Skip to main content

Full text of "Sir Isaac Newtons Principia"

See other formats


(20 


<^/:^ 


NEWTONS    PRINCIPIA. 


MDCCCLXXI. 

Published  by 
JAMES  MACLEHOSE,  GLASGOW,  PUBLISHER  TO  THE  UNIVERSITY. 


LONDON,    CAMBRIDGE    AND   NEW    YORK: 
MACMILLAN  AND   CO. 


SIR    ISAAC    NEWTON'S 


PRINCIPIA 


REPRINTED  FOR 


SIR    WILLIAM     THOMSON     LL.D. 

LATE  PBIXOW  OF  ST.   PETER's  COLLEGB,  CAMBRIOGB 
AND 

HUGH    BLACKBURN    M.A. 

LATE  FELLOW  OF  TRINITY  COLLEGB,   CAMBRIUGB 
PROFESSORS  OP  NATURAL  PHILOSOPHY  AND  MATHEMATICS  IN  THE  UNIVERSITY  OF  GLASGOW 


GLASGOW 
JAMES  MACLEHOSE,  PUBLISHER  TO  THE  UNIVERSITY 


PRINTED    BY    ROBERT   MACLEHOSE 
MDCCCLXXI 


f 


NOTICE, 

Finding  that  all  the  Editions  of  the  PRINCIPIA  are  now  out  of 
print,  we  have  been  induced  to  reprint  Newton's  last  Editioii  without 
note  or  comment,  ofily  introducing  the  "  Corrigenda'  of  the  old  copy 
afid  correcting  typographical  errors. 

W.  T. 

i  H.  B. 

University  of  Glasgow,  1871. 


m 


PHILOSOPHIt^ 

NATURALIS 

PRINCIPIA 


MATHEMATICA. 


A  U   C  T  O   R  E 

ISAACO  NEWTONO.Eq,  AuR. 

Editio  tertia  audta  &  emendata. 

LO  N  D  I  N  I: 

Apud  GuiL.  &  JoH.  In-nys,  Regiae  Societatis  typographos 

MDCCXXVI. 


iSyi — Rcprinted  hy  Robert  MacLehose. 
Published  hy  Jaines  MncLehose,   C/as^imi,   Publisher  to  the  University, 


ILLUSTRISSIM^ 
SOCIETATI     REGALI 

A 

SERENISSIMO    REGE 

C  A  RO  L  O     II 

AD    PHILOSOPHIAM    PROMOVENDAM 

FUNDAT.E 

ET 
AUSPICIIS 

SERENISSIMI     REGIS 

G  E  O  RG  I  I 

FLORENTI 
TRACTATUM     HUNC     D.D.D. 

/5.     NEIVTON. 


I  N 
VIRI    PR^STANTISSIMI 

ISAACI       NEWTONI 

OPUS    HOCCE 

MATHEMATICO-PHYSICUM 

SECULI  GENTISQUE  NOSTR^  DECUS  EGREGIUM, 


T7  N  tibi  norma  poli,  &  divae  libramina  molis, 

^^     Computus  en  Jovis;  &  quas,  dum  primordia  rerum 

Pangeret,  omniparens  leges  violare  creator 

Noluit,  atque  operum  quse  fundamenta  locarit. 

Intima  panduntur  victi  penetralia  cseli, 

Nec  latet  extremos  quse  vis  circumrotat  orbes. 

Sol  solio  residens  ad  se  jubet  omnia  prono 

Tendere  descensu,  nec  recto  tramite  currus 

Sidereos  patitur  vastum  per  inane  moveri ; 

Sed  rapit  immotis,  se  centro,  singula  gyris. 

Jam  patet  horrificis  quae  sit  via  flexa  cometis ; 

Jam  non  miramur  barbati  phaenomena  astri. 

Discimus  hinc  tandem  qua  causa  argentea  Phcebe 

Passibus  haud  aequis  graditur ;  cur  subdita  nulli 

Hactenus  astronomo  numerorum  fraena  recuset : 

Cur  remeant  nodi,  curque  auges  progrediuntur. 

Discimus  &  quantis  refluum  vaga-Cynthia  pontum 

Viribus  impelHt,  fessis  dum  fluctlbus  ulvam 

Deserit,  ac  nautis  suspectas  nudat  arenas  ; 

Alternis  vicibus  suprema  ad  littora  pulsans. 

Quae  toties  animos  veterum  torsere  sophorum, 


Xll 


IN  VIRI  PR^STANTISSIMI 

Quseque  scholas  frustra  rauco  certamine  vexant, 
Obvia  conspicimus,  nubem  pellente  mathesi. 
Jam  dubios  nulla  cahgine  praegravat  error, 
Queis  superum  penetrare  domos  atque  ardua  caeli 
Scandere  subHmis  genii  concessit  acumen. 
Surgite  mortales,  terrenas  mittite  curas ; 
Atque  hinc  caeligenae  vires  dignoscite  mentis, 
A  pecudum  vita  longe  lateque  remotae. 
Qui  scriptis  jussit  tabuHs  compescere  caedes, 
Furta  &  adulteria,  &  perjurae  crimina  fraudis ; 
Quive  vagis  populis  circundare  moenibus  urbes 
Auctor  erat ;  Cererisve  beavit  munere  gentes  ; 
Vel  qui  curarum  lenimen  pressit  ab  uva ; 
Vel  qui  NiHaca  monstravit  arundine  pictos 
Consociare  sonos,  ocuHsque  exppnere  voces ; 
Humanam  sortem  minus  extuHt :  utpote  pauca 
Respiciens  miserae  tantum  solamina  vitae. 
Jam  vero  superis  convivae  admittimur,  alti 
Jura  poH  tractare  Hcet,  jamque  abdita  caecae 
Claustra  patent  terrae,  rerumque  immobiHs  ordo, 
Et  quae  praeteriti  latuerunt  secula  mundi. 
-  TaHa  monstrantem  mecum  celebrate  camaenis, 
Vos  6  caeHcolum  gaudentes  nectare  vesci, 
Newtonum  clausi  reserantem  scrinia  veri, 
Newtonum  Musis  charum,  cui  pectore  puro 
Phoebus  adest,  totoque  incessit  numine  mentem  : 
Nec  fas  est  propius  mortaH  attingere  divos. 

EDM,    HALLEY. 


A  UCTORI S    PRJEFA  TIO 

AD     LECTOREM. 

r^UM  vetei^es  mechanicam  {tcti  aicctor  est  Pappus)  in  rerum  natur- 
alitim  i7ivestigatio7ie  7naximi  feceri^it;  &  recentiores,  ntissis 
formis  stibstantialibus  &  qualitatibus  occtiltis,  phcenomena  naticrce  ad 
leges  mathematicas  revocare  aggressi  sint :  Visum  est  in  hoc  tractatu 
mathesin  excolere,  quatenus  ea  ad  philosophiam  spectat.  Mechanicam 
vero  duplicem  veteres  constituerunt :  rationalem,  quce  per  denion- 
stratio7ies  accuraie  procedit,  &  practicam.  Ad  practicam  spectant 
artes  om7ies  ma^iuales^  a  quibtcs  utique  mechanica  nomen  77tutuata  est. 
Cu7n  autem  artifces  parum  accurate  operari  soleant^  fit  ut  mechanica 
om7iis  a  geometria  ita  disti^iguatur,  ut  quicquid  acctcratum  sit  ad 
geometriam  referatur,  qtiicquid  mi^ius  accuratu7n  ad  mechanicam. 
Attanu7t  errores  no7t  sunt  artis,  sed  artifictmt.  Qui  minus  accurate 
operattcr,  imperfectior  est  mecharticus,  &  si  quis  accuratissime  operari 
posset,  hic  foret  mecha^tictcs  omnitim  perfectissimtcs.  Nam  &  lineartcm 
rectartC77i  &  circtclorum  descriptiones,  in  quibus  geometria  fundattcr, 
ad  mechanicam  pertine7tt.  Has  li^ieas  describere  geometria  rton  docet, 
sed posttclat.  Posttclat  e7tim  tct  tyro  easde77t  accurate  describere  prius 
didiceret,  qua77t  limen  atti^igat  geometriae ;  dein,  qtcomodo  per  has 
operationes  problemata  solva^tttcr,  docet ;  rectas  &  circulos  describere 
problemata  su7tt,  sed  7ton  geometrica.  Ex  mechanica  posttclattcr  hortmt 
soltctioy  itt  geometria  docettcr  soltctoru7n  ustcs.  Ac  gloriattcr  geometria 
qtcod  tam  patccis  pri^tcipiis  alitcnde  petitis  ta77t  multa  prcestet.  Ftm- 
datur  igittcr  geometria  itt  praxi  mechanica,  &  nihil  aliud  est  qtcam 
mechanicai  universaHs  pars  illa,  qucB  artem  menstirandi  accurate pro- 
p07tit  ac  demottstt^at.  Cti77t  atitem  artes  manuales  i7t  corporibtcs  movett- 
dis  prceciptce  vet^se^tttcr,  fit  tct  geometria  ad  magttittcdi^tem,  mechanica 
ad  mottctn  vtclgo  referattir.  Qtco  se7tsu  mechanica  rationahs  ertt 
scie7itia  motutim,   qtii  ex  vi^nbus  qtcibtiscu7tqtce  i^estcltant,   &   vtrtum 


xl V  A  UCTORIS  PR^FA  TIO. 

qucB  ad  motus  quoscunque  requirufitur ,  acmrate  proposita  ac  demon- 
strata.  Pars  hcec  mechanicae  a  veteribus  in  potentils  quinque  ad 
artes  manuales  spectantibus  exculta  fuit,  qui  gravitatem  (ctcm  potentia 
manualis  non  sit)  vix  aliter  qttam  in  ponderibus  per  pote^itias  illas 
movendis  considerarunt.  Nos  autem  non  artibus  sed  philosophice  con- 
sulentesy  deque  potentiis  non  manualibus  sed  naturalibus  scribentes,  ea 
maxime  tractamtis,  qtcce  ad  gravitatem,  levitate^n,  vim  elasticam, 
resistentiam  fluidorum  &  ejusmodi  vires  seu  attractivas  seu  irnpulsivas 
spectant :  Et  ea  propter,  hcec  nostra  tanquam  philosophice  principia 
mathematica  proponimus.  Omnis  enim  philosophice  difficiUtas  in  eo 
versari  videttcr,  ut  a  phcenomenis  mottmm  investigemus  vires  naturcey 
dei^ide  ab  his  viribus  de^nonstremus  phcenomena  reliqua.  Et  huc 
spectant  propositiones  generaleSy  quas  libro  primo  &  secimdo  pertrac- 
tavimtis.  In  libro  autem  tertio  exemplum  hujus  rei  proposuimus  per 
explicatio7ie7n  systematis  mundani.  Ibi  enim,  ex  phcBnomenis  coelestibtcSy 
per  propositiones  iri  libris  prioribus  mathematice  demonstratas,  deri- 
vantur  vires  gravitatis,  quibus  corpora  ad  solem  &  planetas  singulos 
tendunt.  Deinde  ex  his  viribus  per  propositiones  etiam  mathematicas, 
deducuntiir  motus  planetarum^  cometarum,  hmcE  &  maris.  Utinam 
ccetera  naturce  phcenomena  ex principiis  mechanicis  eodem  argtmientandi 
genere  derivare  liceret.  Najn  multa  me  movent,  ut  fionnihil  suspicer 
ea  omnia  ex  viribus  quibusdam  pendere  posse,  quibus  corportcm 
partictclcB  per  catcsas  nondum  cognitas  vel  in  se  mutuo  impelltmttcr  & 
secicndtcm  figuras  regulares  cohcerent,  vel  ab  invicem  fugantur  &  rece- 
dunt :  quibus  viribus  ignotis,  philosophi  hactenus  naturam  frustra 
tefitarunt.  Spero  autem  quod  vel  huic  philosophandi  modo^  vel  veriori 
alicui,  principia  hic  posita  hccem  ahquam  prcebebunt. 

In  his  edendis,  vir  acutissimus  &  in  omni  hterarum  ge^iere  eru- 
ditissimus  Edmundus  Halleius  operam  navavity  nec  solum  typothetartcm 
sphalmata  correxit  &  schemata  incidi  curavit,  sed  etiam  auctor  fuit, 
ut  hortcm  editionem  aggrederer.  Quippe  cum  demonstratam  a  me 
figuram  orbium  ccelestium  impetraverat,  rogare  non  destitit,  ut  eandem 
cum  Societate  Regali  communicarem,  quce  deinde  hortatibus  &  be- 
nignis  suis  atcspiciis  efiicit,  ut  de  eadem  in  hccem  emittenda  cogitare 
inciperem.  At  postqtcam  motutcm  hcnaritcm  iucequalitates  aggressus 
essem,  deinde  etiam  alia  tentare  ccepissem,  quce  ad  leges  &  menstcras 
gravitatis   &  aliarzcm   virium,    &  figuras  a  corporibus  secundum 


AUCTORIS  FRyEFATIO. 


XV 


datas  qitasctmque  leges  atiractis  describendas,  ad  motus  co7'portim 
phiriicm  iriter  se,  ad  motus  corporu^n  in  mediis  resistentibus^  ad  vires, 
densitates  &  motus  fnediortcm,  ad  orbes  cojnetariim  &  similia  spectant^ 
editionem  i^i  aliud  te^npus  differe^idarn  esse  putavi^  ut  ccetera  rimarer  & 
una  in  publicum  darem.  Qucb  ad  motus  lunares  spectant  (imperfecta 
cum  sint)  ifi  corollariis  propositio7iis  LXVI  simul  complex^cs  sum, 
ne  singula  methodo  prolixiore  quam  pro  rei  dignitate  proponere,  & 
sigillatim  demoftstrare  tejierer,  &  seriem  reliquartim  propositionum 
interrumpere.  Nonnulla  sero  inventa  locis  mimcs  idoneis  inserere 
malici,  quam  7iumerum  propositiontcm  &  citationes  mutare.  Ut  omnia 
candide  leganticry  &  defectus  in  materia  tam  difficili  non  tam  repre- 
hendanttcr,  qtcam  novis  lectorum  conatibus  investigentur,  &  benigne 
suppleajitur,  enixe  rogo. 


\ 


Dabam  Ca?itabrigice^  e  Collegio 
S.  Trinitatis,  Maii  8,  1686. 


IS.   NEWTON. 


A  UCTORIS     PRyEFA  TIO 


IN 


EDITIONEM  SECUNDAM. 


TN  hac  secmida  Principiorum  editione  multa  sparsim  e^ftendantur, 
&  nonnulla  adjiciuntur.  In  libri  primi  sectione  1 1  inventio 
virium,  qiubus  corpora  in  orbibus  datis  revolvi possint,  /acilior  reddittir 
&  amplior.  In  libri  secundi  sectione  VII  theoria  resistenticB  fluidorum 
accicratitis  investigatur,  &  novis  experimentis  confirmatur.  In  libro 
tertio  theoria  luncB  &  prcEcessio  csquinoctiorum  ex  principiis  suis 
plenius  deducuntur,  &  theoria  cometai^um  pluribus  &  accuratius 
computatis  orbitim  exemplis  confirmatur. 

Dabam  Londini^  Mar.  28,  17 13. 

IS.   NEWTON. 


EDITORIS     PR^FA  TIO 


IN 


EDITIONEM  SECUNDAM, 


XTEWTONIANi^  philosophiae  novam  tibi,  lector  benevole, 
^  ^  diuque  desideratam  editionem,  plurimum  nunc  emendatam 
atque  auctiorem  exhibemus.  Quae  potissimum  contineantur  in  hoc 
opere  celeberrimo,  intelHgere  potes  ex  indicibus  adjectis  :  quae  vel 
addantur  vel  immutentur,  ipsa  te  fere  docebit  auctoris  prsefatio. 
Rehquum  est,  ut  adjiciantur  nonnulla  de  methodo  hujus  philosophiae. 

Oui  physicam  tractandam  susceperunt,  ad  tres  fere  classes  revo- 
cari  possunt.  Extiterunt  enim,  qui  singuHs  rerum  speciebus  quaH- 
tates  specificas  &  occultas  tribuerint ;  ex  quibus  deinde  corporum 
singulorum  operationes,  ignota  quadam  ratione,  pendere  voluerunt. 
In  hoc  posita  est  summa  doctrinae  scholasticae,  ab  Aristotele  &  Peri- 
pateticis  derivatae  :  Affirmant  utique  singulos  effectus  ex  corporum 
singularibus  naturis  oriri ;  at  unde  sint  illae  naturae  non  docent ;  nihil 
itaque  docent.  Cumque  toti  sint  in  rerum  nominibus,  non  in  ipsis 
rebus ;  sermonem  quendam  philosophicum  censendi  sunt  adinvenisse, 
philosophiam  tradidisse  non  sunt  censendi. 

Alii  ergo  meHoris  diHgentiae  laudem  consequi  sperarunt  rejecta 
vocabulorum  inutiH  farragine.  Statuerunt  itaque  materiam  univer- 
sam  homogeneam  esse,  omnem  vero  formarum  varietatem,  quae  in 
corporibus  cernitur,  ex  particularum  componentium  simpHcissimis 
quibusdam  &  inteHectu  faciHimis  affectionibus  oriri.  Et  recte 
quidem  progressio  instituitur  a  simpHcioribus  ad  magis  composita,  si 
particularum  primariis  iHis   affectionibus  non  aHos   tribuunt  modos. 


xvili  EDITORIS  PRJEFATIO. 

quam  quos  ipsa  trlbuit  natura.  Verum  ubi  licentiam  sibi  assumunt, 
ponendi  quascunque  llbet  ignotas  partium  figuras  &  magnitudines, 
incertosque  situs  &  motus  ;  quin  &  fingendi  fluida  qusedam  occulta, 
quae  corporum  poros  liberrime  permeent,  omnlpotente  praedlta  sub- 
tllitate,  motlbusque  occultis  agitata;  jam  ad  somnla  delabuntur, 
neglecta  rerum  constitutlone  vera  :  quae  sane  frustra  petenda  est  ex 
fallacibus  conjecturis,  cum  vix  etlam  per  certlssimas  observationes 
investlgari  possit.  Qui  speculationum  suarum  fundamentum  desu- 
munt  ab  hypothesibus ;  etiamsi  deinde  secundum  leges  mechanicas 
accuratisslme  procedant ;  fabulam  quidem  elegantem  forte  &  venus- 
tam,  fabulam  tamen  concinnare  dicendi  sunt. 

ReHnquItur  adeo  tertium  genus,  qui  philosophiam  scIHcet  expe- 
rimentalem  profitentur.  Hi  quidem  ex  simpHcIssimis  qulbus  possunt 
prlnciplls  rerum  omnlum  causas  derivandas  esse  volunt  :  nlhil  autem 
princlpii  loco  assumunt,  quod  nondum  ex  phaenomenis  comproba- 
tum  fuerit.  Hypotheses  non  commlnlscuntur,  neque  in  physicam 
recipiunt,  nisi  ut  quaestiones  de  quarum  veritate  disputetur.  DupHci 
itaque  methodo  incedunt,  analytica  &  synthetlca.  Naturae  vires 
legesque  virium  slmpHciores  ex  selectls  quibusdam  phaenomenls 
per  analysln  deducunt,  ex  quibus  deinde  per  synthesln  reHquorum 
constitutlonem  tradunt.  Haec  IHa  est  philosophandi  ratio  longe 
optlma,  quam  prae  caeteris  merito  amplectendum  censult  celeberrlmus 
auctor  noster.  Hanc  solam  utique  dignam  judlcavit,  in  qua  excolenda 
atque  adornanda  operam  suam  collocaret.  Hujus  igitur  illustrissi- 
mum  dedlt  exemplum,  mundani  nempe  systematls  expllcationem  e 
theorla  gravitatls  fellcisslme  deductam.  Gravitatls  vlrtutem  universis 
corporibus  inesse  suspicati  sunt  vel  finxerunt  alii  :  primus  ille  & 
solus  ex  apparentiis  demonstrare  potuit,  &  speculatlonlbus  egregiis 
firmissimum  ponere  fundamentum. 

Scio  equidem  nonnullos  magni  etiam  nominis  viros,  praejudiciis 
qulbusdam  plus  aequo  occupatos,  huic  novo  princlpio  aegre  assentlri 
potulsse,  &  certis  incerta  identidem  praetullsse.  Horum  famam 
velllcare  non  est  anlmus  :  tibi  potius,  benevole  lector,  illa  paucis 
exponere  lubet,  ex  qulbus  tute  ipse  judlcium  non  iniquum  feras. 

Igltur  ut  argumenti  sumatur  exordlum  a  slmpllclsslmis  &  proxlmis  ; 
displclamus  paullsper  qualis  slt  in  terrestribus  natura  gravltatls,  ut 
deinde  tutius  progrediamur  ubi  ad  corpora  caelestia,  longissime  a  se- 


EDITORIS  FR.EFATIO.  xix 

dibus  nostris  remota,  perventum  fuerit.  Convenit  jam  inter  omnes 
philosophos  corpora  universa  circumterrestria  gravitare  in  terram. 
Nulla  dari  corpora  vere  levia  jamdudum  confirmavit  experientia 
multiplex.  Qu^  dicitur  levitas  relativa,  non  est  vera  Hevitas,  sed 
apparens  solummodo ;  &  oritur  a  pr3epollente[]^gravitate  corporum 
contiguorum. 

Porro,  ut  corpora  universa  gravitent  in  terram,  ita  terra  vicissim 
in  corpora  eequaliter  gravitat ;  gravitatis  enim  actionem  esse  mutuam 
&  utrinque  sequalem  sic  ostenditur.  Distinguatur  terrae  totius  moles 
in  binas  quascunque  partes,  vel  sequales  vel  utcunque  insequales  : 
jam  si  pondera  partium  non  essent  in  se  mutuo  sequalia;  cederet 
pondus  minus  majori,  &  partes  conjunctae  pergerent  recta  moveri  ad 
infinitum,  versus  plagam  in  quam  tendit  pondus  majus:  omnino  contra 
experientiam.  Itaque  dicendum  erit  pondera  partium  in  sequilibrio 
esse  constituta  :  hoc  est,  gravitatis  actionem  esse  mutuam  &  utrinque 
aequalem. 

Pondera  corporum,  sequaliter  a  centro  terrse  distantium,  sunt  ut 
quantitates  materiae  in  corporibus.  Hoc  utique  colligitur  ex  aequali 
acceleratione  corporum  omnium,  e  quiete  per  ponderum  vires 
cadentium  :  nam  vires  quibus  inaequalia  corpora  aequaliter  acceleran- 
tur,  debent  esse  proportionales  quantitatibus  materiae  movendae.  Jam 
vero  corpora  universa  cadentia  aequaliter  accelerari  ex  eo  patet, 
quod  in  vacuo  Boyliano  temporibus  aequalibus  aequalia  spatia  cadendo 
describunt,  sublata  scilicet  aeris  resistentia :  accuratius  autem 
comprobatur  per  experimenta  pendulorum. 

Vires  attractivae  corporum,  in  aequalibus  distantiis,  sunt  ut  quan- 
titates  materiae  in  corporibus.  Nam  cum  corpora  in  terram  &  terra 
vicissim  in  corpora  momentis  aequalibus  gravitent;  terrae  pondus  in 
unumquodque  corpus,  seu  vis  qua  corpus  terram  attrahit,  aequabitur 
ponderi  corporis  ejusdem  in  terram.  Hoc  autem  pondus  erat  ut 
quantitas  materiae  in  corpore  :  itaque  vis  qua  corpus  unumquodque 
terram  attrahit,  sive  corporis  vis  absoluta,  erit  ut  eadem  quantitas 
materiae. 

Oritur  ergo  &  componitur  vis  attractiva  corporum  integrorum 
ex  viribus  attractivis  partium  :  siquidem  aucta  vel  diminuta  mole 
materise  ostensum  est  proportionaliter  augeri  vel  diminui  ejus 
virtutem.       Actio   itaque    telluris  ex   conjunctis   partium   actionibus 


1 


XX  EDirORIS  PR.EFATIO.  ^ 

conflarl  censenda  erit ;  atque  adeo  corpora  omnia  terrestria  se  mutuo 
trahere  oportet  viribus  absolutis,  quae  sint  in  ratione  materise  trahentis. 
Haec  est  riatura  gravitatis  apud  terram  :  videamus  jam  qualis  sit  in 
ceelis. 

Corpus  omne  perseverare  in  statu  suo  vel  quiescendi  vel  movendi 
uniformiter  in  directum,  nisi  quatenus  a  viribus  impressis  cogitur 
statum  illum  mutare ;  naturae  lex  est  ab  omnibus  recepta  philosophis. 
Inde  vero  sequitur  corpora,  quae  in  curvis  moventur,  atque  adeo 
de  lineis  rectis  orbitas  suas  tangentibus  jugiter  abeunt,  vi  aliqua 
perpetuo  agente  retineri  in  itinere  curvilineo.  Planetis  igitur  in 
orbibus  curvis  revolventibus  necessario  aderit  vis  aliqua,  per  cujus 
actiones  repetitas  indesinenter  a  tangentibus  deflectantur. 

Jam  illud  concedi  aequum  est,  quod  mathematicis  rationibus 
colHgitur  &  certissime  demonstratur ;  corpora  nempe  omnia,  quae 
moventur  in  linea  aliqua  curva  in  plano  descripta,  quaeque  radio  ducto 
ad  punctum  vel  quiescens  vel  utcunque  motum  describunt  areas  circa 
punctum  illud  temporibus  proportionales,  urgeri  a  viribus  quse  ad 
idem  punctum  tendunt.  Cum  igitur  in  confesso  sit  apud  astronomos 
planetas  primarios  circum  solem,  secandarios  vero  circum  suos 
primarios,  areas  describere  temporibus  proportionales ;  consequens 
est  ut  vis  illa,  qua  perpetuo  detorquentur  a  tangentibus  rectilineis 
&  in  orbitis  curvilineis  revolvi  coguntur,  versus  corpora  dirigatur 
quae  sita  sunt  in  orbitarum  centris.  Haec  itaque  vis  non  inepte  vocari 
potest,  respectu  quidem  corporis  revolventis,  centripeta ;  respectu 
autem  corporis  centralis,  attractiva ;  a  quacunque  demum  causa  oriri 
fingatur. 

Ouin  &  haec  quoque  concedenda  sunt,  &  mathematice  demon- 
strantur :  Si  corpora  plura  motu  aequabili  revolvantur  in  circulis 
concentricis,  &  quadrata  temporum  periodicorum  sint  ut  cubi 
distantiarum  a  centro  communi ;  vires  centripetas  revolventium  fore 
reciproce  ut  quadrata  distantiarum.  Vel,  si  corpora  revolvantur  in 
orbitis  quae  sunt  circulis  finitimae,  &  quiescant  orbitarum  apsides ; 
vires  centripetas  revolventium  fore  reciproce  ut  quadrata  distantiarum. 
Obtinere  casum  alterutrum  in  planetis  universis  consentiunt  astronomi. 
Itaque  vires  centripetae  planetarum  omnium  sunt  reciproce  ut 
quadrata  distantiarum  ab  orbium  centris.  Si  quis  objiciat  planetarum, 
&  lunae  praesertim,  apsides  non  penitus  quiescere ;  sed  motu  quodam 


EDITORIS  PR^FATIO. 


XXI 


lento  ferri  m  consequentia  :  responderi  potest,  etiamsi  concedamus 
hunc  motum  tardissimum  exinde  profectum  esse  quod  vis  centripet^ 
proportio  aberret  aliquantum  a  duplicata,  aberrationem  illam  per 
computum  mathematicum  inveniri  posse  &  plane  insensibilem  esse. 
Ipsa  enim  ratio  vis  centripetse  lunaris,  quae  omnium  maxime  turbari 
debet,  paululum  quidem  dupHcatam  superabit;  ad  hanc  vero  sexaginta 
fere  vicibus  propius  accedet  quam  ad  tripHcatam.  Sed  verior  erit 
responsio,  si  dicamus  hanc  apsidum  progressionem,  non  ex  aberrati- 
one  a  dupHcata  proportione,  sed  ex  aHa  prorsus  diversa  causa  oriri, 
quemadmodum  egregie  commonstratur  in  hac  philosophia.  Restat 
ergo  ut  vires  centripetae,  quibus  planetae  primarii  tendunt  versus 
solem  &  secundarii  Versus  primarios  suos,  sint  accurate  ut  quadrata 
distantiarum  reciproce. 

Ex  iis  quae  hactenus  dicta  sunt  constat  planetas  in  orbitis  suis 
retineri  per  vim  aHquam  in  ipsos  perpetuo  agentem  :  constat  vim 
illam  dirigi  semper  versus  orbitarum  centra  :  constat  hujus  efficaciam 
augeri  in  accessu  ad  centrum,  diminui  in  recessu  ab  eodem  :  &  augeri 
quidem  in  eadem  proportione  qua  diminuitur  quadratum  distanti^, 
diminui  in  eadem  proportione  qua  distantiae  quadratum  augetur. 
Videamus  jam,  comparatione  instituta  inter  planetarum  vires  centri- 
petas  &  vim  gravitatis,  annon  ejusdem  forte  sint  generis.  Ejusdem 
vero  generis  erunt,  si  deprehendantur  hinc  &  inde  leges  eaedem, 
eaedemque  affectiones.  Primo  itaque  lunae,  quae  nobis  proxima  est, 
vim  centripetam  expendamus. 

Spatia  rectilinea,  quae  a  corporibus  e  quiete  demissis  dato  tempore 
sub  ipso  motus  initio  describuntur,  ubi  a  viribus  quibuscunque 
urgentur,  proportionalia  sunt  ipsis  viribus  :  hoc  utique  consequitur 
ex  ratiociniis  mathematicis.  Erit  igitur  vis  centripeta  lunae,  in  orbita 
sua  revolventis,  ad  vim  gravitatis  in  superficie  terrae,  ut  spatium 
quod  tempore  quam  minimo  describeret  luna  descendendo  per  vim 
centripetam  versus  terram,  si  circulari  omni  motu  privari  fingeretur, 
ad  spatium  quod  eodem  tempore  quam  minimo  describit  grave 
corpus  in  vicinia  terrae,  per  vim  gravitatis  suae  cadendo.  Horum 
spatiorum  prius  aequale  est  arcus  a  luna  per  idem  tempus  descripti 
sinui  verso,  quippe  qui  lunae  translationem  de  tangente,  factam  a  vi 
centripeta,  metitur  ;  atque  adeo  computari  potest  ex  datis  tum  lunae 

b 


xxu 


EDITORIS  FR.EFATIO. 


tempore  periodico,  tum  distantia  ejus  a  centro  terrae.     Spatium  poste- 
rius  invenitur  per  experimenta  pendulorum,  quemadmodum  docuit 
Hugenius.  '  Inito  itaque  calculo,  spatium  prius  ad  spatium  posterius, 
seu  vis  centripeta  lunae  in  orbita  sua  revolventis  ad  vim  gravitatis  in 
superficie   terrae,   erit  ut  quadratum  semidiametri    terrae   ad    orbit^ 
semidiametri    quadratum.       Eandem    habet   rationem,   per   ea    qu^ 
superius   ostenduntur,  vis  centripeta  lunse  in  orbita  sua  revolventis 
ad   vim   lun^   centripetam   prope   terrae  superficiem.       Vis    itaque 
centripeta   prope  terrae  superficiem  aequalis  est  vi  gravitatis.      Non 
ergo  diversae  sunt  vires,  sed  una  atque  eadem  :  si  enim  diversae  essent, 
corpora  viribus  conjunctis  duplo  celerius  in  terram  caderent  quam  ex 
vi  sola  gravitatis.     Constat  igitur  vim  illam  centripetam,  qua  luna 
perpetuo  de  tangente  vel  trahitur  vel  impellitur  &  in  orbita  retine- 
tur,  ipsam  esse  vim  gravitatis  terrestris  ad  lunam  usque  pertingentem. 
Et  rationi  quidem  consentaneum  est  ut  ad  ingentes  distantias  illa  sese 
virtus  extendat,  cum   nullam  ejus  sensibilem   imminutionem,  vel   in 
altissimis  montium   cacuminibus,   observare   licet.       Gravitat  itaque 
luna  in   terram :    quin    &   actione   mutua   terra   vicissim    in   lunam 
aequaliter   gravitat :    id    quod   abunde    quidem    confirmatur   in    hac 
philosophia,  ubi  agitur  de  maris  aestu  &  aequinoctiorum  praecessione, 
ab  actione  tum  lunae  tum  solis  in  terram  oriundus. .    Hinc  &  illud 
tandem    edocemur,    qua   nimirum    lege   vis   gravitatis   decrescat    in 
majoribus  a  tellure  distantiis.     Nam  cum  gravitas  non  diversa  sit  a 
vi  centripeta  lunari,  haec  vero  sit  reciproce  proportionalis  quadrato 
distantiae  ;  diminuetur  &  gravitas  in  eadem  ratione. 

Progrediamur  jam  ad  planetas  reliquos.  Quoniam  revolutiones 
primariorum  circa  solem  &  secundariorum  circa  jovem  &  saturnum 
sunt  phaenomena  generis  ejusdem  ac  revolutio  lunae  circa  terram, 
quoniam  porro  demonstratum  est  vires  centripetas  primariorum 
dirigi  versus  centrum  solis,  secundariorum  versus  centra  jovis  & 
saturni,  quemadmodum  lunae  vis  centripeta  versus  terrae  centrum 
dirigitur ;  adhaec,  quoniam  omnes  illae  vires  sunt  reciproce  ut  quadrata 
distantiarum  a  centris,  quemadmodum  vis  lunae  est  ut  quadratum 
distantiae  a  terra  :  concludendum  erit  eandem  esse  naturam  universis. 
Itaque  ut  luna  gravitat  in  terram,  &  terra  vicissim  in  lunam  ;  sic  etiam 
gravitabunt  omnes  secundarii  in  primarios  suos,  &  primarii  vicissim 


EDITORIS  PR^FATIO.  xxiii 

in  secundarios;  sic  &  omnes  primarii  in  solem,  &  sol  vicissim  in 
primarios. 

Igitur  sol  in  planetas  universos  gravitat  &  universi  in  solem.  Nam 
secundarii  dum  primarios  suos  comitantur,  revolvuntur  interea  circum 
solem  una  cum  primariis.  Eodem  itaque  argumento,  utriusque 
generis  planetae  gravitant  in  solem,  &  sol  in  ipsos.  Secundarios  vero 
planetas  in  solem  gravitare  abunde  insuper  constat  ex  inaequalitatibus 
lunaribus ;  quarum  accuratissimara  theoriam,  admiranda  sagacitate 
patefactam,  in  tertio  hujus  operis  Hbro  expositam  habemus. 

SoHs  virtutem  attractivam  quoquoversum  propagari  ad  ingentes 
usque  distantias,  &  sese  diffundere  ad  singulas  circumjecti  spatii 
partes,  apertissime  coHigi  potest  ex  motu  cometarum;  qui  ab  immensis 
intervaHis  profecti  feruntur  in  viciniam  soHs,  &  nonnunquam  adeo  ad 
ipsum  proxime  accedunt  ut  globum  ejus,  in  periheHis  suis  versant€s, 
tantum  non  contingere  videantur.  Horum  theoriam,  ab  astronomis 
antehac  frustra  quaesitam,  nostro  tandem  sseculo  feHciter  inventam  & 
per  observationes  certissime  demonstratam  praestantissimo  nostro 
auctori  debemus.  Patet  igitur  cometas  in  sectionibus  conicis  umbi- 
Hcos  in  centro  soHs  habentibus  moveri,  &  radiis  ad  solem  ductis  areas 
temporibus  proportionales  describere.  Ex  hisce  vero  phaenomenis 
manifestum  est  &  mathematice  comprobatur  vires  iHas,  quibus 
cometse  retinentur  in  orbitis  suis,  respicere  solem  &  esse  reciproce  ut 
quadrata  distantiarum  ab  ipsius  centro.  Gravitant  itaque  cometae 
in  solem  :  atque  adeo  soh*s  vis  attractiva  non  tantum  ad  corpora 
planetarum  in  datis  distantiis  &  in  eodem  fere  plano  coHocata,  sed 
etiam  ad  cometas  in  diversissimis  caelorum  regionibus  &  in  diversissi- 
mis  distantiis  positos  pertingit.  Haec  igitur  est  natura  corporum 
gravitantium,  ut  vires  suas  edant  ad  omnes  distantias  in  omnia  corpora 
gravitantia.  Inde  vero  sequitur  planetas  &  cometas  universos  se 
mutuo  trahere,  &  in  se  mutuo  graves  esse  :  quod  etiam  confirmatur 
ex  perturbatione  jovis  &  saturni,  astronomis  non  •  incognita,  &  ab 
actionibus  horum  planetarum  in  se  invicem  oriunda ;  quin  &  ex  motu 
iHo  lentissimo  apsidum,  qui  supra  memoratus  est,  quique  a  causa 
consimiH  proficiscitur. 

Eo  demum  pervenimus  ut  dicendum  sit  &  terram  &  solem  &  cor- 
pora    omnia    caelestia,    quae    solem  comitantur,  se  mutuo  attrahere. 


xxiv  EDITORIS  PR^FATIO. 

Singulorum  ergo  particulae  quseque  minimae  vires  suas  attractivas 
habebunt,  pro  quantitate  materiae  pollentes ;  quemadmodum  supra  de 
terrestribus  '  ostensum  est.  In  diversis  autem  distantiis  erunt  & 
harum  vires  in  duplicata  ratione  distantiarum  reciproce  :  nam  ex 
particulis  hac  lege  trahentibus  componi  debere  globos  eadem  lege 
trahentes  mathematice  demonstratur. 

Conclusiones  praecedentes  huic  innituntur  Axiomati,  quod  a  nulHs 
non  recipitur  philosophis ;  effectuum  sciHcet  ejusdem  generis,  quorum 
nempe  quae  cognoscuntur  proprietates  eaedem  sunt,  easdem  esse 
causas  &  easdem  esse  proprietates  quae  nondum  cognoscuntur.  Quis 
enim  dubitat,  si  gravitas  sit  causa  descensus  lapidis  in  Etiropa,  quin 
eadem  sit  causa  descensus  in  America  ?  Si  gravitas  mutua  fuerit  inter 
lapidem  &  terram  in  Etcropa  ;  quis  negabit  mutuam  esse  in  America  ? 
Si-^vis  attractiva  lapidis  &  terrae  componatur  in  Europa  ex  viribus 
attractivis  partium ;  quis  negabit  similem  esse  compositionem  in 
America  ?  Si  attractio  terrae  ad  omnium  corporum  genera  &  ad  omnes 
distantias  propagetur  in  Europa  ;  quidni  pariter  propagari  dicamus  in 
America  ?  In  hac  regula  fundatur  omnis  philosophia  :  quippe  qua 
sublata  nihil  affirmare  possimus  de  universis.  Constitutio  rerum 
singularum  innotescit  per  observationes  &  experimenta :  inde  vero  non 
nisi  per  hanc  regulam  de  rerum  universarum  natura  judicamus. 

Jam  cum  gravia  sint  omnia  corpora,  quae  apud  terram  vel  in  caelis 
reperiuntur,  de  quibus  experimenta  vel  observationes  instituere  licet ; 
omnino  dicendum  erit  gravitatem  corporibus  universis  competere. 
Et  quemadmodum  nulla  concipi  debent  corpora,  quae  non  sint  ex- 
tensa,  mobilia  &  impenetrabilia ;  ita  nulla  concipi  debere,  quae  non 
sint  gravia.  Corporum  extensio,  mobilitas  &  impenetrabilitas  non 
nisi  per  experimenta  innotescunt :  eodem  plane  modo  gravitas 
innotescit.  Corpora  omnia  de  quibus  observationes  habemus,  ex- 
tensa  sunt  &  mobilia  &  impenetrabilia  :  &  inde  concludimus  corpora 
universa,  etiam  illa  de  quibus  observationes  non  habemus,  extensa 
esse  &  mobilia  &  impenetrabilia.  Ita  corpora  omnia  sunt  gravia,  de 
quibus  observationes  habemus :  &  inde  concludimus  corpora  universa, 
etiam  illa  de  quibus  observationes  non  habemus,  gravia  esse.  Si  quis 
dicat  corpora  stellarum  inerrantium  non  esse  gravia,  quandoquidem 
eorum  gravitas  nondum  est  observata ;  eodem  argumento  dicere  li- 


EDITORISPR^FATIO.  xxv 

cebit  neque  extensa  esse,  nec  mobllia,  nec  impenetrabilia,  cum  h^ 
fixarum  affectiones  nondum  ^int  observatae.  Quid  opus  est  verbis  ? 
inter  primarias  qualitates  corporum  universorum  vel  gravitas  habebit 
locum ;  vel  extensio,  mobilitas  &  impenetrabiHtas  non  habebunt. 
Et  natura  rerum  vel  recte  expHcabitur  per  corporum  gravitatem, 
vel  non  recte  expHcabitur  per  corporum  extensionem,  mobiHtatem 
&  impenetrabiHtatem. 

Audio  nonnuHos  hanc  improbare  conclusionem,  &  de  occultis 
quaHtatibus  nescio  quid  mussitare.  Gravitatem  sciHcet  occultum  esse 
quid,  perpetuo  argutari  solent;  occultas  vero  causas  procul  esse 
ablegandas  a  philosophia.  His  autem  facile  respondetur;  occultas 
esse  causas,  non  iHas  quidem  quarum  existentia  per  observationes 
clarissime  demonstratur,  sed  has  solum  quarum  occulta  est  &  ficta 
existentia  nondum  vero  comprobata.  Gravitas  ergo  non  erit  occulta 
causamotuum  cselestium;  siquidem  ex  phsenomenis  ostensum  est,  h?inc 
virtutem  revera  existere.  H  i  potius  ad  occultas  confugiunt  causas  ; 
qui  nescio  quos  vortices,  materiae  cujusdam  prorsus  fictitiae  &  sensibus 
omnino  ignotae,  motibus  iisdem  regendis  praeficiunt. 

Ideone  autem  gravitas  occulta  causa  dicetur,  eoque  nomine 
rejicietur  e  philosophia,  quod  causa  ipsius  gravitatis  occulta  est  & 
nondum  inventa  ?  Qui  sic  statuunt,  videant  nequid  statuant  absurdi, 
unde  totius  tandem  philosophiae  fundamenta  conveHantur.  Etenim 
causae  continuo  nexu  procedere  solent  a  compositis  ad  simpHciora  :  ubi 
ad  causam  simpHcissimam  perveneris,  jam  non  Hcebit  ulterius  progredi. 
Causse  igitur  simpHcissimae  nuHa  dari  potest  mechanica  expHcatio  :  si 
daretur  enim,  causa  nondum  esset  simpHcissima.  Has  tu  proinde 
causas  simpHcissimas  appeHabis  occultas,  &  exulare  jubebis  ?  Simul 
vero  exulabunt  &  ab  his  proxime  pendentes  &  quae  ab  iHis  porro 
pendent,  usque  dum  a  causis  omnibus  vacua  fuerit  &  probe  purgata 
philosophia. 

Sunt  qui  gravitatem  praeter  naturam  esse  dicunt,  &  miraculum 
perpetuum  vocant.  Itaque  rejiciendam  esse  volunt,  cum  in  physica 
praeternaturales  causae  locum  non  habeant.  Huic  ineptae  prorsus 
objectioni  diluendae,  quae  &  ipsa  philosophiam  subruit  universam,  vix 
operae  pretium  est  immorari.  Vel  enim  gravitatem  corporibus 
omnibus  inditam  esse   negabunt,   quod  tamen  dici  non  potest :   vel 


xxvi  EDITORIS  PR^FATIO. 

eo  nomine  praeter  naturam  esse  affirmabunt,  quod  ex  aliis  corporum 
affectionibus  atque  adeo  ex  causis  mechanicis  origineni  non  habeat. 
Dantur  certe  primariae  corporum  affectiones ;  quae,  quoniam  sunt 
primarise,  non  pendent  ab  ahis.  Viderint  igitur  annon  &  hse  omnes 
sint  pariter  prseter  naturam,  eoque  pariter  rejiciendae  :  viderint  vero 
quahs  sit  deinde  futura  philosophia. 

Nonnulh  sunt  quibus  haec  tota  physica  caelestis  vel  ideo  minus 
placet,  quod  cum  Cartesii  dogmatibus  pugnare  &  vix  concihari 
posse  videatur.  His  sua  hcebit  opinione  frui ;  ex  aequo  autem  agant 
oportet :  non  ergo  denegabunt  ahis  eandem  hbertatem  quam  sibi 
concedi  postulant.  Newtonianam  itaque  philosophiam,  quae  nobis 
verior  habetur,  retinere  &  amplecti  hcebit,  &  causas  sequi  per 
phaenomena  comprobatas,  potius  quam  fictas  &  nondum  comprobatas. 
Ad  veram  philosophiam  pertinet,  rerum  naturas  ex  causis  vere 
existentibus  derivare  :  eas  vero  leges  quaerere,  quibus  voluit  summus 
opifex  hunc  mundi  pulcherrimum  ordinem  stabihre ;  non  eas  quibus 
potuit,  si  ita  visum  fuisset.  Rationi  enim  consonum  est,  ut  a 
pluribus  causis,  ab  invicem  nonnihil  diversis,  idem  possit  effectus 
proficisci :  haec  autem  vera  erit  causa,  ex  qua  vere  atque  actu 
proficiscitur ;  rehquae  locum  non  habent  in  philosophia  vera.  In 
horologiis  automatis  idem  indicis  horarii  motus  vel  ab  appenso 
pondere  vel  ab  intus  concluso  elatere  oriri  potest.  Quod  si  oblatum 
horologium  revera  sit  instructum  pondere ;  ridebitur  qui  finget 
elaterem,  &  ex  hypothesi  sic  praepropere  conficta  motum  indicis 
exphcare  suscipiet :  oportuit  enim  internam  machinae  fabricam 
penitius  perscrutari,  ut  ita  motus  propositi  principium  verum  explo- 
ratum  habere  posset.  Idem  vel  non  absimile  feretur  judicium  de 
philosophis  iUis,  qui  materia  quadam  subtihssima  caelos  esse  repletos, 
hanc  autem  in  vortices  indesinentur  agi  voluerunt.  Nam  si  phaeno- 
menis  vel  accuratissime  satisfacere  possent  ex  hypothesibus  suis ; 
veram  tamen  philosophiam  tradidisse,  &  veras  causas  motuum 
c^elestium  invenisse  nondum  dicendi  sunt;  nisi  vel  has  revera  existere, 
vel  saltem  ahas  non  existere  demonstraverint.  Igitur  si  ostensum 
fuerit,  universorum  corporum  attractionem  habere  verum  locum  in 
rerum  natura ;  quinetiam  ostensum  fuerit,  qua  ratione  motus  omnes 
caelestes  abinde  solutionem  recipiant ;  vana  fuerit  &  merito  deridenda 


I 


EDITORIS  PR^FATIO.  xxvii 

objectio,  si  quls  dixerit  eosdem  motus  per  vortices  explicarl  debere, 
etiamsl  Id  fieri  posse  vel  maxime  concesserimus.  Non  autem  conce- 
dimus  :  nequeunt  enim  ullo  pacto  phaenomena  per  vortices  explicarl ; 
quod  ab  auctore  nostro  abunde  quidem  &  clarissimis  rationlbus  evln- 
cltur ;  ut  somnls  plus  aequo  indulgeant  oporteat,  qui  Ineptlsslmo  fig- 
mento  resarclendo,  novlsque  porro  commentis  ornando  Infellcem 
operam  addicunt. 

SI  corpora  planetarum  &  cometarum  clrca  solem  deferantur  a 
vorticibus ;  oportet  corpora  delata  &  vorticum  partes  proxlme  ambi- 
entes  eadem  velocitate  eademque  cursus  determlnatlone  moverl,  & 
eandem  habere  densltatem  vel  eandem  vlm  inertlse  pro  mole  materlse. 
Constat  vero  planetas  &  cometas,  dum  versantur  in  Ilsdem  reglonlbus 
caelorum,  velocitatibus  varlls  variaque  cursus  determlnatlone  moverl. 
Necessarlo  itaque  sequltur,  ut  fluldl  caelestls  partes  Illae,  quae  sunt 
ad  easdem  distantlas  a  sole,  revolvantur  eodem  tempore  In  plagas 
diversas  cum  dlversis  velocltatlbus  :  etenlm  alla  opus  erlt  dlrectione 
&  velocitate,  ut  translre  posslnt  planetae ;  aHa,  ut  transire  posslnt 
cometae.  Ouod  cum  expHcarl  nequeat ;  vel  fatendum  erlt,  universa 
corpora  caelestla  non  deferri  a  materia  vortlcls ;  vel  dlcendum  erit, 
eorundem  motus  repetendos  esse  non  ab  uno  eodemque  vortice,  sed 
a  pluribus  qul  ab  invlcem  diversi  slnt,  idemque  spatlum  soH  clrcum- 
jectum  pervadant. 

SI  plures  vortices  In  eodem  spatlo  contlnerl,  &  sese  mutuo  pene- 
trare  motlbusque  dlversis  revolvi  ponantur ;  quonlam  hl  motus  debent 
esse  conformes  delatorum  corporum  motlbus,  qui  sunt  summe  regu- 
lares,  &  peraguntur  In  sectlonibus  conicls  nunc  valde  eccentrlcis,  nunc 
ad  circulorum  proxlme  formam  accedentibus ;  jure  quaerendum  erlt, 
qui  fierl  possit,  ut  iidem  Integri  conserventur  nec  ab  actlonibus 
materlae  occursantls  per  tot  saecula  quicquam  perturbentur.  Sane  si 
motus  hi  fictitii  sunt  magls  composltl  &  dlfficIHus  expHcantur,  quam 
verl  IHi  motus  planetarum  &  cometarum ;  frustra  mihl  videntur  in 
phllosophiam  recipl  :  omnls  enim  causa  debet  esse  effectu  suo  slm- 
pHcIoT.  Concessa  fabularum  Hcentla,  affirmaverlt  aHquIs  planetas 
omnes  &  cometas  clrcumcingl  atmosphaeris,  adlnstar  teHuris  nostrae ; 
quae  quldem  hypothesls  rationi  magls  consentanea  videbitur  quam 
hypothesls  vortlcum.     Affirmaverlt  deinde  has  atmosphaeras,  ex  na- 


xxviii  EDITORIS  FRyEFATIO. 

tura  sua,  circa  solem  moveri  &  sectiones  conicas  describere ;  qui  sane 
motus  multo  facilius  concipi  potest,  quam  consimilis  motus  vorticum 
se  invicem  permeantium.  Denique  planetas  ipsos  &  cometas  circa 
solem  deferri  ab  atmosphaeris  suis  credendum  esse  statuat,  &  ob 
repertas  motuum  cselestium  causas  triumphum  agat.  Quisquis  autem 
hanc  fabulam  rejiciendam  esse  putet,  idem  &  alteram  fabulam  rejiciet: 
nam  ovum  non  est  ovo  simiHus,  quam  hypothesis  atmosphaerarum 
hypothesi  vorticum. 

Docuit  Galilmis  lapidis  projecti  &  in  parabola  moti  deflexionem 
a  cursu  rectiHneo  oriri  a  gravitate  lapidis  in  terram,  ab  occulta  sci- 
licet  quahtate.  Fieri  tamen  potest  ut  ahus  ahquis,  nasi  acutioris, 
philosophus  causam  aliam  comminiscatur.  Finget  igitur  ille  mate- 
riam  quandam  subtilem,  quae  nec  visu  nec  tactu  neque  uUo  sensu 
percipitur,  versari  in  regionibus  quae  proxime  contingunt  telluris 
superficiem.  Hanc  autem  materiam,  in  diversas  plagas,  variis  & 
plerumque  contrariis  motibus  ferri,  &  Hneas  paraboHcas  describere 
contendet.  Deinde  vero  lapidis  deflexionem  pulchre  sic  expediet,  & 
vulgi  plausum  merebitur.  Lapis,  inquiet,  in  fluido  iHo  subtiH  natat 
&  cursui  ejus  obsequendo,  non  potest  non  eandem  una  semitam  de- 
scribere.  Fluidum  vero  movetur  in  Hneis  paraboHcis ;  ergo  lapidem 
in  parabola  moveri  necesse  est.  Quis  nunc  non  mirabitur  acutis- 
simum  hujusce  philosophi  ingenium,  ex  causis  mechanicis,  materia 
sciHcet  &  motu,  phaenomena  naturae  ad  vulgi  etiam  captum  praeclare 
deducentis  ?  Quis  vero  non  subsannabit  bonum  iHum  Galilcsumy  qui 
magno  moHmine  mathematico  quaHtates  occultas,  e  philosophia  feli- 
citer  exclusas,  denuo  revocare  sustinuerit  ?  Sed  pudet  nugis  diutius 
immorari. 

Summa  rei  huc  tandem  redit  :  cometarum  ingens  est  numerus ; 
motus  eorum  sunt  summe  regulares,  &  easdem  leges  cum  planetarum 
motibus  observant.  Moventur  in  orbibus  conicis,  hi  orbes  sunt  valde 
admodum  eccentrici.  Feruntur  undique  in  omnes  caelorum  partes, 
&  planetarum  regiones  liberrime  pertranseunt,  &  saepe  contra  signo- 
rum  ordinem  incedunt.  Haec  phaenomena  certissime  confirmantur 
ex  observationibus  astronomicis  :  &  per  vortices  nequeunt  explicari. 
Imo,  ne  quidem  cum  vorticibus  planetarum  consistere  possunt.     Co- 


EDITORIS  PRyEFATIO.  xxlx 

metarum  motlbus  omnlno  locus  non   erit;    nlsl  materla  illa  fictitia 
penitus  e  caells  amoveatur. 

Si  enim  planetae  circum  solem  a  vorticibus  devehuntur ;  vorticum 
partes,  quae  proxime  ambiunt  unumquemque  planetam,  ejusdem 
densitatis  erunt  ac  planeta ;  uti  supra  dictum  est.  Itaque  materia  illa 
omnis,  quae  contigua  est  orbis  magni  perimetro,  parem  habebit  ac 
tellus  densltatem  :  quae  vero  jacet  intra  orbem  magnum  atque  orbem 
saturni,  vel  parem  vel  majorem  habeblt.  Nam  ut  constitutio  vorticis 
permanere  possit,  debent  partes  mlnus  densae  centrum  occupare, 
magis  densae  longlus  a  centro  ablre.  Cum  enlm  planetarum  tempora 
periodica  sint  In  ratlone  sesquiplicata  distantlarum  a  sole,  oportet 
partlum  vorticls  periodos  eandem  rationem  servare.  Inde  vero 
sequitur  vlres  centrifugas  harum  partium  fore  reciproce  ut  quadrata 
distantlarum.  Quae  Igltur  majore  intervallo  distant  a  centro,  nltuntur 
ab  eodem  recedere  minore  vi :  unde  si  minus  densae  fuerlnt,  necesse 
est  ut  cedant  vi  majori,  qua  partes  centro  propiores  ascendere  con- 
antur.  Ascendent  ergo  denslores,  descendent  mlnus  densae,  & 
locorum  fiet  Invlcem  permutatlo ;  donec  ita  fuerit  disposita  atque 
ordinata  materia  flulda  totlus  vortlcis,  ut  conquiescere  jam  posslt  in 
aequIHbrlo  constituta.  SI  bina  flulda,  quorum  dlversa  est  densltas, 
in  eodem  vase  contlnentur;  utique  futurum  est  ut  fluidum,  cujus  major 
est  densitas,  majore  vi  gravitatls  infimum  petat  locum  :  &  ratione 
non  abslmili  omnino  dlcendum  est,  densiores  vortlcis  partes  majore 
vi  centrlfuga  petere  supremum  locum.  Tota  igltur  Illa  &  multo 
maxlma  pars  vortlcis,  quae  jacet  extra  tellurls  orbem,  densltatem 
habebit  atque  adeo  vlm  inertlae  pro  mole  materiae,  quae  non  minor 
erit  quam  densltas  &  vis  inertlae  telluris  :  Inde  vero  cometis  trajectls 
orietur  ingens  reslstentia,  &  valde  admodum  sensibilis ;  ne  dlcam, 
quae  motum  eorundem  penitus  slstere  atque  absorbere  posse  merito 
videatur.  Constat  autem  ex  motu  cometarum  prorsus  regulari, 
nullam  ipsos  resistentlam  pati  quae  vel  mlnimum  sentlri  potest ; 
atque  adeo  neutiquam  in  materiam  ullam  incursare,  cujus  aHqua  sit 
vis  resistendi,  vel  prolnde  cujus  aHqua  sit  densltas  seu  vis  inertiae. 
Nam  resistentia  mediorum  oritur  vel  ab  inertla  riiateriae  fluidae,  vel  a 
defectu  lubricitatls.  Quae  orltur  a  defectu  lubricitatls,  admodum  ex- 
igua  est ;  &  sane  vix  observari  potest  in  fluidis  vulgo  notis,  nisi  valde 


XXX  EDITORIS  PR^FATIO. 

tenacia  fuerint  adinstar  olei  &  mellis.  Resistentia  quae  sentitur  in 
aere,  aqua,  hydrargyro,  &  hujusmodi  fluidis  non  tenacibus  fere  tota 
est  prioris  generis ;  &  minui  non  potest  per  ulteriorem  quemcunque 
gradum  subtilitatis,  manente  fluidi  densitate  vel  vi  inertise,  cui  semper 
proportionaHs  est  haec  resistentia ;  quemadmodum  clarissime  demon- 
stratum  est  ab  auctore  nostro  in  peregregia  resistentiarum  theoria, 
quae  paulo  nunc  accuratius  exponitur,  hac  secunda  vice,  &  per  experi- 
menta  corporum  cadentium  plenius  confirmatur. 

Corpora  progrediendo  motum  suum  fluido  ambienti  paulatim 
communicant,  &  communicando  amittunt,  amittendo  autem  retardan- 
tur.  Est  itaque  retardatio  motui  communicato  proportionaHs ; 
motus  vero  communicatus,  ubi  datur  corporis  progredientis  velocitas» 
est  ut  fluidi  densitas ;  ergo  retardatio  seu  resistentia  erit  ut  eadem 
fluidi  densitas ;  neque  ullo  pacto  tolli  potest,  nisi  a  fluido  ad  partes 
corporis  posticas  recurrente  restituatur  motus  amissus.  Hoc  autem 
dici  non  poterit,  nisi  impressio  fluidi  in  corpus  ad  partes  posticas 
sequalis  fuerit  impressioni  corporis  in  fluidum  ad  partes  anticas, 
hoc  est,  nisi  velocitas  relativa  qua  fluidum  irruit  in  corpus  a  tergo, 
sequalis  fuerit  velocitati  qua  corpus  irruit  in  fluidum,  id  est,  nisi 
velocitas  absoluta  fluidi  recurrentis  duplo  major  fuerit  quam  velocitas 
absoluta  fluidi  propulsi ;  quod  fieri  nequit.  NuIIo  igitur  modo  toIH 
potest  fluidorum  resistentia,  quae  oritur  ab  eorundem  densitate  & 
vi  inertise.  Itaque  concludendum  erit ;  fluidi  caelestis  nullam  esse 
vim  inertiae,  cum  nulla  sit  vis  resistendi :  nullam  esse  vim  qua  mo- 
tus  communicetur,  cum  nulla  sit  vis  inertiae  :  nullam  esse  vim  qua 
mutatio  quaelibet  vel  corporibus  singulis  vel  pluribus  inducatur, 
cum  nulla  sit  vis  qua  motus  communicetur ;  nullam  esse  omnino 
efficaciam,  cum  nulla  sit  facultas  mutationem  quamlibet  inducendi. 
Quidni  ergo  hanc  hypothesin,  quae  fundamento  plane  destituitur, 
quaeque  naturae  rerum  explicandae  ne  minimum  quidem  inservit,  in- 
eptissimam  vocare  liceat  &  philosopho  prorsus  indignam.  Qui  caelos 
materia  fluida  repletos  esse  volunt,  hanc  vero  non  inertem  esse  sta- 
tuunt ;  hi  verbis  tollunt  vacuum,  re  ponunt.  Nam  cum  hujusmodi 
materia  fluida  ratione  nulla  secerni  possit  ab  inani  spatio ;  disputatio 
tota  fit  de  rerum  nominibus,  non  de  naturis.  Quod  si  aliqui  sint  adeo 
usque  dediti  materiae,  ut  spatium  a  corporibus  vacuum  nullo  pacto 


EDITORIS  PR^FATIO.  xxxi 

admittendum   credere  velint ;    videamus   quo  tandem  oporteat  illos 
pervenire. 

Vel  enim  dicent  hanc,  quam  confingunt,  mundi  per  omnia  pleni 
constitutionem  ex  voluntate  dei  profectam  esse,  propter  eum  finem, 
ut  operationibus  naturae  subsidium  praesens  haberi  posset  ab  aethere 
subtilissimo  cuncta  permeante  &  implente ;  quod  tamen  dici  non 
potest,  siquidem  jam  ostensum  est  ex  cometarum  phaenomenis,  nullam 
esse  hujus  aetheris  efficaciam  :  vel  dicent  ex  voluntate  dei  profectam 
esse,  propter  finem  aHquem  ignotum;  quod  neque  dici  debet,  siquidem 
diversa  mundi  constitutio  eodem  argumento  pariter  stabiHri  posset : 
vel  denique  non  dicent  ex  voluntate  dei  profectam  esse,  sed 
ex  necessitate  quadam  naturae.  Tandem  igitur  delabi  oportet 
in  faeces  sordidas  gregis  impurissimi.  Hi  sunt  qui  somniant  fato 
universa  regi,  non  providentia ;  materiam  ex  necessitate  sua  semper 
&  ubique  extitisse,  infinitam  esse  &  aeternam.  Quibus  positis,  erit 
etiam  undiquaque  uniformis  :  nam  varietas  formarum  cum  necessitate 
omnino  pugnat.  Erit  etiam  immota  :  nam  si  necessario  moveatur  in 
plagam  ahquam  determinatam,  cum  determinata  aHqua  velocitate  ; 
pari  necessitate  movebitur  in  plagam  diversam  cum  diversa  velocitate  ; 
in  plagas  autem  diversas,  cum  diversis  velocitatibus,  moveri  non 
potest;  oportet  igitur  immotam  esse.  Neutiquam  profecto  potuit 
oriri  mundus,  pulcherrima  formarum  &  motuum  varietate  distinctus, 
nisi  ex  Hberrima  voluntate  cuncta  providentis  &  gubernantis  dei. 

Ex  hoc  igitur  fonte  promanarunt  ihae  omnes  quse  dicuntur  naturae 
leges  :  in  quibus  multa  sane  sapientissimi  consiHi,  nuHa  necessitatis 
apparent  vestigia.  Has  proinde  non  ab  incertis  conjecturis  petere, 
sed  observando  atque  experiendo  addiscere  debemus.  Qui  vere 
physicae  principia  legesque  rerum,  sola  mentis  vi  &  interno  rationis 
lumine  fretum,  invenire  se  posse  confidit ;  hunc  oportet  vel  statuere 
mundum  ex  necessitate  fuisse,  legesque  propositas  ex  eadem  necessitate 
sequi;  vel  si  per  voluntatem  dei  constitutus  sit  ordo  naturae,  se  tamen, 
homuncionem  miseHum,  quid  optimum  factu  sit  perspectum  habere. 
Sana  omnis  &  vera  philosophia  fundatur  in  phaenomenis  rerum  :  quae  si 
nos  vel  invitos  &  reluctantes  ad  hujusmodi  principia  deducunt,  in  qui- 
bus  clarissime  cernuntur  consiHum  optimum  &  dominium  summum 
sapientissimi  &  potentissimi  entis  ;  non  erunt  haec  ideo  non  admittenda 


xxxii  EDITORIS  PR^FATIO, 

principia,  quod  quibusdam  forsan  hominibus  minus  grata  sint  futura. 
His  vel  rniracula  vel  qualitates  occultae  dicantur,  quae  displicent : 
verum  nomina  malitiose  indita  non  sunt  ipsis  rebus  vitio  vertenda ; 
nisi  illud  fateri  tandem  velint,  utique  debere  philosophiam  in  atheismo 
fundari.  Horum  hominum  gratia  non  erit  labefactanda  philosophia, 
siquidem  rerum  ordo  non  vult  immutari. 

Obtinebit  igitur  apud  probos  &  aequos  judices  praestantissima 
philosophandi  ratio,  quae  fundatur  in  experimentis  &  observationibus. 
Huic  vero,  dici  vix  poterit,  quanta  lux  accedat,  quanta  dignitas, 
ab  hoc  opere  praeclaro  illustrissimi  nostri  auctoris ;  cujus  eximiam 
ingenii  feHcitatem,  difficillima  quaeque  problemata  enodantis,  &  ad  ea 
porro  pertingentis  ad  quae  nec  spes  erat  humanam  mentem  assurgere 
potuisse,  merito  admirantur  &  suspiciunt  quicunque  paulo  profundius 
in  hisce  rebus  versati  sunt.  Claustris  ergo  reseratis,  aditum  nobis 
aperuit  ad  pulcherrima  rerum  mysteria.  Systematis  mundani 
compagem  elegantissimam  ita  tandem  patefecit  &  penitius  perspec- 
tandam  dedit;  ut  nec  ipse,  si  nunc  revivisceret,  rex  Alphonsiis  vel 
simpHcitatem  vel  harmoniae  gratiam  in  ea  desideraret.  Itaque  naturae 
majestatem  propius  jam  Hcet  intueri,  &  dulcissima  contemplatione 
frui,  conditorum  vero  ac  dominum  universorum  impensius  colere 
&  venerari,  qui  fructus  est  philosophiae  multo  uberrimus.  Caecum 
esse  oportet,  qui  ex  optimis  &  sapientissimis  rerum  structuris  non 
statim  videat  fabricatoris  omnipotentis  infinitam  sapientiam  & 
bonitatem  :  insanum,  qui  profiteri  noHt. 

Extabit  igitur  eximium  Newtoni  opus  adversus  atheorum  impetus 
munitissimum  praesidium  :  neque  enim  aHcunde  feHcius,  quam  ex  hac 
pharetra,  contra  impiam  catervam  tela  deprompseris.  Hoc  sensit 
pridem,  &  in  pereruditis  concionibus  angHce  latineque  editis,  primus 
egregie  demonstravit  vir  in  omni  H*terarum  genere  praeclarus  idemque 
bonarum  artium  fautor  eximius  Richardus  Bentleius,  secuH  sui 
&  academiae  nostrse  magnum  ornamentum,  coHegii  nostri  S.  Tri^iitatis 
magister  dignissimus  &  integerrfmus.  Huic  ego  me  pluribus 
nominibus  obstrictum  fateri  debeo  :  huic  &  tuas  quae  debentur  gratias, 
lector  benevole,  non  denegabis.  Is  enim,  cum  a  longo  tempore 
celeberrimi  auctoris  amicitia  intima  frueretur,  (qua  etiam  apud 
posteros  censeri  non   minoris    aestimat,   quam    propriis    scriptis  quae 


ED2T0RIS  PRyEFATlO.  xxxiii 

literato  orbi  in  deliciis  sunt  inclarescere)  amici  simul  famae  &  scien- 
tiarum  incremento  consuluit.  Itaque  cum  exemplaria  prioris  editionis 
rarissima  admodum  &  immani  pretio  coemenda  superessent ;  suasit 
ille  crebris  efflagitationibus,  &  tantum  non  objurgando  perpulit 
denique  virum  prsestantissimum,  nec  modestia  minus  quam  eruditione 
summa  insignem,  ut  novam  hanc  operis  editionem,  per  omnia 
elimatam  denuo  &  egregiis  insuper  accessionibus  ditatam,  suis 
sumptibus  &  auspiciis  prodire  pateretur  :  mihi  vero,  pro  jure  suo, 
pensum  non  ingratum  demandavit,  ut  quam  posset  emendate  id  fieri 
curarem. 


CantabrigicB,  Maii  12,  17 13. 


RoGERUS  CoTES  collegii  .S.  Trinitatis  socius, 
astronomise  &  philosophise  experimentalis 
professor  Phmtiatms. 


4 


AUCTORIS    PRy^FATIO 

IN 

EDITIONEM    TERTIAM. 

T N  Editione  kacce   tertia,  quam    Henricus    Pemberton  M.D.   vir 

harum  rerum  peritissimus  ctcravit,  nonnulla  in  libro  secundo  de 

resistentia  mediorum  paulo  fusius  explica^itur  quam  antea,  &  adduntur 

experimenta  nova  de  resistentia  gravium   qucB  cadunt  in  aere.      In 

libro  tertio  argumentum  qua  hmam  i7i  orbe  suo  per  gravitatem  retineri 

probattir,  paulo  ficsitcs  exponitur :  &  Hovcb  adduntur  observationes  de 

proportione  diametrorum   Jovis   ad  hivicem    a   D.    Poundio  factcE. 

Addufitur  etiam  observationes  aliquot  cometcB  illitcs   qui  anno    1680 

apparuit,  a  D.  Kirk  mense  Novembri  in  Germania  habit(^,  qucB  nuper 

ad  manus  nostras  venerunt^  &  quartc^n  ope  constet  quam  prope  orbes 

parabolici  motibics  cometarum  respondent.      Et  orbita  cornetcs  illius, 

computaiite  Hslleio,  pazclo  accuratizcs  determinatur  qicam  antea,  idque 

in  ellipsi.    Et  ostenditur  cometam  in  hac  orbita  elliptica,  per  novem 

ccElortcm  signa,  non  mimis  accurate  cursum  peregisse,   qtca^n   solent 

planetcB  in  orbitis  ellipticis  per  astronomiam  definitis  moveri.       Orbis 

etiam  cometcB  qtci  anno  1723  apparuit,  a  D.  Bradleio  astronomice  apud 

Oxonienses  professore  comptctatuSy  adjicitur. 


IS.  NEWTON. 

Dabam  Londini,  Jan.  12,  1725-6. 


INDEX      CAPITUM 

TOTIUS      OPERIS. 

Pag. 
Definitiones, I 

AXIOMATA,    SIVE    LeGES    MoTUS, I3 

DE    MOTU    CORPORUM    LIBER   PRIMUS. 

Sect.  I.  De  methodo  ratiomim  primarum  &  ultimarum,     .  28 

II.  De  inve7itione  virium  centripetarum,       .         .         •  3^ 

III.  De  motu  corporum  in  conicis  sectio7iibus  eccentricis,  54 

IV.  De  inventione  orbium  ellipticorumy  parabolicorum 

&  hyperbolicorum  ex  umbilico  dato,    .         .         -65 

V.  De  inventione  orbium  tibi  umbilicics  rieuter  datur^    .        73 

VI.  De  inventione  motuum  in  orbibtcs  datis,  .         .104 

VII.  De  corporum  ascensu  &  descensu  rectilineo,     .         .112 

VIII.  De  inventione  orbium   in   quibus   corpora  viribus 

quibuscimque  centripetis  agitata  revolvuntur,        .     123 
IX.  De  motu  corportim  in  orbibus  mobilibus,  deque  motu 

apsidum, 129 

X.  De  motu  corporum   in  superficiebus  datis,  deque 

/unependulorum  motu  reciproco,  .         .         .142 

XI.  De  motu  corporum  viribus  centripetis  se  mutuo 

petentitim,  .         .         .         .         .         .         .160 

XII.  De  corporum  sphcBricorum  viribus  attractivis,         .      189 

XIII.  De  corporum  non  sphcsricorum  viribus  attractivis,     210 

XIV.  De  motu  corporum  mi^iimorum,  qucs  viribus  centri- 

petis  ad  singulas  magni  alicujus  corporis  partes 
tendentibus  agitantur,         .         .         .         .         .222 


xxxvi  INDEX  CAPITUM. 


DE    MOTU    CORPORUM    LIBER   SECUNDUS. 


Pag. 


Sect.  r.  De   ntotiL   corporum   quibiis   resistitur    in    ratione 

velocitatis,         .         .         .         .         .         •         .230 
II.  De  inotu  corporum  quibtis  resistiticr  in  duplicata 

ratione  velocitatis,      .         .         .         .         .  «239 

III.  De  mottc   corporum   quibus    resistitur  partim    in 

ratio7ie  velocitatis,  partim  in    ejusdem    ratio7ie 
dtcplicata,  .         .         .         .         .         •         .265 

IV.  De  corporum  circulari  motu  in  mediis  resistentibus,      274 
V.  De  densitate  &  compressione  fluidoricm,  deque  hydro- 

statica, 282 

VI.  De  motu  &  resistentia  corporum  ftmepejid^clorum,  .     294 

VII.  De  motufluidorum  &  resistentia  projectilium,  .     318 

VIII.  De  7notu  perfluida  propagato^         .         .         .         -357 

I X.  De  motu  circulari  flicidorum^  .         .         .         .         •     3  74 

DE  MUNDI  SYSTEMATE  LIBER  TERTIUS. 

Regul^  Philosophandi, '.         '     2>^7 

PHiENOMENA, 390 

Propositiones, 395 

SCHOLIUM    GeNERALE,         ...  .  .  .  .  .526 


PHILOSOPHI^    NATURALIS 

PRINCIPIA    MATHEMATICA. 

DEFINITIONES, 

DEFINITIO     I. 

Quantitas  materice  est  mensura  ejusdem   orta  ex  illius   densiiate  et 

magnitudine  conjuncti^n, 

AER  densitate  duplicata,  in  spatio  etiam  duplicato,  fit  quadruplus  ; 
in  triplicato  sextuplus.  Idem  intellige  de  nive  &  pulveribus 
per  compressionem  vel  liquefactionem  condensatis.  Et  par  est  ratio 
corporum  omnium,  quse  per  causas  quascunque  diversimode  conden- 
santur.  Medii  interea,  si  quod  fuerit,  interstitia  partium  libere  per- 
vadentis,  hic  nullam  rationem  habeo.  Hanc  autem  quantitatem  sub 
nomine  corporis  vel  massse  in  sequentibus  passim  intelligo.  Innotescit 
ea  per  corporis  cujusque  pondus  :  Nam  ponderi  proportionalem  esse 
reperi  per  experimenta  pendulorum  accuratissime  instituta,  uti  posthac 
docebitur. 

DEFINITIO     II. 

Quantitas  motus  est  mensura  ejusdem  orta  ex  velocitate  et  quantitate 

matericB  conjunctim, 

Motus  totius  est  summa  motuum  in  partibus  singuh*s  ;  ideoque  in 
corpore  duplo  majore,  aequah  cum  velocitate,  duplus  est,  &  dupla  cum 
velocitate  quadruplus. 

A 


DEFINITIONES. 


DEFINITIO      III. 


MatericB  vis  insita  est  potentia  resistendi,  qtia  corpus  unumqModque, 
quanticm  in  se  est,  perseverat  in  statu  suo  vel  quiescendi  vel  movefidi 
tmiformiter  in  directum. 

H^ec  semper  proportionalis  est  suo  corpori,  neque  differt  quic- 
quam  ab  inertia  massae,  nisi  in  modo  concipiendi.  Per  inertiam 
materia^  fit,  ut  corpus  omne  de  statu  suo  vel  quiescendi  vel  movendi 
difficulter  deturbetur.  Unde  etiam  vis  insita  nomine  significantissimo 
vis  inertiae  dici  possit.  Exercet  vero  corpus  hanc  vim  solummodo 
in  mutatione  status  sui  per  vim  aliam  in  se  impressam  facta ; 
estque  exercitium  illud  sub  diverso  respectu  &  resistentia  &  impetus  : 
Resistentia,  quatenus  corpus  ad  conservandum  statum  suum  reluctatur 
vi  impressse ;  impetus,  quatenus  corpus  idem,  vi  resistentis  obstaculi 
difficulter  cedendo,  conatur  statum  obstaculi  illius  mutare.  Vulgus 
resistentiam  quiescentibus  &  impetum  moventibus  tribuit :  sed 
motus  &  quies,  uti  vulgo  concipiuntur,  respectu  solo  distinguuntur 
ab  invicem;  neque  semper  vere  quiescunt,  quae  vulgo  tanquam 
quiescentia  spectantur. 


DEFINITIO     IV. 

J^isjmpressa  est  actio  in  corpus  exercita,  ad  mutandum  ejus  statum 
vel  quiescendi  vel  movendi  uniformiter  in  directum, 

Consistit  haec  vis  in  actione  sola,  neque  post  actionem  permanet 
in  corpore.  Perseverat  enim  corpus  in  statu  omni  novo  per  solam 
vim  inertiae.  Est  autem  vis  impressa  diversarum  originum,  ut  ex 
ictu,  ex  pressione,  ex  vi  centripeta. 


DEFINITJONES. 


DEFINITIO     V. 


Vis  centripeta  est,  qita  corpora  verstis  punctum  aliqicod,  ta^iqtcam  ad 
centrum,  undique  trahu^itur,  impelluntur,  vel  utcunqice  tendzcnt. 

Hujus  generis  est  gravitas,  qua  corpora  tendunt  ad  centrum 
terrae ;  vis  magnetica,  qua  ferrum  petit  magnetem ;  &  vis  illa,  quae- 
cunque  sit,  qua  planetae  perpetuo  retrahuntur  a  motibus  rectilineis, 
&  in  lineis  curvis  revolvi  coguntur.  Lapis,  in  funda  circumactus, 
a  circumagente  manu  abire  conatur ;  &  conatu  suo  fundam  distendit, 
eoque  fortius  quo  celerius  revolvitur ;  &,  quamprimum  dimittitur, 
avolat.  Vim  conatui  illi  contrariam,  qua  funda  lapidem  in  manum 
perpetuo  retrahit  &  in  orbe  retinet,  quoniam  in  manum  ceu  orbis 
centrum  dirigitur,  centripetam  appello.  Et  par  est  ratio  corporum 
omnium,  quse  in  gyrum  aguntur.  Conantur  ea  omnia  a  centris 
orbium  recedere ;  &  nisi  adsit  vis  aliqua  conatui  isti  contraria, 
qua  cohibeantur  &  in  orbibus  retineantur,  quamque  ideo  centripetam 
appello,  abibunt  in  rectis  lineis  uniformi  cum  motu.  Projectile» 
si  vi  gravitatis  destitueretur,  non  deflecteretur  in  terram,  sed  in 
linea  recta  abiret  in  coelos ;  idque  uniformi  cum  motu,  si  modo 
aeris  resistentia  tolleretur.  Per  gravitatem  suam  retrahitur  a  cursu 
rectilineo  &  in  terram  perpetuo  flectitur,  idque  magis  vel  minus 
pro  gravitate  sua  &  velocitate  motus.  Quo  minor  fuerit  ejus  gravitas 
pro  quantitate  materiae,  vel  major  velocitas  quacum  projicitur,  eo 
minus  deviabit  a  cursu  rectiHneo  &  longius  perget.  Si  globus  plum- 
beus,  data  cum  velocitate  secundum  lineam  horizontalem  a  montis 
alicujus  vertice  vi  pulveris  tormentarii  projectus,  pergeret  in  Hnea 
curva  ad  distantiam  duorum  milliarium,  priusquam  in  terram  deci- 
deret :  hic  dupla  cum  velocitate  quasi  duplo  longius  pergeret,  & 
decupla  cum  velocitate  quasi  decuplo  longius  :  si  modo  aeris  resi- 
stentia  tolleretur.  Et  augendo  velocitatem  augeri  posset  pro  lubitu 
distantia  in  quam  projiceretur,  &  minui  curvatura  lineae  quam  de- 
scriberet,  ita  ut  tandem  caderet  ad  distantiam  graduum  decem  vel 
triginta  vel  nonaginta;  vel  etiam  ut  terram  totam  circuiret  vel 
denique  ut  in  cceIos  abiret,  &  motu  abeundi  pergeret  in  infinitum. 
Et  eadem  ratione,  qua  projectile  vi  gravitatis  in  orbem  flecti  posset  & 


.  DEFINITIONES. 

terram  totam  circuire,  potest  &  luna  vel  vi  gravitatis,  si  modo  gravis 
sit,  vel  alia  quacunque  vi,  qua  in  terram  urgeatur,  retrahi  semper  a 
cursu  rectilineo  terram  versus,  &  in  orbem  suum  flecti  :  &  sine 
tali  vi  luna  in  orbe  suo  retineri  non  potest.  Hsec  vis,  si  justo  minor 
esset,  non  satis  flecteret  lunam  de  cursu  rectilineo  :  si  justo  major, 
plus  satis  flecteret,  ac  de  orbe  terram  versus  deduceret.  Requiritur 
quippe,  ut  sit  justse  magnitudinis  :  &  Mathematicorum  est  invenire 
vim,  qua  corpus  in  dato  quovis  orbe  data  cum  velocitate  accurate 
retineri  possit;  &  vicissim  invenire  viam  curviHneam,  in  quam  corpus 
e  dato  quovis  loco  data  cum  velocitate  egressum  a  data  vi  flectatur. 
Est  autem  vis  hujus  centripet^  quantitas  trium  generum,  absoluta, 
acceleratrix,  &  motrix. 


DEFINITIO     VI. 

Vis  centripetcB  quantitas  absohita  est  mefistira  ejusdem  major  vel 
minor  pro  efficacia  causce  eam  propagantis  a  centro  per  regiones 
in  circuitu. 

Ut  vis  magnetica  pro  mole  magnetis  vel  intensione  virtutis  major 
in  uno  magnete,  minor  in  aho. 


DEFINITIO     VII. 

Vis  centripetcE    quantitas    acceleratrix  est  ipsius   menstira   velocitati 
proportionalis,  quam  dato  tempore  generat, 

Uti  virtus  magnetis  ejusdem  major  in  minori  distantia,  minor 
in  majori :  vel  vis  gravitans  major  in  valHbus,  minor  in  cacumini- 
bus  altorum  montium,  atque  adhuc  minor  (ut  posthac  patebit) 
in  majoribus  distantiis  a  globo  terrae ;  in  sequaHbus  autem  distantiis 
eadem  undique,  propterea  quod  corpora  omnia  cadentia  (gravia  an 
levia,  magna  an  parva)  sublata  aeris  resistentia,  sequaHter  accelerat. 


DEFINITIONES. 


DEFINITIO     VIII. 


Vis  ce7itripetcB  quantitas  motrix  est    ipsius   mensura  proportionalis 
motui,  quem  dato  tempore  generat, 

Utl  pondus  majus  in  majore  corpore,  minus  in  minore ;  &  in 
corpore  eodem  majus  prope  terram,  minus  in  coelis.  Haec  quantitas 
est  corporis  totius  centripetentia  seu  propensio  in  centrum,  &  (ut  ita 
dicam)  pondus ;  &  innotescit  semper  per  vim  ipsi  contrariam  & 
sequalem,  qua  descensus  corporis  impediri  potest. 

Hasce  virium  quantitates  brevitatis  gratia  nominare  licet  vires 
motrices,  acceleratrices,  &  absolutas ;  &  dlstinctionis  gratla  referre 
ad  corpora  centrum  petentia,  ad  corporum  loca,  &  ad  centrum 
virium  :  nimirum  vim  motricem  ad  corpus,  tanquam  conatum  totius 
in  centrum  ex  conatibus  omnium  partium  compositum ;  &  vim 
acceleratricem  ad  locum  corporis,  tanquam  efficaciam  quandam,  de 
centro  per  loca  singula  in  circultu  diffiisam,  ad  movenda  corpora 
quae  in  ipsis  sunt;  vlm  autem  absolutam  ad  centrum,  tanquam 
causa  aliqua  prseditum,  slne  qua  vires  motrices  non  propagantur 
per  regiones  in  circuitu ;  sive  causa  illa  sit  corpus  allquod  centrale 
(quale  est  magnes  in  centro  vls  magnetlcae,  vel  terra  in  centro  vis 
gravitantis)  slve  alia  aliqua  quae  non  apparet.  Mathematicus 
duntaxat  est  hic  conceptus  :  Nam  virlum  causas  &  sedes  physicas 
jam  non  expendo. 

Est  igitur  vis  acceleratrix  ad  vim  motricem  ut  celeritas  ad  motum. 
Oritur  enlm  quantltas  motus  ex  celeritate  &  ex  quantltate  materiae, 
&  vis  motrix  ex  vi  acceleratrice  &  ex  quantitate  ejusdem  materiae 
conjunctlm.  Nam  summa  actionum  vis  acceleratrlcis  in  slngulas 
corporls  particulas  est  vls  motrix  totlus.  Unde  juxta  superficiem 
terrae,  ubi  gravltas  acceleratrix  seu  vis  gravitans  in  corporlbus 
universis  eadem  est,  gravitas  motrix  seu  pondus  est  ut  corpus  :  at  si 
in  regiones  ascendatur  ubi  gravitas  acceleratrix  fit  minor,  pondus 
pariter  mlnuetur,  eritque  semper  ut  corpus  &  gravitas  acceleratrix 
conjunctlm.  Sic  in  regionibus  ubi  gravitas  acceleratrix  duplo 
minor  est,  pondus  corporis  duplo  vel  triplo  minoris  erit  quadruplo 
vel  sextuplo  minus. 


DEFINITIONES. 


Porro  attractiones  &  impulsus  eodem  sensu  acceleratrices  & 
motrices  nomino.  Voces  autem  attractionis,  impulsus,  vel  propen- 
sionis  cujuscunque  in  centrum,  indifferenter  &  pro  se  mutuo  promiscue 
usurpo ;  has  vires  non  physice  sed  mathematice  tantum  considerando. 
Unde  caveat  lector,  ne  per  hujusmodi  voces  cogitet  me  speciem  vel 
modum  actionis  causamve  aut  rationem  physicam  aHcubi  definire,  vel 
centris  (quae  sunt  puncta  mathematica)  vires  vere  &  physice  tribuere ; 
si  forte  aut  centra  trahere,  aut  vires  centrorum  esse  dixero. 


Scholium, 

Hactenus  voces  minus  notas,  quo  sensu  in  sequentibus  accipiendae 
sint,  expHcare  visum  est.  Tempus,  spatium,  locus  &  motus,  sunt 
omnibus  notissima.  Notandum  tamen,  quod  vulgus  quantitates 
hasce  non  aHter  quam  ex  relatione  ad  sensibiHa  concipiat.  Et 
inde  oriuntur  prsejudicia  quaedam,  quibus  toHendis  convenit  easdem 
in  absolutas  &  relativas,  veras  &  apparentes,  mathematicas  &  vulgares 
distingui. 

I.  Tempus  absolutum,  verum,  &  mathematicum,  in  se  &  natura 
sua  sine  relatione  ad  externum  quodvis,  aequabiHter  fluit,  aHoque 
nomine  dicitur  duratio  :  Relativum,  apparens,  &  vulgare  est  sensibiHs 
&  externa  quaevis  durationis  per  motum  mensura  (seu  accurata 
seu  inaequabiHs)  qua  vulgus  vice  veri  temporis  utitur ;  ut  hora,  dies, 
mensis,  annus. 

II.  Spatium  absolutum,  natura  sua  sine  relatione  ad  externum 
quodvis,  semper  manet  similare  &  immobile  :  Relativum  est  spatii 
hujus  mensura  seu  dimensio  quaeHbet  mobiHs,  quae  a  sensibus  nostris 
per  situm  suum  ad  corpora  definitur,  &  a  vulgo  pro  spatio  immobiH 
usurpatur  :  uti  dimensio  spatii  subterranei,  aerii  vel  ccelestis  definita 
per  situm  suum  ad  terram.  Idem  sunt  spatium  absokitum  & 
relativum,  specie  &  magnitudine;  sed  non  permanent  idem  semper 
numero.  Nam  si  terra,  verbi  gratia,  moveatur,  spatium  aeris  nostri, 
quod  relative  &  respectu  terrae  semper  manet  idem,  nunc  erit  una 
pars  spatii  absoluti  in  quam  aer  transit,  nunc  aHa  pars  ejus ;  &  sic 
absohite  mutabitur  perpetuo. 


DEFINITIONES.  .  ^, 

III.  Locus  est  pars  spatii  quam  corpus  occupat,  estque  pro  ratione 
spatii  vel  absolutus  vel  relativus.  Pars,  inquam,  spatii ;  non  situs  cor- 
poris,  vel  superficies  ambiens.  Nam  solidorum  aequalium  ^quales 
semper  sunt  loci ;  Superficies  autem  ob  dissimilitudinem  figurarum  ut 
plurimum  inaequales  sunt;  Situs  vero  proprie  loquendo  quantitatem 
non  habent,  neque  tam  sunt  loca  quam  affectiones  locorum.  Motus 
totius  idem  est  cum  summa  motuum  partium ;  hoc  est,  translatio  totius 
de  suo  loco  eadem  est  cum  summa  translationum  partium  de  locis 
suis ;  ideoque  locus  totius  idem  est  cum  summa  locorum  partium,  & 
propterea  internus  &  in  corpore  toto. 

IV.  Motus  absolutus  est  translatio  corporis  de  loco  absoluto  in 
locum  absolutum,  relativus  de  relativo  in  relativum.  Sic  in  navi  quse 
veHs  passis  fertur,  relativus  corporis  locus  est  navigii  regio  illa  in  qua 
corpus  versatur,  seu  cavitatis  totius  pars  illa  quam  corpus  implet, 
quaeque  adeo  movetur  una  cum  navi  :  &  quies  relativa  est  permansio 
corporis  in  eadem  illa  navis  regione  vel  parte  cavitatis.  At  quies 
vera  est  permansio  corporis  in  eadem  parte  spatii  ilHus  immoti,  in 
qua  navis  ipsa  una  cum  cavitate  sua  &  contentis  universis  movetur. 
Unde  si  terra  vere  quiescat,  corpus,  quod  relative  quiescit  in  navi, 
movebitur  vere  &  absolute  ea  cum  velocitate,  qua  navis  movetur  in 
terra.  Sin  terra  etiam  moveatur ;  orietur  verus  &  absolutus  corporis 
motus,  partim  ex  terrse  motu  vero  in  spatio  immoto,  partim  ex  navis 
motu  relativo  in  terra.  Et  si  corpus  etiam  mbveatur  relative  in 
navi ;  orietur  verus  ejus  motus,  partim  ex  vero  motu  terrae  in 
spatio  immoto,  partim  ex  relativis  motibus  tum  navis  in  terra  tum 
corporis  in  navi  :  &  ex  his  motibus  relativis  orietur  corporis 
motus  relativus  in  terra.  Ut  si  terrae  pars  illa,  ubi  navis  versatur, 
moveatur  vere  in  orientem  cum  velocitate  partium  looio;  &  velis 
ventoque  feratur  navis  in  occidentem  cum  velocitate  partium  decem ; 
nauta  autem  ambulet  in  navi  orientem  versus  cum  velocitatis  parte 
una  :  movebitur  nauta  vere  &  absolute  in  spatio  immoto  cum  velo- 
citatis  partibus  loooi  in  orientem,  &  relative  in  terra  occidentem 
versus  cum  velocitatis  partibus  novem. 

Tempus  absolutum  a  relativo  distinguitur  in  Astronomia  per 
aequationem  temporis  vulgi.  Inaequales  enim  sunt  dies  naturales^ 
qui  vulgo  tanquam  aequales  pro  mensura  temporis  habentur.  Hanc 
inaequaHtatem  corrigunt  Astronomi,  ut  ex  veriore  tempore  mensurent 


8  DEFINITIONES. 

motus  coelestes.  Possibile  est,  ut  nullus  sit  motus  aequabilis,  quo 
tempus  accurate  mensuretur.  Accelerari  &  retardari  possunt  motus 
omnes,  sed,  fluxus  temporis  absoluti  mutari  nequit.  Eadem  est 
duratio  seu  perseverantia  existentiae  rerum,  sive  motus  sint  celeres, 
sive  tardi,  sive  nulli  :  proinde  haec  a  mensuris  suis  sensibilibus  merito 
distinguitur,  &  ex  iisdem  colligitur  per  aequationem  astronomicam. 
Hujus  autem  aequationis  in  determinandis  phaenomenis  necessitas, 
tum  per  experimentum  horologii  oscillatorii,  tum  etiam  per  eclipses 
satellitum  Jovis  evincitur. 

Ut  ordo  partium  temporis  est  immutabilis,  sic  etiam  ordo  partium 
spatii.  Moveantur  hae  de  locis  suis,  &  movebuntur  (ut  ita  dicam)  de 
seipsis.  Nam  tempora  &  spatia  sunt  sui  ipsorum  &  rerum  omnium 
quasi  loca.  In  tempore  quoad  ordinem  successionis,  in  spatio  quoad 
ordinem  situs,  locantur  universa.  De  illorum  essentia  est  ut  sint 
loca :  &  loca  primaria  moveri  absurdum  est.  Haec  sunt  igitur 
absoluta  loca;  &  solae  translationes  de  his  locis  sunt  absoluti 
motus. 

Verum  quoniam  h^  spatii  partes  videri  nequeunt,  &  ab  invicem 
per  sensus  nostros  distingui ;  earum  vice  adhibemus  mensuras 
sensibiles.  Ex  positionibus  enim  &  distantiis  rerum  a  corpore  ali- 
quo,  quod  spectamus  ut  immobile,  definimus  loca  universa  :  deinde 
etiam  &  omnes  motus  aestimamus  cum  respectu  ad  praedicta  loca, 
quatenus  corpora  ab  iisdem  transferri  concipimus.  Sic  vice  locorum 
&  motuum  absolutorum  relativis  utimur;  nec  incommode  in  rebus 
humanis  :  in  philosophicis  autem  abstrahendum  est  a  sensibus.  Fieri 
etenim  potest,  ut  nullum  revera  quiescat  corpus,  ad  quod  loca 
motusque  referantur. 

Distinguuntur  autem  quies  &  motus  absoluti  &  relativi  ab  invicem 
per  proprietates  suas  &  causas  &  effectus.  Quietis  proprietas  est, 
quod  corpora  vere  quiescentia  quiescunt  inter  se.  Ideoque  cum 
possibile  sit,  ut  corpus  aliquod  in  regionibus  fixarum,  aut  longe  ultra, 
quiescat  absolute ;  sciri  autem  non  possit  ex  situ  corporum  ad 
invicem  in  regionibus  nostris,  horumne  aliquod  ad  longinquum  illud 
datam  positionem  servet  necne;  quies  vera  ex  horum  situ  inter  se 
definiri  nequit. 

Motus  proprietas  est,  quod  partes,  quae  datas  servant  positiones 
ad    tota,    participant   motus    eorundem    totorum.       Nam    gyrantium 


DEFINITIONES.  g 

partes  omnes  conantur  recedere  ab  axe  motus,  &  progredientium 
impetus  oritur  ex  conjuncto  impetu  partium  singulanim.  Motis 
igitur  corporibus  ambientibus,  moventur  quae  in  ambientibus  rela- 
tive  quiescunt.  Et  propterea  motus  verus  &  absolutus  definiri 
nequit  per  translationem  e  vicinia  corporum,  quae  tanquam  quies- 
centia  spectantur.  Debent  enim  corpora  externa  non  solum  tanquam 
quiescentia  spectari,  sed  etiam  vere  quiescere.  Alioquin  inclusa 
omnia,  praeter  translationem  e  vicinia  ambientium,  participabunt 
etiam  ambientium  motus  veros ;  &  sublata  illa  translatione  non 
vere  quiescent,  sed  tanquam  quiescentia  solummodo  spectabuntur. 
Sunt  enim  ambientia  ad  inclusa,  ut  totius  pars  exterior  ad  partem 
interiorem,  vel  ut  cortex  ad  nucleum.  Moto  autem  cortice,  nu- 
cleus  etiam,  sine  translatione  de  vicinia  corticis,  ceu  pars  totius, 
movetur. 

Prsecedenti  proprietati  affinis  est,  quod  moto  loco  movetur  una 
locatum  :  ideoque  corpus,  quod  de  loco  moto  movetur,  participat 
etiam  loci  sui  motum.  Motus  igitur  omnes,  qui  de  locis  motis 
fiunt,  sunt  partes  solummodo  motuum  integrorum  &  absolutorum  : 
&  motus  omnis  integer  componitur  ex  motu  corporis  de  loco  suo 
primo,  &  motu  loci  hujus  de  loco  suo,  &  sic  deinceps  ;  usque  dum 
perveniatur  ad  locum  immotum,  ut  in  exemplo  nautse  supra  me- 
morato.  Unde  motus  integri  &  absoluti  non  nisi  per  loca  immota 
definiri  possunt :  &  propterea  hos  ad  loca  immota,  relativos  ad 
mobiha  supra  retuH.  Loca  autem  immota  non  sunt,  nisi  quse 
omnia  ab  infinito  in  infinitum  datas  servant  positiones  ad  invicem ; 
atque  adeo  semper  manent  immota,  spatiumque  constituunt  quod 
immobile  appello. 

Causae,  quibus  motus  veri  &  relativi  distinguuntur  ab  invicem, 
sunt  vires  in  corpora  impressae  ad  motum  generandum.  Motus  verus 
nec  generatur  nec  mutatur,  nisi  per  vires  in  ipsum  corpus  motum 
impressas  :  at  motus  relativus  generari  &  mutari  potest  sine  viribus 
impressis  in  hoc  corpus.  Sufticit  enim  ut  imprimantur  in  aHa  solum 
corpora  ad  quae  fit  relatio,  ut  iis  cedentibus  mutetur  relatio  illa,  in 
qua  hujus  quies  vel  motus  relativus  consistit.  Rursum  motus  verus 
a  viribus  in  corpus  motum  impressis  semper  mutatur ;  at  motus 
relativus  ab  his  viribus  non  mutatur  necessario.  Nam  si  eaedem 
vires  in  aHa  etiam  corpora,  ad  quae  fit  relatio,  sic  imprimantur,  ut 


lO 


DEFINITIONES, 


situs  relativus  conservetur,  conservabitur  relatio  in  qua  motus  rela- 
tivus  consistit.  Mutari  igitur  potest  motus  omnis  relativus,  ubi 
verus  conservatur,  &  conservari  ubi  verus  mutatur;  &  propterea 
motus  verus  in  ejusmodi  relationibus  minime  consistit. 

Effectus,  quibus  motus  absoluti  &  relativi  distinguuntur  ab 
invicem,  sunt  vires  recedendi  ab  axe  motus  circularis.  Nam  in 
motu  circulari  nude  relativo  hse  vires  nullae  sunt,  in  vero  autem 
&  absoluto  majores  vel  minores  pro  quantitate  motus.  Si  pendeat 
situla  a  filo  praelongo,  agaturque  perpetuo  in  orbem,  donec  filum 
a  contorsione  admodum  rigescat,  dein  impleatur  aqua,  &  una  cum 
aqua  quiescat ;  tum  vi  aliqua  subitanea  agatur  motu  contrario  in 
orbem,  &  filo  se  relaxante,  diutius  perseveret  in  hoc  motu ;  super- 
ficies  aquae  sub  initio  plana  erit,  quemadmodum  ante  motum  vasis  : 
At  postquam  vas,  vi  in  aquam  paulatim  impressa,  effecit  ut  haec 
quoque  sensibiHter  revolvi  incipiat ;  recedet  ipsa  paulatim  a  medio, 
ascendetque  ad  latera  vasis,  figuram  concavam  induens  (ut  ipse 
expertus  sum),  &  incitatiore  semper  motu  ascendet  magis  &  magis, 
donec  revolutiones  in  aequaHbus  cum  vase  temporibus  peragendo, 
quiescat  in  eodem  relative.  Indicat  hic  ascensus  conatum  rece- 
dendi  ab  axe  motus,  &  per  talem  conatum  innotescit  &  mensura- 
tur  motus  aquae  circularis  verus  &  absolutus,  motuique  relativo 
hic  omnino  contrarius.  Initio,  ubi  maximus  erat  aquae  motus 
relativus  in  vase,  motus  ille  nullum  excitabat  conatum  recedendi 
ab  axe  :  aqua  non  petebat  circumferentiam  ascendendo  ad  latera 
vasis,  sed  plana  manebat,  &  propterea  illius  verus  motus  circularis 
nondum  inceperat.  Postea  vero,  ubi  aquae  motus  relativus  decrevit, 
ascensus  ejus  ad  latera  vasis  indicabat  conatum  recedendi  ab  axe  ; 
atque  hic  conatus  monstrabat  motum  illius  circularem  verum  per- 
petuo  crescentem,  ac  tandem  maximum  factum  ubi  aqua  quiescebat 
in  vase  relative.  Quare  conatus  iste  non  pendet  a  translatione 
aquae  respectu  corporum  ambientium,  &  propterea  motus  circularis 
verus  per  tales  translationes  definiri  nequit.  Unicus  est  corporis 
cujusque  revolventis  motus  vere  circularis,  conatui  unico  tanquam 
proprio  &  adaequato  effectui  respondens  :  motus  autem  relativi 
pro  variis  relationibus  ad  externa  innumeri  sunt  ;  &  relationum 
instar,  effectibus  veris  omnino  destituuntur,  nisi  quatenus  verum 
illum  &  unicum  motum  participant.     Unde  &  in  systemate  eorum. 


DEFINITIONES.  I  j 

qui  ccelos  nostros  infra  coelos  fixarum  in  orbem  revolvi  volunt, 
&  planetas  secum  deferre;  singulae  ccelorum  partes,  &  planetae 
qui  relative  quidem  in  coelis  suis  proximis  quiescunt,  moventur 
vere.  Mutant  enim  positiones  suas  ad  invicem  (secus  quam  fit  in 
vere  quiescentibus)  unaque  cum  coelis  delati  participant  eorum 
motus,  &  ut  partes  revolventium  totorum,  ab  eorum  axibus  recedere 
conantur. 

Quantitates  relativse  non  sunt  igitur  eae  ipsae  quantitates,  quarum 
nomina  prae  se  ferunt,  sed  sunt  earum  mensurae  illae  sensibiles  (verae 
an  errantes)  quibus  vulgus  loco  quantitatum  mensuratarum  utitur. 
At  si  ex  usu  definiendae  sunt  verborum  significationes ;  per  nomina 
illa  temporis,  spatii,  loci  &  motus  proprie  intelligendae  erunt  hae 
mensurae  sensibiles ;  &  sermo  erit  insolens  &  pure  mathematicus,  si 
quantitates  mensuratae  hic  intelHgantur.  Proinde  vim  inferunt  sacris 
Hteris,  qui  voces  hasce  de  quantitatibus  mensuratis  ibi  interpre- 
tantur.  Neque  minus  contaminant  mathesin  &  philosophiam,  qui 
quantitates  veras  cum  ipsarum  relationibus  &  vulgaribus  mensuris 
confundunt. 

Motus  quidem  veros  corporum  singulorum  cognoscere,  &  ab 
apparentibus  actu  discriminare,  difficillimum  est;  propterea  quod 
partes  spatii  iUius  immobilis,  in  quo  corpora  vere  moventur,  non 
incurrunt  in  sensus.  Causa  tamen  non  est  prorsus  desperata.  Nam 
argumenta  desumi  possunt,  partim  ex  motibus  apparentibus  qui  sunt 
motuum  verorum  differentiae,  partim  ex  viribus  quae  sunt  motuum 
verorum  causae  &  effectus.  Ut  si  globi  duo,  ad  datam  ab  invicem 
distantiam  filo  intercedente  connexi,  revolverentur  circa  commune 
gravitatis  centrum ;  innotesceret  ex  tensione  fili  conatus  globorum 
recedendi  ab  axe  motus,  &  inde  quantitas  motus  circularis  computari 
posset.  Deinde  si  vires  quaelibet  aequales  in  alternas  globorum 
facies  ad  motum  circularem  augendum  vel  minuendum  simul  im- 
primerentur,  innotesceret  ex  aucta  vel  diminuta  fiH  tensione 
augmentum  vet  decrementum  motus ;  &  inde  tandem  inveniri 
possent  facies  globorum  in  quas  vires  imprimi  deberent,  ut  motus 
maxime  augeretur ;  id  est,  facies  postic^,  sive  quae  in  motu  circulari 
sequuntur.  Cognitis  autem  faciebus'  quae  sequuntur,  &  faciebus 
oppositis  quae  praecedunt,  cognosceretur  determinatio  motus.  In 
hunc   modum    inveniri    posset    &    quantitas    &    determinatio   motus 


I^  DEFINITIONES. 

hujus  circularis  in  vacuo  quovis  immenso,  ubi  nihil  extaret  externum 
&  sensibile  quocum  globi  conferri  possent.  Si  jam  constituerentur 
in  spatio  illo  corpora  aHqua  longinqua  datam  inter  se  positionem 
servantia,  quaHa  sunt  steHae  fixae  in  regionibus  ccelorum :  sciri  quidem 
non  posset  ex  relativa  globorum  translatione  inter  corpora,  utrum 
his  an  iHis  tribuendus  esset  motus.  At  si  attenderetur  ad  filum, 
&  deprehenderetur  tensionem  ejus  iham  ipsam  esse  quam  motus 
globorum  requireret;  conckidere  Hceret  motum  esse  globorum, 
&  corpora  quiescere;  &  tum  demum  ex  translatione  globorum 
inter  corpora,  determinationem  hujus  motus  colligere.  Motus  autem 
veros  ex  eorum  causis,  effectibus,  &  apparentibus  differentiis  colligere, 
&  contra  ex  motibus  seu  veris  seu  apparentibus  eorum  causas 
&  effectus,  docebitur  fusius  in  sequentibus.  Hunc  enim  in  finem 
tractatum  sequentem  composui. 


A  X lOMA  TA, 


SIVE 


LEGES    MOTUS. 


LE  X    I 


Corpus  omne  perseverare  in  statu  suo  quiescendi  vel  movendi  uni- 
formiter  in  directum,  nisi  quatenus  illud,  a  viribus  impressis  cogitur 
statum  suum  mutare, 

PROJECTILIA  perseverant  in  motibus  suis,  nisi  quatenus  a 
resistentia  aeris  retardantur,  &  vi  gravitatis  impelluntur  deor- 
sum.  Trochus,  cujus  partes  cohserendo  perpetuo  retrahunt  sese  a 
motibus  rectiHneis,  non  cessat  rotari,  nisi  quatenus  ab  aere  retardatur. 
Majora  autem  planetarum  &  cometarum  corpora  motus  suos  & 
progressivos  &  circulares  in  spatiis  minus  resistentibus  factos  con- 
servant  diutius. 

LE  X     II. 

Mutationem  motus  proportionalein  esse  vi  ^notrici  impresscs,   &  fieri 
sectmdum  lineam  rectam  qua  vis  illa  imprimitur, 

Si  vis  aliqua  motum  quemvis  generet ;  dupla  duplum,  tripla 
triplum  generabit,  sive  simul  &  semel,  sive  gradatim  &  successive 
impressa  fuerit.  Et  hic  motus  (quoniam  in  eandem  semper  plagam 
cum  vi  generatrice  determinatur)  si  corpus  antea  movebatur,  motui 
ejus  vel  conspiranti  additur,  vel  contrario  subducitur,  vel  obliquo 
obHque  adjicitur,  &  cum  eo  secuhdum  utriusque  determinationem 
componitur. 


14  AXIOMATA,  SIVE 


L  E  X     III 


Adioni  contrariam  semper  &  cEqualem  esse  reactiofie^n :  sive  corportwt 
dtiorum  actiones  iit  se  miituo  se^nper  esse  csquales  &  in  partes 
contrarias  dirigi, 

Quicquid  premit  vel  trahit  alterum,  tantundem  ab  eo  premitur 
vel  trahitur.  Si  quis  lapidem  digito  premit,  premitur  &  hujus 
digitus  a  lapide.  Si  equus  lapidem  funi  alligatum  trahit,  retrahe- 
tur  etiam  &  equus  (ut  ita  dicam)  aequaliter  in  lapidem  :  nam  funis 
utrinque  distentus  eodem  relaxandi  se  conatu  urgebit  equum  versus 
lapidem,  ac  lapidem  versus  equum ;  tantumque  impediet  progressum 
unius  quantum  promovet  progressum  alterius.  Si  corpus  aliquod 
in  corpus  aliud  impingens,  motum  ejus  vi  sua  quomodocunque 
mutaverit,  idem  quoque  vicissim  in  motu  proprio  eandem  mutationem 
in  partem  contrariam  vi  alterius  (ob  sequalitatem  pressionis  mutuae) 
subibit.  His  actionibus  sequales  fiunt  mutationes,  non  veloci- 
tatum,  sed  motuum ;  scilicet  in  corporibus  non  aliunde  impeditis. 
Mutationes  enim  velocitatum,  in  contrarias  itidem  partes  factae, 
quia  motus  aequaliter  mutantur,  sunt  corporibus  reciproce  propor- 
tionales.  Obtinet  etiam  haec  lex  in  attractionibus,  ut  in  scholio 
proximo  probabitur. 


COROLLARIUM     I. 

Corpus  viribus  conjunctis  diagonalem  parallelogrammi  eodem  te77tpore 
describere,  quo  latera  separatis. 

Si  corpus  datcr  tempore,  vi  sola  M  ^ 
in  loco  A  impressa,  ferretur  uniformi 
cum  motu  ab  ^  ad  -5 ;  &  vi  sola  N  in 
eodem  loco  impressa,  ferretur  ab  ^  ad  C ; 
compleatur  parallelogrammum  ABDC, 
&  vi  utraque  feretur  corpus  illud  eodem 
tempore  in  diagonali  ab  A  ad  D.  Nam  quoniam  vis  N  agit  secun- 
dum  lineam  A  C  ipsi  BD  parallelam,  haec  vis  per  legem    1 1    nihil 


LEGES  MOTUS. 


15 


mutabit  velocltatem  accedendi  ad  llneam  illam  BD  a  vi  altera 
genitam.  Accedet  igltur  corpus  eodem  tempore  ad  lineam  BD, 
slve  vls  N  imprimatur,  slve  non ;  atque  ideo  in  fine  Illlus  temporis 
reperletur  allcubi  in  Ilnea  Illa  BD.  Eodem  argumento  in  fine 
temporls  ejusdem  reperletur  alicubi  in  llnea  CD,  &  idcirco  in  utri- 
usque  llnese  concursu  D  reperlri  necesse  est.  Perget  autem  motu 
rectlllneo  ab  ^  ad  Z^  per  legem  i. 


COROLLARIUM    II 

El  hinc  patet  compositio  vis  directce  AD 
ex  viribus  qtcibusvis  obliquis  AB  df 
BD,  &  vicissim  resolutio  vis  cujusvis 
directcB  AD  in  obliquas  quascunque  A^ 
&  BD.  Quce  quidem  compositio  & 
resolutio  abtmde  confirmatur  ex  mechanica, 

Ut  sl  de  rotae  alicujus  centro  O  exeuntes  radii  inaequales  O  M, 
O  N  filis  M A,  N P  sustineant  pondera  A  &  P,  &  quserantur  vires 
ponderum  ad  movendam  rotam  :  Per  centrum  O  agatur  recta  K  O  L 
filis  perpendiculariter  occurrens  in  K  and  Z,  c^ntroque  O  &  inter- 
vallorum  O  K,  OL  majore  OL 
describatur  circulus  occurrens  filo 
M A  in  D:  &:  actse  rectae  OD 
parallela  sit  A  Cy  8c  perpendicu- 
laris  DC  Quonlam  nlhil  refert, 
utrum  filorum  puncta  K,  L,  D 
affixa  sint  an  non  affixa  ad  planum 
rotae  ;  pondera  idem  valebunt,  ac 
si  suspenderentur  a  punctis  K  & 
L  vd  D  8i  L.  Ponderis  autem 
A  exponatur  vis  tota  per  llneam 
A  D,  81  haec  resolvetur  in  vires 
A  C,  CD,  quarum  A  C  trahendo 
radlum  OD  directe  a  centro  nihil  valet  ad  movendam  rotam ;  vis 
autem    altera   D  C,    trahendo    radium    D  O   perpendiculariter,    idem 


i6 


AXIOMATA,  SIVE 


valet,  ac  si  perpendiculariter  traheret  radium  O  L  ipsi  O  D  aequalem  ; 
hoc  est,  idem  atque  pondus  P,  si  modo  pondus  illud  sit  ad  pondus 
A  ut  v\s  D  C  ad  vim  DA,  id  est  (ob  similia  triangula  A  D  C, 
DOKJ  ut  OK  2id  OD  seu  O  L.  Pondera  igitur  A  &  P,  quae 
sunt  reciproce  ut  radii  in  directum  positi  O  K  &  O  L,  idem  pollebunt, 
&  sic  consistent  in  sequilibrio  :  quae  est  proprietas  notissima  Hbrae, 
vectis,  &  axis  in  peritrochio.  Sin  pondus  alterutrum  sit  majus 
quam  in  hac  ratione,  erit  vis  ejus  ad  movendam  rotam  tanto 
major. 

Quod  si  pondus/  ponderi  P  sequale  partim  suspendatur  filo  iV/, 
partim  incumbat  plano  obhquo  /  G:  agantur  p  H,  N  H,  prior 
horizonti,  posterior  plano  /  G  perpendicularis  ;  &  si  vis  ponderis  / 
deorsum  tendens,  exponatur  per  Hneam  p  H,  resolvi  potest  hsec  in 
vires  /  N,  HN,  Si  filo  /  iV^  per- 
pendiculare  esset  planum  aHquod 
p  Q,  secans  planum  alterum  p  G 
in  Hnea  ad  horizontem  paraHela ; 
&  pondus  /  his  planis  p  Q,  p  G 
solummodo  incumberet ;  urgeret 
iHud  haic  plana  viribus  /  Ny  HN, 
perpendiculariter  nimirum  planum 
/  Q  w\  p  Ny  8i  planum  p  G  v\ 
HN.  Ideoque  si  tollatur  planum 
p  Qy  ut  pondus  tendat  filum ; 
quoniam  filum  sustinendo  pondus 
jam  vicem  praestat  plani  sublati, 
tendetur  illud  eadem  vi  p  N,  qua  planum  antea  urgebatur.  Unde 
tensio  fili  hujus  obliqui  erit  ad  tensionem  fili  alterius  perpendicularis 
PNy  ut  p  N  2id  p  H.  Ideoque  si  pondus  p  sit  ad  pondus  A 
in  ratione,  quse  componitur  ex  ratione  reciproca  minimarum 
distantiarum  filorum  suorum  p  N,  A  M  3,  centro  rotae,  &  ratione 
directa  p  H  2A  p  N ;  pondera  idem  valebunt  ad  rotam  movendam, 
atque  ideo  se  mutuo  sustinebunt,  ut  quilibet  experiri  potest. 

Pondus  autem  /,  planis  illis  duobus  obliquis  incumbens,  rationem 

habet  cunei  inter  corporis  fissi  facies  internas  :    &  inde  vires  cunei 

&  mallei  innotescunt :  utpote  cum  vis  qua  pondus  p  urget  planum 

p  Q  sit  ad  vim,  qua  idem  vel  gravitate  sua  vel  ictu  mallei  impellitur 


LEGES  MOTUS.  ^y 

secundum  lineam  p  H  m  plana,  ut/  iV  ad/  H ;  atque  ad  vim,  qua 
urget  planum  alterum/  G ,  wt  p  N  -d^di  N  H.  Sed  &  vis  cochle^ 
per  similem  virium  divisionem  colligitur  ;  quippe  quae  cuneus  est  a 
vecte  impulsus.  Usus  igitur  corollarii  hujus  latissime  patet,  &  late 
patendo  veritatem  ejus  evincit ;  cum  pendeat  ex  jam  dictis  me- 
chanica  tota  ab  auctoribus  diversimode  demonstrata.  Ex  hisce 
enim  facile  derivantur  vires  machinarum,  quae  ex  rotis,  tympanis, 
trochleis,  vectibus,  nervis  tensis  &  ponderibus  directe  vel  obHque 
ascendentibus,  cseterisque  potentiis  mechanicis  componi  solent,  ut 
&  vires  tendinum  ad  animaHum  ossa  movenda. 

COROLLARIUM     III. 

Quantitas  mottis  quce  colligitur  capiendo  summam  motuum  fac- 
torum  ad  eandem  partem,  &  differentiam  factorum  ad  contrarias, 
non  mutatur  ab  actione  corporum  inter  se. 

Etenim  actio  eique  contraria  reactio  aequales  sunt  per  legem  iii, 
ideoque  per  legem  1 1  sequales  in  motibus  efficiunt  mutationes 
versus  contrarias  partes.  Ergo  si  motus  fiunt  ad  eandem  partem  ; 
quicquid  additur  motui  corporis  fugientis,  subducetur  motui  corporis 
insequentis  sic,  ut  summa  maneat  eadem  quae  prius.  Sin  corpora 
obviam  eant ;  sequalis  erit  subductio  de  motu  utriusque,  ideoque 
differentia  motuum  factorum  in  contrarias  partes  manebit  eadem. 

Ut  si  corpus  sphaericum  A  sit  triplo  majus  corpore  sphaerico  B^ 
habeatque  duas  velocitatis  partes  ;  &  B  sequatur  in  eadem  recta  cum 
velocitatis  partibus  decem,  ideoque  motus  ipsius  A  sit  ad  motum 
ipsius  B,  ut  sex  ad  decem  :  ponantur  motus  ilHs  esse  partium  sex 
&  partium  decem,  &  summa  erit  partium  sexdecim.  In  corporum 
igitur  concursu,  si  corpus  A  lucretur  motus  partes  tres  vel  quatuor 
vel  quinque,  corpus  B  amittet  partes  totidem,  ideoque  perget  corpus 
A  post  reflexionem  cum  partibus  novem  vel  decem  vel  undecim, 
&  B  cum  partibus  septem  vel  sex  vel  quinque,  existente  semper 
summa  partium  sexdecim  ut  prius.  Si  corpus  A  lucretur  partes  novem 
vel  decem  vel  undecim  vel  duodecim,  ideoque  progrediatur  post 
concursum  cum  partibus  quindecim  vel  sexdecim  vel  septendecim 
vel  octodecim  ;    corpus  B,  amittendo    tot  partes  quot  A    lucratur, 

B 


i3  AXIOMATA,  SIVE 

vel  cum  una  parte  progredietur  amissis  partibus  novem,  vel  quiescet 
amisso  motu  suo  progressivo  partium  decem,  vel  cum  una  parte 
regredietur  amisso  motu  suo  &  (ut  ita  dicam)  una  parte  amplius, 
vel  regredietur  cum  partibus  duabus  ob  detractum  motum  progres- 
sivum  partium  duodecim.  Atque  ita  summse  motuum  conspirantium 
15+ I  vel  1 6-1-0,  &  differentiae  contrariorum  17— i  &  18  —  2  semper 
erunt  partium  sexdecim,  ut  ante  concursum  &  reflexionem.  Cog- 
nitis  autem  motibus  quibuscum  corpora  post  reflexionem  pergent, 
invenietur  cujusque  velocitas,  ponendo  eam  esse  ad  velocitatem 
ante  reflexionem,  ut  motus  post  est  ad  motum  ante.  Ut  in  casu  ultimo, 
ubi  corporis  A  motus  erat  partium  sex  ante  reflexionem  &  partium 
octodecim  postea,  &  velocitas  partium  duarum  ante  reflexionem ; 
invenietur  ejus  velocitas  partium  sex  post  reflexionem,  dicendo, 
ut  motus  partes  sex  ante  reflexionem  ad  motus  partes  octodecim 
postea,  ita  velocitatis  partes  duae  ante  reflexionem  ad  velocitatis 
partes  sex  postea. 

Quod  si  corpora  vel  non  sphserica  vel  diversis  in  rectis  moventia 
incidant  in  se  mutuo  oblique,  &  requirantur  eorum  motus  post 
reflexionem ;  cognoscendus  est  situs  plani  a  quo  corpora  concur- 
rentia  tanguntur  in  puncto  concursus  :  dein  corporis  utriusque  motus 
(per  Corol.  11.)  distinguendus  est  in  duos,  unum  huic  plano  per- 
pendicularem,  alterum  eidem  parallelum  :  motus  autem  paralleli, 
propterea  quod  corpora  agant  in  se  invicem  secundum  lineam  huic 
plano  perpendicularem,  retinendi  sunt  iidem  post  reflexionem  atque 
antea ;  &  motibus  perpendicularibus  mutationes  aequales  in  partes 
contrarias  tribuendae  sunt  sic,  ut  summa  conspirantium  &  diflerentia 
contrariorum  maneat  eadem  quse  prius.  Ex  hujusmodi  reflexionibus 
oriri  etiam  solent  motus  circulares  corporum  circa  centra  propria. 
Sed  hos  casus  in  sequentibus  non  considero,  &  nimis  longum  esset 
omnia  huc  spectantia  demonstrare. 


LEGES  MOTUS.  jq 


COROLLARIUM     IV. 

Com^nune  gravitatis  centrum  corporum  duo7^u77t  vel  plurium,  ab  ac- 
tionibtis  corporum  inter  se,  non  mutat  stattcm  suum  vel  motus 
vel  quietis;  &  propterea  corporum  omnium  i^i  se  mutuo  agentium 
(exclusis  actionibtcs  &  impedimentis  externis)  commune  centrum 
gravitatis  vel  quiescit  vel  movetur  uniformiter  in  directum. 

Nam  si  puncta  duo  progrediantur  uniformi  cum  motu  in  lineis 
rectis,  &  distantia  eorum  dividatur  in  ratione  data,  punctum  dividens 
vel  quiescit  vel  progreditur  uniformiter  in  linea  recta.  Hoc  postea 
in  lemmate  xxiii  ejusque  corollario  demonstratur,  si  punctorum 
motus  fiant  in  eodem  plano;  &  eadem  ratione  demonstrari  potest, 
si  motus  illi  non  fiant  in  eodem  plano.  Ergo  si  corpora  quotcunque 
moventur  uniformiter  in  lineis  rectis,  commune  centrum  gravitatis 
duorum  quorumvis  vel  quiescit  vel  progreditur  uniformiter  in  linea 
recta;  propterea  quod  linea,  horum  corporum  centra  in  rectis  uni- 
formiter  progredientia  jungens,  dividitur  ab  hoc  centro  communi  in 
ratione  data.  Similiter  &  commune  centrum  horum  duorum  & 
tertii  cujusvis  vel  quiescit  vel  progreditur  uniformiter  in  linea  recta ; 
propterea  quod  ab  eo  dividitur  distantia  centri  communis  corporum 
duorum  &  centri  corporis  tertii  in  data  ratione.  Eodem  modo  & 
commune  centrum  horum  trium  &  quarti  cujusvis  vel  quiescit  vel 
progreditur  uniformiter  in  linea  recta ;  propterea  quod  ab  eo  divi- 
ditur  distantia  inter  centrum  commune  trium  &  centrum  quarti 
in  data  ratione,  &  sic  in  infinitum.  Igitur  in  systemate  corporum, 
quae  actionibus  in  se  invicem  aliisque  omnibus  in  se  extrinsecus 
impressis  omnino  vacant,  ideoque  moventur  singula  uniformiter  in 
rectis  singulis,  commune  omnium  centrum  gravitatis  vel  quiescit  vel 
movetur  uniformiter  in  directum. 

Porro  in  systemate  duorum  corporum  in  se  invicem  agentium, 
cum  distantise  centrorum  utriusque  a  communi  gravitatis  centro  sint 
reciproce  ut  corpora ;  erunt  motus  relativi  corporum  eorundem,  vel 
accedendi  ad  centrum  illud  vel  ab  eodem  recedendi,  aequales  inter 
se.       Proinde    centrum    illud    a    motuum    aequalibus  mutationibus  in 


20  AXIOMATA,  SIVE 

partes  contrarlas  factis,  atqiie  ideo  ab  actionlbus  horum  corporum 
inter  se,  nec  promovetur  nec  retardatur  nec  mutationem  patitur 
in  statu  suo  quoad  motum  vel  quletem.  In  systemate  autem  cor- 
porum  plurium,  quoniam  duorum  quorumvls  in  se  mutuo  agentium 
commune  gravitatis  centrum  ob  actlonem  illam  nullatenus  mutat 
statum  suum  ;  &  reliquorum,  quibuscum  actlo  illa  non  intercedit, 
commune  gravitatis  centrum  nihil  inde  patitur ;  distantia  autem 
horum  duorum  centrorum  dividltur  a  communi  corporum  omnium 
centro  in  partes  summls  totaHbus  corporum  quorum  sunt  centra 
reciproce  proportlonales ;  ideoque  centris  ilHs  duobus  statum  suum 
movendi  vel  quiescendi  servantibus,  commune  omnium  centrum 
servat  etiam  statum  suum  :  manifestum  est  quod  commune  illud 
omnium  centrum  ob  actiones  blnorum  corporum  inter  se  nunquam 
mutat  statum  suum  quoad  motum  &  quietem.  In  tali  autem  syste- 
mate  actiones  omnes  corporum  inter  se,  vel  inter  bina  sunt  corpora, 
vel  ab  actionibus  inter  bina  compositse ;  &  propterea  communi  om- 
nium  centro  mutationem  in  statu  motus  ejus  vel  quietis  nunquam 
inducunt.  Quare  cum  centrum  illud  ubi  corpora  non  agunt  in  se 
invicem,  vel  qulescit,  vel  in  recta  aHqua  progreditur  uniformiter ; 
perget  idem,  non  obstantlbus  corporum  actlonibus  inter  se,  vel 
semper  quiescere,  vel  semper  progredi  unlformiter  in  directum ; 
nisi  a  viribus  in  systema  extrinsecus  impressls  deturbetur  de  hoc 
statu.  Est  igitur  systematis  corporum  plurium  lex  eadem,  quae 
corporis  soHtaril,  quoad  perseverantiam  in  statu  motus  vel  quietis. 
Motus  enim  progressivus  seu  corporis  soHtarli  seu  systematis  corporum 
ex  motu  centri  gravitatis  sestimari  semper  debet. 


COROLLARIUM    V. 

Corporum  dato  spatio  inclusorum  iidem  sunt  motus  inter  se,  sive 
spatium  illud  quiescat,  sive  moveatur  idem  uniformiter  in  directuml^ 
sine  motu  circulari, 

Nam  differentiae  motuum  tendentium  ad  eandem  partem,  & 
summae  tendentium  ad  contrarias,  eaedem  sunt  sub  initio  in  utroque 
casu   (ex  hypothesi)   &  ex  hls  summls  vel  dlfferentiis  oriuntur  con- 


LEGES  MOTUS.  2  i 

gressus  &  impetus  quibus  corpora  se  mutuo  feriunt.  Ergo  per  legem 
1 1  sequales  erunt  congressuum  effectus  in  utroque  casu  ;  &  propterea 
manebunt  motus  inter  se  in  uno  casu  aequales  motibus  inter  se 
in  altero.  Idem  comprobatur  experimento  luculento.  Motus  omnes 
eodem  modo  se  habent  in  navi,  sive  ea  quiescat,  sive  moveatur 
uniformiter  in  directum. 


COROLLARIUM     VI. 

Si  corpora  movea^itur  quomodocunque  inter  se,  &  a  viribus  accelera- 
tricibus  cequalibus  secundum  lineas  parallelas  urgeantur;  pergem 
omnia  eodem  modo  moveri  inter  se,  ac  si  viribus  illis  7ion  essent 
incitata. 

Nam  vires  illae  sequaliter  (pro  quantitatibus  movendorum  cor- 
porum)  &  secundum  lineas  parallelas  agendo,  corpora  omnia  aequaliter 
(quoad  velocitatem)  movebunt  per  legem  ii.  ideoque  nunquam 
mutabunt  positiones  &  motus  eorum  inter  se. 

•     Scholium. 

Hactenus  principia  tradidi  a  mathematicis  recepta  &  experientia 
multiplici  confirmata.  Per  leges  duas  primas  &  corollaria  duo  prima 
GalilcBus  invenit  descensum  gravium  esse  in  duplicata  ratione  tem- 
poris,  &  motum  projectilium  fieri  in  parabola;  conspirante  ex- 
perientia,  nisi  quatenus  motus  ilH  per  aeris  resistentiam  aliquantulum 
retardantur.  Corpore  cadente  gravitas  uniformis,  singulis  temporis 
particulis  sequaHbus  sequaliter  agendo  imprimit  vires  aequales  in 
corpus  illud,  &  velocitates  aequales  generat :  &  tempore  toto  vim 
totam  imprimit  &  velocitatem  totam  generat  tempori  proportionalem. 
Et  spatia  temporibus  proportionaHbus  descripta,  sunt  ut  velocitates 
&  tempora  conjunctim ;  id  est  in  dupHcata  ratione  temporum.  Et 
corpore  sursum  projecto  gravitas  uniformis  vires  imprimit  &  velo- 
citates  aufert  temporibus  proportionales ;  ac  tempora  ascendendi  ad 
altitudines  summas  sunt  ut  velocitates  auferendae,  &  altitudines  iHae 
sunt  ut  velocitates  ac  tempora  conjunctim,  seu  in  dupHcata  ratione 


22 


AXIOMATA.  SIVE 


velocltatum.     Et  corporis  secundum  rectam  quamvis  projecti  motus 

a    projectione    oriundus    cum    motu    a    gravitate    oriundo    componi- 

tur.     Ut  si  corpus  A  motu  solo  projectionis  dato 

tempore  describere  posset  rectam  A  B  &  motu  " 

solo    cadendi    eodem    tempore   describere    posset 

altitudinem   A  C:   compleatur   parallelogrammum 

A  B  D  C,  &   corpus   illud  motu  composito  repe- 

rietur  in  fine  temporis  in  loco  D ;  &  curva  linea 

AED,  quam  corpus  illud  describet,  erit  parabola 

quam  recta  A  B  tangit  in  A,  &  cujus  ordinata 

BD  est  ut  AB^.     Ab  iisdem  legibus  &  corollariis 

pendent  demonstrata  de  temporibus  oscillantium 

pendulorum,  suffragante  horologiorum  experientia  quotidiana.     Ex  his 

iisdem  &  lege  tertia  Christophorus  Wrennus  eques  auratus,  Joha^mes 

Wallisms  S.  T.D.  &  Christianus  Hugenius,  aetatis  superioris  geome- 

trarum  facile  principes,  regulas  congressuum  &  reflexionum  durorum 

corporum  seorsim  invenerunt,  &  eodem  fere  tempore  cum  Societate 

Regia  communicarunt,  inter  se  (quoad  has  leges)  omnino  conspirantes : 

&  primus  quidem   Wallisius,  deinde   Wre^mus  &  Hugenius  inventum 

prodiderunt.       Sed  &  veritas  comprobata  est  a  Wrenno  coram  Regia 

Societate  per  experimentum   pendulorum  :    quod    etiam    Clarissimtis 

Mariottus   Hbro    integro   exponere   mox    dignatus   est.      Verum,    ut 

hoc  experimentum  cum  theoriis  ad  amussim  congruat,  habenda  est 

ratio,   cum  resistentiae  aeris,  tum  etiam  vis  elasticae  concurrentium 

corporum.       Pendeant    corpora    sphaerica    A,    B    fihs    paralleHs    & 

aequaHbus  A  C,  B  D,  a  centris  C,  D.     His  centris  &  intervaHis  de- 

scribantur   semicircuH  E  A  F, 

GBH  vdidns  CA,  DB  bisecti. 

Trahatur  corpus  A  ad  arcus 

EAE  punctum  quodvis  R^  & 

(subducto  corpore  B)  demitta- 

tur  inde,  redeatque  post  unam 

osciHationem   ad  punctum    V. 

Est  7?  F  retardatio  ex  resisten- 

tia  aeris.     Hujus  i?  F  fiat  S  T  pars  quarta  sita  in  medio,  ita  sciHcet 

ut  ^  6^  &  TF  aequentur,  sitque  R  S  2id  S  Tut  ^  2id  2.       Et  ista  S  T 

exhibebit   retardationem    in    descensu    ab  vS'  ad    ^    quam   proxime. 


LEGES  MOTUS.  23 

Restituatur  corpus  B  in  locum  suum.       Cadat  corpus  A  de  puncto 
Sy  &  velocitas  ejus  in  loco  reflexionis  A  sine  errore  sensibili  tanta 
erit,  ac   si   in  vacuo  cecidisset  de  loco    T.       Exponatur  igitur  haec 
velocitas   per   chordam  arcus    TA.       Nam    velocitatem    penduli    in 
puncto    infimo    esse    ut   chordam   arcus,    quem   cadendo   descripsit, 
propositio    est    geometris    notissima.       Post    reflexionem    perveniat 
corpus  A  ad  locum  s,  &  corpus  B  ad  locum  k.       Tollatur  corpus  B 
&  inveniatur  locus  v ;  2.  quo  si  corpus  A  demittatur  &  post  unam 
oscillationem  redeat  ad  locum  r,  sit  s  t  pars  quarta  ipsius  r  v  sita  in 
medio,  ita  videlicet  vXr  s  %l  t  v  sequentur  ;  &  per  chordam  arcus  /  A 
exponatur  velocitas,  quam  corpus  A  proxime  post  reflexionem  habuit 
in  loco  A.      Nam  t  erit  locus  ille  verus  &  correctus,  ad  quem  corpus 
Ay  sublata  aeris  resistentia,   ascendere  debuisset.       Simili   methodo 
corrigendus  erit  locus  k,  ad  quem  corpus  B  ascendit,  &  inveniendus 
locus  /,  ad  quem  corpus  illud  ascendere  debuisset  in  vacuo.      Hoc 
pacto  experiri  Hcet  omnia,  perinde  ac  si  in  vacuo  constituti  essemus. 
Tandem  ducendum  erit  corpus  A  (ut  ita  dicam)  in  chordam   arcus 
T A,  quse  velocitatem  ejus  exhibet,  ut  habeatur  motus  ejus  in  loco  A 
proxime  ante  reflexionem  ;  deinde  in  chordam  arcus  t  A,  ut  habeatur 
motus  ejus  in  loco  A  proxime  post  reflexionem.       Et  sic  corpus  B 
ducendum  erit  in  chordam  arcus  B  /,  ut  habeatur  motus  ejus  proxime 
post    reflexionem.       Et    simiH    methodo,    ubi    corpora    duo    simul 
demittuntur  de  locis  diversis,  inveniendi  sunt  motus  utriusque  tam  ante, 
quam  post  reflexionem ;  &  tum  demum  conferendi  sunt  motus  inter  se 
&  coHigendi  eflectus   reflexionis.       Hoc   modo    in    penduHs   pedum 
decem  rem  tentando,  idque  in  corporibus  tam  insequaHbus  quam  aequaH- 
bus,  &  faciendo  ut  corpora  de  intervaflis  ampHssimis,  puta  pedum  octo 
vel  duodecim  vel  sexdecim,  concurrerent ;  reperi  semper  sine  errore 
trium  digitorum  in  mensuris,  ubi  corpora  sibi  mutuo  directe  occurre- 
bant,  sequales  esse  mutationes  motuum  corporibus  in  partes  contrarias 
iUatae,  atque  ideo  actionem  &  reactionem  semper  esse  sequales.       Ut 
si  corpus  A  incidebat  in  corpus  B  quiescens  cum  novem   partibus 
motus,  &  amissis   septem  partibus   pergebat   post  reflexionem   cum 
duabus  ;  corpus  B  resiHebat  cum  partibus  istis  septem.     Si  corpora 
obviam  ibant,  A  cum  duodecim  partibus  &  B  cum  sex,  &  redibat  A 
cum  duabus ;  redibat  B  cum  octo,  facta  detractione  partium  quatuorde- 
cim  utrinque.     De  motu  ipsius  A  subducantur  partes  duodecim  &  resta- 


24 


AXIOMATA,   SIVE 


K     G 

c 

'       D 

P     H 

1    \ 

/> 

r\     \ 
s\    \ 

/  /* 

t\     \ 

tJ 

/ 

v\    \ 

^^ 

^ 

bit  nihil  :  subducantur  aliae  partes  duae,  &  fiet  motus  duarum  par- 
tium  in  plagam  contrariam:  &  sic  de  motu  corporis  B  partium 
sex  subducendo  partes  quatuordecim,  fient  partes  octo  in  plagam 
contrariam.  Quod  si  corpora  ibant  ad  eandem  plagam,  A  velocius 
cum  partibus  quatuordecim,  &  B  tardius  cum  partibus  quinque,  & 
post  reflexionem  pergebat  A 
cum  quinque  partibus  ;  perge- 
bat  B  cum  quatuordecim,  facta 
translatione  partium  novem  de 
A  in  B.  Et  sic  in  reliquis. 
A  congressu  &  collisione  cor- 
porum  nunquam  mutabatur 
quantitas  motus,  quse  ex 
summa  motuum  conspirantium 
&  differentia  contrariorum  colligebatur.  Nam  errorem  digiti  unius 
&  alterius  in  mensuris  tribuerim  difficultati  peragendi  singula  satis 
accurate.  Difficile  erat,  tum  pendula  simul  demittere  sic,  ut  corpora 
in  se  mutuo  impingerent  in  loco  infimo  A  B ;  tum  loca  s,  k  notare,  ad 
quae  corpora  ascendebant  post  concursum.  Sed  &  in  ipsis  corporibus 
pendulis  inaequalis  partium  densitas,  &  textura  aliis  de  causis  ir- 
regularis,  errores  inducebant. 

Porro  nequis  objiciat  regulam,  ad  quam  probandam  inventum  est 
hoc  experimentum,  praesupponere  corpora  vel  absolute  dura  esse, 
vel  saltem  perfecte  elastica,  cujusmodi  nulla  reperiuntur  in  com- 
positionibus  naturalibus ;  addo  quod  experimenta  jam  descripta 
succedunt  in  corporibus  mollibus  aeque  ac  in  duris,  nimirum  a  con- 
ditione  duritiei  neutiquam  pendentia.  Nam  si  regula  illa  in  cor- 
poribus  non  perfecte  duris  tentanda  est,  debebit  solummodo  reflexio 
minui  in  certa  proportione  pro  quantitate  vis  elasticae.  In  theoria 
Wrenni  &  Htigenii  corpora  absolute  dura  redeunt  ab  invicem 
cum  velocitate  congressus.  Certius  id  affirmabitur  de  perfecte 
elasticis.  In  imperfecte  elasticis  velocitas  reditus  minuenda  est  simul 
cum  vi  elastica  ;  propterea  quod  vis  illa,  (nisi  ubi  partes  corporum 
ex  congressu  laeduntur,  vel  extensionem  aliqualem  quasi  sub 
malleo  patiuntur,)  certa  ac  determinata  sit  (quantum  sentio)  faciatque 
ut  corpora  redeant  ab  invicem  cum  velocitate  relativa,  quae  sit  ad 
relativam    velocitatem    concursus    in    data    ratione,       Id   in    pilis    ex 


LEGES  MOTUS. 


25 


lana  arcte  conglomerata  &  fortlter  constricta  slc  tentavl.  Primum 
demittendo  pendula  &  mensurando  reflexionem,  invenl  quantltatem 
vls  elastlcae ;  deinde  per  hanc  vlm  determinavi  reflexlones  in  alils 
caslbus  concursuum,  &  respondebant  experimenta.  Redlbant  semper 
pllae  ab  invicem  cum  velocitate  relativa,  quae  esset  ad  velocitatem 
relativam  concursus  ut  5  ad  9  circiter.  Eadem  fere  cum  velocitate 
redibant  pllae  ex  chalybe  :  ahae  ex  subere  cum  paulo  mlnore  :  in 
vitreis  autem  proportio  erat  15  ad  16  clrclter.  Atque  hoc  pacto 
lex  tertla  qudad  ictus  &  reflexiones  per  theoriam  comprobata  est,  quae 
cum  experientia  plane  congruit. 

In  attractionibus  rem  sic  breviter  ostendo.  Corporibus  duobus 
qulbusvis  A,  B  s^  mutuo  trahentibus,  concipe  obstaculum  quodvis 
interponl,  quo  congressus  eorum  Impediatur.  Si  corpus  alterutrum 
A  magis  trahitur  versus  corpus  alterum  i?,  quam  illud  alterum  B 
in  prius  A,  obstaculum  magls  urgebltur  presslone  corporis  A  quam 
presslone  corporls  B ;  proindeque  non  manebit  in  aequIHbrio.  Prae- 
valeblt  presslo  fortior,  facletque  ut  systema  corporum  duorum  & 
obstacull  moveatur  in  dlrectum  in  partes  versus  B,  motuque  in  spatiis 
liberis  semper  accelerato  abeat  in  infinitum.  Quod  est  absurdum  & 
legi  primae  contrarium.  Nam  per  legem  primam  debebit  systema 
perseverare  in  statu  suo  qulescendi  vel  movendi  uniformlter  in 
directum,  proindeque  corpora  aequahter  urgebunt  obstaculum,  & 
idcirco  aequaHter  trahentur  in  invicem.  Tentavi  hoc  in  magnete  & 
ferro.  Si  haec  in  vascuHs  propriis  sese  contingentibus  seorsim  posita, 
in  aqua  stagnante  juxta  fluitent ;  neutrum  propellet  alterum,  sed 
aequahtate  attractionis  utrlnque  sustinebunt  conatus  in  se  mutuos, 
ac  tandem  in  aequIHbrlo  constituta  quiescent. 

Sic  etiam  gravitas  inter  terram  &  ejus  partes  mutua  est.  Sece- 
tur  terra  FI  plano  quovis  E  G  in  partes 
duas  EGF  8c  EGI:  &  aequaHa  erunt 
harum  pondera  in  se  mutuo.  Nam  si  plano 
aHo  HK  quod  priori  EG  paraHelum  sit,  pars 
major  EGI  secetur  in  partes  duas  EGKH  ^\ 
&  HKI,  quarum  HKI  aequaHs  sit  partl 
prlus  abscissae  EFG :  manlfestum  est  quod 
pars  media  EGKH  pondere  proprio  in 
neutram  partium  extremarum  propendebit. 


26 


AXIOMATA,  SIVE 


sed    inter    utramque    in    sequilibrio,    ut   ita   dicam,    suspendetur,    & 

quiescet.     Pars  autem  extrema  HKI  toto  suo  pondere  incumbet  in 

partem  mediam,  &  urgebit  illam  in  partem 

alteram  extremam  E  G  F ;  ideoque  vis  qua 

partium  H K I  8i  E  G  K  H  summdi  E  G I 

tendit  versus  partem  tertiam  EGF,  sequalis 

est  ponderi  partis  HKI,   id  est  ponderi 

partis  tertise  EGF.     Et  propterea  pondera 

partium  duarum  EGI,  EGF  m  se  mutuo 

sunt  sequalia,  uti  volui  ostendere.     Et  nisi 

pondera  illa  aequalia  essent,   terra  tota  in 

libero  sethere  fluitans  ponderi  majori  cederet,  &  ab  eo  fugiendo  abiret 

in  infinitum. 

Ut  corpora  in  concursu  &  reflexione  idem  pollent,  quorum 
velocitates  sunt  reciproce  ut  vires  insitse :  sic  in  movendis  instrumentis 
mechanicis  agentia  idem  pollent  &  conatibus  contrariis  se  mutuo 
sustinent,  quorum  velocitates  secundum  determinationem  virium 
sestimatae,  sunt  reciproce  ut  vires.  Sic  pondera  sequipollent  ad 
movenda  brachia  Hbrse,  quse  oscillante  Hbra  sunt  reciproce  ut 
eorum  velocitates  sursum  &  deorsum  :  hoc  est,  pondera,  si  recta 
ascendunt  &  descendunt,  sequipollent,  quse  sunt  reciproce  ut  punc- 
torum  a  quibus  suspenduntur  distantise  ab  axe  librae ;  sin  planis 
obHquis  aHisve  admotis  obstacuHs  impedita  ascendunt  vel  descendunt 
obHque,  sequipoHent,  quse  sunt  reciproce  ut  ascensus  &  descensus, 
quatenus  facti  secundum  perpendiculum  :  idque  ob  determinationem 
gravitatis  deorsum.  SimiHter  in  trochlea  seu  polyspasto  vis  manus 
funem  directe  trahentis,  quse  sit  ad  pondus  vel  directe  vel  obHque 
ascendens  ut  velocitas  ascensus  perpendicularis  ad  velocitatem 
manus  funem  trahentis,  sustinebit  pondus.  In  horologiis  & 
simiHbus  instrumentis,  quse  ex  rotuHs  commissis  constructa  sunt, 
vires  contrarise  ad  motum  rotularum  promovendum  &  impe- 
diendum,  si  sunt  reciproce  ut  velocitates  partium  rotularum  in  quas 
imprimuntur,  sustinebunt  se  mutuo.  Vis  cochlese  ad  premendum 
corpus  est  ad  vim  manus  manubrium  circumagentis,  ut  circularis 
velocitas  manubrii  ea  in  parte  ubi  a  manu  urgetur,  ad  velocitatem 
progressivam  cochlese  versus  corpus  pressum.  Vires  quibus  Cu- 
neus  urget  partes  duas  Hgni  fissi  sunt  ad  vim  maHei  in  cuneum,  ut 


LEGES  MOTUS.  27 

progressus  cunei  secundum  determinationem  vis  a  malleo  in  ipsum 
impressae,  ad  velocitatem  qua  partes  ligni  cedunt  cuneo,  secundum 
lineas  faciebus  cunei  perpendiculares.  Et  par  est  ratio  machinarum 
omnium. 

Harum  efficacia  &  usus  in  eo  solo  consistit,  ut  diminuendo  velo- 
citatem  augeamus  vim,  &  contra  :  Unde  solvitur  in  omni  aptorum 
instrumentorum  genere  problema,  Datum  pondus  data  vi  movendi, 
aliamve  datam  resistentiam  vi  data  superandi.  Nam  si  machinae 
ita  formentur,  ut  velocitates  agentis  &  resistentis  sint  reciproce  ut 
vires  ;  agens  resistentiam  sustinebit  :  &  majori  cum  velocitatum  dis- 
paritate  eandem  vincet.  Certe  si  tanta  sit  velocitatum  disparitas, 
ut  vincatur  etiam  resistentia  omnis,  quse  tam  ex  contiguorum  & 
inter  se  labentium  corporum  attritione,  quam  ex  continuorum  &  ab 
invicem  separandorum  cohaesione  &  elevandorum  ponderibus  oriri 
solet ;  superata  omni  ea  resistentia,  vis  redundans  accelerationem 
motus  sibi  proportionalem,  partim  in  partibus  machinae,  partim  in 
corpore  resistente  producet.  Caeterum  mechanicam  tractare  non 
est  hujus  instituti.  Hisce  volui  tantum  ostendere,  quam  late  pateat 
quamque  certa  sit  lex  tertia  motus.  Nam  si  aestimetur  agentis  actio 
ex  ejus  vi  &  velocitate  conjunctim ;  &  simiHter  resistentis  reactio 
aestimetur  conjunctim  ex  ejus  partium  singularum  velocitatibus  & 
viribus  resistendi  ab  earum  attritione,  cohaesione,  pondere,  &  accel- 
eratione  oriundis  ;  erunt  actio  &  reactio,  in  omni  instrumentorum 
usu,  sibi  invicem  semper  aequales.  Et  quatenus  actio  propagatur 
per  instrumentum  &  ultimo  imprimitur  in  corpus  omne  resistens, 
ejus  ultima  determinatio  determinationi  reactionis  semper  erit 
contraria. 


DE 


MOTU     CORPORUM 


LIBER   PRIMUS, 


SECTIO    I. 

De  methodo  rationum  primarum  &  ultimarum^  cujus  ope  sequentia 

demonstrantur. 


LEMMA     I. 

Quantitates,  ut  &  quantitatum  rationes,  qucB  ad  cequalitatem  tempore 
quovis  finito  constanter  tendunt,  &  ante  finem  temporis  illius 
propius  ad  invicem  acceduni  quam  pro  data  quavis  differentia, 
fiunt  ultimo  cBqtiales, 

SI  negas  ;  fiant  ultimo  inaequales,  &  sit  earum  ultima  differentia 
D.     Ergo  nequeunt  propius  ad  sequalitatem  accedere  quam 
pro  data  differentia  D :  contra  hypothesin. 


LEMMA     II. 

Si  in  figura  quavis  A  a  c  E,  rectis  A  a,  A  E  &  curva  a  c  E  com- 
prekensa,  inscribantur  parallelogramma 
quotcunque  A  b,  B  c,  C  d,  &c.  stcb  basi- 
bus  A  B,  B  C,  C  D,  &c.  csqtcalibtis,  & 
lateribus  B  b,  C  c,  D  d,  &c.  figurcB  lateri 
A  a  parallelis  contenta;  &  compleantur 
parallebgramma  aKbl,  bLcm,  cMdn, 
&c.  Dein  horum  parallelogrammorum, 
latitudo  minuatur,  &  numerus  augeatur 
in  infinitum:  dico  quod  ultimce  rationes 
quas  kabent  ad  se  invicem  figura  inscripta    a        bf 


DE  MOTU  CORFORUM,   ^^c.  29 

A  K  b  L  c  M  d  D,    circumscripta   AalbmcndoE,    &   curvilinea 
AabcdE,  sunt  rationes  ceqtialitatis. 

Nam  figurae  inscrlptse  &  clrcumscriptse  dififerentia  est  summa 
parallelogrammorum  K  l,  Lm,  Mn,  Do,  hoc  est  (ob  aequales  omnium 
bases)  rectangulum  sub  unlus  basl  K  d  8>l  altitudinum  summa  A  a, 
id  est,  rectangulum  A  B  la,  Sed  hoc  rectangulum,  eo  quod  latitudo 
ejus  A  B  in  infinltum  minuitur,  fit  mlnus  quovis  dato.  Ergo 
(per  lemma  i)  figura  inscrlpta  &  circumscrlpta  &  multo  magis  figura 
curvillnea  intermedla  fiunt  ultimo  aequales.     Q,  E.  D, 


LEMMA     III. 

Ecsdem  rationes  ultimce  sunt  etiam  rationes  csqualitatis,  ubi parallelo- 
grammorum  latitudines  A  B,  B  C,  C  D,  &c.  sunt  incequaleSy  & 
omnes  minuwitur  in  infinitum. 

Sit  enim  A  F  sequalis  latitudini  maximse,  &  compleatur  parallelo- 
grammum  FA  af.  Hoc  erit  majus  quam  differentia  figurse  inscriptse 
&  figurse  circumscriptse ;  at  latitudine  sua  A  Fin  infinitum  dimlnuta, 
minus  fiet  dato  quovis  rectangulo.     Q.  E.  D. 

Corol.  I.  Hlnc  summa  ultlma  parallelogrammorum  evanescentium 
coincldit  omni  ex  parte  cum  figura  curvillnea. 

Corol.  2.  Et  multo  magis  figura  rectlHnea,  quse  chordis  evanes- 
centium  arcuum  ab,  bc,  cd,  &c.  comprehendltur,  coincidit  ultlmo 
cum  figura  curvIHnea. 

Corol.  3.  Ut  &  figura  rectilinea  circumscripta  quse  tangentibus 
eorundem  arcuum  comprehenditur. 

Corol.  4.  Et  propterea  hse  figurse  ultimse  (quoad  perimetros  acE) 
non  sunt  rectlHnese,  sed  rectlHnearum  Hmites  curviHnei. 


LEMMA     IV. 

Si  in  duabus  figuris  A  a  c  E,  P  p  r  T,  inscribantur  (ut  supra)  ducB 
parallelogrammorum  serieSy  sitque  idem  amborum  numerus,  & 
ubi  kititudines  in  i^ifinitum  diminuuntur,  rationes  ultimce parallelo- 
grammorum  in  tina  figura  ad parallelogramma  in  altera,  singulorum 


)  DE  MOTU  CORPORUM 

ad  singula,  sint  ecedeni;  dico  quod figurcB  ducs  A  a  c  E,  P  p  r  T,  simt 
ad  invicem  in  eadem  illa  ratione. 


P 


Etenim  ut  sunt  parallelogramma  singula  ad  singula,  ita  (compo- 
nendo)  fit  summa  omnium  ad  summam  omnium,  &  ita  figura  ad 
figuram  ;  existente  nimirum  figura  priore  (per  lemma  1 1 1)  ad  summam 
priorem,  &  figura  posteriore  ad  summam  posteriorem  in  ratione 
sequalitatis.     Q.  E.  D. 

Corol.  Hinc  si  duae  cujuscunque  generis  quantitates  in  eundem 
partium  numerum  utcunque  dividantur ;  &  partes  illae,  ubi  numerus 
earum  augetur  &  magnitudo  diminuitur  in  infinitum,  datam  obti- 
neant  rationem  ad  invicem,  prima  ad  primam,  secunda  ad  secundam, 
cseterseque  suo  ordine  ad  cseteras  :  erunt  tota  ad  invicem  in  eadem 
illa  data  ratione.  Nam  si  in  lemmatis  hujus  figuris  sumantur 
parallelogramma  inter  se  ut  partes,  summae  partium  semper  erunt 
ut  summse  parallelogrammorum  ;  atque  ideo,  ubi  partium  &  parallelo- 
grammorum  numerus  augetur  &  magnitudo  diminuitur  in  infinitum, 
in  ultima  ratione  parallelogrammi  ad  parallelogrammum,  id  est  (per 
hypothesin)  in  ultima  ratione  partis  ad  partem. 


LEMMA     V. 


Similium  figurarum  latera  omnia,  qucs  sibi  mutuo  respondent,  sunt 
proportionalia,  tam  curvilinea  quam  rectilinea ;  &  arecs  sunt  in 
duplicata  ratione  laterum. 


LIBER  PRIMUS. 


31 


LEMMA    VI. 

Si    arais  quilibet  positione    dattcs  A  C  B   subtendatMr  chorda   A  B 
&  in  puncto  aliquo  A,  in 

medio  curvaturcs  continuce,      ^      i\-=^^-^  -  ^d 

tangatur  a  recta  utrinque 
prodtuta  AD;  dein ptmcta 
A,  B  ad  htvicem  accedant 
&  coeant ;  dico  quod  aug- 
ulus  BAD,  sub  chorda 
&  tangente  contenttis,  min- 
uetur  i7t  i^ijinitum  & 
ultimo  evanescet, 

Nam  sl  angulus  ille  non  evanescit,  continebit  arcus  A  CB  cum 
tangente  AD  angulum  rectlllneo  aequalem,  &  propterea  curvatura 
ad  punctum  A  non  erlt  contlnua,  contra  hypothesln. 


LEMMA     VIL 

lisdem  positis;    dico   quod  ultima   ratio   arcus,  chordcB,  &  tangentis 
ad  invicem  est  ratio  csqualitatis. 

Nam  dum  punctum  B  ad  punctum  A  accedlt,  intelllgantur  sem- 
per  AB  81  AD  ad  puncta  longlnqua  b  ac  ^producl,  &  secantl  BD 
parallela  agatur  b  d.  Sltque  arcus  A  cb  semper  slmllls  arcui  A  CB. 
Et  punctls  A,  B  coeuntlbus,  angulus  dA  b,  per  lemma  superlus, 
evanescet ;  ideoque  rectse  semper  finitae  A  b,  A  d,  Sl  arcus  interme- 
dius  A  cb  colncldent,  &  propterea  aequales  erunt.  U nde  &  hlsce 
semper  proportlonales  rectae  A  B,A  D,  81  arcus  intermedlus  ACB 
evanescent,  &  ratlonem  ultlmam  habebunt  aequalltatls.     Q.  E.  D. 

Corol.  I.  Unde  sl  per  ^  ducatur  tangenti  parallela^i^  rectam 
quamvis  A  F  per  A  transeuntem 

perpetuo  secans   in  F,  haec  B  F  a 

ultlmo  ad  arcum  evanescentem 
A  CB  ratlonem  habeblt  aequallta- 
tls,  eo  quod  completo  parallelo- 
grammo  A  F B  D  rationem  semper  habet  aequahtatls  ad  A  D. 


32 


PK  MOTU  CORPORUM 


Corol.  2.  Et  si  ptr  B  &  A  ducantur  plures  rcctae  BB,  BD,  AP, 
AG,  secantes  tangentem  AD  &  ipsius  parallelam  BF;  ratio  ultima 
abscissarum  omnium  AD,  AE,  BF,  BG,  chordseque  &  arcus  AB 
ad  invicem  erit  ratio  sequalitatis. 

CoroL  3.  Et  propterea  hae  omncs  linca:,  in  onini  dc  rationibus 
ultimis  argumentatione,  pro  se  invicem  usurpari  possunt. 


LEMMA     VIII. 

Si  recta  data  AR,  BR  cum  arcu  ACB,  chorda  AB  cSr'  tangente 
AD,  triangula  tria  RAB,  RACB,  RAD  constitumit,  dcin puncta 
A,  B  accedunt  ad  invicem:  dico  quod  ultima  forma  triangulorum 
evanescentium  est  similitudifiisy  &  ultima  ratio  crgualitatis, 

Nam  dum  punctum  B  ad  punctum  A  accedit,  intelligantur  semper 
AB,  AD,  AR  ad  puncta 
longinqua  b,  d  &  r  produci,  y^ 
ipsique  R  D  parallela  agi 
rbd,  &  arcui  ACB  similis 
semper  sit  arcus  Ac6.  Et 
coeuntibus  punctis  A^  B, 
angulus  6  A  d  evanescet,  & 
propterea  triangula  tria  sem- 
per  finita  r-^  ^,  rAcb,  rA^d 
coincident,  suntque  eo  nom- 
ine  similia  &  sequalia.  Unde  &  hisce  semper  similia  &  proportionalia 
RAB^RA  CB,  RAD  fient  ultimo  sibi  invicem  similia  &  sequalia. 
(2.  E.  D. 

CoroL     Et  hinc  triangula  illa,  in  omni  de  rationibus  ultimis  argu- 
mentatione,  pro  se  invicem  usurpari  possunt. 


LEMMA     IX. 

Si  recta    hJL    &  curva  A  B  C  positione  datcc  se  mutuo  secent  in 
angulo  dato  A,  &  ad  rectam  i/iam  in  alio  dato  angulo  ordinatim 


JJJiJ.K  J'RJMUS. 


33 


appliccniur  B  D,  CE,  cnrvcc  occtirrentes  in  B,  C,  dein  puncta 
B,  C  simul  accedant  ad  punctum  A  :  dico  quod  arece  triang^dorum 
ABD,  ACE  crunt  ultimo  ad  ifivicem  in  duplicata  ratione  laterum, 

Etenim  dum  puncta  By  C  accedunt  ad  punctum  A,  intelligatur 
semper  A  D  produci  ad  puncta  longinqua  d  &.  e,  ut  sint  A  d,  A  e 
ipsis  AD,  AE  proportionales,  &  erigantur  ordinatae  db,  ec  ordi- 
natis  D  B,  E  C  parallela:  quae 
occurrant  ipsis  ABy  ^Cproductis 
in  ^  &  r.  Duci  intelligatur,  tum 
curva  Abc  ipsi  ^i?Csimilis,  tum 
recta  Ag,  quae  tangat  curvam 
utramque  in  A,  &  secet  ordinatim 
applicatas  DB,  EC,  db,  ec  in  F, 
^y/f^'  Tum  manente  longitu- 
dine  A  e  coeant  puncta  B,  C  cum 
puncto  A  ;  &  angulo  cAg  evanes- 
cente,  coincident  areee  curvilineae 
Abd,  Ace  cum  rectilineis  Afd, 
Age  ;  ideoque  (per  lemma  v.)  erunt  in  duplicata  ratione  laterum  A  d, 
Ae:  Sed  his  areis  proportionales  semper  sunt  areae  ABD,  ACE,  & 
his  lateribus  latera  A  D,  A  E.  Ergo  &  areai  ABD,  ACE  sunt 
ultimo  in  dupHcata  ratione  laterum  A  D,  AE.      Q.E.D. 


LEMMA     X. 

Spatia  quce  corpus  urgente  quacunque  vi  finita  describity  sive  vis  illa 
determinata  &  immutabilis  sit,  sive  eadem  continuo  augeatur  vel 
contimw  diminuatury  sunt  ipso  motus  initio  in  duplicata  ratione 
temporum. 

Exponantur  tempora  per  lineas  AD,  AE,  &  velocitates  genitae 
per  ordinatas  DB,  EC;  &  spatia  his  velocitatibus  descripta,  erunt 
ut  area^  ABD,  ACE  his  ordinatis  descriptce,  hoc  est,  ipso  motus 
initio  (per  lemma  ix.)  in  duplicata  ratione  temporum  AD,  AE. 
Q^E.D. 


34  .  DE  MOTU  CORPORUM 

Corol.  I.  Et  hinc  facile  colligitur,  quod  corporum  similes  similium 
figurarum  partes  temporibus  proportionalibus  describentium  errores, 
qui  viribus  quibusvis  aequalibus  ad  corpora  similiter  applicatis 
generantur,  8:  mensurantur  per  distantias  corporum  a  figurarum 
similium  locis  illis,  ad  quae  corpora  eadem  temporibus  iisdem  pro- 
portionalibus  sine  viribus  istis  pervenirent,  sunt  ut  quadrata  temporum 
in  quibus  generantur  quam  proxime. 

CoroL  2.  Errores  autem  qui  viribus  proportionalibus  ad  similes 
figurarum  similium  partes  similiter  applicatis  generantur,  sunt  ut  vires 
&  quadrata  temporum  conjunctim. 

Corol.  3.  Idem  intelligendum  est  de  spatiis  quibusvis  quae  corpora 
urgentibus  diversis  viribus  describunt.  Haec  sunt,  ipso  motus  initio, 
ut  vires  &  quadrata  temporum  conjunctim. 

Corol.  4.  Ideoque  vires  sunt  ut  spatia,  ipso  motus  initio,  descripta 
directe  &  quadrata  temporum  inverse. 

CoroL  5.  Et  quadrata  temporum  sunt  ut  descripta  spatia  directe 
&  vires  inverse. 

Scholium. 

Si  quantitates  indeterminatae  diversorum  generum  conferantur 
inter  se,  &  earum  aliqua  dicatur  esse  ut  est  alia  quaevis  directe  vel 
inverse  :  sensus  est,  quod  prior  augetur  vel  diminuitur  in  eadem 
ratione  cum  posteriore,  vel  cum  ejus  reciproca.  Et  si  earum  aliqua 
dicatur  esse  ut  sunt  aliae  duae  vel  plures  directe  vel  inverse  :  sensus 
est,  quod  prima  augetur  vel  diminuitur  in  ratione  quae  componitur 
ex  rationibus  in  quibus  aliae  vel  aliarum  reciprocae  augentur  vel 
diminuuntur.  Ut  si  A  dicatur  esse  ut  B  directe  &  C  directe  &  D 
inverse  :  sensus  est,  quod  A  augetur  vel  diminuitur  in  eadem  ratione 

T  R  C* 

cum  B  X  C  X  -^  hoc  est,  quod  A  &  —  sunt  ad  invicem  in  ratione 

data. 

LEMM  A     XI. 

Subtensa  evanescens  anguli  contactus,  in  curvis  omnibus  curvaturam 
finitam  ad  punctum   contactus  habentibus,   est  ultimo   in   rationel 
dtLplicata  subtenscs  arcus  contermini. 


LIBER  PRTMUS. 


35 


Cas.  I.  Slt  arcus  ille  A  B,  tangens  ejus  A  D,  subtensa  anguli 
contactus  ad  tangentem  perpendicularis  B  D,  subtensa  arcus  A  B. 
Huic  subtensae  A  B  8i  tangenti  A  D  perpendiculares  erigantur  A  G, 
B  G,  concurrentes  in  G ;  dein  accedant  puncta  D,  B,  G,  ad  puncta  d, 
d,  g,  sitque  /  intersectio  linearum  B  G,  A  G  ultimo  facta  ubi  puncta 
D,B  accedunt  usque  ad  A.  Manifestum  est 
quod  distantia  GI  minor  esse  potest  quam 
assignata  quaevis.  Est  autem  (ex  natura  circu- 
lorum  per  puncta  A  B  G,  A  bg  transeuntium) 
A  B  qtmd.  sequale  A  Gx  B  D,  &  A  d  quad. 
sequale  Agxbd;  ideoque  ratio  AB  quad.  ad 
Ab  quad.  componitur  ex  rationibus  A  G  2A  A  g 
8i  B  D  2id  bd.  Sed  quoniam  G I  assumi  potest 
minor  longitudine  quavis  assignata,  fieri  potest 
ut  ratio  A  G  ad  Ag  minus  differat  a  ratione 
aequalitatis  quam  pro  differentia  quavis  assignata, 
ideoque  ut  ratio  A  B  quad.  3.6.  Ab  quad.  minus 
differat  a  ratione  BD  ad  bd  quam  pro  differentia 
quavis  assignata.  Est  ergo,  per  lemma  i,  ratio  ultima  AB  quad, 
2id  A  b  quad.  eadem  cum  ratione  ultima  B  D  zA  b  d.     Q.  E.  D. 

Cas.  2.  Inclinetur  jam  B  D  2id  A  D  m  angulo  quovis  dato,  & 
eadem  semper  erit  ratio  ultima  B  D  ad  bd  quae  prius,  ideoque  eadem 
Z.Z  A  B  quad.  zA  A  b  quad.     Q.  E.  D. 

Cas.  3.  Et  quamvis  angulus  D  non  detur,  sed  recta  B  D  zA 
datum  punctum  convergat,  vel  alia  quacunque  lege  constituatur ; 
tamen  anguli  D,  d  communi  lege  constituti  ad  aequalitatem  semper 
vergent  &  propius  accedent  ad  invicem  quam  pro  differentia  quavis 
assignata,  ideoque  ultimo  aequales  erunt,  per  lem.  i,  &  propterea 
lineae  BD,  bd^wxsX.  in  eadem  ratione  ad  invicem  ac  prius.     Q.E.D. 

Corol.  I.  Unde  cum  tangentes  A  D^  A  d,  arcus  A  B,  A  b,  & 
eorum  sinus  B  C,  bc  fiant  ultimo  chordis  A  B,  Ab  aequales ;  erunt 
etiam  illorum  quadrata  ultimo  ut  subtensae  B  D,  bd. 

Corol.  2.  Eorundem  quadrata  sunt  etiam  ultimo  ut  sunt  arcuum 
sagittae,  quae  chordas  bisecant  &  ad  datum  punctum  convergunt. 
Nam  sagittae  illae  sunt  ut  subtensae  B  D,  bd. 

Corol.  3.  Ideoque  sagitta  est  in  duplicata  ratione  temporis  quo 
corpus  data  velocitate  describit  arcum. 


36 


DE  MOTU  CORPORUM 


Corol.  4.  Triangula  rectilinea  ADB,  Adb  sunt  ultimo  in  tripli- 
cata  ratione  laterum  A  D,  A  d,  inque  sesquiplicata  laterum  D  B, 
db;  utpote  in  composita  ratione  laterum  AD 
&  DB,  A  d  &  db  existentia.  Sic  &  triangula 
A  B  C,  A  bc  sunt  ultimo  in  triplicata  ratione 
laterum  B  C,  bc.  Rationem  vero  sesquiplicatam 
voco  triplicatae  subduplicatam,  quse  nempe  ex 
simplici  &  subduplicata  componitur. 

Corol.  5.  Et  quoniam  D  B,  db  sunt  ultimo 
parallelse  &  in  duplicata  ratione  ipsarum  A  D, 
Ad:  erunt  areae  ultimae  curvilinese  A  D B, 
Adb  (ex  natura  parabolae)  duae  tertiae  partes 
triangulorum  rectilineorum  A  D  B,  Adb;  & 
segmenta  A  B,  Ab  partes  tertiae  eorundem 
triangulorum.  Et  inde  hae  areae  &  haec  segmenta 
erunt  in  triplicata  ratione  tum  tangentium  A  D,  A  d ;  tum  chordarum 
&  arcuum  AB,  Ab. 

Sckolmm. 

Caeterum  in  his  omnibus  supponimus  angulum  contactus  nec 
infinite  majorem  esse  angulis  contactuum,  quos  circuli  continent  cum 
tangentibus  suis,  nec  iisdem  infinite  minorem ;  hoc  est,  curvaturam 
ad  punctum  A,  nec  infinite  parvam  esse  nec  infinite  magnam,  seu 
intervallum  AI  finitae  esse  magnitudinis.  Capi  enim  potest  DB 
ut  A  D^ :  quo  in  casu  circulus  nullus  per  punctum  A  inter  tangen- 
tem  A  D  &L  curvam  A  B  duci  potest,  proindeque  angulus  contactus 
erit  infinite  minor  circularibus.  Et  simili  argumento  si  fiat  DB 
successive  ut  A  D\  A  D\  A  D\  A  D\  &c.  habebitur  series 
angulorum  contactus  pergens  in  infinitum,  quorum  quiHbet  posterior 
est  infinite  minor  priore.  Et  si  fiat  DB  successive  ut  A  D^,  A  Diy 
A  Di,  A  Diy  A  Di,  A  Dl,  &c.  habebitur  aHa  series  infinita  an- 
gulorum  contactus,  quorum  primus  est  ejusdem  generis  cum  circu- 
laribus,  secundus  infinite  major,  &  quihbet  posterior  infinite  major 
priore.  Sed  &  inter  duos  quosvis  ex  his  angulis  potest  series 
utrinque  in  infinitum  pergens  angulorum  intermediorum  inseri, 
quorum  quiHbet  posterior  erit  infinite  major  minorve  priore.  Ut 
si  inter  terminos  A  D""  &.  A  D^  inseratur  series  A  Z^V,  A  D\\  ADh 


LIBER  PRIMUS.  ^^ 

ADh  ADl  AD%,  AD\\  A  D\\  A  D\\  &c.  Et  rursus  inter 
binos  quosvis  angulos  hujus  seriei  inseri  potest  series  nova  angulorum 
intermediorum  ab  invicem  infinitis  intervallis  differentium.  Neque 
novit  natura  limitem. 

Quae  de  curvis  lineis  deque  superficiebus  comprehensis  demon- 
strata  sunt,  facile  appHcantur  ad  soHdorum  superficies  curvas  & 
contenta.  Praemisi  vero  haec  lemmata,  ut  effugerem  taedium  de- 
ducendi  longas  demonstrationes,  more  veterum  geometrarum,  ad 
absurdum.  Contractiores  enim  redduntur  demonstrationes  per 
methodum  indivisibilium.  Sed  quoniam  durior  est  indivisibilium 
hypothesis,  &  propterea  methodus  illa  minus  geometrica  censetur ; 
malui  demonstrationes  rerum  sequentium  ad  ultimas  quantitatum 
evanescentium  summas  &  rationes,  primasque  nascentium,  id  est, 
ad  limites  summarum  &  rationum  deducere ;  &  propterea  Hmitum 
iHorum  demonstrationes  qua  potui  brevitate  praemittere.  His  enim 
idem  praestatur  quod  per  methodum  indivisibiHum ;  &  principiis 
demonstratis  jam  tutius  utemur.  Proinde  in  sequentibus,  siquando 
quantitates  tanquam  ex  particuHs  constantes  consideravero,  vel  si  pro 
rectis  usurpavero  Hneolas  curvas ;  noHm  indivisibiHa,  sed  evanescentia 
divisibiHa,  non  summas  &  rationes  partium  determinatarum,  sed  sum- 
marum  &  rationum  Hmites  semper  inteHigi;  vimquetaHum  demonstra- 
tionum  ad  methodum  praecedentium  lemmatum  semper  revocari. 

Objectio  est,  quod  quantitatum  evanescentium  nuHa  sit  ultima 
proportio  ;  quippe  quae,  antequam  evanuerunt,  non  est  ultima,  ubi 
evanuerunt,  nuHa  est.  Sed  &  eodem  argumento  aeque  contendi 
posset  nuUam  esse  corporis  ad  certum  locum,  ubi  motus  finiatur, 
pervenientis  velocitatem  ultimam  :  hanc  enim,  antequam  corpus 
attingit  locum,  non  esse  ultimam,  ubi  attingit,  nuHam  esse.  Et 
responsio  faciHs  est :  Per  velocitatem  ultimam  inteHigi  eam,  qua 
corpus  movetur,  neque  antequam  attingit  locum  ultimum  &  motus 
cessat,  neque  postea,  sed  tunc  cum  attingit ;  id  est,  iHam  ipsam  ve- 
locitatem  quacum  corpus  attingit  locum  ultimum  &  quacum  motus 
cessat.  Et  simiHter  per  ultimam  rationem  quantitatum  evanescen- 
tium,  inteHigendam  esse  rationem  quantitatum,  non  antequam  eva- 
nescunt,  non  postea,  sed  quacum  evanescunt.  Pariter  &  ratio  prima 
nascentium  est  ratio  quacum  nascuntur.  Et  summa  prima  &  ultima 
est  quacum  esse  (vel  augeri  aut  minui)  incipiunt  &  cessant.       Extat 


38  DE  MOTU  COEPORUM 

limes  quem  velocltas  in  fine  motus  attingere  potest,  non  autem 
transgredi.  Haec  est  velocitas  ultima.  Et  par  est  ratio  limitis  quan- 
titatum  &  proportionum  omnium  incipientium  &  cessantium.  Cum- 
que  hic  limes  sit  certus  &  definitus,  problema  est  vere  geometricum 
eundem  determinare.  Geometrica  vero  omnia  in  aliis  geometricis 
determinandis  ac  demonstrandis  legitime  usurpantur. 

Contendi  etiam  potest,  quod  si  dentur  ultimae  quantitatum  eva- 
nescentium  rationes,  dabuntur  &  ultimae  magnitudines  :  &  sic  quan- 
titas    omnis   constabit  ex    indivisibilibus,   contra    quam    Euclides    d< 
incommensurabilibus,    in   libro    decimo    elementorum,    demonstravil 
Verum   hsec   objectio   falsae   innititur   hypothesi.       Uhimae    rationes^ 
illae   quibuscum   quantitates   evanescunt,    revera    non    sunt   ration< 
quantitatum  ultimarum,  sed  Hmites  ad  quos  quantitatum  sine  Hmitej 
decrescentium    rationes    semper    appropinquant ;    &    quas    propiuj 
assequi    possunt   quam   pro  data  quavis  differentia,  nunquam   veroj 
transgredi,  neque  prius  attingere  quam  quantitates  diminuuntur   inj 
infinitum.     Res  clarius  intelHgetur  in  infinite  magnis.      Si  quantitatesl 
duae   quarum   data   est   differentia   augeantur   in    infinitum,    dabitur 
harum  ukima  ratio,  nimirum  ratio  aequaHtatis,  nec  tamen  ideo  da- 
buntur  quantitates  ukimae  seu  maximae  quarum  ista  est  ratio.     In 
sequentibus  igitur,  siquando  faciH  rerum  conceptui  consulens  dixero 
quantitates    quam    minimas,    vel    evanescentes,    vel    ultimas ;    cav< 
intehigas  quantitates  magnitudine   determinatas,  sed   cogita  semperj 
diminuendas  sine  Hmite. 

S  E  CT  I  O     II. 

De  inventione  virium  centripetarum, 

PROPOSITIO    I.       THEOREMA    I. 

Areas,  quas  corpora  in  gyros  acta  radiis  ad  immobile  centrum 
virium  ductis  descridunt,  &  in  planis  imm^bilibus  consistere, 
&  esse  temporibus  proportionales, 

Dividatur  tempus  in  partes  sequales,  &  prima  temporis  parte  de- 
scribat  corpus  vi  insita  rectam  AB,  Idem  secunda  temporis  parte,  si 
nil  impediret,  recta  pergeret  ad  c,  (per  leg.  i.)  describens  Hneam  B c 


LIBER  PRIMUS, 


39 


sequalem   Ipsl  A  B ;  adeo  ut  radiis  A  S,  B S,  cS  ad  centrum  actls, 

confectae  forent  sequales  arese  A  S  B,  B  S  c.        Verum   ubi  corpus 

venit  ad  B,  agat 

vis      centripeta 

impulsu     unico 

sed  magno,  effi- 

clatque  ut   cor- 

pus  de  recta  Bc 

decllnet  &  per- 

gat  in  recta  B  C. 

Ipsi  B  S  paral- 

lela  agatur  c  C, 

occurrens    B  C 

in   C ;   &  com- 

pleta      secunda 

temporls   parte, 

corpus  (per  le- 

gum    corol.    i.) 

reperietur  In  C, 

in  eodem  plano 

cum      trlangulo    s 

ASB.     Junge 

SC ;  &  trlangulum  S B C,  ob  parallelas  S B,  Cr,  aequale  erit  trlan- 

gulo  SBc,  atque  Ideo  etlam  trlangulo  S  A  B.      Slmlli  argumento  si 

vis  centripeta  successlve  agat  In  C,  D,  E,  &c.  faciens  ut  corpus  singulis 

temporis   particulis  singulas  descrlbat   rectas    C  D,  D  E,   E  F,    &c. 

jacebunt  hae  omnes  In  eodem  plano ;  &  triangulum  SCD  triangulo 

SBC,8>iSDE  ipsi  SCD,&lSEF ipsi  SDE ^quale  erlt.     ^qua- 

llbus  Igitur  temporibus  sequales  arese  In  plano  Immoto  descrlbuntur  : 

&  componendo,  sunt  arearum  summse  qusevis  S  A  D  S,  S  A  FS  Inter 

se,  ut  sunt  tempora  descrlptionum.     Augeatur  jam  numerus  &  mlnu- 

atur  latitudo  triangulorum  in  infinltum ;  &  eorum  ultima   perimeter 

A  D  Fy  (per  corollarlum  quartum  lemmatis  tertli)  erit  linea   curva  : 

ideoque  vls  centripeta,  qua  corpus  a  tangente  hujus  curvae  perpetuo 

retrahitur,  aget  Indesinenter ;  arese  vero  quaevis  descriptae  S  A  D  S, 

SAFS  temporibus    descriptlonum    semper    proportlonales,    erunt 

iisdem  temporibus  in  hoc  casu  proportlonales.     Q.  E.  D. 


40 


DE  MOTU  CORPORUM 


CoroL  I.  Velocitas  corporis  in  centrum  immobile  attracti  est  in 
spatiis  non  resistentibus  reciproce  ut  perpendiculum  a  centro  illo  in 
orbis  tang^ntem  rectilineam  demissum.  Est  enim  velocitas  in  locis 
illis^,  ^,  C,  A 

/ 


F/' 


// 


'"■f-. 


■- w/ 

\ 

\  ir^. 

-^A 

// 

/  / 

7^\ 

//  / 

„<;//\ 

// 

''''-^'           1      \ 

/ 

1  ■) 

Yl^    / 

,/^' 


.--7-B 


£,  ut  sunt  bases. 
aequalium  trian- 
gulorum  A  B, 
BQ  CD.DE, 
EF;  &  hce 
bases  sunt  reci- 
proce  ut  perpen- 
dicula  in  ipsas 
demissa. 

Corol.  2.  Si 
arcuum  duorum 
aequalibus  tem- 
poribus  in  spa- 
tiis  non  resisten- 
tibus  ab  eodem 
corpore  succes- 
sive  descriptor- 
um  chordae  AB, 
B  C   complean- 

tur  in  parallelogrammum  A  B  C  V,  &  hujus  diagonalis  ^  F  in  ea 
positione  quam  ultimo  habet  ubi  arcus  illi  in  infinitum  diminuuntur, 
producatur  utrinque  ;  transibit  eadem  per  centrum  virium. 

Corol.  3.  Si  arcuum  sequalibus  temporibus  in  spatiis  non  resisten- 
tibus  descriptorum  chordae  AB,  B  C,  ^c  D  E,  EF  compleantur  in 
parallelogramma  A  B  C  V,  DEFZ ;  vires  in  B  &  E  sunt  ad  invi- 
cem  in  ultima  ratione  diagonahum  B  J^,  E  Z,  ubi  arcus  isti  in  infini- 
tum  diminuuntur.  Nam  corporis  motus  B  C  81  E F  componuntur 
(per  legum  corol.  i.)  ex  motibus  B c,  B  V  8l  Ef,  E  Z :  atqui  B  V  81 
EZy  ipsis  Cc  &  i^y  aequales,  in  demonstratione  propositionis  hujus 
generabantur  ab  impulsibus  vis  centripetae  in  ^  &  ^,  ideoque  sunt 
his  impulsibus  proportionales. 

CoroL  4.  Vires  quibus  corpora  quaelibet  in  spatiis  non  resistenti- 
bus  a  motibus  rectilineis  retrahuntur  ac  detorquentur  in  orbes  curvos 


I 


LIBER  PRIMUS.  ^j 

sunt  inter  se  ut  arcuum  sequalibus  temporibus  descriptorum  sagittae 
illse  quse  convergunt  ad  centrum  virium,  &  chordas  bisecant  ubi 
arcus  illi  in  infinitum  diminuuntur.  Nam  hae  sagittae  sunt  semisses 
diagonahum,  de  quibus  egimus  in  corollario  tertio. 

Corol.  5.  Ideoque  vires  esedem  sunt  ad  vim  gravitatis,  ut  hse 
sagittse  ad  sagittas  horizonti  perpendiculares  arcuum  paraboHcorum, 
quos  projectiHa  eodem  tempore  describunt. 

Corol.  6.  Eadem  omnia  obtinent  per  legum  corol.  v.  ubi  plana,  in 
quibus  corpora  moventur,  una  cum  centris  virium,  quse  in  ipsis  sita 
sunt,  non  quiescunt,  sed  moventur  uniformiter  in  directum. 

PROPOSITIO    II.       THEOREMA    II. 

Corpus  omne,  quod  movetur  in  linea  aliqua  curva  in  plano  descripta, 
&  radio  ducto  ad  punctum  vel  immodile,  vel  motiL  rectilifieo 
uniformiter progredie7iSy  describit  areas  circa  punctum  illud  tempor- 
ibus  proportionales,  urgettcr  a  vi  centripeta  tendente  ad  idem  punctum. 

Cas.  I.  Nam  corpus  omne,  quod  movetur  in  linea  curva,  detor- 
quetur  de  cursu  rectiHneo  per  vim  aHquam  in  ipsum  agentem  (per 
leg.  I.).  Et  vis  iHa,  qua  corpus  de  cursu  rectiHneo  detorquetur,  & 
cogitur  triangula  quam  minima  S  A  B,  S  B  C,  SCD,  &c.  circa 
punctum  immobile  6^  temporibus  aequaHbus  aequaHa  describere,  agit 
in  loco  B  secundum  Hneam  paraHelam  ipsi  c  C  (per  prop.  xl.  Hb.  i. 
elem.  &  leg.  11.)  hoc  est,  secundum  Hneam  BS ;  &  in  loco  C  se- 
cundum  Hneam  ipsi  d  D  paraHelam,  hoc  est,  secundum  Hneam  6"  C, 
&c.  Agit  ergo  semper  secundum  Hneas  tendentes  ad  punctum  iHud 
immobile  6".     Q.E.D. 

Cas.'2.  Et,  per  legum  coroHarium  quintum,  perinde  est,  sive  qui- 
escat  superficies,  in  qua  corpus  describit  figuram  curviHneam,  sive 
moveatur  eadem  una  cum  corpore,  figura  descripta,  &  puncto  suo 
6^  uniformiter  in  directum. 

Corol.  I.  In  spatiis  vel  mediis  non  resistentibus,  si  areae  non  sunt 
temporibus  proportionales,  vires  non  tendunt  ad  concursum  radio- 
rum  ;  sed  inde  decHnant  in  consequentia,  seu  versus  plagam  in  quam 
fit  motus,  si  modo  areanim  descriptio  acceleratur  :  sin  retardatur, 
decHnant  in  antecedentia. 


42  ^^  MOTU  CORPORUM 

Corol.  2.  In  mediis  etiam  resistentibus,  si  arearum  descriptio  acce- 
leratur,  virium  directiones  declinant  a  concursu  radiorum  versus 
plagam,  in  quam  fit  motus. 

Sckolium. 

Urgeri  potest  corpus  a  vi  centripeta  composita  ex  pluribus  viri- 
bus.  In  hoc  casu  sensus  propositionis  est,  quod  vis  illa  quae  ex 
omnibus  componitur,  tendit  ad  punctum  6".  Porro  si  vis  aliqua  agat 
perpetuo  secundum  lineam  superficiei  descriptae  perpendicularem ; 
haec  faciet  ut  corpus  deflectatur  a  plano  sui  motus  :  sed  quantitatem 
superficiei  descriptae  nec  augebit  nec  minuet,  &  propterea  in  com- 
positione  virium  negligenda  est. 


PROPOSITIO    III.       THEOREMA    III. 

Corpus  omne,  quod  radio  ad  centrum  corporis  alterius  utcunqUre 
moti  ducto  describit  areas  circa  centrum  illud  temporibus  propor- 
tionales,  urgetur  vi  composita  ex  vi  centripeta  tendente  ad  corpus 
illud  alterum,  &  ex  vi  omni  acceleratrice  qua  corpus  illud 
alterum  urgetur, 

Sit  corpus  primum  Z,  &  corpus  alterum  T:  &  (per  legum  corol. 
vi.)  si  vi  nova,  quae  aequaHs  &  contraria  sit  illi,  qua  corpus  alterum 
T  urgetur,  urgeatur  corpus  utrumque  secundum  Hneas  paraHelas ; 
perget  corpus  primum  L  describere  circa  corpus  alterum  T  areas 
easdem  ac  prius  :  vis  autem,  qua  corpus  alterum  T  urgebatur,  jam 
destruetur  per  vim  sibi  aequalem  &  contrariam ;  &  propterea  (per 
leg.  I.)  corpus  iHud  alterum  T  sibimet  ipsi  jam  reHctum  vel  quies- 
cet,  vel  movebitur  uniformiter  in  directum  :  &  corpus  primum  L 
urgente  differentia  virium,  id  est,  urgente  vi  reHqua  perget  areas 
temporibus  proportionales  circa  corpus  alterum  T  describere.  Ten- 
dit  igitur  (per  theor.  ii.)  differentia  virium  ad  corpus  iHud  alterum 
T  ut  centrum.     Q.  E.  D. 

CoroL  I.  Hinc  si  corpus  unum  L  radio  ad  alterum  T  ducto 
describit  areas  temporibus  proportionales  ;  atque  de  vi  tota  (sive  sim- 
pHci,    sive  ex   viribus  pkiribus   juxta   legum   coroHarium   secundum 


LIBER  PRIMVS.  ^^ 

composita)  qua  corpus  prlus  L  urgetur,  subducatur  (per  idem  legum 
corollarium)  vis  tota  acceleratrix,  qua  corpus  alterum  urgetur : 
vis  omnis  reliqua,  qua  corpus  prius  urgetur,  tendet  ad  corpus  alterum 
T  ut  centrum. 

Corol.  2.  Et,  si  area^  illae  sunt  temporibus  quamproxime  propor- 
tionales,  vis  reliqua  tendet  ad  corpus  alterum  T  quamproxime. 

Corol.  3.  Et  vice  versa,  si  vis  reliqua  tendit  quamproxime  ad 
corpus  alterum  T,  erunt  areae  illae  temporibus  quamproxime  propor- 
tionales. 

Corol.  4.  Si  corpus  L  radio  ad  alterum  corpus  T  ducto  describit 
areas,  quae  cum  temporibus  collatae  sunt  valde  inaequales ;  &  corpus 
illud  alterum  T  vel  quiescit,  vel  movetur  uniformiter  in  directum  : 
actio  vis  centripetae  ad  corpus  illud  alterum  T  tendentis  vel  nulla  est, 
vel  miscetur  &  componitur  cum  actionibus  admodum  potentibus 
aliarum  virium  :  visque  tota  ex  omnibus,  si  plures  sunt  vires, 
composita  ad  aliud  (sive  immobile  sive  mobile)  centrum  dirigitur. 
Idem  obtinet,  ubi  corpus  alterum  motu  quocunque  movetur ;  si  modo 
vis  centripeta  sumatur,  quae  restat  post  subductionem  vis  totius  in 
corpus  illud  alterum  T  agentis. 

Scholium. 

Quoniam  aequabilus  arearum  descriptio  index  est  centri,  quod 
vis  illa  respicit,  qua  corpus  maxime  afficitur,  quaque  retrahitur  a 
motu  rectilineo,  &  in  orbita  sua  retinetur;  quidni  usurpemus  in 
sequentibus  aequabilem  arearum  descriptionem  ut  indicem  centri, 
circum  quod  motus  omnis  circularis  in  spatiis  liberis  peragitur  ? 


PROPOSITIO   IV.     THEOREMA    IV. 

Corporum,  qucB  diversos  circulos  cequabili  motu  describunt^  vires 
centripetas  ad  centra  eorundem  circulorum  tendere ;  &  esse  inter  se, 
ut  sunt  arcuum  simul  descriptorum  quadrata  applicata  ad  circu- 
lorum  radios. 

Tendunt  hae  vires  ad  centra  circulorum  per  prop.  11.  &  corol.  2. 
prop.    I.  &  sunt  inter  se   ut   arcuum   aequalibus   temporibus   quam 


44  DE  MOTU  CORPORUM 

minimis  descriptorum  sinus  versi  per  corol.  4.  prop.  i.  hoc  est,  ut 
quadrata  arcuum  eorundem  ad  diametros  circulorum  applicata  per 
lem.  vii.  &  propterea,  cum  hi  arcus  sint  ut  arcus  temporibus  quibusvis 
sequahbus  descripti,  &  diametri  sint  ut  eorum  radii ;  vires  erunt 
ut  arcuum  quorumvis  simul  descriptorum  quadrata  applicata  ad 
radios  circulorum.     Q.E.D, 

Corol.  I.  Cum  arcus  illi  sint  ut  velocitates  corporum,  vires  cen- 
tripetse  erunt  in  ratione  composita  ex  dupHcata  ratione  velocitatum 
directe,  &  ratione  simpHci  radiorum  inverse. 

Corol.  2.  Et,  cum  tempora  periodica  sint  in  ratione  composita 
ex  ratione  radiorum  directe,  &  ratione  velocitatum  inverse ;  vires 
centripetae  sunt  in  ratione  composita  ex  ratione  radiorum  directe,  & 
ratione  duplicata  temporum  periodicorum  inverse. 

Corol.  3.  Unde  si  tempora  periodica  sequentur,  &  propterea 
velocitates  sint  ut  radii ;  erunt  etiam  vires  centripetae  ut  radii  :  & 
coritra. 

Corol.  4.  Si  &  tempora  periodica,  &  velocitates  sint  in  ratione 
subduplicata  radiorum ;  sequales  erunt  vires  centripetae  inter  se  :  & 
contra. 

Corol.  5.  Si  tempora  periodica  sint  ut  radii,  &  propterea  velocitates 
sequales  ;  vires  centripetae  erunt  reciproce  ut  radii :  &  contra. 

CoroL  6.  Si  tempora  periodica  sint  in  ratione  sesquipHcata  radio- 
rum,  &  propterea  velocitates  reciproce  in  radiorum  ratione  subdu- 
pHcata;  vires  centripetae  erunt  reciproce  ut  quadrata  radiorum  : 
&  contra. 

Corol.  7.  Et  universaHter,  si  tempus  periodicum  sit  ut  radii  R 
potestas  quaeHbet  R^,  &  propterea  velocitas  reciproce  ut  radii  potestas 
7?'*"  ;  erit  vis  centripeta  reciproce  ut  radii  potestas  R"""'^ :  &  contra. 

Corol.  8.  Eadem  omnia  de  temporibus,  velocitatibus,  &  viribus, 
quibus  corpora  similes  figurarum  quarumcunque  simiHum,  centraque 
in  figuris  iHis  simiHter  posita  habentium,  partes  describunt,  con- 
sequuntur  ex  demonstratione  praecedentium  ad  hosce  casus  appHcata. 
AppHcatur  autem  substituendo  aequabilem  arearum  descriptionem 
pro  aequabiH  motu,  &  distantias  corporum  a  centris  pro  radiis 
usurpando. 

Corol.  9.  Ex  eadem  demonstratione  consequitur  etiam;  quod 
arcus,   quem  corpus  in  circulo  data  vi  centripeta  uniformiter  revol- 


LIBER  PRIMUS.  ^r 

vendo  tempore  quovis  descrlbit,  medius  est  proportionalis  inter  dia- 
metrum  circuli,  &  descensum  corporis  eadem  data  vi  eodemque 
tempore  cadendo  confectum. 

Scholmm. 

Casus  corollarii  sexti  obtinet  in  corporibus  coelestibus,  (ut  seorsum 
collegerunt  etiam  nostrates  WrennuSy  Hookms  &  Hallceus)  &  prop- 
terea  quse  spectant  ad  vim  centripetam  decrescentem  in  duplicata 
ratione  distantiarum  a  centris,  decrevi  fusius  in  sequentibus  expo- 
nere. 

Porro  praecedentis  propositionis  &  corollariorum  ejus  beneficio, 
colligitur  etiam  proportio  vis  centripetae  ad  vim  quamlibet  notam, 
qualis  est  ea  gravitatis.  Nam  si  corpus  in  circulo  terrae  concentrico 
vi  gravitatis  suae  revolvatur,  haec  gravitas  est  ipsius  vis  centripeta. 
Datur  autem  ex  descensu  gravium  &  tempus  revolutionis  unius, 
&  arcus  dato  quovis  tempore  descriptus,  per  hujus  corol.  ix.  Et 
hujusmodi  propositionibus  Hugenius  in  eximio  suo  tractatu  de  Horolo- 
gio  Oscillatorio  vim  gravitatis  cum  revolventium  viribus  centrifugis 
contulit. 

Demonstrari  etiam  possunt  praecedentia  in  hunc  modum.  In  cir- 
culo  quovis  describi  intelligatur  polygonum  laterum  quotcunque. 
Et  si  corpus  in  polygoni  lateribus  data  cum  velocitate  movendo 
ad  ejus  angulos  singulos  a  circulo  reflectatur ;  vis,  qua  singulis  re- 
flexionibus  impingit  in  circulum,  erit  ut  ejus  velocitas  :  ideoque 
summa  virium  in  dato  tempore  erit  ut  velocitas  illa,  &  numerus  re- 
flexionum  conjunctim  :  hoc  est  (si  polygonum  detur  specie)  ut  lon- 
gitudo  dato  illo  tempore  descripta,  &  aucta  vel  diminuta  in  ratione 
longitudinis  ejusdem  ad  circuli  praedicti  radium  ;  id  est,  ut  quadratum 
longitudinis  illius  applicatum  ad  radium  :  ideoque,  si  polygonum 
lateribus  infinite  diminutis  coincidat  cum  circulo,  ut  quadratum  arcus 
dato  tempore  descripti  applicatum  ad  radium.  Haec  est  vis  centrifuga, 
qua  corpus  urget  circulum  ;  &  huic  aequalis  est  vis  contraria,  qua 
circulus  continuo  repellit  corpus  centrum  versus. 


46 


DE  MOTU  CORPORUM 


PROPOSITIO   V.      PROBLEMA    I. 

Data  quibuscunque  in  locis  velocitate,  qua  corpus  figuram  datam 
viribus  ad  commune  aliquod  centriim  tendentibus  describity 
centrum   illud  invenire, 

Figuram  descriptam  tangant  rectse  tres  P  T,  TQ  V,  VRm  punc- 
tis  totidem  P,  Q,  R,  concurrentes  m  T  &  V.  Ad  tangentes  eri- 
gantur  perpendicula  PA,  QB,  R  C  velocitatibus  corporis  in  punctis 
illis  Py  Qy  R,  a  quibus  eriguntur,  reciproce  proportionalia ;  id  est, 
ita  ut  sit  PA  2id  Q  B  ut  velocitas  in  Q  ad  velocitatem  in  Py  &  Q  B 
2id  R  Cut  velocitas  in  R  ad  velocitatem  in  Q,  Per  perpendiculorum 
terminos  A,  B,  C  ad  angulos  rectos  ducantur  A  D,  D  B  E,  E  C 
concurrentes  in  Z^  &  ^;  Et  actae  T D,  V E  concurrent  in  centro 
qusesito  S, 

Nam  perpendicula  a  centro  ^'in  tangentes  P  T,  Q  7"demissa  (per 

corol.  I.  prop.  i.)  sunt  reciproce  ^R- 

ut  velocitates  corporis  in  punctis 

P  &  Q  ;  ideoque  per  construc- 

tionem    ut    perpendicula    A  P, 

B  Q  directe,  id  est  ut  perpendi- 

cula  a  puncto  D  in   tangentes 

demissa.       Unde   facile   colligi- 

tur  quod  puncta  S,  D,  T  sunt  in 

una  recta.      Et  simili  argumento 

puncta  S,  E,    V  sunt  etiam  in  una  recta ;  &  propterea  centrum  6* 

in  concursu  rectarum  TD,  V  E  versatur.     Q,E,D, 


PROPOSITIO    VI.     THEOREMA    V. 

Si  corpus  in  spatio  non  resistente  circa  centrum  immobile  in  orbe 
quocunque  revolvatur,  &  arcum  quemvis  jamjam  nascentem 
tempore  quam  minimo  describat,  &  sagitta  arcus  duci  intelli- 
gatur,  quce  chordam   bisecet,    &  producta    transeat  per  centrum 


LIBER   PRIMUS.  47 

virium:   erit  vis  centripeta  in  medio  arcus,  ut  sagitta  directe  & 
tempus  bis  inverse, 

Nam  sagltta  dato  tempore  est  ut  vis  (per  corol.  4.  prop.  i.)  & 
augendo  tempus  in  ratione  quavis,  ob  auctum  arcum  in  eadem 
ratione  sagitta  augetur  in  ratione  illa  duplicata  (per  corol.  2  &  3, 
lem.  XI.)  ideoque  est  ut  vis  semel  &  tempus  bis.  Subducatur  du- 
plicata  ratio  temporis  utrinque,  &  fiet  vis  ut  sagitta  directe  &  tempus 
bis  inverse.     Q.  E.  D. 

Idem  facile  demonstratur  etiam  per  corol.  4.  lem.  x. 

Corol.    I.   Si   corpus   P   revol- 

vendo  circa   centrum  .S  describat 

lineam  curvam  APQ;  tangat  vero 

recta  ZPR  curvam  illam  in  puncto 

quovis  P,  &  ad  tangentem  ab  alio 

quovis    curvse    puncto    Q    agatur 

QR    distantiae    SP    parallela,    ac 

demittatur     Q  T    perpendicularis 

ad  distantiam  illam    SP :   vis  centripeta  erit  reciproce   ut  solidum 

SP  quad.  y.  Q  T  quad.       .  ,  ,. ..   .„. 

-Ty-B J    si   modo   solidi  illius  ea   semper   sumatur 

quantitas,  quae  ultimo  fit,  ubi  coeunt   puncta  P  81   Q.       Nam  QR 

sequalis  est  sagittse  dupli  arcus  Q  P,  in  cujus  medio  est  P,  &  duplum 

trianguli  SQP,  sive  SP  xQT,  tempori,  quo  arcus  iste  duplus  describi- 

tur,  proportionale  est ;  ideoque  pro  temporis  exponente  scribi  potest. 

Corol.  2.  Eodem  argumento  vis  centripeta  est  reciproce  ut  solidum 

SY  qxQP  q     ,         .     ^^  ...  .  ..        . 

hyp ^,  si  modo  or  perpendiculum  sit  a  centro  vinum  m  or- 

bis  tangentem  PR  demissum.    Nam  rectangula  SYy.  QP &  SP  x  QT 
sequantur. 

Coro/.  3.  Si  orbis  vel  circulus  est,  vel  circulum  concentrice  tangit, 
aut  concentrice  secat,  id  est,  angulum  contactus  aut  sectionis  cum 
circulo  quam  minimum  continet,  eandem  habens  curvaturam  eun- 
demque  radium  curvaturse  ad  punctum  P ;  81  s\  P  V  chorda  sit 
circuli  hujus  a  corpore  per  centrum  virium  acta :   erit  vis  centripeta 

reciproce  ut  solidum  SYqxPV.    Nam  P  V  est    q  ^- 


^g  DE  MOTU  CORPORUM 

Corol.  4.  Ilsdem  positis,  est  vis 
centripeta  ut  velocitas  bis  directe, 
&  chorda  illa  inverse.  Nam  velo- 
citas  est  reciproce  ut  perpendiculum 
kSF  per  corol.  i.  prop.  i. 

CoroL  5.   Hinc   si-detur  figura 
qusevis   curvilinea  y^P^,  &  in  ea  / — —^ 
detur  etiam  punctum  S,  ad  quod  vis       ^ 

centripeta  perpetuo  dirigltur,  inveniri  potest  lex  vis  centripetse,  qua 
corpus  quodvls  P  a  cursu  rectllineo  perpetuo  retractum  in  figurse 
illius   perimetro  detinebitur,  eamque   revolvendo   descrlbet.       Nimi- 

rum  computandum  est  vel  solidum ^-^ vel  solidum  6"  Yq 

X  P  F  huic  vi  reciproce  proportionale.      Ejus  rei  dabimus  exempla 
in  problematis  sequentibus. 

PROPOSITIO    VII.      PROBLEMA    II. 

Gyretur  corpus  in  circumferentia  circtdi,  requiritur  lex  vis  centripetce 
tendentis  ad punctum  quodcunque  datum, 

Esto  circuli  circumferentia 
VQPA;  punctum  datum,  ad 
quod  vis  ceu  ad  centrum  su- 
um  tendit,  S ;  corpus  in  cir- 
cumferentia  latum  P ;  locus 
proximus,  in  quem  movebltur 
Q ;  8i  circuH  tangens  ad  lo- 
cum  priorem  PRZ.  Per 
punctum  kS  ducatur  chorda 
PV ;  &  acta  circuli  diametro 
VA,  jungatur  AP ;  Sz:  ad 
SP  demittatur  perpendiculum 
QT,  quod  productum  occur- 
rat  tangenti  P  R  in  Z ;  ac 
denique  per  punctum  Q  agatur  LR,  quse  ipsi  SP  parallela  sit,  S: 
occurrat  tum  circulo  in  Z,  tum  tangenti  P  Z  in  R.  Et  ob  similia 
triangula  ZQR,  ZTP,    VPA ;    erit  RP  quad.  hoc  est  QRL    ad 


LIBER  PRIMUS. 


49 


Q  T  quad,  Mt  AV  quad,  ad  P  V  quad,     Ideoque  Q^^^^^  ^'^^^- 

A  V  quad. 

sequatur  Q  T  quad.       Ducantur  haec  aequalia  in ^^^^  ',  &  punctis 

Q  R 

P&.Q  coeuntibus  scribatur  P  Fpro  RL.   Sic  fiet  ^^  9^"^^'^^^ '^^- 

A  V  quad. 


sequale 


S  P  quad.  x^  Q  T  quad. 


Ergo  (per  corol.  i.  &  5.  prop.  vi.) 

SPqxPV  cub.     .^  ,  ^   ^ 

Vtt -7 ;   id  est  (ob  datum 

A  V  quad.  ^ 

A  V quad.)  rQciproce  ut  quadratum  distantiae  seu   altitudinis  SP  & 

cubus  chordae  P  V  conjunctim.     Q.E.I. 


QR 

vis  centripeta  est  reciproce  ut 


Idem  aliter. 

Ad  tangentem  PR   productam  demittatur  perpendiculum  SY: 

&  ob  simiHa  triangula  SVP,  VPA  ;  erit  ^  F  ad  P  Fut  ^P  ad  ^'F; 

SPxP  V            ,      ^^^  ^    SP  quad.  x  P  V  ctib. 
aequale   o  r ,  &   ^ 


ideoque 


aequale 
VI.)  vis 


centripeta  est  reciproce  ut 


-,  hoc  est,  ob  datam  A  V 


A  V        "^  '  "  AVquad 

S  Y  quad.  x  P  F.      Et  propterea  (per  corol.   3.   &  5.  prop 

SPqy.  P  V  cub. 

AVq 
reciproce  ut  SPq  y,  P  V  cub.     Q.E.I. 

Corol.  I.  Hinc  si  punctum  datum  S,  ad  quod  vis  centripeta  semper 
tendit,  locetur  in  circumferentia  hujus  circuli,  puta  ad  V ;  erit  vis 
centripeta  reciproce  ut  quadrato-cubus  altitudinis  SP, 

Corol.  2.  Vis,  qua  corpus  P  in  circulo  A  P  T  V  circum  virium 
centrum  kS  revolvitur,  est  ad  vim,  qua 
corpus  idem  P  in  eodem  circulo  & 
eodem  tempore  periodico  circum  aliud 
quodvis  virium  centrum  R  revolvi  po- 
test,  ut  RP  quad.  x  SP  ad  cubum  rec- 
tae  SG,  quae  a  primo  virium  centro  6^ 
ad  orbis  tangentem  PG  ducitur,  &  di- 
stantiae  corporis  a  secundo  virium  cen- 
tro  parallela  est.  Nam  per  construc- 
tionem  hujus  propositionis  vis  prior 
RPqxPT  cub.    ad   SPqxPV  cub. 

D 


est 
.    id 


ad   vim   posteriorem    ut 
est,    ut   SPxRPq   ad 


50 


DE  MOTU  CORPORUM 


SP  cub.xPV  cub.^  ^.^^  ^.^.j.^   triangula  P  S  G,   TPV)  ad 

P  T  cub, 
SG  cub. 

Corol.  3.  Vis,  qua  corpus  P  in  orbe  quocunque  circum  virium 
centrum  kS  revolvitur,  est  ad  vim,  qua 
corpus  idem  P  in  eodem  orbe  eodem- 
que  tempore  periodico  circum  aliud 
quodvis  virium  centrum  R  revolvi  po- 
test,  ut  SPxRPq,  contentum  utique 
sub  distantia  corporis  a  primo  virium 
centro  .S  &  quadrato  distantise  ejus 
a  secundo  virium  centro  Ry  ad  cubum 
rectse  SG,  quse  a  primo  virium  centro 
kS'  ad  orbis  tangentem  PG  ducitur,  &  corporis  a  secundo  virium  centro 
distantiae  RP  parallela  est.  Nam  vires  in  hoc  orbe  ad  ejus  punctum 
quodvis  P  eaedem  sunt  ac  in  circulo  ejusdem  curvaturse. 


PROPOSITIO    VIII.      PROBLEMA    III. 

Moveatur  corpus  in  semicirculo  PQA  :  ad  hmic  effectum  requiritur 
lex  vis  centripetcs  tendentis  ad  punctum  adeo  longinquum  S,  ut  linecg 
omnes  PS,  RS  ad  id  ductce^  pro parallelis  haberi possint. 

A  semicirculi   centro    C  agatur 

semidiameter   C  A   parallelas  istas 

perpendiculariter  secans  mM  Ba  N, 

&  jungatur  CP.   Ob  similia  triangula 

CPM,  PZT  81  RZQ  est  CPq  ad 

PMq  ut  PRq  ad  Q  Tq,  &  ex  na- 

tura  circuli  PRq  sequale  est  rectan- 

gulo  QRx RN-\- QN,  sive  coeun- 

tibus   punctis   P   &   Q   rectangulo 

QR  X  2PM.      Ergo  est  CPq  ad  PMquad.  ut  QR  x  iPMsid  Q  T 

,  . .             QT quad.           ,     2PM  cub.    ^  QT quad.  x  SP  quad. 
quad.  :deoque  —^  ^quale  -^p^^^  & '—qr 


sequale 


2PM  cub.  X  SP  qtiad. 
CP  quad. 


Est  ergo  (per   corol.   i.  &  5.  prop. 


LIBER  PRIMUS.  ^I 

...               .                 2  PAIcub.  X  SP  quad.  . 
VI.)  vis  centripeta  reciproce  ut — — — ^ ,  hoc  est  (neglecta 

ratlone  determinata   ^^    — i)  reclproce  ut  P M cub.     Q. E.  L 
CP  quad. 

Idem  facile  colligltur  etiam  ex  propositione  praecedente. 

Scholium, 

Et  argumento  haud  multum  dissimili  corpus  invenietur  moveri  in 
ellipsi,  vel  etiam  in  hyperbola  vel  parabola,  vi  centripeta,  quse  slt 
reciproce  ut  cubus  ordinatim  applicatae  ad  centrum  virium  maxime 
longinquum  tendentis. 

PROPOSITIO  IX.     PROBLEMA   IV. 

Gyretur  corpus  in  spirali  P  Q  S  secante  radios  omnes  S  P,  S  Q,  &c.  in  an- 
gulo  dato:  requi^ritur  lex  vis  centripetcB  tendentis  adcentrum  spiralis. 

Detur  angulus  indefinite  parvus  PSQ,  &  ob  datos  omnes  an- 


Q  T 
gulos  dabitur  specie  figura  SPRQ  T.     Ergo  datur  ratio  -^^,  estque 

— Y^ — -  ut  Q  Ty  hoc  est  (ob  datam  specie  figuram  illam)  ut  SP. 

Mutetur  jam  utcunque  angulus  P  SQ,  &  recta  QP  angulum  contac- 
tus  QPR  subtendens  mutabltur  (per  lemma  xi.)  in  duplicata  ratione 

ipsius  PR  vel  Q  T.      Ergo  manebit  — j^ — '-  eadem  quae  prius,  hoc 

/^   T*  C  "D 

est  ut  SP.     Quare  rT^ ^^^  vX  S  P  cub.  ideoqiie  (per  corol. 

I.  &  5.  prop.  VI.)  vis  centripeta  est  reciproce  ut  cubus  distantise  S P. 
Q,E.I. 


52 


DE  MOTU  CORPORUM 
Idern  aliter. 


Perpendiculum  SY  va  tangentem  demissum,  &  circuli  spiralem 
concentrice  secantis  chorda  P  V  sunt  ad  altitudinem  ^'P  in  datis 
rationibus;  ideoque  SP  cub.  est  ut  SYqY.P  F,  hoc  est  (per  corol. 
3.  &  5.  prop.  VI.)  reciproce  ut  vis  centripeta. 

LEMMA     XII. 

Parallelogramma  omnia  circa  datcs  ellipseos  vel  hyperbolce  diametros 
quasvis  conjugatas  descripta  esse  inter  se  cequalia. 

Constat  ex  conicis. 


PROPOSITIO    X.     PROBLEMA    V. 

Gyretur  corpus  in  ellipsi:   requiritur  lex   vis    centripetcB    tendentis 

ad  centrum  ellipseos. 

Sunto  CA,  CB  semiaxes  ellipseos;  GP,  DK  diametri  alise 
conjugat^  \PFyQ  T  perpendicula  ad  diametros  ;  gz/  ordinatim  appH- 
cata  ad  diametrum 
GP ;  &  si  comple- 
atur  parallelogram- 
mum  QvPPy  erit 
(ex  conicis)  rectan- 
gulum  Pv  G  did  Qv 
quad.  ut  P  C  quad. 
ad  C  D  quad.  & 
(ob  similia  triangula 
QvT,  PCF)  Qv 
quad.  est  ad  ^  7" 
quad.  ut  PCquad.  ad 
P  F  quad.  &  con- 
junctis  rationibus, 
rectangulum  P  v  G 
2A  QT  quad.  vX  PC 
quad.    ad    CD   quad. 


&   PC  quad.  2A  P F  quad.   id  est,   vG   ad^ 


LIBER  FRIMUS.  -^ 

Q  T  quad,  CDqxPFq        ^     ., 

-p^ \xt    PC   quad.    ad    p^        ^.      Scribe    QR    pro 

Pz/,  &  (per  lemma  xii.)  ^Cx  C^  pro  CDxPF,  nec  non  (punctis 

P  8i  Q  coeuntibus)  2  P  C  pro  z/  C,  &  ductis  extremis  &  mediis  in 

^  ^QT  quad.xPCq            ^      ^BCqxCAq      ^ 
se  mutuo  het  ^^ ^  aequale -^ ^.     Est  ergo 

(per  corol  5.  prop.  vi.)  vis  centripeta  reciproce  ut  p7^~ — - ; 

id  est  (ob  datum  2  BCqx  CA  q)  reciproce  ut  -p-?^\  hoc  est,  directe 
ut  distantia  P  C     Q.  E,  I. 

Idem  aliter, 

In  recta  P  C  ab  altera  parte  puncti  T^sumatur  punctum  ^^  ut  T  u 
sit  sequalis  ipsi  Tv  ;  deinde  cape  u  V,  quae  sit  2AvG  wt  est  DC  quad, 
ad  PC  quad.  Et  quoniam  ex  conicis  est  Qv  quad,  ad  PvG  ut 
D  C  quad.  2A  P  C  quad.  erit  Q  v  quad,  sequale  Pvxu  K  Adde 
fectangulum  tiPv  utrinque,  &  prodibit  quadratum  chordae  arcus  P  Q 
sequale  rectangulo  VPv;  ideoque  circulus,  qui  tangit  sectionem 
conicam  in  P  &  transit  per  punctum  Q,  transibit  etiam  per  punctum  V, 
Coeant  puncta  P  8l  Q,  and  ratio  u  V  did  v  C,  quae  eadem  est  cum 
ratione  D  Cq  didi  P  Cq,  fiet  ratio  -P  F  ad  P  C  seu  PF  ad  2  P  C; 

ideoque  P  V  aequalis  erit        ^  ,     Proinde  vis,  qua  corpus  P  in  eUipsi 

revolvitur,  erit  reciproce  ut  — ^  ^      m  P  Fq  (per  corol.  3.  prop.  vi.) 

hoc  est  (ob  datum  2  D  Cq  m  P Fq)  directe  ut  P  C     Q.  E.  I. 

Corol.  I.  Est  igitur  vis  ut  distantia  corporis  a  centro  ellipseos  :  & 
vicissim,  si  vis  sit  ut  distantia,  movebitur  corpus  in  ellipsi  centrum 
habente  in  centro  virium,  aut  forte  in  circulo,  in  quem  utique  ellipsis 
migrare  potest. 

Corol.  2,  Et  aequalia  erunt  revolutionum  in  ellipsibus  universis 
circum  centrum  idem  factarum  periodica  tempora.  Nam  tempora 
illa  iii  ellipsibus  similibus  aequalia  sunt  (per  corol.  2>^  81  ^.  prop.  iv.) 
in  ellipsibus  autem  communem  habentibus  axem  majorem  sunt  ad 
invicem  ut  ellipseon  areae  totae  directe,  &  arearum  particulae  simul 
descriptae    inverse ;    id   est,    ut    axes   minores   directe,    &   corporum 


54 


DE  MOTU  CORPORUM 


velocitates  in  verticibus  principalibus  inverse ;  hoc  est,  ut  axes  illi 
minores  directe,  &  ordinatim  applicatae  ad  idem  punctum  axis  com- 
munis  inverse ;  &  propterea  (ob  sequalitatem  rationum  directarum 
&  inversarum)  in  ratione  sequalitatis. 

Scholium. 

Si  ellipsis  centro  in  infinitum  abeunte  vertatur  in  parabolam, 
corpus  movebitur  in  hac  parabola ;  &  vis  ad  centrum  infinite 
distans  jam  tendens  evadet  aequabilis.  Hoc  est  theorema  Galilm. 
Et  si  coni  sectio  paraboHca  (inclinatione  plani  ad  conum  sectum 
mutata)  vertatur  in  hyperbolam,  movebitur  corpus  in  hujus  perime- 
tro  vi  centripeta  in  centrifugam  versa.  Et  quemadmodum  in 
circulo  vel  elHpsi  si  vires  tendunt  ad  centrum  figurse  in  abscissa 
positum;  hae  vires  augendo  vel  diminuendo  ordinatas  in  ratione 
quacunque  data,  vel  etiam  mutando  angulum  incHnationis  ordina- 
tarum  ad  abscissam,  semper  augentur  vel  diminuuntur  in  ratione 
distantiarum  a  centro,  si  modo  tempora  periodica  maneant  sequaHa  ; 
sic  etiam  in  figuris  universis  si  ordinatse  augeantur  vel  diminu- 
antur  in  ratione  quacunque  data,  vel  angulus  ordinationis  utcunque 
mutetur,  manente  tempore  periodico ;  vires  ad  centrum  quodcunque 
in  abscissa  positum  tendentes  in  singuHs  ordinatis  augentur  vel 
diminuuntur  in  ratione  distantiarum  a  centro. 

SECTIO     II  I. 

De  motu  corporum   in   conicis  sectionibus   excentricis, 

PROPOSITIO   XI.      PROBLEMA   VI: 

Revolvatur  corpus  in  ellipsi ;  requiritur  kx  vis  centripetcs  tendentis 

ad  umbilicum  ellipseos, 

Esto  eHipseos  umbiHcus  S.      Agatur  SP  secans  eHipseos  tum 
diametrum  D  K  m  E,  tum  ordinatim  appHcatam  Qv  m  x,  8l  com- 
pleatur  paraHelogrammum  QxPR.     Patet  EP  aequalem  esse  semiaxi 
majori  A  C,  eo  quod,  acta  ab  altero  ellipseos  umbilico  H  linea  H I  ' 
ipsi    EC    parallela,    ob    aequales    C  S,     CH    sequentur    E  S,    E I, 


LIBER  FRIMUS. 


55 


adeo  vX   E  P  semi- 

summa   sit   ipsarum 

PS.PI,  id  est  (ob 

parallelas  ZT/,  P  R, 

&   angulos  sequales 

/P7?,//PZ)ipsarum 

PS,P  H,  quae  con- 

junctim  axem  totum 

2  A   C     adaequant. 

AA  SP  demittatur 

perpendicularis  Q  T, 

&     ellipseos     latere 

recto  principali  (seu 

2  B  C  quad.. 

AC       ^     ^'^^° 

Z,  erit  LxQ  R  ad 

Ly.PvvxQR2.di  Pv,  id  est,  ut  PE  seu  ^  C  ad  PC;  &LLyPv2A 

GvP  wt  L  ad  Gv;  &  GvP  2id  Qv  quad,  ut  PC  quad.  ad  CD  quad.  & 

(percorol.  2.  lem.  vii.)  Qv  quad.  ad  Qx  quad.  punctis  Q  Si  P  coeuntibus 

est  ratio  sequalitatis  ]  Sl  Qx  quad.  seu  Q  v  quad.  est  ad  Q  T  quad.  ut 

EP  quad.  ad  PFquad.  id  est,  ut  CA  quad.  ad  PFquad.  sive  (per  lem. 

XII.)  ut  CD  quad,  ad  CB  quad.     Et  conjunctis  his  omnibus  rationibus, 

L  X  QR  fit  ad  Q  Tquad.  utACxLx  PCq  x  CDq,  seu  2  C^^  x  PCq 

xCDq  ad  P  CxGvxC  D  qxC  B  q,  sive  ut  2  P  C  ad  Cz/.     Sed 

punctis  Q  8c  P  coeuntibus  sequantur  2PC  &    Gv.     Ergo   &   his 

proportionalia   LxQ  R   &   g  7"  ^2^^^.    sequantur.       Ducantur   hsec 

,.     .     SPq    o   r       r      o  r.              1    'SPqy^Q  Tq    _         , 
sequaha  m     ^  ^  ,  &  fiet  Z  x  ^SP^  sequale ^y^ -.   Ergo  (per 

corol.  I.  &  5.  prop.  vi.)  vis  centripeta  reciproce  est  ut  LxSPq,  id 
est,  reciproce  in  ratione  duphcata  distantise  S  P.     Q,  E.  L 


Idem  aliter. 

Cum  vis  ad  centrum  elHpseos  tendens,  qua  corpus  P  in  elHpsi 
iUa  revolvi  potest,  sit  (per  corol.  i.  prop.  x.)  ut  CP  distantia  corporis 
ab  ellipseos  centro  C ;  ducatur  C  E  parallela  ellipseos  tangenti  P  R; 
&  vis,  qua  corpus  idem  P  circum  aliud  quodvis  elHpseos  punctum 


56  DE  MOTU  CORPORUM 

P  E  cub.   , 

5  revolvi  potest,  si  CE  &  PS  concurrant  in  E,  erit  ut  — ^-p (per 

corol.  3.  prop.  vii.)  hoc  est,  si  punctum  6^  sit  umbilicus  ellipseos, 
ideoque  P  E  detur,  mX,  S  P  q  reciproce.     Q.  E.  I. 

Eadem  brevitate,  qua  traduximus  problema  quintum  ad  parabolam, 

6  hyperbolam,  liceret  idem  hic  facere :  verum  ob  dignitatem 
problematis,  &  usum  ejus  in  sequentibus  non  pigebit  casus  caeteros 
demonstratione  confirmare. 


PROPOSITIO    XII.      PROBLEMA    VII. 

Moveatur  corpus  ifi  hyberbola :  requiritur  lex  vis  centripetce  tendentis 

ad  umbilicum  figurcs, 

Sunto  CA,  CB  semiaxes  hyperbolse;  P  G,  KD  diametri  aHae 
conjugatse ;  P  F  perpendiculum  ad  diametrum  K D;  81  Qv  ordina- 
tim  applicata  ad  diametrum  G  P,  Agatur  ^'P  secans  cum  diame- 
trum  D Km  E,  tum  ordinatim  applicatam  Qv  in  x,  &  compleatur 
parallelogrammum  QRPx,  Patet  EP  sequalem  esse  semiaxi 
transverso  A  C,  eo  quod,  acta  ab  altero  hyperbolse  umbiHco  H  Hnea 
H I  ipsi  EC  paraHela,  ob  aequales  CkS,  CH  aequentur  ES,  E I ; 
adeo  ut  E  P  semidififerentia  sit  ipsarum  P  Sy  P /,  id  est  (ob  paraHelas 
IH,  PP  &  angulos  aequales  / P P,  H P Z)  ipsarum  P S,  P H,  M 
quarum  differentia  axem  totum  2  A  Cadaequat.       Ad  SP  demittatur 

perpendicularis  Q  T.    Et  hyperbolae  latere  recto  principaH  (seu  ) 

dicto  Z,  erit  LxQ  P  2A  LxPv  ut  QR  ad  P  Vy  seu  P  x  2A  Pv, 
id  est  (ob  simiHa  triangula  P xv,  P  E  C)  mX.  P E  2A  P  C,  seu  ^  C  ad 
P  C.  Erit  etiam  Z  x  P  z/  ad  Gv  x  jP^  ut  Z  ad  C  r/ ;  &  (ex  natura 
conicorum)  rectangulum  GvP  ad  Qv  quad.  ut  P  Cq  ad  CDq ;  & 
(per  corol.  2.  lem.  vii.)  Qv  quad.  2id  Qx  quad.  punctis  Q  &  P  coe- 
untibus  fit  ratio  aequaHtatis  ;  &  Qx  quad.  seu  Q  v  quad.  est  ad  Q  Tq 
ut  E  P  q  ad  P  Fq,  id  est,  ut  C  A  q  ad  P  Fq,  sive  (per  lem.  xii.)  ut 
C  D  q  dA  C  B  q  :  &  conjunctis  his  omnibus  rationibus  L  x  Q  R  dt  ad 
Q  Tq  ut  A  CxLxPCqxCDq,  seu  2  CBqxP  CqxCDq  ad 
P  Cx  GvxCDqx  C B q,  sive  ut  2  P  C  2id  G  v.  SedpunctisP&  Q 
coeuntibus   aequantur   2PC  &    Gv.       Ergo   &   his    proportionaHa 


LIBER  PRIMVS. 


57 


L  X  QR   &   QTq  sequantur.     Ducantur   hsec   aequalia   in    -p~,  & 

QR 

fiet  L  X  SPq  sequale yr— — ^.     Ergo  (per  corol.  i.  &  5.  prop.  vi.) 

vis  centripeta  reciproce  est  ut  Z  x  SPq,  id  est,  reciproce  in  ratione 
duplicata  distantiae  SP.     Q,  E.  I. 


Idem  aliter. 


Inveniatur  vis,  quse  tendit  ab  hyperbolae  centro  C.      Prodibit  haec 

distantiae  CP  proportionalis.       Inde  vero  (per  corol.  3.  prop.  vii.) 

PE  cub 
vis  ad  umbilicum  6^  tendens  erit  ut  — ttt^ — -y  hoc  est,  ob  datam  PE, 


reciproce  ut  SPq.     Q.E.I. 


SPq 


58 


DE  MOTU  CORPORUM 


Eodem  modo   demonstratur,   quod    corpus   hac    vi    centripeta    in 
centrifugam  versa  movebitur  in  hyperbola  opposita. 

LEMMA    XIII. 

Latus  rectum  parabolcB  ad  verticem  quemvis  pertinens  est  quadruplum 
distantice  verticis  illius  ab  timbilico  figurce, 
Patet  ex  conicis. 

LEMMA    XIV. 

PerpendicultLm,  quod  ab  timbilico parabolcs  ad  tangentem  ejus  demittitur, 
medium  est proportionale  inter  distantias  umbilici  a  puncto  contactus 
&  a  vertice  principali  figurce, 

Sit  enim  AP  parabola,  vS  umbiHcus  ejus,  A  vertex  principaHs, 
P  punctum  contactus,  PO  ordinatim  applicata  ad  diametrum  princi- 
palem,  PJ/tangens  diametro 
principah  occurrens  in  M,  & 
SN  Hnea  perpendicularis  ab 
umbiHco  in  tangentem.  Jun- 
gatur  AN  &io\i  aequales  MS 
&  SP,  MN,  &  NP,  MA  & 
A  O  paraHelae  erunt  rectae  A  N 
&    OP ;    &   inde   triangulum 

SAN  rectangulum  erit  ad  ^,  &  simile  trianguHs  aequaHbus  SNj 
SNP:  ergo  P S  Gst  2id  SN  ut  SN  2id  SA.     Q,E.D. 

CoroL  I.  P S q  ^t^d  S N q  Mt  P S  zA  S A. 

Corol.  2.  Et  ob  datam  SA  est  SNq  ut  P  S. 

Corol.  3.  Et  concursus  tangentis  cujusvis  PM  cum  recta  SN,  qu; 
ab   umbiHco   in  ipsam  perpendicularis  est,    incidit  in  rectam  A  N\ 
quse  parabolam  tangit  in  vertice  principaH. 


PROPOSITIO    XIII.      PROBLEMA    VIII. 

Moveatur  corpus  in  perimetro  parabolcs:  requiritur  lex  vis  centripetc 
tendentis  ad  umbilicum  hujus  figurce. 

Maneat  constructio  lemmatis,  sitque  P  corpus  in  perimetro  para-J 
bolae,  &  a  loco  Q,  in  quem  corpus  proxime  movetur,  age  ipsi    ^S. 


LIBER  PRIMUS.  ^q 

parallelam  Q  R  Sz.  perpendicularem  Q  T,  necnon  Q  v  tangenti  pa- 
rallelam,  &  occurrentem  tum  diametro  P  G  m  v,  tum  distantiae 
SP  in  X,  Jam  ob  similia  triangula  Pxv,  SPM,  &  «qualia  unius 
latera  S  M,  SP,  aequalia  sunt  alterius  latera  Px  squ  QP  &  Pv. 
Sed  ex  conicis  quadratum  ordinatae  Qv  aequale  est  rectangulo  sub 
latere  recto  &  segmento  diametri  Pv,  id  est  (per  lem.  xiii.)  rec- 
tangulo^P^^xPz^,  seu  ^PSxQR;  &  punctis  P&g  coeuntibus, 
ratio  Qv  2id  Qx  (per  corol.  2.  lem.  vii.)  fit  ratio  sequalitatis.  Ergo 
Qx  qiiad.  eo  in  casu 
sequale  est  rectangulo 
/^PSxQR.  Est  au- 
tem  (ob  similia  triangu- 
\2LQxT,SPN)Qxq2.d 
QTq\xtPSq2.A  SNq, 
hoc  est  (per  corol.  i. 
lem.  XIV.)  ut  PkS"  ad 
SA,  id  est,  wt  ^PS 
xQR^id  4SAX  QR, 
&  inde  (per  prop.  ix. 
lib.  V.  elem.)  Q  Tq  &  ^SA  x  QR  sequantur.      Ducantur  haec  aequalia 

in  -^-^,  &  fiet  ^^-^^ — -   aequale  SPqx^SA  :  &  propterea  (per 

corol.  i.  &  5.  prop.  vi.)  vis  centripeta  est  reciproce  ut  SPqx4.SAj 
id  est,  ob  datam  ^SAy  reciproce  in  duplicata  ratione  distantiae 
SP.     Q.E.L 

Corol,  i.  Ex  tribus  novissimis  propositionibus  consequens  est,  quod 
si  corpus  quodvis  P  secundum  lineam  quamvis  rectam  PR  quacunque 
cum  velocitate  exeat  de  loco  P,  &  vi  centripeta,  quae  sit  reciproce 
proportionalis  quadrato  distantiae  locorum  a  centro,  simul  agitetur; 
movebitur  hoc  corpus  in  aliqua  sectionum  conicarum  umbiHcum  ha- 
bente  in  centro  virium ;  &  contra.  Nam  datis  umbiHco,  &  puncto 
contactus,  &  positione  tangentis,  describi  potest  sectio  conica,  quae 
curvaturam  datam  ad  punctum  illud  habebit  Datur  autem  curvatura 
ex  data  vi  centripeta,  &  velocitate  corporis  :  &  orbes  duo  se  mutuo 
tangentes  eadem  vi  centripeta  eademque  velocitate  describi  non  possunt. 

Corol.  2.  Si  velocitas,  quacum  corpus  exit  de  loco  suo  P,  ea  sit, 
qua  Hneola  P  R  in  minima  aHqua  temporis  particula  describi  possit ; 


6o 


DE  MOTU  CORPORUM 


&  vis  centripeta  potis  sit  eodem  tempore  corpus  idem  movere 
per  spatium  Q  jR  :  movebitur  hoc  corpus  in   conica  aliqua  sectione, 

cujus  latus  rectum  principale  est  quantitas  illa  7^~d~>  ^^se  ultimo  fit, 

ubi  lineolae  P  J^,  QR  in  infinitum  diminuuntur.  Circulum  in  his 
corollariis  refero  ad  ellipsin ;  &  casum  excipio,  ubi  corpus  recta 
descendit  ad  centrum. 


PROPOSITIO   XIV.      THEOREMA   VI. 

Si  corpora  plura  revolvantur  circa  centrum  communey  &  vis  centripeta 
sit  reciproce  in  duplicata  ratione  distantice  locorum  a  centro ;  dico 
quod  orbium  latera  recta  principalia  sunt  in  duplicata  ratione 
areartcmy  quas  corpora  radiis  ad  centrum  ductis  eodem  tempore 
describunt, 

Nam  (per  corol  2.  prop.  xiii.)  latus 


rectum  L  aequale  est  quantitati 


.QTq 


QR 


quae  ultimo  fit,  ubi  coeunt  puncta  P  & 
Q,  Sed  linea  minima  QR  dato  tempore 
est  ut  vis  centripeta  generans,  hoc  est 
(per  hypothesin)    reciproce  ut  S  P  q. 

Ergo  ^-^  est  Mt  QTqx  SPq,  hoc  est, 

latus  rectum  L  in  duplicata  ratione  areae  Q  Tx  SP,     Q.  E,  D, 

Corol,  Hinc  ellipseos  area  tota,  eique  proportionale  rectangulum 
sub  axibus  est  in  ratione  composita  ex  subduplicata  ratione  lateris 
recti,  81  ratione  temporis  periodici.  Namque  area  tota  est  ut  area 
QTxSP,  quae  dato  tempore  describitur,  ducta  in  tempus  periodi- 
cum. 

PROPOSITIO   XV.     THEOREMA   VII. 

/isdem  positis,  dico  quod  tempora  periodica  in  ellipsibus  sunt  in  ratione 
sesquiplicata  majorum  axium, 

Namque  axis  minor  est  medius  proportionalis  inter  axem  majo- 
rem  &  latus  rectum,  atque  ideo  rectangulum  sub  axibus  est  in  ra- 


LIBER  PRIMUS. 


6i 


tlone  composita  ex  subduplicata  ratione  lateris  recti  &  sesquiplicata 
ratione  axis  majoris.  Sed  hoc  rectangulum  (per  corol.  prop.  xiv.) 
est  in  ratione  composita  ex  subduplicata  ratione  lateris  recti  &  ratione 
periodici  temporis.  Dematur  utrobique  subduplicata  ratio  lateris 
recti,  &  manebit  sesquiplicata  ratio  majoris  axis  eadem  curn  ratione 
periodici  temporis.     Q.  E.  D. 

Corol.  Sunt  igitur  tempora  periodica  in  ellipsibus  eadem  ac  in 
circulis,  quorum  diametri  aequantur  majoribus  axibus  ellipseon. 


PROPOSITIO   XVI.    THEOREMA   VIII. 

lisdem  posiiis,  &  actis  ad  corpora  lineis  rectisj  quce  ibidem  tangant 
orbitas,  demissisqtie  ab  umbilico  communi  ad  has  tangentes  perpen- 
dicularibus :  dico  quod  velocitates  corporicm  sunt  in  ratione  composita 
ex  ratione  perpendiculorum  inverse,  &  subduplicata  ratione  laterum 
rectorum  principalium  directe, 

Ab  umbilico  ^9  ad  tangentem  P  R 

demitte   perpendiculum  S  Y,  &l  velo- 

citas  corporis  P  erit  reciproce  in  sub- 

j     ,.  .  .     .     SYq 

duplicata    ratione    quantitatis    — ^r-^. 

Nam  velocltas  Illa  est  ut  arcus  quam 

minlmus  P  Q  in  data  temporls  parti- 

cula  descriptus,  hoc  est  (per  lem.  vii.) 

ut  tangens  P  R,  id  est,  ob  proportlon- 

ales  PR  2id  Q  T  &  SP  2id  SY,  ut 

SP  X  O  T 

-^-^ — ,  sive   vX    S  Y  reclproce   &   S  P  y.  QT  dlrecte;    estque 

S  P  X  Q  T  \xt  area  dato  tempore  descripta,  id  est  (per  prop.  xiv.) 
in  subduplicata  ratione  laterls  rectl.     Q.  E.  D. 

Corol.  I.  Latera  recta  principaHa  sunt  in  ratione  composita  ex 
dupHcata  ratione  perpendlculorum,  &  dupHcata  ratione  veloclta- 
tum. 

Corol.  2.  Velocitates  corporum,  in  maximls  &  minimls  ab  umbi- 
Hco  communi  distantlis,  sunt  in  ratione  composlta  ex  ratione  distan- 


62  ^^  MOTU  CORPORUM 

tiarum  inverse,  &  subduplicata  ratione  laterum  rectorum  principalium 
directe.     Nam  perpendicula  jam  sunt  ipsae  distantiae. 

Corol.  3.  Ideoque  velocitas  in  conica  sectione,  in  maxima  vel 
minima  ab  umbilico  distantia,  est  ad  velocitatem  in  circulo  in  eadem  a 
centro  distantia  in  subduplicata  ratione  lateris  recti  principalis  ad 
duplam  illam  distantiam.  % 

Corol.  4.  Corporum  in  ellipsibus  gyrantium  velocitates  in  medio- 
cribus  distantiis  ab  umbilico  communi  sunt  esedem,  quae  corporum 
gyrantium  in  circulis  ad  easdem  distantias ;  hoc  est  (per  corol.  6. 
prop.  IV.)  reciproce  in  subduplicata  ratione  distantiarum.  Nam 
perpendicula  jam  sunt  semi-axes  minores,  &  hi  sunt  ut  mediae 
proportionales  inter  distantias  &  latera  recta.  Componatur  haec 
ratio  inverse  cum  subduplicata  ratione  laterum  rectorum  directe,  & 
fiet  ratio  subduplicata  distantiarum  inverse. 

Corol.  5.  In  eadem  figura,  vel  etiam  in  figuris  diversis,  quarum 
latera  recta  principalia  sunt  aequaha,  velocitas  corporis  est  reciproce 
ut  perpendiculum  demissum  ab  umbilico  ad  tangentem. 

Corol.  6.  In  parabola  velocitas  est  reciproce  in  subduplicata  ratione 
distantiae  corporis  ab  umbilico  figurae ;  in  ellipsi  magis  variatur, 
in  hyperbola  minus  quam  in  hac  ratione.  Nam  (per  corol.  2.  lem. 
XIV.)  perpendiculum  demissum  ab  umbiHco  ad  tangentem  parabolae  est 
in  subdupHcata  ratione  distantiae.  In  hyperbola  perpendiculum  minus 
variatur,  in  eHipsi  magis. 

CoroL  7.  In  parabola  velocitas  corporis  ad  quamvis  ab  umbiHco 
distantiam  est  ad  velocitatem  corporis  revolventis  in  circulo  ad 
eandem  a  centro  distantiam  in  subdupHcata  ratione  numeri  binarii 
ad  unitatem ;  in  eUipsi  minor  est,  in  hyperbola  major  quam  in  hac 
ratione.  Nam  per  hujus  coroHarium  secundum  velocitas  in  vertice 
parabolae  est  in  hac  ratione,  &  per  coroHaria  sexta  hujus  & 
propositionis  quartae  servatur  eadem  proportio  in  omnibus  distantiis. 
Hinc  etiam  in  parabola  velocitas  ubique  aequaHs  est  velocitati 
corporis  revolventis  in  circulo  ad  dimidiam  distantiam,  in  ellipsi 
minor  est,  in  hyperbola  major. 

Corol.  8.  Velocitas  gyrantis  in  sectione  quavis  conica  est  ad 
velocitatem  gyrantis  in  circulo  in  distantia  dimidii  lateris  recti  prin- 
cipalis  sectionis,  ut  distantia  illa  ad  perpendiculum  ab  umbilico  in 
tangentem  sectionis  demissum.     Patet  per  corollarium  quintum. 


LIBER  PRIMUS. 


63 


Corol.  9.  Unde  cum  (per  corol.  6.  prop.  iv.)  velocitas  gyrantls  in 
hoc  circulo  sit  ad  velocitatem  gyrantis  in  circulo  quovis  alio  reciproce 
in  subdupllcata  ratione  distantiarum ;  fiet  ex  sequo  velocitas  gyrantis 
in  conica  sectione  ad  velocitatem  gyrantls  in  circulo  In  eadem  dis- 
tantia,  ut  media  proportionalis  inter  distantiam  Illam  communem 
&  semissem  prlncipalis  lateris  recti  sectionis,  ad  perpendiculum  ab 
umbilico  communi  in  tangentem  sectlonls  demlssum. 


PROPOSITIO    XVII.      PROBLEMA    IX. 

Posito  quod  vis  centripeta  sit  reciproce  proportionalis  quadrato  dis- 
tanticB  locorum  a  centro,  &  quod  vis  illius  quantitas  absoluta  sit 
cognita ;  requiritur  linea,  quam  corpus  describit  de  loco  dato  cum 
data  velocitate  secundum  datam  rectam  egrediens, 

VIs  centripeta  tendens  ad  punctum  6*  ea  slt,  qua  corpus  p  in 
orblta  quavls  data  p  q  gyretur,  &  cognoscatur  hujus  velocltas 
in  loco  p,  De  loco  P  secundum  hneam  P  R  exeat  corpus  P 
cum  data  velocitate,  &  mox  inde,  cogente  vi  centripeta,  deflectat 
illud  In  coni  section- 
em  PQ,  Hanc  Igltur 
recta  P  R  tanget  in 
P.  Tangat  Itldem 
recta  aHqua  /  r  orbi- 
tam  pq  in  /,  &  si 
ab  vS  ad  eas  tangen- 
tes  demittl  intelligan- 
tur  perpendicula,  erit 
(per  corol.  i.  prop. 
XVI.)  latus  rectum 
principale  conl  secti- 
onis  ad  latus  rectum 

principale  orbltae  in  ratione  composita  ex  dupllcata  ratione  perpen- 
diculorum  &  duplicata  ratlone  velocltatum,  atque  Ideo  datur.  Slt 
L  coni  sectlonis  latus  rectum.  Datur  praeterea  ejusdem  conl  sectlonls 
umbilicus   .S.      Anguli    RP S  complementum   ad   duos   rectos   fiat 


64 


DE  MOTU  CORPORUM 


angulus  RP H ;  &  dabitur  positione  linea  P //,  in  qua  umbilicus  alter 
I/  locatur.  Demisso  ad  PH  perpendiculo  SKy  erigi  intelligatur 
semiaxis  conjugatus  B  C,  &  erit  SPq  —  2  K P H-\-P Hq  =  S Hq  = 
^CHq  =  ^BHq^/\^BCg  =  SP-¥PH:  quad,'- Lx  S  P^P  H= 
SPq^2SPH  +  PHq-L  xSP-hPH.  Addantur  utrobique 
^KPH-SPq^PHq-^-LxSP^PH,  &  fiet  LxSP  +  PH= 
2SPH+2KPH,seM  SP-\-PH  ad  PH  ut  2  SP-\- 2  KP  2id  L. 
Unde  datur  P  H  Xzm  longitudine  quam  positione.  Nimirum  si  ea  sit 
corporis  in  P  velocitas,  ut  latus  rectum  L  minus  fuerit  quam  2  S  P 
+  2  KP,  jacebit  P  H  2id  eandem  partem  tangentis  P  R  cum  linea 
PS;  ideoque  figura  erit  ellipsis,  &  ex  datis  umbilicis  S,  H,  &  axe 
principali  SP-\-PHy 
dabitur.       Sin    tanta  P. 

sit  corporis  velocitas, 
ut  latus  rectum  L 
sequale  fuerit  2SP 
-\-2KP,  longitudo 
PH  infinita  erit ;  & 
propterea  figura  erit 
parabolaaxem  habens 
61^  parallelum  lineae 
PKySi  indedabitur. 
Quod  si  corpus  ma- 
jori  adhuc  cum  vel- 

ocitate  de  loco  suo  P  exeat,  capienda  erit  longitudo  P  H  ^d  alteram 
partem  tangentis ;  ideoque  tangente  inter  umbilicos  pergente,  figura 
erit  hyperbola  axem  habens  principalem  sequalem  diiferentiae  linearum 
SP  &  PH,  &  inde  dabitur.  Nam  si  corpus  in  his  casibus  revolvatur 
in  conica  sectione  sic  inventa,  demonstratum  est  in  prop.  xi,  xii,  &^ 
XIII,  quod  vis  centripeta  erit  ut  quadratum  distantiae  corporis  a  centrc 
virium  S  reciproce  ;  ideoque  linea  P  Q  recte  exhibetur,  quam  corpusj 
tali  vi  describet,  de  loco  dato  P,  cum  data  velocitate,  secundui 
rectam  positione  datam  P  R  egrediens.     Q.  E.  F, 

CoroL  I.  Hinc  in  omni  coni  sectione  ex  dato  vertice  principali  D^ 
latere  recto  Z,  &  umbilico  S,  datur  umbilicus  alter  H  capiendo 
DH  2A  DS  ut  est  latus  rectum  ad  differentiam  inter  latus  rectum 
&  6,DS.     Nam  proportio  SP^PH  ad  PH  ut  2  SP^-  2  KP^.dL 


LIBER  PRIMUS. 


65 


in  casu  hujus  corollarli,  fit  D  S-^-D  H  ad  D  H  \xt  4  Z^  6^  ad  Z,  & 
divisim  D  S  ^id  D  H  wt  ^  D  S-L  2id  L. 

Corol.  2.  Unde  si  datur  corporis  velocitas  in  vertice  principali  Z>, 
invenietur  orbita  expedite,  capiendo  scilicet  latus  rectum  ejus  ad 
duplam  dlstantiam  D  S,  in  duplicata  ratlone  velocitatis  hujus  datae 
ad  velocltatem  corporis  in  clrculo  ad  distantiam  DS  gyrantls  (per 
corol.  3.  prop.  xvi. ;)  dein  DH  2.6.  D  S  mX.  latus  rectum  ad  differentiam 
inter  latus  rectum  &  4  Z?  61 

Corol.  3.  Hinc  etiam  si  corpus  moveatur  in  sectione  quacunque 
conica,  &  ex  orbe  suo  impulsu  quocunque  exturbetur ;  cognosci 
potest  orbis,  in  quo  postea  cursum  suum  peraget.  Nam  componendo 
proprlum  corporis  motum  cum  motu  illo,  quem  impulsus  solus 
generaret,  habebitur  motus  quocum  corpus  de  dato  impulsus  loco, 
secundum  rectam  positione  datam,  exibit. 

Corol.  4.  Et  si  corpus  illud  vi  allqua  extrlnsecus  impressa  continuo 
perturbetur,  innotescet  cursus  quam  proxime,  colllgendo  mutationes 
quas  vis  illa  in  punctls  qulbusdam  inducit,  &  ex  seriei  analogia 
mutationes  contlnuas  in  locis  intermediis  sestimando. 

Scholium. 


Si  corpus  P  vi  centripeta  ad 
punctum  quodcunque  datum  R 
tendente  moveatur  in  perlmetro 
datse  cujuscunque  sectionis  coni- 
cae,  cujus  centrum  slt  C ;  Ba  requl- 
ratur  lex  vis  centripetae  :  ducatur 
CG  radio  RP  parallela,  &  orbls 
tangenti  P  G  occurrens  in  G ;  &. 
vis  illa  (per  corol.  i .  &  schol.  prop. 

X.  &  corol.  3.  prop.  vii.)  erit  ut  -^p^ 


56  DE  MOTU  CORPORUM 

SECTIO    IV. 

De  invenlione  orbium  ellipticorum,  parabolicorum  &  kyperbolicorum 

ex  umbilico  dato. 

LEMMA     XV. 

Si  ab  ellipseos  vel  hyperbolce  cujusvis  umbilicis  duobus  S,  H,  ^^ 
punctum  quodvis  'tertium  V  injlectantur  rectcs  ducz  S  V,  H  V, 
quarum  tcna  H  V  cequalis  sit  axi  prin- 
cipali  figurcBy  id  est,  axi  i7i  quo  umbilici 
jacent,  altera  S  V  a  perpendictdo  T  R  in 
se  demisso  bisecetur  in  T  ;  perpendiculum 
illud  T  R  sectionem  conicam  alicubi  tan- 
get:  &  contra,  si  tangit,  erii  H  V  cequalis  axi principali  figurce, 

Secet  enim  perpendiculum  T  R  rectam  H  V  productam,  si  opus 
fuerit,  in  R  ;  &  jungatur  S  R.  Ob  sequales  T S,  T  V,  sequales  erunt 
&  rectse  S  R,  VR  &  anguli  TRS,  TR  V.  Unde  punctum  R  erit 
ad  sectionem  conicam,  &  perpendiculum  TR  tanget  eandem  :  & 
contra.     Q.  E.  D. 

PROPOSITIO     XVIII.     PROBLEMA     X. 

Datis  umbilico    &  axibus  principalibus  describere  trajectorias  ellijf. 
ticas  &  hyperbolicas,  quce  transibunt  per  puncta  data,  &  rectas 
positione  datas  contingent, 

Sit  kS  communis  umbilicus  figurarum  ;  A  B  longitudo  axis  prin- 
cipalis  trajectorise  cujusvis;  P  punc- 
tum  per  quod  trajectoria  debet  tran- 
sire;  &  TR  recta  quam  debet  tangere.  ^y  ^ 
Centro  P  intervallo  AB  —  SP,  si 
orbita  sit  ellipsis,  vel  A  B-\-SP,  si 
ea  sit  hyperbola,  describatur  circulus 
//G.     Ad  tangentem  TR  demittatur 


LIBER  PRIMUS. 


67 


perpendiculum  S  T,  8c  producatur  idem  ad  F,  ut  sit  T  V  sequalis  S  T ; 
centroque  V  81  intervallo  A  B  describatur  circulus  F H.  Hac 
methodo  sive  dentur  duo  puncta  P,p,  sive  duae  tangentes  T R,  tr, 
sive  punctum  P  &  tangens  T R,  describendi  sunt  circuli  duo.  Sit 
H  eorum  intersectio  communis,  &  umbilicis  S,  H,  axe  illo  dato 
describatur  trajectoria.  Dico  factum.  Nam  trajectoria  descripta 
(eo  quod  PH-\-SP  in  ellipsi,  &  PH—SP  in  hyperbola  sequatur 
axi)  transibit  per  punctum  P,  &  (per  lemma  superius)  tanget  rectam 
TR.  Et  eodem  argumento  vel  transibit  eadem  per  puncta  duo 
P,/,  vel  tanget  rectas  duas  T  R,  tr.     Q.E.F. 


PROPOSITIO    XIX.      PROBLEMA    XI. 

Circa    datum    umdilicum    trajectoriam  parabolicam    descridere,   qucB 
transibit  per  puncta  data,  &  rectas  positione  datas  continget. 

Sit  6^  umbiHcus,  P  punctum  &  TR  tangens  trajectorise  descri- 
bendae.  Centro  P,  intervallo  P  S  describe  circulum  F  G.  Ab  um- 
biHco  ad  tangentem  demitte  perpendicularem  S  T,  81  produc  eam 
ad  F,  ut  sit  T  V  aequaHs  6^  T.  Eodem  modo  describendus  est  alter 
circulus  fg,  si  datur  alterum  punctum  p  ;  vel  inveniendum  alterum 
punctum  V,  si  datur  altera  tangens  tr;  dein  du- 
cenda  recta  /  F  quse  tangat  duos  circulos  F  G, 
fg  si  dantur  duo  puncta  P,  p,  vel  transeat  per 
duo  puncta  V,  v,  si  dantur  duae  tangentes  TR, 
tr,  vel  tangat  circulum  FG  8l  transeat  per 
punctum  F,  si  datur  punctum  P  &  tangens 
T R.  Ad  FI  demitte  perpendicularem  S I, 
eamque  biseca  in  A';  &  axe  S  K,  vertice  prin- 
cipaH  K  describatur  parabola.  Dico  factum. 
Nam  parabola,  ob  aequales  S K  81 1 K,  SP  & 
F P,  transibit  per  punctum  P;  8l  (per  lem.  xiv. 

corol.  3.)  ob  aequales  S  T  81  T  V  81  angulum  rectum  STRy  tanget 
rectam   TR.     Q.F.F 


68 


DE  MOTU  COBFORUM 


PROPOSITIO    XX.      PROBLEMA    XII. 

Circa  dattcm  tmidiliacm  trajectoriam  quamvis  specie  datam  describere, 
qucBper  dataptcncta  transibit  &  rectas  tanget  positione  datas, 

Cas.  I.  Dato  umbllico  S,  describenda  sit  trajectoria  A  B  C  p&r 
puncta  duo  B,  C.  Quoniam  trajectoria  datur  specie,  dabitur  ratio 
axis  principalis  ad  distantiam  um- 
bilicorum.  In  ea  ratione  cape 
KB  2id  BS,  &  LC  ad  CS. 
Centris  B,  C,  intervallis  BK,  CL, 
describe  circulos  duos,  &  ad  rectam 
K L,    quse   tangat  eosdem    in   K 

&  Z,  demitte  perpendiculum  6"  G,  idemque  seca  m  A   &  a,  ita  uj 
sit  GA    2id   AS  &    Ga   2id  aS  ut  est  KB  2id  B  S  &  axe  A  a,* 
verticibus  A,  a,  describatur  trajectoria.       Dico  factum.       Sit  enim 
Lf  umbilicus  alter   figurae   descriptae,   &  cum   sit   G  A   ad   A  S  ut 
Ga  ad  aS,  erit  divisim  Ga—GA  seu  Aa  ad  aS—AS  seu  S 
in  eadem  ratione,   ideoque    in    ratione  quam  habet  axis  principali 
figurse  describendae  ad  distantiam    umbilicorum  ejus ;    &  propten 
figura   descripta   est   ejusdem   speciei    cum   describenda.       Cumqd 
sint  KB  2id  B  S  &,  L  C  did  C  S  m  eadem  ratione,  transibit  haec  figui 
per  puncta  B,  C,  ut  ex  conicis  manifestum  est. 

Cas.  2.  Dato  umbilico  S,  describenda  sit  trajectoria  quae  rectas" 
duas  TR,  t  r  alicubi  contingat.  Ab  umbilico  in  tangentes  demitte 
perpendicula  S  T,  S  t  &  produc  ea- 
dem  ad  V,  v,  ut  sint  TV,tv  aequa- 
les  TS,  tS.  Biseca  Vv  in  (9,  & 
erige  perpendiculum  infinitum  O  H, 
rectamque  VS  infinite  productam 
seca  in  A'  &  y^,  ita  ut  sit  VK  ad  KS 
&  Ky^  ad  kS  ut  est  trajectoriae  descri- 
bendae  axis  principalis  ad  umbiHco- 
rum  distantiam.  Super  diametro  K/^ 
describatur  circulus  secans  0/f  in  //;  &  umbilicis  S,  H,  axe  prlncipair 
ipsam  F/Z^aequante,  descrlbatur  trajectoria.  Dlcofactum.  Nam  blseca 
Kk  in  X,  &  junge  HX,  HS,  HV,  Hv.    Quoniam  est  VK  ad  KS  ut 


K 


/ 


LIBER  PRIMUS. 


69 


H^ 


V k  ad  kS ;  &  composlte  ut  VK-^-  Vk  ad  K S-\-kS ;  divlsimque  ut 
Vk-VK2.AkS-KS,  Idest,  ut  2  FJ^  ad  2KX%l2KX2.A  2  SX, 

ideoque  ut  VX  ad  H  X  &  I/ X  ad  SX,  similia  erunt  triangula 
VX//,  HXS,  &  propterea  VH  erit  ad  SH  ut  VX  ad  X//;  ideoque 

ut  VK2id  K  S.     Habet  igltur  trajectorise  descriptse  axis  principalis 

V  H  eam  rationem  ad  ipsius  umbilicorum  distantiam  S  H,  quam 
habet  trajectoriae  describendse  axis  prlnclpalis  ad  ipsius  umbillcorum 
distantiam,  &  propterea  ejusdem  est  speciei.  Insuper  cum  VH, 
vH  sequentur  axi  principall,  &  V  S,  v  S  3.  rectis  T  R,  t  r  perpen- 
diculariter  bisecentur,  liquet  (ex  lem.  xv.)  rectas  Illas  trajectoriam 
descriptam  tangere.     Q.  E.  F. 

Cas.  3.  Dato  umbllico  vS*  describenda  sit  trajectoria  quae  rectam 
TR  tanget  in  puncto  dato  R.  In  rectam  T  R  demitte  perpendi- 
cularem  S  T,  Bi,  produc  eandem  ad  V,  ut  sit  T^^sequalls  ST     Junge 

V  R  8>i  rectam  V  S  infinlte  productam  seca  m  K  81  k,  ita  ut  slt 
VK  ad  SK  8c  V k  ad  kS'^  ut  elllpseos  descrlbendse  axis  principalis 
ad  distantlam  umbilicorum;  cir- 
culoque  super  diametro  Kk  de- 
scrlpto   secetur  producta   recta 

VR  in  H,  &  umbilicls  S,  H, 

axe     principali     rectam     V  H  ^ 

sequante,  describatur  trajectoria.     ^/ 

Dico  factum.       Namque    V  H  ^         ' 

esse  ad  S  H  \xt   VK  ad  SK, 

atque  ideo  ut  axis  principalis  trajectorise  describendse  ad  distantiam 

umbllicorum  ejus,  patet  ex  demonstratis  in  casu  secundo,  &  propterea 

trajectoriam  descriptam  ejusdem  esse  speciei  cum  describenda,  rectam 

vero  TR  qua  angulus  VRS  bisecatur,  tangere  trajectoriam  in  puncto 

R,  patet  ex  conicis.     Q.  E,  F. 

Cas.  4.  Circa  umblllcum  6^  describenda  jam  sit  trajectoria  A  P  B, 
quse  tangat  rectam  T R,  transeatque  per  punctum  quodvis  P  extra 
tangentem  datum,  quseque  similis  sit  figurse  ap  b,  axe  principall  a  b 
&  umbilicis  s,  h  descriptse.  In  tangentem  T R  demitte  perpendicu- 
lum  S  T,  8i  produc  idem  ad  V,  ut  slt  T  V  sequalls  6^  T.  Angulis 
autem  VSP,  SVP  fac  angulos  hsq,  shq  sequales  ; .  centroque  ^  & 
intervallo  quod  sit  ad  ^<$  ut  6^/*  ad  V  S  describe  circulum  secan- 
tem  figuram  ap  b  in  /.     Junge  sp  &  age  S  H  quse  sit  2A  s  hvX  est 


s 


DE  MOrU  CORPORUM 


S  P  ad  sp,  quaeque  angulum  P  S  H  angulo  p  s  k  8>l  angulum  V  S  H 
angulo  psq  aequales  constituat.  Denique  umbilicis  S,  //,  &  axe 
principali  A  B  distantiam  V H  aequante,  describatur  sectio  conica. 
Dico  factum.  Nam  si  agatur  sv  quae  sit  ad  sp  ut  est  sh  ad  sq, 
quaeque  constituat  angulum  vsp  angulo  hsq  &  angulum  vsh  an- 
gulo  psq  aequales,  triangula  svh^  spq  erunt  similia,  &  propte- 
rea  vh  erit  ?Ld  p  q  ut  est  ^^  ad  ^^,  id  est  (ob  similia  triangula  V  S P, 
hsq)  ut  est   VS  ad  S  P  seu  ab  2A  pq.     vEquantur  ergo  vh  &  ab. 


«v.V 


Porro  ob  similia  triangula  V  S  H,  vsh,  est  V  H  2A  S  H  \xX.v  h  2x 
s  hj  id  est,  axis  conicae  sectionis  jam  descriptae  ad  illius  umbilico- 
rum  intervallum,  ut  axis  ad  a.d  umbilicorum  intervallum  sh;  & 
propterea  figura  jam  descripta  similis  est  figurae  ap  d.  Transit  autem 
haec  figura  per  punctum  P,  eo  quod  triangulum  P  SH  simile  sit 
triangulo  psh;  &  quia  VH  aequatur  ipsius  axi  &  VS  bisecatur 
perpendiculariter  a  recta  T R,  tangit  eadem  rectam  T R.     Q.  E.  F. 


LEM  M  A     XVI. 

A  datis  tribus  punctis  ad  quartum  non  datum  inflectere  tres  rectas 
quarum  differentice  vel  dantur  vel  nullcB  sunt. 

Cas.  I.  Sunto  puncta  illa  data  A,  B,  C  &  punctum  quartum 
quod   invenire  oportet ;   ob  datam   differentiam  linearum  A  Z,  B 


LIBER  PRIMUS.  ^I 

locabitur  punctum  Z  in  hyperbola  cujus  umbilici  sunt  A  8i  B,  Sl 
principalis  axis  differentia  illa  data.  Sit  axis  ille  M N.  Cape  P  M 
ad  MA  ut  est  MN  Sid  A  B,  &  erecta  PB  perpendiculari  ad  A  B, 
demissaque  Z  R  perpendiculari  ad  P  R  ;  erit,  ex  natura  hujus  hyper- 
bolae,  Z  R  2id  A  Z  vX  est  M N  ad  A  B,  Simili  discursu  punctum  Z 
locabitur  in  aha  hyperbola,  cujus  umbiHci  sunt  A,  C  &  principalis 
axis  differentia  inter  A  Z  &  CZ,  ducique  potest  Q  S  ipsi  A  C 
perpendicularis,  ad  quam  si  ab  hyperbolae  hujus  puncto  quovis  Z 
demittatur  normalis  Z  Sy  haec  fuerit  ad  ^  Z  ut  est  differentia  inter 
A  Z  8c  CZ  ad  A  C  Dantur  ergo  rationes  ipsarum  Z  R  &  Z  S  ad 
A  Z,  &  idcirco  datur  earundem  ZR 
&  Z  S  ratio  ad  invicem ;  ideoque  si 
rectse  RP,  SQ  concurrant  in  T,  8z 
agantur  TZ  &  TAy  figura  TRZS 
dabitur  specie,  &  recta  TZ  in  qua 
punctum  Z  alicubi  locatur,  dabitur 
positione.  Dabitur  etiam  recta  TAy 
ut  &  angulus  ATZ ;  &  ob  datas 
rationes  ipsarum  A  Z  2Si  T Z  2A  Z  S 
dabitur  earundem  ratio  ad  invicem ; 
&  inde  dabitur  triangulum  A  T Z, 
cujus  vertex  est  punctum  Z.     Q.E.I. 

Cas.  2.  Si  duse  ex  tribus  Hneis,  puta  A  Z  81  B  Zy  sequantur,  ita 
age  rectam  TZ,  ut  bisecet  rectam  AB;  dein  qusere  triangulum 
A  T  Z  uX.  supra. 

Cas.  3.  Si  omnes  tres  sequantur,  locabitur  punctum  Z  in  centro 
circuH  per  puncta  A,  B,  C  transeuntis.     Q.  E.  I. 

Solvitur  etiam  hoc  lemma  problematicum  per  Hbrum  tactionum 
Apollonii  a  Vieta  restitutum. 

PROPOSITIO   XXI.     PROBLEMA    XIII. 

Trajectoriam   circa  ctatum  timbilicum   descridere,   quce   transibit  per 
puncta  ciata  &  rectas  positione  datas  continget. 

Detur  umbiHcus  6^,  punctum  P,  &  tangens  TR,  &  inveniendus 
sit  umbiHcus  alter  77.  Ad  tangentem  demitte  perpendiculum  S  T,  & 
produc  idem  ad  V,  ut  sit   T  V  aequaHs  S  T  81  erit   VH  sequaHs  axi 


72 


DE  MOTU  CGRFORUM 


principali.     Junge  SP,   HP,   &  erit  SP  differentia  inter  H P  & 

axem  principalem.     Hoc  modo  si  dentur  plures  tangentes   TP,  vel 

plura  puncta  P,  devenietur  semper  ad  lineas  totidem  VH,  vel  P  H, 

a  dictis  punctis   V  vel  P  ad  umbilicum 

H  ductas,  quae  vel  aequantur  axibus,  vel 

datis  longitudinibus  SP  differuntab  iis- 

dem,  atque  ideo  qua^  vel  aequantur  sibi 

invicem,  vel  datas   habent  differentias ; 

&  inde,  per  lemma  superius,  datur  um- 

bilicus  ille  alter  H.     Habitis  autem  um- 

bilicis  una  cum  axis  longitudine  (quae  vel  est  VH ;  vel,  si  trajectoria 

ellipsis  est,  PH-\-SP ;  sin  hyperbola,  PH—SP)  habetur  trajectoria. 

Q.E./. 

Schohum. 

Ubi  trajectoria  est  hyperbola,  sub  nomine  hujus  trajectoriae  oppo- 
sitam  hyperbolam  non  comprehendo.  Corpus  enim  pergendo  in  motu 
suo  in  oppositam  hyperbolam  transire  non  potest. 

Casus  ubi  dantur  tria  puncta  sic  solvitur  expeditius.  Dentur  puncta 
B,  C,  D.  Junctas  B  C,  CD  produc  ad  E,  F,  ut  sit  i^'^  ad  ^C 
ut^-^ad  SC,&i  FC  ad  FD  ut  6^Cad  S D.  Ad^/^ductam& 
productam  demitte  normales  S  G,  B  H,  inque  G  S  infinite  producta 
cape  GA  ad  ^  6^  &  C^  ad  a  6^  ut  est  H B  ad  B S ;  &  erit  A  vertex, 
&  A  a  axis  principalis  trajectoriae :  quae,  perinde  ut  G  A  major, 
aequalis,  vel  minor 
fuerit  quam  A  S,  ^^ 
erit  ellipsis,  para- 
bola  vel  hyperbola ; 
puncto  a  in  primo 
casu  cadente  ad  ean- 
dem  partem  lineae 
GF  cum  puncto  A ; 
in  secundo  casu  ab- 
eunte  in  infinitum  ; 
in  tertio  cadente  ad 
contrariam  partem 
lineae  GF.  Nam 
si  demittantur  ad  C  T^  perpendicula  C/,  DK ;  erit  /Cad  HB  ut  E 


LIBER  PRIMUS. 


73 


ad  EB,  hoc  est,  ut  SC  ad  SB  ;  &  vicissim  I C  2A  SC  ut  HB  ad  SB 
sive  ut  G^^  ad  S  A.  Et  simili  argumento  probabitur  esse  K D  2.6. 
S  D  m.  eadem  ratione.  Jacent  ergo  puncta  B,  C,  D  in  coni  sectione 
circa  umbilicum  vS*  ita  descripta,  ut  rectae  omnes,  ab  umbilico  S  ad 
singula  sectionis  puncta  ductae,  sint  ad  perpendicula  a  punctis  iisdem 
ad  rectam  G  F  demissa  in  data  illa  ratione. 

Methodo  haud  multum  dissimiH  hujus  problematis  solutionem 
tradit  clarissimus  geometra  de  la  Hire,  conicorum  suorum  lib.  viii. 
prop.  XXV. 

SECTIO     V. 

Inventio  orbium  ubi  umbilicus  neuter  datur. . 


LEMMA     XVIL 

Si  a  datce  coniccs  sectionis  puncto  quovis  P  ad  trapezii  alicujus 
A  B  D  C,  in  conica  illa  sectione  inscripti^  latera  quatuor  infinite 
producta  A  B,  C  D,  A  C,  D  B  totidem  rectce  P  Q,  P  R,  P  S,  P  T 
in  datis  angulis  ducantur,  singulce  ad  singula :  rectangulum 
ductarum  ad  opposita  duo  latera  P  Q  x  P  R,  erit  ad  rectangulum 
ductarum  ad  alia  duo  latera  opposita  P  S  x  P  T  ^'/^  data  ratione. 

Cas.  I.  Ponamus  primo  lineas  ad  opposita  latera  ductas  parallelas 
esse  alterutri  reHquorum  laterum,  puta  PQ  81  P  R  lateri  A  C,  & 
P  S  3.C  P  T  lateri  A  B.  Sintque  insuper  latera  duo  ex  oppositis, 
puta  A  C  &.  B  D,  sibi  invicem  parallela.  Et  recta,  quae  bisecat  pa- 
rallela  illa  latera,  erit  una  ex  diametris  conicae  sectionis,  &  bisecabit 
etiam  RQ.  Sit  O  punctum  in 
quo  P  Q  bisecatur,  &  erit  P  O 
ordinatim  appHcata  ad  diametnim 
iHam.  Produc  PO  ad  A',  ut  sit 
OK  aequaHs  PO,  &  erit  OK  or- 
dinatim  appHcata  ad  contrarias 
partes  diametri.  Cum  igitur  puncta 
A,  B,  P  81  K  sint  ad  conicam 
sectionem,  8l  P  K  secet  A  B  in 
dato  angulo,  erit  (per  prop.  17, 
19,  21   &  23  Hb.   III.   conicorum 


74 


DE  MOTU  CORPORUM 


Apollonii)  rectangulum  P  Q  K  2A  rectangulum  A  Q  Bm  data  ratione. 
Sed  QK  81  P R  sequales  sunt,  utpote  a^qualium  O K,  O P,&l  OQ, 
OR  differentiae,  &  inde  etiam  rectangula  PgiT  &  Pg  x  P7?  aequa- 
lia  sunt ;  atque  ideo  rectangulum  P QxP R  est  ad  rectangulum 
A  QB,  hoc  est  ad  rectangulum  P  Sy.P  Tin  data  ratione.     Q  .E.  D. 

Cas.  2.  Ponamus  jam  trapezii  latera  opposita  A  C  &B D  non  esse 
parallela.       Age  Bd  parallelam  A  C  &  occurrentem  tum  rectae  6^  T\ 
in  /,  tum  conicse  sectioni  in  d.     Junge  Cd  secantem  P  Q  in  r,  & 
ipsi   P  Q   parallelam    age    D  M 
secantem  C  d  \n  M  &  A  B  \n  N. 
.Jam   ob   similia  triangula  BTt, 
DBN;  ^stBt  seu  PQ  ad  Tt 
utDNsidNB.      Sic&Rrest 
adAQ  seu  PSutDMad  A  N. 
Ergo,   ducendo   antecedentes   in 
antecedentes  &  consequentes  in 
consequentes,  ut  rectangulum  P  Q 
\n  Rr  est  ad  rectangulum  P  S  in 
Tt,  ita  rectangulum  N  D  M  est 
ad  rectangulum  A  NB,  &  (per  cas.  i.)  ita  rectangulum  PQ  \n  Pr 
est   ad   rectangulum  P  S  \n  P  ty  ac  divisim  ita  rectangulum  P  Q  x 
PR  est  ad  rectangulum  PSxPT      Q.  E,  D. 

Cas.  3.  Ponamus  denique  lineas 
quatuor  P  Q,  P  R,  P  S,  P  T  non 
esse  parallelas  lateribus  A  Cy  A  B, 
sed  ad  ea  utcunque  inclinatas. 
Earum  vice  age  P  q,  Pr  parallelas 
ipsi  AC ;  &  Ps,  P  t  parallelas  ipsi 
A  B  ;  &  propter  datos  angulos  trian- 
gulorum  PQq,PRr,PSs,P  Tt, 
dabuntur  rationes  P  Q  ^d  P  q,  P  R 
2LdPr,PS  ad  P s,  &  PTad  Pt; 
atque  ideo  rationes  compositse  P  Q 
xPR  ad  PqxPr,  &  PSxPTad  PsxPt.  Sed,  per  superius 
demonstrata,  ratio  PqxPr  Sid  PsxPt  data  est  :  ergo  &  ratio 
PQxPR  ad  PSxPT      Q.E.D, 


LIBER  PRIMUS. 


75 


LEMMA    XVIII. 

lisdem  positis,  si  rectangulum  ductarum  ad  opposita  duo  latera  trapezii 
PQ  X  PR  sit  ad  rectangulum  ductarum  ad  reliqua  duo  latera 
PS  X  P  T  in  data  ratione ;  punctum  P,  a  quo  linecB  ducuntur, 
tanget  conicam  sectionem  circa  trapezium  descriptam. 

Per  puncta  A,  B,  C,  D  8c  allquod  infinitorum  punctorum  P, 
puta  /,  concipe  conicam  sectionem  describi  :  dico  punctum  P  hanc 
semper  tangere.  Si  negas,  junge  AP  secantem  hanc  conicam  sec- 
tionem  alibi  quam  in  P,  si  fieri  potest,  puta  in  d.  Ergo  si  ab  his 
punctis  p  8c  d  ducantur  in  datis  angulis  ad  latera  trapezii  rectse  /  ^, 
p  r,  p  s,  p  t  &  d  ^,  b  n,  bf,  b  d ;  erit  ut  b  kx  bn  ad  bfy.  b  d  ita 
(per  lem.  xvii.)  pqy.pr  2A  psypt,  &  ita  (per  hypoth.)  PQ  x PR 
ad  PSy.PT.  Est  &  propter  similitudinem  trapeziorum  b  k  Af 
P  Q  A  S,  \it  bk  did  bf  \X,2i  P  Q  2idi  P  S.  Quare,  applicando  ter- 
minos  prioris  proportionis  ad  terminos  correspondentes  hujus,  erit 
bn2id  bdvX  PR  3id  PT.  Er- 
go  trapezia  aequiangula  Dnbd, 
D RP  T similia  sunt,  &  eorum 
diagonales  D  b,  D  P  propterea 
coincidunt.  Incidit  itaque  b 
in  intersectionem  rectarum  AP, 
D  P  ideoque  coincidit  cum 
puncto  P.  Quare  punctum 
P,  ubicunque  sumatur,  incidit 
in  assignatam  conicam  sectio- 
nem.     Q.E.D. 

Corol.    Hinc  si   rectae   tres  ^ 

PQ,PR,PS2i  puncto  com-  ^        V  AM 

muni  P  ad  aHas  totidem  positione  datas  rectas  AB,  CD,  A  C,  singulae 
ad  singulas,  in  datis  anguHs  ducantur,  sitque  rectangulum  sub  duabus 
ductis  PQyPR  ad  quadratum  tertise  PS  in  data  ratione  :  punc- 
tum  P,  a  quibus  rectae  ducuntur,  locabitur  in  sectione  conica 
quae  tangit  Hneas  AB,  CD  \n  A  8>l  C;  &  contra.  Nam  coeat  Hnea 
B  D  cum  Hnea  A  C,  manente  positione  trium  A  B,  C  D,  A  C ;  dein 


76 


DE  MOTU  CORPORUM 


coeat  etiam  linea  PT  cum  linea  P S :  8c  rectangulum  PSxP  T 
evadet  P  S  quad.  rectaeque  A  B,  CD,  quae  curvam  in  punctis  A  &i  B, 
C  &L  D  secabant,  jam  curvam  in  punctis  illis  coeuntibus  non  amplius 
secare  possunt,  sed  tantum  tangent. 


Scholium. 

Nomen  conicae  sectionis  in  hoc  lemmate  late  sumitur,  ita  ut  sectio 
tam  rectilinea  per  verticem  coni  transiens,  quam  circularis  basi  pa- 
rallela  includatur.  Nam  si  punctum  /  incidit  in  rectam,  qua  puncta 
A  Si  D  vel  C  &  B  junguntur,  conica  sectio  vertetur  in  geminas 
rectas,  quarum  una  est  recta  illa  in  quam  punctum  /  incidit,  & 
altera  est  recta  qua  alia  duo  ex  punctis  quatuor  junguntur.  Si  tra- 
pezii  anguli  duo  oppositi  simul  sumpti  sequentur  duobus  rectis,  &  linese 
quatuor  P  Q^  P  R,  P  S^  P  T  ducantur  ad  latera  ejus  vel  perpendi- 
culariter  vel  in  angulis  quibusvis  i 

sequalibus,  sitque  rectangulum 
sub  duabus  ductis  PQ  x  PR 
sequale  rectangulo  sub  duabus 
aliis  P  SxP  T,  sectio  conica 
evadet  circulus.  Idem  fiet,  si 
linese  quatuor  ducantur  in  an- 
gulis  quibusvis,  &  rectangulum 
sub  duabus  ductis  PQxPR 
sit  ad  rectangulum  sub  aliis 
duabus  P Sx  P  T  ut  rectan- 
gulum  sub  sinubus  angulonim 

Sy  Ty    in  quibus    duse   ultimse  ^         ^  k 

PS,  PT  ducuntur,  ad  rectangulum  sub  sinubus  angulorum  Q,  R,  in 
quibus  duse  primse  P  Q,  P  R  ducuntur.  Cseteris  in  casibus  locus 
puncti  P  erit  aliqua  trium  figurarum,  quse  vulgo  nominantur  sectiones 
conicse.  Vice  autem  trapezii  ABCD  substitui  potest  quadrilaterum, 
cujus  latera  duo  opposita  se  mutuo  instar  diagonalium  decussant. 
Sed  &  e  punctis  quatuor  A,  B,  C,  D  possunt  unum  vel  duo  abire  ad 
infinitum,  eoque  pacto  latera  figurse,  quse  ad  puncta  illa  convergunt, 
evadere  parallela  :  quo  in  casu  sectio  conica  transibit  per  cxitera 
puncta,  &  in  plagas  parallelarum  abibit  in  infinitum. 


LIBER  PRIMUS. 


n 


L  E  M  M  A    XIX 


K •-— 

p 

\  .,..-'- 

H 

T 

/ 

— *■ — 

ir-. 

^               "  1 

k    • 

Invenire  punctum  P,  a  quo  si 
rectcB  quatuor  P  Q,  P  R, 
P  S,  P  T  ad  alias  totidem 
positione  datas  rectas  A  B, 
C  D,  A  C,  B  D,  singulce  ad 
singulas,  in  datis  angulis 
ducantur,  rectangulum  sub 
duabus  ductisy  P  Q  x  P  R, 
sit  ad  rectangulum  stib  aliis 
duabus,  P  S  X  PT,  /«  data 
ratione. 


Lineae  A  B,  C  D,  ad  quas  rectae  duae  P  Q,  P  R  unum  rectangu- 
lorum  contlnentes  ducuntur,  conveniant  cum  aliis  duabus  positione 
datis  lineis  in  punctis  A,  B,  C,  D.  Ab  eorum  aliquo  A  age  rectam 
quamlibet  A  H,  in  qua  velis  punctum  P  reperiri.  Secet  ea  lineas 
oppositas  B  D,  C  D,  nimirum  B  D  in  H  8>l  C  D  in  /,  &  oh  datos 
omnes  angulos  figurae,  dabuntur  rationes  PQ  Sid  P  A  &  PA  ad 
P  Sy  ideoque  ratio  P  Q  ad  P  S.  Auferendo  hanc  a  data  ratione  P  Q 
xPP  ad  PSxP  T,  dabitur  ratio  P P  2id  P  T,  &  addendo  datas 
rationes  P  /  sid  P  P,  8c  P  T  Sid  P  H  dabitur  ratio  P  /  ^d  P  H,  atque 
ideo  punctum  P.     Q.E./. 

Corol.  I.  Hinc  etiam  ad  loci  punctorum  infinitorum  P  punctum 
quodvis  D  tangens  duci  potest  Nam  chorda  PZ7,  ubi  puncta  P 
ac  D  conveniunt,  hoc  est,  ubi  A  H  ducitur  per  punctum  D,  tan- 
gens  evadit.  Quo  in  casu,  ultima  ratio  evanescentium  /  P  8l  P  H 
invenietur  ut  supra.  Ipsi  igitur  A  D  duc  parallelam  C  F,  occurren- 
tem  B  D  m  F,  8l  m  ea  ultima  ratione  sectam  m  E,  81  D  E  tangens 
erit,  propterea  quod  C  F  8l  evanescens  /  H  parallelae  sunt,  &  in  ^5* 
&  P  similiter  sectae. 

Corol.  2.  Hinc  etiam  locus  punctorum  omnium  P  definiri  potest. 
Per  quodvis  punctorum  A,  B,  C,  D,  puta  A,  duc  loci  tangentem 
A  Ey  81  per  aliud  quodvis  punctum  B  duc  tangenti  parallelam  B  F 


78 


DE  MOTU  CORPORVM 


occurrentem  loco  in  F.  Inven- 
ietur  autem  punctum  F  per 
lem.  XIX.  Biseca  B  Fm  G,  8c 
acta  indefinita  A  G  erit  positio 
diametri  ad  quam  B  G  &l  F  G 
ordinatim  applicantur.  Haec 
A  G  occurrat  loco  in  H,  & 
erit  A  H  diameter  sive  latus 
transversum,  ad  quod  latus  rec- 
tum  erit  vX  B  G q  2.di  A  Gx 
G  H.  S\  A  G  nusquam  oc- 
currit  loco,  linea  A  H  existente 
infinita,  locus  erit  parabola,  & 


BGq 


latus  rectum  ejus  ad  diametrum  A  G  pertinens  erit     .  ^  .     Sin  ea 

alicubi  occurrit,  locus  hyperbola  erit,  ubi  puncta  A  8i  H  sita  sunt  ad 
easdem  partes  ipsius  G:  &  ellipsis,  ubi  G  intermedium  est,  nisi  forte 
angulus  A  G  B  rectus  sit,  &  insuper  B  G  quad.  aequale  rectangulo 
A  G  H,  quo  in  casu  circulus  habebitur. 

Atque  ita  problematis  veterum  de  quatuor  lineis  ab  Euclide 
inccepti  &  ab  Apollonio  continuati  non  calculus,  sed  compositio 
geometrica,  qualem  veteres  quserebant,  in  hoc  corollario  exhibetur. 


LEMMA    XX. 

Si  parallelogrammum  quodvis  A  S  P  Q  angulis  duobtis  oppositis  A  & 
P  tangit  sectionem  quamvis  conicam  in  punctis  K  &  V\  &  lateribus 
unius  angulorum  illorum  infi^iite  productis  A  Q,  A  S  occurrit  eidem 
sectioni  conicce  in  V>  &  Q\  a  punctis  autem  occursuum  B  &  C  ad 
quintum  quodvis  sectionis  coniccs  punctum  D  agafitur  rectcB  ducB  BD, 
C  D  occurrentes  alteris  duobus  infinite  productis  parallelogrammi 
lateribus  P  S,  P  Q  m  T  df  R  :  erunt  semper  abscisscB  laterum  partes 
P  R  df  P  T  ad  invicem  in  data  ratione.  Et  contra,  si  partes  illcs 
abscissce  sunt  ad  invicem  in  data  ratione,  punctum  D  tanget  sectionem 
conicam  per ptmcta  quatuor  A,  B,  C,  P  transeuntem. 


LIBER  PRIMVS. 


79 


Cas.  I.  Jungantur  B P,  CP  8i  a  puncto  D  agantur  rectae  du^ 
DG,  D  E,  quarum  prior  D  G  ipsi  A  B  parallela  sit  &  occurrat  P  B, 
PQ,  C  A  in  H,  /,  G ;  altera  D  E  parallela  sit  ipsi  A  C  &  occurrat 
P  C,  PS,  A  B  in  E,  K,  E:  &  erit  (per  lem.  xvii.)  rectangulum 
DExDE  ad  rectangulum  DGxD//  in  ratione  data.  Sed  est 
PQad  DE  (seu  /Q)  ut  PB 
ad  //B,  ideoque  ut  jP  7^  ad 
D//;  &  vicissim  P  Q  Sid  PT 
ut  DE  ad  D//.  Est  &  PE 
3idDEutEC3idDC,  ideo- 
que  ut  {/G  vel)  PvS^ad  D  G, 
&  vicissim  PP  ad  PkS'  ut  Z?/^ 
ad  D  G;  &  conjunctis  rationi- 
bus  fit  rectangulum  PQ  x  PR 
ad  rectangulum  PS  x  PTut 
rectangulum  DE  x  DE  ad 
rectangulum  D  GxD //,  at- 
que  ideo  in  data  ratione.  Sed 
dantur  PQ  &  PS,  &  propterea  ratio  PE  ^d  PT  datur.     Q.E.D. 

Cas.  2.  Quod  si  P  P  &  P  T  ponantur  in  data  ratione  ad  invicem, 

tum   simili    ratiocinio   regrediendo,   sequetur  esse  rectangulum  DE 

xD E 2id  rectangulum  D  GxD // m  ratione  data,  ideoque  punctum 

D  (per  lem.  xviii.)  contingere  conicam  sectionem    transeuntem   per 

puncta  A,  B,  C,  P.     Q.E.D. 

Corol.  I.  Hinc  si  agatur  B  C  secans  PQ  in  r,  &  in  P  7"capiatur 
P  t  \u  ratione  2A  P  r  quam  habet  PT  ad  P  R:  erit  Bt  tangens 
conicse  sectionis  ad  punctum  B.  Nam  concipe  punctum  D  coire 
cum  puncto  B,  ita  ut,  chorda  BD  evanescente,  BT  tangens  evadat; 
&  C  D  diC  B  7"coincident  cum  CB  Si  B  t. 

Corol.  2.  Et  vice  versa  si  B  t  sit  tangens,  &  ad  quodvis  conicae 
sectionis  punctum  D  conveniant  B  D,  C  D ;  erit  P  R  2id  P  Tut  P  r 
ad  P  t.  Et  contra,  si  sit  P  R  ad  P  T  ut  Pr  ad  P  t:  convenient, 
B  D,  CDdid  conicse  sectionis  punctum  aliquod  D. 

Corol.  3.  Conica  sectio  non  secat  conicam  sectionem  in  punctis 
pluribus  quam  quatuor.  Nam,  si  fieri  potest,  transeant  duae  conicse 
sectiones  per  quinque  puncta  A,  B,  C,  P,  O ;  easque  secet  recta  B  D 
in  punctis  D,  d,  &  ipsam  P  Q  secet  recta  C^  in  ^.      Ergo  P  R  est  ad 


8o 


DE  MOTU  CORPORUM 


P  T  vX  PqzA  P  T ;  unde  P  R  &.  Pq  sibi  invicem  sequantur,  contraj 
hypothesin. 


LEMMA    XXI. 

St  rectce  duce  mobiles  &  infinitcs  B  M,  C  M  per  data  puncta  B,  O 
ceu  polos  ductcB^  concursu  suo  M  describant  tertiam  positione  datam 
rectam  M  N  ;  df  alicB  ducs  infinitce  rectcs  B  D,  C  D  cum  prioribus 
duabus  ad  puncta  illa  data  B,  C  datos  angulos  M  B  D,  M  C  D 
efficientes  ducanttir :  dico  quod  hce  ducs  B  D,  C  D  concursu  suo  D 
describent  sectionem  conicam  per  puncta  B,  C  transeuntem.  Et  vice 
versa,  si  rectcs  B  D,  C  D  concursu  suo  D  describant  sectionem 
conicam  per  data  puncta  B,  C,  A  transeuntem,  &  sit  angulus 
D  B  M  semper  csqualis  angulo  dato  A  B  C,  angulusque  D  C  M 
semper  cequalis  angulo  dato  A  C  B  :  punctum  M  continget  rectam 
positione  datam. 

Nam  in  recta  MN  detur  punctum  N^   &  ubi  punctum  mobile 
M  incidit  in  immotum  N,  incidat  punctum  mobile  £>  in  immotum  P. 


Junge   CN,  BN,   CP,  BP,  &  a  puncto  P  age  rectas  P  T,  P  R 
occurrentes  ipsis  B D,  C D  \n   T  8z  R,  &,  facientes  angulum  BP  T 


LIBER    PRIMUS. 


8r 


aequalem  angulo  dato  B  N  M,  &  angulum  C  P  R  a^qualem  angu- 
lo  dato  C  N  M.  Cum  ergo  (ex  hypothesi)  aequales  sint  anguH 
MBD,  NBP,  ut  &  anguH  MCD,  NCP;  aufer  communes  NBD 
&  NCD,  &  restabunt  ^quales  NBM&PB  T,  NCM  &  PCR: 
ideoque  triangula  N  B  M,  P  B  7"similia  sunt,  ut  &  triangula  N  C  M, 
P  CR.  Quare  P  T  est  ad  NM  ut  /^  ^  ad  N B,  &  P  R  Sid  N M  ut 
PC  ad  NC  Sunt  autem  puncta  B,  C,  N,  P  immobilia.  Ergo  P  T 
&  P  R  datam  habent  rationem  ad  N  M,  proindeque  datam  rationem 
inter  se ;  atque  ideo  (per  lem.  xx.)  punctum  D,  perpetuus  rectarum 
mobilium  B  T  &  C  R  concursus,  contingit  sectionem  conicam,  per 
puncta  B,  C,  P  transeuntem.     Q.E.D, 

Et  contra,  si  punctum  mobile  D  contingat  sectionem  conicam 
transeuntem  per  data  puncta  B,  C,  A,  Sl  sit  angulus  D B M  semper 
aequalis  angulo  dato  A  B  C,  8»l  angulus  D  CM  semper  sequalis  an- 
gulo  dato  A  CB,  8i  ubi  punctum  D  incidit  successive  in  duo  quae- 
vis  sectionis  puncta  immobilia  />,  P,  punctum  mobile  M  incidat  suc- 
cessive   in   puncta   duo  immobilia  n,   N:  per   eadem    n,  N  agatur 


recta  n  N,  &.  haec  erit  locus  perpetuus  puncti  illius  mobilis  M.  Nam, 
si  fieri  potest,  versetur  punctum  M  in  Hnea  ahqua  curva.  Tanget 
ergo  punctum  D  sectionem  conicam  per  puncta  quinque  B,  C,  A, 
p,  P  transeuntem,  ubi  punctum  M  perpetuo  tangit  lineam  curvam. 
Sed  &  ex  jam  demonstratis  tanget  etiam  punctum  D  sectionem  co- 


82  DE  MOTU  CORPOR UM  m 

nicam  per  eadem  quinque  puncta  B^  C,  A,  p,  P,  transeuntem,  ubi 
punctum  M  perpetuo  tangit  lineam  rectam.  Ergo  duae  sectiones 
conicae  transibunt  per  eadem  quinque  puncta,  contra  corol  3.  lemmat. 
XX.     Igitur  punctum  J/versari  in  linea  curva  absurdum  est.     Q,E.D. 

PROPOSITIO    XXII.      PROBLEMA    XIV. 

Trajectoriam  per  data  qidnque  ptincta  describere, 

Dentur  puncta  quinque  Ay  By  C,  Py  D.  Ab  eorum  aliquo  A  ad 
alia  duo  qusevis  B,  C,  quse  poli  nominentur,  age  rectas  A  B,  A  C, 
hisque  parallelas  TP S^  P RQ  per  punctum  quartum  P.  Deinde  a 
polis  duobus  B,  C  age  per  punctum  quintum  D  infinitas  duas  B  D  T, 
CRDy  novissime  ductis  T  P  S,  P  R  Q  (priorem  priori  &  posteri- 
orem  posteriori)  occurrentes  in  T  &.  R.  Denique  de  rectis  P  T, 
PRy  acta  recta  tr  ipsi  TR  parallela,  abscinde  quasvis  Pty  Pr  ipsis  P  T, 
PR  proportionales ;  &  si  per  earum  terminos  /,  r  &  polos  B,  C  actse 
B  t,  Cr  concurrant  in  dy  locabitur  punctum  illud  ^in  trajectoria  quae- 


sita.  Nam  punctum  illud  d  (per  lem.  xx.)  versatur  in  conica  sectione 
per  puncta  quatuor  A,  By  C,  P  transeunte  ;  &  lineis  Rr,  Tt  evanes- 
centibus,  coit  punctum  d  cum  puncto  D.  Transit  ergo  sectio  conica 
per  puncta  quinque  A,  B,  C,  P,  D.     Q.E,D. 

Idem  aliter. 

E  punctis  datis  junge  tria  qusevis  A,B,C ;  &  circum  duo  eorum 
By  Cy  ceu   polos,  rotando   angulos  magnitudine  datos  A  B  C,  A  CB\ 


LIBER  PRIMUS. 


appllcentur  crura  B  A,  CA,  primo  ad  punctum  Z>,  deinde  ad  punc- 
tum  Py  &  notentur  puncta  M,  N  in  quibus  altera  crura  B  L,  C L 
casu  utroque  se  decussant.  Agatur  recta  infinita  M N,  &  rotentur 
anguli  illi  mobiles  circum  polos  suos  B,  C,  ea  lege  ut  crurum  B  Z, 
CL  vel  B  M,  CM  intersectio,  quae  jam  sit  m,  incldat  semper  in 
rectam  illam  Infinltam  M N ;  &  crurum  B  A,  CA,  vel  B D,  C D 
intersectio,  quae  jam  slt  d,  trajectorlam  qusesltam  P  A  D  dB  delinea- 
bit.       Nam  punctum  d  (per  lem.  xxi.)  contlnget  sectlonem  conicam 


per  puncta  B,  C  transeuntem ;  &  ubi  punctum  m  accedit  ad  puncta 
Z,  M,  Ny  punctum  d  (per  constructionem)  accedet  ad  puncta  A  D  P. 
Descrlbetur  itaque  sectlo  conlca  transiens  per  puncta  qulnque  Ay  B, 
C,P,D.     Q.E.F. 

Corol.  I.  Hinc  recta  expedlte  duci  potest,  quse  trajectoriam 
quaesltam  in  puncto  quovis  dato  B  continget.  Accedat  punctum  ^ad 
punctum  B,  &  recta  B  d  evadet  tangens  quaeslta. 

Corol.  2.  Unde  etlam  trajectoriarum  centra,  dlametri  &  latera 
recta  Invenirl  possunt,  ut  in  corollario  secundo  lemmatis  xix. 

ScholiMm. 
Constructlo  prlor  evadet  paulo  slmpllclor  jungendo  BP,  &  In  ea,  si 
opus   est,  producta  caplendo  Bp  2A  B  P  vX  est  P  R  ad  P  T ;  & 


g^  DE  MOTU  CORFORUM 

per  /  agendo  rectam  infinitam  p  e  ipsi  S  P  T  parallelam,  &  in  ea 
capiendo  semper  pe  ^qualem  P  r ;  &  agendo  rectas  B  e,  C  r  con- 
currentes  in  d.  Nam  cum  sint  Z' r  ad  P  t,  P  R  ad  P  T,  p  B  2.d 
P  B.pediA  P  t  in  eadem  ratione  ;  erunt  p  e  &  P  r  semper  sequales. 
Hac  methodo  puncta  trajectoriae  inveniuntur  expeditissime,  nisi  mavis 
curvam,  ut  in  constructione  secunda,  describere  mechanice. 


PROPOSITIO    XXIII.       PROBLEMA    XV. 

Trajectoriam  describere,  qtuB  per  data  quatuor  puncta  transibit,  & 
rectam  contifiget  positione  datam, 

Cas.  I.  Dentur  tangens  HB,  punctum  contactus  B^  &  alia  tria 
puncta  C,  Dy  P,  Junge  B  C,  &  agendo  PS  parallelam  rectse  B  H, 
8i  P  Q  parallelam  rectse  B  C,  comple  parallelogrammum  B  S  P  Q, 
Age  B  D  secantem  ^'P  in  T,  &l  C  D  secantem  P  Q  m  R,    Denique, 


agendo  quamvis  /  r  ipsi  TR  parallelam,  de  P  Q,  P  S  abscinde 
P  r,  P  t  ipsis  P  R,  P  T  proportionales  respective  ;  &  actarum  C  r, 
Bt  concursus  d  (per  lem.  xx.)  incidet  semper  in  trajectoriam 
describendam. 

Idem  aliter. 
Revolvatur  tum  angulus  magnitudine  datus  C  B  H  circa  polum  By 
tum  radius  quiHbet  rectiHneus  &  utrinque  productus  D  C  circa  polum 
C,  Notentur  puncta  M,  N,  in  quibus  anguH  crus  B  C  secat 
radium  iHum,  ubi  crus  alterum  B  H  concurrit  cum  eodem  radio  in 
punctis  P  &,  D.       Deinde  ad  actam  infinitam  MN  concurrant  per- 


LIBER  PRIMUS. 


8q 


petuo  radlus  ille  CP  vel  CD  &  anguli 
crus  BC,  &  cruris  alterius  B  H  con- 
cursus  cum  radio  delineablt  trajecto- 
riam  quaesitam. 

Nam  si  in  constructionlbus  proble- 
matis  superlorls  accedat  punctum  A  ad 
punctum  B,  llneae  C  A  &  C B  colnci- 
dent,  &  linea  A  B  m  ultimo  suo  situ 
fiet  tangens  B//;  atque  ideo  construc- 
tiones  ibi  positae  evadent  esedem  cum 
constructionibus  hic  descriptis.  De- 
lineablt  igltur  crurls  B //  concursus 
cum  radio  sectionem  conicam  per 
puncta  C,  D,  P  transeuntem,  &  rectam  /j 
i5Zr  tangentem  in  puncto  B,    Q.E.F. 

Cas.  2.  Dentur  puncta  quatuor  B,  C,  Dy  P  extra  tangentem 
H I  sita.  Junge  bina  llneis  B  D,  CP  concurrentibus  in  G,  tangen- 
tique  occurrentibus  in  H  8l  I,  Secetur  tangens  in  A,  ita  ut  sit 
H A  ad  I  Ay  ut  est  rectangulum  sub  media  proportionali  inter  C  G 
&  G  P  8c  media  proportionali  inter  B  H  &,  HD,  ad  rectangulum 
sub  media  proportionali  inter  D  G  Sc  G  B  &  medla  proportionali 
inter  P/  &  /C;  &  erit  A 
punctum  contactus.  Nam  si 
rectae  P/  parallela  HX  trajec- 
toriam  secet  in  punctis  quibus- 
vis  X  &  V:  erit  (ex  conicis) 
punctum  A  ita  locandum,  ut 
fuerit  HA  quad.  2A  A  /  quad. 
in  ratlone  composlta  ex  ratione 
fectanguli  XHY  ad  rectan- 
gulum  BHD,  seu  rectanguli 
C  G  P  2id  rectangulum  D  G  B, 
&  ex  ratione  rectanguli  B  HD 
ad  rectangulum  P /  C  Invento  autem  contactus  puncto  A,  descri- 
betur  trajectorla  ut  in  casu  primo.     Q.  E.  F. 

Capi  autem  potest  punctum  A  vel  inter  puncta  H  81  /y  vel  extra  ; 
&  perinde  trajectoria  dupliciter  describi. 


86 


DE  MOTU  CORPORUM 


PROPOSITIO    XXIV.      PROBLEMA    XVI. 

Trajectoriam  describere,  quce  transibit  per  data  tria  puncta,  &  rectas 
duas  positione  datas  continget, 

Dentur  tangentes  HI,  K L  &  puncta  B,  C,  D.  Per  punctorum 
duo  qusevis  B,  D  age  rectam  infinitam  B  D  tangentibus  occurren- 
tem  in  punctis  H,  K,  Deinde  etiam  per  alia  duo  quaevis  C,  D  age 
infinitam  C D  tangentibus  occurrentem  in  punctis  /,  Z.  Actas  ita 
seca  m  R  &i  S,  ut  sit  H R  2A  K  R  ut  est  media  proportionalis  inter 
B  H  81  HD  ad  mediam  proportionalem  inter  B  K  &  KD ;  & 
/S  ad  L  S  ut  est  media  proportionalis  inter  C/  &  /D  Sid  mediam 
proportionalem  inter  CL  &  L  D,  Seca  autem  pro  lubitu  vel  inter 
puncta  K  &  H,  /  &  L,  vel  extra  eadem ;  dein  age  R  S  secantem 
tangentes  m  A  &  P,  &  erunt  A  &  P  puncta  contactuum.  Nam  si 
A  &  P  supponantur  esse  puncta  contactuum  alicubi  in  tangentibus 
sita ;  &  per  punctorum  H,  /,  K,  L  quodvis  /,  in  tangente  alterutra 
H/  situm,  agatur  recta  /  V  tan- 
genti  alteri  KL  parallela,  quae 
occurrat  curvae  in  ^  &  K,  &  in 
ea  sumatur  /Z  media  propor- 
tionalis  inter  /X  &  /V:  erit, 
ex  conicis,  rectangulum  X  /  V 
seu  /  Z  quad,  ad  Z  P  quad.  ut 
rectangulum  C  /  D  ^.d  rectangu- 
lum  C  LD,  id  est  (per  construc- 
tionem)  ut  S/  quad.  ad  SL  quad. 
atque  ideo  /  Z  ad  Z  /*  ut  S  /  ^.d 
S L.  Jacent  ergo  puncta  S,  P,  Z 
in  una  recta.  Porro  tangentibus  concurrentibus  in  G,  erit  (ex  conicis) 
rectangulum  X  /  Y  s^u  / Z  quad.  ad  /A  quad.  ut  GP  quad.  Sid  G  A 
quad.  ideoque  /Z  ad  /A  ut  GP  did  GA.  Jacent  ergo  puncta  P,  Z 
81  A  m  una  recta,  ideoque  puncta  S,  P  &  A  sunt  in  una  recta.  Et 
eodem  argumento  probabitur  quod  puncta  R,  P  &  A  sunt  in  una 
recta.  Jacent  igitur  puncta  contactuum  A  &  P  in  recta  R  S.  Hisce 
autem  inventis,  trajectoria  describetur  ut  in  casu  primo  problematis 
superioris.     Q,E,F. 


LIBER  PRIMUS. 


87 


In  hac  proposltlone,  &  casu  secundo  proposltlonis  superlorls  con- 
structlones  esedem  sunt,  slve  recta  X  Y  trajectorlam  secet  In  ^  &  K, 
slve  non  secet ;  eaeque  non  pendent  ab  hac  sectlone.  Sed  demon- 
stratls  constructionlbus  ubl  recta  illa  trajectorlam  secat,  innotescunt 
constructlones,  ubi  non  secat ;  iisque  ultra  demonstrandis  brevltatis 
gratla  non  Immoror. 

L  E  M  M  A     XXI  I. 
Figuras  in  alias  ejtcsdem  generis  figuras  mutare. 

Transmutanda  slt  figura  quaevls  HGI.  Ducantur  pro  lubitu 
rectae  duae  parallelae  A  O,  B  L  tertlam  quamvls  posltione  datam 
A  B  secantes  m  A  &  j^,  &  a  figurae  puncto  quovis  G,  ad  rectam 
A  B  ducatur  quaevls  G  D,  ipsi  O  A  parallela.  Deinde  a  puncto  ali- 
quo  O,  in  linea  O  A  dato,  ad  punctum  D  ducatur  recta  O  D,  ipsi  BL 
occurrens  in  dy  &  sl  punc- 
to  occursus  erigatur  recta 
dg  datum  quemvis  angulum 
cum  recta  BL  continens, 
atque  eam  habens  ratlonem 
Sid  O  d  quam  habet  Z^  6^  ad 
OD;  &  erlt  g  punctum 
in  figura  nova  Agi  puncto 
G  respondens.  Eadem  ra- 
tione  puncta  slngula  figurae 
prlmae  dabunt  puncta  toti- 
dem  figurae  novae.  .  Concipe 
igitur  punctum  G  motu  continuo  percurrere  puncta  omnia  figurae 
primae,  &  punctum  g  motu  itldem  contlnuo  percurret  puncta  omnia 
figurae  novae  &  eandem  descrlbet  Distinctionis  gratia  nominemus 
D  G  ordinatam  prlmam,  dg  ordinatam  novam ;  A  D  abscissam 
primam,  a  d  abscissam  novam  ;  O  polum,  O  D  radlum  absclndentem, 
OA  radium  ordlnatum  prlmum,  &  O  a  (quo  parallelogrammum 
O  A  B  a  completur)  radlum  ordlnatum  novum. 

Dico  jam  quod,  si  punctum  G  tanglt  rectam  lineam  positione  da- 
tam,  punctum  g  tanget  etlam  Hneam  rectam  posltlone  datam.  Si 
punctum  G  tanglt  conicam  sectionem,  punctum  g  tanget  etlam 
conicam  sectlonem.    Conlcis  sectionibus  hic  circulum  annumero.    Por- 


-^ 


D 


88 


DE  MOTU  CORPORUM 


ro   si   punctum   G  tanglt  lineam   tertii  ordinis  analytici,  punctum  g 

tanget  lineam  tertii  itidem  ordinis ;  &  sic  de  curvis  lineis  superiorum 

ordinum.       Lineae  duae  erunt  ejusdem  semper  ordinis  analytici  quas 

puncta  G,  g  tangunt.     Etenim  ut  est  ^  ^  ad  O  A  ita  sunt  Od  ad  OD, 

O  A  X  AB 
dg  did  D  G,  &  A  B  ad  A  D  ;  ideoque  A  D  sequalis  est -j , 

„    ^^           ,.          OAxdg,     _  .  ^  .  ,. 

&  Z/ G- aequalis  est ,  Jam  si  punctum  G  tangit  rectam  li- 

neam,  atque  ideo  in   sequatione  quavis,  qua  relatio  inter  abscissam 

A  D  &L  ordinatam  D  G  habetur,  indeterminatae  illae  A  D  8i  D  G  did 

unicam  tantum  dimensionem  ascendunt,  scribendo  in  hac  aequatione 

OAxAB  ^  r^   a    OAxdg  ^  ^ 

-1 pro  A  D,  &  -1 —    pro   D  Cr,   producetur   sequatio 

nova,  in  qua  abscissa  nova 

ad  &  ordinata  nova  dg  ad 

unicam  tantum  dimensionem 

ascendent,  atque   ideo   quae 

designat  lineam  rectam.   Sin 

A  D  &  D  G,  vel  earum  al- 

terutra,  ascendebant  ad  duas 

dimensiones     in    aequatione 

prima,  ascendent  itidem  ad 

&  dg  ad  duas  in  aequatione 

secunda.     Et   sic  de   tribus 

vel  pluribus   dimensionibus. 

Indeterminatae  ad,  dg  in  aequatione  secunda,  &  A  D,  D  G  in  prima 

ascendent  semper  ad  eundem   dimensionum  numerum,  &  propterea 

lineae,  quas  puncta  G,  g  tangunt,  sunt  ejusdem  ordinis  analytici. 

Dico  praeterea,  quod  si  recta  aliqua  tangat  Hneam  curvam  in 
figura  prima ;  haec  recta  eodem  modo  cum  curva  in  figuram  novam 
translata  tanget  lineam  illam  curvam  in  figura  nova ;  &  contra.  Nam 
si  curvae  puncta  quaevis  duo  accedunt  ad  invicem  &  coeunt  in  figura 
prima,  puncta  eadem  translata  accedent  ad  invicem  &  coibunt  in 
figura  nova;  atque  ideo  rectae,  quibus  haec  puncta  junguntur,  simul 
evadent  curvarum  tangentes  in  figura  utraque. 

Componi  possent  harum  assertionum  demonstrationes  more  magis 
geometrico.     Sed  brevitati  consulo. 


D 


1 


LIBER  PRIMUS. 


89 


Igltur  sl  figura  rectllinea  in  aliam  transmutanda  est,  sufficit  recta- 
rum,  a  quibus  conflatur,  intersectiones  transferre,  &  per  easdem  in 
figura  nova  lineas  rectas  ducere.  Sin  curvilineam  transmutare  opor- 
tet,  transferenda  sunt  puncta,  tangentes,  &  aliae  rectse,  quarum  ope 
curva  linea  definitur.  Inservit  autem  hoc  lemma  solutioni  difficiliorum 
problematum,  transmutando  figuras  propositas  in  simpliciores.  Nam 
rectae  qusevis  convergentes  transmutantur  in  parallelas,  adhibendo 
pro  radio  ordinato  prlmo  Hneam  quamvis  rectam,  quae  per  con- 
cursum  convergentium  transit;  idque  qula  concursus  ille  hoc  pacto 
abit  in  infinltum ;  linese  autem  parallelae  sunt,  quae  nusquam 
concurrunt.  Postquam  autem  problema  solvitur  in  figura  nova; 
si  per  inversas  operationes  transmutetur  haec  figura  in  figuram 
primam,  habebltur  solutio  quaesita. 

Utile  est  etlam  hoc  lemma  in  solutione  solidorum  problematum. 
Nam  quoties  duae  sectiones  conicae  obvenerint,  quarum  intersectione 
problema  solvl  potest,  transmutare  Hcet  earum  alterutram,  sl  hyper- 
bola  slt  vel  parabola,  In  eHipsIn  :  delnde  eHIpsis  facile  mutatur  in 
clrculum.  Recta  item  &  sectio  conica,  in  constructione  planorum 
problematum,  vertuntur  in  rectam  &  circulum. 

PROPOSITIO    XXV.      PROBLEMA    XVII. 

Trajectoriam  describere,  qicce  per  data  duo  puncta  transibit,  &  rectas 
tres  continget  positione  datas, 

Per  concursum  tangentium  qua- 
rumvls  duarum  cum  se  invicem,  & 
concursum  tangentis  tertiae  cum  recta 
IHa,  quae  per  puncta  duo  data  tran- 
slt,  age  rectam  infinitam  ;  eaque 
adhibita  pro  radlo  ordinato  primo, 
transmutetur  figura,  per  lemma  su- 
perlus,  in  figuram  novam.  In  hac 
figura  tangentes  iHae  duae  evadent 
sibi  invicem  parahelae,  &  tangens 
tertia  fiet  paraHela  rectae  per  puncta 
duo  data  transeunti.     Sunto  hi,  kl  tangentes  iHae  duae  parallelae,  ik 


96  DE  MOTU  CORPORUM 

tangens  tertia,  8l  hl  recta  huic  parallela  transiens  per  puncta  illa  a,  b, 
per  quse  conica  sectio  in  hac  figura  nova  transire  debet,  &  parallelo- 
grammum  hikl  complens.  Secentur  rectse  hi,  ik,  kl  in  c,  d,  e,  ita  ut 
sit  hc  2A  latus  quadratum  rectanguli  ah  b,  ic  ad  id,  &  ke  ad  kd  ut  est 
summa  rectarum  hi  81  k  l  did  summam  trium  linearum,  quarum  prima 
est  recta  e^,  &  alterse  duae  sunt  latera  quadrata  rectangulorum  ahb 
Sl  alb:  &  erunt  c,  d,  e  puncta  contactuum.  Etenim,  ex  conicis,  sunt 
hc  quadratum  ad  rectangulum  ahb,  &  ic  quadratum  ad  /^quadratum, 
&  ke  quadratum  Sid  kd  quadratum,  &  e/  quadratum  ad  rectangulum 
a/b  in  eadem  ratione ;  &  propterea      v  ^^ 

^^  ad  latus  quadratum  ipsius  ahby 
ic  ad  id,  ke  ^d  kd,  &  e/  ad  latus 
quadratum  ipsius  a/b  sunt  in  sub- 
duplicata  illa  ratione,  &  composite, 
in  data  ratione  omnium  antecedentium 
hi  &  k/  ad  omnes  consequentes,  quae 
sunt  latus  quadratum  rectanguli  ahb, 
&  recta  ik,  &  latus  quadratum  rec- 
tanguli  a/b.  Habentur  igitur  ex  data 
illa  ratione  puncta  contactuum  c,  d,  e, 
m  figura  nova.  Per  inversas  operationes  lemmatis  novissimi  trans- 
ferantur  hsec  puncta  in  figuram  primam,  &  ibi  (per  prob.  xiv.) 
describetur  trajectoria.  Q,E,F.  Caeterum  perinde  ut  puncta  a,  b 
jacent  vel  inter  puncta  h,  /,  vel  extra,  debent  puncta  r,  d,  e  vel  inter 
puncta  h,  i,  k,  /,  capi,  vel  extra.  Si  punctorum  a,  b  alterutrum  cadit 
inter  puncta  h,  /,  &  alterum  extra,  problema  impossible  est. 

PROPOSITIO    XXVI.      PROBLEMA    XVIII. 

Trajectoriam  describere,  quce  transibit  per  punctum  datum,  &  rectas 
quatuor  positione  datas  continget. 

Ab  intersectione  communi  duarum  quarumlibet  tangentium  ad 
intersectionem  communem  reliquarum  duarum  agatur  recta  infinita, 
&  eadem  pro  radio  ordinato  primo  adhibita,  transmutetur  figura 
(per  lem.  xxii.)  in  figuram  novam,  &  tangentes  binse,  qu^  ad 
radium  ordinatum  primum  concurrebant,  jam  evadent  parallel^.     Sun- 


LIBER  PRIMUS. 


91 


to  illae  kiSikl,  ikSihl  continen- 

tes  parallelogrammum /^2^/.     Sit- 

que/  punctum  in  hac  nova  figura 

puncto  in  figura  prima  dato  respon- 

dens.     Per  figurae  centrum  O  aga- 

tur/^,  &  existente  Oq  sequali  O p, 

erit  q  punctum  alterum  per  quod 

sectio   conica  in  hac    figura  nova 

transire  debet.     Per  lemmatis  xxii. 

operationem  inversam  transferatur    _ 

hoc  punctum  in  figuram  primam,    ^ 

&  ibi  habebuntur  puncta  duo  per  quae  trajectoria  describenda  est. 

Per   eadem  vero  describi  potest  trajectoria  illa  per  problema  xvii. 

Q.E,F, 


LEMMA    XXII  I. 

Si  rectce  duce positione  datce  AC,  BD  addata  puncta  A,  B,  terminentur, 
datamque  kabeant  rationem  ad  invicem,  &  recta  C  D,  qua  puncta 
indeterminata  C,  'Djunguntur,  secetur  in  ratione  data  in  K:  dico 
quod punctum  K  locabitur  in  recta  positione  data, 

Concurrant  enim  rectse  A  C,  B  D  m  E,  81  m  B  E  capiatur  B  G 
Sid  A  E  ut  est  BI?  ad  A  Q  sitque  ED  semper  sequalis  datse  E  G  ; 
&  erit  ex  constructione  E  C 

ad  G  D,  hoc  est,  ad  E  F  vX  ^' 

AC2A  BD,  ideoque  in  ratio- 
ne  data,  &  propterea  dabitur 
specie  triangulum  E  F  C 
Secetur  CFm  L  ut  sit  C  L 
ad  C  F  m  ratione  C  K  'aA 
C  D ;  &  ob  datam  illam  ra- 
tionem,  dabitur  etiam  specie 
triangulum  EFL;  proin- 
deque  punctum  L  locabitur 
in  recta  EL  positione  data.  Junge  L  K,  81  simiHa  erunt  triangula 
CLK,  CFD;  &  ob  datam  FD  &  datam  rationem  L  K  2A  FD, 


H 


G     B 


92 


DE  MOTU  CORPORUM 


dabitur  LK.  Huic  sequalis 
capiatur  E  H,  &  erit  semper 
ELKH  parallelogrammum. 
Locatur  igitur  punctum  K 
in  parallelogrammi  illius  la- 
tere  positione  dato  H  K, 
Q.E.D. 

CoroL  Ob  datam  specie 
figuram  E  FL  C,  rectae  tres 
EF,  EL  8iEQ  id  est,  GD, 
HK  8iE  C,  datas  habent  rationes  ad  invicem. 


LEMMA    XXIV. 

Si  rectcB  tres  tangant  quamcmigtce  coni  sectionentj  quarum  duce  paral- 
lelcB  sint  ac  dentur  positione ;  dico  quod  sectionis  semidiameter  hisce 
duabus  parallelay  sit  media  proportionalis  inter  harum  segfnenta^ 
punctis  contactuum  &  tangenti  tertice  interjecta, 

Sunto  AF,  GB  parallelae  duae  coni  sectionem  ADB  tangentes  in 
A  &  B;  E  F  recta  tertia  coni  sectionem  tangens  in  /,  &  occurrens 
prioribus  tangentibus  \n  F  Sl  G ;  sitque  C  D  semidiameter  figurse 
tangentibus  parallela  :  dico 
quod  A  F,  C  Dy  B  G  sunt 
continue  proportionales. 

Nam  si  diametri  con- 
jugatse  A  B,  D  M  tangenti 
FG  occurrant  in  E  &.  H, 
seque  mutuo  secent  in  C, 
&  compleatur  parallelo- 
grammum  I K  C  L  ;  erit 
ex  natura  sectionum  con- 
icarum  ut  ^  C  ad  CA  ita 
C^  ad  CZ,  &  ita  divisim 
EC-^CA   ad    CA^CL 

seu  E  A  2Ld  A  L,  &  composite  EA  ad  EA-\-AL  seu  E  L  ut  E 
ad  EC-h  CA  seu  EB;  ideoque,  ob  similitudinem  triangulorum  EAF, 


LIBER  PRIMUS. 


93 


ELI.E  CH,  E  B  G,  A  F  2id  L  I  \xt  CH  ad  B  G.  Est  itidem,  ex 
natura  sectionum  conicarum,  Z  /  seu  CA^ad  CD  ut  CD  ad  CH; 
atque  ideo  ex  aequo  perturbate  ^  /"  ad  CZ^  ut  CZ^  ad  ^  6^.  Q.  E.  D. 

Corol.  I.  Hinc  si  tangentes  duse  F  G,  P  Q  tangentibus  parallelis 
AF,  BG  occurrant  in  F  &  Gy  P  &  Q,  seque  mutuo  secent  in  O  ;  erit 
ex  sequo  perturbate  A  F  a.d  B  Q  ut  A  P  2A  B  G,  &l  divisim  ut  FP 
ad  G  Q,  atque  ideo  ut  i^  6^  ad  O  G. 

Corol.  2.  Unde  etiam  rectse  duae  P  G,  FQ,  per  puncta  P  &.  G, 
F  81  Qy  ductae,  concurrent  ad  rectam  A  CB  per  centrum  figurae  & 
puncta  contactuum  A,  B  transeuntem. 


LEMMA      XXV. 

Si  parallelogrammi  latera  qtmtuor  infinite  producta  tangant  section- 
em  quamcunque  conicam,  &  abschictantur  ad  tangentem  quamvis 
quintam ;  smnantur  autem  laterum  quorumvis  duo7^um  contermi- 
norum  abscissce  terminatcB  ad  angulos  oppositos  parallelogrammi : 
dico  quod  abscissa  alterutra  sit  ad  latus  illud  a  quo  est  abscissa,  ut 
pars  lateris  alterius  contermini  inter  punctum  contactus  &  latus 
tertium  est  ad  abscissarum  alteram, 

Tangant  parallelogrammi  ML  /A^latera  quatuor  M L,  I K,  K L, 

M I  sectionem  conicam  in  A,B,  C,D,  &  secet  tangens  quinta/^^ 

F  M  A       L 


haec  latera  in  F,  Q,  H  81  E ;    sumantur  autem  laterum  M I,  K I 
abscissae  M E,  K  Q,  vel   laterum  K  L,  M L  abscissae  K H,  M F : 


Q4  DE  MOTU  CORPORUM 

dico  quod  sit  ME  ad  MI  ut  BK  ad  KQ;  &  K H  ad  i^rZ  ut 
^  7^/ad  M F.  Nam  per  corollarlum  primum  lemmatls  superlorls  est 
ME  ad  ^  /  ut  ^  J/  seu  B  K  2idB  Q,&i  componendo  M  E  did  M I  \it 
BKdidKQ,  Q,E.D.  Item  K H  ^d  H L  ut  B  K  s^n  A  M  2id 
AE,&  dividendo  K  H  ad  K  L  ut  A  M  ad  MK     Q.  E.  D. 

Corol.  I.  Hinc  sl  datur  parallelogrammum  I K  L  M,  circa  datam 
sectionem  conlcam  descrlptum,  dabltur  rectangulum  KQxME,  ut 
&  huic  sequale  rectangulum  K  Hx  M F.  ^quantur  enim  rectangula 
illa  ob  similitudinem  triangulorum  K  Q  H,  M  F  E. 


CoroL  2.  Et  si  sexta  ducatur  tangens  eg  tangentibus  K I,  MI 
occurrens  in  ^  &  e ;  rectangulum  K QxM E  sequabitur  rectangulo 
Kq  X  Me;  eritque  KQ  ad  Me  ut  Kq  ab  ME,  &  divisim  ut  Qq  ad  Ee. 

Corol.  3.  Unde  etiam  si  E  q,  ^^  jungantur  &  bisecentur,  &  recta 
per  puncta  bisectionum  agatur,  transibit  hsec  per  centrum  sectionis 
conicae.  Nam  cum  sit  Qq  did  Eeut  KQ  ad  Me,  transibit  eadem 
recta  per  medlum  omnium  Eq,  eQ,  M K  (per  lem.  xxiii.)  &  medium 
rectae  M K  est  centrum  sectionis. 

PROPOSITIO    XXVII.      PROBLEMA    XIX. 

Trajectoriam  describerey  qucB  rectas  quinque  positione  datas  continget. 

Dentur  positione  tangentes  ^  ^  G^,  ^  C /%  GCD,  FDE,  EA, 
Figurse  quadrllaterae  sub  quatuor  qulbusvis  contentse  A  B  F E  didi- 
gonales  A  F,  B  E  biseca  in  i^  &  -A^,  &  (per  corol.  3.  lem  xxv.) 
recta  MN  per  puncta  bisectionum  acta  transibit  per  centrum  trajecto- 


I 


LIBER  PRIMUS.  g^ 

rlse.  Rursus  figurae  quadrilaterae  B  G  D  F^  sub  aliis  quibusvis  qua- 
tuor  tangentibus  contentae,  diagonales  (ut  ita  dicam)  B  D,  GF 
biseca  in  P  &  0 :  &  recta  PQ  per  puncta  bisectionum  acta  tran- 
sibit  per  centrum  trajectorise.  Dabitur  ergo  centrum  in  concursu 
bisecantium.  Sit  illud  O.  Tangenti  cuivis  B  C  parallelam  age  K L^ 
ad  eam  distantiam  ut  centrum  O  in  medio  inter  parallelas  locetur, 


&  acta  K L  tanget  trajectoriam  describendam.  Secet  haec  tangencoo 
alias  quasvis  duas  GC  D,  FD  E  m  L  &  K.  Per  harum  tangentium 
non  parallelarum  CZ,  FK  cum  parallelis  CF^  KL  concursus  C  &  Ky 
F&  L  age  CK,  FL  concurrentes  in  K,  &  recta  OK  ducta  &  pro- 
ducta  secabit  tangentes  parallelas  CFy  KL  in  punctis  contactuum. 
Patet  hoc  per  corol.  2.  lem.  xxiv.  Eadem  methodo  invenire*  licet 
alia  contactuum  puncta,  &  tum  demum  per  construct.  prob.  xiv. 
trajectoriam  describere.     Q.  E.  F, 

Scholium. 

Problemata, .  ubi  dantur  trajectoriarum  vel  centra  vel  asymptoti, 
includuntur  in  praecedentibus.  Nam  datis  punctis  &  tangentibus 
una  cum  centro,  dantur  alia  totidem  puncta  aliaeque  tangentes  a 
centro  ex  altera  ejus  parte  aequaliter  distantes.  Asymptotos  autem 
pro  tangente  habenda  est,  &  ejus  terminus  infinite  distans  (si  ita 
loqui  fas  sit)  pro  puncto  contactus.     Concipe  tangentis  cujusvis  punc- 


96 


DE  MOTU  CORPORUM 


tum  contactus  abire  In  infinitum,  &  tangens  vertetur  in  Asympto- 
ton,  atque  constructlones  problematum  praecedentlum  vertentur  In 
constructiones  ubl  Asymptotos  datur. 

Postquam  trajectoria  descripta  est,  invenire  licet  axes  &  umbilicos 
ejus  hac  methodo.  In  constructione  &  figura  lemmatls  xxi.  fac  ut 
angulorum  moblHum  P  B  N,  P  C  N,  crura  B  P,  C  P,  quorum  con- 
cursu  trajectoria  describebatur,  sint  sibi  Invlcem  parallela,  eumque 
servantla  sltum  revolvantur  circa  polos  suos  B,  C  In  figura  Illa.  Inte- 
rea  vero  describant  altera  angulorum  illorum  crura  C N,  B  N,  con- 
cursu  suo  K  vel  ky  clrculum  BGKC.     Slt  clrcuH  hujus  centrum  O, 


Ab  hoc  centro  ad  regulam  M N,  ad  quam  altera  Illa  crura  C  N^ 
BN  interea  concurrebant,  dum  trajectoria  descrlbebatur,  demltte 
normalem  O  H  clrculo  occurrentem  va  K  %i  L,  Et  ubl  crura  illa 
altera  C  K,B  K  concurrunt  ad  punctum  illud  K  quod  regulae  proplus 
est,  crura  prlma  C P,  B  P  parallela  erunt  axl  majori,  &  perpendicu- 
laria  mlnorl;  &  contrarium  evenlet,  si  crura  eadem  concurrunt  ad 
punctum  remotlus  Z.  Unde  si  detur  trajectoriae  centrum,  dabuntur 
axes.     Hisce  autem  datis,  umbillci  sunt  In  promptu. 

Axlum  vero  quadrata  sunt  ad  invicem  mX.  K  H  zA  LH,  &  inde 
facile  est  trajectorlam  specie  datam  per  data  quatuor  puncta  descrl- 
bere.  Nam  sl  duo  ex  punctis  datls  constltuantur  poli  C,  B,  tertiui 
dablt  angulos  moblles,  PCK,  PBK ;  hls  autem  datls  describl  potest 
clrculus  BGKC.  Tum  ob  datam  specle  trajectoriam,  dabitui 
ratio  O  H  2A  OK,  Ideoque  ipsa  O  H.     Centro  O  &  Intervallo  O 


LIBER  PRIMUS.  ^j 

describe  allum  circulum,  &  recta,  quae  tangit  hunc  circulum,  & 
transit  per  concursum  crurum  CK,  B  K,  ubi  crura  prima  C  P,  B  P 
concurrunt  ad  quartum  datum  punctum,  erit  regula  illa  M N  cujus 
ope  trajectorla  describetur.  Unde  etiam  vicissim  trapezium  specie 
datum  (si  casus  quidam  impossibiles  excipiantur)  In  data  quavis  sec- 
tlone  conica  inscribi  potest. 

Sunt  &  alia  lemmata  quorum  ope  trajectoriae  specie  datse,  datis 
punctis  &  tangentibus,  describi  possunt.  Ejus  generis  est  quod,  si 
recta  linea  per  punctum  quodvis  positione  datum  ducatur,  quae  da- 
tam  coni  sectlonem  in  punctls  duobus  intersecet,  &  Intersectionum 
Intervallum  blsecetur,  punctum  blsectionis  tanget  aliam  coni  sectionem 
ejusdem  speclei  cum  prlore,  atque  axes  habentem  priorls  axlbus 
parallelos.     Sed  propero  ad  magis  utiHa. 

LE  M  M  A     XXVI. 

Trianguli  specie.  &  magnittidine  dati  tres  angidos  ad  rectas  totidem 
positione  datas,  qucs  non  sunt  omnes  parallelcBy  singulos  ad  singulas 
ponere. 

Dantur  positione  tres  rectae  infinitae  A  B,  A  C,  B  C^  &  oportet 
trlangulum  D  E  F\\,2l  locare,  ut  angulus  ejus  D  lineam  A  B,  angulus 
E  lineam  A  Cj  &  angulus  E  lineam  B  C  tangat.  .  Super  D  E,  D  F 
%L  E  F  describe  tria  circulorum  segmenta  D  RE,  D  G  F,  E  M F, 
quae  capiant  angulos  anguHs  B  A  C,  A  B  C^  A  C  B  aequales 
respectlve.  Describantur  autem  haec  segmenta  ad  eas  partes  Hnea- 
rum  DE,  D F,  E F,  ut  Hterae  DRED  eodem  ordlne  cum 
Hterls  BACB,  Hter^  DGFD  eodem  cum  Hteris  A  B  C  A, 
&  Hterae  EMFE  eodem  cum  Hteris  A  C  B  A  in  orbem  redeant; 
delnde  compleantur  haec  segmenta  In  circulos  integros.  Secent 
circuH  duo  priores  se  mutuo  in  Gy  sintque  centra  eorum  P  Bl  Q, 
Junctis  G  P,P  Q,  cape  G  a  2id  A  B  ut  Gst  G  P  ad  P  Q,  &  centro  G, 
intervaHo  G  a  describe  circulum,  qul  secet  clrculum  primum  D  G  E 
in  a,  Jungatur  tum  aD  secans  clrculum  secundum  DFG  In  ^, 
tum  aE  secans  circulum  tertium  EMF  in  c.  Et  jam  Hcet  figuram 
A  B  Cdef  constituere  similem  &  aequalem  figurae  abc  D E F.  Quo 
facto  perficitur  problema. 

Agatur  enim  Fc  ipsi  a  D  occurrens  in  n,  &  jungantur  aG,  bG, 

G 


98 


DE  MOTU  CORPORUM 


QG,Q  D,P  D.  Ex  constructione  est  angulus  EaD  aequalis  angulo 
CAB,  &  angulus^^/^^qualis  angulo  ACB,  ideoque  triangulum 
a  n  c  triangulo  ABC  ^quiangulum.  Ergo  angulus  a  n  c  seu  Fn  D 
angulo  ABC,    ideoque   angulo   FbD   sequalis   est;    &    propterea 


■4 


punctum  71  incidit  in  pftinctum  b,       Porro  angulus  G  P  Q,  qui  dimii 
dius  est  anguli  ad  centrum   G  P  D,  sequalis  est  angulo  ad  circum- 
ferentiam    GaD ;   &   angulus    GQP,  qui   dimidius   est   anguli  ac 
centrum  GQ  Dy  sequalis  est  complemeijto  ad  duos  rectos  anguli  a< 


LIBER  PRIMUS.  qq 

circumferentiam  GbD,  ideoque  aequalis  angulo  Gba;  suntque 
ideo  triangula  G  P  Q,  G  ab  similia ;  &  6^  ^  est  ad  <^  ^  ut  G  P  2,^ 
PQ;  id  est  (ex  constructione)  ut  6^^  ad  y^^.  ^quantur  itaque 
ab  81  A  B ;  &  propterea  triangula  abc,  A  B  C,  quae  modo  similia 
esse  probavimus,  sunt  etiam  aequalia.  Unde,  cum  tangant  insuper 
trianguli  D E F  anguli  D,  E,  F  trianguli  abc  latera  ab,  ac,  b c 
respective,  compleri  potest  figura  A  B  C  d  ef  figurae  ab  c  D  E  F 
similis  &  aequalis,  atque  eam  complendo  solvetur  problema.  Q.  E.  F. 
Corol.  Hinc  recta  duci  potest  cujus  partes  longitudine  datae  rectis 
tribus  positione  datis  interjacebunt.  Concipe  triangulum  D  E  F, 
puncto  D  ad  latus  E F  accedente,  &  lateribus  D E,  DFm  directum 
positis,  mutari  in  lineam  rectam,  cujus  pars  data  D  E  rectis  positione 
datis  A  B,  A  C,  8l  pars  data  D  F  rectis  positione  datis  A  B,  B  C 
interponi  debet ;  &  applicando  constructionem  praecedentem  ad  hunc 
casum  solvetur  problema. 

PROPOSITIO    XXVIII.     PROBLEMA    XX. 

Trajectoriam   specie   &   magnitiidine  datam  describerej   cujus  partes 
datce  rectis  tribus  positione  datis  i^iterjacebunt, 

Describenda  sit  trajectoria,  quae  sit  similis  &  aequalis  lineae  curvae 
D  E  Fy  quaeque  a    rectis  tribus   A  B,   A  C,  B  C  positione  datis,  in 


partes  datis  hujus  partibus  D  E  Sl  E  F  similes  &  aequales  secabitur. 
Age  rectas  D  E,  E  F,  D  F,  &  trianguli  hujus  D  E  F  pone  an- 
guios  Dy  E,  F  ad  rectas  illas  positione  datas  (per  lem.  xxvi)  dein 
circa  triangulum  describe  trajectoriam  curvae  D  E  F  similem  & 
aequalem.     Q.  E.  F. 


lOO 


DE  MOTU  CORPORUM 


LEMMA    XXVII. 

Trapezium  specie  datum  describere,  cujus  angttli  ad  rectas  quatuor 
positione  datas,  qttce  neqtie  omties  parallelcB  sunt,  neque  ad  commune 
punctum  convergunt,  singuli  ad  singulas  consistent. 

Dentur  positione  rectse  quatuor  A  B  C,  A  D,  B  D,  CE ;  quarum 
prima  secet  secundam  in  A,  tertiam  in  B,  &  quartam  in  C;  &  de- 
scribendum  sit  trapezium/^>^  ^,  quod  sit  trapezio  F  G // /  simile  ; 
&  cujus  angulus  /  angulo  dato  F  sequalis,  tangat  rectam  A  B  C; 
cseterique  anguli  g,  h,  i,  caeteris  angulis  datis  G,  H,  I  sequales,  tan- 
gant  cseteras  lineas  A  D,  B  D,  C  E  respective.  Jungatur  F  H  &l 
super  FG,   F  H,   FI  describantur    totidem    circulorum   segmenta 


FSG,  FTH,  FVI;  quorum  primum  FSG  capiat  angulum 
aequalem  angulo  B  A  D,  secundum  FTH  capiat  angulum  sequalem 
angulo  C B D,  ac  tertium  FVI  capiat  angulum  sequalem  angulo 
A  CE,  Describi  autem  debent  segmenta  ad  eas  partes  linearum 
FG,  FH,  Fly  ut  literarum  FSGF  idem  sit  ordo  circularis  qui 
literarum  B  A  D  B,  utque  literse  F  T  H  F  eodem  ordine  cum 
literis  C B  D  C,  &  literse  FVIF  eodem  cum  literis  A  CEA  in 
orbem  redeant.       Compleantur  segmenta  in  circulos  integros,  sitque 


LIBER  PRIMUS.  jqj 

P  centrum  circull  prlmi  FS  G,  8l  Q  centrum  secundi  F  TH. 
Jungatur  &  utrinque  producatur  P  Q,  &  in  ea  capiaturgi?  in  ea 
ratione  2id  P  Q  quam  habet  ^  C  ad  A  B,  Capiatur  autem  0  7?  ad 
eas  partes  puncti  Q  ut  literarum  P,  Q,  R  idem  sit  ordo  atque  li- 
terarum  A,  B,  C:  centroque  R  &  intervallo  7? /^  describatur  circulus 
quartus  F N c  secans  circulum  tertium  F  VI  in  c,  Jungatur  Fc 
secans  circulum  primum  in  a,  &  secundum  in  b,  Agantur  a  G, 
dH,  c ly  Si  figurae  abc F G H I  similis  constitui  potest  figura  A  B  C 
fghi.  Quo  facto  erit  trapeziumy"^^/  illud  ipsum,  quod  constituere 
oportebat. 

Secent  enlm  circuli  duo  primi  FS  G,  F  TH  se  mutuo  in  K. 
Jungantur  P  K,  Q  K,  RK,  aK,  b  K,  c  K,  8i  producatur  Q  P  2A  L. 
Anguli  ad  circumferentias  FaK,  FbK,  Fc  K  sunt  semisses  angu- 
lorum  FP  K,  F  Q  K,  FR  K  ad  centra,  ideoque  angulorum  illorum 
dimidiis  LPK^LQK,  LRK ^quales.  Est  ergo  figura  PQRK 
figurse  abc K  aequiangula  &  similis,  &  propterea  ab  est  ad  bc  ut 
PQ2.AQR/\A  est,  ut  ^  ^  ad  i^  C.  Angulis  insuper  Fa  G,  Fb  H 
Fcl2^c{\xdinX.\ivfAgyfBh,fCz,^QT  constructionem.  Ergo  figurae 
abc  FG  H I  figura  similis  A  B  Cfgh i  compleri  potest.  Quo  facto 
trapeziumy^^/  constituetur  simile  trapezio  FGHI,  &  angulis  suis 
/  g,  h,  i  tanget  rectas  A  B  C,  A  D,  B  D,  C  E.     Q.  E.  F. 

Corol.  Hinc  recta  duci  potest  cujus  partes,  rectis  quatuor  positione 
datis  dato  ordine  interjectae,  datam  habebunt  proportionem  ad  invicem. 
Augeantur  anguli  FG  H,  G  H I  usque  eo,  ut  rectae  F  G,  G  H,  H I 
in  directum  jaceant,  &  in  hoc  casu  construendo  problema  ducetur 
YQQX.di  fghi,  cujus  partes  y^,  gh,  hi,  rectis  quatuor  positione  datis 
AB  &  A  D,  A  D  81  B  D,  BD  81  C  E  interjectae,  erunt  ad  invicem 
ut  linese  FG,  G  H,  H I,  eundemque  servabunt  ordinem  inter  se. 
Idem  vero  sic  fit  expeditius. 

Producantur  A  B  sid  K,  81  B  D  Sid  L,  ut  sit  B  K  2id  A  B  ut  HI 
ad  GH;  &  D  L  ad  BD  ut  G I  ad  FG  ;  &  jungatur  K L  occurrens 
rectae  C^  in  i.  Producatur  iL  ad  M,  ut  sit  L  M  dAiLMt  G  H  did 
HI,  8l  agatur  tum  MQ  ipsi  L  B  parallela,  rectaeque  A  D  occurrens 
in^,  twm  gi  secans  A  B,  B  D  inf  h.     Dico  factum. 

Secet  enim  Mg  rectam  A  B  m  Q,  8l  A  D  rectam  K  L  m  S,  8l 
agatur  A  P  quae  sit  ipsi  B  D  parallela  &  occurrat  i  L  m  Py  &  erunt 
gM  ad  Lh  (gi  ad  h  /,  Mi  ad  Li.GI  ad  H I,  A  K  2id  B K)  &. 


I02 


DE  MOTU  CORPORUM 


A  P  2id  B  L  in  eadem  ratione.  Secetur  D  L  m  R  wtsit  D  L  ad 
RL  m  eadem  illa  ratione,  &  ob  proportionales  ^  6^  3.d  g  M,  A  S  ^A 
A  P,  &  D  S  2id  D  L  ;  erit,  ex  aequo,  ut  ^6^  ad  Lh  itsi  A  S  2id  B  L 
&  DS  ad  RL;  &  mixtim,  ^Z-7?Z  2idL/i-BL  utAS-DS 
2id  g-S-A  S.  Id  est  BR  ad  B /i  ut  A  D  Sid  A g,  ideoque  ut  B  D 
ad  gQ.  Et  vicissim  B R  ?A  B  D  ut  B /i  ^d gQ,  s^u  f/i  ad  fg.  Sed 
ex  constructione  linea  B  L  eadem  ratione  secta  fuit  in  D  &  R  atque 
linea  F/in  G  &  H:  ideoque  ^st  B  R  2id  B  D  ut  FH  ad  FG.     Ergo 


mX-" 


-u 


G 


lp 


fk  est  2idfg  ut  i^//"  ad  -F  C  Cum  igitur  sit  etiam  ^  /  ad  ^  i  ut  Mi 
ad  Z  e,  id  est,  ut  6^7  ad  H I,  patet  lineas  F I,  f  i  in  g  &  /i,  G  8l  H 
similiter  sectas  esse.     Q.  E.  F. 

In  constructione  corollarii  hujus  postquam  ducitur  L  K  secans  C E 
in  i,  producere  licet  i  E  ad  V,  ut  sit  E  V  2A  Ei  ut  FH  ad  H I,  & 
agere  F/ parallelam  ipsi  B  D.  Eodem  recidit  si  centro  iy  intervallo 
/  Hy  describatur  circulus  secans  B  D  in  X^  &  producatur  iX  ad  K, 
ut  sit  i  Y  sequalis  /  F,  &  agatur  Vf  ipsi  B  D  parallela. 

Problematis  hujus  sokitiones  alias  Wren?ius  &  Wallisijis  olim 
excogitarunt. 


LIBER  PRIMUS. 


103 


PROPOSITIO    XXIX.      PROBLEMA    XXI. 

Trajectoriam  specie  datam  describere^  quce  a  rectis  quatuor  positione 
datis  ifi  partes  secabitur^  ordine,  specie  & proportione  datas. 

Descrlbenda  sit  trajectoria,  quse  simllis  sit  lineae  curvae  FGHI, 
&  cujus  partes,  illius  partlbus  FG,  G  H,  H I  similes  &  proportio- 
nales,  rectis  AB81AD,  ADSlBD,  BDSiCE  positione  datis, 
prima  primis,  secunda  secundis,  tertia  tertiis  interjaceant.  Actis 
rectis  FGy  G  H,  H I,  FI,  describatur  (per  lem.  xxvii)  trapezium 


fghi  quod  sit  trapezio  FGHI  slmile,  &  cujus.  anguli  fygyh.i 
tangant  rectas  illas  positione  datas  A  By  A  D,  B  D,  C  E,  singuli 
singulas  dicto  ordine.  Dein  circa  hoc  trapezium  describatur  trajec- 
toria  curvae  linese  F  G  H I  consimilis. 


Scholium. 

Construi  etiam  potest  hoc  problema  ut  sequitur.  Junctls  FG, 
GH,  H I,  F I  produc  G  F  2A  F,  jungeque  F  H,  I G,  &  angulis 
FGH,  VFHidLC  angulos  CAK.DAL  aequales.  Concurrant  AK, 
A  L  cum  recta  B  D  m  K  8l  L,  &.  inde  agantur  K  M,  LN,  quarum 
KM  constituat  angulum  ^  A^T^/sequalem  angulo  GHI,  sitque  ad 
AK  ut  est  H I  ad  G  H ;  81  L  N  constltuat  angulum  ALN  aequalem 
angulo  FHI,  sltque  ad  AL  ut  H I  2A  F H.  Ducantur  autem  A  K, 
KM,  A  L,  LN  did  eas  partes  Ilnearum  A  D,  A  K,  A  L,  ut  hterae 


I04 


DE  MOTU  CORPORUM 


CAKMC,  ALKA,  DALND  eodem  ordine  cum  literis  FGH I F 
in  orbem  redeant ;  &  acta  MN  occurrat  rectae  C^  in  i.  Fac  an- 
gulum  iEP  aequalem  angulo  I G F,  sitque  PE  ad  Ei  \x\.  F G  ?A 
GI ;  &  per  P  agatur  P  Qf,  quse  cum  recta  ADE  contineat  angulum 
PQE  ^qualem  angulo  FIGy  rectaeque  A  i^  occurrat  in/  &  jungatur 


fL  Agantur  autem  P  E  &  P  Q  Sid  e2is  partes  Hnearum  CEy  P  E, 
ut  literarum  PEiP  &  PEQ P  idem  sit  ordo  circularis  qui  literarum 
FGHIFy  &  si  super  linea // eodem  quoque  literarum  ordine  con- 
stituatur  trapezium  y^^/ trapezio  FGHI  simile,  &  circumscribatur 
trajectoria  specie  data,  solvetur  problema. 

Hactenus  de  orbibus  inveniendis.     Superest  ut  motus  corporum 
in  orbibus  inventis  determinemus. 


SECTIO    VI. 

De  inventione  motuum  in  orbibus  datis. 


PROPOSITIO   XXX.      PROBLEMA   XXII. 

Corporis  in  data  trajectoria  parabolica  moti  invenire  locitm  ad  tempus\ 

assignatum, 

Sit  S  umbilicus  &  A  vertex  principalis  parabolse,  sitque  4  -^kS^x 
sequale  areae  parabolicae  abscindendae  APS,  quae  radio  SPy  vel  post 
excessum  corporis  de  vertice  descripta  fuit,  vel  ante  appulsum  ejui 


LIBER  PRIMUS, 

ad  vertlcem  descrlbenda  est.     Innotescit 

quantitas  areae  illius  abscindendae  ex  tem- 

pore  ipsi  proportionali.     Biseca  AS  \n  G, 

erigeque  perpendiculum  6^iYaequale  3  M, 

&  circulus  centro  H,  intervallo  H  S  de- 

scriptus  secablt  parabolam  in  loco  quaesito 

P,    Nam,  demissa  ad  axem  perpendiculari 

PO  &  ducta  PH,  est  AGq-^-  GHq  (  =  HPq 

—  A  0—A  G:  quad.-^-P  0—G H:  quad)   a  &  s 

^AOq-^-POq-i  GAO-2  GHxP  0  +  A  Gq+GHq,     Unde 

2GHXPO  {  =  A0q  +  P0q-2    GAO)=AOq+i  POq.       Pro 

A  Oq  scribe  A  Ox  ^^  ^;  &  applicatis  terminis  omnibus  ad  3  P  (9 
ductisque  In  2  ^  6^,  fiet  4  GHxA  S  {=  i  A  OxP O-^-i  A  SxP O 

o  o 

=  are3e  APS,  Sed  GH^r^X  3  M,  &  inde  i  GHx  AS  est  4  ^^'x  M. 
Ergo  area  abscissa  A  P  S  aequalis  est  abscindendae  \  A  SxM.. 
Q.E.D. 

Corol.  I.  Hinc  G  H  ^st  ad  A  S,  ut  tempus  quo  corpus  descripsit 
arcum  A  P  2id  tempus  quo  corpus  descripsit  arcum  inter  verticem  A 
&  perpendiculum  ad  axem  ab  umbilico  kS  erectum. 

Corol.  2.  Et  circulo  A  S  P  per  corpus  motum  P  perpetuo  transe- 
unte,  velocitas  puncti  H  est  ad  velocitatem  quam  corpus  habuit  in 
vertice  ^  ut  3  ad  8 ;  ideoque  in  ea  etiam  ratione  est  linea  G  H  2A 
lineam  rectam  quam  corpus  tempore  motus  sui  ab  A  ad  /*,  ea  cum 
velocitate  quam  habult  in  vertice  A,  describere  posset 

Corol.  3.  Hinc  etiam  vice  versa  inveniri  potest  tempus  quo  corpus 
descripsit  arcum  quemvis  assignatum  AP.  Junge  AP  &  a.d  medium 
ejus  punctum  erige  perpendiculum  rectae  G  H  occurrens  in  H. 


I06  DE  MOTU  CORPORUM 

LEMMA    XXVIII. 

Nulla  extat  figura  ovalis  cujus  area,  rectis  pro  lubittc  abscissa,  possit 
per  cequationes  numero  terminorum  ac  dimensionum  finitas  generaliter 
inveniri, 

Intra  ovalem  detur  punctum  quodvis,  circa  quod  ceu  polum  re- 
volvatur  perpetuo  linea  recta,  uniformi  cum  motu,  &  interea  in 
recta  illa  exeat  punctum  mobile  de  polo,  pergatque  semper  ea  cum 
velocitate,  quae  sit  ut  rectae  illius  intra  ovalem  quadratum.  Hoc 
motu  punctum  illud  describet  spiralem  gyris  infinitis.  Jam  si  areae 
ovalis  a  recta  illa  abscissae  portio  per  finitam  aequationem  inveniri 
potest,  invenietur  etiam  per  eandem  aequationem  distantia  puncti  a 
polo,  quae  huic  areae  proportionalis  est,  ideoque  omnia  spiralis  puncta 
per  aequationem  finitam  inveniri  possunt  :  &  propterea  rectae  cu- 
jusvis  positione  datae  intersectio  cum  spirali  inveniri  etiam  potest  per 
aequationem  finitam.  Atqui  recta  omnis  infinite  producta  spiralem 
secat  in  punctis  numero  infinitis,  &  aequatio,  qua  intersectio  aliqua 
duarum  linearum  invenitur,  exhibet  earum  intersectiones  omnes 
radicibus  totidem,  ideoque  ascendit  ad  tot  dimensiones  quot  sunt 
intersectiones.  Quoniam  circuH  duo  se  mutuo  secant  in  punctis 
duobus,  intersectio  una  non  invenietur  nisi  per  aequationem  duarum 
dimensionum,  qua  intersectio  altera  etiam  inveniatur.  Quoniam 
duarum  sectionum  conicarum  quatuor  esse  possunt  intersectiones, 
non  potest  aliqua  earum  generaliter  inveniri  nisi  per  aequationem 
quatuor  dimensionum,  qua  omnes  simul  inveniantur.  Nam  si  inter- 
sectiones  illae  seorsim  quaerantur,  quoniam  eadem  est  omnium  lex 
&  conditio,  idem  erit  calculus  in  casu  unoquoque,  &  propterea  ea- 
dem  semper  conclusio,  quae  igitur  debet  omnes  intersectiones  simul 
complecti  Sz:  indifferenter  exhibere.  Unde  etiam  intersectiones 
sectionum  conicarum  &  curvarum  tertiae  potestatis,  eo  quod  sex 
esse  possunt,  simul  prodeunt  per  aequationes  sex  dimensionum, 
&  intersectiones  duarum  curvarum  tertiae  potestatis,  quia  novem  esse 
possunt,  simul  prodeunt  per  aequationes  dimensionum  novem.  Id 
nisi  necessario  fieret,  reducere  liceret  problemata  omnia  solida  ad 
plana,  &  plusquam  solida  ad  solida.  Loquor  hic  de  curvis  potestat 
irreducibilibus.       Nam    si    aequatio,    per    quam    curva   definitur,    a 


1 


LIBER  PRIMUS.  107 

inferiorem  potestatem  reduci  possit :  curva  non  erit  unica,  sed  ex 
duabus  vel  pluribus  composita,  quarum  intersectiones  per  calculos 
diversos  seorsim  inveniri  possunt.  Ad  eundem  modum  intersec- 
tiones  binse  rectarum  &  sectionum  conicarum  prodeunt  semper  per 
aequationes  duarum  dimensionum,  ternae  rectarum  &  curvarum 
irreducibilium  tertiae  potestatis  per  sequationes  trium,  quaternae 
rectarum  &  curvarum  irreducibilium  quartae  potestatis  per  sequationes 
dimensionum  quatuor,  &  sic  in  infinitum.  Ergo  rectae  &  spiralis 
intersectiones  numero  infinitae,  cum  curva  haec  sit  simplex  &  in  curvas 
plures  irreducibilis,  requirunt  aequationes  numero  dimensionum  & 
radicum  infinitas,  quibus  intersectiones  omnes  possunt  simul  exhi- 
beri.  Est  enim  eadem  omnium  lex  &  idem  calculus.  Nam  si  a  polo 
in  rectam  illam  secantem  demittatur  perpendiculum,  &  perpendicu- 
lum  illud  una  cum  secante  revolvatur  circa  polum,  intersectiones 
spiralis  transibunt  in  se  mutuo,  quaeque  prima  erat  seu  proxima,  post 
unam  revolutionem  secunda  erit,  post  duas  tertia,  &  sic  deinceps  : 
nec  interea  mutabitur  aequatio  nisi  pro  mutata  magnitudine  quanti- 
tatum  per  quas  positio  secantis  determinatur.  Unde  cum  quantitates 
illae  post  singulas  revolutiones  redeunt  ad  magnitudines  primas, 
aequatio  redibit  ad  formam  primam,  ideoque  una  eademque  exhibebit 
intersectiones  omnes,  &  propterea  radices  habebit  numero  infinitas, 
quibus  omnes  exhiberi  possunt.  Nequit  ergo  intersectio  rectae  & 
spiraHs  per  aequationem  finitam  generaliter  inveniri,  &  idcirco  nulla 
extat  ovalis  cujus  area,  rectis  imperatis  abscissa,  possit  per  talem 
aequationem  generaliter  exhiberi. 

Eodem  argumento,  si  intervallum  poli  &  puncti,  quo  spiralis 
describitur,  capiatur  Ovalis  perimetro  abscissae  proportionale,  probari 
potest  quod  longitudo  perimetri  nequit  per  finitam  aequationem 
generaliter  exhiberi.  De  ovalibus  autem  hic  loquor  quae  non  tangun- 
tur  a  figuris  conjugatis  in  infinitum  pergentibus. 

Corollarium, 

Hinc  area  ellipseos,  quae  radio  ab  umbilico  ad  corpus  mobile 
ducto  describitur,  non  prodit  ex  dato  tempore,  per  aequationem  fini- 
tam ;  &  propterea  per  descriptionem  curvarum  geometrice  rationalium 
determinari  nequit.  Curvas  geometrice  rationales  appello  quarum 
puncta  omnia  per  longitudines   aequationibus    definitas,    id    est,   per 


io8 


DE  MOTU  CORPORUM 


longitudinum  rationes  complicatas,  determinari  possunt ;  cseterasque 
(ut  spirales,  quadratrices,  trochoides)  geometrice  irrationales.  Nam 
longitudihes  quae  sunt  vel  non  sunt  ut  numerus  ad  numerum 
(quemadmodum  in  decimo  elementorum)  sunt  arithmetice  rationales 
vel  irrationales.  Aream  igitur  elHpseos  tempori  proportionalem 
abscindo  per  curvam  geometrice  irrationalem  ut  sequitur. 


PROPOSITIO    XXXI.       PROBLEMA    XXIII. 

Corporis  in  data  trajectoria  elliptica  moti  invenire  locum  ad  tempus 

assignatum,  "I 

EUipseos  A  P  B  sit  A  vertex  principalis,  S  umbilicus,  &  O  cen- 
trum,  sitque  P  corporis  locus  inveniendus.  Produc  O  A  2id  Gy  ut  sit 
OG  3id  OA  ut  OA  ad  OS,  Erige  perpendiculum  GH,  centroque  O 
&  intervallo  O  G  describe  circulum  G  E  F,  8l  super  regula  G  H,  ceu 
fundo,  progrediatur  rota  GE F  revolvendo  circa  axem  suum,  & 
interea  puncto  suo  A  describendo  trochoidem  A  L I,  Quo  facto, 
cape  G K  m  ratione  ad  rotse  perimetrum  GE FG,  ut  est  tempus, 


quo  corpus  progrediendo  ab  A  descripsit  arcum  A  P,  ad  tempus 
revolutionis  unius  in  ellipsi.  Erigatur  perpendiculum  K  L  occurrens 
trochoidi  in  Z,  &  acta  LP  ipsi  KG  parallela  occurret  elHpsi  in] 
corporis  loco  quaesito  P, 

Nam  centro   O,  intervallo   OA  describatur  semicirculus  AQB,\ 
&  arcui  A  Q  occurrat  LP  si  opus  est  producta  in  Q,  junganturqu< 


LIBER  PRIMUS. 


109 


SQ,  OQ.  Arcui  EFG  occurrat  O  Q  m  F,  B>l  m  eandem  OQ  de- 
mittatur  perpendiculum  S  R.  Area  A  P  S  ^^t  ut  area  AQS,  id  est, 
ut  differentia  inter  sectorem  OQA  &  triangulum  OQS,  sive  ut 
differentia  rectangulorum  k  OQxAQ  &  i  O  Q  x  S  F,  hoc  est,  ob 
datam  ^  O  Q,  ut  differentia  inter  arcum  A  Q  &  rectam  6^  7?,  ideoque 
(cum  eaedem  sint  datae  rationes  SF  ad  sinum  arcus  AQ,  OS  did  OAy 
OA  ad  OG,  AQ  2id  G F,  &  divisim  AQ-SR  ad  6^/^-sinu 
arcus  AQ)  ut  G  K  differentia  inter  arcum  G  F  &l  sinum  arcus  A  Q^ 
Q.E.D. 

Scholium, 

Caeterum,  cum  difficilis  sit  hujus  curvse  descriptio,  praestat  solu- 
tionem  vero  proximam  adhibere.  Inveniatur  tum  angulus  quidam 
B,  qui  sit  ad  angulum  graduum  57.29578,  quem  arcus  radio  aequalis 
subtendit,  ut  est  umbilicorum  distantia  SH  ad  ellipseos  diametrum 
A  B ;  tum  etiam  longitudo  quaedam  L,  quae  sit  ad  radium  in  eadem 


ratione  inverse.  Quibus  semel  inventis,  problema  deinceps  confit 
per  sequentem  analysin.  Per  constructionem  quamvis,  vel  utcunque 
conjecturam  faciendo,  cognoscatur  corporis  locus  P  proximus  vero 
ejus  loco  /.  Demissaque  ad  axem  ellipseos  ordinatim  applicata  P  R, 
ex  proportione  diametrorum  ellipseos,  dabitur  circuli  circumscripti 
A  Q  B  ordinatim  applicata  R  Q,  quae  sinus  est  anguli  A  OQ  ex- 
istente  AO  radio,  quaeque  ellipsin  secat  in  P,  Sufficit  angulum  illum 
rudi  calculo  in  numeris  proximis  invenire.  Cognoscatur  etiam 
angulus  tempori  proportionaHs,  id  est,  qui  sit  ad  quatuor  rectos  ut  est 
tempus,  quo  corpus  descripsit  arcum  Ap,  ad  tempus  revolutionis 
unius  in  ellipsi.     Sit  angulus  iste  N.     Tum  capiatur  &  angulus  D  ad 


I  lO 


DE  MOTU  CORPORUM 


angulum  B,  ut  est  sinus  iste  anguli  AOQ  2A  radium,  &  angulus  E 
ad  angulum  N— y^O^+D,  ut  est  longitudo  L  ad  longitudinem  ean- 
dem  L  cosinu  anguli  AOQ  diminutam,  ubi  angulus  iste  recto  minor 
est,  auctam  ubi  major.  Postea  capiatur  tum  angulus  F  ad  angulum 
B,  ut  est  sinus  anguli  AOQ-\-^  ad  radium,  tum  angulus  G  ad 
angulum  N— ^00— E  +  F  ut  est  longitudo  L  ad  longitudinem 
eandem  cosinu  anguli  AOQ-^-'^  diminutam  ubi  angulus  iste  recto 
minor  est,  auctam  ubi  major.  Tertia  vice  capiatur  angulus  H  ad 
angulum  B,  ut  est  sinus  anguli  AOQ-\-R-\-Gsid  radium ;  &  angu- 
lus  I  ad  angulum  N —A  OQ  —  E  —  G-^-H,  ut  est  longitudo  L  ad 
eandem  longitudinem  cosinu  anguli  AOQ-\-E-]-G  diminutam,  ubi 


angulus  iste  recto  minor  est,  auctam  ubi  major.  Et  sic  pergere  licet 
in  infinitum.  Denique  capiatur  angulus  A  Oq  aequalis  angulo  A  O  Q 
+  E  +  G  -h  I  +  &c.  Et  ex  cosinu  ejus  Or  &  ordinata  />r,  quse  est  ad 
sinum  ejus  qr  ut  ellipseos  axis  minor  ad  axem  majorem,  habebitur 
corporis  locus  correctus/.  Si  quando  angulus  N— ^  OQ-^-D  nega- 
tivus  est,  debet  signum -h  ipsius  E  ubique  mutari  in  — ,  &  signum 
—  in-h.  Idem  intelligendum  est  de  signis  ipsorum  G  &  I,  ubi  anguli 
N-A  OQ^E-\-F,  &  N-AOQ-E-^G-^H  negativi  prodeunt. 
Convergit  autem  series  infinita  AOQ-^E-\-G-\-l-^  &c.  quam  celer- 
rime,  adeo  ut  vix  unquam  opus  fuerit  ultra  progredi  quam  ad  ter- 
minum  secundum  E.  Et  fundatur  calculus  in  hoc  theoremate,  quod 
area  A  P  S  sit  ut  differentia  inter  arcum  A  Q  &  rectam  ab  umbilico 
vS  in  radium  O  Q  perpendiculariter  demissam. 

Non  dissimili  calculo  conficitur  problema  in  hyperbola.       Sit  ejus 
centrum  O,  vertex  Ay  umbilicus  6^  &  asymptotos  O  K.     Cognoscatur 


LIBER   PRIMUS. 


1 1 1 


quantitas  arese  abscindendae  tempori  proportionalis.     Sit  ea  A,  &  fiat 

conjectura  de  positione  rectse  S  P,  quae  aream  A  P  S  abscindat  verae 

proximam.     Jungatur  OP,  &  ab  y^  &  P  ad  asymptoton  agantur  AI, 

P  K  asymptoto  alteri  paral-  /  / 

lelae,  &  per  tabulam  logarith- 

morum  dabitur  area  AIKP, 

eique   aequalis  area  OPA, 

quae   subducta  de  triangulo 

OPS  relinquet  aream  ab- 

scissam  A  PS.    Applicando 

areae  abscindendae  A  &  ab- 

scissae    A  P  S    differentiam 

duplam  2  APS—2  A  vel 

2    A  —  2   A  P  S  diA   lineam 

SN,  quae  ab  umbilico  6^  in    ^ 

tangentem    TP  perpendicularis  est,  orietur  longitudo  chordae  P  Q, 

Inscribatur  autem  chorda  illa  PQ  inter  A  8c  Py  si  area  abscissa  APS 

major  sit  area  abscindenda  A,  secus  ad  puncti  P  contrarias  partes  :  & 

punctum  Q  erit  locus  corporis  accuratior.      Et  computatione  repetita 

invenietur  idem  accuratior  in  perpetuum. 

Atque  his  calculis  problema  generaliter  confit  analytice.  Verum 
usibus  astronomicis  accommodatior  est  calculus  particularis  qui  sequitur. 
Existentibus  A  O,  O  B,  O  D  semiaxibus  elHpseos,  &  L  ipsius  latere 
recto,  ac  D  differentia  inter  semiaxem 
minorem  OD  &  lateris  recti  semissem 
\  L ;  quaere  tum  angulum  Y,  cujus 
sinus  sit  ad  radium  ut  est  rectangulum 
sub  differentia  illa  D,  &  semisumma  a( 
axium  A  O-vO  D  2A  quadratum  axis 
majoris^^;  tum  angulum  Z,  cujus 
sinus  sit  ad  radium  ut  est  duplum 
rectangulum  sub  umbilicorum  distantia 
SH  &  differentia  illa  D  ad  triplum  quadratum  semiaxis  majoris  A  O. 
His  anguHs  semel  inventis;  locus  corporis  sic  deinceps  determinabitur. 
Sume  angulum  T  proportionalem  tempori  quo  arcus  B  P  descriptus 
est,  seu  motui  medio  (ut  loquuntur)  aequalem ;  &  angulum  V, 
primam  medii  motus  aequationem,  ad  angulum  Y,  aequationem  maxi- 


I  12 


DE  MOTU   CORPORUM 


mam  primam,  ut  est  sinus  dupli  anguli  T  ad  radium ;  atque  angulum 

X,   sequationem  secundam,  ad   angulum    Z,   aequationem    maximam 

secundam,  ut  est  cubus  sinus  anguli  T  ab  cubum  radii.      Angulorum 

T,  V,  X  vel  summse  T  +  X  H-  V,  si  angulus  T  recto  minor  est,  vel 

differentiae    T+X  —  V,    si    is    recto  ^ 

major   est   rectisque    duobus    minor, 

aequalem  cape  angulum  BHP,  motum 

medium  aequatum;  &l  s\  H  P  occurrat 

ellipsi  in  P,  acta  SP  abscindet  aream   aI 

B  SP  tempori  proportionalem  quam- 

proxime.     Haec  praxis  satis  expedita 

videtur,    propterea    quod   angulorum 

perexiguorum    V    &    X,   in   minutis 

secundis,  si   placet,  positorum,  figuras   duas  tresve  primas  invenirej 

sufficit.     Sed  &  satis  accurata  est  ad  theoriam  planetarum.      Nam  inj 

orbe  vel   Martis  ipsius,  cujus  aequatio  centri  maxima  est  graduum 

decem,  error  vix  superabit  minutum  unum  secundum.     Invento  autem 

angulo  motus  medii  aequati   BHP,  angulus  veri  motus  BSP  &j 

distantia  S  P  m  promptu  sunt  per  methodum  notissimam. 

Hactenus  de  motu  corporum  in  lineis  curvis.  .  Fieri  autem  potestj 
ut  mobile  recta  descendat  vel  recta  ascendat,  &  quae  ad  istiusmodij 
motus  spectant,  pergo  jam  exponere. 


SECTIO     VII. 

De  corporum  ascensu  &  descensu  rectilineo, 

PROPOSITIO    XXXII.      PROBLEMA    XXIV. 

Postto  quoct  vis  centripeta  sit  reciproce  proportionalis  quadrato 
distantice  locorum  a  centro,  spatia  dejinire  quce  corpus  recta  cadendo 
datis  temporibus  describit, 

Cas.    I.  Si  corpus  non   cadit   perpendiculariter,  descfibet  id  (pei 
corol.    I.    prop.    xiii)     sectionem   aliquam    conicam    cujus    umbilicus^ 
congruit  cum  centro  virium.     Sit  sectio  illa  conica  ARPB  &  um- 
bilicus  ejus  .S.     Et  primo  si  figura  ellipsis  est;  super  hujus  axe  majore! 
AB  describatur  semicirculus  ADB,  &  per  corpus  decidens  transeat 
recta  DPC  perpendicularis  ad  axem ;  actisque  D S,  P S  erit  areaj 


LTBER  PRIMUS. 


113 


ASD  areae  A  S P,  atque  ideo  etiam  tempori 
proportionalis.  Manente  axe  A  B  minuatur 
perpetuo  latitudo  ellipseos,  &  semper  manebit 
area  A  S  D  tempori  proportionalis.  Minuatur 
latitudo  illa  in  infinitum  :  &  orbe  A  P  B  jam 
coincidente  cum  axe  A  B  8l  umbilico  6^  cum 
axis  termino  B,  descendet  corpus  in  recta  A  C, 
&  area  A  B  D  evadet  tempori  proportionalis. 
Dabitur  itaque  spatium  A  C,  quod  corpus  de 
loco  A  perpendiculariter  cadendo  tempore  dato 
describit  si  modo  tempori  proportionalis  capi- 
atur  area  A  B  D,  &  a  puncto  D  ad  rectam  A  B 
demittatur  perpendicularis  D  C.     Q.  E.  I. 

Cas.  2.  Si  figura  illa  R  P  B  hyperbola  est,  describatur  ad  eandem 
diametrum  principalem  y^  ^  hyperbola  rectan- 
gula  ^^Z^:  &  quoniam  arese  CSP,  CBfP, 
SPfB  sunt  ad  areas  CSD,  CBED,  SDEB, 
singulae  ad  singulas,  in  data  ratione  alitudi- 
num  CP,  C D;  &  area  SPfB  proportionalis 
est  tempori  quo  corpus  P  movebitur  per 
arcum  PfB;  erit  etiam  area  S  D  E  B  eidem 
tempori  proportionalis.  Minuatur  latus  rec- 
tum  hyperbolae  RP B  m  infinitum  manente 
latere  transverso,  &  coibit  arcus  P  B  cum 
recta  CB  &  umbilicus  6"  cum  vertice  B  &  rec- 
ta  SD  cum  recta  BD.  Proinde  area  BDEB 
proportionalis  erit  tempori  quo  corpus  C  recto 
descensu  describit  lineam  C B.     Q.  E.  1. 

Cas.  3.  Et  simiH  argumento  si  figura 
RP B  parabola  est,  &  eodem  vertice  prin- 
cipali  B  describatur  alia  parabola  B  E  D, 
quse  semper  maneat  data,  interea  dum  para- 
bola  prior,  in  cujus  perimetro  corpus  P 
movetur,  diminuto  &  in  nihilum  redacto  ejus 
latere  recto,  conveniat  cum  Hnea  C  B ;  fiet 
segmentum  parabolicum  B D EB  proportionale  tempori  quo  corpus 
illud  P  vel  C  descendet  ad  centrum  6^  vel  B.     Q,  E.  I. 

H 


114 


DE  MOTU  CORPORUM 


PROPOSITIO     XXXIII.      THEOREMA    IX. 

Positisjam  inventis,  dico  quod  corporis  cadentis  velocitas  in  loco  quovis 
C  est  ad  velocitatem  corporis  centro  B  intervallo  BC  circuhcm 
describentis,  in  subduplicata  ratione  quam  A  C,  distantia  corporis 
a  circidi  vel  hyperbolcE  rectangulcs  vertice  ulteriore  A,  habet  ad 
figurce  semidiametrum  principalem  ^  A  B.  j^|| 

Bisecetur  A  B,  communis  utriusque  figurae  RPB,  DEB  dia- 
meter,  in  (9;  &  agatur  recta  P  T,  quse  tangat  figuram  RPB  mP, 
atque  etiam   secet   communem  illam   diametrum   A  B  (si   opus  est 


productam)  in  T;  sitque  6^  F  ad  hanc  rectam,  &  B  Q  ad  hanc 
diametrum  perpendicularis,  atque  figurse  RPB  latus  rectum  ponatur 
L.  Constat  per  corol.  ix.  prop.  xvi.  quod  corporis  in  Hnea  RPB 
circa  centrum  S  moventis  velocitas  in  loco  quovis  P  sit  ad  velocitatem 
corporis  intervallo  SP  circa  idem  centrum  circulum  describentis 


LIBER  PRIMUS. 


115 


siibduplicata  ratione  rectanguli  l^  L  x  SP  ad  6"  F  quadratum.  Est  au- 
tem  ex  conicis  A  C B  ad  C  Pq  ut  2  ^  (9  ad  L,  ideoque ^      

aequale   L.     Ergo  velocitates  illae  sunt  ad   invicem  in  subduplicata 

CPqxAOxSP    j   oT^        ^      o  ••  ^^    j 

ratione  a  r  n ad  o  r  qttaa.     rorro  ex  conicis  est  C  G'  ad 

B  O  ut  B  O  3id  TO,  8i  composite  vel  divisim  ut  CB  2id  B  T.  Unde 
vel  dividendo  vel  componendo  fit  i^  (9  —  vel  +  C  (9  ad  ^  (9  ut  C  7"  ad 

C  P  n  ^  A  O  V.  *s  P 
B  T  id  est,  ^  Cad  y^  6^  ut  C/^  ad  BQ;  indeque  \^  ^B   

BQqxA  CxSP      ^^.  .        .     .  ^  . 

sequale    est    ^-pz — ^-p^ .      Mmuatur  jam  m  mnnitum  iigurae 

ya  C/  X  Ij  O 

RP B  latitudo  C P,  sic  ut  punctum  P  coeat  cum  puncto  C,  punc- 

tumque  6^  cum  puncto  B,  &  linea  S  P  cum  linea  B  C,  lineaque  6^  Y 

cum  linea  B  Q ;  81  corporis  jam  recta   descendentis   in   linea  CB 

velocitas  fiet  ad  velocitatem  corporis  centro  B  intervallo  B  C  circulum 

j       .^      .     .        ^j     ,.             ...      BQqxACxSP     ,  ^^ 
describentis,  m  subduplicata  ratione  ipsms  ^— ^^ — ^-p^ —  ad  o  r  ^ 

hoc  est  (neglectis  sequalitatis  rationibus  SP  2id  BC  &  BQq  ad  ^S^K^) 
in  subduplicata  ratione  A  C  2id  A  O  sive  k  A  B,     Q.  E.  D. 

Corol.  I.  Punctis  B  &l  S  coeuntibus,  fit  ZCad  TSutAC^AA O. 

Corol.  2.  Corpus  ad  datam  a  centro  distantiam  in  circulo  quovis 
revolvens,  motu  suo  sursum  verso  ascendet  ad  duplam  suam  a 
centro  distantiam. 


PROPOSITIO    XXXIV.     THEOREMA    X 

Si  figura  B  E  D  parabola  est,  dico 
quod  corporis  cadentis  velocitas 
in  loco  quovis  C  cBqualis  est  velo- 
citati  qua  corpus  centro  B  dimidio 
intervalli  sui  B  C  circulum  uni- 
formiter  describere  potest. 

Nam  corporis  parabolam  RP B 
circa  centrum  kS  describentis  voloci- 
tas  in  loco  quovis  P  (per  corol.  vii. 


ii6 


DE  MOTU  CORPORUM 


prop.  xvi)  aequalis  est  velocitati 
corporis  dimidio  intervalli  S  P  cir- 
culum  circa  idem  centrum  6"  unifor- 
miter  describentis.  Minuatur  pa- 
rabolae  latitudo  CP  in  infinitum 
eo,  ut  arcus  parabolicus  PfB  cum 
recta  C  B,  centrum  vS  cum  vertice 
B',  &  intervallum  SP  cum  intervallo 
B  C  coincidat,  &  constabit  propo- 
sitio.     Q.  E,  D, 


PROPOSITIO    XXXV.       THEOREMA    XI. 

lisdem  positis,  dico  quod  area  figiircs  D  E  S,  radio  iftdefinito  S  D 
descripta,  cF-qualis  sit  arecs  quam  corpus,  radio  dimidium  lateris 
recti  figurcB  D  E  S  cEquafite,  circa  ce^itrtim  S  uniformiter  gyrandoy 
eodem  tempore  describere  potest. 

Nam  concipe  corpus  C  quam  minima  temporis  particula  lineolam 
Cc  cadendo  describere,  &  interea  corpus  aliud  K,  uniformiter  in 
circulo  O  K  k  circa  centrum  6^  gyrando,  arcum  Kk  describere.  Eri- 
gantur  perpendicula  CD,  cd  occurrentia  figurse  D  E  S  m  D,  d. 
Jungantur  S  D,  S  d,  S  K,  S  k  &  ducatur  D  d  dM  A  S  occurrens  in  T^ 
&  ad  eam  demittatur  perpendiculum  6^  Y. 

Cas.  I.  Jam  si  figura  D  E  S  circulus  est  vel  hyperbola  rectangula, 
bisecetur  ejus  transversa  diameter  ^  6"  in  C>,  &  erit  6^  O  dimidium 
lateris  recti.  Et  quoniam  est  2"Cad  TD  ut  Cc  3id  Dd,  &  TD  ad 
TS  ut  CD  ad  SV,  erit  ex  ^quo  TCad  TS  ut  CD  x  Cc  ad  SVxDd, 
Sed  (per  corol.  i.  prop.  xxxiii)  est  7"C  ad  TS  ut  A  C  did  A  O,  puta 
si  in  coitu  punctorum  D,  d  capiantur  linearum  rationes  ultimae. 
Ergo  ^  C  est  ad  ^  6^  seu  SK  ut  CD  xCc  ad  S  VxDd.  Porro 
corporis  descendentis  velocitas  in  C  est  ad  velocitatem  corporis  cir- 
culum  intervallo  SC  circa  centrum  vS  describentis  in  subduplicata 
ratione  ^  C  ad  ^  6^  vel  SK  (per  prop.  xxxiii).  Et  haec  velocitas  ad 
velocitatem  corporis  describentis  circulum  OKk  in  subduplicata 
ratione  SK  ad  SC  (per  corol.  vi  prop.  iv)  &  ex  sequo  velocitas 
prima  ad  ultimam,  hoc  est  lineola  C^  ad  arcum  A"^  in  subduplicata 
ratione  A  C  sid  S  C,  id  est  in  ratione  ^  Cad  CZ^.  Quare  est  CDx 
Cc  sequale  A  CxKk,  &  propterea  ^  C  ad  kS^A'  ut  ^  CxKk  ad; 


LIBER  PRIMUS. 


117 


SYxDd,  indeque  SKxKk   sequale   SYxDd,  &  k  SKxKk 
aequale  k  SYx  D  d,  id  ^st  area  K S k  sequalls  areae  S D d,      Singulis 


igitur  temporis  particulis  generantur  arearum  duarum  particulse  K  Sk, 
81  S  Dd,  quae,  si  magnitudo  earum  minuatur  &  numerus  augeatur  in 
infinitum,  rationem  obtinent  aequalitatis,  &  propterea  (per  corollarium 
lemmatis  iv)  areae  totae  simul  genitae  sunt  semper  aequales.     Q.  E,  D, 

Cas.  2.  Quod  si  figura 
D  E  S  parabola  sit,  invenie- 
tur  esse  ut  supra  CDxCc 
ad  SYxDdut  TCad  TS, 
hoc  est  ut  2  ad  i,  ideoque  t 
CD  X  Cc  aequale  esse  k  S  Y  / 
xD  d.  Sed  corporis  caden-  / 
tis  velocitas  in  C  aequalis  est 
velocitati  qua  clrculus  inter- 
vallo  k  S  C  uniformiter  des- 
cribi  posslt  (per  prop.  xxxiv). 
Et  haec  velocitas  ad  velocita- 
tem  qua  circulus  radlo  S K 
describi  possit,  hoc  est,  lineola 
Cc  ad  arcum  K  k  (per  corol. 


iiS 


DE  MOTU  CORPORUM 


VI.  prop.  iv)  est  in  subduplicata  ratione  SK  2A\  SC,  id  est,  in  ratione 
SK  ad  T  CZ?.  Ouare  est  ^  SKy.Kk  aequale  \  CD  x  Cc,  ideoque 
sequale  I  SYy.Dd,  hoc  est,  area  KSk  aequalis  areae  SDd.  ut 
supra.     Q,  E,  D, 


PROPOSITIO    XXXVI.     PROBLEMA    XXV. 

Corporis  de  loco  dato  A  cadentis  determittare  tempora    a 

descensiis, 

Super  diametro  A  S,  distantia  corporis  a  centro  sub 
initio,  describe  semicirculum  ADS,  ut  &  huic  aequalem 
semicirculum  O  K  H  circa  centrum  .S.  De  corporis 
loco  quov^s  C  erige  ordinatim  appHcatam  C  D, 
Junge  SD,  &  areae  A  S  D  aequalem  constitue  sectorem 
OSK,  Patet  per  prop.  xxxv  quod  corpus  cadendo 
describet  spatium  A  C  eodem  tempore  quo  corpus 
aliud,  uniformiter  circa  centrum  6"  g)'rando,  describere 
potest  arcum  O  K,     Q,  E.  F. 


PROPOSITIO    XXXVII.     PROBLEMA    XXVI. 

Corporis  de  loco  dato  sursum  vel  deorsum  projecti  definire  tempora 

ascensus  vel  descensus. 

Exeat  corpus  de  loco  dato  G  secundum  lineam  G  S  cum  velocitate 


7K 


quacunque.       In  duplicata  ratione  hujus  velocitatis  ad  uniformem  in 


LIBER  PRIMUS.  I  i  ^ 

clrculo  velocitatem,  qua  corpus  ad  intervallum  datum  6^  G  circa  cen- 
trum  vS*  revolvi  posset,  cape  G  A  2A\  A  S.  Si  ratio  illa  est  numeri 
binarii  ad  unitatem,  punctum  A  infinite  distat,  quo  casu  parabola 
vertice  S,  axe  6"  G,  latere  quovis  recto  describenda  est.  Patet  hoc 
per  prop.  xxxiv.  Sin  ratio  illa  minor  vel  major  est  quam  2  ad  i , 
priore  casu  circulus,  posteriore  hyperbola  rectangula  super  diametro 
S  A  describi  debet.  Patet  per  prop.  xxxiii.  Tum  centro  6^,  inter- 
vallo  sequante  dimidium  lateris  recti,  describatur  circulus  HkK,8i 
ad  corporis  descendentis  vel  ascendentis  locum  G^  &  locum  aHum 
quemvis  C,  erigantur  perpendicula  G  ly  C  D  occurrentia  conicae 
sectioni  vel  circulo  in  /ac  D,  Dein  junctis  S I,  S  D,  fiant  segmen- 
tis  SEIS,  SEDS  sectores  HSK,  HSk  aequales,  &  per  prop.  xxxv 
corpus  G  describet  spatium  G  C  eodem  tempore  quo  corpus  K  de- 
scribere  potest  arcum  K  k,     Q,  E,  F, 

PROPOSITIO    XXXVIII.     THEOREMA    XII. 

Posito  quod  vis  centripeta  proportionalis  sit  altitudini  seii  distantice 
locortim  a  centro,  dico  quod  cadentium  temporay  velocitates  &  spatia 
descripta  sunt  arcubus,  arcuumque  sinibus  rectis  &  sinibtcs  versis 
respective  proportionalia. 

Cadat  corpus  de  loco  quovis  A  secundum 
rectam  A  S ;  &.  centro  virium  6^  intervallo 
A  Sy  describatur  circuli  quadrans  A  E,  sitque 
CD  sinus  rectus  arcus  cujusvis  A  D  ;  &  cor- 
pus  A,  tempore  A  D,  cadendo  describit  spa- 
tium  A  C,  inque  loco  C  acquiret  velocitatem 
CD. 

Demonstratur  eodem  modo  ex  propositione 
X,  quo  propositio  xxxii  ex  propositione  xi  demonstrata  fijit. 

Corol.  i.  Hinc  sequalia  sunt  tempora,  quibus  corpus  unum  de  loco 
A  cadendo  pervenit  ad  centrum  S,  &  corpus  aliud  revolvendo  de- 
scribit  arcum  quadrantalem  A  D  E. 

Corol.  2.  Proinde  aequalia  sunt  tempora  omnia  quibus  corpora  de 
locis  quibusvis  ad  usque  centrum  cadunt.  Nam  revolventium  tem- 
pora  omnia  periodica  (per  corol.  iii.  prop.  iv)  sequantur. 


\ 


I20 


DE  MOTU  CORFORUM 


PROPOSITIO    XXXIX.      PROBLEMA    XXVII. 

Posita  ctcjuscimque  generis  vi  centripeta,  &  concessis  figurarum 
curvilinearum  quadraticris,  requiritur  corporis  recta  ascendentis 
vel  descendentis  tum  velocitas  in  locis  singulis,  tum  tempus  quo  corpus 
ad  locum  quemvis  perveniet :  Et  contra. 

De  loco  quovls  A  in  recta  A  D  E  C  cadat  corpus  E,  deque  loco 
ejus  E  erlgatur  semper  perpendlcularls  E  G,  vi  centrlpetae  in  loco 
illo  ad  centrum  C  tendenti  pro- 
portlonalls :  Sltque  BFG  linea 
curva  quam  punctum  G  perpetuo 
tanglt.  Colncldat  autem  E  G  ipso 
motus  inltio  cum  perpendlculari 
A  B,  &  erlt  corporls  velocltas 
in  loco  quovls  E  ut  recta,  quae 
potest  aream  curvillneam  ABGE, 
Q.  E.  I. 

\n  E  G  caplatur  E  M  rectse, 
quae  potest  aream  ABGE,  reclproce 
proportlonalls,  &  sit  V  L  M  llnea 
curva,  quam  punctum  M  perpetuo 
tanglt,  &  cujus  asymptotos  est  recta 
AB  producta;  &  erit  tempus,  quo 
corpus  cadendo  describlt  llneam 
AE,  ut  area  curvllinea  ABTVME, 
Q,E,I. 

Etenim  in  recta  A  E  caplatur 
linea  quam  mlnlma  DE  datae  longi- 
tudinls,  sltque  D  L  F  locus  llneae 
EMG,  ubl  corpus  versabatur  in  D;  &  si  ea  slt  vis  centrlpeta,  ut  recta, 
quae  potest  aream  A  B  G  E,  slt  ut  descendentis  velocltas  :  erlt  area 
ipsa  In  dupllcata  ratlone  velocltatis,  id  est,  si  pro  velocltatlbus  in  D  & 
E,  scribantur  V  &  V  +  I,  erlt  area  A  B FD  ut  V  V,  & area  A  BGE 
utVV  +  2VI-hII,  &  dlvlsim  area  D  F  G  E  ut  2  Y  1-^-1  1,  ideoque 


LIBER  PRIMUS.  I2i 

IJp  LrH  ^^  2 + ^   .^    ^g^^    gj   primae    quantitatum    nascentium 

2  V  I     . 

rationes  sumantur,  longitudo  D  F  wt  quantitas  ,    ideoque   etiam 

I  X  V 

ut  quantitatis  hujus  dimidium  -^y-^'       Est  autem  tempus,  quo  corpus 

cadendo  describit  lineolam  D  E,  ut  lineola  illa  directe  &  velocitas 
V  inverse,  estque  vis  ut  velocitatis  incrementum  I  directe  &  tempus 

IxV 

inverse,   ideoque  si  primae   nascentmm  rationes  sumantur,  ut    ^  ^, 

hoc  est,  ut  longitudo  D  F.  Ergo  vis  ipsi  D  F  vd  E  G  proportionalis 
facit  ut  corpus  ea  cum  velocitate  descendat,  quae  sit  ut  recta  quae 
potest  aream  A  B  G  E,     Q.  E.  D. 

Porro  cum  tempus,  quo  quaelibet  longitudinis  datae  lineola  DE 
describatur,  sit  ut  velocitas  inverse,  ideoque  inverse  ut  linea  recta  quae 
potest  aream  ABFD;  sitque  D  L,  atque  ideo  area  nascens 
D  L  M E,  ut  eadem  Hnea  recta  inverse  :  erit  tempus  ut  area  DLME, 
&  summa  omnium  temporum  ut  summa  omnium  arearum,  hoc  est 
(per  corol.  lem.  iv)  tempus  totum  quo  linea  A  E  describitur  ut  area 
tota  A  T  VME.     Q.  E.  D. 

Corol.  I.  Si  P  sit  locus,  de  quo  corpus  cadere  debet,  ut  urgente 
aliqua  uniformi  vi  centripeta  nota  (qualis  vulgo  supponitur  gravitas) 
velocitatem  acquirat  in  loco  D  aequalem  velocitati,  quam  corpus  aliud 
vi  quacunque  cadens  acquisivit  eodem  loco  D,  &  in  perpendiculari 
D  F  capiatur  D  R,  quae  sit  ad  D  F  ut  vis  illa  uniformis  ad  vim 
alteram  in  loco  D,  &  compleatur  rectangulum  PD RQ,  eique  aequalis 
abscindatur  area  ABFD;  erit  A  locus  de  quo  corpus  alterum 
cecidit.  Namque  completo  rectangulo  DRSE,  cum  sit  area 
A  BFD  ad  aream  DFGE  ut  V  V  ad  2  V  I,  ideoque  ut  J  V  ad  I, 
id  est,  ut  semissis  velocitatis  totius  ad  incrementum  velocitatis  corporis 
vi  inaequabili  cadentis  ;  &  simiHter  area  P Q RD  ad  aream  D RS E 
ut  semissis  velocitatis  totius  ad  incrementum  velocitatis  corporis 
uniformi  vi  cadentis  ;  sintque  incrementa  illa  (ob  aequalitatem  tem- 
porum  nascentium)  ut  vires  generatrices,  id  est,  ut  ordinatim  applicatae 
D F,  D R,  ideoque  ut  areae  nascentes  D FGE,  D R  SE ;Grunt  ex 
aequo  areae  totae  A  B FD,  P  Q  RD  ad  invicem  ut  semisses  totarum 
velocitatum,  &  propterea,  ob  aequalitatem  velocitatum,  aequantur. 


122 


DE  MOTU  CGRPORUM 


Corol.  2.   Unde  si  corpus  quodllbet  de  loco  quocunque  D  data 

cum  velocitate  vel  sursum  vel  deorsum  projiciatur,  &  detur  lex  vis 

centripetae,  invenietur  velocitas  ejus  in  alio  quovis  loco  e,  erigendo 

ordinatam  e g,  81  capiendo  velocitatem  illam  ad  velocitatem  in  loco 

D  ut  est  recta,  quse  potest  rectan- 

gulum    P  Q  R  D    area   curvilinea 

D  Fge  vel  auctum,  si  locus  e  est 

loco  D  inferior,  vel  diminutum,  si 

is  superior  est,  ad  rectam  quae  po- 

test  rectangulum  solum  P  Q  R  D. 
Corol.  3.    Tempus  quoque  inno- 

tescet  erigendo  ordinatam  e  m  reci- 

proce  proportionalem  lateri  quadra- 

to  ex   PQRD^vd-DFge,    & 

capiendo  tempus   quo   corpus   de- 

scripsit  lineam  Z>  ^  ad  tempus  quo 

corpus  alterum  vi  uniformi  cecidit 

3,  P  &  cadendo  pervenit  ad  D,  ut 

area  curvilinea  D L  me  ad  rectan- 

gulum    2  P  D  X  D  L.       Namque 

tempus  quo  corpus  vi  uniformi  des- 

cendens  descripsit  lineam  P  D  est 

ad  tempus  quo  corpus  idem  descrip- 

sit    lineam    PE    in    subduplicata 

ratione  P  D  2id  P  E/\di  est  (lineola 

Z^^  jamjam  nascente)  in  ratione  P  D  2A  P D-v\  D E  seu  2  PZ^  ad 

2   PD-\-DE,  &   divisim,   ad    tempus    quo    corpus    idem    descripsit 

lineolam  D E  ut  2  P D  2id  D E,  ideoque  ut  rectangulum  2  P Dx 

DL    ad   aream   DLME;    estque   tempus    quo    corpus    utrumque 

descripsit  lineolam  D  E  2id  tempus  quo  corpus  alterum   inaequabili 

motu  descripsit  lineam  D e,  ut  area  DLME  ad  aream  DLme,  & 

ex  aequo  tempus  primum  ad  tempus  ultimum  ut  rectangulum  2  PD  x 

Z^ Z  ad  aream  D Lme, 


LIBER  PRIMUS. 


123 


SECTIO    VIII. 

De  inventione  orbium  in  quibus  corpora  viribus  quibusaciique  centri- 

petis  agitata  revolvu7itur. 


PROPOSITIO    XL.     THEOREMA    XIII. 

Si  corpuSy  cogente  vi  quacunque  coitripeta^  ^noveatur  utcunque,  & 
corpus  alitcd  recta  ascendat  vel  descendat,  sintque  eorum  velocitates  in 
aliquo  cEqualium  altitudinum  casu  cequales,  velocitates  eorum  in 
omnibus  cequalibus  altitudinibus  erunt  cequales, 

Descendat  corpus  aliquod  ab  A  per  D,  E,  ad  centrum  C,  & 
moveatur  corpus  aliud  a  K  in  linea  curva  V I K  k.  Centro  C  inter- 
vallis  quibusvis  describantur  circuli  concentrici  D I,  E  K  rectae 
A  Cin  D  &:  Ey  curvaeque  V I K  m  I  8>i  K  occurren- 
tes.  Jungatur  I  C  occurrens  ipsi  A'^  in  iV;  &  in 
I K  demittatur  perpendiculum  N  T ;  sitque  circum- 
ferentiarum  circulorum  intervallum  D  E  vel  /  N  quam 
minimum,  &  habeant  corpora  m  D  8l  I  velocitates 
sequales.  Quoniam  distantiae  CD,  CI  sequantur,  erunt 
vires  centripetae  '\vi  D  &l  I  aequales.  Exponantur  hae 
vires  per  aequales  Hneolas  D  E,  I N ;  &  si  vis  una 
I N  (per  legum  corol.  2)  resolvatur  in  duas  N  T  8l 
I  T,  vis  N  T,  agendo  secundum  lineam  N  T  corporis 
cursui  /  T K  perpendicularem,  nil  mutabit  velocitatem 
corporis  in  cursu  illo,  sed  retrahet  solummodo  cor- 
pus  a  cursu  rectilineo,  facietque  ipsum  de  orbis  tan- 
gente  perpetuo  deflectere,  inque  via  curvilinea  /  T K k 
progredi.  In  hoc  effectu  producendo  vis  illa  tota 
consumetur  :  vis  autem  altera  /  T,  secundum  corporis 
cursum  agendo,  tota  accelerabit  illud,  ac  dato  tempore  quam  mini- 
mo  accelerationem  generabit  sibi  ipsi  proportionalem.  Proinde 
corporum  m  D  81  I  accelerationes  aequaHbus   temporibus  factae  (si 


124 


DE  MOTV  CORFORUM 


sumantur  linearum  nascentium  D  Ey  I N,  I K,  I  T, 
iV^  7"  rationes  primse)  sunt  ut  linea  D E,  IT:  tem- 
poribus  autem  inaequalibus  ut  lineae  illae  &  tempora 
conjunctim.  Tempora  autem  quibus  D  E  &.  I K 
describuntur,  ob  sequalitatem  velocitatum  sunt  ut 
viae  descriptae  D  E  &  I K,  ideoque  acceleratio- 
nes  in  cursu  corporum  per  lineas  D  E  &  I K,  sunt 
ut  DE  &  /  T,  DE  &  /K  conjunctim,  id  est  ut 
DE  qtmd,  &  /Tx/K  rectangulum.  Sed  rectangtchcm 
/  Tx/K  sequale  est  /N  quadrato,  hoc  est,  sequale 
D  E  quad.  &  propterea  accelerationes  in  transitu  cor- 
porum  a.D&/2idE&K  aequales  generantur. 
^quales  igitur  sunt  corporum  velocitates  in  E  &  K : 
&  eodem  argumento  semper  reperientur  aequales  in 
subsequentibus  aequalibus  distantiis.     Q.  E.  D. 

Sed  &  eodem  argumento  corpora  aequivelocia  &  aequaliter  a  cen- 
tro  distantia,  in  ascensu  ad  aequales  distantias  aequaliter  retardabun- 
tur.     Q.  E.  D. 

Corol.  I.  Hinc  si  corpus  vel  oscilletur  pendens  a  filo,  vel  impe- 
dimento  quovis  politissimo  &  perfecte  lubrico  cogatur  in  linea  cur- 
va  moveri,  &  corpus  aliud  recta  ascendat  vel  descendat,  sintque 
velocitates  eorum  in  eadem  quacunque  altitudine  aequales  :  erunt 
velocitates  eorum  in  aliis  quibuscunque  aequalibus  altitudinibus 
aequales.  Namque  corporis  penduli  filo  vel  impedimento  vasis  abso- 
lute  lubrici  idem  praestatur  quod  vi  transversa  N  T.  Corpus  eo 
non  retardatur,  non  acceleratur,  sed  tantum  cogitur  de  cursu  rec- 
tilineo  discedere. 

Corol.  2.  Hinc  etiam  si  quantitas  P  sit  maxima  a  centro  distantia, 
ad  quam  corpus  vel  oscillans  vel  in  trajectoria  quacunque  revolvens, 
deque  quovis  trajectoriae  puncto,  ea  quam  ibi  habet  velocitate  sur- 
sum  projectum  ascendere  possit ;  sitque  quantitas  A  distantia  cor- 
poris  a  centro  in  alio  quovis  orbitae  puncto,  &  vis  centripeta  sem- 
per  sit  ut  ipsius  A  dignitas  quaelibet  A^-^  cujus  index  n—\  est 
numerus  quilibet  n  unitate  diminutus ;  velocitas  corporis  in  omni 
altitudine  A  erit  ut  J  P«— A«,  atque  ideo  datur.  Namque  velocitas 
recta  ascendentis  ac  descendentis  (per  prop.  xxxix)  est  in  hac  ipsa 
ratione. 


LIBER  PRIMUS. 


125 


( 


PROPOSITIO     XLI.     PROBLEMA     XXVIII. 

Posita  cujusctmqMe  generis  vi  centripeta  &  concessis  figurarum  curvi' 
linearum  qicadraticris,  requirtmttcr  ticm  ttajectorice  in  quibus 
corpora  movebtcnticry  tum  tempora  motutcm  in  trajectoriis  invefttis. 

Tendat  vis  quaelibet  ad  centrum  C  &  invenienda  sit  trajectoria 
V I K k.  Detur  circulus  V R  centro  C  intervallo  quovis  C  V  de- 
scriptus,  centroque  eodem  describantur  alii  quivis  circuli  I D,  K E 
trajectoriam  secantes  in  /  &  A'  rectamque  C  V  m  D  &l  E.  Age 
tum  rectam  C N I X  secantem  circulos  K E,  V R  in  iV  &  ^,  tum 
rectam  CKY  occurrentem  circulo  VR  in  Y.  Sint  autem  puncta 
I  &L  K  sibi  invicem  vicinissima,  &  pergat  corpus  ab  V  per  I  81  K 

Ai IB 


ad  k;  sitque  punctum  A  locus  ille  de  quo  corpus  aliud  cadere 
debet,  ut  in  loco  D  velocitatem  acquirat  sequalem  velocitati  corporis 
prioris  in  /.  Et  stantibus  qua^  in  propositione  xxxix,  lineola  I K, 
dato  tempore  quam  minimo  descripta,  erit  ut  velocitas,  atque  ideo 
ut  recta  quse  potest  aream  AB  F D,  &  triangulum  I CK  tempori 
proportionale  dabitur,  ideoque  K  N  erit  reciproce  ut  altitudo  /C, 
id  est,  si  detur  quantitas  aliqua  Q,  &  altitudo  /  C  nominetur  A,  ut 

Q.     Hanc  quantitatem  —  nominemus  Z,  &  ponamus  eam  esse  mag- 


126 


DE  MOTU  CORPORUM 


nitudinem  ipsius  Q  ut  sit  in  aliquo  casu  J  A  B  FD  ad  Z  ut  est  I K 
ad  KN,  &  erit  in  omni  casu  J  A  BFD  ad  Z  ut  I K  ^A  K  N,  & 


ABFD  ad  Z  Z  ut  IKq2.A.  K N q,  &  divisim  ^ ^T^Z^-ZZ  ad  ZZ 
vX  I N  quad.    2A  K  N  quad,  ideoque    JA  B  FD  —  ZZ  ad   Z   seu 

O                                                                                     O  y.IN 
^utlNsidKN,  &  propterea  AxKN  sequale  —     ^  

A  .  jABFD-ZZ 

Unde  cum  YX  x  XC  sit  ad  A  x  KN  ut  CXq  ad  A  A,  erit  rectangu- 

lum  XYy.XC  sequale  ^^ —  ^^^  -.     Isfitur  si  in  perpen- 

AKJABFD-ZZ 

Q 


diculo    DF  capiantur    semper   D  d,    Dc    ipsis 
Q  X  CX  quad. 


2JABFD-ZZ 
sequales  respective,   &  describantur  curvse 


2  AA  JABFD-ZZ 
lineae  ad,  ac,  quas  puncta  b,  c  perpetuo  tangunt ;  deque  puncto  V 
ad  lineam  A  C  erigatur  perpendiculum  V a  abscindens  areas  curvi- 
lineas  V D  b  a,  VDca,  &  erigantur  etiam  ordinatae  F 2,  Ex:  quo- 
niam  rectangulum  D bxIN  seu  DbzE  aequale  est  dimidio  rectan- 
guli  Ky.KN  seu  triangulo  I CK;  &  rectangulum  DcylN  seu 
DcxE  sequale  est  dimidio  rectanguli  YXyX  C  seu  triangulo 
X  C  Y ;  hoc  est,  quoniam  arearum    V D  b  a,    VI C  sequales  semper 


LIBER  PRIMVS. 


127 


sunt  nascentes  particulae  D b z E,  I  C K,%i  arearum  VDca,  VCX 
sequales  semper  sunt  nascentes  particulae  DcxE,  X  C  Y,  erit  area 
genita  V Dba  ^qualis  arese  genitae  V I  C,  ideoque  tempori  propor- 
tionalis,  &  area  genita  V D  c  a  sequalis  sectori  genito  V  C  X.  Dato 
igitur  tempore  quovis  ex  quo  corpus  discessit  de  loco  V,  dabitur 
area  ipsi  proportionalis  V D  ba^  81  inde  dabitur  corporis  altitudo 
C  D  vel  C I ;  &  area  V D  c  a,  eique  aequalis  sector  V  C  X  una  cum 
ejus  angulo  V  C I.  Datis  autem  angulo  V  C I  &  altitudine  CI  datur 
locus  /,  in  quo  corpus  completo  illo  tempore  reperietur.     Q.  E.  I. 

Corol.  I.  Hinc  maximae  minimaeque  corporum  altitudines,  id  est, 
apsides  trajectoriarum  expedite  inveniri  possunt.  Sunt  enim  apsides 
puncta  illa  in  quibus  recta  /  C  per  centrum  ducta  incidit  perpendicu- 
lariter  in  trajectoriam  V I K :  id  quod  fit  ubi  rectae  I K  &  N K 
sequantur,  ideoque  ubi  area  A  B  F D  aequalis  est  Z  Z. 

Corol.  2.  Sed  &  angulus  K I N,  in  quo  trajectoria  alicubi  secat 
lineam  illam  /  C  ex  data  corporis  altitudine  /  C  expedite  invenitur ; 
nimirum  capiendo  sinum  ejus  ad  radium  ut  K  N  ad  I K,  id  est,  ut 
Z  ad  latus  quadratum  areae  A  B  F D. 

Corol.  3.  Si  centro  C  &  vertice  principali  V  describatur  sectio 
quaelibet  conica  V  RS,  &  a  quovis  ejus  puncto  R  agatur  tangens 
R  T  occurrens  axi  infinitae  pro- 
ducto  C  V  in  puncto  T;  dein 
juncta  CR  ducatur  recta  C  P, 
quae  aequalis  sit  abscissae  C  T 
angulumque  VCP  sectori  VCR 
proportionalem  constituat ;  ten- 
dat  autem  ad  centrum  C  vis 
centripeta  cubo  distantiae  loco- 
rum  a  centro  reciproce  propor- 
tionalis,  &  exeat  corpus  de  loco 
V  justa  cum  velocitate  secun- 
dum  lineam  rectae  C  V  perpen-  ^ 

dicularem  :  progredietur  corpus  illud  in  trajectoria  VP  Q  quam 
punctum  P  perpetuo  tangit ;  ideoque  si  conica  sectio  VRS  hyperbola 
sit,  descendet  idem  ad  centrum  :  sin  ea  ellipsis  sit,  ascendet  illud 
perpetuo  &  abibit  in  infinitum.  Et  contra,  si  corpus  quacunque  cum 
velocitate   exeat   de   loco    F",    &   perinde   ut   incoeperit   vel   oblique 


128 


DE  MOTU  CORPORUM 


descendere  ad  centrum,  vel  ab  eo 

oblique  ascendere,  figura    V R  S 

vel    hyperbola    sit    vel    ellipsis, 

inveniri  potest  trajectoria  augen- 

do  vel  minuendo  angulum  VCP  \ 

in  data  aliqua  ratione.     Sed  &, 

vi  centripeta  in  centrifugam  versa, 

ascendet  corpus  oblique  in  tra- 

jectoria    V P  Q,    quae    invenitur 

capiendo  angulum  V  C  P  sectori 

elliptico    V  R  C  proportionalem, 

&  longitudinem  C P  longitudini 

C  T  aequalem  ut  supra.     Consequuntur  haec  omnia  ex  propositione 

praecedente,  per  curvae  cujusdam  quadraturam,  cujus  inventionem,  ut 

satis  facilem,  brevitatis  gratia  missam  facio. 


PROPOSITIO    XLII.      PROBLEMA    XXIX. 

Data   lege  vis   centripetcs,    requiritur  motus   corporis    de    loco    dato^ 
data  cum  velocitate,  secundum  datam  rectam  egressi. 

Stantibus   quae   in   tribus   propositionibus   praecedentibus  :    exeat 


corpus  de  loco  /  secundum  lineolam  I K,  ea  cum  velocitate  quam 


LIBER  PRIMUS.  129 

corpus  aliud,  vi  aliqua  uniformi  centripeta,  de  loco  P  cadendo 
acquirere  posset  in  D :  sitque  haec  vis  uniformis  ad  vim,  qua  corpus 
primum  urgetur  in  I.wX.  D  R  2A  D  F.  Pergat  autem  corpus  versus 
k ;  centroque  C  &  intervallo  Ck  describatur  circulus  ke  occurrens 
rectae  P D  m  e,  81  erigantur  curvarum  B F g,  abv,  acw  ordinatim 
applicatae  eg,  ev,  ew.  Ex  dato  rectangulo  PDRQ,  dataque 
lege  vis  centripetae  qua  corpus  primum  agitatur,  datur  curva  linea 
BFg,  per  constructionem  problematis  xxvii,  &  ejus  corol.  i. 
Deinde  ex  dato  angulo  C I K  datur  proportio  nascentium  I K,  K  N, 
8c  inde,  per  constructionem  prob.  xxviii,  datur  quantitas  Q,  una 
cum  curvis  lineis  adv,  acw:  ideoque,  completo  tempore  quovis 
Dbve,  datur  tum  corporis  altitudo  Ce  vel  C k,  tum  area  Dcwe, 
eique  aequalis  sector  XCy,  angulusque  I C k,  &  locus  k  in  quo 
corpus  tunc  versabitur.     Q.  E.  I. 

Supponimus  autem  in  his  propositionibus  vim  centripetam  in 
recessu  quidem  a  centro  variari  secundum  legem  quamcunque,  quam 
quis  imaginari  potest,  in  aequalibus  autem  a  centro  distantiis  esse 
undique  eandem.  Atque  hactenus  motum  corporum  in  orbibus 
immobilibus  consideravimus.  Superest  ut  de  motu  eorum  in  orbi- 
bus,  qui  circa  centrum  virium  revolvuntur,  adjiciamus  pauca. 

SECTIQ    IX. 

De  motu  corporum,  in  orbibus  mobilibus,  deque  motu  apsidum. 

PROPOSITIO   XLIII.      PROBLEMA    XXX. 

Efficiendum  est  ut  corpus  in  trajectoria  quacunque  circa  centrum 
virium  revolvente  perinde  7noveri  possit,  atque  corpus  aliud  in 
eadem  trajectoria  quiescente, 

In  orbe  V P  K  positione  dato  revolvatur  corpus  P  pergendo  a  V 
versus  K.  A  centro  C  agatur  semper  C/,  quae  sit  ipsi  C P  aequa- 
lis,  angulumque  V  Cp  angulo  V  C  P  proportionalem  constituat ;  & 
area,  quam  Hnea  Cp  describit,  erit  ad  aream  V  C P,  quam  linea  C P 
simul  describit,  ut  velocitas  lineae  describentis  Cp  ad  velocitatem 
lineae  describentis  C  P  ;  hoc  est,  ut  angulus  VCp  ad  angulum  VCPy 
ideoque   in  data  ratione,  &  propterea  tempori  proportionalis.      Cum 

I 


I30 


DE  MOTV  CORPORUM 


U.,' 


area   tempori   proportlonalis  sit  quam  linea    Cp  in  plano   immobili 

describit,   manifestum  est  quod  corpus,  cogente  justae  quantitatis  vi 

centripeta,  revolvi  possit  una  cum  punc- 

to  p  in  curva  illa  linea  quam  punctum 

idem  /  ratione  jam  exposita  describit 

in  plano  immobili.     Fiat  angulus  VCtt 

angulo  P  Cp,  &  linea  Cu  linese  C  Vy 

atque  figura  tcCp  figurae  VCP  aequa- 

lis,    &   corpus   in  p   semper  existens 

movebitur  in  perimetro  figurse  revol- 

ventis  ti  Cp,  eodemque   tempore  de- 

scribet  arcum  ejus  2cp  quo  corpus  aliud 

P  arcum  ipsi  similem  &  sequalem  VP 

in  figura  quiescente  V P  K  describere  " :"" 

potest.  Quaeratur  igitur,  per  corollarium  quintum  propositionis  vi, 
vis  centripeta  qua  corpus  revolvi  possit  in  curva  illa  linea  quam 
punctum  p  describit  in  plano  immobili,  &  solvetur  problema.     Q.E.F, 


/'X 


PROPOSITIO   XLIV.      THEOREMA    XIV. 

Differentia  virium,  quibtcs  corpus  iii  orbe  qiciesceiite,  &  corpus  aliicd 
i7i  eodem  orbe  revolvente  ceqtcaliter  moveri  possmit,  est  in  triplicata 
ratione  commimis  altiticdinis  inverse. 

Partibus  orbis  quiescentis  V  P,  Pjfif  sunto  similes  &  aequales  orbis 
revolventis  partes  up,  pk ;  &  punctorum  P,  K  distantia  intelligatur 
esse  quam  minima.  A  puncto  k  in  rectam  /  C  demitte  perpendicu- 
lum  k  r,  idemque  produc  ad  m,  ut  sitmrdiAkr  ut  angulus  V  Cp  ad 
angulum  V  C  P.  Quoniam  corporum  altitudines  P  C  &  p  C,  K  C^ 
&  kC  semper  aequantur,  manifestum  est  quod  linearum  P  C  &  p  C 
incrementa  vel  decrementa  semper  sint  aequalia,  ideoque  si  corporum 
in  locis  P  &  p  existentium  distinguantur  motus  singuli  (per  legum 
corol.  2)  in  binos,  quorum  hi  versus  centrum,  sive  secundum 
lineas  P  C,  p  C  determinentur,  &  alteri  prioribus  transversi  sint, 
&  secundum  lineas  ipsis  P  C,  p  C  perpendiculares  directionem  ha- 
beant;  motus  versus  centrum  erunt  aequales,  &  motus  transversus 
corporis/  erit  ad  motum  transversum  corporis  P,  ut  motus  angularis 


LIBER  PRIMUS. 


131 


llnese  /  C  ad  motum  angularem  lineae  P  C,  id  est,  ut  angulus  V  Cp 
ad  angulum  V  C P.  Igitur  eodem  tempore  quo  corpus  P  motu  suo 
utroque  pervenit  ad  punctum  K,  corpus  p  aequali  in  centrum  motu 
sequaliter  movebitur  a  /  versus  C,  ideoque  completo  illo  tempore 
reperietur  alicubi  in  linea  m  k  r,  quse  per  punctum  k  in  lineam  p  C 
perpendicularis  est ;  &  motu  transverso  acquiret  distantlam  a  linea 
p  C,  quae  sit  ad  dlstantlam  quam  corpus  alterum  P  acqulrit  a  llnea 
P  C,  ut  est  motus  transversus  corporls  p  ad  motum  transversum 
corporls  alterius  P.  Quare  cum  kr  sequalls  sit  distantlae  quam  corpus 
P  acquirit  a  linea  PC,  sitque  wr  ad  kr  m\,  angulus  V  Cp  ad  angulum 


V  C  P,  hoc  est,  ut  motus  transversus  corporis  /  ad  motum  transver- 
sum  corporis  P,  manifestum  est  quod  corpus  p  completo  illo  tempore 
reperietur  in  loco  vz.  Haec  ita  se  habebunt  ubl  corpora  p  Sl  P 
aequaliter  secundum  lineas  p  C  &.  P  C  moventur,  ideoque  aequalibus 
viribus  secundum  lineas  illas  urgentur.  Caplatur  autem  angulus 
pCn  ad  anguIum/C^  ut  est  angulus  V Cp  ad  angulum  VCP, 
sltque  n  C  aequalls  k  C,  &  corpus  p  completo  illo  tempore  revera 
reperletur  in  n  ;  ideoque  vi  majore  urgetur  quam  corpus  P,  si  modo 


132 


DE  MOTU  CORPORUM 


angulus  n  Cp  angulo  k  Cp  major  est,  id  est  si  orbis  upk  vel  movetur 
in  consequentia,  vel  movetur  in  antecedentia  majore  celeritate  quam 
sit  dupla  ejus  qua  linea  CP  in  consequentia  fertur ;  &  vi  minore 
si  orbis  tardius  movetur  in  antecedentia.  Estque  virium  differentia 
ut  locorum  intervallum  m  n,  per  quod  corpus  illud  /  ipsius  actione, 
dato  illo  temporis  spatio,  transferri  debet.  Centro  C  intervallo 
Cfi   vel    Ck  describi    intelligatur   circulus   secans   lineas   mr,   mn 


P\ — \i 


productas  in  5  &  /,  &  erit  rectangulum  mny.mt  sequale  rectangulo 


mkxmsy  ideoque  m  n  sequale 


mkx  ms 
mt 


Cum  autem  triangula/  Ck 


pCn  dato  tempore  dentur  magnitudine,  sunt  kr  &  mr,  earumque 
differentia  mk  8l  summa  m  s  reciproce  ut  altitudo  p  C,  ideoque 
rectangulum  mkxms  ^^t  reciproce  ut  quadratum  altitudinis/  C  Est 
8l   mt  directe  ut  t  ^;^ /,   id  est,   ut  altitudo  /  C     Hse  sunt  primae 

rationes  linearum  nascentium ;  &  hinc  fit  ^ — ^^^j^^  jj  ^^^  Hneola  nas- 

mt 
cens   mn,  eique  proportionalis  virium  differentia  reciproce  ut  cubus 
altitudinis/C     Q.E.D. 


k 


LIBER   FRIMUS.  133 

Corol.  I.  Hinc  dlfferentla  vlrlum  In  locis  P  81  p,  v^\  K  81  k,  est 
ad  vlm  qua  corpus  motu  circularl  revolvi  possit  ab  7?  ad  A'  eodem 
tempore  quo  corpus  P  in  orbe  immobili  describlt  arcum  P  K,  ut 
lineola  nascens  m  71  ad  sinum  versum  arcus  nascentis  R  K,  id  est  ut 

VI. VII.  ad  3^  vel  ut  mkxms  ad  rk  quadratum  ;  hoc  est,   si 

mt  2  kC 

capiantur  datae  quantitates  F,  G  in  ea  ratlone  ad  invicem  quam  habet 
angulus  V  C P  ad  angulum  V  Cp,  ut  G  G  — F  F  ad  F  F.  Et  prop- 
terea,  si  centro  C  intervallo  quovis  C  P  vel  Cp  describatur  sector 
clrcularis  aequalis  areae  toti  V P  C,  quam  corpus  P  tempore  quovis 
in  orbe  immobili  revolvens  radio  ad  centrum  ducto  descripslt : 
dlfTferentla  vlrlum,  qulbus  corpus  P  in  orbe  immoblH  &  corpus/  in 
orbe  moblH  revolvuntur,  erit  ad  vim  centripetam,  qua  corpus  ali- 
quod,  radlo  ad  centrum  ducto,  sectorem  illum  eodem  tempore,  quo 
descrlpta  slt  area  V  P  C,  uniformiter  describere  potuisset,  ut  G  G 
—  F  F  ad  F  F.  Namque  sector  ille  &  area/  C  k  sunt  ad  invicem  ut 
tempora  quibus  describuntur. 

Corol.  2.  Si  orbis  VPK  ellipsis  sit  umbilicum  habens  C  &  apsidem 

summam  V ;  eique  similis  &  aequaHs  ponatur  elHpsis  upk,  ita  ut  slt 

semper/  C  aequaHs  P  C,  8z.  angulus    V  Cp  sit  ad  angulum  V  C  P  in. 

data  ratione  G  ad  F  ;  pro  altitudine  autem  P  C  wApC  scribatur  A, 

&  pro  eHIpseos  latere  recto  ponatur  2  R  :  erit  vis,  qua  corpus  in  el- 

,..,.,.         ,  .  FF     RGG-RFF  ^ 

hpsi  mobih  revolvi  potest,  ut  -r-r  H r 7 &  contra.      bxpo- 

natur  enim  vis  qua  corpus  revolvatur  in  immota  elHpsi  per  quanti- 

F  F  F  F  . 

tatem  ,  &  vis   in    V  erit .    Vis  autem  qua  corpus  m 

AA  CVquad.  ^ 

circulo  ad  distantiam   C  K  ea  cum  velocitate  revolvi  posset  quam 

corpus  in  eHipsI   revolvens  habet  in    F,  est  ad  vim  qua  corpus  in 

ehipsi  revolvens  urgetur  in  apside  F,  ut  dimidium  lateris  recti  eHip- 

RFF 
seos  ad  circuH  semidiametrum  C  V,  Ideoque  valet  -7^77 — 7- :   &  vis, 

•n  /^  /-^ x>  pp 

quae  sit  ad  hanc  ut  GG  — FF  ad  FF,  valet  — 77-^7 — ; —  :  estque  haec 

C  V  cub. 

vis  (per  hujus  corol.  1)  dlfferentla  virium  in    V  qulbus  corpus  P  in 

eHIpsi  Immota  V P  K,  &  corpus  /  in  eHIpsi  moblH  upk  revolvuntur  : 

Unde  cum  (per  hanc  prop.)  dlfferentla  iha  in  aHa  quavis  altitudine  A 


j  ^  .  DE  MOTU  CORPORUM 

sit  ad  seipsam  in  altitudine  C  F  ut ad  -^y^^  eadem  dif- 

.    ,  .     ,.       .       1  ,.   RGG-RFF 
ferentia  m  omni  altitudme  A  valebit 


A  cud. 


leitur  ad  vim 


FF 
AA 


,  qua  corpus  revolvi  potest  in  ellipsi  immobili    V  P  K,  addatur 

RGG-RFF     o  •    ..    FF     RGG-RFF 

^^^^^^^^  ^^^V^^^T—  '  ^  componetur  vis  tota  _  4._^_^ 

qua  corpus  in  ellipsi  mobili  tcpk  iisdem  temporibus  revolvi  possit. 
-   Corol.  3.  Ad  eundem  modum  colligetur  quod,  si  orbis  immobilis 


V P  K  ellipsis  sit  centrum  habens  in  virium  centro  C ;  eique  similis, 
sequalis  &  concentrica  ponatur  ellipsis  mobilis  tcpk;  sitque  2  R 
ellipseos  hujus  latus  rectum  principale,  &  2  T  latus  transversum  sive 
axis  major,  atque  angulus  VCp  semper  sit  ad  angulum  VCP 
ut    G  ad   F ;    vires,    quibus    corpora   in    ellipsi    immobili    &   mobili 

F  FA  ^  FFA 

temporibus  sequaHbus  revolvi  possunt,   erunt  ut  ^^ y  &  ^t; 7"  + 

RGG-RFF 


LIBER  PRIMUS. 


135 


CoroL  4.  Et  unlversaliter,  si  corporls  altitudo  maxima  C  V  nomi- 
netur  T,  &  radlus  curvaturse  quam  orbls  V P  K  habet  In  V,  id  est 
radlus  clrcull  aequallter  curvl,  nomlnetur  R,  &  vls  centrlpeta,  qua 
corpus  In   trajectoria   quacunque  Immoblli    V P  K  revolvl    potest  in 

V  P  P 

loco  F,  dlcatur ,   atque  allls   in  locis  P   Indefinlte  dicatur  X, 

altitudine  CP  nominata  A,  &  capiatur  G  ad  F  in  data  ratione  anguli 

V  Cp  ad  angulum    V  CP :  erit  vls  centrlpeta,  qua  corpus  idem  eos- 

dem  motus  in  eadem  trajectoria  tcpk  clrcularlter  mota  temporibus 

..      '        VRGG-VRFF 
iisdem  peragere  potest  ut  summa  virium  X  H -z 7 • 

CoroL  5.  Dato  igitur  motu  corporis  in  orbe  quocunque  immobili, 
augeri  vel  minui  potest  ejus  motus  angularls  clrca  centrum  vlrium 
in  ratione  data,  &  inde  inveniri  novi  orbes  immobiles  in  quibus 
corpora  novis  viribus  centripetis  gyrentur. 

CoroL  6.  Igitur  si  ad  rectam  C  Fposi- 
tione  datam  erigatur  perpendiculum  V  P 
longitudlnis  indeterminatae,  jungaturque 
C  P  81  ipsi  aequalis  agatur  C/,  constituens 
angulum  V  Cp,  qui  sit  ad  angulum  VC P 
in  data  ratione ;  vis  qua  corpus  gyrari  po- 
test  in  curva  illa  Vp  k,  quam  punctum  p 
perpetuo  tangit,  erit  reciproce  ut  cubus 
altitudinis  Cp,  Nam  corpus  P  per  vim 
inertlse,  nulla  alia  vi  urgente,  uniformiter  progredi  potest  in  recta 
VP.  Addatur  vis  in  centrum  C,  cubo  altitudlnis  C  P  vel  Cp 
reclproce  proportionalis,  &  (per  jam  demonstrata)  detorquebitur 
motus  ille  rectilineus  in  lineam  curvam  Vp  k.  Est  autem  hsec 
curva  Vpk  eadem  cum  curva  illa  VPQ  in  corol.  3  prop.  xli 
inventa,  in  qua  ibi  dixlmus  corpora  hujusmodi  viribus  attracta 
oblique  ascendere. 


\ 


136 


DE  MOTU  CORPORUM 


PROPOSITIO    XLV.       PROBLEMA    XXXI 


Orbium     qui    suni    ciradis     maxime  finitimi    requiruntur    motus 

apsidum. 

Problema    solvitur   arithmetice   faciendo   ut   orbis,    quem    corpus 

in    ellipsi    mobili    (ut   in    propositionis   superioris    corol.    2    vel    3) 

revolvens    describit    in   plano    immobili,    accedat    ad    formam    orbis 

cujus  apsides  requiruntur,  &  quaerendo  apsides  orbis  quem    corpus 

illud   in  plano  immobili  describit.      Orbes  autem  eandem  acquirent 

formam,  si  vires  centripetse  quibus  describuntur,  inter  se  collatse,  in 

sequalibus    altitudinibus    reddantur  proportionales.     Sit   punctum    V 

apsis  summa,  &  scribantur  T  pro   altitudine    maxima    C  V,  K  pro 

altitudine  quavis  alia   C P  vel  Cp,  &  X  pro  altitudinum  differentia 

C  V—CP;  &  vis,  qua  corpus  in  ellipsi  circa  umbilicum  suum  C  (ut 

F  F 
in  corol.   2)  revolvente  movetur,  quaeque  in  corol.   2  erat  ut  t— t-  + 

RGG-RFF  .,     ,       FFA-hRGG-RFF      ,     .         ,     ^     ^ 

,  id  est  ut ,  substituendo  T  — X 

A  cud.  A  cuo, 

.       .       RGG-RFF  +  TFF-FFX  p  ,    ,  .  .,.^ 

pro  A,  erit  ut .    Keducenda  similiter  est 

A  C2^d. 

vis  alia  quaevis  centripeta  ad  fractionem  cujus  denominator  sit  A  cud. 

8i  numeratores,  facta  homologorum  terminorum  collatione,  statuendi 

sunt  analogi.     Res  exempHs  patebit. 

Exempl.     I.    Ponamus    vim    centripetam    uniformem    esse,    ideo- 

A     Cub.  .  /        .,  ,        ^        xr  A       • 

que  ut  -T 7 ,   sive    (scribendo    1  —  X    pro   A    m    numeratore)    ut 

r^     CUO. 

T^^^.-3TTX  +  3TXX-X^^^.    ^      ,, 

A  cub  '       collatis  numeratorum  terminis 

correspondentibus,  nimirum  datis  cum  datis  &  non  datis  cum  non  datis, 

fietRGG-RFF  +  TFFadT^^/5.ut-FFXad-3TTX-|-3TXX 
-X  cub.  sive  ut-FF  ad-^TT-f  3TX-X  X.  Jam  cum  orbis 
ponatur  circulo  quam  maxime  finitimus,  coeat  orbis  cum  circulo ; 
&  ob  factas  R,  T  sequales,  atque  X  in  infinitum  diminutam,  rationes 
ultimae  erunt  RGG  ad  T  cub.  ut  — FF  ad  — 3  TT,  seu  GG  ad 
TT  ut  FF  ad  3  TT,  &  vicissim  GG  ad  FF  ut  TT  ad  3TT,  idest, 


LIBER  PRIMUS.  137 

ut  I  ad  3  ;  Ideoque  G  ad  F,  hoc  est  angulus  VCp  ad  angulum  VCP, 
ut  I  ad  .^3 .  Ergo  cum  corpus  in  ellipsi  immobili,  ab  apside  summa 
ad  apsidem  imam  descendendo  conficiat  angulum  V  CP  (ut  ita 
dicam)  graduum  180;  corpus  aliud  in  ellipsi  mobili,  atque  ideo  in 
orbe  immobili   de  quo  agimus,  ab  apside  summa  ad  apsidem  imam 

descendendo    conficiet   angulum    V  Cp  graduum    —j-  :    id    ideo   ob 

similitudinem  orbis  hujus,  quem  corpus  agente  uniformi  vi  centrl- 
peta  describit,  &  orbis  illius  quem  corpus  in  ellipsi  revolvente 
gyros  peragens  describlt  in  plano  quiescente.  Per  superiorem 
terminorum  collationem  similes  redduntur  hi  orbes,  non  universaliter 
sed  tunc  cum  ad  formam  circularem  quam  maxime  appropinquant. 
Corpus  igitur  uniforml  cum  vl  centripeta  in  orbe  propemodum 
circulari   revolvens,   inter  apsidem   summam  &  apsldem  Imam  con- 

ficlet  semper  angulum  —j-  graduum,  seu   103  gr,   55  m.   23  sec.  ad 

centrum ;  perveniens  ab  apslde  summa  ad  apsidem  Imam  ubl  semel 
confeclt  hunc  angulum,  &  Inde  ad  apsldem  summam  rediens  ubi 
Iterum  confeclt  eundem  angulum  ;  &  slc  delnceps  In  infinitum. 

Exempl.  2.  Ponamus  vim  centrlpetam  esse  ut  altltudlnls  A  dignl- 

A« 

tas  quaellbet  A"""^  seu   t-  :  ubi  /^  — 3  &  «  slgnlficant  dignitatum  indi- 

ces  quoscunque  Integros  vel  fractos,  ratlonales  vel  Irrationales,  af- 
firmativos  vel  negativos.  Numerator  ille  A"  seu  T--X|'*  In  serlem 
indetermlnatam    per    methodum    nostram    serierum    convergentlum 

reducta,    evadit  T"-;^  X  T«-^-|-^-^^^   X  X  T«-^  &c.     Et  collatis 

'  2 

hujus  terminis  cum  termlnls  numeratoris  alterlus  RGG  —  R  F  F  -|-  TFF 

-FFX,fitRGG-RFF  +  TFFadT«ut-FFad-;^T«-^-h^^^^ 

2 

X  T"-'  &c.     Et  sumendo  rationes  ultlmas  ubi  orbes  ad  formam  cir- 

cularem  accedunt,  fit   RGG  ad  T"  ut  — FF  ad  — ^^T"-',  seu  GG 

ad  T"-^  ut  F  F  ad  ;^  T''-^  &  vlclsslm  G  G  ad  F  F  ut  T""^  ad  n  T—^ 

id  est  ut  I   ad  ;^;  Ideoque  G  ad  F,  id  est  angulus  V  Cp  ad  angulum 

VCP,  ut  I   ad   J  n .     Quare  cum  angulus    VCP,  In  descensu  cor- 

poris  ab  apside  summa  ad  apsidem   imam   In   elHpsI  confectus,  slt 

graduum    180;   conficietur  angulus    V  Cp,   in    descensu    corporis  ab 


38 


DE  MOTU  CORPORUM 


apside  summa  ad  apsldem  imam,  in  orbe  propemodum  circulari 
quem  corpus  quodvis  vi   centripeta  dlgnltati  A"~3  proportionali  de- 

scrlbit,  sequalls  angulo  graduum   —j-  ;  &  hoc  angulo  repetlto  cor- 

pus  redlblt  ab  apside  ima  ad  apsidem  summam,  &  slc  deinceps  in 
infinitum.     Ut  si  vis  centrlpeta  slt  ut  dlstantla  corporis  a  centro,  id 

A*       . 
est,  ut  A  seu  —  ,  erit  7i  aequalls  4  &  >y ;/  sequalls  2  ;  ideoque  angu- 

lus  inter  apsidem  summam  &  apsidem  imam  sequalls  gr,  seu 

90  gr,  Completa  igitur  quarta  parte  revolutlonls  unlus  corpus  per- 
veniet  ad  apsidem  imam,  &  completa  alia  quarta  parte  ad  apsidem 
summam,  &  sic  deinceps  per  vices  in  infinltum.  Id  quod  etlam 
ex  proposltione  x  manlfestum  est.  Nam  corpus  urgente  hac  vi 
centrlpeta  revolvetur  in  elHpsi  immoblH,  cujus  centrum  est  in  centro 
vlrium.       Quod  si  vls  centripeta  sit  reciproce  ut  distantia,   id    est 

I  A""       . 

directe  ut  -—  seu   — - ,  erit  n  sequalis  2,  ideoque  inter  apsldem  sum- 
/\.  /\ 

mam  &  Imam  angulus  erlt  graduum  —r-  seu  12^  gr.  16  77Z,  45  sec.  & 

propterea  corpus  tali  vi  revolvens,  perpetua  anguli  hujus  repetltlone, 
vicibus  alternls  ab  apside  summa  ad  imam  &  ab  ima  ad  summam 
perveniet  in  seternum.  Porro  si  vis  centrlpeta  slt  reclproce  ut 
latus   quadrato-quadratum    undeclmse    dignltatls    altitudinis,    id    est 

reciproce  ut  A  * ,  ideoque  directe  ut  -r-Y\  seu  ut  -7—  erit  7t  aequahs 

A  4  A  -^ 

T,  &  — /-  gr.  aequaUs  360  gr.  &  propterea  corpus  de  apside  summa 

discedens  &  subinde  perpetuo  descendens,  perveniet  ad  apsidem 
imam  ubi  complevit  revolutlonem  integram,  dein  perpetuo  ascensu 
complendo  aham  revolutionem  integram,  redibit  ad  apsidem  sum- 
mam  :  &  sic  per  vices  in  aeternum. 

Exempl.  3.  Assumentes  m  &  n  pro  qulbusvls  indiclbus  dignltatum 
altitudinis,   81  d,  c  pro  numerls   quibusvis  datis,  ponamus  vim  cen- 


tripetam  esse  ut  ^^'"^^^\  id  est,  ut  .^J^T-Xr  +  .  in    T-X|- 


A  cnd.  A  cud. 


LIBER  PRIMUS.  139 

seu    (per   eandem    methodum  nostram   serierum   convergentium)  ut 


A  cub. 
&    collatis    numeratorum    terminis,    fiet    RGG  — RFF  4-  TFF 

Tft  7ft  -  fft 

ad  ^T"^  +  cT«,  ut-FF  ^.d.-mbT^^-^-nci:''-' ^- ^  X  T''^-^' 

2 

IV  7t~tZ 

+ ^:  X  T"-^   &c.     Et  sumendo  rationes  ultimas  quse  prodeunt 

2 

ubi  orbes  ad  formam  circularem  accedunt,  fit  G  G  ad  bT"'-^  ■\-cT''~^, 

ut  FF  ad  mbT'''-'^nci:^-\  &  vicissim  GG  ad  F  F  ut  ^  T'«-^4-^T«-' 

ad    m  b  T'*-'  -^-n  c  T'*-'.        Quse   proportio,    exponendo   altitudinem 

maximam  C  V  seu  T  arithmetice  per  unitatem,  fit  G  G  ad  F  F  ut 

b-\-c2Ldimb-\-nc,  ideoque  ut  i  ad .     Unde  est  G  ad  F,  id  est 

b-^-c 

angulus  VCp  ad  angulum  VC  P,  ut  i  ad  V^|-^  •     Et  propterea 

cum  angulus  V  C  P  inter  apsidem  summam  &  apsidem  imam  in  el- 
lipsi  immobili  sit  i8o^n  erit  angulus    V  Cp  inter  easdem  apsides,  in 

orbe  quem  corpus  vi  centripeta  quantitati    — -z 7 —    proportionali 

describit,  sequalis  angulo  graduum  180  V -, r  .     Et  eodem  argu- 

mb-\-nc 

mento  si  vis  centripeta  sit  ut ,  angulus  inter  apsides  invenie- 

A  cub. 

tur   graduum    180  J '^ — •     Nec  secus  resolvetur  problema  in 

m  b  —  n  c 

casibus  difficilioribus.     Quantitas,  cui  vis  centripeta  proportionalis  est, 

resolvi  semper  debet  in  series  convergentes  denominatorem  habentes 

A  cub.       Dein  pars  data  numeratoris  qui  ex  illa  operatione  provenit 

ad  ipsius  partem  alteram  non  datam,  &  pars  data  numeratoris  hujus 

RGG  —  RFF-hTFF  —  FFX  ad  ipsius  partem  alteram  non  datam 

in  eadem  ratione  ponendse  sunt  :     Et  quantitates  superfluas  delendo, 

scribendoque  unitatem  pro  T,  obtinebitur  proportio  G  ad  F. 

Corol.   I.    Hinc  si  vis  centripeta  sit  ut  aliqua  altitudinis  dignitas, 

inveniri  potest  dignitas  illa  ex  motu  apsidum ;  &  contra.       Nimirum 

si  motus  totus  angularis,  quo  corpus  redit  ad  apsidem  eandem,  sit 


140 


DE  MOTU  CORPORUM 


ad  motum  angularem   revolutionls  unius,  seu  graduum  360,  ut  nu- 
merus   aliquis   m  ad   numerum   alium   ;/,   &  altitudo   nominetur  A  : 


nn 


erit  vis  ut  altitudinis  dig^nitas  illa  A  "^*^      ,  cujus  index  est —  'x. 

mm         ^ 

Id  quod  per  exempla  secunda  manifestum  est.       Unde  liquet  vim 

illam  in  majore  quam  trlplicata  altitudinis  ratione,  in  recessu  a  centro, 

decrescere    non    posse :      Corpus    tali    vi    revolvens    deque    apside 

discedens,    si    cceperit   descendere    nunquam  perveniet  ad    apsldem 

imam  seu  altitudinem   minimam,  sed   descendet  usque  ad  centrum, 

describens  curvam  illam  lineam  de  qua  egimus  in  corol.   3.  prop.  xli. 

Sin  coeperit    illud,    de    apside    discedens,   vel   minimum    ascendere ; 

ascendet  in  infinitum,  neque  unquam  perveniet  ad  apsidem  summam. 

Describet  enim  curvam  illam  lineam  de  qua  actum   est  in   eodem 

corol.    &    in    corol.    6    prop.    xliv.       Sic  &  ubi  vis,   in   recessu    a 

centro,  decrescit  in  majore  quam  triplicata  ratione  altitudinis,  corpus 

de   apside   discedens,   perinde  ut  coeperit  descendere  vel  ascendere, 

vel   descendet   ad   centrum   usque    vel    ascendet    in    inflnitum.      At 

si  vis,  in  recessu  a  centro,  vel  decrescat  in  minore  quam  triplicata 

ratione   altitudinis,    vel    crescat    in    altitudinis    ratione    quacunque ; 

corpus  nunquam  descendet  ad  centrum  usque,  sed  ad  apsidem  imam 

aliquando   perveniet  :    &   contra,   si    corpus    de    apside    ad    apsidem 

alternis   vicibus    descendens    &    ascendens    nunquam    appellat    ad 

centrum  ;  vis  in  recessu  a  centro  aut  augebitur,  aut  in  minore  quam 

triplicata  altitudinis  ratione  decrescet  :  &  quo  citius  corpus  de  apside 

ad  apsidem  redierit,   eo  longius   ratio  virium  recedet  a  ratione  illa 

triplicata.        Ut  si  corpus  revolutionibus   8   vel  4  vel  2  vel   ij  de 

apside  summa  ad  apsidem  summam  alterno  descensu  &  ascensu  redi- 

erit ;  hoc  est,  si  fuerit  m  did  n  \xt  ?>  vel  4  vel  2  vel  i^  ad   i,  ideoque 

3valeat^  — 3   vel   -7  —  3   vel 3  vel    -  —  3:    erit   vis    ut 

mm  64""  16"^  4  9 

A^~'  vel  A^~^  vel  A*~'  vel  A^~',  id  est,  reciproce  ut  A'~^  vel 

A      ^^  vel   A     *   vel  A     ^.      Si  corpus  singulis   revolutionibus   re- 
dierit   ad    apsidem    eandem    immotam ;    erit   ;;^   ad    ;^   ut     i    ad     i, 


nn 


ideoque    A*"'"*        aequalis    A         seu    ;     &    propterea    decre- 

mentum    virium    in    ratione    duplicaja    altitudinis,    ut    in   praeceden- 


LIBER  PRIMUS.  141 

tibus  demonstratum  est.  SI  corpus  partibus  revolutionibus  unius 
vel  tribus  quartis,  vel  duabus  tertiis,  vel  una  tertia,  vel  una  quarta, 
ad  apsidem  eandem  redierit;  erit  m  ad  ^^  ut  f  vel  I  vel  \  vel  t  ad  i, 

ideoque    A^~'  sequalis    A  V- 3  yel    At-3  vel  A'~'  vel    A ''""^ 

11  3 

&  propterea  vis  aut  reciproce  ut  A~or  vel  As  aut  directe  ut  A^  vel 

A'3.     Denique  si  corpus  pergendo  ab  apside  summa  ad  apsidem  sum- 

mam  confecerit  revolutionem  integram,  &  praeterea  gradus  tres,  ideo- 

que  apsis  illa  singulis  corporis  revolutionibus  confecerit  in  consequentia 

gradus  tres;  erit  ;;^  ad  ;^  ut  363  gr.  ad  360  gr,  sive  ut  121  ad  120, 

»»  —  29  523 

ideoque  A'" ""      erlt  sequale  A    ^****^  ;    &.  propterea  vls    centripeta 

20523  4 

reclproce  ut  A  ^^"  seu  reciproce  ut  A  ^  ^^  proxime.  Decresclt 
igitur  vis  centripeta  In  ratione  paulo  majore  quam  duplicata,  sed 
quae  vicibus  59!  propius  ad  duplicatam  quam  ad  tripllcatam 
accedit. 

CoroL  2.  Hinc  etiam  si  corpus,  vl  centrlpeta  quae  sit  reciproce 
ut  quadratum  altltudinls,  revolvatur  In  ellipsl  umbillcum  habente  In 
centro  virium,  &  hulc  vl  centrlpetae  addatur  vel  auferatur  vls  alla 
quaevls  extranea;  cognoscl  potest  (per  exempla  tertla)  motus  apsl- 
dum  qul   ex   vi  illa  extranea   orietur  :  &   contra.       Ut   sl   vis   qua 

corpus  revolvltur  In  elllpsl  slt  ut ,  &  vis  extranea  ablata  ut  c  A, 

A  A 

A— ^A* 

Ideoque  vis  reliqua  ut  ;   erit  (in  exemplls  tertlls)   b  aequa- 

A  cub, 

lls   I,  m  aequalis    i,    &  n  aequalls  4,    Ideoque   angulus   revolutionls 

inter  apsides  aequalis  angulo  graduum  1 80  V •     Ponamus  vlm 

I  —  4  ^ 
Illam  extraneam  esse  357.45  partlbus  minorem  quam  vis  altera  qua 
corpus  revolvitur  In  ellipsi,  Id  est  c  esse   ssTAg,  existente  A  vel   T 

aequali  i,  &  180  V  — — —  evadet  180  V  ItStI,  seu  180.7623,  Id  est, 
I  —4  c 

iSogr.  45  m.  44  s.      Igltur  corpus  de  apslde  summa  dlscedens,  motu 

angulari  180  gr.  45  m.  44  s.  perveniet   ad   apsidem    imam,  &   hoc 

motu  duplicato  ad  apsidem  summam  redlbit :    ideoque  apsis  sum- 

ma  singulis  revolutionibus  progrediendo  conficiet   i  gr.  31  m,  28  sec, 

Apsis  lunae  est  duplo  velocior  circiter. 


142  r>E  MOTU  CORPORUM  •     ' 

Hactenus  de  motu  corporum  in  orbibus  quorum  plana  per  cen- 
trum  virium  transeunt.  Superest  ut  motus  etiam  determinemus  in 
planis  excentricis.  Nam  scriptores  qui  motum  gravium  tractant, 
considerare  solent  ascensus  &  descensus  ponderum,  tam  obliquos  in 
planis  quibuscunque  datis,  quam  perpendiculares  :  &  pari  jure  mo- 
tus  corporum  viribus  quibuscunque  centra  petentium,  &  planis 
excentricis  innitentium  hic  considerandus  venit.  Plana  autem  sup- 
ponimus  esse  politissima  &  absolute  lubrica  ne  corpora  retardent. 
Quinimo,  in  his  demonstrationibus,  vice  planorum  quibus  corpora 
incumbunt  quaeque  tangunt  incumbendo,  usurpamus  plana  his  parallela, 
in  quibus  centra  corporum  moventur  &  orbitas  movendo  describunt. 
Et  eadem  lege  motus  corporum  in  superficiebus  curvis  peractos 
subinde  determinamus. 

SECTIO    X. 

De    motu    corporum    in  superficiebus    datis,   deque  funipe^idulorum 

motu   reciproco. 


PROPOSITIO    XLVI.      PROBLEMA    XXXII. 

Posita  cujuscunque  generis  vi  centripetay  datoque  tum  viriuin  centro 
iumplano  quoczmque  in  quo  corpus  revolvitur,  &  concessis figuraru7n 
curvilinearzcm  quadraturis:  requiritur  motus  corporis  de  loco  dato, 
data  cum  velocitate,  secundum  rectam  in  plano  illo  data^n  egressi. 

Sit  6^  centrum  virium,  kS  C  distantia  minima  centri  hujus  a  plano 
dato,  P  corpus  de  loco  P  secundum  rectam  P  Z  egrediens,  Q  cor- 
pus  idem  in  trajectoria  sua  revolvens,  &  PQR  trajectoria  illa,  in  plano 
dato  descripta,  quam  invenire  oportet.  Jungantur  C  Q,  g  6^,  &  si 
mQ  S  capiatur  6^  V  proportionaHs  vi  centripetse  qua  corpus  trahitur 
versus  centrum  S,  &  agatur  V  T  quae  sit  parallela  C  Q  &  occurrat 
SC  in  T:  vis  6^  F  resolvetur  (per  legum  corol.  2)  in  vires  ST,  TV ; 
quarum  S  T  trahendo  corpus  secundum  lineam  plano  perpendicula- 
rem,  nil  mutat  motum  ejus  in  hoc  plano.  Vis  autem  altera  T  V, 
agendo    secundum    positionem    plani,   trahit  corpus   directe   versus 


LIBER  PRIMUS. 


143 


punctum  C  In  plano  datum,  ideoque  efficlt,  ut  corpus  Illud  in  hoc 
plano  perinde  moveatur,  ac  si  vis  vS  T  tolleretur,  &  corpus  vi  sola 
T  V  revolveretur  circa  centrum  C  in  spatio  libero.  Data  autem  vi 
centripeta    T  V  qua  corpus   Q  In  spatio  libero  clrca  centrum  datum 


C  revolvltur,  datur  (per  prop.  xlii)  tum  trajectorla  P  Q  R,  quam 
corpus  descrlbit,  tum  locus  Q,  in  quo  corpus  ad  datum  quodvls 
tempus  versabitur,  tum  denique  velocitas  corporls  In  loco  illo  Q ;  81 
contra.     Q.  E.  I. 


PROPOSITIO    XLVII.      THEOREMA     XV. 

Posito  qtioci  vis  centripeta  proportionalis  sit  distantics  corporis  a  centro; 
corpora  07nnia  iri  planis  quibusctmqiie  revolventia  describeiit  ellipseSy 
&  revolutio7ies  temporibus  c^qtcalibus  peragent ;  qucFque  moventur  in 
lineis  rectis,  ultro  citroque  discurrendoy  singulas  eundi  &  redeicndi 
periodos  iisdem  temporibus  absolvent. 

Nam,  stantlbus  quae  In  superlore  proposltlone,  vis  S  V,  qua  corpus 
Q  in  plano  quovis  P  Q  R  revolvens  trahitur  versus  centrum  S,  est  ut 
distantia  S  Q ;  atque  Ideo  ob  proportionales  S  V  81  SQ,  T  V 
81  C  Q,  vis  TV,  qua  corpus  trahitur  versus  punctum  C  In  orbis  plano 
datum,  est  ut  dlstantia   CQ.     Vires   igitur,  quibus  corpora  in  plano 


144 


DE  MOTU  CORPORUM 


PQ  R  versantia  trahuntur  versus  punctum  C,  sunt  pro  ratlone  distan- 
tiarum  aequales  viribus  quibus  corpora  undiquaque  trahuntur  versus 
centrum  S ;  ^  propterea  corpora  movebuntur  iisdem  temporibus, 
in  iisdem  figuris,  in  plano  quovis  P  Q  R  circa  punctum   C,  atque  in 


spatlis  Hberis  circa  centrum  S ;  ideoque  (per  corol.  2  prop.  x  & 
corol.  2  prop.  xxxviii)  temporibus  semper  sequalibus,  vel  describent 
ellipses  in  plano  Illo  clrca  centrum  C,  vel  periodos  movendi  ultro 
citroque  In  lineis  rectis  per  centrum  C  in  plano  illo  ductis  complebunt. 
Q.  E.  D. 

Scholium. 

His  affines  sunt  ascensus  ac  descensus  corporum  in  superficiebus 
curvis.  Concipe  Hneas  curvas  in  plano  describi,  dein  circum  axes 
quosvis  datos  per  centrum  virium  transeuntes  revolvi,  &  ea  revolutione 
superficies  curvas  describere ;  tum  corpora  ita  moveri  ut  eorum 
centra  in  hls  superficiebus  perpetuo  reperiantur.  Si  corpora  illa 
obHque  ascendendo  &  descendendo  currant  ultro  citroque ;  pera- 
gentur  eorum  motus  in  planis  per  axem  transeuntibus,  atque  ideo 
in  lineis  curvis,  quarum  revolutione  curvae  illae  superficies  genitse 
sunt.  Istis  igitur  in  casibus  sufficit  motum  in  his  Hneis  curvis 
considerare. 


LIBER  PRIMUS.  145 


PROPOSITIO    XLVIII.      THEOREMA     XVI. 

Si  rota  globo  extrinsecics  ad  angidos  rectos  insistat,  &  more  rotarum 
revolvendo  progrediatur  171  circulo  maximo ;  longitudo  itineris 
cuTuilinei,  quod  ptmctum  quodvis  ifi  rotce  perimetro  datum,  ex  quo 
globum  tetigity  confecit,  (quodque  cycloidem  vel  epicycloidem  nominare 
licet)  erit  ad  duplicatum  sinum  versum  arcus  dimidii  qui  globum  ex 
eo  tempore  inter  eundum  tetigit^  ut  summa  diametrorum  globi  & 
rotce  ad  semidiametrum  globi, 

PROPOSITIO    XLIX.      THEOREMA    XVII. 

Si  rota  globo  concavo  ad  rectos  angulos  intrinsecus  insistat  & 
revolvendo  progrediatur  in  circulo  maximo ;  loftgittcdo  itineris 
curvilinei  quod  punctum  quodvis  in  rotce  perimetro  datum,  ex  quo 
globum  tetigitj  confecit,  erit  ad  duplicatum  shiU7n  versum  arcus 
dimidii  qui  globicm  toto  hoc  tentpore  i^tter  eu7idtcm  tetigit,  tct 
differentia  diametrorum  globi  &  rotce  ad  semidiametrum  globi. 

Sit  A  B L  globus,  C  centrum  ejus,  BP  V  rota  ei  insistens,  E 
centrum  rotae,  B  punctum  contactus,  &  P  punctum  datum  in 
perimetro  rotse.  Concipe  hanc  rotam  pergere  in  circulo  maximo 
A  B  L  3.h  A  per  B  versus  Z,  &  inter  eundum  ita  revolvi  ut  arcus 
A  B,  P  B  sibi  invicem  semper  aequentur,  atque  punctum  illud  P  in 
perimetro  rotse  datum  interea  describere  viam  curvilineam  A  P.  Sit 
autem  A  P  via  tota  curvilinea  descripta  ex  quo  rota  globum  tetigit  in 
A,  &  erit  viae  hujus  longitudo  A  P  2id  duplum  sinum  versum  arcus 
i  P  B,  ut  2  C E  ad  CB.  Nam  recta  C  E  (si  opus  est  producta) 
occurrat  rotae  in  F,  junganturque  C  P,  B  P,  E  P,  V P,  &  in  CP 
productam  demittatur  normalis  V F.  Tangant  P  H,  V H  circulum 
in  P  &  F  concurrentes  in  H,  secetque  P  H  ipsam  V  F  \vi  G,  81 
ad  V P  demittantur  normales  GI,  H K.  Centro  item  C  &  intervallo 
quovis  describatur  circulus  7i0  7n  secans  rectam  CP  in  7t,  rotae 
perimetrum   B  P  m   0,   &  viam   curvilineam   AP  in   m;   centroque 

K 


1 


1^6  ^^  MOTU  CORPORUM  ^ 

V    &   intervallo    F^   describatur   circulus   secans    V P    productam 
in  q. 


Quoniam  rota  eundo  semper  revolvitur  circa  punctum  contactus 
B,  manifestum  est  quod  recta  BP  perpendicularis  est  ad  lineam 
illam  curvam  A  P  quam  rotae  punctum  P  describit,  atque  ideo  quod 
recta  VP  tanget  hanc  curvam  in  puncto  P.  Circuli  nom  radius 
sensim   auctus   vel  diminutus   sequetur  tandem   distantiae    CP ;   &, 


l 


LIBER  PRIMVS,  147 

ob  similltudinem  figurae  evanescentis  Pnomq  &  figurae  P FG  VI, 
ratio  ultima  lineolarum  evanescentium  P  m,  P  n,  P  0,  P  q,  id  est, 
ratio  mutationum  momentanearum  curvae  A  P,  rectee  C  P,  arcus 
circularis  BP,  ac  rectae  VP,  eadem  erit  quae  linearum  PV,  PF,  PG, 
P I  respective.  Cum  autem  V F  a.d  CF  &  V H  2A  CV  perpendicu- 
lares  sint,  angulique  H  V  G,  /^Ci^  propterea  aequales ;  &  angulus 
V H  G  (ob  angulos  quadrilateri  H  V E  P  ad  V  &  P  rectos)  angulo 
CEP  aequalis  est,  similia  erunt  triangula  V H G,  CEP ;  &  inde 
fiet  ut  EP  ad  CE  \t2.  H  G  2.d  H  V  seu  HP  &  ita  A^/ad  K  P,  & 
composite  vel  divisim  ut  C  B  ad  C  E  ita  P I  dA  P  K,  81  duplicatis 
consequentibus  ut  C  B  ad  2  C  E  ita  P/  ad  P  V,  atque  ita  P  q  did 
P  m.  Est  igitur  decrementum  lineae  VP,  id  est,  incrementum  lineae 
B  V—  V P  ad  incrementum  lineae  curvae  A  P  m  data  ratione  C^  ad 
2  C  E,  8>L  propterea  (per  corol.  lem.  iv)  longitudines  B  V—  V P  & 
A  P,  incrementis  illis  genitae,  sunt  in  eadem  ratione.  Sed,  existente 
B  V  radio,  est  V  P  co-sinus  anguli  B  V  P  seu  \  B  E  P,  ideoque 
B  V—  V P  sinus  versus  est  ejusdem  anguli ;  &  propterea  in  hac  rota, 
cujus  radius  estl-^F",  erit  BV—  VP  duplus  sinus  versus  arcus  \  BP\ 
Ergo  AP  est  ad  duplum  sinum  versum  arcus^j^/*  ut  2  C^  ad 
CB,     Q.E.D. 

Lineam  autem  A  P  m  propositione  priore  cycloidem  extra 
globum,  alteram  in  posteriore  cycloidem  intra  globum  distinctionis 
gratia  nominabimua. 

Corol.  I.  Hinc  si  describatur  cyclois  integra  A  S  L  81  bisecetur 
ea  in  S,  erit  longitudo  partis  P  S  did  longitudinem  VP  (quae  duplus 
est  sinus  anguli  V B P,  existente  E B  radio)  ut  2  C^  ad  C^,  atque 
ideo  in  ratione  data. 

Corol.  2.  Et  longitudo  semiperimetri  cycloidis  A  S  aequabitur 
lineae  rectae,  quae  est  ad  rotae  diametrum  B  ^ut  2  CjE*  ad  CB. 

PROPOSITIO    L.      PROBLEMA    XXXIII. 

Facere  ut  corpus  pendulum  oscilletur  in  cycloide  data. 

Intra  globum  Q  V  S,  centro  C  descriptum,  detur  cyclois  Q  RS 
bisecta  in  7?  &  punctis  suis  extremis  Q  81  S  superficiei  globi  hinc 
inde  occurrens.  Agatur  C  R  bisecans  arcum  Q  S  m  O,  8l  produ- 
catur    ea   ad    A,  ut  sit  C  A  2Ld   C  O  ut    C  O  ad  C  R.     Centro   C 


148 


DE  MOTU  CORPORUM 


intervallo  C  A  describatur  globus  exterior  D  A  F,  &  intra  hunc 
globum  a  rota,  cujus  diameter  sit  AOy  describantur  duse  semicycloides 
AQy  AS,  quae  globum  interiorem  tangant  m  Q  &.  S  &,  globo  exteriori 
occurrant  in  A.  A  puncto  illo  Ay  filo  A  P  T  longitudinem  A  R 
sequante,  pendeat  corpus  T,  &  ita  intra  semicycloides  A  Q,  A  S 
oscilletur,  ut  quoties  pendulum  digreditur  a  perpendiculo  A  R,  filum 
parte  sui  superiore  A  P  applicetur  ad  semicycloidem  illam  A  P  S 
versus  quam  peragitur  motus,  &  circum  eam  ceu  obstaculum  flectatur, 
parteque  reliqua  P  Z",  cui  semicyclois  nondum  objicitur,  protendatur 
in  lineam  rectam ;  &  pondus  T  oscillabitur  in  cycloide  data  Q  R  S, 
Q.  E.  F. 


Occurrat  enim  filum  P  T  tum  cycloidi  QRS  m  T,  tum  circulo 
QO  S\w  F,  agaturque  CV;  &  ad  fili  partem  rectam  P  T,  ^  punctis 
extremis  P  ac  7",  erigantur  perpendicula  B  P,  T  W,  occurrentia 
rect^  C  V  in  B  &  W.  Patet,  ex  constructione  &  genesi  simi- 
lium  figurarum  A  S,  S  R,  perpendicula  illa  P  B,  T  /^  abscindere  de 
C  F  longitudines  VB,  V  W  rotarum  diametris  O  A,  O  R  ^quales. 
Est  igitur  TP  ad  VP  (duplum  sinum  anguli  VBP  existente  \  B  V 
radio)  wt  B  W 2i<i  B  V,  seu  A  0+  O  R  2id  A  O/id  est  (cum  sint  CA 


LIBER  PRIMUS. 


149 


ad  C(9,  C6>  ad  C^  &  divislm  ^  (9  ad  OR  proportionales)  ut  CA  -f- 
CO  2.&CA,  vel,  si  bisecetur  ^  F  in  ^,  ut  2  C  B  2id  C  B,  Proinde 
(per  corol.  i  prop.  xlix)  longitudo  partis  rectse  fili  P  T  aequatur 
semper  cycloidis  arcui  P  S,  81  filum  totum  A  P  T  eequatur  semper 
cycloidis  arcui  dimidio  A  P  S,  hoc  est  (per  corol.  2  prop.  xlix) 
longitudini  A  R.  Et  propterea  vicissim  si  filum  manet  semper  aequale 
longitudini  AR  movebitur  punctum  T  in  cycloide  data  QRS.  Q.B.D, 
Corol.  Filum  A  R  sequatur  semicycloidi  A  S,  ideoque  ad  globi 
exterioris  semidiametrum  A  C  eandem  habet  rationem  quam  similis 
illi  semicyclois  S  R  habet  ad  globi  interioris  semidiametrum  CO, 


PROPOSITIO    LI.     THEOREMA    XVIII. 

Si  vis  cmtripeta  tendens  undique  ad  globi  centrum  C  sit  in  locis  sin- 
gulis  ut  distantia  loci  cujusque  a  centro,  &  /lac  sola  vi  agente  cor- 
pus  T  oscilletur  (modojam  descripto)  in perimetro  cycloidis  Q  RS  : 
dico  quod  oscillationum  utcunque  incsqualium  cequalia  ertcnt  tempora. 

Nam    in   cycloidis   tangentem     TW   infinite    productam    cadat 


perpendiculum  CX  &jungatur  C  T      Quoniam  vis  centripeta  qua 


I50 


DE  MOTU  CORPORUM 


corpus  T  impellitur  versus  C  est  ut  distantia  C  T,  atque  haec  (per 
legum  corol.  2)  resolvitur  in  partes  C  X,  TX,  quarum  CX  impellen- 
do  corpu?  directe  a  P  distendit  filum  P  T  &  per  ejus  resistentiam 
tota  cessat,  nullum  alium  edens  effectum  ;  pars  autem  altera  TX, 
urgendo  corpus  transversim  seu  versus  X,  directe  accelerat  motum 
ejus  in  cycloide ;  manifestum  est  quod  corporis  acceleratio,  huic  vi 
acceleratrici  proportionaHs,  sit  singulis  momentis  ut  longitudo  TX, 
id  est,  ob  datas  C  F,  JV  V  iisque  proportionales  TX,  T  W,  ut 
longitudo   T  W,  hoc  est  (per  corol.  i  prop.  xlix)  ut  longitudo  arcus 


cycloidis  TR.  Pendulis  igitur  duobus  A  P  T,  A  p  t  Ae  perpendiculo 
A  R  insequaliter  deductis  &  simul  dimissis,  accelerationes  eorum 
semper  erunt  ut  arcus  describendi  ZT?,  t  R.  Sunt  autem  partes  sub 
initio  descriptae  ut  accelerationes,  hoc  est,  ut  tot^  sub  initio 
describendae,  &  propterea  partes  qu^  manent  describendae  & 
accelerationes  subsequentes,  his  partibus  proportionales,  sunt  etiam  ut 
tot^;  &  sic  deinceps.  Sunt  igitur  accelerationes,  atque  ideo 
velocitates  genitae  &  partes  his  velocitatibus  descriptae  partesque 
describendae,  semper  ut  totae ;  &  propterea  partes  describend^  datam 


LTBER  PRIMUS. 


l^l 


servantes  ratlonem  ad  invlcem  slmul  evanescent,  id  est,  corpora 
duo  osclllantla  slmul  pervenlent  ad  perpendlculum  A  R.  Cumque 
vlclsslm  ascensus  perpendlculorum  de  loco  Infimo  R,  per  eosdem 
arcus  cycloldales  motu  retrogrado  factl,  retardentur  in  locls  slngulis 
a  vlrlbus  Ilsdem  a  quibus  descensus  accelerabantur,  patet  velocitates 
ascensuum  ac  descensuum  per  eosdem  arcus  factorum  sequales  esse, 
atque  Ideo  temporlbus  sequallbus  fieri ;  &  propterea,  cum  cycloldis 
partes  duae  R  S  8i  RQ  ad  utrumque  perpendiculi  latus  jacentes  sint 
similes  &  sequales,  pendula  duo  osclllationes  suas  tam  totas  quam, 
dimidlas  iisdem  temporibus  semper  peragent.     Q.  E.  D. 

Corol.  Vis  qua  corpus  T  In  loco  quovis  T  acceleratur  vel 
retardatur  in  cycloide,  est  ad  totum  corporis  ejusdem  pondus  in  loco 
altlssimo  kS  vel  Q,  ut  cycloidis  arcus   TR  ad  ejusdem  arcum  S  R  vel 

QR^ 

PROPOSITIO    LII.     PROBLEMA    XXXIV. 

Definire  &  velocitates  pendulorum  in  locis  singulis,  &  tempora  quibus 
tum  oscillationes  totce,  tum  singula  oscillationum  partes  peraguntur. 

Centro  quovis  G,  intervallo  G  H  cycloidis  arcum  RS  aequante, 


describe  semicirculum  HKM  semidiametro  GK  bisectum.      Et  si 


152 


DE  MOTU  COEFORUM 


vis  centripeta,  dlstantiis  locorum  a  centro  proportionalis,  tendat  ad 
centrum  G,  sitque  ea  in  perimetro  H I K  sequalis  vi  centripetse  in 
perimetro  globi  Q  O  S  ad  ipsius  centrum  tendenti ;  &  eodem 
tempore  quo  pendulum  T  dimittitur  e  loco  supremo  S,  cadat 
corpus  aliquod  L  ab  H  2A  G:  quoniam  vires  quibus  corpora 
urgentur  sunt  sequales  sub  initio  &  spatiis  describendis  TR,  L  G 
semper  proportionales,  atque  ideo,  si  sequantur  TR  &  L  G,  aequales 
in  locis  T  &  L ;  patet  corpora  illa  describere  spatia  S  T,  HL 
aequalia  sub  initio,  ideoque  subinde  pergere  aequaliter  urgeri,  & 
sequalia  spatia  describere.  Quare  (per  prop.  xxxviii)  tempus  quo 
corpus  describit  arcum  kS  T  est  ad  tempus  oscillationis  unius,  ut  arcus 
H/,    tempus   quo   corpus   H  perveniet  ad  Z,  ad  semiperipheriam 


G  ^  YH 


H KM,  tempus  quo  corpus  H  perveniet  ad  M,  Et  velocitas 
corporis  penduli  in  loco  T  est  ad  velocitatem  ipsius  in  loco  infimo  R, 
(hoc  est,  velocitas  corporis  H  in  loco  L  ad  velocitatem  ejus  in  loco 
G,  seu  incrementum  momentaneum  lineae  H L  ad  incrementum 
momentaneum  lineae  HG,  arcubus  HI,  HK  aequabili  fluxu  crescenti- 
bus)  ut  ordinatim  applicata  LI  ad  radium  GK,  sive  ut  JSRq.  —  TRq. 
ad  S R.  Unde  cum,  in  oscillationibus  inaequaHbus,  describantur 
aequalibus  temporibus  arcus  totis  oscillationum  arcubus  proportionales; 
habentur,  ex  datis  temporibus,  &  velocitates  &  arcus  descripti  in 
oscillationibus  universis.     Qu^  erant  primo  invenienda. 


I 


LIBER  PRIMUS.  1 5  3 

Oscillentur  jam  funipendula  corpora  in  cycloidibus  diversis  intra 
globos  diversos,  quorum  diversae  sunt  etiam  vires  absolutae,  descriptis: 
&,  si  vis  absoluta  globi  cujusvis  Q  O  S  dicatur  V,  vis  acceleratrix 
qua  pendulum  urgetur  in  circumferentia  hujus  globi,  ubi  incipit 
directe  versus  centrum  ejus  moveri,  erit  ut  distantia  corporis  penduli 
a  centro  illo  &  vis  absoluta  globi  conjunctim,  hoc  est  ut  C  (9  x  V. 
Itaque  Hneola  H Y,  quse  sit  ut  haec  vis  acceleratrix  COy.V, 
describetur  dato  tempore  ;  &,  si  erigatur  normahs  Y  Z  circumferentise 
occurrens  in  Z,  arcus  nascens  H  Z  denotabit  datum  illud  tempus. 
Est  autem  arcus  hic  nascens  H Z  in  supdupHcata  ratione  rectanguH 
G  H  Y,  ideoque  ut  VG^ZTx  C(9x  V.  Unde  tempus  osciHationis 
integrae  in  cycloide  QRS  (cum  sit  ut  semiperipheria  H K M, 
quae  osciHationem  iHam  integram  denotat,  directe  ;  utque  arcus  H Z, 
qui  datum  tempus  simiHter  denotat,  inverse)  fiet  wt  G  H  directe  & 
^GHxCOxV   inverse,   hoc    est,   ob   aequales    GH   &   6^^,  ut 

.     SR  .        .  1  X  f     ^^  r 

s/t^ — V'  ^^^^  ^P^^  corol.  prop.  l)   ut    sJ-j-7=' — ^j  •    Itaque  oscil- 

lationes  in  globis  &  cycloidibus  omnibus,  quibuscunque  cum  viribus 
absohitis  factae,  sunt  in  ratione  quae  componitur  ex  subdupHcata  ratione 
longitudinis  fiH  directe,  &  subdupHcata  ratione  distantiae  inter  punctum 
suspensionis  &  centrum  globi  inverse,  &  subdupHcata  ratione  vis 
absolutae  globi  etiam  inverse.     Q,  E.  /. 

Corol.  I.  Hinc  etiam  osciHantium,  cadentium  &  revolventium 
corporum  tempora  possunt  inter  se  conferri.  Nam  si  rotae,  qua 
cyclois  intra  globum  describitur,  diameter  constituatur  aequaHs 
semidiametro  globi  cyclois  evadet  Hnea  recta  per  centrum  globi 
transiens,  &  osciHatio  jam  erit  descensus  &  subsequens  ascensus  in 
hac  recta.  Unde  datur  tum  tempus  descensus  de  loco  quovis  ad 
centrum,  tum  tempus  huic  aequale  quo  corpus  uniformiter  circa 
centrum  globi  ad  distantiam  quamvis  revolvendo  arcum  quadrantalem 
describit.     Est  enim  hoc  tempus  (per  casum  secundum)  ad  tempus 

semiosciHationis  in  cycloide  quavis  g  7?  kS  ut  i  ad  J^       . 

Corol.  2.  Hinc  etiam  consectantur  quae  Wrennus  &  Hugenius  de 
cycloide  vulgari  adinvenerunt.  Nam  si  globi  diameter  augeatur 
in  infinitum  :  mutabitur  ejus  superficies  sphaerica  in  planum,  visque 
centripeta  aget  uniformiter   secundum   Hneas   huic   plano   perpendi- 


I  54  ^E  MOTU  CORPORUM 

culares,  &  cyclois  nostra  abiblt  in  cycloidem  vulgi.  Isto  autem  in 
casu  longitudo  arcus  cycloidis,  inter  planum  illud  &  punctum 
describens,  sequalis  evadet  quadruplicato  sinui  verso  dimidii  arcus 
rotse  inter  idem  planum  &  punctum  describens ;  ut  invenit  Wren^iiLs : 
Et  pendulum  inter  duas  ejusmodi  cycloides  in  simili  &  sequali 
cycloide  temporibus  aequalibus  oscillabitur,  ut  demonstravit  Hugenius, 
Sed  &  descensus  gravium,  tempore  oscillationis  unius,  is  erit  quem 
Htcge7tius  indicavit. 

Aptantur  autem  propositiones  a  nobis  demonstratae  ad  veram 
constitutionem  terrae,  quatenus  rotse  eundo  in  ejus  circulis  maximis 
describunt  motu  clavorum,  perimetris  suis  infixorum,  cycloides  extra 
globum ;  &  pendula  inferius  in  fodinis  &  cavernis  terrse  suspensa,  in 
cycloidibus  intra  globos  oscillari  debent,  ut  oscillationes  omnes 
evadant  isochronse.  Nam  gravitas  (ut  in  libro  tertio  docebitur) 
decrescit  in  progressu  a  superficie  terrae,  sursum  quidem  in  duplicata 
ratione  distantiarum  a  centro  ejus,  deorsum  vero  in  ratione 
simplici. 

PROPOSITIO    LIII.      PROBLEMA    XXXV. 

Concessis  figurarum  curvilinearum  quadraturis,  invenire  vires  quibus 
corpora  in  datis  curvis  lineis  oscillationes  semper  isochronas 
peragent, 

Oscilletur  corpus  T  in  curva  quavis  linea  kS  TR  Q,  cujus  axis  sit 
A  R  transiens  per  virium  centrum  C.  Agatur  TX  quse  curvam 
illam  in  corporis  loco  quovis  T  contingat,  inque  hac  tangente  TX 
capiatur  TY  sequaHs  arcui  T R.  Nam  longitudo  arcus  ilHus  ex 
figurarum  quadraturis,  per  methodos  vulgares,  innotescit.  De  puncto 
F  educatur  recta  YZ  tangenti  perpendicularis.  Agatur  CT  per 
pendiculari  illi  occurrens  in  Z,  &  erit  vis  centripeta  proportionalis 
rect^  TZ.     Q.  E.  /. 

Nam  si  vis,  qua  corpus  trahitur  de  T  versus  C,  exponatur  per 
rectam  TZ  captam  ipsi  proportionalem,  resolvetur  hsec  in  vires  T  K, 
YZ ;  quarum  YZ  trahendo  corpus  secundum  longitudinem  fili  P  T, 
motum  ejus  nil  mutat,  vis  autem  altera  TY  motum  ejus  in  curva 
6^  TR  Q  directe  accelerat  vel  directe  retardat     Proinde  cum  hsec 


LIBER  PRIMUS. 


155 


sit  ut  vla  descrlbenda  T  R,  acceleratlones  corporis  vel  retardationes 
in  oscillationum  duarum  (majorls  &  minoris)  partlbus  proportio- 
nalibus   describendis,    erunt    semper    ut    partes    illae,    &    propterea 


facient  ut  partes^  illse  simul  describantur.  Corpora  autem  quse 
partes  totls  semper  proportionales  simul  descrlbunt,  simul  descrlbent 
totas.     Q.  E.  D. 

Corol.  I.  Hlnc  sl  corpus  T,  filo  rectillneo 
A  T  2i  centro  A  pendens,  describat  arcum 
circularem  vS  TR  Q,  &  Interea  urgeatur  se- 
cundum  lineas  parallelas  deorsum  a  vl  all- 
qua,  quae  sit  ad  vlm  unlformem  gravitatis, 
ut  arcus  T  R  2id  ejus  sinum  TN :  sequalia 
erunt  oscillatlonum  slngularum  tempora. 
Etenim  ob  parallelas  TZ,  A  R,  similla  erunt 
triangula^  TN,  ZTY;  &  propterea  TZ 
erit  ad  ^  r  ut  T  F  ad  TN;  hoc  est,  si 
gravitatis  vis  uniformis  exponatur  per  longitudinem  datam  A  T,  vis 


156 


DE  MOTU  CORPORUM 


T  Z,   qua   oscillationes    evadent   isochronse, 
A  T,  ut  arcus  TR  ipsi  T^Fsequalis  ad  arcus 
illius  sinum  TN. 

Corol.  2.  Et  propterea  in  horologiis,  si 
vires  a  machina  in  pendulum  ad  motum 
conservandum  impressae  ita  cum  vi  gravitatis 
componi  possint,  ut  vis  tota  deorsum  sem- 
per  sit  ut  linea  quse  oritur  applicando  rec- 
tangulum  sub  arcu  T  R  &.  radio  A  R  ?id 
sinum  T  N,  oscillationes  omnes  erunt  iso- 
chronae. 


erit   ad    vim   gravitatis 


PROPOSITIO    LIV.      PROBLEMA    XXXVL 

Concessis  figurarum  curvilinearum  quadraturis^  invenire  tempora, 
quibus  corpora  vi  qualibet  centripeta  in  lineis  quibusctmque  curvis, 
in  plano  per  centrum  virium  transeunte  descriptis,  descendent 
&  ascendent. 

Descendat  corpus  de  loco  quovis  S,  per  lineam  quamvis  curvam 
STtR  in  plano  per  virium  centrum  C  transeunte  datam.  Jun- 
gatur  CS  &  dividatur  eadem  in  par- 
tes  innumeras  a^quales,  sitque  JD  d 
partium  illarum  aliqua.  Centro  C 
intervallis  C  D,  Cd  describantur 
circuli  D  T,  dt,  linese  curvae  6^  TtR 
occurrentes  in  7"  &  /.  Et  ex  data 
tum  lege  vis  centripetae,  tum  altitu- 

dine    C  kS*    de    qua    corpus  cecidit;  a 

dabitur  velocitas  corporis  in  alia  qua- 
vis  altitudine  C  T  (per  prop.  xxxix). 
Tempus  autem,  quo  corpus  descri- 
bit  lineolam  T  /,  est  ut  lineolae  hujus 
longitudo,  id  est,  ut  secans  anguli 
t  T  C  directe,  &  velocitas  inverse. 
Tempori  huic  proportionalis  sit  or- 
dinatim  applicata  DN  ad  rectam  CS 


Q 

5 

P^\ 

\ 

V. 

\ 

n) 

;\ 

'V 

d 

;    ; 
/    ; 

;   / 

/  / 
/  ; 
// 

// 
;/ 
// 

/; 

;;■ 

// 
:/ 

// 
;; 

c 

:/ 

: 

LIBER  PRIMUS. 


157 


per  punctum  D  perpendicularls,  &  ob  datam  D  d  erit  rectangulum 
DdxDN,  hoc  est  area  DNnd,  eldem  temporl  proportlonale. 
Ergo  si  P Nn  slt  curva  illa  llnea  quam  punctum  N  perpetuo  tangit, 
ejusque  asymptotos  sit  recta  6"  Q  recta^  C  S  perpendlcularlter 
insistens  :  erit  area  SQ P  N D  proportlonalis  tempori  quo  corpus 
descendendo  descripsit  lineam  S  T ;  proindeque  ex  inventa  illa  area 
dabitur  tempus.     Q.E.I. 

PROPOSITIO   LV.      THEOREMA    XIX. 


,y 


Si  corpus  movetur  in  superficie  quacunque  curva,  cujus  axis  per 
centrum  virium  transit,  &  a  corpore  in  axem  demittatur  perpen- 
dicularisy  eique  parallela  &  cBqualis  ab  axis  puncto  quovis  dato 
ducatur :  dico  quod  parallela  illa  aream  tempori  proportionalem 
describet. 

S\t  B  K  L  superficies  curva,  T^corpus  in  ea  revolvens,  STR  tra- 
jectoria,  quam  corpus  in  eadem  describit,  ^9  initium  trajectoriae, 
OMKz^is  superficiei  curvae, 
TN  recta  a  corpore  in  axem 
perpendlcularis,  O  P  huic 
parallela  &  sequalls  a  puncto 
Oy  quod  in  axe  datur,  educ- 
ta ;  A  P  vestiglum  trajec- 
toriae  a  puncto  P  in  lineae 
volubllis  OP  plano  A  OP 
descriptum  ;  A  vestigli  inlti- 
um  puncto  ^S  respondens ; 
T  C  recta  a  corpore  ad  cen- 
trum  ducta;  TG  pars  ejus 
vi  centripetae,  qua  corpus 
urgetur  in  centrum  C,  pro- 
portlonaHs;  TM  recta  ad 
superficiem  curvam  perpen- 
dicularls  ;  TI  pars  ejus  vi 
presslonis,  qua  corpus  urget 
superficlem  vicissimque  urgetur  versus  M  a  superficie,  proportionalis ; 


.-•■' 

0 

, 

:^^1^ 

M 

\   y 

!./:>"■■■ 

N 

-1 

i  \~^~~— — — 

K 

^ 

1 V 

r\ 

\ 

C 

158 


DE  MOTU  CORPORUM 


P  TF  recta  axi  parallela  per  corpus  transiens,  &.  G  F,  I H  rectae  a 

punctis  6^  &  /  in  parallelam  illam  P/f /'T^perpendiculariter  demissae. 

Dico  jam,  quod  area  A  O  P,  radio  (9P  ab  initio  motus  descripta,  sit 

tempori  proportionalis.      Nam  vis   TG  (per  legum  corol.   2)    resol- 

vitur  in  vires  T F,  FG ;  &  vis  TI  in  vires   TH,  H I.    Vires  autem 

TF,  TH  agendo  secundum  lineam  P  F  plano  AOP  perpendicu- 

larem     mutant     solummodo 

motum     corporis     quatenus 

huic  plano  perpendicularem. 

Ideoque  motus  ejus  quatenus 

secundum   positionem  plani 

factus,  hoc  est,  motus  puncti 

P,  quo  trajectoriae  vestigium 

APm  hoc  plano  describitur, 

idem   est   ac  si   vires    T F, 

TH  tollerentur,    &   corpus 

solis  viribus  FG^  H I  agi- 

taretur;  hoc  est,  idem  ac  si 

corpus  in  plano  A  O  P,  vi 

centripeta    ad    centrum    O 

tendente  &  summam  virium 

FG  8l  HI  aequante,  des- 

criberet  curvam  A  P,     Sed 

vi  tah  describitur  area  A  OP 

(per  prop.  i)  tempori  proportionalis.     Q.  E.  D. 

Corol.  Eodem  argumento  si  corpus,  a  viribus  agitatum  ad  centra 
duo  vel  plura  in  eadem  quavis  recta  C  O  data  tendentibus,  descri- 
beret  in  spatio  Hbero  Hneam  quamcunque  curvam  6^  T ;  foret  area 
A  O  P  tempori  semper  proportionalis. 


LIBER  PRIMUS. 


'59 


r 


PROPOSITIO   LVI.     PROBLEMA    XXXVII. 

Concessis  figurarum  curvilinearum  qtcadraturis,  datisque  tum  lege  vis 
centripetcB  ad  centrtim  datum  teftdentisy  tum  stcperficie  curva  cujus 
axis  per  centrum  illud  transit ;  invenienda  est  trajectoria  quam 
corpus  in  eadem  superficie  descridet,  de  loco  dato,  data  cum  velocitatey 
versus  plagam  in  superficie  illa  datam  egressum. 

Stantibus  quae  in  superiore  propositione  constructa  sunt,  exeat 
corpus  T  de  loco  dato  .S  secundum  rectam  positione  datam  in 
trajectoriam  inveniendam  S  TR,  cujus  vestigium  in  plano  B  L  O  s\t 
A  P.  Et  ex  data  corporis  velocitate  in  altitudine  ^S  C,  dabitur  ejus 
velocitas  in  alia  quavis  alti- 
tudine  TC.  Ea  cum  velo- 
citate  dato  tempore  quam 
minimo  describat  corpus  tra- 
jectoriae  suae  particulam  Tt, 
sitque  Pp  vestigium  ejus  in 
plano  A  O  P  descriptum. 
Jungatur  Op,  &  circelli  cen- 
tro  T  intervallo  T  t  in 
superficie  curva  descripti 
vestigium  in  plano  A  OP  sit 
ellipsis  /  Q.  Et  ob  datum 
magnitudine  circellum  Tt, 
datamque  ejus  ab  axe  CO 
distantiam  TN  vel  PO,  da- 
bitur  ellipsis  illa  /  Q  specie 
&  magnitudine,  ut  &  positi- 
one  ad  rectam  P  O.  Cum- 
que  area  P  O p  sit  tempori  proportionalis,  atque  ideo  ex  dato  tempore 
detur,  dabitur  angulus  POp,  Et  inde  dabitur  ellipseos  &  rectse 
Op  intersectio  communis  /,  una  cum  angulo  O  Pp  in  quo  trajec- 
toriae   vestigium   APp  secat  lineam  O  P.       Inde  vero  (conferendo 


1 6o  DE  MOTU  CORPOR  UM 

prop.  XLi  cum  corol.  suo  2)  ratio  determinandi  curvam  A  Pp  facile 
apparet.  Tum  ex  singulis  vestigii  punctis  P,  erigendo  ad  planum 
A  O  P  perpendicula  P  7"  superficiei  curvae  occurrentia  in  T,  dabuntur 
singula  trajectoriae  puncta  T.     Q.  E.  /. 


SECTIO    XI. 

De  motu  corporum  viribus  centripetis  se  mutuo  petentium. 

Hactenus  exposui  motus  corporum  attractorum  ad  centrum 
immobile,  quale  tamen  vix  extat  in  rerum  natura.  Attractiones  enim 
fieri  solent  ad  corpora;  &  corporum  trahentium  &  attractorum 
actiones  semper  mutuae  sunt  &  aequales,  per  legem  tertiam  :  adeo 
ut  neque  attrahens  possit  quiescere  neque  attractum,  si  duo  sint 
corpora,  sed  ambo  (per  legum  corollarium  quartum)  quasi  attractione 
mutua,  circum  gravitatis  centrum  commune  revolvantur  :  &  si  plura 
sint  corpora,  quae  vel  ab  unico  attrahantur,  &  idem  attrahant,  vel 
omnia  se  mutuo  attrahant;  haec  ita  inter  se  moveri  debeant,  ut 
gravitatis  centrum  commune  vel  quiescat,  vel  uniformiter  moveatur  in 
directum.  Qua  de  causa  jam  pergo  motum  exponere  corporum  se 
mutuo  trahentium,  considerando  vires  centripetas  tanquam  attrac- 
tiones,  quamvis  fortasse,  si  physice  loquamur,  verius  dicantur 
impulsus.  In  mathematicis  enim  jam  versamur;  &  propterea,  missis 
disputationibus  physicis,  famihari  utimur  sermone,  quo  possimus  a 
lectoribus  mathematicis  faciHus  intelHgi. 

PROPOSITIO    LVII.     THEOREMA    XX. 

Corpora  duo  se  invicem   trahentia   describunt,    &  circum   commune 
centrum  gravitatis,  &  circum  se  mutuo,  figuras  similes. 

Sunt  enim  distantiae  corporum  a  communi  gravitatis  centro 
reciproce  proportionales  corporibus ;  atque  ideo  in  data  ratione  ad 
invicem,  &  componendo  in  data  ratione  ad  distantiam  totam  inter 
corpora.       Feruntur   autem   hae   distantiae   circum    terminum    suum 


LIBER  PRIMUS. 


l6l 


communem  sequali  motu  angulari,  propterea  quod  in  directum  semper 
jacentes  non  mutant  inclinationem  ad  se  mutuo.  Linese  autem 
rectae,  quae  sunt  in  data  ratione  ad  invicem,  &  aequali  motu  angulari 
circum  terminos  suos  feruntur,  figuras  circum  eosdem  terminos 
in  planis,  quae  una  cum  his  terminis  vel  quiescunt,  vel  motu  quovis 
non  angulari  moventur,  describunt  omnino  similes.  Proinde 
similes  sunt  figurae,  quae  his  distantiis  circumactis  describuntur. 
Q.  E.  D. 


PROPOSITIO   LVIII.      THEOREMA    XXI. 

Si  corpora  dtio  vlribus  qicibicsvis  se  mutiio  trahtmt,  &  interea 
revolvimttcr  ciixa  gravitatis  centrimi  commime:  dico  qtcod  Jiguris^ 
qicas  corpora  sic  mota  describicnt  circum  se  mtittco,  potest  figtcra 
similis  &  ceqicalis,  circtcm  corpics  alterutrum  immoticm,  viribtcs 
iisdem  describi, 

Revolvantur  corpora  S,  P  circa  commune  gravitatis  centrum  C, 
pergendo  de  6*  ad  T,  deque  P  2id  Q.  A  dato  puncto  ^  ipsis  S  Py 
T Q  aequales  &  parallelae  ducantur  semper  spy  sq ;  &  curva  pqVy 
quam  punctum  p  revolvendo  circum  punctum  immotum  s  describit, 
erit  simiHs  &  aequaHs  curvis,  quas  corpora  Sy  P  describunt  circum 
se  mutuo  :  proindeque  (per  theor.  xx)  similis  curvis  S  T  &  P  Q  V^ 


5-.::: 


/ 


quas  eadem  corpora  describunt  circum  commune  gravitatis  centrum 
C:  idque  quia  proportiones  Hnearum  S  C,  CP,  8l  SP  vel  sp  ad 
invicem  dantur. 

Cas.  I.  Commune  iHud  gravitatis  centrum  C,  per  legum  corol- 
larium  quartum,  vel  quiescit,  vel  movetur  uniformiter  in  directum. 
Ponamus  primo,   quod  id    quiescit,   inque  s   &  p   locentur   corpora 

L 


i62  DE  MOTU  CORPORUM 


duo,  immobile  in  s,  mobile  in/,  corporibus  S  &  P  similia  &  aequalia. 
Dein  tangant  rect^  P  R  &l  pr  curvas  P  Q  &,  p  (/  in  P  8^  p,  & 
producantur  CQ&s^SidP&r.  Et  ob  similitudinem  figurarum 
CPPQ,  sprq  erit  RQ  2id  rq  ut  CP  ad  sp,  ideoque  in  data 
ratione.  Proinde  si  vis,  qua  corpus  P  versus  corpus  S,  atque  ideo 
versus  centrum  intermedium  C  attrahitur,  esset  ad  vim,  qua  corpus 
p  versus  centrum  s  attrahitur,  in  eadem  illa  ratione  data ;  hae  vires 
sequalibus  temporibus  attraherent  semper  corpora  de  tangentibus 
PRypr  ad  arcus  PQ,  pq  per  intervalla  ipsis  proportionalia  RQ, 
rq,  ideoque  vis  posterior  efficeret,  ut  corpus  /  gyraretur  in  curva 
pqVy  quae  similis  esset  curvse  P  QV/in  qua  vis  prior  efficit,  ut  corpus 
P  gyretur;  &  revolutiones  iisdem  temporibus  complerentur.  At 
quoniam  vires  illse  non  sunt  ad  invicem  in  ratione  CP  ad  sp,  sed 
(ob  similitudinem  &  aequalitatem  corporum  S  &  s,  P  &  p,  & 
aequalitatem  distantiarum  SP,  sp)  sibi  mutuo  aequales ;  corpora 
aequalibus  temporibus  aequaliter  trahentur  de  tangentibus:  &  propterea, 


ut  corpus  posterius  /  trahatur  per  intervallum  majus  rq,  requiritur 
tempus  majus,  idque  in  subduplicata  ratione  intervallorum ;  propterea 
quod  (per  lemma  decimum)  spatia  ipso  motus  initio  descripta  sunt 
in  duplicata  ratione  temporum.  Ponatur  igitur  velocitas  corporis  p 
esse  ad  velocitatem  corporis  P  in  subduplicata  ratione  distantiae  sp 
ad  distantiam  C  P,  eo  ut  temporibus,  quae  sint  in  eadem  subduplicata 
ratione,  describantur  arcus  pq,  P  Q,  qui  sunt  in  ratione  integra  :  Et 
corpora  P,  p  viribus  aequalibus  semper  attracta  describent  circum 
centra  quiescentia  C  &  s  figuras  similes  P  Q  V,  pqv,  quarum 
posterior  p  qv  similis  est  &  aequalis  figurae,  quam  corpus  P  circum 
corpus  mobile  S  describit.     Q.  E.  D, 

Cas.   2.   Ponamus  jam   quod    commune   gravitatis    centrum,    una 
cum   spatio  in  quo  corpora  moventur  inter  se,  progreditur  unifor- 


LIBER  PRIMUS. 


163 


miter  In  dlrectum  ;  &  (per  legum  corollarium  sextum)  motus  omnes 
in  hoc  spatio  peragentur  ut  prius,  ideoque  corpora  describent  clrcum 
se  mutuo  figuras  easdem  ac  prius,  &  propterea  ^gwx^pqv  similes  & 
aequales.     Q.  E.  D, 

Co7^ol.  I.  Hinc  corpora  duo  virlbus  distantiae  suse  proportionalibus 
se  mutuo  trahentia,  describunt  (per  prop.  x)  &  circum  commune 
gravltatls  centrum,  &  clrcum  se  mutuo,  elHpses  concentricas  ;  &  vice 
versa,  si  tales  figurae  describuntur,  sunt  vlres  distantiae  proportionales. 

Co7^ol.  2.  Et  corpora  duo,  viribus  quadrato  distantiae  suae  reciproce 
proportionalibus,  descrlbunt  (per  prop.  xi,  xii,  xiii)  &  clrcum 
commune  gravitatis  centrum,  &  clrcum  se  mutuo,  sectiones  conlcas 
umblHcum  habentes  In  centro,  clrcum  quod  figurae  describuntur.  Et 
vice  versa,  sl  tales  figurae  descrlbuntur,  vires  centripetae  sunt  quadrato 
distantiae  reciproce  proportlonales. 

Co7'ol.  3.  Corpora  duo  quaevis  clrcum  gravitatis  centrum  commune 
gyrantia,  radlls  &  ad  centrum  illud  &  ad  se  mutuo  ductls,  describunt 
areas  temporlbus  proportlonales. 


PROPOSITIO    LIX.     THEOREMA    XXII. 

Corporiim  duoriim  S  cS^  P,  circa  co^nmune  gravitatis  centrttm  C 
revolventium,  tempus  periodicum  esse  ad  tempus  periodicum  corporis 
alterutrius  P,  circa  alterum  immotum  S  gyrantis,  &  Jigtcris,  qtue 
corpora  circum  se  7nutuo  describunt,  figura^n  simile^n  &  csqualem 
describentis,  i7t  subduplicata  ratio7ie  corporis  alterius  S,  ad  summam 
corporum  S  +  P. 

Namque,  ex  demonstratlone  superloris  propositionls,  tempora, 
quibus  arcus  quivis  slmlles  P  Q  8l  p  q  describuntur,  sunt  in  subdupH- 
cata  ratione  distantiarum  C P  &  SP  vel  sp,  hoc  est,  in  subdupHcata 
ratlone  corporis  6^  ad  summam  corporum  S-\-P,  Et  componendo, 
summae  temporum  quibus  arcus  omnes  similes  PQ  Sipq  descrlbuntur, 
hoc  est,  tempora  tota,  quibus  figurae  totae  similes  describuntur,  sunt  in 
eadem  subdupHcata  ratione.     Q.  E,  D, 


1 64  ^E  MOTU  CGRPOR  UM 


PROPOSITIO    LX.      THEOREMA    XXIII. 

Si  corpora  duo  S  &  V,  viribtcs  qtiadrato  dista^itice  stccs  reciproce 
proportionalibics,  se  micttco  trahentia,  revolvicnticr  circa  gravitatis 
centricin  commtcne :  dico  qtcod  ellipseos,  qicam  corpics  alterictrtim  P 
hoc  motic  circa  alterum  S  describit,  axis  principalis  erit  ad  axe77t 
p7nncipalem  ellipseos,  qtcam  corp2cs  idem  P  circa  altertcm  qtciescens  S 
eodem  tempore  periodico  describere  posset,  ut  stcmma  corporum 
duorum  S  +  P  ad primtcm  duorum  medie  proportionalium  inter  hanc 
summam  &  corpus  illicd  altericm  S. 

Nam  si  descriptse  elllpses  essent  sibi  invicem  aequales,  tempora 
periodica  (per  theorema  superius)  forent  in  subduplicata  ratlone 
corporis  6^  ad  summam  corporum  S-\-P.  Minuatur  in  hac  ratlone 
tempus  periodicum  in  ellipsi  posteriore,  &  tempora  perlodlca  evadent 
sequalla ;  elllpseos  autem  axis  principalis  (per  prop.  xv)  mlnuetur  in 
ratione,  cujus  hsec  est  sesquiplicata,  id  est  in  ratlone,  cujus  ratio  6^  ad 
S^P  est  trlpllcata;  ideoque  erit  ad  axem  princlpalem  elllpseos 
alterlus,  ut  prlmum  duorum  medie  proportionalium  inter  S-\-P  &l  S 
ad  S-\-P,  Et  inverse,  axis  principaHs  ellipseos  circa  corpus  mobile 
descriptae  erit  ad  axem  princlpalem  descrlptae  clrca  immoblle,  ut 
kS+P  ad  primum  duorum  medie  proportionaHum  inter  S-\-P  &  6^. 
Q.  E,  D. 


PROPOSITIO    LXI.      THEOREMA    XXIV. 

Si  corpora  dico  viribtcs  quibusvis  se  mutuo  trahefitia,  7ieque  alias 
agitata  vel  impedita,  quomodoctcnque  moveanttcr ;  mottcs  eorum 
perifide  se  habebunt,  ac  si  non  t7'aherent  se  mutuo,  sed  utrumque  a 
corpore  tertio  in  communi  gravitatis  centro  constituto  viribus  iisdem 
traheretur.  Et  viriiim  t^^ahentium  eadem  erit  lex  respectu  distantice 
corpoi^um  a  centro  illo  com^nuni  atque  respecttc  distanticB  totius  inter 
corpora. 


J 


LIBER  PRIMUS. 


165 


Nam  vlres  Ulae,  quibus  corpora  se  mutuo  trahunt,  tendendo  ad 
corpora,  tendunt  ad  commune  gravitatis  centrum  intermedium ; 
ideoque  eaedem  sunt,  ac  si  a  corpore  intermedio  manarent.     Q.E.D. 

Et  quoniam  datur  ratio  distantiae  corporis  utriusvis  a  centro 
illo  communi  ad  distantiam  inter  corpora,  dabitur  ratio  cujusvis 
potestatis  distantiae  unius  ad  eandem  potestatem  distantiae  alterius  ; 
ut  &  ratio  quantitatis  cujusvis,  quae  ex  una  distantia  &  quantitatibus 
datis  utcunque  derivatur,  ad  quantitatem  aliam,  quae  ex  altera 
distantia,  &  quantitatibus  totidem  datis,  datamque  illam.  distantiarum 
rationem  ad  priores  habentibus  simiHter  derivatur.  Proinde  si  vis, 
qua  corpus  unum  ab  altero  trahitur,  sit  directe  vel  inverse  ut 
distantia  corporum  ab  invicem ;  vel  ut  quaehbet  hujus  distantiae 
potestas ;  vel  denique  ut  quantitas  quaevis  ex  hac  distantia  8z: 
quantitatibus  datis  quomodocunque  derivata  :  erit  eadem  vis,  qua 
corpus  idem  ad  commune  gravitatis  centrum  trahitur,  directe  itidem 
vel  inverse  ut  corporis  attractl  dlstantia  a  centro  illo  communi,  vel 
ut  eadem  distantiae  hujus  potestas,  vel  denique  ut  quantltas  ex  hac 
distantia  &  analogis  quantltatibus  datls  slmlHter  derivata.  Hoc  est 
vis  trahentis  eadem  erit  lex  respectu  distantlae  utriusque.     Q.E.D, 


PROPOSITIO    LXII.      PROBLEMA    XXXVIII. 

Corportim  dtcoriim^  quce  viribus  qicadrato  distantics  sucb  reciproce 
proportionalibus  se  mtciuo  traktmt,  ac  de  locis  datis  demittuntur, 
determinare  7notus. 

Corpora  (per  theorema  novlsslmum)  perlnde  movebuntur,  ac  si 
a  corpore  tertlo  In  communl  gravltatis  centro  constltuto  traherentur  ; 
&  centrum  Illud  ipso  motus  initlo  qulescet  per  hypothesln ;  & 
propterea  (per  legum  corol.  4)  semper  quiescet.  Determlnandi  sunt 
igitur  motus  corporum  (per  prob:  xxv)  perlnde  ac  sl  a  viribus  ad 
centrum  illud  tendentibus  urgerentur,  &  habebuntur  motus  corporum 
se  mutuo  trahentlum.     Q.  E.  /. 


l66  D^  MOTU  CORPORUM 


PROPOSITIO    LXIII.     PROBLEMA    XXXIX. 

Corporum  '  duorum^  qucs  viribus  quadrato  distautice  suce  reciproce 
proportionalibus  se  mutuo  trahunt,  deque  locis  datis,  secundum  datas 
rectas,  datis  cum  velocitatibus  exeunt,  determi^iare  motus, 

Ex  datis  corporum  motlbus  sub  inltlo,  datur  unlformls  motus 
centri  communis  gravitatis,  ut  &  motus  spatll,  quod  una  cum  hoc 
centro  movetur  unlformlter  in  dlrectum,  nec  non  corporum  mo- 
tus  inltiales  respectu  hujus  spatli.  Motus  autem  subsequentes 
(per  legum  corollarium  qulntum,  &  theorema  novlsslmum)  perlnde 
fiunt  In  hoc  spatlo,  ac  si  spatlum  Ipsum  una  cum  communi  illo 
gravitatis  centro  qulesceret,  &  corpora  non  traherent  se  mutuo, 
sed  a  corpore  tertio  sito  in  centro  illo  traherentur.  Corporis  igltur 
alterutrius  in  hoc  spatio  mobill,  de  loco  dato,  secundum  datam 
rectam,  data  cum  velocltate  exeuntls,  &  vi  centrlpeta  ad  centrum 
illud  tendente  correpti,  determlnandus  est  motus  per  problema 
nonum  &  vicesimum  sextum:  &  habebltur  simul  motus  corporls 
alterius  circum  idem  centrum.  Cum  hoc  motu  componendus  est 
uniformls  ille  systematis  spatii  &  corporum  In  eo  gyrantium  motus 
progresslvus  supra  inventus,  &  habebitur  motus  absolutus  corporum 
in  spatio  Immoblli.     Q.E.I. 


PROPOSiriO  LXIV.   PROBLEMA  XL. 

Viribus  quibus  corpo^^a  se  muttco  tra/iunt  crescentibus  in  simplici 
ratione  distantiarum  a  centris:  requiruntur  motus  plurijim  cor- 
porum  hiter  se. 

Ponantur  prlmo  corpora  duo  T  8i  L  commune  habentla  gravitatis 
centrum  D.  Descrlbent  ha^c  (per  corollarlum  prlmum  theore- 
matis  xxi)  ellipses  centra  habentes  in  D,  quarum  magnitudo  ex 
problemate  v  innotesclt. 

Trahat  jam  corpus  tertium  6^  prlora  duo  T  &l  L  vlribus  accelera- 
tricibus  kS'  7",  ^'Z,  &  ab  ipsis  vicissim  trahatur.     Vis  6^  T  (per  legum 


)T 


LIBER  PRIMUS.  157 

corol.  2)  resolvltur  In  vlres  SD,  DT;  &  vls  SL  In  vlres  SD,  DL. 
Vlres  autem  D  T,  D  L,  quae  sunt  ut  Ipsarum  summa  T L,  atque 
ideo  ut  vlres  acceleratrlces  qulbus  corpora  T  81  L  se  mutuo  trahunt, 
addltae  hls  vlrlbus  corporum  T  &  L,  prlor  prlori  &  posterlor  poste- 
rlorl,  componunt  vlres  dis- 
tantlls  D  T  2ic  DL  propor-       | 

tlonales,  ut  prlus,  sed  vlribus  s  A ^r \^ 

prlorlbus    majores  ;     ideoque       j  \g  \ 

(per    corol.     i     prop.    x,    &       j  \  \ 

corol.    I    &  8  prop.  iv)   effi-       |  \  \ 

ciunt  ut  corpora   illa  descri-        j  \  \ 

bant    elllpses    ut   prlus,    sed  \^ 

motu  celeriore.     Vlres  reliquae  ^^ 

acceleratrices  S D  8c  SD,  actionlbus  motricibus  SDx  T Sc  SDxL, 
quae  sunt  ut  corpora,  trahendo  corpora  illa  aequaliter  &  secundum 
lineas  TL,  L  K,  ipsi  D  S  parallelas,  nil  mutant  situs  eorum  ad  invi- 
cem,  sed  faciunt  ut  ipsa  aequaHter  accedant  ad  llneam  L  K ;  quam 
ductam  conclpe  per  medium  corporis  S,  &  linese  D  S  perpendlcu- 
larem.  Impedletur  autem  iste  ad  lineam  L K  accessus  faciendo  ut 
systema  corporum  T  8>c  L  q:x  una  parte,  &  corpus  6^  ex  altera, 
justls  cum  velocitatibus,  gyrentur  circa  commune  gravltatls  centrum 
C.  TaH  motu  corpus  S,  eo  quod  summa  vlrium  motricium  SDxT 
&  SDxLj  dlstantlae  C 6"  proportlonaHum,  tendit  versus  centrum  C, 
describit  enipsln  circa  idem  C;  &  punctum  D,  ob  proportionales 
CS,  CD,  descrlbet  elHpsin  consimilem  e  reglone.  Corpora  autem 
T8c  L,  viribus  motricibus  SDx  T &  SDxL,  prius  priore,  posterius 
posteriore,  aequaHter  &  secundum  Hneas  paraHelas  TL  &  L  K,  ut 
dlctum  est,  attracta,  pergent  (per  legum  coroHarium  quinturti  & 
sextum)  circa  centrum  mobile  D  elHpses  suas  describere,  ut  prius. 
Q.B.L 

Addatur  jam  corpus  quartum  F,  &  simlH  argumento  concludetur 
hoc  &  punctum  C  eHIpses  clrca  omnlum  commune  centrum  gra- 
vltatis  B  descrlbere ;  manentibus  motlbus  priorum  corporum  Z) 
L  &  S  circa  centra  D  8l  C,  sed  acceleratis.  Et  eadem  methodo 
corpora  plura  adjungere  Hcebit.     Q.  E.  L. 

Haec  ita  se  habent,  etsi  corpora  T  8l  L  trahunt  se  mutuo  vlribus 
acceleratricibus  majoribus  vel  mlnoribus  quam  quibus  trahunt  corpora 


DE  MOTU  CORPORUM 


reliqua  pro  ratione  distantiarum.     Sunto  mutuae   omnium  attractio- 
nes  acceleratrices  ad  invicem  ut  distantiae  ductae  in  corpora  trahentia, 
&  ex  praecedentibus  facile  deducetur  quod  corpora  omnia  aequalibus 
temporibus  periodicis  ellipses  varias,  circa  omnium  commune  gravitatis^^ 
centrum  B,  in  plano  immobili  describunt.     Q.  E,  I. 


PROPOSITIO    LXV.      THEOREMA    XXV. 

Corpora  phcra,  quoriim  vires  decrescunt  in  dtiplicata  ratione  distan- 
tiarum  ab  eorundem  centris,  moveri  posse  inter  se  in  ellipsib^cs ;  & 
radiis  ad  umbilicos  ductis  areas  describere  temporibus  proportionales 
quam  proxime, 

In  propositione  superiore  demonstratus  est  casus  ubi  motus  plures 
peraguntur  in  ellipsibus  accurate.  Quo  magis  recedit  lex  virium  a 
lege  ibi  posita,  eo  magis  corpora  perturbabunt  mutuos  motus  ;  neque 
fieri  potest,  ut  corpora,  secundum  legem  hic  positam  se  mutuo 
trahentia,  moveantur  in  elHpsibus  accurate,  nisi  servando  certam 
proportionem  distantiarum  ab  invicem.  In  sequentibus  autem  casibus 
non  multum  ab  elhpsibus  errabitur. 

Cas.  I.  Pone  corpora  plura  minora  circa  maximum  aliquod  ad 
varias  ab  eo  distantias  revolvi,  tendantque  ad  singula  vires  absolutae 
proportionales  iisdem  corporibus.  Et  quoniam  omnium  commune 
gravitatis  centrum  (per  legum  corol.  quartum)  vel  quiescit  vel 
movetur  uniformiter  in  directum,  fingamus  corpora  minora  tam  parva 
esse,  ut  corpus  maximum  nunquam  distet  sensibihter  ab  hoc  centro  : 
&  maximum  illud  vel  quiescet,  vel  movebitur  uniformiter  in  direc- 
tum,  sine  errore  sensibili ;  minora  autem  revolventur  circa  hoc 
maximum  in  ellipsibus,  atque  radiis  ad  idem  ductis  describent  areas 
temporibus  proportionales ;  nisi  quatenus  errores  inducuntur,  vel 
per  errorem  maximi  a  communi  illo  gravitatis  centro,  vel  per  ac- 
tiones  minorum  corporum  in  se  mutuo.  Diminui  autem  possunt 
corpora  minora,  usque  donec  error  iste,  &  actiones  mutuae  sint  datis 
quibusvis  minores ;  atque  ideo  donec  orbes  cum  elHpsibus  quadrent, 
&  areae  respondeant  temporibus,  sine  errore,  qui  non  sit  minor 
quovis  dato.     Q.E.O. 


LIBER  PRIMUS. 


169 


Cas.  2.  Flngamus  jam  systema  corporum  minorum  modo  jam 
descrlpto  clrca  maximum  revolventium,  alludve  quodvls  duorum  cir- 
cum  se  mutuo  revolventlum  corporum  systema  progredl  unlformlter 
in  dlrectum,  &  interea  vl  corporls  alterlus  longe  maxlmi  &  ad 
magnam  distantlam  sitl  urgeri  ad  latus.  Et  quoniam  sequales  vlres 
acceleratrlces,  qulbus  corpora  secundum  llneas  parallelas  urgentur, 
non  mutant  sltus  corporum  ad  Invicem,  sed  ut  systema  totum, 
servatis  partlum  motibus  inter  se,  slmul  transferatur,  efficlunt  : 
manlfestum  est,  quod  ex  attractlonlbus  in  corpus  maxlmum  nulla 
prorsus  orletur  mutatio  motus  attractorum  inter  se,  nisi  vel  ex  attrac- 
tlonum  acceleratricum  inaequalitate,  vel  ex  incllnatione  linearum  ad 
invlcem,  secundum  quas  attractlones  fiunt.  Pone  ergo  attractlones 
omnes  acceleratrices  in  corpus  maxlmum  esse  inter  se  reciproce  ut 
quadrata  distantiarum ;  &  augendo  corporis  maximi  dlstantiam, 
donec  rectarum  ab  hoc  ad  rellqua  ductarum  dlfferentlae  respectu 
earum  longltudlnls  &  incllnationes  ad  invicem  mlnores  slnt,  quam 
datai  qusevls ;  perseverabunt  motus  partlum  systematls  inter  se  sine 
errorlbus,  qul  non  sint  qulbusvis  datls  minores.  Et  quoniam,  ob 
exiguam  partlum  illarum  ab  invlcem  dlstantiam,  systema  totum  ad 
modum  corporis  unlus  attrahltur ;  movebltur  idem  hac  attractione  ad 
modum  corporls  unius ;  hoc  est,  centro  suo  gravltatis  descrlbet  circa 
corpus  maxlmum  sectlonem  aHquam  conlcam  (viz.  hyperbolam  vel 
parabolam  attractione  langulda,  enipsln  fortiore)  &  radio  ad  maxlmum 
ducto  descrlbet  areas  temporlbus  proportlonales,  slne  ulHs  erroribus, 
nlsl  quas  partium  dlstantlse,  perexiguae  sane  &  pro  lubltu  minuendae, 
valeant  efficere.     Q.  E.  O. 

SimlH  argumento  pergere  Hcet  ad  casus  magls  composltos  in 
infinltum. 

Corol.  I.  In  casu  secundo,  quo  propius  accedit  corpus  omnium 
maximum  ad  systema  duorum  vel  plurium,  eo  magis  turbabuntur 
motus  partlum  systematls  inter  se ;  propterea  quod  Hnearum  a  cor- 
pore  maxlmo  ad  has  ductarum  jam  major  est  incHnatio  ad  invicem, 
majorque  proportlonis  InaequaHtas. 

Corol.  2.  Maxime  autem  turbabuntur,  ponendo  quod  attractiones 
acceleratrices  partium  systematis  versus  corpus  omnium  maxlmum 
non  slnt  ad  invicem  reclproce  ut  quadrata  distantlarum  a  corpore 
IHo  maxlmo ;   praesertlm  si   proportionis  hujus  InzequaHtas  major  slt 


170 


DE  MOTU  CORPORUM 


quam  inaequalltas  proportionis  distantiarum  a  corpore  maximo.  Nam 
si  vis  acceleratrix,  aequaliter  &  secundum  lineas  parallelas  agendo, 
nil  perturbat  motus  inter  se,  necesse  est,  ut  ex  actionis  inaequalitate 
perturbatio  oriatur,  majorque  sit,  vel  minor  pro  majore,  vel  minore 
insequalitate.  Excessus  impulsuum  majorum,  agendo  in  aliqua  cor- 
pora  &  non  agendo  in  alia,  necessario  mutabunt  situm  eorum  inter 
se.  Et  haec  perturbatio  addita  perturbationi,  quee  ex  linearum 
inclinatione  &  inaequalitate  oritur,  majorem  reddet  perturbationem 
totam. 

Corol.  3.  Unde  si  systematis  hujus  partes  in  ellipsibus,  vel  circulis 
sine  perturbatione  insigni  moveantur;  manifestum  est,  quod  eaedem 
a  viribus  acceleratricibus,  ad  aha  corpora  tendentibus,  aut  non 
urgentur  nisi  levissime,  aut  urgentur  aequaHter  &  secundum  Hneas 
paraHelas  quamproxime. 


PROPOSITIO    LXVI.      THEOREMA    XXVI. 

Si  corpora  hda,  qtiorum  vires  decresmnt  in  dnplicata  ratio7te  dis- 
tantiarum,  se  mutuo  traha?it ;  &  attractiones  acceleratrices  binorum 
quorumcunque  i^i  tertitim  sint  inter  se  reciproce  7it  quadrata  dis- 
tantiarum ;  minora  autem  circa  maxi^num  revolvantur :  dico 
quod  interius  circa  intimu7n  &  maximum,  radiis  ad  ipsu77t  ductis, 
describet  areas  te^nporibzis  magis  proportio7tales,  &  figtcram  ad 
formam  ellipseos  tmibilicicm  i7i  C07ic7crsu  radioriwt  habe7itis  magis 
accedentem,  si  corptcs  mxximum  his  att7-actio7iibtcs  agitetur,  quam 
si  maximum  illtcd  vel  a  mi^toribus  non  att7^actu77i  qtciescat,  vel  7nulto 
mi7itcs  vel  mtclto  magis  attractzcm,  aut  multo  fuinus  aut  7nulto  magis 
agitettcr. 

Llquet  fere  ex  demonstratlone  coronarii  secundi  propositionls 
praecedentis  ;  sed  argumento  magis  distincto  &  latius  cogente  sic 
evincitur. 

Cas.  I.  Revolvantur  corpora  minora  P  &l  S  m  eodem  plano  circa 
maximum  T,  quorum  P  describat  orbem  interiorem  P  A  B,  81  S  ^x- 


LIBER   PRmUS. 


171 


terlorem  E  S E.  Slt  S K  medlocrls  distantia  corporum  P  &  S;  8c 
corporls  P  versus  6"  attractio  acceleratrix,  in  mediocrl  illa  distantia, 
exponatur  per  eandem.  In  dupllcata  ratione  SK  ad  SP  caplatur 
SL  ad  SK,  &  erlt  S  L  attractlo  acceleratrlx  corporis  P  versus  6^  in 
dlstantla  quavls  S  P.  Junge  P  T,  elque  parallelam  age  L  M  occur- 
rentem  6^  7"in  M ;  &  attractio  S  L  resolvetur  (per  legum  corol.  2)  in 
attractiones  S  M,  L  M.  Et  sic  urgebltur  corpus  P  vi  acceleratrice 
triplicl.  Vis  una  tendit  ad  T,  &  orltur  a  mutua  attractlone  corporum 
T  81  P.  Hac  vi  sola  corpus  P  circum  corpus  T,  sive  immotum,  sive 
hac  attractione  agltatum,.  describere  deberet  &  areas,  radlo  P  T, 
temporlbus  proportlonales,  &  ellipsin  cui  umbillcus  est  in  centro 
corporis  T.  Patet  hoc  per  prop.  xi,  &  corollaria  2  &  3  theor.  xxi. 
Vis  altera  est  attractlonis  L  M,    quae  quonlam   tendit  a  P   ad    7", 


S(  ►==-::::::":::  -  -- 


superaddita  vi  priori  coincidet  cum  ipsa,  &  sic  faciet  ut  areae  etiamnum 
temporibus  proportionales  descrlbantur  per  corol.  3  theor.  xxi.  At 
quoniam  non  est  quadrato  distantise  P  T  reciproce  proportionaHs, 
componet  ea  cum  vi  priore  vim  ab  hac  proportione  aberrantem, 
idque  eo  magis,  quo  major  est  proportio  hujus  vls  ad  vim  priorem, 
cseteris  paribus.  Proinde  cum  (per  prop.  xi,  &  per  corol.  2  theor. 
xxi)  vis,  qua  elHpsIs  circa  umblHcum  T  descrlbitur,  tendere  debeat 
ad  umblHcum  iHum,  &  esse  quadrato  dlstantlse  P  T  reciproce 
proportionaHs ;  vis  iHa  composita,  aberrando  ab  hac  proportlone, 
faciet  ut  orbis  PAB  aberret  a  forma  eHIpseos  umblHcum  habentls 
in  T ;  idque  eo  magis,  quo  major  est  aberratio  ab  hac  proportlone ; 
atque  ideo  etiam  quo  major  est  proportio  vis  secundae  Z  J/  ad 
vlm  prlmam,  cseterls  paribus.  Jam  vero  vis  tertia  S M,  trahendo 
corpus  P  secundum  Hneam  Ipsi  6^  T  paraHelam,  componet  cum 
viribus  prioribus  vim,  qu2e  non  ampHus  dirigitur  a  P  in  T ;  quaeque 


172 


DE  MOTU  CORPORUM 


ab  hac  determinatione  tanto  magis  aberrat,  quanto  major  est 
proportio  hujus  tertiae  vis  ad  vires  priores,  caeteris  paribus  :  atque 
ideo  quae.  faciet  ut  corpus  P,  radio  TP^  areas  non  amplius 
temporibus  proportionales  describat ;  atque  ut  aberratio  ab  hac 
proportionaHtate  tanto  major  sit,  quanto  major  est  proportio  vis 
hujus  tertise  ad  vires  caeteras.  Orbis  vero  P  A  B  aberrationem  a 
forma  elliptica  praefata  haec  vis  tertia  duplici  de  causa  adaugebit, 
tum  quod  non  dirigatur  a  P  ad  T,  tum  etiam  quod  non  sit  reciproce 
proportionalis  quadrato  distantiae  P  T  Quibus  intellectis,  manifestum 
est,  quod  areae  temporibus  tum  maxime  fiunt  proportionales,  ubi  vis 
tertia,  manentibus  viribus  caeteris,  fit  minima ;  &  quod  orbis  P  A  B 
tum  maxime  accedit  ad  praefatam  formam  elHpticam,  ubi  vis  tam 
secunda  quam  tertia,  sed  praecipue  vis  tertia  fit  minima,  vi  prima 
manente. 


St^ 


Exponatur  corporis  T  attractio  acceleratrix  versus  S  per  Hneam 
SN ;  &  si  attractiones  acceleratrices  S  M,  S N  aequales  essent;  hae, 
trahendo  corpora  T  8i  P  aequaHter  &  secundum  Hneas  paraHelas,  nil 
mutarent  situm  eorum  ad  invicem.  lidem  jam  forent  corporum 
iHorum  motus  inter  se  (per  legum  corol.  vi)  ac  si  hae  attractiones 
toHerentur.  Et  pari  ratione  si  attractio  SN  minor  esset  attractione 
S  M,  toHeret  ipsa  attractionis  S  M  partem  SN,  8i  maneret  pars  sola 
MNy  qua  temporum  &  arearum  proportionaHtas  &  orbitae  forma 
iHa  eHiptica  perturbaretur.  Et  simiHter  si  attractio  S  N  major  esset 
attractione  S  M,  oriretur  ex  differentia  sola  M  N  perturbatio  propor- 
tionaHtatis  &  orbitae.  Sic  per  attractionem  S  N  reducitur  semper 
attractio  tertia  superior  SM  ad  attractionem  M Ny  attractione 
prima  &  secunda  manentibus  prorsus  immutatis  :  &  propterea  areae 
ac  tempora  ad  proportionaHtatem,  &  orbita  P  A  B  3id  formam  prae- 


LIBER  PRIMUS.  I  73 

fatam  elllptlcam  tum  maxime  accedunt,  ubi  attractio  M N  vel  nulla 
est,  vel  quam  fieri  possit  minima ;  hoc  est,  ubi  corporum  P  81  T 
attractlones  acceleratrlces,  factae  versus  corpus  S,  accedunt  quan- 
tum  fieri  potest  ad  aequalitatem  ;  id  est,  ubi  attractlo  S  N  non  est 
nulla,  neque  minor  minima  attractlonum  omnium  S  My  sed  inter 
attractionum  omnium  S  M  maximam  &  minimam  quasi  mediocris, 
hoc  est,  non  multo  major  neque  multo  minor  attractlone  S K.    Q.E.D. 

Cas.  2.  Revolvantur  jam  corpora  minora  P,  .S  clrca  maximum  T 
in  planis  diversis ;  &  vls  L  M^  agendo  secundum  Hneam  P  T  m 
plano  orbitae  P  A  B  sitam,  eundem  habebit  effectum  ac  prlus,  neque 
corpus  P  de  plano  orbitae  suae  deturbablt.  At  vis  altera  N M^ 
agendo  secundum  Hneam  quae  ipsi  kS  T  parallela  est  (atque  ideo, 
quando  corpus  S  versatur  extra  Hneam  nodorum,  incHnatur  ad 
planum  orbitae  P  A  B)  praeter  perturbationem  motus  in  longitudinem 
jam  ante  expositam,  inducet  perturbationem  motus  in  latitudinem, 
trahendo  corpus  P  de  plano  suae  orbitae.  Et  haec  perturbatio,  in  dato 
quovis  corporum  P  &  7"  ad  invicem  situ,  erit  ut  vis  IHa  generans 
M N,  ideoque  minima  evadet  ubi  M N  est  minlma,  hoc  est  (uti 
jam  exposui)  ubi  attractlo  S N  non  est  multo  major,  neque  multo 
minor  attractione  S  K.     Q.  E.  D. 

Corol.  I.  Ex  his  faclle  coHigitur,  quod,  si  corpora  plura  minora 
P,  S,  R,  &c.  revolvantur  clrca  maximum  T,  motus  corporis  intimi 
P  minlme  perturbabitur  attractionibus  exteriorum,  ubi  corpus  maxi- 
mum  T  pariter  a  caeteris,  pro  ratione  virium  acceleratricum,  attra- 
hitur  &  agitatur,  atque  caetera  a  se  mutuo. 

Corol.  2.  In  systemate  vero  trium  corporum  T,  P,  S,  si  attrac- 
tiones  acceleratrices  binorum  quorumcunque  in  tertium  sint  ad  invicem 
reciproce  ut  quadrata  distantiarum ;  corpus  P,  radio  P  T,  aream 
circa  corpus  T  velocius  describet  prope  conjunctionem  A  &  opposi- 
tlonem  B,  quam  prope  quadraturas  C,  D.  Namque  vis  omnis  qua 
corpus  P  urgetur  &  corpus  T  non  urgetur,  quaeque  non  agit 
secundum  Hneam  P  T  accelerat  vel  retardat  descriptionem  areae, 
perinde  ut  ipsa  in  consequentia  vel  in  antecedentia  dirigitur.  TaHs 
est  vis  N  M.  Haec  in  transitu  corporis  P  a  C  ad  y^  tendit  in 
consequentia,  motumque  accelerat ;  dein  usque  ad  D  in  antecedentia, 
&  motum  retardat;  tum  in  consequentia  usque  ad  B,  8c  ultimo  in 
antecedentla  transeundo  a  ^  ad  C  - 


174  DE  MOTU  CORPORUM 

Corol.  3.  Et  eodem  argumento  patet  quod  corpus  P,  caeteris 
parlbus,  velocius  movetur  in  conjunctione  &  oppositione  quam  in 
quadraturis. 

CoroL  4.  Orbita  corporis  P,  caeteris  paribus,  curvior  est  in  qua- 
draturis  quam  in  conjunctione  &  oppositione.  Nam  corpora  velociora 
minus  deflectunt  a  recto  tramite.  Et  praeterea  vis  K L,  vel  N M, 
in  conjunctione  &  oppositione  contraria  est  vi,  qua  corpus  T  trahit 
corpus  P ;  ideoque  vim  illam  minuit ;  corpus  autem  P  minus  deflectet 
a  recto  tramite,  ubi  minus  urgetur  in  corpus  T, 

Corol.  5.  Unde  corpus  P,  caeteris  paribus,  longius  recedet  a 
corpore  T  in  quadraturis,  quam  in  conjunctione  &  oppositione. 
Haec  ita  se  habent  exckiso  motu  excentricitatis.  Nam  si  orbita 
corporis  P  excentrica  sit,  excentricitas  ejus  (ut  mox  in  hujus  corol.  9 
ostendetur)  evadet  maxima  ubi  apsides  sunt  in  syzygiis ;  indeque 
fieri  potest  ut  corpus  P,  ad  apsidem  summam  appellans,  absit  longius 
a  corpore  T  in  syzygiis  quam  in  quadraturis. 


■"k 


Corol.  6.  Quoniam  vis  centripeta  corporis  centralis  7)  qua  corpus 
P  retinetur  in  orbe  suo,  augetur  in  quadraturis  per  additionem 
vis  L  M,  ac  diminuitur  in  syzygiis  per  ablationem  vis  K L,  81  oh 
magnitudinem  vis  K L,  magis  diminuitur  quam  augetur;  est  autem 
vis  illa  centripeta  (per  corol.  2  prop.  iv)  in  ratione  composita  ex 
ratione  simphci  radii  TP  directe  &  ratione  dupHcata  temporis 
periodici  inverse  :  patet  hanc  rationem  compositam  diminui  per 
actionem  vis  IC L ;  ideoque  tempus  periodicum,  si  maneat  orbis  radius 
TP,  augeri,  idque  in  subdupHcata  ratione,  qua  vis  illa  centripeta 
diminuitur :  auctoque  ideo  vel  diminuto  hoc  radio,  tempus  perio- 
dicum  augeri  magis,  vel  dlminui  minus  quam  in  radii  hujus  ratione 


LIBER  PRIMUS.  17^ 

sesquiplicata  (per  corol.  6  prop.  iv).  Si  vis  illa  corporis  centralis 
paulatim  languesceret,  corpus  P  minus  semper  &  minus  attractum 
perpetuo  recederet  longius  a  centro  T ;  8l  contra,  si  vis  illa  augere- 
tur,  accederet  propius.  Ergo  si  actio  corporis  longinqui  S,  qua  vis 
illa  diminuitur,  augeatur  ac  diminuatur  per  vices  :  augebitur  simul 
ac  diminuetur  radius  TP  per  vices ;  &  tempus  periodicum  auge- 
bitur  ac  diminuetur  in  ratione  composita  ex  ratione  sesquiplicata 
radii,  &  ratione  subduplicata,  qua  vis  illa  centripeta  corporis  centralis 
T,  per  incrementum  vel  decrementum  actionis  corporis  longinqui  S^ 
diminuitur  vel  augetur. 

Co7^oL  7.  Ex  prsemissis  consequitur  etiam,  quod  ellipseos  a  corpore 
P  descriptae  axis,  seu  apsidum  linea,  quoad  motum  angularem, 
progreditur  &  regreditur  per  vices,  sed  magis  tamen  progreditur, 
&  per  excessum  progressionis  fertur  in  consequentia.  Nam  vis  qua 
corpus  P  urgetur  in  corpus  T  in  quadraturis,  ubi  vis  MN  evanuit, 
componitur  ex  vi  Z  J/  &  vi  centripeta,  qua  corpus  T  trahit  corpus 
P.  Vis  prior  L  M,  si  augeatur  distantia  P  T,  augetur  in  eadem  fere 
ratione  cum  hac  distantia,  &  vis  posterior  decrescit  in  duplicata 
illa  ratione,  ideoque  summa  harum  virium  decrescit  in  minore  quam 
dupHcata  ratione  distantise  P  T,  81  propterea  (per  corol.  i  prop.  xlv) 
efiicit  ut  aux,  seu  apsis  summa,  regrediatur.  In  conjunctione  vero 
&  oppositione  vis,  qua  corpus  P  urgetur  in  corpus  T,  differentia  est 
inter  vim,  qua  corpus  T  trahit  corpus  P,  &  vim  K L  ;  81  differen- 
tia  illa,  propterea  quod  vis  K  L  augetur  quamproxime  in  ratione 
distantiae  P  T,  decrescit  in  majore  quam  dupHcata  ratione  distantiae 
P  T%  ideoque  (per  corol.  i  prop.  xlv)  efficit  ut  aux  progrediatur. 
In  locis  inter  syzygias  &  quadraturas  pendet  motus  augis  ex  causa 
utraque  conjunctim,  adeo  ut  pro  hujus  vel  alterius  excessu  progre- 
diatur  ipsa  vel  regrediatur.  Unde  cum  vis  K L  m  syzygiis  sit  quasi 
duplo  major  quam  vis  L  M  m  quadraturis,  excessus  erit  penes  vim 
K L,  transferetque  augem  in  consequentia.  Veritas  autem  hujus  & 
praecedentis  coroHarii  faciHus  intelHgetur  concipiendo  systema  cor- 
porum  duorum  7",  P  corporibus  pluribus  6^,  S,  S,  &c.  in  orbe  E  S  E 
consistentibus,  undique  cingi.  Namque  horum  actionibus  actio  ipsius 
T  minuetur  undique,  decrescetque  in  ratione  plusquam  dupHcata 
distantiae. 


176  DE  MOTU  CORPORUM 

Corol.  8.  Cum  autem  pendeat  apsidum  progressus  vel  regressus 
a  decremento  vls  centripetse  facto  in  majori  vel  minori  quam  du- 
plicata  ratione  distantiae  TP,  in  transitu  corporis  ab  apside  ima  ad 
apsidem  summam ;  ut  &  a  simili  incremento  in  reditu  ad  apsid- 
em  imam ;  atque  ideo  maxirnus  sit  ubi  proportio  vis  in  apside 
summa  ad  vim  in  apside  ima  maxime  recedit  a  duplicata  ratione 
distantiarum  inversa  :  manifestum  est  quod  apsides  in  syzygiis  suis, 
per  vim  ablatitiam  KL  seu  N M^L  M,  progredientur  velocius, 
inque  quadraturis  suis  tardius  recedent  per  vim  addititiam  L  M,  Ob 
diuturnitatem  vero  temporis,  quo  velocitas  progressus  vel  tarditas 
regressus  continuatur,  fit  hsec  insequalitas  longe  maxima. 

CoroL  9.  Si  corpus  aliquod,  vi  reciproce  proportionali  quadrato 
distantiae  suae  a  centro,  revolveretur  circa  hoc  centrum  in  ellipsi ; 
&  mox,  in  descensu  ab  apside  summa  seu  auge  ad  apsidem  imam, 
vis  illa  per  accessum  perpetuum  vis  novse  augeretur  in  ratione  plus- 


r 


g^.::::::::::::-;: A .^... L i^ 


quam  duplicata  distantiae  diminutae  :  manifestum  est  quod  corpus, 
perpetuo  accessu  vis  illius  novae  impulsum  semper  in  centrum, 
magis  vergeret  in  hoc  centrum,  quam  si  urgeretur  vi  sola  crescente  in 
dupHcata  ratione  distantiae  diminutae ;  ideoque  orbem  describeret 
orbe  elliptico  interiorem,  &  in  apside  ima  propius  accederet  ad 
centrum  quam  prius.  Orbis  igitur,  accessu  hujus  vis  novae,  fiet 
magis  excentricus.  Si  jam  vis,  in  recessu  corporis  ab  apside  ima  ad 
apsidem  summam,  decresceret  iisdem  gradibus  quibus  ante  creverat, 
rediret  corpus  ad  distantiam  priorem,  ideoque  si  vis  decrescat  in 
majori  ratione,  corpus  jam  minus  attractum  ascendet  ad  distantiam 
majorem  &  sic  orbis  excentricitas  adhuc  magis  augebitur.  Quare 
si  ratio  incrementi  &  decrementi  vis  centripetae  singulis  revol- 
utionibus     augeatur,     augebitur    semper    excentricitas ;     &    contra, 


LIBER  FRIMUS.  I  7  7 

dimlnuetur  eadem,  si  ratlo  illa  decrescat.  Jam  vero  in  systemate 
corporum  T,  P,  Sy  ubl  apsldes  orbls  P  A  B  sunt  in  quadraturls,  ratlo 
illa  incrementi  ac  decrementi  mlnlma  est,  &  maxima  fit  ubi  apsides 
sunt  In  syzyglls.  Si  apsldes  constltuantur  in  quadraturls,  ratio  prope 
apsides  mlnor  est  &  prope  syzyglas  major  quam  duplicata  dlstantlarum, 
&  ex  ratlone  Illa  majori  oritur  augis  motus  dlrectus,  uti  jam  dlctum 
est.  At  si  consideretur  ratio  incrementi  vel  decrementi  totius  in 
progressu  Inter  apsides,  haec  mlnor  est  quam  dupllcata  dlstantiarum. 
VIs  In  apside  ima  est  ad  vim  In  apslde  summa  In  mlnore  quam 
dupllcata  ratlone  dlstantlae  apsidls  summse  ab  umbillco  elllpseos 
ad  dlstantlam  apsidis  imae  ab  eodem  umblllco  :  &  contra,  ubi 
apsides  constituuntur  in  syzyglis,  vls  in  apside  ima  est  ad  vlm  in 
apside  summa  in  majore  quam  duplicata  ratlone  dlstantlarum.  Nam 
vires  L  M  m  quadraturls  addltae  vlrlbus  corporls  T  componunt 
vires  in  ratlone  minore,  &  vires  K L  m  syzyglls  subductae  a  vlrlbus 
corporls  T  relinquunt  vlres  in  ratione  majore.  Est  igitur  ratlo 
decrementi  &  incrementi  totlus,  in  transltu  inter  apsides,  mlnima  in 
quadraturis,  maxima  in  syzygiis  :  &  propterea  in  transitu  apsldum 
a  quadraturls  ad  syzygias  perpetuo  augetur,  augetque  excentricltatem 
ellipseos ;  inque  transitu  a  syzygiis  ad  quadraturas  perpetuo  diminu- 
itur,  &  excentricitatem  dlminuit. 

Corol.  10.  Ut  ratlonem  ineamus  errorum  in  latitudlnem,  fingamus 
planum  orbls  E  S  T  immobile  manere ;  &  ex  errorum  exposlta  causa 
manifestum  est,  quod  ex  virlbus  N  M,  M L,  quae  sunt  causa  illa  tota, 
vis  M L  agendo  semper  secundum  planum  orbis  P  A  B,  nunquam 
perturbat  motus  in  latltudlnem  ;  quodque  vis  N M,  ubi  nodi  sunt 
in  syzygiis,  agendo  etlam  secundum  idem  orbis  planum,  non  perturbat 
hos  motus ;  ubi  vero  sunt  in  quadraturls,  eos  maxlme  perturbat, 
corpusque  P  de  plano  orbis  sui  perpetuo  trahendo,  minuit  inclinatlo- 
nem  plani  in  transltu  corporis  a  quadraturis  ad  syzygias,  augetque 
vlcissim  eandem  in  transitu  a  syzygiis  ad  quadraturas.  Unde  fit 
ut  corpore  in  syzyglls  exlstente  inclinatio  evadat  omnium  minlma, 
redeatque  ad  priorem  magnitudlnem  circlter,  ubi  corpus  ad  nodum 
proximum  accedit.  At  si  nodi  constituantur  in  octantlbus  post 
quadraturas,  id  est,  inter  C  &  A,  D  81  B,  intelligetur  ex  modo 
exposltis,  quod,  in  transltu  corporis  P  a  nodo  alterutro  ad  gradum 
inde   nonagesimum,  inclinatio   plani   perpetuo   minuitur;    deinde   in 

M 


178  DE  MOTU  CORPOR  UM 

transitu  per  proximos  45  gradus,  usque  ad  quadraturam  proximam, 
inclinatio  augetur,  &  postea  denuo  in  transitu  per  alios  45  gradus, 
usque  ad  nodum  proximum,  diminuitur.  Magis  itaque  diminuitur 
inclinatio  quam  augetur,  &  propterea  minor  est  semper  in  nodo 
subsequente  quam  inpraecedente.  Et  simili  ratiocinio,  inclinatio 
magis  augetur,  quam  diminuitur,  ubi  nodi  sunt  in  octantibus  alteris 
inter  A  &l  D,  B  &  C.  Inclinatio  igitur  ubi  nodi  sunt  in  syzygiis  est 
omnium  maxima.  In  transitu  eorum  a  syzygiis  ad  quadraturas,  in 
singulis  corporis  ad  nodos  appulsibus,  diminuitur;  fitque  omnium 
minima,  ubi  nodi  sunt  in  quadraturis,  &  corpus  in  syzygiis :  dein  crescit 
iisdem  gradibus,  quibus  antea  decreverat ;  nodisque  ad  syzygias  1 
proximas  appulsis,  ad  magnitudinem  primam  revertitur.  ^^H 

CoroL  II.  Quoniam  corpus  P,  ubi  nodi  sunt  in  quadraturis, 
perpetuo  trahitur  de  plano  orbis  sui,  idque  in  partem  versus  vS  in 
transitu  suo  a  nodo  C  per  conjunctionem  A   ad  nodum  D ;  &  in 


r 


g^- 


M 


contrariam  partem  in  transitu  a  nodo  D  per  oppositionem  B  ad 
nodum  C :  manifestum  est,  quod  in  motu  suo  a  nodo  C  corpus  per- 
petuo  recedit  ab  orbis  sui  plano  primo  CDy  usque  dum  perventum  est 
ad  nodum  proximum;  ideoque  in  hoc  nodo,  longissime  distans  a  plano 
illo  primo  CD,  transit  per  planum  orbis  EST  non  in  plani  ilHus 
nodo  altero  D,  sed  in  puncto  quod  inde  vergit  ad  partes  corporis 
S,  quodque  proinde  novus  est  nodi  locus  in  anteriora  vergens.  Et 
simili  argumento  pergent  nodi  recedere  in  transitu  corporis  de  hoc 
nodo  in  nodum  proximum.  Nodi  igitur  in  quadraturis  constituti 
perpetuo  recedunt ;  in  syzygiis,  ubi  motus  in  latitudinem  nil  pertur- 
batur,    quiescunt;    in   locis    intermediis,  conditionis   utriusque  parti- 


LIBER  PRIMUS.  I  ^g 

clpes,  recedunt  tardius  :  ideoque,  semper  vel  retrogradi,  vel  statio- 
narii  singulis  revolutionibus  feruntur  in  antecedentia. 

Corol.  1 2.  Omnes  illi  in  his  corollariis  descripti  errores  sunt  paulo 
majores  in  conjunctione  corporum  P,  S,  quam  in  eorum  oppositione ; 
idque  ob  majores  vires  generantes  N  M  8i  M L, 

CoroL  13.  Cumque  rationes  horum  corollariorum  non  pendeant 
a  magnitudine  corporis  S,  obtinent  praecedentia  omnia,  ubi  corporis 
S  tanta  statuitur  magnitudo,  ut  circa  ipsum  revolvatur  corporum 
duorum  T  81  P  systema.  Et  ex  aucto  corpore  S,  auctaque  ideo 
ipsius  vi  centripeta,  a  qua  errores  corporis  P  oriuntur,  evadent 
errores  illi  omnes,  paribus  distantiis,  majores  in  hoc  casu  quam  in 
altero,  ubi  corpus  6"  circum  systema  corporum  P  &,  T  revolvitur. 

CoroL  14.  Cum  autem  vires  N M^  M L,  ubi  corpus  6^  longinquum 
est,  sint  quamproxime  ut  vis  S K  8>l  ratio  P  T  ^d  S  T  conjunctim, 
hoc  est,  si  detur  tum  distantia  P  T,  tum  corporis  kS  vis  absoluta,  ut 

5  T  cub.  reciproce;  sint  autem  vires  illse  N  M,  M L  causae  errorum 

6  effectuum  omnium,  de  quibus  actum  est  in  praecedentibus  corol- 
lariis  :  manifestum  est,  quod  effectus  illi  omnes,  stante  corporum 
T  81  P  systemate,  &  mutatis  tantum  distantia  S  T  81  v\  absoluta 
corporis  S,  sint  quamproxime  in  ratione  composita  ex  ratione  directa 
vis  absolutae  corporis  Sy  &  ratione  triplicata  inversa  distantiae  6^  Z! 
Unde  si  systema  corporum  T  8c  P  revolvatur  circa  corpus  longin- 
quum  S;  vires  illae  NM,  M  L,  &  earum  effectus  erunt  (per 
corol.  2  &  6,  prop.  iv)  reciproce  in  duplicata  ratione  temporis 
periodici.  Et  inde  etiam,  si  magnitudo  corporis  ^9  proportionaHs  sit 
ipsius  vi  absolutae,  erunt  vires  illae  NM,  ML,  &  earum  effectus 
directe  ut  cubus  diametri  apparentis  longinqui  corporis  6"  e  corpore 
T  spectati,  &  vice  versa.  Namque  hae  rationes  eaedem  sunt,  atque 
ratio  superior  composita. 

CoroL  15.  Et  quoniam  si,  manentibus  orbium  ESE  8l  P  A  B 
forma  proportionibus  &  incHnatione  ad  invicem,  mutetur  eorum 
magnitudo  &  si  corporum  S  8l  T  vel  maneant  vel  mutentur  vires 
in  data  quavis  ratione,  hae  vires  (hoc  est,  vis  corporis  T,  qua 
corpus  P  de  recto  tramite  in  orbitam  P  A  B  deflectere,  &  vis  corporis 
S,  qua  corpus  idem  P  de  orbita  illa  deviare  cogitur)  agunt  semper 
eodem  modo,  &  eadem  proportione  :  necesse  est  ut  similes  &  pro- 
portionales  sint  effectus  omnes,  &  proportionalia  effectuum  tempora ; 


l8o  ^^  MOTU  CORPORUM 

hoc  est,  ut  errores  omnes  lineares  sint  ut  orbium  diametri,  angulares 
vero  iidem,  qui  prius,  &  errorum  linearium  similium  vel  angularium 
sequalium  tempora  ut  orbium  tempora  periodica. 

Corol.  i6.  Unde,  si  dentur  orbium  formae  &  inclinatio  ad  invicem, 
&  mutentur  utcunque  corporum  magnitudines,  vires  &  distantiae ; 
ex  datis  erroribus  &  errorum  temporibus  in  uno  casu,  colligi  possunt 
errores  &  errorum  tempora  in  alio  quovis,  quam  proxime :  sed 
brevius  hac  methodo.  Vires  N M,  M L,  caeteris  stantibus,  sunt  ut 
radius  TP,  &  harum  effectus  periodici  (per  corol.  2  lem.  x)  ut 
vires,  &  quadratum  temporis  periodici  corporis  P  conjunctim.  Hi 
sunt  errores  Hneares  corporis  P,  &  hinc  errores  angulares  e  centro 
T  spectati  (id  est,  tam  motus  augis  &  nodorum,  quam  omnes  in 
longitudinem  &  latitudinem  errores  apparentes)  sunt,  in  quahbet 
revolutione  corporis  P,  ut  quadratum  temporis  revolutionis  quam 
proxime.      Conjungantur   hse  rationes  cum  rationibus  corollarii   14, 


J 


&  in  quolibet  corporum  T,  P,  S  systemate,  ubi  P  circum  T  sibi 
propinquum,  &  T  circum  6"  longinquum  revolvitur,  errores  angu- 
lares  corporis  P,  de  centro  T  apparentes,  erunt,  in  singuHs  revolu- 
tionibus  corporis  ilHus  P,  ut  quadratum  temporis  periodici  corporis 
P  directe  &  quadratum  temporis  periodici  corporis  T  inverse. 
Et  inde  motus  medius  augis  erit  in  data  ratione  ad  motum  medium 
nodorum ;  &  motus  uterque  erit  ut  tempus  periodicum  corporis  P 
directe  &  quadratum  temporis  periodici  corporis  T  inverse.  Au- 
gendo  vel  minuendo  excentricitatem  &  incHnationem  orbis  PAB 
non  mutantur  motus  augis  &  nodorum  sensibiHter,  nisi  ubi  eaedem 
sunt  nimis  magnae. 


LIBER  PRIMVS.  l8i 

Corol:  1 7.  Cum  autem  linea  LM  nunc  major  sit  nunc  mlnor  quam 
radlus  P  T,  exponatur  vls  mediocrls  L  M  per  radlum  illum  P  T ; 
&  erit  hsec  ad  vim  mediocrem  S  K  vel  S  N  (quam  exponere  licet 
per  S  T)  Mt  longltudo  P  7"  ad  longltudlnem  ^9  T.  Est  autem  vis 
mediocris  ^'iV  vel  6^  Z",  qua  corpus  T^retlnetur  in  orbe  suo  circum  S, 
ad  vim,  qua  corpus  P  retinetur  in  orbe  suo  circum  T,  in  ratlone 
composlta  ex  ratlone  radli  S  T  2A  radlum  P  T,  81  ratione  dupllcata 
temporis  perlodici  corporls  P  clrcum  T^ad  tempus  periodicum  corporis 
T  circum  6^.  Et  ex  sequo,  vis  medlocrls  L  M  3.6.  vim,  qua  corpus 
P  retinetur  in  orbe  suo  circum  T  (quave  corpus  idem  P,  eodem 
tempore  perlodlco,  clrcum  punctum  quodvls  immoblle  T  ad  dlstantiam 
P  7"revolvi  posset)  est  in  ratione  illa  duplicata  periodlcorum  tem- 
porum.  Datis  igitur  temporlbus  periodicis  una  cum  distantia  P  T, 
datur  vis  mediocris  L  M ;  &  ea  data,  datur  etiam  vis  M  N 
quamproxime  per  analogiam  linearum  P  T,  MN, 

Corol.  18.  lisdem  leglbus,  quibus  corpus  P  circum  corpus  T 
revolvitur,  fingamus  corpora  plura  flulda  circum  idem  7"ad  sequales 
ab  ipso  distantias  moveri ;  deinde  ex  his  contiguis  factis  conflari 
annulum  fluidum,  rotundum  ac  corpori  T  concentricum  ;  &  singu- 
Ise  annuH  partes,  motus  suos  omnes  ad  legem  corporis  P  peragendo, 
propius  accedent  ad  corpus  T,  &  celerius  movebuntur  in  conjunc- 
tione  &  opposltione  ipsarum  &  corporis  S,  quam  in  quadraturis. 
Et  nodi  annuH  hujus,  seu  intersectiones  ejus  cum  plano  orbitse 
corporis  .S  vel  Z",  quiescent  in  syzygiis ;  extra  syzygias  vero  move- 
buntur  in  antecedentia,  &  veloclssime  quidem  in  quadraturis,  tardius 
allis  in  locls.  Annuli  quoque  inclinatlo  variabitur,  &  axls  ejus 
slngulis  revolutionibus  oscillabitur,  completaque  revolutione  ad 
pristlnum  situm  redibit,  nisi  quatenus  per  praecessionem  nodorum 
circumfertur. 

Corol.  19.  Flngas  jam  globum  corporis  T,  ex  materia  non  fluida 
constantem,  ampliari  &  extendi  usque  ad  hunc  annulum,  &  alveo 
per  circultum  excavato  contlnere  aquam,  motuque  eodem  peri- 
odlco  clrca  axem  suum  uniformiter  revolvi.  Hic  liquor  per  vices 
acceleratus  &  retardatus  (ut  in  superiore  corollario)  in  syzygiis 
veloclor  erlt,  in  quadraturis  tardior  quam  superficies  globi,  &  sic  fluet 
in  alveo  refluetque  ad  modum  marls.  Aqua,  revolvendo  circa  globi 
centrum  quiescens,  si  tollatur  attractio  corporis  S^  nullum  acquiret 


l82  DE  MOTU  CORPORUM 

motum  fluxus  &  refluxus.  Par  est  ratlo  globi  uniformiter  progre- 
dlentis  in  dlrectum,  &  Interea  revolventls  clrca  centrum  suum  (per 
legum  corol.  v)  ut  &  globl  de  cursu  rectllineo  unlformlter  tracti 
(per  legum  corol.  vi).  Accedat  autem  corpus  S,  &  ab  Ipslus  Insequa- 
bili  attractlone  mox  turbabitur  aqua.  Etenlm  major  erlt  attractlo 
aquae  propioris,  mlnor  ea  remotloris.  Vis  autem  L  M  trahet  aquam 
deorsum  in  quadraturis,  facletque  ipsam  descendere  usque  ad  syzy- 
gias;  &  vls  KL  trahet  eandem  sursum  in  syzygils,  slstetque  descensum 
ejus,  &  faclet  ipsam  ascendere  usque  ad  quadraturas  :  nlsl  quatenus 
motus  fluendi  &  refluendi  ab  alveo  aquse  dlrigatur,  &  per  frlctlonem 
aliquatenus  retardetur. 

Corol.  20.  Si  annulus  jam  rigeat,  &  minuatur  globus,  cessabit 
motus  fluendi  &  refluendi ;  sed  osclllatorius  ille  incHnationls  motus  & 
prsecessio  nodorum  manebunt.  Habeat  globus  eundem  axem  cum 
annulo,  gyrosque  compleat  ilsdem  temporibus,  &  superficie  sua  con- 
tingat  ipsum  Interius,  eique  inhsereat ;  &  particlpando  motum  ejus, 


compages  utriusque  osclllabitur,  &  nodi  regredientur.  Nam  globus, 
ut  mox  dlcetur,  ad  susclpiendas  impresslones  omnes  indifferens  est. 
Annuli  globo  orbati  maxlmus  incllnatlonis  angulus  est,  ubl  nodl  sunt 
in  syzyglls.  Inde  In  progressu  nodorum  ad  quadraturas  conatur  is 
incHnatlonem  suam  mlnuere,  &  isto  conatu  motum  imprimit  globo 
toti.  Retinet  globus  motum  impressum,  usque  dum  annulus  conatu 
contrario  motum  hunc  tollat,  imprlmatque  motum  novum  in  con- 
trarlam  partem  :  Atque  hac  ratione  maximus  decrescentls  incllna- 
tionis  motus  fit  in  quadraturis  nodorum,  &  mlnimus  incllnationls 
angulus  In  octantlbus  post  quadraturas ;  dein  maximus  recHnatlonls 
motus  In  syzyglls,  &  maximus  angulus  in  octantlbus  proximis.     Et 


LIBER  PRIMUS. 


183 


eadem  est  ratio  globi  annulo  nudati,  qui  in  regionibus  sequatoris  vel 
altior  est  paulo  quam  juxta  polos,  vel  constat  ex  materia  paulo 
densiore.  Supplet  enim  vicem  annuli  iste  materiae  in  aequatoris 
regionibus  excessus.  Et  quanquam,  aucta  utcunque  globi  hujus  vi 
centripeta,  tendere  supponantur  omnes  ejus  partes  deorsum,  ad 
modum  gravitantium  partium  telluris,  tamen  phaenomena  hujus  & 
praecedentis  corollarii  vix  inde  mutabuntur;  nisi  quod  loca  maxi- 
marum  &  minimarum  altitudinum  aquae  diversa  erunt.  Aqua  enim 
jam  in  orbe  suo  sustinetur  &  permanet,  non  per  vim  suam  centrifu- 
gam,  sed  per  alveum  in  quo  fluit  Et  praeterea  vis  L  M  trahit  aquam 
deorsum  maxime  in  quadraturis,  &  vis  KL  seu  N M—L  M  trahit 
eandem  sursum  maxime  in  syzygiis.  Et  hae  vires  conjunctae  desinunt 
trahere  aquam  deorsum  &  incipiunt  trahere  aquam  sursum  in 
octantibus  ante  syzygias,  ac  desinunt  trahere  aquam  sursum  incipi- 
untque  trahere  aquam  deorsum  in  octantibus  post  syzygias.  Et  inde 
maxima  aquae  altitudo  evenire  potest  in  octantibus  post  syzygias,  & 
minima  in  octantibus  post  quadraturas  circiter ;  nisi  quatenus  motus 
ascendendi  vel  descendendi  ab  his  viribus  impressus  vel  per  vim 
insitam  aquae  paulo  diutius  perseveret,  vel  per  impedimenta  alvei 
paulo  citius  sistatur. 

Corol.  21.  Eadem  ratione,  qua  materia  globi  juxta  aequatorem 
redundans  efficit  ut  nodi  regrediantur,  atque  ideo  per  hujus  incre- 
mentum  augetur  iste  regressus,  per  diminutionem  vero  diminuitur, 
&  per  ablationem  tolHtur;  si  materia  plusquam  redundans  tollatur, 
hoc  est,  si  globus  juxta  aequatorem  vel  depressior  reddatur,  vel 
rarior  quam  juxta  polos,  orietur  motus  nodorum  in  consequentia. 

Corol.  22.  Et  inde  vicissim,  ex  motu  nodorum  innotescit  consti- 
tutio  globi.  Nimirum  si  globus  polos  eosdem  constanter  servat,  & 
motus  fit  in  antecedentia,  materia  juxta  aequatorem  redundat ;  si  in 
consequentia,  deficit.  Pone  globum  uniformem  &  perfecte  circi- 
natum  in  spatiis  Hberis  primo  quiescere ;  dein  impetu  quocunque 
obHque  in  superficiem  suam  facto  propelli,  &  motum  inde  conci- 
pere  partim  circularem,  partim  in  directum.  Quoniam  globus  iste 
ad  axes  omnes  per  centrum  suum  transeuntes  indifferenter  se  habet, 
neque  propensior  est  in  unum  axem,  unumve  axis  situm,  quam  in 
aHum  quemvis ;  perspicuum  est,  quod  is  axem  suum,  axisque  incH- 
nationem    vi    propria    nunquam    mutabit.       ImpeHatur  jam   globus 


1 84  DE  MOTU  CORPOR  UM 

oblique,  in  eadem  illa  superficiei  parte,  qua  prius,  impulsu  quocunque 
novo ;  &  cum  citior  vel  serior  impulsus  effectum  nil  mutet,  mani- 
festum  est,  quod  hi  duo  impulsus  successive  impressi  eundem  pro- 
ducent  niotum,  ac  si  simul  impressi  fuissent,  hoc  est,  eundem,  ac  si 
globus  vi  simplici  ex  utroque  (per  legum  corol.  ii)  composita  impulsus 
fuisset,  atque  ideo  simplicem,  circa  axem  inclinatione  datum.  Et 
par  est  ratio  impulsus  secundi  facti  in  locum  aHum  quemvis  in 
sequatore  motus  primi ;  ut  &  impulsus  primi  facti  in  locum  quemvis 
in  aequatore  motus,  quem  impulsus  secundus  sine  primo  generaret; 
atque  ideo  impulsuum  amborum  factorum  in  loca  quaecunque  : 
generabunt  hi  eundem  motum  circularem  ac  si  simul  &  semel  in 
locum  intersectionis  sequatorum  motuum  illorum,  quos  seorsim 
generarent,  fuissent  impressi.  Globus  igitur  homogeneus  &  perfectus 
non  retinet  motus  plures  distinctos,  sed  impressos  omnes  componit 
&  ad  unum  reducit,  &  quatenus  in  se  est,  gyratur  semper  motu 
simplici  &  uniformi  circa  axem  unicum,  incHnatione  semper  inva- 
riabili  datum.  Sed  nec  vis  centripeta  inclinationem  axis,  aut 
rotationis  velocitatem  mutare  potest.  Si  globus  plano  quocunque, 
per  centrum  suum  &  centrum  in  quod  vis  dirigitur  transeunte,  dividi 
intelligatur  in  duo  hemisphaeria ;  urgebit  semper  vis  illa  utrumque 
hemisphserium  aequahter,  &  propterea  globum,  quoad  motum  rota- 
tionis,  nullam  in  partem  inclinabit.  Addatur  vero  alicubi  inter 
polum  &  aequatorem  materia  nova  in  formam  montis  cumulata,  & 
haec,  perpetuo  conatu  recedendi  a  centro  sui  motus,  turbabit  motum 
globi,  facietque  ut  poli  ejus  errent  per  ipsius  superficiem,  &  circulos 
circum  se  punctumque  sibi  oppositum  perpetuo  describant.  Neque 
corrigetur  ista  vaga^ionis  enormitas,  nisi  locando  montem  illum  vel 
in  polo  alterutro,  quo  in  casu  (per  corol.  21)  nodi  aequatoris  pro- 
gredientur;  vel  in  aequatore,  qua  ratione  (per  corol.  20)  nodi 
regredientur ;  vel  denique  ex  altera  axis  parte  addendo  materiam 
novam,  qua  mons  inter  movendum  libretur,  &  hoc  pacto  nodi  vel 
progredientur,  vel  recedent,  perinde  ut  mons  &  haecce  nova  materia 
sunt  vel  polo  vel  aequatori  propiores. 


LIBER  PRIMUS. 


PROPOSITIO   LXVII.      THEOREMA   XXVII 


185 


Positis  iisdem  attractionum  legibus,  dico  quod  corpus  exterius  S,  circa 
interiorum  P,  T  commune  gravitatis  centricm  O,  radiis  ad  centrum 
illud  ductis,  describit  areas  temporibus  magis  proportionales  &  orbem 
ad  formam  ellipseos  umbilicum  in  centro  eodem  habentis  magis  acce- 
dentem,  qtiam  circa  corpus  intimum  &  maximum  T,  radiis  ad  ipsum 
ductisy  describere  potest, 

Nam  corporis  vS  attractlones  ver-  

sus  T  Sl  P  componunt  ipsius  attrac- 
tionem  absolutam,  quae  magis  dirigitur 
in  corporum  T  8i  P  commune  gravi- 
tatis  centrum  (7,  quam  in  corpus 
maximum    Z",  quseque  quadrato  dis- 

tantise  6^  O  magis  est  proportionalis  ^^ ^ 

reciproce,  quam  quadrato  distantiae  6"  T:  ut  rem  perpendenti  facile 
constabit. 


PROPOSITIO    LXVIII.     THEOREMA    XXVIII. 

Positis  iisdem  attractionum  legibus,  dico  quod  corpus  exterius  S^ 
circa  interiorum  Y  &  T  commmie  gravitatis  centrum  O,  radiis  ad 
centrum  illicd  diutis,  describit  areas  temporibus,magis  proportionales, 
&  orbem  ad  formam  ellipseos  umbilicum  in  ce^itro  eodem  habentis 
magis  accedente^n,  si  corpics  ifitimum  &  maximum  his  attractionibus 
perinde  atque  ccetera  agitetur,  quam  si  id  vel  non  attractum  quiescaty 
vel  multo  magis  aut  mtclto  minus  attracttcm  aut  mtilto  magis  aut 
multo  minus  agitetur. 

Demonstratur  eodem  fere  modo  cum  prop.  Lxvi  sed  argumento 
prolixiore,  quod  ideo  prsetereo.  Sufficeret  rem  sic  aestimare. 
Ex  demonstratione  propositionis  novissimae  liquet  centrum,  in  quod 


I 


l86  DE  MOTU  CORPORUM 

corpus  6^  conjunctls  vlribus  urgetur,  proxlmum  esse  communl  cen- 
tro  gravitatls  duorum  Illorum.  Si  colncideret  hoc  centrum  cum 
centro  illo  communi,  &  quiesceret  commune  centrum  gravitatis 
corporum  trlum ;    describerent  corpus  6^  ex  una  parte,  &  commune 

centrum    aliorum    duorum    ex   altera  . 

parte,  circa  commune  omnlum  cen- 
trum  qulescens,  elllpses  accuratas. 
Llquet  hoc  per  corollarlum  secun- 
dum  proposltionis  lviii  collatum  cum 
demonstratis  in   prop.    lxiv  &  lxv. 

Perturbatur  iste  motus  elllptlcus  ali-  ^ ^ 

quantulum  per  dlstantlam  centrl  duorum  a  centro,  in  quod  tertium  6* 
attrahltur.  Detur  praeterea  motus  communl  trium  centro,  & 
augebltur  perturbatlo.  Prolnde  mlnima  est  perturbatlo,  ubl  commune 
trium  centrum  qulescit ;  hoc  est,  ubi  corpus  intimum  &  maximum 
T  lege  cseterorum  attrahitur  :  fitque  major  semper,  ubi  trium  com- 
mune  Illud  centrum,  mlnuendo  motum  corporis  T,  moveri  incipit,  & 
magis  delnceps  maglsque  agltatur. 

CoroL  Et  hinc,  si  corpora  plura  mlnora  revolvantur  circa  maxl- 
mum,  colHgere  Hcet  quod  orbltae  descrlptse  propius  accedent  ad 
elHpticas,  &  arearum  descrlptiones  fient  magis  aequabiles,  si  corpora 
omnla  virlbus  acceleratriclbus,  quae  sunt  ut  eorum  vires  absolutae 
directe  &  quadrata  dlstantiarum  inverse,  se  mutuo  trahant  agitent- 
que,  &  orbltae  cujusque  umbillcus  coHocetur  in  communi  centro 
gravltatis  corporum  omnium  interlorum  (nlmlrum  umbiHcus  orbitae 
primae  &  Intlmae  in  centro  gravitatls  corporis  maxlml  &  intiml ;  ille 
orbltae  secundae,  in  communi  centro  gravitatis  corporum  duorum 
intlmorum  ;  iste  tertlae,  In  communi  centro  gravitatls  trium  interiorum; 
&  sic  deinceps)  quam  si  corpus  Intlmum  qulescat  &  statuatur  com- 
munis  umbiHcus  orbitarum  omnlum. 


PROPOSITIO    LXIX.      THEOREMA    XXIX. 

In  systemate  corporiim  plurium  A,  B,  Q  D,  &c.  si  corptis  aliquod 
A  trahit  ccetera  omnia  B,  C,  D,  &c.  viribus  acceleratricibus  qucB 
sunt  reciproce  ut  quadrata  distantiarum  a  trahente  ;  &  corpus  aliud 


LIBER  PRIMUS. 


187 


B  trahit  etiam  ccetera  A,  C,  D,  &c,  viribtis  qucs  stcnt  reciproce  ut 
quadrata  distantiarum  a  trahente :  eriint  absolutce  corpormn  trahen- 
tium  A,  B  vires  ad  iitvicem,  tct  sunt  ipsa  coi^pora  A,  B,  qtcoricm 
sunt  vires. 

Nam  attractlones  acceleratrices  corporum  omnium  B,  C,  D  ver- 
sus  A,  parlbus  dlstantlls,  slbl  invlcem  aequantur  ex  hypothesi ;  & 
siminter  attractlones  acceleratrlces  corporum  omnium  versus  B^ 
paribus  dlstantlls,  sibi  invicem  sequantur.  Est  autem  absoluta  vis 
attractiva  corporis  A  ad  vlm  absolutam  attractivam  corporis  B,  ut 
attractlo  acceleratrlx  corporum  omnium  versus  A  ad  attractionem 
acceleratrlcem  corporum  omnlum  versus  B^  paribus  distantiis ;  & 
ita  est  attractio  acceleratrix  corporls  B  versus  Ay  ad  attractlonem 
acceleratricem  corporis  A  versus  B.  Sed  attractio  acceleratrix 
corporls  B  versus  A  est  ad  attractlonem  acceleratrlcem  corporis  A 
versus  B,  ut  massa  corporis  A  ad  massam  corporls  B ;  propterea 
quod  vires  motrices,  quae  (per  definitionem  secundam,  septlmam  & 
octavam)  sunt  ut  vires  acceleratrices  &  corpora  attracta  conjunctlm, 
hic  sunt  (per  motus  legem  tertiam)  sibi  invicem  sequales.  Ergo 
absoluta  vls  attractiva  corporis  A  est  ad  absolutam  vlm  attractlvam 
corporls  B,  ut  massa  corporis  A  ad  massam  corporis  B.     Q.  E.  D. 

Corol.  I.  Hinc  si  singula  systematis  corpora  A,  B,  C,  D,  &c., 
seorsim  spectata  trahant  caetera  omnia  viribus  acceleratricibus,  quae 
sunt  reciproce  ut  quadrata  distantlarum  a  trahente ;  erunt  corporum 
illorum  omnlum  vires  absolutae  ad  invicem  ut  sunt  ipsa  corpora. 

Corol.  2.  Eodem  argumento,  si  slngula  systematls  corpora  A,  B^ 
C,  Dy  &c.  seorslm  spectata  trahant  caetera  omnia  viribus  accelera- 
trlclbus,  quae  sunt  vel  reciproce,  vel  directe  in  ratlone  dignitatls 
cujuscunque  distantiarum  a  trahente,  quseve  secundum  legem  quam- 
cunque  communem  ex  dlstantlis  ab  unoquoque  trahente  definiuntur ; 
constat  quod  corporum  illorum  vires  absolutae  sunt  ut  corpora. 

Corol.  3.  In  systemate  corporum,  quorum  vires  decrescunt  in 
ratione  dupHcata  dlstantlarum,  si  mlnora  clrca  maximum  in  elHpsibus, 
umblHcum  communem  in  maxlmi  inius  centro  habentlbus,  quam 
fieri  potest  accuratissimis  revolvantur;  &  radiis  ad  maxlmum  illud 


i88  D^  MOTU  CORPORUM 

ductis  describant  areas  temporibus  quam  maxime  proportionales  : 
erunt  corporum  illorum  vires  absolutae  ad  invicem,  aut  accurate  aut 
quamproxime,  in  ratione  corporum ;  &  contra.  Patet  per  corol. 
prop.  Lxviii  coUatum  cum  hujus  corol.  i. 

Scholmm. 

His  propositionibus  manuducimur  ad  analogiam  inter  vires  cen- 
tripetas,  &  corpora  centralia,  ad  quse  vires  illae  dirigi  solent.  Ra- 
tioni  enim  consentaneum  est,  ut  vires,  quse  ad  corpora  diriguntur, 
pendeant  ab  eorundem  natura  &  quantitate,  ut  fit  in  magneticis. 
Et  quoties  hujusmodi  casus  incidunt,  sestimandse  erunt  corporum 
attractiones,  assignando  singulis  eorum  particulis  vires  proprias,  & 
colligendo  summas  virium.  Vocem  attractionis  hic  generaHter 
usurpo  pro  corporum  conatu  quocunque  accedendi  ad  invicem  :  sive 
conatus  iste  fiat  ab  actione  corporum,  vel  se  mutuo  petentium, 
vel  per  spiritus  emissos  se  invicem  agitantium;  sive  is  ab  actione 
setheris,  aut  aeris,  mediive  cujuscunque  seu  corporei  seu  incorpo- 
rei  oriatur  corpora  innatantia  in  se  invicem  utcunque  impellentis, 
Eodem  sensu  generah  usurpo  vocem  impulsus,  non  species  virium 
&  qualitates  physicas,  sed  quantitates  &  proportiones  mathematicas 
in  hoc  tractatu  expendens,  ut  in  definitionibus  explicui.  In  mathesi 
investigandae  sunt  virium  quantitates  &  rationes  illae,  quae  ex  con- 
ditionibus  quibuscunque  positis  consequentur :  deinde,  ubi  in  phy- 
sicam  descenditur,  conferendae  sunt  hae  rationes  cum  phaenomenis  ; 
ut  innotescat  quaenam  virium  conditiones  singuHs  corporum  attracti- 
vorum  generibus  competant.  Et  tum  demum  de  virium  speciebus, 
causis  &  rationibus  physicis  tutius  disputare  Hcebit.  Videamus  igitur 
quibus  viribus  corpora  sphaerica,  ex  particuHs  modo  jam  exposito 
attractivis  constantia,  debeant  in  se  mutuo  agere ;  &  quales  motus 
inde  consequantun 


LIBER  PRIMUS,  189 

SECTIO    XII. 

De  corporum  sphcBricorum  viribus  attractivis, 

PROPOSITIO    LXX.     THEOREMA    XXX. 

Si  ad  sphcBriccB  superficiei  puncta  singula  tendant  vires  c^quales 
ceritripetcB  decrescentes  in  duplicata  ratione  distantiarum  apunctis : 
dico  quod  corpusculum  intra  superficiem  constitutum  his  viribus 
nullam  in  partem  attrahitur. 

Sit  H I K L  superficies  illa  sphaerica,  &  P  corpusculum  intus  con- 
stitutum.  Per  P  agantur  ad  hanc  superficiem  linese  duae  H K,  I L, 
arcus  quam  minimos  H I,  K L  intercipientes ;  &,  ob  triangula  HPI, 
LPK  (per  corol.  3  lem.  vii)  similia, 
arcus  illi  erunt  distantiis  H P,  L  P  pro- 
portionales  ;  &  superficiei  sphaericae  par- 
ticulse  quaevis  ad  H I  81  K L,  rectis  per 
punctum  P  transeuntibus  undique  ter- 
minatae,  erunt  in  duplicata  illa  ratione. 
Ergo  vires  harum  particularum  in  corpus 
P  exercitae  sunt  inter  se  aequales.  Sunt 
enim  ut  particulae  directe,  &  quadrata 
distantiarum  inverse.  Et  hae  duae  rationes 
componunt  rationem  aequalitatis.  Attractiones  igitur,  in  contrarias 
partes  aequaliter  factae,  se  mutuo  destruunt.  Et  simili  argumento, 
attractiones  omnes  per  totam  sphaericam  superficiem  a  contrariis 
attractionibus  destruuntur.  Proinde  corpus  P  nullam  in  partem  his 
attractionibus  impellitur.     Q,  E.  D. 

PROPOSITIO    LXXI.      THEOREMA    XXXI. 

lisdem  positis,  dico  quod  -corpusculum  extra  sphcsricam  superficiem 
constitutum  attrahitur  ad  centrum  sphcsrcSy  vi  reciproce proportionali 
quadrato  distantice  sucs  ab  eodem  centro. 


190 


DE  MOTU  CORPORUM 


Sint  A  H KB,  ahkb  aequales  duse  superficles  sphaericae,  centris 
S,  s,  diametris  A  B,  ab  descriptse,  81  P,  p  corpuscula  slta  extrin- 
secus  in  dlametrls  illis  productls.  Agantur  a  corpusculis  llneae 
PHK,  P ILy  pkky  pil,  auferentes  a  circulis  maximis  AHB, 
akb,  aequales  arcus  H K,  kk  &  I L,  il:  et  ad  eas  demittantur 
perpendicula  S D,  sd ;  S E,  se;  I R,  ir;  quorum  SD,  i"^secent  P L, 
plm  P  81  /,  Demittantur  etlam  ad  diametros  perpendlcula  I Q,  iq. 
Evanescant  anguli  D  P  E,  dpe:  &  ob  aequales  D  S  &  ds,  E  S  &  es, 
lineae  P E,  P E  &  pe,  pf  &  lineola  D E,  df  pro  aequalibus  habe- 
antur;  qulppe  quarum  ratio  ultlma,  angulls  illls  D  P  E,  dpe  simul 


evanescentibus,  est  aequalitatls.  HIs  itaque  constitutis,  erit  P/  ad 
P E  \xt  RI  2id  DE,  &  pf  ad  / i  ut  df  vel  DE  2id  ri;  &  ex  aequo 
Plxpf  ad  P  Expi  ut  R I  ad  ri,  hoc  est  (per  corol.  3  lem.  vii) 
ut  arcus  I H  2id  arcum  ik,  Rursus  P I  ad  P  S  ut  I Q  did  S  E,  & 
ps  2Ldp  i  ut  se  vel  SE  ad  iq  ;  &  ex  aequo  P I  xp  s  Sid  P  S  xp  i  ut 
IQ  2id  iq.  Et  conjunctis  ratlonibus  P I  quad.  xpfxps  ad  p  i  quad. 
xP ExP S,  ut  IHxIQ  ad  ikxiq ;  hoc  est,  ut  superficles  circu- 
laris,  quam  arcus  IH  convolutione  semlcirculi  A  KB  clrca  dlametrum 
A  B  descrlbet,  ad  superficiem  circularem,  quam  arcus  ik  con^ 
volutione  semlcirculi  akb  circa  diametrum  ab  descrlbet.  Et  vires, 
qulbus  hae  superficles  secundum  lineas  ad  se  tendentes  attrahunt 
corpuscula  P  8c  p,  sunt  (per  hypothesln)  ut  ipsae  superficies  dlrecte, 
&  quadrata  distantlarum  superficlerum  a  corporlbus  inverse,  hoc  est, 
ut  pfxps  ad  P Ex  P  S.  Suntque  hae  vires  ad  Ipsarum  partes  obli- 
quas,  quae  (facta  per  legum  corol.  11  resolutione  virlum)  secundum 
lineas  P  S,  ps  ad  centra  tendunt,  ut  P  /  ad  P  Q,  81  pi  2id  p  q  ;  id 
est  (ob  slmllia  trlangula  P IQ  81  P  S  E,piq  81  psf)  ut  P  S  3id  P  E 


LIBER  PRIMUS.  I  ^  I 

&  /  5  ad  pf.       Unde,    ex   aequo,  fit   attractlo   corpusculi   hujus   P 
versus  6^  ad  attractionem  corpusculi  /  versus  s,  ut ^^-^ — ^  ad 

pfxPFxPS    -  ,  7        1     r^  O  ,  T-  .      .,. 

— ,  hoc  est,  utps  qtcad,  ad  /^6  qiiad.       Lt  simih  arra- 

p  s 

mento  vires,  quibus  superficies  convolutione  arcuum  KL,  kl  descriptae 

trahunt  corpuscula,   erunt  ut  /  ^  qtcad.  ad  /*  ^S  qtcad.   inque  eadem 

ratione  erunt  vires  superficierum  omnium  circularium  in  quas  utraque 

superficies    sphserica,    capiendo    semper    sd    aequalem    SD    &    se 

aequalem  SE,  distingui  potest.     Et,  per  compositionem,  vires  totarum 

superficierum  sphaericarum  in  corpuscula   exercitae  erunt  in  eadem 

ratione.      Q.E.D, 


PROPOSITIO    LXXII.     THEOREMA    XXXII. 

Si  ad  sphcBrce  cujusvis  punda  singula  tejidant  vires  csquales  centripetcB 
decrescentes  in  dtcplicata  ratione  distantiartcm  a  punctis ;  ac  detur 
tum  sphcBrcB  de^isitas,  tum  ratio  diametri  sphcerce  ad  distantiam 
corpusculi  a  centro  ejus :  dico  quod  visy  qua  corpusculum  attrahitur, 
proportionalis  erit  semidiametro  sphcercs, 

Nam  concipe  corpuscula  duo  seorsim  a  sphaeris  duabus  attrahi, 
unum  ab  una  &  alterum  ab  altera,  &  distantias  eorum  a  sphaerarum 
centris  proportionales  esse  diametris  sphaerarum  respective,  sphaeras 
autem  resolvi  in  particulas  similes  &  similiter  positas  ad  corpuscula. 
Et  attractiones  corpusculi  unius,  factae  versus  singulas  particulas 
sphaerae  unius,  erunt  ad  attractiones  alterius  versus  analogas  totidem 
particulas  sphaerae  alterius,  in  ratione  composita  ex  ratione  particu- 
larum  directe  &  ratione  duplicata  distantiarum  inverse.  Sed 
particulae  sunt  ut  sphaerae,  hoc  est,  in  ratione  triplicata  diametrorum, 
&  distantiae  sunt  ut  diametri ;  &  ratio  prior  directe  una  cum 
ratione  posteriore  bis  inverse  est  ratio  diametri  ad  diametrum. 
Q.E.D. 

Corol.   I.   Hinc  si  corpuscula  in  circulis,  circa  sphaeras  ex  materia 


19' 


DE  MOTU  CORPORUM 


ccqualiter  attractiva  constantes,  revolvantur ;  sintque  distantise  a 
centris  sphaerarum  proportionales  earundem  diametris  :  tempora 
periodica  erunt  aequalia. 

Corol,  2.  Et  vice  versa,  si  tempora  periodica  sunt  aequalia ; 
distantise  erunt  proportionales  diametris.  Constant  haec  duo  per 
corol.  3  prop.  iv. 

CoroL  3.  Si  ad  solidorum  duorum  quorumvis,  simiHum  &  aequa- 
liter  densorum,  puncta  singula  tendant  vires  aequales  centripetae, 
decrescentes  in  duplicata  ratione  distantiarum  a  punctis ;  vires,  quibus 
corpuscula,  ad  solida  illa  duo  simiHter  sita,  attrehentur  ab  iisdem, 
erunt  ad  invicem  ut  diametri  solidorum. 


PROPOSITIO    LXXIII.      THEOREMA    XXXIII. 

Si  ad  sphcErcB  alicujus  datce  puncta  singula  tendant  cBquales  vires 
centripetcs  decrescentes  in  duplicata  ratione  distantiarum  a  punctis : 
dico  quod  corpusctilum  intra  spkceram  constittctum  attrahitur  vi 
proportionali  distantice  sucs  ab  ipsius  centro, 

In  sphaera  ABCD,  centro  ^'descripta, 
locetur  corpusculum  P ;  Sl  centro  eodem 
S,  intervallo  SP,  concipe  sphaeram  interi- 
orem  P EQF  describi.  Manifestum  est, 
(per  prop.  lxx)  quod  sphaericae  superficies 
concentricae,  ex  quibus  sphaerarum  difife- 
rentia  AEBF  componitur,  attractionibus 
suis  per  attractiones  contrarias  destructis, 
nil  agunt  in  corpus  P.  Restat  sola  at- 
tractio  sphaerae  interioris  P  E  Q  F.  Et 
(per  prop.  lxxii)  haec  est  ut  distantia  P  S.     Q.  E,  D. 


Scholium, 

Superficies,   ex  quibus  solida   componuntur,  hic   non   sunt   pure 
mathematicae,   sed   orbes   adeo   tenues,   ut   eorum  crassitudo   instar 


LIBER  PRIMUS.  193 

nihili  sit;  nimirum  orbes  evanescentes,  ex  quibus  sphaera  ultimo 
constat,  ubi  orbium  illorum  numerus  augetur  &  crassitudo  minuitur 
in  infinitum.  SimiHter  per  puncta,  ex  quibus  linese,  superficies,  & 
soHda  componi  dicuntur,  inteHigendae  sunt  particulae  sequales  mag- 
nitudinis  contemnendse. 


PROPOSITIO    LXXIV.      THEOREMA    XXXIV. 

lisdem  positisy  dico  quod  corpusculum  extra  sphcEram  constitutum 
attrahitur  vi  reciproce  proportionali  quadrato  dista^ttice  sucs  ab 
ipsius  centro, 

Nam  distinguatur  sphaera  in  superficies  sphaericas  innumeras 
concentricas,  &  attractiones  corpuscuH  a  singuHs  superficiebus  oriun- 
dae  erunt  reciproce  proportionales  quadrato  distantiae  corpuscuH  a 
centro  (per  prop.  lxxi).  Et  componendo  fiet  summa  attractionum^ 
hoc  est  attractio  corpusculi  in  sphaeram  totam,  in   eadem   ratione. 

CoroL  I.  Hinc  in  sequaHbus  distantiis  a  centris  homogenearum 
sphaerarum  attractiones  sunt  ut  sphaerae.  Nam  (per  prop.  lxxii) 
si  distantiae  sunt  proportionales  diametris  sphaerarum,  vires  erunt 
ut  diametri.  Minuatur  distantia  major  in  iUa  ratione;  &,  distantiis 
jam  factis  aequaHbus,  augebitur  attractio  in  dupHcata  iUa  ratione; 
ideoque  erit  ad  attractionem  alteram  in  trlpHcata  iUa  ratione,  hoc  est, 
in  ratione  sphaerarum. 

CoroL  2.  In  distantiis  quibusvis  attractiones  sunt  ut  sphaerae 
appHcatae  ad  quadrata  distantiarum. 

CoroL  3.  Si  corpusculum,  extra  sphaeram  homogeneam  positum, 
trahitur  vi  reciproce  proportionaH  quadrato  distantiae  suae  ab  ipsius 
centro,  constet  autem  sphaera  ex  particuHs  attractivis ;  decrescet  vis 
particulae  cujusque  in  dupHcata  ratione  distantiae  a  particula. 

PROPOSITIO    LXXV.      THEOREMA    XXXV. 

Si  ad  sphcBrce  datcs  ptmcta  singula  tendant  vires  csquales  centripetcs, 

decrescentes  in  duplicata  ratione  distantiarum  a  punctis ;  dico  quod 

N 


1 94  ^^  ^O  TU  CORPOR  UM 

sphcera  qticevis    alia  similaris   ab   eadem    attrahittcr  vi    reciproce 
proportionali  qttadraio  distantice  centrorum. 

Nam  particulae  cujusvis  attractio  est  reciproce  ut  quadratum 
distantiae  suae  a  centro  sphaerae  trahentis  (per  prop.  lxxiv),  & 
propterea  eadem  est,  ac  si  vis  tota  attrahens  manaret  de  corpusculo 
unico  sito  in  centro  hujus  sphaerae.  Haec  autem  attractio  tanta  est, 
quanta  foret  vicissim  attractio  corpusculi  ejusdem,  si  modo  illud  a 
singuhs  sphaerae  attractae  particuHs  eadem  vi  traheretur,  qua  ipsas 
attrahit  Foret  autem  illa  corpuscuH  attractio  (per  prop.  lxxiv) 
reciproce  proportionalis  quadrato  distantiae  suae  a  centro  sphaerae ; 
ideoque  huic  aequaHs  attractio  sphaerae  est  in  eadem  ratione.     Q.E.D, 

Corol.  I.  Attractiones  sphaerarum,  versus  aHas  sphaeras  homoge- 
neas,  sunt  ut  sphaerae  trahentes  appHcatae  ad  quadrata  distantiarum 
centrorum  suorum  a  centris  earum,  quas  attrahunt. 

Corol.  2.  Idem  valet,  ubi  sphaera  attracta  etiam  attrahit.  Namque 
hujus  puncta  singula  trahent  singula  alterius  eadem  vi,  qua  ab  ipsis 
vicissim  trahuntur;  ideoque  cum  in  omni  attractione  urgeatur  (per 
legem  iii)  tam  punctum  attrahens,  quam  punctum  attractum,  gemina- 
bitur  vis  attractionis  mutuae,  conservatis  proportionibus. 

Corol.  3.  Eadem  omnia,  quae  superius  de  motu  corporum  circa 
umbiHcum  conicarum  sectionum  demonstrata  sunt,  obtinent,  ubi 
sphaera  attrahens  locatur  in  umbiHco,  &  corpora  moventur  extra 
sphaeram. 

Corol.  4.  Ea  vero,  quae  de  motu  corporum  circa  centrum  conicarum 
sectionum  demonstrantur,  obtinent  ubi  motus  peraguntur  intra 
sphaeram. 


PROPOSITIO   LXXVI.      THEOREMA   XXXVI. 

Si  sphcercB  in  progressu  a  centro  ad  circumferentiam  (quoad  materice 
densitatem  &  vim  attractivam)  utcunque  dissimilares,  ifi  progressu 
vero  per  circuitum  ad  datam  omnem  a  centro  distantiam  sunt 
undique  similares ;  &  vis  attractiva  puncti  cupisque  decrescit  in 
duplicata  ratione  distantice  corporis  attracti:  dico  quod  vis  tota,  qua 


LIBER  PRIMVS. 


195 


hujusmodi  sphcsra  tma  attrahit  aliam,  sit  reciproce  proportionalis 
quadrato  distantics  centrortim. 


Sunto  sphaerse  quotcunque  concentricse  slmilares  A  B,  C D,  E  F, 
&c.  quarum  interiores  additae  exterioribus  componant  materiam 
densiorem  versus  centrum,  vel  subductae  relinquant  tenuiorem ;  & 
hae  (per  prop.  lxxv)  trahent  sphaeras  aHas  quotcunque  concentricas 
similares  G  H,  I K,  L  M,  &c.  slngulae  singulas,  viribus  reciproce 
proportionaHbus  quadrato  distantiae  6^  P.  Et  componendo  vel  divi- 
dendo,  summa  virium  illarum  omnium,  vel  excessus  aHquarum  supra 
aHas ;  hoc  est,  vis,  qua  sphaera  tota,  ex  concentricis  quibuscunque 
vel  concentricarum  dlf- 
ferentiis  composita  A  B, 
trahit  totam  ex  concentri- 
cis  quibuscunque  vel  con- 
centricarum  differentiis 
compositam  GH ;  erlt  In 
eadem  ratlone.  Augeatur 
numerus  sphaerarum  con- 
centricarum  in  infinitum 
sic,  ut  materiae  densitas  una  cum  vi  attractlva,  In  progressu  a 
clrcumferentla  ad  centrum,  secundum  legem  quamcunque  crescat  vel 
decrescat;  &,  addita  materla  non  attractiva,  compleatur  ubivls  densltas 
deficiens,  eo  ut  sphaerae  acquirant  formam  quamvis  optatam ;  &  vls, 
qua  harum  una  attrahet  alteram,  erit  etlamnum,  per  argumentum 
superlus,  in  eadem  IHa  dlstantiae  quadratae  ratlone  Inversa.     Q.  E.  D. 

Corol.  I.  Hinc  si  ejusmodi  sphaerae  complures,  sibi  invicem  per 
omnla  slmiles,  se  mutuo  trahant;  attractiones  acceleratrices  slngularum 
in  singulas  erunt,  in  aequaHbus  quibusvis  centrorum  distantiis,  ut 
sphaerae  attrahentes. 

Corol.  2.  Inque  distantiis  quibusvis  inaequaHbus,  ut  sphaerae 
attrahentes  appHcatae  ad  quadrata  distantiarum  inter  centra. 

Corol.  3.  Attractiones  vero  motrices,  seu  pondera  sphaerarum  In 
sphaeras  erunt,  in  aequaHbus  centrorum  distantiis,  ut  sphaerae  attra- 
hentes  &  attractae  conjunctim,  id  est,  ut  contenta  sub  sphaeris  per 
multlpHcationem  producta. 


196 


DE  MOTU  CCRPORUM 


Corol.  4.  Inque  dlstantils  Insequallbus,  ut  contenta  Illa  directe  & 
quadrata  distantiarum  inter  centra  inverse. 

CoroL  .5.  Eadem  valent,  ubl  attractio  oritur  a  sphserse  utrlusque 
virtute  attractiva  mutuo  exercita  in  sphaeram  alteram.  Nam  viribus 
ambabus  geminatur  attractio,  proportione  servata. 

Corol.  6.  SI  hujusmodi  sphaerae  ahquae  clrca  alias  qulescentes 
revolvantur,  singulae  circa  singulas ;  sintque  distantiae  inter  centra 
revolventlum  &  quiescentlum  proportlonales  quiescentium  diametris ; 
sequaha  erunt  tempora  perlodlca. 

Corol.  7.  Et  vicissim,  sl  tempora  perlodica  sunt  aequaha;  distantiae 
erunt  proportionales  diametrls. 

Corol.  8.  Eadem  omnia,  quae  superius  de  motu  corporum  clrca 
umblhcos  conicarum  sectionum  demonstrata  sunt,  obtinent ;  ubl 
sphaera  attrahens,  formae  &  condltlonis  cujusvis  jam  descrrptae,  locatur 
in  umbihco. 

CoroL  9.  Ut  &  ubl  gyrantla  sunt  etlam  sphaerae  attrahentes, 
conditionls  cujusvls  jam  descriptae. 


PROPOSITIO    LXXVII.      THEOREMA    XXXVII. 

Siad  singula  sphcerarmn  pU7icta  tendant  vires  centripetce proportionales 
distantiis  ptmctoriim  a  corporibus  attractis  :  dico  quod  vis  composita, 
qua  sphcsrcB  dtice  se  mutuo  trahenty  est  ut  distantia  inter  centrd 
sphcerartim. 


Cas.  I.  Slt  ^  ^^T^  sphaera; 
6^  centrum  ejus  ;  P  corpusculum 
attractum,  P  A  S B  axls  sphaerae 
per  centrum  corpuscuh  translens ; 
E  F,  ^y  plana  duo,  quibus  sphaera 
secatur,  huic  axi  perpendlcularia, 
&  hlnc  inde  aequahter  dlstantla  a 
centro  sphaerae  ;  G,  g  intersec- 
tiones  planorum  &  axls;  &  H  punctum  quodvls  in  plano  EF.  Puncti 
-^  vis  centripeta  in  corpusculum  P,  secundum  hneam  P //"  exerclta. 


LIBER  PRIMUS. 


197 


est  ut  dlstantia  P  H;  &  (per  legum  corol.  11)  secundum  lineam  P  G, 
seu  versus  centrum  S,  ut  longitudo  P  G.  Igitur  punctorum  omnium 
in  plano  E  F,  hoc  est  plani  totius  vis,  qua  corpusculum  P  trahitur 
versus  centrum  S,  est  ut  distantia  P  G  multiphcata  per  numerum 
punctorum,  id  est,  ut  sohdum  quod  continetur  sub  plano  ipso  E  F  81 
distantia  iha  P  G.  Et  simihter  vis  plani  ef,  qua  corpusculum  P 
trahitur  versus  centrum  Sy  est  ut  planum  ihud  ductum  in  distantiam 
suam  P  g,  sive  ut  huic  sequale  planum  E  F  ductum  in  distantiam 
iham  P^;  &  summa  virium  plani  utriusque  ut  planum  jfi^/^ductum 
in  summam  distantiarum  P  G  +  P g,  id  est,  ut  planum  ihud  ductum 
in  duplam  centri  &  corpuscuh  distantiam  P  S,  hoc  est,  ut  duplum 
planum  EF  ductum  in  distantiam  P  S,  vel  ut  summa  aequahum 
planorum  E  F-\-ef  ducta  in  distantiam  eandem.  Et  simih  argumento, 
vires  omnium  planorum  in  sphsera  tota,  hinc  inde  aequahter  a 
centro  sphaerae  distantium,  sunt  ut  summa  planorum  ducta  in  dis- 
tantiam  P  S,  hoc  est,  ut  sphaera  tota  &  ut  distantia  P  S  conjunctim. 
Q.  E.  D. 

Cas.  2.  Trahat  jam  corpusculum  P  sphaeram  A  E  B  F.  Et  eodem 
argumento  probabitur  quod  vis,  qua  sphaera  iha  trahitur,  erit  ut 
distantia  P  S.     Q.  E  D. 

Cas.  3.  Componatur  jam  sphaera  altera  ex  corpuscuhs  innumeris 
P ;  81  quoniam  vis,  qua  corpusculum  unumquodque  trahitur,  est  ut 
distantia  corpuscuh  a  centro  sphaerae  primae  &  ut  sphaera  eadem 
conjunctim,  atque  ideo  eadem  est,  ac  si  prodiret  tota  de  corpusculo 
unico  in  centro  sphaerae ;  vis  tota,  qua  corpuscula  omnia  in  sphaera 
secunda  trahuntur,  hoc  est,  qua  sphaera  illa  tota  trahitur,  eadem  erit, 
ac  si  sphaera  iha  traheretur  vi  prodeunte  de  corpusculo  unico  in 
centro  sphaerae  primae,  &  propterea  proportionahs  est  distantiae  inter 
centra  sphaerarum.     Q.  E.  D. 

Cas.  4.  Trahant  sphaerae  se  mutuo,  &  vis  geminata  proportionem 
priorem  servabit.     Q.  E.  D. 

Cas.  5.  Locetur  jam  corpusculum  /  intra  sphaeram  A  E  B  F ;  & 
quoniam  vis  plani  ef  in  cbrpusculum  est  ut  sohdum  contentum  sub 
plano  iho  &  distantia  pg ;  &  vis  contraria  plani  E  F  vX  sohdum 
contentum  sub  plano  iho  &  distantia  pG;  erit  vis  ex  utraque 
composita  ut  differentia  sohdorum,  hoc  est,  ut  summa  aequahum 
planorem   ducta   in   senjissem   differentiae    disiantiarum,    id.  est,    ut 


iqS  DE  MOTU  CORFORUM 

summa   illa   ducta   m  p  S  dlstantlam    corpusculi    a  centro  sphaerae. 

Et   simlli    argumento,    attractio   planorum 

omnium  E  F,  ef  in  sphsera  tota,  hoc  est, 

attractlo  sphaerse  totlus,  est  conjunctim  ut 

summa  planorum  omnium,  seu  sphsera  tota, 

&   ut  /6"    dlstantla   corpusculi    a   centro 

sphaerae.     Q.  E,  D, 

Cas.  6.  Et  si  ex  corpusculis  innumeris 
/  componatur  sphaera  nova,  intra  sphaeram 
priorem  A  E  B  F  sita  ;  probabitur  ut  prius 
quod  attractio,  sive  simplex  sphaerae   unius   in  alteram,  sive   mutua 
utriusque  in  se  invicem,  erit  ut  distantia  centrorum/  S,     Q.  E.  D. 


PROPOSITIO     LXXVIII.     THEOREMA     XXXVIII. 

Si  sphcsrce  in  progressu  a  cejitro  ad  circumferentiam  sint  tUcunqtie 
dissimilares  &  incBquabiles,  in progressu  vero  per  circuitum  ad  datam 
omnem  a  centro  dista^itiam  sint  tmdique  similares :  &  vis  attractiva 
puncti  czcjusque  sit  tit  distantia  corporis  attracti ;  dico  quod  vis  tota 
qua  kujusmodi  spkcercB  ducB  se  mutuo  trakunt  sit  proportionalis 
distanticB  inter  centra  spkcsrarum. 

Demonstratur  ex  propositione  praecedente  eodem  modo,  quo 
propositio  lxxvi  ex  propositione  lxxv  demonstrata  fult. 

Corol.  Quae  superlus  in  propositionibus  x  &  lxiv  de  motu  cor- 
porum  circa  centra  conicarum  sectionum  demonstrata  sunt,  valent  ubi 
attractiones  omnes  fiunt  vi  corporum  sphaericorum  conditionis 
jam  descriptae,  &  attracta  corpora  sunt  sphaerae  conditionis  ejusdem. 

Sckolium. 

Attractionum  casus  duos  insigniores  jam  dedi  expositos  ;  nimirum 
ubi  vires  centripetae  decrescunt  in  duplicata  dlstantlarum  ratlone, 
vel  crescunt  in  distantlarum  ratione  simpHci;  efficientes  in  utroque 
casu  ut  corpora  gyrentur  in  conicis  sectionibus,  &  componen- 
tes     corporum     sphaericorum     vires     centripetas    eadem     lege,    in 


LIBER  PRIMVS. 


199 


recessu  a  Centro,  decrescentes  vel  crescentes  cum  seipsis  :  Quod  est 
notatu  dignum.  Casus  caeteros,  qui  conclusiones  minus  elegantes 
exhibent,  sigillatim  percurrere  longum  esset.  Malim  cunctos  me- 
thodo  generali  simul  comprehendere  ac  determinare,  ut  sequitun 


LEMMA    XXIX. 

Si  describantur  centro  S  circulus  quilibet  A  E  B,  dr'  centro  P  circuli 
duo  E  F,  ef,  secantes  priorem  in  E,  e,  lineamque  PS  in  F,  f; 
&  ad  Y  ?i  demittantur  perpendicula  E  D,  e  d :  dico  quod,  si 
distantia  arcuum  E  F,  e  f  in  infinitum  minui  intelligatury  ratio 
ultima  linece  evanescentis  D  dad  lineam  evanescentem  F  f  ea  sit,  quce 
linecB  FK  ad  /ineam  P  S. 

Nam  si  linea  Pe  secet  arcum  E  F  m  q ;  &  recta  jBe,  quae  cum 
arcu  evanescente  Ee  coincidit,  producta  occurrat  rectse  -PkS'  in  T; 
&  ah  S  demittatur  m  P E  normalis  SG :  ob  similia  triangula  D  TE, 
dTe,  DES;  erit  Dd  ad  Ee,  ut  D  T  Sid  TE,  seu  DE  ad  ES; 


&  ob  triangula  Eeq,  ESG  (per  lem.   viii    &   corol   3  lem.  vii) 

Isimilia,  erit  Ee  ad  eq,  seu  F/,  mX,  E  S  did  S  G ;  81,  ex  sequo,  Dd  ad 
F/  ut  DE  ad  SG;  hoc  est  (ob  similia  triangula  PDE,PGS) 


200 


DE  MOTU  CORPORUM 


PROPOSITIO    LXXIX.      THEOREMA     XXXIX 


Si  superficies  ob  latitudinem  infinite  difninutam  jamjam  evanescens 
EFfe,  convolutione  sui  circa  axem  P  S,  describat  solidtcni  sphcericum 
concavo-convexunty  ad  cujus  particulas  singulas  cequales  tendant 
cequales  vires  centripetcs :  dico  quod  vis,  qtia  solidum  illud  trahit 
co7pusculum  situm  in  P,  est  in  ratione  composita  ex  ratione  solidi 
D  E  ^  X  F  f,  dj"  ratione  vis  qua  particula  data  in  loco  F  f  traheret 
idem  corpusculum, 

Nam  si  primo  consideremus  vim  superficiei  sphaericae  F E,  quae 
convolutione  arcus  F E  generatur,  &  a  linea  de  ubivis  secatur  in  r ; 
erit  superficiei  pars  annularis,  convolutione  arcus  rE  genita,  ut 
lineola  D  d,  manente  sphaerse  radio  P^  (uti  demonstravit  Archi- 
medes  in  lib.  de  SphcBra  &  Cyli^idro),  Et  hujus  vis,  secundum  line- 
as  PE  vel  Pr  undique  in  super- 
ficie  conica  sitas  exercita,  ut  haec 
ipsa  superficiei  pars  annularis ; 
hoc  est,  ut  Hneola  D  d,  vel,  quod 
perinde  est,  ut  rectangulum  sub 
dato  sphaerse  radio  PE  &  Hneola 
illa  Dd:  at  secundum  Hneam 
P  S  "dA  centrum  ^  tendentem 
minor  in  ratione  P  D  ad  P  E^ 
ideoque  ut  P DxDd,  Dividi 
jam  inteHigatur  Hnea  DF  m 
particulas  innumeras  aequales,  quae  singulae  nominentur  Dd;  & 
superficies  FE  dividetur  in  totidem  aequales  annulos,  quorum  vires 
erunt  ut  summa  omnium  PDxDd,  hoc  est,  ut  \  P F q^\  P  D  q^ 
ideoque  ViX.DE  quad.  Ducatur  jam  superficies  F E  in  altitudinem 
Ff;  &  fiet  soHdi  EFfe  vis  exercita  in  corpusculum  P  ut  DEq  x  Ff: 
puta  si  detur  vis  quam  particula  aHqua  data  i^y  in  distantia  P/^  exer- 
cet  in  corpusculum  P.  At  si  vis  iHa  non  detur,  fiet  vis  soHdi  E  Ffe 
ut  soHdum  Z^iS'^  x  Ff  &i  vis  illa  non  data  conjunctim.     Q.  E.  D. 


LIBER    rRIMUS. 


20 1 


PROPOSITIO    LXXX:      THEOREMA    XL. 

Si  ad  sphcercB  alicujus  A  B  E,  centro  S  descriptcs,  particulas  singulas 

cequales  te^idant  cequales  vires  centripetce,  &  ad  sphcsrce  axem  A  B, 

in  quo  corpusculum  aliquod  P  locattcr,  erigantur  de  punctis  singulis  D 

perpendicula  D  E,  sphcErce  occurre^itia  in  E,  &  in  ipsis  capiantur 

DE  ^  X  P  S 

longitudines  D  N,  qucs  sint  ut  quantitas :^-= &  iJis^  qtmni 

sphcsrcB  particula  sita  in  axe  ad  distantiam.  P  E  exercet  in 
corpusculum  P,  conjunctim:  dico  quod  vis  tota,  qua  corpusculum 
P  trahitur  versus  sphcEram,  est  ut  area  A  N  B  comprehensa  sub 
axe  sphcBrcB  A  B,  <5f  linea  curva  A  N  B,  quam  punctum  N  per- 
petuo  tajigit, 

Etenim  stantlbus  quae  in  lemmate  &  theoremate  novlssimo  con- 
structa  sunt,  concipe  axem  sphaerse  A  B  dlvidi  in  particulas  innu- 


E  fi 


meras  aequales  D  d,  &i  sphseram  totam  dividi  in  totidem  laminas 
sphserlcas  concavo-convexas  E  Ff  e  ;  &  erigatur  perpendiculum  d  n^, 
Per  theorema  superius  vis,  qua  lamina  E  Ffe  trahit  corpusculum  P, 
est  ut  D E qy.Ff  81  vis  particulse  unius  ad  distantiam  F E  vel  P,'F: 


202 


DE  MOTU  COEPORUM 


exercita  conjunctim.      Est  autem  (per  lemma  novissimum)  D  d  2A 
Ffyxt  PE  ^d  P  S,&  inde  P/ ^qualis  ^-^^^ ;  SiDEqxFf 

sequaleZP^in  ^-= ,  &  propterea  vis  laminae  EFfe  est  ut 

D  d  in  ^-— &  vis  particulse  ad  distantiam  P  F  exercita  con- 

junctim,  hoc  est  (ex  hypothesi)  ut  DJVxDd,  seu  area  evanescens 
DNnd,       Sunt  igitur  laminarum  omnium  vires,  in  corpus  P  exer-       4 
citae,  ut  arese  omnes  D N nd,  hoc  est,  sphaerae  vis  tota  ut  area  tota 
ANB.     Q,E.D. 


CoroL  I.   Hinc  si  vis  centripeta,  ad  particulas  singulas  tendens, 

eadem    semper    maneat  in   omnibus    distantiis,    &    fiat    D  N    ut 

DEoxPS       .     .  t  ,_  ,• 
^-= ;  erit  vis  tota,  qua  corpusculum  a  sphaera  attrahitur,  ut 

area  ANB. 
.  Corol.  2.  Si  particularum  vis  centripeta  sit  reciproce  ut  distantia 

corpuscuH  a  se  attracti,  &  fiat  D  N  ut -f— ;  erit  vis,  qua 

P  E  q 

corpusculum  P  a  sphaera  tota  attrahitur,  ut  area  A  N  B. 

Corol.  3.    Si  particularum  vis  centripeta  sit  reciproce  ut  cubus 

D  E  QxP  S 

distantiae  corpusculi  a  se  attracti,  &  fiat  D  N  ut  — ^r^ ;  erit 

PEqq 

vis,  qua  corpusculum  a  tota  sphsera  attrahitur,  ut  area  A  N  B. 


LIBER  PRIMUS. 


203 


Corol,  4.    Et  universallter  si  vis  centripeta   ad   singulas   sphserse 

particulas  tendens  ponatur  esse  reciproce  ut  quantitas  V,  fiat  autem 

^  ,,       DEqy.PS        .       .  ,  ^ 

D  N  vX      ^  1. — r^ ;  erit  vis,  qua  corpusculum  a  sphaera   tota  at- 
P Ey.  V 

trahitur,  ut  area  A  N B, 

PROPOSITIO    LXXXI.       PROBLEMA     XLI. 

Stantibus  jam  positis,  mensuranda  est  area  A  N  B. 

A  puncto  P  ducatur  recta  P  H  sphaeram  tangens  in  Hy  &  ad 
axem  PAB  demissa  normaU  H I,  bisecetur  PI  m  L;  &  erit 
(per  prop.  xii  Hb.  2  elem.)  PEq  aequale  PSq-^-SEq-^-^PSD, 
Est  autem  SEq  seu  SHq  (ob  simihtudinem  triangulorum  SPH,  SHI) 
aequale  rectangulo  P SL  Ergo  PEq  aequale  est  contento  sub  PS  & 
PS+S/-h2SD,  hoc  est,  sub  PS  &  2LS-h2SD,  id  est,  sub 
PS  &  2  LD,  Porro  D E  quad,  aequale  est  SEq  —  SDq^  seu  SEq  — 


LSq+^SLD-LDq,  id  est,  2  S  L  D -- L  D  q- A  LB.     Nam 

L  S  q  —  S  E  q   seu    LSq  —  S  A  q    (per    prop.    vi    lib.    2    elem.) 

aequatur  rectangulo  A  L  B,      Scribatur  itaque  2  SL  D  —  L  D  q  — 

DEqxPS 

PE  xV 

larium  quartum  propositionis  praecedentis  est  ut  longitudo  ordina- 

2SLDxPS 
tim  apphcatae  D  N,  resolvet  sese  m  tres  partes  — ^-^ — r^ — ■ 


ALB  pro  DEq;  &  quantitas 


-,  quae  secundum  corol- 


204 


DE  MOTU  CORPORUM 


LDq X PS 
PBxV 


ALBxPS 


^  ^     ,^       :  ubl  si  pro  V  scribatur  ratio  inversa 
P Ex  V 

vis    centripetae,    &  pro   P  E    medium   proportionale    inter   P  S    8c 

2  LD;   tfes  illae  partes  evadent  ordinatlm  appllcatse  llnearum  totl- 

dem    curvarum,   quarum   arese   per   methodos   vulgatas  innotescunt. 

Q.E.F. 

ExempL  i.    Si  vis  centripeta  ad  singulas  sphserae   particulas  ten- 

dens  slt  reclproce  ut  dlstantla;  pro  V  scrlbe    dlstantiam  PE;   dein 

2  PSx  LD  pro  PEq,  &  fiet  DN  ut  SL^  h  L  D --  "^  f  ^. 

2  L  D 

A  L  B 
Pone  DN  aequalem  ejus  duplo    2  S L—  L  D— 


LD 


&  ordl- 


natae  pars  data  2  SL  ducta  in  longitudinem  A  B  describet  aream 
rectangulam  2  S  Lx  A  B  ;  &  pars  indefinita  LD  ducta  normaHter 
in  eandem  longltudlnem  per  motum  contlnuum,  ea  lege  ut  inter 
movendum  crescendo  vel  decrescendo  aequetur  semper  longitudlni 

L  D,  describet  aream   ^^ ^,  id  est,  aream  SLxAB;  qus 

subducta  de  area  priore  2  S  L  x  A  B  rehnquit  aream   S  Lx  A  B. 

A  L  B 
Pars  autem  tertia  ,    ducta  Itidem  per  motum  localem  norma- 

liter  in  eandem  longltudlnem,  descrlbet  aream  i 

hyperboHcam ;  quae  subducta  de  area  S  L  x 

A  B  rellnquet  aream  quaesltam  A  NB,   U  nde 

talis    emergit    problematis    constructio.      Ad 

puncta  L,  Ay  B  erlge  perpendlcula  L  l,  A  a, 

B  d,  quorum  A  a  Ipsi  L  B,  &.  B  b  ipsi  L  A 

aequetur.      Asymptotis  Z  /,  L  B,  per  puncta 

a  b    descrlbatur    hyperbola    a  b,        Et    acta 

chorda  b  a  claudet  aream  a  b  a  areae  quaesltae  A  N B  aequalem. 

ExempL  2,    Si  vls  centrlpeta  ad  slngulas  sphaerae  particulas  tendens 
sit  reclproce  ut   cubus  dlstantlae,  vel   (quod  perlnde  est)  ut   cubus 

P  E  ctib. 


2A  Sq 


pro  V, 


ille  applicatus  ad  planum  quodvis  datum  ;    scribe 

A€\n2  PSxLD  ^roPEq;  &L^^X.DN  Mt   ^  ^  ^ASq       A  S  q 

PSxLD         2PS 


LIBER  PRIMUS, 


205 


j.  j^     ,  id  est  (ob  continue  proportionales  P  S,  A  S,  S  /) 


2PSy^LDq 


ut 


LSI 
LD 


iSI- 


A  LBxS/ 


2LDq 


Si    ducantur    hujus    partes    tres 


in    longitudinem    A  B,    prima 


L  S I 

generabit    aream    hyperboli 

ALBxSI 
2LDq 

De  prima  subdu- 


cam;  secunda  \SI  aream  \ABy.SI;    tertia  ' ^   ^  aream 

ALBxSI    ALBxSI   .,      ^  i/fz?^c/ 

zr-^r — ,   id  est  \ABx<SL 

2LA  2LB 

catur  summa  secundae  &  tertise,  &  manebit    l 

area   quaesita  A  N  B.      Unde  talis  emer- 

git   problematis   constructio.      Ad  puncta 

L,A,SyB  erige  perpendicula  Ll,  A  a,  Ssy 

Bb,  quorum  vS^  ipsi  S I  sequetur,  perque 

punctum  s  asymptotis  L  l,  L  B  describatur 

hyperbola  asb  occurrens  perpendiculis  Aa,     ^ 

B  b  m  a8>Lb ;  81  rectangulum  2ASI  sub- 

ductum  de  area  hyperbolica  AasbB  rehnquet  aream  qusesitam  A  N B. 

Exempl.  3.  Si  vis  centripeta,  ad  singulas  sphserse  particulas  ten- 

dens,    decrescit    in    quadruplicata    ratione    distantiae    a    particulis ; 

scribe  -^-^-^  pro  V,  dein  J^PSxLD  pro  PE,  &  fiet  DN  ut 
2  A  Scub, 


ISqxSL 


Slq 


SlqxALB     i^ 


J2SI    "^  JLDr2j2SI     JLD2J2SI 


JLDqc 


2o6 


DE  MOTU  CORPORUM 


Cujus  tres  partes  ductse  in  longitudinem  A  B,  producunt  areas  to- 


Slq   . 


.j  .    2  SIqx  S  L  .         I  I 

tidem,  vtz. /  ^  ,      m  jy-  , 

J2  SI  JL  A      JLB    J2 SI 


^SIq^ALB^^ 


3  J2  S I  JL  A  cud.      sJL  B  aid.' 


in  JLB^  JLA; 
Et  hse  post  debitam  re- 


ductionem  fiunt 1^-= ,  Slq,  &  SIq-{-- j^\     Hae  vero, 

L  1  %  L  I 


0  7"        t. 

subductis  posterioribus  de  priore,  evadunt  - — :r-^'-      Proinde  vis 

iLI 

tota,  qua  corpusculum  P  in  sphaerae  centrum  trahitur,  est  ut 


PI 


id  est,  reciproce  mX.  P  S  cub.  x  P  /.     Q,  E,  I. 

Eadem  methodo  determinari  potest  attractio  corpusculi  siti  intra 
sphaeram,  sed  expeditius  per  theorema  sequens. 


PROPOSITIO    LXXXII.     THEOREMA    XLI. 

In  sphcera  centro  S  intervallo  S  A  descripta,  si  capiantur  S  I,  S  A, 
S  P  continue  proportionales :  dico  quod  corpusculi  intra  sphceramy 
in  loco  quovis  I,  attractio  est  ad  attractionem  ipsius  extra  sphcsramy 
tn  loco  P,  in  ratione  composita  ex  subduplicata  ratione  distantiarum 
a  centro  I  S,  P  S,  <S^  subduplicata  ratione  virium  centripetarum^  in 
locis  illis  P  &  I,  ad  centrum  tendentium. 


LIBER  PRIMUS, 


207 


Ut,  si  vires  centripetae  particularum  sphserae  sint  reciproce  ut 
distantiae  corpusculi  a  se  attracti ;  vis,  qua  corpusculum  situm  in  / 
trahitur  a  sphaera  tota,  erit  ad  vim,  qua  trahitur  in  P,  in  ratione 
composita  ex  subdupHcata  ratione  distantiae  S I  2A  distantiam  S  P, 
&  ratione  subdupHcata  vis  centripetae  in  loco  /,  a  particula  aHqua 
in  centro  oriundae,  ad  vim  centripetam  in  loco  P  ab  eadem  in 
centro  particula  oriundam,  id  est,  ratione  subdupHcata  distantiarum 
S I,  S P  ad  invicem  reciproce.  Hae  duae  rationes  subdupHcatae 
componunt  rationem  aequaHtatis,  &  propterea  attractiones  in  I  81  P 
a  sphaera  tota  factae  aequantur.  SimiH  computo,  si  vires  particula- 
rum  sphaerae  sunt  reciproce  in  dupHcata  ratione  distantiarum,  col- 
Hgetur  quod  attractio  in  /sit  ad  attractionem  in  P,  ut  distantia  SP 
ad  sphaerae  semidiametrum  SA:  Si  vires  iHae  sunt  reciproce  in  tripH- 


cata  ratione  distantiarum,  attractiones  in  /  &  P  erunt  ad  invicem 
ut  SP  quad.  dA  S  A  quad. :  Si  in  quadrupHcata,  ut  S P  cub.  ad  S  A 
cub.  Unde  cum  attractio  in  P,  in  hoc  ultimo  casu,  inventa  fuit 
reciproce  ut  P  Scub.y^P  I,  attractio  in  /  erit  reciproce  ut  S  A  cub, 
xP/y  id  est  (ob  datum  SAcub.)  reciproce  ut  P /.  Et  simiHs  est 
progressus  in  infinitum.     Theorema  vero  sic  demonstratur. 

Stantibus  jam  ante  constructis,   &   existente  corpusculo  in  loco 

.         ^  j.         .  ,.  r^^r    '  r   '  D  E  qX  P  S 

quovis  P,   ordmatim    apphcata  D  N  mventa  fuit  ut  — p-^; — ^ . 

Ergo  si  agatur  / E,  ordinata  illa  pro  alio  quovis  corpusculi  loco  /, 

DEqx/S 
mutatis  mutandis,  evadet  ut  — y-^ — ^^r— .      Pone  vires  centripetas,  e 


208 


r>E  MOTU  CORPORUM 


sphaerse  puncto  quovis\£'  manantes,   esse  ad   Invicem   in  dlstantlls 

I E,   P  E,    ut   P  E''   ad   lE''    (ubi    numerus    n   deslgnet    indicem 

D  EqxP  S 
potestatum  P E  8l   I E)   &.  ordinatae   illae   fient  ut        ^    T)~pn  ^ 

DEqxIS  .         ,    .      .  ^  ^      . 

-jr-p — r  fTn^    quarum    ratio  ad   mvicem  est   ut  Pc^xIExIE''  ac 

ISxPExP E"".       Quonlam  ob  continue  proportionales  SI,  SE, 
SP,  similia  sunt  triangula  SPE,  S  E I,  &  inde  fit  I E  2id  PE  ut 


ISsid  SE  vel  SA  ;  pro  ratione  I E  adPE  scribe  rationem  IS  ad 
SA  ;  &  ordinatarum  ratio  evadet  PSxIE""  ad  SA  xPE"".  Sed 
PS  Sid  S  A  subduplicata  est  ratio  distantiarum  P  S,  SI ;  &  I E""  ad 
PE*"  {oh  proportionales  lE  2id  P  E  ut  IS  aid  SA)  subduplicata  est 
ratio  virium  in  distantiis  P6',  I S.  Ergo  ordinat^,  &  propterea 
areae  quas  ordinatae  describunt,  hisque  proportionales  attractiones, 
sunt  in  ratione  composita  ex  subdupHcatis  illis  rationibus.     Q.  E.  D. 


PROPOSITIO    LXXXIII.     PROBLEMA    XLII. 

Invenire  vim  qua  corpusculum   in  centro  spkcErce  locatum  ad  ejus 
segmentum  quodcunque  attrahitur. 

Sit  P  corpus  in  centro  sphaerae,  &  RBS D  segmentum  ejus 
plano  PDS  &  superficie  sphaerica  PBS  contentum.  Superficie 
sphaerica^/^6^  centro  P  descripta  secetur  DB   in  E,   ac  distln- 


LIBER  PRIMUS. 


209 


guatur  segmentum  in  partes  B  R  E  F  G  S, 

FEDG.      Sit  autem  superficies  illa  non 

pure  mathematica,  sed    physica,   profundi- 

tatem  habens  quam  minimam.     Nominetur 

ista  profunditas  O,  &  erit  hsec  superficies 

(per   demonstrata   Archimedis)   ut   P  Fx 

D  FxO,    Ponamus  praeterea  vires  attracti- 

vas  particularum  sphaerse  esse  reciproce  ut   ^- 

distantiarum  dignitas  illa,  cujus  index  est 

n;    &   vis,   qua   superficies    EFG    trahit 

corpus    P,     erit     (per    prop.     lxxix)     ut 

DEqxO  ..             2DFxO     DFqxO 
ppn     ^  i^  e^t,  ut     ^^_ -^^. 

Huic  proportionale  sit  perpendiculum  FN 

ductum    in   O  ;    &  area  curviHnea  B  D I, 

quam   ordinatim  applicata  FN  m  longitudinem  DB    per  motum 

continuum  ducta  describit,   erit  ut  vis  tota  qua  segmentum  totum 

RBSD  trahit  corpus  P.     Q. E.I. 


PROPOSITIO    LXXXIV.     PROBLEMA    XLIII. 


Invenire  vim,  qua  corpusculumy  extra  centrum  sphcsrce  in  axe  segmenti 
cujusvis  locatumy  attrahitur  ab  eodem  segmento. 

A  segmento  E  B  K  trahatur 
corpus  P  in  ejus  axe  ADB 
locatum.  Centro  P  interval- 
\o  P  E  describatur  superficies 
sphaerica  E  FK,  qua  distingua- 
tur  segmentum  in  partes  duas 
EBKFE  &  EFKDE. 
Quaeratur  vis  partis  prioris  per 
prop.  Lxxxi  &  vis  partis  pos- 
terioris  per  prop.  lxxxiii;  & 
summa  virium  erit  vis  segmen- 
ti  totius EBKDE.     Q.E.I. 


2  I  o  DE  MO  TU  CORFOR  UM 

Scholhcm. 

Explicatis  attractionibus  corporum  sphsericorum,  jam  pergere 
liceret  ad.  leges  attractionum  aliorum  quorundam  ex  particulis 
attractivis  similiter  constantium  corporum ;  sed  ista  particulatim 
tractare  minus  ad  institutum  spectat.  Suffecerit  propositiones 
quasdam  generaliores  de  viribus  hujusmodi  corporum,  deque  motibus 
inde  oriundis,  ob  earum  in  rebus  philosophicis  aliqualem  usum, 
subjungere. 

SECTIO     XIII. 
De  corportim  non  sphcBricoritm  viribus  attractivis, 

PROPOSITIO    LXXXV.      THEOREMA    XLII. 

^SV  corporis  attractiy  ubi  attrahenti  contigtcum  est,  attractio  longe/ortior 
sity  quam  cum  vel  minimo  intervallo  separantur  ab  invicem :  vires 
particularum  trahentis,  in  recessu  corporis  attracti,  decrescunt  in 
ratione  plusqicam  dicplicata  distantiarum  a  particulis, 

Nam  si  vires  decrescunt  in  ratione  duplicata  distantiarum  a  parti- 
culis ;  attractio  versus  corpus  sphsericum,  propterea  quod  (per  prop. 
Lxxiv)  sit  reciproce  ut  qudratum  distantise  attracti  corporis  a  centro 
sphserae,  haud  sensibiliter  augebitur  ex  contactu  ;  atque  adhuc  minus 
augebitur  ex  contactu,  si  attractio  in  recessu  corporis  attracti  decrescat 
in  ratione  minore.  Patet  igitur  propositio  de  sphseris  attractivis. 
Et  par  est  ratio  orbium  spharicorum  concavorum  corpora  externa 
trahentium.  Et  multo  magis  res  constat  in  orbibus  corpora  interius 
constituta  trahentibus,  cum  attractiones  passim  per  orbium  cavitates 
ab  attractionibus  contrariis  (per  prop.  lxx)  tollantur,  ideoque  vel  in 
ipso  contactu  nullse  sunt.  Quod  si  sphseris  hisce  orbibusque 
sphsericis  partes  quselibet  a  loco  contactus  remotse  auferantur,  & 
partes  novse  ubivis  addantur  :  mutari  possunt  figurse  horum  corporum 
attractivorum  pro  lubitu,  nec  tamen  partes  additse  vel  subductae,  cum 
sint  a  loco  contactus  remotse,  augebunt  notabiliter  attractionis 
excessum,  qui  ex  contactu  oritur.  Constat  igitur  propositio  de 
corporibus  figurarum  omnium.     Q.  E.  D^ 


LIBER  PRIMUS.  21 


PROPOSITIO    LXXXVI.      THEOREMA    XLIII. 

Si  particulai^Mm,  ex  quibus  corpus  attractivum  componiturj  vires  in 
recessu  corporis  attracti  decrescunt  in  triplicata  vel  plusquam 
triplicata  ratione  distantiarum  a  particulis :  attractio  longe  fortior 
erit  in  contactu,  quam  cum  attrahens  &  attractum  intervallo  vel 
minim^  separantur  ab  invice^n, 

Nam  attractionem  in  accessu  attracti  corpusculi  ad  hujusmodi 
sphaeram  trahentem  augeri  in  infinitum,  constat  per  solutionem 
problematis  xli  in  exemplo  secundo  ac  tertio  exhibitam.  Idem, 
per  exempla  illa  &  theorema  xli  inter  se  collata,  facile  colligitur 
de  attractionibus  corporum  versus  orbes  concavo-convexos,  sive 
corpora  attracta  collocentur  extra  orbes,  sive  intra  in  eorum  cavi- 
tatibus.  Sed  &  addendo  vel  auferendo  his  sphaeris  &  orbibus 
ubivis  extra  locum  contactus  materiam  quamHbet  attractivam,  eo  ut 
corpora  attractiva  induant  figuram  quamvis  assignatam^  constabit 
propositio  de  corporibus  universis.     Q.E.D. 


PROPOSITIO    LXXXVII.      THEOREMA    XLIV. 

Si  corpora  duo  sibi  invicem  similia,  &  ex  materia  cBqualiter  attractiva 
constantia,  seorsim  attrahant  corpuscula  sibi  ipsis  proportionalia  & 
ad  se  similiter  posita :  attractiones  acceleratrices  corpusculorum  in 
corpora  tota  erunt  ut  attractiones  acceleratrices  corpusculorum  in 
eorum  particulas  totis  proportionales,  &  in  totis  similiter  positas. 

Nam  si  corpora  distinguantur  in  particulas,  quae  sint  totis  propor- 
tionales,  &  in  totis  simiHter  sitse ;  erit,  ut  attractio  in  particulam 
quamHbet  unius  corporis  ad  attractionem  in  particulam  correspon- 
dentem  in  corpore  altero,  ita  attractiones  in  particulas  singulas  primi 
corporis  ad  attractiones  in  alterius  particulas  singulas  correspondentes ; 
&  componendo,  ita  attractio  in  totum  primum  corpus  ad  attractionem 
in  totum  secundum.     Q.  E.  D. 


2  12  DE  MOTU  CORPOR  UM 

CoroL  I.  Ergo  si  vires  attractivse  particularum,  augendo  distantias 

corpusculorum  attractorum,  decrescant  in  ratione  dignitatis  cujusvis 

distantiarum ;    attractiones   acceleratrices    in    corpora   tota   erunt   ut 

corpora  directe,  &  distantiarum  dignitates  illae  inverse.     Ut  si  vires 

particularum    decrescant   in    ratione    duplicata    distantiarum    a    cor- 

pusculis  attractis,   corpora  autem  sint  ut  A  cub.  &  B  ctcb,   ideoque 

tum  corporum  latera  cubica,  tum  corpusculorum  attractorum  distantiae 

a   corporibus,    vX  A    8i   B :    attractiones    acceleratrices    in    corpora 

A  cub.    o    B  cub.      . ,  -  Mi         1  • 

erunt  ut  — r  &  — . ,  id  est,  ut  corporum  latera  illa  cubica 

A  quacl.       B  quad. 

A    &   B.      Si   vires   particularum   decrescant   in    ratione   triplicata 

distantiarum   a   corpusculis    attractis ;    attractiones   acceleratrices    in 

^     ^  A  cub.    o    B  ctib.     . .  ,  ^.      . 

corpora  tota  erunt  ut  — &  — — -  ,  id  est,   a^quales.     Si  vires 

decrescant  in  ratione  quadruplicata ;  attractiones  in  corpora  erunt  ut 

A  cub.  o  B  cub.    . .  .  ,  ^  *        ^  rs    T.       ^      , 

—1 &  — ,  id  est,  reciproce  ut  latera  cubica  A  ci  B.      Et  sic 

Aqq.         Bqq. 

in  caeteris. 

Corol.  2.   Unde  vicissim,  ex  viribus,  quibus  corpora  similia  trahunt 

corpuscula   ad    se   similiter   posita,    colligi    potest    ratio   decrementi 

virium  particularum  attractivarum   in  recessu  corpusculi  attracti ;  si 

modo   decrementum  illud  sit   directe  vel  inverse   in   ratione  aliqua 

distantiarum. 


PROPOSITIO    LXXXVIII.     THEOREMA    XLV. 

St  particularum  cBqtcalium  corporis  cujusctmque  vires  attractivce  sint 
ut  distanticB  locorum  a  particulis :  vis  corporis  totius  tendet  ad  ipsius 
centrum  gravitatis ;  &  eadem  erit  cum  vi  globi  ex  materia  consimili 
&  ceqtiah  constantis,  &  centrum  habentis  in  ejus  centro  gravitatis, 

Corporis  RSTV particulae  A,  B  trahant  corpusculum  aliquod  Z 
viribus,  quae,  si  particulae  aequantur  inter  se,  sint  ut  distanti^  A  Z, 
B  Z ;  sin  particulae  statuantur  inaequales,  sint  ut  hae  particulae  & 
ipsarum  distantiae  A  Z,  B  Z  conjunctim,  sive  (si  ita  loquar)  ut  hse 
particulae  in  distantias  suas  A  Z,  BZ  respective  ductae.     Et  exponantur 


LIBER  PRIMUS. 


213 


hse  vlres  per  contenta  illa  A  xA  Z  81  B  x  B  Z.  Jungatur  A  B,  & 
secetur  ea  in  G  ut  sit  -^  6^  ad  ^  6^  ut  particula  B  ad  particulam  A; 
&  erit  G  commune  centrum  gravitatis  particularum  A  &  B.  Vis 
A  X  A  Z  (per  legum  corol.  11)  resolvitur  in  vires  A  x  G  Z  8i  A  x  A  G 
&  vis  BxB  Z  in  vires  BxGZ&BxBG.  Vires  autem  A  xA  G 
&   B  X  B  G,  oh  proportionales  A 

ad  B  &  B  G  a,d  A  G,  sequantur ;    @.„ 

ideoque  cum  dirigantur  in  partes    ^  "•■"•J^^^^^^^^^^^^ 

contrarias,    se    mutuo    destruunt.  '•..•• 

Restant vires A  xGZ&BxGZ, 

Tendunt  hse  ab  Z  versus  centrum 

Gy    &   vim  A  -\-B  X  G  Z  compo- 

nunt ;  hoc  est,  vim  eandem  ac  si 

particulae  attractivse  A  SlB  consis- 

terent  in  eorum  communi  gravitatis  centro  G,  globum  ibi  componentes. 

Eodem  argumento,  si  adjungatur  particula  tertia  C,  &  componatur 
hujus  vis  cum  w\  A  -\-B  x  G  Z  tendente  ad  centrum  G;  vis  inde  oriunda 
tendet  ad  commune  centrum  gravitatis  globi  illius  in  6^  &  particulae 
C;  hoc  est,  ad  commune  centrum  gravitatis  trium  particularum  A,  B, 
C;  &  eadem  erit,  ac  si  globus  &  particula  C  consisterent  in  centro  illo 
communi,  globum  majorem  ibi  componentes.  Et  sic  pergitur  in  infini- 
tum.  Eadem  est  igitur  vis  tota  particularum  omnium  corporis  cujus- 
cunque  R  S  T  V,  3.0  si  corpus  illud,  servato  gravitatis  centro,  figuram 
globi  indueret.     Q.  E,D, 

CoroL  Hinc  motus  corporis  2X\x2sX\  Z  idem  erit,  ac  sl  corpus  at- 
trahens  R  S  T  V  esset  sphsericum :  &  propterea  sl  corpus  illud  attra- 
hens  vel  qulescat,  vel  progrediatur  uniformiter  in  directum  ;  corpus 
attractum  movebitur  in  elHpsi  centrum  habente  in  attrahentis  centro 
gravitatis. 


PROPOSITIO    LXXXIX.      THEOREMA    XLVI. 

Si  corpora  siiit  plura  ex  particulis  csqualibus  constantia,  quarum  vires 
sunt  ut  distanticB  locorum  a  singulis :  vis  ex  oninium  viribus  compo- 
sita,  qua  corpusculum  quodcunque  trahitur,  tendet  ad  trahentium 
commune  centrum  gravitatis ;    &  eadem  erit,  ac  si  trahentta  tlla, 


214 


DE  MOTU  CORPORUM 


scTvato  gravitatis  cefitro    commtmiy    coirent    &   in   globtim   for- 
mare^ttur. 

Demonstratur  eodem  modo,  atque  propositio  superior. 

Corol.  Ergo  motus  corporis  attracti  idem  erit,  ac  si  corpora  tra- 
hentia,  servato  communi  gravitatis  centro,  coirent  &  in  globum 
formarentur.  Ideoque  si  corporum  trahentium  commune  gravitatis 
centrum  vel  quiescit,  vel  progreditur  uniformiter  in  Hnea  recta;  corpus 
attractum  movebitur  in  elHpsi,  centrum  habente  in  communi  illo  tra- 
hentium  centro  gravitatis. 


PROPOSITIO    XC.      PROBLEMA    XLIV. 

Si  ad  singula  circuli  cujuscunque  puncta  te?idant  vires  csquales 
centripetcey  crescentes  vel  decrescentes  in  quacunque  distajitiarum 
ratione:  invenire  vim,  qua  corpusculum  attrahitur  ubivis  positum 
in  recta,  qucE  plano  circuli  ad  centrum  ejus  perpendictdariter 
insistit. 

Centro  A  intervallo  quovis  A  Dy  in  plano,  cui  recta  A  P  perpen- 
dicularis  est,  describi  intelligatur  circulus ;  &  invenienda  sit  vis,  qua 
corpusculum  quodvis  P  in  eundem  attrahitur.  A  circuH  puncto 
quovis  E  ad  corpusculum  attractum 
PagaturrectaP^.  InrectaP^  ca- 
piatur  P  F  ipsi  P  E  aequaHs,  &  eriga- 
tur  normaHs  F  K^  quae  sit  ut  vis  qua 
punctum  E  trahit  corpusculum  P. 
Sitque  I K  L  curva  Hnea  quam  punc- 
tum  K  perpetuo  tangit.  Occurrat 
eadem  circuH  plano  in  L.  In  P  A 
capiatur  P  H  sequaHs  P  D,  8i  eriga- 
tur  perpendiculum  H I  curvae  prae- 
dictae  occurrens  in  /;  &  erit  corpus- 
cuH  P  attractio  in  circulum  ut  area  AHIL  ducta  in  altitudinem 
A  P.     Q.  E.  I. 

Etenim  in  ^  ^  capiatur  Hnea  quam  minima  E  e.    Jungatur  P  e, 
&  in  P  E,  P  A  capiantur  P  C,  P  f  ipsi  P  e  aequales.     Et  quoniam 


LIBER  PRIMUS.  2  I  5 

vls,  qua  annull  centro  A  intervallo  A  E  m  plano  praedlcto  descrlpti 

punctum  quodvis  E    trahit  ad   se  corpus  P,  ponitur  esse  ut  F K, 

&   inde   vis,  qua   punctum  illud  trahit   corpus  P  versus  A,    est  ut 

A  P  X  F  K 

— — —  ,  &  vis,  qua  annulus  totus  trahlt  corpus  P  versus  A,  ut 

APy.FK 

annulus  & jr-= —   conjunctlm  ;  annulus  autem  iste  est  ut  rectan- 

P  E 

gulum  sub  radlo  A  E    8l  latitudine  E  e,  81   hoc    rectangulum    (ob 

proportlonales  P  E  &  A  E,  Ee  &  C  E)  aequatur  rectangulo  P  E  y. 

CE  seu  P ExFf;  erit  vis,  qua  annulus  iste  trahit  corpus  P  versus 

y4  P  yc  F  TC 
A,  ut  P ExFf  & ^-= —  conjunctim,  id  est,  ut  contentum  Ffx 

FKxA  P,  sive  ut  area  F K kf  dxxctdi  In  A  P,  Et  propterea  summa 
virium,  quibus  annuH  omnes  in  circulo,  qui  centro  A  &  intervallo 
AD  descrlbitur,  trahunt  corpus  /^  versus  Ay  est  ut  area  tota 
A  HIKL  ducta  in  A  P,     Q,  E,  D. 

Corol.   I.   Hinc  si  vires  punctorum  decrescunt  in  duplicata  distan- 

tlarum  ratione,  hoc  est,  si  sit  FK  ut     ^  ^ r  ,  atque  ideo  area 

P  F  quad,         ^ 

AHIKL  ut  -=— : — ;t-t>;  erit  attractio  corpusculi  P   in  clrculum 
PA     PH  ^ 

^        PA..      ^     ^  AH 
ut  i-p^.  id  est,  ut  -^, 

Corol.  2.  Et  unlversaliter,  si  vires  punctorum  ad  distantlas  D  sint 
reciproce  ut  distantiarum  dignitas  quaelibet  D'*,  hoc  est,  si  sit  FK 

ut  :r— ,  ideoque  area  AHIKL  ut    ^    . ^p—rp — ;eritattrac- 

I  PA 

tio  corpusculi  P  in  circulum  ut  ^_^  —       lth-x  • 

Corol.  3.  Et  si  dlameter  circuli  augeatur  in  infinitum,  &  numerus 

n  sit  unitate  major ;  attractlo  corpusculi  P  in  planum  totum  infinitum 

P  A 
erit  reclproce  ut  P A*"-^,  propterea  quod   terminus   alter         //«>-, 

evanescet. 


2i6  i^E  MOTU  COKFORUM 

PROPOSITIO    XCI.     PROBLEMA    XLV. 

Invenire  attractionem  corpusculi  siti  in  axe  solidi  rotundi,  ad  cujus 
piincta  singula  tendtmt  vires  cequales  centripetce  in  quacunque 
distantiarum  ratione  decrescentes. 

In  solldum  D ECG  trahatur  corpusculum  P,  situm  in  ejus  axe 
A  B.  Circulo  quolibet  R  F S  ^lA 
hunc  axem  perpendiculari  secetur 
hoc  solidum,  &  in  ejus  semidiame- 
tro  FS,  in  plano  aliquo  PALKB 
per  axem  transeunte,  capiatur  (per 
prop.  xc)  longitudo  FK  vi,  qua 
corpusculum  P  in  circulum  illum 
attrahitur,  proportionaHs.  Tangat 
autem  punctum  K  curvam  Hneam 
LKI,  planis  extimorum  circulorum 
A  L  &  B I  occurrentem  in  Z  &  /;  &  erit  attractio  corpuscuH  P  in 
soHdum  ut  area  LABL     Q.E.I 

Corol. 
cyHndrus 

A  D  E  B  circa  axem  A  B  revol- 
uto  descriptus,  &  vires  centripetae 
in  singula  ejus  puncta  tendentes 
sint  reciproce  ut  quadrata  distan- 
tiarum  a  punctis  :  erit  attractio 
corpuscuH  P  in  hunc  cyHndrum 
utAB^PE+PD.     Namordi- 


I.     Unde    si    soHdum 
sit,     parallelogrammo 


v 


I? 


& 


r 


i/ 


natim  appHcata  FK  (per  corol.   i  prop.  xc)  erit  ut  i 


P  F 


Hujus 


P  R' 

pars    I     ducta    in    longitudinem    A  B,    describit    aream     ixAB: 

P  F 
&    pars    altera    -^^-^     ducta      in     longitudinem      P  B,      describit 


PR 


L  K I      qua- 
eadem    ducta 


aream     i     in     PE-DA     (Id     quod     ex      curv^ 
dratura    facile     ostendi    potest) ;     &     simiHter    pars 
in    longitudinem   PA    describit   aream    i    in    PD—AD,  ductaque 
in  ipsarum  PB,  PA  differentiam  AB  describit  arearum  differentiam 

De 


in    PE''PD. 


contento   primo    i  xA  B    auferatur    con- 


LJBER  PRIMUS. 


217 


tentum  postremum  i  in  P^— /'/^,  &  restabit  area  L  A  B I  aequalis 
I  in  A  B—P  E-^-P  D.  Ergo  vis,  huic  areae  proportionalis,  est 
ixtAB-PE^-PD. 

CoroL  2.  Hinc  etiam  vis  innotescit,  qua  sphserois  A  G  B  C  attrahit 
corpus  quodvis  P,  exterius  in  axe  suo  A  B  situm.  Sit  NKRM  sectio 
conica  cujus  ordinatim  appHcata  E  R,  ipsi  P  E  perpendicularis, 
aequetur  semper  longitudini  P  D,  quae  ducitur  ad  punctum  illud 
D,  in  quo  appHcata  ista  sphaeroidem  secat.  A  sphaeroidis  verticibus 
A,  B  ad  ejus  axem  AB  erigantur  perpendicula  A  K,  B  Mv^^is,  A  P, 
B  P  aequaHa  respective,  &  propterea  sectioni  conicae  occurrentia  in 
K  &  M ;  &  jungatur  A^J/auferens  ab  eadem  segmentum  K MRK. 


; 

*  -~-^ 

M 

Iq 

s 

c 

/^ 

/ 

£ 

// 

"/ 

y/ri 

// 

'  / 

"^-^__A 

__^ 

^^ 

X' 

^i^ 

N 

/ 

P 

/ 

A  B  descripta  trahit  idem  corpus,  ut 


Sit  autem  sphaeroidis  centrum  6^  &  semidiameter  maxima  S  C :  %l 
vis,  qua  sphaerois  trahit  corpus  P,  erit  ad  vim,  qua  sphaera  diametro 

ASyiCSq-P  Sy^KMRK 
PSq^-CSq-ASq 

ad  — =-— '—. .      Et  eodem  computandi  fundamento  invenire  Hcet 

ZP S  qiiad. 

vires  segmentorum  sphaeroidis. 

Corol.  3.  Quod  si  corpusculum  intra  sphaeroidem  in  axe  coHoce- 

tur ;  attractio  erit  ut  ipsius  distantia  a  centro.     Id  quod  faciHus  hoc 

argumento  coHigitur,   sive  particula  in  axe   sit,  sive  in  aHa  quavis 

diametro  data.     Sit  A  G  O  F  sphaerois  attrahens,  6"  centrum  ejus,  & 

P  corpus  attractum.     Per  corpus  iHud  P  agantur  tum  semidiameter 

S P  A,  tum  rectae  duae  quaevis  D  E,  FG  sphaeroidi  hinc  inde  occur- 


2l8 


DE  MOTU  CORPORUM 


rentes  m  D  &.  E,  F  8i  G  ;  sintque  P  C M,  H L  N  superficies  sphse- 
roidum  duarum  interiorum,  exteriori  similium  &  concentricarum, 
quarum  prior  transeat  per  corpus  P,  &  secet  rectas  D E  8>l  FG  in 
B  8l  C,  posterior  secet  easdem  rectas  in  //,  /  &  K,  L.  Habeant 
autem  sphaeroides  omnes  axem  communem,  &  erunt  rectarum  partes 
hinc  inde  interceptae  D  P  &l  B  E,  FP 
8lCG,  DH8i  lE,  FK  8l  L  G  sibi 
mutuo  sequales  ;  propterea  quod  rectae 
D  E,  P  B  8i  H I  bisecantur  in  eodem 
puncto,  ut  &  rectae  FG,  P C  81  K L. 
Concipejam  D P F,  EPG  designare 
conos  oppositos,  anguHs  verticahbus 
DPF,  EP  G  infinite  parvis  descriptos, 
8l  Hneas  etiam  D  H,  E I  infinite 
parvas  esse ;  &  conorum  particulae  sphaeroidum  superficiebus 
abscissae  DHKF,  GLIE,  ob  aequaHtatem  Hnearum  D  H^  E I, 
erunt  ad  invicem  ut  quadrata  distantiarum  suarum  a  corpusculo 
Py  8l  propterea  corpusculum  iHud  aequaHter  trahent.  Et  pari 
ratione,  si  superficiebus  sphaeroidum  innumerarum  simiHum  con- 
centricarum  &  axem  communem  habentium  dividantur  spatia  D  P  F, 
^6^  C^  in  particulas,  hae  omnes  utrinque  aequaHter  trahent  corpus 
P  in  partes  contrarias.  ^Equales  igitur  sunt  vires  coni  DPF 
8l  segmenti  conici  EGCB,  8l  per  contrarietatem  se  mutuo  destruunt. 
Et  par  est  ratio  virium  materiae  omnis  extra  sphaeroidem  intimam 
PCBM.  Trahitur  igitur  corpusP  a  sola  sphaeroide  intima  PCBM, 
8l  propterea  (per  corol.  3  prop.  lxxii)  attractio  ejus  est  ad  vim,  qua 
corpus  A  trahitur  a  sphaeroide  tota  A  G  O  D,  ut  distantia  P  S  ad 
distantiam  A  S.     Q.E.D. 


PROPOSITIO    XCII.      PROBLEMA    XLVI. 

Dato  corpore  attractivOy  invenire  rationem  decrementi  virium  centri- 
petarum  in  ejus  puncta  singula  tendentium. 

E  corpore  dato  formanda  est  sphaera  vel  cyHndrus  aHave  figura 
regularis,  cujus  lex  attractionis,  cuivis  decrementi  rationi  congruens, 
(per  prop.  lxxx,  lxxxi  &  xci)  inveniri  potest.  Dein  factis  expe- 
rimentis  invenienda  est  vis  attractionis  in  diversis  distantiis,  &  lex 


LIBER  FRIMUS. 


219 


attractlonis  in  totum  inde  patefacta  dablt  rationem  decrementi  virium 
partium  singularum,  quam  invenire  oportuit. 


PROPOSITIO    XCIII.      THEOREMA    XLVII. 

Si  solidtcm  ex  nna  parte  planum,  ex  reliquis  autem  partibus  infini- 
ttim,  constet  ex  particulis  cequalibics  cequaliter  attractivis,  quartcm 
vires  in  recessu  a  solido  decrescunt  in  ratione  potestatis  cujus- 
vis  distantiarum  plusquam  quadraticce,  &  vi  solidi  totius  corpus- 
culum  ad  utramvis  plani  partem  coustitutum  trahatur:  dico 
quod  solidi  vis  illa  attractiva,  in  recessu  ab  ejus  superficie 
plana,  decrescet  in  ratione  potestatis,  cujus  latus  est  distantia 
corpusculi  a  plano,  &  index  ternario  minor  qtiam  index  potestatis 
distantiarum, 

Cas.  I.  Sit  L  6^/planum  quo  solidum  terminatur.  Jaceat  solidum 
autem  ex  parte  plani  hujus  versus  /,  inque  plana  innumera  m  H M, 
nlN,  oKO,  &c.  ipsi  GL 
parallela  resolvatur.  Et 
prlmo  collocetur  corpus  at- 
tractum  C  extra  solidum. 
Agatur  autem  C  G  H I 
planis  illis  innumeris  per-  c 
pendicularis,  &  decrescant 
vires  attractlvae  punctorum 
solidi  in  ratione  potestatls 
dlstantiarum,  cujus  index  sit 
numerus  n  ternario  non 
minor.  Ergo  (per  corol.  3  prop.  xc)  vis,  qua  planum  quodvis  mH M 
trahit  punctum  C,  est  reciproce  ut  CH*'~''.  In  plano  m  H  M  C2l- 
piatur  longitudo  H  M  ipsi  C  H"~''  reciproce  proportionalis,  &  erit 
vis  illa  ut  H  M.  Simlliter  in  planis  singuHs  l  G  L,  n  I  N, 
0  K  O,  &c.  capiantur  longltudines  G  L,  J  N,  K  O,  &c.  ipsis 
C  G"~'',  C  I"~^,  C  K^^^^y  &c.  reciproce  proportionales ;  &  vlres  plan- 
orum  eorundem  erunt  ut  longltudines  captae,  ideoque  summa 
virium  ut  summa   longltudinum,  hoc    est,  vis    solidi    totius  ut  area 


L 

■■•-- N 

0 

1 

. 

h                       6 
i 

H 

:        771 

I 

71 

K 
0 

220 


DE  MOTU  CORPORUM 


N          0 

c 

I          K 

o 

G  L  O  K  \w  infinitum  versus  O  K  producta.  Sed  area  illa  (per  notas 
quadraturarum  methodos)  est  reciproce  ut  C  G"'^,  &  propterea  vis 
solidi  totius  est  reciproce  ut  C  G*'~\     Q,  E.  D, 

Cas,  2.  Collocetur  jam  corpusculum 
C  ex  parte  plani  IG L  intra  solidum,  & 
capiatur  distantia  C  K  sequalis  distantiae 
CG,  Et  solidi  pars  LGlo  KO,  planis 
parallelis  l  G  L,  o  K  O  terminata,  cor- 
pusculum  C  in  medio  situm  nullam  in 
partem  trahet,  contrariis  oppositorum 
punctorum  actionibus  se  mutuo  per 
sequalitatem  tollentibus.  Proinde  cor- 
pusculum  C  sola  vi  solidi  ultra  planum  O  K  siti  trahitur.  Hsec  autem 
vis  (per  casum  primum)  est  reciproce  ut  C K''^^,  hoc  est  (ob  aequales 
CG.CK)  reciproce  ut  C  G^-\     Q,  E,  D, 

Corol,  I.  Hinc  si  solidum  L  G I N  planis  duobus  infinitis  paralleHs 
L  G,  I N  utrinque  terminetur;  innotescit  ejus  vis  attractiva,  subdu- 
cendo  de  vi  attractiva  solidi  totius  infiniti  L  G  K  O  vim  attractivam 
partis  ulterioris  N I K  O,  in  infinitum  versus  K  O  productae. 

Corol.  2.  Si  solidi  hujus  infiniti  pars  ulterior,  quando  attractio  ejus 
collata  cum  attractione  partis  citerioris  nulHus  pene  est  momenti, 
rejiciatur  :  attractio  partis  illius  citerioris  augendo  distantiam  decrescet 
quam  proxime  in  ratione  potestatis  C  G"~\ 

Corol,  3.  Et  hinc  si  corpus  quodvis  finitum  &  ex  una  parte  planum 
trahat  corpusculum  e  regione  medii  ilHus  plani,  &  distantia  inter 
corpusculum  &  planum  coHata  cum  dimensionibus  corporis  attra- 
hentis  perexigua  sit,  constet  autem  corpus  attrahens  ex  particuHs 
homogeneis,  quarum  vires  attractivae  decrescunt  in  ratione  potestatis 
cujusvis  plusquam  quadrupHcatae  distantiarum ;  vis  attractiva  corporis 
totius  decrescet  quamproxime  in  ratione  potestatis,  cujus  latus  sit 
distantia  iHa  perexigua,  &  index  ternario  minor  quam  index  potestatis 
prioris.  De  corpore  ex  particuHs  constante,  quarum  vires  attractivae 
decrescunt  in  ratione  potestatis  tripHcatae  distantiarum,  assertio  non 
valet ;  propterea  quod,  in  hoc  casu,  attractio  partis  iHius  ulterioris 
corporis  infiniti  in  coroHario  secundo,  semper  est  infinite  major  quam 
attractio  partis  citerioris. 


LTBER  PRIMVS.  2  2  l 


Scholhtm. 


Si  corpus  allquod  perpendiculariter  versus  planum  datum  trahatur, 
&  ex  data  lege  attractionls  quaeratur  motus  corporis  :  solvetur 
problema  quaerendo  (per  prop.  xxxix)  motum  corporis  recta 
descendentls  ad  hoc  planum,  &  (per  legum  corol.  11)  componendo 
motum  istum  cum  uniformi  motu,  secundum  Hneas  eldem  plano 
parallelas  facto.  Et  contra,  si  quseratur  lex  attractionis  in  planum 
secundum  lineas  perpendiculares  factae,  ea  conditione  ut  corpus 
attractum  in  data  quacunque  curva  Hnea  moveatur,  solvetur  problema 
operando  ad  exemplum  problematis  tertii. 

Operationes  autem  contrahi  solent  resolvendo  ordinatim  applica- 
tas  in  series  convergentes.  Ut  si  ad  basem  A  in  angulo  quovis 
dato   ordinatim   appHcetur   longitudo    B,  quse  sit   ut  basis   dignitas 

quaeHbet  A  "  ;  &  quaeratur  vis  qua  corpus,  secundum  positionem 
ordinatim  appHcatae,  vel  in  basem  attractum  vel  a  basi  fugatum, 
moveri  possit  in  curva  Hnea,  quam  ordinatim  appHcata  termi- 
no   suo   superiore   semper   attingit :    Suppono   basem   augeri    parte 


quam    minima   O,    &    ordinatlm   appHcatam   A  +  O  |   ^*    resolvo   in 


w  ^  *   ~ir    mm—mn 


serlem  infinitam  A   "  +  -   O  A    '  + O  O  A  &c.    at- 

n  2nn 

que   hujus   termino   in   quo   O    duarum   est    dimensionum,    id   est, 


m — 2« 


termlno O  O  A    "    vim  proportionalem  esse  suppono.     Est 

2  nn 


m — in 

mm—mn    ^    "^ 


igitur  vis  quaesita  ut   A  ,  vel   quod   perinde   est,   ut 

mm  —  mn   ^  ~ir        ,7       •        1.      •  1.  t    1 
D          .      U  t  si  ordmatim  apphcata   parabolam   attmgat, 

existente  m  =  2,  &  n=:  i:  fiet  vis  ut  data  2  B*',  ideoque  dabitur. 
Data  igitur  vi  corpus  movebitur  in  parabola,  quemadmodum  GalilcEus 
demonstravit.  Quod  si  ordinatim  appHcata  hyperbolam  attingat, 
existente  m  =  o—\,  &  n=\  ;  fiet  vis  ut  2  A~^  seu  2  B^ :  ideoque  vi. 
quae  sit  ut  cubus  ordinatim  appHcatae,  corpus  movebitur  in  hyperbola, 


222 


DE  MOTU  CORPORUM 


Sed   missis  hujusmodi  propositionibus,  pergo  ad  alias  quasdam  de 
motu,  quas  nondum  attigi. 


SECTIO    XIV. 

De  motu  corporum  minhnorum,  quce  viribtis  centripetis  ad  singulas 
magni  alicujus  corporis  partes  tendentibus  agitantur. 


PROPOSITIO    XCIV.      THEOREMA    XLVIII. 

Si  media  duo  similaria,  spatio  planis  parallelis  utrinque  terminato, 
distinguantur  ab  invicemy  &  corpus  in  transitu  per  hoc  spatitim 
attrahatur  vel  impellatjir  perpe^idiculariter  versus  medium  alteru- 
trum^  neque  ulla  alia  vi  agitettcr  vel  impediatur ;  sit  autem  attractio, 
in  ceqtialibus  ab  utroque  plano  distantiis  ad  eandem  ipsius  partem 
captis,  ubique  eadem:  dico  quod  sinus  incidentice  in  planum 
alterutrum  erit  ad  sinum  emergentics  ex plano  altero  in  ratione  data. 


Cas,  I.  Sunto  A  a,  B  b  plana  duo  parallela.  Incidat  corpus  in 
planum  prius  A  a  secundum  lineam  G  H,  ac  toto  suo  per  spatium 
intermedium  transitu  attrahatur 
vel  impellatur  versus  medium 
incidentise,  eaque  actione  de- 
scribat  lineam  curvam  H I,  & 
emergat  secundum  lineam  I K, 
Ad  planum  emergentise  B  b 
erigatur  perpendiculum  /  M, 
occurrens  tum  linese  inciden- 
tiae  G  H  productae  in  M,  tum 
plano  incidentiae  A  am  R  ;  & 
linea  emergentiae  K I  producta 
occurrat  H M  m  L,  Centro  L 
intervallo  Z/describaturcircu- 
lus,  secans  tam  HM  in  P  &  Q,  quam  M/  productam  in  N,  &  primo 


LIBER  PRIMUS,  223 

si  attractio  vel  impulsus  ponatur  unlformis,  erit  (ex  demonstratis 
GalilcBi)  curva  H I  parabola,  cujus  hsec  est  proprietas,  ut  rectangulum 
sub  dato  latere  recto  &  linea  IM  sequale  sit  77J/ quadrato ;  sed  &  linea 
H M  bisecabitur  in  L.  Unde  si  ad  J// demittatur  perpendiculum 
L  O,  cequales  erunt  J/6>,  O  R;  &  additis  aequalibus  O  Hy  O /,  fient 
totae  sequales  MH,  I R.  Proinde  cum  I R  detur,  datur  etiam  M  N ; 
estque  rectangulum  N"  M I  2i6.  rectangulum  sub  latere  recto  81 1  Af, 
hoc  est,  ad  H Mq,  in  data  ratione.  Sed  rectangulum  N M I  aequale 
est  rectangulo  P M Q/\di  est,  differentiae  quadratorum  M Lq,8>i  P Lq 
seu  Llq;  &  HMq  datam  rationem  habet  ad  sui  ipsius  quartam 
partem  MLq :  ergo  datur  ratio  ML  q — L  I q  ad  M L  q,  &  conver- 
tendo  ratio  /  Iq  ad  ML  q,  &  ratio  dimidiata  Z  /  ad  ML.  Sed  in 
omni  triangulo  L  M I,  sinus  angulorum  sunt  proportionales  lateribus 
oppositis.  Ergo  datur  ratio  sinus  anguli  incldentiae  L  M R  ad  sinum 
anguli  emergentiae  L  I R.     Q.  E.  D. 

Cas.  2.  Transeat  jam  corpus  successive  per  spatia  plura  parallelis 
planis  terminata,  A  ab B,  B bc  C,  &c.  &  agitetur  vi  quae  sit  in  sin- 
gulis  separatim  uniformis,  at  in  diver- 
sis  diversa ;  &  per  jam  demonstrata,  ^ 
sinus    incidentiae   in  planum    primum  \ 

A  a  erit  ad  sinum  emergentiae  ex  plano    ^  \~ 

secundo  B  b,    in    data     ratione ;    &  X^  ~  # 

hic  sinus,  qui  est  sinus  incidentiae  in 
planum  secundum  B  b,  erit  ad  sinum 
emergentiae  ex  plano  tertio  C  c,  in  data  ratione ;  &  hic  sinus  ad  sinum 
emergentiae  ex  plano  quarto  D  d,  in  data  ratione ;  &  slc  in  infinitum  : 
&  ex  aequo,  sinus  incidentiae  in  planum  primum  ad  sinum  emergentiae 
ex  plano  ultlmo  in  data  ratione.  Minuantur  jam  planorum  intervalla  & 
augeatur  numerus  in  infinitum,  eo  ut  attractionis  vel  impulsus  actio, 
secundum  legem  quamcunque  assignatam,  continua  reddatur;  & 
ratio  slnus  incidentiae  in  planum  primum  ad  sinum  emergentiae  ex 
plano  ultimo,  semper  data  existens,  etiamnum  dabitur.     Q.  E.  D, 


2  24  DE  MOTU  CORPORUM 


PROPOSITIO    XCV.      THEOREMA    XLIX. 

lisdem  positis ;  dico  quod  velocitas  corporis  ante  incidentiajn  est  ad 
ejus  velocitatevt  post  enierge^itiam,  ut  sinus  emergentice  ad  sinum 
incidentice, 

Capiantur  A  H,  I  d  aequales,  &  erigantur  perpendicula  A  G,  d  K 
occurrentia  lineis  incidentise  &  emergentiae  G  H,  I K,  in  G  8i  K. 
In  Gi^capiatur  T^ZTsequalis  /A',  &  ad  planum  A  a  demittatur  nor- 
maliter  T  v.  Et  (per  legum  corol.  ii)  distinguatur  motus  corporis 
in  duos,  unum  planis  A  a,  B  b,C c, 
&c.  perpendicularem,  alterum  iis- 
dem  parallelum.  Vis  attractionis 
vel  impulsus,  agendo  secundum  lin- 
eas  perpendiculares,  nil  mutat  mo- 
tum  secundum  parallelas,  &  prop-  ^ 
terea  corpus  hoc  motu  conficiet  ^ 
aequalibus  temporibus  sequalia  illa  "^ 
secundum  parallelas  intervalla,  quae 
sunt  inter  lineam  A  G  &  punctum 

Hy  interque  punctum  /  &  lineam  dK;  hoc  est,  aequalibus  tempori- 
bus  describet  lineas  G  H^  I K.  Proinde  velocitas  ante  incidentiam 
est  ad  velocitatem  post  emergentiam,  ut  G  H  2A  I K  vel  TH,  id 
est,  ut  A  H  vel  I  d  ad  v  H,  hoc  est  (respectu  radii  T  H  vel  I K) 
ut  sinus  emergentiae  ad  sinum  incidentiae.     Q.E,D, 

PROPOSITIO    XCVI.      THEOREMA    L. 

lisdem  positisy  &  quod  motus  ante  incidentiam  velocior  sit  quam 
postea :  dico  quod  corpus,  inclinando  lineam  incidenticSy  reflecte- 
tur  tandem,  &  angulus  reflexionis  fiet  cequalis  angulo 
incidentice. 

Nam  concipe  corpus  inter  parallela  plana  A  a,  B  b,  C  c,  &c.  de- 
scribere  arcus  parabolicos,  ut  supra ;  sintque  arcus  illi  H  P,  P  Q, 
Q  R,  &c.     Et  sit  ea  lineae  incidentiae  G  H  obliquitas  ad  planum  pri- 


LIBER  PRIMUS.  225 

mum  A  a,  ut  slnus  incidentiae  sit  ad  radium  circuli,  cujus  est  sinus, 

in  ea  ratione  quam  habet  idem  sinus  incidentise  ad  sinum  emergen- 

tia^  ex  plano  D  d,  in  spatium  D  deE:  &  ob  sinum  emergentise  jam 

factum    sequalem    radlo,    angulus    emergentlae    erlt    rectus,    Ideoque 

linea    emergentiae    coincldet    cum    plano  D  d.     Pervenlat  corpus  ad 

hoc  planum  in  puncto  R;  & 

quoniam    llnea  emergentlse 

colncidlt  cum  eodem  plano,     ^,  ^n  ,,/ 

^         '    A ^^'^- -^^ a 

perspicuum  est  quod  corpus    b ^^"o <r.^ ^ 


\H 

^^^ 

I                   -^ 

^ 

:                       \Q 

y^                 : 

\                            \^       -" 

^                                     R 

non    potest    ultra    pergere    d ^--^  —^ d. 

versus    planum   E  e.     Sed  ^ 

nec  potest  idem  pergere  in  Hnea  emergentiae  Rd,  propterea  quod  per- 
petuo  attrahltur  vel  impelHtur  versus  medlum  incidentiae.  Revertetur 
itaque  inter  plana  Cc,  D  d,  descrlbendo  arcum  parabolae  Q  Rq,  cujus 
vertex  principaHs  (juxta  demonstrata  Galilacei)  est  in  R ;  secabit 
planum  Cc  in  eodem  angulo  in  q,  ac  prius  in  Q ;  dein  pergendo  in 
arcubus  paraboHcis  qp,  p  k,  &c.  arcubus  prioribus  Q  P,  P  H  simlHbus 
&  aequaHbus,  secablt  reHqua  plana  in  ilsdem  anguHs  in  /,  h,  &c.  ac 
prius  in  P,  H,  &c.  emergetque  tandem  eadem  obHquitate  in  h,  qua 
incidit  In  H.  Concipe  jam  planorum  A  a,  B  b,  C  c,  D  d,  E  e,  &c. 
intervaHa  in  infinltum  minui  &  numerum  augeri,  eo  ut  actlo  attrac- 
tlonis  vel  impulsus  secundum  legem  quamcunque  assignatam  continua 
reddatur;  &  angulus  emergentiae  semper  angulo  incldentiae  aequaHs 
existens,  eidem  etiamnum  manebit  aequaHs.     Q.  E.  D, 

Scholium. 

Harum  attractionum  haud  multum  dissimiles  sunt  lucis  reflexiones 
&  refractlones,  factae  secundum  datam  secantium  rationem,  ut  invenit 
Snellius,  &  per  consequens  secundum  datam  sinuum  rationem,  ut 
exposult  Cartesius.  Namque  lucem  successrve  propagari  &  spatlo 
quasl  septem  vel  octo  minutorum  primorum  a  sole  ad  terram  venire, 
jam  constat  per  phaenomena  sateUitum  Jovis,  observationibus  diver- 
sorum  astronomorum  confirmata.  Radli  autem  in  aere  exlstentes 
(utl  dudum  Grimaldus,  luce  per  foramen  in  tenebrosum  cubl- 
cukim  admlssa,  invenit,  &  ipse  quoque  expertus  sum)  in  transitu 
suo    prope    corporum    vel    opacorum    vel     perspicuorum     angulos 

p 


2  26  ^^  MOTU  CORPORUM 

(quales  sunt  nummorum  ex  auro,  argento  &  aere  cusorum  termini 
rectanguli  circulares,  &  cultrorum,  lapidum  aut  fractorum  vitro- 
rum  acies)  incurvantur  circum  corpora,  quasi  attracti  in  eadem ; 
&  ex  his  radiis,  qui  in  transitu  illo  propius  accedunt  ad  corpora 
incurvantur  magis,  quasi  magis  attracti,  ut  ipse  etiam  diligenter 
observavi.  Et  qui  transeunt  ad  majores  distantias  minus  incurvantur ;' 
&  ad  distantias  adhuc  majores  incurvantur  aHquantulum  ad  partes 
contrarias,  &  tres  colorum  fascias  efformant.  In  figura  designat  s 
aciem  cultri  vel  cunei  cujusvis  A  s  B; 
&go  w og,  fn u nf^  emime,  dls Id 
sunt  radii,  arcubus  owOynun,mtm,  ^, "  •  - . 
Is l  versus  cultrum  incurvati ;  idque  /•,"■•.."• 
magis  vel  minus  pro  distantia  eo-  ^x. '•.."" 
rum  a  cultro.     Cum  autem  talis  in-  x/^/    .— -  / 

curvatio  radiorum  fiat  in  aere  extra  \  "^^l^- 

cultrum,  debebunt  etiam  radii,  qui  ^  w  o ^ 

incidunt  in  cultrum,  prius  incurvari  in  aere  quam  cultrum  attingunt. 

Et  par  est  ratio  incidentium  in  vitrum.     Fit  igitur  refractio,  non  in 

puncto  incidentiae,  sed  paulatim  per  continuam  incurvationem  radi- 

orum,    factam  partim   in  aere  antequam  c  h   a 

attingunt   vitrum,    partim    (ni   fallor)    in  y'''..--''']..-''''' 

vitro,  postquam  illud  ingressi  sunt:  uti  in  ^'''xy^ 

radiis  ckzc,  biyb,  ahxa  incidentibus  ad  ..^^^^x"^ 

Ty  q, /,  &  inter  k  &l  z,  i  &Ly,  h  &ix  incur-  i/k/''%-'' 

vatis,  delineatum  est   Igitur  ob  analogiam         ^/ ^/ ^/ 

quse   est  inter   propagationem    radiorum        /  / 

lucis  &  progressum  corporum,  visum  est      /  /  / 

propositiones  sequentes  in  usus  opticos    / 

subjungere;  interea  de   natura  radiorum  ^  ^  ^ 

(utrum  sint  corpora  necne)  nihil  omnino  disputans,  sed  trajectorias 

corporum  trajectoriis  radiorum  persimiles  solummodo  determinans. 


LIBER  PRIMUS.  227 


PROPOSITIO    XCVII.       PROBLEMA     XLVII. 

Posito  qiwd  sinus  incidentice  in  superficiem  aliquam  sit  ad  simmi 
emergenticB  in  data  ratione ;  quodque  incuTvatio  vice  corporum  juxta 
superficiem  illam  fiat  in  spatio  brevissimo,  quod  ut  punctum 
considerari  possit :  determinare  superficiem,  qucB  corpuscula  omnia 
de  loco  dato  successive  m^nantia  convergere  faciat  ad  alium  locicm 
dattcm, 

Sit  ^  locus  a  quo  corpuscula  divergunt ;  B  locus  in  quem  con- 
vergere  debent;  CDE  curva  linea  quae  circa  axem  AB  revoluta 
describat  superficiem  qusesitam ;  D,  E  curvae  illius  puncta  duo 
quaevis ;  &  EF,  EG  perpendicula  in  corporis  vias  AD,  DB  demissa. 
Accedat  punctum  D  ad  punctum  E ;  &  lineae  D  F,  qua  A  D 
augetur,  ad  lineam  D  G,  qua  D  B  diminuitur,  ratio  ultima  erit  eadem 
quae  sinus  incidentiae  ad 
sinum  emergentiae.  Datur 
ergo  ratio  incrementi  lineae 
AD  ad  decrementum  lineae 
DB ;  &  propterea  si  in  axe  a"  c   iSr  m  ^ 

A  B  sumatur  ubivis  punctum  C,  per  quod  curva  C DE  transire 
debet,  &  capiatur  ipsius  A  C  incrementum  CM  ad  ipsius  B  C  decre- 
mentum  C  JV  in  data  illa  ratione,  centrisque  A^  B,  &  intervallis 
A  My  B  N  describantur  circuli  duo  se  mutuo  secantes  in  D ; 
punctum  illud  D  tanget  curvam  quaesitam  C  D  E,  eandemque  ubivis 
tangendo  determinabit.     Q.  E.  /. 

Corol.  I.  Faciendo  autem  ut  punctum  A  vel  B  nunc  abeat  in 
infinitum,  nunc  migret  ad  alteras  partes  puncti  C,  habebuntur  figurae 
illae  omnes,  quas  Cartesius  in  optica  &  geometria  ad  refractiones 
exposuit.  Quarum  inventionem  cum  Cartesius  celaverit,  visum  fuit 
hac  propositione  exponere. 

Corol.  2.  Si  corpus  in  superficiem  quamvis  C D,  secundum  line- 
am  rectam  A  D,  lege  quavis  ductam  incidens,  emergat  secundum 
aliam  quamvis  rectam  D  K,  Sl  2i  puncto  C  duci  intelligantur  lineae 


228 


DE  MOTU  CORPORUM 


curv^  CP,  CQ  ipsis  A  D,  D  K 
semper  perpendiculares  :  erunt 
incrementa  linearum  P  D,  Q  D, 
atque  ideo  lineae  ipsae  PD,  QD, 
incrementis  istis  genitae,  ut  sinus 
incidentiae  &  emergentiae  ad  in- 
vicem  :  &  contra. 


PROPOSITIO    XCVIII.     PROBLEMA    XLVIII. 

lisdem  positisy  &  circa  axem  A  B  descripta  superficie  quacunque 
attractiva  C  D,  regulari  vel  irregulari,  per  quam  corpora  de  loco 
dato  A  exeuntia  transire  debent :  invenire  superficiem  secundam 
attractivam  E  F,  quce  corpora  illa  ad  locum  datum  B  convergere 
faciat, 

Juncta  A  B  secet  superficiem  primam  in  C  &  secundam  in  E, 
puncto  D  utcunque  assumpto.  Et  posito  sinu  incidentiae  in  superfi- 
ciem  primam  ad  sinum  emergentiae  ex  eadem,  &  sinu  emergentiae 
e  superficie  secunda  ad  sinum  incidentiae  in  eandem,  ut  quantitas 
aliqua  data  M  ad  aliam  datam  N  :  produc  tum  y^  ^  ad  G,  ut  sit  B  G 


I 


ad  CE  ut  M-N  ad  N  ;  tum  A  D  ad //,  ut  sit  A  H  ^qualis  A  G  ; 
tum  etiam  D F  2A  K,  ut  sit  Z^  iT  ad  DI/  utN  ad  M.  Junge  KB, 
&  centro  D  intervallo  D //  describe  circulum  occurrentem  KB 
productae  in  Z,  ipsique  DL  parallelam  age  BE:  &  punctum  E 
tanget  lineam  E  E,  quae  circa  axem  A  B  revoluta  describet  super- 
ficiem  quaesitam.     Q.E.F, 


LIBER  PEIMUS,  229 

Nam  concipe  lineas  C P,  CQ  ipsis  A  D,  D  F  respective,  &  lineas 
E  R,  E  S  ipsis  F  B,  FD  ubique  perpendiculares  esse,  ideoque  Q  S 
ipsi  C  E  semper  sequalem ;  &  erit  (per  corol.  2  prop.  xcvii)  P  D 
ad  gZ^  ut  M  ad  N,  ideoque  wt  D  L  did  D  K  vel  FB  ad  FK ;  & 
divisim  ut  DL-FB  seu  PH-PD-FB  ad  FD  seu  FQ-QD; 
&  composite  ut  PH—FB  ad  /^g,  id  est  (ob  aequales  P  H  8>i  C  G, 
QS  8z  CE)  CE^^BG-FR  ad  CE-FS,  Verum  (ob  propor- 
tionales  B  G  2id  CE  &  M-N  ad  N)  est  etiam  CE-^BG  ad  CE 
ut  M  ad  N  ;  ideoque  divisim  FR  2id  FS  ut  M  ad  N  ;  &  propterea 
(per  corol.  2  prop.  xcvii)  superficies  EF  cogit  corpus,  in  ipsam 
secundum  lineam  DF  incidens,  pergere  in  linea  FR  ad  locum  B. 
Q.E.D. 

Scholhim. 

Eadem  methodo  pergere  liceret  ad  superficies  tres  vel  plures. 
Ad  usus  autem  opticos  maxime  accommodatae  sunt  figurae  sphaericae. 
Si  perspicillorum  vitra  objectiva  ex  vitris  duobus  sphaerice  figuratis 
&  aquam  inter  se  claudentibus  conflentur;  fieri  potest  ut  a  refrac- 
tionibus  aquae  errores  refractionum,  quae  fiunt  in  vitrorum  superficiebus 
extremis,  satis  accurate  corrigantur.  Talia  autem  vitra  objectiva 
vitris  ellipticis  &  hyperbolicis  praeferenda  sunt,  non  solum  quod 
facihus  &  accuratius  formari  possint,  sed  etiam  quod  penicillos 
radiorum  extra  axem  vitri  sitos  accuratius  refringant  Veruntamen 
diversa  diversorum  radiorum  refrangibiHtas  impedimento  est,  quo 
minus  optica  per  figuras  vel  sphaericas  vel  aHas  quascunque  perfici 
possit.  Nisi  corrigi  possint  errores  ilHnc  oriundi,  labor  omnis  in 
caeteris  corrigendis  imperite  coHocabitur. 


DE 

MOTU     CORPORUM 

LIBER  SECUNDUS, 

SECTIO    I. 

De  motic  corporum  qtcibus  resistitur  in  ratione  velocitatis. 

PROPOSITIO    I.     THEOREMA    I. 

Corporisy   cui    resistitur  in   ratione   velocitatis,    77totus   ex  resistentia 
amissus  est  ut  spatium  move^ido  confectum, 

NAM  cum  motus  singulis  temporis  particulis  aequalibus  amissus 
sit  ut  velocitas,   hoc  est,  ut  itineris  confecti  particula  :   erit, 
componendo,  motus  toto  tempore  amissus  ut  iter  totum.     Q.  E.  D. 

CoroL  Quare  si  corpus,  gravitate  omni  destitutum,  in  spatiis  liberis 
sola  vi  insita  moveatur;  ac  detur  tum  motus  totus  sub  initics  tum 
etiam  motus  reliquus  post  spatium  aliquod  confectum :  dabitur 
spatium  totum  quod  corpus  infinito  tempore  describere  potest.  Erit 
enim  spatium  illud  ad  spatium  jam  descriptum,  ut  motus  totus  sub 
initio  ad  motus  illius  partem  amissam. 

LEMMA     I. 

Quantitates  differentiis  suis  proportionales  sunt  continue proportio7iales. 

Sit  A  ad  A-B  ut  B  ad  B-C  &  C  ad  C-D  &c.,  &  conver- 
tendo  fiet  A  ad  B  ut  B  ad  C  &  C  ad  D  &c.     Q.  E.  D. 


DE  MOTU  CORPORUM,  &^c.  23 1 


PROPOSITIO    II.      THEOREMA     II. 

Si  corpori  resistitiir  in  ratiofie  velocitatis,  &  idem  sola  vi  insita  per 
medium  similare  moveattir,  sumanttcr  autem  tempora  cBqualia : 
velocitates  in  principiis  singulorum  temporum  sunt  in  progressione 
geometrica,  &  spatia  singulis  temporibus  descripta  sunt  ut  velocitates, 

Cas.  I.  Dividatur  tempus  in  particulas  sequales ;  &  si  ipsis 
particularum  initiis  agat  vis  resistentise  impulsu  unico,  quae  sit  ut 
velocitas  :  erit  decrementum  velocitatis  sing-ulis  temporis  particulis  ut 
eadem  velocitas.  Sunt  ergo  velocitates  differentiis  suis  proportionales, 
&  propterea  (per  lem.  i  lib.  11)  continue  proportionales.  Proinde 
si  ex  sequali  particularum  numero  componantur  tempora  quselibet 
sequalia,  erunt  velocitates  ipsis  temporum  initiis,  ut  termini  in 
progressione  continua,  qui  per  saltum  capiuntur,  omisso  passim  sequali 
terminorum  intermediorum  numero.  Componuntur  autem  horum 
terminorum  rationes  ex  rationibus  inter  se  iisdem  terminorum 
intermediorum  sequaliter  repetitis,  &  propterea  ese  quoque  rationes 
compositse  inter  se  esedem  sunt.  Igitur  velocitates,  his  terminis 
proportionales,  sunt  in  progressione  geometrica.  Minuantur  jam 
sequales  illse  temporum  particulse,  &  augeatur  earum  numerus  in 
infinitum,  eo  ut  resistentise  impulsus  reddatur  continuus;  &  velocitates 
in  principiis  sequalium  temporum,  semper  continue  proportionales, 
erunt  in  hoc  etiam  casu  continue  proportionales.     Q.  E.  D. 

Cas.  2.  Et  divisim  velocitatum  differentise,  hoc  est,  earum  partes 
singuHs  temporibus  amissse,  sunt  ut  totse  :  spatia  autem  singulis 
temporibus  descripta  sunt  ut  velocitatum  partes  amissse  (per  prop.  i 
lib  11)  &  propterea  etiam  ut  totse.     Q.  E.  D. 

Corol.  Hinc  si  asymptotis  rectanguHs  A  C, 
CH  describatur  hyperbola  B  G,  sintque  A  B^ 
D  G  dA  asymptoton  A  C  perpendiculares,  & 
exponatur  tum  corporis  velocitas  tum  resistentia 
medii,  ipso  motus  initio,  per  Hneam  quamvis  da- 
tam  AC,  elapso  autem  tempore  aHquo  per  Hneam 
indefinitam  DC:  exponi  potest  tempus  per  aream  ABGDy  &  spatium 
eo  tempore  descriptum  per  Hneam  AD.     Nam  si  area  iHa  per  motum 


32 


DE  MOTU  CORPORUM 


puncti  D  augeatur  unlformiter  ad  modum  temporis,  decrescet  recta 
D  C  m  ratione  geometrica  ad  modum  velocitatis,  &  partes  rectae 
A  C  ^equallbus  temporibus  descriptse  decrescent  in  eadem  ratione. 


PROPOSITIO    III.      PROBLEMA    I 

Corporis,  ctci,  dtmi  in  medio  siniilari  recta  asceiidit  vel  descendit, 
resistitur  ht  ratione  velocitatisy  quodque  ab  ufii/ormi  gravitate 
urgetur,  definire  motum, 

Corpore  ascendente,  exponatur  gravitas  per  datum  quodvis 
rectangulum  B  A  C H,  &  resistentia  medii  initio  ascensus  per  rectan- 
gulum  B  A  D  E  sumptum  ad 
contrarias  partes  rectse  A  B. 
Asymptotis  rectangulis  A  C, 
CH,  per  punctum  B  describatur 
hyperbola  secans  perpendicula 
DE,  de  in  G,  g;  &  corpus  ascen- 
dendo  tempore  Z^6^^^describet 
spatium  EGge,  tempore  DGBA 
spatium  ascensus  totius  E  G  B  ; 
tempore  ABKI  spatium  de- 
scensus  B FK,  atque  tempore  I Kki  spatium  descensus  KFfk;  & 
velocitates  corporis  (resistentiae  medii  proportionales)  in  horum 
temporum  periodis  erunt  A  B  E  D,  A  B  e  d,  nulla,  A  B  FI,  A  Bfi 
respective ;  atque  maxlma  velocitas,  quam  corpus  descendendo  potest 
acquirere,  erit  B  A  C H, 

Resolvatur  enim  rectangulum 
B  A  C  H  m  rectangula  innumera 
A  k,  Kl,  L  m,  Mn,  &c.  quae  sint 
ut  incrementa  velocitatum  aequali- 

bus  totidem  temporibus  facta ;  &  ^ 

erunt  nihil,  A  k,  A  l,  A  m,  A  n, 
&c.  ut  velocltates  totae,  atque  ideo 
(per  hypothesin)  ut  resistentiae 
medii  principio  singulorum  tempo-  a    k  l  mn 


j 

A 

/ 

k/ 

/ 

E 

e            Z^^ 

J— — 

S 

F 

/ 

D 

d 

J 

i             j 

L 

1 

c 

m 


n 


iH 


LIBER  SECUNDUS.  233 

nim  sequallum.  Fiat  A  C  i2l.A  A  K  veX  A  B  H  C  2id  A  B  k  K  wt  w\s 
gravitatis  ad  resistentiam  in  principio  temporis  secundi,  deque  vi  gravi- 
tatis  subducantur  resistentiae,  &  manebunt  ABHC,  KkH  C,  L  l  HC, 
MinHC,  &c.  ut  vires  absolutae  quibus  corpus  in  principio  singu- 
lorum  temporum  urgetur,  atque  ideo  (per  motus  legem  11)  ut  in- 
crementa  velocitatum,  id  est,  ut  rectangula  A  k,  K  l,  L  m,  M n,  &c. 
&  propterea  (per  lem.  i  lib.  11)  in  progressione  geometrica.  Quare 
si  rectae  K k,  L  l^  Mm,  N  n,  &c.  productse  occurrant  hyperbolae 
in  q,  r,  s,  t,  &c.  erunt  areae  A  B q K,  KqrL,  L  rsM,  M s  tN,  &c. 
aequales,  ideoque  tum  temporibus  tum  viribus  gravitatis  semper 
aequalibus  analogae.  Est  autem  area  A  B  q  K  (per  corol.  3  lem.  vii 
&  lem.  VIII  lib.  i)  ad  aream  B kq  ut  Kq  a.d  ^  kq  seu  A  C  a.d  i  A  K, 
hoc  est,  ut  vis  gravitatis  ad  resistentiam  in  medio  temporis  primi. 
Et  simiH  argumento  areae  q  K  L  r,  rLMs,  sMNt,  &c.  sunt  ad 
areas  qklr,  rlms,  smnty  &c.  ut  vires  gravitatis  ad  resistentlas  In 
medio  temporls  secundi,  tertii,  quarti,  &c.  Prolnde  cum  areae 
aequales  BAKq,  q  K L  r,  rLMs,  sMNt,  &c.  sint  virlbus  gravi- 
tatis  analogae,  erunt  areae  B kq,  qklr,  rlms,  smnt,  &c.  resistentils 
in  mediis  singulorum  temporum,  hoc  est  (per  hypothesln)  veloclta- 
tlbus,  atque  ideo  descriptls  spatlls  analogae.  Sumantur  analogarum 
summae,  &  erunt  areae  Bkq,  Blr,  Bms,  Bnt,  &c.  spatlis  totls 
descriptls  analogae  ;  necnon  areae  A  B  q  K,  A  B  r  L,  A  B  s  M, 
A  B  t  N,  &c.  temporlbus.  Corpus  igltur  inter  descendendum,  tem- 
pore  quovis  A  B  r  L,  descrlbit  spatium  B  Ir,  81  tempore  LrtN 
spatlum  r/^^/.  Q.E.D.  Et  simlHs  est  demonstratio  motus  expositi 
in  ascensu.     Q.  E.  D. 

Corol.  I.  Igltur  velocltas  maxima,  quam  corpus  cadendo  potest 
acquirere,  est  ad  velocltatem  dato  quovis  tempore  acquisltam,  ut 
vis  data  gravltatis,  qua  corpus  Illud  perpetuo  urgetur,  ad  vim  reslsten- 
tlae,  qua  in  fine  temporls  Illius  Impeditur. 

Corol.  2.  Tempore  autem  aucto  in  progressione  arithmetica,  sum- 
ma  velocitatls  IlHus  maxlmae  ac  velocitatls  in  ascensu,  atque  etlam 
earundem  differentia  In  descensu  decrescit  In  progressione  geo- 
metrlca. 

Corol.  3.  Sed  &  differentlae  spatlorum,  quae  in  aequalibus  tem- 
porum  differentiis  descrlbuntur,  decrescunt  In  eadem  progressione 
geometrica. 


234 


DE  MOTU  CCRPORUM 


CoroL  4.  Spatium  vero  a  corpore  descriptum  differentia  est  duo- 
rum  spatiorum,  quorum  alterum  est  ut  tempus  sumptum  ab  initio 
descensus,  &  alterum  ut  velocitas,  quae  etiam  ipso  descensus  initio 
sequantur  inter  se. 


PROPOSITIO    IV.      PROBLEMA    II. 

Posito  quod  vis  gravitatis  in  medio  aliqtio  similari  7iniformis  sit,  ac 
tendat  perpendiailariter  ad planum  horizontis  ;  definire  motiLm  pro- 
jectilis  in  eodem,  resistentiam  velocitati proportionalem  patie7itis, 

E  loco  quovis  D  egredia- 
tur  projectile  secundum  lineam 
quamvis  rectam  D  P,  &  per 
longitudinem  D  P  exponatur 
ejusdem  velocitas  sub  initio  mo- 
tus.  A  puncto  P  ad  lineam 
horizontalem  D  C  demittatur 
perpendiculum  P  Cy  &  secetur 
DC  in  A,  ut  sit  Z^ ^  ad  ^  C 
ut  resistentia  medii,  ex  motu  in 
altitudinem  sub  initio  orta,  ad 
vim  gravitatis ;  vel  (quod  pe- 
rinde  est)  ut  sit  rectangulum 
sub  DA  &  DP  Sid  rectangu- 
lum  sub  A  C  &  CP  ut  resisten- 
tia  tota  sub  initio  motus  ad  vim 
gravitatis.  Asymptotis  D  C, 
CP  describatur  hyperbola  quse- 
vis  G  TB  S  secans  perpendi- 
cula  D  G,  A  B  m  G  &  B ;  & 
compleatur  parallelogrammum 
D  G  K  Cy  cujus  latus  G  K  secet 
A  B  in  Q.  Capiatur  linea  N  in 
ratione  ad  Q  B  qusi  D  C  sit  ad  CP;  &  ad  rectae  DC  punctum 
quodvis  B  erecto  perpendiculo  K  T,  quod  hyperbolae  in  T,  &  rec- 
Xas  E  H,  G  Ky  D  P  in  ly  t  81  Foccurrat;  in  eo  cape  F^  aequalem 


LIBER  SECUNDUS.  235 

,  vel,  quod  perlnde  est,  cape  R  r  sequalem  — ;  &  prqjec- 

tile  tempore  D RTG  perveniet  ad  punctum  r,  describens  curvam 

lineam  DraF,  quam  punctum   r  semper  tangit,   perveniens  autem 

ad  maximam  altitudinem  a  in    perpendiculo  A  B,  8l  postea  semper 

appropinquans  ad  asymptoton  P  C,      Estque  velocitas  ejus  in  puncto 

quovis  r  ut  curvse  tangens  r  L.     Q.E.I. 

Est  enim  N  ad  g^  ut  Z^C  ad  CP  seu  DR  ad  R  F,  ideoque  R  V 

..   DRxQB    ^   ^     ,.,     ^  ^  , ,     ,,           DRxQB-^GT. 
aequalis z^ —  ^  8c  R  r  {id  est  R  V—  V  r  seu  ^^— ) 

,.    DRxAB-RDGT       ^  .       ^ 

sequalis  ri^ .      Exponatur  jam  tempus  per  aream 

RD  G  Ty  &  (per  legum  corol.  11)  distinguatur  motus  corporis  in 
duos,  unum  ascensus,  alterum  ad  latus.  Et  cum  reslstentia  sit  ut 
motus,  dlstinguetur  etiam  hsec  in  partes  duas  partlbus  motus  pro- 
portionales  &  contrarias :  ideoque  longltudo,  a  motu  ad  latus 
descripta,  erlt  (per  prop.  11  hujus)  ut  linea  D  R,  altltudo  vero  (per 
prop.  III  hujus)  ut  area  DRxAB  —  RDGT,  hoc  est,  ut 
Hnea  Rr.      Ipso  autem  motus  initlo  area  RDGT  ^qudXis,  est  rectan- 

1      r^r.        ^^    .J  r  .11      r,      /         D  R  X  A  B  -  D  R  X  A  Q. 

gulo  DR  xAQ,  ideoque  hnea  illa  R  r  (seu r^ -) 

tunc  est  ad  DR  ut  A  B-A  Q  seu  g  ^  ad  N,  id  est,  ut  CP  ad  D  C; 
atque  Ideo  ut  motus  In  altltudinem  ad  motum  In  longitudinem  sub  Inl- 
tio.  Cum  Igitur  Rr  semper  slt  ut  altltudo,  ac  DR  semper  ut  longitudo, 
atque  Rr  ad  DR  sub  Initio  ut  altltudo  ad  longitudinem :  necesse  est  ut 
Rr  semper  sit  ad  DR  ut  altitudo  ad  longitudinem,  &  propterea  ut  corpus 
moveatur  in  HneaZ^r«/%  quam  punctum  r  perpetuo  tanglt.      Q.E.D. 

^      ,       ^     .  .        o  ,.   DRxAB      RDGT    ., 

Corol.  I.  Est  igitur /c  r  aequahs  r^ r^ :  ideoque 

.        ,              X.  ^    1    T^         '     r.  ^r           1.    DRxAB    ., 
si  producatur  R  T  ad  X  ut  sit  RX  aequahs  r^^ ;  id  est,  si 

compleatur  parallelogrammum  A  C  P  Yy  jungatur  D  Y  secans  CP 
in  Zy  &  producatur  R  T  donec  occurrat  D  YmX ;  erit  X r  sequahs 

R  D  C  T 

rri ,  &  propterea  temporl  proportlonahs. 

Corol.  2.   Unde  sl  capiantur  innumerae  C R,  vel,  quod  perinde  est, 
innumerae  Z  X  m  progressione  geometrlca ;    erunt  totidem  X  r  m 


236 


DE  MOTU  CORPORUM 


progressione  arithmetica.       Et  hinc  curva  Z^  z' ^ /^  per  tabulam  loga- 

rithmorum  facile  delineatur. 

CoroL  3.  Si  vertice  D,  diametro  D  G  deorsum  producta,   &  la- 

tere  recto  quod  sit  ad  2  Z^  P  ut 

resistentia  tota  ipso  motus  ini- 

tio  ad  vim  gravitatis,  parabola 

construatur  :    velocitas  quacum 

corpus  exire  debet  de  loco  D 

secundum  rectam  DP,  ut  in  me- 

dio  uniformi  resistente  describat 

curvam  DraF,  ea  ipsa  erit  qua- 

cum  exire  debet  de  eodem  loco 

D,   secundum  eandem   rectam 

DP,  ut  in  spatio  non  resistente 

describat  parabolam.  Namlatus     \^ 

rectum  parabolae  hujus,  ipso  mo-  ^  R 

D  V quad.     ^     ^. 

jf ;  &   Vr  est      ^_      

Vr  N  2  N 

autem  quse,  si  duceretur,  hyperbolam  G  TS  tangeret  in  G,  parallela 
est  ipsi  D  A,  ideoque  Tt  est — — —  ,  &  N  erat  — — ^  ^     .     Et 


A 


tus  initio,  est 


tGT         DRxTf 


seu 


Recta 


DC 


CP 


j.  DRgxCKyCP    .,  ,  ,  .       , 

propterea  Fr  est      ^^^^    ^  ,  id  est  (ob  proportionales  Z^  i? 

&Z^C,Z7F&Z^P)^g^^^^,&  latus  rectum^i^ 

..    2DPqxQB    .,  ,\  .       , 

^  CKx  CP     '       ^^^  ^      proportionales  QB^  C K,  D A  & 

.  ^.  2DPqxDA    .j  ,      ^^ 

^     A  Cx  CP     '  ^^^^^^^  ^^  2  DP,  ut  DP  X  DA  ad  CPxA C; 

hoc  est,  ut  resistentia  ad  gravitatem.     Q.E.D. 

CoroL  4.  Unde  si  corpus  de  loco  quovis  D,  data  cum  velocitate, 
secundum  rectam  quamvis  positione  datam  DP  projiciatur ;  &  re- 
sistentia  medii  ipso  motus  initio  detur  :  inveniri  potest  curva  DraF, 
quam  corpus  idem  describet.  Nam  ex  data  velocitate  datur  latus 
rectum  parabolse,  ut  notum  est.  Et  sumendo  2  Z>  P  ad  latus  illud 
rectum,  ut  est  vis  gravitatis  ad  vim  resistentiae,  datur  D  P.      Dein 


LIBER  SECUNDUS. 


237 


secando  D  C  \vi  A,  Mt  ^W.  C P  v.  A  C  2A  D  P  y.  D  A  In  eadem  illa  ra- 

tione  gravitatls  ad  reslstentlam,  dabltur  punctum  A.     Et  Inde  datur 

curva  D  r  a  F. 

Corol.  5.   Et  contra,  sl  datur 

curva  D  r  a  F,  dabitur  &  velo- 

citas  corporis  &  reslstentia  me- 

dll  In  locls  singulls  r.     Nam  ex 

data  ratlone  CPxACdidDP 
y^DAy   datur    tum    reslstentia 

medil  sub  Initio  motus,  tum  la- 

tus   rectum   parabolse  :    &  Inde 

datur  etiam  velocitas  sub  Inltio 

motus.     Deinde  ex  longitudine 

tangentls  rZ,  datur  &  huic  pro- 

portionalis  velocitas,    &   velocl- 

tatl  proportionalis  reslstentla  In 

loco  quovls  r. 

Corol.  6.  Cum  autem  longl- 

tudo  2  D  P  slt  ad  latus  rectum 

parabolae  ut  gravitas  ad  resisten- 

tiam   in  Z^;  &  ex  aucta  velocl- 

tate  augeatur  resistentia  In  eadem 

ratione,  at  latus  rectum  parabolae 

augeatur  in  rationellladuplicata: 

patet  longltudinem    2  D  P  au- 

geri     In    ratione     illa    slmpllci, 

ideoque   velocltatl    semper   proportlonalem   esse,  neque   ex   angulo 

CDP  mutato  augerl  vel  minui,  nisi  mutetur  quoque  velocltas. 

Co7^ol.  7.  Unde  Ilquet  methodus  determinandl  curvam  DraF 
ex  phaenomenis  quamproxime,  &  inde  colllgendl  reslstentlam  &  velo- 
citatem  quacum  corpus  projicitur.  Projiciantur  corpora  duo  slmilla  & 
sequalia  eadem  cum  velocitate,  de  loco  D,  secundum  angulos  dlversos 
CDP,  CDp  &  cognoscantur  loca  F,  f,  ubl  Incldunt  in  horizon- 
tale  planum  D  C.  Tum,  assumpta  quacunque  longitudlne  pro  D  P 
vel  D p,  fingatur  quod  resistentia  In  D  sit  ad  gravitatem  in  ratione 
qualibet,    &   exponatur   ratio   illa   per   longitudlnem   quamvls  S  M. 


238  DE  MOTU  CORPOR  UM 

Deinde  per  computationem,   ex  longitudine  illa  assumpta  D  P,  in- 

Ff 

veniantur   longitudines  D  F,   Df,    ac  de  ratione    ^y^,  per  calculum 

inventa,  auferatur  ratio  eadem  per  experimentum  inventa,  &  ex- 
ponatur  differentia  per  perpendiculum  M N,  Idem  fac  iterum  ac  ter- 
tio,  assumendo  semper  novam  resistentiae  ad  gravitatem  rationem 
S  M,  8l  colligendo  novam  differentiam  M N.  Ducantur  autem 
differentiae  afifirmativse  ad  unam  partem  rectae  S  M,  &  negativae  ad 


S  M     M^ 


N' 


alteram  ;  &  per  puncta  N,  N,  N  agatur  curva  regularis  N  N  N  se- 
cans  rectam  SMMM  m  X,  &  erit  SX  vera  ratio  resistenti^  ad 
gravitatem,  quam  invenire  oportuit.  Ex  hac  ratione  colligenda  est 
longitudo  D  F  per  calculum ;  &  longitudo,  quae  sit  ad  assumptam 
longitudinem  D  P,  ut  longitudo  D  F  per  experimentum  cognita  ad 
longitudinem  D  F  modo  inventam,  erit  vera  longitudo  D  P.  Qua 
inventa,  habetur  tum  curva  linea  DraF  quam  corpus  describit, 
tum  corporis  velocitas  &  resistentia  in  locis  singulis. 


► 


LIBER    SECUNDUS.  ^^r. 


Scholium. 

Caeterum,  resistentlam  corporum  esse  in  ratione  velocitatis, 
hypothesls  est  magls  mathematlca  quam  naturalls.  In  medlls,  quae 
rlgore  omni  vacant,  reslstentlse  corporum  sunt  in  dupHcata  ratione 
velocltatum.  Etenlm  actione  corporis  velociorls  communlcatur 
eldem  medli  quantltatl,  tempore  minore,  motus  major  in  ratlone 
majorls  velocltatls ;  ideoque  tempore  aequaH,  ob  majorem  medii 
quantltatem  perturbatam,  communicatur  motus  in  dupHcata  ratione 
major;  estque  reslstentia  (per.  motus  leg.  ii  &  iii)  ut  motus  com- 
munlcatus.  Vldeamus  igitur  quales  oriantur  motus  ex  hac  lege 
resistentiae. 


SECTIO    II. 

De  motu  corporum  quibus  resistitur  in  dtcplicata  ratione  velocitatum. 

PROPOSITIO    V.      THEOREMA    III. 

Si  corpori  resistitur  in  velocitatis  ratione  dtcplicata,  &  idem  sola 
vi  insita  per  medium  similare  movetur ;  tempora  vero  sumantur 
in  progressione  geometrica  a  minoribus  terminis  ad  majores  pergente : 
dico  quod  velocitates  initio  singulorum  temporum  sunt  in  eadem 
progressio7ie  geometrica  inverse ;  &  quod  spatia  sunt  csqualia^  quce 
singutis  temporibus  describuntur. 

Nam  quoniam  quadrato  velocitatis  proportionaHs  est  resistentia 
medii,  &  resistentiae  proportionale  est  decrementum  velocitatis ;  si 
tempus  in  particulas  innumeras  aequales  divldatur,  quadrata  velo- 
citatum  singuHs  temporum  initiis  erunt  velocitatum  earundem 
differentiis  proportionaHa.  Sunto  temporis  particulae  IHae  A  K,  K  L, 
L  My  &c.  in  recta  C  B  sumptae,  &  erigantur  perpendicula  A  B, 
Kk,    L  t,    Mm,    &c.    hyperbolae    BklmG,    centro    C  asymptotis 


240 


DE  MOTU  CORPORUM 


rectangulls  C  D,  C H  descriptae,  occurrentla  in  B,  k,  /,  m,  &c.  &  erit 
AB  ad  Kk  ut  CK  ad  CA,  &  divlslm  AB-Kk  ad  Kk  ut  AK  ad 
CA,  &  vlclsslm  A  B-Kk  ad  A  K  ut  Kk  ad  C^,  ideoque  ut  y^  t^ 
X  Kk  ad  y^^  X  CA.  Unde,  cum  AK  &ABxCA  dentur,  erit  ^i? 
—KkutABxKk;  &  ultlmo,  ubi  coeunt  ^^  &  A'/^,  ut  AB^.  Et 
simili  argumento  erunt  Kk—Ll,  Ll^Mm,  &c.  ut  ^^  ^imd.  Ll  qicad. 
&c.  Linearum  igltur  A  B,  Kk,  Ll,  Mm  quadrata  sunt  ut  earun- 
dem  differentiae;  &  idclrco,  cum  quadrata  velocitatum  fuerlnt 
etiam  ut  ipsarum  dlfferentiae,  slmilis  erit  ambarum  progressio.  Quo 
demonstrato,  consequens  est  etlam  ut  jn 
arese  his  lineis  descrlptae  sint  in  pro- 
gressione  consimili  cum  spatils  quae 
velocitatibus  describuntur.  Ergo  si 
velocitas  initio  prlml  temporis  A  K 
exponatur  per  llneam  A  B,  &  velo- 
citas  initio  secundi  KL  per  lineam 
Kk,  &  longitudo  primo  tempore 
descripta  per  aream  AKkB;  velo- 
citates  omnes  subsequentes  expon- 
entur  per  lineas  subsequentes  L  /,  M  m,  &c.  &  longitudines 
descript^  per  areas  Kl,  Lm,  &c.  Et  composite,  si  tempus  totum 
exponatur  per  summam  partium  suarum  A  M,  longitudo  tota 
descripta  exponetur  per  summam  partium  suarum  A  MmB.  Con- 
clpejam  tempus  A  M  1X2,  dividi  in  partes  A  K,  K L,  L  M,  &c.  ut 
sint  C^,  CK,  CL,  CM,  &c.  in  progressione  geometrica;  &  erunt 
partes  illae  in  eadem  progresslone,  &  velocitates  A  B,  K  k,  L  /,  Mm, 
&c.  in  progressione  eadem  inversa,  atque  spatia  descripta  A  k,  K  l, 
Lm,  &c.  aequalia.     Q.E.D. 

Corol.  I.  Patet  ergo  quod,  si  tempus  exponatur  per  asymptoti 
partem  quamvis  A  D,  &  velocitas  in  princlpio  temporis  per  ordi- 
natim  applicatam  AB;  velocitas  in  fine  temporis  exponetur  per 
ordinatam  D  G,  &  spatium  totum  descriptum  per  aream  hyperbo- 
licam  adjacentem  ABGD;  necnon  spatlum,  quod  corpus  ahquod 
eodem  tempore  A  D,  velocitate  prima  A  B,  in  medio  non  resistente 
describere  posset,  per  rectangulum  A  BxA  D. 

Corol.  2.  Unde  datur  spatium  in  medio  reslstente  descriptum, 
capiendo  illud  ad  spatium   quod  velocitate  uniformi  A  B  ih  medio 


LIBER  SECUNDUS. 


241 


non  resistente  simul  describi  posset,  ut  est  area  hyperbollca  A  B  G  D 
ad  rectangulum  A  BxA  D., 

Corol.  3.  Datur  etlam  resistentla  medii,  statuendo  eam  Ipso  mo- 
tus  Inltio  sequalem  esse  vi  unlforml  centrlpetae,  quse  in  cadente 
corpore,  tempore  A  C,  in  medio-  non  reslstente,  generare  posset 
velocitatem  A  B.  Nam  si  ducatur  B  7"  quse  tangat  hyperbolam  in  B^ 
&  occurrat  asymptoto  in  T;  recta  A  T^sequalls  erlt  ipsi  A  C,  &  tem- 
pus  exponet,  quo  reslstentia  prima  uniformiter  continuata  tollere 
posset  velocitatem  totam  A  B. 

Corol.  4.  Et  inde  datur  etiam  proportio  hujus  reslstentiae  ad  vim 
gravltatis,  aliamve  quamvis  datam  vim  centrlpetam. 

Corol.  5.  Et  vice  versa,  si  datur  proportlo  resistentlae  ad  datam 
quamvls  vim  centripetam ;  datur  tempus  A  C,  quo  vls  centripeta 
resistentlae  aequalls  generare  posslt  velocitatem  quamvis  A  B :  Sl 
inde  datur  punctum  B  per  quod  hyperbola,  asymptotls  C  H,  C  D^ 
describi  debet ;  ut  &  spatium  A  B  G  D,  quod  corpus  incipiendo 
motum  suum  cum  velocltate  illa  A  B,  tempore  quovis  A  D,  in 
medio  similari  resistente  describere  potest. 

PROPOSITIO    VI.      THEOREMA    IV. 

Corpoi^a  sphcrrica  homogeiiea  &  cBqtcalia,  resistentiis  in  duplicata 
ratione  velocitatum  impedita,  &  solis  viribus  insitis  incitata,  tempori- 
6us,  q7CCB  sunt  reciproce  ut  velocitates  sub  initio,  describunt  semper 
csqualia  spatia,  &  amittmit  partes  velocitatum  proportionales 
totis. 


Asymptotis  rectangulls  C  D,  C  H  ^ 
descripta  hyperbola  quavis  B  b  E  e  s^- 
cante  perpendlcula  y^  B,  ab^  D  B,  de, 
in  B,  b,  E,  e,  exponantur  velocitates 
initlales  per  perpendicula  AB,D  E,  & 
tempora  per  Hneas  A  a,  Dd.  Est  ergo 
utAa3.d  Dd  ita  (per  hypothesln)  DE 
ad  A  B,  &  ita  (ex  natura  hyperbolae) 
CAa.d  C  D ;  &  componendo,  ita  C a 
ad    Cd.      Ergo    areae    A  B  b  a,    DEed,    hoc  est,  spatia  descripta 

Q 


242  DR  MOTU  CORPORUM 

sequantur  inter  se,  &  velocitates  primse  A  B,  D  E  sunt  ultimis^^,  de, 
&  propterea  dlvidendo  partlbus  etlam  suis  amissis  A  B  —  ab, 
D  E—de  proportionales.     Q.  E.  D.  -^A 

PROPOSITIO    VII.      THEOREMA    V. 

Corpora  sphcErica  qinbus  resistitur  in  duplicata  ratione  velocitatum^ 
temporibus,  qucs  sunt  tit  motus  primi  directe  &  resistenticB  primce 
inverse,  amittent  partes  motuum  proportionales  totis,  &  spatia 
describent  temporibus  istis  &  velocitatibus  primis  conjunctim  pro- 
portionalia, 

Namque  motuum  partes  amissae  sunt  ut  resistentiae  &  tempora 
conjunctim.  Igitur  ut  partes  illae  sint  totis  proportionales,  debebit 
resistentia  &  tempus  conjunctim  esse  ut  motus.  Proinde  tempus 
erit  ut  motus  directe  &  resistentia  inverse.  Quare  temporum  par- 
ticulis  in  ea  ratione  sumptis,  corpora  amittent  semper  particulas 
motuum  proportionales  totis,  ideoque  retinebunt  velocitates  velocitati- 
bus  suis  primis  semper  proportionales.  Et  ob  datam  velocitatum 
rationem,  describent  semper  spatia,  quse  sunt  ut  velocitates  primae  & 
tempora  conjunctim.     Q.  E.  D. 

CoroL  I.  Igitur  si  aequivelocibus  corporibus  resistitur  in  duplicata 
ratione  diametrorum  :  globi  homogenei  quibuscunque  cum  veloci- 
tatibus  moti,  describendo  spatla  dlametris  suis  proportionalia,  amit- 
tent  partes  motuum  proportionales  totis.  Motus  enlm  globi  cujusque 
erit  ut  ejus  velocltas  &  massa  conjunctim,  id  est,  ut  velocitas  &  cubus 
diametri ;  resistentia  (per  hypothesin)  erit  ut  quadratum  dlametri  & 
quadratum  velocitatis  conjunctlm ;  &  tempus  (per  hanc  propositlonem) 
est  in  ratione  priore  directe  &  ratlone  posteriore  inverse,  id  est,  ut 
diameter  dlrecte  &  velocitas  inverse ;  ideoque  spatlum,  tempori  & 
velocltati  proportlonale,  est  ut  diameten 

Corol.  2.  Si  aequiveloclbus  corporlbus  resistitur  in  ratione  sesqui- 
plicata  diametrorum  :  globl  homogenei  quibuscunque  cum  velocitati- 
bus  moti,  descrlbendo  spatla  in  sesquipllcata  ratlone  diametrorum, 
amittent  partes  motuum  proportionales  totis. 

Corol.  3.  Et  unlversaliter,  si  aequiveloclbus  corporibus  resistitur  in 
ratione  dignltatis  cujuscunque  diametrorum  :  spatla  qulbus  globi 
homogenei,    qulbuscunque  cum    velocitatlbus    moti,    amittent   partes 


LIBER  SECUNDUS.  243 

motuum  proportionales  totis,  erunt  ut  cubi  diametrorum  ad  dignitatem 
illam  applicati.  Sunto  diametri  D  &  E ;  &  si  resistentiae,  ubi 
velocitates  a^quales  ponuntur,  sint  ut  D"  &  E''  :  spatia  quibus  globi, 
quibuscunque  cum  velocitatibus  moti,  amittent  partes  motuum 
proportionales  totis,  erunt  ut  D^-'*  &  E^-".  Et  propterea  globi 
homogenei  describendo  spatia  ipsis  D^"'*  &  E^-''  proportionalia, 
retinebunt  velocitates  in  eadem  ratione  ad  invicem  ac  sub  initio. 

Corol.  4.  Quod  si  globi  non  sint  homogenei,  spatium  a  globo 
densiore  descriptum  augeri  debet  in  ratione  densitatis.  Motus  enim, 
sub  pari  velocitate,  major  est  in  ratione  densitatis,  &  tempus  (per 
hanc  propositionem)  augetur  in  ratione  motus  directe,  ac  spatium 
descriptum  in  ratione  temporis.. 

CoroL  5.  Et  si  globi  moveantur  in  mediis  diversis ;  spatium  in 
medio,  quod  caeteris  paribus  magis  resistit,  diminuendum  erit  in 
ratione  majoris  resistentiae.  Tempus  enim  (per  hanc  propositionem) 
diminuetur  in  ratione  resistentiae  auctae,  &  spatium  in  ratione 
temporis. 

LEMMA     II. 

Mome7itum  genitcB  cequatur  mo7nentis  laterum  singulorum  ge^ierantium 
ift  eorundem  laterum  indices  dignitatum  &  coefficientia  cofiti^iue 
ductis. 

Genitam  voco  quantitatem  omnem,  quae  ex  lateribus  vel  terminis 
quibuscunque  in  arithmetica  per  multiplicationem,  divisionem,  & 
extractionem  radicum ;  in  geometria  per  inventionem  vel  contentorum 
&  laterum,  vel  extremarum  &  mediarum  proportionalium,  sine 
additione  &  subductione  generatur.  Ejusmodi  quantitates  sunt 
facti,  quoti,  radices,  rectangula,  quadrata,  cubi,  latera  quadrata,  latera 
cubica,  &  similes.  Has  quantitates,  ut  indeterminatas  &  instabiles, 
&  quasi  motu  fluxuve  perpetuo  crescentes  vel  decrescentes,  hic 
considero ;  &  earum  incrementa  vel  decrementa  momentanea 
sub  nomine  momentorum  intelligo  :  ita  ut  incrementa  pro  momentis 
addititiis  seu  affirmativis,  ac  decrementa  pro  subductitiis  seu 
negativis  habeantur.  Cave  tamen  intelkxeris  particulas  finitas. 
Particulae  finitae  non  sunt  momenta,  sed  quantitates  ipsae  ex  momentis 
genitae.       IntelHgenda    sunt    principia  jamjam    nascentia    finitarum 


244 


DE  MOTU  CORPORUM 


magnitudlniim.  Neqiie  enlm  spectatur  In  hoc  lemmate  magnltudo 
momentorum,  sed  prima  nascentlum  proportlo.  Eodem  recldlt  si 
loco  momentorum  usurpentur  vel  velocltates  Incrementorum  ac 
decrementorum  (quas  etlam  motus,  mutatlones  &  fluxlones  quantlta- 
tum  nomlnare  llcet)  vel  finltse  quaevls  quantltates  velocltatlbus  hlsce 
proportlonales.  Laterls  autem  cujusque  generantls  coefficlens  est 
quantitas,  quse  orltur  appllcando  genitam  ad  hoc  latus. 

Igitur  sensus  lemmatis  est,  ut,  si  quantitatum  quarumcunque 
perpetuo  motu  crescentium  vel  decrescentlum  A,  B,  C,  &c.  momenta, 
vel  hls  proportlonales  mutatlonum  velocitates  dicantur  ^,  b,  r,  &c. 
momentum  vel  mutatio  genlti  rectangiili  A  B  fuerit  ^  B  +  <5  A,  &  geniti 
contenti  A  B  C  momentum  fuerit  ^BC  +  ^AC  +  ^AB:  &  genitarum 


dlgnltatum  A^  A^ 

K\  A^  A^  A^  A',  K-\  PC\  &  A-i    momenta 

2  ^  A,  3  rt:A^  4 

aK\\aK\%a  A\  i  a  A~^,  ^  a  A~^,  -a  A'', 

-  2  a  hr\  &  -  1 

3 

a  A~^  respective.      Et   generaliter,"  ut    dlgnltatls 

« 
cujuscunque  A   '" 

momentum  fuerit  aA     *«  .     Item  ut  P^enitae 

m 
A^B  momentum  fuerit  2  ^AB  +  ^^A^;  &  genitse  A^  B*  C^  momentum 

ZaA^  B^  C^-f  4^A^  B^  C^+^^A^    B^  C;     &    genit^e   -^'   sive 

A^  B-2  momentum  i  a  A?  B~^  —  2  b  A?  Vr^ :  &  sic  in  caeteris. 
Demonstratur  vero  lemma  in  hunc  modum. 

Cas.  I.  Rectangulum  quodvis  motu  perpetuo  auctum  A  B,  ubi 
de  lateribus  A  &  B  deerant  momentorum  dlmidia  \  a  &i  \  b,  fuit 
A  —  J^in  B  —  T<5,  seu  AVi^l  aV>  —  \  b  A-^\  ab  ;  &  quam  prlmum 
latera  A  &  B  alterls  momentorum  dimidiis  aucta  sunt,  evadit  A-\-\  a 
in  B  +  J^  seu  AB  +  ^^B4-^^A  +  t«^.  De  hoc  rectangulo 
3ubducatur  rectangulum  prius,  &  maneblt  excessus  ^  B  4-  <5  A.  Igltur 
laterum  incrementis  totis  a  &  b  generatur  rectanguli  incrementum 
^B  +  ^A.     Q.E,D. 

Cas.  2.  Ponatur  A  B  semper  sequale  G,  &  eontenti  ABC  seu 
GC  momentum  (per  cas.  i)  erit^C  +  ^G,  id  est  (si  pro  G  &^ 
3cribantur  A  B  &  ^  B  +  ^  A)  ^  B  C-f^  A  C  +  ^  A  B.  Et  par  est  ratlo 
contenti  $ub  lateribus  quotcunque.     Q.  E.  D. 


LIBER  SECUNDUS.  245 

Cas.  3.  Ponantur  latera  A,  B,  C  sibi  mutuo  semper  aequalia ;  & 
ipsius  A%  id  est  rectanguli  A  B,  momentum  aV>-\-b  h.  erit  2  a  A, 
ipsius  autem  A^  id  est  contenti  A  B  C,  momentum  a^  C-\-d  KC 
H-rAB  erit  3  ^  A^  Et  eodem  argumento  momentum  dignitatis 
cujuscunque  A"  est  n  a  A"~'.     Q.E.D. 

Cas.  4.   Unde  cum  ^  in    A   sit    i,  momentum   ipsius  —  ductum 
A  A 

in  A,  una  cum  —  ducto  in  a  erit  momentum  ipsius   i,  id  est,  nihiL 
Proinde  momentum  ipsius  —  seu  ipsius  A~'  est  ^^.      Et  generaliter 

A  r^ 

cum  —  in   A"  sit    i,  momentum  ipsius  —  ductum  in   A"  una  cum 
A«  ^        A" 

—  in   fua  A"~'  erit  nihil.       Et  propterea   momentum   ipsius  —  seu 

A-»  erit- 1;;^.     Q.E.D. 

Cas.  5.  Et  cum  A  ^  in  A  ^  sit  A,  momentum  ipsius  A  ^  ductum  in 


2  A  2  erit  a,  per  cas.    3  :    ideoque    momentum  ipsius  A  ^  erit 


a 


2  A2 


sive   \  a  h  '^ ,     Et  generaliter  si  ponatur  A  "^    aequale     B,  erit    A'" 
sequale    B",  ideoque   m  a  A"""'   aequale  n  b  B"~',  Bl  m  a  A~'   aequale 

m  in — n 

n  b  B~'  seu  nb  K    "  ,  ideoque  —  ^:  A     "     aequale  b,  id   est,  aequale 

71 
m 

momento  ipslus  A'' ,     Q.E.D. 

Cas.  6.  Igitur  genitse  cujuscunque  A'"  B"  momentum  est  momen- 
tum  ipsius  A'"  ductum  in  B",  una  cum  momento  ipsius  B"  ducto  in 
A'",  id  est  maK""-"-  B^-^-nbB""-'  A^" ;  idque  sive  dignitatum  in- 
dices  m  81  n  sint  integri  numeri  vel  fracti,  sive  affirmativi  vel  nega- 
tivi.     Et  par  est  ratio  contenti  sub  pluribus  dignitatibus.     Q.E.D. 

Corol.  I.   Hinc  in  continue  proportionalibus,  si  terminus  unus  datur, 
momenta   terminorum   reliquorum   erunt  ut    iidem   termini   multipli- 


246  DE  MOTU  CORPORUM 

cati   per   numerum    intervallorum    inter   ipsos    &   terminum  datum. 
Sunto  A,  B,  C,  D,  E,  F  continue  proportionales  ;  &  si  detur  terminus 

C,  momenta  reliquorum  terminorum  erunt  inter   se   ut  —  2  A,  — B, 

D,  2  E,  3  F. 

CoroL  2.  Et  si  in  quatuor  proportionalibus  dua^  mediae  dentur, 
momenta  extremarum  erunt  ut  eaedem  extremse.  Idem  intelligendum 
est  de  lateribus  rectanguli  cujuscunque  dati. 

CoroL  3.  Et  si  summa  vel  differentia  duorum  quadratorum  detur, 
momenta  laterum  erunt  reciproce  ut  latera. 

Sckolmm. 

In  epistola  quadam  ad  D,  y.  Collinium  nostratem  10  Decem.  1672 
data,  cum  descripsissem  methodum  tangentium  quam  suspicabar 
eandem  esse  cum  methodo  Slusii  tum  nondum  communicata ;  sub- 
junxi  :  Hoc  est  unum  particulare  vel  corollariu77t  potius  methodi 
generalis,  qtcce  extendii  se  citra  molestum  ulltim  calculum,  non  modo 
ad  diccendum  tangentes  adquasvis  curvas  sive  geometricas  sive  mechanicas 
vel  quomodocunque  rectas  lineas  aliasve  curvas  respicienteSy  verum 
etiam  ad  resolvendum  alia  abstrusiora  problemattim  genera  de  curvi- 
tatibuSy  areis,  longittidinibtis,  centris  gravitatis  curvarum  &c.  neque 
(quemadmodum  Huddenii  methodtts  de  maximis  &  minimis)  ad 
solas  restringitur  cequationes  illas  quce  quantitatibus  surdis  sunt 
immunes.  Hanc  methodtcm  i^itertextci  alteri  isti  qua  c^quationum 
exegesin  instittco  redtccendo  eas  ad  series  infinitas.  Hactenus  epistola. 
Et  haec  ultima  verba  spectant  ad  tractatum  quem  anno  1671  de 
his  rebus  scripseram.  Methodi  vero  hujus  generah's  fundamentum 
continetur  in  lemmate  praecedente. 


PROPOSITIO    VIII.      THEOREMA    VI. 

Si  corptcs  in  medio  tmiformi,  gravitate  tcniformiter  agente,  recta 
ascendat  vel  descendaty  &  spatium  tottcm  desciHptum  distingtcatur 
in  partes  c^qicales,  inqtce  principiis  singularum  partium  (addendo 
resistentiam  medii  ad  vim  gravitatis,  qtcando  corptcs  asce^idit, 
vel    subduce7ido    ipsam    quando     corpus     descendit)     investigentur 


LIBER  SECUNDVS. 


247 


vires  absolutcs ;  dico  quod  vires  illce  absohctce  sunt  in  progressione 
geometrica. 

Exponatur  enim  vis  gravitatis  per  datam  lineam  A  C ;  resistentia 
per  lineam  indefinitam  A  K ;  vis  absoluta  in  descensu  corporis  per 
differentiam  K  C ;  velocitas  corporis  per  lineam  A  P,  quae  sit  media 
proportionalis  inter  A  K  81  A  C,  ideoque  in  subduplicata  ratione 
resistentiae ;  incrementum  resistentise  data  temporis  particula  factum 
per  lineolam  K L,  &  contemporaneum  velocitatis  incrementum  per 
lineolam  PQ;  &  centro  C  asymptotis  rectangulis  CA,  C //' describa- 
tur  hyperbola  quaevis  B  N  S,  erectis  perpendiculis  y^  ^,  KN,  LO 
occurrens  in  D,  N,  O.  Quoniam  A  K  ^s\.vX  A  P  q,  erit  hujus  mo- 
mentum  K  L  vX  illius  momen- 
tum  2APQ:  id  est,  wtAPm 
KC;  nam  velocitatis  incremen- 
tum  PQ  (per  motus  leg.  11) 
proportionale  est  vi  generanti 
K  C,  Componatur  ratio  ipsius 
K L  cum  ratione  ipsius  K N, 
&  fiet  rectangulum  KL  x  KN 
utAP  xKCxKN;  hoc  est, 
ob  datum  rectangulum  K Cx  KN,  ut  A  P.  Atqui  areae  hyperbolicae 
KN  O  L  ad  rectangulum  KL  x  KN  ratio  ultirna,  ubi  coeunt  puncta 
K  &:  L,  est  aequalitatis.  Ergo  area  illa  hyperbolica  evanescens  est 
ut  A  P.  Componitur  igitur  area  tota  hyperbolica  A  B  O  L  ex  par- 
ticulis  KNO  L  velocitati  A  P  semper  proportionalibus,  &  propterea 
spatio  velocitate  ista  descripto  proportionalis  est.  Dividatur  jam  area 
illa  in  partes  aequales  ABMI,  I M N K,  K N  O  L,  &c.  &  vires 
absolutae  A  C,  I C,  K  C,  L  C,  &c.  erunt  in  progressione  geometrica. 
Q.  E.  D.  Et  simili  argumento,  in  ascensu  corporis,  sumendo,  ad 
contrariam  partem  puncti  A,  aequales  areas  A  Bmi,  imnky  knol, 
&c.  constabit  quod  vires  absolutse  A  C,  i  C,  kC,  l  C,  &c.  sunt  continue 
proportionales.  Ideoque  si  spatia  omnia  in  ascensu  &  descensu  capi- 
antur  aequalia ;  omnes  vires  absolutae  l  C,  kC,  i  C,  A  C,  I C,  K  C, 
L  C,  &c.  erunt  continue  proportionales.     Q.  E.  D. 

Corol.   I.  Hinc  si  spatium  descriptum  exponatur  per  aream  hyper- 
bolicam  A  B  N  K;  exponi  possunt  vis  gravitatis,  velocitas  corporis 


Q  P 


248  ^^  MOTU  CORPORUM 

&  resistentia  medii  per  lineas  A  C,  A  P  &  y^  A^  respective ;  &  vice 
versa. 

Corol.  2.  Et  velocitatis  maximse,  qiiam  corpus  in  infinitum  de- 
scendendo  potest  unquam  acquirere,  exponens  est  linea  A  C 

Corol.  3.  Igitur  si  in  data  aliqua  velocitate  cognoscatur  resistentia 
medii,  invenietur  velocitas  maxima,  sumendo  ipsam  ad  velocitatem 
illam  datam  in  subduplicata  ratione,  quam  habet  vis  gravitatis  ad 
medii  resistentiam  illam  cognitam. 


PROPOSITIO    IX.      THEOREMA    VII. 

Positis  jam  demonstratis,  dico  quod,  si  taiigentes  anguloriim  sectoris 
circularis  &  sectoris  hyperbolici  sumafitur  velocitatibus  proportion- 
aleSy  existente  radio  justcs  magnitudinis :  erit  temptcs  omne  ascendendi 
ad  locum  summum  ut  sector  circuli^  &  temptcs  om7ie  descendendi  a 
loco  summo  ut  sector  hyperbola. 

Rectae  A  C,  qua  vis  gravitatis  exponitur,  perpendicularis  8l  aequa- 
lis  ducatur  A  D.  Centro  D  semidiametro  A  D  describatur  tum 
circuli  quadrans  A  t  E;  tum  hyperbola  rectangula  A  V  Z  axem  ha- 
bens  A  X,  verticem  principalem  A,  &  asymptoton  D  C.  Ducantur 
D p,  D  P,  &,  erit  sector  circularis  A  t  D  ut  tempus  omne  ascendendi 
ad  locum  summum ;  &  sector  hyperbolicus  A  TD  ut  tempus  omne 
descendendi  a  loco  summo :  Si  modo  sectorum  tangentes  A  p, 
A  P   sint   ut   velocitates. 

Cas.  I.  Agatur  enim  D  v  q  abscindens  sectoris  A  D  t  &,  trianguli 
ADp  momenta,  seu  particulas  quam  minimas  simul  descriptas  tDv 
&  q  Dp.     Cum  particulae  illse,  ob  angulum    communem  D,  sunt  in 

duplicata  ratione  laterum,  erit   particula  t  D  v  ut  ^^P^J^  quad^ 

p  D  quad. 

id  est,  ob  datam  tD,  ut     |^^^         S^dpD  quad.  est  A  D  quad.  + 

Ap  quad.  id  est,  A  D  qtcad.  -|-  A  D  x  A  k,  s^u  A  D  x  Ck;  &  qDp 

^sth  A  D  xp  q.     Ergo   sectoris  particula  tDv  est   ut  ^-^;  id  est, 


LIBER  SECUNDUS. 


249 


ut  velocltatls  decrementum  quam  minlmum  /  ^  dlrecte,  &  vls  Illa  Ck 
quae  velocitatem  dlminuit  inverse ;  atque  ideo  ut  partlcula  temporls 
decremento  velocitatls  respondens.  Et  componendo  fit  summa 
particularum  omnium  t  D  v  m  sectore  A  D  t,  ut  summa  particularum 
temporis  singulis  velocltatis  decrescentis  A p  particulis  amissis  /  q 
respondentlum,  usque  dum  velocitas  illa  in  nlhiluni  diminuta  evanuerit; 
hoc  est,  sector  totus  A  D  t  ^st  ut  tempus  totum  ascendendi  ad  locum 
summum.     Q.E.D. 

Cas,  2.  Agatur  DQ  Fabscindens  tum  sectoris  D  A  V,  tum  trian- 
guli  D  A  Q  partlculas  quam  minimas  T D  V  8>l  P  D  Q  ;  8c  erunt  hse 
partlculae  ad  invlcem  ut  D  T q  ad  D  P  q/vdi  est  (si  T X  81  A  P 
parallelae  slnt)  ut  Z^^^  ad  Z^^  ^  vel  TX  q  ad  A  P  q,  81  divlsim  ut 
D X q—T X q  a.d  D  A  q  —  A  P q.      Sed  ex  natura  hyperbolae  DXq 


—  TXq  est  A  D q,  &  per  hypothesin  A  Pq  est  A  DxA  K.     Ergo 

particul^  sunt  ad  invicem  ut  A  D  q  ad  A  Dq—A  DxA  X ;  id  est, 

ut  A  D  2id  A  D—A  X  seu  A  C  Sid  CK :  ideoque  sectoris  particula 

P  D  Q  X  A  C 

;    atque   ideo   ob   datas   A  C  &  A  D, 


TD  V  est 


CK 


ut 


PQ 


j^-^y  icl  est,  ut  incrementum  velocitatls  directe,  utque  vis  generans 


250 


DE  MOTU  CORPORUM 


incrementum  inverse;  atque  ideo  ut  particula  temporis  incremento 
respondens.  Et  componendo  fit  summa  particularum  temporis, 
quibus  omnes  velocitatis  A  P  particulee  P  Q  generantur,  ut  summa 
particularum  sectoris  A  T D,  id  est,  tempus  totum  ut  sector  totus. 
Q-E.D. 

Corol.  I.  Hinc  si  A  P  sequetur  quartse  parti  ipsius  A  C,  spatium 
quod  corpus  tempore  quovis  cadendo  describit,  erit  ad  spatium, 
quod  corpus  velocitate  maxima  A  C,  eodem  tempore  uniformiter 
progrediendo  describere  potest,  ut  area  A  B  N  K,  qua  spatium 
cadendo  descriptum  exponitur,  ad  aream  A  TD,  qua  tempus  expo- 
nitur.     Nam  cum  sit  ^  C  ad  ^  P  ut  A  P  2A  A  K,  erit  (per  corol.  i 


lem.  II  hujus)  Z  iif  ad  P  (?  ut  2  A  K  ?id  A  P,  hoc  est,  ut  2  A  P  ad 
AQ&  inde  L  K  Sid  iP  Q  ut  A  P  ad  iA  C  vd  A  B;  est  &  KN 
SidACvdADutABsid  CK;  itaque  ex  a^quo  LKNO  ad  DPQ 
utAPsid  CK.  Sed  erat  DPQ  ad  D  T  V ut  CA^ad  A  C  Ergo 
rursus  ex  aequo  L  KNO  est  ad  D  T  V  ut  A  P  2id  A  C;  hoc  est,  ut 
velocitas  corporis  cadentis  ad  velocitatem  maximam  quam  corpus 
cadendo  potest  acquirere.  Cum  igitur  arearum  A  B  NK  &  ATD 
momenta  LKNO  &  DTV  sunt  ut  velocitates,  erunt  arearum 
illarum  partes  omnes  simul  genitse  ut  spatia  simul  descripta,  ideoque 


LIBER  SECUNDUS.  25 1 

areae  totae  ab  Inltio  genltse  A  B  N  K  &  A  T D  ut  spatla  tota  ab 
inltio  descensus  descripta.     Q.  E.  D. 

Corol.  2.  Idem  consequltur  etiam  de  spatlo  quod  in  ascensu 
descrlbitur.  Nimirum  quod  spatlum  illud  omne  sit  ad  spatium,  unl- 
formi  cum  velocitate  A  C  eodem  tempore  descrlptum,  ut  est  area 
A  B  n  k  did  sectorem  A  D  t, 

Corol.  3.  Velocltas  corporls  tempore  A  T D  cadentis  est  ad  ve- 
locltatem,  quam  eodem  tempore  in  spatio  non  resistente  acquireret, 
ut  trlangulum  A  P  D  z,di  sectorem  hyperbolicum  A  T D.  Nam 
velocltas  in  medio  non  resistente  foret  ut  tempus  A  TD,  8>l  in 
medlo  resistente  est  ut  A  P,  id  est,  ut  triangulum  A  P  D.  Et  ve- 
locltates  illae  inltio  descensus  sequantur  inter  se,  perinde  ut  areae 
illae  A  TD,  A  P  D, 

Corol.  4.  Eodem  argumento  velocitas  in  ascensu  est  ad  velocita- 
tem,  qua  corpus  eodem  tempore  in  spatio  non  resistente  omnem  suum 
ascendendi  motum  amittere  posset,  ut  triangulum  Ap  D  ad  sectorem 
circularem  A  t  D;  sive  ut  recta  A p  ad  arcum  A  t. 

Corol.  5.  Est  igitur  tempus,  quo  corpus  in  medio  reslstente  ca- 
dendo  velocitatem  A  P  acquirlt,  ad  tempus,  quo  velocitatem  maxi- 
mam  A  C  in  spatio  non  resistente  cadendo  acquirere  posset,  ut  sector 
A  D  T  2id  triangulum  A  D  C:  &  tempus,  quo  velocitatem  Ap  m 
medlo  reslstente  ascendendo  posslt  amittere,  ad  tempus  quo  velocita- 
tem  eandem  in  spatio  non  resistente  ascendendo  posset  amittere,  ut 
arcus  A  t  ad  ejus  tangentem  Ap. 

Corol,  6.  Hlnc  ex  dato  tempore  datur  spatium  ascensu  vel  de- 
scensu  descriptum.  Nam  corporls  in  infinltum  descendentis  datur 
velocitas  maxima  (per  corol.  2  &  3  theor.  vi  lib.  11)  indeque  datur 
tempus  quo  corpus  velocitatem  illam  in  spatio  non  resistente  cadendo 
posset  acqulrere.  Et  sumendo  sectorem  A  D  T  vel  A  D  t  2A  trlan- 
gulum  ^  Z^  C  in  ratione  temporis  dati  ad  tempus  modo  inventum ; 
dabltur  tum  velocltas  A  P  vel  A p,  tum  area  A  B N K  vel  A  Bnk, 
quae  est  ad  sectorem  A  D  T  vd  A  D  t  ut  spatium  quaesltum  ad 
spatium,  quod  tempore  dato,  cum  velocitate  illa  maxima  jam  ante 
inventa,  uniformiter  describi  potest. 

Corol.  7.  Et  regrediendo,  ex  dato  ascensus  vel  descensiis  spatio 
A  B n k  vd  ABN K,  dabitur  tempus  A  D t  vd  A  D  T, 


252 


DE  MOTU  CORPORUM 


PROPOSITIO    X.      PROBLEMA    III. 

Tendat  uni/ormis  vls  gravitatis  directe  ad  plann?7t  horizontis,  sitcpte 
resistefitia  tct  medii  densitas  &  qtiadratnm  velocitatis  cojijtmctim : 
requiritur  ttim  medii  densitas  in  locis  si^tgtilis,  quce  faciat  ut  corpns 
ifi  data  quavis  linea  curva  moveatur;  ttcm  corporis  velocitas  &  medii 
resistentia  in  locis  singulis, 

Sit  PQ  planum  illud  plano  schematis  perpendiculare ;  PFHQ 
linea  curva  plano  huic  occurrens  in  punctis  P  &  Q;  G,  H,  /,  K 
loca  quatuor  corporis  in  hac  curva  ab  /^  ad  ^  pergentis  \  8l  G  D, 
HC,  ID,  K E  ordinatae  quatuor  parallelae  ab  his  punctis  ad  hori- 
zontem  demissae,  &  Hneae  horizontali  P  g  ad  puncta  B,  C,  D,  E 
insistentes;  &  sint  BC,  CD.DE 
distantiae  ordinatarum  inter  se 
sequales.  A  punctis  G  &  Hdu- 
cantur  rectae  GLy  H N  curvam 
tangentes  m  G  &,  H,  &  ordina- 
tis  C  H,  D I  sursum  productis 
occurrentes  in  Z  &  A^,  &  com- 
pleatur  parallelogrammum  H  C 
D  M,  Et  tempora,  quibus  cor- 
pus  describit  arcus  G  H,  H I,  erunt  in  subdupHcata  ratione  altitu- 
dinum  L  H,  N I,  quas  corpus  temporibus  ilHs  describere  posset,  a 
tangentibus  cadendo ;  &  velocitates  erunt  ut  longitudines  descriptae 
G  H,  H I  directe  &  tempora  inverse.     Exponantur  tempora  per  T 

&    decrementum     velocitatis 


&  /,  &  velocitates   per  ^ J^  &  ^^ 


G  H 


HI 


Hoc  decrementum 


tempore  /  factum  exponetur  per  —- 

oritur  a  resistentia  corpus  retardante,  &  gravitate  corpus  acceler- 
ante.  Gravitas,  in  corpore  cadente  &  spatium  TV^/ cadendo  descri- 
bente,  generat  velocitatem,  qua  duplum  illud  spatium  eodem  tem- 
pore  describi  potuisset,  ut  Galilceics  demonstravit ;    id  est,   velocita- 

2   N I         ^    .  rr   r    1  .t 

— ^ — ;  at  m  corpore  arcum  H I  describente,  auget  arcum    illum 


tem 


LIBER  SECUNDUS. 


253 


sola  lonofitudlne  H I—H  N  seu 


MIy.NI 
HI      ' 


ideoque  generat  tan- 


tum  velocitatem 


2MIy.NI 


Addatur  haec  velocltas  ad  decremen- 


tyHI 

tum  prsedlctum,  &  habebltur  decrementum  velocitatis  ex  resistentla 

GH    HI    2MIyNI 


sola  oriundum,  nempe 


tyHI 


Proindeque  cum 


gravltas   eodem   tempore   In   corpore    cadente    generet   velocltatem 


2NI 


reslstentia  erlt   ad  gravltatem   ut 


GH    HI .  2MIyNI 


ad 


NI 


,  sive  ut 


tyGH 


^HI^ 


2MIyNI 


ad  2  NL 


tyHI 


t      '  T  HI 

Jam  pro  absclssls  C  B,  C  D,  C  E  scrlbantur— ^,  o,  20.  Pro 
ordlnata  C  H  scrlbatur  P,  &  pro  M I  scrlbatur  serles  qusellbet 
Q^+  R^^4-S6>3+  ^c.  Et  seriel  termlni  omnes  post  ,  prlmum^ 
nempe  R^^  +  Sd?3  +  &c.  erunt  iV/,  &  ordlnatse  DI,  E  K,  &  BG 
erunt  P  -  Q  ^  -  R^^  -  S  ^3  _  &c.  P  -  2  Q^  -  4  R^d?  -  8  S  ^^  _ 
&c.  &P  +  Q<?— R^<?+S^3  —  &c.  respective.  Et  quadrando  dlffe' 
rentlas  ordlnatarum  B  G  —  C  H  &  C  H—D  /,  &  ad  quadrata 
prodeuntla  addendo  quadrata  ipsarum  B  C,  C  D,  habebuntur  arcuum 
GH,  H I  quadrata  ^^  +  Q  Q  ^^  —  2  Q  R  o^  4-  &c.  ^oo  -^-  Q^Q^oo 

Q  R^^ 


4-  2  Q  R  ^^  +  &c.      Quorum  radlces  0  J\  +  Q  Q  — 


& 


Vi  +  QQ' 
0  J  i  -^-OO  ^ Y       ^  ^  sunt   arcus  G  H  81  HI     Praeterea  sl  ab 

ordinata    CH  subducatur   semlsumma    ordlnatarum    BG   ac   D I, 

&   ab   ordlnata   DI  subducatur   semlsumma    ordlnatarum    C  H  &l 

EKy  manebunt  arcuum  GI  &  /T/f  sagittae  Roo  &   Roo-\-^So\ 

Et   hae    sunt   llneolls  L  H  8i  iV/ proportlonales,    Ideoque    in   du- 

pllcata  ratlone  temporum   Infinlte  parvorum  T  &  /:    &  inde  ratio 

/            ,R+3S^  R  +  ISd?     .   tyGH      „.      ^MIyNI. 

7y  est   J :^ —    seu 


R 


R 


&^Ji^_^/+ 


HI 


substituendo  ipsorum  —  ,    G  H,  H I,  M I  &  N I  valores  jam  In- 

ventos,  evadit  ^— ^    ^i  +  Q  Q.      Et  cum  2  N I  ^M^Roo,  resi- 
2  R 


254 


DE  MOTU  CORPORUM 


stentia  jam  erit  ad  gravitatem  ut  - — —  V  ^  +  Q  Q  ad  2  R  ^  ^,  id  est, 

2  K. 


ut3S  Vi  +  QQad4RR. 

Velocitas   autem    ea    est,    quacum    corpus    de    loco   quovis   H, 
secundum  tangentem  H  N  egrediens,  in  parabola  diametrum  H  C 

&  latus  rectum  ^  seu    ^  ^  ^   habente,    deinceps    in   vacuo 

moveri  potest. 

Et   resistentia   est   ut   medii    densitas    &   quadratum    velocitatis 
conjunctim,  &  propterea  medii  densitas  est  ut  resistentia  directe  & 

quadratum   velocitatis    inverse,  id  est,  ut  - —    J  "^  >^  W  jirecte   & 

4  R  R 


i  +  QQ 

R 


inverse,  hoc  est,  ut 


Q.E.I. 


RVi  +  QQ" 
Corol.   I.    Si  tangens  HN  producatur  utrinque  donec  occurrat 

ordinatae  cuilibet  A  F  m  T:  erit  — -— aequalis   V  i  +  Q  Q,  ideoque 


in  superioribus  pro  J  i  ^-QQ  scribi  potest.      Qua  ratione  resistentia 
erit   ad  gravitatem   ut   ^Sx/Zrad  ^RRx^C,   velocitas   erit 


ut 


H  T 


,  &  medii  densitas  erit  ut 


Sx^  C 
RxHT 


ACJK 

CoroL  2.  Et  hinc,  si  curva 
linea  P FHQ  definiatur  per 
relationem  inter  basem  seu 
abscissam  A  C  &  ordinatim 
appHcatam  C  H,  ut  moris  est ; 
&  valor  ordinatim  applicatse 
resolvatur  in  seriem  conver- 
gentem  :  Problema  per  primos 
seriei  terminos  expedite  solve- 
tur,  ut  in  exemplis  sequentibus.    ^ 

ExempL  i.  Sit  linea  PFHQ  semicirculus  super  diametro  PQ 
descriptus,  &  requiratur  medii  densitas  quse  faciat  ut  projectile 
in  hac  linea  moveatur. 

Bisecetur  diameter  P  Q  m  A  ;  dic  A  Q,  n;  AC,a;  CH,  e;  & 
CD,o:    &  erit  Dlq  seu    A  Q  g—A  D  q  =  nn'-(ia'-2  ao-oo.sm 


LIBER  SECUNDUS. 


255 


•2  ao  —  0  0,  &  radlce  per  methodum  nostram  extracta,  fiet  D I 
ao       00       aaoo        a  o^       a^  o^ 
e        2  e         2  e^         2  e^ 


ee 


ee-\-aa,  &  evadet  D  I=e 

e 


2  e^ 
nno  0 


&c.      HIc  scribatur  ^^/^  pro 
anno^ 


&c. 


2  ^^  2  ^^ 

Hujusmodl  series  distinguo  in  termlnos  successlvos  In  hunc  modum. 
Termlnum  prlmum  appello,  in  quo  quantltas  infinite  parva  0  non 
extat ;  secundum,  in  quo  quantltas  illa  est  unius  dimenslonis ;  tertlum, 
in  quo  extat  duarum  ;  quartum,  in  quo  trium  est;  &  slc  in  infinltum. 
Et  primus  termlnus,  qui  hic  est  e,  denotablt  semper  longltudinem 
ordinatse    C  H    Inslstentls    ad    inltlum    Indefinltae    quantltatls     0, 

Secundus  termlnus,  qui  hic  est ,  denotabit  differentiam  inter  C  H 

&     D  N,    \d    est,     lineolam    M  N,    quae    abscinditur    complendo 

parallelogrammum  H  C  D  M,  atque  ideo  posltlonem  tangentls  Z^TV 

semper  determinat;  ut  in  hoc  casu  caplendo  M N  ad  H  M  vX  est 

ao      .  .         rr^.  .  .,.  nnoo     .    , 

ad  0,  seu  «  ad  ^.      1  ermmus  tertms,  qui  hic  est —  ,  designa- 

e  2  e 

bit  lineolam  I N,    quae  jacet  inter  tangentem    &   curvam,   ideoque 

determlnat  angulum  contactus  I H  N  seu  curvaturam  quam  curva 

linea   habet   in   H,      Si   lineola   illa   I N    finitae   est  magnltudinis, 

designabltur  per  termlnum  tertium  una  cum  sequentlbus  in  infinltum. 

At    si   Hneola    illa    minuatur    in    infinitum,    termini    subsequentes 

evadent  infinlte  mlnores  tertlo,  ideoque  negllgi  possunt      Terminus 

quartus    determlnat    varlatlonem     curvaturse,    qulntus     varlatlonem 

variationls,  &  slc  deinceps.       Unde  obiter  patet  usus  non  contemnen- 

dus  iiarum   serierum   in    solutione    problematum,    quae    pendent    a 

tangentlbus  &  curvatura  curvarum. 


Conferatur  jam  serles  e  — 


ao      nnoo      anno'^ 


—  &c.  cum  ferie 


e  2  e^  2  e^ 

P  —  Q^  —  R^^  —  S^3_&c.  &  perinde  pro  P,  Q,  R  &  S  scrlbatur  e, 

a   nn     ^   ann    ^  , ^  ^       .,  ,^       /7.  n.  n 

,  &  ^7-77  ,  &  pro  V  I  +  Q  Q  scribatur  v    i  H- 


a  a 


2e' 


2  e^ 


seu 


& 


e  e 


prodlbit  medli  densitas  ut   hoc  est  (ob  datam   ri)    ut   -,    seu 

^  ne  ^  ^  e 

A  C    . 

^  TT>  id  est,  ut  tangentis  longitudo  illa  H  T,  quae  ad  semidlam^trum 


56 


DE  MOTU  CORPORUM 


A  F  ipsi  P  Q  normaliter  insistentem  terminatur  :  &  resistentia  erit 

ad  gravitatem  ut  3  ^  ad  2  n,  id  est,  ut  3  ^  C  ad  circuli  diametrum 

PQ:  velocitas  autem  erit  ut  J  C II.       Quare  si  corpus  justa  cum 

velocitate  secundum  lineam  ipsi 

P  Q   parallelam  exeat  de  loco 

7%  &  medii  densitas  in  singulis 

locis  H  sit  ut  longitudo  tangen- 

tis  H  T,  81  resistentia  etiam  in 

loco  aliquo  H  sit  ad  vim  gravi- 

tatis  ut  3  ^  C  ad  P  Q,  corpus 

illud  describet  circuli  quadran- 

t^m  FHQ.     Q.E.I.  p 

At  si  corpus  idem  de  loco  P,  secundum  lineam  ipsi  P  Q  perpen- 
dicularem  egrederetur,  &  in  arcu  semicirculi  P FQ  moveri  inciperet, 
sumenda  esset  A  C  seu  a  ad  contrarias  partes  centri  A,  &  propterea 
signum   ejus  mutandum  esset  &  scribendum    —■  a  pro   -h  a.       Quo 

pacto  prodiret  medii  densitas  ut  —  -  .     Negativam  autem  densitatem, 

hoc  est,  quae  motus  corporum  accelerat,  natura  non  admittit  :  & 
propterea  naturaliter  fieri  non  potest,  ut  corpus  ascendendo  a  P  de- 
scribat  circuli  quadrantem  P  F  Ad  hunc  effectum  deberet  corpus  a 
medio  impellente  accelerari,  non  a  resistente  impediri. 

Exempl.  2.  Sit  linea  P  FQ  parabola,  axem  habens  A  F  horizonti 
PQ  perpendicularem,  &  requiratur  medii  densitas,  quse  faciat  ut 
projectile  in  ipsa  moveatur. 

Ex  natura  parabolae,  rectangulum  P DQ 
aequale  est  rectangulo  sub  ordinata  D I  81 
recta  aliqua  data  :  hoc  est,  si  dicantur  recta 
illa  d;  PC,  a'/PQ,  c;.CH,  e;  &  CD, 
0  ;  rectangulum  a->rO  in  c  —  a  —  o  seu  ac  — 
aa  —  ^  ao-\-c 0  —  0 0  aequale  est  rectangulo 


1 


a  c  —  a  a 


b  in  D  /,  ideoqiie]^/^  /  aequale  , 

Jam     scribendus 


^—2  a 


0  — 


00 


esset    hujus   seriei    secundus 


2   a 


00 


termmus \ 0  pro  Q  o,    tertius    item    terminus   —j-  pro  R^^. 


LIBER  SECUNDUS. 


257 


Cum    vero    plures    non    slnt   termlni,    debeblt   quartl    coefficlens    S 

evanescere,  &  propterea  quantltas    — — =^^,  cui   medil  densltas 

proportionalis  est,  nihil  erlt.  Nulla  igltur  medii  densitate  move- 
bltur  projectile  In  parabola,  uti  olim  demonstravit  Galilcsus, 
Q.E.L 

Exempl.  3.  Slt  linea  A  GK  y 

hyperbola,  asymptoton  habens 
NX  plano  horizontall  A  K 
perpendicularem  ;  &  quseratur 
medil  densltas,  quae  faciat  ut 
projectile  moveatur  In  hac  llnea. 

Slt  MX  asymptotos  altera, 
ordlnatlm  appllcatae  D  G  pro- 
ductae  occurrens  in  V ;  &  ex 
natura  hyperbolae,  rectangulum 
XVvci  VG  dabitur.  Datur 
autem  ratlo  D  N  2A  VX,  81 
propterea  datur  etlam  rectan- 
gulum  DN  in  VG,     Sit  illud 

dd:     &    completo    parallelo-    imT      a  bd      k 

grammo  D  N  X  Z  ;  dlcatur  B  N,  a;  B  D,  0  ;  N  X,  c  ;  &  ratlo  data 

V Z  ad  Z  X  vel  D  N  ponatur  esse  — .     Et  erit  D  N  aequalls  a^o. 


n 


bb 


m 


V  G  aequalls ,  V Z  aequahs  —  a—Oy  &  GD  seu  NX—  VZ—  VG 

a  —  o  n 


..  m        m 

aequahs  c a-\-—  0 

n         n 


bb 


a  —  o 


Resolvatur  terminus 


bb 


m    seriem 


a  —  o 


b  b       b  b         b  b  b  b       o       o^        ^i^  i- 

convers^entem 1 ^H 0  0  -^ o^  &c.   &  net    G  D  aequalis 

a       aa  a^  a^ 

m         bb     m         bb  bb  ^      bb        ^  ,,- 

c a 1 —  0 0 o^ o^   <kc.       Huius    senei    ter- 

n  a       71         aa  a^  a"^ 

.     m        bb  ,  ^  . 

mmus  secundus  —  0 0  usurpandus  est  pro  Q  0,  tertms  cum  signo 

n         a  a 

bb  ^         ^  .  .  bb 

mutato  —  d^    pro    R  <? ,    &    quartus    cum  signo   etiam   mutato  —  o^ 

R 


5B 


DE  MOTU  CGRPORUM 


pro  S  ^^  eorumque  coemcientes ,  —  &  —   scnbendae    sunt 

^  11       a  a    a^         a'^ 

in  regula  superlore  pro  Q,  R  &  S.     Ouo  facto  prodlt  medii  densitas 

dd 

a^  I 


ut 


b  b    /^      mm 
—  VI  +  — 

d^  17  t7. 


nn 


2mb  b      b^ 
naa       a^ 


seu 


,  ^       7nm  2mb b      b^ 

s/  aa-\ aa 1 

71  n  71  aa 


id 


est,  si  in  VZ  sumatur   VY  sequalls    V G,  ut -r^-i^.     Namque  aa  & 


Resi- 


mm  2mbb       b*'         ^.  xt-^o-^t^  i^ 

aa H sunt  ipsarum  X  Z  ^  Z  Y  quadrata. 

7171  n  aa 

stentia  autem  invenltur  in  ra- 

tione  ad  gravltatem  quam  habet 

3  ;^  r  ad  2YG;  &  velocltas 

ea  est,  quacum  corpus  in  para- 

bola  pergeret  vertlcem  G,  dia- 

metnim  D  G,  %l  latus  rectum 

^^     habente.      Ponatur 

V  G 

itaque  quod  medli  densltates  in 

locis  slnguHs  G  sint  reciproce 

ut  dlstantlae  X  F,  quodque  resl- 

tentla  in  loco  ahquo  G  sit  ad 

gravitatem  ut  3  X  F  ad  2  YG  ; 

&  corpus  de  loco  A,  justa  cum 

velocltate    emissum,    describet     m       a  b  ^ 

hyperbolam  Illam  A  G  K.     Q.  E.  I. 

Exempl.  4.  Ponatur  indefinlte,  quod  Hnea  A  G  K  hyperbola  sit, 
centro  X,  asymptotls  M  X,  N  X  ea  lege  descrlpta,  ut  constructo 
rectangulo  XZ D N  cujus  latus  Z D  secet  hyperbolam  m  G  &l 
asymptoton  ejus  in  F,  fuerit  VG  reciproce  ut  ipslus  ZX  vel  DN 
dlgnltas  allqua  D  N'\  cujus  index  est  numerus  71 :  &  quaeratur  medii 
densitas,  qua  projectlle  progredlatur  In  hac  curva. 

Yxo  B  N,  B  D,  N  X  scrlbantur  A,  O,  C  respective,  sitque  VZ 

bb 


2idXZ  vel  Z^iV  ut  ^  ad  ^,  &  VG  sequahs 


DN^' 


&  erit  DN  aequa- 


LIBER    SECUNDUS.  259 


bb 


lls  A  -  O,  VG^  -,  FZ  =  -A-0,  &  GD  seu  iVX-  FZ 

A-Of  c 

^VG  ^qualls  C A  -f  -  O  —  ===„^.    Resolvatur  termlnus  Ille 

e  e  A  —  0| 

bb         .  .  .   r    '  ^  ^        nb  b  ^       11  7t  +  11    .    .    ^ 

^— 1«    in    senem    mfinitam    —  +  ^  O  +    ^^,  +  ,     b  b  O^    ^- 

— ^-^- — b  b  O^  &c.   ac   fiet    G  D   sequalis    C A 4- 

d  ^         71  b  b  ^  +7171  +  71   ^    ^  ^  +  71^  +  X7171  +  271  ,  .  ^     ^  .  _ 

jus  seriei  termlnus  secundus  -  O  —  a«+i  O  usurpandus  est  pro  Q  <?, 
.     ^^^  +  ^^    T  i    r\  T^  ?^^  4-  3  ^  ^^  +  2  ;^ 


tertms  — ^—    b  b    0""    pro    R  ^^    quartus  .  ^^^^ b b   O^  pro 

S 
S^\     Et  inde  medii  densitas  -^ — .        ^^,  in    loco    quovls    G,    fit 

RVi  +  QQ 

,  ideoque  si  in    VZ  capiatur  V  Y 


,<^      dd .        2d7ibb  ^       nnb^ 
3VA^  +  -A^---^A  + 


ee  eK''  A^" 

sequalls  71  x  VG,  densltas  Illa  est  reclproce  ut  X  Y,      Sunt  enim  A^ 

^dd.        2d7ibb  .       7inb^  ,  ^^  ^  c^    ^  ^r         1  -n     . 

&  — A^—  — -r—  A  +  — —  ipsarum  X  Z  Ql  Z  Y  quadrata.    Resisten- 

X  Y 
tla  autem  in  eodem  loco  G  fit  ad  gravltatem  ut  3  S  in  — v—  ad  4  R  R, 

27tn  +  2n 
id  est,ut  XY2A — VG,    Et  velocltas  ibidem  ea  Ipsa  est,  quacum 

corpus   projectum    in    parabola    pergeret,    vertlcem    G,    dlametrum 

^  7-.  o  1  i  +  QO  2XY quad.    ,    ,  ^    r-   r 

G  D  cz.  latus  rectum  ^^  seu  habente.     Q.  E.  I. 

R  n7t  +  ftin  VG 

Scholiunt. 

S  X  A  C 
Eadem  ratlone  qua  prodlit  densltas  medli  ut  ~ zT^  ^^   corol- 

lario  primo,  sl   reslstentia  ponatur  ut  velocitatis   V  dignitas  quasli- 


26o 


DE  MOTU  CORPORUM 


bet  V",  prodibit  densitas  medii 
S 


ut 


R 


4-«  ^  ^T" 


Et  propterea 


si  curva  inveniri  potest  ea  lege, 

S 
ut   data   fuerlt  ratio   ~^n     ad 

R— 


corpus  movebitur  in  hac  curva 


Q 

in 


uniformi  medio  cum  resistentia  quae  sit  ut  velocitatis  dignitas  V". 
Sed  redeamus  ad  curvas  simpliciores. 

Quoniam  motus  non  fit  in  parabola  nisi  in  medio  non  resistente, 
in  hyperbolis  vero  hic  descriptis  fit  per  resistentiam  perpetuam  ; 
perspicuum  est  quod  Hnea,  quam  projectile  in  medio  unlformiter 
reslstente  descrlbit,  proplus  accedlt  ad  hyperbolas  hasce  quam  ad 
parabolam.  Est  utlque  Hnea  illa  hyperbollcl  generis,  sed  quae  circa 
vertlcem  magls  dlstat  ab  asymptotls ;  in  partlbus  a  vertice  remotiori- 
bus  proplus  ad  Ipsas  accedlt  quam  pro  ratlone  hyperbolarum  quas  hic 
descrlpsi.  Tanta  vero  non  est  inter  has  &  illam  differentla,  quin 
iUIus  loco  posslnt  hae  in  rebus  practicis  non  incommode  adhiberi. 
Et  utiliores  forsan  futurae  sunt 
hae,  quam  hyperbola  magis  ac- 
curata  &  simul  magls  compo- 
sita.  Ipsae  vero  in  usum  sic 
deducentur. 

Compleatur  parallelogram- 
mum  XYGT,  &  recta  GT 
tanget  hyperbolam  in  G,  ideo- 
que  densitas  medli  in  G  est 
reclproce   ut   tangens  G  T,  &l 

velocltas  ibidem  ut   J    ^  J , 

reslstentla  autem  ad  vlm  gravi- 


tatis 
GV, 


ut    GT  d^d 


7/-h  2 


m 


LIBER  SECUNDUS. 


261 


Prolnde  si  corpus  de  loco  A  secundum  rectam  A  H  projectum 
describat  hyperbolam  A  G  K,  &  A  H  producta  occurrat  asymptoto 
N  X  In  H,  actaque  A  I  eldem  parallela  occurrat  alteri  asymptoto 
M X  in  /;  erit  medii  densitas  In  A  reclproce  ut  A  H^  81  corporis 

velocltas  ut    ^  — ^-y^ ,  ac  resistentla  Ibldem  ad  gravltatem  ut  A  H 

ad  In  A  I.     Unde  prodeunt  sequentes  regulae. 

Reg.  I.  SI  servetur  tum  medll  densitas  In  A,  tum  velocltas 
quacum  corpus  projicitur,  &  mutetur  angulus  NAH;  manebunt 
longitudlnes  A  H,  A  I,  H X,  Ideoque  sl  longltudines  Illse  In  aliquo 
casu  invenlantur,  hyperbola  delnceps  ex  dato  quovls  ^xigvXo  N  A  H 
expedlte  determinari  potest. 

Reg.  2.  SI  servetur  tum  angulus  N  A  H,  tum  medll  densitas  In 
A,  &  mutetur  velocltas  quacum  corpus  projicltur;  servabitur  longitudo 
A  Hy  81  mutabltur  ^  /  in  dupllcata  ratione  velocltatls  reclproce. 


Reg.  3.  SI  tam  angulus  N  A  H^  quam  corporls  velocltas  in  A, 
gravltasque  acceleratrlx  servetur,  &  proportlo  reslstentlae  in  A  ad 
gravltatem  motricem  augeatur  In  ratlone  quacunque ;  augebitur 
proportio  A  H  2A  A  I  \w  eadem  ratione,  manente  parabolae  praedictae 

latere  recto,   elque  proportionall   longltudine  j  :    &  propterea 


262 


DE  MOTU  CORPORUM 


minuetur  A  H  m  eadem  ratlone,  8>l  A  I  mlnuetur  In  ratione  illa 
duplicata.  Augetur  vero  proportlo  reslstentlae  ad  pondus,  ubi  yel 
gravitas  specifica  sub  sequali  magnitudine  fit  mlnor,  vel  medii 
densitas  major,  vel  resistentla,  ex  magnitudine  dlminuta,  diminuitur 
in  minore  ratione  quam  pondus. 

Reg,  4.  Quoniam  densitas  medli  prope  verticem  hyperbolae  major 
est  quam  in  loco  A  ;  ut  habeatur  densitas  mediocris,  debet  ratio 
minlmae  tangentium  6^  7"  ad  tangentem  A  H  inveniri,  &  densltas  in 
A  augeri  in  ratione  paulo  majore  quam  semisummse  harum  tangentium 
ad  minlmam  tangentium  G  T, 

Reg,  5.  Si  dantur  longitudines  A  H,  A I,  &  describenda  sit 
figura  A  GK :  produc  H N  ad  X,  ut  sit  H X  Sid  A  /  utn-\-i  ad  i, 
centroque  X  &  asymptotis  MX,  N  X  per  punctum  A  describatur 
hyperbola,  ea  lege,  ut  sit  ^  /  ad  quamvis  F  6^  ut  ^  F"  ad  X  I'\ 


^^g'  6.  Quo  major  est  numerus  n,  eo  magis  accuratse  sunt  hae 
hyperbolae  in  ascensu  corporis  ab  A,  &  minus  accuratae  In  ejus 
descensu  ad  iT;  &  contra.  Hyperbola  conica  mediocrem  ratlonem 
tenet,  estque  caeteris  slmpllcior.  Igitur  si  hyperbola  sit  hujus  generls, 
&  punctum  K,  ubi  corpus  projectum  incldet  in  rectam  quamvis  A  N 
per  punctum  A  transeuntem,  quaeratur  :  occurrat  producta  A  N 
asymptotis  M X,  NX  m  M  &,  N,  81  sumatur  NK  ipsi  A  M  a^qualis. 

Reg,   7.   Et   hlnc   liquet   methoduu    expedita    determinandi    hanc 


LIBER  SECUNDUS.  263 

hyperbolam  ex  ph^nomenls.  Projiciantur  corpora  duo  similia  & 
cequaHa,  eadem  velocitate,  in  anguHs  diversis  H  A  K,  h  A  k,  inci- 
dantque  in  planum  horizontis  m  K  Sl  k  ;  81  notetur  proportio  A  K 
ad  Ak.  Sit  ea  d  ad  e.  Tum  erecto  cujusvis  longitudinis  perpendiculo 
A  /,  assume  utcunque  longitudinem  A  H  wd  A  h,  &  inde  colHge 
graphice  longitudines  A  K,  A  k,  per  reg.  6.  Si  ratio  A  K  2.d  A  k 
sit  eadem  cum  ratione  d  ad  e,  longitudo  A  H  recte  assumpta  fuit. 
Sin  minus  cape  in  recta  infinita  S  M  longitudinem  SM  a^qualem 
assumptse    A  H,    81    erige   perpendiculum   M  N    aequale   rationum 

differentise  "— ductze  in  rectam  quamvis  datam.    SimiH  methodo 

A  k      e 

ex  assumptis  pluribus  longitudinlbus 

A  H  invenienda  sunt  plura  puncta 

N,  &  per  omnla  agenda  curva  Hnea 

regularis  N  N  X  N,  secans  rectam 

SMMM  in  X.     Assumatur  demum 

A  H  aequaHs  absclssae  S  X,  81  Inde 

denuo    inveniatur    longltudo    A  K ;    &   longltudlnes,    quse    sint   ad 

assumptam  longitudinem  AI  &  hanc  ultimam  AH,  ut  longitudo  AK 

per  experlmentum  cognita  ad  ultimo  Inventam   longitudinem  A  K, 

erunt  verse  ihae  longitudines  A I  81   A  H,  quas  invenire  oportuit. 

Hisce  vero  datls  dabltur  &  reslstentia  medll  in  loco  A,  quippe  quae 

sit  ad  vlm  gravltatls  \xt  A  H  2id  2  A  I.     Augenda  est  autem  densitas 

medii  per  reg.  4  &  resistentla  modo  Inventa,  sl  in    eadem  ratlone 

augeatur,  fiet  accuratior. 

Reg.  8.   Inventis  longltudlnibus  A  H,  HX;  sl  jam  desideretur 

positio  rectae  A  H,  secundum  quam  projectile,  data  IHa  cum  velocitate 

emlssum,    Incldlt    In    punctum    quodvis    K:    ad    puncta   A     81    K 

erlgantur  rectae  A  C,  K F  horizontl  perpendiculares,  quarum  A  C 

deorsum  tendat,  &  aequetur  Ipsi  A  I  seu  \  H X.      Asymptotis  A  K, 

K F  describatur   hyperbola,    cujus  conjugata  transeat  per  punctum 

C,    centroque   A     &    intervallo   A  H  '  describatur    clrculus    secans 

hyperbolam  IHam  In  puncto  H;  &  projectile  secundum  rectam  A  H 

emissum  incldet   in  punctum  K.       Q.  E.  /.     Nam   punctum  H,   ob 

datam  longitudinem  AH,  locatur  aHcubi  in  clrculo  descripto.     Agatur 

CH   occurrens    Ipsls    A  K    8l  K F,   iHI    in   E,   huic    In  F;    &    ob 

paraHelas  C  H,  MX  &  ^quales  A  C,  A  I,  erit  A  E  aequaHs  A  M, 


264 


DE  MOTU  CORFORUM 


&  propterea  etiam  aequalis  KN.  Sed  CB  est  ad  A  B  wt  F  H  2id 
K Ny  &  propterea  C E  &  F H  aequantur.  Incldlt  ergo  punctum  H 
in  hyperbolam  asymptotls  A  K,  K F  descrlptam,  cujus  conjugata 
translt  per  punctum  C,  atque  Ideo  reperltur  In  communi  intersectione 
hyperbolae  hujus  &  circuH  descripti.  Q.  E.  D.  Notandum  est 
autem  quod  haec  operatlo  perinde  se  habet,  sive  recta  AKN  horizonti 
parallela  slt,  sive  ad  horlzontem  In  angulo  quovls  Incllnata  :  quodque 
ex  duabus  intersectionibus  H,  h  duo  prodeunt  anguli  N  A  H, 
NAh;  &  quod  in  praxi  mechanica  sufficit  circulum  semel 
describere,  deinde  regulam  interminatam  CH  ita  appHcare  ad  punctum 
C,  ut  ejus  pars  FH,  circulo  &  rectae  FK  interjecta,  aequaHs  sit  ejus 
parti  CE  inter  punctum  C  &  rectam  A  K  sitae. 

Quae  de  hyperboHs  dicta  sunt  facile  appHcantur  ad  parabolas. 
Nam  si  X  A  G  K  parabolam  designet  quam  recta  X  V  tangat  in 
vertlce  X,  sintque  ordinatim  appHcatae  lA, 
V  G  ut  quaeHbet  abscissarum  X I,  X  V 
dlgnitates  X F\  X  V\'  agantur  XT,  GT, 
A  //,  quarum  X  T  parallela  sit  V  G,  & 
G  T,  A  H  parabolam  tangant  m  G  81  A  : 
&  corpus  de  loco  quovls  A,  secundum 
rectam  A  H  productam,  justa  cum  veloci- 
tate  projectum,  describet  hanc  parabolam,  si 
modo  densltas  medii,  in  locis  singuHs  G, 
sit  reclproce  ut  tangens  G  T.  Velocitas 
autem  in  G  ea  erit  quacum  projectile 
pergeret,  in  spatlo  non  reslstente,  in 
parabola  conica  vertlcem  G,  diametrum  VG  deorsum  productam, 
2  G  T^ 


&  latus  rectum 


n  71  — n  X 


VG 


habente.     Et  resistentia  in  G  erit  ad 


vim  gravitatls  \xt  G  T  2A 


2  nn  —  2  n 
n  —  2 


VG.      Unde  s\  N  A  K  Hneam 


horlzontalem  designet,  &  manente  tum  densitate  medii  in  A,  tum 
velocitate  quacum  corpus  projicitur,  mutetur  utcunque  angulus 
N  A  H ;  manebunt  longltudlnes  A  H,  A I,  H X,  &  inde  datur 
parabolae  vertex  X,  &  posltio  rectae  X I,  81  sumendo  V  G  a.d  /  A  ut 
X  V''  ad  XI",  dantur  omnla  parabolae  puncta  G,  per  quae  projectile 
transibit. 


LIBER  SECUNDUS. 


65 


SECTIO    III. 

De  motic   corporiLin   qicibits   resistitur  partim  in  ratione  velocitatis, 
partim  in  ejicsdem  ratione  duplicata. 


PROPOSITIO    XI.      THEOREMA    VIII. 

Si  corpori  resistitur  partim  i^i  ratione  velocitatis,  partim  in  veloci- 
tatis  ratione  duplicata,  &  idem  sola  vi  insita  in  medio  si^nilari 
movetur:  sujnantur  autem  tempora  in  progressione  arithmetica ; 
quantitates  velocitatibus  reciproce  proportionales  data  quadam  quan- 
titate  auctce,  erunt  i7i  progressione  geometrica. 

Centro  C,  asymptotls  rectangulis  CADd^  C H,  descrlbatur 
hyperbola  B  E e,  Sc  asymptoto  CH  parallelse  slnt  A  B,  D  E,  de.  In 
asymptoto  CD  dentur  puncta  A,  G :  Et 
sl  tempus  exponatur  per  aream  hyperbo- 
llcam^^^Z^  unlformlter  crescentem ; 
dlco  quod  velocltas  exponl  potest  per 
longltudlnem  D  Ey  cujus  reclproca  GD 
una  cum  data  C  G  componat  longltudl- 
nem  CZ^  In  progresslone  geometrlca  cre- 
scentem. 

Slt  enim  areola  DEed  datum  temporis 
incrementum  quam  mlnlmum,  &  erlt  D  d  reclproce  ut  D  E,  ideoque 

I 


dlrecte  ut  C  D.     Ipslug  autem 


GD 


decrementum,  quod  (per  hujus 


lem.   11)   est 
CG 


Dd 


erit  ut 


CD         CG^GD 


seu 


,  Id   est,  ut 


GDq  GDq  GDq     '  '   ^'   GD 

Igltur  tempore  ABED  per  addltionem  datarum  particu- 


GDq 

larum  jG'/^^^  unlformiter  crescente,  decrescit 


GD 


in .  eadem  ratione 


cum  velocltate.     Nam  decrementum  velocltatis  est  ut  reslstentla,  hoc 


266 


DE  MOTV  COBPORUM 


est  (per  hypothesln)  iit  summa  duarum  quantitatum,  quarum  una  est 
ut   velocitas,   altera  ut  quadratum  velocitatis ;   &   ipsius  -— —    decre- 

Cr  JD 

I     o    CG 
mentum  est  ut  summa  quantitatum  — —  &  ,  quarum  prior  est 

ipsa-— ,  &  posterior  est  ut  ;  proinde-^—-,  ob  analogum 

decrementum,  est  ut  velocitas.     Et  si  quantitas  G  D,  ipsi  — —  reci- 

G  D 

proce  proportionaHs,  quantitate  data  C  G  ^ 

augeatur;  summa  C D ,  t^m^ovQ.  A  B E D 

uniformiter  crescente,  crescet  in  progres- 

sione  geometrica.      Q.  E.  D. 

Corol.  I.   Igitur  si,  datis  punctis  A,  G, 

exponatur  tempus  per  aream  hyperboli- 

cam  ABEDy  exponi  potest  velocitas  per 

ipsius  G  D  reciprocam  7^-7^. 

G  D 

Corol.  2.  Sumendo  autem   G  A  ?iA  G  D  wt  velocitatis   reciproca 

sub  initio  ad  velocitatis  reciprocam  in  fine  temporis  cujusvis  ABED, 

invenietur  punctum  G.     Eo  autem  invento,  velocitas  ex  dato  quovis 

alio  tem.pore  inveniri  potest. 


PROPOSITIO    XII.       THEOREMA    IX. 

lisdem  positis,  dico  qttod,  si  spatia  descripta  sumanttir  in  pj^ogressione 
arithmetica,  velocitates  data  quadam  qnantitate  auct^e  ertmt  in  pro- 
gressione  geometrica. 

In  asymptoto  CD  detur  punctum 
R,  &  erecto  perpendiculo  RS,  quod 
occurrat  hyperbolae  in  S,  exponatur 
descrlptum  spatlum  per  aream  hy- 
perbollcam  RSED;  &  velocltas 
erit  ut  longitudo  G  D,  quse  cum 
data  CG  componlt  longitudlnem 
C  D  In  progressione  geometrlca  c" 
decrescentem,  interea  dum  spatium  RS E D  augetur  in  arithmetica. 


LIBER  SECUNDUS. 


267 


Etenim  ob  datum  spatli  incrementum  E  D  de,  lineola  D  d,  quse 
decrementum  est  ipsius  G  D,  erit  reciproce  ut  ED,  ideoque  directe 
ut  C D,  hoc  est,  ut  summa  ejusdem  G  D  81  longitudinis  datae  CG. 
Sed  velocitatis  decrementum,  tempore  sibi  reciproce  proportionali, 
quo  data  spatii  particula  DdeE  describitur,  est  ut  resistentia  & 
tempus  conjunctim,  id  est,  directe  ut  summa  duarum  quantitatum, 
quarum  una  est  ut  velocitas,  altera  ut  velocitatis  quadratum,  & 
inverse  ut  velocitas ;  ideoque  directe  ut  summa  duarum  quantitatum, 
quarum  una  datur,  altera  est  ut  velocitas.  Decrementum  igitur  tam 
velocitatis  quam  lineae  G  D,  est  ut  quantitas  data  &  quantitas  decres- 
cens  conjunctim,  &  propter  analoga  decrementa,  analogae  semper 
erunt  quantitates  decrescentes  ;  nimirum  velocitas  &  linea  G  D, 
Q.  E.D. 

CoroL  I.  Si  velocltas  exponatur  per  longitudinem  G  D^  spatium 
descrlptum  erit  ut  area  hyperbolica  DESR. 

Corol.  2.  Et  sl  utcunque  assumatur  punctum  R,  Invenietur  punc- 
tum  G  caplendo  GR  ad  GD,  ut  est  velocitas  sub  Initlo  ad  velocltatem 
post  spatlum  quodvls  RSED  descrlptum.  Invento  autem  puncto  (7, 
datur  spatlum  ex  data  velocltate,  &  contra. 

Co7^oL  3.  Unde  cum  (per  prop.  xi)  detur  velocitas  ex  dato  tem- 
pore,  &  per  hanc  propositionem  detur  spatium  ex  data  velocitate  ; 
dabitur  spatium  ex  dato  tempore  :  &  contra. 

PROPOSITIO    XIII.      THEOREMA    X. 

Posito  quod  corpics  ab  2cnifor7ni  gravitate  deorsum  attractum  recta 
ascendit  vel  descendit ;  &  quod  eide^n  resistitur  partim  in  ratione 
velocitatis,  partim  in  ejusdon  ratione  duplicata:  dico  quod,  si  circuli 
&  hyperbolcB  diametris  parallelce  rectcB  per  cojijugatarum  diametro- 
rum  terminos  ducantur,  &  velocitates  sint  2ct  segmenta  qucedam 
parallelarimi  a  dato  puncto  ducta ;  tempora  erunt  ut  arearum 
sectores,  rectis  a  centro  ad  segmentorum  terminos  ductis  abscissi :  df 
contra. 

Cas.  I.  Ponamus  primo  quod  corpus  ascendlt,  centroque  D  & 
semidiametro  quovis  D  B  descrlbatur  clrcull  quadrans  B  E  T  E,  8i 


268 


DE  MOTU  CORPORUM 


per  semidiametri  DB  terminum  B  agatur  infinita  B  A  P,  semidia- 
metro  Z^ /^  parallela.  In  ea  detur  punctum  A,  &  capiatur  segmen- 
tum  A  P  velocitati  proportionale.  Et  cum  resistentiae  pars  altera 
sit  ut  velocitas  &  pars  altera  ut  velocitatis  quadratum ;  sit  resistentia 
tota  vX  AP  qicad,-\-2BAP,  Jungantur  DA,  DP  circulum  secantes 
in  E  ^c  T,  8i  exponatur  gravitas  per  D  A 
quad.  ita  ut  sit  gravitas  ad  resistentiam  ut 
DAq  ad  APq-\-2BAP:  &  tempus  ascensus 
totius  erit  ut  circuli  sector  ED  T, 

Agatur  enim  D  VQ,  abscindens  &  velocita- 
tis  A  P  momentum  P  Q,  8i  sectoris  D  E  T 
momentum  D  TV  dato  temporis  momento 
respondens  ;  &  velocitatis  decrementum  illud 
PQ  erit  ut  summa  virium  gravitatis  D  A  q  8i 
rtsistentid^  APq+2BAPy  id  est  (per  prop.  12  lib.  2  elem.)  ut  DP 
quad.  Proinde  area  DPQ,  ipsi  PQ  proportiohalis,  est  ut  DP  quad, 
&  area  DTV,  quse  est  ad  aream  DPQ  ut  DTq  ad  DPq,  est  ut 
datum  D  Tq.  Decrescit  igitur  area  E  D  T  uniformiter  ad  modum 
temporis  futuri,  per  subductionem  datarum  particularum  D  T  V,  Sl 
propterea  tempori  ascensus  totius  proportionalis  est.     Q.E.D. 

Cas.  2.  Si  velocitas  in  ascensu  corporis  exponatur  per  longitudinem 
A  P  vX  prius,  &  resistentia  ponatur  esse  ut  A  P  q-\-2B  A  P,  and  si 
vis  gravitatis  minor  sit  quam  quse  per  DAq  exponi  possit;  capiatur 
BD  ejus  longitudinis,  ut  sit  ABq — BDq  gravitati  proportionale, 
sitque  Z^i^ipsi  D  B  perpendicu- 
laris  &  sequalis,  &  per  verticem 
T^describatur  hyperbola  FTVE, 
cujus  semidiametri  conjugatae 
sint  DB  &  DF,  quaeque  secet 
DA  in  E,  &  DP,  DQmT&i  V; 
&  erit  tempus  ascensus  totius  ut 
hyperbolae  sector  TDE. 

Nam  velocitatis  decrementum 
PQ,  in  data  temporis  particula  factum,  est  ut  summa  resistenti^ 
APq-{-2BAP  8Lgr2ivltRt[s  A  Bq-BDq,  id  cst,  utBPq-BDq. 
Est  autem  area  D  T  V  Sid  aream  D  P  Q,  ut  DTq  ad  DPq;  ideoque, 
si  ad  i9/^demittatur  perpendiculum  G^  Z;  ut  G^  7^^  seu  GDq—DFq 


LIBER  SECUNDUS. 


269 


ad  B Dq,  utque  GDq  ad  B P q,  81  dlvislm  ut  DFq  ad  B Pq  — 
B Dq.  Quare  cum  2iiCQ2L  D P Q  sit  \xtPQ,  id  est,  ut  B Pq  —  B Dq ; 
erlt  area  D  T  V  wt,  datum  D  Fq.  Decresclt  igltur  area  E  D  T 
uniformlter  singulls  temporis  particulis  aequalibus,  per  subductionem 
particularem  totidem  datarum  D  T  V,  &  propterea  tempori 
proportionalis  est.     Q.  E.  D. 

Cas.  3.  Sit  A  P  velocitas  in  descensu  corporls,  &  APq+  2  BAP 
resistentla,  &  B  D  q  —  A  B  q  vls  gravitatls,  exlstente  angulo  D  B  A 
recto.  Et  si  centro  D,  vertlce  princlpall  B,  describatur  hyperbola 
rectangula  BETV  secans  productas  D A,  DP  &  DQ  In  E, 
T  &  V;  erit  hyperbolae  hujus  sector  DETut  tempus  totum  descensus. 

Nam  velocltatls  Incrementum  PQ,  eique 
proportionaHs  area  D  P  Q,  est  ut  excessus 
gravitatls  supra  reslstentlam,  id  est,  \xt  B  D  q 
--A  Bq-2  B  A  P-A  Pq  seu  BDq- 
BPq.  Et  areaZ^TF  est  ad  aream  DPQ 
ut  D  Tq  ad  D  P  q,  ideoque  ut  G  Tq  seu 
GDq-BDq  ad  B  P q,  utque  GDq  ad 
BDq,  &  dlvIsImut^Z^^adi^/^^-i^P^. 
Quare  cum  area  DP Q  slt  ut  B D q—B Pq, 
erlt  area  D  T  V  \xt  datum  B  D  q.  Cresclt 
igitur  area  E  D  T  uniformlter  slngulis  temporis  particulls  sequallbus, 
per  addltionem  totidem  datarum  particularum  D  T  V^  8l  propterea 
tempori  descensus  proportionaHs  est.     Q.  E.  D. . 

Corol.  Si  centro  D  semidiametro  D  A  per  verticem  A  ducatur 
arcus  A  t  slmlHs  arcui  E  T,  8z.  slmlHter  subtendens  angulum  A  D  T : 
velocltas  A  P  erlt  ad  velocitatem,  quam  corpus  tempore  E  D  T,  in 
spatio  non  reslstente,  ascendendo  amlttere  vel  descendendo  acqulrere 
posset,  ut  area  trianguH  D  A  P  2A  aream  sectorls  D  A  t ;  ideoque 
ex  dato  tempore  datur.  Nam  velocitas,  in  medio  non  reslstente, 
temporl,  atque  Ideo  sectori  hulc  proportionaHs  est;  in  medio  reslstente 
est  ut  triangukim ;  &  in  medlo  utroque,  ubi  quam  minima  est,  accedit 
ad  rationem  sequaHtatis,  pro  more  sectoris  &  trianguH. 

Scholmm. 

Demonstrari  etlam  posset  casus  in  ascensu  corporis,  ubi  vis 
gravitatis  minor  est  quam  quse  exponi  possit  per  D  Aq  seu  A  B.q  -h 


270 


DE  MOTU  CORPORUM 


B  Dq,  Si  major  quam  qiise  exponl  possit  per  A  B  q — B  Dq,  &  exponi 
debet  per  A  B  q.     Sed  propero  ad  alia. 

PROPOSITIO    XIV.     THEOREMA    XI. 

lisdem  positis,  dico  quod  spatvain  ascensu  vel  descensu  descriptum,  est  2ct 
differentia  arecs  per  qtcam  temptcs  exp07iitur,  &  arece  cujtcsdam 
alteriics  qucB  atcgetur  vel  diminuitur  in  progressione  arithmetica  ;  si 
vires  ex  resistentia  &  gravitate  compositce  sinnanticr  in progressione 
geometrica, 

Capiatur  A  C  (in  fig.  tribus  ultimis)  gravitati,  81  A  K  resistentise 


H 


H 

\ 

\ 

6 

\ 

e/ 

c 

A 

/, 

B 

^  Q.P        i 

y      / 

y^          r.    K 

/      ^^ 

y^ 

/^ 

^;:^^ 

^ 

y 

— 'f 

proportionalis.       Capiantur  autem  ad  easdem  partes  puncti  A  si  cor- 


L IBER    SE  C  UND  US 


271 


piis  descendlt,  allter  ad  contrarlas.  Erlgatur  A  b,  quse  slt  2id  D  B 
wX.  D B q  3.d  4.  B  A  C:  &  descrlpta  ad  asymptotos  rectangulas  C K, 
C  H  hyperbola  b  N,  erectaque'  K  N  2A  C  K  perpendlcularl,  area 
AbN K  augebltur  vel  dimlnuetur  In  progresslone  arithmetlca,  dum 
vlres  CA'  in  progresslone  geometrica  sumuntur.  Dico  Igltur  quod 
dlstantla  corporls  ab  ejus  altltudlne  maxlma  slt  ut  excessus  areae 
A  b-N  K  supra  aream  D  E  T. 

Nam  cum  AK  slt  ut  reslstentla,  Id  est,  ut  APq-\-2  BAP; 
assumatur    data    qusevis    quantitas    Z,     &    ponatur    A  K    aequaHs 

^ — ;  &  (per  hujus  lemma  11)  erlt  ipsius  AK  momentum 

KL    ^quale   ^  ^^  ^  g-^^/-^  ^  ^  ^  seu  ^-^,  &are^  ^^A^A^ 

j.rr^i,T  1     2BPQXLO  BPQxB  D  cnb, 

momentum  K  L  C^yv  aequale seu  — - — 7—7 -7—=. 

^  Z  2  Z  X  CKxA B 

Cas.  I.  Jam  si  corpus  ascendit,  sltque  gravitas  ut  A  B  q  +  B  D  q 
existente  B  E  T  circulo   (In  figura  prima)  linea  A  C,  quse  gravitati 

proportlonalls  est,  erlt   ^— ?  ,  &  DPq  seu  A  Pq+2  BAP 

-^A  B q-\-BDq  erit  A  Kx  Z-{-A  Cx  Z  seu  CKxZ  ;  ideoque  area 
D  TV  erit  ad  aream  DPQ  utDTqvdDBq  ad  CKx  Z. 

Cas.   2.  Sin   corpus  ascendit,  &   gravitas   sit.  ut   ABq — B D q, 

linea  A  C  (In  figura  secunda)  erit ^-j ,   81   D  T  q   erlt   ad 

DPqutDEqs&uDBq2idiBPq—BDq  s^uAPq+2  BAP  + 
A  B  q—B  D  q,  id  est,  ad  AKxZ-\-A  CxZ  seu  CKxZ.     Ideoque, 
area  DTV  erit  ad  aream  D  P  Q  ut  DBq  ad  CKx  Z. 

Cas.  3.  Et  eodem  argumento,  si  corpus  descendit,  &  propterea 
gravitas  sit  \xt  B  D  q — A  B  q,  Sl  Hnea  A  C  (In  figura  tertia)  sequetur 

BDq—ABq  ^^.^  ^^^^  DTV  2id  aream  D  P  Q  Mt  D  B  q  ^d  CK 

X  Z  :  ut  supra. 

Cum  igltur  areae  IHae  semper  sint  in  hac  ratione ;  si  pro  area 
D  T  V,  qua  momentum  temporis  slbimet  ipsi  semper  aequale 
exponitur,  scribatur determinatum quodvis  rectangulum,  puta  B Dxnty 


272 


DE  MOTU  CORPORUM 


erit  area  D  P  Q,  id  est,  \  B  Dy^PQ  acl  B  DxmwtCKxZ  ad 
B  Dq.  Atque  Inde  ^tPQxB  D  ctib.  aequale  2  B  DxntxCKxZ, 
&  2Lredd  AdJVK  momentum  KLON  superlus  inventum  fit 
PBxB Dx  m 


AB 

X  w,  &  restabit 


Auferatur  areae  DE  T  momentum  D  TV  seu  BD 
APy.BDy.m 


AB 


Est  igitur  dlfferentia  momentorum, 


id  est,  momentum  differentiae  arearum,  sequalis 


A  P  y.  B  Dy.m 
ATB 


n 


& 


H 

l 

6 

\ 

e/ 

B                               C 

A 

/, 

'/"---~_PN 

^    QP 

/         / 

^              T.     K 

y/^             \l^ 

y^ 

^:^^ 

y 

— 'F 

B  D  xm 

propterea  ob  datum  — ^^-o—  ^^  velocitas  A  P,  id  est,  ut  momentum 

spatii  quod  corpus  ascendendo  vel  descendendo  describit.    Ideoque  dlf- 
ferentia  arearum  &  spatium  Illud,  proportionalibus  momentis  crescen- 


LIBER  SECUNDVS.  27^ 

tia  vel  decrescentia  &  slmul  incipientia  vel  simul  evanescentia,  sunt 

proportionalia.     Q.  E.  D. 

Corol.  Si  longitudo,  quae  oritur  applicando  aream  DET  ^d  lineam 

BD,  dicatur  M ;  &  longitudo  alia  V  sumatur  in   ea  ratione  ad  lon- 

gitudinem   M,   quam    habet   linea  D  A    2id   lineam   DE:   spatium, 

quod    corpus    ascensu    vel    descensu    toto    in    medio    resistente   de- 

scribit,    erit   ad    spatium,    quod    corpus    in    medio    non    resistente   e 

quiete  cadendo  eodem  tempore   describere   potest,  ut   arearum   prae- 

B  DxV^ 
dictarum  differentia  ad   — ^— - —  ;  ideoque  ex  dato  tempore  datur. 

Nam   spatium    in    medio   non    resistente    est    in    duplicata   ratione 

BDxV^ 
temporls,  slve  ut  V""  \  &  ob  datas  B  D  &  A  B  ut   — ^— ^ —  .     Hsec 

,.    >  DAgxBDxiM'  ^  .     .      ,^ 

area  sequalis  est  areae  — =r^^=; -r-=, —  ,  &  ipsms  J/momentum  est  m: 

D E qxA  B 

DA  q  X  B  D  X  2  M  X  7n 

&  propterea  hujus  arese  momentum  est  \^  ^ -r-^ .     Hoc 

D Eqy.A  B 

autem  momentum  est  ad  momentum  differentiae  arearum  praedicta- 

/izr-T^Q    yiiATL-     '        .APxBDxm        DAqxBDxM 

rum  DE T 81  AoNK,  viz.  ad -—=: ,  ut ^        

A  B  D  h  q 

ad  \BD  X  AP,  sive  ut       J^  In  DET  2id  DAP;  Ideoque,  ubl  areae 

Dhq 

D  E  T  8l  D  A  P  quam  minimse  sunt,  in  ratlone  aequaHtatls.     Area 

.  .       B DxV"" 

igitur ,  &  differentla  arearum  D E  T  8>l  AbN K,  quando 

A  Jj 

omnes   hae    areae    quam    mlnlmae    sunt,    aequaHa   habent   momenta ; 

Ideoque  sunt  aequales.       Unde  cum  velocltates,  &  propterea  etiam 

spatia  in  medlo  utroque  In  prlncipio  descensus  vel  fine  ascensus  slmul 

descrlpta  accedant  ad  aequahtatem ;    ideoque  tunc  slnt   ad  invicem 

BDxV^ 

ut  area ^  ^      ,  &  arearum  DETBnAbNK  differentia ;  &  prae- 

A  B  ^ 

BDxV^ 
terea  cum  spatmm  m  medio  non  resistente  sit  perpetuo  ut , 

&  spatium  in  medio  resistente  sit  perpetuo  ut  arearum  D  E  T  81 
AbNK  differentla  :  necesse  est,  ut  spatia  in  medio  utroque,  in  aequa- 
llbus   qulbuscunque   temporlbus    descripta,   slnt  ad    Invlcem   ut  area 

s 


2  74 


DE  MOTU  CORPORUM 


illa  ^^^^-  .  &  areariim  DET^AbNK  differentla.     Q.  E.  D, 
A  B 


Scholium. 

Resistentla  corporum  sphsericorum  in  fluidls  oritur  partim  ex 
tenacitate,  partlm  ex  frictione,  &  partim  ex  densitate  medii.  Et 
resistentise  partem  illam,  quae  oritur  ex  densitate  fluidi  diximus  esse 
in  duplicata  ratione  velocitatis  ;  pars  altera,  quae  oritur  ex  tenacitate 
fluidi,  est  uniformis,  slve  ut  momentum  temporis :  ideoque  jam 
pergere  liceret  ad  motum  corporum,  qulbus  resistitur  partim  vi 
uniformi  seu  in  ratlone  momentorum  temporis,  &  partim  in  ratione 
duplicata  velocitatis.  Sed  sufficit  aditum  patefecisse  ad  hanc 
speculationem  in  propositionlbus  viii  &  ix,  quse  pra^cedunt,  &  eorum 
corollarlis.  In  iisdem  utique  pro  corporis  ascendentis  resistentia 
uniformi,  quae  ex  ejus  gravitate  oritur,  substitui  potest  resistentia 
unlformis,  quae  oritur  ex  tenacitate  medii,  quando  corpus  sola  vi 
insita  movetur;  &  corpore  recta  ascendente  addere  licet  hanc 
uniformem  resistentiam  vi  gravitatis ;  eandemque  subducere,  quando 
corpus  recta  descendit.  Pergere  etiam  liceret  ad  motum  corporum, 
quibus  resistltur  partim  uniformiter,  partim  in  ratione  velocltatis, 
&  partim  in  ratione  dupllcata  velocitatis.  Et  viam  aperui  in  pro- 
positionibus  praecedentibus  xiii  &  xiv,  in  quibus  etiam  resistentia 
uniformis,-  quae  oritur  ex  tenacitate  medii  pro  vi  gravitatis  substitui 
potest,  vel  cum  eadem,  ut  prius,  componi.     Sed  propero  ad  alia. 


SECTIO    IV. 

De  corporum  circtdari  mottc  in  mediis  resistentibics. 

LE  MM  A     III. 

Sit  P  Q  R  spiralis  qucs  secet  radios  omnes  S  P,  S  Q,  S  R,  &c.  in 
cEqualibtis  angulis.  Agatur  recta  P  T  qucs  tangat  eandem  in  ptmcto 
quovis  P,  secetque  radium  S  Q  inT  \  &  ad  spiralem  erectis perpen- 


LIBER  SECUNDUS, 


diculis  P  O,  Q  O  concurrentibus  in  O.jungahtr  S  O.  Dico  quod 
si  puncta  P  cS*  Q  accedant  ad  invicem  &  coeant,  angulus  P  S  O 
evadet  rectus,  &  ulti^na  ratio  rectanguli  TQx2PS  ad  PQ 
quad,  erit  ratio  cBqualitatis, 

Etenlm  de  angulis  rectls  OPQ,  O  QR  subducantur  anguli  aequales 
SPQ,  SQR,  &  manebunt  anguli  cequales  O  P  S,  O  Q  S.  Ergo 
clrculus  qui  transit  per  puncta 
Oy  Sy  P  transiblt  etlam  per 
punctum  Q.  Coeant  puncta 
P  &  Q,  &  hic  clrculus  in  loco 
coltus  P  Q  tanget  splralem, 
ideoque  perpendiculariter  seca- 
blt  rectam  O  P.  Flet  igitur 
O  P  diameter  circuli  hujus,  & 
angulus  O  S  P  m  semicirculo 
rectus.     Q.  E.  D. 

Ad  OP  demittantur  perpen- 
dicula  Q  D,  S  E,  8i  linearum  rationes  ultlmae  erunt  hujusmodi :  TQ 
ad  PD  ut  TS  vel  PS  ad  P E,  seu  2  P6^  ad  2  PS;  item  PD  ad 
PQ  ut  PQ  2Ld  2  PO;  &  ex  aequo  perturbate  TQ  2id  PQ  utPQ 
ad2PS.     UndQfit  PQq  3£qu3lG  TQx  2  PS.     Q.E.D. 


PROPOSITIO    XV.      THEOREMA    XII. 

Si  medii  densitas  in  locis  singulis  sit  reciproce  ut  distantia  locorum  a 
centro  immobili,  sitque  vis  centripeta  in  duplicata  ratione  densitatis : 
dico  quod  corpus  gyrari potest  in  spirali,  quce  radios  omnes  a  centro 
illo  ductos  intersecat  in  angulo  dato. 

Ponantur  quae  in  superiore  lemmate,  &  producatur  SQ  ad  F,  ut 
sit  6^  V  aequalls  S  P.  Tempore  quovis,  in  medio  resistente,  describat 
corpus  arcum  quam  mlnimum  P  Q,  81  tempore  duplo  arcum  quam 
minimum  P  R  ;  8c  decrementa  horum  arcuum  ex  resistentla  oriunda, 
sive  defectus  ab  arcubus,  qul  in  medio  non  resistente  iisdem  tempori- 
bus  describerentur,  erunt  ad  invicem  ut  quadrata  temporum  in  quibus 


2  76 


DE  MOTU  CORPORUM 


generantur :    Est    itaque  decrementum    arcus    P  Q    pars   quarta  de- 

crementi  arcus  P R.      Unde  etiam,  si  arese  P SQ  sequalis  capiatur 

area    Q  S  r,    erit     decrementu  m 

arcus  PQ  sequale  dimidio  lineolse 

Rr;  ideoque  vis   resistentiae   & 

vis  centripeta  sunt  ad  invicem  ut 

lineolaeiT^r  &,   T  Q  quas  simul 

generant.      Quoniam  vis  centri- 

peta,  qua  corpus  urgetur  in  P,  est 

reciproce  ut  S  P  q,  &  (per  lem.  x 

lib.    i)   lineola    TQy   quae  vi  illa 

generatur,    est    in    ratione   com- 

posita  ex  ratione  hujus  vis  &  ratione  duplicata  temporis  quo  arcus 

PQ  describitur  (nam  resistentiam  in  hoc  casu,  ut  infinite  minorem 

quam  vis  centripeta,  negligo)  erit   TQ  x  SP^,  id    est    (per  lemma 

novissimum)    iP Q ^x  SP,  in    ratione   dupHcata   temporis,   ideoque 

tempus  est  ut  P  Q  x  s/SP  ;  &  corporis  velocitas,  qua  arcus  P  Q  illo 

PO  I 

tempore  describitur,  ut  — -r — ^        -  seu  ,  hoc  est,  in  subdupli- 

cata  ratione  ipsius  S  P  reciproce.  Et  simiH  argumento,  velocitas  qua 
arcus  Q  R  describitur,  est  in  subdupHcata  ratione  ipsius  SQ  reciproce. 
Sunt  autem  arcus  iHi  PQ  &  QR  ut  velocitates  descriptrices  ad 
invicem,  id  est,  in  subdupHcata  ratione  SQ  ad  S  P,  sive  vX  S  Q  ad 
JSPxSQ  ;  &  ob  aequales  angulos  SPQ,  SQr  &  aequales  areas 
P  SQ,  Q  Sr,  est  arcus  P  g  ad  arcum  Q  r  ut  SQ  ad  S  P.  Sumantur 
proportionaHum  consequentium  differentiae,  &  fiet  arcus  PQ  ad 
arcum  Rr  ut  S Q  2id  SP-  JSPxSQ,  seu  \  V Q.  Nam  punctis  P 
&  Q  coeuntibus,  ratio  ultima  SP^  JS  P  x  6^^  ad  ^  VQ  est  aequaHta- 
tis.  Quoniam  decrementum  arcus  P  Q,  ex  resistentia  oriundum,  sive 
hujus  duplum  Rr,  est  ut  resistentia  &  quadratum  temporis  conjunctim; 

Rr 


erit  resistentia  ut 


adiVQ,&  inde 


PQqxS  P 
Rr 


fit  ut 


Erat  autem  P  Q  ad  Rr,utSQ 

\0S 


WQ 


sive  ut 


PQqxSP  PQxSPxSQ  OPxSPq 

Namque  punctis  P  &  Q  coeuntibus,  SP  &  SQ  coincidunt,  &  an- 
gulus  P  VQ  fit  rectus ;  &  ob  simiHa  triangula  P  VQ,  P  S  O,  fit  P  Q 


LIBER  SECUNDUS,  07- 

O  S 
ad  1  Fg  ut  O P  2.di\0  S.      Est  igitur  — — — — — —  ut  resistentia,  id  est, 

^  -  ^       OPxSPq 

in  ratione  densitatis  medii  in  /*  &  ratione  duplicata  velocitatis  con- 
junctim.     Auferatur  duplicata  ratio  velocitatis,  nempe  ratio  -^-p^,  & 

manebit  medii  densitas  in  P  ut  .     Detur  spiralis,  &  ob  da- 

tam  rationem  O  S  2id  O  P,  densitas  medii  in  P  erit  ut  -—^.     In  me- 

o  ± 

dio  igitur  cujus  densitas  est  reciproce  ut  distantia  a  centro  S  P,  cor- 
pus  gyrari  potest  in  hac  spirali.     Q,  E.  D. 

Corol.  I.  Velocitas  in  loco  quovis  P  ea  semper  est,  quacum  cor- 
pus  in  medio  non  resistente  eadem  vi  centripeta  gyrari  potest  in 
circulo,  ad  eandem  a  centro  distantiam  S  P. 

O  S    , 

Corol.   2.   Medii  densitas,  si  datur  distantia  S P,  est  ut  -7^-5,  sin  di- 

O  S 
stantia  illa  non  datur,  ut  -r-5 — rr^.     Et  inde  spiralis  ad  quamlibet 

cy  M   X  o  ± 

medii  densitatem  aptari  potest. 

Corol.  3.  Vis  resistentiae  in  loco  quovis  P,  est  ad  vim  centripetam 

in  eodem  loco  ut^OSdid  O P.     Nam  vires  illae  sunt  ad  invicem  ut 

^RrSi  TQ  sive  ut^^^^i^^  &  ^-^^^>  ^oc  est,  Mt-VQ  81  P  Q, 

S  (J  S  P 

seu  ^O  S  81  O P.   Data  igitur  spirali  datur proportio resistentise  ad  vim 

centripetam,  &  vice  versa  ex  data  illa  proportione  datur  spiralis. 

Corol.  4.  Corpus  itaque  gyrari  nequit  in  hac  spirali,  nisi  ubi  vis 
resistentiae  minor  est  quam  dimidium  vis  centripetae.  Fiat  resistentia 
aequalis  dimidio  vis  centripetae,  &  spiralis  conveniet  cum  linea  recta 
P  S,  inque  hac  recta  corpus  descendet  ad  centrum  ea  cum  velocitate, 
quae  sit  ad  velocitatem,  qua  probavimus  in  superioribus  in  casu 
parabolae  (theor.  x  Hb.  i)  descensum  in  medio  non  resistente 
fieri,  in  subdupHcata  ratione  unitatis  ad  numerum  binarium.  Et 
tempora  descensus  hic  erunt  reciproce  ut  velocitates,  atque  ideo 
dantur. 

Corol.  5.  Et  quoniam  in  aequaHbus  a  centro  distantiis  velocitas 
eadem  est  in  spiraH  PQR  atque  in  recta  SP,  &  longitudo  spiraHs  ad 
longitudinem  rectae  P  S  est  in  data  ratione,  nempe  in  ratione  OP  ad 


2  78 


DE  MOTU  CORPORUM 


O  S ;  tempus  descensus  in  spirali  erit  ad   tempus  descensus  in  recta 
S P  in  eadem  illa  data  ratione,  proindeque  datur. 

Corol.  6.  Si  centro  6^  intervallis  duobus  quibuscunque  datis  descri- 
bantur  duo  circuli ;  &  manentibus  hisce  circulis,  mutetur  utcunque 
angulus  quem  spiralis  continet  cum  radio  P  S:  numerus  revolutio- 
num  quas  corpus  intra  circulonim  circumferentias,  pergendo  in  spi- 
rali  a  circumferentia   ad  circumferentiam,    complere   potest,    est    ut 

P  S 

sive  ut  tangens  anguli  illius  quem  spiralis  continet  cum  radio 


OS' 


OP 


PS;  tempus  vero  revolutionum  earundem  ut  -^r-^,  id  est,  ut  secans 

anguli  ejusdem,  vel  etiam  reciproce  ut  medii  densitas. 

CoroL  7.  Si  corpus  in  medio,  cujus  densitas  est  reciproce  ut  distan- 
tia  locorum  a  centro,  revolutionem  in  curva  quacunque  A  E  B  circa 
centrum  illud  fecerit,  &  radium  primum  A  S  m  eodem  angulo  secu- 
erit  in  B  quo  prius  in  A,  idque  cum  velocitate  quae  fuerit  ad  velo- 
citatem  suam  primam  in  A  reciproce  in  subduplicata  ratione  distan- 
tiarum  a  centro  (id  est,  ut  ^  kS'  ad  mediam  proportionalem  inter  A  S 


&  B  S)  corpus  illud  perget  innumeras  consimiles  revolutiones  B FCy 
C  G  D,  &c.  facere,  &  intersectionibus  distinguet  radium  ^  6^  in  par- 
tes  A  Sy  B  S,  CSy  DS,  &c.  continue  proportionales.     Revolutionum 


LJBER   SECUNDUS.  279 

vero  tempora  erunt  ut  perimetri  orbitarum  AEB,  BFC,  CGD,  8cc. 
directe,  &  velocitates  in  principiis  A,  B,  C,  inverse ;  id  est,  ut  A  6*^, 

B  S^,  CS'K     Atque  tempus  totum,  quo  corpus  perveniet  ad  centrum, 

erit  ad  tempus  revolutionis  primae,  ut  summa  omnium  continue  pro- 

333 
portionalium  A  S'^,  B  S^,  CS^,  pergentium  in  infinitum,  ad  terminum 

primum  A  S- ;  id  est,  ut  termmus  ille  primus  A  S^  ad  differentiam 

3  3 

duorum  primorum  A  S^ — B  S^,  sive  ut  ^A  S  sid  AB  quam  proxime. 

Unde  tempus  illud  totum  expedite  invenitur. 

Coro/.  8.  Ex  his  etiam  praeter  propter  colligere  licet  motus 
corporum  in  mediis,  quorum  densitas  aut  uniformis  est,  aut  aliam 
quamcunque  legem  assignatam  observat.  Ceittro  S,  intervallis  con- 
tinue  proportionalibus  SA,  SB,  SC,  &c.  describe  circulos  quotcunque, 
&  statue  tempus  revolutionum  inter  perimetros  duorum  quorumvis 
ex  his  circulis,  in  medio  de  quo  egimus,  esse  ad  tempus  revolutio- 
num  inter  eosdem  in  medio  proposito,  ut  medii  propositi  densitas 
mediocris  inter  hos  circulos  ad  medii,  de  quo  egimus,  densitatem 
mediocrem  inter  eosdem  quam  proxime  :  Sed  &  in  eadem  quoque 
ratione  esse  secantem  anguli  quo  spiralis  prsefinita,  in  medio  de  quo 
egimus,  secat  radium  A  S,  ad  secantem  anguli  quo  spiralis  nova 
secat  radium  eundem  in  medio  proposito  :  Atque  etiam  ut  sunt 
eorundem  angulorum  tangentes  ita  esse  numeros  revokitionum 
omnium  inter  circulos  eosdem  duos  quam  proxime.  Si  haec  fiant 
passim  inter  circulos  binos,  continuabitur  motus  per  circulos  omnes. 
Atque  hoc  pacto  haud  difficulter  imaginari  possimus  quibus  modis  ac 
temporibus  corpora  in  medio  quocunque  regulari  gyrari  debebunt. 

Corol.  9.  Et  quamvis  motus  excentrici  in  spiraHbus  ad  formam 
ovaHum  accedentibus  peragantur ;  tamen  concipiendo  spiraHum 
iHarum  singulas  revolutiones  iisdem  ab  invicem  intervaHis  distare, 
iisdemque  gradibus  ad  centrum  accedere  cum  spiraH  superius  descripta, 
inteHigemus  etiam  quomodo  motus  corporum  in  hujusmodi  spiraHbus 
peragantur. 


28o 


DE  MOTU  CORPORUM 


PROPOSITIO    XVI.      THEOREMA    XIII. 

Si  medii  densitas  in  locis  singulis  sit  reciproce  tU  distantia  locorum  a 
centro  immobili,  sitque  vis  centripeta  reciproce  ut  dignitas  qucelibet 
ejusdem  distantice :  dico  quod  corpus  gyrari  potest  in  spirali  quce 
radios  o?nnes  a  centro  illo  ductos  intersecat  in  angtdo  dato. 


Demonstratur  eadem  meth- 
odo  cum  propositlone  superiore. 
Nam  si  vis  centripeta  in  P  slt 
reciproce  ut  distantia^  S  P  dig- 
nitas  quaelibet  SP"'^'^  cujus  index  p^ 
est  n-{-  i  :  colligetur  ut  supra, 
quod  tempus,  quo  corpus  descri- 
bit  arcum  quemvis  P  Q,  erit  ut 

PQx  PS^'' ;  &  resistentia  in  P 
Rr  . 


ut 


PQqxSP 


,  sive  ut 


i-knx  VQ 
PQxSP^^xSQ 


,  ideoque  ut 


i-jnxOS 
OP  X  SP^^^' 


u         ^     1    1  i—\n  X  O S 

hoc  est,  ob  datum — _ ,  reciproce  ut  S P"+\      Et  propterea, 


OP 
cum  velocitas  sit  reclproce  ut  SP^'\  densitas  in  P  erit  reciproce  ut  SP. 

Corol.  I.  Resistentia  est  ad  vim  centripetam  ut  i— J;^x  C^^^ad 
OP. 

Corol.  2.  Si  vis  centripeta  sit  reciproce  ut  SP  cub.  erit  i  —ln  =  o: 
ideoque  resistentia  &  densitas  medii  nulla  erit,  ut  in  propositione 
nona  hbrl  primi. 

Corol.  3.  Si  vis  centripeta  sit  reciproce  ut  dignitas  ahqua  radii  SP 
cujus  index  est  major  numero  3,  resistentia  affirmativa  in  negativam 
mutabitur. 


Scholium. 

Cseterum  haec  propositio  &  superiores,  quae  ad  media  insequahter 
densa  spectant,  Intehigendse  sunt  de  motu  corporum  adeo  parvorum, 


LJBER  SECUNUUS. 


28 


ut  medil  ex  uno  corporis  latere  major  densitas  quam  ex  altero  non 
consideranda  veniat.  Resistentlam  quoque  caeteris  paribus  densitati 
proportionalem  esse  suppono.  U  nde  in  mediis,  quorum  vis  resistendi 
non  est  ut  densitas,  debet  densltas  eo  usque  augeri  vel  diminui,  ut 
resistentiae  vel  tollatur  excessus  vel  defectus  suppleatur. 

PROPOSITIO    XVII.      PROBLEMA    IV. 

Invenire  &  vim  centripetam  &  medii  resistentiam,  qua  corpus  in  data 
spirali,  data  velocitatis  lege,  revolvi  potest, 

Sit  spiralls  illa  P  Q  R.  Ex  velocitate,  qua  corpus  percurrit  arcum 
quam  minimum  P  Q,  dabitur  tempus,  &  ex  altitudine  TQ,  quse  est  ut 
vis    centripeta    &   quadratum    temporis,    dabitur    vls.       Delnde    ex 


arearum,  aequallbus  temporum  particulis  confectarum  PSQ  8>l  QSR^ 
differentia  RSr,  dabltur  corporis  retardatio,  &  ex  retardatione 
invenietur  resistentia  ac  densitas  medii. 


PROPOSITIO    XVIII.      PROBLEMA    V. 

Data  lege  vis  centripetce,  invenire  medii  densitatem  in  locis  singulisj 
qua  corpus  datam  spiralem  describet, 

Ex  vi  centripeta  Invenienda  est  velocitas  in  locis  singulis,  deinde 


282  DE  MOTU  CORPORUM 

ex  velocitatis  retardatione  quserenda  medii  densitas;  ut  in  propositione 
superiore. 

Methodum  vero  tractandi  hsec  problemata  aperui  in  hujus  pro- 
positione  decima,  &  lemmate  secundo ;  &  lectorem  in  hujusmodi 
perplexis  disquisitionibus  diutius  detinere  nolo.  Addenda  jam  sunt 
aliqua  de  viribus  corporum  ad  progrediendum,  deque  densitate  & 
resistentia  mediorum,  in  quibus  motus  hactenus  expositi  &  his  affines 
peraguntur. 

SECTIO     V. 
De  densitate  &  compressione  fliddoriim,  deque  hydrostatica. 

Definitio   Fluidi. 

Fluidum  est  corptis  omne,  cujus  partes  cedzmt  vi  cuicu7ique  illatcey 
&  cedendo  facile  moventur  inter  se. 

PROPOSITIO    XIX.      THEOREMA    XIV. 

Fluidi  homogenei  &  immoti,  quod  in  vase  quocunque  immoto  clauditur 

&    undique    comprimitur,  partes   omnes    (seposita    coridensationis, 

gravitatis,  &  virium  omnium  centripetarum  consideratione)  csqualiter 

premmitur  undique,     &    sine    omni.  mottc    a  pressione    illa   orto 

permanent  hi  locis  suis. 

Cas,    I.   In  vase  sphaerico  y^  ^  C  claudatur  a. 

&  uniformiter  comprimatur  fluidum  undique  :         y^         "^\ 

dico  quod  ejusdem  pars  nulla  ex  illa  pressione     /      /'  \ 

movebitur.     Nam  si  pars  ahqua  D  moveatur,    /     ^\       F  ^  \ 

necesse     est    ut    omnes    hujusmodi    partes,    |  "^"  ./\    | 

ad     eandem    a    centro    distantiam    undique    \        d  >  / 

b\         ■''' ^'  '■''  •■'''  / 

consistentes,    simih    motu    simul    moveantur;     \        '■••''  4  / 

atque  hoc   ideo  quia  simiHs    &   aequaHs    est       \  '"'^y 

pmnium    pressio,    &    motus    omnis    exclusus  ^--— — ^^^^ 

supponitur,   nisi   qui   a  pressione   iHa  oriatur.       Atqui    non    possunt 

omnes  ad  centrum  propius  accedere,  nisi  fluidum  ad  centrum  con- 


« 


LIBER  SECUNDUS. 


283 


densetur;  contra  hypothesin.  Non  possunt  longius  ab  eo  recedere, 
nisi  fluidum  ad  circumferentiam  condensetur;  etiam  contra  hypo- 
thesin.  Non  possunt  servata  sua  a  centro  distantia  moveri  in  pla- 
gam  quamcunque,  quia  pari  ratione  movebuntur  in  plagam  contra- 
riam  ;  in  plagas  autem  contrarias  non  potest  pars  eadem,  eodem 
tempore,  moveri.  Ergo  fluidi  pars  nulla  de  loco  suo  movebitur. 
Q.E.D. 

Cas.  2.  Dico  jam,  quod  fluidi  hujus  partes  omnes  sphaericse  aequa- 
liter  premuntur  undique.  Sit  enim  E  F  pars  sphaerica  fluidi,  &  si 
hsec  undique  non  premitur  sequahter,  augeatur  pressio  minor,  usque 
dum  ipsa  undique  prematur  sequaHter ;  &  partes  ejus,  per  casum 
primum,  permanebunt  in  locis  suis.  Sed  ante  auctam  pressionem 
permanebunt  in  locis  suis,  per  casum  eundem  primum,  &  additione 
pressionis  novae  movebuntur  de  locis  suis,  per  definitionem  fluidi. 
Quae  duo  repugnant.  Ergo  falso  dicebatur  quod  sphaera  E  F  non 
undique  premebatur  aequaHter.     Q.  E.  D. 

Cas.  3.  Dico  praeterea  quod  diversarum  partium  sphaericarum 
aequahs  sit  pressio.  Nam  partes  sphaericae  contiguae  se  mutuo  pre- 
munt  aequahter  in  puncto  contactus,  per  motus  legem  iii.  Sed  &, 
per  casum  secundum,  undique  premuntur  eadem  vi.  Partes  igitur 
duae  quaevis  sphaericae  non  contiguae,  quia  pars  sphaerica  intermedia 
tangere  potest  utramque,  prementur  eadem  vi.     Q.  E.  D. 

Cas.  4.  Dico  jam  quod  fluidi  partes  omnes  ubique  premuntur 
aequaHter.  Nam  partes  duae  quaevis  tangi  possunt  a  partibus  sphae- 
ricis  in  punctis  quibuscunque,  &  ibi  partes  illas  sphaericas  aequaHter 
premunt,  per  casum  3,  &  vicissim  ab  ilHs  aequaHter  premuntur,  per 
motus  legem  tertiam.     Q.  E.  D. 

Cas.  5.  Cum  igitur  fluidi  pars  quaeHbit  G  H I  m  fluido  reHquo  tan- 
quam  in  vase  claudatur,  &  undique  prematur  aequaHter,  partes  autem 
ejus  se  mutuo  aequaHter  premant  &  quiescant  inter  se;  manifestum 
est  quod  fluidi  cujuscunque  G  H I,  quod  undique  premitur  aequaHter, 
partes  omnes  se  mutuo  premunt  aequaHter,  &  quiescunt  inter  se. 
Q.E.D. 

Cas.  6.  Igitur  si  fluidum  iflud  in  vase  non  rigido  claudatur,  &  un- 
dique  non  prematur  aequaHter;  cedet  idem  pressioni  fortiori,  per 
definitionem  fluiditatis. 

Cas.   7.   Ideoque  in  vase  rigido  fluidum  non  sustinebit  pressionem 


284 


DE  MOTU  CORPORUM 


fortiorem  ex  uno  latere  quam  ex  alio,  sed  eidem  cedet,  idque  in 
momento  temporis,  quia  latus  vasis  rigidum  non  persequitur  liquorem 
cedentem.  Cedendo  autem  urgebit  latus  oppositum,  &  sic  pressio 
undique  ad  sequalitatem  verget.  Et  quoniam  fluidum,  quam  primum 
a  parte  magis  pressa  recedere  conatur,  inhibetur  per  resistentiam 
vasis  ad  latus  oppositum ;  reducetur  pressio  undique  ad  aeqilalitatem, 
in  momento  temporis,  sine  motu  locali  :  &  subinde  partes  fluidi,  per 
casum  quintum,  se  mutuo  prement  aequaliter,  &  quiescent  inter  se. 
Q.E.D. 

Corol.  Unde  nec  motus  partium  fluidi  inter  se,  per  pressionem 
fluido  ubivis  in  externa  superficie  illatam,  mutari  possunt,  nisi  qua- 
tenus  aut  figura  superficiei  alicubi  mutatur,  aut  omnes  fluidi  partes 
intensius  vel  remissius  sese  premendo  difficilius  vel  facilius  labuntur 
inter  se. 


PROPOSITIO    XX.      THEOREMA    XV. 

Si  fluidi  sphcerici,  &  in  cBqualibus  a  centro  distantiis  komogenei, 
fundo  sphcBrico  concentrico  incumbentis  partes  singulcs  versus  centrum 
totius  gravitent ;  sicstinet  fundum  pondus  cylindri,  cujus  basis  cequalis 
est  superficiei  fimdi,  &  altitudo  eadem  qucefluidi  incumbentis. 

Sit  Z^Zf^superficies  fundi,  SlAEI 
superficies  superior  fluidi.  Superficie- 
bus  sphaericis  innumeris  B  F K,  C  G  L 
distinguatur  fluidum  in  orbes  concen- 
tricos  sequaliter  crassos ;  &  concipe 
vim  gravitatis  agere  solummodo  in  su-  \ 
perficiem  superiorem  orbis  cujusque,  &  1 
sequales  esse  actiones  in  sequales  partes 
superficierum  omnium.  Premiturergo 
superficies  suprema  AEv\  simplici  gra- 
vitatis  proprise,  qua  &  omnes  orbis  su- 

premi    partes    &    superficies    secunda  "- '"' 

B  F  K  {^^x  ^ro^.  xix)  pro  mensura  sua  sequaliter  premuntur.     Pre- 
mitur  prseterea  superficies  secunda  B  FK  vi   propri^  gravitatis,  qu^ 


LIBER  SECUNDUS. 


^5 


addlta  vi  priori  facit  pressionem  duplam.  Hac  pressione,  pro 
mensura  sua,  &  insuper  vi  propriae  gravitatis,  id  est,  pressione  tripla, 
urgetur  superficies  tertia  C  G  L.  Et  similiter  pressione  quadrupla 
urgetur  superficies  quarta,  quintupla  quinta,  &  sic  deinceps.  Pressio 
igitur  qua  superiicies  unaquaeque  urgetur,  non  est  ut  quantitas  solida 
fluidi  incumbentis,  sed  ut  numerus  orbium  ad  usque  summitatem 
fluidi;  &  sequatur  gravltati  orbis  Infiml  multipllcatse  per  numerum 
orbium  :  hoc  est,  gravitati  solidi  cujus  ultlma  ratlo  ad  cylindrum 
praefinitum  (si  modo  orblum  augeatur  numerus  &  minuatur  crassitudo 
in  infinitum,  sic  ut  actio  gravitatls  a  superficie  Infima  ad  supremam 
contlnua  reddatur)  fiet  ratio  aequalitatis.  Sustinet  ergo  superficles 
infima  pondus  cylindri  praefiniti.  Q.  E.  D.  Et  simili  argumentatione 
patet  propositio,  ubi  gravitas  decresclt  in  ratione  quavls  asslgnata 
distantlae  a  centro,  ut  &  ubi  fluldum  sursum  rarlus  est,  deorsum 
densius.     Q.  E.  D. 

Corol.  I.  Igitur  fundum  non  urgetur  a  toto  fluidi  incumbentis 
pondere,  sed  eam  solummodo  ponderis  partem  sustlnet  quae  in 
proposltione  describitur ;  pondere  reliquo  a  fluidi  figura  fornicata 
sustentato. 

•  Corol.  2.  In  aequalibus  autem  a  centro  distantiis  eadem  semper  est* 
pressionls  quantitas,  sive  superficies  pressa  sit  horizonti  parallela  vel 
perpendicularls  vel  obHqua ;  slve  fluidum,  a  superficie  pressa  sursum 
continuatum,  surgat  perpendlculariter  secundum  Hneam  rectam,  vel 
serpit  oblique  per  tortas  cavitates  &  canales,  easque  regulares  vel 
maxime  irregulares,  amplas  vel  angustissimas.  Hlsce  circumstantlis 
pressionem  nll  mutarl  colllgitur,  appHcando  demonstratlonem  theo- 
rematls  hujus  ad  casus  slngulos  fluldorum. 

Corol.  3.  Eadem  demonstratione  coHigltur  etlam  (per  prop.  xix) 
quod  fluldi  gravls  partes  nuHum,  ex  pressione  ponderis  incumbentls, 
acquirunt  motum  inter  se ;  sl  modo  excludatur  motus  qui  ex 
condensatione  orlatur. 

Corol.  4.  Et  propterea  si  aHud  ejusdem  gravitatis  specificae  corpus, 
quod  sit  condensationis  expers,  submergatur  In  hoc  fluido,  id  ex 
pressione  ponderis  incumbentis  nuHum  acquiret  motum :  non 
descendet,  non  ascendet,  non  cogetur  figuram  suam  mutare.  Si 
sphaericum  est  manebit  sphaericum,  non  obstante  pressione;  si  quadra- 
tum  est  manebit  quadratum  :  Idque  sive  molle  sit,  sive  fluidissimum  ; 


286  DE  MOTU  CORPORUM 

sive  fluldo  llbere  innatet,  sive  fiindo  Incumbat.  Habet  enlm  fluldl 
pars  quaelibet  interna  ratlonem  corporls  submersi,  &  par  est  ratlo 
omnlum  ejusdem  magnltudlnis,  figurse  &  gravitatls  speclficae 
submersorum  corporum.  SI  corpus  submersum  servato  pondere 
liquesceret  &  indueret  formam  fluldl ;  hoc,  sl  prlus  ascenderet  vel 
descenderet  vel  ex  pressione  figuram  novam  Indueret,  etlam  nunc 
ascenderet  vel  descenderet  vel  figuram  novam  induere  cogeretur  :  id 
adeo  quia  gravitas  ejus  caeteraeque  motuumc  ausae  permanent.  Atqui 
(per  cas.  5  prop.  xix)  jam  quiesceret  &  figuram  retlneret;  Ergo  & 
prius. 

CoroL  5.  Prolnde  corpus  quod  speclfice  gravius  est  quam  fluldum 
sibl  contlguum  subsideblt,  &  quod  speclfice  levius  est  ascendet, 
motumque  &  figurae  mutatlonem  consequetur,  quantum  excessus  ille 
vel  defectus  gravitatis  eflicere  posslt.  Namque  excessus  Ille  vel 
defectus  ratlonem  habet  Impulsus,  quo  corpus,  allas  In  aequlllbrlo  cum 
fluidi  partlbus  constltutum,  urgetur ;  &  comparari  potest  cum  excessu 
vel  defectu  ponderls  in  lance  alterutra  librae. 

Corol.  6.  Corporum  Igltur  in  fluidis  constitutorum  duplex  est 
gravltas  :  altera  vera  &  absoluta,  altera  apparens,  vulgaris  & 
comparativa.  Gravitas  absoluta  est  vis  tota  qua  corpus  deorsum 
tendit :  relatlva  &  vulgarls  est  excessus  gravitatis  quo  corpus  magis 
tendit  deorsum  quam  fluldum  amblens.  Prioris  generis  gravitate 
partes  fluidorum  &  corporum  omnium  gravitant  in  locis  suls  :  ideoque 
conjunctis  ponderlbus  componunt  pondus  totius.  Nam  totum  omne 
grave  esf,  ut  In  vasis  liquorum  plenls  experiri  llcet ;  &  pondus  totius 
aequale  est  ponderibus  omnlum  partlum,  ideoque  ex  ilsdem  com- 
ponitur.  Alterius  generls  gravitate  corpora  non  gravltant  in  locis 
suis,  id  est,  inter  se  collata  non  praegravant,  sed  mutuos  ad 
descendendum  conatus  impedientla  permanent  in  locis  suis,  perinde  ac 
si  gravia  non  essent.  Quae  in  aere  sunt  &  non  praegravant,  vulgus 
gravia  non  judicat.  Quae  praegravant  vulgus  gravla  judicat,  quatenus 
ab  aeris  pondere  non  sustinentur.  Pondera  vulgi  nihil  aliud  sunt 
quam  excessus  verorum  ponderum  supra  pondus  aeris.  Unde  & 
vulgo  dicuntur  levia,  quae  sunt  mlnus  gravla,  aerlque  praegravanti 
cedendo  superlora  petunt.  Comparative  levla  sunt,  non  vere,  quia 
descendunt  in  vacuo.  SIc  &  in  aqua  corpora,  quae  ob  majorem  vel 
minorem  gravitatem  descendunt  vel  ascendunt,  sunt  comparatlve  & 


LIBER  SECUNDUS. 


287 


apparenter  gravia  vel  levla,  &  eorum  gravitas  vel  levitas  compara- 
tiva  &  apparens  est  excessus  vel  defectus  quo  vera  eorum  gravitas  vel 
superat  gravitatem  aquse  vel  ab  ea  superatur.  Quae  vero  nec  prse- 
gravando  descendunt,  nec  praegravanti  cedendo  ascendunt,  etiamsi 
veris  suis  ponderibus  adaugeant  pondus  totius,  comparative  tamen 
&  in  sensu  vulgi  non  gravitant  in  aqua.  Nam  similis  est  horum  ca- 
suum  demonstratio. 

Corol.  7.  Quae  de  gravitate  demonstrantur,  obtinent  in  aliis  qui- 
buscunque  viribus  centripetis. 

CoroL  8.  Proinde  si  medium,  in  quo  corpus  aliquod  movetur, 
urgeatur  vel  a  gravitate  propria,  vel  ab  alia  quacunque  vi  centripeta, 
&  corpus  ab  eadem  vi  urgeatur  fortius ;  differentia  virium  est  vis 
illa  motrix,  quam  in  praecedentibus  propositionibus  ut  vim  centri- 
petam  consideravimus.  Sin  corpus  a  vi  illa  urgeatur  levius,  differentia 
virium  pro  vi  centrifuga  haberi  debet. 

CoroL  9.  Cum  autem  fluida  premendo  corpora  inclusa  non  mutent 
eorum  figuras  externas,  patet  insuper  (per  corollarium  prop.  xix)  quod 
non  mutabunt  situm  partium  internarum  inter  se  :  proindeque,  si 
animalia  immergantur,  &  sensatio  omnis  a  motu  partium  oriatur ;  nec 
Isedent  corpora  immersa,  nec  sensationem  ullam  excitabunt,  nisi  qua- 
tenus  haec  corpora  a  compressione  condensari  possunt.  Et  par  est 
ratio  cujuscunque  corporum  systematis  fluido  comprimente  circundati. 
Systematis  partes  omnes  iisdem  agitabuntur  motibus,  ac  si  in  vacuo 
constituerentur,  ac  solam  retinerent  gravitatem  suam  comparativam, 
nisi  quatenus  fluidum  vel  motibus  earum  nonnihil  resistat,  vel  ad 
easdem  compressione  conglutinandas  requiratur. 

PROPOSITIO    XXI.      THEOREMA    XVI. 

Sit  fluidi  cujusdam  densitas  compressioni  proportionalis,  &  partes 
ejus  a  vi  centripeta  distantiis  suis  a  centro  reciproce  propor- 
tionali  deorsum  trahantur:  dico  quod^  si  distantics  illce  sumantur 
continue  proportionales,  densitates  fluidi  in  iisdem  distantiis  erunt 
etiam  continue  proportionales, 

Designet  A  TV  fundum  sphaericum  cui  fluidum  incumbit,  S  cen- 
trum,  S  A,  SB,  SQ  S  D,  SE.SF,  &c.  distantias  continue  propor- 


288 


DE  MOTU  CORPORVM 


tionales.   Erigantur  perpendicula  ^iY,  BI,  CK,  D  L,  E M,  FN,  &c. 

quse  sint  ut  densitates  medii  in  locis  A,  B,  C,  D,  E,  F ;  &  specificse 

.      ..  j         ,     .  AH  BI   CK    ^ 

gravitates    in    nsdem    locis  erunt  ut  ,  "^-^  ~r~^'  '   quod 

.    ,  AH  BI  CK  p       x:^.  .  , 

permde  est,  ut  ^— b»  57^»  T^'  ^^-    ^  ^^^^  pnmum  has  gravitates  uni- 

formiter  continuari  ab  ^  ad  ^,  a  ^  ad  C,  a  C  ad  D,  &c.  factis  per 
gradus  decrementis  in  punctis  B,  C,  D,  &c.  Et 
hae  gravitates  ductse  in  altitudines  A  B,  B  C,  C D, 
&c.  conficient  pressiones  A  H,  BI,  CK,  &c.  quibus 
fundum  A  T  V  ( juxta  theorema  xv)  urgetur.  Su- 
stinet  ergo  particula  A  pressiones  omnes  A  H,  BI, 
C  A",  Z^Z,  pergendo  in  infinitum ;  &  particula  B 
pressiones  omnes  prseter  primam  A  H ;  &  parti- 
cula  C  omnes  prseter  duas  primas  AH,B  I ;  &  sic 
deinceps  :  ideoque  particulse  primse  A  densitas 
A  H  est  ad  particulae  secundse  B  densitatem  B I 
ut  summa  omnium  A  H-\-  B  I-\-  C  K  -\-D  L,  in  in- 
finitum,  ad  summam  omnium  B I  -\-  C K+  D  Z,  &c. 
Et  ^/densitas  secundse  B  est  ad  C  A' densitatem  tertise  C,  ut  sum- 
ma  omnium  B I+CK-\-DL,  &c.  ad  summam  omnium  CK-\-DL, 
&c.  Sunt  igitur  summse  illse  differentiis  suisA  H,  B I,  C  K,  &c.  pro- 
portionales,  atque  ideo  continue  proportionales  (per  hujus  lem.  i) 
proindeque  differentise  A  H,  B I,  CK,  &c.  summis  proportionales, 
sunt  etiam  continue  proportionales.  Quare  cum  densitates  in  locis 
A,  B,  C,  &c.  sint  ut  A  H,  B I,  CK,  &c.  erunt  etiam  hse  continue  pro- 
portionales.  Pergatur  per  saltum,  &  ex  sequo  in  distantiis  SA,  S  C, 
SE  continue  proportionaHbus,  erunt  densitates  A  H,  C K,  E  M  con- 
tinue  proportionales.  Et  eodem  argumento,  in  distantiis  quibusvis 
continue  proportionahbus  S  A,  S  D,  S  G,  densitSLtes  A  H,  D  L,  GO 
erunt  continue  proportionales.  Coeant  jam  puncta  A,  B,  C,  D,  E, 
&c.  eo  ut  progressio  gravitatum  specificarum  a  fundo  A  ad  summi- 
tatem  fluidi  continua  reddatur,  &  in  distantiis  quibusvis  continue 
proportionaHbus  SA,  SD,  SG,  densitates  AH,  D L,  GO,  semper  ex- 
istentes  continue  proportionales,  manebunt  etiamnum  continue  pro- 
portionales.     Q.  E.  D. 

Corol.    Hinc  si  detur  densitas  fluidi  in  duobus  locis,  puta  A   & 


LIBER  SECUNDUS. 


289 


E,   colligi   potest  ejus  densitas   in   alio   quovis  loco   Q.     Centro    S, 

asymptotis  rectangulis  6"  Q,  SX  describatur  hyperbola  secans  perpen- 

dicula  A  H,EM,QT  ma,e,  q,  ut  &  perpendicula  HX,  M  Y,  TZ, 

ad  asymptoton  SX  demissa,  in  h,  m,  & 

t.     Fiat  area  YiJitZ  did  aream  datam 

Y mhX  ut  area  data  E eqQ  ad  aream 

datam  E eaA  ;  &  linea  Z t  producta 

abscindet  lineam    Q  T  densitati  pro- 

portionalem.     Namque  si  lineae  S A, 

S  E,  SQ  sunt  continue  proportionales, 

erunt  arese  EeqQ,  EeaA  sequales, 

Sz:  inde  areae  his  proportionales  YmtZ, 

X hmY  etiam  aequales,  &  lineae  SX, 

SY,   SZ,   id   est,   AH,  E  M,  QT 

continue    proportionales,    ut    oportet. 

Et  si  Hneae  S  A,  S E,  S  Q  obtinent  alium  quemvis  ordinem  in  serie 

continue  proportionalium,  lineae  AH,  EM,  QT,  ob proportionales  areas 

hyperbolicas,  obtinebunt  eundem  ordinem  in  alia  ferie  quantitatum 

continue  proportionaHum. 


\ 

r 

\ 

\ 

t 

M 

m 

v.rt 

H 

T" 

PROPOSITIO    XXII.     THEOREMA    XVII. 

Sitfiiiidi  ctcjtisdam  densitas  compressioni proportionalis,  &  partes  ejus 
a  gravitate   qtiadratis    distantiarum    suarum    a    centro    reciproce 

proportionali  deorsmn  trahantur :  dico  quod,  si  distanticB  sumantur 
in  progressione  musica,  densitates  fluidi  in  kis  distantiis  erunt  in 

progressione  geometrica, 

Designet  6^  centrum,   &  SA,  SB,  S  Q  S  D,  SE  distantias  in 

progressione  geometrica.      Erigantur  perpendicula  A  H,  B I,  CK, 

&c.  quae  sint  ut  fluidi  densitates  in  locis  A,  B,  C,  D,  E,  &c.  &  ipsius 

,r      .    ..   ,       ,     .  AHBICK^^. 

e^ravitates  specmcae  m  iisdem  locis  erunt  ^   ^    ,  -7777- ,  ^  ^   ,  &c.  r  mge 

SAq  SBq    SCq 

has  gravitates  uniformiter  continuari,  primam  ab  A  ad  B,  secundam 

a,  B  3id  C,  tertiam  a  C  ad  Z^,  &c.       Et  hae  ductae  in  altitudines  A  B, 

B  C,  CD,  D  E,  &c.  vel,  quod  perinde  est,  in  distantias  SA,  SB,  SC, 

&c.  altitudinibus  iHis  proportionales,  conficient  exponentes  pressionum 


290 


DE  MOTU  CORPORUM 


A  ]-f   R  T    C  K 

— — ,  ,  &c.     Quare  cum  densitates  sint  ut  harum  pressionum 

S  A.    S  B     S  C  ^ 

summae,  differentiae   densitatum   A  H—B I,   BI—CKy    &c.    erunt 

AH  BI   CK  ^        r     .      c 
~^~A'  ~SB'  ~S~C  '  ^entro  .S,  asymp- 


ut   summarum    differentiae 


totis  SA,  Sx  describatur  hyperbola  quaevis,  quae  secet  perpendicula 
A  H,  B I,  CK,  &c.  in  a,  b,  c,  &c.  ut  &  perpendicula  ad  asymptoton 
^^^i;  demissa  H  t,  I  ti,  Kw  in  h,  i,  k ;  &,  densitatum  differentiae  tu, 

AH  B  I 

u  w,  &c.  erunt  ut 


&c.  seu  tp,  u  q,  &c.  ut 


,  &c.       Et  rectangula  tuy.th,  tcwxuty 
,  &c..  id  est,  ut  -^  ^,  B  b. 


S  A'  SB 

A  Hxth   B Ix  ui 


SA      '      SB 

&c.     Est  enim,  ex  natura  hyperbolae,  SA  2id  A  H  vel  St,  ut  t  h  ad 

^      .,            AHxth  ,      .        ^^   .    ...  Blxui 

A  a,  ideoque ^r-^ —  aequale  A  a.    t.t  simih  argumento  est 


SA 


SB 


p 

E 

D 
C 

B 

A 

1/                                K- 

V 

M 

\.  . 

L 

. 

i 

K 

\. 

I 

\„ 

H 

^ 

n 

m 
r 

l 

k      . 

4=_^ 

S 

P 

i 

J  J 

f  a 

V        if 

/                 i 

^             t 

aequale  Bb,  &c.  Sunt  autem  A  a,  B  b,  C  c,  &c.  continue  proportio- 
nales,  &  propterea  differentiis  suis  A  a—B  b,  B  b  —  Cc,  &c.  propor- 
tionales ;  ideoque  differentiis  hisce  proportionaHa  sunt  rectangula  tp^ 
uq,  &c.  ut  &  summis  differentiarum  A  a  —  Cc  vel  A  a—Dd  summae 
rectangulorum  tp-^uq  vel  tp  +  uq-^-wr.  Sunto  ejusmodi  termini 
quam  plurimi,  &  summa  omnium  differentiarum,  puta  Aa—Ff,  erit 
summae  omnium  rectangulorum,  puta  zth^i,  proportionalis.  Augeatur 
numerus    terminorum  &  minuantur  distantiae  punctorum   A,  B,    C, 


LIBER  SECUNDUS.  20I 

&c.  In  infinitum,  &  rectangula  illa  evadent  aequalia  areae  hyperbolicce 
zthn,  ideoque  huic  areae  proportionalis  est  differentia  Aa—Ff. 
Sumantur  jam  distantiae  quaeHbet,  puta  S  A,  SD,  SF  m  progressione 
musica,  &  dififerentiae  Aa  —  Dd,  Dd—F/^vnnt  aequales ;  &  prop- 
terea  differentiis  hisce  proportionales  areae  thlx,  xlnz  aequales 
erunt  inter  se,  &  densitates  St,  Sx,  S z,  id  est,  A  H,  D  L,  FN, 
continue  proportionales.     Q.E.D. 

Corol.  Hinc  si  dentur  fluidi  densitates  duae  quaevis,  puta  A  H  Sl 
Z?/,  dabitur  area  thiti,  harum  differentiae  tu  respondens ;  &  inde 
invenietur  densitas  FN  in  altitudine  quacunque  S  F,  sumendo  aream 
thnz  ad  aream  illam  datam  thiu  ut  est  differentia  A  a  —  Ff  2A 
differentiam  A  a—B  b. 

Scholmm. 

SimiH  argumentatione  probari  potest,  quod  si  gravitas  particula- 

rum    fluidi  diminuatur   in    tripHcata   ratione   distantiarum   a   centro, 

&  quadratorum  distantiarum  S  A,  S  B,  S  C,  &c.  reciproca  (nempe 

SA  cub.    S  A  cub.    SA  cub. .  .  .  ... 

^    . —  ,  —77-7^ —  ,  ~~E^ — )  sumantur  m  progressione  anthmetica  ; 
o  A  q  o  li  q  o  C  ^ 

densitates   A  H,   B I,  C  K,   &c.  erunt   in  progressione  geometrica. 

Et  si  gravitas  diminuatur  in  quadrupHcata  ratione  distantiarum,  & 

cuborum  distantiarum  reciproca  (puta  ^  ^  ^,  ,  ^  ■    ^;  ,  ^^  ^  %,  &c.) 

^  SA  cub.   SB  cub.   S  C  cttb. 

sumantur  in  progressione  arithmetica ;  densitates  A  H,  RI,  C  K,  &c. 

erunt  in  progressione  geometrica.      Et  sic  in  infinitum.     Rursus  si 

gravitas   particularum   fluidi    in    omnibus    distantiis    eadem    sit,    & 

distantiae  sint  in  progressione  arithmetica,  densitates  erunt  in  progres- 

sione  geometrica,  uti  Vir  Cl.  Edmundus  Halleius  invenit.       Si  gra- 

vitas  sit  ut  distantia,  &  quadrata  distantiarum  sint  in  progressione 

arithmetica,  densitates  erunt  in  progressione  geometrica.       Et  sic  in 

infinitum.       Haec  ita  se  habent  ubi  fluidi  compressione   condensati 

densitas  est  ut  vis  compressionis,  vel,  quod  perinde  est,  spatium  a 

fluido  occupatum  reciproce  ut  haec  vis.      Fingi   possunt   aHae   con- 

densationis  leges,  ut  quod  cubus  vis  comprimentis  sit  ut  quadrato- 

quadratum  densitatis,  seu  tripHcata  ratio  vis  eadem  cum  quadrupHcata 

ratione  densitatis.     Quo  in  casu,  si  gravitas  est  reciproce  ut  quadratum 


292 


DE  MOTU  COBPORUM 


distantiae  a  centro,  densitas  erit  reciproce  ut  cubus  distantiae.  Fin 
gatur  quod  cubus  vis  comprimentis  sit  ut  quadrato-cubus  densitatis, 
&  si  gravitas  est  reciproce  ut  quadratum  distantiae,  densitas  erit 
reciproce  in  sesquiplicata  ratione  distantise.  Fingatur  quod  vis  com- 
primens  sit  in  duplicata  ratione  densitatis,  &  gravitas  reciproce  in 
ratione  duplicata  distantiae,  &  densitas  erit  reciproce  ut  distantia. 
Casus  omnes  percurrere  longum  esset.  Cseterum  per  experimenta 
constat  quod  densitas  aeris  sit  ut  vis  comprimens  vel  accurate  vel 
saltem  quam  proxime  :  &  propterea  densitas  aeris  in  atmosphaera 
terrae  est  ut  pondus  aeris  totius  incumbentis,  id  est,  ut  altitudo  mercurii 
in  barometro. 


1 


PROPOSITIO    XXIII.      THEOREMA    XVIII. 

Sifiiddi  ex  partic7tlis  se  niutuo  ftcgiefitibus  compositi  densitas  sit  ut 
compressio,  vires  centrificgcB  partictdarum  sunt  reciproce proportion- 
ales  distantiis  centrorum  suorum,  Et  vice  versa,  particulce  viribus 
qucB  sunt  reciproce  proportionales  distantiis  centrorum  suortcm  se 
mutuo  fugientes  componunt  fiuidum  elasticum,  cujus  densitas  est 
compressioni  p7'oportio7ialis. 

Includi  intelligatur  fluidum  in  spatio  cubico  A  C  E,  dein  com- 
pressione  redigi  in  spatium  cubicum  minus  ace;  &  particularum, 
similem  situm  inter  se  in  utroque  spatio  obtinentium,  distantiae  erunt 
ut  cuborum  latera  A  B,  ab ;  &  mediorum  densitates  reciproce  ut  spa- 
tia  continentia  AB  cub,  81.  ab  cub.  In  cubi  majoris  latere  plano 
ABCD  capiatur  quadratum  DP 
sequale  lateri  plano  cubi  minoris 
db  ;  &  ex  hypothesi,  pressio,  qua 
quadratum  D  P  urget  fluidum 
inclusum,  erit  ad  pressionem,  qua 
illud  quadratum  db  urget  fluidum 
inclusum,  ut  medii  densitates  ad 
invicem,  hoc  est,  ut  ^^  cub.  ad 
A  B  C2cb.  Sed  pressio,  qua  quadratum  DB  urget  fluidum  inclusum, 
est  ad  pressionem,  qua  quadratum  DP  urget  idem  fluidum,  ut  quadra- 
tum  DB  ad  quadratum  DP,  hoc  est,  ut  AB  qtiad.  ad  ab  quad.     Ergo, 


a 

/ 
d- 


A 

^^ 

/ 

B 

/ 

f> 

-^ 

i 
j 

Gr 

^ 

^ 

h 

b 

"-9 

..--■ 

^ 

c 

H 


D 


> 


LIBER  SECUI^DUS.  293 

ex  aequo,  pressio  qua  quadratum  DB  urget  fluidum,  est  ad  pressionem 
qua  quadratum  db  urget  fluidum,  ut  ^<5  ad  -^^.  Planis  FGH, 
fghy  per  media  cuborum  ductis,  distinguatur  fluidum  in  duas  partes, 
&  hae  se  mutuo  prement  iisdem  viribus,  quibus  premuntur  a  planis 
A  C,  ac,  hoc  est,  in  proportione  ad  ad  AB :  ideoque  vires  centrifugse, 
quibus  hae  pressiones  sustinentur,  sunt  in  eadem  ratione.  Ob  eundem 
particularum  numerum  similemque  situm  in  utroque  cubo,  vires 
quas  particulse  omnes  secundum  plana  FGH,  fgh  exercent  in 
omnes,  sunt  ut  vires  quas  singulae  exercent  in  singulas.  Ergo  vires, 
quas  singulae  exercent  in  singulas  secundum  planum  FG H  m  cubo 
majore,  sunt  ad  vires,  quas  singulae  exercent  in  singulas  secundum 
ipldinum  fgh  in  cubo  minore,  ut  ad  did  AB,  hoc  est,  reciproce  ut 
distantiae  particularum  ad  invicem.     Q.  E.  D. 

Et  vice  versa,  si  vires  particularum  singularum  sunt  reciproce  ut 
distantiae,  id  est,  reciproce  ut  cuborum  latera  AB,  ab  ;  summae  virium 
erunt  in  eadem  ratione,  &  pressiones  laterum  DB,  d  b  ut  summae 
virium ;  &  pressio  quadrati  D  P  ad  pressionem  lateris  D  B  ut 
a  b  qicad.  2A  A  B  quad.  Et,  ex  aequo,  pressio  quadrati  D  P  2A 
pressionem  lateris  db  ut  ab  cub.  2A  A  B  cub.  id  est,  vis  compressionis 
ad  vim  compressionis  ut  densitas  ad  densitatem.     Q.  E.  D. 

Scholium. 

■  Simili  argumento,  si  particularum  vires  centrifugae  sint  reciproce  in 
duplicata  ratione  distantiarum  inter  centra,  cubi  virium  comprimentium 
erunt  ut  quadrato-quadrata  densitatum.  Si  vires  centrifugae  sint 
reciproce  in  triplicata  vel  quadrupHcata  ratione  distantiarum,  cubi 
virium  comprementium  erunt  ut  quadrato-cubi  vel  cubo-cubi  den- 
sitatum.  Et  universahter,  si  D  ponatur  pro  distantia,  &  E  pro 
densitate  fluidi  compressi,  &  vires  centrifugae  sint  reciproce  ut 
distantiae  dignitas  quaeHbet  D",  cujus  index  est  numerus  n;  vires 
comprimentes  erunt  ut  latera  cubica  dignitatis  E"+^  cujus  index  est 
numerus  7i-\-2\  &  contra.  Intefligenda  vero  sunt  haec  omnia  de 
particularum  viribus  centrifugis  quae  terminantur  in  particuHs  proximis, 
aut  non  longe  ultra  diffunduntur.  Exemplum  habemus  in  corporibus 
magneticis.  Horum  virtus  attractiva  terminatur  fere  in  sui 
generis  corporibus  sibi  proximis.       Magnetis  virtus  per  interpositam 


2  94 


DE  MOTU  CORPORUM 


laminam  ferri  contrahitur,  &  in  lamina  fere  terminatur.  Nam  corpora 
ulteriora  non  tam  a  magnete  quam  a  lamina  trahuntur.  Ad  eundem 
modum  si  particulae  fugant  alias  sui  generis  particulas  sibi  proximas, 
in  particulas  autem  remotiores  virtutem  nullam  exerceant,  ex 
hujusmodi  particuHs  componentur  fluida  de  quibus  actum  est  in  hac 
propositione.  Quod  si  particulae  cujusque  virtus  in  infinitum 
propagetur,  opus  erit  vi  majori  ad  aequalem  condensationem  majoris 
quantitatis  fluidi.  *An  vero  fluida  elastica  ex  particuHs  se  mutuo 
fugantibus  constent,  qusestio  physica  est.  Nos  proprietatem  fluidorum 
ex  ejusmodi  particuHs  constantium  mathematice  demonstravimus, 
ut  philosophis  ansam  praebeamus  quaestionem  illam  tractandi. 

SECTIO    VI. 

De  moiu  &  resiste^itia  corporum  funependulorum. 

PROPOSITIO    XXIV.      THEOREMA    XIX. 

Qtiantitates  materice  in  corporibus  funependulis,  qtcorum  centra 
oscillationum  a  cefitro  stcspensionis  cequaliter  distant,  sunt  in  ratione 
composita  ex  ratione  ponderum  &  ratione  duplicata  temporum 
oscillationum  in  vac7w, 

Nam  velocitas,  quam  data  vis  in  data  materia  dato  tempore 
generare  potest,  est  ut  vis  &  tempus  directe,  &  materia  inverse.  Quo 
major  est  vis  vel  majus  tempus  vel  minor  materia,  eo  major 
generabitur  velocitas.  Id  quod  per  motus  legem  secundam  manifestum 
est.  Jam  vero  si  pendula  ejusdem  sint  longitudinis,  vires  motrices 
in  locis  a  perpendiculo  aequaliter  distantibus  sunt  ut  pondera  :  ideoque 
si  corpora  duo  oscillando  describant  arcus  aequales,  &  arcus  illi 
dividantur  in  partes  aequales ;  cum  tempora  quibus  corpora  describant 
singulas  arcuum  partes  correspondentes  sint  ut  tempora  oscillationum 
totarum,  erunt  velocitates  ad  invicem  in  correspondentibus  oscil- 
lationum  partibus,  ut  vires  motrices  &  tota  oscillationum  tempora 
directe  &  quantitates  materiae  reciproce :  ideoque  quantitates 
materiae  ut  vires  &  oscillationum  tempora  directe  &  velocitates 
reciproce.      Sed    velocitates     reciproce     sunt     ut     tempora,     atque 


LIBER  SECUNDUS, 


295 


ideo  tempora  directe  &  velocitates  reciproce  sunt  ut  quadrata  tem- 
porum,  &  propterea  quantitates  materiae  sunt  ut  vires  motrices  & 
quadrata  temporum,  id  est,  ut  pondera  &  quadrata  temporum. 
Q,E,D. 

Corol,  I.  Ideoque  si  tempora  sunt  aequalia,  quantitates  materiae  in 
singulis  corporibus  erunt  ut  pondera. 

Corol.  2.  Si  pondera  sunt  aequalia,  quantitates  materiae  erunt  ut 
quadrata  temporum. 

Corol.  3.  Si  quantitates  materiae  aequantur,  pondera  erunt  reci- 
proce  ut  quadrata  temporum. 

Corol.  4.  Unde  cum  quadrata  temporum,  caeteris  paribus,  sint  ut 
longitudines  pendulorum ;  si  &  tempora  &  quantitates  materiae  ae- 
qualia  sunt,  pondera  erunt  ut  longitudines  pendulorum. 

Corol.  5.  Et  universaliter,  quantitas  materiae  pendulae  est  ut  pon- 
dus  &  quadratum  temporis  directe,  &  longitudo  penduli  inverse. 

Corol.  6.  Sed  &  in  medio  non  resistente  quantitas  materiae  pendu- 
lae  est  ut  pondus  comparativum  &  quadratum  temporis  directe  & 
longitudo  penduli  inverse.  Nam  pondus  comparativum  est  vis  mo- 
trix  corporis  in  medio  quovis  gravi,  ut  supra  explicui ;  ideoque 
idem  praestat  in  tali  medio  non  resistente  atque  pondus  absolutum  in 
vacuo. 

Corol.  7.  Et  hinc  liquet  ratio  tum  comparandi  corpora  inter  se, 
quoad  quantitatem  materiae  in  singulis;  tum  comparandi  pondera 
ejusdem  corporis  in  diversis  locis,  ad  cognoscendam  variationem 
gravitatis.  Factis  autem  experimentis  quam  accuratissimis  inveni 
semper  quantitatem  materiae  in  corporibus  singulis  eorum  ponderi 
proportionalem  esse. 

PROPOSITIO    XXV.      THEOREMA    XX. 

Corpora  Fu7iependula  quibus,  in  medio  quovis,  resistitur  in  ratione 
momentorum  temporis,  &  corpora  funependula  qucs  in  ejusdem  gravi- 
tatis  specificcB  medio  non  resistente  moventur^  oscillationes  in  cycloide 
eodem  tempore  peragurit,  &  arcuum  partes  proportionales  simul  de- 
scribicnt. 

Sit  A  B  cycloidis  arcus,  quem  corpus  D  tempore  quovis  in  medio 
non  resistente  oscillando  describit.     Bisecetur  idem  in  C,  ita  ut  C  sit 


296  DE  MOTU  CORPORUM 

infimum  ejus  punctum ;  &  erlt  vis  acceleratrix  qua  corpus  urgetur 
in  loco  quovis  D  vel  d  vel  E  ut  longitudo  arcus  C  D  vel  C  d  vel 
C E.  Exponatur  vis  illa  per  eundem  arcum ;  &  cum  resistentia  sit 
ut  momentum  temporis,  ideoque  detur,  exponatur  eadem  per  da- 
tam  arcus  cycloidis  partem  CO,  Si  sumatur  arcus  O  d  m  ratione  ad 
arcum  CD  quam  habet  arcus  6^^  ad  arcum  CB :  &  vis  qua  corpus 
in  d  urgetur  in  medio  resistente,  cum  sit  excessus  vis  Cd  supra  re- 
sistentiam  C  O,  exponetur  per  arcum  Od,  ideoque  erit  ad  vim,  qua 
corpus  D  urgetur  in  medio  non  resistente  in  loco  D,  ut  arcus  Od 
ad  arcum  CD;  &  propterea  etiam  in  loco  B  ut  arcus  6^^  ad  ar- 
cum  CB.  Proinde  si  corpora  duo,  D,  d  exeant  de  loco  B,  &  his 
viribus  urgeantur  :  cum  vires  sub  initio  sint  ut  arcus  CB  &  O  B, 
erunt  velocitates  primse  &  arcus  primo  descripti  in  eadem  ratione. 
Sunto  arcus  ilH  BD  &  B  d,  &  arcus  reHqui  CD,  Od  erunt  in  ea- 
dem  ratione.      Proinde  vires  ipsis  CD,  Od  proportionales  manebunt 


in  eadem  ratione  ac  sub  initio,  &  propterea  corpora  pergent  arcus 
in  eadem  ratione  simul  describere.  Igitur  vires  &  velocitates  & 
arcus  reliqui  CD,  Od  semper  erunt  ut  arcus  toti  CB,  O  B,  &  prop- 
terea  arcus  ilH  reliqui  simul  describentur.  Quare  corpora  duo  D, 
d  simul  pervenient  ad  loca  C  &  O,  alterum  quidem  in  medio  non 
resistente  ad  locum  C,  &  alterum  in  medio  resistente  ad  locum  O. 
Cum  autem  velocitates  in  C  &  O  sint  ut  arcus  CB,  O  B ;  erunt 
arcus,  quos  corpora  ulterius  pergendo  simul  describunt,  in  eadem 
ratione.  Sunto  iHi  C  E  &l  O  e.  Vis  qua  corpus  d  in  medio  non 
resistente  retardatur  in  E  est  ut  C^,  &  vis  qua  corpus  ^in  medio 


LIBER  SECUNDUS,  297 

resistente  retardatur  in  e  est  ut  summa  vis  Ce  8l  resistentiae  C  O,  id 
est  ut  O  e ;  ideoque  vires,  quibus  corpora  retardantur,  sunt  ut  arcubus 
CBy  Oe  proportionales  arcus  CB,  O  B ;  proindeque  velocitates, 
in  data  illa  ratione  retardatae,  manent  in  eadem  illa  data  ratione. 
Velocitates  igitur  &  arcus  iisdem  descripti  semper  sunt  ad  invicem 
in  data  illa  ratione  arcuum  CB  &  OB;  &  propterea  si  sumantur 
arcus  toti  A  B,  aB  in  eadem  ratione,  corpora  D,  d  simul  describent 
hos  arcus,  &  in  locis  A  &  a  motum  omnem  simul  amittent.  Iso- 
chronae  sunt  igitur  oscillationes  totae,  &  arcubus  totis  BA,  Ba 
proportionales  sunt  arcuum  partes  quaelibet  B  D,  B  d  vel  B  E,  B  e 
quse  simul  describuntur.    Q.E.D. 

Corol.  Igitur  motus  velocissimus  in  medio  resistente  non  incidit 
in  punctum  infimum  C,  sed  reperitur  in  puncto  illo  O,  quo  arcus 
totus  descriptus  aB  bisecatur.  Et  corpus  subinde  pergendo  ad  a, 
iisdem  gradibus  retardatur  quibus  antea  accelerabatur  in  descensu 
suo  a  ^  ad  (9. 


PROPOSITIO    XXVI.      THEOREMA    XXI. 

Corporum  funependtUorumy  quibus  resistitur  in  ratione  velocitatum^ 
oscillationes  in  cycloide  sunt  Isochronce. 

Nam  si  corpora  duo,  a  centris  suspensionum  aequaliter  distantia, 
oscillando  describant  arcus  inaequales,  &  velocitates  in  arcuum 
partibus  correspondentibus  sint  ad  invicem  ut  arcus  toti ;  resistentiae 
velocitatibus  proportionales,  erunt  etiam  ad  invicem  ut  iidem  arcus. 
Proinde  si  viribus  motricibus  a  gravitate  oriundis,  quae  sint  ut  iidem 
arcus,  auferantur  vel  addantur  hae  resistentiae,  erunt  differentiae  vel 
summae  ad  invicem  in  eadem  arcuum  ratione  :  cumque  velocitatum 
incrementa  vel  decrementa  sint  ut  hae  differentiae  vel  summae, 
velocitates  semper  erunt  ut  arcus  toti  :  Igitur  velocitates,  si  sint  in 
aliquo  casu  ut  arcus  toti,  manebunt  semper  in  eadem  ratione.  Sed 
in  principio  motus,  ubi  corpora  incipiunt  descendere  &  arcus  illos 
describere,  vires,  cum  sint  arcubus  proportionales,  generabunt  velo- 
citates  arcubus  proportionales.  Ergo  velocitates  semper  erunt  ut 
arcus  toti  describendi,  &  propterea  arcus  illi  simul  describentur. 
Q.E.D, 


198 


DE  MOTU  CORPORUM 


PROPOSITIO    XXVII.      THEOREMA    XXII. 


Si  corporibus  funependulis  resistihir  in  duplicata  ratione  velocitatum, 
differenticB  inter  tempora  oscillationwn  in  medio  resistente  ac  tem- 
pora  oscillationum  i^i  ejusdem  gravitatis  specificcB  medio  non  re- 
sistente,  erunt  arcubus  oscillando  descriptis  proportionales  guam 
proxime. 

Nam  pendulis  aequalibus  in  medio  resistente  describantur  arcus 
inaequales  A,  B ;  &  resistentia  corporis  in  arcu  A,  erit  ad  resisten- 
tiam  corporis  in  parte  correspondente  arcus  B,  in  duplicata  ratione 
velocitatum,  id  est,  ut  A  A  ad  B  B,  quam  proxime.  Si  resistentia 
in  arcu  B  esset  ad  resistentiam  in  arcu  A  ut  A  B  ad  A  A  ;  tempora 
in  arcubus  A  &  B  forent  aequalia,  per  propositionem  superiorem. 
Ideoque  resistentia  AA  in  arcu  A,  vel  AB  in  arcu  B,  efficit  excessum 
temporis  in  arcu  A  supra  tempus  in  medio  non  resistente ;  & 
resistentia  BB  efficit  excessum  temporis  in  arcu  B  supra  tempus  in 
medio  non  resistente.  Sunt  autem  excessus  illi  ut  vires  efficientes 
AB  &  BB  quam  proxime,  id  est,  ut  arcus  A  &  B.     Q.E.D. 

Corol.  I.  Hinc  ex  oscillationum  temporibus,  in  medio  resistente, 
in  arcubus  insequalibus  factarum,  cognosci  possunt  tempora  oscil- 
lationum  in  ejusdem  gravitatis  specificse  medio  non  resistente.  Nam 
differentia  temporum  erit  ad  excessum  temporis  in  arcu  minore  supra 
tempus  in  medio  non  resistente,  ut  differentia  arcuum  ad  arcum 
minorem. 

Corol.  2.  Oscillationes  breviores  sunt  magis  isochronae,  &  brevis- 
simae  iisdem  temporibus  peraguntur  ac  in  medio  non  resistente, 
quam  proxime.  Earum  vero,  quae  in  majoribus  arcubus  fiunt, 
tempora  sunt  paulo  majora,  propterea  quod  resistentia  in  descensu 
corporis  qua  tempus  producitur  major  sit  pro  ratione  longitudinis 
in  descensu  descriptae,  quam  resistentia  in  ascensu  subsequente  qua 
tempus  contrahitur.  Sed  &  tempus  oscillationum  tam  brevium 
quam  longarum  nonnihil  produci  videtur  per  motum  medii.  Nam 
corporibus  tardescentibus  paulo  minus  resistitur,  pro  ratione  veloci- 
tatis,  &  corporibus  acceleratis  paulo  magis  quam  iis  quae  unifor- 
miter   progrediuntur :    idque    quia   medium,   eo  quem  a  corporibus 


LIBER  SECUNDUS. 


299 


I 


acceplt  motu,  in  eandem  plagam  pergendo,  in  priore  casu  magis 
agitatur,  in  posteriore  minus ;  ac  proinde  magis  vel  minus  cum 
corporibus  motis  conspirat.  Pendulis  igitur  in  descensu  magis  re- 
sistit,  in  ascensu  minus  quam  pro  ratione  velocitatis,  &  ex  utraque 
causa  tempus  producitur. 


PROPOSITIO     XXVIII.       THEOREMA     XXIII. 

Si  corpori  funependulo  in  cycloide  oscillanti  resistitur  in  ratione  mo- 
mentortcm  temporis,  erit  ejus  resistentia  ad  vim  gravitatis  ut  excessus 
arcus  descensu  toto  descripti  supra  arcum  ascensu  subsequente  descrip- 
tum,  adpe^iduli  longitudinem  duplicatam. 

Designet  B  C  arcum  descensu  descriptum,  C  a  arcum  ascensu  de- 
scriptum,  &  A  a  differentiam  arcuum  :  &  stantibus  quae  in  proposi- 
tione  XXV  constructa  &  demonstrata  sunt,  erit  vis,  qua  corpus  os- 
cillans  urgetur  in  loco  quovis  D,  ad  vim  resistentise  ut  arcus  CI? 
ad  arcum  C  O,  qui  semissis  est  differentiae  illius  A  a.     Ideoque  vis, 


qua  corpus  oscillans  urgetur  in  cycloidis  principio  seu  puncto  altis- 
simo,  id  est,  vis  gravitatis,  erit  ad  resistentiam  ut  arcus  cycloidis 
inter  punctum  illud  supremum  &  punctum  infimum  C  ad  arcum 
C  O ;  id  est  (si  arcus  duplicentur)  ut  cycloidis  totius  arcus,  seu  dupla 
penduli  longitudo,  ad  arcum  A  a.     Q.  E.  D. 


300 


DE  MOTU  CORPORUM 


PROPOSITIO     XXIX.      PROBLEMA     VI. 

Posito  qtiod  corpori  in  cycloide  oscillanti  resistitur  in  duplicata  ratione 
velocitatis  :   invenire  resistentiam  in  locis  singulis. 

Sit  Ba  arcus  oscillatione  integra  descriptus,  sitque  C  infimum 
cycloidis  punctum,  &  CZ  semissis  arcus  cycloidis  totius,  longitu- 
dini  penduli  sequalis ;  &  quaeratur  resistentia  corporis  in  loco  quo- 
vis  D.  Secetur  recta  infinita  O  Q  \n  punctis  O,  S,  P,  Q,  ea  lege, 
ut  (si  erigantur  perpendicula  O  K,  S  T,  P  /y  Q  E,  centroque  O  & 
asymptotis  O  K,  O  Q  describatur  hyperbola  TIGE  secans  perpendic- 
ula  ST,  PI,  QE  in  T,  I  &  E,  &  per  punctum  /agatur  A^/^parallela 
asymptoto  O  Q  occurrens  asymptoto  O  K  in  K,  &  perpendiculis  6^  T 
&  Q  E  in  L  &  E)  fuerit  area  hyperbolica  P I E  Q  ad  aream  hyper- 
bolicam  P I TS  ut  arcus  B  C  descensu  corporis  descriptus  ad  arcum 


T 
K      L. 

\ 

1            ^H        F 

i 
j 

i 

^ 

"^ 

c 

»          S 

\ 

T-E 

-     <; 

\        M 

Ca  ascensu  descriptum,  &  area  I E E did  aream  ILTmX.  OQ  ad  OS. 

Dein  perpendiculo  i^iV^  abscindatur  area  hyperbolica  P I N M  quse 

sit  ad  aream  hyperbolicam  P lEQ  ut  arcus  CZ  ad  arcum  j^Cde- 

scensu  descriptum.     Et  si  perpendiculo  RG   abscindatur  area  hy- 

perbolicaP/6^y?,  quae  sit  adaream  PIEQ  ut  arcus  quiHbet   CD 

ad  arcum  B  C  descensu  toto  descriptum ;  erit  resistentia  in  loco  D 

OR 
ad  vim  gravitatis,  ut  area  ^  lEE-IGHdid  aream  P I N M. 

Nam  cum  vires  a  gravitate  oriundae  quibus  corpus  in  locis  Z,  B,  D, 
a  urgetur,  sint  ut  arcus  CZ,  CB,  C D,  C a,  &  arcus  illi  sint  ut  are^ 


LIBER    SECUNDUS.  301 

P IN M,  PIEQ,  PIGR,  PI  TS;  exponantur  tum  arcus  tum  vlres 

per  has  areas  respective.     Sit  insuper  D  d  spatium  quam  minimum  a 

corpore    descendente    descriptum,    &    exponatur    idem    per    aream 

quam  minimam  R  Gg  r  parallelis  R  G,  r g  comprehensam ;  &  pro- 

ducatur  r g  ad  h,  ut  sint  G  H hg,  &  R  Gg  r  contemporanea  arearum 

O  R 
IG  H,  P I G  R  decrementa.     Et  arese  — -—  I E  F—I G  H  incremen- 

R  r  R  r 

tum  G Hhg^-~i  I E F,  seu  RrxHG——r  I E F,  erit  ad  areae 

I E  F 
PIGR  decrementum  RGgr^  seu  RrxRG,  ut  HG —  ad 

RG;  ideoqueut  ORxHG-^^IEF  ad  ORxGR  seu  OPx 

P I,  hoc  est  (ob  ^quaHa  ORxHG,  ORx  HR-OR  x  GR,  ORHK 
--OPIK,  PIHR  &   PIGR^  IGH)   ut  PIGR^IGH^ 

~-^  lEF  2.AOP  IK     Igitur  si  area  -^  I EF-IGH  dicatur  Y, 

atque  areae  P I G  R  decrementum  R  Gg  r  detur,  erit  incrementum 
areae  Y  utPIGR-Y. 

Quod  si  V  designet  vim  a  gravitate  orlundam,  arcul  descrlbendo 
C  D  proportlonalem,  qua  corpus  urgetur  in  Z^,  &  R  pro  reslstentia 
ponatur ;  erit  V  —  R  vis  tota  qua  corpus  urgetur  In  D.  Est  itaque 
incrementum  velocitatls  ut  V  — R  &  partlcula  Illa  temporis  In  qua 
factum  est  conjunctim  :  Sed  &  velocitas  Ipsa  est  ut  incrementum 
contemporaneum  spatii  descripti  directe  &  particula  eadem  temporis 
inverse.  Unde,  cum  resistentia  per  hypothesin  sit  ut  quadratum 
velocitatls,  Incrementum  resistentise  (per  lem.  11)  erlt  ut  velocltas 
&  Incrementum  velocltatis  conjunctlm,  id  est,  ut  momentum 
spatii  &  V  — R  conjunctlm ;  atque  ideo,  si  momentum  spatii 
detur,  ut  V  —  R  ;  id  est,  si  pro  vi  V  scribatur  ejus  exponens  P I G  R, 
&  resistentia  R  exponatur  per  aHam  aliquam  aream  Z,  Mt  P I G  R 
-Z. 

Igitur  area  PIGR  per  datorum  momentorum  subductionem 
uniformiter  decrescente,  crescunt  area  Y  in  ratione  P I G R^-Y,  & 
area  Z  in  ratione  P I GR  —  Z.  Et  propterea  si  arese  Y  &  Z  simul 
incipiant  &  sub  initio  sequales  sint,  hse  per  additionem  sequaHum 
momentorum  pergent  esse  sequales,  &   sequaHbus    itidem   momentis 


302 


DE  MOTU  CORPORUM 


subinde  decrescentes  simul  evanescent.  Et  viclssim,  si  simul  incipi- 
unt  &  simul  evanescunt,  aequalia  habebunt  momenta  &  semper  erunt 
aequales  :  id  adeo  quia  si  resistentia  Z  augeatur,  velocitas  una  cum 
arcu  illo  Ca^  qui  in  ascensu  corporis  describitur,  diminuetur;  & 
puncto  in  quo  motus  omnis  una  cum  resistentia  cessat  propius 
accedente  ad  punctum  C,  resistentia  citius  evanescet  quam  area  Y. 
Et  contrarium  eveniet  ubi  resistentia  diminuitur. 

Jam  vero  area  Z  incipit  desinitque  ubi  resistentia  nulla  est,  hoc 
est,  in  principio  motus  ubi  arcus  C  D  arcui  CB  sequatur  &  recta 
RG  incidit  in  rectam  Q  Ey  &,  vs\  fine  motus  ubi  arcus  CD  arcui 

O  R 
Ca  aequatur  &  jR  G  incidit   in  rectam  .S  T.      Et  area  Y  seu   — — 

OR 


I E F'-! G  H  incipit   desinitque   ubi    nulla   est,    ideoque    ubi 


OQ 


T 
K      L 

\ 

T             h¥i        Y 

51- 

i 

j 

^ 

^ 

0         5 

\ 

>         H 

.   K 

\           M 

lEF  &  I G H  sequalia  sunt :    hoc   est    (per   constructionem)    ubi 

recta  R  G  incidit  successive  in  rectas  Q  E  &  S  T.     Proindeque  areae 

iUae  simul  incipiunt  &  simul   evanescunt,  &  propterea   semper  sunt 

O  /? 
aequales.      Igitur  area  -r-—  /EF—IGH  aequahs  est  areae  Z,  per 

quam  resistentia  exponitur,  &  propterea  est  ad  aream  P I N  M  per 
quam  gravitas  exponitur,  ut  resistentia  ad  gravitatem.     Q.  E.  D. 
Corol.   I.  Est  igitur  resistentia  in  loco  infimo  C  ad  vim  gravitatis, 

OP 
ut  area  -^  I E  F yA  aream  P I N  M. 

Corol.  2.  Fit  autem  maxima,  ubi  area  P IHR  est  ad  aream  lEF 
\it  O  R  2idi  O  Q.  Eo  enim  in  casu  momentum  ejus  (nimirum  P I G  R 
—  Y)  evadit  nullum. 


LIBER  SECUNDUS. 


303 


Corol.  3.  Hinc  etlam  innotescit  velocitas  in  locis  singulis  :  quippe 
quae  est  in  subduplicata  ratione  resistentise,  &  ipso  motus  initio 
aequatur  velocitati  corporis  in  eadem  cycloide  sine  omni  resistentia 
oscillantis. 

Caeterum  ob  difficilem  calculum  quo  resistentia  &  velocitas  per 
hanc  propositionem  inveniendae  sunt,  visum  est  propositionem  sequen- 
tem  subjungere. 


PROPOSITIO    XXX.      THEOREMA    XXIV. 

Si  recta  a  B  csqualis  sil  cycloidis  arcui  quem  corpus  oscillando  describit, 
&  ad  singula  ejus  puncta  D  eriganttir  perpendicula  D  K,  quce  sint 
ad  longitudinem  penduli  ut  resistentia  corporis  in  arcus  punctis  cor- 
respondentibus  ad  vim  gravitatis  :  dico  quod  differentia  inter  arcum 
descensu  toto  descriptum  &  arcum  ascensu  toto  subsequente  descriptum^ 
ducta  in  arcuum  eorundem  semisummam,  csqualis  erit  arecs  B  K  a  ^ 
perpendiculis  omnibus  D  K  occupatce. 

Exponatur  enim  tum  cycloidis  arcus,  oscillatione  integra  descrip- 
tus,  per  rectam  illam  sibi  aequalem  aB,  tum  arcus  qui  describere- 
tur  in  vacuo  per  longitudinem  A  B.  Bisecetur  ^  ^  in  C,  &  punc- 
tum    C  repraesentabit   infimum   cycloidis   punctum,   &  erit    C D  ut 


^-^^'^ 

"""^^^^E 

y^    ^^ 

~--^ 

^s,^ 

//^ 

7n 

/ 

1 

\ 

A 

■/ 

K             \ 

\      \                         %^ 

/ -^ 

/ 

^^''''^ 

AMN        » 


d  I> 


B 


vis  a  gravitate  oriunda,  qua  corpus  in  D  secundum  tangentem 
cycloidis  urgetur,  eamque  habebit  rationem  ad  longitudinem  pen- 
duli  quam  habet  vis  in  D  ad  vim  gravitatis.     Exponatur  igitur  vis 


304 


DE  MOTU  CORPORUM 


illa  per  longitudinem  CD,  8i  vis  gravitatis  per  longitudinem  pen- 
duli,  &  si  in  Z^^  capiatur  D  K  in  ea  ratione  ad  longitudinem  pen- 
duli  quam  habet  resistentia  ad  gravitatem,  erit  DK  exponens 
resistentiae.  Centro  C  &  intervallo  CA  vel  CB  construatur  semicir- 
culus  BEeA.  Describat  autem  corpus  tempore  quam  minimo 
spatium  D  d,  8i  erectis  perpendiculis  D  E,  de  circumferentiae  occur- 
rentibus  in  ^  &  ^,  erunt  haec  ut  velocitates  quas  corpus  in  vacuo, 
descendendo  a  puncto  B,  acquireret  in  locis  D  &.  d.  (Patet  hoc 
per  prop.  lii  lib.  i.)  Exponantur  itaque  hae  velocitates  per  per- 
pendicula  illa  D  E^  de ;  sitque  D  F  velocitas  quam  acquirit  in  D 
cadendo  de  B  in  medio  resistente.  Et  si  centro  C  &  intervallo 
CT^  describatur  circulus  FfM  occurrens  rectis  de  8l  A  B  mf  &,  M^ 
erit  M  locus  ad  quem  deinceps  sine  ulteriore  resistentia  ascen- 
deret,  &  ^/"velocitas  quam  acquireret  in  d.  Unde  etiam  si  Fg 
designet   velocitatis    momentum    quod  corpus  D^  describendo  spa- 


AMJsr      " 


d  D 


tium  quam  minimum  D  d,  ex  resistentia  medii  amittit;  &  suma- 
tur  C  N  aequaHs  Cg:  erit  N  locus  ad  quem  corpus  deinceps  sine 
ulteriore  resistentia  ascenderet,  Si  M  N  erit  decrementum  ascensus 
ex  velocitatis  ilHus  amissione  oriundum.  Ad  df  demittatur  perpen- 
diculum  Fm,  &  velocitatis  D  F  decrementum  Fg,  a  resistentia  DK 
genitum,  erit  ad  velocitatis  ejusdem  incrementum  fm  ^v\  C D  ge- 
nitum,  ut  vis  generans  D  K  ^d  vim  generantem  C D.  Sed  &  ob 
simiHa  triangula  Fmf  Fhg,  FDC,  estfm  ad  Fm  seu  D  d  \xt  CD 
ad  D  F;  &  ex  aequo  Fg  ad  D  d  ut  D  K  2id  D  F  Item  Fh  ad  Fg 
utDFsid  CF;  &  ex  aequo  perturbate,  FA  seu  MN  adDdutDK 
ad  CF  seu  CM;  ideoque  summa  omnium  MNx  CM  aequaHs  erit 
summae  omnium  DdxDK.  Ad  punctum  mobile  J/erigi  semper 
inteHigatur   ordinata    rectangula   aequaHs    indeterminatae    CM,   quae 


I 


LIBER  SECUNDUS.  305 

niotu  continuo  ducatur  in  totam  longitudinem  A  a  ;  &  trapezium 
ex  illo  motu  descriptum  sive  huic  aequale  rectangulum  A  ay.\  a  B 
aequabitur  summae  omnium  M  N  y.  C  M,  ideoque  summae  omnium 
DdxDK,  id  est,  areae  BK  V  Ta,     Q.  E,  D, 

Corol.  Hinc  ex  lege  resistentiae  &  arcuum  C  a,  C B  differentia  A  a 
colligi  potest  proportio  resistentiae  ad  gravitatem  quam  proxime. 

Nam  si  uniformis  sit  resistentia  D  K,  figura  B  K  Ta  rectangulum 
erit  s\xh  B  a  &  D  K ;  &  inde  rectangulum  sub  l  B  a  81  A  a  erit  aequale 
rectangulo  sub  B  a  81  D  K,  8l  D  K  aequalis  erit  i  A  a.  Quare  cum 
D  K  sit  exponens  resistentiae,  &  longitudo  penduli  exponens  gravi- 
tatis,  erit  resistentia  ad  gravitatem  ut  4^  ^  ^  ad  longitudinem  penduli ; 
omnino  ut  in  prop.  xxviii  demonstratum  est. 

Si  resistentia  sit  ut  velocitas,  figura  B  K  Ta  ellipsis  erit  quam 
proxime.  Nam  si  corpus,  in  medio  non  resistente,  oscillatione  integra 
describeret  longitudinem  B A,  velocitas  in  loco  quovis  D  foret  ut 
circuli  diametro  A  B  descripti  ordinatim  applicata  D  E.  Proinde 
cum  ^  ^  in  medio  resistente,  8l  B  A  m  medio  non  resistente  aequalibus 
circiter  temporibus  describantur  ;  ideoque  velocitates  in  singulis 
ipsius  Ba  punctis,  sint  quam  proxime  ad  velocitates  in  punctis  cor- 
respondentibus  longitudinis  i?^,  ut  est  ^^  ad  BA;  erit  velocitas 
in  puncto  D  in  medio  resistente  ut  circuli  vel  ellipseos  super  dia- 
metro  B  a  descripti  ordinatim  applicata  ;  ideoque  figura  B  K  V  Ta 
ellipsis  erit  quam  proxime.  Cum  resistentia  velocitati  propor. 
tionalis  supponatur,  sit  O  V  exponens  resistentiae  in  puncto  medio 
O ;  81  ellipsis  B  R  FSa,  centro  O,  semiaxibus  O  B,  O  V  descripta, 
figuram  B  K  V  Ta,  eique  aequale  rectangulum  A  a  x  B  O,  aequabit 
quamproxime.  Est  igitur  A  ax  B  O  a.d  O  VxBOut  area  ellipseos 
hujus  a.d  O  Vx  B  O :  id  est,  A  a  a.d  O  V  ut  area  semicircuH  ad  qua- 
dratum  radii,  sive  ut  11  ad  7  circiter  :  Et  propterea  inr  -^  ^  ad  longi- 
tudinem  penduli  ut  corporis  oscillantis  resistentia  in  O  ad  ejusdem 
gravitatem. 

Quod  si  resistentia  D  K  sit  in  dupHcata  ratione  velocitatis,  figura 
B  K  V  Ta  fere  parabola  erit  verticem  habens  V  8l  axem  O  F,  ide- 
oque  aequalis  erit  rectangulo  sub  \  B  a  8l  O  V  quam  proxime.  Est 
igitur  rectangulum  sub  \  B  a  8i  A  a  aequale  rectangulo  sub  %  B  a  8i 
O  F,  ideoque  O  V aequaHs  \  A  a:  &  propterea  corporis  oscillantis  re- 
sistentia  in  O  ad  ipsius  gravitatem  utl  Aa  a.d  longitudinem  penduH. 

u 


;o6 


DE  MOTU  CGRPORUM 


Atque  has  conclusionei;  in  rebus  practicis  abunde  satis  accuratas 
esse  censeo.  Nam  cum  ellipsis  vel  parabola  B  R  V Sa  congniat  cum 
figura  BKVTa  in  puncto  medio  V,  hsec  si  ad  partem  altenitram 
B R  Kvel  V Sa  excedit  figuram  illam,  deficiet  ab  cadem  ad  partem 
alteram,  &  sic  eidem  aequabitur  quam  proxime. 


PROPOSITIO    XXXI.      THEOREMA    XXV. 

Si  corporis  oscillantis  resistentia  in  singulis  arciium  descriptorum 
partibus  proportio7ialibus  augeatur  vel  mitmatur  in  data  ratione ; 
differentia  inter  arcum  desceiisu  descriptum  &  arcum  subsequente 
ascensu  descriptum,  augebitur  vel  diminuetur  in  eadem  ratione. 

Oritur  enim  differentia  illa  ex  retardatione  penduli  per  resistentiam 
medii,  ideoque  est  ut  retardatio  tota  eique  proportionalis  resistentia 
retardans.  In  superiore  propositione  rectangulum  sub  recta  \aB  &l 
arcuum  illorum  C B,  C^  differentia  ^  ^  aequalis  erat  Tsx^TS^BKTa. 


AMN 


d  I> 


Et  area  illa,  si  maneat  longitudo  a  B,  augetur  vel  diminuetur  in  ratione 
ordinatim  appHcatarum  D  K ;  hoc  est,  in  ratione  resistentiae,  ideoque 
est  ut  longitudo  a  B  8l  resistentia  conjunctim.  Proindeque  rectangu- 
lum  sub  A  a  &i  aB  estut  aB  &  resistentia  conjunctim,  &  propterea 
A  a  \it  resistentia.     Q.  E,  D, 

Corol.  I.  Unde  si  resistentia  sit  ut  velocitas,  differentia  arcuum  in 
eodem  medio  erit  ut  arcus  totus  descriptus  :  &  contra. 

Corol.  2.  Si  resistentia  sit  in  dupHcata  ratione  velocitatis,  differentia 
illa  erit  in  duplicata  ratione  arcus  totius  :  &  contra. 


LIBER  SECUNDUS.  307 

Corol.  3.  Et  universaliter,  si  resistentia  sit  in  triplicata  vel  alia 
quavis  ratione  velocitatis,  differentia  erit  in  eadem  ratione  arcus  totius : 
&  contra. 

CoroL  4.  Et  si  resistentia  sit  partim  in  ratione  simplici  velocitatis, 
partim  in  ejusdem  ratione  duplicata,  differentia  erit  partim  in  ratione 
arcus  totius  &  partim  in  ejus  ratione  duplicata  :  &  contra.  Eadem 
erit  lex  &  ratio  resistentise  pro  velocitate,  quae  est  difFerentiae  illius 
pro  longitudine  arcus. 

Corol.  5.  Ideoque  si,  pendulo  insequales  arcus  successive  descri- 
bente,  inveniri  potest  ratio  incrementi  ac  decrementi  differentia^  hujus 
pro  longitudine  arcus  descripti ;  habebitur  etiam  ratio  incrementi  ac 
decrementi  resistentiic  pro  velocitate  majore  vel  minore. 

Scholiicm  Gefierale. 

Ex  his  propositionibus,  per  oscillationes  pendulorum  in  mediis 
quibuscunque,  invenire  licet  resistentiam  mediorum.  Aeris  vero  re- 
sistentiam  investigavi  per  experimenta  sequentia.  Globum  ligneum 
pondere  unciarum  Romanarum  57A,  diametro  digitorum  Londi- 
nensitim  61  fabricatum,  filo  tenui  ab  unco  satis  firmo  suspendi,  ita  ut 
inter  uncum  &  centrum  oscillationis  globi  distantia  esset  pedum  lo^. 
In  filo  punctum  notavi  pedibus  decem  &  uncia  una  a  centro  suspen- 
sionis  distans ;  &  e  regione  puncti  illius  collocavi  regulam  in  digitos 
distinctam,  quorum  ope  notarem  longitudines  arcuum  a  pendulo 
descriptas.  Deinde  numeravi  oscillationes  quibus  globus  octavam 
motus  sui  partem  amitteret.  Si  pendulum  deducebatur  a  perpendi- 
culo  ad  distantiam  duorum  digitorum,  &  inde  demittebatur ;  ita  ut 
toto  suo  descensu  describeret  arcum  duorum  digitorum,  totaque 
oscillatione  prima,  ex  descensu  &  ascensu  subsequente  composita, 
arcum  digitorum  fere  quatuor :  idem  oscillationibus  1 64  amisit  octavam 
motus  sui  partem,  sic  ut  ultimo  suo  ascensu  describeret  arcum  digiti 
unius  cum  tribus  partibus  quartis  digiti.  Si  primo  descensu  descripsit 
arcum  digitorum  quatuor;  amisit  octavam  motus  partem  oscilla- 
tionibus  121,  ita  ut  ascensu  ultimo  describeret  arcum  digitorum  3|. 
Si  primo  descensu  descripsit  arcum  digitorum  octo,  sexdecim,  triginta 
duorum  vel  sexaginta  quatuor;  amisit  octavam  motus  partem  oscilla- 
tionibus  69,  35I,  18I,  9!,  respective.  Igitur  differentia  inter  arcus 
descensu    primo  &  ascensu   ultimo   descriptos,  erat  in    casu  primo, 


^o8  J^^  MOTU  CORPORUM 


0 


secundo,  tertio,  quarto,  quinto,  sexto,  digitorum  t,  ^,  i,  2,  4,  8  respec- 

tive.     Dividantur  eae  differentiae  per  numerum  oscillationum  in  casu 

unoquoque,  &  in  oscillatione  una  mediocri,  qua  arcus  digitorum  3I, 

yh    15,   30,  60,    120  descriptus  fuit,  differentia  arcuum  descensu   & 

subsequente  ascensu  descriptorum,  erit  imr,  m,  A,  tt,  ^t,  14  partes 

digiti   respective.       Hae  autem    in   majoribus  oscillationibus  sunt  in 

duplicata  ratione  arcuum  descriptorum  quam  proxime,  in  minoribus 

vero  paulo  majores  quam  in  ea  ratione ;  &  propterea  (per  corol.    2 

prop.  XXXI  libri  hujus)  resistentia  globi,  ubi  celerius  movetur,  est  in 

duplicata  ratione  velocitatis  quam  proxime ;  ubi  tardius,  paulo  major 

quam  in  ea  ratione. 

Designet  jam  V  velocitatem  maximam  in  oscillatione  quavis,  sint- 

que  A,  B,  C  quantitates  datae,  &  fingamus  quod  differentia  arcuum 

3  2 

sit  AV  +  BV^  +  CV  .     Cum  velocitates  maximae  sint  in  cycloide  ut 

semisses  arcuum  oscillando  descriptorum,  in  circulo  vero  ut  semissium 

arcuum    illorum  chordae ;    ideoque  paribus  arcubus   majores  sint  in 

cycloide  quam  in  circulo,  in  ratione  semissium  arcuum  ad  eorundem 

chordas  ;  tempora  autem  in  circulo  sint  majora  quam  in  cycloide  in 

velocitatis    ratione    reciproca ;    patet  arcuum    differentias    (quae  sunt 

ut  resistentia  &  quadratum  temporis  conjunctim)  easdem  fore,  quam- 

proxime,  in  utraque  curva  :  deberent  enim  differentiae  illae  in  cycloide 

augeri,    una   cum    resistentia,   in  duplicata   circiter  ratione  arcus  ad 

chordam,  ob  velocitatem  in  ratione  illa  simplici  auctam ;    &  diminui, 

una  cum    quadrato   temporis,    in    eadem  duplicata   ratione.      Itaque 

ut   reductio  fiat  ad    cycloidem,  eaedem   sumendae  sunt   arcuum   dif- 

ferentiae  quae  fuerunt  in  circulo  observatae,  velocitates  vero  maximae 

ponendae  sunt  arcubus  vel  dimidiatis  vel   integris,  hoc  est,  numeris 

J,    I,    2,    4,    8,    16    analogae.       Scribamus    ergo    in    casu    secundo, 

quarto    &   sexto  numeros   i,   4   &    16   pro  V;    &   prodibit  arcuum 

differentia  -^  =  A  +  B-|-C  in  casu  secundo;  — =-  =  4  A  +  8  B-h  16  C 

o 

in  casu  quarto  ;   &  -^^^^  16  Ah- 64  B-f- 256  C  in  casu  sexto.      Et  ex 
9-3 

his  aequationibus,  per  debitam  collationem  &  reductionem  analyticam, 

fit   A=  0,0000916,  B  =  0,0010847,    &    C==  0,0029558.       Est    igitur 

differentia  arcuum  ut  0,0000916  V -1-0,0010847  V^-|- 0,0029558  V'^  : 


LIBER  SECUNDUS.  309 

&  propterea  cum  (per  corollarium  propositlonis  xxx   applicatum  ad 

hunc  casum)  reslstentia  globl  In  medio  arcus  oscillando  descripti,  ubi 

3 
velocltas  est  V,  sit  ad  ipslus  pondus  ut  tt  A  V+ i^  B  V'^  4-f  CV^ 

ad  longitudinem  pendull ;  si  pro  A,  B  &  C  scrlbantur  numerl  Inventl, 

fiet  resistentla  globi  ad  ejus  pondus^  ut  0,0000583^  +  0,0007593  V^ 
+  0,0022169  V^  ad  longitudinem  pendull  Inter  centrum  suspensionis 
&  regulam,  Id  est,  ad  121  dlgltos.  Unde  cum  V  in  casu  secundo 
deslgnet  i,  In  quarto  4,  In  sexto  16  :  erit  reslstentla  ad  pondus  globi 
in  casu  secundo  ut  0,0030345  ad  121,  In  quarto  ut  0,041748  ad  121, 
in  sexto  ut  0,61705  ad  121. 

Arcus  quem  punctum  in  filo  notatum  In  casu  sexto  descrlpslt,  erat 

o 

120 1  seu   119/17  digitorum.     Et  propterea  cum  radlus  esset  121 

_     9^ 
dlgitorum,  &  longltudo  pendull  inter  punctum  suspensionls  &  cen- 

trum  globl  esset  126  digitorum,  arcus  quem  centrum  globi  descrlp- 

sit   erat    124A   digltorum.       Quoniam    corporis   oscillantls   vek)citas 

maxlma,    ob   resistentiam    aerls,    non    Incidlt   in    punctum    infimum 

arcus  descripti,  sed  in  medio  fere  loco   arcus  totlus  versatur  :   hsec 

eadem  erit  circiter  ac  si    globus  descensu  suo   toto  in   medio  non 

resistente  describeret  arcus  Illius  partem  dimldiam  digitorum  62A, 

idque  In  cyclolde,  ad  quam  motum   penduli  supra  reduximus  :    & 

propterea  velocitas  illa  sequalls  erlt  velocltatl  quam  globus,  perpen- 

dlculariter  cadendo  &  casu  suo  describendo  altitudinem  arcus  IHius 

sinui  verso  sequalem,  acqulrere  posset.     Est  autem  slnus  ille  versus 

in  cycloide  ad  arcum   istum   62A   ut  arcus  idem  ad  penduH  longl- 

tudinem  duplam   252,  &  propterea  sequaHs  digitls    15,278.     Quare 

velocltas  ea  ipsa  est  quam  corpus  cadendo  &  casu  suo  spatium  15,278 

digitorum  descrlbendo  acquirere  posset.     Tali  Igitur  cum  velocltate 

globus  resistentiam  patltur,  qua^   slt  ad  ejus  pondus  ut  0,61705   ad 

121,  vel  (si  resistentlae  pars  illa  sola  spectetur  quae  est  in  velocitatis 

ratlone  duplicata)  ut  0,56752  ad  121. 

Experimento  autem  hydrostatico  inveni  quod  pondus  globl  hujus 

lignei  esset  ad  pondus  globi  aquei  magnltudinis  ejusdem  ut  55   ad 

97  :  &  propterea  cum   121   sit  ad   213,4  in   eadem  ratione,  erit  re- 

sistentia  globl  aquel  prsefata  cum  velocitate  progredlentls  ad  ipslus 

pondus  ut  0,56752  ad  213,4,  id  est,  ut  i  ad  376A.       Unde  cum  pon- 


3IO 


DE  MOTU  CORPORUM 


dus  globi  aquel,  quo  tempore  globus  cum  velocitate  uniformiter 
continuata  describat  longitudinem  digitorum  30,556,  velocitatem 
illam  omnem  in  globo  cadente  generare  posset  ;  manifestum  est 
quod  vis  reslstentiae  eodem  tempore  uniformiter  continuata  tollere 
posset  velocitatem  minorem  in  ratlone  i  ad  376-5V,  hoc  est,  velocitatls 

totlus    partem    — --^     Et  propterea   quo  tempore  globus,   ea  cum 

velocltate  uniformiter  continuata,  longltudinem  semldiametrl  suae, 
seu  digitorum  3iir,  describere  posset,  eodem  amltteret  motus  sui 
partem  ^st^. 

Numerabam  etiam  oscillationes  quibus  pendulum  quartam  motus 
sui  partem  amisit.  In  sequente  tabula  numeri  supremi  denotant 
longitudinem  arcus  descensu  prlmo  descrlpti,  in  dlgitis  &  partibus 
digiti  expressam  :  numeri  medli-  significant  longitudinem  arcus 
ascensu  ultimo  descripti ;  &  loco  infimo  stant  numeri  oscillatlonum. 
Experlmentum  descrlpsi  tanquam  magis  accuratum  quam  cum  motus 
pars  tantum  octava  amitteretur.     Calculum  tentet  qui  volet. 


Descenstis  primus 

2 

4 

8 

16 

32 

64 

Asceftstcs  ultinms 

il 

3 

6 

12 

24 

48 

Numerus  Oscillat. 

374 

272 

162^ 

83^ 

4i§ 

22§ 

Postea  globum  plumbeum  diametro  digitorum  2,  &  pondere  un- 
ciarum  Roina7iarimi  2 61  suspendi  filo  eodem,  sic  ut  inter  centrum 
globl  &  punctum  suspenslonis  intervallum  esset  pedum  loj,  & 
numerabam  osclllatlones  quibus  data  motus  pars  amitteretur.  Tabu- 
larum  subsequentium  prior  exhibet  numerum  oscillationum  quibus 
pars  octava  motus  totius  cessavit ;  secunda  numerum  osclllationum 
quibus  ejusdem  pars  quarta  amissa  fuit. 


Descensus  primus 

I 

2 

4 

8 

16 

32 

64 

Ascensus  ultimus 

H 

i 

3^ 

7 

14 

28 

56 

Nicmerus  Oscillat. 

226 

228 

193 

140 

90j 

53 

30 

Descensus  primus 

I 

2 

4 

8 

16 

32 

64 

Ascensus  ultimus 

3 

T 

\\ 

3 

6 

12 

24 

48 

Numerous  Oscillat. 

510 

518 

420 

318 

204 

121 

70 

In  tabula  priore  seligendo  ex  observationibus  tertiam,  quintam  & 


I 


L IBER  SEC  UND  US.  3  i  i 

septlmam,  &  exponendo  velocitates  maximas  in  his  observationibus 

particLilatim    per   niimeros    i,    4,    16    respective,    &   generaliter   per 

\_ 
quantitatem  V  ut  supra  :  emerpfet  In  observatione  tertia  -^  =  A  +  B 

193 
2  8 

+  C,  in   quinta   — r==  4  A  +  8  B  +  16  C,  in  septima — =16^4-64^ 
90^  30 

4-256  C.  Hae  vero  aequationes  reductae  dant  A  ==  0,001414,  B 
=0,000297,  C  =  0,0008 79.  Et  inde  prodit  resistentla  globl  cum 
velocltate  V  moti  in  ea  ratlone  ad  pondus  suum  unciarum  26^, 
quam  habet  0,0009  V  -f  0,000208  V^  4-  0,000659  V^  ad  penduli 
longitudlnem  121  digitorum.  Et  si  spectemus  eam  solummodo 
resistentiae  partem  quae  est  in  dupHcata  ratlone  velocitatis,  h^ec  erit 
ad  pondus  globi  ut  0,000659  V^  ad  121  digitos.  Erat  autem  haec 
pars  resistentiae  in  experimento  primo  ad  pondus  globi  Hgnel  uncla- 
rurri  572^  ut  0,002217  V"  ad  121  :  &  inde  fit  resistentia  globl  Hgnel 
ad  reslstentlam  globi  phmibei  (parlbus  eorum  velocitatlbus)  ut  57/2 
in  0,002217  ad  26I  In  0,000659,  Id  est,  ut  7J  ad  i.  Diametri 
globorum  duorum  erant  61  &  2  digitorum,  &  harum  quadrata  sunt  ad 
Invlcem  ut  47t  &  4,  seu  iitJ  &  i  quamproxlme.  Ergo  resistentiae 
globorum  aequivelocium  erant  in  minore  ratione  quam  dupHcata 
diametrorum.  At  nondum  conslderavimus  resistentlam  fiH,  quae 
certe  permagna  erat,  ac  de  pendulorum  inventa  reslstentla  subduci 
debet.  Hanc  accurate  definire  non  potui,  sed  .majorem  tamen  in- 
veni  quam  partem  tertiam  resistentlae  totlus  mlnoris  penduH ;  & 
Inde  dldici  quod  resistentiae  globorum,  dempta  fiH  reslstentia,  sunt 
quam  proxime  In  dupHcata  ratione  dlametrorum.  Nam  ratio  7J — \ 
ad  I— ^,  seu  \o\  ad  i  non  longe  abest  a  diametrorum  ratlone  dupH- 
cata  1 1  xi  ad  i . 

Cum  resistentia  fiH  in  globis  majoribus  minoris  sit  momentl,  tentavi 
etlam  experlmentum  In  globo  cujus  diameter  erat  i8f  digltorum. 
Longitudo  penduH  inter  punctum  suspenslonis  &  centrum  oscIHa- 
tlonls  erat  dlgitorum  122J,  inter  punctum  suspensionls  &  nodum 
in  filo  109^  dig.  Arcus  primo  penduH  descensu  a  nodo  descriptus 
32  dig.  Arcus  ascensu  ultimo  post  osciHationes  qulnque  ab  eodem 
nodo  descriptus  28  dig.  Summa  arcuum  seu  arcus  totus  oscinatlone 
mediocri  descriptus  60  dlg.  Differentla  arcuum  4  dlg.  Ejus  pars 
decima  seu  dlfferentia  intcr  descensum  &  ascensum  In   oscinatione 


312  DE  MOTU  CORPOR  UM 

mediocri  I  dig.  Ut  radius  109J  ad  radium  1221  ita  arcus  totus  60 
dig.  oscillatione  mediocri  a  nodo  descriptus  ad  arcum  totum  67-j  dig. 
oscillatione  mediocri  a  centro  globi  descriptum  ;  &  ita  differentia  § 
ad  differentiam  novam  0,4475.  Si  longitudo  penduli,  manente 
longitudine  arcus  descripti,  augeretur  in  ratione  126  ad  122J;  tempus 
oscillationis  augeretur  &  velocitas  penduli  diminueretur  in  ratione 
illa  subduplicata,  maneret  vero  arcuum  descensu  &  subsequente 
ascensu  descriptorum  differentia  0,4475.  Deinde  si  arcus  descriptus 
augeretur  in  ratione  124^3.  ad  671,  differentia  ista  0,4475  augeretur 
in  duplicata  illa  ratione,  ideoque  evaderet  1,5295.  Haec  ita  se 
haberent,  ex  hypothesi  quod  resistentia  penduli  esset  in  dupHcata 
ratione  velocitatis.  Ergo  si  pendulum  describeret  arcum  totum 
124/1  digitorum,  &  longitudo  ejus  inter  punctum  suspensionis  & 
centrum  oscillationis  esset  126  digitorum,  differentia  arcuum  descensu 
&  subsequente  ascensu  descriptorum  foret  1,5295  digitorum.  Et 
haec  differentia  ducta  in  pondus  globi  penduH,  quod  erat  unciarum 
208,  producit  318,136.  Rursus  ubi  pendulum  superius  ex  globo 
Hgneo  constructum  centro  osciHationis,  quod  a  puncto  suspensionis 
digitos    126    distabat,    describebat    arcum    totum    124^3^    digitorum, 

differentia  arcuum   descensu   &  ascensu  descriptum  fuit  in  — , 

\  121        91 

quae   ducta    in    pondus    globi,    quod    erat   unciarum    57^^^    producit 

49,396.      Duxi    autem    differentias   hasce   in    pondera  globorum,   ut 

invenirem  eorum   resistentias.      Nam   differentise  oriuntur  ex  resis- 

tentiis,   suntque   ut   resistentise    directe    &   pondera    inverse.      Sunt 

igitur  resistentiae  ut  numeri  318,136  &  49,396.     Pars  autem  resisten- 

tiae  globi  minoris,  quae  est  in  dupHcata  ratione  velocitatis,   erat  ad 

resistentiam    totam    ut   0,56752    ad    0,61675,   id    est,   ut   45,453    ad 

49»39^  I  ^  P^^s  resistentiae  globi  majoris  propemodum  aequatur  ipsius 

resistentiae    toti ;    ideoque    partes    iHae    sunt    ut    318,136    &    45,453 

quamproxime,  id  est,  ut  7  &   i.     Sunt  autem  globorum  diametri  i8t 

&  61 ;  &  harum  quadrata  35 1^^  &  4711.  sunt  ut  7,438  &  i,  id  est,  ut 

globorum    resistentiae    7  &    i    quamproxime.       Differentia   rationum 

haud   major  est,   quam   quae   ex  fiH   resistentia  oriri  potuit.       Igitur 

resistentiarum    partes    iHai    quae    sunt,    paribus   globis,    ut    quadrata 

velocitatum  ;    sunt  etiam,   paribus  velocitatibus,  ut  quadrata  diame- 

trorum  globorum. 


LIBER  SECUNDUS.,  313 

Csetenim  globorum,  quibus  usus  sum  In  his  experlmentis,  maximus 
non  erat  perfecte  sphaerlcus,  &  propterea  in  calculo  hic  allato  minutias 
quasdam  brevitatis  gratia  neglexi  ;  de  calculo  accurato  in  experimento 
non  satis  accurato  minime  solHcItus.  Optarim  itaque,  cum  demon- 
stratio  vacui  ex  his  dependeat,  ut  experlmenta  cum  globis  &  pluribus 
&  majoribus  &  magis  accuratis  tentarentur.  Si  globi  sumantur  in 
proportione  geometrica,  puta  quorum  dlametri  sint  digitorum  4,  8,  16, 
32  ;  ex  progressione  experimentorum  colHgetur  quid  in  globls  adhuc 
majoribus  evenire  debeat. 

Jam  vero  conferendo  resistentias  dlversorum  fluidorum  inter  se 
tentavi  sequentla.  Arcam  Hgneam  paravi  longitudine  pedum  quatuor, 
latitudine  &  altitudine  pedis  unius.  Hanc  operculo  nudatam  implevi 
aqua  fontana,  feclque  ut  immersa  pendula  in  medio  aquae  oscillando 
moverentur.  Globus  autem  plumbeus  pondere  i66i  unciarum,  dia- 
metro  3|  digltorum  movebatur  ut  In  tabula  sequente  descrlpsimus, 
exlstente  videHcet  longitudine  penduH  a  puncto  supensionis  ad  punc- 
tum  quoddam  in  filo  notatum  126  digitorum,  ad  osciUationis  autem 
centrum  1 34»  digitorum. 


Arcus  dcscensti  prinio  a  pnncto  in  ^ 
filo  notato  descriptus,  digiti 


'toruni  j 
riptus,  \ 


64     32     16         842         I         i        i 


Arcus  ascensu  ultimo  descriptus,  lo^.x^         ^       ^tI        3       3        3 

...  ^  >     40         24         12  O  3  If  4  8  IF 

digitormn  j 

Arcuum  differentia  motui  amisso\   j^       g       a         2     '  \       \        \       JtV 

proportionalis,  digitorum  ) 

Ntimerus  Oscillationum  in  aqua  IJ      It     3      7      Ut  1%    ^S^ 

Numerus  Oscillationem  in  aere  85J  2%^]      535 

In  experimento  columnse  quartse,  motus  aequales  oscinationibus 
535  In  aere,  &  i^  In  aqua  amissi  sunt.  Erant  quldem  osciHatlones 
in  aere  paulo  celeriores  quam  In  aqua.  At  si  oscillationes  in  aqua 
in  ea  ratione  accelerarentur  ut  motus  pendulorum  in  medio  utroque 
fierent  sequlveloces,  maneret  numerus  idem  oscIHationum  \\  in  aqua, 
qulbus  motus  idem  ac  prius  amitteretur  ;  ob  resistentiam  auctam  & 
simul  quadratum  temporis  diminutum  in  eadem  ratione  ifla  dupHcata. 
Paribus  igitur  pendulorum  velocitatibus  motus  sequales  in  aere 
oscinatlonibus  535  &  in  aqua  oscinationibus  \\  amissi  sunt;  ideoque 
reslstentia  penduH  in  aqua  est  ad  ejus  resistentlam  in  aere  ut  535 


314  DJl  MO  TU  CORPOR  UM 

ad  il.     Haec  est  proportlo  resistentiariim   totarum  In  casii  columnee 
quartae. 

Designet  jam  A  V  +  C  V*-  dififerentlam  arcuum  In  descensu  & 
subsequente  ascensu  descriptorum  a  globo  in  aere  cum  velocitate 
maxima  V  moto  ;  &  cum  velocltas  maxima  in  casu  column^  quartae 
sit  ad  velocltatem  maxlmam  In  casu  columna^  prlmce,  ut  i  ad  8  ; 
&  dlfferentia  Illa  arcuum  In  casu  columnae  quartae  ad  dlfferentiam  In 

casu  columnae  prlmj^  ut  ad  — ,  seu  ut  85^  ad  4280;  scrlbamus 

in  his  casibus  i  &  8  pro  velocltatlbus,  atque  85!  &  4280  pro  differ- 
entlis  arcuum,  &  fiet  A  +  €  =  85^  &  8  A  +  64  €  =  4280  seu  A-l-8  C 
=  535  ;  indeque  per  reductionem  aequationum  proveniet  7  ^  =  449^ 
&  C  =  64tt  &  A  =  2It  :  atque  ideo  resistentia,  cum  sit  ut  tt  A  V-f 
f  C  V,  erit  ut  13A  V-f  48A  V.  Quare  in  casu  column^  quart^, 
ubi  velocltas  erat  i,  resistentia  tota  est  ad  partem  suam  quadrato 
velocitatis  proportlonalem,  ut  13^1  +  48^  seu  6iif  ad  48 A  ;  &  idcirco 
resistentia  pendull  in  aqua  est  ad  resistentlae  partem  illam  in  aere, 
quae  quadrato  velocitatis  proportionalis  est,  quaeque  sola  in  motibus 
velociorlbus  conslderanda  venit,  ut  ^iyf  ad  48 A  &  535  ad  1]  con- 
junctlm,  id  est,  ut  571  ad  i.  Si  penduli  in  aqua  osclllantis  filum 
totum  fuisset  immersum,  resistentia  ejus  fuisset  adhuc  major ;  adeo 
ut  penduli  in  aqua  oscillantis  reslstentia  illa,  quae  velocitatls  quadrato 
proportlonalls  est,  qu^que  sola  In  corporibus  velociorlbus  consideranda 
venit,  sit  ad  resistentiam  ejusdem  penduli  totius,  eadem  cum  veloci- 
tate  in  aere  osclllantis,  ut  850  ad  i  circiter,  hoc  est,  ut  densitas  aqu^ 
ad  densitatem  aerls  quamproxime. 

In  hoc  calculo  sumi  quoque  deberet  pars  illa  resistentiae  penduli 
in  aqua,  quae  esset  ut  quadratum  velocitatls,  sed  (quod  mirum  forte 
vldeatur)  resistentla  in  aqua  augebatur  in  ratione  velocltatls  pkis- 
quam  dupllcata.  Ejus  rei  causam  investlgando,  in  hanc  incidl,  quod 
arca  nimis  angusta  esset  pro  magnltudine  globi  penduH,  &  motum 
aquae  cedentis  prae  angustla  sua  nimis  impediebat.  Nam  si  globus 
pendulus,  cujus  dlameter  erat  dlgltl  unius,  immergeretur ;  resistentia 
augebatur  in  duplicata  ratione  velocitatls  quam  proxime.  Id  tenta- 
bam  construendo  pendukim  ex  globis  duobus,  quorum  inferior  & 
minor  oscillaretur  in  aqua,  superior  &  major  proxime  supra  aquam 
filo   afiixus  esset,   &   in   aerc  osclllando,   adjuvaret   motum  pendull 


i6 

8 

4 

2   ■ 

12 

6 

0 

ih 

4 

2 

I 

i 

3^ 

6i 

I2t^ 

2li 

I 

h 

1 

3 
4 

3 

F 

A 

1 
T 

4 

T5 

LIBER  SECUNDUS.  315 

cumque  diuturniorem   redderet.      Experimenta  autem  hoc  modo  in- 
stituta  se  habebant  ut  in  tabula  sequente  describitur. 

Arcus  desceitsu  primo  descriptus 

Arcus  ascensu  ulti^no  descriptus 

Arctmm  diff.  motui  amisso propoj^t. 

Numerus  Oscillationum  3I     6J     I2t^  21J    34     53     62 J 

Conferendo  resistentias  mediorum  inter  se,  effeci  etiam  ut  pendula 
ferrea  oscillarentur  in  argento  vivo.  Longitudo  fiH  ferrei  erat  pedum 
quasi  trium,  &  diameter  globi  penduli  quasi  tertia  pars  digiti.  Ad 
filum  autem  proxime  supra  mercurium  affixus  erat  globus  ahus 
plumbeus  satis  magnus  ad  motum  penduH  diutius  continuandum. 
Tum  vasculum,  quod  capiebat  quasi  Hbras  tres  argenti  vivi,  implebam 
vicibus  alternis  argento  vivo  &  aqua  communi,  ut  pendulo  in  fluido 
utroque  successive  osciHante,  invenirem  proportionem  resistentiarum  : 
&  prodiit  resistentia  argenti  vivi  ad  resistentiam  aquae  ut  13  vel  14 
ad  I  circiter :  id  est,  ut  densitas  argenti  vivi  ad  densitatem  aquse. 
Ubi  globum  pendulum  paulo  majorem  adhibebam,  puta  cujus 
diameter  esset  quasi  \  vel  f  partes  digiti,  prodibat  resistentia  argenti 
vivi  in  ea  ratione  ad  resistentiam  aquae,  quam  habet  numerus  12 
vel  10  ad  I  circiter.  Sed  experimento  priori  magis  fidendum  est, 
propterea  quod  in  his  ultimis  vas  nimis  angustum  fuit  pro  magni- 
tudine  globi  immersi.  AmpHato  globo,  deberet  etiam  vas  ampHari. 
Constitueram  quidem  hujusmodi  experimenta  in  vasis  majoribus  & 
in  Hquoribus  tum  metaHorum  fusorum,  tum  aHis  quibusdam  tam 
caHdis  quam  frigidis  repetere  :  sed  omnia  experiri  non  vacat,  &  ex 
jam  descriptis  satis  Hquet  resistentiam  corporum  celeriter  motorum 
densitati  fluidorum  in  quibus  moventur  proportionalem  esse  quam 
proxime.  Non  dico  accurate.  Nam  fluida  tenaciora,  pari  densitate, 
proculdubio  magis  resistunt  quam  Hquidiora,  ut  oleum  frigidum  quam 
caHdum,  caHdum  quam  aqua  pluviaHs,  aqua  quam  spiritus  vini. 
Verum  in  Hquoribus,  qui  ad  sensum  satis  fluidi  sunt,  ut  in  aere,  in 
aqua  seu  dulci  seu  salsa,  in  spiritibus  vini,  terebinthi  &  saHum, 
in  oleo  a  faecibus  per  destiHationem  Hberato  &  calefacto,  oleoque 
vitrioH  &  mercurio,  ac  metaHis  Hquefactis,  &  siqui  sint  aHi,  qui 
tam  fluidi  sunt  ut  in  vasis  agitati  motum  impressum  diutius  con- 
servent,  effusique  Hberrime  in  guttas  decurrendo  resolvantur,  nuHus 


3 1 6  J^E  MOTU  CORPOR  UM 

dubito  quin  regula  allata  satis  accurate  obtineat :  praesertim  si 
experimenta  in  corporibus  pendulis  &  majoribus  &  velocius  motis 
instituantur. 

Denique  cum  nonnullorum  opinio  sit,  medium  quoddam  aethereum 
&  longe  subtilissimum  extare,  quod  omnes  omnium  corporum  poros 
&  meatus  liberrime  permeet ;  a  tali  autem  medio  per  corporum  poros 
fluente  resistentia  oriri  debeat :  ut  tentarem  an  resistentia,  quam  in 
motis  corporibus  experimur,  tota  sit  in  eorum  externa  superficie,  an 
vero  partes  etiam  internae  in  superficiebus  propriis  resistentiam  nota- 
bilem  sentiant,  excogitavi  experimentum  tale.  Filo  pedum  undecim 
longitudinis  ab  unco  chalybeo  satis  firmo,  mediante  annulo  chalybeo, 
suspendebam  pyxidem  abiegnam  rotundam,  ad  constituendum  pendu- 
lum  longitudinis  praedictae.  Uncus  sursum  praeacutus  erat  acie  con- 
cava,  ut  annulus  arcu  suo  superiore  aciei  innixus  liberrime  moveretur. 
Arcui  autem  inferiori  annectebatur  filum.  Pendulum  ita  constitutum 
deducebam  a  perpendiculo  ad  distantiam  quasi  pedum  sex,  idque 
secundum  planum  aciei  unci  perpendiculare,  ne  annulus,  oscillante 
pendulo,  supra  aciem  unci  ultro  citroque  laberetur.  Nam  punctum 
suspensionis,  in  quo  annulus  uncum  tangit,  immotum  manere  debet. 
Locum  igitur  accurate  notabam,  ad  quem  deduxeram  pendulum, 
dein  pendulo  demisso  notabam  alia  tria  loca  ad  quae  redibat  in  fine 
oscillationis  primae,  secundae  ac  tertiae.  Hoc  repetebam  saepius, 
ut  loca  illa  quam  potui  accuratissime  invenirem.  Tum  pyxidem 
plumbo  &  gravioribus,  quae  ad  manus  erant,  metallis  implebam. 
Sed  prius  ponderabam  pyxidem  vacuam,  una  cum  parte  fili  quae 
circum  pyxidem  volvebatur  ac  dimidio  partis  reliquae  quae  inter 
uncum  &  pyxidem  pendulam  tendebatur.  Nam  filum  tensum  dimidio 
ponderis  sui  pendulum  a  perpendiculo  digressum  semper  urget. 
Huic  ponderi  addebam  pondus  aeris  quem  pyxis  capiebat.  Et 
pondus  totum  erat  quasi  pars  septuagesima  octava  pyxidis  metallorum 
plenae.  Tum  quoniam  pyxis  metallorum  plena,  pondere  suo  ten- 
dendo  filum,  augebat  longitudinem  penduli,  contrahebam  filum  ut 
penduli  jam  oscillantis  eadem  esset  longitudo  ac  prius.  Dein  pen- 
dulo  ad  locum  primo  notatum  retracto  ac  dimisso,  numerabam 
oscillationes  quasi  septuaginta  &  septem,  donec  pyxis  ad  locum 
secundo    notatum    rediret,    totidemque     subinde    donec     pyxis    ad 


LTBER   SECUNDUS. 


Z^l 


locum  tertio  notatum  rediret,  atque  rursus  totidem  donec  pyxis  reditu 
suo  attingeret  locum  quartum.  Unde  concludo  quod"  resistentia  tota 
pyxidis  plense  non  majorem  habebat  proportionem  ad  resistentiam 
pyxidis  vacuae  quam  78  ad  ']'].  Nam  si  sequales  essent  ambarum 
resistentiae,  pyxis  plena,  ob  vim  suam  insitam  septuagies  &  octies 
majorem  vi  insita  pyxidis  vacuae,  motum  suum  oscillatorium  tanto 
diutius  conservare  deberet,  atque  ideo  completis  semper  oscillationi- 
bus  78  ad  loca  illa  notata  redire.  Rediit  autem  ad  eadem  completis 
oscillationibus  ]]. 

Designet  igitur  A  resistentiam  pyxidis  in  ipsius  superficie  externa, 
&  B  resistentiam  pyxidis  vacuae  in  partibus  internis  ;  &  si  resistentiae 
corporum  aequivelocium  in  partibus  internis  sint  ut  materia,  seu 
numerus  particularum  quibus  resistitur  :  erit  78  B  resistentia  pyxidis 
plenae  in  ipsius  partibus  internis  :  ideoque  pyxidis  vacuae  resistentia 
tota  A+B  erit  ad  pyxidis  plenae  resistentiam  totam  A  +  78  B  ut  77 
ad  78,  &  divisim  A-|-  B  ad  ]]  B,  ut  ]]  ad  i,  indeque  A  +  B  ad  B  ut 
77  X  77  ad  I,  &  divisim  A  ad  B  ut  5928  ad  i.  Est  igitur  resistentia 
pyxidis  vacuae  in  partibus  internis  quinquies  millies  minor  quam 
ejusdem  resistentia  in  externa  superficie,  &  amplius.  Sic  vero  dis- 
putamus  ex  hypothesi  quod  major  illa  resistentia  pyxidis  plenae,  non 
ab  alia  aHqua  causa  latente  oriatur,  sed  ab  actione  sola  fluidi  alicujus 
subtilis  in  metallum  inclusum. 

Hoc  experimentum  recitavi  memoriter.  Narn  charta,  in  qua  illud 
aliquando  descripseram,  intercidit.  Unde  fractas  quasdam  numerorum 
partes,  quae  memoria  exciderunt,  omittere  compulsus  sum. 

Nam  omnia  denuo  tentare  non  vacat.  Prima  vice,  cum  unco 
infirmo  usus  essem,  pyxis  plena  citius  retardabatur.  Causam  quae- 
rendo,  reperi  quod  uncus  infirmus  cedebat  ponderi  pyxidis,  &  ejus 
oscillationibus  obsequendo  in  partes  omnes  flectebatur.  Parabam 
igitur  uncum  firmum,  ut  punctum  suspensionis  immotum  maneret,  & 
tunc  omnia  ita  evenerunt  uti  supra  descripsimus. 


3  i :  j  DE  MO  TU  CO  R  Pi  VU/V 

SECTIO    VII. 

'     De  motufluidoriim  &  rcsisteritia  projcctilmrii. 

PROPOSITIO    XXXII.      THEOREMA    XXVI. 

Si  corporum  systemata  duo  similia  ex  cequali  particularum  7tumero 
constenty  &  particulcB  correspondc7ites  similes  sint  &  proportionales, 
singulcB  in  mio  systeinate  singulis  i7i  altero,  &  simititer  sitcs  inter 
sCy  ac  datam  hadeant  rationem  densitatis  ad  invicenZy  &  inter  se 
temporibus  proportionalibus  similiter  moveri  incipiant  (ece  inter  se 
qucB  in  uno  sunt  systemate  &  ece  inter  se  qucc  sunt  in  altero)  &  si 
non  tangant  se  mutuo  quce  i7i  eodem  sunt  systemate,  nisi  in  momentis 
reflexionum,  neque  attrahanty  vel  fugent  se  mutuo,  nisi  viribus 
acceleratricibus  qtccs  sint  tit  particularum  correspondentium  diametri 
iftverse  &  quadrata  velocitatum  directe :  dico  quod  systeinatum 
particulce  illce  pergent  inter  se  temporibus  proportionalibus  similiter 
moveri. 

Corpora  similia  &  similiter  sita  temporibus  proportionalibus  inter 
se  similiter  moveri  dico,  quorum  situs  ad  invicem  in  fine  temporum 
illorum  semper  sunt  similes  :  puta  si  particulae  unius  systematis  cum 
alterius  particulis  correspondentibus  conferantur.  Unde  tempora 
erunt  proportionalia,  in  quibus  similes  &  proportionales  figurarum 
similium  partes  a  particulis  correspondentibus  describuntur.  Igitur 
si  duo  sint  ejusmodi  systemata,  particulse  correspondentes,  ob  simi- 
Htudinem  incceptorum  motuum,  pergent  similiter  moveri,  usque 
donec  sibi  mutuo  occurrant.  Nam  si  nullis  agitantur  viribus,  pro- 
gredientur  uniformiter  in  lineis  rectis  per  motus  leg.  i.  Si  viribus 
aliquibus  se  mutuo  agitant,  &  vires  illae  sint  ut  particularum  correspon- 
dentium  diametri  inverse  &  quadrata  velocitatum  directe  ;  quoniam 
particularum  situs  sunt  similes  &  vires  proportionales,  vires  totae 
quibus     particulse    correspondentes    agitantur,    ex    viribus    singulis 


LIBER  SECUNDUS.  ^t^ 

agitantibiis  (per  legum  corollarium  secundum)  compositae,  similes 
habebunt  determinationes,  perinde  ac  si  centra  inter  particulas  similiter 
sita  respicerent ;  &  erunt  vires  illae  totae  ad  invicem  ut  vires  singulse 
componentes,  hoc  est,  ut  correspondentium  particularum  diametri 
inverse,  &  quadrata  velocitatum  directe  :  &  propterea  efficient  ut 
correspondentes  particulae  figuras  similes  describere  pergant.  Haec 
ita  se  habebunt  (per  corol.  i  &  8  prop.  iv  lib.  i)  si  modo  centra 
illa  quiescant.  Sin  moveantur,  quoniam  ob  translationum  similitu- 
dinem,  similes  manent  eorum  situs  inter  systematum  particulas ; 
similes  inducentur  mutationes  in  figuris  quas  particulae  describunt. 
Similes  igitur  erunt  correspondentium  &  similium  particularum  motus 
usque  ad  occursus  suos  primos,  &  propterea  similes  occursus,  & 
similes  reflexiones,  &  subinde  (per  jam  ostensa)  similes  motus  inter 
se  donec  iterum  in  se  mutuo  inciderint,  &  sic  deinceps  in  infinitum. 
Q.E,D. 

Corol.  I.  Hinc  si  corpora  duo  quaevis,  quae  similia  sint  &  ad 
systematum  particulas  correspondentes  simiHter  sita,  inter  ipsas  tem- 
poribus  proportionaHbus  similiter  moveri  incipiant,  sintque  eorum 
magnitudines  ac  densitates  ad  invicem  ut  magnitudines  ac  densitates 
correspondentium  particularum  :  haec  pergent  temporibus  propor- 
tionalibus  simiHter  moveri.  Est  enim  eadem  ratio  partium  majorum 
systematis  utriusque  atque  particularum. 

Corol.  2.  Et  si  similes  &  simiHter  positae  systematum  partes  omnes 
quiescant  inter  se :  &  earum  duae,  quae  caeteris  majores  sint,  &  sibi 
mutuo  in  utroque  systemate  correspondeant,  secundum  Hneas  simiHter 
sitas  simiH  cum  motu  utcunque  moveri  incipiant  :  hae  similes  in  reH- 
quis  systematum  partibus  excitabunt  motus,  &  pergent  inter  ipsas 
temporibus  proportionaHbus  simiHter  moveri  ;  atque  ideo  spatia 
diametris  suis  proportionaHa  describere. 

PROPOSITIO    XXXIII.      THEOREMA    XXVII. 

lisdem  positis,  dico  quod  systematum  partes  majores  resistuntur 
in  ratione  composita  ex  duplicata  i^atione  velocitatum  suarum  & 
duplicata  ratione  diametrorum  &  ratione  densitatis  partium  syste- 
matum. 

Nam   resistentia  oritur  partim   ex  viribus  centripetis  vel   centri- 


3  2  O  2^E  MO  TU  CORPOR  UM 


fugis  quibus  particulae  systematum  se  mutuo  agitant,  partim  ex  occur- 
sibus  &  reflexionibus  particularum  &  partium  majorum.  Prioris 
autem  generis  resistentise  sunt  ad  invicem  ut  vires  totae  motrices  a 
quibus  oriuntur,  id  est,  ut  vires  totae  acceleratrices  &  quantitates 
materiae  in  partibus  correspondentibus  ;  hoc  est  (per  hypothesin)  ut 
quadrata  velocitatum  directe  &  distantiae  particularum  correspon- 
dentium  inverse  &  quantitates  materiae  in  partibus  correspondentibus 
directe  :  ideoque  cum  distantiae  particularum  systematis  unius  sint 
ad  distantias  correspondentes  particularum  alterius,  ut  diameter  par- 
ticulae  vel  partis  in  systemate  priore  ad  diametrum  particul^  vel 
partis  correspondentis  in  altero,  &  quantitates  materiae  sint  ut  den- 
sitates  partium  &  cubi  diametrorum  ;  resistentiae  sunt  ad  invicem  ut 
quadrata  velocitatum  &  quadrata  diametrorum  &  densitates  partium 
systematum.  Q,  E,  D,  Posterioris  generis  resistentiae  sunt  ut  re- 
flexionum  correspondentium  numeri  &  vires  conjunctim.  Numeri 
autem  reflexionum  sunt  ad  invicem  ut  velocitates  partium  corre- 
spondentium  directe,  &  spatia  inter  earum  reflexiones  inverse.  Et 
vires  reflexionum  sunt  ut  velocitates  &  magnitudines  &  densitates 
partium  correspondentium  conjunctim  ;  id  est,  ut  velocitates  &  dia- 
metrorum  cubi  &  densitates  partium.  Et  conjunctis  his  omnibus 
rationibus,  resistentiae  partium  correspondentium  sunt  ad  invicem  ut 
quadrata  velocitatum  &  quadrata  diametronim  &  densitates  partium 
conjunctim.     Q,  E,  D. 

Corol,  I.  Igitur  si  systemata  illa  sint  fluida  duo  elastica  ad  modum 
aeris,  &  partes  eorum  quiescant  inter  se  :  corpora  autem  duo  similia 
&  partibus  fluidorum  quoad  magnitudinem  &  densitatem  propor- 
tionalia,  &  inter  partes  illas  similiter  posita,  secundum  lineas  similiter 
positas  utcunque  projiciantur ;  vires  autem  acceleratrices,  quibus  par- 
ticulae  fluidorum  se  mutuo  agitant,  sint  ut  corporum  projectorum 
diametri  inverse,  &  quadrata  velocitatum  directe  :  corpora  illa  tem- 
poribus  proportionalibus  similes  excitabunt  motus  in  fluidis,  &  spatia 
similia  ac  diametris  suis  proportionalia  describent. 

Corol,  2.  Proinde  in  eodem  fluido  projectile  velox  resistentiam 
patitur,  quae  est  in  duplicata  ratione  velocitatis  quam  proxime.  Nam 
si  vires,  quibus  particulae  distantes  se  mutuo  agitant,  augerentur  in 
duplicata  ratione  velocitatis,  resistentia  foret  in  eadem  ratione  dupli- 
cata  accurate  ;    ideoque  in  medio,   cujus  partes   ab  invicem  distan- 


t 


LIBER  SECUNDUS.  321 

tes  sese  vlrlbus  nullis  agltant,  reslstentla  est  In  dupllcata  ratlone 
velocltatls  accurate.  Sunto  Igltur  medla  tria  A,  B,  C,  ex  partlbus 
slmlllbus  &  sequallbus  &  secundum  dlstantlas  sequales  regularlter 
dlsposltls  constantla.  Partes  mediorum  A  81  B  fuglant  se  mutuo 
vlrlbus  quae  sint  ad  invicem  ut  7"  &  V,  illae  medii  C  ejusmodi  virlbus 
omnlno  destltuantur.  Et  si  corpora  quatuor  sequalla  D,  E,  F,  G 
in  hls  medlis  moveantur,  prlora  duo  D  Ba  E  m.  prlorlbus  duobus 
A  81  B,  Sl  altera  duo  E  8l  G  \n  tertlo  C ;  sitque  velocltas  corporls 
D  ad  velocitatem  corporls  E,  &  velocltas  corporls  E  ad  velocltatem 
corporls  G  in  subduplicata  ratione  virium  T  ad  vlres  V :  resistentia 
corporis  D  erit  ad  resistentiam  corporls  E,  &  resistentia  corporls 
E  ad  reslstentiam  corporls  G,  in  velocitatum  ratlone  dupllcata ;  & 
propterea  resistentia  corporis  D  erit  ad  reslstentlam  corporls  E  ut 
reslstentia  corporis  E  ad  resistentlam  corporis  G.  Sunto  corpora 
D  Sz  E  eequlvelocla  ut  &  corpora  E  8c  G ;  &  augendo  velocitates 
corporum  D  8l  E  m  ratione  quacunque,  ac  diminuendo  vires  par- 
ticularum  medli  B  in  eadem  ratlone  dupllcata,  accedet  medlum  B 
ad  formam  &  conditlonem  medli  C  pro  llbitu,  &  Idcirco  resistentlse 
corporum  aequalium  &  sequivelocium  E  8l  G  \n  his  mediis,  perpetuo 
accedent  ad  sequalltatem,  ita  ut  earum  differentia  evadat  tandem 
mlnor  quam  data  qusevis.  Proinde  cum  reslstentlse  corporum  D  & 
E  sint  ad  invicem  ut  reslstentise  corporum  E  81  G,  accedent  etlam 
hse  simillter  ad  rationem  sequalltatls.  Corporum  igitur  D  8i  E, 
ubi  veloclsslme  moventur,  resistentise  sunt  sequales  quam  proxime  : 
&  propterea  cum  resistentla  corporis  E  slt  in  dupllcata  ratlone 
velocltatls,  erit  resistentia  corporls  D  in  eadem  ratione  quam  prox- 
ime. 

Coro/.  3.  Corporis  in  fluido  quovis  elastlco  velocissime  moti  eadem 
fere  est  resistentia  ac  si  partes  fluldi  virlbus  suis  centrlfugis  destltue- 
rentur,  seque  mutuo  non  fugerent :  si  modo  fluldl  vis  elastica  ex 
partlcularum  vlrlbus  centrlfugls  oriatur,  &  velocltas  adeo  magna  sit  ut 
vires  non  habeant  satis  temporis  ad  agendum. 

Corol.  4.  Proinde  cum  reslstentise  slmllium  &  ^qulveloclum  cor- 
porum,  in  medlo  cujus  partes  distantes  se  mutuo  non  fugiunt,  sint  ut 
quadrata  dlametrorum ;  sunt  etlam  sequlveloclum  &  celerrlme  motorum 
corporum  resistentise  in  fluido  elastico  ut  quadrata  diametrorum  quam 
proxime. 

X 


32  2  J^I^  MOTV  COEPORUM 

Corol.  5.  Et  cum  corpora  similia,  sequalia  &  sequivelocia,  in  me- 
diis  ejusdem  densitatis,  quorum  particulse  se  mutuo  non  fugiunt,  sive 
particulce  illae  sint  plures  &  minores,  sive  pauciores  &  majores,  in 
eequalem  materiae  quantitatem  temporibus  cequalibus  impingant,  eique 
sequalem  motus  quantitatem  imprimant,  &  vicissim  (per  motus 
legem  tertiam)  sequalem  ab  eadem  reactionem  patiantur,  hoc  est, 
sequaliter  resistantur  :  manifestum  est  etiam  quod  in  ejusdem  densi- 
tatis  fluidis  elasticis,  ubi  velocissime  moventur,  aequales  sint  eorum 
resistentiae  quam  proxime ;  sive  fluida  illa  ex  particulis  crassioribus 
constent,  sive  ex  omnium  subtilissimis  constituantur.  Ex  medii  sub- 
tilitate  resistentia  projectilium  celerrime  motorum  non  multum  dimi- 
nuitur. 

Corol.  6.  Haec  omnia  ita  se  habent  in  fluidis,  quorum  vis  elastica 
ex  particularum  viribus  centrifugis  originem  ducit.  Quod  si  vis  illa 
aliunde  oriatur,  veluti  ex  particularum  expansione  ad  instar  lanae  vel 
ramorum  arborum,  aut  ex  alia  quavis  causa,  qua  motus  particularum 
inter  se  redduntur  minus  liberi :  resistentia,  ob  minorem  medii  fluidi- 
tatem,  erit  major  quam  in  superioribus  corollariis. 

PROPOSITIO    XXXIV.      THEOREMA    XXVIII. 

Si  globus  &  cylifidrus  cFqualibus  diametris  descripti,  in  medio  raro  ex 

particulis  csqualibus  &  ad  cequales  ab  invicem  distantias  libere  dis- 

positis  constante,  secuftdum  plagam  axis  cylindri,  cequali  cum  veloci- 

tate  moveant7cr :  erit  resistentia  globi  duplo  minor  quam  resistentia 

cytindri. 

Nam  quoniam  actio  medii  in  corpus  eadem  est  (per  legum  corbl. 
5)  sive  corpus  in  medio  quiescente  moveatur,  sive  medii  particulae 
eadem  cum  velocitate  impingant  in  corpus  quiescens  :  consideremus 
corpus  tanquam  quiescens,  &  videamus  quo  impetu  urgebitur  a 
medio  movente.  Designet  igitur  A  B  K I  corpus  sphaericum  centro 
C  semidiametro  C  A  descriptum,  &  incidant  particulae  medii  data 
cum  velocitate  in  corpus  illud  sphaericum,  secundum  rectas  ipsi  A  C 
parallelas:  sitque  F  B  ejusmodi  recta.  In  ea  capiatur  L  B  semi- 
diametro  C  B  aequalis,  &  ducatur  B  D  quae  sphaeram  tangat  in  B. 
\n  K  C  81  B  D  demittantur  perpendiculares  B  E,  L  Dy8i  vis  qua  par- 


LIBER  SECUNDUS. 


323 


K 


Tsr 


ticula  meclii,  secundum  rectam  F B  oblique  incldendo,  globum  ferit 

in  B,  erit  ad  vim  qua  particula  eadem  cylindrum  O N GQ  axe  A  CI 

circa  globum   descriptum   perpendiculariter  feriret  in  ^,  ut  L  D  ad 

LB  vel  BE  ad  BC.  Rursus  efficacia  hujus  vis  ad  movendum  globum 

secundum  incidentiae  suse  plagam  FB  vel  A  C,  est  ad  ejusdem  effi- 

caciam  ad  movendum  globum  se- 

cundum   plagam    determinationis 

suee,  id  est,  secundum  plagam  rec- 

td^  B  C  qua  globum  directe  urget 

ut  B  E  2A  BC      Et  conjunctis 

rationibus,   efficacia  particulse  iii 

globum    secundum    rectam   F B 

oblique  incldentis,  ad  movendum 

eundem   secundum  plagam  Inci- 

dentlae  suae,  est  ad  efficaclam  par- 

tlculse  ejusdem  secundum  eandem  rectam  In  cyllndrum  perpendlcu- 

larlter  Incidentls,  ad  Ipsum  movendum  In  plagam  eandem,  vX  B  E 

quadratum  2A  B  C  quadratum.      Quare  sl  In  b  E,  quse  perpendicularls 

est  ad  cylindrl  basem  clrcularem  N  A  O  81  sequalis  radio  A  C,  sum- 


hx\b 

t>               L       F 

f^\ 

c 

V 

^ 

c 

> 

atur  d  H  aequalls 


B  E  quad. 
~CB 


erlt  b  H  2A  b  E  ut  effectus  partlculae 


In  globum  ad  effectum  partlculae  In  cylindrum.  Et  propterea  solidum 
quod  a  rectis  omnibus  b  H  occupatur  erlt  ad  solldum  quod  a  rectls 
omnibus  b  E  occupatur,  ut  effectus  particularum  omnlum  In  globum  ad 
effectum  partlcularum  omnlum  In  cyllndrum.  Sed  solidum  prius  est 
parabolols  vertlce  C,  axe  C  A  &  latere  recto  C  A  descrlptum,  & 
solidum  posterius  est  cyllndrus  parabololdi  clrcumscrlptus :  &  notum 
est  quod  parabolols  slt  semlssls  cyllndrl  clrcumscriptl.  Ergo  vls 
tota  medli  in  globum  est  duplo  mlnor  quam  ejusdem  vls  tota  In 
cylindrum.  Et  propterea  sl  partlculae  medil  qulescerent,  &  cyllndrus 
ac  globus  aequali  cum  velocltate  moverentur,  foret  reslstentla  globl 
duplo  mlnor  quam  reslstentla  cyllndri.     Q.E.D. 

Scholmm. 
Eadem  methodo  figurae  allae  Inter  se  quoad  reslstentiam  comparari 
possunt,  eaeque  Invenlrl  quae  ad  motus   suos  In  mediis  reslstentibus 
continuandos  aptiores  sunt.    Ut  sl  base  circulari  C  E  B  H,  quae  centro 


324 


DE  MOTU  CORPORUM 


O,  radio  O  C  describltur,  &  altitudine  O  D, 
construendum  sit  frustum  coni  C B  G  F, 
quod  omnium  eadem  basi  &  altitudine 
constructorum  &  secundum  plagam  axis 
sui  versus  D  progredientium  frustorum 
minime  resistatur  :  biseca  altitudinem  OD 
in  g  &  produc  O  Q  2.di  S  mX.  ^\X.  Q  S 
a^qualis  Q  C,  Ba  erit  kS  vertex  coni  cujus 
frustum  quaeritur. 

Unde  obiter,  cum  angulus  CS B  semper  sit  acutus,  consequens 
est,  quod  si  solidum  A  D  B  E  convolutione  figurae  elliptlcae  vel  ovalis 
A  D  B  E  circa  axem  AB  facta  generetur,  &  tangatur  figura  generans 
a  rectis  tribus  FGy  G  H,  H I  in  punctis  F,  B  &  I,  ea  lege  ut  G  H 
sit  perpendicularis  ad  axem  in  puncto  contactus  By  8i  FGy  H I  cum 
eadem  6^  Zf  contineant  angulos  FGB,  BH/  graduum  135,  solidum, 
quod  convolutione  figurse  A  DFGH/E  circa  axem  eundem^^^ 
generatur,  minus  resistitur  quam  solidum  prius ;  si  modo  utrumque 
secundum  plagam  axis  sui  A  B  progrediatur,  &  utriusque  terminus  B 
praecedat.  Quam  quidem  proposltionem  in  construendis  navibus  non 
inutilem  futuram  esse  censeo. 


.  Quod  si  figura  D N FG  ejusmodi  sit  curva,  ut,  si  ab  ejus  puncto 
quovis  N  ad  axem  A  B  demittatur  perpendiculum  N  Ji/,  &  2l  puncto 
dato  G  ducatur  recta  G  R  quae  parallela  slt  rectae  figuram  tangenti  In 
N,  &  axem  productum  secet  in  R,  fuerit  J/  iV  ad  G  R  ut  G  R 
cub.  ad  ^BRxGBq;  solidum  quod  figurae  hujus  revolutione 
circa  axem  A  B  facta  describitur,  in  medio  raro  praedicto  ab  A  ver- 


LIBER  SECUNDUS.  325 

sus  B  movendo,  minus  resistetur  quam  aliud  quodvis  eadem  longitu- 
dine  &  latitudine  descriptum  solidum  circulare. 


PROPOSITIO     XXXV.      PROBLEMA     VII. 

Si  medium  rarum  ex  particidis  quam  minimis  quiesceutibus  cequalibus 
&  ad  ceqicales  ab  invicem  distantias  libere  dispositis  constet :  invenire 
resistentiam  globi  in  hoc  medio  uniformiter  progredientis, 

Cas.  I.  Cylindrus  eadem  diametro  &  altitudine  descriptus  pro- 
gredi  intelligatur  eadem  velocitate  secundum  longitudinem  axis 
sui  in  eodem  medio.  Et  ponamus  quod  particulae  medii,  in  quas 
globus  vel  cylindrus  incidit,  vi  reflexionis  quam  maxima  resiliant. 
Et  cum  resistentia  globi  (per  propositionem  novissimam)  sit  duplo 
minor  quam  resistentia  cylindri,  &  globus  sit  ad  cylindrum  ut  duo 
ad  tria,  &  cylindrus  incidendo  perpendiculariter  in  particulas,  ipsas- 
que  quam  maxime  reflectendo,  duplam  sui  ipsius  velocitatem  ipsis 
communicet  :  cylindrus,  quo  tempore  dimidiam  longitudinem  axis 
sui  uniformiter  progrediendo  describit,  communicabit  motum  parti- 
culis,  qui  sit  ad  totum  cylindri  motum  ut  densitas  medii  ad  densi- 
tatem  cylindri ;  &  globus,  quo  tempore  totam  longitudinem  diame- 
tri  suae  uniformiter  progrediendo  describit,  communicabit  motum 
eundem  particulis ;  &  quo  tempore  duas  tertias  partes  diametri  suse 
describit,  communicabit  motum  particulis,  qui  sit  ad  totum  globi 
motum  ut  densitas  medii  ad  densitatem  globi.  Et  propterea  globus 
resistentiam  patitur,  quae  sit  ad  vim  qua  totus  ejus  motus  vel  auferri 
possit  vel  generari  quo  tempore  duas  tertias  partes  diametri  suse 
uniformiter  progrediendo  describit,  ut  densitas  medii  ad  densitatem 
globi. 

Cas.  2.  Ponamus  quod  particulse  medii  in  globum  vel  cylindrum 
incidentes  non  reflectantur;  &  cylindrus  incidendo  perpendiculariter 
in  particulas  simplicem  suam  velocitatem  ipsis  communicabit,  ideoque 
resistentiam  patitur  duplo  minorem  quam  in  priore  casu,  &  resistentia 
globi  erit  etiam  duplo  minor  quam  prius. 

Cas.  3.  Ponamus  quod  particulae  medii  vi  reflexionis  neque  maxima 
neque  nulla,  sed  mediocri  aliqua  resiliant  a  globo ;  &  resistentia  globi 


o 


26  DE  MOTU  CORPORUM 


erit  in  eadem  ratione  mediocri  inter  resistentiam  in  primo  casu  & 
resistentiam  in  secundo.     Q.  E.  I. 

Corol,  I.  Hinc  si  globus  &  particuLx  sint  infinite  dura,  &  vi  omni 
elastica  &  propterea  etiam  vi  omni  reflexionis  destituta  :  resistentia 
globi  erit  ad  vim  qua  totus  ejus  motus  vel  auferri  possit  vel  generari, 
quo  tempore  globus  quatuor  tertias  partes  diametri  suse  describit,  ut 
densitas  medii  ad  densitatem  globi. 

CoroL  2.  Resistentia  globi,  cceteris  paribus,  est  in  duplicata  ratione 
velocitatis. 

Corol.  3.  Resistentia  globi,  caeteris  paribus,  est  in  duplicata  ratione 
diametri. 

Corol.  4.   Resistentia  globi,  cseteris  paribus,  est  ut  densitas  medii. 

Corol.  5.  Resistentia  globi  est  in  ratione  quae  componitur  ex 
duplicata  ratione  velocitatis  &  duplicata  ratione  diametri  &  ratione 
densitatis  medii. 

Corol.  6.  Et  motus  globi  cum  ejus  resistentia  sic  exponi  potest. 
Sit^^tempus  quo  globus  per  resistentiam  suam  uniformiter  con- 
tinuatam  totum  suum  motum  amittere  potest.  Ad  AB  erigantur 
perpendicula  AD,  BC.  Sitque  BC  motus  ille  totus,  &  per  punctum 
C  asymptotis  AD,  AB  describatur  hyperbola  CF.  Producatur  AB 
ad  punctum  quodvis  E.  Erigatur  per- 
pendiculum  ^T^  hyperbolae  occurrens  in  F. 
Compleatur  parallelogrammum  CBEG, 
&  agatur  AF  ipsi  BC  occurrens  in  //. 
Et  si  globus  tempore  quovis  BE,  motu 
suo  primo  BC  uniformiter  continuato,  in 
medio  non  resistente  describat  spatium 
CBEG  per  aream  parallelogrammi  expositum,  idem  in  medio 
resistente  describet  spatium  CBEF  per  aream  hyperbolae  expositum, 
&  motus  ejus  in  fine  temporis  ilHus  exponetur  per  hyperbolae  ordi- 
natam  EF,  amissa  motus  ejus  parte  FG.  Et  resistentia  ejus  in  fine 
temporis  ejusdem  exponetur  per  longitudinem  BH^  amissa  resistentiae 
parte  CH.     Patent  haec  omnia  per  corol.  i  &  3  prop.  v  Hb.  II. 

Corol.  7.   Hinc  si  globus  tempore  T  per  resistentiam  R  uniformiter 

continuatam  amittat  motum  suum  totum  M  :   idem  globus  tempore 

t  in  medio   resistente,   per   resistentiam    R    in    dupHcata   velocitatis 

.    ..  ^M 

ratione    decrescentem,    amittet    motus    sui    M    partem     .p      . ,    ma- 


LIBER  SECUNDUS.  327 

TM 

nente  parte  = —  ;   &  describet  spatlum  quod  sit  ad  spatlum  motu 

unlformi    M   eodem    tempore  /   descrlptum,  ut   logarlthmus  numerl 
Z.     multiplicatus  per  numerum   2,302585092994  est  ad  numerum 

— ,   propterea   quod   area   hyperbollca  B  C FE  est  ad  rectangulum 
BCGE  in  hac  proportione. 

Scholium. 
In  hac  propositione  exposui  resistentiam  &  retardationem  projec- 
tlHum  sphaericorum  in  medlls  non  continuis,  &  ostendi  quod  haec 
resistentia  slt  ad  vim  qua  totus  globi  motus  vel  tolH  possit  vel  gene- 
rarl  quo  tempore  globus  duas  tertias  diametri  suse  partes  velocitate 
uniformlter  contlnuata  descrlbat,  ut  densltas  medli  ad  densltatem 
globi,  si  modo  globus  &  partlculse  medli  slnt  summe  elastlca  &  vi 
maxlma  reflectendi  polleant:  quodque  hsec  vls  slt  duplo  mlnor  ubi 
globus  &  partlculse  medii  sunt  infinite  dura  &  vi  reflectendi  pror- 
sus  destituta.  In  mediis  autem  continuis  quaHa  sunt  aqua,  oleum 
caHdum,  &  argentum  vivum,  in  quibus  globus  non  incidit  immedlate 
in  omnes  fluldl  particulas  reslstentiam  generantes,  sed  premlt  tantum 
proximas  partlculas  &  hse  premunt  aHas  &  hae  aHas,  reslstentla  est 
adhuc  duplo  minor.  Globus  utique  in  hujusmodi  mediis  fluidissimis 
reslstentiam  patltur  quae  est  ad  vim  qua  totus  ejus  motus  vel  toHi 
posslt  vel  generari  quo  tempore,  motu  IHo  uniformiter  contlnuato, 
partes  octo  tertias  diametri  suae  descrlbat,  ut  densitas  medii  ad  densi- 
tatem  globi.     Id  quod  in  sequentibus  conabimur  ostendere. 


PROPOSITIO    XXXVI.      PROBLEMA    VIII. 

AqucB  de  vase  cylindrico  per  foramen   in  fundo  fachcm  effluentis 

defnire  motMm. 

Slt  ACDB  vas  cyHndricum,  AB  ejus  orificium  superius,  CD 
fundum  horizonti  paraHelum,  E  F  foramen  clrculare  in  medio  fundi, 
G  centrum  foramlnls,  81  G  H  axls  cyHndrl  horizonti  perpendicularis. 
Et   finge  cyHndrum  glaciei  A  P  Q  B  ejusdem  esse  latitudinls  cum 


328 


DE  MOTU  CORPORUM 


cavitate  vasis,  &  axem  eundem  habere,  &  uniformi  cum  motu  per- 

petuo  descendere,  &  partes  ejus  quam  primum  attingunt  superficiem 

A  B  liquescere,  &  in  aquam  conversas  gravitate  sua  defluere  in  vas, 

&  cataractam  vel  columnam  aquse  A  B  N F E  M  Q,-3.^^xiAo  formare, 

&  per  foramen  E  F  transire,  idemque  adsequate  implere.     Ea  vero 

sit  uniformis  velocitas  glaciei  descendentis 

ut  &  aquae  contigu^e  in  circulo  A  B,  quam 

aqua  cadendo  &  casu  suo  describendo  alti- 

tudinem  I H  acquirere  potest;  &  jaceant 

I H  &L  H  G  m  directum,  &  per  punctum  / 

ducatur   recta   K L    horizonti    parallela   & 

lateribus  glaciei  occurrens  in  A'  &  Z.     Et 

velocitas  aquae  effluentis  per  foramen  E  F 

ea  erit  quam  aqua  cadendo  ab  /  &  casu  suo 

describendo  altitudinem  /  G  acquirere  po- 

test.     Ideoque  per  theoremata  Galilcei  erit 

IG^AIHm  duplicata  ratione  velocitatis 

aquae  per  foramen  effluentis  ad  velocitatem 

aquae  in   circulo  A  B,  hoc  est,  in  duplicata  ratione  circuli  A  B  2id 

circulum  i5'/^;  nam  hi  circuli  sunt  reciproce  ut  velocitates  aquarum 

quae  per  ipsos,  eodem  tempore  &  aequali  quantitate,  ad^quate  tran- 

seunt.     De  velocitate  aquae  horizontem  versus  hic  agitur.     Et  motus 

horizonti  parallelus  quo  partes  aquae  cadentis  ad  invicem  accedunt, 

cum  non  oriatur  a  gravitate,  nec  motum  horizonti  perpendicularem  a 

gravitate  oriundum  mutet,  hic  non  consideratur.     Supponimus  quidem 

quod  partes  aquae  aliquantulum  cohaerent,  &  per  cohaesionem  suam 

mter  cadendum  accedant  ad  invicem  per  motus  horizonti  parallelos, 

ut  unicam  tantum  efforment  cataractam  &  non  in  plures  cataractas 

dividantur:  sed  motum  horizonti  parallelum,  a  cohaesione  illa  oriun- 

dum,  hic  non  consideramus. 

Cas.  I.  Concipe  jam  cavitatem  totam  in  vase,  in  circuitu  aquae 
cadentis  ABJVFEM,  glacie  plenam  esse,  ut  aqua  per  glaciem  tan- 
quam  per  infundibulum  transeat.  Et  si  aqua  glaciem  tantum  non 
tangat,  vel,  quod  perinde  est,  si  tangat  &  per  glaciem  propter  sum- 
mam  ejus  polituram  quam  liberrime  &  sine  omni  resistentia  labatur ; 
haec  defluet  per  foramen  EF  eadem  velocitate  ac  prius,  &  pondus 
totum  columnae  aquae  ABNFEM  impendetur  in   defluxum  ejus 


LIBER  SECUNDUS.  -^^o 

generandum  uti  prlus,  &  fundum  vasis  sustinebit  pondus  glaciei 
columnam  ambientis. 

Liquescat  jam  glacies  in  vase  ;  &  effluxus  aquae,  quoad  velocitatem, 
idem  manebit  ac  prius.  Non  minor  erit,  quia  glacies  in  aquam 
resoluta  conabitur  descendere  :  non  major,  quia  glacies  in  aquam 
resoluta  non  potest  descendere  nisi  impediendo  descensum  aquae 
alterius  descensui  suo  aequalem.  Eadem  vis  eandem  aquae  effluentis 
velocitatem  generare  debet. 

vSed  foramen  in  fundo  vasls,  propter  obliquos  motus  partlcularum 
aquae  effluentis,  paulo  majus  esse  debet  quam  prius.  Nam  particulae 
aquae  jam  non  transeunt  omnes  per  foramen  perpendiculariter ;  sed  a 
lateribus  vasis  undique  confluentes  &  in  foramen  convergentes, 
obliquis  transeunt  motibus ;  &  cursum  suum  deorsum  flectentes  in 
venam  aquae  exilientis  conspirant,  quae  exilior  est  paulo  infra  foramen 
quam  in  Ipso  foramine,  existente  ejus  diametro  ad  diametrum  fora- 
minis  ut  5  ad  6,  vel  51  ad  6\  quam  proxime,  sl  modo  diametros 
recte  dimensus  sum.  Parabam  utique  laminam  planam  pertenuem 
in  medio  perforatam,  exlstente  clrcularls  foraminls  diametro  partium 
quinque  octavarum  digltl.  Et  ne  vena  aquae  exllientis  cadendo 
acceleraretur  &  acceleratione  redderetur  angustior,  hanc  laminam  non 
fundo  sed  lateri  vasls  affixi  sic,  ut  vena  illa  egrederetur  secundum 
llneam  horlzontl  parallelam.  Deln  ubl  vas  aqua  plenum  esset, 
aperul  foramen  ut  aqua  efflueret ;  &  venae  diameter,  ad  distantiam 
quasl  dlmidil  dlgltl  a  foramlne  quam  accuratissime  mensurata,  prodilt 
partium  vlgintl  &  unlus  quadragesimarum  digitl.  Erat  Igitur 
dlameter  foramlnls  hujus  circularis  ad  diametrum  venae  ut  25  ad 
21  quamproxlme.  Aqua  igltur  transuendo  per  foramen,  converglt 
undique,  &  postquam  effluxit  ex  vase,  tenulor  reddltur  conver- 
gendo,  &  per  attenuationem  acceleratur  donec  ad  distantiam  semissis 
digiti  a  foramine  pervenerit,  &  ad  distantlam  illam  tenuior  & 
celerlor  fit  quam  in  ipso  foramlne  In  ratlone  25x25^^  21x21 
seu  17  ad  12  quamproxlme,  id  est  In  subdupHcata  ratione  binaril 
ad  unltatem  circlter.  Per  experimenta  vero  constat  quod  quantitas 
aquae,  quae  per  foramen  clrculare  In  fundo  vasis  factum,  dato  tempore 
effluit,  ea  sit  quae  cum  velocitate  praedicta,  non  per  foramen  illud,  sed 
per  foramen  circulare,  cujus  diameter  est  ad  diametrum  foramlnis 
illius   ut   21    ad   25,   eodem   tempore   effluere   debet.      Ideoque  aqua 


330 


DE  MOTU  CORPORUM 


illa  effluens  velocitatem  habet  deorsiim  in  ipso  foramine  quam 
grave  cadendo  &  casu  suo  describendo  dimidiam  altitudinem  aquce 
in  vase  stagnantis  acquirere  potest  quamproxime.  Sed  postquam 
exivit  ex  '  vase,  acceleratur  convergendo  donec  ad  distantlam  a 
foramine  diametro  foraminis  prope  sequalem  pervenerit,  &  ve- 
locitatem  acquisiverit  majorem  in  ratione  subduplicata  binarii  ad 
unitatem  circiter;  quam  utique  grave  cadendo,  &  casu  suo  descri- 
bendo  totam  altitudinem  aquae  in  vase  stagnantis,  acquirere  potest 
quamproxime. 

In  sequentibus  igitur  diameter  venae  designetur  per  foramen  illud 
minus  quod  vocavimus  E  F,  Et  plano  foraminis  E  F  parallelum 
duci  intelligatur  planum  aliud  superius  VW  ad  distantiam  diametro 
foraminis  aequalem  circiter  &  foramine  majore  6^  T  pertusum  ;  per 
quod  utique  vena  cadat,  quae  adaequate  impleat  foramen  inferius 
EF,  atque  ideo  cujus  diameter  sit  ad  diametrum  foraminis  inferioris 
ut  25  ad  21  circiter.  Sic  enim  vena  per  foramen  inferius  perpen- 
diculariter  transibit ;  &  quantitas  aquae  effluentis,  pro  magnitudine 
foraminis  hujus,  ea  erit  quam  sohitio  problematis  postulat  quam- 
proxime.  Spatium  vero,  quod  planis  duobus  &  vena  cadente 
clauditur,  pro  fundo  vasis  haberi  potest.  Sed  ut  solutio  problematis 
simpHcior  sit  &  magis  mathematica,  praestat  adhibere  planum  solum 
inferius  pro  fundo  vasis,  &  fingere  quod 
aqua  quae  per  glaciem  ceu  per  infundibu- 
lum  defluebat,  &  e  vase  per  foramen  E  F 
in  plano  inferiore  factum  egrediebatur, 
motum  suum  perpetuo  servet,  &  glacies 
quietem  suam.  In  sequentibus  igitur  sit 
6^  T  diameter  foraminis  circularis  centro  Z 
descripti  per  quod  cataracta  effluit  ex  vase 
ubi  aqua  tota  in  vase  fluida  est.  Et  sit 
-fi*/^  diameter  foraminis  per  quod  cataracta 
cadendo  adaequate  transit,  sive  aqua  exeat  ex  vase  per  foramen  illud 
superius  ^  7)  sive  cadat  per  medium  glaciei  in  vase  tanquam  per  in- 
fundibulum.  Et  sit  diameter  foraminis  superioris  6^  ?"  ad  diametrum 
inferioris  E F  \xt  2^  ad  21  circiter,  &  distantia  perpendicularis  inter 
plana  foraminum  aequahs  sit  diametro  foraminis  minoris  E  F, 
Et  velocitas  aquae  e  vase  per  foramen  6^  T  exeuntis  ea  erit  in  ipso 


K 


LIBER  SECUNDUS. 


331 


\ 


foramine  deorsum  qiiam  corpus  cadendo  a  dlmidio  altitudinis  IZ 
acquirere  potest :  velocitas  autem  cataractce  utriusque  cadentis  ea 
erit  in  foramine  EF,  quam  corpus  cadendo  ab  altitudine  tota  IG 
acquiret. 

Cas.  2.  Si  foramen  EF  non  sit  in  medio  fundi  vasis,  sed 
fundum  alibi  perforetur :  aqua  effluet  eadem  cum  velocitate  ac 
prius,  si  modo  eadem  sit  foraminis  magnitudo.  Nam  grave  ma- 
jori  quidem  tempore  descendit  ad  eandem  profunditatem  per 
lineam  obliquam  quam  per  lineam  perpendicularem,  sed  descen- 
dendo  eandem  velocitatem  acquirit  in  utroque  casu,  ut  Galilceus 
demonstravit. 

Cas.  3.  Eadem  est  aquse  velocitas  effluentis  per  foramen  in  latere 
vasis.  Nam  si  foramen  parvum  sit,  ut  intervallum  inter  superficies 
AB  81  KL  quoad  sensum  evanescat,  &  vena  aquae  horizontaliter 
exilientis  figuram  parabolicam  efformet :  ex  latere  recto  hujus  parabolae 
colligetur,  quod  velocitas  aquse  effluentis  ea  sit  quam  corpus  ab  aquse 
in  vase  stao-nantis  altitudine  II G  vel  IG  cadendo  acquirere  potuisset. 
Facto  utique  experimento  inveni  quod,  si  altitudo  aquse  stagnantis 
supra  foramen  esset  viginti  digitorum  &  altitudo  foraminis  supra 
planum  horizonti  parallelum  esset  quoque  viginti  digitorum,  vena 
aqu^  prosiHentis  incideret  in  planum  illud  ad  distantiam  digitorum  37 
circiter  a  perpendiculo  quod  in  planum  illud  a  foramine  demittebatur 
captam.  Nam  sine  resistentia,  vena  incidere  debuisset  in  planum 
illud  ad  distantiam  digitorum  40,  existente  venae  parabolic^  latere 

recto  digitorum  80. 

Cas.  4.  Quinetiam  aqua  effluens,  si  sursum  feratur,  eadem  egredi- 
tur  cum  velocitate.  Ascendit  enim  aquee  exiHentis  vena  parva  motu 
perpendiculari  ad  aquse  in  vase  stagnantis  altitudinem  GH  vel 
GI,  nlsi  quatenus  ascensus  ejus  ab  aeris  resistentla  aHquantulum 
impediatur ;  ac  proinde  ea  effluit  cum  velocitate  quam  ab  altitudine 
illa  cadendo  acquirere  potuisset.  Aquae  stagnantis  particula  unaquae- 
que  undique  premitur  aequaHter  (per  prop.  xix  Hb.  2)  &  pressioni 
cedendo  sequaH  impetu  in  omnes  partes  fertur,  sive  descendat  per 
foramen  in  fundo  vasis,  sive  horizontaHter  effluat  per  foramen  in  ejus 
latere,  sive  egrediatur  in  canalem  &  inde  ascendat  per  foramen 
parvum  in  superiore  canaHs  parte  factum.  Et  velocitatem  qua  aqua 
effluit  eam  esse,  quam  in  hac  propositione  assignavimus,  non  sokmi 


332 


DE  MOTU  CORPORUM 


ratione  colllgltur,  sed  etiam  per  experlmenta  notissima  jam  descripta 
manlfestum  est. 

Cas.  5.  Eadem  est  aquae  effluentls  velocitas  slve  figura  foraminls 
slt  circularis  sive  quadrata  vel  triangularis  aut  alla  qusecunque  cir- 
culari  aequalls.  Nam  velocitas  aquse  effluentis  non  pendet  a  figura 
foraminis  sed  oritur  ab  ejus  altitudine  infra  planum  KL. 

Cas.  6.  Si  vasls  ABDC  pars  inferlor  in  aquam  stagnantem  im- 
mergatur,  &  altitudo  aquae  stagnantis  supra  fundum  vasis  sit  GR  : 
velocitas  quacum  aqua  quae  in  vase  est,  effluet  per  foramen  £J^  m 
aquam  stagnantem,  ea  erit  quam  aqua  cadendo  &  casu  suo  descri- 
bendo  altitudinem  /£  acqulrere  potest.  Nam  pondus  aquae  omnis 
in  vase  quae  inferior  est  superficie  aquae  stagnantis,  sustinebitur  in 
aequilibrio  per  pondus  aquae  stagnantis,  ideoque  motum  aquae  de- 
scendentis  in  vase  minime  accelerabit.  Patebit  etlam  &  hlc  casus  per 
experimenta,  mensurando  scilicet  tempora  quibus  aqua  effluit. 

Coro/.  I.  Hinc  si  aquae  altitudo  CA  producatur  ad  A',  ut  sit  AK 
ad  CK  in  duplicata  ratlone  areae  foramlnls  in  quavis  fundi  parte  facti, 
ad  aream  circuli  AB :  velocitas  aquae  effluentis  aequalis  erit  velocitati 
quam  aqua  cadendo  &  casu  suo  describendo  altitudinem  KC  acquirere 
potest. 

Corol.  2.  Et  vis,  qua  totus  aquae  exilientis  motus  generari  potest, 
aequalis  est  ponderi  cylindricae  columnae  aquae,  cujus  basis  est  foramen 
EF,  &  altitudo  2GI  vel  2CK.  Nam  aqua  exiliens,  quo  tempore 
hanc  columnam  aequat,  pondere  suo  ab  altitudine  GI  cadendo  veloci- 
tatem  suam,  qua  exIHt,  acquirere  potest. 

Corol.  3.  Pondus  aquae  totius  in  vase  ABDC  est  ad  ponderis 
partem,  quae  in  defluxum  aquae  impendltur,  ut  summa  circulorum 
A  B  &  E  F  ^A  duplum  circulum  E  F. 
Sit  enim  / O  media  proportionalls  inter  r- 
IH  &  IG  ;  &  aqua  per  foramen  EF  egre- 
diens,  quo  tempore  gutta  cadendo  ab  / 
describere  posset  altitudinem  I G,  aequaHs 
erit  cyHndro  cujus  basis  est  circulus  EF 
&  altitudo  est  2  I G,  id  est,  cyHndro  cujus 
basis  est  circulus  A  B  &  altltudo  est  2 10, 
nam  circulus  EF  est  ad  clrculum  A  B  m 
subdupHcata  ratione  altitudinis  ///"  ad  al- 


T. 


t 


LIBER  SECUNDUS.  .^. 

titudinem  /  G,  hoc  est,  in  simplici  ratione  mediae  proportionalis  /  O 
ad  altitudinem  /  G :  &  quo  tempore  gutta  cadendo  ab  /  describere 
potest  altitudinem  / //,  aqua  egrediens  aequalis  erit  cylindro  cujus 
basis  est  circulus  A  B  8i  altitudo  est  2  /  // :  &  quo  tempore  gutta 
cadendo  ab  /  per  // 2id  G  describit  altitudinum  differentiam  //G, 
aqua  egrediens,  id  est,  aqua  tota  in  solido  A  B  N FEM  sequalis  erit 
dififerentiae  cylindrorum,  id  est,  cylindro  cujus  basis  est  AB  &  altitudo 
2//O.  Et  propterea  aqua  tota  in  vase  ABDC  est  ad  aquam 
totam  cadentem  in  solido  A  B  NFE  M  \xt  // G  ad  2  //O,  id  est,  ut 
//0+0Gad2//0,seu  ///+  / O  ^d  2  ///.  Sed  pondus  aquae 
totius  in  solido  A  B  NFE  M  in  aquse  defluxum  impenditur  :  ac 
proinde  pondus  aquae  totius  in  vase  est  ad  ponderis  partem  quae  in 
defluxum  aquae  impenditur,  ut  / // -\- /  O  ad  2///,  atque  ideo  ut 
summa  circulorum  E  F  81  A  B  ad  duplum  circulum  E  F. 

Corol.  4.  Et  hinc  pondus  aquae  totius  in  vase  ABDC  est  ad 
ponderis  partem  alteram  quam  fundum  vasis  sustinet,  ut  summa 
circulorum  A  B  8>l  E  F  2id  diflerentiam  eorundem  circulorum. 

Corol.  5.  Et  ponderis  pars,  quam  fundum  vasis  sustinet,  est  ad 
ponderis  partem  alteram,  quae  in  defluxum  aquae  impenditur,  ut 
diflerentia  circulorum  A  B  81  EF  ad  duplum  circulum  minorem  E  F, 
sive  ut  area  fundi  ad  dupkim  foramen. 

Corol.  6.  Ponderis  autem  pars,  qua  sola  fundum  urgetur,  est  ad 
pondus  aquae  totius,  quae  fundo  perpendiculariter  incumbit,  ut  circulus 
A  B  a.d  summam  circulorum  A  B  &  E  Fj  sive  ut  circulus  A  B  ad 
excessum  dupli  circuli  A  B  supra  fundum.  Nam  ponderis  pars,  qua 
sola  fundum  urgetur,  est  ad  pondus  aquae  totius  in  vase,  ut  diflerentia 
circulorum  AB  &  E  F  ad  summam  eorundem  circulorum,  per 
cor.  4  :  &  pondus  aquae  totius  in  vase  est  ad  pondus  aquae  totius 
quae  fundo  perpendiculariter  incumbit,  ut  circuhis  A  B  a.d  diflerentiam 
circulorum  A  B  8l  E  F.  Itaque  ex  aequo  perturbate,  ponderis 
pars,  qua  sola  fundum  urgetur,  est  ad  pondus  aquae  totius,  quae 
fundo  perpendiculariter  incumbit,  ut  circulus  -^  ^  ad  summam 
circulorum  A  B  &  E  F  ve\  excessum  dupH  circuH  A  B  supra 
fundum. 

Co7^o/.  7.  Si  in  medio  foraminis  E  F  \ocetur  circellus  P  g  centro 
G  descriptus  &  horizonti  parallehis  :  pondus  aquae  quam  circellus 
ille  sustinet,  majus  est  pondere  tertiae  partis  cyhndri  aquae  cujus  basis 


334 


DE  MOTU  CORPORUM 


est  circellus  ille  &  altitudo  est  G  H.     Slt  enim  ADNFEM  cataracta 

vel  columna  aquee  cadentis  axem  habens  G  H  \xt  supra,  &  congelari 

intelligatur  aqua  omnis  in   vase,  tam  in 

circuitu  cataractae  quam  supra  circellum,     ; 

cujus    fluiditas    ad     promptissimum     &  ^ 

celerrimum  aquae  descensum  non  requiri- 

tur.     Et  siX,  P  H  Q  columna  aquee  supra 

circellum  congelata,  verticem  habens  H 

&  altitudinem  GH.     Et  finge  cataractam 

hancce  pondere  suo  toto  cadere,  &  non 

incumbere  in  PHQ  nec  eandem  premere, 

sed  libere  &  sine  frictione  pra^terlabi,  nisi 

forte  in  ipso  glaciei  vertice  quo  cataracta 

ipso    cadendi    initio    incipiat   esse    cava. 

Et  quemadmodum  aqua  in  circuitu   cataractce  congelata  A  M E  C, 

BNFD  convexa  est  in  superficie  interna  A  ME,  B  N  F  v^rsxxs 

cataractam  cadentem,  sic  etiam  haec  columna  P HQ  convexa   erit 

versus  cataractem,  &  propterea  major  cono  cujus  basis  est  circellus  ille 

PQ  8i  altitudo  G  H,  id  est,  major  tertia  parte  cylindri  eadem  base 

"&  altitudine  descripti.      Sustinet  autem   circellus    ille  pondus  hujus 

columnae,  id  est,  pondus  quod  pondere  coni  seu  terti^  partis  cyHndri 

illius  majus  est. 

CoroL  8.  Pondus  aquse  quam  circellus  valde  parvus  P  Q  sustinet, 
minor  esse  videtur  pondere  duarum  tertiarum  partium  cyHndri  aquae 
cujus  basis  est  circellus  ille  &  altitudo  est  H  G.  Nam  stantibus 
jam  positis,  describi  intelligatur  dimidium  sphaeroidis  cujus  basis  est 
circellus  ille  &  semiaxis  sive  altitudo  est  H  G.  Et  h^c  figura  ^qua- 
lis  erit  duabus  tertiis  partibus  cylindri  ilHus  &  comprehendet  columnam 
aquae  congelatae  PHQ  cujus  pondus  circeHus  iHe  sustinet.  Nam 
ut  motus  aquae  sit  maxime  directus,  columnae  iHius  superficies 
externa  concurret  cum  basi  P  Q  m  angulo  nonnihil  acuto,  propterea 
quod  aqua  cadendo  perpetuo  acceleratur  &  propter  accelerationem 
fit  tenuior;  &  cum  angulus  iHe  sit  recto  minor  haec  columna 
ad  inferiores  ejus  partes  jacebit  intra  dimidium  sph^roidis.  Eadem 
vero  sursum  acuta  erit  seu  cuspidata,  ne  horizontaHs  motus 
aquae  ad  verticem  sphaeroidis  sit  infinlte  velocior  quam  ejus 
motus    horizontem    versus.       Et    quo    mlnor   est   clrceHus   P  Q  ^o 


LIBER  SECUNDUS. 


335 


acutlor  erlt  vertex  columnae ;  &  clrcello  In  Infinitum  dlminuto, 
angulus  PHQ  in  infinltum  dlmlnuetur,  and  propterea  columna 
jacebit  intra  dimidium  sphaeroidis.  Est  igitur  columna  illa  minor 
dimidio  sphaeroldis,  seu  duabus  tertiis  partibus  cyHndri  cujus  basis 
est  circellus  ille  &  altitudo  GH.  Sustlnet  autem  circellus  vim 
aquse  ponderi  hujus  columnae  aequalem,  cum  pondus  aquae  ambientis 
in  defluxum  ejus  impendatur. 

CoroL  9.  Pondus  aquae  quam  clrcellus  valde  parvus  PQ  sustlnet, 
aequale  est  ponderi  cyHndri  aquae  cujus  basis  est  circellus  ille  &  alti- 
tudo  est  \G H  quamproxime.  Nam  pondus  hocce  est  medium 
arithmeticum  Inter  pondera  coni  &  hemisphaeroldls  praedlctae.  At  si 
clrcelkis  ille  non  sit  valde  parvus,  sed  augeatur  donec  aequet  foramen 
E  F;  hic  sustinebit  pondus  aquae  totius  sibi  perpendiculariter 
immlnentls,  id  est,  pondus  cylindri  aquae  cujus  basis  est  circellus 
ille  &  altitudo  est  G  H, 

Corol  10.  Et  (quantum  sentio)  pondus  quod  circellus  sustinet,  est 
semper  ad  pondus  cyHndri  aquae,  cujus  basis  est  clrceHus  iHe  & 
altitudo  est  \GH,ut  E Fq  ad  E Fq  —  \PQq,  sive  ut  circukis  E F 
ad  excessum  circuH  hujus  supra  semissem  circeHi  P  Q  quamproxime. 

L  E  M  M  A     IV. 

Cylindri,  qui  secundtim  lojigitudinem  suam  uniformiter  progredittcr, 
resistentia  ex  aucta  vel  diminuta  ejus  longittidine  7ion  mutatur ; 
ideoqite  eadem  est  ciim  resistentia  circuli  eadem  diametro  descripti  & 
eadem  velocitate  secundum  lineam  rectamplano  ipsitcs perpendictdarem 
progredientis. 

Nam  latera  cyHndri  motui  ejus  minlme  opponuntur :  & 
cyHndrus,  longitudine  ejus  in  infinitum  dlmlnuta,  in  circulum 
vertitur. 


36 


DE  MOTU  CORPORUM 


PROPOSITIO    XXXVII.      THEOREMA    XXIX. 

Cylindrij .  qni  in  Jinido  co77ipresso  infinito  &  no7t  elastico  secundum 
longitudinem  suam  tmiformiter  progreditur,  resistentia,  qucB 
oritur  a  magnitudijie  sectionis  tranverscs,  est  ad  vim  qua  totus 
ejus  motus,  interea  dicm  quadruplum  longitiidinis  S7ice  describit, 
vel  tolli  possit  vel  generari,  ut  densitas  medii  ad  dejtsitatem 
cylindri  quamproxiffie. 

Nam  si  vas  A  BD  C  fundo  suo  CD  su- 
perficiem  aquse  stagnantis  tangat,  &  aqua 
ex  hoc  vase  per  canalem  cylindricum 
EFTS  horizonti  perpendicularem  in 
aquam  stagnantem  effluat,  locetur  autem 
circellus  PQ  horizonti  parallelus  ubivis 
in  medio  canaHs,  &  producatur  C^  ad 
K,  ut  ^\\.AK2ACK  in  duplicata  ratione 
quam  habet  excessus  orificii  canalis  E  F 
supra  circellum  P  Q  z.A  circulum  AB: 
manifestum  est  (per  cas.  5  cas.  6  &  cor. 
I  prop.  xxxvi)  quod  velocitas  aquse, 
transeuntis  per  spatium  annulare  inter  circelkim  &  latera  vasis,  ea  erit 
quam  aqua  cadendo  &  casu  suo  describendo  altitudinem  KC  vel 
/  G  acquirere  potest. 

Et  (per  corol.  x  prop.  xxxvi)  si  vasis  latitudo  sit  infinita,  ut 
lineola  JY/  evanescat  &  altitudines  I G,  H  G  aequentur  :  vis  aquse 
defluentis  in  circellum  erit  ad  pondus  cylindri  cujus  basis  est  circellus 
ille  &  altitudo  est  ll  G,  ut  E  Fq  ad  E  Fq — IP  Qq,  quam  proxime. 
Nam  vis  aquse,  uniformi  motu  defluentis  per  totum  canalem,  eadem 
erit  in  circellum  P  Q,  in  quacunque  canalis  parte  locatum. 

Claudantur  jam  canalis  orificia  E  F,  S  T^  &  ascendat  circellus  in 
fluido  undique  compresso  &  ascensu  suo  cogat  aquam  superiorem 
descendere  per  spatium  annulare  inter  circellum  &  latera  canalis  : 
&  velocitas  circelli  ascendentis  erit  ad  velocitatem  aquse  descen- 
dentis  ut  differentia  circulorum  EF  &  PQ  ad  circulum  PQ,  & 
velocitas  circelli  ascendentis   ad  summam    velocitatum,  hoc    est,  ad 


K 

I 

li 

^ 

B 

C 

i 

?_? 

E 

S 

i' 

LIBER  SECUNDUS.  337 

•velocitatem  relatlvam  aquae  descendentis  qua  prseterfluit  circellum 
ascendentem,  ut  differentia  circulorum  E  F  &  P  Q  ad  circulum 
E F,  sive  ut  E Fq  —  P  Qq  ad  EFq.  Sit  illa  velocitas  relativa 
sequalis  velocitati,  qua  supra  ostensum  est  aquam  transire  per 
idem  spatium  annulare  dum  circellus  interea  immotus  manet,  id 
est,  velocitati  quam  aqua  cadendo  &  casu  suo  describendo  altitudinem 
/  G  acquirere  potest :  &  vis  aquae  in  circellum  ascendentem  eadem 
erit  ac  prius  (per  legum  corol.  v)  id  est,  resistentia  circelli 
ascendentis  erit  ad  pondus  cylindri  aquae  cujus  basis  est  circellus 
ille  &  altitudo  esti /Gj  ut  EFq  ad  E  Fq  —  \  P  Q  q  quamproxime. 
Velocitas  autem  circelli  erit  ad  velocitatem,  quam  aqua  cadendo 
&  casu  suo  describendo  altitudinem  I G  acquirit,  ut  E  Fq  —  P  Q  q 
ad  E  Fq. 

Augeatur  amplitudo  canalis  in  infinitum  :  &  fationes  illae  inter 
EFq  —  PQq  &  EFqj  interque  EFq  &  EFq  —^PQq  accedent  ultimo 
ad  rationes  aequalitatis.  Et  propterea  velocitas  circelli  ea  nunc  erit 
quam  aqua  cadendo  &  casu  suo  describendo  altitudinem  IG  acquirere 
potest,  resistentia  vero  ejus  aequalis  evadet  ponderi  cylindri  cujus 
basis  est  circellus  ille  &  altitudo  dimidium  est  altitudinis  I G,  2. 
qua  cylindrus  cadere  debet  ut  velocitatem  circelli  ascendentis  acquirat; 
&  hac  velocitate  cylindrus,  tempore  cadendi,  quadruplum  longitudinis 
suae  describet.  Resistentia  autem  cylindri,  hac  velocitate  secundum 
longitudinem  suam  progredientis,  eadem  est  curn  resistentia  circelli 
(per  lemma  iv)  ideoque  sequalis  est  vi  qua  motus  ejus,  interea 
dum  quadruplum  longitudinis  suae  describit,  generari  potest 
quamproxime. 

Si  longitudo  cylindri  augeatur  vel  minuatur  :  motus  ejus  ut  & 
tempus,  quo  quadruplum  longitudinis  suae  describit,  augebitur  vel 
minuetur  in  eadem  ratione  ;  ideoque  vis  illa,  qua  motus  auctus  vel 
diminutus,  tempore  pariter  aucto  vel  diminuto,  generari  vel  tolli 
possit,  non  mutabitur;  ac  proinde  etiamnum  aequahs  est  resistentiae 
cylindri,  nam  &  haec  quoque  immutata  manet  per  lemma  iv. 

Si  densitas  cylindri  augeatur  vel  minuatur  :  motus  ejus  ut  &  vis 
qua  motus  eodem  tempore  generari  vel  tolH  potest,  in  eadem  ratione 
augebitur  vel  minuetur.  Resistentia  itaque  cylindri  cujuscunque 
erit    ad    vim    qua     totus    ejus    motus,     interea    dum    quadruplum 


33^ 


DE  MOTU  CORPORUM 


longitudinis  suae  describit,  vel   generari   possit  vel  tolli,  ut  densitas 
medii  ad  densitatem  cylindri  quamproxime.     Q.  E.  D. 

Fluidum  autem  comprimi  debet  ut  sit  continuum;  continuum 
vero  esse  debet  &  non  elasticum  ut  pressio  omnis,  quae  ab  ejus  com- 
pressione  oritur,  propagetur  in  instanti,  &  in  omnes  moti  corporis 
partes  aequaliter  agendo  resistentiam  non  mutet.  Pressio  utique,  quae 
a  motu  corporis  oritur,  impenditur  in  motum  partium  fluidi  generandum 
&  resistentiam  creat.  Pressio  autem  quae  oritur  a  compressione 
fluidi,  utcunque  fortis  sit,  si  propagetur  in  instanti,  nullum  generat 
motum  in  partibus  fluidi  continui,  nullam  omnino  inducit  motus 
mutationem;  ideoque  resistentiam  nec  auget  nec  minuit.  Certe 
actio  fluidi,  quae  ab  ejus  compressione  oritur,  fortior  esse  non 
potest  in  partes  posticas  corporis  moti  quam  in  ejus  partes  anticas, 
ideoque  resistentiam  in  hac  propositione  descriptam  minuere  non 
potest :  &  fortior  non  erit  in  partes  anticas  quam  in  posticas,  si 
modo  propagatio  ejus  infinite  velocior  sit  quam  motus  corporis 
pressi.  Infinite  autem  velocior  erit  &  propagabitur  in  instanti,  si 
modo  fluidum  sit  continuum  &  non  elasticum. 

Co7'ol.  I.  Cylindrorum,  qui  secundum  longitudines  suas  in  mediis 
continuis  infinitis  uniformiter  progrediuntur,  resistentiae  sunt  in  ratione 
quae  componitur  ex  duplicata  ratione  velocitatum  &  duplicata  ratione 
diametrorum  &  ratione  densitatis  mediorum. 

CoroL  2.  Si  amplitudo  canalis  non 
augeatur  in  infinitum,  sed  cylindrus  in 
medio  quiescente  incluso  secundum 
longitudinem  suam  progrediatur,  &  interea 
axis   ejus   cum    axe    canalis    coincidat  : 

resistentia  ejus  erit  ad  vim  qua  totus  ejus    c 

motus,  quo  tempore  quadruplum  longitu- 
dinis  suae  describit,  vel  generari  possit  vel 
tolli,  in  ratione  quae  componitur  ex  ratione 
EFq  ad  EFq—kPQq  semel,  &  ratione 
EFq  ad  EFq—PQq  bis,  &  ratione  den- 
sitatis  medii  ad  densitatem  cylindri. 

Corol.  3.  lisdem  positis,  &  quod  longitudo  L  sit  ad  quadruplum 
longitudinis  cylindri  in  ratione  quae  componitur  ex  ratione  EFq  — 


K 

I 

L 

A 

: 

B 

Hj 

1 
j 

C 

G; 

D 

£ 

^^ 

S 

1 

LIBER  SECUNDUS.  33^ 

\PQq  ad  E Fq  semel,  &  ratione  E Fq—P  Qq  ad  EFq  bis  : 
resistentia  cylindri  erit  ad  vim  qua  totus  ejus  motus,  interea  dum 
longitudinem  L  describit,  vel  tolli  possit  vel  generari,  ut  densitas 
medii  ad  densitatem  cylindri. 

Scholiuni, 

In  hac  propositione  resistentiam  investigavimus  quae  oritur  a  sola 
magnitudine  transversae  sectionis  cylindri,  neglecta  resistentiae  parte 
quae  ab  obliquitate  motuum  oriri  possit.  Nam  quemadmodum  in 
casu  primo  propositionis  xxxvi  obliquitas  motuum,  quibus  partes 
aquae  in  vase  undique  convergebant  in  foramen  E  F,  impedivit 
effluxum  aquae  illius  per  foramen  :  sic  in  hac  propositione,  obliquitas 
motuum,  quibus  partes  aquae  ab  anteriore  cylindri  termino  pressae, 
cedunt  pressioni  &  undique  divergunt,  retardat  eorum  transitum 
per  loca  in  circuitu  termini  ilHus  antecedentis  versus  posteriores 
partes  cylindri,  efficitque  ut  fluidum  ad  majorem  distantiam  com- 
moveatur  &  resistentiam  auget,  idque  in  ea  fere  ratione  qua  effluxum 
aquae  e  vase  diminuit,  id  est,  in  ratione  duplicata  25  ad  21 
circiter.  Et  quemadmodum,  in  propositionis  illius  casu  primo, 
effecimus  ut  partes  aquae  perpendiculariter  &  maxima  copia  transirent 
per  foramen  E  F,  ponendo  quod  aqua  omnis  in  vase  quae  in  circuitu 
cataractae  congelata  fuerat,  &  cujus  motus  obliquus  erat  &  inutiHs, 
maneret  sine  motu  :  sic  in  hac  propositione,  ut  obHquitas  motuum 
toHatur,  &  partes  aquae  motu  maxime  directo  &  brevissimo  cedentes 
faciUimum  praebeant  transitum  cyHndro,  &  sola  maneat  resistentia, 
quae  oritur  a  magnitudine  sectionis  transversae,  quaeque  diminui  non 
potest  nisi  diminuendo  diametrum  cyHndri,  concipiendum  est  quod 
partes  fluidi,  quarum  motus  sunt  obHqui  &  inutiles  &  resistentiam 
creant,  quiescant  inter  se  ad  utrumque  cyHndri  terminum,  &  cohaereant 

&cyHndrojungantur.   SitABCD  ^^ 

rectangulum,  &  ^mt  A  E  81  B  E 
arcus    duo   paraboHci    axe    A  B 

descripti,  latere  autem  recto  quod  ^' 

sit  ad  spatium  H  G,  describendum  ^  ^ 

a  cyHndro  cadente  dum  velocitatem  suam  acquirit,  ut  H  G  did  iA  B. 

Sint  etiam  C  F  81  D  F  arcus  aHi  duo  paraboHci,  axe  CD  81  latere 


^.Q  DE  MOTU  CORPORUM 

recto  quod  slt  prioris  lateris .  recti  quadruplum  descriptl ;  &  con- 
volutione  figurse  clrcum  axem  EF  generetur  solldum  cujus  medla 
pars  ABDCsxt  cyllndrus  de  quo  aglmus,  &  partes  extremae  A  B E 
&  Ci^/^  contlneant  partes  fluldl  Inter  se  qulescentes  &  in  corpora 
duo  riglda  concretas,  quae  cylIndro'utrInque  tanquam  caput  &  cauda 

adh^reant.     Et  solldi  ^^C/^Z^^,  ^ ^g 

secundum   longltudlnem   axis  sui  ^  ^ 

FE  In  partes  versus  E  progred-         „. j  i -\ 

ientis,  reslstentla  ea  erit  quamprox-  #• | ^ .-•'''  ^ 

ime   quam    in    hac    proposltlone  ^  ^ 

descrlpsimus,  id  est,  quse  ratlonem  illam  habet  ad  vlm  qua  totus 
cyHndri  motus,  interea  dum  longltudo  ^A  C  motu  illo  unlformlter 
contlnuato  descrlbatur,  vel  tolli  possit  vel  generari,  quam  densltas 
fluldi  habet  ad  densltatem  cyhndri  quamproxime.  Et  hac  vi 
reslstentia  mlnor  esse  non  potest  quam  in  ratione  2  ad  3,  per  corol.  7 
prop.  XXXVI. 

L  E  M  M  A     V. 

Si  cylindruSy  sphcera  &  sphcErois,  quortim  latitudines  su7it  cBquales, 
in  medio  canalis  cylindrici  ita  locefitur  successive  ut  eorum  axes  cum 
axe  canalis  coincidant :  hcEC  corpora  fluxum  aqtccB  per  canalem 
cequaliter  impedient, 

Nam  spatla  inter  canalem  &  cyHndrum,  sphaeram  &  sphseroldem 
per  quae  aqua  transit,  sunt  aequaha :  &  aqua  per  aequaha  spatia 
sequahter  transit. 

Haec  ita  se  habent  ex  hypothesi,  quod  aqua  omnis  supra 
cyhndrum  sphaeram  vel  sphaeroldem  congelatur,  cujus  fluiditas  ad 
celerrimum  aquae  transitum  non  requiritur,  ut  in  corol.  7  prop. 
xxxvi  exphcui. 


LIBER  SECUNDUS.  341 


L  E  M  M  A      VI 


lisdem  positis,    corpora  prcBdicta   cequaliter    urgentur  ab   aqua   per 

canalem  fluente, 

Patet  per  lemma  v  &  motus  legem  tertlam.       Aqua  utlque  & 
corpora  se  mutuo  aequallter  agunt. 


L  E  M  M  A      VII. 

Si  aqua  quiescat  in  canali,  &  hcec  corpora  in  partes  contrarias  cequali 
velocitate  per  canalem  ferantur :  ceqiiales  eru7it  eorum  resistenticB 
inter  se. 

Constat  ex  lemmate  superlore,  nam  motus  relatlvl  Ildem  inter  se 
manent. 

Scholium. 

Eadem  est  ratlo  corporum  omnlum  convexorum  &  rotundorum, 
quorum  axes  cum  axe  canalls  colncldunt.  Dlfferentla  allqua  ex  majore 
vel  mlnore  frlctlone  orlrl  potest ;  sed  In  hls  lemmatls  corpora  esse 
politlsslma  supponimus,  &  medil  tenacltatem  &  frlctlonem  esse 
nullam,  &  quod  partes  fluldl,  quae  motlbus  suis  obliquis  &  superfluls 
fluxum  aquae  per  canalem  perturbare,  Impedire  &  retardare  possunt, 
qulescant  inter  se  tanquam  gelu  constrlctae,  &  corporlbus  ad  ipsorum 
partes  anticas  &  posticas  adhaereant,  perlnde  ut  in  scholio  propositlo- 
nls  praecedentls  exposul.  Agitur  enim  in  sequentibus  de  resistentia 
omnium  minima  quam  corpora  rotunda,  datis  maxlmis  sectionibus 
transversis  descrlpta,  habere  possunt. 

Corpora  fluidis  innatantia,  ubl  moventur  In  directum,  efliciunt 
ut  fluidum  ad  partem  antlcam  ascendat,  ad  postlcam  subsidat,  prae- 
sertlm  sl  figura  sint  obtusa;  &  inde  reslstentiam  paulo  majorem 
sentlunt  quam  si  capite  &  cauda  slnt  acutis.  Et  corpora  in  fluidls 
elasticis  mota,  sl  ante  &  post  obtusa  sint,  fluldum  paulo  magis 
condensant  ad  anticam  partem  &  paulo  magis  relaxant  ad  posticam  ; 
&  inde  resistentiam  paulo  majorem  sentiunt  quam  sl  capite  &  cauda 
sint  acutis.       Sed  nos  In  his  lemmatis  &  proposltionibus  non  agimus 


342 


DE  MOTU  CORPORUM 


de  fluidis  elasticis,  sed  de  non  elasticis ;  non  de  insidentibus 
fluido,  sed  de  alte  immersis.  Et  ubi  resistentia  corporum  in  fluidis 
non  elasticis  innotescit,  augenda  erit  hsec  resistentia  aliquantulum 
tam  in  fluidis  elasticis,  qualis  est  aer,  quam  in  superficiebus  fluidorum 
stagnantium,  qualia  sunt  maria  &  paludes. 


PROPOSITIO    XXXVIII.      THEOREMA    XXX. 

Glodty  in  fluido  compresso  infinito  &  non  elastico  tmiformiter' 
progredientis^  resistentia  est  ad  vim  qua  totus  ejus  motuSy  quo  tempore 
octo  tertias  partes  diametri  sucE  describit,  vel  tolli possit  vel  ge^ieraH, 
ut  densitas  fluidi  ad  densitatem  globi  quamproxime. 

Nam  globus  est  ad  cylindrum  circumscriptum  ut  duo  ad  tria  ; 
&  propterea  vis  illa,  quae  tollere  possit  motum  omnem  cylindri  interea 
dum  cylindrus  describat  longitudinem  quatuor  diametrorum,  globi 
motum  omnem  tollet  interea  dum  globus  describat  duas  tertias 
partes  hujus  longitudinis,  id  est,  octo  tertias  partes  diametri  proprise. 
Resistentia  autem  cylindri  est  ad  hanc  vim  quamproxime  ut 
densitas  fluidi  ad  densitatem  cyHndri  vel  globi  per  prop.  xxxvii  & 
resistentia  globi  sequalis  est  resistentiae  cylindri  per  lem.  v,  vi,  vii. 
Q-E.D. 

Corol.  i.  Globorum,  in  mediis  compressis  infinitis,  resistentise 
sunt  in  ratione  quse  componitur  ex  duplicata  ratione  velocitatis  & 
duplicata  ratione  diametri  &  ratione  densitatis  mediorum. 

Corol.  2.  Velocitas  maxima  quacum  globus,  vi  ponderis  sui 
comparativi,  in  fluido  resistente  potest  descendere,  ea  est  quam 
acquirere  potest  globus  idem,  eodem  pondere,  sine  resistentia  cadendo 
&  casu  suo  describendo  spatium  quod  sit  ad  quatuor  tertias  partes 
diametri  suse  ut  densitas  globi  ad  densitatem  fluidi.  Nam  globus 
tempore  casus  sui,  cum  velocitate  cadendo  acquisita,  describet  spatium 
quod  erit  ad  octo  tertias  diametri  suse,  ut  densitas  globi  ad 
densitatem  fluidi  :  &  vis  ponderis  motum  hunc  generans  erit  ad 
vim  quse  motum  eundem  generare  possit,  quo  tempore  globus 
octo   tertias   diametri    suse    eadem    velocitate   describit,    ut    densitas 


LIBER  SECUNDUS.  343 

fluidi  ad  densitatem  globi ;  ideoque  per  hanc  propositionem,  vis 
ponderis  aequalis  erit  vi  resistentiae,  &  propterea  globum  accelerare 
non  potest. 

Corol.  3.  Data  &  densitate  globi  &  velocitate  ejus  sub  initio 
motus,  ut  &  densitate  fluidi  compressi  quiescentis  in  qua  globus 
movetur  ;  datur  ad  omne  tempus  &  velocitas  globi  &  ejus  resistentia 
&  spatium  ab  eo  descriptum,  per  corol.  7  prop.  xxxv. 

Corol.  4.  Globus  in  fluido  compresso  quiescente  ejusdem  secum 
densitatis  movendo  dimidiam  motus  sui  partem  prius  amittet  quam 
longitudinem  duarum  ipsius  diametrorum  descripserit,  per  idem 
corol.   7. 


PROPOSITIO  XXXIX.      THEOREMA  XXXI. 

Globiy  per  fiuidum  in  canali  cylindrico  clausum  &  compressum 
U7iiformiter  progredientis,  resistentia  est  ad  vim,  qua  tottcs  ejus 
motuSy  interea  dum  octo  tertias  partes  diametri  sucb  descridit, 
vel  generari  possit  vel  tolli,  in  ratione  quce  componitur  ex 
ratione  orificii  canalis  ad  excessum  kujtcs  orificii  supra 
dimidium  circuli  maxifni  globi,  &  ratione  duplicata  orificii 
canalis  ad  excessum  hujus  orificii  supra  circulum  maximum 
globi,  &  ratione  densitatis  fiuidi  ad  densitatem  globi  quam- 
proxime. 

Patet  per  corol.  2  prop.  xxxvii :  procedit  vero  demonstratio 
quemadmodum  in  propositione  prsecedente. 

Scholium. 

In  propositionibus  duabus  novissimis  (perinde  ut  in  lem.  v) 
suppono  quod  aqua  omnis  congelatur  quse  globum  prsecedit,  &  cujus 
fluiditas  auget  resistentiam  globi.  Si  aqua  illa  omnis  liquescat, 
augebitur  resistentia  aliquantulum.  Sed  augmentum  illud  in  his 
propositionibus  parvum  erit  &  negHgi  potest,  propterea  quod  convexa 
superficies  globi  totum  fere  oflicium  glaciei  faciat. 


344  ^^  MOTV  CORPORUM 


PROPOSITIO    XL.       PROBLEMA    IX. 

Globi,  in  medio  flicidissimo  compresso  progredientis,  invenire  resistentiam 

per  phcsnometia.  ija 

Sit  A  pondus  globi  in  vacuo,  B  pondus  ejus-  in  medio  resistente, 
D  diameter  globi,  F  spatium  quod  sit  ad  *  D  ut  densitas  globi  ad 
densitatem  medii,  id  est,  ut  A  ad  A — B,  G  tempus  quo  globus  pondere 
B  sine  resistentia  cadendo  describit  spatium  F,  &  H  velocitas  quam 
globus  hocce  casu  suo  acquirit.  Et  erit  H  velocitas  maxima  quacum 
globus,  pondere  suo  B,  in  medio  resistente  potest  descendere, 
per  corol.  2  prop.  xxxviii  :  &  resistentia,  quam  globus  ea  cum 
velocitate  descendens  patitur,  sequalis  erit  ejus  ponderi  B  :  resistentia 
vero,  quam  patitur  in  alia  quacunque  velocitate,  erit  ad  pondus  B  in 
duplicata  ratione  velocitatis  hujus  ad  velocitatem  illam  maximam  H, 
per  corol.  i  prop.  xxxviii. 

Haec  est  resistentia  quse  oritur  ab  inertia  materiae  fluidi.  Ea  vero 
quse  oritur  ab  elasticitate,  tenacitate,  &  frictione  partium  ejus,  sic 
investigabitur. 

Demittatur  globus  ut  pondere  suo  B  in  fluido  descendat ;  &  sit 
P  tempus  cadendi,  idque  in  minutis  secundis  si  tempus  G  in  minutis 
secundis    habeatur.       Inveniatur    numerus    absolutus    N    qui    con- 

2  P 

gruit  logarithmo  0,4342944819  -T^,    sitque    L    logarithmus    numeri 

N  +  1      _  .  N— I 

-^-  :.  &  velocitas  cadendo  acquisita  erit   ^        H,  altitudo  autem 

2PF 
descripta  ^xiX.—^ — 1,3862943611  F +  4,6051 701 86  LF.     Si  fluidum 

satis     profundum     sit,    negligi     potest    terminus    4,6051 701 86LF ; 

2PF 
&  erit  -jp 1,3862943611  F  altitudo  descripta  quamproxime.     Pa- 

tent  haec  per  Hbri  secundi  propositionem  nonam  &  ejus  corollaria, 
ex  hypothesi  quod  globus  nullam  aHam  patiatur  resistentiam  nisi  quae 
oritur  ab  inertia  materise.  Si  vero  aliam  insuper  resistentiam  patiatur, 
descensus  erit  tardior,  &  ex  retardatione  innotescet  quantitas  hujus 
resistentiae. 


LIBER  SECUNDUS. 


345 


Ut    corporis    in    fluido    cadentis    velocitas    &    descensus    facilius 

innotescant,    composui    tabulam    sequentem,    cujus    columna    prima 

denotat   tempora   descensus,    secunda    exhibet    velocitates    cadendo 

acquisitas    existente    velocitate    maxima    loooooooo,    tertia    exhibet 

spatia  temporibus  ilHs  cadendo  descripta,  existente  2   F  spatio  quod 

corpus  tempore  G  cum  velocitate  maxima  describit,  &  quarta  exhibet 

spatia  iisdem  temporibus  cum  velocitate  maxima  descripta.     Numeri 

2  P 
in  quarta  columna  sunt  -pr-,   &  subducendo  numerum   1,3862944  — 

4,605 1 702  L,  inveniuntur  numeri  in  tertia  columna,  &  multipHcandi 
sunt  hi  numeri  per  spatium  F  ut  habeantur  spatia  cadendo  descripta. 
Quinta  his  insuper  adjecta  est  columna,  quae  continet  spatia 
descripta  iisdem  temporibus  a  corpore,  vi  ponderis  sui  comparativi  B, 
in  vacuo  cadente. 


Tempora 

Velocitates  cadentis 

Spatia  cadendo  descripta 

Spatia  motu 

Spatia  cadendo 

P 

influido. 

influido. 

maximo  descripta. 

descripta  in  vacuo. 

0,001  G 

99999IS 

0,000001   F 

0,002  F 

0,000001  F 

0,01  G 

999967 

0,0001   F 

0,02  F 

0,0001  F 

0,1  G 

9966799 

0,0099834  F 

0,2  F 

0,01  F 

0,2  G 

19737532 

0,0397361  F 

0,4  F 

0,04  F 

0,3  G 

29131261 

0,0886815    F 

0,6  F 

0,09  F 

0,4  G 

37994896 

0,1559070  F 

0,8  F 

0,16  F 

0,5  G 

46211716 

0,2402290  F 

1,0. F 

0,25  F 

0,6  G 

53704957 

0,3402706  F 

1,2  F 

0,36  F 

0,7  G 

60436778 

0,4545405  F 

1,4  F 

0,49  F 

0,8  G 

66403677 

0,5815071  F 

1,6  F 

0,64  F 

0,9  G 

71629787 

0,7196609  F 

1,8  F 

0,81  F 

I  G 

76159416 

0,8675617  F 

2  F 

I  F 

2  G 

96402758 

2,6500055  F 

4F 

4  F 

3  G 

99505475 

4,6186570  F 

6  F 

9  F 

4  G 

99932930 

6,6143765  F 

8  F 

16  F 

5  G 

99990920 

8,6137964  F 

10  F 

25  F 

6  G 

99998771 

10,6137179  F 

12  F 

36  F 

7  G 

99999834 

12,6137073  F 

,4F 

49  F 

8  G 

99999980 

14,6137059  F 

16  F 

64  F 

9  G 

99999997 

16,6137057  F 

18  F 

81  F 

10  G 

99999999I 

18,6137056  F 

20  F 

100  F 

Scholium. 
Ut  resistentias  fluidorum   investigarem   per   experimenta,  paravi 


346  D^  MOTU  CORPORUM 

vas  ligneum  quadratum,  longitudine  &  latitudine  interna  digitorum 
novem  pedis  LondinensiSy  profunditate  pedum  novem  cum  semisse, 
idemque  .  implevi  aqua  pluviali ;  &  globis  ex  cera  &  plumbo 
incluso  formatis,  notavi  tempora  descensus  globorum,  existente 
descensus  altitudine  1 1 2  digitorum  pedis,  Pes  solidus  cubicus 
Londinensts  continet  76  libras  Romanas  aquse  pluvialis,  &  pedis 
hujus  digitus  solidus  continet  ^  uncias  librae  hujus  seu  grana  ^  5  3 J  ; 
&  globus  aqueus  diametro  digiti  unius  descriptus  continet  grana 
132,645  in  medio  aeris,  vel  grana  132,8  in  vacuo  ;  &  globus  quilibet 
alius  est  ut  excessus  ponderis  ejus  in  vacuo  supra  pondus  ejus  in 
aqua. 

Exper,  I.  Globus,  cujus  pondus  erat  156J  granorum  in  aere  & 
77  granorum  in  aqua,  altitudinem  totam  digitorum  112  tempore 
minutorum  quatuor  secundorum  descripsit.  Et  experimento  repe- 
tito,  globus  iterum  cecidit  eodem  tempore  minutorum  quatuor 
secundorum. 

Pondus  globi  in  vacuo  est.156^  gran.  &  excessus  hujus  ponderis 
supra  pondus  globi  in  aqua  est  79^!  gran,  Unde  prodit  globi 
diameter  0,84224  partium  digiti.  Est  autem  ut  excessus  ille  ad 
pondus  globi  in  vacuo,  ita  densitas  aquse  ad  densitatem  globi,  & 
ita  partes  octo  tertiae  diametri  globi  (ms.  2,24597  dig.)  ad  spatium 
2  F,  quod  proinde  erit  4,4256  dig.  Globus  tempore  minuti  unius 
secundi,  toto  suo  pondere  granorum  156JI,  cadendo  in  vacuo  describet 
digitos  193^;  &  pondere  granorum  77,  eodem  tempore,  sine 
resistentia  cadendo  in  aqua  describit  digitos  95,219;  &  tempore 
G,  quod  sit  ad  minutum  unum  secundum  in  subdupHcata  ratione 
spatii  F  seu  2,2128  dig.  ad  95,219  dig.  describet  2,2128  dig.  & 
velocitatem  maximam  H  acquiret  quacum  potest  •  in  aqua  descendere. 
Est  igitur  tempus  G  0^^15244.  Et  hoc  tempore  G,  cum 
velocitate  illa  maxima  H,  globus  describet  spatium  2  F  digitorum 
4,4256;  ideoque  tempore  minutorum  quatuor  secundorum  describet 
spatium  digitorum  116,1245.  Subducatur  spatium  1,3862944  F 
seu  3,0676  dig.  &  manebit  spatium  113,0569  digitorum  quod  globus 
cadendo  in  aqua,  in  vase  amplissimo,  tempore  minutorum  qua- 
tuor  secundorum  describet.  Hoc  spatium,  ob  angustiam  vasis 
lignei     praedicti,    minui     debet     in     ratione     quae     componitur     ex 


LIBER  SECUNDUS.  347 

subduplicata  ratlone  orificii  vasis  ad  excessum  orificii  hujus  supra 
semicirculum  maximum  globi  &  ex  simplici  ratione  orificii  ejusdem 
ad  excessum  ejus  supra  circulum  maximum  globi,  id  est,  in  ratione 
I  ad  0,9914.  Quo  facto,  habebitur  spatium  112,08  digitorum,  quod 
globus  cadendo  in  aqua  in  hoc  vase  ligneo  tempore  minutorum 
quatuor  secundorum  per  theoriam  describere  debuit  quamproxime. 
Descripsit  vero  digitos  112  per  experimentum. 

Exper.  2.  Tres  globi  sequales,  quorum  pondera  seorsim  erant 
1^\  granorum  in  aere  &  5^3.  granorum  in  aqua,  successive  demitte- 
bantur ;  unusquisque  cecidit  in  aqua  tempore  minutorum  secun- 
dorum  quindecim,  casu  suo  describens  altitudinem  digitorum  112. 

Computum  ineundo  prodeunt  pondus  globi  in  vacuo  76^  gran, 
excessus  hujus  ponderis  supra  pondus  in  aqua  71^  gran.  diameter 
globi  0,81296  dig.  octo  tertiae  partes  hujus  diametri  2,16789  dig. 
spatium  2  F  2,3217  dig.  spatium  quod  globus  pondere  ^^  gran. 
tempore  i^'' sine  resistentia  cadendo  describat  12,808  dig.  81  tempus 
G  o^',  30 105 6.  Globus  igitur,  velocitate  maxima  quacum  potest 
in  aqua  vi  ponderis  ^^  gran.  descendere,  tempore  0^^301056  describet 
spatium  2,3217  dig.  &  tempore  15''  spatium  115,678  dig.  Subducatur 
spatium  1,3862944  F  seu  1,609  ^-^^-  &  manebit  spatium  114,069  dig. 
quod  proinde  globus  eodem  tempore  in  vase  latissimo  cadendo 
describere  debet.  Propter  angustiam  vasis  nostri  detrahi  debet 
spatium  0,895  dig.  circiter.  Et  sic  manebit  spatium  113,174  dig. 
quod  globus  cadendo  in  hoc  vase,  tempore  1 5''  describere  debuit  per 
theoriam  quamproxime.  Descripsit  vero  digitos  112  per  experi- 
mentum.     Differentia  est  insensibiHs. 

Exper.  3.  Globi  tres  sequales,  quorum  pondera  seorsim  erant 
121  gran.  in  aere  &  i  gran.  in  aqua,  successive  demittebantur ;  & 
cadebant  in  aqua  temporibus  46^',  47'^  &  50'^  describentes 
altitudinem  digitorum  112. 

Per  theoriam  hi  globi  cadere  debuerunt  tempore  40''  circiter. 
Quod  tardius  ceciderunt,  utrum  minori  proportioni  resistentiae, 
quae  a  vi  inertiae  in  tardis  motibus  oritur,  ad  resistentiam  quae  oritur 
ab  aliis  causis  tribuendum  sit;  an  potius  bulluHs  nonnullis  globo 
adhaerentibus,  vel  rarefactioni  cerae  ad  calorem  vel  tempestatis  vel 
manus   globum   demittentis,    vel   etiam    erroribus    insensibihbus   in 


348  DE  MOTU  CORPORUM 

ponderandis  globis  in  aqua,  incertum  esse  puto.  Ideoque  pondus 
globi  in  aqua  debet  esse  plurium  granorum,  ut  experimentum  certum 
&  fide  dignum  reddatur. 

Exper.  4.  Experimenta  hactenus  descripta  ccepi,  ut  investigarem 
resistentias  fluidorum,  antequam  theoria  in  propositionibus  proxime 
praecedentibus  exposita  mihi  innotesceret.  Postea,  ut  theoriam 
inventam  examinarem,  paravi  vas  Hgneum  latitudine  interna  digitorum 
81,  profunditate  pedum  quindecim  cum  triente.  Deinde  ex  cera 
&  plumbo  incluso  globos  quatuor  formavi,  singulos  pondere  1 39J 
granorum  in  aere  &  7|.  granorum  in  aqua.  Et  hos  demisi  ut 
tempora  cadendi  in  aqua  per  pendulum,  ad  semi-minuta  secunda 
oscillans,  mensurarem.  Globi,  ubi  ponderabantur  &  postea  cadebant, 
frigidi  erant  &  aHquamdiu  frigidi  manserant ;  quia  calor  ceram 
rarefacit,  &  per  rarefactionem  diminuit  pondus  globi  in  aqua,  & 
cera  rarefacta  non  statim  ad  densitatem  pristinam  per  frigus 
reducitun  Antequam  caderent,  immergebantur  penitus  in' aquam  ; 
ne  pondere  partis  aHcujus  ex  aqua  extantis  descensus  eorum  sub 
initio  acceleraretur.  Et  ubi  penitus  immersi  quiescebant,  demitte- 
bantur  quam  cautissime,  ne  impulsum  aHquem  a  manu  demittente 
acciperent.  Ceciderunt  autem  successive  temporibus  osciHationum 
47J,  481,  50  &  51,  describentes  altitudinem  pedum  quindecim  & 
digitorum  duorum.  Sed  tempestas  jam  paulo  frigidior  erat  quam 
cum  globi  ponderabantur,  ideoque  iteravi  experimentum  aHo  die, 
&  globi  ceciderunt  temporibus  osciHationum  49,  49^,  50  &  53,  ac 
tertio  temporibus  osciHationum  491,  50,  51  &  53.  Et  experimento 
saepius  capto,  globi  ceciderunt  maxima  ex  parte  temporibus 
osciHationum  49^  &  50.  Ubi  tardius  cecidere,  suspicor  eosdem 
retardatos  fuisse  impingendo  in  latera  vasis. 

Jam  computum  per  theoriam  ineundo,  prodeunt  pondus  globi 
in  vacuo  1392  granorum.  Excessus  hujus  ponderis  supra  pondus 
globi  in  aqua  132J1  gran.  Diameter  globi  0,99868  dig.  Octo 
tertiae  partes  diametri  2,66315  dig.  Spatium  2  F  2,8066  dig. 
Spatium  quod  globus  pondere  7J  granorum,  tempore  minuti  unius 
secundi,  sine  resistentia  cadendo  describit  9,88164  dig.  Et  tempus 
G  o'^, 3  76843.  Globus  igitur,  velocitate  maxima,  quacum  pote^t  in 
aqua  vi  ponderis  71   granorum  descendere,  tempore  0^^376843   de- 


LIBER  SECUNDUS.  ^.q 

scrlbit  spatium  2,8066  digitorum,  &  tempore  i"  spatium  7,44766 
digitorum,  &  tempore  25"  seu  oscillationum  50  spatium  186,1915  dig. 
Subducatur  spatium  1,386294  F,  seu  1,9454  dig.  &  manebit  spatium 
184,2461  dig.  quod  globus  eodem  tempore  in  vase  latissimo 
describet.  Ob  angustiam  vasis  nostri,  minuatur  hoc  spatium  in 
ratione  quae  componitur  ex  subduplicata  ratione  orificii  vasis  ad 
excessum  hujus  orificii  supra  semicirculum  maximum  globi,  & 
simplici  ratione  ejusdem  orificii  ad  excessum  ejus  supra  circulum 
maximum  globi ;  &  habebitur  spatium  181,86  digitorum,  quod  globus 
in  hoc  vase  tempore  oscillationum  50  describere  debuit  per  theoriam 
quamproxime.  Descripsit  vero  spatium  182  digitorum  tempore 
oscillationum  49!^  vel  50  per  experimentum. 

Exper.  5.  Globi  quatuor  pondere  \^\\  gran.  in  aere  &  2\\  gran. 
in  aqua  saepe  demissi  cadebant  tempore  oscillationum  2  81,  29,  29I 
Sc  30,  &  nonnunquam  31,  32  &  33,  descrlbentes  altitudinem  pedum 
quindecim  &  digitorum  duorum. 

Per  theoriam  cadere  debuerunt  tempore  oscillationum  29  quam- 
proxlme. 

Exper,  6.  Globi  qulnque  pondere  2 1 2%  gran.  In  aere  &  79^  in 
aqua  saepe  demlssi  cadebant  tempore  osclllationum  15,  15I,  16,  17 
&  18,  descrlbentes  altltudlnem  pedum  qulndeclm  &  dlgitorum 
duorum. 

Per  theoriam  cadere  debuerunt  tempore  oscillationum  15  quam- 
proxime. 

Exper.  7.  Globi  quatuor  pondere  2(^i\gran.  In  aere  &  Z^l  gra^t. 
in  aqua  ssepe  demissi  cadebant  tempore  oscillationum  291,  30, 
301»  31»  32  &  33.  describentes  altitudinem  pedum  quindecim  &  dlgltl 
unius  cum  semisse. 

Per  theorlam  cadere  debuerunt  tempore  osclllationum  28  quam- 
proxime. 

Causam  Investigando  cur  globorum,  ejusdem  ponderis  &  magni- 
tudinis,  allqul  cltius  alii  tardlus  caderent,  in  hanc  Incldi ;  quod  globi, 
ubi  primum  demittebantur  &  cadere  Incipiebant,  oscillarent  circum 
centra,  latere  illo  quod  forte  gravlus  esset  primum  descendente, 
&  motum  oscillatorium  generante.  Nam  per  oscillationes  suas 
globus  majorem  motum  communlcat  aquse,  quam  si  slne  oscll- 
latlonibus    descenderet ;     &    communicando   amittit    partem   motus 


350  DE  MOTU  CORPORUM 

proprii  qiio  descendere  deberet :  &  pro  majore  vel  minore  oscil- 
latione,  magis  vel  minus  retardatur.  Quinetiam  globus  recedit 
semper  a  latere  suo  quod  per  oscillationem  descendit,  &  recedendo 
appropinquat  lateribus  vasis  &  in  latera  nonnunquam  impingi- 
tur.  Et  hsec  oscillatio  in  globis  gravioribus  fortior  est,  &  in 
majoribus  aquam  magis  agitat.  Quapropter,  ut  oscillatio  globorum 
minor  redderetur,  globos  novos  ex  cera  &  plumbo  construxi, 
infigendo  plumbum  in  latus  aliquod  globi  prope  superficiem  ejus ; 
&  globum  ita  demisi,  ut  latus  gravius,  quoad  fieri  potuit,  esset 
infimum  ab  initio  descensus.  Sic  oscillationes  factae  sunt  multo 
minores  quam  prius,  &  globi  temporibus  minus  inaequalibus  ceciderunt, 
ut  in  experimehtis  sequentibus. 

Exper.  8.  Globi  quatuor,  pondere  granorum  139  in  aere  &  6\  in 
aqua,  saepe  demissi,  ceciderunt  temporibus  oscillationum  non  plu- 
rium  quam  52,  non  pauciorum  quam  50,  &  maxima  ex  parte  tem- 
pore  oscillationum  51  circiter,  describentes  altitudinem  digitorum 
182. 

Per  theoriam  cadere  debuerunt  tempore  oscillationum  52  circi- 
ter. 

Exper.  (^.  Globi  quatuor,  pondere  granorum  2  73^  in  aere  & 
I40f  in  aqua,  ssepius  demissi,  ceciderunt  temporibus  oscillationum 
non  pauciorum  quam  12,  non  plurium  quam  13,  describentes 
altitudinem  digitorum  182. 

Per  theoriam  vero  hi  globi  cadere  debuerunt  tempore  oscillationum 
iij  quamproxime. 

Exper.  10.  Globi  quatuor,  pondere  granorum  384  in  aere  & 
iiQjin  aqua,  saepe  demissi,  cadebant  temporibus  oscillationum  17^, 
18,  18J  &  19,  describentes  altitudinem  digitorum  181^.  Et  ubi 
ceciderunt  tempore  oscillationum  19,  nonnunquam  audivi  impulsum 
eorum  in  latera  vasis  antequam  ad  fundum  pervenerunt. 

Per  theoriam  vero  cadere  debuerunt  tempore  oscillationum  155 
quamproxime. 

Exper.  II.  Globi  tres  aequales,  pondere  granorum  48  in  aere  & 
311  in  aqua,  saepe  demissi,  ceciderunt  temporibus  oscillationum  43^, 
44.  444.  45  &  46,  &  maxima  ex  parte  44  &  45,  describentes  altitu- 
dinem  digitorum  182J  quamproxime. 


LIBER  SECUNDUS.  ^^I 

Per  theoriam  cadere  debuerunt  tempore  oscillationum  46I  cir- 
citer. 

Exper,  12.  Globi  tres  aequales,  pondere  granorum  141  in  aere  & 
41  in  aqua,  aliquoties  demissi,  ceciderunt  temporibus  oscillationum 
61,  62,  63,  64,  &  65,  describentes  altitudinem  digitorum  182. 

Et  per  theoriam  cadere  debuerunt  tempore  oscillationum  64I 
quamproxime. 

Per  haec  experimenta  manifestum  est  quod,  ubi  globi  tarde 
ceciderunt,  ut  in  experimentis  secundis,  quartis,  quintis,  octavis, 
undecimis  ac  duodecimis,  tempora  cadendi  recte  exhibentur  per 
theoriam  :  at  ubi  globi  velocius  ceciderunt,  ut  in  experimentis  sextis, 
nonis  ac  decimis,  resistentia  paulo  major  extitit  quam  in  duplicata 
ratione  velocitatis.  Nam  globi  inter  cadendum  oscillant  aHquantulum; 
&  hsec  oscillatio  in  globis  levioribus  &  tardius  cadentibus,  ob 
motus  languorem  cito  cessat ;  in  gravioribus  autem  &  majoribus, 
ob  motus  fortitudinem  diutius  durat,  &  non  nisi  post  plures 
oscillationes  ab  aqua  ambienti  cohiberi  potest.  Ouinetiam  globi^  quo 
velociores  sunt,  eo  minus  premuntur  a  fluido  ad  posticas  suas  partes  ; 
&  si  velocitas  perpetuo  augeatur,  spatium  vacuum  tandem  a 
tergo  rehnquent,  nisi  compressio  fluidi  simul  augeatur.  Debet  autem 
compressio  fluidi  (per  prop.  xxxii  &  xxxiii)  augeri  in  duplicata 
ratione  velocitatis,  ut  resistentia  sit  in  eadem  duplicata  ratione. 
Quoniam  hoc  non  fit,  globi  velociores  paulo  minus  premuntur  a  tergo, 
&  defectu  pressionis  hujus,  resistentia  eorum  fit  paulo  major  quam  in 
duplicata  ratione  velocitatis. 

Congruit  igitur  theoria  cum  phsenomenis  corporum  cadentium 
in  aqua,  reHquum  est  ut  examinemus  phaenomena  cadentium  in 
aere. 

Exper.  13.  A  culmine  ecclesise  Sancti  Pauli,  in  urbe  Londini, 
mense  Junio  1710,  globi  duo  vitrei  simul  demittebantur,  unus  argenti 
vivi  plenus,  alter  aeris ;  &  cadendo  describebant  altitudinem  pedum 
Londinensium  220.  Tabula  Hgnea  ad  unum  ejus  terminum  poHs 
ferreis  suspendebatur,  ad  alterum  pessulo  Hgneo  incumbebat;  & 
globi  duo  huic  tabulae  impositi  simul  demittebantur,  subtrahendo 
pessulum  ope  fiH  ferrei  ad  terram  usque  demissi  ut  tabula  poHs  ferreis 
solummodo  innixa  super  iisdem  devolveretur,  &  eodem  temporis 
momento     pendulum     ad     minuta     secunda     osciHans,     per     filum 


352 


DE  MOTU  CORPORUM 


illud  ferreum  tractum  demltteretur  &  osclllare  inciperet.     Dlametri  & 
pondera  globorum  ac  tempora  cadendl  exhlbentur  In  tabula  sequente. 


GLOBORUM  MERCURIO  PLENORUM. 

GLOBORUM  AERE  PLENORUM. 

Pondera. 

Diametri. 

Tempora 
cadendi. 

Pondera. 

Diametri. 

Tempora 
cadendi. 

908  gran. 

983 
866 

747 
808 
784 

0,8  digit. 

0,8 

0,8 

0,75 

0,75 

0,75 

4" 

4— 

4 

4+ 

4 

4+ 

510  gran. 
642 

599 
515 
483 
641 

5,1  digit. 

5,2 
5,1 
5,0 
5,0 
5,2 

8 

8i 
81 
8" 

Caeterum  tempora  observata  corrigi  debent.  Nam  globi  mercu- 
riales  (per  theoriam  Galilm)  minutis  quatuor  secundis  describent 
pedes  Lojidirmises  257,  &  pedes  220  minutis  tantum  3"  \2"'.  Tabula 
lignea  utlque,  detracto  pessulo,  tardlus  devolvebatur  quam  par 
erat,  &  tarda  sua  devolutlone  impediebat  descensum  globorum  sub 
initio.  Nam  globi  incumbebant  tabulae  prope  medlum  ejus,  & 
paulo  quldem  propiores  erant  axi  ejus  quam  pessulo.  Et  hinc  tem- 
pora  cadendi  prorogata  fuerunt  mlnutis  tertils  octodeclm  circlter, 
&  jam  corrlgi  debent  detrahendo  illa  minuta,  praesertim  in  globls 
majoribus  qui  tabulae  devolventi  paulo  dlutlus  incumbebant  propter 
magnltudinem  dlametrorum.       Quo  facto  tempora,  qulbus  globl  sex 


8' 


12' 


r  42' 


42' 


r  sr 


dlametro  digltoruml 
cecidit  tempore  8^'^ 
Pondus    aquae    hulc 


majores   cecidere,    evadent 

%"  I2"\8l    f  A,2'", 

Globorum  Igltur  aere  plenorum  quintus 
quinque  pondere  granorum  483  constructus, 
\2'",    descrlbendo    altltudlnem    pedum     220. 

globo  aequaHs  est  1 6600  granorum  ;  &  pondus  aerls  eldem  aequahs 
^st  i||oo  gran.  seu  \^^^  gran.  ideoque  pondus  globi  in  vacuo  est 
502,^  gran.  &  hoc  pondus  est  ad  pondus  aeris  globo  aequahs,  ut 
502 A  ad  iqtit,  &  ita  sunt  2  F  ad  octo  tertias  partes  diametri  globi, 
id  est,  ad  13J  dlgitos.  Unde  2  F  prodeunt  28/^^.  11  dig.  Globus 
cadendo  in  vacuo,  toto  suo  pondere  502A  granorum,  tempore  mlnuti 
unius  secundi  describlt  dlgitos  193^  ut  supra,  &  pondere  483 
gran.  describit  dlgitos   185,905,  &  eodem  pondere  483  gran.  etiam 


LIBER  SECUNDUS. 


353 


in  vacuo  descrlbit  spatium  F  seu  14  ped.  5J  dig.  tempore  57'''  ^^"" , 
&  velocitatem  maximam  acquirit  quacum  possit  in  aere  descendere. 
Hac  velocitate  globus,  tempore  8'''  12'",  describet  spatium  pedum 
245  &  digitorum  5J.  Aufer  1,3863  F  seu  20  ped.  o\  dig.  & 
manebunt  225  ped.  5  dig.  Hoc  spatium  igitur  globus,  tempore  Z" 
\2"\  cadendo  describere  debuit  per  theoriam.  Descripsit  vero 
spatium  220  pedum  per  experimentum.  Differentia  insensibilis  est. 
Similibus  computis  ad  reliquos  etiam  globos  aere  plenos  applicatis, 
confeci  tabulam  sequentem. 


Globorum 
pondera. 

Diametri. 

Tempora  cadendi 
ab  altitudine 
pedum  220 

Spatia  describenda 
per  theoriam. 

Excesstcs. 

$10  gran. 

642 

599 

515 

483 

641 

5»i  <ik' 

5,2 

5,1 

5 
5 

5,2 

8-     12'" 
7      42 
7      42 

7  57 

8  12 

7      42 

226  ped.      II  dig. 
230               9 
237              10 

224  5 

225  5 
230              7 

6  ped.     II  dig. 
10               9 

7  10 

4  5 

5  5 
10              7 

Exper,  14.  Anno  1719.  mense  Julio  D.  Desaguliers  hujusmodi 
experimenta  iterum  cepit,  formando  vesicas  porcorum  in  orbem 
sphaericum  ope  sphserae  ligneae  concavae  ambientis,  quam  madefactae 
implere  cogebantur  inflando  aerem ;  &  hasce  arefactas  &  exemptas 
demittendo  ab  altiore  loco  in  templi  ejusdem  turri  rotunda  fornicata, 
nempe  ab  altitudine  pedum  272;  &  eodem  temporis  momento 
demittendo  etiam  globum  plumbeum  cujus  pondus  erat  duarum 
librarum  Romanarum  circiter.  Et  interea  aHqui  stantes  in  suprema 
parte  templi,  ubi  globi  demittebantur,  notabant  tempora  tota  cadendi, 
&  alii  stantes  in  terra  notabant  differentiam  temporum  inter  casum 
globi  plumbei  &  casum  vesicae.  Tempora  autem  mensurabantur 
pendulis  ad  dimidia  niinuta  secunda  oscillantibus.  Et  eorum  qui 
in  terra  stabant  unus  habebat  horologium  cum  elatere  ad  singula 
minuta  secunda  quater  vibrante ;  alius  habebat  machinam  aliam 
affabre  constructam  cum  pendulo  etiam  ad  singula  minuta  secunda 
quater  vibrante.  Et  similem  machinam  habebat  unus  eorum  qui 
stabant  in  summitate  templi.       Et  haec  instrumenta  ita  formabantur, 

z 


354 


DE  MOTU  COBPORUM 


ut  motus  eorum  pro  lubitu  vel  inciperent  vel  sisterentur.  Globus 
autem  plumbeus  cadebat  tempore  minutorum  secundorum  quatuor 
cum  quadrante  circiter.  Et  addendo  hoc  tempus  ad  praedictam 
temporis  differentiam,  colligebatur  tempus  totum  quo  vesica  cecidit. 
Tempora,  quibus  vesicae  quinque  post  casum  globi  plumbei  prima 
vice  ceciderunt,  erant  14!'^  12%' \  \^V\  \^V\  &  i6f'^  &  secunda 
vice  \\V\  \\\",  14'',  19'',  &  \t\'\  Addantur  d^\" ,  tempus  utique 
quo  globus  plumbeus  cecidit,  &  tempora  tota,  quibus  vesicae 
quinque  ceciderunt,  erant  prima  vice  19'',  17'^,  \Zy\  22^^,  &  2\\"  \ 
&  secunda  vice,  18!'^  iSy,  i8r'',  231-'',  &  2\",  Tempora  autem 
in   summitate   tempH    notata   erant   prima    vice     19!'',    \^\'\    i8J^', 


22^ 


&  2ir ;  &  secunda  vice  19^  iSr,  i8r,  24^  &  21^.  Cse- 
terum  vesicae  non  semper  recta  cadebant,  sed  nonnunquam  volitabant, 
&  hinc  inde  oscillabantur  inter  cadendum.  Et  his  motibus  tempora 
cadendi  prorogata  sunt  &  aucta  nonnunquam  dimidio  minuti 
unius  secundi,  nonnunquam  minuto  secundo  toto.  Cadebant 
autem  rectius  vesica  secunda  &  quarta  prima  vice ;  &  prima  ac 
tertia  secunda  vice.  Vesica  quinta  rugosa  erat  &  per  rugas  suas 
nonnihil  retardabatur.  Diametros  vesicarum  deducebam  ex  earum 
circumferentiis  filo  tenuissimo  bis  circundato  mensuratis.  Et  theoriam 
contuH  cum  experimentis  in  tabula  sequente,  assumendo  densitatem 
aeris  esse  ad  densitatem  aquae  pluvialis  ut  i  ad  860,  &  computando 
spatia  quae  globi  per  theoriam  describere  debuerunt  cadendo. 


Vesicarum 
pondera. 

Diametri. 

Tempora  cadendi 
ab  altitudine 
pedum  272. 

Spatia  iisdem  temporibus 
describenda  per  theoriam. 

Differentia  inter  theor. 

"      dr»  exper. 

12S  gran. 

156 

i37i 

99J 

5,28  dig 

5»i9 

5»3 

5,26 

5 

19' 

22 

2^1  ped.       II  dig. 
272                o^ 
272                7 
277                4 
282                0 

—  0  ped.      I  dig. 
+  0             o^ 
+  0              7 

+  5              4 
-|- 10           0 

Globorum  igitur  tam  in  aere  quam  in  aqua  motorum  resistentia 
prope  omnis  per  theoriam  nostram  recte  exhibetur,  ac  densitati 
fluidorum,  paribus  globorum  velocitatibus  ac  magnitudinibus,  pro- 
portionaHs  est. 


LIBER  SECUND US.  ^cc 

In  scholio,  quod  sectioni  sextse  subjunctum  est,  ostendimus  per 
experimenta  pendulorum  quod  globorum  aequalium  &  sequivelocium 
in  aere,  aqua,  &  argento  vivo  motorum  resistentiae  sunt  ut  fluidorum 
densitates.  Idem  hic  ostendimus  magis  accurate  per  experimenta 
corporum  cadentium  in  aere  &  aqua.  Nam  pendula  singuHs  oscil- 
lationibus  motum  cient  in  fluido  motui  penduli  redeuntis  semper 
contrarium,  &  resistentia  ab  hoc  motu  oriunda,  ut  &  resistentia  fili 
quo  pendulum  suspendebatur,  totam  penduli  resistentiam  majorem 
reddiderunt  quam  resistentia  quae  per  experimenta  corporum  caden- 
tium  prodiit.  Etenim  per  experimenta  pendulorum  in  scholio  illo 
exposita,  globus  ejusdem  densitatis  cum  aqua,  describendo  longitu- 
dinem  semidiametri  suae  in  aere,  amittere  deberet  motus  sui  partem 
^^.  At  per  theoriam  in  hac  septima  sectione  expositam  &  expe- 
rimentis  cadentium  confirmatam  globus  idem  describendo  longitudinem 
eandem  amittere  deberet^  motus  sui  partem  tantum  .^^,  posito 
quod  densitas  aquae  sit  ad  densitatem  aeris  ut  860  ad  i.  Resistentiae 
igitur  per  experimenta  pendulorum  majores  prodiere  (ob  causas  jam 
descriptas)  quam  per  experimenta  globorum  cadentium,  idque  in 
ratione  4  ad  3  circiter.  Attamen  cum  pendulorum  in  aere,  aqua  & 
argento  vivo  oscillantium  resistentiae  a  causis  similibus  similiter 
augeantur,  proportio  resistentiarum  in  his  mediis,  tam  per  experimenta 
pendulorum,  quam  per  experimenta  corporum  cadentium,  satis  recte 
exhibebitur.  Et  inde  concludi  potest  quod  corporum  in  fluidis 
quibuscunque  fluidissimis  motorum  resistentiae,  caeteris  paribus,  sunt 
ut  densitates  fluidorum. 

His  ita  stabilitis,  dicere  jam  licet  quamnam  motus  sui  partem  glo- 
bus  quilibet,  in  fluido  quocunque  projectus,  dato  tempore  amittet 
quamproxime.  Sit  D  diameter  globi,  &  V  velocitas  ejus  sub  initio 
motus,  &  T  tempus,  quo  globus  velocitate  V  in  vacuo  describet 
spatium,  quod  sit  ad  spatium  |  D  ut  densitas  globi  ad  densitatem  fluidi : 
&  globus  in  fluido  illo   projectus,  tempore    quovis  alio  /,    amittet 

/V                                    TV 
velocitatis  suae   partem  Tp — : ,  manente   parte  7^ ,   &  describet 

spatium,  quod  «it  ad  spatium  uniformi  velocitate  V  eodem  tempore 
descriptum   in  vacuo,  ut  logarithmus  numeri    >p     multiplicatus  per 


356  DE  MOTU  CORPORUM 

t 
numerum    2,302585093   est   ad   numerum  qF- ,    per   corol.     7    prop. 

XXXV.  In  motibus  tardis  resistentia  potest  esse  paulo  minor  propterea 
quod  figura  globi  paulo  aptior  sit  ad  motum  quam  figura  cylindri 
eadem  diametro  descripti.  In  motibus  velocibus  resistentia  potest  esse 
paulo  major,  propterea  quod  elasticitas  &  compressio  fluidi  non 
augeantur  in  duplicata  ratione  velocitatis.  Sed  hujusmodi  minutias 
hic  non  expendo. 

Et  quamvis  aer,  aqua,  argentum  vivum  &  similia  fluida,  per  di- 
visionem  partium  in  infinitum,  subtiliarentur  &  fierent  media  infinite 
fluida ;  tamen  globis  projectis  haud  minus  resisterent.  Nam 
resistentia,  de  qua  agitur  in  propositionibus  praecedentibus,  oritur 
ab  inertia  materise  &  inertiae  materiae  corporibus  essentialis  est  & 
quantitati  materiae  semper  proportionalis.  Per  divisionem  partium 
fluidi,  resistentia  quae  oritur  a  tenacitate  &  frictione  partium  diminui 
quidem  potest  :  sed  quantitas  materiae  per  divisionem  partium  ejus 
non  diminuitur ;  &  manente  quantitate  materiae,  manet  ejus  vis 
inertiae,  cui  resistentia,  de  qua  hic  agitur,  semper  proportionalis  est. 
Ut  haec  resistentia  diminuatur,  diminui  debet  quantitas  materiae  in 
spatiis  per  quae  corpora  moventur.  Et  propterea  spatia  coelestia, 
per  quae  globi  planetarum  &  cometarum  in  omnes  partes  liberrime 
&  sine  omni  motus  diminutione  sensibili  perpetuo  moventur,  fluido 
omni  corporeo  destituuntur,  si  forte  vapores  longe  tenuissimos  & 
trajectos  lucis  radios  excipias. 

Projectilia  utique  motum  cient  in  fluidis  progrediendo,  &  hic 
motus  oritur  ab  excessu  pressionis  fluidi  ad  projectilis  partes  anticas 
supra  pressionem  ad  ejus  partes  posticas,  &  non  minor  esse  potest 
in  mediis  infinite  fluidis  quam  in  aere,  aqua  &  argento  vivo  pro 
densitate  materiae  in  singuHs.  Hic  autem  pressionis  excessus,  pro 
quantitate  sua,  non  tantum  motum  ciet  in  fluido,  sed  etiam  agit 
in  projectile  ad  motum  ejus  retardandum  :  &  propterea  resistentia 
in  omni  fluido  est  ut  motus  in  fluido  a  projectili  excitatus,  nec  minor 
esse  potest  in  aethere  subtilissimo  pro  densitate  aetheris,  quam  in  aere, 
aqua  &  argento  vivo  pro  densitatibus  horum  fluidorum. 


LIBER  SECUNDUS. 


357 


SECTIO     VIII. 

De  motu  per  fluida  propagato. 

PROPOSITIO    XLI.      THEOREMA    XXXII. 

Pressio  non  propagatitr  per  fluidum  secundum  lineas  rectas,  nisi  ubi 
particulce  fluidi  in  directum  jacent. 


Si  jaceant  partlculse  a,  b,  c,  d,  e  in  linea  recta,  potest  quidem  pres- 
sio  directe  propagari  ah  a2id  e  ;  at  particula  e  urgebit  particulas  oblique 
positas  f  81  g  oblique,  &  particulae  illae  /  8i  g  non  sustinebunt 
pressionem  illatam,  nisi  fulciantur  a  particulis  ulterioribus  h  81  k ; 
quatenus  autem  fulciuntur,  premunt  particulas  fulcientes  ;  &  hae  non 
sustinebunt  pressionem  nisi  fulciantur  ab  ulte- 
rioribus  l  81  m  easque  premant,  &  sic  deinceps 
in  infinitum.  Pressio  igitur,  quum  primum 
propagatur  ad  particulas  quae  non  in  directum 
jacent,  divaricare  incipiet  &  oblique  propagabitur 
in  infinitum ;  &  postquam  incipit  oblique 
propagari,  si  inciderit  in  particulas  ulteriores, 
quae  non  in  directum  jacent,  iterum  divaricabit ;  idque  toties,  quoties 
in  particulas  non  accurate  in  directum  jacentes  inciderit.     Q.E.D. 

Corol.  Si  pressionis,  a  dato  puncto  per  fluidum  propagatae,  pars 
aliqua  obstaculo  intercipiatur ;  pars  reliqua,  quae  non  intercipitur, 
divaricabit  in  spatia  pone  obstaculum.  Id  quod  sic  etiam  demon- 
strari  potest.  A  puncto  A  propagetur  pressio  quaquaversum,  idque 
si  fieri  potest  secundum  lineas  rectas,  &  obstaculo  iVi^  CA^perfora- 
to  in  B  C  intercipiatur  ea  omnis,  praeter  partem  coniformem  A  P  Q, 
quae  per  foramen  circulare  B  C  transit.  Planis  transversis  de,  fg, 
h  i  distinguatur  conus  A  P  Q  va  frusta ;  &  interea  dum  conus  A  B  C, 
pressionem  propagando,  urget  frustum  conicum  ulterius  degf  in 
superficie  de,  &  hoc  frustum  urget  frustum  proximum  fg  ih  in 
superficie/^,  &  frustum  illud  urget  frustum  tertium,  &  sic  deinceps 
in  infinitum ;    manifestum  est  (per  motus  legem  tertiam)  quod  fru- 


358 


DE  MOTU  CORPORUM 


stum  primum  defg,  reactione  frusti  secundi  fghi,  tantum  urgebitur 
&  premetur  in  superficie  fg,  quantum  urget  &  premit  frustum 
illud  secundum.  Frustum  igitur  degfm\.^r  conum  AdeSi  frustum 
fhig  comprimitur  utrinque,  &  propterea  (per  corol.  6  prop.  xix) 
figuram  suam  servare  nequit,  nisi  vi  eadem  comprimatur  undique. 
Eodem  igitur  impetu  quo  premitur   in   superficiebus  de,  fg,  cona- 


bitur  cedere  ad  latera  df,  eg ;  ibique  (cum  rigidum  non  sit,  sed 
omnimodo  fluidum)  excurret  ac  dilatabitur,  nisi  fluidum  ambiens 
adsit  quo  conatus  iste  cohibeatur.  Proinde  conatu  excurrendi, 
premet  tam  fluidum  ambiens  ad  latera  df  eg  quam  ix\x^\x\m  f g  h  i 
eodem  impetu ;  &  propterea  pressio  non  minus  propagabitur  a 
lateribus  df  eg  in  spatia  NO.KL  hinc  inde,  quam  propagatur  a 
superficie  fg  versus  P  Q.     Q,  E,  D. 


LIBER  SECUNDUS. 


359 


PROPOSITIO    XLII.      THEOREMA    XXXIII. 

Motus   omnis  per  fiuidtim  propagatus  divergit  a   recto    tramite  in 

spatia  immota. 

Cas.  I.  Propagetur  motus  a  puncto  A  per  foramen  B  C,  pergat- 
que,  si  fieri  potest,  in  spatio  conico  B  CQP  secundum  lineas  rectas 
divergentes  a  puncto  A.  Et  ponamus  primo  quod  motus  iste  sit 
undarum  in  superficie  stagnantis  aquse.  Sintque  de,  fg,  ki,  kl, 
&c.  undarum   singularum   partes   altissimae,  vallibus  totidem   inter- 


mediis  ab  invicem  distinct^.  Igitur  quoniam  aqua  in  undarum 
juo-is  altior  est  quam  in  fluidi  partibus  immotis  L  K,  N  O,  defluet 
eadem  de  jugorum  terminis  .,  g.  i  /,  &c.  ^,  /  K  ^,  &c.  hinc  mde 
versus  K  L  &  N  0 :  8i  quoniam  in  undarum  vallibus  depressior  est 
quaminfluidi  partibus  immotis  K L,  N  O ;  defluet  eadem  de  parti- 
bus  illis  immotis  in  undarum  valles.  Defluxu  priore  undarum  juga, 
posteriore  valles  hinc  inde  dilatantur  &  propagantur  versus  KL^ 


,6o 


DE  MOTU  CORPORUM 


N  O.  Et  quoniam  motus  undarum  ab  A  versus  P  Q  ^X.  per  conti- 
nuum  defluxum  jugorum  in  valles  proximos,  ideoque  celerior  non 
est  quam  pro  celeritate  descensus ;  &  descensus  aquse  hinc  inde 
versus  KL  &  N  O  eadem  velocitate  peragi  debet;  propagabitur 
dilatatio  undarum  hinc  inde  versus  K L  8l  N  O  eadem  velocitate 
qua  undae  ipsae  ab  A  versus  P  Q  recta  progrediuntur.  Proindeque 
spatium  totum  hinc  inde  versus  KL  &  NO  ab  undis  dilatatis  r/^  r, 
shisy  tklt,  vmiiVy  &c.  occupabitur.  Q.E.D,  Heec  ita  se  habere 
quilibet  in  aqua  stagnante  experiri  potest. 


m. 


""""iiiii 


""""11,,.. 


m 


m 


^^^ 


^ 


^^ 


— ,i.rtttW 


Cas.  2.  Ponamus  jam  quod  ^^,/^,  ^i,  kl,mn  designent  pulsus  a 
puncto  A  per  medium  elasticum  successive  propagatos.  Pulsus 
propagari  concipe  per  successivas  condensationes  &  rarefactiones 
medn  sic  ut  pulsus  cujusque  pars  densissima  spharicam  occupet 
superficem  circa  centrum  A  descriptam,  &  inter  pulsus  successivos 
ffiqualia  mtercedant  intervalia.  Designent  autem  \m^2t  dejg,  hi, 
kl,&c.  densissimas  pulsuum  partes,  per  foramen  BC  propagatas 
Et  quoniam  medium  ibi  densius  est  quam  in  spatiis  hinc  inde  versus 
KL  &JVO,  dilatabit  sese  tam  versus  spatia  illa  /^L,  NO  utrinque 


LIBER  SECUNDUS.  »6l 

sita,  quam  versus  pulsuum  rariora  intervalla ;  eoque  pacto  rarius 
semper  evadens  e  regione  intervallorum  ac  densius  e  regione 
pulsuum,  participabit  eorundem  motum.  Et  quoniam  pulsuum 
progressivus  motus  oritur  a  perpetua  relaxatione  partium  densiorum 
versus  antecedentia  intervalla  rariora ;  &  pulsus  eadem  fere  celeritate 
sese  in  medii  partes  quiescentes  K L,  N  O  hinc  inde  relaxare  debent; 
pulsus  illi  eadem  fere  celeritate  sese  dilatabunt  undique  in  spatia 
immota  K L,  N  O,  qua  propagantur  directe  a  centro  A  ;  ideoque 
spatium  totum  K  L  O  N  occupabunt.  Q.E.D.  Hoc  experimur  in 
sonis,  qui  vel  monte  interposito  audiuntur,  vel  in  cubiculum  per 
fenestram  admissi  sese  in  omnes  cubiculi  partes  dilatant,  inque  angulis 
omnibus  audiuntur,  non  tam  reflexi  a  parietibus  oppositis,  quam  a 
fenestra  directe  propagati,  quantum  ex  sensu  judicare  licet. 

Cas.  3.  Ponamus  denique  quod  motus  cujuscunque  generis 
propagetur  ab  A  per  foramen  B  C :  8i  quoniam  propagatio  ista  non 
fit,  nisi  quatenus  partes  medii  centro  A  propiores  urgent  commovent- 
que  partes  ulteriores ;  &  partes  quse  urgentur  fluidae  sunt,  ideoque 
recedunt  quaquaversum  in  regiones  ubi  minus  premuntur  :  recedent 
esedem  versus  medii  partes  omnes  quiescentes,  tam  laterales  K  L  8i 
N  (9,  quam  anteriores  P  Q,  eoque  pacto  motus  omnis,  quumprimum 
per  foramen  B  C  transiit,  dilatari  incipiet  &  inde  tanquam  a  principio 
&  centro  in  partes  omnes  directe  propagari.     Q.E.D. 


PROPOSITIO     XLIII.      THEOREMA     XXXIV. 

Corpus  omne  tremulum  in  medio  elastico  propagabit  motum  pulsuum 
undique  in  directum  ;  in  medio  vero  fion  elastico  motum  circularem 
excitabit. 

Cas.  I.  Nam  partes  corporis  tremuli  vicibus  alternis  eundo  8:  re- 
deundo  itu  suo  urgebunt  &  propellent  partes  medii  sibi  proximas, 
&  urgendo  compriment  easdem  &  condensabunt ;  dein  reditu  suo 
sinent  partes  compressas  recedere  &  sese  expandere.  Igitur  partes 
medii  corpori  tremulo  proximee  ibunt  &  redibunt  per  vices, 
ad  instar  partium  corporis  illius  tremuli  :  &  qua  ratione  partes 
corporis  hujus  agitabant  hasce  medii  partes,  hae  similibus  tremoribus 
agitata^   agitabunt   partes    sibi    proximas,    eaeque    simiHter    agitatse 


362  J^R  MOTU  CORPORUM 

agitabunt  ulterlores,  &  sic  deinceps  in  infinitum.  Et  quemadmodum 
medii  partes  primae  eundo  condensantur  &  redeundo  relaxantur,  sic 
partes  reliquae  quoties  eunt  condensabuntur,  &  quoties  redeunt  sese 
expandent.  Et  propterea  non  omnes  ibunt  &  simul  redibunt  (sic 
enim  determinatas  ab  invicem  distantias  servando,  non  rarefierent 
&  condensarentur  per  vices)  sed  accedendo  ad  invicem  ubi  conden- 
santur,  &  recedendo  ubi  rarefiunt,  aliquae  earum  ibunt  dum  aliae 
redeunt ;  idque  vicibus  alternis  in  infinitum.  Partes  autem  euntes  & 
eundo  condensatae,  ob  motum  suum  progressivum,  quo  feriunt 
obstacula,  sunt  pulsus  ;  &  propterea  pulsus  successivi  a  corpore  omni 
tremulo  in  directum  propagabuntur ;  idque  aequalibus  circiter  ab 
invicem  distantiis,  ob  aequalia  temporis  intervalla,  quibus  corpus 
tremoribus  suis  singulis  singulos  pulsus  excitat.  Et  quanquam 
corporis  tremuli  partes  eant  &  redeant  secundum  plagam  aliquam 
certam  &  determinatam,  tamen  pulsus  inde  per  medium  propagati 
sese  dilatabunt  ad  latera,  per  propositionem  praecedentem ;  &  a  cor- 
pore  illo  tremulo  tanquam  centro  communi,  secundum  superficies 
propemodum  sphaericas  &  concentricas,  undique  propagabuntur. 
Cujus  rei  exemplum  aliquod  habemus  in  undis,  quae  si  digito  tremulo 
excitentur,  non  solum  pergent  hinc  inde  secundum  plagam  motus 
digiti,  sed,  in  modum  circulorum  concentricorum,  digitum  statim 
cingent  &  undique  propagabuntur.  Nam  gravitas  undarum  supplet 
locum  vis  elasticae. 

Cas,  2.  Quod  si  medium  non  sit  elasticum  :  quoniam  ejus  partes 
a  corporis  tremuli  partibus  vibratis  pressae  condensari  nequeunt, 
propagabitur  motus  in  instanti  ad  partes  ubi  medium  facillime  cedit, 
hoc  est,  ad  partes  quas  corpus  tremulum  alioqui  vacuas  a  tergo 
relinqueret.  Idem  est  casus  cum  casu  corporis  in  medio  quocunque 
projecti.  Medium  cedendo  projectilibus  non  recedit  in  infinitum; 
sed  in  circulum  eundo  pergit  ad  spatia  quae  corpus  relinquit  a  tergo. 
Igitur  quoties  corpus  tremulum  pergit  in  partem  quamcunque, 
medium  cedendo  perget  per  circulum  ad  partes  quas  corpus  relinquit; 
&  quoties  corpus  regreditur  ad  locum  priorem,  medium  inde 
repelletur  &  ad  locum  suum  priorem  redibit.  Et  quamvis  corpus 
tremulum  non  sit  firmum,  sed  modis  omnibus  flexile,  si  tamen 
magnitudine  datum  maneat,  qnoniam  tremoribus  suis  nequit  medium 
ubivis   urgere,   quin   alibi    eidem    simul    cedat,    efficiet    ut   medium, 


LIBER  SECUNDUS. 


363 


recedendo  a  partibus  ubi  premitur,  pergat  semper  in  orbem  ad  partes 
quae  eidem  cedunt.     Q.E.D. 

Corol.  Hallucinantur  igitur  qui  credunt  agitationem  partium 
flammae  ad  pressionem,  per  medium  ambiens,  secundum  lineas 
rectas  propagandum  conducere.  Debebit  ejusmodi  pressio  non  ab 
agitatione  sola  partium  flammae,  sed  a  totius  dilatatione  derivari. 


I 


PROPOSITIO    XLIV.      THEOREMA    XXXV. 

Si  aqua  in  canalis  cruribus  erectis  K  L,  M  N  vicibus  alternis  ascendat 
&  descendat  ;■  construatur  autem  penduhcm  cujus  longitudo  inter 
pu7ictttm  suspensionis  &  centrum  oscillationis  cEquetur  semissi 
longitudinis  aqucs  in  canali :  dico  quod  aqua  ascendet  &  descendet 
iisdem  temporibus  quibus  pe^tdulum  oscillatur, 

Longitudinem  aquae  mensuro  secundum  axes  canalis  &  crurum, 
eandem  summae  horum  axium  sequando ;  &  resistentiam  aquae,  quae 
oritur  ab  attritu  canalis,  hic  non  considero.  Designent  igitur  A  B, 
CD  mediocrem  altitudinem  aquae   in  crure  utroque ;    &  ubi   aqua 


in  crure  KL  ascendit  ad  altitudinem  E  F,  descenderit  aqua  in 
crure  J/iV  ad  altitudinem  GH.  Sit  autem  P  corpus  pendulum, 
V  P  filum,  Fpunctum  suspensionis,  R  P  Q  S  cyddx'^  quam  pendulum 
describat,  P  ejus  punctum  infimum,  PQ  arcus  ahitudini  AE  aequahs. 


364 


DE  MOTU  CORPORUM 


Vis,  qua  motus  aquae  alternls  vicibus  acceleratur  &  retardatur, 
est  excessus  ponderis  aquae  in  alterutro  crure  supra  pondus  in 
altero,  ideoque,  ubi  aqua  in  crure  K L  ascendit  2A  E  F,  &  in  crure 
altero  descendit  ad  GH,  vis  illa  est  pondus  duplicatum  aquse  EABF^ 
&  propterea  est  ad  pondus  aquse  totius  m\.  A  E  seu  P  Q  2A   V  P  seu 

V-r  K  M 


P  R.  Vis  etiam,  qua  pondus  P  in  loco  quovis  Q  acceleratur  & 
retardatur  in  cycloide  (per  corol.  prop.  li)  est  ad  ejus  pondus 
totum,  ut  ejus  distantia  P  Q  3.  loco  infimo  P  ad  cycloidis  longitu- 
dinem  P  R,  Quare  aquse  &  penduli,  aequalia  spatia  A  E,  P  Q 
describentium,  vires  motrices  sunt  ut  pondera  movenda ;  ideoque, 
si  aqua  &  pendulum  in  principio  quiescunt,  vires  illae  movebunl 
eadem  aequaliter  temporibus  aequalibus,  efficientque  ut  motu  reciprocoj 
simul  eant  &  redeant.     Q.E.D, 

Corol.   I.    Igitur  aquae  ascendentis   &   descendentis,   sive   motus 
intensior  sit  sive  remissior,  vices  omnes  sunt  isochronae. 

Corol.  2.  Si  longitudo  aquae  totius  in  canali  sit  pedum  Parisiendm 
(i\  :  aqua  tempore  minuti  unius  secundi  descendet,  &  tempon 
minuti  alterius  secundi  ascendet;  &  sic  deinceps  vicibus  alternis  inj 
infinitum.  Nam  pendulum  pedum  3tV  longitudinis  tempore  minuti 
unius  secundi  oscillatur. 

Corol.  3.  Aucta  autem  vel  diminuta  longitudine  aquae,  augetur  vel 
diminuitur  tempus  reciprocationis  in  longitudinis  ratione  subduplicata. 


LIBER  SECVNDUS. 


365 


PROPOSITIO    XLV.      THEOREMA    XXXVI. 

Undarum  velocitas  est  in  subduplicata  ratione  latitudimim. 
Consequitur  ex  constructione  propositionis  sequentis. 

PROPOSITIO    XLVI.      PROBLEMA    X. 

Inve7iire  velocitatem  undaricm, 

Constituatur  pendulum  cujus  longitudo,  inter  punctum  suspensionis 
&  centrum  oscillationis,  sequetur  latitudini  undarum  :  &  quo  tempore 
pendulum  illud  oscillationes  singulas  peragit,  eodem  undae  progre- 
diendo  latitudinem  suam  propemodum  conficient. 

Undarum  latitudinem  voco  mensuram  transversam,  quae  vel 
vallibus  imis,  vel  summis  culminibus  interjacet.  Designet  ABCDEF 
superficiem  aquae  stagnantis,  undis  successivis  ascendentem  ac 
descendentem ;  sintque  A,  C,  E,  &c.  undarum  culmina,  &  B,  D,  F, 
&c.  vales  intermedii.  Et  quoniam  motus  undarum  fit  per  aquae 
successivum  ascensum  &  descensum,  sic  ut  ejus  partes  Ay  C,  E,  &c. 


quae  nunc  altissimae  sunt,  mox  fiant  infimae ;  &  vis  motrix,  qua  partes 
altissimae  descendunt  &  infimae  ascendunt,  est  pondus  aquae  elevatae  ; 
alternus  ille  ascensus  &  descensus  analogus  erit  motui  reciproco 
aquae  in  canali,  easdemque  temporis  leges  observabit  :  &  propterea 
(per  prop.  xliv)  si  distantiae  inter  undarum  loca  altissima  A,  Cy  E 
&  infima  B,  D,  F  aequentur  duplae  penduli  longitudini ;  partes 
altissimae  A,  C,  E,  tempore  oscillationis  unius  evadent  infimae,  & 
tempore  oscillationis  alterius  denuo  ascendent.  Igitur  inter  transitum 
undarum  singularum  tempus  erit  oscillationum  duarum ;  hoc  est, 
unda  describet  latitudinem  suam,  quo  tempore  pendulum  illud  bis 
oscillatur  ;  sed  eodem  tempore  pendulum,  cujus  longitudo  quadrupla 
est,  ideoque  aequat  undarum  latitudinem,  oscillabitur  semel.  Q,E,L 
Corol.  I.  Igitur  undae,  quae  pedes  Parisienses  ^A  latae  sunt,  tem- 
pore  minuti  unius  secundi  progrediendo  latitudinem  suam  conficient ; 


366 


DE  MOTU  CORPORUM 


ideoque  tempore  minuti  unius  primi  percurrent  pedes 
183J,  &  horse  spatio  pedes  iiooo  quamproxime. 

CoroL  2.  Et  undarum  majorum  vel  minorum 
velocitas'  augebitur  vel  diminuetur  in  subduplicata 
ratione  latitudinis. 

Haec  ita  se  habent  ex  hypothesi  quod  partes  aquse 
recta  ascendunt  vel  recta  descendunt ;  sed  ascensus 
&  descensus  ille  verius  fit  per  circulum,  ideoque 
tempus  hac  propositione  non  nisi  quamproxime 
definitum  esse  affirmo. 


PROP.    XLVII.      THEOR.    XXXVII. 

Pulsibus  per  fltiidum  propagatis, 
singulce  fltddi  particulcs,  motu 
reciproco  brevissimo  euntes  & 
redeunteSj  acce/erantur  semper 
&  retardantur pro  lege  oscillan- 
tis  penduli. 


I 


Designent  AB,  BC,  CD,  &c.  pulsuum  successivo- 
rum  a^quales  distantias;  ABCplsigam  motus  pulsuum 
ab  A  versus  B  propagati ;  B,  F,  G  puncta  tria 
physica  medii  quiescentis  in  recta  y^  C  ad  aequales 
ab  invicem  distantias  sita ;  Ee,  Ffl  Gg  spatia  sequalia 
perbrevia  per  quae  puncta  illa  motu  reciproco  singuh*s 
vibrationibus  eunt  &  redeunt ;  e,  0,  7,  loca  quaevis 
intermedia  eorundem  punctorum ;  8l  E  F,  FG  Hneo- 
las  physicas  seu  medii  partes  lineares  punctis  ilHs 
interjectas,  &  successive  translatas  in  loca  e  ^,  0  7  & 
^ff  fg'  Rectae  Ee  aequahs  ducatur  recta  P  S. 
Bisecetur  eadem  in  O,  centroque  O  &  intervallo  O  P 
describatur  circulus  SlPi.  Per  hujus  circumferentiam 
totam  cum  partibus  suis  exponatur  tempus  totum 
vibrationis  unius  cum  ipsius  partibus  proportionalibus;  sic  ut  completo 
tempore  quovis  PH  w^\  PHSk,  si  demittatur  ad  PS  perpendiculum 


LIBER  SECUNDUS. 


367 


H  L  vel  hl^  &  capiatur  Ee  aequalis  P  L  vel  P/,  punctum  physicum 
E  reperiatur  in  e.  Hac  lege  punctum  quodvis  E,  eundo  ab  E  per 
e  ad  ^,  &  inde  redeundo  per  e  ad  E,  iisdem  accelerationis  ac  retar- 
dationis  gradibus  vibrationes  singulas  peraget  cum  oscillante  pendulo. 
Probandum  est  quod  singula  medii  puncta  physica  tali  motu  agitari 
debeant.  Fingamus  igitur  medium  tah  motu  a  causa  quacunque 
cieri,  &  videamus  quid  inde  sequatur. 

In  circumferentia  PHSh  capiantur  sequales  arcus  HL,  LK  v^\  hi, 
ik,  eam  habentes  rationem  ad  circumferentiam  totam  quam  habent 
aequales  rectse  EE,  EG  ad  pulsuum  intervallum  totum  B  C,  Et 
demissis  perpendiculis  IM,  KN  vel  im,  kn;  quoniam  puncta  E,  E,  G 
motibus  simiHbus  successive  agitantur,  &  vibrationes  suas  integras 
ex  itu  &  reditu  compositas  interea  peragunt  dum  pulsus  transfer- 
tur  a,  B  2id  C;  si  P H  vel  P  H Sh  sit  tempus  ab  initio  motus  puncti 
E,  GTit  P /  vel  PHSi  tempus  ab  initio  motus  puncti  E,  & 
PK  vel  PHSk  tempus  ab  initio  motus  puncti  G ;  81  propterea 
Ee,  E(p,  Gy  erunt  ipsis  P  L,  P  M,  P  N  in  itu  punctorum,  vel  ipsis 
P  l,  P  m,  P  n  m  punctorum  reditu,  aequales  respective.  Unde  ey  seu 
EG-^Gy — ^e  in  itu  punctorum  aequalis  erit  EG — L  N,  in  reditu 
.autem  aequahs  ^  6^-1-/;/.  Sed  ey  latitudo  est  seu  expansio  partis 
medii  E  G  m  loco  ey ;  &  propterea  expansio  partis  illius  in  itu  est 
ad  ejus  expansionem  mediocrem,  ut  EG—LN2A  E  G;  in  reditu 
autem  ut  E  G^-ln  seu  EG-\-L  N  2A  E  G.  Quare  cum  sit  L  N 2A 
KH  ut  IM  ad  radium  OP,  &  KH  ad  EG  ut  circumferentia  PHShP 
ad  B  C,  id  est,  si  ponatur  V  pro  radio  circuli  circumferentiam  haben- 
tis  sequalem  intervallo  pulsuum  ^  C,  ut  6^  i^  ad  V  ;  &  ex  aequo  L  N 
zA  E  G  mX.  I M  ^dV  \  erit  expansio  partis  E  G  punctive  physici  E  in 
loco  ey  ad  expansionem  mediocrem,  quam  pars  illa  habet  in  loco 
suo  primo  ^  (9,  ut  V-/ J/ ad  V  in  itu,  utque  V  ^-im  ad  V  in  reditu. 
Unde  vis  elastica  puncti  F  in   loco  ey  est  ad  vim   ejus   elasticam 

mediocrem  in  loco  E  G,  ut  y^JM^^  h  ^^  ^^^'  ^^  ^^^^^^  ^^^"^  "^ 

— ^ —  ad  — .       Et   eodem   argumento    vires    elasticae    punctorum 
V  -\-i  m         V 

physicorum   ^   &    6^    in    itu,    sunt   ut    ^  _  j^  j^    ^   V  —  KN  ^^ 


368  JDE  MOTU  CORPORUM 

-  ;    &   virium    differentia   ad    medii    vim    elasticam    mediocrem,    ut 
V 

HL-KN H     '         H 

VY-Y  xHL-Y  xKN+HLxKN  y  "^    ^^^'    ^'^ 

,^^ ad  -,  sive  ut  HL  —  KN  ad  V,  si  modo   (ob  angustos 

limites  vibrationum)  supponamus  HL  &  KN  indefinite  minores  esse 
quantitate  V.  Quare  cum  quantitas  V  detur,  differentia  virium  est 
ut  HL  —  KN,  hoc  est  (ob  proportionales  HL—KN  ad  HK,  &  OM 
ad  Olvel  OP,  datasque  HK  &  OP)  ut  OM;  id  est,  si  /7*bisecetur 
in  O,  ut  Q(p.  Et  eodem  argumento  differentia  virium  elasticarum 
punctorum  physicorum  e  &  7,  in  reditu  lineolae  physicae  €7  est  ut 
^^.  Sed  differentia  illa  (id  est,  excessus  vis  elasticae  puncti  e  supra 
vim  elasticam  puncti  7)  est  vis  qua  interjecta  medii  lineola  physica 
€7  acceleratur  in  itu  &  retardatur  in  reditu ;  &  propterea  vis  acce- 
leratrix  lineolae  physicae  e  7,  est  ut  ipsius  distantia  a  medio  vibrationis 
loco  0.  Proinde  tempus  (per  prop.  xxxviii  lib.  i)  recte  exponitur 
per  arcum  PI;  &  medii  pars  linearis  e^  lege  praescripta  movetur 
id  est,  lege  oscillantis  penduli  :  estque  par  ratio  partium  omnium 
linearium  ex  quibus  medium  totum  componitur.     Q.  E.  D. 

Corol.  Hinc  patet  quod  numerus  pulsuum  propagatorum  idem  sit 
cum  numero  vibrationum  corporis  tremuli,  neque  multiplicatur  in 
eorum  progressu.  Nam  lineola  physica  e^,  quumprimum  *ad  locum 
suum  primum  redierit,  quiescet ;  neque  deinceps  movebitur,  nisi 
vel  ab  impetu  corporis  tremuli,  vel  ab  impetu  pulsuum  qui  a  corpore 
tremulo  propagantur,  motu  novo  cieatur.  Quiescet  igitur  quum 
primum  pulsus  a  corpore  tremulo  propagari  desinunt. 


PROPOSITIO    XLVIII.      THEOREMA    XXXVIII 

Pulsuum  in  fiuido  elastico  propagatorum  velocitates  sunt  i?t  rationi 
composita  ex  subdtiplicata  ratione  vis  elasticcs  directe  &  subdtiplicata 
ratione  densitatis  inverse ;  si  modo  fltcidi  vis  elastica  ejusdem 
condensationi  proportionalis  esse  supponatur. 

Cas.  I.  Si   media   sint  homogenea,   &   pulsuum    distantiae  in  hisl 
mediis  aequentur  inter  se,  sed  motus  in  uno  medio  intensior  sit :  con-j 


LIBER  SECUNDUS. 


369 


tractiones  &  dllatationes  partium  analogarum  erunt  ut  iidem  motus. 
Accurata  quidem  non  est  haec  proportio.  Veruntamen  nisi  contrac- 
tiones  &  dilatationes  sint  valde  intensae,  non  errabit  sensibiliter, 
ideoque  pro  physice  accurata  haberi  potest.  Sunt  autem  vires 
elasticae  motrices  ut  contractiones  &  dilatationes ;  &  velocitates 
partium  aequalium  simul  genitae  sunt  ut  vires.  Ideoque  aequales  & 
correspondentes  pulsuum  correspondentium  partes  itus  &  reditus 
suos  per  spatia  contractionibus  &  dilatationibus  proportionaHa,  cum 
velocitatibus  quae  sunt  ut  spatia,  simul  peragent  :  &  propterea  pulsus, 
qui  tempore  itus  &  reditus  unius  latitudinem  suam  progrediendo 
conficiunt,  &  in  loca  pulsuum  proxime  praecedentium  semper 
succedunt,  ob  aequaHtatem  distantiarum,  aequali  cum  velocitate  in 
medio  utroque  progredientur. 

Cas.  2.  Sin  pulsuum  distantiae  seu  longitudines  sint  majores  in 
uno  medio  quam  in  altero ;  ponamus  quod  partes  correspondentes 
spatia  latitudinibus  pulsuum  proportionalia  singuHs  vicibus  eundo  & 
redeundo  describant  :  &  aequales  erunt  earum  contractiones  & 
dilatationes.  Ideoque  si  media  sint  homogenea,  aequales  erunt  etiam 
vires  iHae  elasticae  motrices  quibus  reciproco  motu  agitantur. 
Materia  autem  his  viribus  movenda  est  ut  pulsuum  latltudo ;  &  in 
eadem  ratione  est  spatlum  per  quod  singuHs  vicibus  eundo  & 
redeundo  moveri  debent.  Estque  tempus  itus  &  reditus  unius  in 
ratione  composita  ex  ratione  subdupHcata  materiae  &  ratione 
subdupHcata  spatii,  atque  Ideo  ut  spatium.  Pulsus  autem  temporl- 
bus  Itus  &  reditus  unlus  eundo  latitudines  suas  conficlunt,  hoc  est,  spatia 
temporlbus  proportionaHa  percurrunt;  &  propterea  sunt  aequive- 
loces. 

Cas.  3.  In  medlis  igitur  densitate  &  vl  elastica  paribus,  pulsus 
omnes  sunt  aequiveloces.  Quod  si  medli  vel  densitas  vel  vis  elastlca 
Intendatur,  quonlam  vis  motrix  In  ratione  vls  elasticae,  &  materla 
movenda  In  ratione  densitatis  augetur;  tempus,  quo  motus  ildem 
peragantur  ac  prlus,  augebltur  in  subdupHcata  ratlone  densltatis,  ac 
dlminuetur  in  subdupHcata  ratlone  vls  elastlcae.  Et  propterea 
velocitas  pulsuum  erit  in  ratlone  composlta  ex  ratlone  subdupHcata 
densitatis  medli  Inverse  &  ratione  subdupHcata  vls  elastlcae  directe. 
Q.E.D. 

Haec  proposltio  ulterius  pateblt  ex  constructlone  sequentis. 


2  A 


370 


DE  MOTU  CORPORUM 


PROPOSITIO  XLIX.     PROBLEMA  XI 


Datis     inedii     densitate     &     vi    elastica,     invenire 
velocitatem  pulstmm. 

Fingamus  medium  ab  incumbente  pondere  pro 
more  aeris  nostri  comprimi ;  sitque  A  altitudo  medii 
homogenei,  cujus  pondus  adsequet  pondus  incumbens, 
&  cujus  densitas  eadem  sit  cum  densitate  medii 
compressi,  in  quo  pulsus  propagantur.  Constitui  au- 
tem  intelligatur  pendulum,  cujus  longitudo  inter  punc- 
tum  suspensionis  &  centrum  oscillationis  sit  A  :  & 
quo  tempore  pendulum  illud  oscillationem  integram 
ex  itu  &  reditu  compositam  peragit,  eodem  pulsus 
eundo  conficiet  spatium  circumferentiae  circuli  radio 
A  descripti  aequale. 

Nam  stantibus  quae  in  proposi- 
tione  XLVii  constructa  sunt,  si  linea 
quaevis  physica  EF,  singulis  vibra- 
tionibus  describendo  spatium  P  S, 
urgeatur  in  extremis  itus  &  reditus 
cujusque  locis  P  &  6",  a  vi  elastica 
quae  ipsius  ponderi  aequetur ;  pera- 
get  haec  vibrationes  singulas  quo 
tempore  eadem  in  cycloide,  cujus  perimeter  tota 
longitudini  P6'  aequalis  est,  oscillari  posset :  id  adeo 
quia  vires  aequales  aequalia  corpuscula  per  ^equalia  spa- 
tia  simul  impellent.  Ouare  cum  oscillationum  tempora 
sint  in  subduplicata  ratione  longitudinis  pendulorum, 
&  longitudo  penduli  aequetur  dimidio  arcui  cycloidis 
totius  ;  foret  tempus  vibrationis  unius  ad  tempus  oscil- 
lationis  penduli,  cujus  longitudo  est  A,  in  subduplicata 
ratione  longitudinis  \  P  S  s>^m  P(9ad  longitudinem 
A.  Sed  vis  elastica,  qua  lineola  physica  E  G,  in 
locis  suis  extremis  P,  6^  existens,  urgetur,  erat  (in  de- 
monstratione  propositionis  xlvii)  ad  ejus  vim  totam 
elasticam  ut  H L—K N  2A  V,  hoc  est  (cum  punctum 


h 


G-- 
F- 


LIBER  SECUNDUS.  371 

K  jam  incldat  in  P)  ut  H K  ad  V  :  &  vis  illa  tota,  hoc  est  pondus 
incumbens  quo  lineola  EG  comprlmitur,  est  ad  pondus  lineolae  ut 
ponderis  incumbentis  altitudo  A  ad  lineolae  longitudinem  E  G ; 
ideoque  ex  aequo,  vis  qua  lineola  ^  6^  in  locis  suls  P  &  S  urgetur 
est  ad  lineolae  illius  pondus  ut  I/K  x  A  did  V  x  E  Gy  sive  ut  P  6>  x  A 
ad  VV,  nam  //K  erat  ad  E  G  ut  jP  (9  ad  V.  Quare  cum  tempora, 
quibus  aequalia  corpora  per  aequalia  spatia  impelluntur,  sint  reciproce 
in  subduplicata  ratione  virium,  erit  tempus  vibrationis  unius,  urgente 
vi  Illa  elastica,  ad  tempus  vibrationis,  urgente  vl  ponderls,  In 
subduplicata  ratione  V  V  ad  P  O  x  A,  atque  Ideo  ad  tempus 
oscillationis  penduli  cujus  longltudo  est  A  in  subduplicata  ratlone 
VV  ad  P  O  X  A,  &,  subdupllcata  ratione  P  O  a.d  A  conjunctim ;  id 
est,  in  ratione  integra  V  ad  A.  Sed  tempore  vibrationis  unius  ex 
itu  &  redltu  compositae,  pulsus  progrediendo  conficlt  latitudinem 
suam  B  C.  Ergo  tempus,  quo  pulsus  percurrlt  spatlum  B  C,  est  ad 
tempus  osclllationls  unius  ex  Itu  &  redltu  compositae,  ut  V  ad  A, 
id  est,  ut  -^  C  ad  clrcumferentiam  clrculi  cujus  radius  est  A.  Tempus 
autem,  quo  pulsus  percurret  spatium  B  C,  est  ad  tempus  quo 
percurret  longltudinem  hulc  circumferentiae  aequalem,  in  eadem 
ratlone ;  Ideoque  tempore  taHs  osclllationls  pulsus  percurret 
longltudinem  huic  clrcumferentlae  aequalem.     Q.  E.  D. 

Corol.  I.  Velocitas  pulsuum  ea  est,  quam  acqulrunt  gravla  aequa- 
liter  accelerato  motu  cadendo,  &  casu  suo  describendo  dlmidlum 
altitudlnis  A.  Nam  tempore  casus  hujus,  cum  velocltate  cadendo 
acquislta,  pulsus  percurret  spatlum  quod  erit  aequale  toti  altltudini 
A ;  Ideoque  tempore  oscillationis  unius  ex  Itu  &  redltu  compositae 
percurret  spatlum  aequale  circumferentlae  circuH  radio  A  descrlpti  : 
est  enim  tempus  casus  ad  tempus  oscillationis  ut  radius  circuli  ad 
ejusdem  clrcumferentlam. 

Corol.  2.  Unde  cum  altltudo  illa  A  sit  ut  fluidi  vls  elastica  dlrecte 
81  densitas  ejusdem  inverse ;  velocitas  pulsuum  erit  in  ratione  com- 
posita  ex  subduplicata  ratione  densitatis  inverse  &  subdupHcata 
ratione  vls  elasticae  directe. 


372  DE  MOTU  CORPOR  UM 

PROPOSITIO    L.      PROBLEMA    XIL 

Inve7iire  pulsuum  dista^itias. 

Corporis,  cujus  tremore  pulsus  excitantur,  inveniatur  numerus 
vibrationum  dato  tempore.  Per  numerum  illum  dividatur  spatium 
quod  pulsus  eodem  tempore  percurrere  possit,  &  pars  inventa  erit 
pulsus  unius  latitudo.     Q.E.I, 

Scholium. 

Spectant  propositiones  novissimae  ad  motum  lucis  &  sonorum. 
Lux  enim  cum  propagetur  secundum  lineas  rectas,  in  actione  sola 
(per  prop.  xli  &  xlii)  consistere  nequit.  Soni  vero  propterea 
quod  a  corporibus  tremulis  oriantur,  nihil  aliud  sunt  quam  aeris 
pulsus  propagati,  per  prop.  xliii.  Confirmatur  id  ex  tremoribus 
quos  excitant  in  corporibus  objectis,  si  modo  vehementes  sint  & 
graves,  quales  sunt  soni  tympanorum.  Nam  tremores  celeriores  & 
breviores  difficilius  excitantur.  Sed  &  sonos  quosvis,  in  chordas 
corporibus  sonoris  unisonas  impactos,  excitare  tremores  notissimum 
est.  Confirmatur  etiam  ex  velocitate  sonorum.  Nam  cum  pondera 
specifica  aquae  pluvialis  &  argenti  vivi  sint  ad  invicem  ut  i  ad 
13I  circiter,  &  ubi  mercurius  in  Barometro  altitudinem  attingit 
digitorum  Anglicorum  30,  pondus  specificum  aeris  &  aquae  pluvialis 
sint  ad  invicem  ut  i  ad  870  circiter  :  erunt  pondera  specifica  aeris  & 
argenti  vivi  ut  i  ad  1 1 890.  Proinde  cum  altitudo  argenti  vivi  sit  30 
digitorum,  altitudo  aeris  uniformis,  cujus  pondus  aerem  nostrum 
subjectum  comprimere  posset,  erit  356700  digitorum,  seu  pedum 
Anglicorum  29725.  Estque  haec  altitudo  illa  ipsa  quam  in  construc- 
tione  superioris  problematis  nominavimus  A.  Circuli  radio  29725 
pedum  descripti  circumferentia  est  pedum  186768.  Et  cum  pendu- 
lum  digitos  39^  longum  oscillationem  ex  itu  &  reditu  compositam 
tempore  minutorum  duorum  secundorum,  uti  notum  est,  absolvat; 
pendulum  pedes  29725  seu  digitos  356700  longum  oscillationem 
consimilem  tempore  minutorum  secundorum  190!  absolvere  debebit. 
Eo  igitur  tempore  sonus  progrediendo  conficiet  pedes  186768, 
ideoque  tempore  minuti  unius  secundi  pedes  979. 


LIBER  SECUNDUS.  373 

Cseterum  in  hoc  computo  nulla  habetur  ratio  crassitudinis  solida- 
rum  particularum  aeris,  per  quam  sonus  utique  propagatur  in 
instanti.  Cum  pondus  aeris  sit  ad  pondus  aquae  ut  i  ad  870,  &  sales 
sint  fere  duplo  densiores  quam  aqua ;  si  particulae  aeris  ponantur 
esse  ejusdem  circiter  densitatis  cum  particulis  vel  aquae  vel  salium, 
&  raritas  aeris  oriatur  ab  intervallis  particularum  :  diameter  parti- 
culae '  aeris  erit  ad  intervallum  inter  centra  particularum,  ut  i  ad  9 
vel  10  circiter,  &  ad  intervallum  inter  particulas  ut  i  ad  8  vel  9. 
Proinde  ad  pedes  979,  quos  sonus  tempore  minuti  unius  secundi  juxta 
calculum  superiorem  conficiet,  addere  licet  pedes  ^i®  seu  109  circiter, 
ob  crassitudinem  particularum  aeris  :  &  sic  sonus  tempore  minuti 
unius  secundi  conficiet  pedes  1088  circiter. 

His  adde  quod  vapores  in  aere  latentes,  cum  sint  alterius  elateris 
&  alterius  toni,  vix  aut  ne  vix  quidem  participant  motum  aeris 
veri  quo  soni  propagantur.  His  autem  quiescentibus,  motus  ille 
celerius  propagabitur  per  solum  aerem  verum,  idque  in  subdupli- 
cata  ratione  minoris  materiae.  Ut  si  atmosphaera  constet  ex  decem 
partibus  aeris  veri  &  una  parte  vaporum,  motus  sonorum  celerior 
erit  in  subdupHcata  ratione  11  ad  10,  vel  in  integra  circiter  ratione 
21  ad  20,  quam  si  propagaretur  per  undecim  partes  aeris  veri : 
ideoque  motus  sonorum  supra  inventus,  augendus  erit  in  hac 
ratione.  Quo  pacto  sonus,  tempore  minuti  unius  secundi,  conficiet 
pedes  1 142. 

Haec  ita  se  habere  debent  tempore  verno  &  autumnali,  ubi  aer 
per  calorem  temperatum  rarescit  &  ejus  vis  elastica  nonnihil  intendi- 
tur.  At  hyberno  tempore,  ubi  aer  per  frigus  condensatur,  &  ejus 
vis  elastica  remittitur,  motus  sonorum  tardior  esse  debet  in  subdupli- 
cata  ratione  densitatis ;  &  vicissim  aestivo  tempore  debet  esse  velocior. 

Constat  autem  per  experimenta  quod  soni  tempore  minuti  unius 
secundi  eundo  conficiunt  pedes  Londinenses  plus  minus  1142,  Pari- 
sienses  vero   1070. 

Cognita  sonorum  velocitate  innotescunt  etiam  intervalla  pulsuum. 
Invenit  utique  D.  Sauvetir,  factis  a  se  experimentis,  quod  fistula 
aperta,  cujus  longitudo  est  pedum  Parisiensium  plus  minus  quinque, 
sonum  edit  ejusdem  toni  cum  sono  chordae  quae  tempore  minuti 
unius  secundi  centies  recurrit.  Sunt  igitur  pulsus  plus  minus 
centum  in   spatio  pedum   Parisiensium    1070,  quos   sonus   tempore 


3  74  ^^  MOTU  CORPOR  UM 

minuti  unius  secundi  percurrit ;  ideoque  pulsus  unus  occupat  spatium 
pedum  Parisiensium  quasi  lOiir,  id  est,  duplam  circiter  longitudinem 
fistulae.  Unde  versimile  est  quod  latitudines  pulsuum,  in  omnium 
apertarum  fistularum  sonis,  aequentur  duplis  longitudinibus  fistula- 
rum. 

Porro  cur  soni  cessante  motu  corporis  sonori  statim  cessant,  neque 
diutius  audiuntur  ubi  longissime  distamus  a  corporibus  sonoris,  quam 
cum  proxime  absumus,  patet  ex  corollario  propositionis  xlvii  libri 
hujus.  Sed  &  cur  soni  in  tubis  stentorophonicis  valde  augentur  ex 
allatis  principiis  manifestum  est.  Motus  enim  omnis  reciprocus 
singuHs  recursibus  a  causa  generante  augeri  solet.  Motus  autem 
in  tubis  dilatationem  sonorum  impedientibus,  tardius  amittitur  & 
fortius  recurrit,  &  propterea  a  motu  novo  singuHs  recursibus  impresso 
magis  augetur.       Et  haec  sunt  praecipua  phaenomena  sonorum. 

SECTIO    IX. 
De  motu  circulari  fliiidorum. 

H  YPOTH  ESIS. 

Resistentiam,  qucs  oritur  ex  defectu  lubricitatis  partiu7u  fluidi,  ccEteris 
paribus,  proportionalem  esse  velocitati,  qua  partes  fltiidi  separantur 
ab  invicem. 

PROPOSITIO   LI.       THEOREMA    XXXIX. 

Si  cylindrus  solidtcs  infinite  lo7igus  in  fluido  uniformi  &  infi^iito 
circa  axem  positio7ie  datum  uniformi  cum  motu  revolvatur,  & 
ab  hujtcs  impulsu  solo  agattir fluidum  in  orbem,  perseveret  autem 
fluidi  pars  U7iaqucsque  tmiformiter  in  motu  suo ;  dico  quod 
tempora  periodica  partium  fluidi  sunt  ut  ipsarum  distantice  ab 
axe  cylindri. 

Sit  A  FL  cylindrus  uniformiter  circa  axem  6^  in  orbem  actus,  & 
circuHs  concentricis  B  G  M,  CH N,  D I O,  E  K  P,  &c.  distinguatur 
fluidum  in  orbes  cyHndricos  innumeros  concentricos  soHdos  ejusdem 


LIBER  SECUNDUS. 


375 


crassltudinis.  Et  quoniam  homogeneum  est  fluidum,  impressiones 
contiguorum  orbium  in  se  mutuo  factae  erunt  (per  hypothesin) 
ut  eorum  translationes  ab  invicem,  &  superficies  contiguae  in 
quibus  impressiones  fiunt.  Si  impressio  in  orbem  aliquem  major  est 
vel  minor  ex  parte  concava  quam  ex  parte  convexa  ;  praevalebit 
impressio  fortior,  &  motum  orbis  vel  accelerabit  vel  retardabit, 
prout  in  eandem  regionem  cum  ipsius  motu  vel  in  contrariam  dirigitur. 
Proinde  ut  orbis  unusquisque  in  motu  suo  uniformiter  perseveret, 
debent  impressiones  ex  parte  utraque  sibi  invicem  sequari  & 
fieri  in  regiones  contrarias.  U  nde  cum  impressiones  sunt  ut  contiguse 
superficies  &  harum  translationes  ab  invicem,  erunt  translationes 
inverse  ut  superficies,  hoc  est,  inverse  ut  superficierum  distantise 
ab  axe.  Sunt  autem  differentiae  motuum  angularium  circa  axem 
ut  hae  translationes  applicatae  ad  distantias,  sive  ut  translationes 
directe  &  distantiae  inverse  ;  hoc  est, 
conjunctis  rationibus,  ut  quadrata 
distantiarum  inverse.  Quare  si  ad 
infinitae  rectae  S  A  BC D EQ  partes 
singulas  erigantur  perpendicula  A  a, 
B  b,  C c,  D  dy  E  e,  &c.  ipsarum  SA, 
SB,  SC,  SD,  SE,  &c.  quadratis  / 
reciproce  proportionalia,  &  per  termi-  | 
nos  perpendicularium  duci  intelHgatur 
linea  curva  hyperbolica  ;  erunt  sum- 
mae  differentiarum,  hoc  est,  motus  toti 
angulares,  ut  respondentes  summae 

Hnearum  A  a,  B  d,  Cc,  D  d,  E  e,  id  " 

est,  si  ad  constituendum  medium  uniformiter  fluidum,  orbium  numerus 
augeatur  &  latitudo  minuatur  in  infinitum,  ut  areae  hyperbolicae  his 
summis  analog^e  A  aQ,  B b  Q,  C c Q,  D d Q,  E eQ,  &c.  Et  tempora 
motibus  angularibus  reciproce  proportionaHa,  erunt  etiam  his  areis 
reciproce  proportionaHa.  Est  igitur  tempus  periodicum  particulae 
cujusvis  D  reciproce  ut  area  DdQ,  hoc  est  (per  notas  curvarum 
quadraturas)  directe  ut  distantia  S  D.     Q.E.D. 

Corol.   I.   Hinc  motus  angulares  particularum  fluidi  sunt  reciproce 

ut  ipsarum  distantiae  ab  axe  cyHndri,  &  velocitates  absolutae  sunt 
aequales. 


T^ye  DE  MOTU  CORPORUM 

Corol.  2.  Si  fluidum  in  vase  cylindrico  longitudinis  infinitae 
contineatur,  &  cylindrum  alium  interiorem  contineat,  revolvatur  autem 
cylindrus  uterque  circa  axem  communem,  sintque  revolutionum 
tempora  ut  ipsorum  semidiametri,  &  perseveret  fluidi  pars  unaquaeque 
in  motu  suo  :  erunt  partium  singularum  tempora  periodica  ut  ipsarum 
distantise  ab  axe  cylindrorum. 

Corol.  3.  Si  cylindro  &  fluido  ad  hunc  modum  motis  addatur  vel 
auferatur  communis  quilibet  motus  angularis  ;  quoniam  hoc  novo 
motu  non  mutatur  attritus  mutuus  partium  fluidi,  non  mutabuntur 
motus  partium  inter  se.  Nam  translationes  partium  ab  invicem 
pendent  ab  attritu.  Pars  qusehbet  in  eo  perseverabit  motu,  qui,  attritu 
utrinque  in  contrarias  partes  facto,  non  magis  acceleratur  quam 
retardatur. 

Corol.  4.  Unde  si  toti  cyHndrorum  &  fluidi  systemati  auferatur 
motus  omnis  angularis  cylindri  exterioris,  habebitur  motus  fluidi  in 
cylindro  quiescente. 

Corol.  5.  Igitur  si  fluido  &  cylindro  exteriore  quiescentibus, 
revolvatur  cylindrus  interior  uniformiter ;  communicabitur  motus 
circularis  fluido,  &  paulatim  per  totum  fluidum  propagabitur ;  nec 
prius  desinet  augeri  quam  fluidi  partes  singulae  motum  corollario 
quarto  definitum  acquirant. 

Corol,  6.  Et  quoniam  fluidum  conatur  motum  suum  adhuc  latius 
propagare,  hujus  impetu  circumagetur  etiam  cylindrus  exterior  nisi 
violenter  detentus ;  &  accelerabitur  ejus  motus  quoad  usque  tempora 
periodica  cylindri  utriusque  aequentur  inter  se.  Quod  si  cylindrus 
exterior  violenter  detineatur,  conabitur  is  motum  fluidi  retardare ; 
&  nisi  cylindrus  interior  vi  aliqua  extrinsecus  impressa  motum 
illum  conservet,  efliciet  ut  idem  paulatim  cesset. 

Quae  omnia  in  aqua  profunda  stagnante  experiri  licet. 


LIBER  SECUNDUS. 


377 


PROPOSITIO  LII.      THEOREMA  XL. 

Si  sphcsra  solida,  in  fluido  uniformi  &  infinito,  circa  axern  positione 

datum  uniformi  cu77i  motu  revolvatur,  &  ab  hujus  impulsu  solo 

agattcr  flttidum  in  orbem  ;  perseveret  autem  fltcidi pars  tmaqucBqtce 

tcniformiter   in  ^nottc  suo :   dico   quod  tempora  periodica  partium 

fltcidi  erunt  ut  quadrata  distantiarum  a  centro  sphcBrce, 


Cas,  I.  Sit  AFL  sphaera  uniformiter  circa  axem  6^  in  orbem  acta, 
&  circulis  concentricis  BGM,  CHN,  DIO,  EKP,  &c.  distinguatur 
fluidum  in  orbes  innumeros  concentricos  ejusdem  crassitudinis. 
Finge  autem  orbes  illos  esse  solidos ;  &  quoniam  homogeneum  est 
fluidum,  impressiones  contiguorum  orbium  in  se  mutuo  factae  erunt 
(per  hypothesin)  ut  eorum  translatio- 
nes  ab  invicem  &  superficies  contiguae 
in  quibus  impressiones  fiunt.  Si 
impressio  in  orbem  aHquem  major  est 
vel  minor  ex  parte  concava  quam  ex 
parte  convexa ;  praevalebit  impressio 
fortior,  &  velocitatem  orbis  vel 
accelerabit  vel  retardabit,  prout  in 
eandem  regionem  cum  ipsius  motu 
vel  in  contrariam  dirigitur.  Proinde 
ut  orbis  unusquisque  in  motu  suo 
perseveret  uniformiter,  debebunt 
impressiones  ex  parte  utraque  sibi 
invicem  aequari,  &  fieri  in  regiones  contrarias.  Unde  cum  impressio- 
nes  sint  ut  continguae  superficies  &  harum  translationes  ab  invicem  ; 
erunt  translationes  inverse  ut  superficies,  hoc  est,  inverse  ut  quadrata 
distantiarum  superficierum  a  centro.  Sunt  autem  diflerentiae  motuum 
angularium  circa  axem  ut  hae  translationes  appHcatae  ad  distantias, 
sive  ut  translationes  directe  &:  distantiae  inverse ;  hoc  est,  conjunctis 
rationibus,  ut  cubi  distantianmi  inverse.  Quare  si  ad  rectae  infinitae 
S  A  B  C  D  E  Q  partes  singulas  erigantur  perpendicula  ^  ^,  ^5  ^,  Cc, 
Dd,  Ee,  &c.  ipsarum  S  A,  SB,  S  C,  S D,  SE,  &c.  cubis  reciproce 


37^ 


DE  MOTU  CORPORUM 


proportlonalla,    erunt   summae    dlfferentlarum,    hoc    est,    motus    totl 

angulares,  ut  respondentes  summae 

llnearum  A  a,  B d,  Cc,  D d,  E e:  id 

est    (sl    ad    consltuendum    medlum 

unlformlter  fluldum,  numerus  orblum 

augeatur   &    latltudo    mlnuatur    in 

infinltum)  ut  areae  hyperbollcae  hls 

summls  analogae  A  aQ,  BbQ,  CcQ, 

DdQy   EeQ,    &c.       Et    tempora 

perlodlca  motlbus  angularlbus  reci- 

proce  proportionaHa  erunt  etiam  his 

areis  reciproce  proportlonaHa.     Est 

igiturtempus  periodlcum  orbls  cujus- 

vis  D I O  reciproce  ut  area  DdQ, 

hoc    est,    per   notas   curvarum    quadraturas,    directe   ut   quadratum 

distantiae  S D.     Id  quod  volui  primo  demonstrare. 

Cas.  2.   A  centro  sphaerae  ducantur  Infinitae  rectae  quam  plurimae, 
quae  cum  axe  datos  contineant  angulos,  aequaHbus  dlfferentlis  se  mutuo 
superantes ;    &   hls    rectls    circa   axem    revolutls    concipe    orbes    in 
annulos  innumeros  secari ;  &  annulus  unusqulsque  habeblt  annulos 
quatuor   sibi    contlguos,    unum    interlorem,    alterum    exteriorem    Sc 
duos  laterales.     Attritu   interiorls   &  exterioris   non   potest   annulus 
unusqulsque,  nisi  in   motu  juxta  legem  casus  primi  facto,  aequaHter 
&  in  partes  contrarias  urgeri.     Patet  hoc  ex  demonstratione  casus 
primi.       Et  propterea  annulorum  serles  quaeHbet  a  globo  In  infinitum 
recta    pergens,    movebltur    pro    lege    casus    prlmi,    nlsi    quatenus 
impedltur  ab  attritu  annulorum   ad  latera.      At  in   motu   hac  lege 
facto  attrltus  annulorum  ad   latera  nuHus  est ;    neque  ideo  motui 
quo  mlnus  hac  lege  fiat,  impediet.       Si  annuH,  qui  a  centro  aequaHter 
distant,  vel  citius  revolverentur  vel  tardlus  juxta  polos  quam  juxta^ 
ecHptlcam ;    tardlores  accelerarentur,  &  veloclores   retardarentur  al 
attrltu  mutuo,  &  slc  vergerent  semper  tempora  periodica  ad  aequa- 
Htatem,  pro  lege  casus  prlmi.     Non  impedit  igltur  hlc  attritus  qu( 
minus  motus  fiat  secundum  legem  casus  prlml,  &  propterea  lex  iHaj 
obtlnebit :  hoc  est,  annulorum  slngulorum  tempora  perlodlca  erunl 
ut  quadrata  distantiarum  Ipsorum  a  centro  globi.     Quod  volui  secundol 
demonstrare. 


LTBER  SECUNDUS.  ^y^ 

Cas.  3.  Divldatur  jam  annulus  unusquisque  sectionibus  transversis 
In  particulas  innumeras  constituentes  substantiam  absolute  &  unifor- 
miter  fluidam ;  &  quoniam  hse  sectiones  non  spectant  ad  legem 
motus  circularis,  sed  ad  constitutionem  fluidi  solummodo  conducunt, 
perseverabit  motus  circularis  ut  prius.  His  sectionibus  annuli  omnes 
quam  minimi  asperitatem  &  vlm  attritus  mutui  aut  non  mutabunt,  aut 
mutabunt  sequaliter.  Et  manente  causarum  proportione  manebit 
eflectuum  proportio,  hoc  est,  proportio  motuum  &  periodicorum 
temporum.  Q.  E.  D.  Cseterum  cum  motus  circularis,  &  inde 
orta  vis  centrifuga,  major  sit  ad  ecHpticam  quam  ad  polos ;  debebit 
causa  aliqua  adesse  qua  particulae  singulse  in  circulis  suis  retineantur ; 
ne  materia,  quae  ad  eclipticam  est,  recedat  semper  a  centro  &  per 
exteriora  vorticis  migret  ad  polos,  indeque  per  axem  ad  eclipticam 
circulatione  perpetua  revertatur. 

Corol.  I.  Hinc  motus  angulares  partium  fluidi  circa  axem  globi, 
sunt  reciproce  ut  quadrata  distantiarum  a  centro  globi,  &  velocita- 
tes  absolutse  reciproce  ut  eadem  quadrata  applicata  ad  distantias 
ab  axe. 

Corol.  2.  Si  globus  in  fluido  quiescente  slmilarl  &  infinito  circa 
axem  positione  datum  uniformi  cum  motu  revolvatur,  communica- 
bitur  motus  fluido  in  morem  vorticis,  &  motus  iste  paulatim  pro- 
pagabitur  In  Infinitum ;  neque  prius  cessabit  in  singuHs  fluidi  partibus 
accelerari,  quam  tempora  periodica  slngularum  partlum  sint  ut 
quadrata  distantlarum  a  centro  globl. 

Corol.  3.  Quoniam  vortlcis  partes  interiores  ob  majorem  suam 
velocitatem  atterunt  &  urgent  exterlores,  motumque  Ipsis  ea  actione 
perpetuo  communlcant,  &  exterlores  ilH  eandem  motus  quantitatem 
In  allos  adhuc  exteriores  slmul  transferunt,  eaque  actione  servant 
quantitatem  motus  sui  plane  Invarlatam  ;  patet  quod  motus  perpetuo 
transfertur  a  centro  ad  circumferentiam  vorticis,  &  per  infinltatem 
clrcumferentlse  absorbetur.  Materia  Inter  sphaericas  duas  quasvis 
superficles  vorticl  concentricas  nunquam  accelerabitur,  eo  quod 
motum  omnem  a  materla  Interiore  acceptum  transfert  semper  in 
exteriorem. 

Corol.  4.  Proinde  ad  conservatlonem  vorticis  constanter  In  eodem 
movendl  statu,  requirltur  principium  aHquod  activum,  a  quo  globus 
eandem    semper    quantitatem    motus    acclpiat,    quam    Imprlmit    In 


-;8o  DE  MOTU  CORPORUM 

materiam  vorticis.  Sine  tali  principio  necesse  est  ut*  globus  & 
vorticis  partes  interiores,  propagantes  semper  motum  suum  in  exterio- 
res,  neque  novum  aliquem  motum  recipientes,  tardescant  paulatim 
&  in  orbem  agi  desinant. 

Corol.  5.  Si  globus  alter  huic  vortici  ad  certam  ab  ipsius  centro 
distantiam  innataret,  &  interea  circa  axem  inclinatione  datum  vi 
aliqua  constanter  revolveretur ;  hujus  motu  raperetur  fluidum  in 
vorticem  :  &  primo  revolveretur  hic  vortex  novus  &  exiguus  una 
cum  globo  circa  centrum  alterius,  &  interea  latius  serperet  ipsius 
motus,  &  paulatim  propagaretur  in  infinitum,  ad  modum  vorticis 
primi.  Et  eadem  ratione,  qua  hujus  globus  raperetur  motu  vorticis 
alterius,  raperetur  etiam  globus  alterius  motu  hujus,  sic  ut  globi  duo 
circa  intermedium  ahquod  punctum  revolverentur,  seque  mutuo  ob 
motum  illum  circularem  fugerent,  nisi  per  vim  aHquam  cohibiti. 
Postea  si  vires  constanter  impressae,  quibus  globi  in  motibus  suis 
perseverant,  cessarent,  &  omnia  legibus  mechanicis  permitterentur, 
languesceret  paulatim  motus  globorum  (ob  rationem  in  corol.  3  &  4 
assignatam)  &  vortices  tandem  conquiescerent. 

Corol.  6.  Si  globi  pkires  datis  in  locis  circum  axes  positione  datos 
certis  cum  velocitatibus  constanter  revolverentur,  fierent  vortices 
totidem  in  infinitum  pergentes.  Nam  globi  singuH  eadem  ratione, 
qua  unus  aHquis  motum  suum  propagat  in  infinitum,  propagabunt 
etiam  motus  suos  in  infinitum,  adeo  ut  fluidi  infiniti  pars  unaquae- 
que  eo  agitetur  motu  qui  ex  omnium  globorum  actionibus  resultat. 
Unde  vortices  non  definientur  certis  Hmitibus,  sed  in  se  mutuo 
paulatim  excurrent ;  globique  per  actiones  vorticum  in  se  mutuo 
perpetuo  movebuntur  de  locis  suis,  uti  in  coroHario  superiore  exposi- 
tum  est ;  neque  certam  quamvis  inter  se  positionem  servabunt,  nisi 
per  vim  aHquam  retenti.  Cessantibus  autem  viribus  iHis  quse  in 
globos  constanter  impressse  conservant  hosce  motus,  materia  ob 
rationem  in  coroHario  tertio  &  quarto  assignatam,  paulatim  requiescet 
&  in  vortices  agi  desinet. 

Corol.  7.  Si  fluidum  similare  claudatur  in  vase  sphaerico  ac  globi 
in  centro  consistentis  uniformi  rotatione  agatur  in  vorticem,  globus 
autem  &  vas  in  eandem  partem  circa  axem  eundem  revolvantur, 
sintque  eorum  tempora  periodica  ut  quadrata  semidiametrorum  : 
partes  fluidi  non  prius  perseverabunt  in  motibus  suis  sine  accelera- 


LIBER  SECUNDUS.  -,gj 


j' 


tlone  &  retardatlone,  quam  sint  eorum  tempora  periodlca  ut  quadrata 
distantiarum  a  centro  vorticis.  Alia  nulla  vorticis  constitutio  potest 
esse  permanens. 

Corol.  8.  Si  vas,  fluidum  inclusum,  &  globus  servent  hunc  motum, 
&  motu  prseterea  communi  angulari  circa  axem  quemvis  datum 
revolvantur ;  quoniam  hoc  motu  novo  non  mutatur  attritus  partium 
fluidi  in  se  invicem,  non  mutabuntur  motus  partium  inter  se.  Nam 
translationes  partium  inter  se  pendent  ab  attritu.  Pars  quaeHbet  in 
eo  perseverabit  motu,  quo  flt  ut  attritu  ex  uno  latere  non  magis 
tardetur  quam  acceleretur  attritu  ex  altero. 

Corol.  9.  Unde  si  vas  quiescat  ac  detur  motus  globi,  dabitur  motus 
fluidi.  Nam  concipe  planum  transire  per  axem  globi  &  motu 
contrario  revolvi ;  &  pone  summam  temporis  revolutionis  hujus  & 
revolutionis  globi  esse  ad  tempus  revolutionis  globi,  ut  quadratum 
semidiametri  vasis  ad  quadratum  semidiametri  globi  :  &  tempora 
periodica  partium  fluidi  respectu  plani  hujus  erunt  ut  quadrata 
distantiarum  suarum  a  centro  globi. 

Corol.  10.  Proinde  si  vas  vel  circa  axem  eundem  cum  globo,  vel 
circa  diversum  aHquem  data  cum  velocitate  quacunque  moveatur, 
dabitur  motus  fluidi.  Nam  si  systemati  toti  auferatur  vasis  motus 
angularis,  manebunt  motus  omnes  iidem  inter  se  qui  prius,  per  corol. 
8.     Et  motus  isti  per  corol.  9  dabuntur. 

Corol.  II.  Si  vas  &  fluidum  quiescant  &  globus  uniformi  cum 
motu  revolvatur,  propagabitur  motus  paulatim  per  fluidum  totum 
in  vas,  &  circumagetur  vas  nisi  violenter  detentum,  neque  prius 
desinent  fluidum  &  vas  accelerari,  quam  sint  eorum  tempora 
periodica  aequaHa  temporibus  periodicis  globi.  Quod  si  vas  vi  aHqua 
detineatur  vel  revolvatur  motu  quovis  constanti  &  uniformi,  deveniet 
medium  paulatim  ad  statum  motus  in  corolariis  8,  9  &  10  definiti, 
nec  in  aHo  unquam  statu  quocunque  perseverabit.  Deinde  vero 
si,  viribus  iHis  cessantibus  quibus  vas  &  globus  certis  motibus 
revolvebantur,  permittatur  systema  totum  legibus  mechanicis ;  vas 
&  globus  in  se  invicem  agent  mediante  fluido,  neque  motus  suos 
in  se  mutuo  per  fluidum  propagare  prius  cessabunt,  quam  eorum 
tempora  periodica  aequentur  inter  se,  &  systema  totum  ad  instar 
corporis  unius  soHdi  simul  revolvatur. 


:.82  DE  MOTU  CGRPORUM 


Scholium. 


In  his  omnibus  suppono  fluidum  ex  materia  quoad  densitatem 
fluiditatem  uniformi  constare.  Tale  est  in  quo  globus  idem  eode 
cum  motu,  in  eodem  temporis  intervallo,  motus  similes  &  aequales,' 
ad  aequales  semper  a  se  distantias,  ubivis  in  fluido  constitutus,  pro- 
pagare  possit.  Conatur  quidem  materia  per  motum  suum  circularem 
recedere  ab  axe  vorticis,  &  propterea  premit  materiam  omnem 
ulteriorem.  Ex  hac  pressione  fit  attritus  partium  fortior  &  separatio 
ab  invicem  diflicilior  ;  &  per  consequens  diminuitur  materise  fluiditas. 
Rursus  si  partes  fluidi  sunt  alicubi  crassiores  seu  majores,  fluiditas 
ibi  minor  erit,  ob  pauciores  superficies  in  quibus  partes  separentur 
ab  invicem.  In  hujusmodi  casibus  deficientem  fluiditatem  vel 
lubricitate  partium  vel  lentore  aHave  aHqua  conditione  restitui  sup- 
pono.  Hoc  nisi  fiat,  materia  ubi  minus  fluida  est  magis  cohaerebit 
&  segnior  erit,  ideoque  motum  tardius  recipiet  &  longius  propagabit 
quam  pro  ratione  superius  assignata.  Si  figura  vasis  non  sit  sphae- 
rica,  movebuntur  particulae  in  Hneis  non  circularibus  sed  conformibus 
eidem  vasis  figurae,  &  tempora  periodica  erunt  ut  quadrata 
mediocrium  distantiarum  a  centro  quamproxime.  In  partibus  inter 
centrum  &  circumferentiam,  ubi  .latiora  sunt  spatia,  tardiores  erunt 
motus,  ubi  angustiora  velociores,  neque  tamen  particulae  velociores 
petent  circumferentiam.  Arcus  enim  describent  minus  curvos,  & 
conatus  recedendi  a  centro  non  minus  diminuetur  per  decrementum 
hujus  curvaturae,  quam  augebitur  per  incrementum  velocitatis.  Per- 
gendo  a  spatiis  angustioribus  in  latiora  recedent  paulo  longius  a 
centro,  sed  isto  recessu  tardescent ;  &  accedendo  postea  de  latioribus 
ad  angustiora  accelerabuntur,  &  sic  per  vices  tardescent  &  ac- 
celerabuntur  particulae  singulae  in  perpetuum.  Haec  ita  se  habebunt 
in  vase  rigido.  Nam  in  fluido  infinito  constitutio  vorticum  innotescit 
per  propositionis  hujus  coroHarium  sextum. 

Proprietates  autem  vorticum  hac  propositione  investigare  conatus 
sum,  ut  pertentarem  siqua  ratione  phaenomena  coelestia  per  vortices 
expHcari  possint.  Nam  phaenomenon  est,  quod  planetarum  circa 
jovem  revolventium  tempora  periodica  sunt  in  ratione  sesquipHcata 
distantiarum  a  centro  jovis  ;  &  eadem  regula  obtinet  in  planetis 
qui  circa  solem  revolvuntur.       Obtinent  autem  hae  regulae  in  plane- 


A 


LIBER  SECUNDUS.  383 

tls  utrlsque  quam  accuratlssime,  quatenus  observationes  astronomicae 
hactenus  prodidere.      Ideoque  si  planet^  illi  a  vorticibus  circa  jovem 
&  solem  revolventibus  deferantur,  debebunt  etiam  hi  vortices  eadem 
leo-e  revolvi.     Verum  tempora  periodica  partium  vorticis  prodierunt 
in    ratlone   dupHcata   distantiarum    a   centro    motus  :    neque    potest 
ratio    illa   diminui    &   ad    rationem   sesquipHcatam    reduci,    nisi   vel 
materia  vorticis  eo  fluidior  slt  quo  longius  distat  a  centro,  vel  resi- 
stentia,   quae  oritur  ex  defectu   kibricitatis  partium  fluidi,   ex   aucta 
velocitate  qua  partes  fluldi  separantur  ab  invicem,  augeatur  in  majori 
ratione   quam   ea   est   in    qua   velocitas   augetur.       Quorum   tamen 
neutrum  rationi  consentaneum  videtur.      Partes  crassiores  &  mlnus 
fluidae,    nisi    graves    sint    in    centrum,    circumferentiam    petent ;    & 
verisimile  est  quod,  etiamsi  demonstrationum  gratia  hypothesin  talem 
initlo  sectionls  hujus  proposuerim,  ut  resistentla  velocitati  proportionaHs 
esset,  tamen  resistentia  in  minori  slt  ratione  quam  ea  velocitatis  est. 
Quo  concesso,   tempora  periodica  partium  vortlcis  erunt  in  majori 
quam   dupHcata   ratione   distantiarum    ab    ipsius  centro.      Quod    si 
vortices  (uti  aHquorum  est  opinio)  celerlus  moveantur  prope  centrum, 
deln   tardius  usque   ad   certum   Hmltem,   tum   denuo  celerlus  juxta 
clrcumferentlam ;    certe  nec   ratio    sesquipHcata   neque   aHa  quaevis 
certa  ac  determinata  obtinere  potest.     Viderint  itaque  philosophi  quo 
pacto  ph^enomenon  IHud  rationis  sesquIpHcatse  per  vortices  expHcari 
possit. 

PROPOSITIO    LIII.       THEOREMA    XLI. 

Corpora,  quce  in  vortice  delata  ht  orbem  redeunty  ejusdem  sunt 
densitatis  cum  vortice,  &  eade^n  lege  ctcm  ipsius  partibus 
quoad  velocitatem    &   cursics  determinationem   moventur. 

Nam  si  vorticis  pars  aHqua  exigua,  cujus  partlculse  seu  puncta 
physica  datum  servant  situm  inter  se,  congelari  supponatur;  hsec, 
quoniam  neque  quoad  densitatem  suam,  neque  quoad  vim  insltam 
aut  figuram  suam  mutatur,  movebltur  eadem  lege  ac  prius  :  &  contra, 
si  vortlcis  pars  congelata  &  soHda  ejusdem  sit  densitatis  cum  reHquo 
vortice,  &  resolvatur  in  fluidum ;  movebitur  hsec  eadem  lege  ac 
prius,    nisl    quatenus    ipsius    particulse  jam  fluidse  factse    moveantur 


,84 


DE  MOTU  CORPORUM 


inter  se.  Negllgatur  igitur  motus  particularum  inter  se,  tanquam 
ad  totius  motum  progressivum  nil  spectans,  &  motus  totius  idem 
erit  ac  prius.  Motus  autem  idem  erit  cum  motu  aliarum  vorticis 
partium  a  centro  sequaliter  distantium,  propterea  quod  solidum  in 
fluidum  resolutum  fit  pars  vorticis  caeteris  partibus  consimilis.  Ergo 
solidum,  si  sit  ejusdem  densitatis  cum  materia  vorticis,  eodem  motu 
cum  ipsius  partibus  movebitur,  in  materia  proxime  ambiente  relative 
quiescens.  Sin  densius  sit,  jam  magis  conabitur  recedere  a 
centro  vorticis  quam  prius ;  ideoque  vorticis  vim  illam,  qua  prius 
in  orbita  sua  tanquam  in  sequilibrio  constitutum  retinebatur,  jam 
superans,  recedet  a  centro  &  revolvendo  describet  spiralem,  non 
amplius  in  eundem  orbem  rediens.  Et  eodem  argumento  si  rarius 
sit,  accedet  ad  centrum.  Igitur  non  redibit  in  eundem  orbem  nisi 
sit  ejusdem  densitatis  cum  fluido.  Eo  autem  in  casu  ostensum  est, 
quod  revolveretur  eadem  lege  cum  partibus  fluidi  a  centro  vorticis 
aequaliter  distantibus.     Q.  E.  D. 

Corol.  I.  Ergo  solidum  quod  in  vortice  revolvitur  &  in  eundem 
orbem  semper  redit,  relative  quiescit  in  fluido  cui  innatat. 

Corol.  2.  Et  si  vortex  sit  quoad  densitatem  uniformis,  corpus  idem 
ad  quamlibet  a  centro  vorticis  distantiam  revolvi  potest. 

Scholiitm. 

Hinc  liquet  planetas  a  vorticibus  corporeis  non  deferri.  Nam 
planetae  secundum  hypothesin  Co- 
perniccEam  circa  solem  delati  re- 
volvuntur  in  ellipsibus  umbilicum 
habentibus  in  sole,  &  radiis  ad  so- 
lem  ductis  areas  describunt  tem- 
poribus  proportionales.  At  partes 
vorticis  tali  motu  revolvi  neque-  p 
unt  Designent  A  Dy  B  E,  C  F^ 
orbes  tres  circa  solem  6"  descrip- 
tos,  quorum  extimus  C/^circulus 
sit  soli  concentricus,  &  interiorum 
duorum  aphelia  sint  A,  B  8>l  peri- 
heha  D,  E.  Ergo  corpus  quod 
revolvitur  in  orbe  C  Fy  radio  ad  solem  ducto  areas  temporibus  pro 


LIBER  SECUNDUS. 


385 


portlonales  describendo,  movebitur  uniformi  cum  motu.  Corpus 
autem,  quod  revolvitur  in  orbe  B  E,  tardius  movebitur  in  aphelio 
B  &  veloclus  in  perihello  E,  secundum  leges  astronomlcas ;  cum 
tamen  secundum  leges  mechanlcas  materia  vorticis  in  spatio  angusti- 
ore  inter  A  Sc  C  velocius  moveri  debeat  quam  in  spatio  latiore 
inter  D  &  F ;  Id  est,  in  aphelio  velocius  quam  in  perihelio.  Quae 
duo  repugnant  inter  se.  SIc  In  prlnclpio  slgni  virginls,  ubi  apheHum 
martls  jam  versatur,  distantia  inter  orbes  martls  &  veneris  est  ad 
distantiam  eorundem  orbLum  In  prlncipio  signi  plscium  ut  ternarius 
ad  binarlum  circiter,  &  propterea  materla  vortlcis  inter  orbes  illos 
in  princlpio  plsclum  debet  esse  veloclor  quam  In  prlnciplo  virginls  In 
ratione  ternarli  ad  blnarium.  Nam  quo  angustius  est  spatlum  per  quod 
eadem  materiae  quantltas  eodem  revolutlonis  unius  tempore  transit, 
eo  majori  cum  velocitate  transire  debet.  Igitur  si  terra  in  hac 
materla  coelesti  relative  quiescens  ab  ea  deferretur,  &  una  circa  solem 
revolveretur,  foret  hujus  velocitas  in  principio  piscium  ad  ejusdem 
velocltatem  in  principlo  vlrginis  in  ratlone  sesquialtera.  Unde 
solis  motus  diurnus  apparens  in  principio  virginis  major  esset  quam 
minutorum  primorum  septuaginta,  &  in  princlplo  plsclum  minor 
quam  minutorum  quadraginta  &  octo  :  cum  tamen  (experientla  teste) 
apparens  iste  soHs  motus  major  sit  in  princlplo  pisclum  quam  In 
princlplo  vlrginis,  &  propterea  terra  velocior  in  princlplo  virglnis  quam 
in  principlo  piscium.  Itaque  hypothesis  vorticum  cum  phsenomenls 
astronomlcis  omnlno  pugnat,  &  non  tam  ad  expHcandos  quam  ad 
perturbandos  motus  coelestes  conducit.  Quomodo  vero  motus  Isti 
in  spatiis  Hberis  sine  vorticibus  peraguntur  Intenigl  potest  ex  Hbro 
primo,  &  in  mundi  systemate  jam  plenius  docebltur. 


2  B 


DE 

MUNDI    SYSTEMATE. 

LIBER  TERTIUS, 


IN   libris  prsecedentibus  principia  philosophiae  tradidi,  non  tamei 
philosophica  sed   mathematica  tantum,   ex    quibus  videHcet  ii 
rebus   philosophicis    disputari    possit.     Haec   sunt   motuum    &   viriJ 
um  leges   &  conditiones,   quae    ad    philosophiam    maxime   spectant. 
Eadem   tamen,   ne   steriha   videantur,    illustravi    schoHis    quibusdam 
philosophicis,  ea  tractans  quse  generaHa  sunt,  &  in  quibus  philosophia 
maxime   fundari    videtur,   uti    corporum  densitatem    &  resistentiam, 
spatia   corporibus    vacua,   motumque   lucis    &   sonorum.       Superest 
ut  ex   iisdem  principiis    doceamus    constitutionem   systematis    mun- 
dani.        De  hoc  argumento  composueram  Hbrum    tertium    methodo 
populari,  ut  a  pluribus  legeretur.     Sed  quibus  principia  posita  satis 
inteHecta   non    fuerint,   ii    vim    consequentiarum    minime   percipient, 
neque  praejudicia  deponent,  quibus  a  multis  retro  annis  insueverunt : 
&  propterea  ne  res  in   disputationes   trahatur,   summam  Hbri    iHius 
transtuli  in  propositiones,  more  mathematico,  ut  ab  iis  soHs  legantur 
qui  principia  prius  evolverint.     Veruntamen  quoniam  propositiones 
ibi    quam    plurimae    occurrant,    quae    lectoribus    etiam    mathematice 
doctis  moram  nimiam  injicere  possint,  auctor  esse  nolo  ut  quisquanr 
eas  omnes  evolvat;    suffecerit  siquis  definitiones,   leges  motuum 
sectiones  tres  priores  Hbri  primi  sedulo  legat,  dein  transeat  ad  hun< 
Hbrum  de    mundi  systemate,   &  reHquas  Hbrorum  priorum  proposi- 
tiones  hic  citatas  pro  lubitu  consulat. 


DE  MUNDI  SYSTEMATE,  &-€.  ^^^y 


REGUL^     PHILOSOPHA  NDI, 


REGULA     I. 

Causas  rerum  natMralium  non  plures  admitti  dedere,  quam  quce  &  ve^^cB 
sint  &  earum  phcenomenis  explicandis  sufficiant. 

Dicimt  utique  philosophi :  Natura  nihil  agit  frustra,  &  frustra  fit 
per  plura  quod  fieri  potest  per  pauciora.  Natura  enim  simplex  est  & 
rerum  causis  superfluis  non  luxuriat. 

REGULA     IL 

Ideoque  effectuum  naturalium  ejtcsdem  generis  ecsdem  assignandce  sunt 
causce,  quatenus  fieri potest. 

Uti  respirationis  in  homine  &  in  bestia;  descensus  lapidum  in 
Europa  and  in  America  ;  lucis  in  igne  cuHnari  &  in  sole;  reflexionis 
lucis  in  terra  &  in  planetis. 

REGU  LA     I  I  L 

Qtialitates  corporum  quce  intendi  &  remitti  nequeunty  quceqtie  cor- 
poribus  omfiibus  cojnpettmt  in  quibus  experimenta  instittcere  hcet, 
pro  qualitatibus  corporum  tmiversorum  habendce  sunt. 

Nam  quahtates  corporum  non  nisi  per  experimenta  innotescunt, 
ideoque  generales  statuendae  sunt  quotquot  cum  experimentis  gene- 
rahter  quadrant;    &  quae   minui    non   possunt,   non  possunt  auferri 


388  DE  MVNDI  SYSTEMATE 

Certe  contra  experimentorum  tenorem  somnia  temere  confingenda 
non  sunt,  nec  a  naturae  analogia  recedendum  est,  cum  ea  simplex 
esse  soleat  &  sibi  semper  consona.  Extensio  corporum  non  nisi 
per  sensus  innotescit  nec  in  omnibus  sentitur  :  sed  quia  sensibilibus 
omnibus  competit  de  universis  affirmatur.  Corpora  plura  dura  esse 
experimur.  Oritur  autem  durities  totius  a  duritie  partium,  &  inde 
non  horum  tantum  corporum  quae  sentiuntur  sed  'aliorum  etiam 
omnium  particulas  indivisas  esse  duras  merito  concludimus.  Cor- 
pora  omnia  impenetrabilia  esse  non  ratione  sed  sensu  colligimus. 
Quse  tractamus  impenetrabilia  inveniuntur,  &  inde  concludimus 
impenetrabilitatem  esse  proprietatem  corporum  universorum.  Cor- 
pora  omnia  mobilia  esse,  &  viribus  quibusdam  (quas  vires  inertise 
vocamus)  perseverare  in  motu  vel  quiete,  ex  hisce  corporum  visorum 
proprietatibus  colHgimus.  Extensio,  durities,  impenetrabilitas,  mobi- 
Htas  &  vis  inertia^  totius  oritur  ab  extensione,  duritie,  impenetra- 
biHtate,  mobiHtate  &  viribus  inertiae  partium  :  &  inde  concludimus 
omnes  omnium  corporum  partes  minimas  extendi  &  duras  esse  & 
impenetrabiles  &  mobiles  &  viribus  inerti^e  praeditas.  Et  hoc  est 
fundamentum  philosophiae  totius.  Porro  corporum  partes  divisas  & 
sibi  mutuo  contiguas  ab  invicem  separari  posse  ex  phaenomenis 
novimus,  &  partes  indivisas  in  partes  minores  ratione  distingui  posse 
ex  mathematica  certum  est.  Utrum  vero  partes  iHae  distinctae  & 
nondum  divisae  per  vires  naturae  dividi  &  ab  invicem  separari 
possint,  incertum  est.  At  si  vel  unico  constaret  experimento  quod 
particula  aHqua  indivisa,  frangendo  corpus  durum  &  soHdum,  divi- 
sionem  pateretur  :  concluderemus  vi  hujus  regulae,  quod  non  sokim 
partes  divisae  separabiles  essent,  sed  etiam  quod  indivisae  in  infinituin, 
dividi  possent. 

Denique  si  corpora  omnia  in  circuitu  terrae  gravia  esse  in  terram| 
idque  pro  quantitate  materiae  in  singuHs,  &  lunam  gravem  esse  ii 
terram  pro  quantitate  materiae  suae,  &  vicissim  mare  nostrum  grav< 
esse  in  lunam,  &  planetas  omnes  graves  esse  in  se  mutuo,  &  come- 
tarum  similem  esse  gravitatem  in  solem,  per  experimenta  &  obser- 
vationes  astronomicas  universaHter  constet:  dicendum  erit  per  hanc 
regulam  quod  corpora  omnia  in  se  mutuo  gravitant.  Nam  &  for- 
tius  erit  argumentum  ex  phaenomenis  de  gravitate  universaH,  quai 


LIBER  TERTIUS.  389 

de  corporum  impenetrabilltate  :  de  qua  utique  in  corporibus  coelesti- 
bus  nullum  experimentum,  nullam  prorsus  observationem  habemus. 
Attamen  gravitatem  corporibus  essentialem  esse  minime  affirmo. 
Per  vim  insitam  intelligo  solam  vim  inertise.  Haec  immutabilis  est. 
Gravitas  recedendo  a  terra  diminuitur. 

R  E  G  U  L  A     IV. 

In  philosophia  experimentali,  propositiones  ex  phcBnomenis  per  induc- 
tionem  collectcE,  non  obstantibus  contrariis  hypothesibus^  pro  veris 
aut  accurate  aut  qua^nproxi^ne  haberi  debent,  donec  alia  occurrerint 
phcenomena,  per  quce  aut  accuratiores  reddantur  aut  exceptionibus 
obnoxice. 

Hoc  fieri  debet   ne  argumentum  inductionis  tollatur  per  hypo- 
theses. 


390 


DE  MUNDI  SYSTEMATE 


PH^NOMENA, 


PH^NOMENON     I. 

Planetas  cirmmjoviales,  radiis  ad  centrumjovis  ductis,  areas  describere 
temporibus  proportionales,  eorumqtie  tempora  periodica,  stellis  fixis 
gtiiescentibuSy  esse  in  ratione  sesquiplicata  dista^itiarum  ab  ipsitcs 
centro, 

Constat  ex  observationibus  astronomicis.  Orbes  horum  planeta- 
rum  non  differunt  sensibiliter  a  circulis  jovi  concentricis,  &  motus 
eorum  in  his  circulis  uniformes  deprehenduntur.  Tempora  vero 
periodica  esse  in  sesquiplicata  ratione  semidiametrorum  orbium  con- 
sentiunt  astronomi ;  &  idem  ex  tabula  sequente  manifestum  est. 

Satellitum  jovializim  tempora  periodica. 

i^'  i9^'  2/  34^';  3^-  13^-  13'  42'^  f'  3^-  42'  36'^   i6^-  i6^-  32'  9^^ 
DistanticB  satellitum  a  centro  jovis. 


Ex  observationibus 

Borelli 

Townlei  per  microm.     . 
Cassini  per  telescop.  .     . 
Cassini  per  eclips.  satell. 

I 

2 

3 

4 

5t 
5.52 
5 
5t 

8S 
8.78 
8 
9 

14 

13,47 

13 

24t      ^ 
24.72    / 
23         (Semidiam. 

25TC     novis. 

Ex  temporibus  periodicis  . 

5.667 

9,017 

14.384 

25.299J 

Elongationes  satellitum  jovis  &  diametrum  ejus  D.  Pound 
micrometris  optimis  determinavit  ut  sequitur.  Elongatio  maxima 
heliocentrica  satellitis  quarti  a  centro  jovis  micrometro  in  tubo  quin- 
decim  pedes  longo  capta  fuit,  &  prodiit  in  mediocri  jovis  a  terra 
distantia  8'  16'^  circiter.      Ea  satellitis  tertii  micrometro  in  telescopio 


LIBER   TERTIUS.  39 1 

pedes  123  longo  capta  fult,  &  prodiit  in  eadem  jovis  a  terra  distantla 
4'  42 '^  Elongationes  maximae  reliquorum  satellitum  In  eadem  jovls 
a  terra  distantia  ex  temporibus  periodicis  prodeunt  1'  56'^  a^"]'"  & 
i'  ^\"  6'". 

Dlameter  jovls  mlcrometro  in  telescoplo  pedes  123  longo  ssepius 
capta  fuit,  &  ad  medlocrem  jovls  a  sole  vel  terra  dlstantiam  reducta, 
semper  minor  prodiit  quam  \o'\  nunquam  minor  quam  38'^  saepius 
y^" .  In  telescopiis  brevioribus  hsec  diameter  est  40'Wel  41'^.  Nam 
lux  jovis  per  inaequalem  refrangibilitatem  nonnlhll  dilatatur,  &  haec 
dllatatlo  minorem  habet  ratlonem  ad  dlametrum  jovls  In  longl- 
orlbus  &  perfectiorlbus  telescopiis  quam  In  brevlorlbus  &  minus  per- 
fectis.  Tempora  qulbus  satellltes  duo,  primus  ac  tertlus,  transibant 
per  corpus  jovls,  ab  Inltlo  fngressus  ad  Inltium  exltus,  &  ab  Ingressu 
completo  ad  exltum  completum,  observata  sunt  ope  telescopil  ejusdem 
longiorls.  Et  dlameter  jovls  in  mediocrl  ejus  a  terra  dlstantla  pro- 
dllt  per  transitum  priml  satellltls  37^^  &  per  transltum  tertll  37I''. 
Tempus  etlam  quo  umbra  prlml  satellltls  translt  per  corpus  jovis 
observatum  fult,  &  inde  dlameter  jovls  In  mediocrl  ejus  a  terra  dls- 
tantia  prodlit  37"  circiter.  Assumamus  dlametrum  ejus  esse  37^" 
quamproxlme  ;  &  elongationes  maximse  satellitls  prlmi,  secundl, 
tertil,  &  quartl  aequales  erunt  semidiametrls  jovis  5,965';  9,494;  15,141 
&  26,63  respective. 

P  H  ^  N  O  M  E  N  O  N    1 1  * 

Planetas  circicmsaturnios,  radiis  ad  saturnum  ductis,  areas  describere 
temporibus  proportionales,  &  eorum  tempora  periodica,  stellis  fixis 
quiescentibuSy  esse  in  ratio7ie  sesquiplicata  distantiartcm  ab  ipsius 
centro. 

Cassifius  utique  ex  observatlonibus  suls  distantias  eorum  a  centro 
saturni  &  periodica  tempora  hujusmodl  esse  statult. 

Satellitum  saturniorum  tempora  periodica. 

jd.  2ih.    18^  27'';     2^-    17^-  41'   22^^    4^-    12^-   25'   \2"',     \t   22^-  \\'   \^' \ 

79^^-  f  48'  00''. 


392 


DE  MUNDI  SYSTEMATE 


DistanticE  satellitum  a  centro  saturni  in  semidiametris  annuli. 


Ex  observatioiiibus  i^J  2\  3J  8  24 

Ex  temporibtis periodicis.  1,93  2,47  3,45  8  23,35 

Quartl  satellitis  elongatio  maxima  a  centro  saturni  ex  observationlbus 
colligi  solet  esse  semldlametrorum  octo  quamproxime.  At  elongatio 
maxlma  satellltis  hujus  a  centro  saturni,  micrometro  optlmo  in  tele- 
scopio  Hugeniano  pedes  123  longo  capta,  prodiit  semidlametrorum 
octo  cum  septem  decimls  partlbus  semldiametrl.  Et  ex  hac  obser- J 
vatlone  &  temporlbus  perlodicis,  distantiae  satellitum  a  centro  saturni^ 
in  semidlametrls  annuH  sunt  2,1;  2,69;  3,75;  8,7  &  25,35.  Saturni 
diameter  in  eodem  telescopio  erat  ad  diametrum  annuH  ut  3  ad  7, 
&  diameter  annuH  dlebus  Maii  28  &  29  anni  1719  prodiit  43'^ 
Et  inde  diameter  annuli  In  mediocri  saturni  a  terra  distantia  est  42'' 
&  diameter  saturni  \W .  Haec  ita  sunt  In  telescopiis  longlsslmis 
&  optimis,  propterea  quod  magnitudines  apparentes  corporum  coel- 
estium  in  longloribus  telescopiis  majorem  habeant  proportionem  ad 
dilatatlonem  lucis  in  terminis  illorum  corporum  quam  in  brevioribus. 
Si  rejiclatur  lux  omnis  erratica,  manebit  dlameter  saturni  haud  major 
quam  \6". 

PH^NOMENON    III. 

Planetas  quijique  primarios  mercurium^  venerem^  martem.jovem 
&  saturnum  orbibus  suis  solem  cingere. 

Mercurium  &  venerem  circa  solem  revolvl  ex  eorum  phaslbus 
lunaribus  demonstratur.  Plena  facle  lucentes  ultra  solem  siti  sunt ; 
dlmldiata  e  regione  solis  ;  falcata  cls  solem,  per  discum  ejus  ad  modum 
macularum  nonnunquam  transeuntes.  Ex  martis  quoque  plena  facle 
prope  solis  conjunctionem,  &  glbbosa  in  quadraturis,  certum  est,  quod 
is  solem  amblt.  De  jove  etlam  &  saturno  Idem  ex  eorum  phasibus 
semper  plenls  demonstratur  :  hos  enim  luce  a  sole  mutuata  splendere 
ex  umbris  satellitum  in  ipsos  projectis  manifestum  est. 


LIBER  TERTIUS.  393 


PH^NOMENON    IV 


Pla7ietarum  quinqtce  primariorum,  &  vel  solis  circa  terram  vel  terrcB 
circa  solem  tempora  periodica,  stellis  fixis  quiescentibus,  esse  in 
ratione  sesquiplicata  mediocrium  distantiarum  a  sole. 

Haec  a  Keplero  inventa  ratlo  in  confesso  est  apud  omnes.  Eadem 
iitique  sunt  tempora  periodica,  eaedemque  orbium  dimensiones,  sive 
sol  circa  terram  sive  terra  circa  solem  revolvatur.  Ac  de  mensura 
quidem  temporum  periodicorum  convenit  inter  astronomos  universos. 
Magnitudines  autem  orbium  Keplerus  &  Btcllialdus  omnium  diligen- 
tissime  ex  observationibus  determinaverunt :  &  distantise  mediocres, 
quse  temporibus  periodicis  respondent,  non  differunt  sensibiliter  a 
distantiis  quas  illi  invenerunt,  suntque  inter  ipsas  ut  plurimum 
intermediae  ;  uti  in  tabula  sequente  videre  licet. 

Planetarum  ac  telluris  tempora  periodica  circa  solem  respectu  fixarum^ 
in  diebus  &  partibtis  decimalibus  diei. 

h  4  c?  i  ?  ^ 

'0759.275.     4332,514-     686,9785.     365,2565.     224,6176.     87,9692. 

Planetarum  ac  telluris  distanticB  mediocres  a  sole. 

h  4  ^  *  ?         ^ 

Secundum  ^^/<?r«w  951000.    519650.     152350.    looooo.    72400.    38806. 

^QCMTidMm  Btillialdum  954198.    522520.     152350.     100000.    72398.    38585. 

Secundum  tempora  periodica      954006.    520096.    152369.    100000.    72333.    38710. 

De  distantiis  mercurii  &  veneris  a  sole  disputandi  non  est  locus, 
cum  hse  per  eorum  elongationes  a  sole  determinentur.  De  distantiis 
etiam  superiorum  planetarum  a  sole  tollitur  omnis  disputatio  per 
eclipses  satellitum  jovis.  Etenim  per  eclipses  illas  determinatur 
positio  umbrae  quam  jupiter  projicit,  &  eo  nomine  habetur  jovis 
longitudo  heliocentrica.  Ex  longitudinibus  autem  heliocentrica  & 
geocentrica  inter  se  collatis  determinatur  distantia  jovis. 


194 


DE  MVNDI  SYSTEMATE 


PH^NOM  ENON    V. 

Pla7ietas  primarios  radiis  ad  terram  ductis  areas  describere  temporibus 
minime  proportionales ;  at  radiis  ad  solem  ductis  areas  temporibus 
proportionales  perctcrrere, 

Nam  respectu  terrae  nunc  progrediuntur,  nunc  stationarii  sunt, 
nunc  etiam  regrediuntur  :  At  ^olis  respectu  semper  progrediunturi 
idque  propemodum  uniformi  cum  motu,  sed  paulo  celerius  tamen 
in  periheliis  ac  tardius  in  apheliis,  sic  ut  arearum  ^quabilis  sit 
descriptio.  Propositio  est  astronomis  notissima,  &  in  jove  apprime 
demonstratur  per  ecHpses  satellitum,  quibus  echpsibus  heHocentricas 
planetae  hujus  longitudines  &  distantias  a  sole  determinari  diximus. 


PH^NOMENON    VI. 

Ltmam  radio  ad  centrum  terrce  ducto  areain  tempori  proportio7talem 

describere, 

Patet  ex  lunae  motu  apparente  cum  ipsius  diametro  apparente 
collato.  Perturbatur  autem  motus  lunaris  ahquantulum  a  vi  solis, 
sed  errorum  insensibiles  minutias  in  hisce  ph^nomenis  neghgo. 


LIBER  TERTIUS.  395 


PROPOSITION  ES, 


PROPOSITIO     I.      THEOREMA    I. 

VireSy  qiiibus  plaiietcs  cirmmjoviales  perpetuo  retrahtmtur  a  motibus 
rectilineis  &  in  orbibics  stcis  rethientur,  respicere  centrum  jovis 
&  esse  reciproce  tct  quadrata  distantiarum  locorzcm  ab  eodem 
centro, 

Patet  pars  prior  propositionis  per  phaenomenon  primum  &  pro- 
positionem  secundam  vel  tertiam  libri  primi :  &  pars  posterior  per 
phsenomenon  primum  &  corollarium  sextum  propositionis  quartae 
ejusdem  Hbri. 

Idem  intelHge  de  planetis  qui  saturnum  comitantur,  per  phseno- 
menon  secundum. 

PROPOSITIO    II.      THEOREMA    II. 

Vires,  qicibus  planetcB  primarii  perpetuo  retrahunticr  a  motibus  rectili- 
neis  &  in  orbibics  suis  retifienttcr,  respicere  solem  &  esse  reciproce  ict 
qtcadrata  distantiartcm  ab  ipsitcs  centro, 

Patet  pars  prior  propositionis  per  phsenomenon  quintum  &  propo- 
sitionem  secundam  Hbri  primi:  &  pars  posterior  per  phsenomenon 
quartum  &  propositionem  quartam  ejusdem  Hbri.  Accuratissime 
autem  demonstratur  hsec  pars  propositionis  per  quietem  apheHorum. 

Nam  aberratio  quam  minima  a  ratione  dupHcata  (per  corol.  i 
prop.  XLV  Hb.  i)  motum  apsidum  in  singuHs  revolutionibus  notabilem, 
in  pluribus  enormem,  efficere  deberet. 


396  DE  MUNDI  SYSTEMATE 

PROPOSITIO    III.      THEOREMA    III. 

Vim,  qtia  buia  retinettcr  in  orbe  suo,  respicere  terram  &  esse  reciproce 
ut  quadratiim  distanticB  locornm  ab  ipsius  ceiitro. 

Patet  assertlonis  pars  prlor  per  phaenomenon  sextum  &  proposi- 
tionem  secundam  vel  tertlam  llbrl  prlmi :  &  pars  posterlor  per  motum 
tardlsslmum  lunarls  apogael.  Nam  motus  Ille,  qul  slngulls  revolutlon- 
ibus  est  graduum  tantum  trlum  &  mlnutorum  trlum  In  consequentla, 
contemni  potest.  Patet  enlm  (per  corol.  i  prop.  xlv  llb.  i)  quod 
sl  dlstantla  lunae  a  centro  terrse  slt  ad  semldiametrum  terrae  ut  D  ad 

4 

I,  vis  a  qua  motus  talls  orlatur  sit  reclproce  ut  D^^^,  id  est, 
reciproce  ut  ea  ipslus  D  dlgnltas  cujus  Index  est  2-m,  hoc  est,  in 
ratlone  dlstantlae  paulo  majore  quam  dupllcata  inverse,  sed  quae 
partibus  59^  propius  ad  dupHcatam  quam  ad  trlpllcatam  accedlt. 
Oritur  vero  ab  actione  solis  (uti  posthac  dlcetur)  &  propterea  hic 
negllgendus  est.  Actlo  soHs,  quatenus  lunam  dlstrahit  a  terra,  est  ut 
dlstantla  lunae  a  terra  quamproxime ;  ideoque  (per  ea  quae  dlcuntur 
in  corol.  2  prop.  xlv  lib.  i)  est  ad  lunae  vim  centripetam  ut  2  ad 
357,45  clrclter,  seu  i  ad  178!!.  Et  neglecta  soHs  vi  tantlHa  vis 
rellqua  qua  luna  retlnetur  in  orbe  erit  reclproce  ut  D".  Id  quod 
etiam  plenlus  constablt  conferendo  hanc  vlm  cum  vi  gravltatls,  ut  fit 
in  propositlone  sequente. 

CoroL  Si  vls  centripeta  mediocris  qua  luna  retinetur  in  orbe 
augeatur  primo  in  ratlone  i^^fJad  178!^,  deinde  etlam  in  ratlone 
dupHcata  semldlametrl  terrae  ad  medlocrem  dlstantlam  centri  lunae 
a  centro  terrae  :  habebitur  vls  centripeta  lunaris  ad  superficlem  terrae, 
posito  quod  vis  illa  descendendo  ad  superficlem  terrae  perpetuo 
augeatur  in  reciproca  altltudlnis  ratione  dupllcata. 

PROPOSITIO    IV.      THEOREMA    IV. 

Lunam  graviiare  in  terra^n,  &  vi  gravitatis  retrahi  semper  a  motu 
rectilineo  &  i^i  orbe  suo  retineri, 

Lunae  distantla  medlocrls  a  terra  in  syzyglis  est  semldlametrorum 
terrestrium  secundum   PtolemcBum  &  plerosque   astronomorum    59, 


LIBER  TERTIUS.  3^7 

secundum  Vendelifi^mi  &  Hiigenmm  60,  secundum  Copernicum  6ol^, 
secundum  Streetnm  60I,  &  secundum  Tychonem  56J.  Ast  Tycho, 
&  quotquot  ejus  tabulas  refractionum  sequuntur,  constituendo  re- 
fractiones  solis  &  lunae  (omnino  contra  naturam  lucis)  majores 
quam  fixarum,  idque  scrupulis  quasi  quatuor  vel  quinque,  auxerunt 
parallaxin  lunae  scrupulis  totidem,  hoc  est,  quasi  duodecima  vel  de- 
cima  quinta  parte  totius  parallaxeos.  Corrigatur  iste  error,  &  dis- 
tantia  evadet  quasi  60I  semidiametrorum  terrestrium,  fere  ut  ab 
aliis  assignatum  est.  Assumamus  distantiam  mediocrem  sexaginta 
semidiametrorum  in  syzygiis  ;  &  lunarem  periodum  respectu  fixarum 
compleri  diebus  27,  horis  7,  minutis  primis  43,  ut  ab  astronomis 
statuitur ;  atque  ambitum  terrse  esse  pedum  Parisiensium  123249600, 
uti  a  Gallis  mensurantibus  definitum  est:  &  si  luna  motu  omni 
privari  fingatur  ac  dimitti,  ut  urgente  vi  illa  omni,  qua  (per  corol. 
prop.  iii)  in  orbe  suo  retinetur,  descendat  in  terram ;  haec  spatio 
minuti  unius  primi  cadendo  describet  pedes  Parisienses  15^2.  Col- 
Hgitur  hoc  ex  calculo  vel  per  propositionem  xxxvi  Hbri  primi, 
vel  (quod  eodem  recidit)  per  corollarium  nonum  propositionis  quartae 
ejusdem  Hbri,  confecto.  Nam  arcus  iHius  quem  luna  tempore  minuti 
unius  primi,  medio  suo  motu,  ad  distantiam  sexaginta  semidiame- 
trorum  terrestrium  describat,  sinus  versus  est  pedum  Parisiensium 
1 51^  circiter,  vel  magis  accurate  pedum  15  dig.  i  &  Hn.  il.  Unde, 
cum  vis  iHa  accedendo  ad  terram  augeatur  in  dupHcata  distantiae 
ratione  inversa  ideoque  ad  superficiem  terrae  major  sit  partibus  60 
X  60  quam  ad  kmam,  corpus  vi  iHa  in  regionibus  nostris  cadendo 
describere  deberet  spatio  minuti  unius  primi  pedes  Parisienses  60 
X60X15A,  &  spatio  minuti  unius  secundi  pedes  15x2,  vel  magis 
accurate  pedes  15  dig.  i  &  Hn.  i|.  Et  eadem  vi  gravia  revera  de- 
scendunt  in  terram.  Nam  penduH,  in  latitudine  Lutetiae  Parisiorum 
ad  singula  minuta  secunda  osciHantis,  longitudo  est  pedum  trium 
Parisiensium  &  Hnearum  8i  ut  observavit  Hngenius.  Et  altitudo 
quam  grave  tempore  minuti  unius  secundi  cadendo  describit,  est 
ad  dimidiam  longitudinem  penduH  hujus  in  dupHcata  ratione  circum- 
ferentiae  circuH  ad  diametrum  ejus  (ut  indicavit  etiam  Htcgenius) 
ideoque  est  pedum  Parisiensium  15  dig.  i  Hn.  \l.  Et  propterea 
vis  qua  kma  in  orbe  suo  retinetur,  si  descendatur  in  superficiem 
terrse,   aequaHs  evadit  vi  gravitatis    apud  nos,  ideoque   (per  reg.    i 


398  DE  MUNDI  SYSTEMATE 

&  1 1)  est  illa  ipsa  vis  quam  nos  gravltatem  dicere  solemus.  Nam 
si  gravitas  ab  ea  diversa  esset,  corpora  viribus  utrisque  conjunctis 
terram  petendo  duplo  velocius  descenderent,  &  spatio  minuti  unlus 
secundl  cadendo  describerent  pedes  Parlsienses  30I  :  omnino  contra 
experlentiam. 

Calculus  hlc  fundatur  In  hypothesl  quod  terra  qulescit.  Nam  si 
terra  &  luna  moveantur  circum  solem,  &  Interea  quoque  circum 
commune  gravltatis  centrum  revolvantur  :  manente  lege  gravitatis 
distantla  centrorum  lunae  ac  terrse  ab  invlcem  erit  60J  semidlametro- 
rum  terrestrlum  clrciter ;  utl  computationem  Ineunti  pateblt  Com- 
putatlo  autem  iniri  potest  per  prop.  lx  Hb.  i. 

Scholmm. 
Demonstratio  propositionis   sic  fuslus  expHcarl  potest.     SI  lunae 
plures    circum    terram    revolverentur,    perinde    ut   fit    in    systemate 
saturnl   vel  jovls :    harum  tempora   periodica   (per  argumentum   In- 
ductionls)    observarent   legem    planetarum   a   Keplero   detectam,   & 
propterea  harum  vires  centripetae  forent  reclproce  ut  quadrata  dis- 
tantlarum  a  centro  terrae,  per  prop.    i    hujus.      Et  si  earum  infima 
esset    parva,    &    vertices    altissimorum    montlum    prope    tangeret  : 
hujus    vis  centrlpeta,  qua  retlneretur   in    orbe,   gravitates    corporum 
in   vertlclbus    Illorum    montlum    (per  computatlonem    praecedentem) 
aequaret  quamproxime,  efiiceretque  ut  eadem  lunula,  sl  motu  omnl 
quo   pergit  in   orbe  suo   privaretur,  defectu  vls  centrifugae,  qua    In 
orbe  permanserat,   descenderet  In   terram,   Idque  eadem    cum  velo- 
citate    qua   gravla    cadunt    in    illorum    montium   verticibus,    propter 
sequalltatem  virium   qulbus  descendunt.     Et  sl  vls  illa,  qua  lunula 
Illa  Infima  descendit,  dlversa  esset  a  gravitate,  &  lunula  Illa  etiam 
gravis  esset  in  terram  more  corporum  in  verticibus  montlum  :  eadem 
lunula   vi    utraque   conjuncta    duplo   velocius   descenderet.       Quare 
cum  vlres    utraeque,    &    hae    corporum    gravlum,    &    illae    lunarum, 
centrum  terrae  resplclant,  &  sint  Inter  se  similes  &  aequales,  eaedem 
(per  reg.  i  &  11)  eandem  habebunt  causam.     Et  propterea  vis  illa, 
qua  luna  retlnetur  in  orbe  suo,  ea  ipsa  erit  quam  nos  gravitatem 
dlcere   solemus  :    Idque    maxime    ne   lunula   in    vertlce   montls    vel 
gravltate  careat,  vel  duplo  velocius  cadat  quam  corpora  gravia  solent 
cadere. 


LIBER  TERTIUS.  399 


PROPOSITIO    V.     THEOREMA    V. 

Planetas  circtcmjoviales  gravitare  in  jovem,  circumsaturnios  in  satur- 
num,  &  circumsolares  in  solem,  &  vi  gravitatis  sucb  retrahi 
semper  a  motibus  rectilineis,  &  in  orbibus  curvilineis  retineri. 

Nam  revolutlones  planetarum  clrcumjovlalium  circa  jovem,  clr- 
cumsaturnlorum  circa  saturnum,  &  mercurli  ac  veneris  reliquorum- 
que  circumsolarium  clrca  solem  sunt  phaenomena  ejusdem  generis 
cum  revolutione  lunae  clrca  terram ;  &  propterea  (per  reg.  11)  a 
causis  ejusdem  generis  dependent :  praesertim  cum  demonstratum  sit 
quod  vires,  a  quibus  revolutiones  illae  dependent,  respiciant  centra 
jovis,  saturni  ac  solis,  &  recedendo  a  jove,  saturno  &  sole  decrescant 
eadem  ratione  ac  lege,  qua  vis  gravltatls  decrescit  in  recessu  a 
terra. 

Corol.  I.  Gravltas  Igltur  datur  In  planetas  universos.  Nam  vene- 
rem,  mercurium,  caeterosque  esse  corpora  ejusdem  generis  cum 
jove  &  saturno  nemo  dubitat.  Et  cum  attractio  omnis  per  motus 
legem  tertiam  mutua  sit,  jupiter  In  satellites  suos  omnes,  saturnus 
In  suos,  terraque  In  lunam,  &  sol  In  planetas  omnes  primarlos  gra- 
vitabit. 

Corol.  2.  Gravltatem,  quae  planetam  unumquemque  resplclt,  esse 
reciproce  ut  quadratum  distantiae  locorum  ab  ipsius  centro. 

Corol.  3.  Graves  sunt  planetae  omnes  in  se  mutuo  per  corol.  i 
&  2.  Et  hinc  juplter  &  saturnus  prope  conjunctionem  se  invicem 
attrahendo  sensibillter  perturbant  motus  mutuos,  sol  perturbat  motus 
lunares,  sol  &  luna  perturbant  mare  nostrum,  ut  In  sequentibus 
explicabltur. 

Scholium. 

Hactenus  vim  illam  qua  corpora  coelestia  In  orblbus  suls  retlnentur 
centripetam  appellavimus.  Eandem  jam  gravitatem  esse  constat,  & 
propterea  gravitatem  In  posterum  vocabimus.  Nam  causa  vls  ilhus 
centripet^,  qua  luna  retlnetur  in  orbe,  extendl  debet  ad  omnes 
planetas  per  reg.  i,  n,  &  iv. 


400  ^^  MUNDI  SYSTEMATE 


PROPOSITIO    VI.       THEOREMA   VI. 

Corpora  omnia  in  planetas  singtUos  gravitare,  &  pondera  eorum  in 
eundem  quemvis  planetam,  paribus  distafitiis  a  centro  planetce,  pro- 
portionalia  esse  quantitati  materice  in  singulis. 

Descensus  gravium  omnium  in  terram  (dempta  saltem  insequali 
retardatione  quse  ex  aeris  perexigua  resistentia  oritur)  sequalibus 
temporibus  fieri,  jamdudum  observarunt  alii ;  &  accuratissime  quidem 
notare  licet  sequalitatem  temporum  in  pendulis.  Rem  tentavi  in 
auro,  argento,  plumbo,  vitro,  arena,  sale  communi,  ligno,  aqua, 
tritico.  Comparabam  pyxides  duas  ligneas  rotundas  &  sequales. 
Unam  implebam  ligno,  &  idem  auri  pondus  suspendebam  (quam 
potui  exacte)  in  alterius  centro  oscillationis.  Pyxides  ab  sequalibus 
pedum  undecim  filis  pendentes  constituebant  pendula,  quoad 
pondus,  figuram,  &  aeris  resistentiam  omnino  paria :  &  paribus 
oscillationibus,  juxta  positse,  ibant  una  &  redibant  diutissime. 
Proinde  copia  materise  in  auro  (per  corol.  i  &  6  prop.  xxiv  lib.  ii.) 
erat  ad  copiam  materise  in  ligno,  ut  vis  motricis  actio  in  totum 
aurum  ad  ejusdem  actionem  in  totum  lignum ;  hoc  est,  ut  pondus 
ad  pondus.  Et  sic  in  cseteris.  In  corporibus  ejusdem  ponderis 
differentia  materise,  quse  vel  minor  esset  quam  pars  millesima  mate- 
rise  totius,  his  experimentis  manifesto  deprehendi  potuit.  Jam  vero 
naturam  gravitatis  in  planetas  eandem  esse  atque  in  terram  non  est 
dubium.  Elevari  enim  fingantur  corpora  hsec  terrestria  ad  usque 
orbem  lunse  &  una  cum  luna  motu  omni  privata  demitti,  ut  in 
terram  simul  cadant ;  &  per  jam  ante  ostensa  certum  est  quod  tem- 
poribus  sequaHbus  describent  sequaHa  spatia  cum  luna,  ideoque  quod 
sunt  ad  quantitatem  materise  in  luna,  ut  pondera  sua  ad  ipsius  pondus. 
Porro  quoniam  satelHtes  jovis  temporibus  revolvuntur  quse  sunt  in 
ratione  sesquipHcata  distantiarum  a  centro  jovis,  erunt  eorum  gravi- 
tates  acceleratrices  in  jovem  reciproce  ut  quadrata  distantiarum  a  cen- 
tro  jovis  ;  &  propterea  in  sequaHbus  a  jove  distantiis,  eorum  gravitates 
acceleratrices  evaderent  sequales.  Proinde  temporibus  sequaHbus  ab 
sequaHbus  altitudinibus  cadendo,  describerent  sequaHa  spatia ;  perinde 


LTBER  TERTIUS.  ^OI 

ut  fit  In  gravibus  in  hac  terra  nostra.  Et  eodem  argumento  planetae 
circumsolares,  ab  sequalibus  a  sole  distantiis  demissi,  descensu  suo 
in  solem  aequalibus  temporibus  sequalia  spatia  describerent.  Vires 
autem,  quibus  corpora  in^qualia  aequaliter  accelerantur,  sunt  ut 
corpora ;  hoc  est,  pondera  ut  quantitates  materise  in  planetis.  Porro 
jovis  &  ejus  satelUtum  pondera  in  solem  proportionaHa  esse  quan- 
titatibus  materiae  eorum  patet  ex  motu  satellitum  quam  maxime 
regulari ;  per  corol.  3  prop.  lxv  Hb.  i.  Nam  si  horum  aliqui 
magis  traherentur  in  solem,  pro  quantitate  materiae  suae,  quam 
caeteri  :  motus  satelHtum  (per  corol.  2  prop.  lxv  lib.  i)  ex  inae- 
quaHtate  attractionis  perturbarentur.  Si,  paribus  a  sole  distantiis, 
sateHes  aHquis  gravior  esset  in  solem  pro  quantitate  materiae  suae, 
quam  jupiter  pro  quantitate  materiae  suae,  in  ratione  quacunque 
data,  puta  ^  ad  e:  distantia  inter  centrum  soHs  &  centrum  orbis 
sateHitis  major  semper  foret  quam  distantia  inter  centrum  soHs  & 
centrum  jovis  in  ratione  subdupHcata  quam  proxime ;  uti  calculo 
quodam  inito  inveni.  Et  si  sateHes  minus  gravis  esset  in  solem 
in  ratione  iHa  d  ad  e,  distantia  centri  orbis  sateHitis  a  sole  minor 
foret  quam  distantia  centri  jovis  a  sole  in  ratione  iHa  subdupHcata. 
Ideoque  si,  in  aequaHbus  a  sole  distantiis,  gravitas  acceleratrix  satel- 
Htis  cujusvis  in  solem  major  esset  vel  minor  quam  gravitas  accele- 
ratrix  jovis  in  solem,  parte  tantum  miHesima  gravitatis  totius  ;  foret 
distantia  centri  orbis  sateHitis  a  sole  major  vel  minor  quam  distantia 
jovis  a  sole  parte  Woir  distantiae  totius,  id  est,  parte  quinta  distantiae 
sateHitis  extimi  a  centro  jovis  :  quae  quidem  orbis  eccentricitas 
foret  valde  sensibiHs.  Sed  orbes  sateHitum  sunt  jovi  concentrici, 
&  propterea  gravitates  acceleratrices  jovis  &  sateHitum  in  solem 
sequantur  inter  se.  Et  eodem  argumento  pondera  saturni  &  comitum 
ejus  in  solem,  in  sequaHbus  a  sole  distantiis,  sunt  ut  quantitates 
materise  in  ipsis  :  &  pondera  lunse  ac  terrse  in  solem  vel  nuHa  sunt, 
vel  earum  massis  accurate  proportionaHa.  AHqua  autem  sunt  per 
corol.  I  &  3  prop.  v. 

Quinetiam  pondera  partium  singularum  planetse  cujusque  in  aHum 
quemcunque  sunt  inter  se  ut  materia  in  partibus  singuHs.  Nam  si 
partes  aHquse  plus  gravitarent,  aHse  minus,  quam  pro  quantltate 
materlae  :  planeta  totus,  pro  genere  partium  quibus  maxime  abundet, 
gravitaret  magis  vel  minus  quam  pro  quantltate  materlse  totlus.     Sed 

2  c 


402 


DE  MUNDI  SYSTEMATE 


nec  refert  utrum  partes  illae  externce  sint  vel  internse.  Nam  si  verbi 
gratia  corpora  terrestria,  quae  apud  nos  sunt,  in  orbem  lunae  elevari 
fingantur,  &  conferantur  cum  corpore  lunee  :  si  horum  pondera  essent 
ad  pondera  partium  externarum  lunse  ut  quantitates  materise  in  iisdem, 
ad  pondera  vero  partium  internarum  in  majori  vel  minori  ratione, 
forent  eadem  ad  pondus  lunae  totius  in  majori  vel  minori  ratione  : 
contra  quam  supra  ostensum  est. 

Corol.  I.   Hinc  pondera  corporum  non  pendent  ab  eorum  formis 
&  texturis.     Nam  si  cum  formis  variari   possent ;  forent  majora  vel^ 
minora,  pro  varietate  formarum,  in  aequali  materia  :  omnino  conti 
experientiam. 

CoroL  2.  Corpora  universa,  quae  circa  terram  sunt,  gravia  sunl 
in  terram  ;  &  pondera  omnium,  quae  aequaliter  a  centro  tern 
distant,  sunt  ut  quantitates  materiae  in  iisdem.  Haec  est  qualitc 
omnium  in  quibus  experimenta  instituere  licet,  &  propterea  per  regj 
III  de  universis  affirmanda  est.  Si  sether  aut  corpus  aHud  quod- 
cunque  vel  gravitate  omnino  destitueretur,  vel  pro  quantitate 
materiae  suae  minus  gravitaret :  quoniam  id  (ex  mente  Aristotelisy 
Cartesii  &  aHorum)  non  differt  ab  aHis  corporibus  nisi  in  forma 
materiae,  posset  idem  per  mutationem  formae  gradatim  transmutari 
in  corpus  ejusdem  conditionis  cum  iis,  quae  pro  quantitate  materiae 
quam  maxime  gravitant,  &  vicissim  corpora  maxime  gravia,  for- 
mam  ilHus  gradatim  induendo,  possent  gravitatem  suam  gradatim^ 
amittere.  Ac  proinde  pondera  penderent  a  formis  corporum,  pos- 
sentque  cum  formis  variari,  contra  quam  probatum  est  in  corollari( 
superiore. 

CoroL  3.  Spatia  omnia  non  sunt  aequaliter  plena.  Nam  si  spatij 
omnia  aequaliter  plena  essent,  gravitas  specifica  fluidi  quo  regio  aeris  ^ 
impleretur,  ob  summam  densitatem  materiae,  nil  cederet  gravitati 
specificae  argenti  vivi,  vel  auri,  vel  corporis  alterius  cujuscunque 
densissimi ;  &  propterea  nec  aurum  neque  aliud  quodcunque  corpus 
in  aere  descendere  posset.  Nam  corpora  in  fluidis,  nisi  specifice 
graviora  sint,  minime  descendunt.  Quod  si  quantitas  materiae  in 
spatio  dato  per  rarefactionem  quamcunque  diminui  possit,  quidni 
diminui  possit  in  infinitum  ? 

CoroL    4.    Si    omnes    omnium    corporum    particulae    solidae    sinl 
ejusdem  densitatis,  neque  sine  poris  rarefieri  possint,  vacuum  datur. 


LIBER  TERTIUS.  *  403 

Ejusdem  densltatls  esse  dlco,  quarum  vlres  Inertlae  sunt  ut  magnl- 
tudines. 

Corol.  5.  VIs  gravltatls  dlversl  est  generls  a  vl  magnetlca.  Nam 
attractlo  magnetlca  non  est  ut  materla  attracta.  Corpora  allqua  magls 
trahuntur,  alla  mlnus,  plurlma  non  trahuntur.  Et  vls  magnetlca  In 
uno  &  eodem  corpore  Intendl  potest  &  remlttl,  estque  nonnunquam 
longe  major  pro  quantltate  materlse  quam  vls  gravltatis^  &  In  recessu 
a  magnete  decrescit  in  ratlone  distantiae  non  dupHcata,  sed  fere 
trlphcata,  quantum  ex  crassls  quibusdam  observationibus  animadvertere 
potul. 

PROPOSITIO   VII.       THEOREMA   VII. 

Gravitatem   in   corpora   universa  fieri,  eamque  proportionalem  esse 
quantitati  m^terice  in  singulis. 

Planetas  omnes  In  se  mutuo  graves  esse  jam  ante  probavlmus,  ut 
&  gravitatem  in  unumquemque  seorsim  spectatum  esse  reclproce  ut 
quadratum  distantlae  locorum  a  centro  planetse.  Et  inde  consequens 
est  (per  prop.  lxix  Hb.  i  &  ejus  coronaria)  gravitatem  in  omnes 
proportlonalem  esse  materlse  in  iisdem. 

Porro  cum  planetae  cujusvis  A  partes  omnes  graves  slnt  in  plane- 
tam  quemvis  By  &  gravitas  partls  cujusque  slt  ad  gravitatem  totius, 
ut  materia  partis  ad  materlam  totius,  &  actloni  omnl  reactlo  (per 
motus  legem  tertlam)  aequaHs  slt ;  planeta  B  in  partes  omnes  planetae 
A  vicissim  gravitabit,  &  erit  gravltas  sua  In  partem  unamquamque 
ad  gravitatem  suam  in  totum,  ut  materia  partls  ad  materiam  totlus. 
Q.E.D. 

Corol.  I.  Orltur  igltur  &  componitur  gravltas  in  planetam  totum 
ex  gravltate  in  partes  singulas.  Cujus  rei  exempla  habemus  in 
attractionibus  magnetlcls  &  electrlcis.  Orltur  enlm  attractio  omnis 
in  totum  ex  attractlonlbus  in  partes  slngulas.  Res  intenigetur  In 
gravltate,  conclplendo  planetas  plures  minores  in  unum  globum 
colre  &  planetam  majorem  componere.  Nam  vls  totius  ex  viribus 
partium  componentium  orlri  debeblt.  Slquis  objlciat  quod  corpora 
omnia,  quae  apud  nos  sunt,  hae  lege  gravltare  deberent  in  se  mutuo, 
cum  tamen  ejusmodi  gravitas  neutiquam  sentiatur  :  respondeo  quod 


404 


DE  MUNDI  SYSTEMATE 


gravitas  in  haec  corpora,  cum  sit  ad  gravitatem  in  terram  totam  ut 
sunt  haec  corpora  ad  terram  totam,  longe  minor  est  quam  quae  sentiri 
possit. 

Corol:  2.  Gravitatio  in  singulas  corporis  particulas  aequales  est 
reciproce  ut  quadratum  distantiae  locorum  a  particuHs.  Patet  per 
corol.  3  prop.  lxxiv  Hb.  i. 

PROPOSITIO    VIII.      THEOREMA    VIII. 

Si  globorum  duoru7n  in  se  mutuo  gravitantium  materia  tmdique  in 
regionibus,  qucB  a  centris  cequaliter  distatit,  homogenea  sit :  erit 
pondus  globi  alterutrius  in  alterum  reciproce  ut  quadratum  distantics 
inter  centra, 

Postquam  invenissem  gravitatem  in  planetam  totum  oriri  &  com- 
poni  ex  gravitatibus  in  partes ;  &  esse  in  partes  singulas  reciproce 
proportionalem  quadratis  distantiarum  a  partibus  :  dubitabam  an 
reciproca  illa  proportio  dupHcata  obtineret  accurate  in  vi  tota  ex 
viribus  pluribus  composita,  an  vero  quam  proxime.  Nam  fieri  posset 
ut  proportio,  quae  in  majoribus  distantiis  satis  accurate  obtineret, 
prope  superficiem  planetae  ob  inaequales  particularum  distantias  & 
situs  dissimiles,  notabiHter  erraret.  Tandem  vero,  per  prop.  lxxv  & 
Lxxvi  Hbri  primi  &  ipsarum  coroHaria,  inteHexi  veritatem  proposi- 
tionis  de  qua  hic  agitur. 

Corol.  I.  Hinc  inveniri  &  inter  se  comparari  possunt  pondera 
corporum  in  diversos  planetas.  Nam  pondera  corporum  aequaHum 
circum  planetas  in  circuHs  revolventium  sunt  (per  corol.  2  prop.  iv 
Hb.  i)  ut  diametri  circulorum  directe  &  quadrata  temporum  periodi- 
corum  inverse ;  &  pondera  ad  superficies  planetarum,  aHasve  quasvis 
a  centro  distantias,  majora  sunt  vel  minora  (per  hanc  propositionem) 
in  dupHcata  ratione  distantiarum  inversa.  Sic  ex  temporibus  perio- 
dicis  veneris  circum  solem  dierum  224  &  horarum  i6f,  sateHitis 
extimi  circumjoviaHs  circum  jovem  dierum  16  &  horarum  16A,  sa- 
teHitis  Hugeniani  circum  saturnum  dierum  15  &  horarum  22!,  & 
kmae  circum  terram  dierum  27  hor.  7  min.  43,  coHatis  cum  distantia 
mediocri  veneris  a  sole  &  cum  elongationibus  maximis  heHocentri- 
cis   sateHitis    extimi    circumjoviaHs   a   centro  jovis    8^   16'^,  sateHitis 


LIBER  TERTIUS.  ^or 

Hugenlani  a  centro  saturnl  3'  4^^^,  &  lunae  a  centro  terrae  10'  33'', 
computum  Ineundo  invenl  quod  corporum  aequalium  &  a  centro  solls, 
jovis,  saturni  ac  terrse  aequallter  dlstantium  pondera  slnt  in  solem, 
jovem,  saturnum  ac  terram  ut  i,  twt,  ¥^,  &  W282  respective,  & 
auctls  vel  diminutis  dlstantiis,  pondera  diminuuntur  vel  augentur  In 
duplicata  ratlone  :  pondera  aequalium  corporum  in  solem,  jovem, 
saturnum  ac  terram  in  dlstantils  loooo,  997,  791,  &  109  ab  eorum 
centrls,  atque  Ideo  in  eorum  superficlebus,  erunt  ut  loooo,  943,  529, 
&  435  respective.  Quanta  sint  pondera  corporum  in  superlicie  lunae 
dicetur  in  sequentibus. 

Corol.  2.  Innotescit  etiam  quantitas  materiae  in  planetis  slngulis. 
Nam  quantitates  materiae  in  planetls  sunt  ut  eorum  vlres  in  aequalibus 
dlstantlis  ab  eorum  centris,  id  est,  in  sole,  jove,  saturno  ac  terra 
sunt  ut  I,  TTTBT,  W^T,  &  1 6  6^2 s  a  respective.  Si  parallaxls  solls  statuatur 
major  vel  minor  quam  10''  30'^^  debebit  quantltas  materlae  in  terra 
augeri  vel  diminui  in  trlplicata  ratlone. 

Corol.  3.  Innotescunt  etiam  densitates  planetarum.  Nam  pondera 
corporum  aequallum  &  homogeneorum  in  sphaeras  homogeneas  sunt 
in  superficlebus  sphaerarum  ut  sphaerarum  diametri,  per  prop.  lxxii 
lib.  1,  ideoque  sphaerarum  heterogenearum  densitates  sunt  ut  pon- 
dera  illa  appHcata  ad  sphaerarum  diametros.  Erant  autem  verae 
solis,  jovis,  saturni  ac  terrae  diametri  ad  invicem  ut  loooo,  997,  791, 
&  109,  &  pondera  in  eosdem  ut  loooo,  943,  529  &  435  respective, 
&  propterea  densitates  sunt  ut  100,  94!,  67  &  400.  Densitas  terrae 
quae  prodit  ex  hoc  computo  non  pendet  a  parallaxi  solis,  sed  deter- 
mlnatur  per  parallaxin  lunae,  &  propterea  hlc  recte  definltur.  Est 
igltur  sol  paulo  densior  quam  juplter,  &  jupiter  quam  saturnus,  & 
,terra  quadruplo  densior  quam  sol.  Nam  per  ingentem  suum  calorem 
sol  rarescit.  Luna  vero  denslor  est  quam  terra,  ut  in  sequentibus 
patebit. 

Corol.  4.  Densiores  igltur  sunt  planetae  qui  sunt  minores,  caeterls 
parlbus.  Sic  enlm  vis  gravitatls  in  eorum  superficlebus  ad  aequaH- 
tatem  magis  accedit.  Sed  &  densiores  sunt  planetae,  caeteris  paribus, 
qui  sunt  soh  propiores  ;  ut  jupiter  saturno,  &  terra  jove.  In  diversis 
utlque  dlstantiis  a  sole  collocandi  erant  planetae  ut  quihbet  pro 
gradu  densitatis  calore  sohs  majore  vel  mlnore  frueretur.  Aqua 
nostra,    si    terra   locaretur   in    orbe   saturni,    rigesceret,   si   in   orbe 


4o6  DE  MUNDI  SYSTEMATE 

mercurii  in  vapores  statim  abiret.  Nam  lux  solis,  cui  calor  propor- 
tionalis  est,  septuplo  densior  est  in  orbe  mercurii  quam  apud  nos  :  & 
thermometro  expertus  sum  quod  septuplo  solis  aestivi  calore  aqua 
ebullit.  Dubium  vero  non  est  quin  materia  mercurii  ad  calorem 
accommodetur,  &  propterea  densior  sit  hac  nostra;  cum  materia 
omnis  densior  ad  operationes  naturales  obeundas  majorem  calorem 
requirat. 

PROPOSITIO    IX.      THEOREMA    IX. 

Gravitatem  pergendo  a  superficiebtis  planetarum  deorsum  decrescere  in 
ratio7ie  dista^itiarum  a  ce^itro  quam  proxime, 

Si  materia  planetse  quoad  densitatem  uniformis  esset,  obtineret 
haec  propositio  accurate  :  per  prop.  lxxiii  lib.  i.  Error  igitur  tantus 
est,  quantus  ab  inaequabiH  densitate  oriri  possit. 

PROPOSITIO    X.     THEOREMA    X. 

Mottis  planetarum  in  ccelis  diutissime  conservari posse, 

In  scholio  propositionis  xl  lib.  1 1  ostensum  est  quod  globus 
aquae  congelatae,  in  aere  nostro  libere  movendo  &  longitudinem 
semidiametri  suae  describendo,  ex  resistentia  aeris  amitteret  motus 
sui  partem  tts^.  Obtinet  autem  eadem  proportio  quam  proxime 
in  globis  utcunque  magnis  &  velocibus.  Jam  vero  globum  terrae 
nostrae  densiorem  esse,  quam  si  totus  ex  aqua  constaret,  sic  colligo. 
Si  globus  hicce  totus  esset  aqueus,  quaecunque  rariora  essent  quam 
aqua,  ob  minorem  specificam  gravitatem  emergerent  &  supernata- 
rent.  Eaque  de  causa  globus  terreus  aquis  undique  coopertus,  si 
rarior  esset  quam  aqua,  emergeret  alicubi,  &  aqua  omnis  inde 
defluens  congregaretur  in  regione  opposita.  Et  par  est  ratio  terrae 
nostrae  maribus  magna  ex  parte  circumdatae.  Haec  si  densior  non 
esset,  emergeret  ex  maribus,  &  parte  sui  pro  gradu  levitatis  extaret 
ex  aqua,  maribus  omnibus  in  regionem  oppositam  confluentibus. 
Eodem  argumento  maculae  solares  leviores  sunt  quam  materia  lucida 
solaris  cui  supernatant.  Et  in  formatione  qualicunque  planeta- 
rum,  ex  aqua  materia  omnis  gravior,  quo  tempore  massa  fluida  erat, 


LIBER  TERTIUS.  .^^ 

centrum  petebat.  Unde  cum  terra  communis  suprema  quasi  duplo 
gravior  sit  quam  aqua,  &  paulo  inferius  in  fodinis  quasi  triplo  vel 
quadruplo  aut  etiam  quintuplo  gravior  reperiatur  :  verisimile  est 
quod  copia  materiae  totius  in  terra  quasi  quintuplo  vel  sextuplo 
major  sit  quam  si  tota  ex  aqua  constaret ;  praesertim  cum  terram 
quasi  quadruplo  densiorem  esse  quam  jovem  jam  ante  ostensum  sit. 
Quare  si  jupiter  paulo  densior  sit  quam  aqua,  hic  spatio  dierum  tri- 
ginta,  quibus  longitudinem  459  semidiametrorum  suarum  describit, 
amitteret  in  medio  ejusdem  densitatis  cum  aere  nostro  motus  sui 
partem  fere  decimam.  Verum  cum  resistentia  mediorum  minuatur 
in  ratione  ponderis  ac  densitatis,  sic  ut  aqua,  quae  partibus  1 3!  levior 
est  quam  argentum  vivum,  minus  resistat  in  eadem  ratione  ;  & 
aer,  qui  partibus  860  levior  est  quam  aqua,  minus  resistat  in  eadem 
ratione  :  si  ascendatur  in  ccelos  ubi  pondus  medii,  in  quo  planetae 
moventur,  diminuitur  in  immensum,  resistentia  prope  cessabit.  Os- 
tendimus  utique  in  scholio  ad  prop.  xxii  lib.  1 1  quod  si  ascenderetur 
ad  altitudinem  milliarium  ducentorum  supra  terram,  aer  ibi  rarior 
foret  quam  ad  superficiem  terrae  in  ratione  30  ad  0,0000000000003998, 
seu  75000000000000  ad  i  circiter.  Et  hinc  stella  jovis  in  medio 
ejusdem  densitatis  cum  aere  illo  superiore  revolvendo,  tempore 
annorum  1 000000,  ex  resistentia  medii  non  amitteret  motus  sui  partem 
decimam  centesimam  millesimam.  In  spatiis  utique  terrae  proximis, 
nihil  invenitur  quod  resistentiam  creet  praeter  aerem  exhalationes 
&  vapores.  His  ex  vitro  cavo  cyHndrico  diHgentissime  exhaustis 
gravia  intra  vitrum  Hberrime  &  sine  omni  resistentia  sensibiH  cadunt ; 
ipsum  aurum  &  pluma  tenuissima  simul  demissa  aequaH  cum  velo- 
citate  cadunt,  &  casu  suo  describendo  altitudinem  pedum  quatuor  sex 
vel  octo  simul  incidunt  in  fundum,  ut  experientia  compertum  est. 
Et  propterea  si  in  ccelos  ascendatur  aere  &  exhalationibus  vacuos, 
planetae  &  cometae  sine  omni  resistentia  sensibiH  per  spatia  iHa 
diutissime  movebuntur. 


4o8  DE  MUNDl  SYSTEMATE 

HYPOTHESIS    I. 

Centrtcm  systematis  mtmdajii  qtciescere, 

Hoc  ab  omnlbus  concessum  est,  dum  aliqui  terram,  alii  solem 
in  centro  systematis  quiescere  contendant.  Videamus  quid  inde 
sequatur. 

PROPOSITIO    XI.      THEOREMA    XI. 

Commune  centrtim  gravitatis  terrcEy  solis  &  pla^ietarum  omnium 

qtnescere. 

Nam  centrum  illud  (per  legum  corol.  iv)  vel  quiescet  vel  pro- 
gredietur  uniformiter  in  directum.  Sed  centro  illo  semper  progre- 
diente  centrum  mundi  quoque  movebitur  contra  hypothesin. 

PROPOSITIO  XII.      THEOREMA  XII. 

Solem  motu  perpetuo  agitari,  sed  mmqtcam  longe  recedere  a  communi 
gravitatis  centro  planetarum  omnitmt. 

Nam  cum  (per  corol.  2  prop.  viii)  materia  in  sole  sit  ad  materiam 
in  jove  ut  1067  ad  i,  &  distantia  jovis  a  sole  sit  ad  semidiametrum 
soHs  in  ratione  paulo  majore  ;  incidet  commune  centrum  gravitatis 
jovis  &  solis  in  punctum  paulo  supra  superficiem  solis.  Eodem 
argumento  cum  materia  in  sole  sit  ad  materiam  in  saturno  ut  302 1 
ad  I,  &  distantia  saturni  a  sole  sit  ad  semidiametrum  solis  in  ratione 
paulo  minore  :  incidet  commune  centrum  gravitatis  saturni  &  soHs 
in  punctum  paulo  infra  superficiem  soHs.  Et  ejusdem  calcuH  vestigiis 
insistendo  si  terra  &  planetse  omnes  ex  una  soHs  parte  consisterent, 
commune  omnium  centrum  gravitatis  vix  integra  soHs  diametro  a 
centro  soHs  distaret.  AHis  in  caslbus  dlstantia  centrorum  semper 
minor  est.  Et  propterea,  cum  centrum  IHud  gravitatis  perpetuo 
quiescit,  sol  pro  vario  planetarum  situ  in  omnes  partes  movebitur,  sed 
a  centro  IHo  nunquam  longe  recedet. 

Corol.  Hinc  commune  gravitatis  centrum  terrse,  soHs  &  plane- 
tarum  omnium  pro  centro  mundi  habendum  est     Nam  cum  terra, 


LIBER  TERTIUS.  .qq 

sol  &  planetae  omnes  gravitent  In  se  mutuo,  &  propterea,  pro  vi 
gravitatis  suae,  secundum  leges  motus  perpetuo  agitentur :  perspicuum 
est  quod  horum  centra  mobilia  pro  mundi  centro  qulescente  haberl 
nequeunt.  Si  corpus  illud  in  centro  locandum  esset  in  quod  corpora 
omnia  maxime  gravltant  (utl  vulgl  est  opinlo)  privilegium  Istud 
concedendum  esset  soll.  Cum  autem  sol  moveatur,  eligendum  erit 
punctum  qulescens,  a  quo  centrum  solls  quam  mlnime  dlscedit^  &  a 
quo  idem  adhuc  minus  discederet,  sl  modo  sol  densior  esset  &  major, 
ut  minus  moveretur. 

PROPOSITIO    XIII.      THEOREMA    XIII. 

PlanetiE  moventur  in  ellipsibus  umdiliacm  habentibus  in  centro  solis, 
&  radiis  ad  centrum  illud  ductis  areas  describunt  temporibus 
proportionales, 

Disputavlmus  supra  de  hls  motlbus  ex  phaenomenls.  Jam  cog- 
nltis  motuum  prlnclplls,  ex  hls  colliglmus  motus  coelestes  a  prlorl. 
Quonlam  pondera  planetarum  In  solem  sunt  reclproce  ut  quadrata 
dlstantiarum  a  centro  solls ;  sl  sol  qulesceret  &  planetse  rellqul  non 
agerent  in  se  mutuo,  forent  orbes  eorum  elllptlci,  solem  in  umbillco 
communl  habentes,  &  areae  descrlberentur  temporlbus  proportionales 
(per  prop.  i  &  xi  &  corol.  i  prop.  xiii  lib.  i)  actiones  autem 
planetarum  In  se  mutuo  perexiguae  sunt  (ut  posslnt  contemni)  & 
motus  planetarum  in  ellipslbus  clrca  solem  mobilem  minus  perturbant 
(per  prop.  lxvi  Hb.  i)  quam  si  motus  istl  clrca  solem  quiescentem 
peragerentur. 

Actio  quldem  jovls  In  saturnum  non  est  omnlno  contemnenda. 
Nam  gravitas  In  jovem  est  ad  gravltatem  In  solem  (parlbus  distantiis) 
ut  I  ad  1067;  Ideoque  In  conjunctlone  jovls  &  saturnl,  quoniam 
distantia  saturnl  a  jove  est  ad  distantlam  saturnl  a  sole  fere  ut  4  ad  9, 
erlt  gravitas  saturni  in  jovem  ad  gravltatem  saturni  In  solem  ut  81  ad 
16  X  1067  seu  I  ad  211  clrciter.  Et  hinc  oritur  perturbatlo  orbls 
saturnl  In  slngulls  planetae  hujus  cum  jove  conjunctlonibus  adeo 
sensibills  ut  ad  eandem  astronoml  haereant.  Pro  varlo  sltu  planetae  In 
hls  conjunctionlbus,  eccentrlcltas  ejus  nunc  augetur  nunc  dlminultur, 
aphelium  nunc  promovetur  nunc  forte  retrahitur,  &  medius  motus 


4IO 


DE  MUNDI  SYSTEMATE 


per  vices  acceleratur  &  retardatur.  Error  tamen  omnls  in  motu 
ejus  circum  solem  a  tanta  vi  oriundus  (praeterquam  in  motu  medio) 
evitari  fere  potest  constituendo  umbilicum  inferiorem  orbis  ejus  in 
communi  centro  gravitatis  jovis  &  solis  (per  prop.  lxvii  lib.  i)  & 
propterea  ubi  maximus  est  vix  superat  minuta  duo  prima.  Et  error 
maximus  in  motu  medio  vix  superat  minuta  duo  prima  annuatim.  In 
conjunctione  autem  jovis  &  saturni  gravitates  acceleratrices  solis  in 
saturnum,  jovis  in  saturnum  &  jovis  in  solem  sunt  fere  ut  1 6,  8 1   & 

T  T\      ^^      5\  T       ^^      ^  C\  O  T 

^ seu  156609,  ideoque  differentia  gravitatum  solis  in 

25  _ 

saturnum  &  jovis  in  saturnum  est  ad  gravitatem  jovis  in  solem  ut  65 

ad  156609  seu   i   ad  2409.     Huic  autem  differentiae  proportionalis 

est  maxima  saturni  efficacia  ad  perturbandum  motum  jovis,  &  prop- 

terea   perturbatio   orbis  jovialis  longe  minor  est  quam  ea  saturnii. 

Reliquorum  orbium  perturbationes  sunt  adhuc  longe  minores,  praeter- 

quam  quod  orbis  terrse  sensibiliter  perturbatur  a  luna.     Commune 

centrum  gravitatis  terrae  &  lunee  ellipsin  circum  solem  in  umbilico 

positum  percurrit,  &  radio  ad  solem  ducto  areas  in  eadem  temporibus 

proportionales   describit,  terra  vero  circum   hoc   centrum  commune 

motu  menstruo  revolvitur. 

PROPOSITIO    XIV.      THEOREMA    XIV. 
Orbium  aphelia  &  nodi  quiescunt, 

Aphelia  quiescunt,  per  prop.  xi  lib.  i  ;  ut  &  orbium  plana,  per 
ejusdem  Hbri  prop.  i  &  quiescentibus  planis  quiescunt  nodi.  Atta- 
men  a  planetarum  revolventium  &  cometarum  actionibus  in  se  invicem 
orientur  inaequalitates  aliquae,  sed  quae  ob  parvitatem  hic  contemni 
possunt. 

Corol.  i.  Quiescunt  etiam  stellae  fixae,  propterea  quod  datas  ad 
aphelia  nodosque  positiones  servant. 

CoroL  2.  Ideoque  cum  nulla  sit  earum  parallaxis  sensibilis  ex 
terrae  motu  annuo  oriunda,  vires  earum  ob  immensam  corporum 
distantiam  nullos  edent  sensibiles  effectus  in  regione  systematis  nostri. 
Quinimo  fixae  in  omnes  cceli  partes  aequaliter  dispersae  contrariis 
attractionibus  vires  mutuas  destruunt,  per  prop.  lxx  lib.  i. 


LIBER  TERTIUS.  ^H 

Scholmm. 
Cum  planetse  soli  proplores  (nempe  mercurius,  venus,  terra,  & 
mars)  ob  corporum  parvitatem  parum  agant  in  se  invicem  :  horum 
aphelia  &  nodi  quiescent,  nisi  quatenus  a  viribus  jovis,  saturni 
&  corporum  superiorum  turbentur.  Et  inde  colligi  potest  per 
theoriam  gravitatis,  quod  horum  aphelia  moventur  aHquantulum  in 
consequentia  respectu  fixarum,  idque  in  proportione  sesquipHcata 
distantiarum  horum  planetarum  a  sole.  Ut  si  aphelium  martis  in 
annis  centum  conficiat  33'  20'^  in  consequentia  respectu  fixarum ; 
apheha  terrse,  veneris,  &  mercurii  in  annis  centum  conficient  1 7^  \o" , 
\o'  53^^  &  4'  i(i"  respective.  Et  hi  motus,  ob  parvitatem,  negli- 
guntur  in  hac  propositione. 

PROPOSITIO    XV.     PROBLEMA    I. 

Invenire  orbinm  principales  diametros, 

Capiendae  sunt  hse  in  ratione  subsesquiplicata  temporum  perlodi- 
corum,  per  prop.  xv  lib.  i  ;  deinde  sigillatim  augendae  in  ratione 
summse  massarum  solis  &  planetse  cujusque  revolventis  ad  primam 
duarum  medie  proportionaHum  inter  summam  illam  &  solem,  per 
prop.  LX  Hb.  I. 

PROPOSITIO    XVI.     PROBLEMA    II. 

hivenire  orbium  eccentricitates  &  aphelia, 

Problema  confit  per  prop.  xviii  Hb.  i. 

PROPOSITIO    XVII.     THEOREMA    XV. 

Planetarum   motus  ditcrnos  nniformes  esse,  &  librationem  luncB  ex 

ipsius  motu  diurno  oriru 

Patet  per  motus  legem  i,  &  corol.  22  prop.  lxvi  Hb.  i.  Jupiter 
utique  respectu  fixarum  revolvitur  horis  9  56^,  mars  horis  24  39^ 
venus  horls  23  clrciter,  terra  horis  23  56^  sol  dlebus  25 J  &  luna 
dlebus  27  hor.  7.  43^  Haec  ita  se  habere  ex  phsenomenis  manifes- 
tum  est.  Maculse  in  corpore  soHs  ad  eundem  situm  in  disco  soHs 
redeunt  diebus  27I  clrciter,  respectu  terrse ;  ideoque  respectu  fixa- 
rum  sol  revolvltur  diebus   25^  circiter.     Quoniam  vero  lunse  circa 


412  DE  MUNDI  S  YSTEMA  TE 

axem  suum  uniformiter  revolventis  dies  menstruus  est  :  hujus  facies 
eadem  ulteriorem  umbilicum  orbis  ejus  semper  respiciet  quam- 
proxime,  &  propterea  pro  situ  umbilici  illius  deviabit  hinc  inde  a 
terra.  Haec  est  libratio  lunae  in  longitudinem.  Nam  Hbratio  in 
latitudinem  orta  est  ex  latitudine  lunae  &  inclinatione  axis  ejus  ad 
planum  ecHpticae.  Hanc  Hbrationis  lunaris  theoriam  D.  N.  Alercator 
in  astronomia  sua,  initio  anni  1676  edita,  ex  Hteris  meis  plenius 
exposuit.  SimiH  motu  extimus  saturni  sateHes  circa  axem  suum 
^  revolvi  videtur,  eadem  sui  facie  saturnum  perpetuo  respiciens.  Nam 
circum  saturnum  revolvendo,  quoties  ad  orbis  sui  partem  orienta- 
lem  accedit,  segerrime  videtur  &  plerumque  videri  cessat :  id  quod 
evenire  potest  per  maculas  quasdam  in  ea  corporis  parte  quae  terrae 
tunc  obvertitur,  ut  Cassinus  notavit.  SimiH  etiam  motu  sateHes 
extimus  joviaHs  circa  axem  suum  revolvi  videtur,  propterea  quod  in 
parte  corporis  jovi  aversa  maculam  habeat  quae  tanquam  in  corpore 
jovis  cernitur  ubicunque  sateHes  inter  jovem  &  oculos  nostros 
transit. 

PROPOSITIO    XVIII.     THEOREMA    XVI. 

Axes  planetarum  diametris  qucs  ad  eosdem  axes  normaliter  ducti7itur 

minores  esse. 

Planetae  sublato  omni  motu  circulari  diurno  figuram  sphaericam, 
ob  aequalem  undique  partium  gravitatem,  affectare  deberent.  Per 
motum  illum  circularem  fit  ut  partes  ab  axe  recedentes  juxta  aequa- 
torem  ascendere  conentur.  Ideoque  materia  si  fluida  sit  ascensu 
suo  ad  aequatorem  diametros  adaugebit,  axem  vero  descensu  suo  ad 
polos  diminuet.  Sic  jovis  diameter  (consentientibus  astronomorum 
observationibus)  brevior  deprehenditur  inter  polos  quam  ab  oriente 
in  occidentem.  Eodem  argumento,  nisi  terra  nostra  paulo  altior 
esset  sub  aequatore  quam  ad  polos,  maria  ad  polos  subsiderent,  & 
juxta  aequatorem  ascendendo  ibi  omnia  inundarent.  ■ 

PROPOSITIO    XIX.     PROBLEMA    III.  * 

/nvenire  proportionem  axis  planetcs  ad  diametros  eidem  perpendiculares. 
Norwoodus  noster  circaannum  1635  mensurando  distantiam  pedum 


LIBER  TERTIUS.  •  413 

Londlnensium  905751  mX.^r  Londinuni  &  Eboracum,  &  observando 
differentlam  latitudlnum  2  gr.  28'  colleglt  mensuram  gradus  unlus 
esse  pedum  Londlnenslum  367196,  id  est,  hexapedarum  Parlslenslum 

57300- 

Picartus  mensurando  arcum  gradus  unius  &  22'  55'^  In  meridiano 

inter  Ambianum  8l  Malvoisinam,  invenlt  arcum  gradus   unlus  esse 

hexapedarum  Parlsiensium  57060.      Cassinus  senlor  mensuravlt  dls- 

tantlam  in  merldiano  a  villa  Collioicre  in  Roicssiliofi  ad  observatorium 

Parisiense  ;  &  filius  ejus  addidit  distantiam  ab  observatorio  ad  turrem 

urbis  Dicnkirk.     Dlstantia  tota  erat  hexapedarum  486156!^,  &  differ- 

entia  latltudinum  villae  Collioicre  &  urbis  Dunkirk  erat  graduum  octo 

&  31^  \\l".      Unde  arcus  gradus   unlus  prodit  hexapedarum   Pari- 

slensium  57061.     Et  ex  his  mensuris  coHIgltur  ambltus  terrae  pedum 

Parisienslum   123249600,  &  semidiameter  ejus  pedum  19615800^  ex 

hypothesi  quod  terra  sit  sphaerica. 

In  latitudine  Lictetics  Parisiorum  corpus  grave  tempore  minuti 
unius  secundi  cadendo  describit  pedes  Parislenses  15  dlg.  i  Hn.  i^ 
ut  supra,  id  est,  lineas  2173^.  Pondus  corporis  dimlnultur  per 
pondus  aeris  ambientls.  Ponamus  pondus  amissum  esse  partem  un- 
decimam  millesimam  ponderis  totius,  &  corpus  illud  grave  cadendo 
in  vacuo  describet  altitudinem  Hnearum  2 1 74  tempore  minuti  unius 
secundl. 

Corpus  in  circulo  ad  distantiam  pedum  19615800  a  centro,  singulis 
diebus  sidereis  horarum  23.  56'  ^!'  unlformiter  revolvens,  tempore 
minuti  unius  secundi  describet  arcum  pedum  1433,46,  cujus  sinus 
versus  est  pedum  0,0523656,  seu  Hnearum  7,54064.  Ideoque  vis, 
qua  gravia  descendunt  in  latitudlne  LuteticB,  est  ad  vim  centrlfugam 
corporum  in  aequatore  a  terrae  motu  diurno  oriundam,  ut  2 1 74  ad 
7,54064. 

Vis  centrifuga  corporum  in  aequatore  terrae  est  ad  vim  centri- 
fugam,  qua  corpora  directe  tendunt  a  terra  in  latitudine  Ltctetice 
graduum  48.  50'  lo'^  in  dupHcata  ratlone  radli  ad  sinum  comple- 
menti  latitudinis  iHius,  id  est,  ut  7,54064  ad  3,267.  Addatur  haec 
vis  ad  vim  qua  gravla  descendunt  in  latitudlne  IHa  Ltctetia^,  &  corpus 
in  latltudine  IHa,  vl  tota  gravitatls  cadendo,  tempore  minuti  unius 
secundi  describet  Hneas  2177,267  seu  pedes  Parisienses  15  dig.  i 
&  Hn.   5,267.     Et  vis  tota  gravitatis  in  latitudine  IHa  erit  ad  vim 


414  •  ^^  MUNDI S  YSTEMA  TE 

centrifugam  corporum  in  sequatore  terr^  ut  2177,267  ad  7,54064  seu 
289  ad  I. 

Unde  si  A  P  B  Q  figuram  terrae  designet  jam  non  amplius  sphae- 
ricam  sed  revolutione  ellipseos  circum  axem  minorem  P  Q  genitam, 
sitque  A  CQqca  canalis  aquae  plena,  a  polo  ^^  ad  centrum  Cc  & 
inde  ad  aequatorem  A  a  pergens  :  debebit  pondus  aquae  in  canalis 
crure  A  Cca  esse  ad  pondus  aquse  in  crure  altero  ^  C^^  ut  289  ad 
288,  eo  quod  vis  centrifuga  ex  circulari  motu  orta  partem  unam  e 
ponderis  partibus  289  sustinebit  ac  detrahet,  &  pondus  288  in  altero 
crure  sustinebit  reliquas.  Porro  (ex  propo- 
sitioms  xci  corol.  2  hb.  i)  computationem 
ineundo  invenio  quod,  si  terra  constaret  ex 
uniformi  materia  motuque  omni  privaretur 
&  esset  ejus  axis  P  Q  2A  diametrum  AB 
ut  100  ad  loi,  gravitas  in  loco  Q  in  ter- 
ram  foret  ad  gravitatem  in  eodem  loco  Q  in 
sphaeram  centro  C  radio  P  C  vel  Q  C  de^ 
scriptam,  ut  126  ad  125.  Et  eodem  argu- 
mento  grayitas  in  loco  A  in  sphaeroidem,  convolutione  elHpseos 
APBQ  circa  axem  AB  descriptam,  est  ad  gravitatem  in  eodem 
loco  A  in  spheeram  centro  C  radio  A  C  descriptam,  ut  125  ad  126. 
Est  autem  gravitas  in  loco  A  in  terram  media  proportionaHs  inter 
gravitates  in  dictam  sphaeroidem  &  sphaeram  :  propterea  quod  sph^ra, 
diminuendo  diametrum  P  Q  in  ratione  loi  ad  100,  vertitur  in  figuram 
terrae  ;  &  haec  figura  diminuendo  in  eadem  ratione  diametrum  tertiam, 
quae  diametris  duabus  A  B,  P  Q,  perpendicularis  est,  vertitur  in 
dictam  sphaeroidem ;  &  gravitas  in  A,  in  casu  utroque,  diminuitur 
in  eadem  ratione  quam  proxime.  Est  igitur  gravitas  in  A  in  sphaeram 
centro  C  radio  A  C  descriptam  ad  gravitatem  in  A  in  terram  ut 
126  ad  I2  5i  &  gravitas  in  loco  Q  in  spha^ram  centro  C  radio  Q  C 
descriptam  est  ad  gravitatem  in  loco  A  in  sphaeram  centro  C  radio 
A  C  descriptam  in  ratione  diametrorum  (per  prop.  lxxii  Hb.  i);  id 
est,  ut  100  ad  loi.  Conjungantur  jam  hae  tres  rationes,  126  ad  125, 
126  ad  I25i  &  100  ad  loi  :  &  fiet  gravitas  in  loco  Q  in  terram  ad 
gravitatem  in  loco  A  in  terram,  ut  126  x  126  x  100  ad  125  x  125^  x 
loi,  seu  ut  501  ad  500. 


LIBER  TERTIVS.  ^I^ 

Jam  cum  (per  corol.  3  prop.  xci  lib.  i)  gravitas  In  canalls  crure 
utrovls  ACca  vel  QCcq  slt  ut  dlstantla  locorum  a  centro  terr^ ; 
sl  crura  illa  superficlebus  transversls  &  aequidlstantlbus  distinguantur 
in  partes  totls  proportlonales,  erunt  pondera  partlum  slngularum  in 
crure  A  Cca  ad  pondera  partium  totidem  in  crure  altero,  ut  mag- 
nitudlnes  &  gravltates  acceleratrices  conjunctlm ;  id  est,  ut  loi  ad 
100  &  500  ad  501,  hoc  est,  ut  505  ad  501.  Ac  prolnde  si  vis 
centrifuga  partls  cujusque  in  crure  A  Cca  ex  motu  dlurno  orlunda 
fulsset  ad  pondus  partls  ejusdem  ut  4  ad  505,  eo  ut  de  pondere 
partis  cujusque,  in  partes  505  diviso,  partes  quatuor  detraheret; 
manerent  pondera  in  utroque  crure  sequalia,  &  propterea  fluidum 
conslsteret  in  aequIHbrlo.  Verum  vis  centrifuga  partls  cujusque  est 
ad  pondus  ejusdem  ut  i  ad  289,  hoc  est,  vls  centrlfuga  quae  deberet 
esse  ponderis  pars  ws  est  tantum  pars  ^.  Et  propterea  dico, 
secundum  regulam  auream,  quod  si  vis  centrifuga  ws  faciat  ut 
altitudo  aquae  in  crure  A  Cca  superet  altitudlnem  aquse  in  crure 
Q  C  c  q  parte  centeslma  totius  altitudinis  :  vis  centrifuga  w  faciet  ut 
excessus  altitudinis  in  crure  A  Cca  sit  altitudlnis  in  crure  altero 
QCcq  pars  tantum  tw.  Est  igitur  diameter  terrae  secundum  aequa- 
torem  ad  ipslus  dlametrum  per  polos  ut  230  ad  229.  Ideoque  cum 
terrae  semidiameter  medlocris,  juxta  mensuram  Picarti,  sit  pedum 
Parisienslum  196 15800,  seu  mllliarium  3923,16  (posito  quod  milliare 
sit  mensura  pedum  5000)  terra  altior  erit  ad  aequatorem  quam  ad 
polos  excessu  pedum  85472,  seu  milHarum  i^tV.  Et  altltudo  ejus  ad 
sequatorem  erlt  19658600  pedum  circiter,  &  ad  polos  19573000 
pedum. 

Si  planeta  major  slt  vel  minor  quam  terra  manente  ejus  densitate 
ac  tempore  periodico  revolutlonls  diurnae,  maneblt  proportio  vis 
centrlfugae  ad  gravitatem,  &  propterea  manebit  etiam  proportio 
dlametri  inter  polos  ad  diametrum  secundum  aequatorem.  At  si 
motus  dlurnus  in  ratione  quacunque  acceleretur  vel  retardetur, 
augebitur  vel  minuetur  vis  centrifuga  in  dupHcata  IHa  ratione,  & 
propterea  differentia  diametrorum  augebitur  vel  minuetur  in  eadem 
dupHcata  ratlone  quamproxime.  Et  si  densltas  planetae  augeatur 
vel  mlnuatur  In  ratlone  quavis,  gravltas  etiam  in  Ipsum  tendens 
augebltur  vel  minuetur  in  eadem  ratione,  &  dlfferentla  diametrorum 
vicissim  minuetur  in  ratione  gravitatis  auctae  vel  augebitur  in  ratione 


4i6 


DE  MUNDI  SYSTEMATE 


gravltatis  dimlnutae.  Unde  cum  terra  respectu  fixarum  revolvatur 
horls  23.  56',  jupiter  autem  horis  9.  56',  sintque  temporum  quadrata 
ut  29  ad  5,  &  revolventlum   densltates  ut  400  ad   94 J  :    dlfferentla 

dlametrorum  iovls  erit  ad  Ipslus  dlametrum  mlnorem  ut  -5  x  ^-. 
^  5         94^ 

ad  I,  seu  i  ad  9J  quamproxime.     Est  Igltur  dlameter  jovis  ab 


229 


orlente  In  occidentem  ducta  ad  ejus  diametrum  inter  polos  ut  \o\ 
ad  9J  quamproxime.  Unde  cum  ejus  diameter  major  slt  37''  ejus 
dlameter  minor  quae  polis  Interjacet  erlt  33^"  25'^^  Pro  luce 
erratlca  addantur  2!'  clrciter,  &  hujus  planetse  dlametrl  apparentes 
evadent  40'^  &  36''  2^'"  :  quae  sunt  ad  Invicem  ut  \\\  ad  \o\  quam- 
proxlme.  Hoc  Ita  se  habet  ex  hypothesl  quod  corpus  jovis  slt 
uniformiter  densum.  At  sl  corpus  ejus  slt  denslus  versus  planum 
aequatorls  quam  versus  polos  diametrl  ejus  possunt  esse  ad  Invlcem 
ut  12  ad  II,  vel  13  ad  12,  vel  forte  14  ad  13.  Et  Cassinus  quldem 
anno  1691  observavit,  quod  jovls  diameter  ab  oriente  In  occldentem 
porrecta  diametrum  alteram  superaret  parte  sul  circiter  declma 
quinta.  Poicndics  autem  noster  telescopio  pedum  123  longitudlnli 
&  optimo  mlcrometro  dlametros  jovls  anno  1719  mensuravit  ui 
sequitur. 


Tempora. 

Diam.  max. 

Diam.  min. 

Diametri  ad  invicem. 

dies 
Jan.  28 
Mar.  6 
Mar.   9 
Apr.    9 

hor. 

6 

7 
7 
9 

part. 

13^40 
I3»I2 
I3>J2 
12,32 

part. 
12,28 
12,20 
12,08 
11,48 

ut  \2             ad  11 
i3t                 i2f 

I2§                          Ilf 

i4t                 i3t 

Congrult  Igitur  theorla  cum  phaenomenls.  Nam  planetae  magis^ 
Incalescunt  ad  lucem  soHs  versus  aequatores  suos,  &  propterea  paulo^ 
magls  Ibl  decoquuntur  quam  versus  polos. 

Quinetiam  gravitatem  per  rotatlonem  diurnam  terrae  nostrae  minui 
sub  aequatore  atque  Ideo  terram  ibl  altlus  surgere  quam  ad  polos 
(sl  materia  ejus  uniformlter  densa  sit)  patebit  per  experimenta  pen- 
dulorum  quae  recensentur  In  proposltione  sequente. 


LIBER  TERTIUS.  ^jy 


PROPOSITIO    XX.      PROBLEMA    IV. 

Invenire  &  i^iter  se  comparare pondera  corporum  in  terrcs  hujus 

regionibus  diversis. 

Quonlam  pondera  inaequalium  crurum  canalls  aqueae  ACQqca 
aequalia  sunt ;  &  pondera  partlum,  cruribus  totis  proportionalium  & 
similiter  in  totls  sitarum,  sunt  ad  invicem  ut  pondera  totorum,  ideoque 
etiam  aequantur  inter  se ;  erunt  pondera  sequallum  &  in  cruribus 
similiter  sitarum  partium  reciproce  ut  crura,  id  est,  reciproce  ut  230 
ad  229.  Et  par  est  ratlo  homogeneorum  &  sequallum  quorumvis  & 
In  canalis  cruribus  similiter  sitorum  corporum.  Horum  pondera  sunt 
reciproce  ut  crura,  id  est,  reciproce  ut  dlstantlse  corporum  a  centro 
terrse.  Proinde  si  corpora  in  supremis  canalium  partibus,  sive  in 
superficle  terrae  conslstant;  erunt  pondera  eorum  ad  invicem  reciproce 
ut  distantlse  eorum  a  centro.  Et  eodem  argumento  pondera,  in  aliis 
quibuscunque  per  totam  terrse  superficiem  regionibus,  sunt  reciproce 
ut  distantiae  locorum  a  centro  ;  &  propterea,  ex  hypothesi  quod  terra 
sphaerois  sit,  dantur  proportione. 

Unde  tale  confit  theorema,  quod  Incrementum  ponderis  pergendo 
ab  ^quatore  ad  polos  sit  quam  proxime  ut  sinus  versus  latitudinis 
dupHcatae  vel,  quod  perlnde  est,  ut  quadratum  sinus  rectl  latitudinls. 
Et  in  eadem  circiter  ratione  augentur  arcus  graduum  latitudinis  in 
meridiano.  Ideoque  cum  latitudo  Lictetics  Parisiortm  sit  48^'-  50^ 
ea  locorum  sub  aequatore  00  ^  00',  &  ea  locorum  ad  polos  90  ^*'-  & 
duplorum  slnus  versi  sint  11334,  00000  &  20000,  existente  radio 
loooo,  &  gravltas  ad  polum  sit  ad  gravitatem  sub  aequatore  ut  230 
ad  229,  &  excessus  gravitatis  ad  polum  ad  gravitatem  sub  aequatore 
ut  I  ad  229  :  erlt  excessus  gravitatls  in  latltudine  LtcteticB  ad  gravi- 
tatem  sub  aequatore,  ut  i  x  IwJo^  ad  229,  seu  5667  ad  2290000.  Et 
propterea  gravitates  totae  in  his  locis  erunt  ad  Invicem  ut  2295667 
ad  2290000.  Quare  cum  longitudines  pendulorum  aequahbus  tem- 
poribus  oscillantlum  sint  ut  gravitates,  &  in  latltudlne  LuteticB  Pari- 
siorum  longltudo  penduH  singuHs  minutls  secundls  oscinantls  sit 
pedum  trium  Parisiensium  &  Hnearum  8^,  vel  potius  ob  pondus  aeris 
84  :  longitudo  penduH  sub  aequatore  superabltur  a  longitudine  syn- 

2    D 


4i8 


DE  MUNDI  SYSTEMATE 


chroni  penduli  Parisiensis  excessu  lineae  unius  ^  Z^  partium  mille- 
simarum  linese.     Et  simili  computo  confit  tabula  sequens. 


Latitudo  loci. 

Longitudo  penduli. 

Mensura  gradus  unius  in 
meridiano. 

grad. 

ped.                        lin. 

hexapedce. 

o 

3              7,468 

56637 

5 

3              7,482 

56642 

lO 

3              7,526 

56659 

15 

3              7,596 

56687 

20 

3              7,692 

56724 

25 

3              7,812 

56769 

30 

3              7,948 

56823 

35 

3              8,099 

56882 

40 

3              8,261 

56945 

I 

3              8,294 

56958 

2 

3              8,327 

56971 

3 

3              8,361 

56984 

4 

3              8,394 

56997 

45 

3              8,428 

57010 

6 

3              8,461 

57022 

7 

3              8,494 

57035 

8 

3              8,528 

57048 

9 

3              8,561 

57061 

50 

3              8,594 

57074 

55 

3              8,756 

57137 

60 

3              8,907 

57196 

65 

3              9,044 

57250 

70 

3              9,162 

57295 

l^ 

3              9,258 

57332 

80 

3              9,329 

57360 

85 

3              9,372 

57377 

90 

3              9,387 

57382 

Constat  autem  per  hanc  tabulam  quod  graduum  ina^qualitas  tai 
parva  sit,  ut  in  rebus  geographicis  figura  terrae  pro  sphaerica  habei 
possit :  prsesertim  si  terra  paulo  densior  sit  versus  planum  aequatoris 
quam  versus  polos. 

Jam  vero  astronomi  aliqui  in  longinquas  regiones  ad  observationes 
astronomicas  faciendas  missi  observarunt  quod  horologia  oscillatoria 
tardius  moverentur  prope  aequatorem  quam  in  regionibus  nostris. 
Et  primo  quidem  D.  Richer  hoc  observavit  anno  1672  in  insula 
Cayennce.     Nam  dum  observaret  transitum  fixarum  per  meridianum 


LIBER  TERTIUS.  ^j^ 

mense  Aiigicsto,  reperlt  horologium  suum  tardius  moveri  quam  pro 
medio  motu  solis,  existente  differentia  2'  28''  singulis  diebus.  De- 
inde  faciendo  ut  pendulum  simplex  ad  minuta  singula  secunda  per 
horologium  optimum  mensurata  oscillaret,  notavit  longitudinem 
penduli  simplicis,  &  hoc  fecit  saepius  singuHs  septimanis  per  menses 
decem.  Tum  in  Galliam  redux  contulit  longitudinem  hujus  penduli 
cum  longitudine  penduli  Parisiensis  (quse  erat  trium  pedum  Parisi- 
ensium  &  octo  Hnearum  cum  tribus  quintis  partibus  lineae)  & 
reperit  brevlorem  esse,  existente  dlfferentla  llneae  unlus  cum  quadrante. 

Postea  Halleius  noster  clrca  annum  1677  ad  insulam  Sanctce 
HelencB  navlgans  reperlt  horologium  suum  oscillatorlum  ibi  tardius 
moverl  quam  Londini,  sed  dlfferentiam  non  notavlt.  Pendulum 
vero  brevlus  reddldit  plusquam  octava  parte  digltl,  seu  Hnea  una 
cum  semlsse.  •  Et  ad  hoc  efticiendum,  cum  longltudo  cochleae  In 
ima  parte  penduH  non  sufficeret,  annulum  Hgneum  thecae  cochleae  & 
ponderl  pendulo  Interposult. 

Delnde  anno  1682  D.  Varin  &  D.  Des  Hayes  Invenerunt 
longltudinem  penduH  slnguHs  mlnutis  secundis  oscinantls  in  ob- 
servatorio  reglo  Parlslensl  esse  ped.  3  Hn.  81.  Et  In  Insula  Gorea 
eadem  methodo  longltudlnem  penduH  synchronl  Invenerunt  esse 
ped.  3  Hn.  61,  exlstente  longitudlnum  differentla  Hn.  2.  Et 
eodem  anno  ad  Insulas  Guadaloupam  &  Martinicam  navigantes, 
invenerunt  longltudlnem  penduH  synchronl  in  his  InsuHs  esse  ped. 
3  Hn.  6i 

Posthac  D.  Couplet  fiHus  anno  1697  mense  Julio  horologium 
suum  oscinatorlum  ad  motum  soHs  medlum  in  observatorio  regio 
Parisiensi  slc  aptavit,  ut  tempore  satls  longo  horologium  cum  motu 
soHs  congrueret.  Delnde  Ulyssipponem  navlgans  invenlt  quod  mense 
Novembri  proxlmo  horologlum  tardlus  iret  quam  prius,  exlstente 
dlfferentla  2^  13^^  In  horls  24.  Et  mense  Martio  sequente  Paraibam 
navlgans  Invenlt  Ibi  horologlum  suum  tardius  ire  quam  Parisiis, 
exlstente  dlfferentla  4'  \2"  In  horls  24.  Et  affirmat  pendulum 
ad  mlnuta  secunda  osciUans  brevlus  fulsse  Ulyssipponi  Hnels  2\ 
&  Paraibcs  Hneis  3!  quam  Parisiis.  Rectius  posuisset  differentlas 
esse  i\  &  2I.  Nam  hae  dlfferentiae  differentiis  temporum  2'  13'', 
&  4'  12^^  respondent.  Crassiorlbus  hujus  observatlonibus  mlnus 
fidendum  est. 


420 


DE  MUNDI  SYSTEMATE 


Annis  proximis  (1699  &  1700)  D.  Des  Hayes  ad  Americam  denuo 
navigans  determinavit  quod  in  insulis  Cayermce  &  Granadce  longi- 
tudo  penduli  ad  minuta  secunda  oscillantis  esset  paulo  minor  quam 
ped.  3  lin.  61^,  quodque  in  insula  S.  Christophori  longitudo  illa 
esset  ped.  3  lin.  6f,  &  quod  in  insula  S.  Dominici  eadem  esset 
ped.   3  lin.    7.  ^ 

Annoque  1704.  P.  Feuilleus  invenit  in  Porto-bello  in  America 
longitudinem  penduli  ad  minuta  secunda  oscillantis  esse  pedum 
trium  Parisiensium  &  linearum  tantum  5^2,  id  est,  tribus  fere  lineis 
breviorem  quam  Ltitetice  Parisiorum,  sed  errante  observatione. 
Nam  deinde  ad  insulam  Martinicam  navigans,  invenit  longitu- 
dinem  penduli  isochroni  esse  pedum  tantum  trium  Parisiensium  & 
linearum  ^f?. 

Latitudo  autem  Paraibcs  est  6^-  38'  ad  austrum,  &  ea  Po7'to-belli 
9^'  33'  ^^  boream,  &  latitudines  insularum  Caye^mce,  Gorece,  Guada- 
loupcB,  Marti7iiccB,  GranadcB,  Sancti  Christophori,  &  Sancti  Dominici 
sunt  respective  4^-  55',  14^-  40',  14^-  oo^  14^-  44',  12^-  6\  ly^- 
19^,  &  19^-  48'  ad  boream.  Et  excessus  longitudinis  penduli 
Parisiensis  supra  longitudines  pendulorum  isochronorum  in  hisi 
latitudinibus  observatas  sunt  paulo  majores  quam  pro  tabula  longi 
tudinum  penduH  superius  computata.  Et  propterea  terra  aliquanto. 
altior  est  sub  sequatore  quam  pro  superiore  calculo,  &  densior  ad 
centrum  quam  in  fodinis  prope  superficiem,  nisi  forte  calores  in  zona 
torrida  longitudinem  pendulorum  ahquantulum  auxerint. 

Observavit  utique  D.  Picartus  quod  virga  ferrea,  quse  tempore 
hyberno  ubi  gelabant  frigora  erat  pedis  unius  longitudine,  ad  ignem 
calefacta  evasit  pedis  unius  cum  quarta  parte  Hneae.  Deinde  D. 
de  la  Hire  observavit  quod  virga  ferrea  quae  tempore  consimili 
hyberno  sex  erat  pedum  longitudinis,  ubi  soli  aestivo  exponebatur 
evasit  sex  pedum  longitudinis  cum  duabus  tertiis  partibus  Hneae.  In 
priore  casu  calor  major  fuit  quam  in  posteriore,  in  hoc  vero  major 
fuit  quam  calor  externarum  partium  corporis  humani.  Nam  metalla 
ad  solem  aestivum  valde  incalescunt.  At  virga  penduH  in  horologio 
osciHatorio  nunquam  exponi  solet  calori  soHs  aestivi,  nunquam  calorem 
concipit  calori  externae  superficiei  corporis  humani  aequalem.  Et 
propterea  virga  penduH  in  horologio  tres  pedes  longa  paulo 
quidem   longior   erit   tempore   aestivo   quam    hyberno,    sed   excessu 


LIBER  TERTIUS.  42 1 

quartam  partem  linese  unlus  vlx  superante.  Prolnde  differentia  tota 
longltudlnls  pendulorum  quae  in  dlversls  reglonlbus  isochrona  sunt 
dlverso  calorl  attrlbul  non  potest.  Sed  neque  errorlbus  astronomorum 
e  Gallia  mlssorum  trlbuenda  est  haec  dlfferentla.  Nam  quamvls 
eorum  observatlones  non  perfecte  congruant  Inter  se,  tamen  errores 
sunt  adeo  parvi  ut  contemni  posslnt.  Et  in  hoc  concordant  omnes, 
quod  isochrona  pendula  sunt  breviora  sub  aequatore  quam  in  obser- 
vatorlo  reglo  Parlslensi,  exlstente  dlfferentla  non  mlnore  quam  Ilneae 
unius  cum  quadrante,  non  majore  quam  Hnearum  2I.  Per  observa- 
tiones  D.  Richeri  In  Cayenna  factas  dlfferentia  fult  Hneae  unius  cum 
quadrante.  Per  eas  D.  Des  Hayes  dlfferentia  illa  correcta  prodllt 
lineae  unlus  cum  semisse  vel  unius  cum  tribus  quartls  partlbus  Hneae. 
Per  eas  aHorum  mlnus  accuratas  prodiit  eadem  quasi  duarum  Hne- 
arum.  Et  haec  discrepantla  partim  ab  erroribus  observationum, 
partim  a  dlsslmllltudine  partlum  internarum  terrae  &  altitudlne  mon- 
tium,  &  partim  a  diversis  aeris  caloribus  orlri  potult. 

Vlrga  ferrea  pedes  tres  longa  tempore  hyberno  in  Anglia  brevior 
est  quam  tempore  aestlvo,  sexta  parte  llne^  unlus,  quantum  sentio. 
Ob  calores  sub  aequatore  auferatur  haec  quantitas  de  dlfferentla  llneae 
unius  cum  quadrante  a  Richero  observata,  &  maneblt  linea  \t%  :  quae 
cum  llnea  Itw?7  per  theoriam  jam  ante  collecta  probe  congruit. 
Richerns  autem  observatlones  in  Cayenna  factas  slngulls  septimanls 
per  menses  decem  iteravit,  &  longitudines  penduli.  In  virga  ferrea  ibi 
notatas  cum  longitudlnlbus  ejus  in  Gallia  slmlllter  notatis  contullt. 
Quae  diligentla  &  cautela  in  allis  observatoribus  defuisse  vldetur.  Si 
hujus  observationibus  fidendum  est,  terra  altlor  erlt  ad  ^quatorem 
quam  ad  polos  excessu  milliarium  septendecim  circiter,  ut  supra  per 
theoriam  prodiit. 


42  2  DE  MUNDI  SYSTEMATE 

PROPOSITIO    XXI.      THEOREMA    XVII. 

Puncta  csqtdnoctialia  regredi,  &  axem  terrce  singtUis  revolntiotiidns 
anmiis  nutando  bis  iiiclinari  in  eclipticam  &  bis  redire  ad positionem 
priorem. 

Patet  per  corol.  20  prop.  lxvi  lib.  i.     Motus  tamen  iste  nutandi 
perexiguus  esset  debet,  &  vix  aut  ne  vix  quidem  sensibilis. 

PROPOSITIO    XXII.       THEOREMA    XVIII. 

Motus  omnes  lunares,   omnesque  motuimi  incsquatitates  ex  allatis 

principiis  consequi, 

Planetas  majores,  interea  dum  circa  solem  feruntur,  posse  alios 
minores  circum  se  revolventes  planetas  deferre,  &  minores  illos  in 
ellipsibus,  umbilicos   in  centris  majorum  habentibus,  revolvi  debere 
patet   per  prop.   lxv  lib.    i.      Actione   autem   solis  perturbabuntur 
eorum   motus  multimode,   iisque  adficientur  in^qualitatibus  qu^  in 
luna  nostra  notantur.      Haec  utique   (per  corol.   2,   3,  4,  &  5  prop. 
Lxvi)  velocius   movetur,  ac  radio  ad   terram   ducto  describit  aream 
pro  tempore  majorem,   orbemque  habet  minus  curvum    atque   ideo 
propius  accedit  ad  terram  in  syzygiis  quam  in  quadraturis,  nisi  qua- 
tenus  impedit  motus  eccentricitatis.     Eccentricitas  enim  maxima  est 
(per  corol.  9  prop.  lxvi)  ubi  apogaeum  lunae  in  syzygiis  versatur,  & 
minima  ubi  idem  in  quadraturis  consistit ;  &  inde  luna  in   perigseo 
velocior  est  &  nobis  propior,  in  apogaeo  autem   tardior  &  remotior 
in   syzygiis   quam    in    quadraturis.       Progreditur   insuper   apog^um,     - 
&  regrediuntur  nodi,  sed  motu   inaequabili.     Et    apog^um   quiden^ 
(per  corol.  7   &  8  prop.  lxvi)  velocius  progreditur  in  syzygiis  suis, 
tardius   regreditur  in   quadraturis,   &    excessu   progressus  supra  re- 
gressum  annuatim  fertur  in  consequentia.       Nodi  autem  (per  corol.  2 
prop.    Lxvi)   quiescunt  in   syzygiis  suis   &  velocissime   regrediuntur 
in  quadraturis.     Sed   &  major  est  lunae  latitudo  maxima  in  ipsius 
quadraturis   (per  corol.  ib  prop.  lxvi)  quam   in  syzygiis  :  &  motus 
medius  tardior  in  perihelio  terrae  (per  corol.  6  prop.  lxvi)  quam  in 
ipsius  aphelio.     Atque  hae  sunt  inaequalitates  insigniores  ab  astrono- 
mis  notatae. 


LIBER  TERTIUS.  423 

Sunt  etlani  aliae  quaedam  a  prloribus  astronomls  non  observatae 
inaequalitates,  quibus  motus  lunares  adeo  perturbantur,  ut  nulla  hac- 
tenus  lege  ad  regulam  aliquam  certam  reduci  potuerint.  Velocitates 
•  enim  seu  motus  horarii  apogaei  &  nodorum  lunae  &  eorundem 
aequationes,  ut  &  differentia  inter  eccentricitatem  maximam  in  syzy- 
giis  &  minimam  in  quadraturis,  &  inaequalitas  quae  variatio  dicitur 
augentur  ac  diminuuntur  annuatim  (per  corol.  14  prop.  lxvi)  in 
tripHcata  ratione  diametri  apparentis  solaris.  Et  variatio  praeterea 
augetur  vel  diminuitur  in  dupHcata  ratione  temporis  inter  quadraturas 
quam  proxime  (per  corol.  i  &  2  lem.  x  &  corol.  16  prop.  lxvi  Hb.  i) 
sed  haec  InaequaHtas  in  calculo  astronomico  ad  prosthaphaeresin  lunae 
referri  solet,  &  cum  ea  confundi. 

PROPOSITIO    XXIII.       PROBLEMA    V. 

Motus   inceqicales   satellitum  jovis  &  saturni  a  motibus  lunaridus 

derivare, 

Ex  motibus  lunae  nostrae  motus  analogi  lunarum  seu  sateHItum 
jovis  sic  derivantur.  Motus  medius  nodorum  sateHitis  extimi  joviaHs, 
est  ad  motum  medium  nodorum  lunae  nostrae  in  ratione  composita  ex 
ratione  dupHcata  temporis  periodici  terrae  circa  solem  ad  tempus 
periodicum  jovis  clrca  solem  &  ratione  simpHci.  temporis  periodici 
sateHItis  clrca  jovem  ad  tempus  periodicum  lunae  circa  terram  (per 
corol.  16  prop.  Lxvi  lib.  i)  ideoque  annis  centum  conficlt  nodus  iste 
8^-  24'  in  antecedentia.  Motus  medii  nodorum  satellitum  interiorum 
sunt  ad  motum  hujus  ut  illorum  tempora  periodica  ad  tempus  perio- 
dicum  hujus  <per  idem  corollarium)  8i  inde  dantur.  Motus  autem 
augis  satellitis  cujusque  in  consequentia  est  ad  motum  nodorum 
ipsius  In  antecedentia  ut  motus  apogaei  lunae  nostrae  ad  hujus  motum 
nodorum  (per  idem  corol.)  &  inde  datur.  Diminui  tamen  debet 
motus  augis  slc  inventus  in  ratione  5  ad  9  vel  i  ad  2  circiter  ob 
causam  quam  hic  exponere  non  vacat.  ^quationes  maximae  nodo- 
rum  &  augls  satellitis  cujusque  fere  sunt  ad  aequationes  maximas 
nodorum  &  augis  lunae  respective  ut  motus  nodorum  &  augis  satel- 
litum  tempore  unius  revolutionis  aequationum  priorum  ad  motus 
nodorum    &   apoga^I   lun^e  tempore   unius  revolutionis  aequationum 


424 


DE  MVNDI  SYSTEMATE 


posteriorum.  Varlatio  satellitis  e  jove  spectati  est  ad  variationem 
lunae  ut  sunt  ad  invicem  toti  motus  nodorum  temporibus  quibus 
satelles  &  luna  ad  solem  revolvuntur,  per  idem  corollarium ;  ideoque 
in  satellite  extimo  non  superat  5^'  12' 


./// 


PROPOSITIO     XXIV.      THEOREMA    XIX. 

Fluxum  &  refltixum  maris  ab  actionibtcs  solis  ac  hc7ics  oriri. 

Mare  singulis  diebus  tam  lunaribus  quam  solaribus  bis  intumescere 
debere  ac  bis  defluere  patet  per  corol.  19  &  20  prop.  lxvi  lib.  i  ut 
&  aquae  maximam  altitudinem,  in  maribus  profundis  &  liberis,  appul- 
sum  luminarium  ad  meridianum  loci  minori  quam  sex  horarum  spatio 
sequi,  uti  fit  in  maris  Atlantici  &  ^thiopici  tractu  toto  orientali  inter 
Galliam  &  promontorium  Boncc  Spei  ut  &  in  maris  Pacifici  littore 
Ckilensi  &  Pertcviano :  in  quibus  omnibus  littoribus  aestus  in  horam 
circiter  secundam  tertiam  vel  quartam  incidit,  nisi  ubi  motus  ab 
oceano  profundo  per  loca  vadosa  propagatus  usque  ad  horam  quintam 
sextam  septimam  aut  ultra  retardatur.  Horas  numero  ab  appulsu 
luminaris  utriusque  ad  meridianum  loci,  tam  infra  horizontem  quam 
supra,  &  per  horas  diei  lunaris  intelHgo  vigesimas  quartas  partes 
temporis  quo  luna  motu  apparente  diurno  ad  meridianum  loci  rever- 
titur.  Vis  solis  vel  hmae  ad  mare  elevandum  maxima  est  in  ipso 
appulsu  luminaris  ad  meridianum  loci.  Sed  vis  eo  tempore  in  mare 
impressa  manet  aHquamdiu  &  per  vim  novam  subinde  impressam 
augetur,  donec  mare  ad  altitudinem  maximam  ascenderit,  id  quod 
fiet  spatio  horae  unius  duarumve  sed  saepius  ad  Httora  spatio  horarum 
trium  circiter  vel  etiam  plurium  si  mare  sit  vadosum. 

Motus  autem  bini,  quos  luminaria  duo  excitant,  non  cernentur 
distincte,  sed  motum  quendam  mixtum  efificient.  In  himinarium 
conjunctione  vel  oppositione  conjungentur  eorum  effectus,  &  com- 
ponetur  fluxus  &  refluxus  maximus.  In  quadraturis  sol  attollet 
aquam  ubi  luna  deprimit,  deprimetque  ubi  luna  attoHit ;  &  ex 
effectuum  differentia  aestus  omnium  minimus  orietur.  Et  quoniam, 
experientia  teste,  major  est  effectus  hmae  quam  soHs,  incidet  aquae 
maxima  akitudo  in  horam  tertiam  lunarem  circiter.  Extra  syzygias 
&  quadraturas,  aestus  maximus  qui  sola  vi  lunari  incidere  semper 
deberet  in  horam  tertiam  hmarem,  &  sola  solari  in  tertiam  solarem, 


LIBER  TERTIUS.  ^2=; 

compositls  vlribus  Incldet  In  tempus  allquod  Intermedium  quod  tefti^ 
lunari  propinquius  est ;  Ideoque  In  transitu  lunse  a  syzygiis  ad  qua- 
draturas,  ubi  hora  tertia  solaris  praecedit  tertiam  lunarem,  maxima 
aquae  altitudo  prsecedet  etiam  tertiam  lunarem,  Idque  maximo  Inter- 
vallo  paulo  post  octantes  lunse ;  &  paribus  Intervallis  ^stus  maxlmus 
sequetur  horam  tertlam  lunarem  In  transltu  luna^  a  quadraturls  ad 
syzygias.  Hsec  ita  sunt  In  mari  aperto.  Nam  In  ostiis  fluviorum 
fluxus  majores  caeterls  parlbus  tardlus  ad  aKixhv  venlent. 

Pendent  autem  effectus  lumlnarlum  ex  eorum  dlstantils  a  terra. 
In  mlnorlbus  enim  distantlls  majores  sunt  eorum  eflectus,  in  majorlbus 
mlnores,  Idque  In  trlpHcata  ratione  diametrorum  apparentlum.  Igitur 
sol  tempore  hyberno,  In  perigseo  existens,  majores  edit  eflectus, 
eflicltque  ut  sestus  In  syzyglis  paulo  majores  sint,  &  In  quadraturls 
paulo  minores  (cseterls  paribus)  quam  tempore  sestlvo ;  &  luna  in 
perigseo  slngulls  mensibus  jnajores  ciet  sestus  quam  ante  vel  post  dles 
quindecim,  ubi  in  apogseo  versatur.  Unde  fit  ut  sestus  duo  omnlno 
maximi  in  syzygiis  continuls  se  mutuo  non  sequantur. 

Pendet  etiam  eflectus  utriusque  luminaris  ex  ipslus  decllnatlone 
seu  distantla  ab  sequatore.  Nam  sl  kimlnare  In  polo  constltueretur, 
traheret  Ilkid  slngulas  aquse  partes  constanter  sine  actionls  Intensione 
&  remlssione,  ideoque  nullam  motus  reciprocationem  cieret.  Igitur 
lumlnaria  recedendo  ab  sequatore  pokim  versus  eflectus  suos  gradatlm 
amlttent,  &  propterea  mlnores  clebunt  sestus  in  syzygils  solstitlalibus 
quam  in  sequInoctiaHbus.  In  quadaturls  autem  solstltiaHbus  majores 
ciebunt  sestus  quam  In  quadraturls  sequinoctlaHbus  ;  eo  quod  lunse 
jam  In  aequatore  constitutse  eflectus  maxime  superat  eflectum  soHs. 
Incidunt  igitur  sestus  maximi  in  syzygias  &  minlml  in  quadraturas 
luminarium,  circa  tempora  sfequlnoctii  utriusque.  Et  sestum  maxlmum 
in  syzygiis  comltatur  semper  minimus  in  quadraturls,  ut  experientla 
compertum  est.  Per  minorem  autem  dlstantlam  soHs  a  terra  tem- 
pore  hyberno  quam  tempore  sestivo  fit  ut  sestus  maxlmi  &  miniml 
sseplus  praecedant  sequlnoctium  vernum  quam  sequantur,  &  sseplus 
sequantur  autumnale  quam  prsecedant. 

Pendent  etlam  eflectus  lumlnarium  ex  locorum  latitudlne