + hi 
dove X,, f, esprimono funzioni qualsivogliono della x, e @, 6 due limiti qua- 
Ron AVRO 


= fax. ali SLI =— dx -k,cosah, + cy 


dal 


e se facciamo 


3 


>) 


(D) fax-k, cosah, =—-P(4) 


* 


ci risulta l'equazione differenziale 


1 y A 
4 \-cyr=D(a 
(Fi) cr=s) 
il cui integrale facilmente trovabile mediante la bellissima formola generale 


dovuta originariamente a Brunacci (*) può col mezzo di una integrazione a parti 
mettersi sotto la forma 


(LV ONUA yI=%e - e fda- e Pla) — — Le fda -c"" Pa). 


Se avessimo posto 
(F) aa. dr: k,sin.ah, 
% Cs hi. 
6 x 
(G) Sfax k,simah,=—4 (4) 


avremmo trovato collo stesso andamento 


(H) noe fade. e" ih(a) — Let fda.ey(a). 


Ben molte sono le a che possono farsi delle precedenti espressioni 
generali: ne vedremo una interessante, ma mi è forza differirla, perchè debbo 
in essa far uso di formole non per anco dimostrate. 


I 


(*) Calcolo integrale delle equazioni lineari. 1798. Cap. II, num. 5, ovvero 
Bordoni. Lezioni di Calcolo Sublime. Tom. II, pag. 79 


ANALISI 289 


86. Se nella precedente (C) la quantità c* del denominatore fosse stata ne- 
gativa, si avesse cioè posto 


Aoueni / 

i tr, cos. h 

(L) EIA da. AE 
d di hi. —c 

ritenuta la (2), saremmo arrivati all’equazione differenziale 
d'y 

M (52, +c'y=@(a). 

(M) Pi; 4) yYE=P(a) 


Questa è facilmente integrabile alla maniera seguente. Si osservi che il suo 
primo membro può mettersi sotto l’una o l’altra delle due forme 


I y I\! I È Y INIL 
° teri sin. DE (bi s ape ALIA na 
sin,ca sin.c 4 cos.C a cos. C a 


significando cogli apici le derivate per 4. Quindi subito 


n fda. sin. caP(a) 


=sin.cafda--; 
I sin. ca 


I 
ovvero Rai =2ICOSIGA da . a fd AeCO0S.CA4 17) (a) ; 


Entrambe le quali, integrando a parti, per essere 


Saa e i CORI 08 I «IN.ca 
sin'ca . c  sinca cos. orta C cos.ca 


conducono alla medesima espressione 


(IV) di ; sin.ca fda » eos.ceP(a) — = cos.ca fda-sincap(4). 


Per una delle più facili applicazioni sia A, =x, k,=1, a=0, 6=%®. 
Avremo dalla (D), e dalla precedente (3) P(@)=0; quindi nella (/V) i due 


integrali sono semplicemente due costanti, e si ha per essa 


08; ax 
fax È ag 008.0 ca + Bsin.ca 


dove 4, B sono due costanti indipendenti da « che restano a determinarsi, 


Sia (6) I= (da. 


e vedremo più tardi che il vero valore di quest’/ è soggetto a controver sia; 
caveremo per a=0, 4=/. In seguito collo stesso ar tificio del sig. tata 


0 Ri 


ao T 
riferito al num. 84 troveremo B=— Di epperò le formole 


Opusc. Matem. e Fisici. 57 


200 PARTE SECONDA 


Do. COS.A.X sr: 1) 
dx —- —— Seen cd 4 ii cosca 
(2) 
x sin.aX TT l 
Sa Le» = — cosca +cZsin.ca . 


Avverto che non colla sola posizione (Z) ma con parecchie altre si arriva a 
trovare una equazione differenziale della forma (47), e quindi riesce applicabile 
l'integrale (IV). 

87. Oltre le equazioni differenziali ordinarie si possono adoperare per l’og- 
getto che c’interessa anche le equazioni a differenze parziali. Il sig. Paoli (*) è, 
per quanto io sappia, il primo che abbia insegnato questo mezzo onde cercare 
i valori degl’integrali definiti; egli ne usò per dimostrare alcune formole già 
note e da lui stesso antecedentemente confermate mediante altra sua elegantis- 
sima analisi: quindi si limitò a dire che il metodo può essere utile in varii casi. 
lo tenterò di esporlo in maggiore generalità, giacchè sembrami di vedervi un 


principio assai fecondo. 
6 


Sia ((1)) v= | dx-e"cosah,-k, 
i G x 


dove 4, 6 sono limiti qualunque; «, è due costanti indeterminate; 7, ,, due 
funzioni qualsivogliono della x. Abbiamo 


dè y. Ss bh 
Ta)=f dae “cos. h, - hè k, 
(04 


da 

rd y $ ro 

I) da +e cossa h,<h3k, 
db Ci ; ; 


le quali sommate somministrano 


((2) (È a ) + 7 pot n 


di cui è notissimo l’integral generale 
((3) g=d(0+a V—1)+pl0—_a V— 1) 
esprimendo y, P due forme di funzioni arbitrarie. 
La determinazione di dette funzioni arbitrarie si farà nei diversi casi il più 
2 . ò SN dr, | 
sovente dietro valori particolari di y, e di (3) desunti dalla ((1)). 
Se invece della ((1)) avessimo assunta ta 
6 bb PI 
((4) z=f dx-e’-sinah,-k, 
(021 
saremmo egualmente giunti alle 


(*) Memorie della Società Italiana. ‘Tom. XX, pag. 179: 


ANALISI 291 


À d' 3 din vi 
(©) (72) - (7) 
((6)) s=Y/((+a V—1)+P0_-aV—1) 


dipendendo la determinazione delle funzioni arbitrarie nella ((6)) dalla ((4)) 
come quella delle funzioni arbitrarie nella ((3)) dalla ((4)). 
88. Siano per un esempio @=0, 6 =%0, li, =a”, k, =": la ((1)) diverrà 


((7)) tits JE da « et°" 08: IL" + gt 


da cui 


((8)) (£ — f dx ‘et sinaa®. mia, 
Seoni devi o. . et dy 
esniamo Con Yo, (5) i valori particolari di ye (7) per a=0: avre- 
mo dalla ((7)) 


na ba" I n 
Yo dx Sl cat I ile 3003 race x Tr (- 
î mb" 


valore quest’ultimo cavato dalla (@) del num. 64. Avremo poi evidentemente 


dalla ((8)) 


Per un altro verso la ((3)) ci dà 


RETIORSIO, RCA REE AI 
da). 


Dunque la determinazione delle fanzioni arbitrarie dipenderà dalle due equazioni 


(6) p(0)= —F(2) 


mb" 
y(b)—-p(6b)=o0. 


La seconda somministra (0) —P(0)=c costante indipendente da 5: 
quindi sommando e sottraendo 


y(6)= 


\ 


I 


I n 
C(—-)+-c 
mM, 


n 
amb" 7 
I n I 
P(b)= ——r (2) ala ro 
dea m 2 


e in conseguenza la ((3)) diventa 


292 PARTE SECONDA 
i] Pra Safraerrane È 
(+al—1)" ((—aV/—1)" 


Una facile riduzione e la sostituzione ad y dell’espressione ((7)) conduce alla 
formola rimarcabilissima 


n = Ò 
pi (A)  G+al—a)" + (bal 


x 2 


el 
(4) bi da-etè"cos'axmi art 
d m(a+b8)" 


Tenute le stesse determinazioni particolari abbiamo dalla {{4)) 


(oli 3 dx et? sind x. 91 


da cui, e dalla (a) del num. 64 


DERE dz I man 
STRA TE ia 


mb" 


Quindi a determinare le funzioni arbitrarie nella ((6)) abbiamo in questo caso 
le due 
y (6) + P(6)=0 
VON POV (ETTI. 


mb" 


Integrando quest’ultima e rissovenendoci (num. 52) essere 


mi I n mr mì 
ret )ar 2 )=ir(d), 
m n m \m 
otteniamo con qualche riduzione 
I 


vO—g0=—2r() +0 


e in seguito a motivo dell’antecedente 


p()=— 1 n) lo 


mi \m p/a 
P(0) mi *\m n 2 
2b"V—1i 


Richiamata la ((6)) in cui ora soho note le forme delle funzioni, e sostituita per 
2 la sua espressione ((9)), giungiamo all’altra formola egualmente osservabile 


D ) n n 
9 mo. i m (b+raV—1)"—(b-aV/_-1)" 
(L) sf dae siate po raene PAFPERICTRZI CA, GIOVA RS y 1 
x m(a°+b°)" ori eri: 


finanza (id) at A, 
Di 4n* gr <a 


vi SIA 136-290 ea 


ce 5% _ lu aL 
dina ni x no 
x / i, 4qn A sra : br 
ter — gu ia ae 
4n* i 
cage io Al 
se = - = 
na 4n°- Pei gn 
U 
EE RL i Lioni lt y 
4a —— - — 
E — de Ln -_ dat gn bra 144 
Ù +t o TEgLa , = Rida Ci 
ue I Audiutali gunîut ars u* - 
uz RI6 i 
ia e e 
. va | : 
n’ n* ann gui dhe 
I + pe oper 
[3 2‘ ar SA: ls 
- 4 
Pad 


Mi A 4 = SR 
una” a art S9t5 9 (e) QEICA: 
na = 
n e 
an SA 
b 
gn -D 
Mo © 
riad e 


Li ese [ 


“6A tan 


ANALISI 293 


89. È cosa facile eliminare nelle (4), (@) gl’immaginarii : ponendo 


bazf cosg.; ta fine 
da cui inversamente 


LI 
È a 
dea) di 4) pi =-Arci tan.3 
h 
latte tutte le riduzioni suggerite dall’uso intermedio delle precedenti denomi- 
nazioni, si trova che i secondi membri delle (4), (4) possono rispettivamente 
scriversi 
I n I n 
i LI N NERA 
mo \m n a mi \n sha a 
seta cos.| 7 Arc.tan. 3] 3 ————:sm.| - Are.tan. 7 | 
zZ n pluviali m 
(d'4-b°)" i (dA- b*)?" È 
dove non vi sono immaginarii. Sembra però che per alcune applicazioni a casi 
particolari torni più comodo servirsi delle espressioni come stanno nel numero 


x n x . . . . 
precedente: così quando —, è numero intero, sviluppando nelle (4), (2) i bi- 
7 


nomj immaginarj si vedono i secondi membri ridursi a espressioni finite e reali 
che sono funzioni razionali di a, 6. | 

go. Le trovate formole contengono come casi particolari varie delle antece- 
dentemente dimostrate : cito per un esempio quelle del num. 29. Notisi ch’esse 
formole generali a motivo dell’ uso che si è fatto della (x) del num. 64 vanno 
soggette alle condizioni necessarie per la sussistenza di quest’ ultima; quindi 
sarà 7. positiva maggiore di zero, e è positiva che può essere anche zero. 
Facciasi in esse db=0, e usando pei secondi membri le espressioni del numero 
precedente avremo 


o I n\N -—È LIT 
tha da x" cossax” == T 2) a " cos. — 
A m am 


m 
(7) 
(eci n 
i I n\ -1 . na 
f dear snax®=— I-)a "sm. 
$ m ni 20 


Queste per n=1, a==1,m=2 riproducono le (9) del num. 77: e per nr1,m=1 
danno le seguenti 


(c'°) 
VA dx -cosax = 0 
() 


(£) 
So Ù I 
f dx- sin.ax = — 
0 

la prima delle quali è la (3) del num. 84. 
g1. Le formole (7) sono due di quelle che mi abbisognavano per Y applica- 
zione accennata sulla fine del num. 85: ma se ne richiede un’altra assai impor- 

tante che mi preparerò in questo numero. 


204 PARTE SECONDA 
Considero l’ integrale 


nGe1I 


vi z 
Sf Vf 


I . . 
e lo trasformo ponendo 2z=-—-—1. Osservando che ai valori z=0, 2z=00 


(* 


corrispondono i valori x=1, x==0: ottengo (numeri 10, 12) 


S ds. 3 = =f da ata). 


L’integrale del secondo membro è un primo integrale Euleriano (num. 59 for- 
mola 1), come subito si vede facendo nella citata formola (t) p=ar—@, 
=; ma (r—a,a) è esprimibile per la gamma (num. 61 formola (2): 
dunque 
IRONICI l(o)T(rt—a) 
OE oi O 


Sia in questa "=1, e a motivo della formola (7) del num. 55, avremo 


del 
Le TT 


(7) 


—— sino 


“e 
Lu 
a 

N di 

Dai 


Notisi che dovendo l'elemento p nel trascendente (p, g) essere positivo 
(num. 59). vi è per l’antecedente (0) la condizione di @<r, e per la (7) la 
condizione di a<1. 

Si trasformi la (7) facendo z=x", e supponendo 7 positiva: i limiti ri- 
mangono gli stessi; quindi col porre @rn = si ha prontamente 


ORA 
(P) 7 mer. 
, nsin— 
n 
insigne formola di Eulero in cui dagli antecedenti si deduce per « la condi- 
zione di dover essere compresa fra zero, 72. 
È facile cavar dalla (p) le due 


LAI Delta 


TI 


(0) 


. AT 
2 SIN DICOSi 
2 


A 
per la prima delle quali « deve avere un valore fra zero, 2, e per la seconda 
fra —1, 1: essendo per entrambe 7° quantità positiva. 

Tutta l’analisi magistrale di questo numero è dovuta al sig. Legendre (*). 


(‘) Exercices de Calcul Intégral. IV." P., pag. 100. 


ANALISI 209 


92. Ora cerchiamo il valore penne 


fil (1810) 


che per brevità chiamo Y, il Ki è uno dei più osservabili cui sia giunto il 
sig. Cauchy col sussidio del suo nuovo calcolo dei residui (*). 
Diamo ad Y l’espressione 


(L= 
c a cos.d x “ sin.da 
rasin E fd te 08 ( de. Ù 
+ ax x 
facciamo 
ERO: LE" cCOndx sa x sin.da 
y= e = di i Aire cern dex. —— 
À r+a i piste 


ed arriveremo facilmente alle equazioni 


(7) po — f dx »L cos.bae + r° JI 


(7) =_( da x° sinbae+r°2. 


Qui gl’integrali sono funzioni assegnabili di è mediante le precedenti formole 


(?), e si giunge alle 


d' — AT 
Soa) — r'y=—T(a)b" cos. a 
di È . AT 
(7) — r°2z =—T(a)b® sin. — 


i cui integrali completi per le formole (E), (47) del num. 85 sono 
yI= — T' (a) cos. nad jet fi db. ev ho — e S db - evi 


I . AT 
2 =— F(0) sin. fer fdb ‘ebbro — e» f db Lett tb : 
2r 2 
Si chiamino per un momento (0), Q(6) le funzioni incognite di 4 equiva- 
lenti ai due integrali indefiniti n° to AR cd è f db-e‘b“, e i precedenti 


valori di y, 3 dovranno scriversi 


sa et, att dt E \ br __ br 
Y= FpT(0) cos. E fe rP—e»Q+ Ae 5 e 
pa T'(a) sin. su jet P—_erQ9+ d'e"—- Ber) 


(*) Exercices de Mathématiques. Tom. I, pag. 108, 


206 PARTE SECONDA 


essendo 4, B, 4', B' quattro costanti indipendenti da è ed arbitrarie. Avven- 
turatamente le funzioni incognite P, Q escono dal calcolo nel formare coi va- 


1 i da at Do 
lori precedenti quello di Y = sin. + y — COS. — «Z, €@ sl capisce dover 
2 2 


essere 


YV=Mebt+ Ne» 


significando M, /V quantità da determinarsi che non contengono b. Pongasi in 
questa per Y l’ integrale equivalente, e si prenda la derivata dell’ equazione 
per rapporto a d: indi nella stessa prima, e nella sua derivata si faccia è = 0: 
giungeremo alle 

VE, ASI fai At 


fade =M+N 
DD 0 T°SE+-#9 


ATI Di 7 
COS. 2 f dx --=Mr-Nr. 
2 (o) r AI 


Qui si sostituiscano agl’integrali i loro valori dati dalle precedenti formole (0) 


Le E : SMCIR Je 
e sarà facile conchiuderne M ==. 7%? 


D 


trovata espressione di Y somministra 


, N="0. Per tal maniera l’ultima 


, TT TT 
sIn. sin. (< — bx\= — pl? ed 
2 


la cui derivatà per 2 riesce 


() = fdeZ co (E-s0)= 


formole nelle quali la @ ha rispettivamente le stesse restrizioni come nelle (0). 

93. Scolio. Osservò il sig. Cauchy nel luogo citato che la celebre formola di 

Laplace (la (a) del num. 72) è è contenuta come caso particolare in ‘quest’ ulti- 
ma (v) in cui facciasi «=0. Lo studioso ripassando colla mente tutto il pro- 
cesso analitico con cui siamo giunti alla precedente (v) si persuaderà che non 
vi entrano richiami di formole appoggiate alla ricordata di Laplace, quindi 
potrà conchiudere che la sua deduzione dalla precedente (v) è forse la. più 
limpida dimostrazione che finora ne sia stata data. 


7 ad=1 el” 


IIRS| 


(sarà continuato) 


PARTE PRIMA 


lu mig 
i DR gna CAN TL REALI 
RETTA TTT UBI 


(n 


"0 


da COCI #i 
FT APRE eri 


3 dA Pte! vu r'aetin VE, ii 


v) . 


iu fr” SH, 
et e 


Pi pu 
pf: 


FISICA MATEMATICA 297 


Continuazione e fine delle RIFLESSIONI SULLA LEGGE DELL’ATTRAZIONE MO- 
recoLare di cruseppE BELLI (V. Fascicolo III, pag. 237). 


ARTICOLO QUARTO 


Delle leggi di attrazione a cui è d’uopo ricorrere 
per conservare le più ricevute nozioni sulla costituzione de’ corpi. 


XXI. 


Da tutto quello che abbiamo superiormente veduto noi possiamo conchiude- 
re, esser cosa impossibile il far dipendere dalla sola gravitazione operante diret- 
tamente fra i corpi, la coesione di essi, la loro adesione, e gli altri fenomeni di 
attrazione al contatto de’ medesimi, se già non si vogliano adottare sulla 
interna struttura di essi corpi delle ipotesi stravagantissime, complicatissime, e 
quasi affatto assurde. E però per chi cerchi di appigliarsi al vero stato delle 
cose, per quanto le nostre attuali cognizioni il concedono, il migliore consiglio. 
è certamente quello di ricorrere ad una nuova forza attrattiva dotata di un’altra 
più rapida legge (e sia pure essa, se si vuole e se è possibile, un effetto indiretto 
della gravitazione medesima), la quale nuova forza spieghi più naturalmente que’ 
fenomeni, e nello stesso tempo lasci sussistere sulla costituzione della materia 
quelle nozioni a cui i Fisici dall'esame di molti fenomeni sono stati condotti. Al 
quale consiglio se noi vorremo attenerci, infinite leggi ci si presentano di decre- 
mento abbastanza rapido per l’aumentarsi delle distanze e di abbastanza rapido 
incremento per la diminuzione delle distanze medesime, onde possa una forza at- 
trattiva essere insensibile a qualche distanza ed assai energica al contatto de’ 
corpi. Dal che abbiamo il vantaggio di non vincolar punto la nozione che noi ci 
possiamo fare sulla struttura dei corpi medesimi, la quale noi possiamo ritenere 
quale meglio si accorda con tutti gli altri fenomeni fisici e chimici, sicuri di poter 
sempre fra cotali infinite leggi ritrovarne una che dia compiutamente ragione 
della coesione e dell’ adesione, con tutte le particolarità che in esse si potranno 
riconoscere. Se non è abbastanza rapida la ragione reciproca dei cubi delle distan- 
ze, noi possiamo ricorrere a quella delle quarte potenze reciproche, delle quinte, 
delle seste, ecc. E se la ragione reciproca di nessuna potenza intera delle di- 
stanze soddisfà pienamente a tutte le particolarità de’ fenomeni attrattivi al 
contatto de’ corpi, noi possiamo far ricorso o ad una potenza frazionaria inter- 
media alle suddette o ad una somma di più termini che decrescano con leggi 
diverse allo aumentarsi delle distanze. 

A me sembra pertanto esser questo in conclusione il partito più conveniente 
a prendersi, cioè: 

Opusc. Matem. e Fisici. 58 


ci PARTE PRIMA 


° Di lasciar sussistere sulla interna struttura dei corpi quelle nozioni che 
ora sono più accettate dai Fisici e dai Chimici, senza stillarsi il cervello a ri- 
cercare delle nuove e bizzarre ipotesi. E sieBpine la dottrina che più si accorda 
con tutti i fenomeni presentemente conosciuti è quella degli atomi, posta ora 
quasi fuor d’ ogni dubbio dalle scoperte sulla struttura Gta Seui e sulle 
proporzioni determinate, così noi potremo ammetter questa liberamente (Vedi 
intorno a ciò quanto si è detto al num. VII). 

2° Di ammettere, per la spiegazione della coesione e de’ fenomeni affini, che 
esista ne’ corpi, oltre all’ azione diretta della gravitazione, un’altra forza at- 
trattiva, la quale al cangiarsi delle distanze vari secondo una legge più ra- 
pida della ragione inversa de’ quadrati delle distanze stesse, rimettendo però la 
precisa determinazione di questa sua legge a quel tempo nel quale ci venga ciò 
permesso da una più chiara cognizione de’ fenomeni (1). 


XXIII. 


Ma, opporrà taluno, non è egli assurdo l’ammettere che in questi fenomeni 
presentati dai corpi al loro vicendevole contatto, la natura operi dissimilmente 
da se medesima, e che dopo avere da enormi distanze fino a distanze assai pic- 
cole seguita in un modo rigorosissimo la ragione de’ quadrati reciproci delle 
distanze, recati poscia i corpi fino al contatto, o per dire più esattamente fino 
a distanze piccolissime, muti ad un tratto il suo modo d’operare, e violi così 
quella legge di continuità che sì scrupolosamente ella suole osservare? E a qua- 
le distanza avverrà questo salto, per cui una legge cessi e sottentri l’altra? 

Per rispondere a questa obbiezione osserverò che io già non pretendo che la 
natura cangi la maniera di operare, e che vi sieno due specie di attrazione 


(1) Ecco come si esprime a questo riguardo il celebre Poisson, che è anch'esso di questo 
medesimo parere: 3) Toutes les parties de la matière sont soumises à deux sortes d’actions 
3) mutuelles. L’ une est attractive, indépendante de la nature des corps, proportionnelle au 
3) produit des masses, et en raison inverse du carré des distances: elle s'étend indéfiniment 
3) dans l'espace, et produit la pesanteur universelle et tous les phénomènes d’équilibre et de 
3) mouvement qui sont du ressort de la mecanique celeste. L’autre est attractive ou répulsive: 
» elle dépend de la nature des particules et de leur quantité de chaleur; son intensité décroît 
3) très-rapidement quand la distance augmente , et devient insensible, dès que la distance a 
» acquis une grandeur sensible...... Les corps sont formés de molecules disjointes, c'est-à-dire 
3) de portions de matière pondérable, d'une grandeur insensible, séparées par des espaces vides, 
3» ou des pores, dont les dimensions sont aussi imperceptibles à nos sens. Les molécules sont 
> si petites et si rapprochées les unes des autres, qu’une portion d’un corps, qui en renferme 
3) un nombre extrèmement grand, peut encore ètre supposée extrèmement petite, et la grandeur 
»» de son volume insensible ». Memoire sur les Equations générales de l Equilibre et du 
Mouvement des Corps solides elastiques et des Fluides; lu à Vl’ Académie des Sciences, le 12 
Octobre 1829: nel Journal de l’ École Polytechnique, XX Cahier, pag. 4. Ben s’avvede il 
lettore che la seconda delle forze ammesse da Poisson nelle parti della materia, è quella che 
risulta dal comporre insieme Vattrazione molecolare e l’azione del calorico tendente a separare 


le molecole Vuna dali’altra. 


FISICA MATEMATICA 209 

operanti separatamente, delle quali l'una valga rigorosamente alle grandi di- 
stanze e cessi affatto alle minime, mentre l’altra operando energicamente alle 
minime svanisca poscia assolutamente alle grandi. Ma si ammettono due attra- 
zioni contemporanee, operanti l’una e l’altra a tutte le distanze, tali però che 
l’una alle piccole distanze sia grandissima e di gran lunga prevalente, ma ra- 
pidissimamente scemi allo accrescersi delle distanze stesse, talchè sebbene ella 
esista ancora alle grandi distanze, pure sia in esse sì debole da non potere in 
milioni e milioni di secoli produrre un effetto riconoscibile; l’altra in vece sia 
estremamente piccola alle brevi distanze e fra le piccole masse e di gran lunga 
minore della prima, ma pure nel passare alle grandi distanze e alle grandi 
masse, ingrandendosi per queste ultime assai più che non iscemi per quelle, 
possa divenire grandissima, ed operare perciò poderosamente sulle masse celesti 
e ritenerle nelle loro orbite: così i corpi, essendo sottoposti all’azione combinata 
di ambedue queste forze, non mostrano sensibilmente alle grandi distanze che i 
soli effetti della seconda di esse, e alle distanze piccolissime que’soli della prima, 
vale a dire di quella dotata della più rapida legge. Ovvero anche, componendo 
le due attrazioni in una forza unica, il che in ultimo conto torna esattamente 
allo stesso (1), si ammette esistente ne’ corpi una sola forza attrattiva che operi a 
tutte le distanze, ma la cui legge debba essere espressa per mezzo di due termini, 
l'un de’quali decresca allo accrescersi delle distanze nella ragione inversa dei qua- 
drati di queste e l’altro in una ragione più rapida (potendo però quest’ultimo ter- 
mine, se così vuole il bisogno, essere formato dall’unione di parecchi); e il primo 
de’ quali termini prevalga alle grandi distanze, e il secondo in vece sia maggiore 
e di gran lunga prevalente alle minime. A questo modo non vi ha interruzione 
o salto da una legge ad un’altra, e rimane del tutto illesa la legge di continuità. 

Si potrebbe anche supporre che quest’ unica attrazione la quale dà origine 
alle due specie di effetti, abbia per espressione dell’ azion sua fra due punti 
materiali una funzione delle distanze, la quale, senza essere formata dall’unione 
di più potenze moltiplicate per coefficienti costanti, sia nulladimeno di tal natura, 
che allorquando queste distanze sono incomparabilmente maggiori delle dimen- 
sioni delle molecole elementari de’ corpi, il valore di essa funzione coincida quasi 
esattamente colla seconda potenza reciproca di tali distanze moltiplicata per un 
coefliciente costante; e che quando al contrario queste distanze non sono gran- 
dissime in paragone delle dimensioni delle molecole, il valore della medesima 
funzione sia molto più grande di quello di essa seconda potenza reciproca mol- 
tiplicata pel coefficiente costante. E molte funzioni si possono immaginare le 
quali godano di siffatta proprietà; tali potrebbero essere le seguenti 


O pl 
Ds ro) 


e ze]=er,}ÈÈ o _______________—r- rr _—_—_——__+—_———————— 


3 GOG: 


(1) Vedi il passo di Laplace citato più sopra al numero X. 


300 PARTE PRIMA 


essendo e la base de’ logaritmi iperbolici, log. il simbolo di questa specie di 
logaritmi, 4 una quantità poco diversa dalla lunghezza dei diametri delle mo- 
lecole, e x la distanza fra i punti materiali che vicendevolmente si attraggono. 
Quest'ultima maniera di vedere sarebbe quella che potrebbe venire adottata da 
coloro i quali riguardano l’attrazione vicendevole de’ corpi non già come una 
proprietà primitiva della materia, ma bensì come una proprietà derivativa ossia 
come una conseguenza di qualche altra proprietà della materia medesima (1); 
egli è in fatti ben noto, che quantunque le cause operanti sieno sovente rego- 
late da leggi assai semplici, gli effetti loro nei corpi sogliono nulladimeno 
avere delle leggi molto complicate. 


XXIII. 


Ma non è egli in opposizione, dirà alcun altro, con quella maravigliosa sem- 
plicità di mezzi che sempre si osserva in natura, il voler ammettere questa 
doppia forza attrattiva o questa complicazione di legge? Ella è cosa veris- 
sima, io rispondo, che la natura si vale sempre de’ mezzi più semplici, e che 
con un piccolissimo numero di cause e con leggi semplicissime ella riesce ad 
ottenere numerosissimi e diversissimi effetti; ed anzi si ha qui una delle più forti 
prove dell’infinita saggezza del Creatore. Però questa semplicità noi la dobbiamo 
ammirare ogni volta che ci avviene di scoprirla, ma non già presupporla gra- 
tuitamente in qualche fatto naturale a quel modo che a noi piace. Può essa aver 
luogo ora in maggiore ed ora in minor grado, secondo che al Creatore è parso più 
opportuno per la moltiplicità e per la convenienza degli effetti ch’Egli voleva 
ottenere; se talora non trovò sufficiente un solo mezzo, Egli ne avrà impiegato 
due, tre, secondo che avrà stimato più conveniente. E però noi coll’ immagi- 
narci anticipatamente e col limitare nel nostro pensiero questa semplicità, 
corriamo rischio di supporla in troppo alto grado, e di commettere con ciò de’ 
gravi errori. Le cause de’ fenomeni naturali dobbiamo sempre rintracciarle con 
altri modi più rigorosi di raziocinio, tenendo per certo che quando avremo po- 
tuto rinvenirle e pienamente conoscerle, vi troveremo sempre una più o meno 
grande ma ognor mer avigliosa CRE 

Il celebre Haiiy nello esaminare la struttura de’ corpi cristallizzati, venne a 
ritrovare per le molecole integranti dei corpi tre generi di forme, il Rn , 
il prisma triangolare, e il parallelepipedo, e questi non sempre regolari, e 
ciascun d’ essi in generale dissomigliante dall’un minerale all’altro. Ora questo 
risultamento il trovò egli sì semplice, posto a confronto colla innumerevole 
moltitudine delle forme cristalline de’ minerali, ch’ ebbe a dire, riconoscersi 


e e IIIIT[I[I 


(1) Così pensa fra gli altri il Le Sage da noi citato al num. XVI, riguardando egli l'attrazione 
de’corpì come prodotta dall’ urto di finissime molecole che si muovano velocissimamente nello 
spazio, e le quali incontrando i corpi gli spingano ad avvicinarsi l’uno all’altro: io però non 
intendo di punto ingerirmi nell’argomento dell’inzima essenza dell'attrazione. 


FISICA MATEMATICA 301 
qui il solito costume della natura, cioè economia e semplicità ne’ mezzi, ric- 
chezza e varietà inesauribile negli effetti (1). Pure la semplicità sarebbe stata 
ancora maggiore se le molecole integranti di tutti i minerali avessero avuto 
una forma unica, e questa fosse stata la più semplice di quelle tre ed altresì 
regolare. Ma sarebbe stata una stolta presunzione, e un pretendere di saper 
conoscere tutti i segreti della natura, se taluno avesse voluto sostenere che 
così veramente stesse la cosa, presunzione che sarebbe stata punita col nessun 
successo nel tentar di spiegare la struttura de’ corpi cristallizzati. 

D'altronde poi, tornando al caso nostro, quantunque l’ adottare una sola 
forza attrattiva sia una supposizione più semplice che l’adottarne due, egli è 
chiaro che il pregio di questa semplicità verrebbe affatto tolto dalla complica- 
zione e dalla stravaganza che si dovrebbe ammettere nella tessitura de’ corpi, 
come si è veduto nell’Articolo HI 


XXIV. 


Concedendo che l’attrazione universale esercitata direttamente fra i corpi, 
non sia la causa della coesione e degli altri effetti congeneri, potrebbe qualche 
Fisico pensare (come si è già accennato al num. XIX) che questa forza li pro- 
duca indirettamente, coll’operare, a cagion d'esempio, su qualche fluido sottile 
sparso nello spazio, il quale fluido reso pesante da questa forza, si opponga 
colla sua pressione alla separazione de’ corpi in contatto, e produca i medesimi 
effetti come una nuova forza attrattiva sottoposta ad una legge più rapida. Io 
non discuterò qui una tale opinione stata emessa già da lungo tempo (per quanto 
è almeno dell’ipotesi del fluido sottile), e sulla quale si è già assai disputato (2). 
Io mi contenterò di avere, se non m’ inganno, dimostrato che gli effetti attrat- 
tivi che si manifestano al contatto dei corpi non possono dipendere dall’attra- 
zione universale esercitata direttamente fra essi corpi, nel supposto che questa 
forza operi attraverso alla materia, în ragione diretta del prodotto delle masse e 
inversa de’ quadrati delle distanze; e che nemmeno possono questi effetti ve- 
nir cagionati da verun’ altra forza diversa dalla gravitazione, ma operante 
fra i corpi colla medesima legge (vedi al numero XX). E in quanto alla 
ipotesi particolare che l’attrazione universale produca indirettamente cotali 
effetti per mezzo di quel fluido sottile, senza accingermi a combatterla mi limi- 
terò a dire, che nello stato attuale delle nostre cognizioni ella non è gran fatto 
soddisfacente. Non sono lontani presentemente i Fisici dall’ ammettere sparso 
negli spazii un fluido sottile; si può anche ragionevolmente ritenere, da quelli 
cui piace ammetterlo, che esso sia pesante; ma se esso invade anche gli inter- 


(1) Traité “léementaire de Physique, Paris 1821, Tom. I, pag. 64. 
(2) Veggasi la Memoria di Musschenbroek che ha per titolo Introduezio ad cohaerentiam 
corporum firmorum, verso il principio. Si può anche consultare il nuovo Dizionario Fisico 


di Gehler, Tom. I, pag. 525; Tom II, pag. 1x5. 


302 PARTE PRIMA 


valli fra le molecole, non si vede come possa premerle l’una contro l’altra, e 
tenerle legate insieme a una piccola vicendevole distanza. 

Comunque sia, questa azione indiretta sarebbe sempre una nuova causa ol- 
tre all’azione diretta dalla gravitazione; e questa nuova causa dovrebbe spingere 
i corpi l’un verso l’altro, per quello che si è detto nel numero XX, con una 
legge diversa da quella dei quadrati inversi delle distanze. 


XXV. 


Abbandonata adunque pei fenomeni molecolari l'attrazione di gravitazione 
esercitata direttamente fra i corpi, come pure la legge de’ quadrati reciproci 
delle distanze, ci rimarrebbe ora a vedere qual sia i: vera legge dell’attrazione 
molecolare; Lib a dire, immaginando che gli effetti attrattivi i quali si mostra- 
no"al contatto apparente dei corpi, vengano diminuiti di tutta la parte dovuta 
alla gravitazione, sarebbe a determinarsi la legge secondo la quale opera quella 
causa che produce in essi corpi la rimanente parte di quegli effetti medesimi, 
parte che è senza paragone la più grande. Io mi era già occupato nella citata me- 
moria anche di questa ricerca (1), e ammettendo che questa causa sia una forza 
attrattiva la quale si eserciti direttamente fra i corpi ove si manifestano quegli 
effetti, ed operi attraverso alla materia, con una energia proporzionale alla 
massa lana aveva dimostrato per mezzo di calcoli approssimativi che per 
ispiegare la coesione e l’adesione conviene ricorrere ad una legge almeno più ra- 
pida di quella della ragione reciproca delle quarte potenze delle distanze, e che 
non basta la ragione reciproca dei cubi delle medesime come alcuni avevano 
pensato (2). E a questa conclusione io trovava conforme anche il fenomeno della 
rifrazione della luce; al quale ultimo argomento però io do ora men peso, cono- 
scendo non essere ben sicura la dottrina dell’ emissione della luce. I fenomeni 
poi de’ tubi capillari mi portavano ancora più innanzi, cioè a conchiudere che 
supponendoti prodotti dall’attrazione molecolare, dee questa operare secondo una 
legge più rapida di quella delle quinte potenze reciproche delle distanze. Io potrei 
presentemente trattare di nuovo questa parte del mio soggetto col mezzo di 
calcoli più rigorosi; ma siccome non verrei ancora con ciò alla determinazione 
precisa della vera legge, e nemmeno a recare la questione più innanzi che 
allora, non essendo abbastanza inoltrate le nostre cognizioni sulla struttura dei 
corpi, e sulle leggi degli effetti dell’attrazione molecolare, così ho pensato di 
riserbare una tal parte del mio lavoro ad altro tempo, allorquando qualche 
nuovo fenomeno o qualehe nuova considerazione mi permetterà per avventura 
di dire qualche cosa di più preciso. 


(1) Giornale di Fisica di Pavia, 1814, pag. 169 e seg. 
(2) Haiiy. Traité lémentaire de Physique, Tom. 1, pag. 48. 


FISICA MATEMATICA 303 
NOTA 


Sì espongono in questa Nota le dimostrazioni di alcune Proposizioni di cui si è fatto uso ne” 
due numeri XIV e XV, e che non si sarebbero potute ivi dimostrare senza troppo interrom- 
pere il filo de’ ragionamenti. Parecchie di siffatte Proposizioni sono, a dive il vero, per se 
evidenti, quelle cioè dal $ 1 al $ 15 inclusivamente; e di esse a molti lettori potrà bastare il 
veder l'enunciazione, ammettendone del resto la verità come se fossero assiomi. Ho nulladi- 
meno voluto dar la dimostrazione anche di queste, cioè mostrare come esse dipendano dai 
principii fondamentali della Geometria e della Meccanica, per dare tutto il rigore che per me 
si poteva alle dottrine che vi si appoggiano. 

1. Lemma I. Suppongasi che in un dato piano vi abbia unafretta di determinata lunghezza, 
nella quale si trovi concentrata e uniformemente distribuita per tutta questa sua lunghezza una 
data quantità di materia; e che in un altro piano, parallelo al precedente, si trovi un punto 
materiale (un punto cioè ove sia concentrata una determinata quantità di materia) il quale 
venga attirato da questa retta in conseguenza della gravitazione. Se questo punto si traspor- 
terà successivamente in diverse posizioni, movendosi nel suo piano lungo una retta parallela 
alla retta data, ne avverrà che decomponendo l’attrazione esercitata fra il punto e la retta in 
due forze luna perpendicolare e l’altra parallela ai due piani, la componente perpendicolare 
si aumenterà allorquando il punto immaginato s accosterà col suo movimento al punto di 
mezzo della retta, e in vece questa medesima componente diminuirà quando il detto punto 
materiale si allontanerà dal punto di mezzo suddetto. 

Noi considereremo soltanto il caso dell’avvicinamento, ciò bastando come è facile a vedersi. 
E cominceremo ad osservare essere affatto lo stesso per riguardo all’effetto dell’ attrazione, 
sia che il punto materiale percorra col suo movimento un determinato spazio, sia che si 
muova per altrettanto spazio in direzione contraria la retta attraente, e sia anche che venga 
levata da questa retta, alla estremità più lontana dal punto materiale, una parte uguale in 
lunghezza allo spazio che si suppone percorso dal punto e che in seguito questa parte torni 
ad essere aggiunta alla retta suddetta dall’altra sua estremità e nella stessa di lei direzione. 
Ciò posto , non è diflicile a dimostrarsi che in quest’ultimo caso tutti i punti della parte di 
retta trasportata si collocano più appresso al punto materiale di quello che fossero precedente- 
mente, e che perciò l'attrazione fra questa parte trasportata e il punto materiale, conside 
ratone l’effetto nell’indicata direzione, si aumenta. 

Rappresentiamo in fatti nelle figure ro (4) e 10 (6) con 

BC la posizione della retta materiale pria ch’ella venga segata, con 

Bb la parte tagliata, con 

Ce la nuova posizione data a questa parte tagliata, con 

A4' Ja projezione del punto materiale, projettato perpendicolarmente sul piano ove si sup- 
pone esistere la retta BC; e chiamiamo 

A questo punto materiale stesso , esistente, per ciò che si è detto, in una retta alzata dal 
punto 4’ perpendicolarmente al piano or ora citato. E supponiamo che nella figura (4) 
tutta la retta BC e la parte Cc si trovino da una medesima banda per riguardo alla per- 
pendicolare abbassata dal punto 4' sulla direzione di BC; e che nella figura (6) le linee Cc e 
BL si trovino da due bande opposte per rispetto alla perpendicolare calata da 4’ su BC. 

Noi veggiamo nella prima di queste figure che tutti i punti di Cc si trovano più vicini al 
punto 4' e perciò al punto 4 che non i punti di 22. In conseguenza di ciò, l'energia dell’at- 
trazione esercitata secondo la direzione perpendicolare ai due piani, dal punto 4 verso un 
punto qualsivoglia del pezzo di linea trasportato si aumenterà per questo trasporto, essendo 
quest'energia proporzionale alla distanza fra i due piani divisa pel cubo della distanza fra i 


304 PARTE PRIMA 


due punti suddetti; e perciò s'aumenterà eziandio l’effetto dell’attrazione esercitata nel supposto 
verso fra 4 e la retta 25, col trasportarsi di questa alla posizione Cc; e aggiungendo l’attra- 
zione di 2C, ne verrà che l’effetto attrattivo fra il punto A e la intera BC si farà maggiore 
col ridursi di questa retta, mediante il trasporto di 8 2, alla retta 2c. E si aumenterà pure, 
e della stessa quantità, l'attrazione fra 4 e BC nel caso che la riduzione della BC alla 
retta dc si ottenga col mezzo di un movimento della total linea BC senza che questa venga 
segata, giacchè, come s'è già avvertito, l’ultima grandezza dell’ attrazione fra 4 e BC dipende 
unicamente dalla posizione finale della linea BC e in nessun modo dalla maniera colla quale 
viene operato il cangiamento di posizione. Questa parte della dimostrazione vale pel movi- 
mento della linea BC dalle posizioni più lontane da 4, fino alla posizione in cui questa linea 
colla sua estremità più vicina ad 4 sia arrivata alla perpendicolare calata da 4°. 

Nella figura (6) si scorge che, essendo 4’c 0 minore o al più uguale ad 4/8, ed essendo il punto 
c quello che in tutta la retta Cc è il più lontano da 4, mentre 5 è il punto più vicino ad 4’ 
che possa aversi in tutta la Bd, si scorge, io dico, che tutti i punti di Cc sono più vicini ad A' 
e per conseguenza anche ad 4 che non i punti di Bd, trattone qualche caso in cui i pun- 
ti 5 e c potrebbero essere alla medesima distanza da 4. L’attrazione perciò fra Cc ed 4, nella 
direzione perpendicolare ai due piani, è maggiore di quella fra Bd ed 4; e così l'attrazione 
fra A e la retta BC si accresce, se questa linea viene a prendere la posizione de, sia che ciò 
avvenga per mezzo del trasporto di una delle sue parti la quale dal luogo 2% passi al Cc, 
ovvero per mezzo di un movimento dell’intera linea 8C. Questa seconda parte della dimo- 
strazione vale pel caso del movimento di questa linea BC dalla posizione nella quale una 
delle sue estremità si trova nella perpendicolare abbassata da 4/, fino alla posizione in cui si 
trova in questa medesima perpendicolare il suo punto di mezzo, e nella quale l'attrazione 
nella direzion considerata è al suo massimo. 

Segue da tutto ciò che l’attrazione fra BC ed A considerata nel verso già detto, s’ accresce 
sempre allorquando questa linea BC si muove di tal maniera secondo la propria direzione 
che il suo punto di mezzo venga a portarsi più vicino ad 4. E siccome non vi ha la minima 
differenza riguardo all’attrazione summenzionata, dal muoversi della linea BC per un verso 
al muoversi del punto 4 in una direzione para]lela ma pel verso contrario, così se ne con- 
chiude che una tale attrazione si aumenta anche allorquando il punto 4 movendosi paralle- 
lamente alla retta BC si avvicina al punto di mezzo di questa. 

2. Osservazione. Se il punto 4 dopo esser giunto alla minima distanza dal mezzo della BC 
continua a muoversi pel medesimo verso, in maniera da scostarsi di nuovo da esso punto di 
mezzo, l'attrazione suddetta nel verso perpendicolare ai due piani torna a diminuire; e ad 
eguaglianza di distanze fra il punto 4 e il suddetto punto di mezzo della BC le attrazioni 
sono uguali. 

5. Lemma IT. Supponiamo che in un dato piano vi abbia una retta, dove si trovi, come pre- 
cedentemente, concentrata e uniformemente distribuita una data quantità di materia, e che in 
un altro piano parallelo al precedente vi abbia, non più un semplice punto, ma un’altra retta 
parallela a quella or ora supposta, e dove similmente si trovi concentrata e uniformemente 
distribuita un’altra data quantità di materia, avendo le quantità di materia distribuite nelle due 
rette un qualunque rapporto fra loro, e similmente essendo le lunghezze delle rette medesime 
in un rapporto qualunque, uguale o no a quello delle masse. Se una di queste rette verrà a 
muoversi secondo la sua direzione, rimanendo parallela a se medesima, e se mediante questo 
movimento il suo punto di mezzo si accosterà al punto di mezzo dell’altra retta, l'attrazione 
esercitata fra queste due rette nel verso perpendicolare ai due piani si farà maggiore; e la 
massima attrazione avrà luogo alla minima distanza fra i due punti di mezzo. 

Si rappreseati (fig. 11) con 48 la retta mobile, la quale se le due rette sono ineguali noi 
supporremo essere la più grande, con C il suo punto di mezzo, con a/8’ la projezione della 
retta immobile sopra il piano di quella mobile, e con c' il suo punto di mezzo, chiaman- 


FISICA MATEMATICA 305 


do ab la retta immobile medesima e c il suo punto di mezzo; e intendo , tanto qui come al- 
trove, che il projettamento sia fatto perpendicolarmente al piano della projezione. 

Egli è facile a vedersi che in luogo di supporre un movimento col quale la retta 48 si 
trasporti alla posizione 4’B', noi possiamo immaginare levata da essa 48 una parte 44’ e 
trasportata questa alla posizione BB”. Ora se nel movimento della 48 il suo punto di mez- 
zo C passa ad una posizione C” più vicina a c', di maniera però che i due punti C e C' si 
trovino da una medesima banda per riguardo alla perpendicolare calata da e’ su 48, il pun- 
to B' sarà più vicino che non 4’ al punto c, sia che esso punto #' si trovi dalla medesima 
banda di C' per rispetto alla detta perpendicolare, sia che si trovi dalla banda contraria; e 
tutti i punti di 8.2’ saranno più vicini a c che non qualsivoglia punto di 4 4’. Segue da ciò che 
l’attrazione esercitata perpendicolarmente ai due supposti piani, dalla retta «4 verso un punio 
qualsivoglia di 44’ diverrà più energica in forza del trasporto di essa 44' alla posizione BB/, 
come si ha dal Lemma I.°; e che per conseguenza l'attrazione fra la a e tutta la 4B, nel 
verso supposto, diverrà maggiore allorquando quest’ultima retta prenderà la posizione 4’B' 
mediante un tale trasporto della parte 44’ alla posizione B5”. E questo aumento avrà luogo 
anche nel caso che il cangiamento di posizione si effettui per mezzo di un movimento dell’in- 
tera retta 45. 

Se il punto C' si troverà nella perpendicolare calata da c' su 4B, i punti 4/,B' saranno 
ugualmente lontani da c; ma B' sarà il punto più lontano da c in tutta la BB’, e A' il punto 
più vicino a c in tutta la 44’; perciò anche in questo caso il trasporto della 4.4’ alla posi- 
zione BB’ come pure il passaggio della 48 alla posizione 4/8’ faranno aumentare l'attrazione 
nel verso già detto. 

4. Lemma III. Si supponga che lungo una medesima retta geometrica collocata in un dato 
piano si trovino parecchie rette materiali collocate a qualche distanza l’una dall’altra, le quali 
abbiano le masse nella proporzione delle rispettive lunghezze, e in ciascuna delle quali la massa 
sia distribuita uniformemente per tutta la propria lunghezza. Si supponga che in un altro piano 
parallelo al precedente e lungo un’altra retta geometrica parallela alla precedente, si trovino 
parecchie altre rette materiali, disposte similmente a qualche distanza l’una dall’altra, con 
masse proporzionali alle rispeitive lunghezze, e aventi ciascuna la propria massa distribuita 
uniformemente per tutta la sua lunghezza; di maniera però che prendendo uguali lunghezze 
in queste ultime rette e nelle prime, le masse corrispondenti a queste lunghezze possano 
essere dall’ uno all’ altro sistema in un rapporto qualunque. Supposta determinata Vat- 
trazione vicendevole che ha luogo fra questi due sistemi di rette materiali così collo- 
cate, secondo la direzione perpendicolare ai due piani, concepiamo che le rette apparte 
nenti all’uno de’ sistemi si muovano secondo le loro direzioni fino ad unirsi insieme in una 
retta unica di una lunghezza uguale alla somma delle lunghezze delle rette componenti, e 
collocata anch'essa nella medesima retta geometrica; concepiamo che lo stesso avvenga per 
riguardo all’altro sistema di rette; e immaginiamo in fine che l’una qualunque delle due rette 
materiali risultanti, movendosi convenientemente lungo la rispettiva retta geometrica si 
trasporti fino a porsi col suo punto di mezzo alla minima distanza possibile dal punto di 
mezzo dell’altra retta materiale. L’attrazione che verrà esercitata perpendicolarmente ai 
due piani fra cotali due rette materiali risultanti ridotte a quest’ultima posizione, è maggiore 
di quella che qui sopra abbiamo supposta determinata e la quale aveva luogo fra i due si- 
stemi di rette materiali mentre queste erano ancora separate. 

Chiamiamo 4, B, €, - - - N le rette materiali esistenti nell’uno de’ piani, prese per ordine 
incominciando da una delle estremità del loro sistema e venendo gradatamenie alla estre- 
mità opposta. 

Chiamiamo a, d, c, - - » n le rette materiali che compongono l’altro sistema, supposte prese 
per ordine l’una dopo l’altra camminando per un verso analogo a quello che conduce da 4 
ad N. Può vedersi questa disposizione rappresentata nella figura 12, nella quale le rette se- 


Opusc. Matem. e Fisici. 39 


306 PARTE PRIMA 4 


gnate 4, B, C,--- N rappresentano le rette materiali del primo sistema, c quelle segnate 
a', b', c',--- n' rappresentano le projezioni gettate sopra il piano delle precedenti dalle rette 
materiali a, è, c, » - - n esistenti nell’altro. piano e costituenti l’altro sistema. 

Chiamiamo in fine 7 l’effetto dell’attrazione fra i due sistemi di rette prima de’ loro spo - 
stamenti, nella direzione perpendicolare ai due piani. 

Immaginiamo dopo ciò che si sia condotto un piano perpendicolare alle direzioni di queste 
rette, il quale lasci da una medesima banda tutte le rette medesime tanto dell’uno quanto 
dell'altro sistema; e il quale, per fissare le idee, sia collocato per rispetto a cotali rette da 
quella banda ove si trovano le due N, n; e scegliamo quella delle due rette 4, a la quale ha 
il suo punto di mezzo ad una maggiore distanza da un siffatto piano. Supponendo che ella 
sia la retta /, concepiamo che questa, mantenendosi parallela a se medesima, si muova se- 
condo la sua direzione per avvicinarsi a B, e continui a muoversi in sino a che o arrivi ad 
unirsi colla B, ovvero, se questa seconda cosa accade più presto, insino a che il suo punto di 
mezzo sia giunto alla sua più piccola distanza dal punto di mezzo della a. Avendo luogo il 
primo di questi due casi, si supponga che all'istante del toccarsi delle due rette il movimento 
della 4 si fermi; avendo invece luogo il secondo caso, si concepisca che un tale movimento 
della 4 venga ancora continuato, ma che inoltre prenda a muoversi anche la retta a, essa pure 
secondo la propria direzione e per lo stesso verso di 4 e colla stessa velocità e serbandosi simil- 
mente parallela a se medesima, cominciando il suo movimento appunto in quell’istante nel 
quale il punto di mezzo della 4 perviene alla suddetta più piccola distanza dal punto di mezzo 
della a; e si supponga che questi due simultanei movimenti di 4 e di a sieno continuati sino 
a che o la 4 incontri la 8, ovvero la a incontri la d, e cessino entrambi all istante che suc- 
cede o luno o Valtro di questi incontri. 

Egli avverrà che per l’immaginato cangiamento di posizione l'attrazione vicendevole dei 
due sistemi nella direzione supposta si farà maggiore. Vi sarà infatti un aumento nell’attra- 
zione fra 4 ed a, in conseguenza del ravvicinamento de’ loro punti di mezzo (Lemma Il). Vi 
sarà eziandio un aumento nell’attrazione fra 4 e ciascuna deile linee 2, c, - = = n, per la 
medesima ragione. Riguardo all’attrazione fra l’aggregato delle linee B, C, - - - N e la linea a 
vi sarà aumento nel caso che la « abbia cangiato di posizione, non vi sarà variazione nel caso 
che la a sia rimasta al suo luogo. L’attrazione in fine fra aggregato delle rette 8, C,- - - N 
e quello delle rette d, c, - - - n rimarrà costante. Aumentandosi adunque alcune delle attra 
zioni parziali fra le lince materiali de’ due sistemi, e rimanendo costanti altre delle attrazioni 
medesime, la somma loro diverrà necessariamente maggiore. 

Oltre a ciò col mezzo di questo cangiamento di posizione due delle rette 4, 8, O, - - - N, 
a, b, c,=-- n verranno a formarne una sola, e perciò il total numero di esse rette scemerà 
di una unità. 

Fseguitosi questo primo cangiamento di posizione o ravvicinamento delle rette materiali, 
immaginiamo che ne succeda un altro affatto simile ne due sistemi di rette che si vengono ad 
avere di poi. Ne risulterà similmente un aumento di attrazione, e una diminuzione di un’altra 
unità nel numero delle rette componenti ì due sistemi. 

Se noi immaginer emo quindi un terzo cangiamento di posizione o avvicinamento di rette, un 
quarto, ecc. in sino a che i due sistemi di rette si sieno ridotti a non essere formati che da una 
sola retta ciascuno, vi sarà in ognuno de’ cangiamenti un nuovo accrescimento di attrazione. 

E se infine noi immagineremo che le due rette materiali, alle quali i due sistemi si ridurranno 
dopo questi ravvicinamenti, prendano delle tali posizioni rispettive, per mezzo di un opportu- 
no movimento dell’una di esse, che i loro punti di mezzo vengano a trovarsi in una retta 
unica ad esse perpendicolare, la loro vicendevole attrazione riceverà un altro aumento. 

Segue da tutto ciò che l'attrazione vicendevole fra cotali due rette materiali risultanti, 
collocate in quest’ultima posizione , è maggiore dell’attrazione 7 che aveva luogo fra i due 
sistemi delle reite primitive. 


FISICA MATEMATICA 307 


Può avvenire che le due rette 4,4, 0 quelle che tengono il luogo di esse nel seguito delle 
operazioni indicate, abbiano fin da principio i loro centri ugualmente distanti dal piano im- 
maginato, come pure che esse rette, mentre si vanno avvicinando a questo piano, vengano ad 
incontrarsi tutte e due nello stesso istante con quelle che rispettivamente le seguono. In questi 
casi però non v'è altro di particolare che una maggiore semplicità in alcune delle suddette 
operazioni; nè è necessario trattenersi su ciò di proposito. 

5. Teorema I. Supponiamo che una data quantità di materia sia concentrata e uniformemente 
distribuita in una superficie piana la cui estensione sia data ma di cui si possa cangiare la figura 
ad arbitrio ed anche dividere in più parti staccate, le quali però sieno sempre disposte nel piano 
medesimo. Supponiamo inoltre che un’altra quantità data di materia sia concentrata ed uni- 
formemente distribuita in un’altra superficie piana parallela alla precedente, di un’ estensione 
ugualmente data, ma di cui possa similmente mutarsi la forma a nostro arbitrio. E sieno le 
estensioni delle due superficie proporzionali o no alle masse rispettive. Fra i diversi valori 
che potrà avere l’attrazione esercitata fra queste due masse nella direzione perpendicolare ai 
due piani, corrispondentemente alle diverse forme che possono darsi alle superficie attraenti 
conservando loro la medesima estensione, il più grande di tutti sarà allorquando le suddette 
due superficie avranno la forma di due cerchii co’centri collocati ambedue in una retta 
perpendicolare ai loro piani, 

Dimostrazione. Noi osserveremo prima di tutto che l’attrazione delle due masse nella 
direzione supposta, non può col variare di forma delle due superficie aumentarsi indefinita 
mente, ma che vi ha un massimo cui essa attrazione non. può oltrepassare. In fatti non può 
giammai cotale attrazione, qualunque sia la forma di queste superficie, giungere ad uguagliare 
quella che verrebbe esercitata fra le dette due masse, quando queste fossero concentrate in due 
punti aventi per vicendevole distanza la distanza de’ due piani. Per conseguenza, se noi sup- 
poniamo che le due masse abbiano una data disposizione, diversa da quella de’due menzionati 
cerchii, noi potremo bensì (come vedremo or ora) cangiare questa disposizione in maniera da 
aumentare l’attrazione fra esse due masse nella direzione perpendicolare ai due piani, ma non 
potremo recare l’aumento che sino ad un certo punto, dove una tale attrazione , per quella 
distanza dei due piani, per quelle estensioni superficiali e per quelle grandezze delle due masse 
attraenti, sia la più grande possibile. 

Rimane a dimostrarsi che un tale massimo di attrazione ha luogo allorquando le due masse 
si trovano distribuite ne’due citati cerchii. Ora ciò sarà manifesto quando si sarà provato che 
avendosi qualsivoglia altra disposizione, è sempre possibile il cangiar quesia per tal modo 
che le venga a corrispondere un maggior valore di siffatta attrazione. 

Immaginiamo adunque che le due superficie materiali abbiano una forma qualunque di- 
versa da quella de’ due cerchii suddetti. Noi possiamo osservare che qualunque sia questa loro 
forma, dovrà necessariamente aver luogo o l’uno o l’altro de’ due seguenti casi. 

Primo Caso. Potrà avvenire che fra le infinite rette le quali possono condursi ne’ piani di esse 
due superficie, ve ne sia qualcuna la quale abbia più parti separate giacenti nella superficie 
corrispondente. Ciò è quello che avverrebbe allorquando una almeno di esse superficie fosse 
composta di più parti staccate; ovvero, benchè consistente in un pezzo unico, avesse però de’ 
vani o interrompimenti al di dentro del suo contorno; ovvero finalmente avesse degli angoli 
o de’ seni rientranti. 

Per venire in questo primo caso alla conclusione proposta, sia la retta MON (fig. 15) nella 
condizione accennata, abbia cioè più parti separate comprese nella corrispondente superficie 
materiale rappresentata da 4BC. E sia abc la projezione dell’altra superficie materiale, 
sopra il piano di essa 4BC. Conduciamo per un qualunque punto di questo piano una retta 
PQ perpendicolare alla /7ON, e prendiamo questa PQ per asse delle ascisse x, suppo- 
nendo che queste x crescano nella direzione da P a Q. Sieno rispettivamente 77 e X la più 
piccola e la più grande ascissa cui possano avere i punti presi nella 48C; e similmente sieno 


308 PARTE PRIMA 


4 e k la più piccola e la più grande ascissa dei punti della ade. Conduciamo attraverso ad ABC 
una retta qualsivoglia AS parallela ad A/ON, di cui P’ascissa sia X; conduciamo similmente 
attraverso all’altra superficie materiale una retta che diremo rs parallela ad J7 ON e la cui 
projezione nel piano della 4BC abbia per ascissa x. Concepiamo per un istante che nella 
parte o nelle parti di RS che giacciono nella 4BC si trovi concentrata e uniformemente 
distribuita per tutta la loro lunghezza una quantità di materia la quale stia a tutta la massa 
di 4BC, come un rettangolo avente per lunghezza questa parte di RS o la somma di queste 
parti di RS, e avente per larghezza l’unità che si vuol assumere per le lunghezze, sta a tutta 
l’estensione superficiale di 4BC; e immaginiamo che similmente nella parte o nelle parti 
di rs che sono contenute nell’altra superficie materiale si trovi uniformemente distribuita 
una quantità di materia che stia a tutta la massa di essa seconda superficie materiale come un 
rettangolo avente questa parte o la somma di queste parti della rs per lunghezza e l’unità 
delle lunghezze per larghezza, sta all'estensione di questa seconda superficie materiale 
medesima; e chiamiamo 


S(%, 4) 


l’attrazione che in questo supposto verrebbe esercitata perpendicolarmente a’ due piani fra la 
parte o le parti di AS, e la parte o le parti di rs. 

Adottate queste denominazioni, l'attrazione totale fra le due superficie materiali, nella 
direzione perpendicolare ai due piani, sarà 


"IX de ‘ 
Lf PA S (0 4); 


come è chiaro dalle dottrine del Calcolo Integrale. 

Immaginiamo ora chela superficie materiale 42 C senza cangiare nè di massa nè di estensione, 
si muti di forma per tale maniera che quella parte di ciascuna retta perpendicolare a PQ, la 
quale giace in essa ABC, movendosi secondo la sua direzione senza mutare nè una tal dire- 
zione nè la propria lunghezza, si trasporti intorno a questa retta PQ, disponendosi con una 
sua metà dall’una banda di questa PQ e coll’altra metà dalla banda contraria; intendendo 
che allorquando una di queste perpendicolari a PQ avrà parecchie parti separate giacenti 
nella ABC, queste parti, pria di trasportarsi come si è detto, si riuniscano insieme in una sola 
retta di una lunghezza uguale alla somma delle lunghezze separate di esse parti. E immagi- 
niamo che una cosa somigliante avvenga eziandio per riguardo alla materia distribuita nel- 
l’altro piano, la quale in un modo affatto simile si supponga trasportata intorno a quella 
retta la cui projezione sul piano di ABC coincide con PQ. 


Indicando con 
f' (€, 4) 


l'attrazione che fra loro eserciterebbero, nella direzione perpendicolare ai due piani, le due 
precedenti rette di cui X, x sono le ascisse, dopo essere state trasportate nelle loro nuove 
posizioni e supposto che in esse si trovino ancora concentrate quelle stesse quantità di ma- 
teria che avevamo detto qui sopra, sarà l'attrazione esercitata perpendicolarmente ai due 
piani fra le due superficie materiali cangiate di figura nella maniera descritta, data dalla 


È k 
5A dX JS, SRO e 


Se ora noi paragoniamo f(x, A) con f'(x, X), noi scorgiamo che la seconda di queste 
quantità non è giammai minore della prima, ch'ella può talvolta essere uguale a questa, ma 
che necessariamente whanno valori di X, x pe’ quali ella ne è più grande; perocchè, come si ha 


espressione 


FISICA MATEMATICA 3og 


dai Lemmi IL e III, l’ultima disposizione delle due rette materiali attraentisi è quella che dà 
la massima attrazione possibile fra tutte le disposizioni che queste rette possono prendere 
movendosi lungo le proprie direzioni, laddove la prima disposizione può bene qualche volta 
trovarsi in questo caso, ma non sempre, e segnatamente ella non vi si trova quando la retta 
materiale appartenente alla 4BC è la MON, la quale per la fatta supposizione è formata di 
più parti staccate. Per conseguenza dando differenti valori alla X, potranno forse in certi casi 
esservi alcuni di questi valori, pe quali tutte le grandezze che potrà avere /'(x,.X) col mutarsi 
della x, sieno uguali alle corrispondenti grandezze di f(x, X); e per questi valori di X si avrà 


k k 
bf. da Sx, X)= fo dx f(x, A). 


Potranno anche in altri casi esservi dei valori di X pe quali col cangiarsi della x si abbia 
talvolta f(x, X) uguale a f(x, A), e talvolta f(x, X) maggiore di f(x,.X); e per questi valori 
di N sarà 


k k 
f dx -f'(x,)S f dx f(x, 2), 


come si ha dalle dottrine della quadratura delle curve. Ma vi saranno eziandio pecessaria- 
mente in ogni caso de’ valori di X, pe quali qualunque sia la x, sarà sempre f(x, X) maggiore 
di f(x, X); tale sarebbe il valore di .X corrispondente ad J7ON; e per questi ultimi valori di X 
sì avrà, come qui sopra, 


3 k 
S ‘dx 10, XS S, dx f(x, 2). 


Non vi sarà al contrario nessun valore di X pel quale si abbia f'(x, X) minore di f(x, 4). 
Segue da ciò che paragonando le grandezze delle due funzioni 


fase A), fase x) 


ora ad uno ed ora ad altro valore della X, si troveranno necessariamente de’ valori di essa 
X pe quali la prima di esse funzioni sarà maggiore della seconda; potranno forse esservi de’ 
valori di questa .X pe’ quali essa prima funzione sia uguale alla seconda; ma non avverrà giam- 
mai che la prima funzione sia minore della seconda. Sarà perciò , come vien dato dalla dot- 
trina della quadratura delle curve, 


Sax fo de Se > JA aa -f(x,X); 


l’attrazione cioè vicendevole delle due superficie materiali, secondo la direzione perpendicolare 
ai due piani, diverrà maggiore quando queste superficie passeranno dalla prima forma e 
disposizione alla. seconda. 

Secondo Caso. Potrà avvenire che fra le infinite rette le quali si possono condurre ne piani 
delle due superficie materiali, non ve ne sia nessuna la quale abbia più parti separate gia- 
centi nella superficie rispettiva; ma qualsivoglia di queste rette, quando seghi la corrispon- 
dente superficie, la seghi in due punti soltanto e vi giaccia con una sola sua parte. 

Per questo secondo caso, ritenuto sempre che il sistema delle due superficie sia diverso da quello 
di due cerchii co’ centri in una stessa retta perpendicolare ai loro piani, noi osserveremo prima di 
tutto, che alzata dal centro O di massa dell’una ABC di esse superficie (fig. 16) una retta perpen- 
dicolare al piano di essa 4BC e la quale incontri in un punto che diremo o il piano dell’altra 
superficie, e condotte pei punti O, o due rette fra loro parallele e situate ne’ piani suddetti, 
osserveremo dico, che per queste due rette vi saranno sempre delle posizioni colle quali luna 


310 PARTE PRIMA 


almeno di esse rette dividerà la rispettiva superficie materiale in due parti non simmetriche, in 
due parti tali cioè che facendone rotare una di un mezzo giro intorno alla retta dividente, non 
potrà essa sovrapporsi interamente all’altra. Proviamo ia fatti a supporre che una di queste 
rette, per esempio quella condotta per O, tagli sempre la superficie materiale esistente nel piano 
medesimo in due parti simmetriche, e supponiamo inoltre che questa retta, per una sua partico» 
lare direzione OY scelta arbitrariamente (fig. 14), abbia le sue due intersecazioni col contorno 
di 4BC collocate da due bande opposte per riguardo al punto O. In questo supposto una 
siffatta superficie 4BC sarà un cerchio col centro in O. Perciocchè, indicando con G una 
delle due intersecazioni di cui si tratta, e con OG’ una retta condotta da O al contorno 
di ABC in un’altra direzione qualunque diversa dalla OG, siccome la 4BC si suppone 
simmetrica intorno alla retta che divide per metà l'angolo GOG', così deesi avere la retta 
OG’ uguale ad OG; e avendo ciò luogo per tutte le altre rette condotte da O in modo ana- 
logo ad OG”, ne verrà che tutte le rette tirate da O al contorno della 4BC saranno uguali. 
Supponiamo ora in vece che la retta condotta per O, continuando a dividere sempre, in 
tutte le sue direzioni, la superficie 4BC in due parti simmetriche, abbia in una sua posi- 
zione OF scelta a piacere (fig. 15) le due intersecazioni con /BC situate. da una medesima 
banda per riguardo ad O. È facile il vedere che lo stesso dovrà avvenire per qualunque altra 
sua posizione OZ” in conseguenza della simmetria che dee aver luogo, nella nostra ipotesi, 
intorno ad una retta che divida per metà l’angolo YOF' formato da queste due posizioni, ed 
inoltre le due intersecazioni fatte colla superficie 4BC dalla seconda posizione OF” della sud- 
detta retta passante per O dovranno trovarsi a quelle medesime distanze da O come le due 
intersecazioni appartenenti alla prima posizione della retta medesima. Per conseguenza ABC 
sarà un anello rinchiuso fra due periferie circolari aventi O per comun centro. 

Ciò che si è detto di 4BC vale altresì per l’altra superficie materiale, la quale nel caso 
della supposta simmetria dovrà essa pure o essere un cerchio intorno ad 0, o un anello circo- 
lare pure col centro in o. 

Ora nel presente secondo caso della nostra dimostrazione noi non possiamo ammettere che 
nel sistema delle due superficie materiali vi abbiano anelli circolari; giacchè in questo sup- 
posto esso sistema apparterrebbe evidentemente al primo caso di essa dimostrazione il quale 
noi abbiamo già esaminato, e sarebbe escluso, per ipotesi, dal presente secondo caso del 
quale ora ci occupiamo. Non può adunque nè l’ una nè l'altra superficie essere formata ad 
anello. In quanto alla forma di cerchio intorno ad 00, potrà bensì questa concedersi per 
una sola delle due superficie materiali, ma non già per tutte e due contemporaneamente; 
giacchè questo sarebbe contrario all’ipotesi assunta sul principio della dimostrazione, essendoci 
noi proposti in questa di considerare quelle disposizioni e forme di esse superficie, le quali sono 
diverse da un sistema di due cerchii intorno ad una retta perpendicolare ai loro piani. Le disposi- 
zioni adunque che noi dobbiamo considerare in questo secondo caso non sono tali che possa 
aver luogo in ambedue le superficie materiali quella costante divisione in due parti simmetriche 
della quale abbiamo parlato. Ma vi debbono essere necessariamente delle direzioni per le rette 
condotte per O e per o, colle quali o luna o l’altra di queste due rette, o sì luna che l’altra, 
dividano la corrispondente superficie in due parti non simmetriche. 

Siano adunque le due superficie materiali di cui si tratta divise, o tutte e due o una sola, 
in due parti non simmetriche da un piano innalzato perpendicolarmente alle due superficie 
medesime, sulla retta POQ (fig. 16) passante pel centro O di massa della 4BC. Il che, per 
quello che ora abbiamo veduto, dee sempre potersi ottenere col dare una opportuna dire- 
zione alla retta POO. Prendiamo questa retta per asse delle ascisse, e operando allo stesso 
modo come nel primo caso chiamiamo rispettivamente 

H, Kla più piccola e la più grande ascissa de’ punti appartenenti alla superficie materiale 42C, 

h, k la più piccola e la più grande ascissa de’ punti appartenenti alla projezione ade. Sup- 
poniamo che attraverso alla 4BC sia condotta una qualsivoglia retta RS perpendicolare a 


FISICA MATEMATICA 311 


POQ terminata in R, $ al contorno di essa 4BC, e avente X per ascissa; e che attraverso 
all’altra superficie materiale sia condotta un’altra retta parallela a RS, co’ termini nel con- 
torno di questa seconda superficie medesima, della qual nuova retta, che noi chiameremo rs, 
la projezione sul piano della 4BC abbia x per ascissa, Concepiamo inoltre che nella RS si 
trovi uniformemente distribuita una tale quantità di materia ch’ella stia alla massa di tutta la 
ABC, come un rettangolo avente questa RS per lunghezza e avente l’unità delle lunghezze 
per larghezza sta all’intera estensione della 4BC; e facciamo una supposizione somigliante 
per riguardo alla rs e all’altra superficie materiale. E chiamiamo, come precedentemente , 


Sx, 4) 


l’effetto secondo la direzione perpendicolare ai due piani, della vicendevole attrazione eser- 
citata fra le due quantità di materia le quali si suppongono in RS e in rs. 

Immaginiamo dopo ciò che la superficie materiale 4BC, conservando la medesima esten- 
sione di prima, si cangi di forma per tal modo che tutte le rette in essa inscritte e per- 
pendicolari a PO0Q, movendosi secondo la propria direzione senza cangiare di lunghezza , 
vengano a collocarsi intorno a POQ in maniera da essere divise per metà dalla POQ 
medesima. Concepiamo che un somigliante cangiamento si effettui eziandio per riguardo 
all’altra superficie materiale, in cui pure le rette che vi sono inscritte e che hanno le rispet- 
tive projezioni perpendicolari a POQ, per mezzo di movimenti secondo la loro direzione 
sieno spostate di tal modo che le loro projezioni vengano ad essere divise per metà dalla 
stessa POQ; e chiamiamo 


S'(8, 4) 


l'attrazione vicendevole che verrà esercitata, nella direzione perpendicolare ai due piani, fra 
la quantità di materia distribuita nella RS e quella distribuita nella rs, dopo che queste sa- 
ranno state spostate nel modo dichiarato, supponendo che queste quantità di materia sieno 
le stesse di prima sì per la RS che per la rs. 

Noi possiamo notare che per valori quali si vogliano di X, x le supposte rette RS, rs, 
dopo lo spostamento di cui si è parlato, hanno la disposizione più favorevole per potersi 
attrarre a vicenda nel verso perpendicolare ai due piani, fra tutte le disposizioni che queste 
possono prendere movendosi lungo se medesime; ma che per riguardo alla prima loro dispo= 
sizione vi sono necessariamente de’ valori di X e di x pe’ quali essa disposizione non è la più 
vantaggiosa per una siffatta attrazione vicendevole. In fatti 

1.° Può essere simmetrica la superficie materiale 48 Cintorno al piano eretto sulla POQ 
e non esserlo l’altra superficie materiale; e allora, siccome tutte le rette inscritie in ABC e 
perpendicolari alla POQ sono divise per mezzo da essa POQ, ma così non avviene di molte 
delle rette analoghe appartenenti alla projezione abc, così vi sono molti valori di x pe quali 
la disposizione della rs non è la più favorevole per la sua attrazione colla RS, nella direzione 
già detta; 

2.° Può non essere simmetrica la superficie 4BC intorno all’ anzidetto piano, ed esserlo 
in vece l’altra superficie materiale; e in questo caso, per la stessa ragione che abbiamo or 
ora esposta, vi saranno molti valori della X pe' quali la RS non avrà la più favorevole 
disposizione per la sua attrazione colla rs nel verso già detto; 

35.9 Può essere in fine che nè l’una nè l’altra delle due superficie materiali sia simmetrica 
intorno al suddetto piano:in questo ultimo supposto, siccome il punto O è il centro di massa 
della 4BC, ed essa ABC non è simmetrica intorno all’anzidetto piano eretto su POQ, così vi 
saranno de’ valori di X pe’ quali la RS giacerà per una lunghezza maggiore della sua metà 
dalla banda sinistra del suddetto piano, ed altri valori di X pe quali essa AS giacerà per più 
della sua metà dalla banda destra; e riguardo alla rs dovranno esservi de’ valori di x pe” 
quali essa rs non sarà divisa per mezzo dal suddetto piano, ma eccederà o dalla banda destra 


312 PARTE PRIMA 


o dalla sinistra del medesimo; e però noi potremo sempre prendere la X e la x in modo che 
delle due rette RS, rs l’una sopravvanzi maggiormente dalla destra banda di esso piano eretto 
su POQ, e l’altra dalla banda sinistra, e così esse rette non abbiano la disposizione più 
favorevole per attraersi vicendevolmente nella direzione più volte detta. 

In conseguenza di tutto ciò potranno ben esservi de’ valori di X e di x pe' quali si abbia 


/ Lea r 
S'(2, A)=/S(x, 4), 
ma ve ne saranno eziandio necessariamente di quelli, pe’ quali sarà 


S'(x, 4) DIS(X; 4), 


laddove non potrà mai, per nessun valore di X e di x, essere la f(x, X) più piccola di 
f(x, X). Dopo ciò è facile a vedersi che la quantità 


(9 k 
x:f, da f'(x,3), 


la quale esprime l’attrazione vicendevole delle due superficie materiali, nella direzione per- 
pendicolare ai due piani, dopo il cangiamento di forma sarà maggiore della quantità 


K k 
SAxS da f(x, X) 
H h 


esprimente l’ attrazione fra le medesime superficie materiali, secondo la medesima direzione, 
avanti il loro cangiamento di forma. 

Deesi dunque conchiudere che per tutte le forme c disposizioni possibili che pos ssono darsi 
alle due superficie materiali, purchè tali forme e disposizioni non sieno quelle di due cerchii coi 
centri collocati in una stessa retta perpendicolare ai loro piani, la forza con cui queste due 
superficie si attraggono nella direzione perpendicolare ai loro piani, può sempre essere au- 
mentata mediante un opportuno cangiamento in esse forme o in esse disposizioni. Il massimo 
perciò di attrazione, del quale noi abbiamo già dimostrata l’esistenza, non può aver luogo se 
non allorquando queste due superficie sono entrambe circolari e collocate come si è detto. 

6. Teorema II. Supponiamo che in due piani paralleli fra loro sieno collocate due quan- 
tità di materia, condensate entrambe in ispazii meramente superficiali, ma ciascuna delle 
quali abbia nelle sue varie parti delle densità differenti, sia cioè con queste sue varie parti 
disposta in modo che pari masse prese in diverse di queste parti corrispondano a estensioni 
superficiali ineguali; e supponiamo inoltre che ciascuna di queste due quantità di materia 
possa cangiare disposizione senza però uscire dal suo piano, e senza che avvenga in nessuna 
delle sue parti nè condensazione nè rarefazione. Se si vuole che queste due quantità di mate- 
ria esercitino fra loro nel verso perpendicolare ai due piani la più grande attrazione possibile, 
converrà ch’ esse sieno disposte nella maniera seguente. La parte più densa della materia 
appartenente all’ uno ‘dei piani dovrà essere distribuita in uno spazio circolare; la parte che 
succede alla precedente nell’ ordine delle densità dovrà formare un anello circolare contiguo 
e concentrico a questo spazio circolare; la parte che ha la più grande densità dopo le due pre- 
cedenti dovrà formare un altro anello circolare esteriore, contiguo e concentrico all’ anello 
precedente; e così di seguito tutte le altre parti di materia esistenti nel medesimo piano do- 
vranno disporsi in tanti anelli circolari contigui fra loro e concentrici col cerchio centrale, 
succedendosi gradatamente l'un anello all’intorno dell’altro secondo che esse parti si succedono 
nell'ordine delle densità. Una disposizione affatto somigliante dovrà aver luogo rispetto alla 
materia distribuita nell’altro piano; e oltracciò il centro del cerchio e degli anelli esi- 


FISICA MATEMATICA 13 


stenti nell’uno de’ piani, e il centro del cerchio e degli anelli esistenti nell'altro piano, do- 
vranno trovarsi in una stessa retta perpendicolare ai due piani. 
Dimostrazione. Sia l'estensione superficiale che viene occupata dalla materia esistente nel- 
l’un de’ piani, composta delle parti 
A, B, C}2---=M,N, 


nelle quali questa materia abbia quelle densità a cui nell’ unità di superficie corrispondereb- 
bero rispettivamente le masse 


a, [a+ db], [a+b+c],---[a+b-+c---+m], [a+ b+c---+m+n], 


essendo d, c, - - — m, n, quantità tutte positive; le quali densità noi per brevità appelleremo 
la densità «, la densità [a+-2], ecc. rispettivamente, E similmente l’estensione occupata 
dalla materia che si trova nell’altro piano sia composta delle parti 


A! B', Cia M' NI, 


ove la materia medesima sia distribuita con tali densità che all’ unità di superficie possano 
corrispondere rispettivamente le masse 


a',[a'+b'].[a+bD4],---[a'4+ 04 --- +m' |, [d'4 D+ - == +m'+n' ]. 


Noi osserveremo primieramente che in luogo di concepire in ciascuno dei due piani tante 
distinte parti superficiali ove la materia abbia delle densità successivamente crescenti, noi 
possiamo immaginare che vi abbia una serie di superficie matetiali sovrapposte l'una 
all’altra e di estensioni decrescenti. Possiamo cioè immaginare che in quel piano che or 
ora noi abbiamo considerato per primo, vi sieno: 1.° una superficie dell’ estensione 
A+B+C---+M4+-N, formata di più distinte parti delle estensioni 4, B, C, - - - JI, N 
rispettivamente, e nella quale la materia sia distribuita colla densità 4; 2.° una superficie 
dell'estensione B+C - - - +//7+-N, ove la materia sia distribuita colla densità d, e che sia 
sovrapposta alla precedente in modo da lasciarne scoperta la sola parte dell’ estensione A ; 
5.° una superficie dell’estensione C - - - +/+-N, ove la materia abbia la densità c, e la 
quale sia sovrapposta all’ ultima delle due precedenti, in guisa da lasciare scoperta in questa 
la parte dell’estensione B; e così successivamente, di maniera che si abbia in fine una su- 
perficie dell’estensione N, ove la materia abbia la densità n, e la quale sia sovrapposta 
all’ ultima di quelle che la precedono cioè alla superficie dell’estensione 7-+-N, lasciando 
scoperta in questa la parte dell’estensione 47. E una cosa somigliante possiamo concepire per 
riguardo all’ altro piano. 

In quest altra maniera di vedere, la disposizione che noi abbiamo asserito essere la più 
vantaggiosa per l’attrazione viene a risultare per l’ uno de’ piani quella di tanti cerchii mate- 
riali concentrici sovrapposti, aventi rispettivamente le estensioni [ A+B+C - - - +M4+N], 
[B+C---+M+N],[C---+M4+N].---[M+N], Nele densità a, d, c,---m,n; 
e per l’altro piano quella similmente di tante superficie materiali circolari, sovrapposte, 
concentriche, aventi rispettivamente le estensioni 


[ d'4-B'+C'---+M'4-N' |, [ B'H-C"---+M'4N' ],[C---+M'4N' |---[M'+N ], N, 
e le densità da’, 9, cl, --- m', n'. 

Per convincerci ora che quest’ ultima disposizione sia realmente la più vantaggiosa per 
l'attrazione, si osservi che se noi prendiamo una ad arbitrio delle superficie materiali 
(A+B+C---+M4-N), (B+C---+M4+-N), ecc. appartenenti all’ uno dei piani, 
ed una ad arbitrio fra quelle appartenenti all’altro piano, noi veggiamo dal Teorema I.° che 
avendo luogo la indicata ultima forma e disposizione, esse due superficie si trovano nella 
condizione più favorevole per attrarsi a vicenda perpendicolarmente ai due piani, e che questa 
loro attrazione dovrebbe necessariamente diminuire quando esse cangiassero di posizione rela- 

Opusc. Matem. e Fisici. {o 


314 PARTE PRIMA 


tiva, ovvero quando esse, senza uscire de’ loro piani e conservando la stessa estensione e la stessa 
uniforme densità , soffrissero o luna o l’altra o entrambe un qualche mutamento di forma. 
E siccome ciò vale per tutte le diverse combinazioni di due delle dette superficie materiali, 
l’una appartenente all’ uno de” piani e l’ altra all’altro, così tutte le attrazioni parziali donde 
risulta l’attrazione totale delle due quantità di materia esistenti ne due piani suddetti, verreb- 
bero a diminuire quando nelle forme e nelle posizioni relative delle diverse superficie materiali 
medesime avvenisse qualche cangiamento, tenendo conto, nel caso di questo cangiamento, 
dell’effetto dell’attrazione nel solo verso perpendicolare ai due piani. Segue da ciò che questa 
disposizione a cerchii concentrici sovrapposti, alla quale nel primo modo di vedere corrisponde 
quella a cerchii e ad anelli concentrici, è effettivamente la più favorevole per l’ attrazione 
secondo il verso indicato. 

n. Lemma IV. Se un pnato materiale movendosi in un piano parallelo a un cerchio ma- 
teriale di uniforme densità, viene ad avvicinarsi all’asse di questo cerchio (a una retta cioè 
passante pel suo centro e perpendicolare al suo piano), l’ attrazione che un tal punto sente 
dal cerchio nella direzione dell’asse di questo, si aumenta. 

Dimostrazione. Concepiamo che da questo punto materiale sia abbassata una perpendico- 
lare sul piano di questo cerchio, supponendo all’ uopo che questo piano sia opportunamente 
prolungato. Concepiamo che pel piede P di questa perpendicolare (fig. 17) sia condotta una 
retta al centro O del cerchio, e una retta RPS perpendicolare a PO. Prendendo RS per 
asse delle ascisse, e P per origine di queste ascisse, supponiamo che in una corda MN paral- 
lela a PO e la cui ascissa sia x, si trovi distribuita uniformemente una quantità di materia 
la quale sia alla total massa del cerchio, come il rettangolo che ha MN per lunghezza e 
Y unità delle langhezze per larghezza sta alla superficie del cerchio medesimo. E chiamiamo 

r il raggio del cerchio, 

a la lunghezza della retta PO, 

f(x, a) l'attrazione esercitata, secondo Yasse del cerchio, fra il supposto punto materiale 
e la massa che abbiamo immaginato distribuita su MN. L’attrazione che ha luogo nella 
direzione medesima, fra il punto materiale e l’intero cerchio, sarà misurata dall’ espressione 


+r 
fi dx - f(x, a). 


Ora noi abbiamo dal Lemma I°, che la quantità 


F(x, a) 


aumenta a proporzione che la a diminuisce. Perciò al diminuire di a, la quantità 


sf ‘da f(x, a) 


vale a dire l'attrazione. fra il punto materiale e il cerchio, secondo la direzione dell’asse di 
quest’ ultimo, si aumenta anch'essa. Egli è poi evidente non essere necessario che il moto del 
punto materiale avvenga secondo una retta parallela a PO, bastando che la distanza dall’asse 
del cerchio diminuisca, stantechè l’attrazione è sempre quella medesima a uguaglianza di 
distanze dall’ asse. 

8. Teorema III. Se in due piani paralleli si trovano disposte due quantità di materia cia- 
scuna delle quali sia formata di più parti diversamente dense; se cotali parti possono muo- 
versi, ciascuna nel proprio piano, per tal modo da poter prendere delle forme e delle dispo- 
sizioni qualunque; e se inoltre qualsivoglia di esse parti può restringersi e condensarsi fino 
a poter prendere, quando lo si voglia, la più grande delle densità che avevano luogo primi- 
tivamente nel piano rispettivo; la maggiore attrazione che potrà ottenersi fra esse due quantità 
di materia nel verso perpendicolare ai due piani, mediante questi cangiamenti, si avrà allor- 


FISICA” MATEMATICA 315 


quando esse saranno distribuite in due cerchii co’ centri in una stessa retta perpendicolare 
ai loro piani, e con delle densità che sieno rispettivamente le più grandi fra quelle che ave- 
vano luogo dapprincipio ne’ piani medesimi. 

Dimostrazione. Supponiamo che le due quantità di materia di cui si tratta abbiano una 
disposizione qualsivoglia differente da quella di cotali cerchii. Egli è chiaro che si potrà co- 
minciare ad aumentarne la vicendevole attrazione nel verso supposto col dar loro la disposi- 
zione a cerchii e ad anelli concentrici collocati i men densi all’esterno de’ più densi nel 
modo dichiarato nel Teorema Il; se già questa disposizione non era quella che aveva luogo 
dapprincipio. 

Si potrà in seguito aumentare ancora cotal vicendevole attrazione , col fare in modo che 
nell’uno qualunque de’ due piani la materia de’ diversi anelli si avvicini al cerchio centrale 
per formare intorno a questo cerchio altri anelli di minore area , i quali abbiano lo stesso 
centro di esso e la stessa densità , e seco più non formino che un cerchio unico più grande, 
di densità uniforme. Potendosi infatti concepire che questo cangiamento venga ottenuto col 
mezzo di un moto delle molecole o piccole porzioni di materia componenti i diversi anelli , 
mediante il quale esse molecole si accostino all’ asse de diversi cerchii materiali che possono 
concepirsi sovrapposti l’uno all’altro nell'altro piano, giusta il modo esposto nel Teorema II, 
egli avverrà pel Lemma IV che questo cangiamento di disposizione della materia dovrà 
aumentar l’ attrazione. 

Si potrà infine aumentare ancora la stessa attrazione col dare la disposizione medesima an- 
che alla materia esistente nell’altro piano. Donde segue evidentemente essere vero quanto 
ci eravamo proposti di dimostrare. 

Osservazione. La dimostrazione precedente serve pel caso che in ciascuno de’ due piani la 
densità varii dall’una parte materiale all’altra per salti o per differenze finite; ma è facile il ve- 
dere che la proposizione vale anche pel caso che una tale densità varii in ciascuno de piani per 
gradazioni insensibili. Io non mi fermo a darne dimostrazione, per non occupare i lettori in 
cosa evidente, e la quale, volendo, può ciascuno agevolmente dimostrare da se. 

g. Scolio I. Ne due Teoremi precedenti e nel Lemma IV si è supposto che la materia at- 
trattiva fosse distribuita e concentrata in ispazii meramente superficiali. E facile il far pas- 
saggio a corpi di forma prismatica retta, e il dimostrare anche per questi delle proposizioni 
analoghe. E qui per corpo prismatico retto o per prisma retto io intendo qualsivoglia solido 
compreso da due piani paralleli e da una superficie generata dal moto di una retta mante- 
nuta perpendicolare ad essi due piani, lungo una linea rientrante qualsivoglia o rettilinea o 
curvilinea o mistilinea: possono anche esser parecchie le superficie di quest'ultima specie, ab- 
bracciando una di esse tutte le altre, ed essendo la materia del solido distribuita nell’intervallo 
fra la prima e le seconde. 

Immaginiamoci in primo luogo che si abbiano due prismi retti, ciascuno di densità uni- 
forme per tutta la sua solidità, potendo però la densità diversificare dall’ uno all’altro; e i 
quali abbiano le loro quattro basi tutte parallele fra loro, e collocate di tal maniera che i 
piani prolungati di quelle dell’uno non possano segare l’altro. Se si cangia in parecchi 
modi la forma di queste basi, senza cangiare nè i piani ove esse si trovano, nè le loro esten- 
sioni, la maggiore attrazione che si potrà avere fra i detti prismi nella direzione perpendico- 
lare a cotali loro basi, avrà luogo allorquando queste basi avranno la forma di altrettanti 
cerchii co’ centri disposti in una medesima retta perpendicolare ai loro piani. 

Abbiano in fatti le basi di questi prismi una forma qualsivoglia. Immaginiamo che paralle- 
lamente a queste basi si sia condotto un piano il quale lasci ambedue i prismi da una medesi- 
ma banda; e chiamiamo p, 9g, P, @ le distanze di questo piano dalle quattro basi dei prismi, 
cominciando dalla più vicina e venendo gradatamente alle più lontane. Supponiamo che attra- 
verso al prisma più vicino al piano immaginato, alla distanza z da questo medesimo piano si 
sia condotto un altro piano similmente parallelo alle basi, e che nella sezione fatta da questo 


316 PARTE PRIMA 


secondo piano nel detto prisma si trovi concentrata e uniformemente distribuita una quantità 
di materia uguale a quella che potrebbe comporre un altro prisma retto avente questa sezione 
per base, l’unità di lunghezza per altezza, e la densità del prisma segato per densità. Suppo- 
niamo in fine che attraverso all’altro prisma, alla distanza Z dal primo de piani immaginati , 
siasi condotto un terzo piano similmente parallelo alle diverse basi, e che nella sezione fatta 
in questo secondo prisma da un siffatto terzo piano si trovi concentrata e uniformemente 
distribuita una massa uguale a quella di un prisma avente questa medesima sezione per base, 


l’unità di lunghezza per altezza, e la densità del prisma segato per densità. E chiamiamo 


S(8; 2) 
l’attrazione vicendevole delle due quantità di materia che supponiamo distribuite in queste 


due sezioni, considerando soltanto l’ effetto attrattivo che ha luogo nella direzione perpendi- 
colare alle basi. L’ attrazione vicendevole de’ due prismi'secondo questa direzione sarà 


Q "q 
S az f dz :f(2 Z). 
È P 


Ora fra tutti i diversi valori che può acquistare la quantità 


per determinate grandezze di 2, Z, col dare diverse forme alle basi de’ prismi, il più grande 
possibile si ha quando questi due prismi hanno la forma di due cilindri retti a basi circolari 
co centri di queste basi collocati in una stessa retta perpendicolare ad esse basi medesime: pe= 
rocchè in questo caso le due sezioni dì cui si è parlato or ora, sono due cerchii co’ centri in una 
stessa retta perpendicolare ai loro piani, alla quale disposizione, come risulta dal Teorema I, 
corrisponde la più grande attrazione possibile fra queste due sezioni supposte materiali, secondo 
la detta direzione perpendicolare ai loro piani. 

Segue da ciò che questa forma de’ due prismi è altresì quella a cui corrisponde il massimo 


sala della quantità 
20 q 
J az f dz:f(z, Z). 
p P 


esprimente l’ attrazione de’ due prismi nella direzione perpendicolare alle loro basi. 

Osservazione. È facile a vedersi che la dimostrazione può venire estesa anche al caso che 
in luogo di avere fra due dei piani un solo prisma retto, si abbia una serie di prismi pur retti 
ugualmente alti ed ugualmente densi, e che fra gli altri due piani si abbia similmente, in 
luogo d’un prisma unico, un’altra serie di prismi retti uguali fra loro in altezza e in densità. 
Anche in questo caso onde avere la massima attrazione nel verso perpendicolare ai quattro 
piani fra la massa compresa in mezzo ai primi due piani e quella compresa in mezzo agli altri 
due, col cangiar forma e disposizione alle masse medesime, mantenendo però la forma di 
prismi retti colle basi sempre negli stessi piani, converrà ridurre ciascuna delle due masse ad 
un unico cilindro retto a base circolare, e collocare i due cilindri per modo che i loro assi 
sieno parti di una medesima retta. 

10. Scolio II. Supponiamo in secondo luogo che fra due piani paralleli l uno all’altro si 
trovino disposti più prismi retii di diverse densità, contigui o no fva loro, e aventi le basi in 
questi medesimi piani; e che fra due altri piani paralleli ai precedenti, e collocati fuori dello 
spazio compreso fra i due piani precedenti medesimi, si trovino disposti parecchi altri prismi 
retti, anch'essi di diverse densità, contigui o no fra loro, e i quali abbiano le basi in questi ultimi 
piani; e supponiamo inoltre che le basi di tutti questi prismi tanto dell’ uno quanto dell’altro 
sistema possano cangiare di forma e di posizione ma non di estensione. La massima attrazione 
che potrà venire esercitata fra i due sistemi di prismi, perpendicolarmente alle basi di questi, 


FISICA MATEMATICA 317 
avrà luogo quando i prismi dell’un sistema avranno la forma di tanti anelli cilindrici con- 
centrici abbracciantisi Vun l’altro, aventi per loro sezioni trasversali altrettanti anelli 
circolari, e disposti all’intorno e a contatto di un cilindro centrale a sezione circolare. 
essendo questo cilindro centrale formato colla materia del prisma più denso, ed essendo col- 
locato ciascuno degli anelli tanto più all’ esterno quanto men denso è il prisma da cui sarà 
derivato; e quando insieme con ciò i prismi dell’altro sistema avranno una forma e una dispo- 
sizione affatto somigliante, essendo inoltre gli assi de’ due cilindri centrali formati da due 
parti di una medesima retta. 

Per dimostrarlo si riferiranno i due sistemi di prismi a un quinto piano il quale lasci da 
una medesima banda sì l'uno che Valtro sistema; si ehiameranno Py q, P, Q le distanze di” 
questo nuovo piano dai quattro piani precedenti, cominciando dal più vicino e venendo gra- 
datamente ai più lontani; si concepirà che il sistema de’ prismi più vicini al quinto piano, 
a una qualsivoglia distanza 2 da questo piano medesimo, venga tagliato da un altro piano 
parallelo ai precedenti, e che in tutte le sezioni fatte da quest'ultimo piano ne differenti 
prismi di questo sistema, si trovino concentrate e uniformemente distribuite delle quantità 
di materia separatamente uguali a quelle delle quali questi medesimi prismi sarebbero co- 
posti nel caso che avendo le stesse basi e le stesse densità avessero tutti l’unità di lunghezza 
per loro altezza; si immaginerà in fine che attraverso all’altro sistema di prismi a una di- 
stanza qualsivoglia Z dal quinto piano passi un ultimo piano, e che nelle sezioni fatte da 
questo ne’ differenti prismi di un siffatto secondo sistema si trovino separatamente concen- 
trate e uniformemente distribuite delle masse uguali a quelle di cui consterebbero i prismi 
rispettivi nel caso che avendo le stesse basi e la stessa densità avessero l’unità delle lunghezze 
per altezza; e si chiamerà 


S(3, Z) 


l’effetto dell’ attrazione esercitata secondo il verso perpendicolare alle basi de’ prismi, fra la 
quantità di materia supposta distribuita nell'ultimo piano e quella nel penultimo. In seguito 
sì compirà la dimostrazione in un modo analogo a quello tenuto nello Scolio precedente, 
salvi que’ mutamenti che agevolmente si riconosceranno del caso. Il che non importando 
veruna difficoltà noi lasceremo che il facciano da se i lettori. 

Questa proposizione sì può evidentemente estendere anche al caso che la densità della 
materia nell’uno e nell’altro de due sistemi di prismi, in luogo di variare a salti, si muti 
per gradazioni insensibili, ovvero si cangi dall’un punto all’altro in una maniera mista, cioè 
in aleuni luoghi a salti ed in alcuni per gradazioni impercettibili; semprecchè però in tutti i 
punti di una retta perpendicolare alle basi de’ prismi, condotta per un punto qualunque in 
uno qualsivoglia dei due sistemi, la densità sia la medesima. 

rt. Scolio III. Abbiasi in terzo luogo un cilindro retto ordinario o a basi circolari, il 
quale attiri un punto materiale collocato fuori dello spazio compreso fra i piani prolungati 
di queste sue basi, e venga avvicinato questo punto all’asse del cilindro mediante un moto 
parallelo alle basi medesime. L’ attrazione fra questo cilindro e questo punto nel verso per- 
pendicolare alle basi si aumenterà. 

Supponiamo che in una sezione del cilindro fatta mediante:un piano parallelo alle sue 
basi e passante alla distanza z dal punto materiale, si trovi concentrata e uniformemente 
distribuita quella massa di cui consterebbe un altro cilindro avente uguali le basi ed uguale 
la densità col proposto e avente Y unità delle lunghezze per altezza. E chiamiamo 

a la distanza del punto materiale dall’asse del cilindro; 

p la distanza dello stesso punto dalla più vicina delle basi del cilindro medesimo; 

q la distanza del punto medesimo dalla base più lontana di esso cilindro; 

S(a, 2) la componente secondo P asse del cilindro, dell’ attrazione fra questo punto mate- 
riale e la massa che abbiamo immaginato distribuita nella supposta sezione di esso cilindro. 


318 PARTE PRIMA 


L’attrazione dell’intero cilindro verso il punto materiale secondo la direzione dell’ asse 


fia: -f(4, 2). 


Ora siccome la quantità f(4, 2) aumenta col diminuire della a (Lemma IV), così allorquando 
la a diminuisce si aumenta eziandio Ja quantità 


q 
S dz-f(a, 2). 
P 
Dunque ecc. C. D. D. 


12. Corollario I. Supponendo che si abbiano i due sistemi di cilindri e di anelli cilindrici 
de’ quali si è parlato nello Scolio II, immaginiamo che nell’uno di questi sistemi la materia de- 
gli anelli si avvicini al cilindro centrale per mezzo di movimenti paralleli alle basi, di tal 
maniera che tutta questa materia acquisti la medesima densità di esso cilindro centrale, e 
che tutto il sistema si riduca ad un unico cilindro retto a base circolare avente per asse l’asse 
di questo cilindro centrale medesimo; e immaginiamo che in seguito avvenga un somigliante 
cangiamento anche per riguardo all’altro sistema, il quale per conseguenza si riduca esso 
pure ad un unico cilindro retto a base circolare avente per asse l’asse del rispettivo cilindro 
centrale e per densità la densità di questo. L’attrazione vicendevole de’ due sistemi verrà con 
ciò ad aumentarsì, e perciò 1’ attrazione finale sarà maggiore di quella che aveva luogo pre- 
cedentemente fra i due sistemi ad anelli concentrici, e più ancora sarà maggiore dell’azione at- 
trattiva che aveva luogo nella direzione perpendicolare alle basi, fra i due sistemi di prismi con- 


sarà. espressa da 


siderati nello Scolio II, prima che questi prismi fossero ridotti alla figura di cilindri e di anelli. 

13. Corollario JI. Abbiansi due cilindri retti a basi circolarii cui assi sieno due porzioni di 
una medesima retta, e i cui raggi, le altezze, e le densità sieno uguali fra loro ovvero differenti dal- 
l’uno all’altro in un modo qualunque. Se l'uno di questi cilindri verrà a restringersi nel verso 
laterale, per modo però che il luogo del suo centro, la direzione del suo asse, la sua lunghezza, e la 
sua massa rimangano i medesimi di prima, e solamente se ne aumenti uniformemente in tutte le 
parti la densità a proporzione che se ne restringono le basi, l’attrazione fra questo e l’altro ci- 
lindro si renderà maggiore. Si può infatti concepire che questo restringimento venga ottenuto 
mediante un trasporto di materia secondo una direzione perpendicolare all’ asse de’ cilindri , 
per un tal verso da avvicinarsi all’ asse medesimo ; pel quale trasporto l’attrazione fra ciascun 
punto materiale trasportato e l’altro cilindro, considerata nella direzione degli assi, viene ad 
aumentarsi. Per conseguenza anche la somma delle attrazioni, secondo gli assi de’ cilindri, fra 
tutte le parti della materia del cilindro che si condensa el’ altro cilindro, vale a dire la vi- 
cendevole attrazione de’ due cilindri, mediante un tale restringimento si rende maggiore. 

Osservazione. Noteremo in questo luogo che tutte le proposizioni dimostrate finora val- 
gono per qualsivoglia legge di attrazione, purchè ella decresca col crescere delle distanze. 
È facile infatti il vedere che il Lemma I, da noi dimostrato nel supposto che si tratti 
della ‘gravitazione, può estendersi a qualsivoglia legge diversa da quella del quadrato re- 
ciproco delle distanze; e tutte le altre proposizioni si sono dimostrate indipendentemente da 
questa legge. 

14. Teorema IV .Concepiamo che un ordinario cilindro retto di uniforme densità attiri in virtù 
della gravitazione un punto materiale collocato esteriormente in una retta alzata perpendico- 
larmente sopra una delle sue basi, da un punto preso o al di dentro della periferia di questa 
base o nella periferia medesima. E concepiamo che questo cilindro, mantenendo il suo centro 
nella stessa posizione, conservando la stessa massa, lo stesso raggio, e la stessa direzione 
dell’ asse, si allunghi secondo l’asse stesso e si rarefaccia, senza che però colla base più vicina 
al punto materiale attirato arrivi a sorpassare questo punto. Con un tale cangiamento di 


FISICA MATEMATICA 319 
volume, l'attrazione esercitata fra il cilindro e il punto, nella direzione dell’ asse del cilindro 
stesso, diverrà maggiore. 

Dimostrazione. Sia (fig. 18) 

A il punto attratto, 

pil piede della perpendicolare calata da questo punto A sulla base del cilindro più vicina 
al punto 4 medesimo; il quale punto P noi supporremo per ora che non cada nè nel centro 
nè nella circonferenza; considereremo poi questi due casi sul fine della dimostrazione. Chia- 
miamo 

2 b la lunghezza del cilindro, 

a la distanza del suo centro da un piano paraliclo alle basi e passante per 4. 

Prendiamo ad arbitrio nell’interno del cilindro un punto O; e nella base del cilindro più 
vicina ad 4 prendiamo un tal punto O’ che la OO' sia parallela all’ asse del cilindro mede- 
simo. E chiamiamo 

2 la lunghezza di una retta condotta da O ad O’ e prolungata fino all’incontro col piano 
passante per .4 e parallelo alle basi, 

x la lunghezza della retta p O', 

P la lunghezza della stessa p O’ prolungata dalla banda di O’ fino alla circonferenza della 
base circolare rs RS ove essa pO' si trova. Si conduca per p il diametro rp R, il quale verrà 
diviso in pin due segmenti ineguali rp, Rp; si determini l'angolo fatto dal segmento minore rp 
colla retta pO', supponendo quest’angolo sempre situato, per rispetto a rp, dalla banda di 5, 
di maniera che dando successivamente diverse posizioni alla pO' intorno a p nel verso da r 
ad s, R; S; esso angolo cresca gradatamente dal valore zero fino al valore 27; e si chiami 

® un siffatto angolo. 

Si immagini nel cilindro un piccolo solido, il quale abbia un angolo solido in O e sia 
compreso dalle seguenti superficie , cioè: 

1.° due piani paralleli alle basi del cilindro, l’uno situato alla distanza 2, e l’altro alla 
distanza z+-Az dal punto 4; 

2.° due superficie cilindriche descritte intorno alla retta Ap come a loro asse, l’una del 
raggio x e l’altra del raggio x+A4x, 

3.° due piani passanti per la .4 p e perciò perpendicolari alle basi del cilindro, l’uno dei 
quali faccia con rp l'angolo ©, e l’altro l'angolo ©+A0, prendendo questi angoli per riguardo 
a cotale rp dalla medesima banda da cui si è preso l'angolo @ poco sopra. 

Il volume di questo piccolo solido sarà 


Az:Ax-xA@-(14+PAx), 


essendo PA x una quantità che svanisce con Ax. 
La distanza dal punto O al punto A sarà 


Vo+ 3°. 


Per conseguenza se la massa del piccolo solido fosse concentrata nel punto O, la sua attra- 

zione col punto 4 sarebbe 
HAz-Ax-xAo0-:(1+PAx) 
x'+2° Ù 

essendo 77 un coefficiente costante per riguardo a x, @, z, ma variabile insieme colla massa 
del punto attratto e colla densità del cilindro attraente, mutandosi in ragione diretta sì 
di una tal massa che di una tale densità. 

Decomponendo quest’ attrazione in due forze luna parallela all’asse del cilindro e l’altra 
perpendicolare, la componente parallela sarà 


320 PARTE PRIMA 
H-2x-Az-Ax- ADI tr Puali 


(a+) 


donde si ha per le regole del calcolo integrale che indicando con C lazione attrattiva del 
totale cilindro verso il punto 4 nella direzione dell’asse, sarà 


SEA H AMAHas 
ella do. qui 
Net 


es Y 


Esegnendo era la prima integrazione si ha 


Hxz Z a i 
Sa 3s=H- egli 
Colla seconda ‘integrazione sì ottiene 


a Va 1z 
fa: (de DE = faz. in ii 
si x (x'+ 2°) PHI 


= Hz—H/P4-2+ Cost. 


Sta 
ba Sia de ——_=4f.b—- 9 "+ (a+ Bb) + VF+(a= dj}. 


(er 


Sarà perciò 
25T 
[o] CÈ( do H{ab_VP+G+P + VF+-B}. 
vd » 

Per eseguire l’ultima integrazione converrebbe sostituire il valore.di 9 espresso in funzione 
di @; ma pel nostro oggetto una tale integrazione non è necessaria. 

Abbiamo fatto Roia che il valore di 77 varia in ragione diretta della densità del cilin- 
dro. Ora, siccome al vaviare di d questa densità del cilindro varia in ragione reciproca di 
essa Db, così la quantità 77 dee variare essa pure in ragione inversa di 2, e però si può fare 


essendo VW nna quantità indipendente da 2. Si avrà pertanto 


23 
[Ceo fa— 7 VP+ (+3) + 7 VFFT=T}, 
0 

dalla quale equazione si potrà avere l'attrazione fra il punto 4 e il supposto cilindro, secon- 
do la direzione dell’asse di questo, pe differenti valori che si possono dare a 2, e nella sup- 
posizione che ia massa, il raggio, la direzione dell’asse, e la posizione del centro di questo 
cilindro rimangano costanti. 

Per conoscere se la quantità C aumenti o diminuisca coll’ aumentarsi della quantità %, 
diamo un’altra forma alla quantità contenuta sotto il simbolo d’ integrazione nell’ equa- 
zione [6], facciamo cioè 


(S0) 
Ne) 
Lami 


FISICA MATEMATICA 
CM O: [Eee 
0 VP+(+ ++) _1 


où ia ) 
ia de di e ei Li . 
0 | VPH-(a +0) + VP+(a — by I 
Prendiamo la derivata prima della quantità 


VPi(a+b)+ Pt+(a— by 
per riguardo a d; avremo 
a+ Db (a— b) 


ossia, essendo (1— d) nel caso nostro sempre positiva, 


Cee) VOLE) 


"if _ 
PIE et PE. 


I I 
a » Wanna) ’ 
I+ I+ 
7 (tc + 5) (- — 5) 
il valore della quantità [y] sarà sempre positivo. Per conseguenza coll’aumentarsi di d la 
quantità 


Ora essendo 


e però 


VP+ (a+ bl + VP+ (a — db) 
dee nel nostro caso sempre crescere, e la quantità 


4a 
VP+(a +0) +|/ P+(a— 0) 
sempre diminuire, e la quantità 
4a IR 
VP+(a+ bf +/9+(a — dY 


sempre crescere. D’onde segue che per questo ingrandirsi di d dee la quantità C aumentarsi. 
Il che è ciò che dovevasi dimostrare. 

Ci rimangono a considerare i due casi, l’uno che il punto p si trovi collocato nel centro 
della base del cilindro più vicina ad A, l’altro ch'esso punto si trovi nella periferia della base 
medesima. Ora per riguardo al primo di questi casi non vi è altra particolarità se non che 
la g è costante rispetto ad ©, il che permette, anzi rende agevolissima anche la terza inte- 
grazione: però non essendo questa necessaria, non conviene abbandonare la data dimostra- 
zione, la quale sussiste compiutamente. 

Pel secondo caso conviene modificare alcun poco la nozione dell’ angolo ©, e intendere 
per © l angolo formato dalla retta pO' con una perpendicolare al diametro pR (giacchè 
il punto p coincide con r) condotta da p verso quella banda, rispetto a questo diametro,. 
dalla quale si trova il semicerchio psR; ed è da osservare che quest’angolo aprendosi suc= 
cessivamente comincia dal valor zero, e finisce col valore . E similmente dove si determina 
il piccolo solido che ha un angolo solido in O, e precisamente dove si parla de due piani 
passanti per 4p si dee dire che questi debbono fare colla già detta perpendicolare a pf l’uno 


2 — 


Opusc. Matem. e Fisici. 4t 


322 PARTE PRIMA 


l’angolo ©, e l’altro l'angolo ©+A0. Con queste mutazioni l'attrazione C del cilindro 
verso il punto 4, secondo la direzione dell’ asse, viene ad essere espressa da 


Tr nisi 


L'4-2°) 


diga; A —j VP+(a+ D+ 7 VP+(a— Tri 


essendo ancora // una quantità indipendente da d. Il rimanente della dimostrazione sussiste 
come è, anche per questo secondo caso. 

15. Corollario. Se un cilindro si estende nella direzione dell’asse e si rarefà senza cangiare 
nè massu nè raggio nè posizione del suo centro nè direzione del suo asse, l’attrazione fra que- 
sto cilindro e un altro di raggio o uguale o più piccolo e che abbia l’asse nel prolungamen- 
to dell’asse del primo, diviene maggiore. Infatti mediante questo allungamento si aumenta 
l’azione attrattiva del primo cilindro, giusta la direzione del suo asse, verso ciascun punto del 
secondo cilindro. 

16. Teorema Y. Supponiamo che si abbiano parecchi cilindri di uguale densità, di uguali 

raggi, disposti intorno al medesimo asse, con delle lunghezze uguali o differenti come più 
piaccia, e collocati a distanze qualunque, uguali o diverse, l’uno dall altro. Supponiamo scelte 
fra tutte le basi di questi varii cilindri le due più esteriori, quelle cioè i piani delle quali com- 
prendono frammezzo ad essi tutti quanti i cilindri; concepiamo presa ad arbitrio una di queste 
due basi, e scelto in essa un punto qualunque o al di dentro della circonferenza o nella cir- 
conferenza medesima: e supponiamo eretta su questo punto una perpendicolare volta dalla 
banda opposta a quella ove si trovano i cilindri, e in questa perpendicolare collocato un 
punto materiale che sia attratto dai cilindri medesimi in virtù della gravitazione. Se questi 
cilindri si ravvicineranno l’uno all’altro fino a toccarsi o a non formare clie un unico cilin- 
dro, ma movendosi per tal modo che gli assi loro si mantengano sempre nella medesima retta 
e che il comun centro delle loro masse si conservi allo stesso posto, e se durante un tale rav- 
vicinamento il punto materiale attratto continuerà a rimanere nello stesso luogo dello spazio, 
egli avverrà che la somma delle attrazioni di questi cilindri con un siffatto punto, nella dire- 
zione parallela all’asse, diverrà minore. 

Cominciamo a supporre che questi cilindri sieno due soltanto ed uguali fra loro e che essi 
si accostino alcun poco l’uno all’altro percorrendo spazii uguali. Dimostriamo che la somma 
delle loro attrazioni col punto materiale, nella direzione dell’ asse, viene con ciò a diminuire. 

Adottiamo per quello di questi cilindri che è il più vicino al punto materiale le denomina- 
zioni usate nel Teorema IV, non facendo per l’altro cilindro verun altro cangiamento che 
quello di chiamare 

a' la distanza del suo centro da quel piano parallelo alle sue basi il quale passa pel punto 
materiale attratto che qui pure diremo 4, 

C' Vattrazione fra questo cilindro e il punto 4, parallelamente all’asse. E supponiamo 
dapprima che questo punto A insista perpendicolarmente a un punto preso dentro alla peri- 
feria della più vicina delle basi de’ cilindri. Avremo 


c= fio. H{at-VF H+ TH} 


c= flo. 1 {20-VGFH+FFA=T} 


Abr do» H{4b—yG° +(a+b5f+/P°+(a— db) — VPP+(d'+b)'4+VP+@—bf } 


FISICA MATEMATICA 323 


Noi possiamo osservare che al cangiare di posizione de’ due cilindri la quantità 
a+-a' 


rimane costante. Noi porremo perciò 
daN 


essendo N una quantità costante, e supporremo che 4 varii di grandezza. Noi avremo 


(dec) Co MT AT Ra) Ta) MT) 


VP°+(a+b) VP+(a-b) VPI Valar )' 


betiN de 
CZ — 0 Tosi er 
3 da 
x x 
cosi sara 


a (a+ 8) (a— b) (a'4- d) (a'— bd) 
i) e a 0 STAT E TR 
9] le, da =f@ ni ni VP*+(a+b) VEarie VGPuHa-dî VP ii 


e siccome 


Si tratta ora di dimostrare che in questa equazione la quantità sotto il segno d’ integrazione 
è negativa. 
Osserviamo a questo effetto che si ha 


(| —(a+5) + li 
da Wp+@a+3 VF+(a—0) 


© 


Sx (a4+-b)(a+-1) (a—b)(a—3) 


inno e e VONTI, (Nereo Si 3 
UP+ (a + by Ign tap} UP°+ (a+ db) (gra 


__{g:4 +(a4- 59 —(a+d) } er Pu lab (a— 0) 
Ù, + (ab) fgrt ab 


IEP} intere ARR -q 1 
19° + (a + ur ipa — nr 


dove l’ultimo de’ secondi membri si vede evidentemente essere di valor positivo. Segue da ciò 
che all’ aumentarsi della a, si aumenta altresì la quantità 


A a ali Coi ri AN 
Vp+(a+ 30 VGra=b 


. . . da . . . .,% ° PAS 
riceve cioè quest’ultima delle addizioni di quantità positive. Per conseguenza siccome a' è 
più grande di a, così si ha 


— (a'4+-b) a'-— —(a-+ bd) (a— Bb) i 


Varani  VPFU=D 7 Vara Vera 


324 PARTE PRIMA 


e però deducendo il primo membro di questa ineguaglianza dal secondo si ha un risulta- 
mento negativo. Adunque nel secondo membro dell'equazione [ d ] la quantità sotto il segno 
d’integrazione è negativa; e perciò la quantità 


C+ C' 


decresce allorquando la « aumenta, o in altri termini la somma delle attrazioni de? due cilin- 
dri verso il punto 4, secondo la direzione dei loro assi, diminuisce allorquando essi si acco- 
stano percorrendo degli spazii uguali. 

Facilissima cosa è lo estendere la dimostrazione al caso che il punto A insista perpendi- 
colarmente a un punto della periferia della più vicina delle basi de cilindri; e però io ne la- 
scerò la cura al lettore. 

Supponiamo dopo ciò che si abbiano ancora due soli cilindri ma di lunghezze ine- 
guali, però’ fra loro commensurabili, e dimostriamo che la somma delle loro attra- 
zioni verso il punto 4, nella direzione degli assi, diminuisce allorquando essi si avvi- 
cinano alcun poco l’uno all’ altro percorrendo spazii reciprocamente proporzionali alle 
loro masse. 

Poniamo che la lunghezza del cilindro più vicino ad 4 stia a quella del cilindro più lon- 
tano come rm ad n. Dividiamo il primo di questi due cilindri per mezzo di piani paralleli alle 
basi in nm porzioni uguali fra loro, e il secondo in r porzioni pure uguali fra loro e altresì 
uguali a quelle del primo cilindro. Dividiamo eziandio in 72 parti uguali lo spazio che dev'es- 
sere percorso dal secondo cilindro, e in n uguali parti quello che dev’ essere percorso dal pri- 
mo; le quali parti saranno di una stessa lunghezza in ambedue gli spazii. 

Immaginiamo quindi che le porzioni dell’un cilindro vengano luna dopo l’altra ad avvi- 
cinarsi all’altro cilindro, con tale ordine che ciascuna porzione del primo cilindro percorra 
primieramente una prima parte di spazio, quindi una seconda, poscia una terza, ecc. fino a 
che essa porzione di cilindro abbia interamente percorso lo spazio assegnato a questo primo 
cilindro, dopo di che sottentri un’altra porzione di esso primo cilindro a fare lo stesso, e 
quindi una terza, e così via via fino all'ultima; concepiamo che contemporaneamente le 
porzioni del secondo cilindro si ravvicinino l’una dopo l’altra al primo cilindro, percorrendo 
ciascuna con de piccoli movimenti successivi le diverse parti dello spazio che dev®essere per- 
corso da esso secondo cilindro; e concepiamo inoltre che fra i movimenti dall'una parte e 
quelli dall’altra v' abbia questa corrispondenza, che mentre dall’una banda una porzione di 
cilindro percorre una delle sue parti di spazio, dall’ altra banda una porzione dell’altro cilin- 
dro percorra similmente una delle sue parti di spazio. 

Egli è evidente in primo luogo che allorquando le porzioni dell'uno de’ cilindri avranno 
terminato di percorrere le loro parti di spazio, le porzioni dell’altro cilindro avranno simil- 
mente finito di percorrere le parti di spazio loro spettanti. Il numero infatti de’ piccoli movi- 
menti che debbono aver luogo dalla banda del cilindro diviso in #2 porzioni, è m2n, e il nu- 
mero di quelli che debbono eseguirsi dalla banda dell'altro cilindro diviso in 7 porzioni è si- 
milmente mr; col qual numero di piccoli movimenti sì l’uno che l’altro cilindro avrà intera- 
mente percorso lo spazio a lui assegnato. In secondo luogo è facile a vedersi che in ciascun pajo 
di piccoli movimenti l'uno dall’una banda e l’altro dall’opposta, consistenti ciascuno nel 
venire percorsa una parte di spazio da una porzione di cilindro, il comune centro di massa di 
tutte le porzioni de’ due cilindri rimane a suo luogo, e che allorquando tutti questi movimenti 
saranno compiuti un siffatto centro si iroverà nel medesimo luogo di prima. Egli è evidente 
per ultimo che in ciascun pajo di movimenti la somma delle attrazioni di tutte le porzioni di 
cilindro verso il punto 4, considerando sempre l’azione attrattiva parallela agli assi, andrà 
diminuendo; d’onde si trae che la somma delle attrazioni dei due cilindri dopo che questi 
avranno presò le loro nuove posizioni sarà più piccola che precedentemente. 

Consideriamo ora il caso nel quale avendosi ancora due soli cilindri, le lunghezze di questi, 


FISICA MATEMATICA 325 
del pari che gli spazii da percorrersi sieno incommensurabili, le prime fra loro e i secondi fra 
loro; e dimostriamo che anche in questo caso venendo i due cilindri ravvicinati uno all’altro 
per ispazii reciprocamente proporzionali alle loro lunghezze, l’attrazione verso il punto 4 » 
nella direzione considerata, diminuisce. 

Supponiamo che al più grande de’ due cilindri, dalla banda più lontana dall’altro cilindro, 
mediante un piano perpendicolare all’ asse venga levata una piccola parte tale che il residuo 
sia commensurabile col cilindro minore; e similmente supponiamo diminuito di una piccola 
parte, nel suo fine, lo spazio che dev'essere percorso dal cilindro minore, di tal maniera che la parte 
residua o maggiore del primo cilindro stia a tutto il secondo cilindro, come il residuo spazio del 
secondo sta all’intero spazio del primo; e concepiamo che lasciando indietro la parte del primo 
cilindro levata, altra parte percorra tutto lo spazio assegnato al suo cilindro totale, e che nello 
stesso tempo l’altro cilindro percorra l’altro spazio, restando soltanto indietro della parte di 
spazio tolta. Egli è facile a vedersi chela somma delle attrazioni verrà con ciò a diminuire, e 
che il comun centro di massa rimarrà a suo posto. Ma la parte dell’un cilindro levata e lasciata 
indietro, e la parte di spazio che rimane a percorrersi dall'altro eilindro possono esser rese suc- 
cessivamente più piccole, in modo da arrivare al di sotto di una quantità determinata qua- 
lunque: e in ciascuna delle diminuzioni successive che lor possono farsi soffrire, la somma 
delle attrazioni continua a divenir minore, stantechè una tale diminuzione delle parti levate 
di spazio e di cilindro si può riguardare dall'una banda siccome il trasporto di una nuova 
piccola porzione del cilindro maggiore per tutto il tratto di spazio assegnato ad essere percorso 
da questo cilindro,'e dall'altra banda siccome un avanzamento del totale cilindro minore per 
un tratto della parte di spazio che gli resta a percorrere, movimenti in tal maniera combi- 
nati che il comun centro di massa rimanga a suo luogo: oltre a ciò con una bastevole dimi- 
nuzione della parte del maggior cilindro levata e lasciata indietro, e della parte di spazio che 
ancor rimane a percorrersi dal cilindro minore, gli effetti provenienti alla somma delle attra- 
zioni dal non avere la prima percorso il suo spazio e dal non essere la seconda stata percorsa 
dal suo cilindro possono farsi divenire minori di una quantità data qualunque. Adunque fa- 
cendo percorrere interamente i due spazii ai due cilindri, l'attrazione deve diminuire anche 
nel caso dell’incommensurabilità e degli uni e degli altri. 

Considerati questi casi più semplici, immaginiamo che si abbia un qualsivoglia numero di 
cilindri di lunghezze qualunque, tutti però formati intorno a porzioni di una medesima retta, 
tutti dello stesso raggio e tutti della stessa densità. Se noi cominceremo a ravvicinare due di 
essi, lor facendo percorrere degli spazii reciprocamente proporzionali alle loro lunghezze allo 
scopo che il comun centro di massa di tutto l’aggregato non si cangi di luogo, e se col mezzo di 
questi movimenti non li recheremo soltanto ad una distanza leggiermente minore ma li porte- 
remo fino al vicendevole contatto, la somma delle attrazioni secondo la direzione degli assi si 
renderà minore. Se prendendo di poi un terzo cilindro, noi faremo in modo che questo e l’ag- 
gregato de’ primi due, i quali allora più non ne formeranno che uno solo, si avvicinino con ve- 
locità reciprocamente proporzionali alle loro rispettive lunghezze, di maniera che il centro di 
massa del sistema rimanga ancora a suo luogo, e se noi continueremo ad avvicinarli in sino a 
che si tocchino, la somma delle attrazioni diminuerà di nuovo. Noi possiamo concepire un 
ravvicinamento operato allo stesso modo fra l’aggregato di questi tre cilindri e un quarto, 
quindi un ravvicinamento fra l’aggregato de’ quattro cilindri con un quinto ecc., prose- 
guendo in cotal modo finchè vi hanno cilindri, e sempre operando in maniera che il centro 
di massa del sistema rimanga al suo luogo; e anche in questi casi l’attrazione diminuirà sem- 
pre. A questo modo noi avremo in fine tutti i cilindri uniti in uno senza spostamento del cen- 
tro delle masse; e la somma delle attrazioni nella direzione degli assi sarà minore che avanti 
la loro unione: il che è quello che ci eravamo proposti di dimostrare. 

17. Corollario. Supponiamo che un cilindro il quale attiri un punto materiale collocato 
esteriormente nella maniera supposta nel Teorema IV, venga ad essere diviso in più cilindri, 


326 PARTE PRIMA 


e che questi vengano ad allontanarsi l’uno dall’altro, conservando gli assi nella medesima 
retta, senza che il comun centro delle masse cangi di luogo, e senza altresì che alcuno di que- 
sti cilindri oltrepassi con una delle sue basi il punto attirato. L’attrazione che sentirà esso 
punto materiale da queste parti, nella direzione degli assi, sarà maggiore dopo la separazione 
che prima di essa. 


TEORICA DEI NUMERI 327 


Continuazione e fine della a,S0ZUZIONE DELLE EQUAZIONI INDETERMINATE 
DI PRIMO GRADO di crovannI pe PaoLI (V. Fascicolo II, pag. 262). 


15. Le equazioni indeterminate di primo grado a tre, ed a più incognite 
si risolvono facilmente cogli stessi principj. Sia proposta 1’ equazione a tre 
incognite 

(dd) ax—by—cz=e, 
ove a, b, c, e sono numeri dati, non aventi alcun divisore comune, ed x, y, z 
le tre indeterminate. Si sa, che è assai agevole il ridurre qualunque equazione 
di primo grado a tre incognite a questa forma (num. 12). 

Si supponga, che due qualsivogliansi dei numeri a, 6, c, per esempio a, è, 
abbiano il massimo comun divisore d, che sarà l’ unità, quando gli stessi siano 
primi fra loro. 

Facciasi 

a b 

(ee) =; setto 1: 
A, e B saranno interi, e primi fra loro. Per mezzo di queste, trasportando il 
termine cz della (dd) nel secondo membro, e quindi dividendo la stessa (dd) 
per d, risulterà l’ equazione 
e+ cz 
= 
Ora siccome il primo membro di questa è numero intero, così deve pur esserlo 
anche il secondo membro della medesima. Cotesto numero si denomini u; ot- 
terremo dopo le opportune riduzioni le 


(ff) Ax-By=u; du—cz=e; 


equazioni di primo grado a due incognite, dalle quali dovrà dipendere la riso- 
luzione della proposta. La prima di queste è sempre risolubile (num. 12); aftin- 
chè la seconda possa risolversi, fa d’uopo, che c sia primo con d (num. 12 sud,), 
o ciò, che è lo stesso, che a, 6, c non abbiano alcun fattore comune; condizione 
nota, necessaria per la soluzione della proposta. Ammettasi dunque, che questa 
condizione abbia luogo, e paragoniamo le (/7) colla (s). Denominando 4’ Pespo- 
nente, che corrisponde a 8; 4" quello che corrisponde a c; @, @,, numeri in- 
teri e positivi arbitrarii, otterremo per mezzo delle formole (y) del num. 12 
le espressioni 


Ax-By= 


ati 
u—e-d'+tc0; z3=e-.--—Ttdo; 
€ 
S8 
hi A* I 


PETIT net MEM ALE td; 


dalle quali colla debita sostituzione del trovato valore di z, si trarranno le for- 


328 PARTE PRIMA 


mole generali richieste | 
r—= ed d#-rtod'ot Bo;; 


k! k' 
ue Di —_il 
Ad I A 


BA È 
Rail Pie 


(4h) mi di 


d”—1 
ze — tdo 
c 
Per tutta la generalità possibile ho messo nelle formole, che precedono, 1, 
to, in luogo di ©, 0,. Si possono trovare varie altre espressioni di diversa 
forma, inservienti allo stesso oggetto, adoperando le equazioni (2), o le (cc), 
sole, o combinate tra loro, e colle (y); ciò, che il lettore può fare agevolmente 
da se stesso. 
16. Ponendo nelle precedenti formole 


d=31 
i x / . . 
e per conseguenza (equazioni (ee)) 


soa 


b) 


e cambiando &' in &, esponente, che corrisponde a d, trovansi pel caso, in 
cui a, e è siano primi fra loro, le seguenti 


do =ieMm atalanta 


af-1 al—1 


(iz) IE ii otTao,; 


17. Nella pratica applicazione conviene sciegliere i valori generali ridotti 
alla più semplice espressione tra quelli delle indeterminate soddisfacenti alle 
(‘f), affinchè riesca più facile il calcolo per quelli della (dd). 

Si denomini 

È il più piccolo valore intero, e positivo della «; 

À quello della 2; 


0, gi più piccoli numeri interi e positivi, proprii a verificare l'equazione 
A0-Bpz1. 


I valori generali delle indeterminate , che soddisfanno alle equazioni (/f), sa- 
ranno (num. 12) 
uzit+c0; z=zÀ4+do0; 


Ke UAL BO — PEA 


donde si ricaveranno le formole seguenti più semplici per la risoluzione 


della (dd) 


TEORICA DEI NUMERI 3209 
\ a=0t8+c00*Boa,; 
(Jj) p=Pi+cpotA4o,; 
z=4+do. 
I numeri £, 4, 0, P poi si troveranno facilmente col mezzo delle espressioni (gg). 
n 
Infatti, chiamando g il quoziente ottenuto dalla divisione di prrat per d'e gi, 


va . PA it I . . . x 
quello della divisione di ora ra Den 4, non tenendo conto dei resti, sì avrà 


bened'-_ogiin=€ 


(kk) 
Ar SI, 


O= A-—Bq,; pe — 


come rilevasi visibilmente dall’inspezione delle formole (gg), dopo avervi fatto 
dh 
Per un esempio sia da risolversi l’ equazione 
(21) DIL RO SII, 
Paragonandola colla (dd), si ottiene 
AF Mo ae 1016 Li: 
Qui il massimo comun divisore dei numeri 15, e 6 si è 3; perciò 


d—3 > 
e quindi (equazioni (ee) 


i " 


3 no 


(©2, 
| 
(a 
Cv 
I 
DI 
I 
bo 


L’ esponente, che corrisponde al numero 2, si è l’unità, e quello che corri- 
sponde al 1o, si è il 4 (num. 7); e però 


Avremo in seguito 


deli si 
II rato 
c 10 
AX—-3: ber 
Dada 


e per conseguenza 


GAI: deo: 
Opusc. Matem. e Fisici. 42 


330 PARTE PRIMA 
Con questi dati troveremo (equazioni (Kk)) 


E211:34! — 29-10=7; A=88-3-29=1; 
db nooo = dira — b»oial 


I valori attuali posti nelle espressioni (jj) ci daranno in fine quelli delle inde- 
terminate, che soddisfanno alla (12) 


x=7] +100T20,; 


yr=1j4+200t50,; 


19) 


Ate DIA O: 


18. Con un processo simile all’ esposto possono trovarsi in tutti i casi parti- 
colari le formole per la risoluzione delle equazioni indeterminate di primo 
grado a quattro, e più incognite. Io però credo bene di far qui conoscere un 
altro metodo per risolvere l’ equazione di primo grado ad 7 incognite 


(mn) A, PAX + UH +22 + Up Cn SIC } 


LU 


ove 4,, 4, ,4,,=--4,Sono numeri dati, che si suppongono non avere alcun 
fattore comune; ed x, , x,, X3, - - - x, le n indeterminate. 

Si denomini 

k, l esponente, che corrisponde ad a, ; 

k, quello, che corrisponde ad 4, ; 

k, quello, che corrisponde ad 4; 


ed in generale &, l’ esponente, che corrisponde ad 4, ; 
4, un numero primo con a, ; 
4, un numero primo con 4, ; 
Ly un numero primo con 4; ; 


= - —- © = — —-— ce —- - -— - - = - — -— 


e generalmente 4, un numero primo con 4, ; 
19 E €777 €, Numeri interi qualsivogliansi. 
Le quantità 


E 


k, k, PIE kn 
e (&, 9) E (Wa 39 eg (us — 1), - - - &.(&n I) 


saranno divisibili rispettivamente per @,,@,, 43; - - - @, (num. 7). Potremo 
adunque fare 


Kia 1. î «Da k XE PRE k3 1 
ati =€,(4'==1)G A, TEMI), Az X3 = 83(U3 SEUI 


LI 


(nn) 


k k 
eil £.n-1r ; n n 
7 Cnr Cna — Eni \Unar TT 1) ? An Kn En (Un ri 1) 


TEORICA DEI NUMERI 331 
Questi valori non sono certamente dotati di tutta Ja possibile generalità: ma 
vedremo in seguito, come da un valore particolare si passa al generale. Sosti- 
tuendoli nella (7272), si ricaverà 


k, ky k3 Kn-1 kn 
dg — E, di | E, U, ssa E3 N —{- - — = | LANGE na —_ En Un 
(00) 
i — & sui esa AGREE En-1 ‘nio Ta 


109. Noi dovremo adunque determinare i numeri &,, € 3 fan €39,77" En lo Was (t957=> ln 
talmente, che quest’equazione sia soddisfatta; e ciò si potrà fare in più maniere. 
Jo ho scelto la seguente, che mi parve assai semplice. Spezziamo la (00) nelle 
equazioni 


kn-i 
c SR . 
sa «a En I Un rin 

E _ 

n-1 n-2n-2 ? 


a kn-: a 
E nea Ii € n-3 ly, dala 


02) 
o 

(te) 
n) 
= 
| > 
-’ 


PEA kn 
Ud, — E — En Un ’ 


la di cui legge costante ad eccezione della prima, e dell’ ultima è manifesta. 
Da queste traggonsi con successive sostituzioni le espressioni 


kn-s 


k 
kyz=g Fn-x Fneo ai knet SIT 
nl cs È RIE Serri LIE us è n-2 LA Pora TT 16 Ei Muii 


ACI ei kn-3 Kneg va e— Rag) 
Enna Ung Eng DE pet -2 gf ue 3 En- ge” == Pra eg pi? iena Un-3 Lu, € 
Pola 2 PREC dad Kn-3 2» ce Kn-3 ki ki a 
Eng Ung Eng 777 = Un3 777 Ti E, Ung 27 U, Ul, E) 
“a liv Adoro) i cea 
2 3,5 


Se si sostituisce l’ultimo valore di £, nell'ultima delle (pp), si ottiene 


kneg 


Kn-1 ko kx 
A, € (iu; nr Wneg -U, &, de 


Senza discutere tutti i valori di e,, 4,, &.;--- 4, che convengono a que- 


332 PARTE PRIMA 


st’ ultima, osserveremo, che per soddisfare alla medesima basta di eguagliare 


a zero uno dei numeri anzidetti %,, &,, = - - &,, e di fare 

(7°) e, 290 
Se si suppone 
a 2 he 4 Una —_ 0 2 
il valore (272) di x,_, diverrà 

34 E nei 
1 agri 
a 


nel 


Fa d’uopo adunque, che e,., sia divisibile per 4,.,; affinchè x,., riesca intero. 
Ora dall'espressione (99) di £,., si ha, sostituendovi il valore precedente di e,, 


ne2 


ELA RAI, k 
Enn li Ul, 7 Un - 


Qui può darsi il caso, che 4,., abbia uno, o più fattori comuni con tutti i mu- 


meri 4,, 4,) - = - 4,3, Senza che a, sia divisibile per gli stessi fattori. Allora il 
secondo membro dell’ultima espressione non sarà divisibile per 4,.,, perchè per 
ipotesi &,, {,, - - - &n., SONO primi rispettivamente con 4,, 4,, - - - Ang: Adun- 


que £,., non sarà divisibile in tutti i casi per @,... Adunque non potrà farsi in 
tutti i casì 


Una — ©- 

Un ragionamento consimile potrà applicarsi al caso, in cui si supponga 
Una 0 3 

ovvero nea 
ecc. ecc. 


e si troverà sempre, che le supposizioni fatte non valgono per tutti 1 casi, di 
cui è suscettibile la risoluzione della proposta. Lo stesso però non potrà dirsi , 
quando si faccia 

0 
In fatti sarà allora (equazioni (nn) 


“n esenti 
Ma dall’espressione (99) di e, si ottiene, eliminando e, 


e ki Ka kn-i 
Eh TU lla SARA pugili» 


Adunque per mezzo di questo valore risulterà 


a ha Fa a 
(55). ra ol 1 ll, Pn 


TEORICA DEI NUMERI 333 
ed è manifesto, che il numeratore di cotesta frazione sarà sempre divisibile 
per @,, purchè questo non abbia verun fattore comune con tutti i numéri 
dd} == ax} condizione nota, necessaria per la risoluzione della (7272). 
Ciò supposto, il numero medesimo «, si potrà sempre mettere sotto la forma 


di di di-stadii i 


essendo d, un divisore di «, , primo con «,; d, un altro divisore di 4, primo con 
dn; d, un terzo divisore ; rd A, primo con 43, ecc. - - - e ? da un divisore di 4, 
primo con 4,.; . Facendo quindi 


(e) Bid i TREIA un =d3; sori - Uni ei RE 
dalla (ss) avremo 
(us) 5 pe dî» ae IIRNE din" 


Sostituendo nelle (99) i medesimi valori (4), e quello di e, dato dalla (77), 
ricaveremo 


i ki 
En — do > di e: di 9 

Li so 
ei d;' du --- dle 


e quindi per mezzo di questi dalle (7272) si otterranno le formole 


kn, 
— ki ha Ko, d _ I 
Ka d, d, gta di”3 IERI $ 
i An 
È 
d nai LL} 
3 i a MEG 2 . 
Cra =0,d di - - - dit; _n-2 ; 
Lena 


k 
3 
a dé —1 
n a Di di o e Mn 
dg 
k dl 
ada; 
d, 
4k 
ro d'1 
Ci; 


le quali unitamente colla (4) risolveranno la proposta. 


334 PARTE PRIMA 
20. Non ci rimane attualmente, che di trovare col soccorso delle espressioni 
precedenti i valori generali richiesti. Queste per abbreviare si denominino ri- 


spettivamente @,, @n.; 3 &n.3,7-- 4, in modo che sia «, il valore trovato di 
Cn, n quello di ,.,, ecc. - - -, ed a, quello di x, . Si avrà l’identità 
Aa, +4, 4, + Ad Uy 42 - > + dn Wp = Up Up j 


la quale sottratta dalla (1212) ci dà 
(vv) a, 9 sani 4) + dg, fai Sori 4,) trasi (935 la %n.1) - An (A; ara 4) . 


Facciamo per maggiore semplicità 


- 
| 
S 
| 


® —— Aq/ . 
x nel (VIII — ) n-1 ? 


Cn n TY, . 
L'equazione (vv) diverrà 


(xy) A, da +dg Ya st ta HAT Yuna —_ Un In . 
21. Questo processo ci fa conoscere, che i valori generali richiesti dipendono 
da quelli delle indeterminate dell’ equazione (yy), mancante del termine g, . 


Per trovare quest'ultimi potremo tenere la via seguente, che conviene a tutti i 
casi. Sia d., il massimo comun divisore di 4, , 4,.,, @ facciasi 


Poli dA, A pacs Ani PI è ee. 
Za == d o) gir e d ’ An In Ep DONE Ind Zneg > 
n-2 


n=2 
dall’ equazione (yy) ricaveremo, sostituendo , 1° altra 


-” 


(22) AV tI pian pa Jana Vi: Eng 3 


la quale ha una indeterminata di meno. 


Così si supponga d,.3 il massimo comun divisore di d',.,, 4,3 e si faccia 


a 


IRE È: BE L e “n23° a RT z 
ADE ona Ò b) A Sa E) ’ SÙ na i IL Toned "©1035 
n-3 n-3 


dalla (22) si otterrà la seguente con una indeterminata di meno 
di Da + da ve mune en E Vas —_ 013 Tn=3 e 


Nello stesso modo progredendo, arriveremo in fine per mezzo delle precedenti, 
e delle 


TEORICA DEI NUMERI 335 
all’ equazione 
A, I1 i Si A 
La legge dei numeri A4,, 43, ecc. 4,153 A,, 43; ecc. A,., è data dalle espres- 
sioni generali 


meI 


ed in generale d,, è massimo comun divisore dei numeri d,,,, Guy che lo 
precedono. 
Così la risoiuzione della (yy) dipenderà dalle seguenti 


An In i P. Ma: IV — %n-33 


A Z di. i sd Yauea — Zn-3 . 


(aaa) {| | ------------- 
Azz3— Ag Y3=83; 
Az, A, YZ; 
alri==044); 
che hanno tutte la condizione di solubilità (num. 12). Dall’ultima di queste traesi 
dz, 
ga 


1 


Ora il divisore d, deve essere primo con @,; giacchè per ipotesi i numeri 
d,3 4,3 4,2-- 4, non hanno alcun fattore comune. Fa d’uopo adunque, 
che 2, sia multiplo di 4, , affinchè y, riesca intero. Faremo pertanto 


Agra ai 
essendo @, un numero qualunque intero, e positivo; e si avrà 
(555) VAC 
Attualmente si chiamino é, , 4, due valori particolari, o meglio, i più piccoli 
valori soddisfacenti all’ equazione 
AECA,h,=1; 
valori, che si potranno trovare col processo dato superiormente (num. 16); 


é,, 4, quelli, che soddisfanno all’ equazione 


As -H4,=1; 


E.3,À, quelli , proprii a verificare la 
Ara É 3 A Àn-3 1; 


n-2 


336 PARTE PRIMA 


e finalmente A,.,, An. quelli, che soddisfanno all’ equazione 


cb Ànor —d Anes 1. 


nei 


Dalle (aaa) ricaveremo (num. 12) 


>, al T49i et A, 0; 
23 =Zab, Lt 4303; Y3= 2A, t 4303; 
ng — Zn-3 È 3 i di O ng n hf N=2 —: Tn-3 À n n OA 0 29 9 


Yer —- Zn=a Àna SE 23 On ) In — Enea Ani Di si On-1 3 


ove @,, @3,- - - ©n., denotano numeri indeterminati interi, e positivi. Quindi 
si otterranno colle successive sostituzioni ie formole 


virat'aldi a AD 


i201LE 


"TA 4,0, + A303; 


uzn=—3 uz©n=-3 


=; È DIST 
viarrit altaadio: Èa apicali A; -entr ba O, 


uzn=3 uzn=3 


Demi Diitiopli, 
i 43 Àn-3 € sù È 03 T--- vir Àn3 € Dova 5 0,4 


(ccc) a An-3 Àn=3 On-3 ne Anzi 0-93 


uzn=2 uzne=2 


al: RI 
In Lu Ai 'Algagi du Orazi Aia SER PE 6a O, L--- 


uZne=2 


LÉ 
n-3°*5u 5 
CL An=3 dali € pa An-3 pei; 24.053 Anea Ong Le An Oni ” 


uZn=-2 uzn=2 


_ l —g9 l 
Tn pasa eni; (42° Ai 6 0 Èn 0, =" A, > MA e + È 0. DS ig 


» 


uTn=-2 


I. 
an—-3°° n 
ne An-3 A e r sa 4 Qn-3 de Ano Aiati Org 5 Ao Ant ” 


LLé, 


ove le quantità e sono date dalla nota espressione generale 


uh-H4+1 


PIO: SP, 
esse i ii 


TEORICA DEI NUMERI 337 


Il valore di y,., è il termine generale di quelli, che lo precedono. Sostituendo 
le espressioni (520), (ccc) nelle (xx), otterremo in fine i valori ricercati. 

22. Tralasciando queste sostituzioni per brevità , farò osservare, che si può 
soddisfare alla (yy) in infiniti modi, col porre 


y;=td,d,d,---d.,0, 


nel ») 


Jana = L d, d, d, ibi bai dra Ant 5 


Pr 0, 540, Tondo 
ove @,, @,,03,--- n, Sono novelle indeterminate; ed ove abbiamo messo 
d,d,d;---d,., in luogo di a,. Per mezzo delle espressioni attuali, e delle 
d, 3%, %5,- = = %n dalle formole (xx) ricaveremo 
K 
di—1 
rs I 
ec =a4 —— +.d,d,di - - - d,-,0 


e ccp illa dpr 10, dt I 


2 


ke 
dui 
a,=ad dî: -__ _td,d,d, pit” ds; 035 


13 
k 
ki 3ka da — 
cv = 4, dda - - - di i AR di - - - d,:0n} 
Un 
(AE ki -I kata n=2 n= I . 
Ly, A d, d, ati io AC dA = A,0, Sa A70, a ie Anne 9 


e questi sono i valori, che soddisfanno in un modo assai generale all’ equazione 
indeterminata di primo grado 


Aa, +A,C,+A,X,t --- + Ang Cry =d,d, dg ---d 


M-I n-I X n9I 


dove, come si è già detto più sopra, 
d, esprime un numero primo con 4; ; 
d, un numero primo con 4, ; 
ih: un numero primo con 4, ; 
k, esprime l'esponente che corrisponde ad a, ; 
k, quello che corrisponde ad a, ; 


e K,.i l'esponente che corrisponde ad 4a,., . 
Opusc Matem. e Fisici. 45 


338 PARTE PRIMA 
Adoperando la notazione del num. 10, potremo dare alle formole precedenti 
il seguente aspetto 


uz©n=1I 


k 
I 
d ni! _ l. d, 
es I uo uti 
xa PL ss 
A, 
tslezo) È, U+I d': uzn—1 ] 
Xr,=4€ uo ] U+I a de PR vc dis, 1 
(5 
u=2 ku+1 k UZ©ITI 
3 
Lia dé-1 SEE RAC 
Va Za È uo USELOO d sis e uo UTI 03 > 
43 
uz©n—2 kut1 k HZUT1 
n-I si 
date) uo I, din dr dei e Dito l. dis: ) è 
Ln-r — do € È FOGA RO — € «Onur 3 
n—1 
uZznTI I Pesos I 
Coca e 7) a LR A PARO Si RE NE 


Farò osservare, che ai valori anzidetti di x, , x,, ecc. si possono far prendere 
diverse forme; ma penso, che queste risulteranno sempre più complicate 
delle prime. 

23. Il sig. Guglielmo Libri, che si distinse assai per le importanti scoperte da 
lui fatte in questo ramo d’ analisi, ha dato nelle sue Mémoires de Mathéma- 
tique, et de Physique un metodo elegantissimo per la risoluzione dell'equazione 
di primo grado 

ay+b=cx; 


ove a, e c sono numeri primi fra loro. Ivi dimostra, che il più piccolo valore 
intero, e positivo di y, che le soddisfa, si è 


va dela RO DST 
sin. po ur sin. (raga T 
RES N et Vidi +. CESTI CONTO 
(ddd) Sai nigi I SALA hi 
2 9 TRE i dI 2 No, 
SI a 109 2sin. — 7 
Cc . € 
j nea i co ha 
sin.2|-—_)® sin. (C — Csa T 
lo; € 
Ad III‘ 29. .1 1: 
aa . alc—1) ; 
2 sin. — x SIM ee Br: 
6 


t designando la semicirconferenza d’ un circolo qualunque. Secondo il me- 
todo da me esposto (num. 12) si avrà in generale 
K 


ei 
Marr Urra L'ewes 


TEORICA DEI NUMERI 339 
ove & esprime l’ esponente, che corrisponde ad 4; e però il più piccolo valore 
k 
. DEC . x . . . Did . Cc sa È 
intero, e positivo di y sarà il residuo della divisione di 6 » pei Que- 
È ( 
sto residuo si denomini r; dal di lui confronto colla espressione (dd4) 
ricaveremo 
. 2b—a 
sin. —_UT 
(eee) 2 —_———— =2—C+1. 
UZzI 0. 
sin. — UT 
c 


24. Per mezzo dell’ opportuna trasformazione di questa formola potremo 
giungere ad ottenere i valori di alcuni integrali doppj definiti. Da un teorema 
di Fourier abbiamo 


f)= posi NN VIOLA CI +dzdy; 


fu), f(z) designando funzioni simili di wu, z; e essendo il conosciuto rap- 
porto della circonferenza al diametro, supposto questo l’ unità. Da qui traesi 


JI) S()+f()+f8)---+f(—-1)=22:S(0) 


I cea 44 1 
Si (SA dzdy (cos.y(1-2)+c08,y(2—-2)+c08.y(3-2)+---+c0s.y(c-1-2)) 
di 00-00 


— f(£) sin. (° si )y cos. (5) y 


=2(f 2 ul 
III -x vo 


—_ d3d y. 
Facendo pertanto 


sin — uT 
c 


i 2ab—-a 
sen. [fe UT 
33 \ GC 


ricaveremo 


AI O U 
sin. — UT 


#, 


+ 2b-ra _. (cH1 sn /C--22 
— Sin —— azsin.(——}ycos.y|— 


I dn 
mangi o) -dady=ar—c+1; 
<Seg see Losi «/ 


e quindi, posto 2 y in luogo di y, 


È U . I 
SIONI 974 S10 33 vi 
C Bs 


Sil (ES Tzsin.(C—1)ycos.y(c—22) 
(888) Wi vl TT VWV E &@ d:dy=(ar—c+1)x. 


sin. — TX zsIn. Y 
"fr. a/ 


340 PARTE PRIMA 


25. Attualmente osserviamo collo stesso Autore, che è 


dizaltà abur a 
sim. (e 169C sin. — 908 — UT L 
I c 2bur 
sue “I See A pa Me 
“ui , a — uz d U È. 0S 2 
sin. — 149 sin. — UST 
o Cc 
Ora supposto — una frazione, è noto che si ha 
sa ; 
ab 4br 2b(c—1)x ue abur 
cos. 008. ret eee za cos. enntri 


Adunque in questo caso dalla (eee) otterremo 


obur a 
S ut 
Cc 


u_e 
USZa Li a 
sin. - UT 
Cc 


Da questa formola trasformata per mezzo della (fff) sì trarrà, dopo avervi 
cambiato y in 2 y, 


(hkh) Ver e 


Sottraendo la (ggg) dalla (AhAh), e quindi mettendo ni in luogo di z, si 


- COS. — srasîn. (c—1)ycos.y(c—22) 


— dzdy=(2r—c)x. 


6 = 


$ a È 
sin. - 7 zsin, 
n y 


ottiene la relazione 


© sin.(C—1)Y baz TZ 
of 1a sai os. —— cos. yzdzdy=ax(—1)H 
it sin. y c ; 
ove è, e c sono, come abbiam detto, numeri interi e positivi, colla condizione, 
che non sia 5 divisibile per c. 
26. Applichiamo ad un caso particolare la trovata formola (ggg). 


4 


Sia bh (nc&+gasle=c; 
| ei ° lb 
sl avrà bi. =m(k—1)+gd—1+ —-?; 
ae i 
e però rec g. 


Adunque con questi dati dalla anzidetta formola ricaveremo 


n C+2g8—1)aXZ . 


sin(c—1)ycos.y(c—22) 


Tal pm ina 


sin. — T 2 sin, Y 
? ; 


dzdy=(c—ag+1)x. 


27. Dalla espressione (eee) si ritraggono altresì con facilità i valori di al- 
cuni altri integrali finiti: per esempio se 7 è un numero qualunque intero, e 
positivo; s il residuo della divisione di r per c; si avrà 


TEORICA DEI NUMERI 341 


. (ab—-a(1+n) anu 
sin, (O) e COS, ————& 


Pes gr Cc fe. : SLI 
(it) vd er arts tie); 
sin. — UT 
c 
. (2b—a(1—n) anug 
SULL Una Babe 
ICI ue Cc MEL: i E 4 
VI) Bi pese DIET =ar-s+1—c( piego: 
sin. — UT 
c 


prendendo il segno superiore, od inferiore 
per la formola (i77), secondo che c—r sarà, o non sarà minore di s + 1; 
per la (7/7), secondo che 7° sarà, o non sarà minore di s. 

Si ha evidentemente 


4 ab—-a 
SID. { ———————:] 6.9 
MRI Cc 


A ab—-a(1+n) anug 
SID. (DALAI 01. COS 
c c 


DESI.4 RAZZE 
uZI ; a dai Zi j a 
sin. — UT sin. — UT 
c Cc 
anu 2b—-a(14+n) 
. ——— COS. n ua 
rss. 1 c 7) 
+2 _ =2"—C+1; 
[/ S| n a 
sin. — UT 
Cc 
e però 
; 2b—-a(1+n) ANUIT 
sn {—__“% }7 cos. pri 
— Cc 
Lig une 
(KKK) Za or 
sin. — UT 
Cc 
. aAnNuTt ab—-a(1+") 
sin;lTre=—;cosslie Suso 
ez Cc 
A CR e 2A 
uTzZi r a 
sin. — UT 
c 


Per trovare il valore di quest’ ultimo integrale potremo tenere la via se- 
guente. Prima di tutto osserviamo, che la funzione posta sotto il segno X è 
identica colla serie 


b-a b—-2a bT— na 
cos. 2 UT +- COS, 2 gere Ugg = <= 4 008.2 Pen UT; 
Cc 


il che si può subito vedere riducendo i seni, ed i coseni in quantità esponen- 
ziali. Perciò si otterrà 


. aNnug 2b—-uau(1+n)\ 
sin. — — cos. (PESA us 
(222) È, — 


. a 
sin. - UT 
Cc 


FE; ‘b-a À& b-2a — db 
E°" c082(—°)ur4+ 27 cos.2( n Jura _- -+2/2cos.a( 
c = 


'— na 
UT, 


342 PARTE PRIMA 


= h 
. . a 1, ue a r" 4 INCI È D 
Abbiamo poi 2" cos. x a 20 I 1 se _ è intero ; 


"30 NI ro RE 3 e 
se — è numero fratto; e però il valore della somma degli integrali finiti anzidetti 
C 


UE b È Sei a uo db a SD a 
di EROS o) UT, ,08.2\r-___])ux, ecc. 


esi {fa 


si troverà agevolmente, quando si sappia, quanti numeri interi sono compresi 
nella serie 


ba bT—- aa ha 
(mmm) pesto in Tr 


giacchè anche il numero dei fratti, che si contengono nella stessa, sarà allora 
noto. Ora è manifesto, che ciò si riduce a sapere quanti sono i valori di y, che 
soddisfanno all’equazione indeterminata 


(nnn) b—Tagr—=C%% 


nel supposto, che questi non sorpassino il numero r. Ma si ha in particolare 


(num. 23) 
TT 


e perciò generalmente (n.° 12) 
IFECO+LCN; 


essendo @ un numero intero arbitrario. Adunque se chiamasi @ il più grande 
multiplo di c, contenuio in 7, in modo che sia 


Z=CWA-$; 


il numero dei valori di y, non eccedenti 7, che soddisfanno alla (72722), sarà 
© -+-1, 0d ©, secondo che c—r sarà, o non sarà minore di s +1. Nel primo 
caso il numero dei termini frazionarii contenuti nella serie (7277272) sarà 
CO+-S—@—-1TZ0(C—1)+ST—I; 
e però dalla (222) si trarrà 
. ANUT 2b-a(1+n) 
sin. —— cos.{ — — )ur 
Pe i 


ue 
ba 
u==1 


“opa — =(0+1)(-1)+H{a(c-1)+s—1)(-1)=c-s. 
sin. x uT 


Nel secondo caso il numero degli stessi termini fratti sarà 


CO+S—0Z0(C—I)+5S; 
quindi 
ANUI ‘2b—a(1+n) 
Suoi. ===" GOSî Ca 


alte =o(—1)+(0(c—1)4+s)(—1)=—s. 


UTI 


. (44 
sin. - UT 
C 


Sostituendo cotesti valori nella (Xk%) risulterà la formola (ii). Nello stesso 


TEORICA DEI NUMERI 343 
modo si dimostra anche la (7/7). Tutte le formole precedenti d’ integrali finiti 
non sono, che casi particolari di queste. 

28. Se si pone 4a in luogo di a, e si fa 
RESSE (ILA) INA L; 
si troverà con facile calcolo pel caso di sZm+1 
qm_—as—1t(2m4+1) 
pes di n ere de i 
FA , 
+ 
ove bisogna prendere il segno superiore od inferiore; secondo che m + s sarà 
numero pari, od impari; per conseguenza dalla (iii) avremo 


gJAaSsut 
Cos. è Di Le “ 
uT2M+ 2 
EF te (+1); 
nr 2AU:T 
COS. ‘ST 
D'ILA=ST 


prendendo come sopra il segno +, od il segno —, secondo che m2.+-s sarà 
pari, od impari. Qui il numero a va soggetto alla sola condizione di essere 
primo con 2m.-+1. Da cotesto caso particolare si passa immediatamente a 
quello, in cui s sia un numero qualunque, mettendo quest’ultimo sotto la forma 


jJ(am+1)tg, 
supposto g minore di 72 +1; il che è visibilmente sempre possibile. 
20: Inoltre se nella (eee) si pone 2c in luogo di c, e si osserva, che si ha 


identicamente 
x ob—u . f2b—-a x 2b—-a 
Oil sin. (nt (2u+1)x sinf —T— )ur 
SÌ 1 si 2 C deg si È 2C Pai gere pae 
NESS , L UZzo d a fr fenzey | À a , 
sin. — UT sin. — (20+1)T sin. — 167 
2C 2C C 
ricaveremo 
. {2b-a ab—a+c 
sin. (2u+-1)T cos( —_)(22+1)x 
Vi fo dI 2C % Ur 2C 4 f 
nina _ yrreaoe 0 —_——_—_—_—_—__—@—=2(r —r)—c; 
utzo : a uzzo È 2 
sin. — (2U0+-1)9 cos. (2u+1)7 
2C 2C 


ove 7’ esprime il più piccolo numero positivo, che soddisfa all’ equazione 
ar+b=2ca'. 

Sottraendo da questa Ì’ equazione ar+b=cx; si ottiene a(7r/'—r)=c(2x'— x). 

Per poter soddisfare a quest’ ultima è chiaro, che 7/—7 dovrà esser multiplo 

di c. Ma 7‘, e r sono positivi, ed il primo minore di 2c, l’ altro minore di c. 

Adunque 7'—r non potrà essere, che zero, o c. Nel primo caso sarà 7/ minore 

di c; nel secondo sarà maggiore di c, od eguale a c. Per conseguenza avremo 


altr) —c=570; 
È n , x x . 
prendendo il segno —, od il segno +, secondo che 7” sarà, o non sarà mi- 
nore di c. Tralascio ulteriori ricerche su questo soggetto, non essendo esse 
adattate a tale mio scritto. 


344 PARTE PRIMA TEORICA DEI NUMERI 


TA VuOMESA 


Contenente gli esponenti minimi, che corrispondono ai numeri naturali 
dal 2 sino al 200. 


È % n a CRSRTIIIMNE") 
| Esponente Esponente Esponente Esponente Esponente | Esponente 
Numero | minimo f Numero | minimo { Numero | minimo { Numero | minimo f Numero |. minimo Y Numero | minimo 
corrisp.!© corrisp.i€ corrisp.!® corrisp.‘€ corrisp.t® corrisp.te 


36 6; {70 |a. 1040/0964 2 Loana 
37] 36 | 71} 0. 105° ..t12.#199 | 138 f173°| 272 
SO. IS 972 6,|-T1005.4:daxl.140 | \\talpin4 | 28 
39 12}1;79,)972,] fon oo AAT 46 [1759 | 60 
40 4-|.74:10,360| 110808 18.1.142.] 1, goti 0, 0 
41 | 4o | 759| 20 | 109 | 108{143 | 60 [177| 58 
42 6 | 76 13 | i10'| .20 | 144 12] 178] 88 


desi 


OSI O UA DN 
DINI Aa N 


| 
| 

(OE PRE PICENI ET 36 1 149 | 28 | 179 | 178 
10 4-BCG4I 10 | 900 a aelerio Wi ii ara GO ta 
II 10 Î 45 12.1 79 |. 98 | t13 | 1121147 | .42 [18î | 180 
12 2 46] 22 80 4 | 114 18 {148 | 36 | 182 12 
1Ò 12% 47| 46 | 81 54 {115 44149 | 148 [ 183 | 60 
14 6 48 447903. AOSEIOO] 259/1090 11 ROTOLO I 
ID VATIMAO ROLE] EGO DIRI RIDI RIDOTTI OOO 
16 pilo 44° DO 20 | 84 6 | 118 | 58 | 152 18 | 186 | 30 
17) 16 | di 16.3 85-| d16.lizoei 49° 153.) 48 ladonnta 
18 6 5a 1a 180110 aaa DIO 3o | 188 | 46 
ig 18 f53.] da {87281 21 dro.) 155 160.1189018 
20 4 | 54 18 | 88 10 | 122 | Go { 156 | 12 | 190 | 36 
21 G| 55 | 20 89] 48|123| 4o|157 | 156 | rg1 | 190 
2300 «1071-56 1). 6.1. 907] ratlra4ti So USI A o 
23 pan tina 18 | 01 12 | 129 | 100 | 159] 52 | 193 | 192 
24 231,558, [1a Regala) | 26 6 | 160 8 [194 | 96 
25| 20) 59] 58 93| 30| 127] 126 16r| 66 [195] 12 || 
26 2 { 60 4 |'o4{ 40128] 324162: 541061 42 
27 | 18 f 61 60 | 95 | 36 { 129| 42163 | 162 | 197 | 196 
28) Gl1 62 30 | 96 4:} 1300 72 Fr04 40 | 198 30 
29 | 28] 63 6 | 97 | 96 | 131 | 130 [165 | 20 | 199 | 198 
do 4% 64 16 | 08) 42 132 10 f 166 | 82 | 200 | 20 
3i| 30% 65| 12] gg! 30|133| 18/167 | 166 

32 8 f 66 10 | 100 20 [134 | 66 | 168 6 

33 | 1x0 f 67) 66|ror | 100 {135 | 36 f 169 | 156 

34! 16% 68| 16 [102] 16{136| 16|170| 16 

35.| 121 69] 22 [103 | 102 | 137 | 136 171 18 


PARTE SECONDA 


Seguono due Capitoli che continuano la prima Sezione 
del TRATTATO SUL CALCOLO DEGLI INTEGRALI DEFINITI (Vedi 


Fascicolo III, pag. 273) 


345 
ANALISI djo 


OCA PO air 


| Dell’uso delle equazioni alle differenze 
per la determinazione dei valori di alcuni integrali definiti. 


94. A mostrare come anche il calcolo delle differenze finite può usarsi con 
vantaggio per la ricerca,dei valori di alcuni integrali definiti, mi occuperò in 
questo capo quasi unicamente dei celebri teoremi d’Eulero riportati altresì dal 
Brunacci nel suo Corso di Matematica Sublime (*). 

Si pone per abbreviazione 


(a) Azi— 24c05.P+ a 


dove a è una costante che ha un qualunque valore reale: e si cerca pri- 


(in:=3tt 


in cuì è è un qualsivoglia numero intero positivo. 


mieramente 


84 a 
] na o ne 
Conviene osservare che pel caso di i=0, l’integrale ti dp xs deduce pron- 
Lù 


tamente dalla formola (4) preparata a quest’oggetto al num. 31. Il confronto dà 
azi+a°, b=--24, e quindi 


(b) Sdpr=t=; 


il doppio segno corrisponde ai due casi di a<1, @>I, non avendo riguardo in 
tal giudizio all’ essere quest’ quantità positiva o negativa. Infatti è facile per- 
suadersi dietro un noto teorema di Lagrange (**) che il valore dell’ integrale 
deve sempre essere positivo, non diventando mai 1 infinita per nessun valore 
di p compreso fra zero, 7. E che sia così, riflettasi che per diventare infinita 
I 


la funzione 
A 


bisognerebbe che fosse A—=o0, ossia che cos.p prendesse un valor 


2 
| I+ \ ° 
tale da verificare l'equazione cos.p= + co (dove ho il doppio segno per 


Li 


esprimere i due casi di & positiva o negativa nella (4). Ciò non può mai acca- 


dere, essendo necessariamente cos.P quantità positiva o negativa non mai 
2 


553 I+% LENNSSA a 
maggiore dell’unità, ed essendo © —— quantità positiva o negativa sempre 
2% 


(*) Tom. III, pag. 51 e seg. i 
(‘*) Lecons sur le calcul des fonctions. Edit. in 8.° pag. 92. 


Opusc. Matem. e Fisici. 44 


346 PARTE SECONDA 


maggiore dell’unità, come si capisce mettendola sotto la forma +11 pesa n). 
24 


RT 
Di più l applicazione del ricordato teorema esige che A non possa mai diven- 
tare una quantità negativa —p: ed è appunto così, perchè in quella ipotesi p do- 
vrebbe prendere tal valore da verificare l’equazione cospatf te Se E 

204 20 
(il doppio segno è per @ positiva o negativa come sopra) cosa del pari 
impossibile. 


Anche l’integrale pel caso di 7=1, cioè Si: dp - es Sd si ha speditamente 


integrando per p fra zero, 7 i due membri dell’ oa identica 


spy cos. D 
ITC —T — — 2 . S 
A 


giacchè si ottiene 
cos. P 
r=(1+-0°) fdp:z sa f dp .- 


da cui coll’uso della formola (0) 
di; cos. Tu 
SICA Ni rren per a<1I 


cos. .P__ TT 
IC an per &D>I 


99. Visti questi due casi particolari, possiamo elevarei subito al generale os- 
servando l’ equazione identica 


cos.ip =(1+@ a) ZE P — 24- die 


che facilmente si trasforma nella 
cos. cos.(î+1)D cos.(i—-1)D 
cos.ip=(1+@9°) —— n gd) Sosi1)P 
A A 
A 
1 î % i 
Premessa l’osservazione sul valore dell’integrale sh dp. cos.ip=o (come su- 
(0) 


bito si dimostra passando per l’integrale indefinito), si integrino i due membri 
della precedente equazione per P fra i limiti zero, 7: indi ponendo 


af dp E 


si otterrà 1’ equazione lineare alle differenze di second’ ordine 


o=(1-+4°)z — 42, —&Z;., 


ANALISI 


— 
x 
n1 


che può sceriversi 


" = Pato. 
Spia Zi4a +20 . 


Applicando il noto metodo se ne trova l’integrale completo 
11) z, = dai + Ba 


dove 4,5 sono le due costanti arbitrarie. Le determineremo dietro i due casi 
particolari discussi nel num. precedente operando a parte pera<1,e pera>i. 
Quando a<1 abbiamo dalla (0) e dalla prima delle (c) le due equazioni 

T TA SEDE 
a d+B;, ——=A4da+B- 


L= ent.) ai 


dalle quali 
PESSOA ME 05 


b-3 al! 


Quando «>I abbiamo similmente dalla (2) e dalla seconda delle (©) 


dalle quali 


Adunque, richiamate le (1), (II), si conchiude 


Sar SR iti 


Ò .i ta 
Sap. per 4>I. 


% 


cd) 


Li 


96. Scolio. Il sig. Legendre ha osservato potersi sempre supporre a<1, per- 


DIOE I ’ i 
chè quando a>.i facciasi «= e risulterà 


6 
CORE | Mit Ost - 
1 dis I— 20C08. 1— 20008. +0 — efd fi 1—28 cos. P+b" 
in questo secondo integrale è 6<1, epperò il suo valore è trovabile colla pri- 


î 


i tb 
ma delle precedenti (d), esso risulta 77» e in conseguenza 
I — 


IIECZ EROI. COR.d9) + alt Spe 


I—-20%COS. i—24C05.P + a 


per nera tes 
Se ora risostituiscasi per 6 il suo valore as ha la seconda delle formole (d), 


348 PARTE SECONDA 
che in tal modo riceve una conferma. L’ indicata osservazione avendo luogo 
anche per l’analisi più generale che ora passiamo a vedere, supporremo in essa 


sottintesa la condizione di a<1. 
97. Sia proposto a trovare il valore dell’ integrale 


Sap. SOLE 


essendo n numero intero positivo. Invece di riferire i lunghi calcoli dell’Eulero 
mostrerò, generalizzando una bella analisi del Legendre (*), come possa sempre 


n; 
aversi il valore dell’integrale ( dp - SE) 3 dove 4(P) è una funzione nota di 


P, quando si conosca quello di tl) dp - ali) Sia 


((x)) P,=f dp. AT : 


si derivi per @ questa equazione di posizione : avremo 
A(@) (d A\ 
(Gf 


Ora dalla (a) (S7) = — 2c05.p9-+24= - 


ASTA E 


talchè la precedente si riduce all’ espressione 
dan . E 
(Fo)=z(—a ) Pan PIC 


e può mettersi sotto la forma 


. RUPER î id ea" Py 
((2)) PERA CA n (1 — a) ann! ( da 5 ) = 


Per integrare questa equazione alle differenze miste pongasi. 


Un 


((3)) Li "= T(n)a” 


essendo 4, una funzione incognita di 7 e di @. Rammentata la proprietà delle 
funzioni I espressa dalla (c) del num. 52, la ((2)) riducesi 


((4)) Unyi = = (u,)' 


indicando ora e in seguito cogli apici le derivate per @. A questa equazione 


(*) Exercices de Calcul Integral. II." P., pag. 373, num. 61. 


ANALISI 349 


iii 


soddisfà il valore %, en essendo Ah — : e 4 simbolo di 


% 
funzione arbitraria. Sembrerebbe che a motivo di tal funzione arbitraria l’inte- 
grale anzidetto fosse il più generale : eppure non lo è, come cogli esempj facil- 
mente si scorge, e in particolare con quello in occasione del quale* espongo il 
presente metodo. Ho creduto di porre quest’ avvertenza, perchè non lascio mai 
all’opportunità di far osservare che molti degli integrali delle equazioni alle 
differenze parziali che secondo le vecchie teoriche si reputano abbastanza ge- 
nerali, non lo sono realmente. 

A. trovare il vero integrale dell'equazione ((4)) adopreremo il metodo di 
continua sostituzione deducendone successivamente 24, , Un 3 Un-a} @€CC, e met- 
tendo i valori risultanti gli uni dentro gli altri. È facile vedere uscirne 


rtl 


dove nm è un numero qualunque intero minore di 7, e le indicate derivazioni 
per & sono di numero m. Fatta m=n—1, si ha 


FARE ORO AGLI CORI ib ld GE A 
sia e. TW alAnaEot\ 41 


e quindi per la ((3)), e per la (4) del num. 53 


(Perrone ale?) 


1. Ecco la formola che dà 


nella quale le derivazioni per @ sono di numero 7 
sempre P, quando è noto /,. 

98. Nel caso nostro particolare di 4(p)=cos.ip, essendo P, noto per la 
prima delle equazioni (d), abbiamo (richiamata anche la (è) del num. 54) 


211) 


(e) P,=fd dp: st iae((5 (e 


Scriviamo alcuni casi particolari per r=2, 3, 4, ecc. 
La gir 
P,=—— (-—) 
1-8 \1-a" 
att! fr f 
P,=-—___xx (- a ) 
clio r-a' \1T- qî 
T u' a' att! 
prob Po (= (- ))) 
47 2-:3a(1-a)\1-a\rt—-a"\1—-a" 


ECC. ecc. ec 


"n 


Eseguendo le derivazioni indicate trovansi precisamente i A: registrati dal 
Legendre nel luogo citato. Se poi si studia la forma di tali espressioni svilup- 


350 PARTE SECONDA 


pate si giunge per analogia alla formola generale che dopo Eulero fu ridotta 
dal Legendre a maggiore semplicità nel seguente modo. Abbiamo 


‘100, Tai I-II id ni 
(f) Pi Si è : —- A, 
i UN na 1.:2.:3---2—1 
essendo 
n—1 fatt n_—1:Nn_-2 n_—i-1:nT—-1—2 
(9) A, = Vasi Dice ela eenezsi, j4) pa E 


tti I.2 TT a 


n—1-n-2-n-3 , n—imi-n-i-2-n—i-3 
MRI RE 1A 


1.2.3 i+1-Î4+2-14+-3 Ta aid 
Siccome una dimostrazione per analogia lascia sempre qualche cosa a deside- 
rare, propose il Legendre di verificare 4 posteriori il risultato facendo nella 
((2)) la sostituzione del valore di /, dato dalle (f), (g): e asserì che ogni altro 
modo di verificazione sarebbe meno facile. In realtà però una tale operazione 
è ancora assai laboriosa: talchè sembrami miglior partito fare come soggiungo. 

Mettasi nella ((2)) il valore di 2, dato dalla (Y) e dopo alcune riduzioni ri- 
sulterà l’ equazione 


dA 
(1) (n+i) Ann = (7 +i+(3n—i-2) 0°) A, +a(1—-a°) (E) 
la quale dovrà essere avverata dal valore (g). Ce ne persuaderemo alla maniera 
seguente, che avrebbe potuto servire a trovare « priori lo stesso valore (g) se 
5 
fosse stato incognito. 
Facciasi 


(k) Air Ti pisa DE ranRedo. 


essendo p,, Yn3 n, Sn, ecc. altrettante funzioni incognite di 7 da determinarsi: 
la sostituzione di tale espressione nella (/) fornisce, mediante il confronto 
delle eguali potenze di @, le equazioni 


Puri = Pu 
n+ri4a-93 Bfpaeeca 
Gu —— Gr ——— p 
nta n&i Tn FERRI e. 
5) A n+i+4 In-i-4 
ti A ————' 
\ N41 n4-i n PORT, Tu 
NET306 BNCE—-D 
$ sa pr Ss Ad ————__—_ » 
se nai È ni n 
TTANDLA Bn-1--8 
AIR RIERTE Pe 10 pi 
fa pini a n+i r 
ecc. ecc. ecc. 


le quali procedono con una legge manifesta e sono soddisfatte dai valori di 


ANALISI 351 

Puo Ino Tn» €CC. quali risultano dal confronto delle (g), (4). Siffatta verificazio- 
ne, senza essere brevissima, non presenta aleuna complicazione. 

Osserviamo la formola (g). La sua legge è elegantissima e affatto palese: essa 
finisce col termine che ha per fattore a, 

99. Due casi compresi nel generale cui appartengono le formole (f),(g), 
meritano particolare attenzione. 
Il primo è quello di r=i4+1: per esso il valore di 4, si riduce al primo ter- 
mine I: e quindi 


(j) TILL cos. ip î+1-iÎ+2---2Î TO 
] A (1-24 c0s.p+ a)! 1:2---Î (agg ara ° 
Eulero compiacevasi di questa formola a motivo della semplicità del valore, 


che a prima giunta si sarebbe creduto dover essere molto composto. 
Il secondo caso è quello di io: allora 


di I TT n_-I\° , 
Sar (r—-24c08.P+ a)" (1g) {+( I Je 


ini.n—-2\0, f(n—x.n—-2:n—-3\° 
+(—— gti (—— —— |a" ecc. 
1I:9 1:2°3 


dove i coefficienti delle successive potenze di a* sono i quadrati dei coeflicienti 
di un binomio elevato alla potenza n —1. Quindi le formole particolari 


sa 1 i na 
ILA (1-24 c0s. D+ a) eng A 


Viliani a aaa 4) 


(2) 


T | 
= ——(1+ 3°4°+ 344 + a) 


PAL I 
VICE, (i—24c08.f+ a) © (1—a) 
ecc. CGG ecc. 


100. Scolio. Eulero e Legendre si occuparono anche dell’integrale 


VEL, + A" cos.ip 


in cui A è come nella (a): giunsero ad alcuni teoremi degni di considerazione, 
ed anche a due formole che legano un tale integrale con quello superiormente 
trattato. Siccome però nei diversi casi particolari si può facilmente trovarne il 
valore passando per l’ integrazione indefinita, oserei dire che quelle ricerche 
sono un oggetto piuttosto di curiosità, che di decisa utilità. Quindi le ommetto, 
rimandando il lettore che ne sia desideroso alle opere originali (*). 


__—————tÉ—._———_——mm______7__—_—___—r__———_—_——_—_—————__—_—_——_——_————————————_»————————+6+6@+tt66666t6t6tgt6F6t6<<<c‘!0‘T'0FFFreeeeeoe e ——l121———@—l@@l@l@t1—@—@—@1@y 


(*) Eulero. Calculi Integralis. T. IV pag. 199; e l’opera di Legendre nel luogo ultima- 
mente citato. 


352 PARTE SECONDA 

CO0S.43 
I + 72.005. 
biamo anticipate al num. 41 alcune proposizioni non dimostrate. Quando 2<1, 
il suo valore si desume facilmente dalle precedenti formole (d), le quali , posta 
—a in luogo di & possono scriversi 


td 
101. Passiamo a trattare l'integrale Sa : intorno al quale ab- 
(0) 


IT ® 2 
cos. 2 "A 
dz- —(-—1)ir.- - ai era<1 
J, = (Ce per a < 
ie 3 COS. 
mm) n i A 
cos. iz PAIas Mi 1 
dz... ———_o ii oi tria “at over a DI. 
Afro 2% optò. a'—1 | > 
I+ ——; C05.Z 
Lea 


. . % . . . . 
Infatti 1’ espressione na è minore deli’ unità, come subito si vede met- 


(at 


tendola sotto la forma 1 — È 
1+4 


: 20% 1 : è 
Pongasi pertanto Tugi =>"; SI cavano per 41 due valori 


i-Vin 1+V/1—-n° 
n n 


radici di un’ equazione di secondo grado. Prendendo il primo risulta a < 1, e 
allora bisogna usare la prima delle (72): prendendo il secondo si ha a>I, e 
allora bisogna usare la seconda delle (m). È indifferente 1’ assumere l’uno o 
l’altro dei valori di @, perchè, facendo come si è detto, si arriva al medesimo 
risultato: piglieremo il primo. 

La stabilita equazione tra @ ed n dà 


1+aì _.& __ 1-Vitn e _ I r-Vin' I 


i-a  n—-& 7 n-1+Vin i Vini 1-V/i_n' di: Vi =p' 


Quindi per la prima delle (n2) 
(n) fas cos. 7 Z LB T ee \ 


I-4+72C0S,Z asi 


identica colla formola (e) del num. 41. 


COS. 7 Z 
102. Il valore dell’ integrale vi dz = 27 oyen >I Nol può essere 
I #- 72 COS. Z 


desunto dalle formole antecedenti, e la sua ricerca abbisogna di un metodo 
particolare. Ne userò uno affatto CL a quello de’ numeri 94, 9, e perciò 
devo premettere i valori particolari del cercato integrale pei due casi î = 0, 


ANALISI 355 


i=i.Quanto al primo dimostrerò nel Capo seguente (num. 114 sul fine) essere 


14 


I 

(0) (dz » ——_T—_- 20 

So I -#+ 7 COS..3 
dando all’ integrale il senso che ivi sarà spiegato. E quanto al secondo, dietro 
l’ equazione identica 
I COS. 3 

dI. Sia pecid ee 
I + 72 COS. 3 I + 72 COS. Z 


I — 


integrata ne’ suoi due membri per fra i limiti zero, 7, st deduce prontamente 
in conseguenza della (0) l’ altra formola 


4 
COS. 7 TT 
PATATE SARO e 3 
(P) fe I +7 C0S.Z n 


Ora dall’ equazione identica 


RA GATES oto cos. (f4+-1)5 n. cos. (Îî —1)z 
I+C08S.5 2 I+PCOS.Z 2 1+71C0S.Z 


integrata nei suoi due membri per £ fra i limiti zero, 7: avendo posto 


, COS. i Z 


tel ee 706: 


si cava, in somiglianza di quanto si è fatto al num. 95, l’ equazione 


n 7 
O Zi + o ETA pai gi 1 10 
DI . . 
che può scriversi 
n 0 
pe — — Z t | . 
142 n 14+1I 


Facciasi, come al num. 41, 
I È e ene 
cosî=-, sin0=-Vn'-1; 
n° n Vi ; 
l’ultimo valore di z; prende la forma 
z:=4(—1)(c0s.0—V/—1-sin.0) 4 B(—1)(cos.0-+/-=1-sin.0)' 
ovvero, mediante formola assai nota, 


z=(4+B)(—1)cos.i9—(A—B)(—1)V/—1-sin.i0. 


Opusc. Matem. e Fisici. 


dla 
(I 


354 PARTE SECONDA 
Le due costanti 4, 5 si determinano per mezzo dei casi particolari di {= 0, 
=? (formole (0), ( P)):; e si hanno le equazioni 


d+B=0; (A— B) V=1-sin90=2 


per cui l’ espressione di z; diventa 


identica colla formola ($) del num. 41. 
103. La formola (7) presa nel caso di î=1 s’ integri per n, avremo 


fd ‘log.(1+7ncos.:)=rlog.(1+V1—n)+C, 


facendo n—0 si trova che la costante ha il valore —log.2 quindi 


I+ 1 a 


(9) fade -log.(1+n cos.) = log(1TL1C" ) 


valore già trovato altrimenti dal sig. Frullani (*). 
Nel caso particolare di 2 =1 la (g) ci porge la formola 


(1) f d2-log .(1+ cos.8) = —log.2 


® 
trovata dallo stesso Frullani poco prima del luogo citato in quella sua opera. 
Avvertasi però che essendovi nella (x) la condizione di r<1, la precedente (r°) 
non può ritenersi vera se non riguardata come formola di limite in un senso 


x hei CIN . 
che verrà spiegato più tardi. 
Col medesimo andamento nel caso di n negativa si sarebbe trovato 


I 
1) dz-log.(1— cos.) = —xlog.2. 
D 


Le due ultime formole ove -mettansi per 1-+ cos. z, 1-—cos.z le espressioni 


2 


somministrano facilmente 


Da 


equivalenti 2 cos. —, 2 sin.° 


=— log. 2 


(5) Sf da + log. cos. = = {| dz-log. sin. 


4 


ho | 


risultati che diede il sig. Cauchy insieme ad altri molti nel T. XVII degli 
Annales de Mathématiques par Gergonne. 

104. In questo e nel Capo precedente abbiamo fatto uso di equazioni diffe- 
renziali o alle differenze le quali (tranne 1’ unica del n.° 97) erano tutte a _coef- 
ficienti costanti. Trovo che il sig. Poisson (*) usò in un caso anche equazioni a 


(*) Ricerche sopra le serie. Firenze 1816, pag. 17. 
(**) Journal Polyt. Cah, XVII, pag. 612. 


n, 


ANALISI Î 350 
coeflicienti variabili: la sua analisi è certamente pregevole: ma siccome i prin- 
cipali integrali definiti determinati con tal mezzo si hanno non diflicilmente 
per altra via, credo possa bastare 1’ averla qui indicata. 


x ad . » o. è» pe. (0A 
Per prova della mia asserzione facciasi nella precedente (79) n = — nn 1° 
. SIE 
POESEE — 0° a'—1 
avremo Vi1—r° eguale a -——; ovvero ad —— secondo che 4<1, ovvero 
IT % IPA 


a>I perchè, nella citata formola, Vi1—2° è sempre quantità positiva: quin- 
di dopo facili riduzioni dedurremo 


ud 
Sf dz-log.(1—2000824+4)=0 per aZ1 
(tl 


(4) 


ST 
f da-log.(1—24003.5-+a%)=7log.a? per 4DI 
o 


come trovò il sig. Poisson nel luogo citato. 
L'integrazione a parti ci dà 


zSIN, 2 


—_TP___—_ 


1--24C03/3-+-8% 


faz -log.(r— 24cos.3+a*)=zlog.(1—24c0s.z+-a°)—24 [dz- 


Dalla quale per la prima delle (4) 


sT «di 
i z sin. 2 T 
tu) Sf da ——_—_—dP_ 7 log. (14 0). 
0 


I--20C05.5Z+ a 


E questa per l’ultima formola generale del num. 97 ne somministra altre mol- 
te cioè 


Saia 3 sn.2 STATA 
A dr (1—24c052+@)f © (1—-a°)(1+ a) 
ce di z sin. 2 rit TOA i 
bi ara) 
ecc. ecc. 2 ecc. 


non essendo difficile salire alla formola generale pel denominatore elevato alla 
potenza 7. come si è fatto nel caso del num. 98. 

105. Scolio. È tempo di fare una riflessione. In varii passi dei precedenti 
capitoli ho io stesso erette alcune diflicoltà che ho lasciate senza risposta: e il 
lettore se ne sarà forse create parecchie altre. Trovo dunque conveniente il 
non occuparsi unicamente della esposizione dei metodi per la ricerca dei valori 
degli integrali definiti, ma anche di quelle considerazioni che valgono ad eli- 
minare, se non in tutto almeno in gran parte, le dubbiezze cui soggiacciono 
alcuni risultati già ottenuti. Questo è il motivo per cui di tratto in tratto mi 
proposi d’ inserire qualche capitolo che ha per iscopo la dilucidazione di certi 
punti: tale fu il Capo VI. Non è possibile dare tutte in una volta le teoriche 
per la soluzione delle diverse difficoltà, giacchè bisogna aspettare che siansi 


356 PARTE SECONDA 


formati i materiali su cui esercitare gli analoghi ragionamenti: e di più si 
danno discussioni tanto sottili che richieggono un esercizio di mente al quale 
conviene abituarsi con qualche lentezza. Ora porrò un capitolo di schiarimento 
in cui ho raccolto quanto basta a togliere molte difficoltà: altre ne rimangono 
di diverso genere, e il lettore avrà pazienza di attenderne la spiegazione nel 
seguito in luogo opportuno. 


CUAUPLO- ASI e 


Delle somme d’ integrali definiti che spesso conviene sostituire 
ad integrali definiti presi alla maniera ordinaria. 


Entriamo in una materia alquanto difficile e nello stesso tempo degna di se- 
ria considerazione a motivo della sua importanza. Geometri valentissimi non 
sono in essa d’ accordo intorno ad alcuni punti: io l’ esporrò giovandomi dei 
lumi di tutti, e soggiungendo, qualunque ne possa essere il merito, la mia 
maniera di vedere in quest’ argomento. 

106. La nozione dell’ integrale definito, quale è data al num. 1, è chiarissi- 
ma, e perciò io, appoggiato all’autorità del sig. Poisson (*), non amo cangiarla. 
Il sig. Cauchy chiama in varii luoghi delle sue opere integrale definito una quan- 
tità analitica il cui valore è identico con quello del nostro integrale definito in 
moltissimi casi, e ne diversifica in alcuni altri, come or ora vedremo. Egli ha 
avuto gran ragione di fissare l’ attenzione dei geometri su quella quantità piut- 
tosto che sull’ integrale definito preso alla nostra maniera, perchè il valore di 
essa è sempre di utilità pratica, laddove il valore dell’ integrale definito condu- 
ce talvolta a risultati incompatibili colle applicazioni; ma avrebbe forse fatto 
meglio non adoperando per esprimere siffatta quantità la denominazione d’ in- 
tegrale definito che gli analisti hanno prima di lui da lungo tempo consacrata 
ad altro uso: diversissima ne è l’idea, epperò sarebbe bene che diversa fosse an- 
che la parola. All’ opposto il sig. Poisson ha ragione nel sostenere all’ integrale 
definito l’idea puramente analitica e semplicissima della differenza dei valori 
estremi dell’integrale indefinito: ma non fu forse egualmente felice nel volerne 
mantenere l’uso in alcuni casi in cui conviene abbandonarlo per rivolgersi alla 
quantità analitica indicata dal suo emulo. Spiegare alla meglio che posso queste 
proposizioni, e conchiudere procurando una conciliazione sarà il lavoro del 
presente capitolo. 


b 
107. Sia un integrale definito ili dx-f(x), dove per non accumulare diffi- 
a 


coltà intenderemo i limiti @, 5 quantità reali e d >a. Siano 4, , €, @3, - - - @ 


(*) Journal Polyt. Gah, XVII, pag. 519, et suiv. 


ANALISI 357 
diversi valori di +e intermedj fra «, e d: sia è una quantità arbitraria che deve 
essere successivamente impicciolita sino a zero. 

Richiamato il teorema del nun. 9, è facile vedere che ponendo 


(1) A4= e def f.. cd rf(a)+ tO defix)+---+ © pi (L)+ fini (1) 


DI daf.x)+| "de. f)f irfia)+---+ f "lef(x) 
a, a3z3 ay 


“ -i 
I 


si ha 


3) fdx.f@=4+8; 


e che, generalmente parlando, mentre i continuamente s’impicciolisce la A si 
accosta al valore della somma 


© CS'dff Afef JA "def f dite) 


e vi diventa eguale per îi—= 0: accostandosi la 8 nello stesso tempo continua- 
mente a zero e prendendone il valore quando si fa parimenti î= 0. Questa 
conclusione però ha una eccezione pel caso particolare in cui a,, @3, d3,;---4 
sono valori di x radici dell’ equazione 


(5) 76) ° 


ed in conseguenza f(x) diventa infinita per ciascuno di essi. In tal caso la (2) 
non dà più B=0 per î=0, e quindi non è più permesso conchiudere dal- 


le (1), (3), (4) i 
(6) Ùi da -f(a)=C 


ma bisogna conchiudere 


b 
(7) Sa x-f(x)=lim. 4 + lim. B 


esprimendo per Zim. A, lim. B le quantità cui sono eguali 4, 8 quando i= 0. 
108. Tutto dunque consiste a provare che un integrale definito 


h+i 


h—i 


può non essere zero per i=o quando / è un tal valore particolare di x, 
che rende f(x) infinita. A persuadercene converrà premettere una trasforma- 
zione ponendo x =%-4+-iy il che dà 


hi L ; 
(8 da -f(x)=i 3A dy:f(h+iy). 
h-i di 


T 


358 PARTE SECONDA 


fl secondo membro di questa equazione, quando / ha la proprietà come sopra, 
può non solo non essere zero per 7 = 0, ma avere un valore anche infinito. 
Piuttosto che con ragionamenti astratti amo mostrare tal verità per via di 


esemp] . 


Sia 1.° Sa)=+ # che diventa infinita per x = 0, la (8) riesce 
fart= i far. = fdy: i =—log.(-1). 
SERENI PAG T—- che risulta infinita per x =, la (8) dà 
mti I I I su : 
REOO, Latte vata did 
Mi x°—m° N06 2omiy+i TAR am (dy.- Di re + Lafe Pd a 


e quindi per i= 0, stante l’ antecedente, si ha il valore dell’ integrale eguale 
I 

a — — log.(— 1). 
die CE 


I 


Siat3iafila) = vi la quale si fa infinita per = 0: abbiamo dalla (8) 


) I BI ELIRAT SA I 2 
tr . - = -Jdryr.g=—-- 
& vm de MT i J n i 


dro Tt 
che per :=0 prende il ba Ad 
Sia 4° /(2)= 

È I VESPA. 
nita per x = — Arc. cos. € dalla (8) si ottiene 


se-Arc. cos. +i I (i I 
n n 
if da - -___ziflf,  ———————_—— 
s-Arc. costi I1-+- 7 COS.X da 


Li ; 
I +72 COS. (x — Arc. cos. — + i r) 
!£) 4/ 5) 


——— nella supposizione di 2 >: essa diventa infi- 
I-+- 72 COS.X 


La quantità che è nel denominatore si riduce con facili operazioni alla 


za Bi 


Fira PI lai e i CC. : 


epperò all’ ultimo integrale può darsi 1’ espressione 
Efo -- + Ah (i) 
= 14: 
essendo (i) una quantità che diviene zero per i=0. Si conchiude che il 
; I 
proposto integrale ha per i= o il valore —— log. (— 1). 
NI 


È manifesto che questi esempj possono moltiplicarsi a piacere. 


ANALISI 359 


109. Pensi lo studioso essere cosa degna di tutta considerazione che nel caso 
del passaggio della f(x) una o più volte per l’infinito corrispondentemente a 
valori di.x compresi fra 4,0, i due termini del secondo membro della equazione 
(7) sussistano entrambi ed abbiano valori indipendenti da #. Il secondo di essi, 
cioè Zin..B è la somma d’ integrali compresi fra limiti che fra loro differisco- 
no meno d’ogni quantità assegnabile, e ai quali piacque al Cauchy di dare il 
nome d’ integrali definiti singolari: questi riescono d’ordinario infiniti, o imma- 
ginarii e compongono tutta quella parte, che secondo le prescrizioni dello stesso 
Autore, deve essere rigettata. Invece il primo termine 22.4 è una quantità 
analitica meritevole di fissare in un modo speciale 1’ attenzione de’ geometri 
per varie ragioni che in seguito verrò sponendo: essa è quella cui il sig. Cauchy 
dà il nome d’ integrale definito. Di qui si vede chiarissimamente come Poisson 
e Cauchy non debbono andare d’ accordo dando uno stesso nome a cose 
diverse: l’ integrale definito secondo Poisson è la somma d’ambi i termini del 
secondo membro dell’equazione (7), e secondo Cauchy è il solo primo termine. 
Già dissi che in quanto alla denominazione a me piace seguire il primo de’ sul- 
lodati geometri; riguardo alla quantità analitica considerata dal secondo, io 
proporrei a scanso d’ogni equivoco un piccolo cambiamento nella notazione 
esprimendola colla lettera majuscola S invece che colla f ordinaria. Sarà dunque 


a_-i a i a i . Db 
(9) S'da Saf de ff ‘defi --+f dae Sf de f(x) 


si 
intendendo nel secondo membro a operazioni esegrute fatta imo. Questa avver- 
tenza di fare i=o a operazioni eseguite è di utilità in varii casi.(ne vedremo 
alcuno in seguito) nei quali facendo ‘0 prima delle integrazioni si correrebbe 
pericolo di sbagliare, a meno di usare una somma oculatezza: ma non toglie che 
in moltissimi altri casi la S% dx -/(x) possa essere calcolata a dirittura dietro 


l’ equazione 
(10) si doe-f(x)= de faf de faa+f" da SAS dela) 


110. Scolio. Il sig. Poisson sostiene (luogo sopra citato n.° 36) che quando f(x) 
diventa infinita per un valore 4, compreso fra «@, 6 non è più permesso scom- 


b a b 
porre l'integrale f dx f(x) nella somma Sf ‘dx - f(x) +f dx f(x). E re- 


©») 
' È | 3 I a 
ca il seguente esempio relativamente all’integrale fade “asd; che chiama 35. 
o 


Se facciasi 
1 


I I DO 
st det +f dx - i; 
ti) Irndà I ESA 


i i ; I - 
potrassi trasformare il secondo integrale ponendo x=3: osservando poi che 


360 PARTE SECONDA 
ai valori x=1, x=% corrispondono i valori t==1, t=0, è facile dopo rove- 
sciati‘i limiti conchiudere 


=f da. ;—f de — 
I-=%G o 1° 


Siccome non fa differenza l’esservi nel secondo di questi ultimi la lettera £ per 
la x, risulta z=0: mentre passando per l'integrazione indefinita, come è facile 


provare, si trova 2 = = log. (1): valore che può prendersi anche col segno 


negativo per una ragione che vedrassi fra poco: il Poisson infatti vi antepone 
il segno —. 

Dopo il detto di sopra non havvi alcuna difficoltà a rendere ragione della 
surriferita anomalia: il valore di z calcolato alla prima maniera è quello di 


I ‘ENI 
S" dx - a che si desumerebbe dalla precedente (10), ossia è il valore di 


lim. 4 nel secondo membro della (7). A dare il vero valore dell’ integrale de- 
DO 
finito Sf dae +; manca il secondo termine lim. B, ossia manca l’ integrale 
IT 


I+i 
I . 
singolare d Renee Questo col metodo del num, 108 si trova subito 


Lia 
I niale ; iu SOA 
si log.(—1); quindi in questo caso il valore dell’ integrale definito è tutto nel- 


l’ integrale singolare. 

Il non aversi dal secondo membro della equazione (10) se non una parte 
del valor vero dell’ integrale definito, come si vide anche nel recato AND, 
quando &,, 3, 43 = - - &n SONO ngi di x per cui f(x) diventa infinita, è 
quella eccezione che PIOMeEemIno al num. g. 

111. Ho fatta tanto più volentieri la precedente osservazione in quanto che 
per essa viene difesa una bella analisi del Legendre (*) la quale verrebbe a ca- 
dere se all’ obbjezione del Poisson non si fosse potuto dare una risposta: ecco 
tale analisi. Trattasi dell’ integrale 


fa iI 

dz stri 
n 

Lo ) Sani 


Qui per z=1 la funzione sotto il segno diventa infinita: scompongasi adun- 
que l’ integrale in due, e lo spezzamento sia appunto in detto luogo: così ver- 


: 200 Cisa ; 
remo in sostanza a calcolare .$ dz. ——, per la (10): abbiamo 
1-2! 


Q=i I a—I (csi di 
90 3 Z 4 
Si dig eri dig + dz: 
0 paso } | ml tì 
E, f ia 3 I 47 


(*) Exercices de Calcul Intégral. V."* P., pag. 162. 


ANALISI 301 
Si trasformi l’ ultimo integrale ponendo 2= —; ai limiti z=1, 3=% cor- 


risponderanno i limiti y = 1, y=0, e risulterà 


— fidy a rosi r seni 


Ora rimettasi z per y, e riunendo in un solo i due integrali simili, avremo 


PARSO Ania: rai, 


me 1 
Soda — da NE STO o 
I- 5 


Questo si può trovare per la formola (4) del num, 68. Osservisi che detta for- 
mola ponendo a=2" si trasforma nella seguente 


fas “E a = (Z (e) — Z(p ))) 


x o» A 
e però, fatta p= —, PE1_- , la precedente diventa 
2 n° 


Sda. — = "(2-9 zi )) 


Richiamiamo, per la (3) del num. 67 il significato delle funzioni Z e vedremo 
essere 


(e -log.P P(5) =5(£) » d-log.T(1 _ A D d 1 
n n 


4 da n? da 


talchè il secondo membro dell’ ultima equazione può scriversi 


d-log.P(<) r (i _ a) 
n n 


da 
e per la (2) del num. 55 
. I 
d-loge. 
5 sin. 2 T 
da i i ita al 7 
quindi la formola 
0 gal IT 
(4) S dz aa e di e en E. 
i ù Lea ntan. + 


La formola (2) di cui abbiamo fatto uso esige che - sia minore dell’ unità: di 


qui la condizione che nella precedente formola (@) sia a<r, condizione affatto 
eguale a quella della simile formola (p) del num. gi. 
Opusc. Matem. e Fisici. 46 


362 PARTE SECONDA 


L'attuale nel caso di a=1, nr==2, come osserva Legendre nel luogo citato, dà 


(6) S “dz. 


Noce ala 
* risultato che consente con quello trovato nel numero precedente: prova mani- 
festa che nella (a) si deve usare la notazione S e non la f dell’integrale defi- 
nito preso nel senso ordinario: giacchè come si vide, quest’ ultimo ha un 
valore immaginario. 

Lo stesso Autore dà in quel luogo anche il valore dell’ integrale 


fas A+Bz 


(m'+3°)(c°— 2°)? 


dove 4, B, m, c sono quattro costanti indeterminate. Osservando essere 


A+Bz A-m°B I A+c°B I 
Tee ir DI ————— e ga ——“ e 4 ee *a. -—_T + 
(m°+ 2°)(c°— 2°) cC+m' mx ci+m cz 


è facile conchiuderlo dietro le due formole 


i Li TT 0 I 
dz. = side 0 
gi gie dini e 0 cz 


la prima delle quali è notissima, e la seconda discende dalla precedente (6) 


ove mettasi x per 2: quindi 


A+-Bz IO 
7) °° (mè +2')(c'—-2 #7: DE Ba 


avendo anche qui messa la £ in luogo della f perchè la funzione sotto il 
segno ha fra i limiti un valore infinito. 


. hi N7) >» . . . 
112. Il sig. Cauchy propose altresì per calcolare S, dx -/(x) un'analisi più 


generale della sopra esposta: ecco ì suoi insegnamenti rifusi alla nostra manie- 
ra, Invece delle somme d’integrali definiti chiamate 4, B nelle (1), (2), 
prendansi le “un 


(11) i Hidan Sf WR --- ff. dx-f(x) 


fa 
Cn-y 


(12) e=(7° a 'da SS Nt fra f * ‘ *de:f(&) 


2a a, in 


dove riguardo ai limiti estremi a, è, ai valori intermedj di x @,,@,,-=-- n, 
e alla quantità è che continuamente impicciolisce è tutto come prima: si sono 
poi introdotte le 27 costanti %,, , = - n} 713 Ya, == - » alle quali può 


attribuirsi qualunque valore finito. 


ANALISI 363 


Qui egualmente che al num. 107 si forma Vl’ equazione 


b 
(13)  fda.f(a)}=D+E 


colla quale sussiste insieme per i —= 0 l’ altra 


D 
(14) fSaa -f(x)=lim.D+lim. £. 
a 
Or ecco un fatto importante di cui ci persuaderemo cogli esempj. Aspettando 
nel calcolo delle (11), (12) a fare i= 0 ad operazioni finite si trova talvolta 
che rimangono tutte o alcune delle arbitrarie %,, 42, - = - 71, ?:, ecc. Quindi 
è che Zim.D, lim.E riescono rispettivamente quantità diverse dalle Zinz. 4 

lim.B del citato numero, e ad esse si riducono ponendo tutte le arbitrarie 


b 
Wi, x, == 1,2, ecc. eguali all’ unità. L’ integrale Sa x f(x) prende così 
a 


per la (14) un valore apparentemente indeterminato (e fra poco si vedrà per- 
chè dico apparentemente) che si riduce a quello desunto dall’ integrazione 
ordinaria facendo tutte le costanti arbitrarie eguali all’ unità. Se poi, come 
vuole il Cauchy, dei due termini che compongono il secondo membro della 
(14) prendasi solamente il primo e facciasi 


(15) Sdae-f(x)=lim D 
un tal valore indeterminato in confronto di quello desunto dall’ equazione 
(16) Sidx-f(x)=lim A 


contiene questo secondo come caso particolare che dallo stesso Cauchy è 
chiamato suo valore principale. 

L’ altro termine della (14), cioè Zim.E è la somma di tutti gl’ integrali definiti 
singolari indeterminati: per calcolarlo gioverà la stessa trasformazione usata al 
num. 108 avendosi invece della (8) l’ equazione 


3 h4iv : È y a ; 
(17) I de-f(2)=î f dy-flh+iy). 


Tim 


Qualche esempio schiarirà ogni cosa. 


Sia proposto l’ integrale NA dx ee denominato I al num, 86; dove la 


— 


funzione sottoposta al segno integrale diventa infinita per l’unico valore a=c 
compreso fra zero, 0. La D nel caso attuale è 


e] (1, I \e e I 
o IC 


2 2 
—c odi x°-c 


quantità facile a calcolarsi essendo noto l’ integrale indefinito 


364 PARTE SECONDA 


I I C—-x 
(18) Sax a = = log. ( 
x € 2C C+ x 
si ha così 


D= log. (— de) + a log.(-1)—- 1 og. ( 


— ipy 
n) 


che riducesi 
D= log. (È. 0118) 
v 2c—iu 
e quindi per la (15) 
(19) Sd a . Pe ==) - log. (£) 
valore indeterminato che diviene zero facendo u=v=1, quale sarebbe 


risultato dal calcolo della (9). 
È poi 


pae dx. 
e per mezzo della (18) si trova 
v° aC-_To 


I 
E=-.log.(—2. i 
2C u 2c0+i7 


quindi 
Iena log. (- 2) x 
2C & 


Pertanto l’ equazione (14) dà nel nostro caso il valore 


(20) fax = log. (È) + — log. (en6) A 


che, fatta #w=? = 1, diventa 


quale sarebbesi avuto dall’ integrazione indefinita per mezzo della (18). 
Giova grandemente notare, e or ora se ne vedrà la ragione, che il secondo mem- 


I 
i — sr: log.(— 1) 


È PRI 
bro della (20) riducesi sr log.(—1) anche senza fare wu=r=1, bastando 


compenetrare i logaritmi. 

113. È quì opportuna la seguente riflessione. Non ignorasi che negli inte- 
grali indefiniti espressi mediante un logaritmo possono indifferentemente pren- 
dersi positive o negative le quantità sotto il segno logaritmico, talchè invece 


della espressione (18) potevamo assumere 


ANALISI 365 


ar È S I } I 
Così facendo trovasi per Ri; dx + il valore — — log.(—1) col segno 
À x°—-c 2C 
diverso da quello ottenuto nel numero precedente: avviene d’incontrarsi in que- 


. "PS e A e. PAR n = AD I 
sta ambiguità di segno in varii casì simili. Il valore invece di $, da » aa 
"4 fa — 


riesce lo stesso sia che per ottenerlo si adoperi la (18) o la (21): è questa una 
buona ragione, oltre altre che diremo in seguito, per persuaderci che la quan- 
tità analitica proposta da Cauchy è veramente la parte utile dell’ integrale 
definito, e che però conviene prenderla particolarmente di mira. 

Si sa poi che Mascheroni (*) avea una teorica sua particolare circa il modo 
di usare i doppj valori logaritmici degli integrali, cioè di assumerli a vicenda in 
quella guisa che si richiede a schivare i risultati immaginarii. Così nell’ esempio 
che ci occupa dovendo dare ad x un valore minore di c converrà pigliare per 


I i 1 i i Aid: 
fade Natta l’espressione (18), giacchè la (21) darebbe valore immaginario, e 
Ae ia; — 


viceversa per un valore di x maggiore di c converrà usare l’ espressione (21) 
e non la (18). Ammessa una tal regola per calcolare l'integrale definito 


e ©) 
S da - Ta trova per risultato finale lo zero, cioè il valor principale di 
È Lar 


_ 


[e.°) I P ° 
Sda- anta calcolato col metodo di Cauchy. Essendo curiosa una tale 
coincidenza ottenuta dietro viste assai diverse, ho creduto bene notarla. 


T 
. . . I 
114. Propongasi per secondo esempio l’ integrale S dx.-——_ dove 
5 I +72 COS.I 


ni, e la funzione sotto al segno integrale riesce infinita (come già si è detto 


I 
al num. 108) per e = — Arc.cos. - . Avremo 


I 
IT-Àrc.cos. — —ift I po I 
n 
desi dx - -_+ f dae. | 
É I+7C05S.X -Arc.cos, i +iy I +72 COS.X 
n 


Con un calcolo simile a quello del num. 31 (esempio 4.°) si trova la formola 
d’ integrale indefinito 


n_I t L 

I I I+ Var: an. ; 

(22) dexe-——P— = —=log(_-—__;; 
I +71 COS.X Vr°-1 Icora stan 


il cui secondo membro può anche scriversi 


sin.x + V=(1— cos. x) 


0g. { — - 
Nn-1 sina—VZ=(1— cos.x) 


(*) Adnot. ad Cal. Int. Euleri P. I. pag. 25. 


366 PARTE SECONDA 


Con questa, avvertendo essere 


LAV: I Ir ..: 
cos. (7 — Arc. cos. — —ia)=— COS it Vr-1-sn.i4; 
7 / i i 
tugto I, Use: 
sin. (7 — Arc. cos. ie) => Vr_1-cosip+ = sini; 
) 3 


dalle quali si hanno subito, fatta avvertenza ai segni, anche le espressioni di 


i I È I I e E 
COS. (7 —- Arc. cos. 5 iv), sin. ui — Are. così — Ad E si ottiene dopo 
, 7 . 


Ni 


qualche riduzione 


{INI n--2 VAS I NI Nn-I 
PA a V/E c0s, Pt iu. mati; 008.87 +s1n.77 
si ra È moe1 P+2 g /N--1 
Vani ii Vil cos.iy— = sin.iv by — cos.iu— —V=+sin.i4 


Facendo ora #= 0 per avere Zim.D, si vede che il primo fattore sotto il loga- 
ritmo riducesi all’ unità, e il secondo a n; trovato però di quest’ ultimo il vero 
valore colla regola nota, si ha 

lim Da ——— log. È 
È poi 


st-Arc. cos. = +iy z 
E={ mi A ie 
s-Are, cos. —iji I-=.72 COS.-4E 


e, dietro un andamento similissimo all’ esposto, prima 


VE Epica Pt; 
E Vinto Vin cosiv—-sin.iv Le TI cos.iv— = sin.iv VI cos.iu-V/ +sin.iu 
gi VE Fi E VICI cosia a E sini ei += sin.i SPESE cosi VEETSS 
Vr n n+1 COS. iu & n-FI Ha — sin.L 7 
| I 
poi lim. E= ——- log. {— 2); 
- pl Aa pv # 
iL I \ 


quindi a motivo della (14) 


fax frtrest sai Mid sare: SSR log. (È) pets cal TI: log. (- 2) 
0 I + 72 COS. IX V Fr I 22 V h- I Pv 


e ponendo g=? = 1, ovvero compenetrando i logaritmi 


i eh 
(23) fia Ù Ca ra == log. (— 15 3 


il qual valore è quello stesso che si sarebbe ottenuto usando a dirittura l’espres- 
sione (22) al modo ordinario. i 


ANALISI 367 


Richiamata in seguito la (15), si vede essere 


Ri I I 
Ce o a 
valore che diventa zero se riducesi al suo principale. Quest'ultimo è il risultato 
di cui facemmo uso al numero 102 del capitolo precedente, e che potessimo 
assumerlo invece del precedente (23) è un passo che sarà giustificato qui dopo 
al numero 123. 

115. Meditando sui due esempj ultimamente adotti, mi sono formata opinione 
che la maggiore generalità introdotta, dietro le dottrine del Cauchy, nel pre- 
cedente num. 112 e seguenti, non sia necessaria. Le costanti indeterminate 
sortono dal calcolo e lasciano un risultato pienamente determinato quando si 
trova colla (14) il valore dell’ integrale definito: succede lo stesso anche ado- 
perando la (13) in cui é non è ancora fatta eguale a zero. Per poco che si 
rifletta, vedesi tutta la convenienza di questo fatto analitico: giacch> essendo 
noi avvezzi a trovare fisso il valore di un integrale definito, dovea necessaria- 
mente urtarci l’idea di un valore indeter minato che SRI: dal nostro arbi- 
trio. Resta l’ indeterminato nel valore di S2dx -/(x) calcolato colla (15), ma 
un tal valore si può facilmente ridurre a due parti, l una determinata quale 
sarebbe risultata dal calcolo della (16), e l’altra arbitraria che nella (14) è poi 
elisa mediante una simile cavata dal secondo termine Zm.É. Io dunque riget- 
terei volentieri queste parti arbitrarie; il che è lo stesso che dire, non farei uso 
che dei valori principali di Cauchy. Vedremo più innanzi che tenendo di mira 
le applicazioni si ha un nuovo argomento in appoggio di questo progetto. Per- 
tanto nello stesso tempo che sono desideroso di ritenere la quantità analitica 
S° dx f(x), dichiaro che d’ ora in avanti non la calcolerò più che mediante 
le formole (9), 0 (10). 

116. Scolio. Dissi sulla fine del num. 109 che è più sicuro l’uso della (9) 
facendo i=0 ad operazioni eseguite, che quello della (10); alcuni esempj 
metteranno questa proposizione in chiara luce. 


Se propongasi a cercare il valore di St da. = , adoperando la (9) abbia- 


È 
mo i due termini da: 


—I 


I 
I i E na 
oss hf da- & facilmente calcolabili mediante la 
î 
» . - . I I . . . Ò 
formola d’integrale indefinito fia ‘PT i essi si trovano entrambi eguali 


". I . . ». .,° . . e 
alle quantità = —1, e risultano entrambi infiniti per i=0, laonde si conchiu- 


I . . ella 
de S_da- a. Usando invece la formola (10) avremo i due termini 


(8) I 
f dx- + + fd 2 -—;, il primo dei quali, non avvertendo che lo zero può 
pe 1 de ‘ 


S_1 A 0) 


prendersi tanto col segno + quanto col —, ci darebbe il valore — co, che è 


368 PARTE SECONDA 


falso. Infatti, che realmente esso debba avere lo stesso valore del secondo 
provasi con facilità trasformandolo col porre x=— y, e rovesciando i limiti. 


Per un secondo esempio. Sia proposto a calcolarsi S' dx + essendo 4 


un numero minore dell’ unità. Abbiamo la formola d’ integrale indefinito 
5 


Yi da - > — =log.(x —a): epperò servendoci della (9) il binomio 


I I 


di I 
dx - ara dx. 
0 LCA ati I bind 


ci porge il quadrinomio log.(—i) —log.(—a) + log.(1— a) —log. (i) che 
IT. 
a 


107 I I I 
Sar + fdt . 
to) aMcprz— (4 174 dad 


ci presenta l’ espressione log.(0) —log.(—a)+-log.(1—«@)—log.(0) nella 
quale è facilissimo credere che il primo e quarto termine si elidano, e che 


si compendia nella quantità reale log.( ) Servendoci invece della (10), 


il binomio 


uindi rimanga il valore log. immaginario e falso. 
q 5 5 


117. Abbiasi una formola conosciuta 


(5) Sida-:f(a0)=Y(c); 


si vorrébbe sapere se è permesso, come nel caso dell’ integrale definito ordi- 
nario, differenziare per riguardo a una costante c, e così dedurre dalla prece- 
dente l’ altra i 


(26)  Sda-f(a)=Y(0) 


dove gli apici indicano le derivate per rapporto a c. Rispondo che general- 
mente sì; perchè sostituendo nella (25) al primo membro il suo valore dato 
dalla (9) si ha un’ equazione 


(pia a sap cli ai da [i=0 a ope- 
(27)  (c) Sf dx -f(x, ©) a dx-f(x,c)+ ecc. fee Sai 


in cui gl’ integrali essendo gli ordinarii si può benissimo differenziare per c e 
dedurne 


razioni finite 


LAGO «| "dx Se )+ 1, HE -Î(£; c) + eco. e e Pel 


i bi 
Persuadendoci che il secondo membro di questa è Sy dx f(x, c), vedremo 
dimostrata la (26). Ce ne persuaderemo osservando che non può /"(x, c) riu- 
scire infinita se non per valori di x che rendono infinita anche f(x, c). Infatti 


ANALISI 369 


abbiamo l’ equazione identica (num. 24) 
fa, c+0)=f(x,c)+0f"(x,c+00) 


ove @ ha un valore fra zero, 1; quel valore di x che rende infinita f'(x, c) 
rende pur tale /"(x,c-+00), quindi per la sussistenza dell’ equazione rende 
infinite anche f(x, c+0), f(x, c) le quali non possono esserlo che insieme. 
La viceversa non ha luogo: può un valore di x rendere infinita f(, c) e non 
f(x, c): ma ciò non disturba la precedente dimostrazione e solo ci fa capire 
che St dae-f"(x,c) può avere qualche caso di meno della S° da f(x, c) 
in cui la quantità sotto il segno si faccia infinita per valori di x compresi 
fra a, db. 

Havvi però un caso di eccezione ed è quando uno dei valori 4, , 4, ecc. per 
cui f(x, c) diventa infinita è appunto la stessa costante c per cui si differenzia, 
o una funzione di essa. Si capisce subito che nella (27) entrando la c nei limiti 
di alcuno degli integrali, non possono questi, quando sì deriva per c, essere 
trattati come gli altri: e che quindi la dimostrazione antecedente non ha più 
luogo, A persuadercene anche con un esempio richiamisi la formola 


WIE: E gite pa =log.(* 1 


a 


dimostrata nel numero precedente: differenziandola per « ne dedurremo 


S'da- 


I I 
i (e-af 7 a(1—a) 
la quale è falsa, perchè la costante 4 è quel valore di .x che rende infinita la 


. LI e» . I I CN . 
funzione — . Infatti il valore di S, dx - doial non è già finito come 
LT X—d 
risulterebbe dalla precedente, ma è infinito come prontamente si vede calco- 


landolo al modo solito col binomio 


Vprerzone. idinceti 
Gli _=rA- IC. 
È (x — a) Asa (x — a) 


I ni I 
(x — a) PU rp e; 

La precedente osservazione, presentata però in una maniera diversa , devesi 
particolarmente al sig. Cauchy (*): è per essa che riceve chiara spiegazione 
una diflicoltà del Legendre riportata dal sig. Lacroix (**). 

118. Richiaminsi le formole (4), (x) del num. 86; sostituendo all’ integrale 


e colla formola d’ integrale indefinito fi dx - 


Do 
aa 
fd a il suo valore trovato qui sopra al num. 113, si hanno le se- 
o Fase 


(*) Exercices de mathematiques T. II, pag. 125. 
(**) Traite du Calcul. Tom. III, pag Sor. 


Opusc. Matem. e Fisici. 47 


370 PARTE SECONDA 
guenti di Poisson (*) 
T 


fda COS: dx n I TAI ( 
bea ==Te—=<8MNd'C_—- — Cost. 10253 
, pe pm 3 2 C 2C le) ) 


(6 2C 2 
(d 


fa — x sin.dx IT e Tu I ( 
Xe = c084CT— - sinac-log.(—1). 
È ad==o 2 9 5 ) 


Quando invece per quell’ integrale si metta il valore zero, è lo stesso come 


scambiarlo colla quantità Sd x - aa. Riflettendo quindi che tutto il 


calcolo fatto nel citato num. 86 sta egualmente, a motivo della proprietà espo- 
sta nel numero precedente, anche per la ricerca dei valori di 
soc COS. dx 0 x sin.ax 
i da - “Sana S ida Sarre E 
ICSEGHI si EC 
giacchè qui non ha luogo il marcato caso di eccezione: abbiamo dalle stesse 
(x) le formole di Cauchy (**) ridotte ai suoi valori principali 


001 cos.d X sul 
Ss da a =— sin.ac 
x € 2C 


S°dx- 2 3a 


0 CC 


I SID, RITI 
= — cos.ae 
2 
le quali consentono con quelle date prima di entrambi dal sig. Bidone (***). 
119. Scolio. E qui parmi doveroso avvertire che il sig. Bidone molto tempo 
prima delle recenti memorie francesi avea proposto il metodo di calcolare 
l’integrale definito, nel caso del passaggio della funzione per l’ infinito, scom- 
ponendo il corso della variabile in due parti separate appunto nel luogo in 
cui il suo valore rende la funzione infinita (***): il che equivale all’ uso della 
formola (10). Vedemmo essere più sicuro l’ uso della (9), e questa è una pre- 
gevolissima invenzione del sig. Cauchy: ma intanto sarà sempre vero che 
l’idea felice di sostituire nel caso contemplato all’integrale definito una somma 
d’ integrali definiti si trova raggiunta dal detto italiano geometra. Egli ha an- 
che fatta l’ importante osservazione (*****) che mettendo nelle formole («), (4) 
del num. 72, cV/—1 in luogo di 7, e quindi trasformando gli esponenziali 
immaginari dei secondi membri mediante le espressioni equivalenti fatte di 
seno e coseno, doveasi rigettare la parte immaginaria e ritenere la sola reale : 
operazione che riproduce le antecedenti formole (e). Ciò era una specie di 


e e 


(‘) Journal Polyt. Cab. XVII, pag. 529. 

(**) Journal Polyt. Cah. XIX, pag. 591. 

(***) Memoire sur diverses integrales definies, pag. 80. 
(****) Ibid. pag. 78. 

(*****) Ibid. pag. 82. 


ANALISI 371 
paradosso ora spiegato coll’ osservazione che passando dalle citate formole del 
num. 72 alle precedenti (e) si cambia il significato dei primi membri, cambia- 
mento che equivale al depennare le parti immaginarie; ma la sopraggiunta 
chiarezza in questo argomento non toglie che al sig. Bidone debbasi la lode di 
avervi penetrato prima d'altri profondamente. Il sig. Legendre fece poi (*) 
sopra altre formole un’ osservazione affatto simile. 

120. È ora tempo di mettere in chiara luce un teorema relativo agl’integrali 
definiti il quale è quello che avvicina le esposte teoriche alle applicazioni, e 
ci conduce a capire il vantaggio che si ha nel considerare le espressioni 


b 
ax dx -f(x) piuttosto delle ar dx-f(x). Stetti lungo tempo in forse di col- 


locare questa esposizione al principio del presente capitolo dove per alcuni 
riguardi sarebbe stata opportuna: ma ho poi deciso di porla sul fine anche per 
mostrare che ogni apparente discordanza fra i signori Poisson e Cauchy poteva 
essere tolta dietro semplici osservazioni d’ analisi. 

La f(x) è una funzione qualsivoglia’ della x: «, è sono due valori che deve 
prendere la variabile x: 7 è un numero intero che deve essere continuamente 
ingrandito. Si pone 


(28) ese da cui b_=a4+n0 


2 


e si forma al modo seguente una somma di termini indicata per S(@) 


(29) of(a@+0 IO f(a+20)+-- -+0f(d4+(n-1)0)+0f()=S(0). 


È facile capire che i termini di tal serie, al crescere di r e quindi all’ impic- 
ciolirsi di ©, aumentano continuamente di numero e diminuiscono di gran- 
dezza. L’ opposizione di questi due principj permette di supporre che la somma 
S (@), crescendo 7 e quindi impicciolendosi @, si accosti continuamente come 
a limite ad una quantità Z(a, 2), la quale secondo la conosciuta nozione del 
limite, non conterrà nè 7 nè @, e sarà una funzione di a, 6 valori estremi della 
variabile x. Or ecco un teorema d’ importanza primaria. Quando la funzione 
f(x) non diventa infinita per alcun valore di x compreso fra i limiti a, b, la 


b 
quantità L(a, b) è identica coll’ integrale definito TA dx-f(x). 
a 


La dimostrazione che soggiungo è nella sostanza quella data dal sig. Pois- 
son (**), ma prima farò osservare ch’essa è tutta basata sulla supposizione 
della equazione identica 


(30) F(xa+0)=F(x)+0f(x)+@01(x,0) 


(*) Exercices de Calcul Intégral. V."° P., pag. 208, num. 75. 
(**) Journal Polyt. Cah. XVIII, pag. 322. 


372 PARTE SECONDA 

dove /°(x) è la funzione primitiva di f(x), x ha un qualunque valore com- 
preso fra 4, 6, ed R(x, 0) è una funzione di x, @ la quale ha la proprietà di 
dover diminuire continuamente insieme ai piccolissimi valori di @, e di dovere 
essere zero per © —= 0. Ritenuta per, f(x) la condizione Sopra espressa, può 
vedersi stabilita la verità dell’ equazione (30) presso il Lagrange (*) o presso 
il Bordoni (**); sul qual proposito dirò che esaminando attentamente le dimo- 
strazioni de’ citati Autori, se ne scorgono i ragionamenti così strettamente 
congiunti colle prime nozioni del calcolo differenziale, che a me sembrerebbe 
più naturale l’ assumere a dirittura la precedente (30) a modo di definizione 
come quella in cui prende origine tutto il meccanismo del suddetto calcolo. 
Non è qui il luogo di insistere su questo argomento, sì perchè esso è alquanto 
lontano dal mio oggetto principale, sì perchè non ho voglia di crearmi nuove 
difficoltà in tempo che ne ho altronde a sufficienza. Ammetto pertanto | equa- 
zione (30) come teorema noto appoggiandomi alle recate citazioni: e quanto 
all'idea che ho qui accennata, sarei pronto a tornarvi sopra con piacere in 
altra occasione se mi si chiedesse un suo ulteriore svolgimento. Sussistendo 
l equazione (30) per tutti i valori di x da « a d, staranno tutte le seguenti 


F(a+0)=F(a)+0f(a) +0 R(a, 0) 
F(a+20)=Ff(a+0)+0f(a+0)+ 0 R(a+ 0, 0) 
F(a+30)=F(1+20)+0f(1+20)+0 R (a +20, 0) 
P(a+n@)= F (a + (1) 0) + a f(a + (n—1)0) + A (« +(1—-1)0, 0): 
sommandole tutte insieme, richiamando le (28), (20), e ponendo per brevità 

(31) T= (4,0) +f(a-+0,0)+--- + (« +(2—-1)0, ©) 
verremo facilmente alla seguente 

(32) F)=F(A)4+S(0)—@f(b)+0T. 


La 7 è la somma di una serie di cui molti termini saranno positivi, ed alcuni 
potranno essere negativi: chiamo s(@) la somma dei primi, e — 0 (0) quella 
dei secondi, di TA che 7’ =s(0)— 0 (0). Sia R(a+k0, ) quello dei 
termini positivi che ha il maggior valore (niente ostando che possa anche in- 
contrarsi ripetuto piu d’ una volta) ed R(4+ 0, @) quello che ha il maggior 
valore negativo. È evidente che s(0) sarà minore di n R(a +0, 0), talchè 
posta s(@)=pnR(a+ko0, 0), sarà necessariamente p numero minore della 
unità; similmente si potrà fare e (0) =qrnR(4+/0,) essendo parimenti g 


*) Lecons sur le caleul des fonctions. Édit. in 4° pag. 67: Edit. in 8.° pag. 90. 
% 


( 
('*) Lezioni di Calcolo Sublime. T. 1, pag. 156. 


ANALISI 373 
numero minore dell’ unità. Quindi 


T=s(a)—0(0)=n[pR(a+k0,0)—qR(«-+h0,0)] 
e per la (28) 
(33)  0T=(6—a)[pR(a+ko,0)—qR(a+ho,0)). 
Così dalla (32) si deduce la 
(34) S(A=F0)—F(a)+0f(0)—(6—a)[pR(a+ko,@)—gR(a-+ho,0)] 


Immaginiamo ora che la © diminuisca continuamente fino a zero: potranno 
cambiare i numeri interi &, 4 affinchè A(«+%k0,0) R(a+k0, 0) rappre- 
sentino sempre il maggior termine positivo e il maggiore negativo della serie 
(31): cambieranno anche p, g restando però sempre numeri minori dell’ unità. 
Tali cambiamenti non impediscono di conchiudere che, a motivo della pro- 
prietà delle funzioni /t da principio rammentata, gli ultimi termini nella pre- 
cedente (34) diminuiranno continuamente e si ridurranno in fine a zero. Dal 


b 
che risulta che / (0) — (a) ossia 1 dx -f(x) è veramente il limite L (a, 6) 


a cui la somma $S(#) continuamente s’ avvicina. 

In proposito del recato teorema osserveremo: 1.° che qualche termine ag- 
giunto o tolto colla medesima legge in principio o in fine della serie (20) non 
produce cambiamento circa la quantità Z(4, 5) limite della somma della serie: 
2.°che la dimostrazione precedente sussiste qualunque sia il cambiamento di 
segno nei valori della f(x) corrispondenti ai successivi valori che prende e: 
3.° che si è supposto tacitamente farsi il passaggio della x per valori reali: il 
passaggio per valori immaginarii esige considerazioni particolari, di cui occor- 
rerà parlare in appresso. 

121. Quando la funzione f(x) passa una o più volte per l’ infinito mentre 
la variabile x prende i successivi valori da « a d, il limite Z(4, 2) della somma 
S(@) non si può più nell’ esposta maniera dimostrare eguale all’ integrale de- 


b 
finito sla dx-f(x): perchè alcuna delle equazioni dedotte dalla (30) e adope- 


rate nel precedente ragionamento non ha più luogo. Siccome però potrebbe 
rimaner dubbio che questa eguaglianza, quantunque non si sappia dimostrare, 
pure sussista: aggiungo che in qualche caso si può provare direttamente che 
non sussiste. Eccone uno molto simile a quello con cui Lagrange fece pel 
primo osservare una sì notabile eccezione (*). 


an 1 I : 2 i 
Diaefhit)e= PET b=1, ein conseguenza @ = sg La serie (29) è 


————__6k—_——_______Tt—z&—___6__—_—«-: e -—--—_ _ —_————__—€m€— tiziana 


(‘) Lecons sur le calcul des fonctions, Édit. in 4° pag. 69; Edit. in 8.° pag. 93 


374 PARTE SECONDA 
x 2 


(35). o(-;)+ o(-_3) +0 (ai n al (i) 


e si vede che non è più applicabile il teorema di cui trattasi, perchè 7 diven- 


o 


ta infinita pel valore x = 0 compreso fra —1, +1. Qui anche non conoscendo 
la grandezza del limite Z(—1, 1), comprendiamo benissimo ch’ esso non può 
mai essere una quantità negativa, perchè i termini della serie sono necessaria- 


I 
mente e sempre tutti positivi. Eppure l’ integrale definito f dx - 77 trovasi, 


—I 
passando per l’ integrale indefinito, eguale a — 2 quantità negativa. È dunque 
evidente in tal caso che il limite Z(—1,1) è quantità ben diversa dal valore 
dell’ integrale definito dato dal teorema. 

122. Or ecco l’ importante conclusione: nel caso del passaggio di f(x) una 


b 
o più volte per l’ infinito, non essendo Z(a, db) fel -f(x), è invece 


(36) Za bb=S dx-/(x}). 


Infatti si richiami la somma 


(37) ili CAD "A “da sfata no de f(&) 


la quale, quando i=0 (equaz. (9) ILA SÒ dx f(x), e si consideri quan- 


do i non è ancora zero. Ciascun termine di essa può riguardarsi limite di una 
serie come la (29) non avendo in essa luogo il caso di eccezione: e la somma 
di quegli integrali equivalente a una somma di limiti 


(38) Li(a,a, i) +Li(a+i, a, i+ ---4+ Luna 48, b) 
di cui ciascuno corrisponde ordinatamente alle serie estese fra 
aai; a+i, di, i; --- dn +L, D. 


Il limite Z(4, 6) della serie totale estesa da « a è non eguaglia Ja somma (38), 
perchè in questa non sono contemplati i pezzi della serie totale estesi fra 


ail, a +1; dai, i, a, t+-i;--- a, i, da, +; 


è però evidente che la differenza deve diventare sempre più piccola al dimi- 
nuire di z, e deve svanire per t==0; ma quando £= 0 la (38) o la (37) egua- 
glia S*da-f(x), dunque si ha la (36) 

Per un esempio: è facile persuadersi che il vero limite L(— 1,1) della pre- 
cedente (35) è l’ infinito positivo, giacchè si capisce subito che i termini verso 
il mezzo di essa hanno un valore grandissimo: e l’ infinito positivo è appunto 
il valore di Sda:- nd come trovammo al num. 116. 


A 


ANALISI 375 

Avvertasi che nella (36) suppongo S?dx f(x) calcolata colla (9) e non 
colla (15): ossia suppongo i valori indeterminati di Cauchy ridotti ai suoi va- 
lori principali. Infatti nella somma delle serie, che coi loro termini estremi si 
serrano continuamente vicino ai termini della serie totale contenenti i valori 
di x per cui /(.x) si fa infinita, io non potrei trovare ragione che mi giustifichi 
lo stare lontano da una parte più che dall'altra dagli anzidetti valori di .x, il che 
succede quando, per esempio, intorno il valore x=4, finisco da una parte 
con x=4a4, —iu,, e dall’ altra comincio con x=4,+iv,, essendo &,, 7, 
fra loro diverse. L’ applicazione alle misure delle quantità concrete, di cui 
faremo subito parola, persuade anche pit efficacemente la non convenienza di 
valori indeterminati. È questa la riflessione indicata più sopra al num. 115. 

123. Scolio. Nell’ applicazione del calcolo alle misure delle quantità concrete 
trattasi in sostanza sempre di trovare i limiti di serie come la (29), o di serie 
che essendo formate diversamente dalla (20) hanno però con essa un egual 
limite. Il calcolo ordinario degli integrali definiti è quel mezzo che meraviglio- 
samente ci serve in simili ricerche: ma nei casi di eccezione sopra marcati non 
ci risponde più, ed anzi co’ suoi risultati diretti non è atto che a traviarci. 
Bisogna allora ricorrere al calcolo delle espressioni SY dae «f(x), che si fa an- 
cora mediante formole d’ integrali definiti. Quindi è che Cauchy proponendoci 


b 
l’uso delle espressioni Si dx-f(x) invece delle f dc *f(x), ci propone un 


calcolo il quale in tutta la parte utile si sovrappone, per così dire, al calcolo inte- 
grale ordinario: ma dove questo co’suoi risultati diretti si distacca dalle applica- 
zioni, e sì perde in un astratto insignificante ed anche nell’immaginario, esso in- 
vece seguita a tenersi vicino alla natura e a soddisfare a’ nostri bisogni. Ed ecco 
la maggior ragione per deciderci a suo favore: giacchè il Geometra, che più 
di tutti ai nostri giorni ingrandì l’analisi, applicava le nuove sue formole di 
mano in mano che le inventava, ed ebbe a dire (*): « questa è la condizione 
« principale che abbiamo avuta sempre di mira, e senza la quale i risultati 
« del calcolo ci sembrerebbero trasformazioni inutili, » 


(*) Theorie de la Chaleur, pag. 580. 


(la continuazione nel tomo seguente) 


376 
SESTRIERE POIROT LITI III RI MPN PRET LIS DAME 
SULLE RIPULSIONI ELETTRICHE NELL'ARIA RAREFATTA 
Ni OST 
DI GIUSEPPE BELLI 


Ammettono molti Fisici che un elettrometro, per esempio di quelli a pagliette, a cui 
sia stata comunicata dell’ elettricità o positiva o negativa, e il quale perciò mostri una 
divergenza in queste pagliette o in generale ne’ due corpicelli che col loro allon- 
tanamento servono a indicare la tensione elettrica, se venga posto sotto il recipiente 
della macchina pneumatica, soffre una diminuzione nella divergenza medesima al ve- 
nire levata l’aria, e torna a mostrare la divergenza primiera quando l’aria viene di 
nuovo a rientrare (1). E da ciò questi Fisici traggono la conseguenza che nella vicende- 
vole ripulsione di due corpi similmente elettrizzati abbia necessariamente una grande 
influenza l’aria in mezzo a cui si trovano, di maniera che, a pari quantità di elettrico in 
essi corpi eccedente o deficiente, debba siflatta ripulsione essere più grande o più piccola 
secondo che è maggiore o minore la densità dell’aria medesima. 

Ho sempre ammesso anch'io che quando l’aria che sta intorno ai corpi elettrizzati non 
si trovi allo stato naturale, ma sia anch'essa elettrizzata o in più o in meno, ella influisca 
realmente assai in questo genere di fenomeni. Ma che ciò avvenga anche quando essa 
aria è allo stato naturale ho avuto del dubbio; e ho stimato che in questo caso voglia la 
cosa esser diligentemente verificata. 

La maniera più semplice che io abbia trovata per decidere un siffatto dubbio fu la se- 
guente. Presi un elettrometro a pagliette, e senza punto elettrizzarlo il posi sul piatto della 
macchina pneumatica, con sopra una campana di cristallo attraverso al cui fondo supe- 
riore di ottone passava a tenuta d’aria una bacchetta pur di ottone che io feci discendere 
fino a toccare il cappello dell’elettrometro stesso. Il fondo di questo era in comunicazione 
metallica colla vite forata di ottone che suol sorgere dal centro del piatto delle macchine 
pneumatiche. La campana era inverniciata per una buona parte del collo con vernice copal 
sì dentro che fuori, era bene asciugata esternamente, e internamente racchiudeva, oltre 
all’elettrometro, un vasetto di piombo contenente acido solforico concentrato onde togliere 
l’umidità. Il cappello dell’ elettrometro non era a tenuta d’aria, di modo che facendosi 
il voto nella campana veniva tolta l’aria anche dall’interno dell’elettrometro medesimo. 

Fatto il voto e lasciato passare qualche tempo onde 1’ acido solforico potesse operare, 
toccai la estremità esteriore della bacchetta metallica mediante uno de’ poli di una pila 
a secco gentilmente donatami dal chiarissimo prof. Zamboni; e immediatamente le 
pagliette si allontanarono e si mantennero a 13 gradi. Lasciai entrare tutta l’aria, e 
presso a poco si conservarono questi medesimi gradi, e posto ancora a contatto lo stesso 
polo della pila, continuarono ad aversi precisamente gli stessissimi 13 gradi. Provai la 
cosa in altri modi, ora toccando col polo positivo della pila ed ora col negativo, ora 
usando d’un voto corrispondente a tre linee di mercurio, ed ora d’un voto di cinque 
lince 0 più; ed ebbi sempre lo stesso risultamento, cioè ad uguale attività della pila ot- 
tenni sempre la stessissima divergenza sì nell’aria rarefatta che nella densa. 


(3) Vedi fra gli altri la Fisica del Gerbi, Tom. II, pag. 287, Pisa 1823. 


| 377 

Se alcuno vorrà ripetere una tale sperienza, che io reputo di qualche importanza 
nella scienza dell’elettricità, affinchè essa gli riesca dovrà avere le seguenti avvertenze : 

1.° Che le pareti della campana e dell’elettrometro sieno in ottima condizione iso- 
lante, onde l’elettricità comunicata non abbia a scorrere lungo queste pareti e nemmeno 
a distribuirsi e fermarsi su di esse per la tendenza che ha in generale l'elettricità a por- 
tarsi alle superficie dei corpi: nel qual caso verrebbe a diminuire la porzione d'elettricità 
che rimarrebbe alle pagliette , e queste mostrerebbero una divergenza minore di quella 
dovuta all'attività della pila. 

2.° Che l'interno spazio tanto della campana quanto dell’ elettrometro sia ben pri- 
vato di vapore acqueo. A ciò serve ottimamente l’ acido solforico concentrato ; senza del 
quale assai facilmente dopo aver fatto il voto potrebbe rimanere dentro la campana un 
residuo di vapore acqueo, il quale renderebbe più conduttrice l’aria finchè fosse rarefatta, 
e quindi condensandosi nel rientrar dell’aria esterna, umida per lo più anch'essa per 
vapore o portato seco dal di fuori 0 preso nel passare dalla canna della macchina pneu- 
matica, si potrebbe deporre sulle pareti in un velo umido; il che tutto sarebbe nocevolis- 
simo al buon esito della sperienza. i 

3.3 Che la tensione elettrica sia debole; altrimenti l’elettricità delle pagliette potrebbe 
dissiparsi attraverso all’aria contenuta nell’interno dell’elettrometro, specialmente quando 
ella è rara, e portarsi sulle pareti di questo strumento , ovvero anche fissarsi nell’ aria 
medesima , cosa che altererebbe il risultamento. Per una densità dell’aria corrispondente 
alla pressione di cinque linee di mercurio serve assai bene una tensione di 10 a 15 gradi 
d’un ordinario elettrometro a pagliette sottili. In generale quanto più perfetto è il voto, 
tanto più debole debb’ essere la tensione dell'elettricità che si vuol comunicare , dovendo 
sempre questa tensione essere al di sotto di quel limite a cui l'elettricità può cominciare 
a sfuggire dalle pagliette. 

In quanto alla pila a secco, quantunque ella sia ottima per questo genere di prove, 
pure chi non | abbia può supplirvi con una bottiglia di Leida che conservi bene 1’ elet- 
tricità e che sia debolmente carica. 

Dall’esposto risultamento io ne conchiudo che quando l’aria che sta intorno a due 
corpi similmente elettrizzati non ha che la sua quantità naturale d’elettrico, la ripulsione 
vicendevole di essi due corpi non dipende dalla densità di quest’ aria, ma soltanto dalla 
più o meno grande quantità d’elettrico in essi corpi sovrabbondante o deficiente. Per 
conseguenza, tornando alla sperienza primitivamente esposta, quantunque io conceda che 
la divergenza mostrata da un elettrometro posto sotto il recipiente della macchina pneu- 
matica, vada diminuendo col rarefare l’aria entro di questo, io attribuisco però il fatto a 
una diminuzione della quantità d’elettrico eccedente o deficiente nelle due pagliette o in 
genere ne’ due corpicciuoli repellentisi, diminuzione favorita e dalla lunga durata del- 
I operazione del fare il voto e dal rendersi l’aria tanto più conduttrice quanto più ella 
diviene rara, e in molti casi altresì da qualche umidità che rimanga o aderente alle pa- 
reti o diffusa nell’aria rarefatta. In quanto poi all’aumentarsi di nuovo la divergenza de’ 
due corpicelli col lasciare rientrar l’aria, e senza che nuovo elettrico venga ad essi o dato 
o tolto, a me non è riuscito di osservarlo, nè io il credo possibile quando l’aria entri allo 
stato naturale, e tale sia anche l’aria rarefatta che vi esisteva precedentemente. 


FINE DEL TOMO PRIMO. 


Opusc. Matem. e Fisici. 48 


378 
ENDICE 


DELLE MATERIE CONTENUTE NEL TOMO PRIMO 
DEGLI OPUSCOLI MATEMATICI E FISICI 


PARTE PRIMA 


Sulle figure isoperimetre esistenti in qualsivoglia superficie (son- 


DONI): i OE Sbaa 3 - Taccia Invpaghoto risi ’x3 
Nota sopra una Ma delta ua RT fonda- 
mentale per la Stereometria (sorDONI) =. . . ... » 14— 21 


NoTA sopra una proprietà che ha luogo tra la caratteristica di 
una superficie inviluppante e la linea individuata lungo la 
quale le sue inviluppate hanno un contatto di un ordine qua- 


lunque con una superficie data (sonponi) . . . . . » 22— 24 
Sulle intensità delle variazioni delle quantità (sorponi) . . . » 97—127 


Riflessioni sulla legge dell'attrazione molecolare (sELLI) 


ArticoLo I /nsufficienza dell’ attrazione astronomica per produr- 
re la coesione e l'adesione rà nell'ipotesi della 


continuità della materia . . ì . «ib 26— Bo 
» Il. Estensione delle precedenti conseguenze 1) alunie ipo- 
tesi sulla costituzione dei corpi e insufficienza del- 

l’ipotesi immaginata da Laplace . . . n° bo— "68 
)) II. Di alcune ipotesi le quali considerate dal lato Monta 
Meccanica potrebbero essere atte a conciliare le due 

attrazioni? SE lt VPN SO SMETTO 1207--108 

» 2397—261 
» IV. Delle leggi di attrazione a cui è d’ uopo ricorrere per 
conservare le più ricevute nozioni sulla costituzione 

VAT MG 2) RAMI COAT RA 


La Meccanica de’ corpi naturalmente estesi 
trattata col calcolo delle variazioni (PIOLA) 


INTRODUZIONE RM » 201—206 
Memoria PRIMA. Sul moto e Mps Sogna delle parti interne 7 uno 
corpa\solidpirisidotirliyn 00) MPI n Ad 2072000 


Risoluzione delle equazioni indeterminate di primo grado (DE PAOLI)» 262—272 


» 3on—344 


INDICE 379 


PARTE SECONDA 


Trattato sul calcolo degli integrali definiti (prora) 
UNGRGDazIONE ITA. <  . ue pag.. 73 


SEZIONE PRIMA 


Sopra la ricerca dei valori degli integrali definiti e sopra alcuni loro usi. 


74 


Capo I Prime nozioni generali . . . . . .. . . pag. 99— 78 
» IL Zeoremi generali relativi ai cambiamenti d’ espressione 
che possono farsi negli integrali definiti . . . . » 78— 82 
» IMI. Come per mezzo di un integrale definito si esprimano i 
resti delle serie . . . Ne I I Pe Ubs 
» IV. Ricerca dei valori degli SISSI definiti passando per 
Glass li (Agi PM on 9-9 
» . Formola di Laplace e sue applicazioni . . ». 92— 96 
» si Riflessioni sulla necessità della convergenza 231 serie 
infinite di cui si fa uso per la ricerca di vari integrali 
definiti, : EE 1 TOO 0 
» VIL Metodo di clero e di Balohe AR a YI CIo3 


» VIIL Principali proprietà della funzione T(p). . . .. » 184—194 
» IX. Prime applicazioni e conseguenze della funzione gamma.» 194—200 
» X. Derivazione e integrazione per le costanti . . » 273 —283 


» XI Dell’uso delle equazioni differenziali per la ricerca (E 
valori di alcuni integrali definiti. . . ... . 
» XII. Dell’uso delle equazioni alle differenze per la determi- 


n 


) 283—296 


nazione dei valori di alcuni integrali definiti. . . » 345—356 


» XIN. Delle somme d’integrali definiti che spesso conviene sosti- 


tuire ad integrali definiti presi alla maniera ordinaria. » 356—375 


NB.1l Trattato deve essere continuato 


NorA sulle ripulsioni elettriche nell'aria rarefatta (BELLI) . 


DI 
NI 

n 

DI 
NI 
ua 


286 


lin. 


10 


ERRORI O INDICAZIONI 


eE2 Vpî+r° da 


u 


i 


chiamò inammissibile 


11) 


2 


CORREZIONI O CAMBIAMENTI 


Ri ara u 
v—=al/peoh. —; 
LS 
mostrò dedursi da un metodo da 

lui dichiarato inammissibile 
TI) 
dx 


In tutto il numero 11 invece di 
k leggasi k,, e k invece di k, 
Si aggiunga, le quali poteva- 
no più prontamente dedursi 


dalle (4), (e), (1). 

E meglio per togliere ogni equi- 
voco cambiare questa y in 
un’altra lettera 7. 


e) 


i ì 
nio pre. I 
ola dan 
"olo et 


sn 


Belli Attrazione molecole: 


(i), 
} 


Ill 
MAL 
Doll 


4 L'l eri - 


sas 


Vr 


e Lai 
TIA 


LIMNININI 
il]ll 
Ì Il] |